x 0 के लिए व्यंजक (5+x)^{500} + x(5+x)^{499 | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (5+x)^{500}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{5+x}$ और पदों की संख्या $n = 501$ है।गुणोत्तर श

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$^{501}C_{101}(5)^{399}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (5+x)^{500}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{5+x}$ और पदों की संख्या $n = 501$ है।गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर:$S = \frac{(5+x)^{500} \left[ 1 - \left( \frac{x}{5+x} ight)^{501} ight]}{1 - \frac{x}{5+x}} = \frac{(5+x)^{501} - x^{501}}{5}$हमें $\frac{1}{5} [(5+x)^{501} - x^{501}]$ में $x^{101}$ का गुणांक ज्ञात करना है।$(5+x)^{501}$ के विस्तार में $x^{101}$ वाला पद $^{501}C_{101} (5)^{400} x^{101}$ है।अतः,व्यंजक में $x^{101}$ का गुणांक $\frac{1}{5} 	imes ^{501}C_{101} (5)^{400} = ^{501}C_{101} (5)^{399}$ है।

$x > 0$ के लिए व्यंजक $(5+x)^{500} + x(5+x)^{499} + x^{2}(5+x)^{498} + \ldots + x^{500}$ में $x^{101}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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