JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $14 \operatorname{cosec}^{2} x - 2 \sin^{2} x = 21 - 4 \cos^{2} x$
$\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$14 \operatorname{cosec}^{2} x - 2 \sin^{2} x = 17 + 4 \sin^{2} x$
$14 \operatorname{cosec}^{2} x - 6 \sin^{2} x = 17$
माना $\sin^{2} x = p$,तो $\operatorname{cosec}^{2} x = \frac{1}{p}$:
$6p^{2} + 17p - 14 = 0$
$p = \frac{2}{3}$ (चूंकि $\sin^{2} x \geq 0$)
$\sin x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$
अंतराल $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)$ में कुल $4$ हल प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है $a_{n} = 19^{n} - 12^{n}$।
हमें व्यंजक $E = \frac{31 a_{9} - a_{10}}{57 a_{8}}$ का मूल्यांकन करना है।
$a_{9} = 19^{9} - 12^{9}$ और $a_{10} = 19^{10} - 12^{10}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{31(19^{9} - 12^{9}) - (19^{10} - 12^{10})}{57 a_{8}}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$E = \frac{31 \cdot 19^{9} - 31 \cdot 12^{9} - 19^{10} + 12^{10}}{57 a_{8}}$
$19$ और $12$ वाले पदों को समूहित करने पर:
$E = \frac{19^{9}(31 - 19) - 12^{9}(31 - 12)}{57 a_{8}}$
गुणांकों को सरल करने पर:
$E = \frac{19^{9}(12) - 12^{9}(19)}{57 a_{8}}$
अंश से $12 \cdot 19$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$E = \frac{12 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}{57 a_{8}}$
चूंकि $57 = 3 \cdot 19$,इसलिए $57 a_{8} = 3 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})$:
$E = \frac{12 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}{3 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}$
$E = \frac{12}{3} = 4$.

(B) अनुक्रम का $n$-वाँ पद $a_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n} = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ है।
प्रथम $100$ पदों का योग $S_{100} = \sum_{n=1}^{100} \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$ है।
$S_{100} = \sum_{n=1}^{100} 1 - \sum_{n=1}^{100} \left(\frac{2}{3}\right)^n$.
$S_{100} = 100 - \left[ \frac{2}{3} \frac{(1 - (2/3)^{100})}{1 - 2/3} \right]$.
$S_{100} = 100 - 2 \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{100}\right) = 100 - 2 + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100} = 98 + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100}$.
चूँकि $0 < 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100} < 1$,इसलिए $S_{100}$ का मान $98$ और $99$ के बीच है।
अतः,$S_{100}$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $[S_{100}] = 98$ है।

(C) विषम $n$ के लिए,$3+(-1)^n = 3-1 = 2$. सम $n$ के लिए,$3+(-1)^n = 3+1 = 4$.
$A = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^{2k}} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \dots) + (\frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^4} + \dots)$
$A = \frac{1/2}{1-1/4} + \frac{1/16}{1-1/16} = \frac{1/2}{3/4} + \frac{1/16}{15/16} = \frac{2}{3} + \frac{1}{15} = \frac{10+1}{15} = \frac{11}{15}$.
$B = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{2^{2k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^{2k}} = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2^3} - \dots) + (\frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^4} + \dots)$
$B = \frac{-1/2}{1-1/4} + \frac{1/16}{1-1/16} = -\frac{2}{3} + \frac{1}{15} = \frac{-10+1}{15} = -\frac{9}{15} = -\frac{3}{5}$.
$\frac{A}{B} = \frac{11/15}{-9/15} = -\frac{11}{9}$.

(C) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$.
$\cos \theta$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\cos(\sin x) = 1 - \frac{(x - \frac{x^3}{6})^2}{2} + \frac{(x)^4}{24} + O(x^6) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + O(x^6)$.
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$.
घटाने पर:
$\cos(\sin x) - \cos x = \frac{4x^4}{24} = \frac{x^4}{6}$.
अतः,$\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^4}{6}}{x^4} = \frac{1}{6}$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ है। ढाल $m$ वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$ होता है।
$a^{2}=16$ और $b^{2}=9$ रखने पर,$y=mx \pm \sqrt{16m^{2}+9}$ $(i)$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=12$ है। ढाल $m$ वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx \pm r\sqrt{1+m^{2}}$ होता है।
$r^{2}=12$ रखने पर,$y=mx \pm \sqrt{12(1+m^{2})}$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के लिए,$(i)$ और $(ii)$ के अचर पद समान होने चाहिए:
$16m^{2}+9 = 12(1+m^{2})$
$16m^{2}+9 = 12+12m^{2}$
$16m^{2}-12m^{2} = 12-9$
$4m^{2} = 3$
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,$12m^{2} = 9$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $P = (4, 3)$ और $Q = (2\cos\theta, \sqrt{2}\sin\theta)$ दीर्घवृत्त $x^{2} + 2y^{2} = 4$ पर एक बिंदु है।
मान लीजिए $D(h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
तब,$h = \frac{4 + 2\cos\theta}{2} = 2 + \cos\theta \implies \cos\theta = h - 2$.
और $k = \frac{3 + \sqrt{2}\sin\theta}{2} \implies \sqrt{2}\sin\theta = 2k - 3 \implies \sin\theta = \frac{2k - 3}{\sqrt{2}}$.
सर्वसमिका $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(h - 2)^{2} + \left(\frac{2k - 3}{\sqrt{2}}\right)^{2} = 1$
$(h - 2)^{2} + \frac{4(k - 1.5)^{2}}{2} = 1$
$(h - 2)^{2} + 2(k - 1.5)^{2} = 1$
$1$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(h - 2)^{2}}{1} + \frac{(k - 1.5)^{2}}{1/2} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त है जहाँ $a^{2} = 1$ और $b^{2} = 1/2$ है।
चूँकि $a^{2} > b^{2}$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \sqrt{1 - 1/2} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ है।
चूंकि बिंदु $(8, 3\sqrt{3})$ अतिपरवलय पर स्थित है:
$\frac{64}{a^{2}}-\frac{27}{9}=1$ $\Rightarrow \frac{64}{a^{2}}=4$ $\Rightarrow a^{2}=16$.
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_{1}}+\frac{b^{2}y}{y_{1}}=a^{2}+b^{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{16x}{8}+\frac{9y}{3\sqrt{3}}=16+9 \Rightarrow 2x+\sqrt{3}y=25$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $2(-1)+\sqrt{3}(9\sqrt{3}) = -2+27 = 25$.
अतः,अभिलंब बिंदु $(-1, 9\sqrt{3})$ से होकर गुजरता है।

(C) माना $n = 50$ है। गलत माध्य $\bar{x} = 15$ और मानक विचलन $\sigma = 2$ है।
गलत प्रेक्षणों का योग $\sum x_i = 50 \times 15 = 750$ है।
माना गलत प्रेक्षण $x_1$ है और सही प्रेक्षण $x_1'$ है।
दिया गया है $x_1 + x_1' = 70$ और सही माध्य $\bar{x}' = 16$ है।
सही प्रेक्षणों का योग $\sum x_i' = 50 \times 16 = 800$ है।
अतः,$x_1' - x_1 = \sum x_i' - \sum x_i = 800 - 750 = 50$ है।
$x_1' + x_1 = 70$ और $x_1' - x_1 = 50$ को हल करने पर,हमें $x_1' = 60$ और $x_1 = 10$ प्राप्त होता है।
गलत प्रसरण $\sigma^2 = 4 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$ $\Rightarrow 4 = \frac{\sum x_i^2}{50} - 225$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 50 \times 229 = 11450$ है।
शेष $49$ प्रेक्षणों के वर्गों का योग: $\sum_{i=2}^{50} x_i^2 = 11450 - x_1^2 = 11450 - 100 = 11350$ है।
सही वर्गों का योग $\sum x_i'^2 = 11350 + (x_1')^2 = 11350 + 3600 = 14950$ है।
सही प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i'^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{14950}{50} - 16^2 = 299 - 256 = 43$ है।

(B) हम सर्वसमिका $\sin(\theta) \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$ का उपयोग करेंगे।
दिया गया व्यंजक: $16 \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \sin(80^{\circ})$.
इसे $16 \sin(20^{\circ}) \sin(60^{\circ}-20^{\circ}) \sin(60^{\circ}+20^{\circ})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\theta = 20^{\circ}$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= 16 \times \left( \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^{\circ}) \right)$.
$= 4 \sin(60^{\circ})$.
$= 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$.

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा $r$ कथन $r \vee (\sim p) \Rightarrow (p \wedge q) \vee r$ को एक पुनरुक्ति बनाता है,हम सत्यता सारणी का उपयोग करते हैं।
$r = \sim p$ के लिए:
कथन $(\sim p \vee \sim p) \Rightarrow (p \wedge q) \vee \sim p$ बन जाता है।
यह सरल होकर $\sim p \Rightarrow (p \wedge q) \vee \sim p$ हो जाता है।
अवशोषण नियम का उपयोग करते हुए,$(p \wedge q) \vee \sim p$,$(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$ के बराबर है,जो $T \wedge (\sim p \vee q) = \sim p \vee q$ है।
अतः कथन $\sim p \Rightarrow (\sim p \vee q)$ है।
चूंकि $\sim p \Rightarrow (\sim p \vee q)$,$\neg(\sim p) \vee (\sim p \vee q) = p \vee \sim p \vee q = T \vee q = T$ के बराबर है,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।
अतः,$r = \sim p$ सही विकल्प है।

(C) दिया गया है कि $p+q=3$ और $p^{4}+q^{4}=369$ है।
हमें $\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)^{-2} = \left(\frac{p+q}{pq}\right)^{-2} = \frac{(pq)^{2}}{(p+q)^{2}} = \frac{(pq)^{2}}{3^{2}} = \frac{(pq)^{2}}{9}$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $p^{2}+q^{2} = (p+q)^{2}-2pq = 9-2pq$ है।
साथ ही,$p^{4}+q^{4} = (p^{2}+q^{2})^{2}-2p^{2}q^{2} = (9-2pq)^{2}-2(pq)^{2} = 369$ है।
इसका विस्तार करने पर,$81+4(pq)^{2}-36pq-2(pq)^{2} = 369$ प्राप्त होता है।
$2(pq)^{2}-36pq+81 = 369 \implies 2(pq)^{2}-36pq-288 = 0$ है।
$2$ से भाग देने पर,$(pq)^{2}-18pq-144 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(pq-24)(pq+6) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$pq=24$ या $pq=-6$ है।
यदि $pq=24$ है,तो $p^{2}+q^{2} = 9-2(24) = 9-48 = -39$ होगा,जो वास्तविक संख्याओं $p$ और $q$ के लिए असंभव है।
इसलिए,$pq=-6$ है।
$pq=-6$ को हमारे व्यंजक में रखने पर: $\frac{(pq)^{2}}{9} = \frac{(-6)^{2}}{9} = \frac{36}{9} = 4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $z^{2} + z + 1 = 0$,इसके मूल $z = \omega$ या $z = \omega^{2}$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
चूँकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $\frac{1}{\omega} = \omega^{2}$ और $\frac{1}{\omega^{2}} = \omega$ है।
माना $S = \sum_{n=1}^{15} \left( z^{n} + (-1)^{n} \frac{1}{z^{n}} \right)^{2} = \sum_{n=1}^{15} \left( z^{2n} + \frac{1}{z^{2n}} + 2(-1)^{n} \right)$.
$z = \omega$ के लिए,$z^{2n} + \frac{1}{z^{2n}} = \omega^{2n} + \omega^{n}$.
$\sum_{n=1}^{15} \omega^{2n} = 0$ और $\sum_{n=1}^{15} \omega^{n} = 0$ क्योंकि $15$,$3$ का गुणज है।
$\sum_{n=1}^{15} 2(-1)^{n} = 2(-1 + 1 - 1 + 1 ... - 1) = -2$.
अतः,$|S| = |0 + 0 - 2| = |-2| = 2$.

(A) हमें ऐसी $3$-अंकीय संख्याएँ $n$ ज्ञात करनी हैं जिनके लिए $\text{gcd}(n, 36) = 2$ हो।
चूँकि $36 = 2^2 \times 3^2$,इसलिए $\text{gcd}(n, 36) = 2$ का अर्थ है कि $n$,$2$ का गुणज होना चाहिए लेकिन $4$ का नहीं,और $n$,$3$ का गुणज नहीं होना चाहिए।
माना $n = 2k$. तब $\text{gcd}(2k, 36) = 2 \implies \text{gcd}(k, 18) = 1$.
चूँकि $n$ एक $3$-अंकीय संख्या है,$100 \le 2k \le 999$,जिसका अर्थ है $50 \le k \le 499$.
हमें अंतराल $[50, 499]$ में ऐसे पूर्णांक $k$ गिनने हैं जिनके लिए $\text{gcd}(k, 18) = 1$ हो।
कुल पूर्णांकों की संख्या $499 - 50 + 1 = 450$ है।
$2$ या $3$ के गुणजों को गिनने के लिए हम समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle) का उपयोग करेंगे।
$S = \{50, 51, \ldots, 499\}$.
$S$ में $2$ के गुणज: $225$.
$S$ में $3$ के गुणज: $150$.
$S$ में $6$ के गुणज: $75$.
ऐसे $k$ जिनकी $\text{gcd}(k, 18) > 1$ है,उनकी संख्या $= 225 + 150 - 75 = 300$.
ऐसे $k$ जिनकी $\text{gcd}(k, 18) = 1$ है,उनकी संख्या $= 450 - 300 = 150$.

(A) हम सर्वसमिका $\sum_{k=0}^{r} \binom{n+k}{k} = \binom{n+r+1}{r}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ $n=40$ और $r=20$ है।
अतः,योग $S = \binom{40+20+1}{20} = \binom{61}{20}$ है।
दिया गया है कि $S = \frac{m}{n} \binom{60}{20}$ है।
चूँकि $\binom{61}{20} = \frac{61}{41} \binom{60}{20}$,इसलिए $m = 61$ और $n = 41$ है।
अतः,$m+n = 61 + 41 = 102$।

(D) माना $G$.$P$. के पद $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, ar^{4}$ हैं।
दिया है $3a_{2} + a_{3} = 2a_{4}$,अतः $3ar + ar^{2} = 2ar^{3}$।
चूँकि $a_{1} > 0$,$a \neq 0$,इसलिए $3 + r = 2r^{2}$,जिसका अर्थ है $2r^{2} - r - 3 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2r - 3)(r + 1) = 0$,अतः $r = \frac{3}{2}$ या $r = -1$।
दिया है $a_{2} + a_{4} = 2a_{3} + 1$,अतः $ar + ar^{3} = 2ar^{2} + 1$,या $a(r + r^{3} - 2r^{2}) = 1$।
यदि $r = -1$,तो $a(-1 - 1 - 2) = 1 \implies -4a = 1 \implies a = -\frac{1}{4}$। चूँकि $a_{1} > 0$,यह संभव नहीं है।
यदि $r = \frac{3}{2}$,तो $a(\frac{3}{2} + \frac{27}{8} - 2(\frac{9}{4})) = 1 \implies a(\frac{12 + 27 - 36}{8}) = 1 \implies a(\frac{3}{8}) = 1 \implies a = \frac{8}{3}$।
अब,$a_{2} + a_{4} + 2a_{5} = ar + ar^{3} + 2ar^{4} = a(r + r^{3} + 2r^{4})$।
$a = \frac{8}{3}$ और $r = \frac{3}{2}$ रखने पर:
$= \frac{8}{3} (\frac{3}{2} + \frac{27}{8} + 2 \times \frac{81}{16}) = \frac{8}{3} (\frac{3}{2} + \frac{27}{8} + \frac{81}{8}) = \frac{8}{3} (\frac{12 + 27 + 81}{8}) = \frac{8}{3} (\frac{120}{8}) = \frac{8}{3} \times 15 = 40$।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ के बिंदु $(4 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा $L_{1}$ का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{4}-\frac{y \tan \theta}{2}=1$ है।
$L_{1}$ की ढाल $m_{1} = \frac{\sec \theta}{2 \tan \theta}$ है।
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि $L_{2}$,$(0, 0)$ और $(h, k)$ से गुजरती है,इसकी ढाल $m_{2} = \frac{k}{h}$ है।
चूँकि $L_{1} \perp L_{2}$,$m_{1} m_{2} = -1$,इसलिए $\frac{k}{h} \cdot \frac{\sec \theta}{2 \tan \theta} = -1$,जिससे $\sin \theta = -\frac{k}{2h}$ प्राप्त होता है।
अतः $\cos^{2} \theta = 1 - \frac{k^{2}}{4h^{2}} = \frac{4h^{2}-k^{2}}{4h^{2}}$,यानी $\cos \theta = \frac{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}}{2h}$।
इन मानों को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{h}{4} \cdot \frac{2h}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} - \frac{k}{2} \cdot \left( \frac{-k}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} \right) = 1$
$\frac{2h^{2}+k^{2}}{2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} = 1 \implies 2h^{2}+k^{2} = 2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2h^{2}+k^{2})^{2} = 4(4h^{2}-k^{2}) = 16h^{2}-4k^{2}$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $(x^{2}+y^{2})^{2} = 16x^{2}-4y^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha=16$ और $\beta=-4$।
$\alpha+\beta = 16-4 = 12$.

(B) $1$ और $8$ का उपयोग करके बनाई गई $6$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $2^6 = 64$ है।
$21$ से विभाज्य होने के लिए संख्या को $3$ और $7$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
$3$ से विभाज्यता के लिए अंकों का योग $3$ का गुणज होना चाहिए,जिससे $n_1$ का मान $3$ का गुणज होता है।
कुल $22$ संख्याएँ $21$ से विभाज्य हैं।
अतः,$p = \frac{22}{64}$.
$96p = 96 \times \frac{22}{64} = 33$.

(B) समुच्चय $A$ के लिए: $|z+1| < |z-1|$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x+1)^2 + y^2 < (x-1)^2 + y^2$,जो सरल होकर $x < 0$ प्राप्त होता है। यह काल्पनिक अक्ष के बाईं ओर का क्षेत्र दर्शाता है।
समुच्चय $B$ के लिए: $\arg(\frac{z-1}{z+1}) = \frac{2\pi}{3}$। यह $(-1, 0)$ और $(1, 0)$ से गुजरने वाले एक वृत्त का चाप दर्शाता है। वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + \frac{2y}{\sqrt{3}} - 1 = 0$ है,जिसका केंद्र $(0, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ है।
शर्त $\arg(\frac{z-1}{z+1}) = \frac{2\pi}{3}$ इस वृत्त के उस चाप के अनुरूप है जहाँ $x < 0$ है।
अतः,$A \cap B$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित वृत्त का चाप है।

(C) हमें $(2021)^{2023}$ को $7$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$2021$ को $7$ से विभाजित करें: $2021 = 7 \times 288 + 5$।
अतः,$2021 \equiv 5 \pmod{7}$,जो $2021 \equiv -2 \pmod{7}$ के बराबर है।
इसलिए,$(2021)^{2023} \equiv (-2)^{2023} \pmod{7}$।
$(-2)^{2023} = - (2^{2023}) = - (2^3)^{674} \times 2^1$।
चूँकि $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$,इसलिए $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$।
अतः,$(2^3)^{674} \equiv 1^{674} \equiv 1 \pmod{7}$।
इसलिए,$(-2)^{2023} \equiv -(1 \times 2) \equiv -2 \pmod{7}$।
शेषफल को धनात्मक मान में व्यक्त करने के लिए,हम $7$ जोड़ते हैं: $-2 + 7 = 5$।
अतः,शेषफल $5$ है।

(D) माना $f(x) = \frac{\sin(\cos^{-1} x) - x}{1 - \tan(\cos^{-1} x)}$.
हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \sin^{-1}(\sqrt{1-x^2})$ और $\cos^{-1} x = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x})$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\lim \limits_{x}$ ${\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin(\sin^{-1}(\sqrt{1-x^2})) - x}{1 - \tan(\tan^{-1}(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}))}$
$= \lim \limits_{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2} - x}{1 - \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}$
$= \lim \limits_{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2} - x}{\frac{x - \sqrt{1-x^2}}{x}}$
$= \lim \limits_{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{- (x - \sqrt{1-x^2})}{\frac{x - \sqrt{1-x^2}}{x}}$
$= \lim \limits_{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} (-x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) बिंदु $R(3,7)$ से रेखा $x+y-5=0$ की लंबवत दूरी $h$ इस प्रकार दी गई है:
$h = \frac{|3+7-5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$
एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा की लंबाई $a$ है,उसकी ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ होती है।
अतः,$\frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{5}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $a = \frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{5 \sqrt{6}}{3}$।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{100}{6} \right) = \frac{100 \sqrt{3}}{24} = \frac{25 \sqrt{3}}{6}$ है।

(B) मान लीजिए वृत्त $C$ का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि वृत्त $A(2, -1)$ और $B(3, 4)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ को $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
$AB$ का मध्यबिंदु $M = (\frac{2+3}{2}, \frac{-1+4}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{4 - (-1)}{3 - 2} = 5$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = -\frac{1}{5}$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - \frac{3}{2} = -\frac{1}{5}(x - \frac{5}{2})$ है,जो सरल होकर $x + 5y = 10$ हो जाता है।
दिया गया है कि केंद्र $(h, k)$ वृत्त $(x-5)^2 + (k-1)^2 = \frac{13}{2}$ पर स्थित है,इसलिए $(h-5)^2 + (k-1)^2 = \frac{13}{2}$।
साथ ही,$h + 5k = 10$,इसलिए $h = 10 - 5k$।
$h$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(10 - 5k - 5)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies (5 - 5k)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2}$।
$25(1 - k)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies 26(k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies (k - 1)^2 = \frac{1}{4} \implies k - 1 = \pm \frac{1}{2}$।
यदि $k = \frac{3}{2}$ है,तो $h = 10 - 5(\frac{3}{2}) = \frac{5}{2}$। केंद्र $(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ प्राप्त होता है,जो मध्यबिंदु $M$ है। इस स्थिति में $AB$ व्यास बन जाता है,जो मान्य नहीं है।
यदि $k = \frac{1}{2}$ है,तो $h = 10 - 5(\frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$। केंद्र $C = (\frac{15}{2}, \frac{1}{2})$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = CA^2 = (\frac{15}{2} - 2)^2 + (\frac{1}{2} - (-1))^2 = (\frac{11}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{121}{4} + \frac{9}{4} = \frac{130}{4} = \frac{65}{2}$।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2} = 6x$ है,इसलिए $4a = 6$,जिससे $a = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^{3}$ है।
चूंकि अभिलंब $(5, -8)$ से गुजरता है,$-8 = -t(5) + 2(\frac{3}{2})t + \frac{3}{2}t^{3}$।
$-8 = -5t + 3t + \frac{3}{2}t^{3} \implies -8 = -2t + \frac{3}{2}t^{3} \implies 3t^{3} - 4t + 16 = 0$।
$t = -2$ इस समीकरण का मूल है।
अतः,$P = (6, -6)$।
$P(6, -6)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ के अनुसार $x + 2y + 6 = 0$ है।
नियता का समीकरण $x = -\frac{3}{2}$ है।
$x = -\frac{3}{2}$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर,$-\frac{3}{2} + 2y + 6 = 0 \implies 2y = -\frac{9}{2} \implies y = -\frac{9}{4}$।

(A) माध्य $\bar{x} = 6$ होने के कारण,$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$,जिससे $a+b = 7$ प्राप्त होता है।
प्रसरण $\sigma^{2} = 6.8$ है,अतः $\frac{(a-6)^2 + (b-6)^2 + (8-6)^2 + (5-6)^2 + (10-6)^2}{5} = 6.8$.
$(a-6)^2 + (b-6)^2 + 21 = 34 \Rightarrow (a-6)^2 + (b-6)^2 = 13$.
$b = 7-a$ प्रतिस्थापित करने पर,$(a-6)^2 + (1-a)^2 = 13 \Rightarrow a^2 - 7a + 12 = 0$.
अतः $a=4, b=3$ या $a=3, b=4$ प्राप्त होता है।
माध्य विचलन $M = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|a-6| + |b-6| + 2 + 1 + 4}{5} = \frac{3 + 2 + 7}{5} = \frac{12}{5}$.
अतः $25M = 25 \times \frac{12}{5} = 60$.

(A) दिया गया व्यंजक $(p \nabla q) \Rightarrow ((p \nabla q) \nabla r)$ एक पुनरुक्ति है।
$Case-I$: यदि $\nabla \equiv \wedge$ है,तो $(p \wedge q) \Rightarrow ((p \wedge q) \wedge r)$। यह पुनरुक्ति नहीं है क्योंकि यदि $p=T, q=T, r=F$ है,तो व्यंजक $T \Rightarrow F$ हो जाता है,जो $F$ है।
$Case-II$: यदि $\nabla \equiv \vee$ है,तो $(p \vee q) \Rightarrow ((p \vee q) \vee r)$। यह एक पुनरुक्ति है क्योंकि यदि पूर्ववर्ती $(p \vee q)$ सत्य $(T)$ है,तो परिणामी $((p \vee q) \vee r)$ भी सत्य $(T)$ होगा।
चूंकि $\nabla \equiv \vee$,हमें $(p \nabla q) \Delta r$ का मूल्यांकन करना है,जो $(p \vee q) \Delta r$ है।
यदि $\Delta \equiv \vee$ है,तो $(p \vee q) \vee r \equiv (p \vee r) \vee q$,जो विकल्प $(A)$ यानी $(p \Delta r) \vee q$ से मेल खाता है।
अतः,व्यंजक $(p \Delta r) \vee q$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।

(B) दिया गया समीकरण $x^{4}-3x^{3}-2x^{2}+3x-9=0$ है।
गुणनखंड करने पर $(x^{2}+3)(x^{2}-3x-3)=0$ प्राप्त होता है।
$x^{2}+3=0$ के मूल $i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$ हैं,जिनके घनों का योग $0$ है।
$x^{2}-3x-3=0$ के मूलों $\alpha, \beta$ के लिए $\alpha+\beta=3$ और $\alpha\beta=-3$ है।
मूलों के घनों का योग $(\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 27-3(-3)(3) = 54$ है।

(B) कुल लड़के $n(B) = 10$ और कुल लड़कियाँ $n(G) = 5$ हैं।
बिना किसी प्रतिबंध के $3$ लड़कों और $3$ लड़कियों का समूह बनाने के कुल तरीके:
$= {}^{10}C_{3} \times {}^{5}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 120 \times 10 = 1200$.
अब,उन तरीकों की संख्या ज्ञात करें जिनमें $B_{1}$ और $B_{2}$ दोनों समूह के सदस्य हैं। यदि $B_{1}$ और $B_{2}$ पहले से ही चुने गए हैं,तो हमें शेष $8$ लड़कों में से $1$ और लड़का और $5$ लड़कियों में से $3$ लड़कियाँ चुननी होंगी:
$= {}^{8}C_{1} \times {}^{5}C_{3} = 8 \times 10 = 80$.
उन तरीकों की संख्या जिनमें $B_{1}$ और $B_{2}$ दोनों एक ही समूह में नहीं हैं,कुल तरीकों में से प्रतिबंधित तरीकों को घटाने पर प्राप्त होती है:
$= 1200 - 80 = 1120$.

(B) वृत्त $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ है और परवलय $y^{2} = 4x$ है।
परवलय $y^{2} = 4x$ की स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से इस स्पर्श रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या $\frac{3}{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(0) - 0 + 1/m|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{1}{|m|\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{m^{2}(m^{2} + 1)} = \frac{9}{4} \Rightarrow 9m^{4} + 9m^{2} - 4 = 0$.
$m^{2}$ के लिए हल करने पर: $(3m^{2} - 1)(3m^{2} + 4) = 0$. चूँकि $m^{2} > 0$,इसलिए $m^{2} = \frac{1}{3}$,अतः $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{3}$ हैं।
ये स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष पर बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं जहाँ $y=0$ है। $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ में $y=0$ रखने पर $x = -3$ प्राप्त होता है। अतः,$Q = (-3, 0)$.
लंबाई $OQ = |-3| = 3$. दीर्घवृत्त के लिए अर्ध-लघु अक्ष $b = 3$ और अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 6$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 9 = 36(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 1 - e^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow e^{2} = \frac{3}{4}$.
नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{6} = 3$.
अतः,$\frac{l}{e^{2}} = \frac{3}{3/4} = 4$.

(C) माना $S = \sin^{2}(10^{\circ}) \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ})$ है।
सर्वसमिका $\sin(\theta) \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$ का उपयोग करने पर,$\sin(10^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$S = \sin(10^{\circ}) \cdot \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \cdot [\sin(10^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ})]$
$S = \sin(10^{\circ}) \cdot \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \cdot \frac{1}{8}$।
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{8} \sin(10^{\circ}) \cdot \frac{1}{2} [\cos(20^{\circ}) - \cos(60^{\circ})] = \frac{1}{16} \sin(10^{\circ}) [\cos(20^{\circ}) - \frac{1}{2}]$
$S = \frac{1}{16} \sin(10^{\circ}) \cos(20^{\circ}) - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ})$।
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{32} [\sin(30^{\circ}) + \sin(-10^{\circ})] - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ})$
$S = \frac{1}{32} [\frac{1}{2} - \sin(10^{\circ})] - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ}) = \frac{1}{64} - \frac{1}{16} \sin(10^{\circ})$।
$\alpha - \frac{1}{16} \sin(10^{\circ})$ से तुलना करने पर,$\alpha = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है।
अतः,$16 + \alpha^{-1} = 16 + 64 = 80$।

(A) समुच्चय $B$ में $2$ से $200$ तक की सम संख्याएँ हैं। समुच्चय $A$ में ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं जिनके लिए $H.C.F.(n, 45) = 1$ है। चूँकि $45 = 3^2 \times 5$ है,$H.C.F.(n, 45) = 1$ का अर्थ है कि $n$,$3$ और $5$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,$A \cap B$ में $[2, 200]$ की वे सम संख्याएँ हैं जो $3$ और $5$ से विभाज्य नहीं हैं।
मान लीजिए $S$,$2$ से $200$ तक की सभी सम संख्याओं का योग है: $S = 2(1 + 2 + \ldots + 100) = 10100$.
मान लीजिए $S_3$,$3$ से विभाज्य सम संख्याओं का योग है (अर्थात $6$ के गुणज): $6 + 12 + \ldots + 198 = 3366$.
मान लीजिए $S_5$,$5$ से विभाज्य सम संख्याओं का योग है (अर्थात $10$ के गुणज): $10 + 20 + \ldots + 200 = 2100$.
मान लीजिए $S_{15}$,$3$ और $5$ दोनों से विभाज्य सम संख्याओं का योग है (अर्थात $30$ के गुणज): $30 + 60 + 90 + 120 + 150 + 180 = 630$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,$A \cap B$ के तत्वों का योग $S - (S_3 + S_5 - S_{15}) = 10100 - (3366 + 2100 - 630) = 5264$ है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं $i$ और $j$ के लिए,$\min \{i, j\} + \max \{i, j\} = i + j$ होता है।
इसलिए,$A + B = \sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} (\min \{i, j\} + \max \{i, j\}) = \sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} (i + j)$।
योग का विस्तार करने पर: $A + B = \sum_{i=1}^{10} (\sum_{j=1}^{10} i + \sum_{j=1}^{10} j) = \sum_{i=1}^{10} (10i + \frac{10 \times 11}{2}) = \sum_{i=1}^{10} (10i + 55)$।
$A + B = 10 \sum_{i=1}^{10} i + \sum_{i=1}^{10} 55 = 10 \times \frac{10 \times 11}{2} + 10 \times 55$।
$A + B = 10 \times 55 + 550 = 550 + 550 = 1100$।

(C) $|z - (4 + 3i)| = 2$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(4, 3)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
कार्तीय निर्देशांक में,यह $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 4$ है।
$|z| + |z - 4| = 6$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $(0, 0)$ और $(4, 0)$ पर हैं।
नाभियों से दूरियों का योग $2a = 6$ है,इसलिए $a = 3$। केंद्र $(2, 0)$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 4$ है,इसलिए $ae = 2$। चूँकि $a = 3$,$e = 2/3$ है।
$b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - 4/9) = 5$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ है।
वृत्त का केंद्र $(4, 3)$ है। दीर्घवृत्त का उच्चतम बिंदु $(2, \sqrt{5}) \approx (2, 2.236)$ है।
वृत्त का निम्नतम बिंदु $(4, 3 - 2) = (4, 1)$ है।
$(4, 1)$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $\frac{(4 - 2)^2}{9} + \frac{1^2}{5} = \frac{4}{9} + \frac{1}{5} = \frac{29}{45} < 1$।
चूँकि बिंदु $(4, 1)$ दीर्घवृत्त के अंदर है और केंद्र $(4, 3)$ दीर्घवृत्त के बाहर है,इसलिए वृत्त दीर्घवृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(C) दिया गया है $S = 2 + \frac{6}{7} + \frac{12}{7^{2}} + \frac{20}{7^{3}} + \frac{30}{7^{4}} + \ldots$ $(1)$
$7$ से भाग देने पर: $\frac{S}{7} = \frac{2}{7} + \frac{6}{7^{2}} + \frac{12}{7^{3}} + \frac{20}{7^{4}} + \ldots$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$S - \frac{S}{7} = 2 + \left(\frac{6-2}{7}\right) + \left(\frac{12-6}{7^{2}}\right) + \left(\frac{20-12}{7^{3}}\right) + \ldots$
$\frac{6S}{7} = 2 + \frac{4}{7} + \frac{6}{7^{2}} + \frac{8}{7^{3}} + \ldots$ $(3)$
$(3)$ को $7$ से भाग देने पर: $\frac{6S}{49} = \frac{2}{7} + \frac{4}{7^{2}} + \frac{6}{7^{3}} + \ldots$ $(4)$
$(3)$ में से $(4)$ घटाने पर:
$\frac{6S}{7} - \frac{6S}{49} = 2 + \left(\frac{4-2}{7}\right) + \left(\frac{6-4}{7^{2}}\right) + \left(\frac{8-6}{7^{3}}\right) + \ldots$
$\frac{36S}{49} = 2 + \left(\frac{2/7}{1 - 1/7}\right) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
$S = \frac{7}{3} \times \frac{49}{36} = \frac{343}{108}$
$4S = 4 \times \frac{343}{108} = \frac{343}{27} = \left(\frac{7}{3}\right)^{3}$

(D) दिया गया है कि $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ एक $A.P.$ है जहाँ $a_{1}=2$ और $a_{10}=3$ है।
$a_{n} = a_{1} + (n-1)d_{1}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$3 = 2 + 9d_{1}$,अतः $d_{1} = \frac{1}{9}$ है।
इस प्रकार,$a_{4} = a_{1} + 3d_{1} = 2 + 3(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ है।
दिया गया है कि $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ एक $A.P.$ है जहाँ $a_{1}b_{1}=1$ और $a_{10}b_{10}=1$ है।
चूँकि $a_{1}=2$ है,$b_{1} = \frac{1}{2}$ है। चूँकि $a_{10}=3$ है,$b_{10} = \frac{1}{3}$ है।
$b_{n} = b_{1} + (n-1)d_{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{1}{3} = \frac{1}{2} + 9d_{2}$,अतः $9d_{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$,जिससे $d_{2} = -\frac{1}{54}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$b_{4} = b_{1} + 3d_{2} = \frac{1}{2} + 3(-\frac{1}{54}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{18} = \frac{9-1}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ है।
अतः,$a_{4}b_{4} = (\frac{7}{3})(\frac{4}{9}) = \frac{28}{27}$ है।

(D) शीर्ष $A$ $(5,4)$ है और नियता $3x+y-29=0$ है।
माना $B$ शीर्ष से नियता पर डाले गए लंब का पाद है। $A$ से गुजरने वाली और नियता के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y-4}{1} = k$ है।
चूंकि $B$ नियता $3x+y-29=0$ पर स्थित है,इसलिए $3(5+3k) + (4+k) - 29 = 0$,जिससे $15+9k+4+k-29=0$ प्राप्त होता है,अतः $10k-10=0$,जिसका अर्थ है $k=1$।
इस प्रकार,$B$ के निर्देशांक $(5+3(1), 4+1) = (8,5)$ हैं।
चूंकि शीर्ष $A$,$SB$ रेखाखंड का मध्यबिंदु है,जहाँ $S$ नाभि $(x_s, y_s)$ है,तो $\frac{x_s+8}{2} = 5$ और $\frac{y_s+5}{2} = 4$ प्राप्त होता है,जिससे $S = (2,3)$ मिलता है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P(x,y)$ के लिए $PS = PM$,जहाँ $PM$ नियता से लंबवत दूरी है।
$PS^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 = x^2-4x+4+y^2-6y+9 = x^2+y^2-4x-6y+13$.
$PM^2 = \frac{(3x+y-29)^2}{3^2+1^2} = \frac{9x^2+y^2+841+6xy-174x-58y}{10}$.
$10(x^2+y^2-4x-6y+13) = 9x^2+y^2+6xy-174x-58y+841$ को हल करने पर,$x^2+9y^2-6xy+134x-2y-711=0$ प्राप्त होता है।
$x^2+ay^2+bxy+cx+dy+k=0$ से तुलना करने पर,$a=9, b=-6, c=134, d=-2, k=-711$ है।
अतः,$a+b+c+d+k = 9-6+134-2-711 = -576$।

(D) वृत्त का समीकरण $4x^{2} + 4y^{2} - 12x + 8y + k = 0$ है। $4$ से भाग देने पर,$x^{2} + y^{2} - 3x + 2y + k/4 = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(3/2, -1)$ है और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{13 - k}}{2}$ है।
$(i)$ बिंदु $(1, -1/3)$ वृत्त पर या उसके अंदर स्थित है,इसलिए $S(1, -1/3) \leq 0$,जिससे $k \leq 92/9$ प्राप्त होता है।
(ii) वृत्त के चतुर्थ चतुर्थांश में होने के लिए,केंद्र से अक्षों की दूरी त्रिज्या से अधिक होनी चाहिए। $x$-अक्ष से दूरी $1$ है,इसलिए $r \leq 1 \Rightarrow k \geq 9$।
अतः,$k \in (9, 92/9]$।

(B) दिए गए आंकड़ों का माध्य $\bar{x} = 6$ है:
$\frac{4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 + x + y}{8} = 6$
$36 + x + y = 48 \Rightarrow x + y = 12$ $(1)$
दिया गया प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{9}{4}$ है:
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = \frac{9}{4}$
$\frac{4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + x^{2} + y^{2}}{8} - 36 = \frac{9}{4}$
$\frac{226 + x^{2} + y^{2}}{8} = 38.25$
$226 + x^{2} + y^{2} = 306 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 80$ $(2)$
$(1)$ से $y = 12 - x$ को $(2)$ में रखने पर:
$x^{2} + (12 - x)^{2} = 80$
$2x^{2} - 24x + 64 = 0 \Rightarrow x^{2} - 12x + 32 = 0$
$(x - 4)(x - 8) = 0$
चूंकि $x < y$,इसलिए $x = 4$ और $y = 8$ है।
$x^{4} + y^{2} = 4^{4} + 8^{2} = 256 + 64 = 320$.

(B) यह क्षेत्र $y$-अक्ष $(x=0)$,$2y+x=6$ और $5x-6y=30$ द्वारा घिरा हुआ है। त्रिभुज के शीर्ष $B(0, 3)$,$C(0, -5)$ और $A(6, 0)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
रेखा $y=1$,$2y+x=6$ को $D(4, 1)$ पर और $y$-अक्ष को $E(0, 1)$ पर काटती है।
वह क्षेत्र जहाँ $y < 1$ है,चतुर्भुज $ADEC$ है।
$\triangle BDE$ का क्षेत्रफल (जहाँ $y \ge 1$) $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$.
अभीष्ट प्रायिकता $= 1 - \frac{\text{Area}(\triangle BDE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = 1 - \frac{4}{24} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

(C) हम जानते हैं कि $\cos 72^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ है।
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$\cos 72^{\circ} = 1 - 2\sin^{2} 36^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$\alpha = \sin 36^{\circ}$ रखने पर,$1 - 2\alpha^{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ प्राप्त होता है।
$4$ से गुणा करने पर,$4 - 8\alpha^{2} = \sqrt{5} - 1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$5 - 8\alpha^{2} = \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(5 - 8\alpha^{2})^{2} = 5$ प्राप्त होता है।
$25 + 64\alpha^{4} - 80\alpha^{2} = 5$।
$64\alpha^{4} - 80\alpha^{2} + 20 = 0$।
$4$ से भाग देने पर,$16\alpha^{4} - 20\alpha^{2} + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha$ समीकरण $16x^{4} - 20x^{2} + 5 = 0$ का एक मूल है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x^{2}-4 \lambda x+5=0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं $\implies \alpha+\beta=4 \lambda$ और $\alpha \beta=5$.
$x^{2}-(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) x+(7+3 \lambda \sqrt{3})=0$ के मूल $\alpha, \gamma$ हैं $\implies \alpha+\gamma=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}$ और $\alpha \gamma=7+3 \lambda \sqrt{3}$.
मूलों के योग को घटाने पर: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta) = (3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) - 4 \lambda \implies \gamma-\beta = 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}-4 \lambda$.
दिया गया है $\beta+\gamma=3 \sqrt{2}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \gamma = 6 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}-4 \lambda \implies \gamma = 3 \sqrt{2}+\sqrt{3}-2 \lambda$.
घटाने पर: $2 \beta = 4 \lambda - 2 \sqrt{3} \implies \beta = 2 \lambda - \sqrt{3}$.
चूंकि $\alpha+\beta=4 \lambda$,इसलिए $\alpha = 4 \lambda - (2 \lambda - \sqrt{3}) = 2 \lambda + \sqrt{3}$.
$\alpha \beta = 5$ का उपयोग करने पर: $(2 \lambda + \sqrt{3})(2 \lambda - \sqrt{3}) = 5 \implies 4 \lambda^{2}-3 = 5 \implies 4 \lambda^{2}=8 \implies \lambda^{2}=2$.
$\alpha = 2 \lambda + \sqrt{3}$,$\beta = 2 \lambda - \sqrt{3}$,और $\gamma = 3 \sqrt{2}+\sqrt{3}-2 \lambda$.
हमें $(\alpha+2 \beta+\gamma)^{2} = (\alpha+\beta+\beta+\gamma)^{2} = (4 \lambda + 3 \sqrt{2})^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
$\lambda^{2}=2$ होने के कारण,$\lambda = \sqrt{2}$ लेने पर: $(4 \sqrt{2}+3 \sqrt{2})^{2} = (7 \sqrt{2})^{2} = 49 \times 2 = 98$.

(B) $(x^{n} + 2x^{-5})^{7}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{7}C_{r} (x^{n})^{7-r} (2x^{-5})^{r} = {}^{7}C_{r} \cdot 2^{r} \cdot x^{n(7-r) - 5r}$ है।
गुणांक $C_{r} = {}^{7}C_{r} \cdot 2^{r}$ हैं,जहाँ $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ है।
हमें दिया गया है कि $x$ की धनात्मक घातों के गुणांकों का योग $939$ है।
गुणांकों की गणना:
$r=0: C_{0} = 1, \text{घात}: 7n$
$r=1: C_{1} = 14, \text{घात}: 6n-5$
$r=2: C_{2} = 84, \text{घात}: 5n-10$
$r=3: C_{3} = 280, \text{घात}: 4n-15$
$r=4: C_{4} = 560, \text{घात}: 3n-20$
$r=5: C_{5} = 672, \text{घात}: 2n-25$
योग: $1 + 14 + 84 + 280 + 560 = 939$ है।
इसका अर्थ है कि $r=4$ के लिए घात $\geq 0$ और $r=5$ के लिए घात $< 0$ होनी चाहिए।
$3n - 20 \geq 0 \implies n \geq 6.66$।
$2n - 25 < 0 \implies n < 12.5$।
चूँकि $n$ एक पूर्णांक है,$n \in \{7, 8, 9, 10, 11, 12\}$।
योग = $7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 57$।

(C) दी गई रेखाएं $L_{1}: 4x + 3y + 2 = 0$ और $L_{2}: 3x - 4y - 11 = 0$ हैं। इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ स्पर्श बिंदु है।
समीकरणों को हल करने पर:
$4x + 3y = -2$ ($4$ से गुणा करने पर): $16x + 12y = -8$
$3x - 4y = 11$ ($3$ से गुणा करने पर): $9x - 12y = 33$
इनका योग करने पर $25x = 25$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ है।
$x = 1$ को $4(1) + 3y = -2$ में रखने पर,$3y = -6$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = -2$ है। अतः,$Q = (1, -2)$ है।
रेखा $L_{1}$,$Q$ पर वृत्त का अभिलंब है क्योंकि यह केंद्र $P$ से होकर गुजरती है। $L_{2}$ की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है। अभिलंब $L_{1}$ की ढाल $-\frac{4}{3}$ है।
केंद्र $P$,$L_{1}$ पर $Q$ से $5$ इकाई की दूरी पर स्थित है। अभिलंब $L_{1}$ (दिशा $(3, -4)$) के अनुदिश इकाई सदिश $(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष के नीचे है,केंद्र $P = Q + 5(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}) = (1 + 3, -2 - 4) = (4, -6)$ है।
अब,$P(4, -6)$ से रेखा $5x - 12y + 51 = 0$ की दूरी की गणना करें:
दूरी $= \left| \frac{5(4) - 12(-6) + 51}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right| = \left| \frac{20 + 72 + 51}{13} \right| = \frac{143}{13} = 11$.

(C) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.
दिया गया समीकरण $\bar{z} = i z^{2}$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x - iy = i(x + iy)^{2}$ प्राप्त होता है।
$x - iy = i(x^{2} - y^{2} + 2xyi) = i(x^{2} - y^{2}) - 2xy$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = -2xy$ $\Rightarrow x(1 + 2y) = 0$ $\Rightarrow x = 0$ या $y = -\frac{1}{2}$.
$-y = x^{2} - y^{2}$.
स्थिति $1$: यदि $x = 0$,तो $-y = -y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} - y = 0$ $\Rightarrow y(y - 1) = 0$. अतः $y = 0$ या $y = 1$.
मूल $z = 0$ और $z = i$ हैं। चूँकि प्रश्न में अवास्तविक मूल पूछे गए हैं,हम $z = i$ लेते हैं।
स्थिति $2$: यदि $y = -\frac{1}{2}$,तो $-(-\frac{1}{2}) = x^{2} - (-\frac{1}{2})^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = x^{2} - \frac{1}{4}$ $\Rightarrow x^{2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
मूल $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ और $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ हैं।
बहुभुज के शीर्ष $(0, 1)$,$(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$,और $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ हैं।
यह एक त्रिभुज बनाता है जिसका आधार $b = \sqrt{3}$ और ऊँचाई $h = \frac{3}{2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(B) दिया गया है $x = \frac{1}{1-a}$,$y = \frac{1}{1-b}$,और $z = \frac{1}{1-c}$।
इससे,$a = 1 - \frac{1}{x}$,$b = 1 - \frac{1}{y}$,और $c = 1 - \frac{1}{z}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
मान रखने पर: $2(1 - \frac{1}{y}) = (1 - \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{z})$
$2 - \frac{2}{y} = 2 - (\frac{1}{x} + \frac{1}{z})$
$\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$।
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ $A.P.$ में हैं।

(C) दिया गया है कि सीमा $\lim \limits_{x \rightarrow 7} \frac{18-[1-x]}{[x]-3a}$ का अस्तित्व है।
$x \rightarrow 7^-$ के लिए,$[x] = 6$ और $[1-x] = [1 - (7-h)] = [-6+h] = -6$ (जहाँ $h > 0$ एक बहुत छोटी संख्या है)।
$L.H.L. = \lim \limits_{x \rightarrow 7^-} \frac{18 - (-6)}{6 - 3a} = \frac{24}{6 - 3a}$.
$x \rightarrow 7^+$ के लिए,$[x] = 7$ और $[1-x] = [1 - (7+h)] = [-6-h] = -7$.
$R.H.L. = \lim \limits_{x \rightarrow 7^+} \frac{18 - (-7)}{7 - 3a} = \frac{25}{7 - 3a}$.
चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए $L.H.L. = R.H.L.$
$\frac{24}{6 - 3a} = \frac{25}{7 - 3a}$.
वज्र गुणन करने पर:
$24(7 - 3a) = 25(6 - 3a)$
$168 - 72a = 150 - 75a$
$75a - 72a = 150 - 168$
$3a = -18$
$a = -6$.

(D) शीर्ष $A(6,1)$ है। आधार $BC$ रेखा $2x + y = 4$ पर स्थित है। बिंदु $B(1,2)$ है।
मान लीजिए $C(h, 4-2h)$ है।
चूंकि $\triangle ABC$ समद्विबाहु है,$AB = AC$ है।
$AB^2 = (6-1)^2 + (1-2)^2 = 26$.
$AC^2 = (6-h)^2 + (2h-3)^2 = 5h^2 - 24h + 45$.
$5h^2 - 24h + 45 = 26$ $\Rightarrow 5h^2 - 24h + 19 = 0$ $\Rightarrow h = 19/5$ या $h = 1$.
$C = (19/5, -18/5)$ है।
केंद्रक $G = (\frac{6+1+19/5}{3}, \frac{1+2-18/5}{3}) = (54/15, -3/15)$ है।
$\alpha = 54/15, \beta = -3/15$ है।
$15(\alpha + \beta) = 51$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है,जहाँ $a>b$ और उत्केंद्रता $e = \frac{1}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,इसलिए $\frac{1}{16} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,जिससे $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{15}{16}$ या $b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त बिंदु $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{(-4 \sqrt{2/5})^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}} = 1$.
मान रखने पर: $\frac{16 \times (2/5)}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{32}{5a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1$.
$b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$ रखने पर: $\frac{32}{5a^{2}} + \frac{9 \times 16}{15a^{2}} = 1$.
$\frac{32}{5a^{2}} + \frac{144}{15a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{96 + 144}{15a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{240}{15a^{2}} = 1$.
$16 = a^{2}$.
अतः $b^{2} = \frac{15}{16} \times 16 = 15$.
इस प्रकार,$a^{2} + b^{2} = 16 + 15 = 31$.

(B) $18$ में से $5$ अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{18}C_{5} = 8568$ हैं।
$x_{2} = 7$ और $x_{4} = 11$ की शर्त के लिए:
$x_{1} < 7$ के लिए $6$ विकल्प हैं $({}^{6}C_{1} = 6)$।
$x_{3}$ को $7$ और $11$ के बीच होना चाहिए,इसलिए $3$ विकल्प हैं $({}^{3}C_{1} = 3)$।
$x_{5} > 11$ के लिए $7$ विकल्प हैं $({}^{7}C_{1} = 7)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6 \times 3 \times 7 = 126$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{126}{8568} = \frac{1}{68}$ है।

(A) माना $S = \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) + \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right) + \cos \left(\frac{6 \pi}{7}\right)$.
समांतर श्रेणी में कोसाइन के योग के सूत्र का उपयोग करने पर: $S = \frac{\sin(\frac{3 \pi}{7})}{\sin(\frac{\pi}{7})} \cos\left(\frac{4 \pi}{7}\right)$.
अंश और हर को $2 \sin(\frac{\pi}{7})$ से गुणा करने पर:
$S = \frac{2 \sin(\frac{3 \pi}{7}) \cos(\frac{4 \pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})}$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$S = \frac{\sin(\pi) + \sin(-\frac{\pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})}$
चूंकि $\sin(\pi) = 0$ और $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$:
$S = \frac{-\sin(\frac{\pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})} = -\frac{1}{2}$.

(C) माना $I = \int \limits_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x} \sin x}{(1+\cos^2 x)(e^{\cos x}+e^{-\cos x})} dx$ $(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \limits_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos(\pi-x)} \sin(\pi-x)}{(1+\cos^2(\pi-x))(e^{\cos(\pi-x)}+e^{-\cos(\pi-x)})} dx$
$I = \int \limits_{0}^{\pi} \frac{e^{-\cos x} \sin x}{(1+\cos^2 x)(e^{-\cos x}+e^{\cos x})} dx$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int \limits_{0}^{\pi} \frac{(e^{\cos x} + e^{-\cos x}) \sin x}{(1+\cos^2 x)(e^{\cos x}+e^{-\cos x})} dx$
$2I = \int \limits_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
चूंकि $\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}$ फलन $x = \frac{\pi}{2}$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए $2I = 2 \int \limits_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
$I = \int \limits_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
माना $\cos x = t$,तो $-\sin x dx = dt$। जब $x=0, t=1$; जब $x=\pi/2, t=0$।
$I = -\int \limits_{1}^{0} \frac{dt}{1+t^2} = \int \limits_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^2} = [\tan^{-1} t]_{0}^{1} = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4}$

(C) दिया गया है $f(x+y) = 2f(x)f(y)$ और $f(1) = 2$.
माना $g(x) = 2f(x)$ है। तब $g(x+y) = 2f(x+y) = 4f(x)f(y) = g(x)g(y)$ होगा।
चूंकि $g(1) = 2f(1) = 4 = 2^2$,इसलिए $g(x) = 2^{2x}$ होगा।
अतः,$f(x) = \frac{1}{2} g(x) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2x} = 2^{2x-1}$ होगा।
अब,$\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \sum_{k=1}^{10} 2^{2(\alpha+k)-1} = 2^{2\alpha-1} \sum_{k=1}^{10} 2^{2k} = 2^{2\alpha-1} \cdot 4 \cdot \frac{4^{10}-1}{4-1} = 2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3}$ होगा।
हमें दिया गया है कि $\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \frac{512}{3}(2^{20}-1) = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3} = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$ होगा।
$2^{2\alpha+1} = 2^9 \implies 2\alpha+1 = 9 \implies 2\alpha = 8 \implies \alpha = 4$।

(B) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ है।
$A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ से,हमें $c_1 = 1, c_2 = 1, c_3 = 2$ प्राप्त होता है।
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + c_1 \\ a_2 + c_2 \\ a_3 + c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ से,हमें $a_1 = -2, a_2 = -1, a_3 = -1$ प्राप्त होता है।
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ से,हमें $b_1 = 3, b_2 = 2, b_3 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
तब $A - 2I = \begin{bmatrix} -4 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A - 2I| = -4(0 - 1) - 3(0 - (-1)) + 1(-1 - 0) = 4 - 3 - 1 = 0$ है।
समीकरण निकाय $\begin{bmatrix} -4 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
इससे हमें समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) -4x_1 + 3x_2 + x_3 = 4$
$2) -x_1 + x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 1 + x_1$
$3) -x_1 + x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = 1 + x_1$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-4x_1 + 3(1 + x_1) + (1 + x_1) = -4x_1 + 3 + 3x_1 + 1 + x_1 = 4$। यह $4 = 4$ में परिणत होता है,जो हमेशा सत्य है।
चूंकि निकाय संगत है और सारणिक $0$ है,इसलिए इसके अनंत हल हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = x^{3} + x - 5$.
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$.
चूंकि $f^{\prime}(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए है,फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है और इसलिए व्युत्क्रमणीय है।
दिया गया है $f(g(x)) = x$,श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$,जिसका अर्थ है $g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$।
$g^{\prime}(63)$ ज्ञात करने के लिए,हमें वह $x$ ज्ञात करना होगा जिसके लिए $f(x) = 63$ हो।
$x^{3} + x - 5 = 63 \Rightarrow x^{3} + x - 68 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x = 4$ रखने पर,$4^{3} + 4 - 5 = 64 + 4 - 5 = 63$ प्राप्त होता है। अतः,$g(63) = 4$ है।
अब,$g^{\prime}(63) = \frac{1}{f^{\prime}(g(63))} = \frac{1}{f^{\prime}(4)}$।
चूंकि $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$,इसलिए $f^{\prime}(4) = 3(4)^{2} + 1 = 3(16) + 1 = 48 + 1 = 49$ है।
अतः,$g^{\prime}(63) = \frac{1}{49}$।

(A) दिया गया है $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$.
चूंकि सीमा $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$ मौजूद है,इसलिए $f(1)=0$ होना चाहिए।
यदि $f(1)=0$ है,तो सीमा का मान $f^{\prime}(1)$ के बराबर है।
दिए गए समीकरण में $x=1$ रखने पर: $f(1)+f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 1^{5}+64 = 65$.
चूंकि $f(1)=0$,इसलिए $f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 65$.
दिए गए समीकरण का अवकलन करने पर: $f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x) = 5x^{4}$.
$x=1$ पर,$f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1) = 5$.
चूंकि $f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 65$,इसलिए $65+f^{\prime \prime \prime}(1) = 5$,जिससे $f^{\prime \prime \prime}(1) = -60$ प्राप्त होता है।
पुनः अवकलन करने पर: $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x)+f^{(4)}(x) = 20x^{3}$.
$x=1$ पर,$f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = 20$.
पुनः अवकलन करने पर: $f^{\prime \prime \prime}(x)+f^{(4)}(x)+f^{(5)}(x) = 60x^{2}$.
$x=1$ पर,$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1)+f^{(5)}(1) = 60$.
चूंकि $f(x)$ $5$ घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+g$.
तब $f^{(5)}(x) = 120a$. समीकरण $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$ से,मुख्य गुणांक $a=1$.
अतः $f^{(5)}(x) = 120$.
$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1)+120 = 60$ का उपयोग करने पर,$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = -60$.
$f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = 20$ से,$f^{\prime \prime}(1) + (-60) = 20$,जिससे $f^{\prime \prime}(1) = 80$ प्राप्त होता है।
अंत में,$f^{\prime}(1) = 65 - f^{\prime \prime}(1) = 65 - 80 = -15$.

(NONE) दिया गया है $P(E_{1} \mid E_{2}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{2})} = \frac{1}{2} \implies P(E_{2}) = 2 \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.
दिया गया है $P(E_{2} \mid E_{1}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{1})} = \frac{3}{4} \implies P(E_{1}) = \frac{4}{3} \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$.
अब,$P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24} \neq P(E_{1} \cap E_{2})$। अतः,$E_{1}$ और $E_{2}$ स्वतंत्र नहीं हैं।
विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}^{\prime}) = 1 - P(E_{1} \cup E_{2}) = 1 - (P(E_{1}) + P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2})) = 1 - (\frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}) = 1 - (\frac{4+6-3}{24}) = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$.
$P(E_{1}^{\prime}) \cdot P(E_{2}^{\prime}) = (1 - \frac{1}{6}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \neq \frac{17}{24}$.
विकल्प $(C)$ की जाँच करें: $P(E_{1} \cap E_{2}^{\prime}) = P(E_{1}) - P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4-3}{24} = \frac{1}{24}$.
$P(E_{1}) \cdot P(E_{2}^{\prime}) = \frac{1}{6} \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{24}$.
विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}) = P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.
यहाँ $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}) = \frac{1}{8}$ है,जबकि $P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) = \frac{1}{24}$ है,इसलिए ये समान नहीं हैं।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$।
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix} = -4I$।
$A^3 = A^2 \cdot A = -4A$।
$A^4 = (A^2)^2 = (-4I)^2 = 16I$।
सामान्यतः,$A^{2k} = (-4)^k I$ और $A^{2k-1} = (-4)^{k-1} A$।
$M = \sum_{k=1}^{10} A^{2k} = \sum_{k=1}^{10} (-4)^k I = I \sum_{k=1}^{10} (-4)^k$। चूँकि $M$,तत्समक आव्यूह $I$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए $M$ सममित है।
$N = \sum_{k=1}^{10} A^{2k-1} = \sum_{k=1}^{10} (-4)^{k-1} A = A \sum_{k=1}^{10} (-4)^{k-1}$। चूँकि $A$ विषम-सममित है,$N$,$A$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए $N$ विषम-सममित है।
$N^2 = (\text{अदिश} \cdot A)^2 = \text{अदिश}^2 \cdot A^2 = \text{अदिश}^2 \cdot (-4I)$,जो $I$ का एक अदिश गुणज है,अतः $N^2$ सममित है।
चूँकि $M$ और $N^2$ दोनों सममित हैं और क्रमविनिमेय हैं,उनका गुणनफल $MN^2$ भी सममित है।
चूँकि $M$ और $N^2$ अदिश आव्यूह हैं,$MN^2$ एक अदिश आव्यूह है,जो सममित है लेकिन आवश्यक रूप से तत्समक आव्यूह नहीं है।

(D) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x + 1} + c$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x g(x)}{e^x + 1} \right)$.
दाहिनी ओर भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x g(x)}{e^x + 1} \right) = \frac{(e^x + 1)(g(x) + x g'(x)) - x g(x) e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x) + x g'(x)(e^x + 1)}{(e^x + 1)^2}$.
पदों की तुलना करने पर:
$\frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} = \frac{x g'(x)}{e^x + 1}$.
चूंकि $x > 0$,इसलिए $g'(x) = \cos x - \sin x$.
अब विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $g'(x) = \cos x - \sin x$. $x \in (0, \pi/4)$ के लिए,$\cos x > \sin x$,इसलिए $g'(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $g$ वर्धमान है।
$2$. $g''(x) = -\sin x - \cos x$. $x \in (0, \pi/4)$ के लिए,$g''(x) < 0$,इसलिए $g'$ ह्रासमान है।
$3$. मान लीजिए $h(x) = g(x) + g'(x)$. तब $h'(x) = g'(x) + g''(x) = -2 \sin x < 0$,इसलिए $h$ ह्रासमान है।
$4$. मान लीजिए $\phi(x) = g(x) - g'(x)$. तब $\phi'(x) = g'(x) - g''(x) = 2 \cos x > 0$,इसलिए $\phi$ वर्धमान है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है $f(x) = \log_{e}(x^{2}+1) - e^{-x} + 1$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+1} + e^{-x}$.
सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है,अतः $f$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
दिया गया है $g(x) = \frac{1-2e^{2x}}{e^{x}} = e^{-x} - 2e^{x}$.
अवकलन करने पर,$g'(x) = -e^{-x} - 2e^{x} < 0$ सभी $x \in R$ के लिए।
अतः,$g$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
असमिका $f(g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3})) > f(g(\alpha-\frac{5}{3}))$ दी गई है।
चूंकि $f$ वर्धमान है,इसलिए $g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3}) > g(\alpha-\frac{5}{3})$ होगा।
चूंकि $g$ ह्रासमान है,इसलिए $\frac{(\alpha-1)^{2}}{3} < \alpha - \frac{5}{3}$ होगा।
सरल करने पर,$(\alpha-1)^{2} < 3\alpha - 5$.
$\alpha^{2} - 5\alpha + 6 < 0$.
$(\alpha-2)(\alpha-3) < 0$.
अतः,$\alpha \in (2, 3)$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ अक्षों के साथ समान कोण बनाता है,इसलिए $a_{1} = a_{2} = a_{3} = k$. अतः $\vec{a} = k(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$\vec{a}$ का $3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j})}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 7$ है।
$\frac{k(3 + 4)}{5} = 7 \Rightarrow \frac{7k}{5} = 7 \Rightarrow k = 5$. इसलिए $\vec{a} = 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
चूंकि $\vec{b}$ को $\vec{a}$ को $90^{\circ}$ घुमाकर प्राप्त किया जाता है और $\vec{a}, \vec{b}, \hat{i}$ समतलीय हैं,इसलिए $\vec{b}$ सदिश $\vec{a}$ और $\hat{i}$ के तल में स्थित है।
मान लीजिए $\vec{b} = x\vec{a} + y\hat{i}$. चूंकि $|\vec{b}| = |\vec{a}| = 5\sqrt{3}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,हम पाते हैं कि $\vec{b}$ सदिश $\vec{a}$ के लंबवत है।
$\vec{b}$ का $3\hat{i} + 4\hat{j}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने पर,हमें इसका मान $2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} - y = e^{3x}(x+1)^2$ है।
$(x+1)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(x+1) \frac{dy}{dx} - y}{(x+1)^2} = e^{3x}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x+1} \right) = e^{3x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{y}{x+1} = \int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $y(0) = \frac{1}{3}$,$x=0$ और $y=\frac{1}{3}$ रखने पर $\frac{1/3}{1} = \frac{e^0}{3} + C$ मिलता है,इसलिए $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} + C$,जिसका अर्थ है $C=0$ है।
अतः,$y = \frac{(x+1)e^{3x}}{3}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} [ (x+1) \cdot 3e^{3x} + e^{3x} \cdot 1 ] = \frac{e^{3x}}{3} [ 3x + 3 + 1 ] = \frac{e^{3x}}{3} (3x+4)$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,$3x+4=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -\frac{4}{3}$ है।
$x < -\frac{4}{3}$ के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$,और $x > -\frac{4}{3}$ के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$ है।
चूंकि अवकलज $x = -\frac{4}{3}$ पर ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।

(B) समतल $x + y + z - 5 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $P(1, 0, 1)$ का प्रतिबिंब $Q(a, b, c)$ सूत्र $\frac{a-1}{1} = \frac{b-0}{1} = \frac{c-1}{1} = -2 \frac{1(1) + 1(0) + 1(1) - 5}{1^2 + 1^2 + 1^2} = -2 \frac{-3}{3} = 2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$a-1 = 2 \Rightarrow a = 3$,$b = 2$,$c-1 = 2 \Rightarrow c = 3$. इसलिए,$Q = (3, 2, 3)$.
सदिश $\vec{PQ} = (3-1, 2-0, 3-1) = (2, 2, 2)$,जो $(1, 1, 1)$ के समानांतर है।
रेखा $L$,$(1, -1, -1)$ से गुजरती है और $\vec{PQ}$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+1}{1} = \lambda$ है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $R(\lambda+1, \lambda-1, \lambda-1)$ है।
चूंकि $R$ समतल $x + y + z = 5$ पर स्थित है,इसलिए $(\lambda+1) + (\lambda-1) + (\lambda-1) = 5$,जिससे $3\lambda - 1 = 5$ प्राप्त होता है,अतः $3\lambda = 6$ और $\lambda = 2$.
इस प्रकार,$R = (2+1, 2-1, 2-1) = (3, 1, 1)$.
अंत में,$QR^{2} = (3-3)^{2} + (2-1)^{2} + (3-1)^{2} = 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2}) dy = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y^{2} dx - xy dy + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $y(y dx - x dy) + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.
$y(x^{2} + y^{2})$ से भाग देने पर: $\frac{y dx - x dy}{x^{2} + y^{2}} + \frac{dy}{y} = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर: $\frac{x dy - y dx}{x^{2} + y^{2}} + \frac{dy}{y} = 0$.
अवकलज को पहचानने पर: $d(\tan^{-1}(\frac{y}{x})) + d(\ln y) = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln y = C$.
चूंकि वक्र $(1, 1)$ से गुजरता है: $\tan^{-1}(1) + \ln(1) = C \Rightarrow \frac{\pi}{4} + 0 = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4}$.
वक्र का समीकरण $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln y = \frac{\pi}{4}$ है।
यह $y = \sqrt{3}x$ को $(\alpha, \sqrt{3}\alpha)$ पर प्रतिच्छेद करता है,इसलिए $\frac{y}{x} = \sqrt{3}$ और $y = \sqrt{3}\alpha$.
समीकरण में मान रखने पर: $\tan^{-1}(\sqrt{3}) + \ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{3} + \ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4}$.
$\ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{12}$.

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}|=4$ और $|\vec{b}|=3$ है।
हमें $|(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b})|^{2} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}$।
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,और $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,इसलिए:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = 0 + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} - 0 = 2(\vec{a} \times \vec{b})$।
अब,$|2(\vec{a} \times \vec{b})|^{2} = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta$।
साथ ही,$4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = 4(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^{2} = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta$।
इन दोनों को जोड़ने पर:
$4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta + 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}$।
$|\vec{a}|=4$ और $|\vec{b}|=3$ का मान रखने पर:
$4 \times (4)^{2} \times (3)^{2} = 4 \times 16 \times 9 = 576$।

(C) दिया गया है $f(x) = \left[2\left(1 - \frac{x^{25}}{2}\right)\left(2 + x^{25}\right)\right]^{\frac{1}{50}}$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = \left[\left(2 - x^{25}\right)\left(2 + x^{25}\right)\right]^{\frac{1}{50}} = \left(4 - x^{50}\right)^{\frac{1}{50}}$.
अब,$f(f(x))$ की गणना करते हैं:
$f(f(x)) = \left(4 - (f(x))^{50}\right)^{\frac{1}{50}} = \left(4 - (4 - x^{50})\right)^{\frac{1}{50}} = (x^{50})^{\frac{1}{50}} = x$.
चूंकि $f(f(x)) = x$,इसलिए $f(f(f(x))) = f(x)$ होगा।
दिया गया है $g(x) = f(f(f(x))) + f(f(x))$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$g(x) = f(x) + x$.
$x = 1$ के लिए:
$g(1) = f(1) + 1 = (4 - 1^{50})^{\frac{1}{50}} + 1 = 3^{\frac{1}{50}} + 1$.
चूंकि $1 < 3^{\frac{1}{50}} < 2$ (क्योंकि $1^{50} < 3 < 2^{50}$),इसलिए $1 < 3^{\frac{1}{50}} + 1 < 2$ है।
अतः,$g(1)$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $\lfloor 3^{\frac{1}{50}} + 1 \rfloor = 2$ है।

(C) सबसे पहले,हम रेखाओं $L_{1}$ और $L_{2}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $S$ ज्ञात करते हैं।
$L_{1}$ के लिए,कोई भी बिंदु $(\lambda, 2\lambda, 3\lambda)$ है।
$L_{2}$ के लिए,कोई भी बिंदु $(1+\mu, 3+\mu, 1+5\mu)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\lambda = 1+\mu$,$2\lambda = 3+\mu$,$3\lambda = 1+5\mu$.
पहले दो समीकरणों से: $\lambda - \mu = 1$ और $2\lambda - \mu = 3$. घटाने पर $\lambda = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\mu = 1$.
तीसरे समीकरण में जाँच करने पर: $3(2) = 6$ और $1+5(1) = 6$. अतः,$S = (2, 4, 6)$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,रेखाओं $L_{1}$ और $L_{2}$ के दिशा सदिशों $\vec{v}_{1} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ और $\vec{v}_{2} = \langle 1, 1, 5 \rangle$ के क्रॉस गुणनफल के समानांतर है।
$\vec{n} = \vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-3) - \hat{j}(5-3) + \hat{k}(1-2) = 7\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
समतल का समीकरण $7(x-2) - 2(y-4) - 1(z-6) = 0$ है।
$7x - 14 - 2y + 8 - z + 6 = 0 \Rightarrow 7x - 2y - z = 0$.
$ax + by - z + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=7, b=-2, d=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b + d = 7 - 2 + 0 = 5$.

(B) मान लीजिए $1$ की संख्या $x$,$-1$ की संख्या $y$ और $0$ की संख्या $z$ है। चूंकि आव्यूह $3 \times 3$ है,इसलिए $x + y + z = 9$.
अवयवों का योग $1(x) + (-1)(y) + 0(z) = 5$ है,जो $x - y = 5$ अर्थात $x = y + 5$ देता है।
पहले समीकरण में $x$ का मान रखने पर: $(y + 5) + y + z = 9 \implies 2y + z = 4$.
यहाँ $(x, y, z)$ के लिए संभावित हल:
स्थिति-$I$: यदि $y = 0$,तो $z = 4$ और $x = 5$. आव्यूहों की संख्या $= \frac{9!}{5!0!4!} = 126$.
स्थिति-$II$: यदि $y = 1$,तो $z = 2$ और $x = 6$. आव्यूहों की संख्या $= \frac{9!}{6!1!2!} = 252$.
स्थिति-$III$: यदि $y = 2$,तो $z = 0$ और $x = 7$. आव्यूहों की संख्या $= \frac{9!}{7!2!0!} = 36$.
कुल आव्यूहों की संख्या $= 126 + 252 + 36 = 414$.

(D) दिया गया है $f(x) = x - 1$ और $g(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$.
$f(g(x)) = g(x) - 1 = \frac{x^2}{x^2 - 1} - 1 = \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$.
मान लीजिए $h(x) = f(g(x)) = \frac{1}{x^2 - 1}$.
चूंकि $h(x) = h(-x)$,यह फलन एक सम फलन है,जिसका अर्थ है कि यह बहु-एक (many-one) फलन है।
परिसर ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{1}{x^2 - 1}$ लें।
तब $x^2 - 1 = \frac{1}{y} \Rightarrow x^2 = \frac{1}{y} + 1 = \frac{1 + y}{y}$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,$x^2 \geq 0$ होना चाहिए,इसलिए $\frac{1 + y}{y} \geq 0$.
यह असमिका $y \in (-\infty, -1] \cup (0, \infty)$ के लिए सत्य है।
चूंकि परिसर सह-प्रांत $(R)$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन अंतःक्षेपी (into) है।
अतः,$f \circ g$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(C) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
$\alpha(10 - 9) - 1(5 - 3) + 1(3 - 2) = 0$
$\alpha(1) - 2 + 1 = 0 \Rightarrow \alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
अब,$\alpha = 1$ को निकाय में प्रतिस्थापित करें और $\Delta_x$ की गणना करें (या संवर्धित आव्यूह विधि का उपयोग करें)। अनंत हलों के लिए,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।
संवर्धित आव्यूह का उपयोग करते हुए:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 1 & 3 & 5 & | & \beta \end{bmatrix}$
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 2 & 4 & | & \beta - 5 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - 2R_2$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & \beta - 5 - 2(-1) \end{bmatrix}$
अनंत हलों के लिए,अंतिम पंक्ति शून्य होनी चाहिए,इसलिए $\beta - 5 + 2 = 0 \Rightarrow \beta - 3 = 0 \Rightarrow \beta = 3$.
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (1, 3)$ है।

(B) हमें $f(x) = \min \{1, 1 + x \sin x \}$ दिया गया है।
इसका अर्थ है कि $f(x) = 1$ जब $1 + x \sin x \geq 1$,अर्थात $x \sin x \geq 0$,और $f(x) = 1 + x \sin x$ जब $x \sin x < 0$ हो।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$x \in [0, \pi]$ के लिए $x \sin x \geq 0$ और $x \in (\pi, 2\pi]$ के लिए $x \sin x < 0$ है।
अतः,$x \in [0, \pi]$ के लिए $f(x) = 1$ और $x \in (\pi, 2\pi]$ के लिए $f(x) = 1 + x \sin x$ है।
$x = \pi$ पर,$f(\pi) = 1$ है। बायाँ सीमा $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = 1$ और दायाँ सीमा $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = 1 + \pi \sin(\pi) = 1$ है।
चूँकि सीमाएँ समान हैं,$f(x)$ बिंदु $x = \pi$ पर सतत है,इसलिए $n = 0$ है।
अब,$x = \pi$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$x < \pi$ के लिए $f'(x) = 0$ है।
$x > \pi$ के लिए,$f'(x) = \sin x + x \cos x$ है। जैसे $x \to \pi^+$,$f'(x) \to \sin(\pi) + \pi \cos(\pi) = 0 + \pi(-1) = -\pi$ है।
चूँकि बायाँ अवकलज $(0)$ दाएँ अवकलज $(-\pi)$ के बराबर नहीं है,फलन $x = \pi$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$m = 1$ है।
क्रमित युग्म $(m, n) = (1, 0)$ है।

(B) घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(2x \cdot 4x + 4x \cdot 5x + 5x \cdot 2x) = 2(8x^2 + 20x^2 + 10x^2) = 2(38x^2) = 76x^2$ है।
एक बंद अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $3\pi r^2$ है।
दिया गया है कि $76x^2 + 3\pi r^2 = k$,इसलिए $r^2 = \frac{k - 76x^2}{3\pi}$।
कुल आयतन $V = 40x^3 + \frac{2}{3}\pi r^3$ है।
$r = \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{1/2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = 40x^3 + \frac{2}{3}\pi \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{3/2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने और $\frac{dV}{dx} = 0$ रखने पर:
$120x^2 + \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{3}{2} \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{1/2} \cdot \left(\frac{-152x}{3\pi}\right) = 0$।
$120x^2 = \frac{152x}{3} \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{1/2}$।
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $120x = \frac{152}{3} \cdot r$।
$\frac{x}{r} = \frac{152}{360} = \frac{19}{45}$।

(C) $y^{2}=8x$ और $y^{2}=16(3-x)$ परवलयों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y^{2}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$8x = 16(3-x)$
$8x = 48 - 16x$
$24x = 48$
$x = 2$
$x=2$ को $y^{2}=8x$ में रखने पर,हमें $y^{2}=16$ प्राप्त होता है,अतः $y = \pm 4$.
यह क्षेत्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल को $y$ के सापेक्ष $-4$ से $4$ तक समाकलित करके ज्ञात किया जा सकता है:
$\text{Area} = \int_{-4}^{4} (x_{R} - x_{L}) dy$
$y^{2}=8x$ से,$x_{L} = \frac{y^{2}}{8}$.
$y^{2}=16(3-x)$ से,$x_{R} = 3 - \frac{y^{2}}{16}$.
$\text{Area} = \int_{-4}^{4} \left(3 - \frac{y^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{8}\right) dy = 2 \int_{0}^{4} \left(3 - \frac{3y^{2}}{16}\right) dy$
$= 2 \left[ 3y - \frac{3y^{3}}{16 \times 3} \right]_{0}^{4} = 2 \left[ 3y - \frac{y^{3}}{16} \right]_{0}^{4}$
$= 2 \left( 3(4) - \frac{4^{3}}{16} \right) = 2 (12 - 4) = 2(8) = 16$.

(A) माना $I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$. $x = \cos 2\theta$ रखने पर,$dx = -2 \sin 2\theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \frac{1}{\cos 2\theta} \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} (-2 \sin 2\theta) d\theta = \int \frac{1}{\cos 2\theta} \tan \theta (-4 \sin \theta \cos \theta) d\theta$.
$I = \int \frac{-4 \sin^2 \theta}{\cos 2\theta} d\theta = -2 \int \frac{1-\cos 2\theta}{\cos 2\theta} d\theta = -2 \int (\sec 2\theta - 1) d\theta$.
$I = -2 \left( \frac{1}{2} \ln |\sec 2\theta + \tan 2\theta| - \theta \right) + c = -\ln |\sec 2\theta + \tan 2\theta| + 2\theta + c$.
चूँकि $\cos 2\theta = x$,$\tan 2\theta = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ और $\sec 2\theta = \frac{1}{x}$ है,इसलिए $g(x) = -\ln \left| \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} \right| + \cos^{-1} x + c$.
$g(1) = 0$ का उपयोग करने पर,$c = 0$ प्राप्त होता है। अतः $g(x) = \ln \left| \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} \right| + \cos^{-1} x = \ln \left| \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x} \right| + \cos^{-1} x$.
$x = 1/2$ के लिए,$g(1/2) = \ln |2 - \sqrt{3}| + \cos^{-1}(1/2) = \ln \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \right) + \frac{\pi}{3}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}$.
$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=e^{x}$.
यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{2}{x}$ और $Q(x)=e^{x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln |x|} = x^{2}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot x^{2} = \int e^{x} \cdot x^{2} dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int x^{2} e^{x} dx = x^{2} e^{x} - \int 2x e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2(x e^{x} - e^{x}) + C = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C$.
अतः,$y x^{2} = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C$.
चूँकि $y(1)=0$ दिया गया है,हमारे पास $0 = e^{1}(1-2+2) + C$ है,जिससे $C = -e$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$y x^{2} = e^{x}(x^{2}-2x+2) - e$.
अब,$z(x) = x^{2} y(x) - e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+2) - e - e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+1) - e = e^{x}(x-1)^{2} - e$.
स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $z'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$z'(x) = e^{x}(x-1)^{2} + e^{x} \cdot 2(x-1) = e^{x}(x-1)(x-1+2) = e^{x}(x-1)(x+1) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x=1$ और $x=-1$ हैं।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए,$x < -1$ के लिए $z'(x) > 0$,$-1 < x < 1$ के लिए $z'(x) < 0$,और $x > 1$ के लिए $z'(x) > 0$ है।
अतः,$x=-1$ स्थानीय अधिकतम का बिंदु है।
स्थानीय अधिकतम मान $z(-1) = e^{-1}(-1-1)^{2} - e = e^{-1}(4) - e = \frac{4}{e} - e$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = e^x(x^2 - 2)$ और $Q(x) = (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x}$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx} = e^{\int e^x(x^2 - 2) dx}$.
ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(e^x(x^2 - 2x)) = e^x(x^2 - 2x) + e^x(2x - 2) = e^x(x^2 - 2)$ है।
अतः,$\text{I.F.} = e^{e^x(x^2 - 2x)}$.
व्यापक हल $y \cdot \text{I.F.} = \int Q(x) \cdot \text{I.F.} dx$ है।
$y \cdot e^{e^x(x^2 - 2x)} = \int (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x} \cdot e^{e^x(x^2 - 2x)} dx$.
माना $t = e^x(x^2 - 2x)$ है। तब $dt = e^x(x^2 - 2x + 2x - 2) dx = e^x(x^2 - 2) dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$y \cdot e^t = \int t e^t dt = t e^t - e^t + C$.
दिया गया है कि $y(0) = 0$,इसलिए $x = 0$ पर $t = e^0(0^2 - 0) = 0$ है।
$0 \cdot e^0 = 0 \cdot e^0 - e^0 + C \implies 0 = -1 + C \implies C = 1$.
अतः,$y \cdot e^t = t e^t - e^t + 1$.
$x = 2$ पर,$t = e^2(2^2 - 2(2)) = 0$ है।
$y(2) \cdot e^0 = 0 \cdot e^0 - e^0 + 1 \implies y(2) = -1 + 1 = 0$.

(C) समतलों $P_1: 2x + y - 5z = 0$ और $P_2: 3x - y + 4z - 7 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x + y - 5z) + \lambda(3x - y + 4z - 7) = 0$
$(2 + 3\lambda)x + (1 - \lambda)y + (-5 + 4\lambda)z - 7\lambda = 0$ --- (समीकरण $1$)
चूंकि समतल को मूल समतल $2x + y - 5z = 0$ से $\frac{\pi}{2}$ के कोण पर घुमाया गया है,इसलिए इन दो समतलों के अभिलंब सदिश परस्पर लंब होने चाहिए।
मूल समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2, 1, -5)$ है।
नए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (2 + 3\lambda, 1 - \lambda, -5 + 4\lambda)$ है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ होने के कारण:
$2(2 + 3\lambda) + 1(1 - \lambda) - 5(-5 + 4\lambda) = 0$
$4 + 6\lambda + 1 - \lambda + 25 - 20\lambda = 0$
$30 - 15\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$(2 + 3(2))x + (1 - 2)y + (-5 + 4(2))z - 7(2) = 0$
$8x - y + 3z - 14 = 0$.
यह समतल बिंदु $(1, 0, 2)$ से होकर गुजरता है क्योंकि $8(1) - 0 + 3(2) = 8 + 6 = 14$।

(B) रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(3\hat{j} - \hat{k})$ और $L_2: \overrightarrow{r} = (\alpha\hat{i} - \hat{j}) + \mu(2\hat{i} - 3\hat{k})$ हैं।
चूँकि रेखाएँ समतलीय हैं,रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} \alpha - 1 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $(\alpha - 1)(-9) - 0 + (-1)(0 - 6) = 0$
$-9\alpha + 9 + 6 = 0 \Rightarrow 9\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = \frac{5}{3}$.
समतल का अभिलंब सदिश $\overrightarrow{n} = (3\hat{j} - \hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = -9\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}$.
बिंदु $(1, -1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $-9(x - 1) + 2(y + 1) - 6(z - 1) = 0$ है,जो $9x - 2y + 6z - 17 = 0$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $(\frac{5}{3}, 0, 0)$ से समतल $9x - 2y + 6z - 17 = 0$ की दूरी $d = \frac{|9(\frac{5}{3}) - 2(0) + 6(0) - 17|}{\sqrt{9^2 + (-2)^2 + 6^2}} = \frac{|15 - 17|}{\sqrt{81 + 4 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{121}} = \frac{2}{11}$.

(D) चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,हम लिख सकते हैं $\vec{v} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$.
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{v} = \lambda(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) + \mu(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = (\lambda+2\mu)\hat{i} + (\lambda-3\mu)\hat{j} + (2\lambda+\mu)\hat{k}$.
दिया गया है कि $\vec{v} \cdot \hat{j} = 7$,इसलिए $\lambda - 3\mu = 7$ (समीकरण $1$).
$\vec{v}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
यहाँ $|\vec{c}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{3}$,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{c} = 2$.
$\vec{v} \cdot \vec{c} = (\lambda+2\mu)(1) + (\lambda-3\mu)(-1) + (2\lambda+\mu)(1) = \lambda+2\mu - \lambda+3\mu + 2\lambda+\mu = 2\lambda+6\mu = 2$,इसलिए $\lambda+3\mu = 1$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $(\lambda-3\mu) + (\lambda+3\mu) = 7+1 \implies 2\lambda = 8 \implies \lambda = 4$.
समीकरण $2$ में $\lambda=4$ रखने पर: $4+3\mu = 1 \implies 3\mu = -3 \implies \mu = -1$.
अतः,$\vec{v} = 4(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - 1(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = 2\hat{i}+7\hat{j}+7\hat{k}$.
अंत में,$\vec{v} \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = (2\hat{i}+7\hat{j}+7\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = 2(1) + 7(0) + 7(1) = 9$.

(C) माना $\tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) = \theta$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \frac{4}{3}$।
एक समकोण त्रिभुज में जिसकी सम्मुख भुजा $4$ और आसन्न भुजा $3$ है,कर्ण $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ होगा।
अतः,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ और $\sin \theta = \frac{4}{5}$ होगा।
माना दिया गया व्यंजक $E = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{10} \cos \theta + \frac{2}{5} \sin \theta\right)$ है।
$\cos \theta$ और $\sin \theta$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{10} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \times \frac{4}{5}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{9}{50} + \frac{8}{25}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{9}{50} + \frac{16}{50}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{25}{50}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
चूँकि $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{3}$ है,इसलिए अंतिम उत्तर $\frac{\pi}{3}$ है।

(C) दिया गया है $f(x+y)=2^{x} f(y)+4^{y} f(x)$.
$y=2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x+2)=2^{x} f(2)+4^{2} f(x) = 3 \cdot 2^{x} + 16 f(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x+2) = 3 \cdot 2^{x} \ln 2 + 16 f^{\prime}(x)$.
$x=2$ के लिए,$f^{\prime}(4) = 3 \cdot 2^{2} \ln 2 + 16 f^{\prime}(2) = 12 \ln 2 + 16 f^{\prime}(2)$ ... $(i)$.
वैकल्पिक रूप से,मूल समीकरण में $x=2$ रखने पर,$f(2+y)=2^{2} f(y)+4^{y} f(2) = 4 f(y) + 3 \cdot 4^{y}$.
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(2+y) = 4 f^{\prime}(y) + 3 \cdot 4^{y} \ln 4 = 4 f^{\prime}(y) + 6 \cdot 4^{y} \ln 2$.
$y=2$ के लिए,$f^{\prime}(4) = 4 f^{\prime}(2) + 6 \cdot 4^{2} \ln 2 = 4 f^{\prime}(2) + 96 \ln 2$ ... $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$12 \ln 2 + 16 f^{\prime}(2) = 4 f^{\prime}(2) + 96 \ln 2$.
$12 f^{\prime}(2) = 84 \ln 2 \implies f^{\prime}(2) = 7 \ln 2$.
$(ii)$ में मान रखने पर,$f^{\prime}(4) = 4(7 \ln 2) + 96 \ln 2 = 28 \ln 2 + 96 \ln 2 = 124 \ln 2$.
अंत में,$14 \cdot \frac{f^{\prime}(4)}{f^{\prime}(2)} = 14 \cdot \frac{124 \ln 2}{7 \ln 2} = 2 \cdot 124 = 248$.

(A) दिया गया है $X = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,जिससे $X^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $X^{3} = O$ प्राप्त होता है।
अतः $Y = \alpha I + \beta X + \gamma X^{2} = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $Y \cdot Y^{-1} = I$ है,इसलिए:
$\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर:
$1$. $\frac{\alpha}{5} = 1 \Rightarrow \alpha = 5$।
$2$. $-\frac{2\alpha}{5} + \frac{\beta}{5} = 0 \Rightarrow -2(5) + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 10$।
$3$. $\frac{\alpha}{5} - \frac{2\beta}{5} + \frac{\gamma}{5} = 0 \Rightarrow 5 - 2(10) + \gamma = 0 \Rightarrow 5 - 20 + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 15$।
अंत में,$(\alpha - \beta + \gamma)^{2} = (5 - 10 + 15)^{2} = (10)^{2} = 100$।

(D) माना $I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(2-x^{2})}{(x^{2}+2) \sqrt{4+x^{4}}} dx$.
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(\frac{2}{x^{2}}-1)}{(1+\frac{2}{x^{2}}) \sqrt{\frac{4}{x^{2}}+x^{2}}} dx$.
ध्यान दें कि $\sqrt{4+x^{4}} = x \sqrt{x^{2}+\frac{4}{x^{2}}}$.
$I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(\frac{2}{x^{2}}-1)}{(x+\frac{2}{x}) \sqrt{(x+\frac{2}{x})^{2}-4}} dx$.
माना $t = x+\frac{2}{x}$,तब $dt = (1-\frac{2}{x^{2}}) dx$.
जब $x \to 0^{+}$,तब $t \to \infty$. जब $x \to \sqrt{2}$,तब $t \to \sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
$I = -\frac{24}{\pi} \int_{\infty}^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-4}} = \frac{24}{\pi} \int_{2\sqrt{2}}^{\infty} \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-4}}$.
सूत्र $\int \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-a^{2}}} = \frac{1}{a} \sec^{-1}(\frac{t}{a})$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{24}{\pi} [\frac{1}{2} \sec^{-1}(\frac{t}{2})]_{2\sqrt{2}}^{\infty} = \frac{12}{\pi} [\sec^{-1}(\infty) - \sec^{-1}(\sqrt{2})]$.
$I = \frac{12}{\pi} [\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}] = \frac{12}{\pi} \times \frac{\pi}{4} = 3$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
$f^2(x) = f(f(x)) = \frac{\frac{x-1}{x+1} - 1}{\frac{x-1}{x+1} + 1} = \frac{x-1-x-1}{x-1+x+1} = \frac{-2}{2x} = -\frac{1}{x}$.
$f^3(x) = f(f^2(x)) = f(-\frac{1}{x}) = \frac{-\frac{1}{x} - 1}{-\frac{1}{x} + 1} = \frac{-1-x}{-1+x} = \frac{x+1}{1-x}$.
$f^4(x) = f(f^3(x)) = f(\frac{x+1}{1-x}) = \frac{\frac{x+1}{1-x} - 1}{\frac{x+1}{1-x} + 1} = \frac{x+1-1+x}{x+1+1-x} = \frac{2x}{2} = x$.
चूंकि $f^4(x) = x$,फलन $4$ के आवर्तकाल के साथ आवर्ती है।
$f^6(6) = f^2(6) = -\frac{1}{6}$.
$f^7(7) = f^3(7) = \frac{7+1}{1-7} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$.
अतः,$f^6(6) + f^7(7) = -\frac{1}{6} - \frac{4}{3} = \frac{-1-8}{6} = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$.

(C) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $|A| = \Delta$ है।
गुणधर्म $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$,हमें $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $|\operatorname{adj}(24A)| = |\operatorname{adj}(3 \operatorname{adj}(2A))|$ है।
$|24A|^2 = |3 \operatorname{adj}(2A)|^2$ है।
चूंकि $|kA| = k^n|A|$ होता है,इसलिए $|24A| = 24^3|A|$ है।
अतः,$(24^3|A|)^2 = (3^3 |\operatorname{adj}(2A)|)^2$ है।
$(24^3|A|)^2 = (27 |2A|^2)^2$ है।
चूंकि $|2A| = 2^3|A| = 8|A|$ है,इसलिए $|\operatorname{adj}(2A)| = (8|A|)^2 = 64|A|^2$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $(24^3|A|)^2 = (27 \times 64|A|^2)^2$ है।
$(24^3|A|)^2 = (1728|A|^2)^2$ है।
चूंकि $24^3 = 13824$ है,इसलिए $(13824|A|)^2 = (1728|A|^2)^2$ है।
$13824|A| = 1728|A|^2$ ($|A| \neq 0$ मानते हुए)।
$|A| = \frac{13824}{1728} = 8$ है।
हमें $|A^2| = |A|^2 = 8^2 = 64 = 2^6$ ज्ञात करना है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर नियम के सारणिकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 5 & -8 & 9 \\ 2 & 1 & a \end{vmatrix} = 3(-8a - 9) + 2(5a - 18) + 1(5 - (-16))$
$\Delta = -24a - 27 + 10a - 36 + 21 = -14a - 42$
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $-14a = 42$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -3$.
अब,$a = -3$ रखकर निकाय की संगति की जाँच करने पर,कोई हल न होने के लिए $b = -\frac{1}{3}$ होना आवश्यक है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x+3 & x < -3 \\ -(x+3) & -3 \leq x < 0 \\ e^x & x \geq 0 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x^2 + k_1 x & x < 0 \\ 4x + k_2 & x \geq 0 \end{cases}$.
$(g \circ f)(x)$ के लिए,हम संयोजन का विश्लेषण करते हैं:
यदि $x < -3$,$f(x) = x+3 < 0$,तो $(g \circ f)(x) = (x+3)^2 + k_1(x+3)$.
यदि $-3 \leq x < 0$,$f(x) = -(x+3) < 0$,तो $(g \circ f)(x) = (-(x+3))^2 + k_1(-(x+3)) = (x+3)^2 - k_1(x+3)$.
यदि $x \geq 0$,$f(x) = e^x > 0$,तो $(g \circ f)(x) = 4e^x + k_2$.
$x=0$ पर अवकलनीयता के लिए,इसे $x=0$ पर सतत होना चाहिए:
बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 0^-} (g \circ f)(x) = (0+3)^2 - k_1(0+3) = 9 - 3k_1$.
दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 0^+} (g \circ f)(x) = 4e^0 + k_2 = 4 + k_2$.
अतः,$9 - 3k_1 = 4 + k_2 \implies 3k_1 + k_2 = 5$.
$x=0$ पर अवकलज:
बायाँ अवकलज: $\frac{d}{dx} [(x+3)^2 - k_1(x+3)]_{x=0} = 2(0+3) - k_1 = 6 - k_1$.
दायाँ अवकलज: $\frac{d}{dx} [4e^x + k_2]_{x=0} = 4e^0 = 4$.
उन्हें बराबर करने पर: $6 - k_1 = 4 \implies k_1 = 2$.
$k_1=2$ को $3k_1 + k_2 = 5$ में रखने पर,हमें $6 + k_2 = 5 \implies k_2 = -1$ प्राप्त होता है।
अब,$(g \circ f)(-4) = (-4+3)^2 + 2(-4+3) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
$(g \circ f)(4) = 4e^4 + k_2 = 4e^4 - 1$.
योग: $(g \circ f)(-4) + (g \circ f)(4) = -1 + 4e^4 - 1 = 4e^4 - 2 = 2(2e^4 - 1)$.

(A) सबसे पहले,हम मापांक के अंदर के व्यंजक का विश्लेषण करते हैं: $g(x) = -x^2 + 3x + 2$. $g(x) = 0$ के मूल $x = \frac{3 \mp \sqrt{17}}{2}$ हैं।
अंतराल $[-1, 2]$ में,$f(x) = -x^2 + 2x + 2$ जब $x \in [\frac{3-\sqrt{17}}{2}, 2]$ और $f(x) = x^2 - 4x - 2$ जब $x \in [-1, \frac{3-\sqrt{17}}{2}]$ है।
अंतिम बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं पर मान:
$f(-1) = 3$,$f(2) = 2$,$f(1) = 3$,और $f(\frac{3-\sqrt{17}}{2}) = \frac{\sqrt{17}-3}{2}$ है।
निरपेक्ष अधिकतम मान $= 3$ और निरपेक्ष न्यूनतम मान $= \frac{\sqrt{17}-3}{2}$ है।
योग $= 3 + \frac{\sqrt{17}-3}{2} = \frac{\sqrt{17}+3}{2}$।

(D) वक्र का समीकरण दिया गया है: $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$n \left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n \left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \frac{dy}{dx} = 0$।
बिंदु $(a, b)$ पर,$\frac{x}{a} = 1$ और $\frac{y}{b} = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \frac{dy}{dx} = 0$।
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ है।
$y - b = -\frac{b}{a}x + b \implies \frac{b}{a}x + y = 2b$।
$b$ से भाग देने पर: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$।
यह समीकरण $n$ से स्वतंत्र है और सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
अतः,$S = N$।

(C) वक्र $y = |x^{2}-9|$ है। $y = |x^{2}-9|$ और $y = 3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $|x^{2}-9| = 3$ को हल करके प्राप्त होते हैं।
इससे $x^{2}-9 = 3 \implies x^{2} = 12 \implies x = \pm 2\sqrt{3}$ और $x^{2}-9 = -3 \implies x^{2} = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
$y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,क्षेत्रफल $2 \times \int_{0}^{2\sqrt{3}} (3 - |x^{2}-9|) dx$ है।
अंतराल $[0, \sqrt{6}]$ में,$x^{2}-9 \le 0$,इसलिए $|x^{2}-9| = 9-x^{2}$ है।
अंतराल $[\sqrt{6}, 2\sqrt{3}]$ में,$x^{2}-9 \ge 0$,इसलिए $|x^{2}-9| = x^{2}-9$ है।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{0}^{\sqrt{6}} (3 - (9-x^{2})) dx + \int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} (3 - (x^{2}-9)) dx \right]$
$= 2 \left[ \int_{0}^{\sqrt{6}} (x^{2}-6) dx + \int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} (12-x^{2}) dx \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{x^{3}}{3} - 6x \right)_{0}^{\sqrt{6}} + \left( 12x - \frac{x^{3}}{3} \right)_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} \right]$
$= 2 \left[ (\frac{6\sqrt{6}}{3} - 6\sqrt{6}) + (24\sqrt{3} - \frac{24\sqrt{3}}{3}) - (12\sqrt{6} - \frac{6\sqrt{6}}{3}) \right]$
$= 2 \left[ -4\sqrt{6} + 16\sqrt{3} - 10\sqrt{6} \right] = 32\sqrt{3} - 28\sqrt{6}$.

(B) रेखा $l_{1}$ को $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दिशा सदिश $\vec{v_{1}} = (3, -2, 0)$ है।
रेखा $l_{2}$ को $\frac{x-1}{1}=\frac{y+3/2}{\alpha/2}=\frac{z+5}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दिशा सदिश $\vec{v_{2}} = (1, \alpha/2, 2)$ है।
चूंकि $l_{1} \perp l_{2}$,उनका डॉट गुणनफल शून्य है: $(3)(1) + (-2)(\alpha/2) + (0)(2) = 0$.
$3 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 3$.
रेखा $l_{3}$ को $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-1/2}{-2}=\frac{z-0}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दिशा सदिश $\vec{v_{3}} = (-3, -2, 4)$ है।
$\alpha = 3$ के लिए,$l_{2}$ का दिशा सदिश $\vec{v_{2}} = (1, 3/2, 2)$ है।
$l_{2}$ और $l_{3}$ के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\vec{v_{2}} \cdot \vec{v_{3}}|}{||\vec{v_{2}}|| ||\vec{v_{3}}||}$ सूत्र का उपयोग करते हुए.
$\vec{v_{2}} \cdot \vec{v_{3}} = (1)(-3) + (3/2)(-2) + (2)(4) = -3 - 3 + 8 = 2$.
$||\vec{v_{2}}|| = \sqrt{1^{2} + (3/2)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 9/4 + 4} = \sqrt{29/4} = \frac{\sqrt{29}}{2}$.
$||\vec{v_{3}}|| = \sqrt{(-3)^{2} + (-2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.
$\cos \theta = \frac{2}{(\sqrt{29}/2) \times \sqrt{29}} = \frac{2}{29/2} = \frac{4}{29}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{29}\right) = \sec^{-1}\left(\frac{29}{4}\right)$.

(A) समतल $2x + 3y + z + 20 = 0$ और $x - 3y + 5z - 8 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x + 3y + z + 20) + \lambda(x - 3y + 5z - 8) = 0$ है,जो $(2 + \lambda)x + (3 - 3\lambda)y + (1 + 5\lambda)z + (20 - 8\lambda) = 0$ के रूप में सरल होता है।
चूंकि समतल को समकोण पर घुमाया गया है,नया समतल मूल समतल $2x + 3y + z + 20 = 0$ के लंबवत है। अतः,उनके अभिलंबों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2 + \lambda) + 3(3 - 3\lambda) + 1(1 + 5\lambda) = 0$
$4 + 2\lambda + 9 - 9\lambda + 1 + 5\lambda = 0$
$14 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 7$.
$\lambda = 7$ रखने पर,हमें नया समतल $x - 2y + 4z - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $A(2, -1/2, 2)$ का समतल $x - 2y + 4z - 4 = 0$ में दर्पण प्रतिबिंब $B(a, b, c)$ निकालने के लिए सूत्र: $\frac{a - 2}{1} = \frac{b + 1/2}{-2} = \frac{c - 2}{4} = -2 \frac{2 - 2(-1/2) + 4(2) - 4}{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = -2/3$.
अतः $a = 4/3, b = 5/6, c = -2/3$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$B = (8/6, 5/6, -4/6)$ होने के कारण $\frac{a}{8} = \frac{b}{5} = \frac{c}{-4}$ सही है।

(B) वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट के सूत्र $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए:
$1. \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
$2. \overrightarrow{b} \times (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{c} - (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}$
$3. \overrightarrow{c} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}$
अब,स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $[3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}, \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}, 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}] = (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [(\overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}) \times (3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a})]$ की गणना करते हैं:
$= (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a})]$
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,यह सरल होकर निम्न हो जाता है:
$= (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})]$
$= 3\overrightarrow{b} \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})] - \overrightarrow{c} \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})]$
$= 3\overrightarrow{b} \cdot (-2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})) - \overrightarrow{c} \cdot (3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}))$
$= -6[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] - 18[\overrightarrow{b} \overrightarrow{a} \overrightarrow{b}] - 3[\overrightarrow{c} \overrightarrow{c} \overrightarrow{b}] + 2[\overrightarrow{c} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$
चूंकि समान वेक्टर वाले स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $0$ होते हैं,हमें $-6[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$ प्राप्त होता है।
अतः,मान $-6 \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ है।

(D) मान लीजिए $P(H) = x$ और $P(T) = 1 - x$.
दिया गया है $P(4H, 1T) = P(5H)$.
द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग करते हुए,${}^{5}C_{4} x^{4}(1-x)^{1} = {}^{5}C_{5} x^{5}$.
$5(1-x) = x$.
$5 - 5x = x \implies 6x = 5 \implies x = \frac{5}{6}$.
अतः,$P(H) = \frac{5}{6}$ और $P(T) = \frac{1}{6}$.
हमें $P(\text{अधिकतम } 2H) = P(0H) + P(1H) + P(2H)$ ज्ञात करना है।
$P(0H) = {}^{5}C_{0} (\frac{5}{6})^{0} (\frac{1}{6})^{5} = \frac{1}{6^{5}}$.
$P(1H) = {}^{5}C_{1} (\frac{5}{6})^{1} (\frac{1}{6})^{4} = 5 \times \frac{5}{6^{5}} = \frac{25}{6^{5}}$.
$P(2H) = {}^{5}C_{2} (\frac{5}{6})^{2} (\frac{1}{6})^{3} = 10 \times \frac{25}{6^{5}} = \frac{250}{6^{5}}$.
योग करने पर,$P(\text{अधिकतम } 2H) = \frac{1 + 25 + 250}{6^{5}} = \frac{276}{6^{5}}$.
सरल करने पर,$\frac{276}{6^{5}} = \frac{46 \times 6}{6^{5}} = \frac{46}{6^{4}}$.

(B) दिया गया है $f(x) = 2 \cos^{-1} x + 4 \cot^{-1} x - 3x^2 - 2x + 10$,जहाँ $x \in [-1, 1]$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = -2 \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{2}{1+x^2} + 3x + 1 \right)$.
$x \in [-1, 1]$ के लिए,$f'(x) < 0$ है,अतः $f(x)$ एक ह्रासमान (decreasing) फलन है।
अंत बिंदुओं पर मान:
$f(1) = 2(0) + 4(\frac{\pi}{4}) - 3 - 2 + 10 = \pi + 5$.
$f(-1) = 2(\pi) + 4(\frac{3\pi}{4}) - 3 + 2 + 10 = 5\pi + 9$.
यहाँ $a = \pi + 5$ और $b = 5\pi + 9$ है।
अतः,$4a - b = 4(\pi + 5) - (5\pi + 9) = 4\pi + 20 - 5\pi - 9 = 11 - \pi$.

(C) दिया गया है $f(x) = \max \{|x+1|, |x+2|, |x+3|, |x+4|, |x+5|\}$।
$x \in [-6, 0]$ के लिए,फलन $f(x)$ इन निरपेक्ष मान फलनों के ऊपरी आवरण द्वारा परिभाषित होता है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $f(x) = |x+5|$ जब $x \in [-6, -3]$ और $f(x) = |x+1|$ जब $x \in [-3, 0]$ है।
अतः,$\int_{-6}^{0} f(x) \, dx = \int_{-6}^{-3} |x+5| \, dx + \int_{-3}^{0} |x+1| \, dx$।
गणना करने पर: $\int_{-6}^{-3} -(x+5) \, dx + \int_{-3}^{0} (x+1) \, dx = -\left[\frac{x^2}{2} + 5x\right]_{-6}^{-3} + \left[\frac{x^2}{2} + x\right]_{-3}^{0} = -[(\frac{9}{2} - 15) - (18 - 30)] + [0 - (\frac{9}{2} - 3)] = -[-\frac{21}{2} + 12] - [\frac{3}{2} - 12] = -\frac{3}{2} + \frac{21}{2} = 9 + 12 = 21$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(4+x^{2}) dy = 2x(x^{2}+3y+4) dx$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} = 2x^{3} + 6xy + 8x$ प्राप्त होता है।
$(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} - 6xy = 2x(x^{2}+4)$.
$(x^{2}+4)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{6x}{x^{2}+4} y = 2x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{6x}{x^{2}+4}$ और $Q(x) = 2x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{6x}{x^{2}+4} dx} = e^{-3 \ln(x^{2}+4)} = (x^{2}+4)^{-3} = \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}}$ है।
हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y \cdot \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}} = \int \frac{2x}{(x^{2}+4)^{3}} dx$.
माना $t = x^{2}+4$,तो $dt = 2x dx$ है।
$y \cdot \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}} = \int t^{-3} dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x^{2}+4)^{2}} + C$.
चूंकि वक्र $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 = -\frac{1}{2(4)^{2}} + C \implies C = \frac{1}{32}$ है।
अतः,$y = -\frac{(x^{2}+4)^{3}}{2(x^{2}+4)^{2}} + \frac{(x^{2}+4)^{3}}{32} = -\frac{x^{2}+4}{2} + \frac{(x^{2}+4)^{3}}{32}$ है।
$x=2$ के लिए,$y(2) = -\frac{4+4}{2} + \frac{(4+4)^{3}}{32} = -4 + \frac{512}{32} = -4 + 16 = 8$ है।

(A) माना $I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} x^{2} \left(\frac{3 \pi}{2} - x\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} (\pi-x)^{2} \left(\frac{3 \pi}{2} - (\pi-x)\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$
$I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} (\pi-x)^{2} \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} [x^{2}(\frac{3\pi}{2}-x) + (\pi-x)^{2}(\frac{\pi}{2}+x)] dx$.
कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करने पर:
$x^{2}(\frac{3\pi}{2}-x) + (\pi^{2}-2\pi x+x^{2})(\frac{\pi}{2}+x) = \frac{3\pi x^{2}}{2} - x^{3} + \frac{\pi^{3}}{2} + \pi^{2}x - \pi^{2}x - 2\pi x^{2} + \frac{x^{2}\pi}{2} + x^{3} = \frac{\pi^{3}}{2}$.
अतः,$2I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} \cdot \frac{\pi^{3}}{2} dx = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$.
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x dx = dt$. जब $x=0, t=1$; जब $x=\pi, t=-1$.
$2I = \frac{24}{\pi} \int_{1}^{-1} \frac{-dt}{1+t^{2}} = \frac{24}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1+t^{2}} = \frac{24}{\pi} [\tan^{-1} t]_{-1}^{1} = \frac{24}{\pi} (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{24}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 12$.
इसलिए,$I = 6$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \sin 2x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = \int \frac{dx}{(\sin x + \cos x)^2} = \int \frac{\sec^2 x}{(1 + \tan x)^2} dx$.
मान लीजिए $u = 1 + \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$.
अतः,$y = \int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{1 + \tan x} + C$.
प्रतिबंध $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2} = -\frac{1}{1 + 1} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$.
इस प्रकार,$y(x) = 1 - \frac{1}{1 + \tan x} = \frac{\tan x}{1 + \tan x}$.
अब,$y(x)$ को $y = \sqrt{2} \sin x$ के साथ बराबर रखने पर: $\frac{\tan x}{1 + \tan x} = \sqrt{2} \sin x$.
$\frac{\sin x}{\cos x + \sin x} = \sqrt{2} \sin x$.
इससे $\sin x = 0$ (अतः $(0, 2\pi)$ में $x = \pi$) या $\frac{1}{\cos x + \sin x} = \sqrt{2} \Rightarrow \sin x + \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$.
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ या $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2n\pi$.
$x \in (0, 2\pi)$ के लिए,$x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6}$ या $x + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{6}$.
$x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$ और $x = \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{23\pi}{12}$.
भुजों का योग $= \pi + \frac{7\pi}{12} + \frac{23\pi}{12} = \frac{12\pi + 7\pi + 23\pi}{12} = \frac{42\pi}{12}$.
$\frac{k\pi}{12}$ के साथ तुलना करने पर,$k = 42$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a & -1 & 0 \\ ax & a & -1 \\ ax^2 & ax & a \end{array}\right|$.
सारणिक का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = a(a^2 + ax) + 1(a^2x + ax^2) + 0$
$f(x) = a^3 + a^2x + a^2x + ax^2 = a^3 + 2a^2x + ax^2 = a(a^2 + 2ax + x^2) = a(x + a)^2$.
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[a(x + a)^2] = 2a(x + a)$.
दी गई शर्त $2f'(10) - f'(5) + 100 = 0$ के अनुसार:
$2[2a(10 + a)] - [2a(5 + a)] + 100 = 0$
$4a(10 + a) - 2a(5 + a) + 100 = 0$
$40a + 4a^2 - 10a - 2a^2 + 100 = 0$
$2a^2 + 30a + 100 = 0$
$a^2 + 15a + 50 = 0$
$(a + 10)(a + 5) = 0$.
अतः,$a$ के मान $a = -10$ और $a = -5$ हैं।
इन मानों के वर्गों का योग $(-10)^2 + (-5)^2 = 100 + 25 = 125$ है।

(B) दिया गया है $a = \alpha - i \beta$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
समीकरण निकाय है:
$4ix + (1 + i)y = 0$
$8(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})x + \bar{a}y = 0$
चूंकि निकाय के एक से अधिक हल हैं,इसलिए गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 4i & 1 + i \\ 8e^{i2\pi/3} & \bar{a} \end{vmatrix} = 0$
$4i\bar{a} - (1 + i)8e^{i2\pi/3} = 0$
$4i(\alpha + i\beta) - 8(1 + i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$i\alpha - \beta + 1 + \sqrt{3} - i(\sqrt{3} - 1) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\beta = \sqrt{3} + 1$ और $\alpha = \sqrt{3} - 1$
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = 2 - \sqrt{3}$.