यदि वक्र y=x^{3}+3x^{2}+5 पर बिंदु (x_{1}, y_ | vedclass

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Question

(D) दिया गया वक्र $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ है। माना स्पर्श बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ है। स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2} + 6x$ है। अतः,$(x_{1},

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$\frac{x}{3}-y^{2}=2$

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(D) दिया गया वक्र $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ है। माना स्पर्श बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ है। स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2} + 6x$ है। अतः,$(x_{1}, y_{1})$ पर ढाल $m = 3x_{1}^{2} + 6x_{1}$ है। स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_{1} = (3x_{1}^{2} + 6x_{1})(x - x_{1})$ है। चूंकि स्पर्शरेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए: $0 - y_{1} = (3x_{1}^{2} + 6x_{1})(0 - x_{1})$ $-y_{1} = -3x_{1}^{3} - 6x_{1}^{2} \implies y_{1} = 3x_{1}^{3} + 6x_{1}^{2} \quad (1)$. चूंकि $(x_{1}, y_{1})$ वक्र $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ पर स्थित है: $y_{1} = x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} + 5 \quad (2)$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर: $3x_{1}^{3} + 6x_{1}^{2} = x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} + 5$ $2x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} - 5 = 0$. यहाँ $x_{1} = 1$ एक हल है। अतः,$y_{1} = 3(1)^{3} + 6(1)^{2} = 9$. इस प्रकार,बिंदु $(1, 9)$ प्राप्त होता है। विकल्प $D$ के लिए: $\frac{1}{3} - (9)^{2} = \frac{1}{3} - 81 
eq 2$. इसलिए,$(1, 9)$ वक्र $\frac{x}{3} - y^{2} = 2$ पर स्थित नहीं है।

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