मान लीजिए P_{1} एक परवलय है जिसका शीर्ष (3,2) | vedclass

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Question

(A) परवलय $P_{1}$ का अक्ष शीर्ष $(3,2)$ और नाभि $(4,4)$ से होकर गुजरता है। अक्ष की ढाल $m = \frac{4-2}{4-3} = 2$ है।चूंकि अक्ष नियता के लंबवत है,इसलिए

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(A) परवलय $P_{1}$ का अक्ष शीर्ष $(3,2)$ और नाभि $(4,4)$ से होकर गुजरता है। अक्ष की ढाल $m = \frac{4-2}{4-3} = 2$ है।चूंकि अक्ष नियता के लंबवत है,इसलिए नियता की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।अतः,नियता का समीकरण $x + 2y = k$ के रूप का है।शीर्ष $(3,2)$ से नियता की दूरी,शीर्ष से नाभि की दूरी के बराबर होती है,जो $a = \sqrt{(4-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ है।बिंदु $(3,2)$ से रेखा $x + 2y - k = 0$ तक की दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर:$\frac{|3 + 2(2) - k|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \sqrt{5} \implies |7 - k| = 5$.इससे $7 - k = 5 \implies k = 2$ या $7 - k = -5 \implies k = 12$ प्राप्त होता है।चूंकि नाभि $(4,4)$ समीकरण $4 + 2(4) = 12$ को संतुष्ट करती है,इसलिए रेखा $x + 2y = 12$ नाभि से होकर गुजरती है और यह नियता नहीं हो सकती। अतः,$P_{1}$ की नियता $x + 2y = 2$ है।मान लीजिए परावर्तन की रेखा $L: x + 2y = 6$ है। रेखा $x + 2y = 2$ का $x + 2y = 6$ के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि रेखाएं समानांतर हैं।यदि रेखा $x + 2y = c$,रेखा $x + 2y = 2$ का $x + 2y = 6$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है,तो $6$,$2$ और $c$ का समांतर माध्य है:$\frac{2 + c}{2} = 6 \implies 2 + c = 12 \implies c = 10$.इसलिए,$P_{2}$ की नियता $x + 2y = 10$ है।

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