JEE Main 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2}R$ છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = R(1 + \frac{f}{2})$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{R(1 + f/2)}{(f/2)R} = \frac{1 + f/2}{f/2} = \frac{2}{f} + 1 = 1 + \frac{2}{f}$ થાય છે.

(A) વાહન ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર $a = g\sin \alpha$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
વાહનના ફ્રેમમાં,લોલકના ગોળા પર ઉપરની દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = ma = mg\sin \alpha$ લાગે છે.
અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $\vec{g}$ અને વાહનના પ્રવેગના વિરોધી સદિશ $-\vec{a}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ઘટકોને વિભાજિત કરતા,ઢળતા સમતલને લંબ $g$ નો ઘટક $g\cos \alpha$ છે અને ઢળતા સમતલને સમાંતર $g$ નો ઘટક $g\sin \alpha$ છે. સ્યુડો બળ $g\sin \alpha$ ઘટકને રદ કરે છે.
આમ,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g\cos \alpha$ થાય છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g\cos \alpha}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) કોઈપણ સમયે $t$ પર કાર $P$ નું સ્થાન $x_P(t) = at + bt^2$ છે.
કાર $P$ નો વેગ $v_P(t) = \frac{dx_P(t)}{dt} = a + 2bt$ છે ... $(i)$.
તે જ રીતે,કાર $Q$ માટે,સ્થાન $x_Q(t) = ft - t^2$ છે.
કાર $Q$ નો વેગ $v_Q(t) = \frac{dx_Q(t)}{dt} = f - 2t$ છે ... $(ii)$.
આપેલ છે કે બંને કારનો વેગ સમાન છે,તેથી $v_P(t) = v_Q(t)$.
તેથી,$a + 2bt = f - 2t$.
$t$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા: $2bt + 2t = f - a$.
$2t(b + 1) = f - a$.
આમ,$t = \frac{f - a}{2(1 + b)}$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,
$PV = nRT$
$V$ ને $T$ ના સંદર્ભમાં ગોઠવતા:
$V = \left( \frac{nR}{P} \right) T$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{V}{T} = \frac{nR}{P}$
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ દબાણ $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(m \propto \frac{1}{P})$.
આપેલ આકૃતિ પરથી,ખૂણો $\theta_2 > \theta_1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P_2$ માટેની રેખાનો ઢાળ $P_1$ માટેની રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે:
$(\text{Slope})_2 > (\text{Slope})_1$
ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,વધારે ઢાળ એ ઓછા દબાણને અનુરૂપ છે:
$P_2 < P_1$

(A) આદર્શ (કાર્નોટ) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
અહીં,$T_1$ એ સ્રોતનું તાપમાન (પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ) છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન (પાણીનું ઠારબિંદુ) છે.
પાણીનું ઠારબિંદુ,$T_2 = 0^{\circ}C = 273\,K$.
પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ,$T_1 = 100^{\circ}C = (100 + 273)\,K = 373\,K$.
આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{273}{373} = \frac{373 - 273}{373} = \frac{100}{373}$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે:
$\% \eta = \left( \frac{100}{373} \right) \times 100 \approx 26.8\%$.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ છે,જે હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે રહેલા બિંદુ $P$ માટે,સ્થાન સદિશ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_c$ એ $P$ થી ઉગમબિંદુ $O$ તરફ નિર્દેશિત છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_c = \frac{V^2}{R}$ છે.
આ સદિશના ઘટકો પાડતા:
$x$-ઘટક $a_x = -a_c \cos\theta = -\frac{V^2}{R} \cos\theta$ થાય.
$y$-ઘટક $a_y = -a_c \sin\theta = -\frac{V^2}{R} \sin\theta$ થાય.
આમ,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = -\frac{V^2}{R} \cos\theta \hat{i} - \frac{V^2}{R} \sin\theta \hat{j}$ મળે.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $d$ સાથે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ માં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(d < R)$:
$g = \frac{GM}{R^3} d$
અહીં $G, M,$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$g \propto d$ થાય છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. પૃથ્વીની સપાટી પર $(d = R)$:
$g = \frac{GM}{R^2} = g_s$ (મહત્તમ મૂલ્ય).
$3$. પૃથ્વીની બહાર $(d > R)$:
$g = \frac{GM}{d^2}$
અહીં,$g \propto \frac{1}{d^2}$ થાય છે. આ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
આમ,આલેખ કેન્દ્રથી સપાટી સુધી રેખીય વધારો અને સપાટી પછી અંતર વધતા હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) ગબડતા ગોળાની કુલ ગતિ ઉર્જા $(K_{total})$ એ તેની રેખીય ગતિ ઉર્જા $(K_{linear})$ અને ચાકગતિ ઉર્જા $(K_{rotational})$ નો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_{linear} + K_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમતોને ચાકગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{rotational} = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}mr^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$.
હવે,કુલ ગતિ ઉર્જાની ગણતરી કરતા:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left(\frac{5+2}{10}\right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{rotational}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:7$ છે.

(A) વેગ પ્રચલનનું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ને $N = N_0 e^{-\lambda t}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $\lambda t$ પરિમાણરહિત છે. તેથી,ક્ષય અચળાંકનું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે.
વેગ પ્રચલન અને ક્ષય અચળાંક બંને સમાન પરિમાણ $[T^{-1}]$ ધરાવતા હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ તેની ભ્રમણકક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $R$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
અહીં પ્રારંભિક અંતર $R$ છે અને પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T = 1 \text{ વર્ષ}$ છે.
જ્યારે નવું અંતર $R' = 3R$ થાય,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{T'}{T} = \left(\frac{R'}{R}\right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T'}{1} = \left(\frac{3R}{R}\right)^{3/2} = (3)^{3/2}$.
$T' = 3^{1} \cdot 3^{1/2} = 3\sqrt{3} \text{ વર્ષ}$.

(B) સમાન ઝડપ $v$ સાથેની શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક $mg \cos \theta$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો છે.
સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ,તણાવ $T_{top}$ એ $T_{top} + mg = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $T_{top} = \frac{mv^2}{r} - mg$.
સૌથી નીચલા બિંદુએ,તણાવ $T_{bottom}$ એ $T_{bottom} - mg = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $T_{bottom} = \frac{mv^2}{r} + mg$.
કારણ કે $T_{top} < T_{bottom}$,તેથી તણાવ વર્તુળાકાર માર્ગના સૌથી ઉચ્ચ સ્થાને ન્યૂનતમ હોય છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $Q_H = 5000 \, kcal$,$T_H = 727 + 273 = 1000 \, K$,$T_L = 127 + 273 = 400 \, K$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{400}{1000} = 1 - 0.4 = 0.6$.
થયેલ કાર્ય $W = \eta \times Q_H = 0.6 \times 5000 \, kcal = 3000 \, kcal$.
કારણ કે $1 \, kcal = 4184 \, J$,તેથી $W = 3000 \times 4184 \, J = 12,552,000 \, J$.
નજીકની કિંમત લેતા,$W \approx 12.6 \times 10^{6} \, J$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $V_{\max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે $V_{\max,1} = V_{\max,2}$,તેથી $\omega_1 A_1 = \omega_2 A_2$,જે સૂચવે છે કે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$.
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{k_2}{m_2}} \times \sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1} \times \frac{m_1}{m_2}}$.
અહીં $k_1 = 2k$,$k_2 = 9k$,$m_1 = 50\,g$,અને $m_2 = 100\,g$ છે.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{9k}{2k} \times \frac{50}{100}} = \sqrt{\frac{9}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

(C) સંતુલન સ્થિતિ ત્યાં મળે છે જ્યાં બળ $F = -\frac{dU}{dr} = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $U = A r^{-10} - B r^{-5}$.
$r$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dU}{dr} = -10 A r^{-11} + 5 B r^{-6}$.
સંતુલન માટે $\frac{dU}{dr} = 0$ લેતા:
$-10 A r^{-11} + 5 B r^{-6} = 0$.
$5 B r^{-6} = 10 A r^{-11}$.
$r^5 = \frac{10A}{5B} = \frac{2A}{B}$.
તેથી,સંતુલન અંતર $r = \left(\frac{2A}{B}\right)^{\frac{1}{5}}$ થશે.

(B) ઉપર જતી વખતે,ગુરુત્વાકર્ષણ અને હવાનો અવરોધ બંને નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે. કુલ પ્રતિરોધક બળ $F_{up} = mg + f = (5 \times 10) + 10 = 60 \, N$ છે. ઉપર જતી વખતે પ્રવેગ $a_{up} = F_{up} / m = 60 / 5 = 12 \, ms^{-2}$ છે.
નીચે આવતી વખતે,ગુરુત્વાકર્ષણ નીચેની તરફ અને હવાનો અવરોધ ઉપરની તરફ કાર્ય કરે છે. કુલ બળ $F_{down} = mg - f = (5 \times 10) - 10 = 40 \, N$ છે. નીચે આવતી વખતે પ્રવેગ $a_{down} = F_{down} / m = 40 / 5 = 8 \, ms^{-2}$ છે.
ધારો કે મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ છે. ઉપર જવા માટે,$h = \frac{1}{2} a_{up} t_1^2$,તેથી $h = \frac{1}{2} \times 12 \times t_1^2 = 6 t_1^2$.
નીચે આવવા માટે,$h = \frac{1}{2} a_{down} t_2^2$,તેથી $h = \frac{1}{2} \times 8 \times t_2^2 = 4 t_2^2$.
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $6 t_1^2 = 4 t_2^2$,જે આપે છે $\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
તેથી,ઉપર જવાનો સમય અને નીચે આવવાના સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ થશે.

(B) આપેલ છે કે ફ્લાયવ્હીલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
પ્રથમ સેકન્ડ $(t = 1 \, s)$ માટે,પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો $\theta_1 = 5 \, rad$ છે:
$5 = 0(1) + \frac{1}{2} \alpha (1)^2 \implies \alpha = 10 \, rad/s^2$.
હવે,પ્રથમ બે સેકન્ડ $(t = 2 \, s)$ માં કુલ પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો શોધીએ:
$\theta_2 = 0(2) + \frac{1}{2} (10) (2)^2 = 5 \times 4 = 20 \, rad$.
આગામી સેકન્ડમાં ($t = 1$ થી $t = 2$ સુધી) પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો એ $2 \, s$ માં કુલ ખૂણો અને $1 \, s$ માં ખૂણા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 = 20 - 5 = 15 \, rad$.

(C) હથોડાની ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times 1.5 \times (60)^2 = 0.75 \times 3600 = 2700 \, J$ છે.
રકમ મુજબ,આ ઉર્જાનો ચોથો ભાગ લોખંડની ખીલીને ગરમ કરવા માટે વપરાય છે.
ખીલી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = \frac{1}{4} \times 2700 = 675 \, J$.
શોષાયેલી ઉષ્મા માટેનું સૂત્ર $Q = mc\Delta T$ છે,જ્યાં $m = 100 \, g$,$c = 0.42 \, Jg^{-1} {}^{\circ}C^{-1}$,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં વધારો છે.
કિંમતો મૂકતા: $675 = 100 \times 0.42 \times \Delta T$.
$675 = 42 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{675}{42} \approx 16.07 \, ^{\circ}C$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$v_x = u \cos 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$
$v_y = u \sin 45^{\circ} - gt = \frac{u}{\sqrt{2}} - 10(2) = \frac{u}{\sqrt{2}} - 20$
આપેલ છે કે $t = 2 \, s$ પર પરિણામી વેગ $20 \, m/s$ છે,તેથી:
$v^2 = v_x^2 + v_y^2$
$20^2 = \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{u}{\sqrt{2}} - 20\right)^2$
$400 = \frac{u^2}{2} + \frac{u^2}{2} - 20\sqrt{2}u + 400$
$0 = u^2 - 20\sqrt{2}u$
$u \neq 0$ હોવાથી,આપણને $u = 20\sqrt{2} \, m/s$ મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નીચે મુજબ મળે છે:
$H = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{(20\sqrt{2})^2 \times (1/2)}{2 \times 10} = \frac{800 \times 0.5}{20} = \frac{400}{20} = 20 \, m$.

(D) સ્થિત તરંગનું સમીકરણ $y = A_{res} \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_{res}$ એ $x$ સ્થાન પર રહેલા કણનો કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ સમીકરણ $y = (10 \cos \pi x) \sin \frac{2 \pi t}{T}$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,કોઈપણ સ્થાન $x$ પર કંપવિસ્તાર $A(x) = |10 \cos \pi x|$ મળે છે.
$x = \frac{4}{3} \, cm$ આપેલ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$A = |10 \cos(\pi \cdot \frac{4}{3})|$
$A = |10 \cos(\frac{4 \pi}{3})|$
કારણ કે $\cos(\frac{4 \pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$,
$A = |10 \cdot (-0.5)| = |-5| = 5 \, cm$.
આમ,કંપવિસ્તાર $5 \, cm$ છે.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
આપેલ છે કે,$W = \frac{Q}{4}$.
તેથી,$\Delta U = \Delta Q - W = Q - \frac{Q}{4} = \frac{3Q}{4}$.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = n (\frac{3}{2}R) \Delta T$ છે.
તેથી,$n (\frac{3}{2}R) \Delta T = \frac{3Q}{4} \Rightarrow n \Delta T = \frac{Q}{2R}$.
મોલર ઉષ્માધારિતા $C$ ને $C = \frac{Q}{n \Delta T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$n \Delta T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $C = \frac{Q}{Q / (2R)} = 2R$ મળે છે.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,$t$ સમયે તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = \Delta T_{0} e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta T_{0}$ એ પ્રારંભિક તાપમાનનો તફાવત છે.
આલેખ પરથી,$t = 0$ સમયે,$\Delta T_{0} = 60^{\circ}C$ છે.
$t = 6 \text{ min}$ સમયે,$\Delta T = 40^{\circ}C$ છે. આ કિંમતો મૂકતા: $40 = 60 e^{-6\lambda} \Rightarrow e^{-6\lambda} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \Rightarrow 6\lambda = \ln(1.5)$.
$t = t_{2}$ સમયે,$\Delta T = 20^{\circ}C$ છે. આ કિંમતો મૂકતા: $20 = 60 e^{-t_{2}\lambda} \Rightarrow e^{-t_{2}\lambda} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \Rightarrow t_{2}\lambda = \ln(3)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{t_{2}\lambda}{6\lambda} = \frac{\ln(3)}{\ln(1.5)} \Rightarrow \frac{t_{2}}{6} = \frac{1.0986}{0.4055} \approx 2.709$.
તેથી,$t_{2} = 6 \times 2.709 \approx 16.25 \text{ min}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$t_{2} \approx 16 \text{ min}$.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$B = 3 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = -2\% = -0.02$ છે (ઋણ નિશાની કદમાં ઘટાડો સૂચવે છે).
દબાણના ફેરફાર $\Delta P$ માટેના સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\Delta P = -B \times \left(\frac{\Delta V}{V}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = -(3 \times 10^{10}) \times (-0.02)$.
$\Delta P = 3 \times 10^{10} \times 0.02 = 0.06 \times 10^{10} = 6 \times 10^{8} \ Nm^{-2}$.
આમ,જરૂરી દબાણ $6 \times 10^{8} \ Nm^{-2}$ છે.

(D) $1$. તરંગ સંખ્યા $(k = 1/\lambda)$ અને રિડબર્ગ અચળાંક $(R)$ બંનેના પરિમાણ $[L^{-1}]$ છે.
$2$. પ્રતિબળ અને સ્થિતિસ્થાપકતાનો ગુણાંક (યંગ મોડ્યુલસ,બલ્ક મોડ્યુલસ વગેરે) બંનેના પરિમાણ $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
$3$. કોર્સિવિટી $(H)$ અને મેગ્નેટાઇઝેશન $(M)$ બંનેના પરિમાણ $[A L^{-1}]$ છે.
$4$. વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(S)$ ના પરિમાણ $[L^2 T^{-2} K^{-1}]$ છે ($S = Q / (m \Delta T)$ પરથી),જ્યારે ગુપ્ત ઉષ્મા $(L)$ ના પરિમાણ $[L^2 T^{-2}]$ છે ($L = Q / m$ પરથી).
આમ,$[L^2 T^{-2} K^{-1}] \neq [L^2 T^{-2}]$ હોવાથી,અલગ પરિમાણ ધરાવતી જોડી વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા અને ગુપ્ત ઉષ્મા છે.

(D) સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{V^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2V^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય (જ્યાં ખૂણો શૂન્ય થાય છે) $t = \frac{V \sin\theta}{g}$ છે.
આથી,$V \sin\theta = gt$,તેથી $V = \frac{gt}{\sin\theta}$ મળે.
$V$ ની કિંમત અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{2(gt/\sin\theta)^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{2g^2 t^2 \sin\theta \cos\theta}{g \sin^2\theta} = \frac{2gt^2 \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{2gt^2}{\tan\theta}$.
$g = 10 \, m/s^2$ લેતા,$R = \frac{2(10)t^2}{\tan\theta} = \frac{20t^2}{\tan\theta}$ મળે.
$\theta$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\tan\theta = \frac{20t^2}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $\cot\theta = \frac{R}{20t^2}$.
તેથી,$\theta = \cot^{-1}\left(\frac{R}{20t^2}\right)$.

(B) બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = -\mu g$ થાય.
અહીં $\mu = 0.5$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી પ્રવેગ $a = -0.5 \times 9.8 = -4.9\, m/s^2$ મળે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતિમ વેગ $v = 0$ અને પ્રારંભિક વેગ $u = 9.8\, m/s$ છે:
$0 = (9.8)^2 + 2(-4.9)s$
$9.8s = 9.8 \times 9.8$
$s = 9.8\, m$.

(C) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ દોરીમાં ઉદ્ભવતા તણાવ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $T = M \omega^{2} R$.
આપેલ છે: $T = 80 \,N$,$M = 100 \,g = 0.1 \,kg$,$R = 2 \,m$.
કિંમતો મૂકતા: $80 = 0.1 \times \omega^{2} \times 2$.
$80 = 0.2 \omega^{2} \implies \omega^{2} = 400 \implies \omega = 20 \,rad/s$.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$,જ્યાં $f$ એ $rev/s$ માં આવૃત્તિ છે: $2 \pi f = 20 \implies f = \frac{10}{\pi} \,rev/s$.
આવૃત્તિને $rev/min$ માં ફેરવવા માટે,$60$ વડે ગુણો: $f = \frac{10}{\pi} \times 60 = \frac{600}{\pi} \,rev/min$.
આને $\frac{K}{\pi} \,rev/min$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 600$ મળે છે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta KE)$ એ કણ પર થયેલા કાર્ય $(W)$ જેટલો હોય છે.
થયેલું કાર્ય રેખા સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int (4x \hat{i} + 3y^2 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$.
આનું સાદું રૂપ: $W = \int_{1}^{2} 4x \, dx + \int_{2}^{3} 3y^2 \, dy$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$W = [2x^2]_{1}^{2} + [y^3]_{2}^{3}$.
$W = (2(2)^2 - 2(1)^2) + (3^3 - 2^3)$.
$W = (8 - 2) + (27 - 8)$.
$W = 6 + 19 = 25 \, J$.
તેથી,ગતિઊર્જામાં $25 \, J$ નો ફેરફાર થાય છે.

(B) ઊંચાઈ $h$ પર પદાર્થનું વજન $W' = m g'$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h$ પર વજન સપાટી પરના વજનના $\frac{1}{3}$ ગણું છે,તેથી $m g' = \frac{1}{3} m g$,જેનો અર્થ છે કે $g' = \frac{g}{3}$.
$g'$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને મળે છે $g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = \frac{g}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{R}{R+h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
સમીકરણને ગોઠવતા,$R+h = R\sqrt{3}$,તેથી $h = R(\sqrt{3} - 1)$.
$R = 6400 \, km$ અને $\sqrt{3} = 1.732$ ની કિંમતો મૂકતા,$h = 6400 \times (1.732 - 1) = 6400 \times 0.732$.
$h = 4684.8 \, km \approx 4685 \, km$.

(A) આપેલ કંપવિસ્તાર $A_{1} = 5 \, cm$ અને $A_{2} = 3 \, cm$ છે.
બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi$ તેમના આર્ગ્યુમેન્ટ્સના તફાવત દ્વારા નક્કી થાય છે:
$\Delta \phi = 2 \pi (x - vt + 1.5) - 2 \pi (x - vt) = 2 \pi (1.5) = 3 \pi$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{net}$ માટેનું સૂત્ર:
$A_{net} = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} \cos(\Delta \phi)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$A_{net} = \sqrt{5^{2} + 3^{2} + 2(5)(3) \cos(3 \pi)}$.
કારણ કે $\cos(3 \pi) = -1$:
$A_{net} = \sqrt{25 + 9 + 30(-1)} = \sqrt{34 - 30} = \sqrt{4} = 2 \, cm$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_L$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_H$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $T_L = 27\,^{\circ} C = 300\, K$ અને $\eta = 25\% = 0.25$.
કિંમતો મૂકતા: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_H} \implies \frac{300}{T_H} = 0.75 \implies T_H = \frac{300}{0.75} = 400\, K$.
જો કાર્યક્ષમતામાં તેની મૂળ કિંમતના $100\%$ જેટલો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = \eta + 100\% \text{ of } \eta = 0.25 + 0.25 = 0.50$ અથવા $50\%$ થાય.
ધારો કે નવું સ્ત્રોત તાપમાન $T_H'$ છે.
$0.50 = 1 - \frac{300}{T_H'} \implies \frac{300}{T_H'} = 0.50 \implies T_H' = \frac{300}{0.50} = 600\, K$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_H' - T_H = 600\, K - 400\, K = 200\, K$.
તાપમાનમાં $1\, K$ નો ફેરફાર એ $1\,^{\circ} C$ ના ફેરફારની સમકક્ષ હોવાથી,તાપમાનમાં $200\,^{\circ} C$ નો વધારો કરવો જોઈએ.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં ઉષ્મા વહન માટે,બંને બ્લોકમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $H$ સમાન હોય છે.
$H = \frac{K_{1} A \Delta T_{1}}{\ell_{1}} = \frac{K_{2} A \Delta T_{2}}{\ell_{2}}$
આપેલ છે: $\ell_{1} = 16 \text{ cm}$,$\ell_{2} = 8 \text{ cm}$,$K_{2} = K$,$K_{1} = xK$.
$M_{1}$ માટે તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_{1} = 100^{\circ}C - 80^{\circ}C = 20^{\circ}C$ છે.
$M_{2}$ માટે તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_{2} = 80^{\circ}C - 0^{\circ}C = 80^{\circ}C$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોવાથી:
$\frac{K_{1} \Delta T_{1}}{\ell_{1}} = \frac{K_{2} \Delta T_{2}}{\ell_{2}}$
$\frac{(xK) \times 20}{16} = \frac{K \times 80}{8}$
$x \times \frac{20}{16} = 10$
$x = 10 \times \frac{16}{20} = 8$.
આમ,$M_{1}$ ની ઉષ્મીય વાહકતા $8K$ છે.

(A) $N_{2}$ નું આપેલ દળ $= 0.056 \, kg = 56 \, g$ છે.
$N_{2}$ નું મોલર દળ $= 28 \, g/mol$ છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{56}{28} = 2 \, moles$ છે.
શરૂઆતનું તાપમાન $T_{1} = 127 + 273 = 400 \, K$ છે.
આર.એમ.એસ. ઝડપ $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,ઝડપ બમણી કરવા માટે તાપમાનમાં $2^{2} = 4$ ના ગુણાંકમાં વધારો થવો જોઈએ.
તેથી,$T_{2} = 4 \times T_{1} = 4 \times 400 = 1600 \, K$ થાય.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 1600 - 400 = 1200 \, K$ છે.
નાઈટ્રોજન દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી મુક્તિના અંશો (degree of freedom) $f = 5$ છે.
જરૂરી ઉષ્મા $Q = \frac{f}{2} n R \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{5}{2} \times 2 \times 2 \times 1200 = 5 \times 2400 = 12000 \, cal = 12 \, kcal$.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પ્રથમ બે કિસ્સાઓમાં પ્રક્ષેપણની ઝડપ $u$ છે. નીચેની દિશાને ધન લેતા.
કિસ્સા-$I$ માટે (ઉપરની તરફ ફેંકતા): સ્થાનાંતર $h$ છે. પ્રારંભિક વેગ $-u$ છે. પ્રવેગ $g$ છે.
સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = -u(6) + \frac{1}{2}g(6)^2$
$h = -6u + 18g$ ... $(i)$
કિસ્સા-$II$ માટે (નીચેની તરફ ફેંકતા): સ્થાનાંતર $h$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. પ્રવેગ $g$ છે.
$h = u(1.5) + \frac{1}{2}g(1.5)^2$
$h = 1.5u + 1.125g$ ... $(ii)$
$u$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$4h = 6u + 4.5g$ ... $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$h + 4h = (-6u + 18g) + (6u + 4.5g)$
$5h = 22.5g$
$h = 4.5g$ ... $(iv)$
કિસ્સા-$III$ માટે (સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરતા): પ્રારંભિક વેગ $0$ છે. પ્રવેગ $g$ છે.
$h = 0(t) + \frac{1}{2}gt^2$
$h = \frac{1}{2}gt^2$ ... $(v)$
સમીકરણ $(iv)$ ને સમીકરણ $(v)$ માં મૂકતા:
$4.5g = \frac{1}{2}gt^2$
$t^2 = 9$
$t = 3 \, s$.

(D) ધારો કે દડાનું દળ $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$ છે. જે ઊંચાઈએથી તેને પાડવામાં આવે છે તે $h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે. સ્પ્રિંગમાં થતું સંકોચન $x = \frac{h}{2} = 5 \, cm = 0.05 \, m$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,દડાની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
દડાનું કુલ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h + x = h + \frac{h}{2} = \frac{3h}{2}$ છે.
તેથી,$mg \left( h + \frac{h}{2} \right) = \frac{1}{2} kx^2$.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 \times 10 \times \left( 0.1 + 0.05 \right) = \frac{1}{2} \times k \times (0.05)^2$.
$1 \times 0.15 = \frac{1}{2} \times k \times 0.0025$.
$0.15 = k \times 0.00125$.
$k = \frac{0.15}{0.00125} = \frac{150000}{1250} = 120 \, N \, m^{-1}$.

(B) ધારો કે મીટર સ્કેલનું દળ $m$ છે. સમાન મીટર સ્કેલનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $50.0\, cm$ ના નિશાન પર છે.
જ્યારે સ્કેલ $40.0\, cm$ ના નિશાન પર સંતુલિત થાય છે,ત્યારે સિક્કાઓને કારણે લાગતું ટોર્ક સ્કેલના વજનને કારણે લાગતા ટોર્કને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
બે સિક્કાનું દળ $2 \times 10\, g = 20\, g = 0.02\, kg$ છે.
છરીની ધારથી સિક્કાઓનું અંતર $|40.0\, cm - 10.0\, cm| = 30.0\, cm = 0.3\, m$ છે.
છરીની ધારથી સ્કેલના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $|50.0\, cm - 40.0\, cm| = 10.0\, cm = 0.1\, m$ છે.
મોમેન્ટ્સના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા (છરીની ધારની આસપાસ ટોર્કને સંતુલિત કરતા):
$(0.02\, kg) \times g \times (0.3\, m) = m \times g \times (0.1\, m)$
$0.006 = 0.1m$
$m = 0.06\, kg = 6 \times 10^{-2}\, kg$.
આને $x \times 10^{-2}\, kg$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 6$ મળે છે.

(A) સમાન અવધિ માટે,પ્રક્ષિપ્ત ખૂણાઓ $\theta_{1} + \theta_{2} = 90^{\circ}$ નું પાલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta_{2} = 90^{\circ} - \theta_{1}$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈઓ $h_{1} = \frac{u^{2} \sin^{2} \theta_{1}}{2g}$ અને $h_{2} = \frac{u^{2} \sin^{2} \theta_{2}}{2g} = \frac{u^{2} \cos^{2} \theta_{1}}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ઊંચાઈઓનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $h_{1} h_{2} = \left(\frac{u^{2} \sin^{2} \theta_{1}}{2g}\right) \cdot \left(\frac{u^{2} \cos^{2} \theta_{1}}{2g}\right)$ મળે છે.
આને $h_{1} h_{2} = \frac{u^{4} \sin^{2} \theta_{1} \cos^{2} \theta_{1}}{4g^{2}} = \left(\frac{u^{2} \cdot 2 \sin \theta_{1} \cos \theta_{1}}{4g}\right)^{2} = \left(\frac{u^{2} \sin(2\theta_{1})}{4g}\right)^{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અવધિ $R = \frac{u^{2} \sin(2\theta_{1})}{g}$ હોવાથી,આપણને $h_{1} h_{2} = \left(\frac{R}{4}\right)^{2} = \frac{R^{2}}{16}$ મળે છે.
તેથી,$R^{2} = 16 h_{1} h_{2}$,જે સૂચવે છે કે $R = 4 \sqrt{h_{1} h_{2}}$ થાય.
આમ,વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ માટે સાચી ગાણિતિક સમજૂતી પૂરી પાડે છે.

(B) બીકર લપસ્યા વિના ડિસ્ક સાથે ફરે તે માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_{c} = m \omega^{2} R$ છે,જ્યાં $m$ એ બીકરનું દળ છે.
મહત્તમ ઉપલબ્ધ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ છે,જ્યાં $N = mg$ એ લંબબળ છે.
બીકર ડિસ્ક સાથે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે તે માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કરતાં વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$f_{s} \leq f_{s,max}$
પદોને મૂકતા:
$m \omega^{2} R \leq \mu mg$
બંને બાજુ $m \omega^{2}$ વડે ભાગતા:
$R \leq \frac{\mu g}{\omega^{2}}$

(B) કદમાં થતો વધારો $\Delta V = \gamma V_{0} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\gamma = 3\alpha$,તેથી $\Delta V = (3\alpha) V_{0} \Delta T$.
સમઘનનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $6a^{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $6a^{2} = 24 \; m^{2}$,તેથી $a^{2} = 4 \; m^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2 \; m$.
પ્રારંભિક કદ $V_{0} = a^{3} = (2)^{3} = 8 \; m^{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = (3 \times 5.0 \times 10^{-4} \; ^{\circ}C^{-1}) \times (8 \; m^{3}) \times (10 \; ^{\circ}C)$.
$\Delta V = 15 \times 10^{-4} \times 80 = 1200 \times 10^{-4} = 0.12 \; m^{3}$.
કારણ કે $1 \; m^{3} = 10^{6} \; cm^{3}$,તેથી $\Delta V = 0.12 \times 10^{6} \; cm^{3} = 1.2 \times 10^{5} \; cm^{3}$.

(C) તાંબાના બ્લોક દ્વારા $500^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ઠંડા થતી વખતે ગુમાવેલી ઉષ્મા $\Delta Q = mc\Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તાંબાનું દળ $m = 5.0 \, kg = 5000 \, g$.
તાંબાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 0.39 \, J g^{-1} {}^{\circ} C^{-1}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 500^{\circ} C - 0^{\circ} C = 500^{\circ} C$.
મુક્ત થતી ઉષ્મા $\Delta Q_1 = 5000 \times 0.39 \times 500 = 975,000 \, J$.
ધારો કે ઓગળતા બરફનું દળ $m_{ice}$ છે. $0^{\circ} C$ તાપમાને બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q_2 = m_{ice} \times L_f$,જ્યાં $L_f = 335 \, J g^{-1}$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા: $\Delta Q_1 = \Delta Q_2$.
$975,000 = m_{ice} \times 335$.
$m_{ice} = \frac{975,000}{335} \approx 2910.45 \, g$.
$kg$ માં ફેરવતા,$m_{ice} \approx 2.91 \, kg$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $z = a^{2} x^{3} y^{1/2}$.
અહીં $a$ અચળાંક હોવાથી,તેની સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta a}{a} = 0$ થાય.
$z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે: $\frac{\Delta z}{z} = 3 \left( \frac{\Delta x}{x} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta y}{y} \right)$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 3 \left( \frac{\Delta x}{x} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta y}{y} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 4\%$ અને $\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 12\%$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 3(4\%) + \frac{1}{2}(12\%) = 12\% + 6\% = 18\%$.

(A) લેવલ રોડ પરના વળાંક માટે કારની મહત્તમ ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\mu Rg}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે,$R$ એ વળાંકની ત્રિજ્યા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં $\mu$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$v \propto \sqrt{R}$ મળે.
તેથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}$ થાય.
આપેલ છે કે $v_1 = 30 \, m/s$,$R_1 = 75 \, m$,અને $R_2 = 48 \, m$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{30} = \sqrt{\frac{48}{75}}$.
વર્ગમૂળની અંદરના અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{48}{75} = \frac{16}{25}$.
તેથી,$\frac{v_2}{30} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
$v_2 = 30 \times \frac{4}{5} = 6 \times 4 = 24 \, m/s$.

(A) બ્લોકનું દળ $m = 200\, g = 0.2\, kg$ છે. બ્લોકનું વજન $W = mg = 0.2 \times 10 = 2\, N$ છે ($g = 10\, m/s^2$ લેતા).
બ્લોક લીસા ઢળતા સમતલ પર સ્થિર રહે તે માટે,સમતલની સમાંતર લાગતા બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતો વજનનો ઘટક $mg \sin 60^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ બળ $F$ નો ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગતો ઘટક $F \cos 60^{\circ}$ છે.
સંતુલન માટે આ બળોને સરખાવતા: $F \cos 60^{\circ} = mg \sin 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $F \times \frac{1}{2} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$F = 2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}$.
આપેલ છે કે $F = \sqrt{x}$,તેથી $\sqrt{x} = \sqrt{12}$,એટલે કે $x = 12$.

(C) બધા પદાર્થોની ત્રિજ્યા $2R$ અને દળ $M$ છે.
$I_{1} = \frac{2}{5} M (2R)^{2} = \frac{8}{5} MR^{2}$
$I_{2} = \frac{1}{2} M (2R)^{2} = 2 MR^{2}$
$I_{3} = \frac{M (2R)^{2}}{4} = MR^{2}$
$I_{4} = \frac{M (2R)^{2}}{2} = 2 MR^{2}$
આપેલ સમીકરણ: $2(I_{2} + I_{3}) + I_{4} = x I_{1}$
કિંમતો મૂકતા: $2(2 MR^{2} + MR^{2}) + 2 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$2(3 MR^{2}) + 2 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$6 MR^{2} + 2 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$8 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$x = 5$

(A) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $V$ નું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
અહીં કક્ષાઓની ત્રિજ્યા $R_{1} = 3200 \, km$ અને $R_{2} = 800 \, km$ આપેલી છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R_{1}}}}{\sqrt{\frac{GM}{R_{2}}}} = \sqrt{\frac{R_{2}}{R_{1}}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \sqrt{\frac{800}{3200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આને $\frac{1}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(C) બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$pV = nRT$.
અહીં $V$,$n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$p \propto T$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે કે દબાણમાં $0.4 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta p}{p} = \frac{0.4}{100}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 1^{\circ} C = 1 \ K$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{0.4}{100} = \frac{1}{T}$.
$T$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T = \frac{100}{0.4} = 250 \ K$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $Z = \frac{A^{2} B^{3}}{C^{4}}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ રાશિ $Z = \frac{A^p B^q}{C^r}$ હોય,તો તેની સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Z}{Z} = p \frac{\Delta A}{A} + q \frac{\Delta B}{B} + r \frac{\Delta C}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ નિયમનો ઉપયોગ આપેલ સમીકરણ માટે કરતા,જ્યાં $p=2$,$q=3$,અને $r=4$ છે:
$\frac{\Delta Z}{Z} = 2 \frac{\Delta A}{A} + 3 \frac{\Delta B}{B} + 4 \frac{\Delta C}{C}$.
તેથી,$Z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{2 \Delta A}{A} + \frac{3 \Delta B}{B} + \frac{4 \Delta C}{C}$ થશે.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{A}| = c$,જ્યાં $c$ એ શૂન્યતર અચળાંક છે.
કોઈપણ સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\vec{A} \times \vec{A} = |\vec{A}| |\vec{A}| \sin(\theta) \hat{n}$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશ અને તેની પોતાની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સદિશ અને તેની પોતાની વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ હોવાથી,$\theta = 0^{\circ}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\vec{A} \times \vec{A} = |\vec{A}|^2 \sin(0^{\circ}) \hat{n}$.
$\sin(0^{\circ}) = 0$ હોવાથી,પદ $\vec{A} \times \vec{A} = 0$ મળે છે.

(B) બે એકમ સદિશો $\hat{A}$ અને $\hat{B}$ માટે જેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે:
$|\hat{A}+\hat{B}| = \sqrt{|\hat{A}|^2 + |\hat{B}|^2 + 2|\hat{A}||\hat{B}| \cos \theta} = \sqrt{1+1+2 \cos \theta} = \sqrt{2(1+\cos \theta)} = \sqrt{2(2 \cos^2 \frac{\theta}{2})} = 2 \cos \frac{\theta}{2}$.
$|\hat{A}-\hat{B}| = \sqrt{|\hat{A}|^2 + |\hat{B}|^2 - 2|\hat{A}||\hat{B}| \cos \theta} = \sqrt{1+1-2 \cos \theta} = \sqrt{2(1-\cos \theta)} = \sqrt{2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2})} = 2 \sin \frac{\theta}{2}$.
બંને મૂલ્યોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{|\hat{A}-\hat{B}|}{|\hat{A}+\hat{B}|} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}}{2 \cos \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{\theta}{2}$.
તેથી,$|\hat{A}-\hat{B}| = |\hat{A}+\hat{B}| \tan \frac{\theta}{2}$.

(B) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i} [(1)(-2) - (2)(4)] - \hat{j} [(2)(-2) - (2)(3)] + \hat{k} [(2)(4) - (1)(3)]$
$\vec{\tau} = \hat{i} [-2 - 8] - \hat{j} [-4 - 6] + \hat{k} [8 - 3]$
$\vec{\tau} = -10 \hat{i} + 10 \hat{j} + 5 \hat{k}$

(D) ધારો કે $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. પૃથ્વીનો વ્યાસ $2R$ છે.
આપેલ છે કે સપાટીથી ઉપર બિંદુ $P$ ની ઊંચાઈ $h$ એ પૃથ્વીના વ્યાસ જેટલી છે,તેથી $h = 2R$.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ નું અંતર $r = R + h = R + 2R = 3R$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = \frac{GM}{r^2}$ છે.
સમીકરણમાં $r = 3R$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$g' = \frac{GM}{(3R)^2} = \frac{GM}{9R^2}$.
કારણ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,આપણે લખી શકીએ:
$g' = \frac{1}{9} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{g}{9}$.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n i$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ બમણો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $i' = 2i$ થાય છે.
જ્યારે પ્રતિ સેમી આંટાની સંખ્યા અડધી કરવામાં આવે,ત્યારે એકમ લંબાઈ દીઠ નવી આંટાની સંખ્યા $n' = n/2$ થાય છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \mu_0 n' i' = \mu_0 (n/2) (2i) = \mu_0 n i$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$B' = B$ થાય છે.

(C) શ્રેણી જોડાણનો કુલ $e.m.f.$ $E_{eq} = E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + r_1 + r_2$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોષ (જેનો આંતરિક અવરોધ $r_1$ છે) ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E - I r_1$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 0$,તેથી $E - I r_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = I r_1$.
$I$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$.
$R + r_1 + r_2 = 2r_1$.
$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બંને ધાતુના તાર સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી,તેમની લંબાઈ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન હશે. ધારો કે તે અનુક્રમે $l$ અને $A$ છે.
પ્રથમ તારનો અવરોધ $R_1 = \frac{l}{\sigma_1 A}$ ...$(i)$
બીજા તારનો અવરોધ $R_2 = \frac{l}{\sigma_2 A}$ ...$(ii)$
તેઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,તેમનો અસરકારક અવરોધ $R_s = R_1 + R_2$ થાય.
$R_s = \frac{l}{\sigma_1 A} + \frac{l}{\sigma_2 A} = \frac{l}{A} \left( \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2} \right)$ ...$(iii)$
જો $\sigma_{eff}$ એ સંયોજનની અસરકારક વાહકતા હોય,તો કુલ લંબાઈ $2l$ થાય અને કુલ અવરોધ $R_s = \frac{2l}{\sigma_{eff} A}$ થાય ...$(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2l}{\sigma_{eff} A} = \frac{l}{A} \left( \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2} \right)$
$\frac{2}{\sigma_{eff}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$
$\sigma_{eff} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$

(B) પ્રિઝમના વક્રીભવન કોણ $A$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta$ ના સંદર્ભમાં વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin((A+\delta)/2)}{\sin(A/2)}$
અહીં $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A+\delta)/2)}{\sin(A/2)}$
બંને બાજુથી $\sin(A/2)$ દૂર કરતા:
$\cos(A/2) = \sin((A+\delta)/2)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(90^o - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(90^o - A/2) = \sin((A+\delta)/2)$
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા:
$90^o - A/2 = (A+\delta)/2$
$180^o - A = A + \delta$
$\delta = 180^o - 2A$

(A) $E$ જેટલી ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2 m_e E}}$ .... $(i)$
$E$ જેટલી ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનની તરંગલંબાઈ:
$\lambda_p = \frac{hc}{E}$ અથવા $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ .... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ નો બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda_e^2 = \frac{h^2}{2 m_e E}$ અથવા $E = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$ .... $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ માંથી $E$ ને સરખાવતા:
$\frac{hc}{\lambda_p} = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$
$\lambda_p$ ને કર્તા બનાવતા:
$\lambda_p = \left( \frac{2 m_e c}{h} \right) \lambda_e^2$
અહીં $\frac{2 m_e c}{h}$ એ અચળાંક હોવાથી:
$\lambda_p \propto \lambda_e^2$

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E} = (-e)(-E_0 \hat{i}) = eE_0 \hat{i}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{eE_0}{m} \hat{i}$ છે.
$t$ સમયે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v}_t = \vec{v} + \vec{a}t = \left(V_0 + \frac{eE_0}{m}t\right) \hat{i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગનું મૂલ્ય $v_t = V_0 + \frac{eE_0}{m}t = V_0 \left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)$ છે.
$t$ સમયે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_t = \frac{h}{mv_t}$ છે.
$v_t$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda_t = \frac{h}{m V_0 \left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)}$ મળે છે.
પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_0 = \frac{h}{mV_0}$ હોવાથી,$\lambda_t = \frac{\lambda_0}{\left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)}$ થાય છે.

(A) કણો સીમાંત સંતુલનમાં રહે તે માટે,સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{L^2}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
ઘર્ષણ બળ $F_f = \mu mg$,જ્યાં $\mu = 0.25$,$m = 10 \times 10^{-3} \, kg$,અને $g = 10 \, m/s^2$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{kq^2}{L^2} = \mu mg$.
$L^2 = \frac{kq^2}{\mu mg} = \frac{(9 \times 10^9) \times (2.0 \times 10^{-7})^2}{0.25 \times (10 \times 10^{-3}) \times 10}$.
$L^2 = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-14}}{0.25 \times 0.1} = \frac{36 \times 10^{-5}}{0.025} = 1.44 \times 10^{-2} \, m^2$.
$L = \sqrt{1.44 \times 10^{-2}} = 1.2 \times 10^{-1} \, m = 0.12 \, m = 12 \, cm$.

(B) સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{22}{3} \, \Omega$ મેળવવા માટે,આપણે આપેલા વિકલ્પો ચકાસીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $A$ અને $C$ નું સમાંતર જોડાણ $R_{p} = \frac{A \times C}{A + C} = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5 \, \Omega$ થાય.
તેની સાથે $B$ ને શ્રેણીમાં જોડતા: $R_{eq} = R_{p} + B = 1.5 + 4 = 5.5 \, \Omega$ મળે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $A$ અને $B$ નું સમાંતર જોડાણ $R_{p} = \frac{A \times B}{A + B} = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \, \Omega$ થાય.
તેની સાથે $C$ ને શ્રેણીમાં જોડતા: $R_{eq} = R_{p} + C = \frac{4}{3} + 6 = \frac{4 + 18}{3} = \frac{22}{3} \, \Omega$ મળે.
આમ,સાચું સંયોજન $A$ અને $B$ નું સમાંતર જોડાણ છે જે $C$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.

(C) ચુંબકીય રિટેન્ટિવિટી (ધારણશક્તિ) એ નક્કી કરે છે કે મેગ્નેટાઇઝિંગ ફિલ્ડ બંધ કર્યા પછી પદાર્થમાં કેટલું ચુંબકત્વ બાકી રહે છે.
ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટનો ઉપયોગ એવી પરિસ્થિતિઓમાં થાય છે જ્યાં પોલેરિટી (ધ્રુવીયતા) ઝડપથી બદલવાની જરૂર હોય છે,તેથી ઊંચી રિટેન્ટિવિટી અનિચ્છનીય છે.
પરમીબિલિટી (પારગમ્યતા) એ સસેપ્ટિબિલિટી સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે; ઊંચી પરમીબિલિટીનો અર્થ છે કે પદાર્થ સરળતાથી મેગ્નેટાઇઝ થઈ શકે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ એવા પદાર્થોમાંથી બનાવવા જોઈએ જેની પરમીબિલિટી ઊંચી અને રિટેન્ટિવિટી ઓછી હોય.
સોફ્ટ-આયર્ન આવો જ એક પદાર્થ છે,જે તેને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ માટે આદર્શ બનાવે છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી, $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ મળે.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
અહીં $K$ અને $B$ અચળ હોવાથી, $R \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: દળ $= m$, વિદ્યુતભાર $= e$. તેથી, $R_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે: દળ $= 2m$, વિદ્યુતભાર $= e$. તેથી, $R_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{e}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: દળ $= 4m$, વિદ્યુતભાર $= 2e$. તેથી, $R_{\alpha} \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = \frac{\sqrt{m}}{e}$.
આમ, ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $R_p : R_d : R_{\alpha} = \frac{\sqrt{m}}{e} : \frac{\sqrt{2m}}{e} : \frac{\sqrt{m}}{e} = 1 : \sqrt{2} : 1$ થાય.

(C) વિધાન-$I$ સાચું છે. કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C$ છે. જો $X_L = X_C$ હોય, તો $X = 0$ થાય. આ સ્થિતિ $LCR$ અથવા $LC$ પરિપથમાં અનુનાદ (resonance) સમયે જોવા મળે છે, જેમાં ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર બંને હોય છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે. $ac$ પરિપથમાં સરેરાશ પાવર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો પરિપથ શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ અથવા શુદ્ધ કેપેસિટિવ હોય, તો ફેઝ એન્ગલ $\phi = 90^{\circ}$ થાય, તેથી $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય. આમ, આવા કિસ્સાઓમાં સોર્સ દ્વારા આપવામાં આવતો સરેરાશ પાવર શૂન્ય થઈ શકે છે.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
$C$ અચળ હોવાથી,$U \propto q^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારમાં $2 \ C$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q' = q + 2$ થાય.
નવી ઉર્જા $U_f = \frac{(q+2)^2}{2C}$ થશે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $44 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી ઉર્જા $U_f = U_i + 0.44 \, U_i = 1.44 \, U_i$ થાય.
$U_f$ અને $U_i$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.44 \times \frac{q^2}{2C}$.
$(q+2)^2 = 1.44 \, q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$q + 2 = \sqrt{1.44} \, q$.
$q + 2 = 1.2 \, q$.
$0.2 \, q = 2$.
$q = \frac{2}{0.2} = 10 \ C$.

(A) નળાકારની બહાર અક્ષથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$.
$r$ ત્રિજ્યા અને $\ell$ લંબાઈની ગૌસિયન સપાટીને ધ્યાનમાં લેતા,અંદરનો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \rho \cdot \pi R^{2} \ell$ છે.
તેથી,$E(2 \pi r \ell) = \frac{\rho \pi R^{2} \ell}{\varepsilon_{0}}$,જે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0} r}$ આપે છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qE = \frac{mv^{2}}{r}$.
$E$ ની કિંમત મૂકતા: $q \left( \frac{\rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0} r} \right) = \frac{mv^{2}}{r}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $mv^{2} = \frac{q \rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0}}$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} mv^{2} = \frac{q \rho R^{2}}{4 \varepsilon_{0}}$ થાય.

(B) બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{\eta P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\eta = 0.035$ કાર્યક્ષમતા છે અને $P = 200 \, W$ પાવર છે.
તીવ્રતા અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{c B_0^2}{2 \mu_0}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\eta P}{4 \pi r^2} = \frac{c B_0^2}{2 \mu_0}$.
$B_0$ માટે સૂત્ર: $B_0 = \sqrt{\frac{\mu_0 \eta P}{2 \pi c r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{\mu_0 \eta P}{2 \pi c}}$.
આપેલ કિંમતો: $\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,$r = 4 \, m$,$\eta = 0.035$,અને $P = 200 \, W$.
ગણતરી કરતા: $B_0 = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{2 \times 10^{-7} \times 0.035 \times 200}{3 \times 10^8}} = 1.71 \times 10^{-8} \, T$ મળે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ ફોટોન માટે,$E_1 = 3.8 \, eV$ અને $\Phi = 0.6 \, eV$. તેથી,$K_{max1} = 3.8 - 0.6 = 3.2 \, eV$.
બીજા ફોટોન માટે,$E_2 = 1.4 \, eV$ અને $\Phi = 0.6 \, eV$. તેથી,$K_{max2} = 1.4 - 0.6 = 0.8 \, eV$.
કારણ કે $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$,મહત્તમ ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{K_{max1}}{K_{max2}}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3.2}{0.8}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(D) આપેલ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_1 : I_2 = 9 : 4$ છે.
ધારો કે $I_1 = 9k$ અને $I_2 = 4k$.
કંપવિસ્તાર એ તીવ્રતાના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $a_1 = \sqrt{I_1} = 3\sqrt{k}$ અને $a_2 = \sqrt{I_2} = 2\sqrt{k}$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{3\sqrt{k} + 2\sqrt{k}}{3\sqrt{k} - 2\sqrt{k}} \right)^2 = \left( \frac{5\sqrt{k}}{1\sqrt{k}} \right)^2 = 5^2 = 25$.
આમ,ગુણોત્તર $25 : 1$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના મોડેલમાં,ઊર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ સ્તર ($n$ વધે છે) પર સંક્રમણ કરે છે,તેમ $E$ વધે છે (ઓછું ઋણ બને છે).
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,ગતિઊર્જા $K = -E = \frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ છે. જેમ $n$ વધે છે,તેમ $K$ ઘટે છે.
સ્થિતિઊર્જા $P = 2E = -\frac{27.2 \text{ eV}}{n^2}$ છે. જેમ $n$ વધે છે,તેમ $P$ નું મૂલ્ય ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $P$ ઓછું ઋણ બને છે,તેથી $P$ વધે છે.
તેથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તર પર જાય છે,તેમ $K$ ઘટે છે,જ્યારે $P$ અને $E$ વધે છે.

(B) ડાયલેક્ટ્રિક માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\mu_{r} = 1$ અને $\varepsilon_{r} = 6.25$,તેથી ઝડપ $v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{6.25}} = \frac{3 \times 10^{8}}{2.5} = 1.2 \times 10^{8} \, m/s$.
એન્ટેના અસરકારક રીતે ઉત્સર્જન કરી શકે તે માટે તેની લંબાઈ $L$ એ $\frac{\lambda}{4}$ જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$\lambda = 4L = 4 \times 5.0 \times 10^{-3} \, m = 20 \times 10^{-3} \, m = 0.02 \, m$.
આવૃત્તિ $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{1.2 \times 10^{8}}{0.02} = 60 \times 10^{8} \, Hz = 6 \, GHz$.

(C) પ્રાથમિક પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{external} = 20 \,\Omega + 30 \,\Omega = 50 \,\Omega$ છે.
પ્રાથમિક પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{25 \,V}{50 \,\Omega} = 0.5 \,A$ છે.
આખા પોટેન્શિયોમીટર તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.5 \,A \times 20 \,\Omega = 10 \,V$ છે.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{10 \,V}{10 \,m} = 1 \,V/m$ છે.
સંતુલન લંબાઈ $l = 250 \,cm = 2.5 \,m$ છે.
કોષનું emf $E = k \times l = 1 \,V/m \times 2.5 \,m = 2.5 \,V$ છે.
આપેલ છે કે $E = \frac{x}{10}$,તેથી $2.5 = \frac{x}{10}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 25$.

(A) ઝેનર ડાયોડ લોડ અવરોધ $R_{L}$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
ઝેનર ડાયોડ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં હોવાથી,લોડ અવરોધ $R_{L}$ પરનો વોલ્ટેજ ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ જેટલો હોય છે,જે $V_{Z} = 5 \, V$ છે.
લોડ પ્રવાહ $I_{L}$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$I_{L} = \frac{V_{Z}}{R_{L}}$
અહીં $V_{Z} = 5 \, V$ અને $R_{L} = 1 \, k\Omega = 1000 \, \Omega$ આપેલ છે.
$I_{L} = \frac{5 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.005 \, A = 5 \, mA$.

(B) પરમાણુ ભાર $M$ ધરાવતા $m$ દળમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $N = \frac{m}{M} N_A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
પ્રારંભિક પરમાણુઓની સંખ્યા: $N_{A,0} = \frac{m}{M_A} N_A$ અને $N_{B,0} = \frac{m}{M_B} N_A$.
આપેલ છે કે $m_A = m_B = 10^{-2} \ kg$ અને $\frac{M_A}{M_B} = \frac{1}{2}$,તેથી $M_B = 2M_A$.
આમ,$\frac{N_{A,0}}{N_{B,0}} = \frac{M_B}{M_A} = 2$.
$t = 16 \ s$ સમય પછી,બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t) = N_0 (0.5)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $N_A(16) = N_{A,0} (0.5)^{\frac{16}{4}} = N_{A,0} (0.5)^4 = \frac{N_{A,0}}{16}$.
પદાર્થ $B$ માટે: $N_B(16) = N_{B,0} (0.5)^{\frac{16}{8}} = N_{B,0} (0.5)^2 = \frac{N_{B,0}}{4}$.
ગુણોત્તર $\frac{N_A(16)}{N_B(16)} = \frac{N_{A,0}}{16} \times \frac{4}{N_{B,0}} = \frac{1}{4} \times \frac{N_{A,0}}{N_{B,0}} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2} = \frac{50}{100}$.
તેથી,$x = 50$.

(B) પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $d$ માટેનું સૂત્ર: $d = t \frac{\sin(i-r)}{\cos r}$,જ્યાં $t$ એ જાડાઈ છે,$i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sin i = \mu \sin r \Rightarrow \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \sin r$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r \Rightarrow \sin r = \frac{1}{2} \Rightarrow r = 30^{\circ}$.
હવે,કિંમતોને પાર્શ્વ સ્થાનાંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$4\sqrt{3} = t \frac{\sin(60^{\circ}-30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$.
$4\sqrt{3} = t \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = t \tan 30^{\circ}$.
$4\sqrt{3} = t \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
$t = 4\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 4 \times 3 = 12 \, cm$.

(D) પરિભ્રમણ કરતી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\varepsilon_{\max} = BAN\omega$.
આપેલ છે:
$B = 0.07 \, T$ (ચુંબકીય ક્ષેત્ર)
$A = 1 \, m^{2}$ (કોઈલનું ક્ષેત્રફળ)
$N = 1000$ (આંટાની સંખ્યા)
$f = 1 \, \text{rev/s}$ (આવૃત્તિ)
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2\pi(1) = 2\pi \, \text{rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = 0.07 \times 1 \times 1000 \times 2\pi$
$\varepsilon_{\max} = 70 \times 2\pi = 140\pi$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$\varepsilon_{\max} = 140 \times 3.14159 \approx 439.82 \, V$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, આપણને $440 \, V$ મળે છે।

(A) ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}$ એ વેગ $\overrightarrow{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર હોવાથી,બળ હંમેશા વેગને લંબ હોય છે $(\overrightarrow{F} \perp \overrightarrow{v})$.
ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} = \int \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} dt$ છે.
$\overrightarrow{F} \perp \overrightarrow{v}$ હોવાથી,ડોટ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ થાય છે,તેથી કાર્ય $0$ છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે. કાર્ય $0$ હોવાથી,ગતિ ઉર્જા અચળ રહે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ હોવાથી,કણની ઝડપ $v$ પણ અચળ રહે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) બે $20 \,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે,તેથી સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R$ એ $\frac{1}{R} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R = 10 \,\Omega$.
$E = 1.5 \,V$ emf અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા બે સમાન કોષો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય emf $E_{eq} = E = 1.5 \,V$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{r}{2}$ થાય.
બાહ્ય અવરોધ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V = E_{eq} - I r_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ કુલ પ્રવાહ છે.
આપેલ છે કે $V = 1.2 \,V$,તેથી $1.2 = 1.5 - I \left(\frac{r}{2}\right)$,જે સૂચવે છે કે $I \left(\frac{r}{2}\right) = 0.3$.
વધુમાં,કુલ પ્રવાહ $I$ એ $I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{1.5}{10 + \frac{r}{2}}$ દ્વારા મળે છે.
$I$ ની કિંમત $I \left(\frac{r}{2}\right) = 0.3$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{1.5}{10 + \frac{r}{2}}\right) \left(\frac{r}{2}\right) = 0.3$
$1.5 \left(\frac{r}{2}\right) = 0.3 \left(10 + \frac{r}{2}\right)$
$0.75r = 3 + 0.15r$
$0.6r = 3$
$r = \frac{3}{0.6} = 5 \,\Omega$.

(B) પાણીનું ટીપું સ્થિર રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુતબળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_{e} = F_{g}$
$qE = mg$
આપેલ છે:
દળ $m = 0.1 \, g = 0.1 \times 10^{-3} \, kg = 10^{-4} \, kg$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 4.9 \times 10^{5} \, N/C$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$q(4.9 \times 10^{5}) = (10^{-4})(9.8)$
$q = \frac{9.8 \times 10^{-4}}{4.9 \times 10^{5}}$
$q = 2 \times 10^{-9} \, C$
આમ,ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $2.0 \times 10^{-9} \, C$ છે.

(A) $AC$ સર્કિટમાં તત્કાલિન પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ મૂલ્ય પર,કળા (phase) $\omega t_1 = \frac{\pi}{2}$ છે.
$rms$ મૂલ્ય પર,પ્રવાહ $I = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ છે,તેથી $\sin(\omega t_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. મહત્તમ મૂલ્ય પછીની પ્રથમ સ્થિતિ $\omega t_2 = \frac{3\pi}{4}$ છે.
કળાનો તફાવત $\Delta \phi = \omega t_2 - \omega t_1 = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 50 \,Hz$ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \,rad/s$ થાય.
લાગતો સમય $t = \frac{\Delta \phi}{\omega} = \frac{\pi / 4}{100\pi} = \frac{1}{400} \,s$ છે.
મિલીસેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $t = 0.0025 \,s = 2.5 \,ms$.

(C) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\mu_{r} = 1.61$ અને $\epsilon_{r} = 6.44$,તેથી ઝડપ $v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.61 \times 6.44}} = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{10.3684}} = \frac{3 \times 10^{8}}{3.22} \approx 9.317 \times 10^{7} \; m s^{-1}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = vB$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} \mu_{r} H$ હોવાથી,$E = v \mu_{0} \mu_{r} H$ મળે.
$E = (9.317 \times 10^{7}) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (1.61) \times (4.5 \times 10^{-2})$.
$E = 9.317 \times 4 \times 3.1416 \times 1.61 \times 4.5 \times 10^{-2} \approx 8.48 \; V m^{-1}$.

(C) રધરફોર્ડના મોડેલ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે.
ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતું હોવાથી,તે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે.
શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગિત વીજભારિત કણ વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
જેમ જેમ ઇલેક્ટ્રોન વિકિરણ દ્વારા ઉર્જા ગુમાવે છે,તેમ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા ઘટતી જાય છે અને અંતે તે ન્યુક્લિયસમાં પડી જવું જોઈએ.
તેથી,રધરફોર્ડના મોડેલ પર આધારિત શાસ્ત્રીય પરમાણુ અસ્થાયી છે અને તેનું પતન નિશ્ચિત છે.

(D) પરમાણુ વિખંડન પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયક (ન્યુક્લિયસ $A$) ની કુલ બંધન ઉર્જા:
$BE_A = 220 \times 5.6 \, MeV = 1232 \, MeV$.
નીપજો (ન્યુક્લિયસ $B$ અને $C$) ની કુલ બંધન ઉર્જા:
$BE_{B+C} = (105 \times 6.4) + (115 \times 6.4) \, MeV = (105 + 115) \times 6.4 \, MeV = 220 \times 6.4 \, MeV = 1408 \, MeV$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$:
$Q = BE_{\text{products}} - BE_{\text{reactant}}$
$Q = 1408 \, MeV - 1232 \, MeV = 176 \, MeV$.

(C) કેરિયર આવૃત્તિ $f_{c} = 3.5\, GHz = 3.5 \times 10^{9}\, Hz$ છે.
કેરિયર સિગ્નલની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{c}{f_{c}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^{8}\, m/s$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{8}}{3.5 \times 10^{9}} = \frac{3}{35}\, m \approx 0.0857\, m = 85.7\, mm$.
કાર્યક્ષમ ટ્રાન્સમિશન માટે જરૂરી એન્ટેનાની લઘુત્તમ લંબાઈ $\frac{\lambda}{4}$ છે.
લઘુત્તમ લંબાઈ $= \frac{85.7\, mm}{4} = 21.425\, mm \approx 21.4\, mm$.

(D) ડાયઇલેક્ટ્રિક જે મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સહન કરી શકે છે તે તેની ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ છે,$E = 3.6 \times 10^{7} \, Vm^{-1}$.
ડાયઇલેક્ટ્રિક ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_{0} A}{d}$ છે.
મહત્તમ વિદ્યુતભાર $q = CV = C(Ed) = \left( \frac{K \varepsilon_{0} A}{d} \right) Ed = K \varepsilon_{0} A E$ દ્વારા મળે છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$K = \frac{q}{\varepsilon_{0} A E}$.
આપેલ છે: $q = 7 \times 10^{-6} \, C$,$A = 30 \pi \times 10^{-4} \, m^{2}$,$E = 3.6 \times 10^{7} \, Vm^{-1}$,અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \, Nm^{2}C^{-2}$,જેનો અર્થ છે કે $\varepsilon_{0} = \frac{1}{36 \pi \times 10^{9}}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{7 \times 10^{-6}}{\left( \frac{1}{36 \pi \times 10^{9}} \right) \times (30 \pi \times 10^{-4}) \times (3.6 \times 10^{7})}$.
$K = \frac{7 \times 10^{-6} \times 36 \pi \times 10^{9}}{30 \pi \times 10^{-4} \times 3.6 \times 10^{7}} = \frac{7 \times 36 \times 10^{3}}{30 \times 3.6 \times 10^{3}} = \frac{252}{108} = 2.33$.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{C} = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(x^{2} + r^{2})^{3/2}}$ છે.
અહીં $x = \frac{r}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2((\frac{r}{2})^{2} + r^{2})^{3/2}}$
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(\frac{r^{2}}{4} + r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(\frac{5r^{2}}{4})^{3/2}}$
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2 \cdot r^{3} \cdot (\frac{5}{4})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I}{2 r} \cdot (\frac{4}{5})^{3/2}$
કારણ કે $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$,તેથી:
$B_{a} = B \cdot (\frac{2}{\sqrt{5}})^{3}$.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $f = 15 \, cm$ અને $\mu = 1.5$,અને સંમિત બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા:
$\frac{1}{15} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
આમ,$R = 15 \, cm$.
આ સંયોજનમાં બે બહિર્ગોળ લેન્સ અને તેમની વચ્ચે એક પ્રવાહી લેન્સ છે. પ્રવાહી લેન્સનો વક્રીભવનાંક $\mu_l = 1.25$ છે અને તેની સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા $-R$ અને $R$ છે (અંતર્ગોળ આકાર).
પ્રવાહી લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{f_l} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right) = (1.25 - 1) \left( -\frac{2}{R} \right) = 0.25 \left( -\frac{2}{15} \right) = -\frac{0.5}{15} = -\frac{1}{30}$.
સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_l} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} + \frac{1}{15} = \frac{2 - 1 + 2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
તેથી,$f_{eq} = 10 \, cm$.

(B) ઇનપુટ અવરોધ $r_i$ એ બેઝ-એમિટર વોલ્ટેજમાં થતા ફેરફાર અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે ગણવામાં આવે છે:
$r_i = \frac{\Delta V_{BE}}{\Delta I_B} = \frac{10 \, mV}{10 \, \mu A} = \frac{10 \times 10^{-3} \, V}{10 \times 10^{-6} \, A} = 1000 \, \Omega = 1 \, k\Omega$.
કરંટ ગેઇન $\beta$ એ કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફારનો ગુણોત્તર છે:
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{1.5 \, mA}{10 \, \mu A} = \frac{1.5 \times 10^{-3} \, A}{10 \times 10^{-6} \, A} = 150$.
કોમન-એમિટર એમ્પ્લીફાયર માટે વોલ્ટેજ ગેઇન $A_V$ એ કરંટ ગેઇન અને લોડ અવરોધ $R_L$ તથા ઇનપુટ અવરોધ $r_i$ ના ગુણોત્તરના ગુણાકાર જેટલો હોય છે:
$A_V = \beta \times \frac{R_L}{r_i} = 150 \times \frac{5000 \, \Omega}{1000 \, \Omega} = 150 \times 5 = 750$.

(B) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 200 \, mH = 0.2 \, H$,$V_{rms} = 220 \, V$,$f = 50 \, Hz$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times 0.2 = 20 \pi \, \Omega$.
મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0$:
$V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220 \sqrt{2} \, V$.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0$:
$i_0 = \frac{V_0}{X_L} = \frac{220 \sqrt{2}}{20 \pi} = \frac{11 \sqrt{2}}{\pi} \, A$.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$i_0 = \frac{\sqrt{11^2 \times 2}}{\pi} = \frac{\sqrt{121 \times 2}}{\pi} = \frac{\sqrt{242}}{\pi} \, A$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{\sqrt{a}}{\pi} \, A$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 242$.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન માટે,$n$-માં અધિક્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે.
પ્રથમ અધિક્તમ માટે,$n = 1$,તેથી $a \sin \theta = \frac{3 \lambda}{2}$.
જ્યારે $\theta$ ખૂબ નાનો હોય,ત્યારે $\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{L}$,જ્યાં $y$ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમથી અંતર છે અને $L$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે.
આમ,$y = \frac{3 \lambda L}{2 a}$.
બે તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 650\, nm$ અને $\lambda_2 = 655\, nm$ માટે પ્રથમ અધિક્તમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_2 - y_1 = \frac{3 L}{2 a} (\lambda_2 - \lambda_1)$ છે.
આપેલ છે કે $L = 2.0\, m$,$a = 0.5\, mm = 0.5 \times 10^{-3}\, m$,$\lambda_1 = 650 \times 10^{-9}\, m$,અને $\lambda_2 = 655 \times 10^{-9\, m}$.
$\Delta y = \frac{3 \times 2.0}{2 \times 0.5 \times 10^{-3}} \times (655 - 650) \times 10^{-9}$.
$\Delta y = \frac{6}{10^{-3}} \times 5 \times 10^{-9} = 6 \times 5 \times 10^{-6} = 30 \times 10^{-6} = 3 \times 10^{-5}\, m$.
$x \times 10^{-5}\, m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h\nu = h\nu_{0} + K_{\text{max}}$,જ્યાં $K_{\text{max}} = \frac{1}{2}mv^{2}$.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $\nu = 2\nu_{0}$:
$h(2\nu_{0}) = h\nu_{0} + \frac{1}{2}mv_{1}^{2}$
$h\nu_{0} = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} \dots(1)$
કિસ્સો $2$: જ્યારે $\nu = 5\nu_{0}$:
$h(5\nu_{0}) = h\nu_{0} + \frac{1}{2}mv_{2}^{2}$
$4h\nu_{0} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4h\nu_{0}}{h\nu_{0}} = \frac{\frac{1}{2}mv_{2}^{2}}{\frac{1}{2}mv_{1}^{2}}$
$4 = \left(\frac{v_{2}}{v_{1}}\right)^{2}$
$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{4} = 2$
$v_{2} = 2v_{1}$
આપેલ છે કે $v_{2} = xv_{1}$,તેથી $x = 2$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $\ell$ એ કોષના emf $\varepsilon$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $\varepsilon \propto \ell$ અથવા $\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\varepsilon_1 : \varepsilon_2 = 3 : 2$ અને $\ell_1 = 75 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{2} = \frac{75}{\ell_2}$.
$\ell_2$ માટે ઉકેલતા: $\ell_2 = \frac{75 \times 2}{3} = 50 \, cm$.
સંતુલન લંબાઈમાં તફાવત $\Delta \ell = |\ell_1 - \ell_2| = |75 - 50| = 25 \, cm$ થાય.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું મૂળ કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t = \frac{d}{2}$ જાડાઈની ધાતુની શીટ પ્લેટો વચ્ચે દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર ઘટે છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C_2$ એ $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = \frac{d}{2}$ મૂકતા,આપણને $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2}} = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ મળે છે.
તેથી,નવા કેપેસિટન્સ અને મૂળ કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_2}{C_1} = \frac{2 \epsilon_0 A / d}{\epsilon_0 A / d} = \frac{2}{1}$ એટલે કે $2:1$ થાય છે.

(A) પરિપથનો કુલ emf $2E$ છે અને કુલ અવરોધ $R + r_{1} + r_{2}$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}} \quad \dots (i)$
બીજા કોષ (emf $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r_{2}$ સાથે) ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E - Ir_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બીજા કોષની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે:
$E - Ir_{2} = 0 \Rightarrow I = \frac{E}{r_{2}} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માંથી $I$ ના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$\frac{E}{r_{2}} = \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}}$
$R + r_{1} + r_{2} = 2r_{2}$
$R = 2r_{2} - r_{2} - r_{1}$
$R = r_{2} - r_{1}$

$(A)$ ક્યુરીના નિયમ મુજબ, પેરામેગ્નેટિક પદાર્થોની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, જે $\chi = \frac{C}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, સસેપ્ટિબિલિટી ક્યુરી-વેઇસના નિયમનું પાલન કરે છે: $\chi = \frac{C}{T - T_C}$, જ્યાં $T_C$ એ ક્યુરી તાપમાન છે. જેમ $T$ ઘટીને $T_C$ ની નજીક આવે છે, તેમ સસેપ્ટિબિલિટી વધે છે. તેથી, વિધાન-$I$ સાચું છે.
ડાયામેગ્નેટિઝમ ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિને કારણે ઉદ્ભવે છે. જ્યારે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે કક્ષીય ગતિમાં ફેરફાર પ્રેરે છે, જે લાગુ કરેલા ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ ચુંબકીય મોમેન્ટ બનાવે છે (પરમાણુ સ્તરે લેન્ઝનો નિયમ). તેથી, વિધાન-$II$ સાચું છે.
આમ, બંને વિધાનો સાચા છે. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) આપેલ છે: $V(t) = 210 \sin(3000t) \text{ V}$,$L = 10 \text{ mH} = 10^{-2} \text{ H}$,$C = 25 \mu\text{F} = 25 \times 10^{-6} \text{ F}$,$R = 100 \Omega$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 3000 \text{ rad/s}$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 3000 \times 10^{-2} = 30 \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{3000 \times 25 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.075} = \frac{40}{3} \Omega \approx 13.33 \Omega$.
કળા તફાવત $\Phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \Phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ છે.
$\tan \Phi = \frac{30 - 13.33}{100} = \frac{16.67}{100} = 0.1667 \approx 0.17$.
તેથી,$\Phi = \tan^{-1}(0.17)$.

(A) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\mu = \mu_0 \mu_r$ અને $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ હોવાથી,$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$ થાય,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = 3.0 \times 10^8 \ m/s$ છે.
આપેલ છે કે $v = 2.0 \times 10^8 \ m/s$ અને $\mu_r = 1.0$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{c}{v} = \sqrt{\mu_r \epsilon_r}$.
$\frac{3.0 \times 10^8}{2.0 \times 10^8} = \sqrt{1.0 \times \epsilon_r}$.
$1.5 = \sqrt{\epsilon_r}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\epsilon_r = (1.5)^2 = 2.25$.

(D) આપેલ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = 4$ છે,તેથી $I_1 = 4I_2$ લખી શકાય.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left[ \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right]^2$
$I_1 = 4I_2$ મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left[ \frac{\sqrt{4I_2} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{4I_2} - \sqrt{I_2}} \right]^2 = \left[ \frac{2\sqrt{I_2} + \sqrt{I_2}}{2\sqrt{I_2} - \sqrt{I_2}} \right]^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = 9$.
હવે,આપણે $\frac{I_{\max} + I_{\min}}{I_{\max} - I_{\min}}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{I_{\max} + I_{\min}}{I_{\max} - I_{\min}} = \frac{9 + 1}{9 - 1} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{5}{x}$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{5}{x} = \frac{5}{4} \implies x = 4$.

(D) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બ્રુસ્ટરના ખૂણે આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે સમતલ-ધ્રુવીભૂત હોય છે,જેમાં તેનો વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ આપાત સમતલને લંબ હોય છે.
જો આપાત પ્રકાશ પહેલેથી જ એવી રીતે ધ્રુવીભૂત હોય કે તેના વિદ્યુત ક્ષેત્રના સદિશો આપાત સમતલમાં સંપૂર્ણપણે દૂર થઈ ગયા હોય (એટલે કે,પ્રકાશ આપાત સમતલને લંબ ધ્રુવીભૂત હોય),તો બ્રુસ્ટરના ખૂણે,વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કોઈ ઘટક પરાવર્તિત થઈ શકતો નથી.
પરિણામે,કોઈ પરાવર્તન થતું નથી,અને પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે (સંચરણ પામે છે).
આ $NCERT$ ફિઝિક્સ ભાગ-$2$,પ્રકરણ $10$ (તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર) માં ચર્ચા કર્યા મુજબ સંપૂર્ણ સંચરણનો એક વિશેષ કિસ્સો છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો જવાબ છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2Em}}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$E$ એ ગતિ ઉર્જા છે અને $m$ એ કણનું દળ છે.
બધા કણો માટે ઉર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે છે.
કણોના દળનો સંબંધ $m_{e} < m_{p} \approx m_{n} < m_{\alpha}$ છે.
ખાસ કરીને,$m_{p} \approx m_{n}$ અને $m_{\alpha} \approx 4m_{p}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જે કણનું દળ સૌથી ઓછું હશે તેની તરંગલંબાઇ સૌથી વધુ હશે.
તેથી,$\lambda_{e} > \lambda_{p} \approx \lambda_{n} > \lambda_{\alpha}$ થાય.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_{0} A^{1/3}$,જ્યાં $R_{0}$ એ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln \left(\frac{R}{R_{0}}\right) = \ln (A^{1/3})$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\ln(x^n) = n \ln(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\ln \left(\frac{R}{R_{0}}\right) = \frac{1}{3} \ln A$
આ સમીકરણ $y = mx$ સ્વરૂપનું છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $1/3$ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,$\ln \left(\frac{R}{R_{0}}\right)$ વિરુદ્ધ $\ln A$ નો આલેખ એક સીધી રેખા છે.

(A) આ પરિપથમાં બે $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા છે,ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
$1$. પ્રથમ બે ગેટ $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ અનુક્રમે $A$ અને $A$,તથા $B$ અને $B$ છે. તેમના આઉટપુટ $\overline{A+A} = \overline{A}$ અને $\overline{B+B} = \overline{B}$ મળે છે.
$2$. આ આઉટપુટને અંતિમ $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$3$. આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ દ્વારા મળે છે.
$4$. ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
$5$. સમીકરણ $Y = A \cdot B$ એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.

(B) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$A.$ ફેક્સિમાઇલ એ $Static\, Document\, Image$ (સ્થિર દસ્તાવેજ છબી) પ્રસારિત કરવા માટે વપરાતી પદ્ધતિ છે.
$B.$ ગાઇડેડ મીડિયા ચેનલ એ $Optical\, Fiber$ (ઓપ્ટિકલ ફાઇબર) જેવા ભૌતિક માર્ગોનો સંદર્ભ આપે છે જેના દ્વારા સિગ્નલો પ્રસારિત થાય છે.
$C.$ ફ્રીક્વન્સી મોડ્યુલેશનનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે $Local\, Broadcast\, Radio$ (સ્થાનિક બ્રોડકાસ્ટ રેડિયો) માં થાય છે.
$D.$ ડિજિટલ સિગ્નલને $Rectangular\, wave$ (લંબચોરસ તરંગ) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $A-I, B-IV, C-II, D-III$ છે.