JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया कथन: $(p \wedge q) \Rightarrow (p \wedge r)$
तार्किक समतुल्यता $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$\sim(p \wedge q) \vee (p \wedge r)$
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर:
$(\sim p \vee \sim q) \vee (p \wedge r)$
वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$((\sim p \vee p) \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee \sim q \vee r)$
चूंकि $(\sim p \vee p) \equiv T$:
$T \wedge (\sim p \vee \sim q \vee r) \equiv \sim p \vee \sim q \vee r$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(\sim p \vee \sim q) \vee r$
पुनः डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर:
$\sim(p \wedge q) \vee r$
इसे निहितार्थ (implication) में बदलने पर:
$(p \wedge q) \Rightarrow r$

(B) परिकेंद्र $P(1, 1)$ शीर्षों $A, B$ और $C$ से समान दूरी पर है। अतः,$PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = (a-1)^2 + (3-1)^2 = (a-1)^2 + 4$
$PB^2 = (b-1)^2 + (5-1)^2 = (b-1)^2 + 16$
$PC^2 = (a-1)^2 + (b-1)^2$
$PA^2 = PC^2$ को बराबर करने पर: $(a-1)^2 + 4 = (a-1)^2 + (b-1)^2 \implies (b-1)^2 = 4 \implies b-1 = \pm 2$.
अतः $b = 3$ या $b = -1$. चूँकि $ab > 0$,यदि $b=3$ है तो $a > 0$. यदि $b=-1$ है तो $a < 0$.
$PA^2 = PB^2$ को बराबर करने पर: $(a-1)^2 + 4 = (b-1)^2 + 16$.
यदि $b = -1$ है: $(a-1)^2 + 4 = (-1-1)^2 + 16 = 20 \implies (a-1)^2 = 16 \implies a-1 = \pm 4$.
$a = 5$ या $a = -3$. चूँकि $a < 0$,हम $a = -3$ लेते हैं।
अतः,$A = (-3, 3)$,$B = (-1, 5)$,$C = (-3, -1)$,और $P = (1, 1)$.
रेखा $AP$,$(-3, 3)$ और $(1, 1)$ से गुजरती है। ढाल $m = \frac{1-3}{1-(-3)} = -\frac{1}{2}$.
$AP$ का समीकरण: $x + 2y = 3$.
रेखा $BC$,$(-1, 5)$ और $(-3, -1)$ से गुजरती है। ढाल $m = 3$.
$BC$ का समीकरण: $y = 3x + 8$.
$AP$ में $y$ का मान रखने पर: $x + 2(3x + 8) = 3 \implies 7x = -13 \implies x = -\frac{13}{7}$.
$y = 3(-\frac{13}{7}) + 8 = \frac{17}{7}$.
$k_{1} + k_{2} = -\frac{13}{7} + \frac{17}{7} = \frac{4}{7}$.

(B) परवलय $P: y^{2}=4x$ है,इसलिए इसकी नाभि $(1, 0)$ है। चूँकि $L: y=mx+c$ एक नाभीय जीवा है,यह $(1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = m(1) + c$,जिससे $c = -m$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा $y = m(x-1)$ है।
अतिपरवलय $H: x^{2}-y^{2}=4$ है,अर्थात $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$। यहाँ $a^{2}=4, b^{2}=4$ है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ है।
$c = -m$ प्रतिस्थापित करने पर,$(-m)^{2} = 4m^{2} - 4$,इसलिए $m^{2} = 4m^{2} - 4$,जिसका अर्थ है $3m^{2} = 4$,या $m = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ($m>0$ होने के कारण)।
तब $c = -\frac{2}{\sqrt{3}}$। रेखा $L$ का समीकरण $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $M(x_{1}, y_{1})$ और $N(x_{2}, y_{2})$ प्राप्त करने के लिए $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ को $y^{2}=4x$ में रखने पर:
$\frac{4}{3}(x-1)^{2} = 4x \implies (x-1)^{2} = 3x \implies x^{2}-2x+1 = 3x \implies x^{2}-5x+1 = 0$।
मूल $x_{1}, x_{2}$ हैं,इसलिए $x_{1}+x_{2}=5$ और $x_{1}x_{2}=1$ है।
$y$-निर्देशांक $y_{i} = \frac{2}{\sqrt{3}}(x_{i}-1)$ हैं।
चतुर्भुज $OMFN$ का क्षेत्रफल $\triangle OMF$ और $\triangle ONF$ के क्षेत्रफलों का योग है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_{F} y_{1} - x_{F} y_{2}| = \frac{1}{2} |x_{F}| |y_{1}-y_{2}|$।
यहाँ $x_{F} = 2\sqrt{2}$ ($H$ की नाभि $(ae, 0) = (2\sqrt{2}, 0)$ है)।
$|y_{1}-y_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} |x_{1}-x_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{25-4} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{7}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) (2\sqrt{7}) = 2\sqrt{14}$।

(D) $S$ में कुल अवयवों की संख्या $2022$ है।
$2022$ का अभाज्य गुणनखंड $2 \times 3 \times 337$ है।
हमें ऐसे $n \in S$ खोजने हैं जिनके लिए $\operatorname{HCF}(n, 2022) = 1$ हो।
इसका अर्थ है कि हमें ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो $2, 3,$ या $337$ से विभाज्य न हों।
गणना के अनुसार,$2, 3,$ या $337$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $1350$ हैं।
अनुकूल परिणाम $= 2022 - 1350 = 672$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{672}{2022} = \frac{112}{337}$.

(D) दिया गया समीकरण: $7 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta - 2 \cos^2 2\theta = 2$ है।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$7 \cos^2 \theta - 3(1 - \cos^2 \theta) - 2 \cos^2 2\theta = 2$,जो $10 \cos^2 \theta - 3 - 2 \cos^2 2\theta = 2$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$,हमारे पास $5(1 + \cos 2\theta) - 3 - 2 \cos^2 2\theta = 2$ है,जो $5 + 5 \cos 2\theta - 3 - 2 \cos^2 2\theta = 2$ में सरल हो जाता है।
यह $2 \cos^2 2\theta - 5 \cos 2\theta = 0$ में बदल जाता है,अतः $\cos 2\theta(2 \cos 2\theta - 5) = 0$ है।
चूंकि $\cos 2\theta$ का मान $2.5$ नहीं हो सकता,इसलिए $\cos 2\theta = 0$,जो $2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$ देता है।
अतः,$S = \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$ है।
किसी भी $\theta \in S$ के लिए,$\tan^2 \theta = 1$ और $\cot^2 \theta = 1$,इसलिए $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 2$ है।
साथ ही,$\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$ है।
समीकरण $x^2 - 2(2)x + 6(\frac{1}{2}) = 0$ यानी $x^2 - 4x + 3 = 0$ बन जाता है।
प्रत्येक समीकरण के लिए मूलों का योग $4$ है।
चूंकि ऐसे $4$ समीकरण हैं,इसलिए मूलों का कुल योग $4 \times 4 = 16$ है।

(D) दिया गया है कि $n = 20$ प्रेक्षणों के लिए माध्य $\bar{x} = 15$ और प्रसरण $\sigma^{2} = 9$ है।
$\sum x_{i} = 15 \times 20 = 300$
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} \Rightarrow 9 = \frac{\sum x_{i}^{2}}{20} - 225$
$\frac{\sum x_{i}^{2}}{20} = 234 \Rightarrow \sum x_{i}^{2} = 4680$
अब,$(x_{i} + \alpha)^{2}$ का माध्य $178$ है:
$\frac{1}{20} \sum (x_{i} + \alpha)^{2} = 178$
$\sum (x_{i}^{2} + 2\alpha x_{i} + \alpha^{2}) = 178 \times 20 = 3560$
$\sum x_{i}^{2} + 2\alpha \sum x_{i} + 20\alpha^{2} = 3560$
$4680 + 2\alpha(300) + 20\alpha^{2} = 3560$
$20\alpha^{2} + 600\alpha + 1120 = 0$
$20$ से विभाजित करने पर:
$\alpha^{2} + 30\alpha + 56 = 0$
$(\alpha + 28)(\alpha + 2) = 0$
अतः,$\alpha = -28$ या $\alpha = -2$ है।
$\alpha$ का अधिकतम मान $-2$ है।
अधिकतम मान का वर्ग $(-2)^{2} = 4$ है।

(B) मान लीजिए $S = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{a_{r}}{2^{r}} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \ldots = 4$
$\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर:
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2^{2}} + \frac{a_{2}}{2^{3}} + \frac{a_{3}}{2^{4}} + \ldots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}-a_{1}}{2^{2}} + \frac{a_{3}-a_{2}}{2^{3}} + \ldots$
चूंकि $a_{r}$ एक $A.P.$ है,$a_{r} - a_{r-1} = d$:
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{d}{2^{2}} + \frac{d}{2^{3}} + \frac{d}{2^{4}} + \ldots$
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + d \left( \frac{1/4}{1 - 1/2} \right) = \frac{a_{1}}{2} + \frac{d}{2}$
$S = a_{1} + d = a_{2}$
दिया गया है $S = 4$,इसलिए $a_{2} = 4$।
अतः,$4 a_{2} = 4 \times 4 = 16$।

(A) द्विपद विस्तार $(\sqrt[4]{2} + 3^{-1/4})^n$ है।
प्रारंभ से $5$-वाँ पद $T_5 = {^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1/4})^4$ है।
अंत से $5$-वाँ पद प्रारंभ से $(n-3)$-वाँ पद है,जो $T_{n-3} = {^nC_4} (2^{1/4})^4 (3^{-1/4})^{n-4}$ है।
अनुपात $\frac{T_5}{T_{n-3}} = 6^{(n-8)/4}$ है।
दिया गया है कि $6^{(n-8)/4} = 6^{1/4}$,इसलिए $n-8 = 1$,जिसका अर्थ है $n = 9$।
प्रारंभ से $6$-ठा पद $T_6 = {^9C_5} (2^{1/4})^4 (3^{-1/4})^5 = \frac{84}{3^{1/4}}$ है।
अतः,$\alpha = 84$।

(C) श्रेणी का सामान्य पद $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} [\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}]$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसका योग $\frac{1}{2} [\frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{101 \times 102}]$ है।
अतः,$\frac{k}{101} = \frac{1}{2} [\frac{1}{6} - \frac{1}{10302}] = \frac{1}{12} - \frac{1}{20604} = \frac{1717-1}{20604} = \frac{1716}{20604} = \frac{1}{12}$।
$k = \frac{101}{12}$,इसलिए $34k = 34 \times \frac{101}{12} \approx 286$।

(C) दिया गया है $S = \{4, 6, 9\}$ और $T = \{9, 10, 11, \ldots, 1000\}$।
समुच्चय $A$,$S$ के तत्वों के सभी संभावित योगों का समुच्चय है। यह उन सभी पूर्णांकों $n$ को खोजने के बराबर है जिन्हें $n = 4x + 6y + 9z$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $x, y, z \in \{0, 1, 2, \ldots\}$ और $x+y+z \geq 1$ है।
हम $T$ के तत्वों की जाँच करते हैं:
$9 = 9$ ($A$ में है)
$10 = 4 + 6$ ($A$ में है)
$11$: यदि $11 = 4x + 6y + 9z$ है,तो $z=0$ के लिए $4x+6y=11$ (संभव नहीं) और $z=1$ के लिए $4x+6y=2$ (संभव नहीं)। अतः,$11 \notin A$ है।
$12 = 4 + 4 + 4$ ($A$ में है)।
$12$ से बड़ी सभी संख्याएँ $A$ में हैं। अतः,$T - A = \{11\}$ है।
इस प्रकार,$T - A$ के तत्वों का योग $11$ है।

(C) वृत्त $c_{1}$ का केंद्र $(1, 3)$ है और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{10-\alpha}$ है।
रेखा $x-y+1=0$ में केंद्र $(1, 3)$ का प्रतिबिंब $(2, 2)$ है।
वृत्त $c_{2}$ का समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+\frac{38}{5}=0$ है,जिसका केंद्र $(-g, -f) = (2, 2)$ है।
वृत्त $c_{2}$ की त्रिज्या $r = \sqrt{4+4-\frac{38}{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$ है।
चूंकि प्रतिबिंब में त्रिज्या समान रहती है,$r_{1}^{2} = r^{2} \Rightarrow 10-\alpha = \frac{2}{5}$।
अतः,$\alpha = \frac{48}{5}$।
इस प्रकार,$\alpha+6r^{2} = \frac{48}{5} + 6(\frac{2}{5}) = 12$।

(D) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
हम विकल्प $D$ का मूल्यांकन करते हैं: $(\sim q \wedge p) \vee (p \vee \sim p)$।
हम जानते हैं कि $(p \vee \sim p)$ एक पुनरुक्ति है (हमेशा सत्य,जिसे $T$ के रूप में दर्शाया जाता है)।
इस प्रकार,व्यंजक $(\sim q \wedge p) \vee T$ बन जाता है।
चूंकि कोई भी कथन $X \vee T$ हमेशा $T$ होता है,इसलिए पूरा व्यंजक एक पुनरुक्ति है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $I = 60 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(6x)}{\sin x} dx$.
सर्वसमिका $\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) = 2 \cos(2nx) \sin x$ का उपयोग करके,हम $\frac{\sin(6x)}{\sin x}$ को कोसाइन के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
विशेष रूप से,$\frac{\sin(6x)}{\sin x} = \frac{\sin(6x) - \sin(4x) + \sin(4x) - \sin(2x) + \sin(2x)}{\sin x} = 2\cos(5x) + 2\cos(3x) + 2\cos(x)$.
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करें:
$I = 60 \int_{0}^{\pi/2} (2\cos(5x) + 2\cos(3x) + 2\cos(x)) dx$.
$I = 60 \left[ \frac{2}{5}\sin(5x) + \frac{2}{3}\sin(3x) + 2\sin(x) \right]_{0}^{\pi/2}$.
सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:
$I = 60 \left( (\frac{2}{5}\sin(\frac{5\pi}{2}) + \frac{2}{3}\sin(\frac{3\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2})) - (0) \right)$.
चूंकि $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$,$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$,और $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$:
$I = 60 \left( \frac{2}{5}(1) + \frac{2}{3}(-1) + 2(1) \right) = 60 \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{3} + 2 \right)$.
$I = 60 \left( \frac{6 - 10 + 30}{15} \right) = 60 \left( \frac{26}{15} \right) = 4 \times 26 = 104$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) dx$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2}+y^{2}} dx$.
दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ के लिए): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}} dx$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $d(\frac{y}{x}) = \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}} \cdot \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(y/x)}{\sqrt{1 + (y/x)^{2}}} = \int \frac{dx}{x}$.
मानक समाकलन $\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^{2}}} = \ln(t + \sqrt{1+t^{2}})$ का उपयोग करने पर: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}) = \ln x + C$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} = kx$,जहाँ $k = e^{C}$.
अतः,$y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = kx^{2}$.
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,$x=1, y=0$ रखने पर: $0 + \sqrt{1^{2}+0^{2}} = k(1)^{2} \Rightarrow k = 1$.
वक्र का समीकरण $y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = x^{2}$ है।
$x = 2, y = \alpha$ के लिए: $\alpha + \sqrt{4+\alpha^{2}} = 2^{2} = 4$.
$\sqrt{4+\alpha^{2}} = 4 - \alpha$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 + \alpha^{2} = 16 - 8\alpha + \alpha^{2}$.
$8\alpha = 12 \Rightarrow \alpha = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

(B) $\cos^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है।
अतः,हमें $\left|\frac{x^{2}-4x+2}{x^{2}+3}\right| \leq 1$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $-1 \leq \frac{x^{2}-4x+2}{x^{2}+3} \leq 1$.
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^{2}+3 > 0$ है,हम $(x^{2}+3)$ से गुणा कर सकते हैं:
$-(x^{2}+3) \leq x^{2}-4x+2 \leq x^{2}+3$.
प्रथम असमिका: $-x^{2}-3 \leq x^{2}-4x+2 \implies 2x^{2}-4x+5 \geq 0$. विविक्तकर $D = (-4)^{2} - 4(2)(5) = 16 - 40 = -24 < 0$ है। अग्रणी गुणांक धनात्मक होने के कारण,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $2x^{2}-4x+5 > 0$ है।
दूसरी असमिका: $x^{2}-4x+2 \leq x^{2}+3 \implies -4x \leq 1 \implies x \geq -\frac{1}{4}$.
अतः,प्रांत $[-\frac{1}{4}, \infty)$ है।

(D) दिया गया है कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शर्त $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0} \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0$ को संतुष्ट करते हैं,जिसका अर्थ है कि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
तीन सदिशों के रैखिक रूप से स्वतंत्र होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल अशून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$।
सारणिक की गणना करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1+t & 1-t & 1 \\ 1-t & 1+t & 2 \\ 1 & -t & 1 \end{vmatrix}$
$= (1+t)(1+t+2t) - (1-t)(1-t-2) + 1(-t+t^2-1-t)$
$= (1+t)(1+3t) - (1-t)(-1-t) + (t^2-2t-1)$
$= 1+4t+3t^2 + (1-t^2) + t^2-2t-1 = 3t^2+2t+1$
चूंकि शर्त $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$ है,इसलिए $3t^2+2t+1 \neq 0$।
यहाँ विविक्तकर $D = 2^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 < 0$ है। अतः,यह द्विघात समीकरण हमेशा धनात्मक है और किसी भी $t \in R$ के लिए शून्य नहीं होता है।
अतः,$t$ के सभी मानों का समुच्चय $R$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}(x) - 2 \sin ^{-1}(x) = \cos ^{-1}(2x)$
सर्वसमिका $\sin ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(x)$ का उपयोग करते हुए,हम प्रतिस्थापित करते हैं:
$\cos ^{-1}(x) - 2(\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(x)) = \cos ^{-1}(2x)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\cos ^{-1}(x) - \pi + 2 \cos ^{-1}(x) = \cos ^{-1}(2x)$
$3 \cos ^{-1}(x) = \pi + \cos ^{-1}(2x)$
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर:
$\cos(3 \cos ^{-1}(x)) = \cos(\pi + \cos ^{-1}(2x))$
सर्वसमिका $\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$ और $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करते हुए:
$4x^3 - 3x = -2x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$4x^3 - x = 0$
$x(4x^2 - 1) = 0$
अतः,हल $x = 0$,$x = \frac{1}{2}$,और $x = -\frac{1}{2}$ हैं।
मूल समीकरण में हलों की जाँच करने पर:
$x = 0$ के लिए: $\cos^{-1}(0) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ और $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$. (मान्य)
$x = \frac{1}{2}$ के लिए: $\cos^{-1}(\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} - 2(\frac{\pi}{6}) = 0$ और $\cos^{-1}(1) = 0$. (मान्य)
$x = -\frac{1}{2}$ के लिए: $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} - 2(-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$ और $\cos^{-1}(-1) = \pi$. (मान्य)
हलों का योग $0 + \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = 0$ है।

(B) दिया गया है $|\vec{a}| = 9$। चूँकि $(x \vec{a} + y \vec{b}) \perp (6y \vec{a} - 18x \vec{b})$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(x \vec{a} + y \vec{b}) \cdot (6y \vec{a} - 18x \vec{b}) = 0$
$6xy |\vec{a}|^2 - 18x^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6y^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 18xy |\vec{b}|^2 = 0$
$6xy (|\vec{a}|^2 - 3|\vec{b}|^2) + (\vec{a} \cdot \vec{b})(6y^2 - 18x^2) = 0$
यह सभी $(x, y)$ के लिए सत्य होने के लिए,$xy$,$x^2$ और $y^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$|\vec{a}|^2 - 3|\vec{b}|^2 = 0 \implies |\vec{b}|^2 = \frac{|\vec{a}|^2}{3} = \frac{81}{3} = 27$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
अब,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 81 \times 27 - 0 = 2187$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2187} = \sqrt{81 \times 27} = 9 \times 3 \sqrt{3} = 27 \sqrt{3}$।

(D) $R$ को स्वतुल्य (reflexive) होने के लिए,सभी $x \in N$ के लिए $xRx$ सत्य होना चाहिए।
$3x + \alpha x = (3 + \alpha)x, 7$ का एक गुणज होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $(3 + \alpha), 7$ का एक गुणज होना चाहिए,इसलिए $3 + \alpha = 7k \Rightarrow \alpha = 7k - 3 = 7(k-1) + 4$।
अतः,जब $\alpha$ को $7$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $4$ प्राप्त होता है।
$R$ को सममित (symmetric) होने के लिए,$xRy \Rightarrow yRx$।
$3x + \alpha y = 7n_1$ और $3y + \alpha x = 7n_2$।
इनको घटाने पर,$(3 - \alpha)(x - y) = 7(n_1 - n_2)$। यह स्थिति तब संतुष्ट होती है यदि $3 + \alpha, 7$ का एक गुणज हो।
$R$ को संक्रामक (transitive) होने के लिए,$xRy$ और $yRz \Rightarrow xRz$।
$3x + \alpha y = 7n_1$ और $3y + \alpha z = 7n_2$।
पहले समीकरण से,$\alpha y = 7n_1 - 3x$। दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर: $3y + \alpha z = 7n_2$।
$y$ को विलुप्त करने पर,हम पाते हैं कि संबंध संक्रामक है यदि $3 + \alpha, 7$ का एक गुणज हो।
इसलिए,$R$ के तुल्यता संबंध होने की शर्त यह है कि जब $\alpha$ को $7$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $4$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(\sin^2 2x) \frac{dy}{dx} + (8 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x) y = 2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)$ है।
$\sin^2 2x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + (8 + 4 \cot 2x) y = \frac{2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)}{\sin^2 2x}$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 8 + 4 \cot 2x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int (8 + 4 \cot 2x) dx} = e^{8x + 2 \ln(\sin 2x)} = e^{8x} \sin^2 2x$ है।
हल $y \cdot (e^{8x} \sin^2 2x) = \int (e^{8x} \sin^2 2x) \cdot \frac{2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)}{\sin^2 2x} dx + C$ है।
$y e^{8x} \sin^2 2x = \int 2 e^{4x} (2 \sin 2x + \cos 2x) dx + C$ है।
सूत्र $\int e^{ax} (a f(x) + f'(x)) dx = e^{ax} f(x) + C$ का उपयोग करते हुए,$f(x) = \sin 2x$ लेने पर,$f'(x) = 2 \cos 2x$ प्राप्त होता है। अतः समाकलन $e^{4x} \sin 2x + C$ होगा।
इस प्रकार,$y e^{8x} \sin^2 2x = e^{4x} \sin 2x + C$ है।
चूंकि $y(\frac{\pi}{4}) = e^{-\pi}$ दिया गया है,तो $e^{-\pi} e^{2\pi} (1)^2 = e^{\pi} (1) + C \Rightarrow C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{e^{-4x}}{\sin 2x}$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{e^{-4(\pi/6)}}{\sin(\pi/3)} = \frac{e^{-2\pi/3}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{-2\pi/3}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $A^3 = I$.
चूंकि $49 = 3 \times 16 + 1$,इसलिए $A^{49} = A^1 = A$.
चूंकि $98 = 3 \times 32 + 2$,इसलिए $A^{98} = A^2$.
अतः,$B_{0} = A + 2A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$.
$\det(B_{0}) = 0(0-2) - 1(0-1) + 2(4-0) = 0 + 1 + 8 = 9$.
हम जानते हैं कि $\det(\text{Adj}(M)) = (\det(M))^{k-1}$ जहाँ $k$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $k=3$,इसलिए $\det(\text{Adj}(M)) = (\det(M))^2$.
$B_{n} = \text{Adj}(B_{n-1})$ के लिए,$\det(B_{n}) = (\det(B_{n-1}))^2$.
अतः,$\det(B_{4}) = (\det(B_{0}))^{2^4} = (\det(B_{0}))^{16}$.
$\det(B_{4}) = 9^{16} = (3^2)^{16} = 3^{32}$.

(B) माना वृत्त पर एक बिंदु $P(\cos \theta, \sin \theta, 0)$ है।
माना $P$ से समतल $2x + 3y + z = 6$ पर लंब का पाद $Q(h, k, w)$ है।
रेखा $PQ$ समतल के लंबवत है,इसलिए इसके दिक अनुपात समतल के अभिलंब $(2, 3, 1)$ के समानुपाती हैं।
अतः,$\frac{h - \cos \theta}{2} = \frac{k - \sin \theta}{3} = \frac{w - 0}{1} = \lambda$ है।
चूँकि $Q(h, k, w)$ समतल $2x + 3y + z = 6$ पर स्थित है,इसलिए $2h + 3k + w = 6$ है।
$h = \cos \theta + 2\lambda$,$k = \sin \theta + 3\lambda$,और $w = \lambda$ को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\cos \theta + 2\lambda) + 3(\sin \theta + 3\lambda) + \lambda = 6$
$2\cos \theta + 3\sin \theta + 14\lambda = 6 \implies \lambda = \frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}$ प्राप्त होता है।
तब $h = \cos \theta + 2\left(\frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}\right) = \frac{10\cos \theta - 6\sin \theta + 12}{14}$ है।
$k = \sin \theta + 3\left(\frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}\right) = \frac{5\sin \theta - 6\cos \theta + 18}{14}$ है।
इसे सरल करने पर $5h + 6k = \cos \theta + 12 \implies \cos \theta = 5h + 6k - 12$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$3h + 5k = \frac{\sin \theta}{2} + 9 \implies \sin \theta = 2(3h + 5k - 9)$ प्राप्त होता है।
$\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $(5h + 6k - 12)^{2} + 4(3h + 5k - 9)^{2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) $AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर: $\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{\alpha}{2x^5} + \frac{\alpha}{2x^5} \geq 7 \sqrt[7]{\left(\frac{x^2}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{\alpha}{2x^5}\right)^2}$.
सरल करने पर: $7 \sqrt[7]{\frac{\alpha^2}{2^7}} = \frac{7 \cdot \alpha^{2/7}}{2}$.
न्यूनतम मान $14$ दिया गया है,अतः $\frac{7 \cdot \alpha^{2/7}}{2} = 14$.
$\alpha^{2/7} = 4 = 2^2$.
इसलिए,$\alpha = (2^2)^{7/2} = 2^7 = 128$.

(A) दिया गया है $f(x) = \alpha x^5 + \beta x^3 + \gamma x$ जहाँ $\alpha, \beta, \gamma > 0$ है। चूँकि $f'(x) = 5\alpha x^4 + 3\beta x^2 + \gamma > 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है और इसका प्रतिलोम संभव है।
$g(f(x)) = x$ दिया है,अतः $f(g(y)) = y$ होगा।
हमें $f(g(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)))$ का मान ज्ञात करना है।
$f(g(y)) = y$ के कारण,यह व्यंजक $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)$ में बदल जाता है।
समांतर श्रेणी का माध्य शून्य होने के कारण,$\sum_{i=1}^{n} a_i = 0$ है।
$f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $\sum_{i=1}^{n} f(a_i) = 0$ होगा।
अतः,अंतिम उत्तर $0$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt - (x^2 - x + 1) e^x$.
लाइबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt + e^x (e^{-x} f'(x)) - [(2x - 1) e^x + (x^2 - x + 1) e^x]$.
चूँकि $f(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt$,इसलिए $f'(x) = f(x) + f'(x) - (x^2 + x) e^x$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $f(x) = (x^2 + x) e^x$ देता है।
अब,$f'(x) = (2x + 1) e^x + (x^2 + x) e^x = (x^2 + 3x + 1) e^x$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $x^2 + 3x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
न्यूनतम मान $x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ पर प्राप्त होता है।
इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर न्यूनतम मान $-\frac{2}{\sqrt{e}}$ प्राप्त होता है।

(C) समचतुर्भुज $PRQS$ में,विकर्ण $PQ$ और $RS$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
विकर्ण $PQ$ के दिक्-अनुपात $(x_Q - x_P, y_Q - y_P, z_Q - z_P) = \left(\frac{56}{17} + 2, \frac{43}{17} + 1, \frac{111}{17} - 1\right) = \left(\frac{90}{17}, \frac{60}{17}, \frac{94}{17}\right)$ हैं।
चूँकि $PQ \perp RS$,उनके दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $RS$ के दिक्-अनुपात $(\alpha, -1, \beta)$ हैं। अतः,$\frac{90}{17}(\alpha) + \frac{60}{17}(-1) + \frac{94}{17}(\beta) = 0$ है।
$17$ से गुणा करने पर,हमें $90\alpha - 60 + 94\beta = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $90\alpha + 94\beta = 60$ या $45\alpha + 47\beta = 30$ हो जाता है।
हमें $45\alpha + 47\beta = 30$ को संतुष्ट करने वाले न्यूनतम निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक $\alpha$ और $\beta$ ज्ञात करने हैं।
मान रखने पर: यदि $\alpha = -15$ है,तो $47\beta = 30 - 45(-15) = 30 + 675 = 705$। अतः,$\beta = \frac{705}{47} = 15$ है।
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = (-15)^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450$।

(C) $g(x) = f(x) - (2x + 3)$ को परिभाषित करें।
दिया है $f(0)=3$,अतः $g(0) = f(0) - (2(0) + 3) = 3 - 3 = 0$.
दिया है $f(1)=5$,अतः $g(1) = f(1) - (2(1) + 3) = 5 - 5 = 0$.
चूंकि रेखा $y=2x+3$ फलन $f(x)$ को $(0,1)$ में दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है,मान लीजिए ये बिंदु $x_1$ और $x_2$ हैं जहाँ $0 < x_1 < x_2 < 1$ है।
अतः,$g(x_1) = 0$ और $g(x_2) = 0$.
हमें $g(0)=0, g(x_1)=0, g(x_2)=0, g(1)=0$ प्राप्त होता है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$g^{\prime}(x)$ का प्रत्येक अंतराल $(0, x_1)$,$(x_1, x_2)$,और $(x_2, 1)$ में कम से कम एक शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए ये शून्य $c_1, c_2, c_3$ हैं ताकि $0 < c_1 < x_1 < c_2 < x_2 < c_3 < 1$ हो।
अब,अंतराल $(c_1, c_2)$ और $(c_2, c_3)$ पर $g^{\prime}(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू करने पर:
$g^{\prime\prime}(x)$ का $(c_1, c_2)$ में कम से कम एक शून्य और $(c_2, c_3)$ में कम से कम एक शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$g^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x)$ के $(0,1)$ में कम से कम $2$ शून्य होते हैं।

(A) माना $1 + x^{2} = t^{2}$. तब $2x dx = 2t dt$,अतः $x dx = t dt$.
जब $x = 0$,तब $t = 1$. जब $x = \sqrt{3}$,तब $t = 2$.
समाकलन $\int_{1}^{2} \frac{15(t^{2}-1) t dt}{\sqrt{t^{2} + t^{3}}} = 15 \int_{1}^{2} \frac{t(t^{2}-1)}{t \sqrt{1+t}} dt = 15 \int_{1}^{2} \frac{t^{2}-1}{\sqrt{1+t}} dt$ हो जाता है।
माना $1 + t = u^{2}$,अतः $t = u^{2} - 1$ और $dt = 2u du$.
जब $t = 1$,तब $u = \sqrt{2}$. जब $t = 2$,तब $u = \sqrt{3}$.
समाकलन $15 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{(u^{2}-1)^{2}-1}{u} (2u du) = 30 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} (u^{4} - 2u^{2}) du$ हो जाता है।
समाकलन का मान: $30 \left[ \frac{u^{5}}{5} - \frac{2u^{3}}{3} \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} = 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3}}{5} - \frac{6\sqrt{3}}{3} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right]$.
$= 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{5} \right) - \left( \frac{12\sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{15} \right) \right] = 30 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{8\sqrt{2}}{15} \right] = -6\sqrt{3} + 16\sqrt{2}$.
$\alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 16$ और $\beta = -6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 16 - 6 = 10$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A + B = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix}$.
$(A + B)^{2} = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\beta + 1)^{2} & 0 \\ 3(\beta + 1) + 3\alpha & \alpha^{2} \end{bmatrix}$.
$A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 - \alpha \\ 2 + 2\alpha & \alpha^{2} - 2 \end{bmatrix}$.
$\alpha_{1}$ के लिए,$(A + B)^{2} = A^{2} + \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 - \alpha \\ 4 + 2\alpha & \alpha^{2} \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,$(\beta + 1)^{2} = 1 \implies \beta + 1 = \pm 1$. साथ ही,$1 - \alpha = 0 \implies \alpha_{1} = 1$.
$\alpha_{2}$ के लिए,$(A + B)^{2} = B^{2} = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta^{2} + 1 & \beta \\ \beta & 1 \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,$(1,2)$ स्थान से $0 = \beta$ प्राप्त होता है,और $(2,2)$ स्थान से $\alpha_{2}^{2} = 1$ प्राप्त होता है। $(2,1)$ स्थान से,$3(\beta + 1) + 3\alpha = \beta$। $\beta = 0$ रखने पर,$3(1) + 3\alpha = 0 \implies 3\alpha = -3 \implies \alpha_{2} = -1$.
अतः,$|\alpha_{1} - \alpha_{2}| = |1 - (-1)| = |2| = 2$.

(C) माना $A = \left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ है।
$1$. विकल्प $A$ के लिए: $R_1 \rightarrow R_1 + R_2$ लागू करने पर,हमें $\left[\begin{array}{cc}-1+1 & 2-1 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ प्राप्त होता है। यह संभव है।
$2$. विकल्प $B$ के लिए: $R_1 \leftrightarrow R_2$ लागू करने पर,हमें $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ प्राप्त होता है। यह संभव है।
$3$. विकल्प $C$ के लिए: $\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ -2 & 7\end{array}\right]$ प्राप्त करने के लिए,हमें $R_2 \rightarrow R_2 + k R_1$ की आवश्यकता होगी। यहाँ,$-1 + k(-1) = -2 \implies k=1$,लेकिन तब $2 + k(2) = 2 + 1(2) = 4 \neq 7$ होता है। अतः,यह संभव नहीं है।
$4$. विकल्प $D$ के लिए: $R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$ लागू करने पर,हमें $\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1+2(-1) & -1+2(2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]$ प्राप्त होता है। यह संभव है।
अतः,विकल्प $C$ में दिया गया आव्यूह एक एकल प्रारंभिक पंक्ति संक्रिया द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

(C) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$x+y+z=6$ $(1)$
$2x+5y+\alpha z=\beta$ $(2)$
$x+2y+3z=14$ $(3)$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह को संगति की शर्त को पूरा करना चाहिए।
मान लीजिए $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & \alpha \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
$1(15-2\alpha) - 1(6-\alpha) + 1(4-5) = 0$
$15-2\alpha - 6 + \alpha - 1 = 0$
$8 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 8$.
अब,$\alpha = 8$ को निकाय में रखें और अनंत हल के लिए शर्त का उपयोग करें। $(1)$ और $(3)$ से:
$x+y = 6-z$
$x+2y = 14-3z$
दूसरे में से पहला घटाने पर: $y = (14-3z) - (6-z) = 8-2z$.
$y$ का मान $x+y = 6-z$ में रखने पर: $x = 6-z - (8-2z) = z-2$.
$x, y, z$ के मानों को $(2)$ में रखने पर:
$2(z-2) + 5(8-2z) + 8z = \beta$
$2z - 4 + 40 - 10z + 8z = \beta$
$36 = \beta$.
अतः,$\alpha + \beta = 8 + 36 = 44$.

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है कि $f(0) = 10$,इसलिए:
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+5x) - \ln(1+\alpha x)}{x} = 10$
मानक सीमा सूत्र $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+kx)}{x} = k$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\ln(1+5x)}{x} - \frac{\ln(1+\alpha x)}{x} \right) = 10$
सीमा लागू करने पर:
$5 - \alpha = 10$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = 5 - 10 = -5$
अतः,$\alpha$ का मान $-5$ है।

(A) माना $f(x) = 2x - |3x^2 - 5x + 2| + 1$ है। महत्तम पूर्णांक फलन के अंदर का पद $g(x) = 2x - |(3x-2)(x-1)| + 1$ है।
$x \in [0, 2/3]$ के लिए,$3x^2 - 5x + 2 \geq 0$,इसलिए $|3x^2 - 5x + 2| = 3x^2 - 5x + 2$ है। तब $g(x) = 2x - (3x^2 - 5x + 2) + 1 = -3x^2 + 7x - 1$ है।
$x \in [2/3, 1]$ के लिए,$3x^2 - 5x + 2 \leq 0$,इसलिए $|3x^2 - 5x + 2| = -(3x^2 - 5x + 2)$ है। तब $g(x) = 2x + (3x^2 - 5x + 2) + 1 = 3x^2 - 3x + 3$ है।
$\int_{0}^{1} [g(x)] dx$ का समाकलन करने के लिए अंतराल को $g(x)$ के पूर्णांक मानों के आधार पर विभाजित किया जाता है।
$x \in [0, 2/3]$ के लिए,$g(x) = -3x^2 + 7x - 1$ है। $g(x) = k$ के मूल द्विघात सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं।
उन उप-अंतरालों पर समाकलन करने के बाद जहाँ $[g(x)]$ स्थिर है,हमें परिणाम प्राप्त होता है:
$I = \frac{\sqrt{37} + \sqrt{13} - 4}{6}$।

(A) $I(x) = \int \frac{\sec^2 x}{\sin^{2022} x} dx - 2022 \int \frac{1}{\sin^{2022} x} dx$
प्रथम समाकलन के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \sin^{-2022} x$ और $dv = \sec^2 x dx$ लें। तब $du = -2022 \sin^{-2023} x \cos x dx$ और $v = \tan x$ प्राप्त होता है।
$I(x) = \tan x \sin^{-2022} x - \int \tan x (-2022 \sin^{-2023} x \cos x) dx - 2022 \int \sin^{-2022} x dx$
$I(x) = \tan x \sin^{-2022} x + 2022 \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin^{2023} x} dx - 2022 \int \sin^{-2022} x dx$
$I(x) = \tan x \sin^{-2022} x + 2022 \int \sin^{-2022} x dx - 2022 \int \sin^{-2022} x dx + C$
$I(x) = \frac{\tan x}{\sin^{2022} x} + C$
दिया गया है कि $I(\pi/4) = 2^{1011}$,इसलिए $\frac{1}{\sin^{2022}(\pi/4)} + C = 2^{1011} \implies (\sqrt{2})^{2022} + C = 2^{1011} \implies 2^{1011} + C = 2^{1011} \implies C = 0$.
अतः,$I(x) = \frac{\tan x}{\sin^{2022} x}$.
$I(\pi/6) = \frac{\tan(\pi/6)}{\sin^{2022}(\pi/6)} = \frac{1/\sqrt{3}}{(1/2)^{2022}} = \frac{2^{2022}}{\sqrt{3}}$.
$I(\pi/3) = \frac{\tan(\pi/3)}{\sin^{2022}(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3}/2)^{2022}} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2^{2022}}{3^{1011}} = \frac{2^{2022}}{3^{1010.5}}$.
$I(\pi/3)$ और $I(\pi/6)$ की तुलना करने पर,हमें $3^{1010} I(\pi/3) = I(\pi/6)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)+(y-1)}{(x-1)-(y-1)}$ है।
माना $X = x-1$ और $Y = y-1$,तब $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$।
अंश और हर को $X$ से विभाजित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{1 + (Y/X)}{1 - (Y/X)}$।
माना $Y = VX$,तब $\frac{dY}{dX} = V + X\frac{dV}{dX}$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$V + X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V}$,अतः $X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V} - V = \frac{1+V-V+V^{2}}{1-V} = \frac{1+V^{2}}{1-V}$।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{1-V}{1+V^{2}} dV = \int \frac{dX}{X}$।
$\int \frac{1}{1+V^{2}} dV - \frac{1}{2} \int \frac{2V}{1+V^{2}} dV = \ln|X| + C$।
$\tan^{-1}(V) - \frac{1}{2} \ln(1+V^{2}) = \ln|X| + C$।
$V = Y/X = \frac{y-1}{x-1}$ रखने पर,$\tan^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{(y-1)^{2}}{(x-1)^{2}}\right) = \ln|x-1| + C$।
चूंकि यह $(2,1)$ से गुजरता है,$X=1, Y=0$: $\tan^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1) = \ln(1) + C \implies C = 0$।
बिंदु $(k+1, 2)$ के लिए,$X=k, Y=1$: $\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{1}{k^{2}}\right) = \ln(k)$।
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}\right) = \ln(k)$।
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \ln(k) + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}\right) = \ln(k) + \ln\left(\sqrt{\frac{k^{2}+1}{k^{2}}}\right) = \ln\left(k \cdot \frac{\sqrt{k^{2}+1}}{k}\right) = \ln\sqrt{k^{2}+1}$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \ln(k^{2}+1)$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x^2+11x+13}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ और $Q(x) = \frac{x+3}{x+1}$ है।
$P(x)$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए:
$\frac{2x^2+11x+13}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$.
$P(x)$ का समाकलन करने पर:
$\int P(x) dx = 2\ln(x+1) + \ln(x+2) - \ln(x+3) = \ln\left(\frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3}\right)$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} = \int \left(\frac{x+3}{x+1}\right) \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} dx = \int (x+1)(x+2) dx = \int (x^2+3x+2) dx$.
$y \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C$.
चूँकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है:
$1 \cdot \frac{(1)^2(2)}{3} = 0 + 0 + 0 + C \implies C = \frac{2}{3}$.
$x=1$ के लिए:
$y(1) \cdot \frac{(2)^2(3)}{4} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 + \frac{2}{3} = 1 + \frac{3}{2} + 2 = \frac{9}{2}$.
$y(1) \cdot 3 = \frac{9}{2} \implies y(1) = \frac{3}{2}$.

(B) समतल का समीकरण $x + 2y + z = 14$ है।
बिंदु $P(1, 2, 3)$ से समतल पर लंब $PQ$ की लंबाई इस प्रकार है:
$PQ = \left| \frac{1(1) + 2(2) + 1(3) - 14}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} \right| = \left| \frac{1 + 4 + 3 - 14}{\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-6}{\sqrt{6}} \right| = \sqrt{6}$.
समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में,जहाँ $\angle PQR = 90^{\circ}$ और $\angle PRQ = 60^{\circ}$ है,हमारे पास है:
$QR = PQ \cot(60^{\circ}) = \sqrt{6} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{12} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

(D) माना बिंदु $A(2,3,9)$,$B(5,2,1)$,$C(1, \lambda, 8)$,और $D(\lambda, 2,3)$ हैं।
बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}] = 0$।
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (3, -1, -8)$
$\vec{AC} = (-1, \lambda-3, -1)$
$\vec{AD} = (\lambda-2, -1, -6)$
अब,सारणिक को शून्य के बराबर रखें:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & -8 \\ -1 & \lambda-3 & -1 \\ \lambda-2 & -1 & -6 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$3[-6\lambda + 17] + [\lambda + 4] - 8[-\lambda^2 + 5\lambda - 5] = 0$
$-18\lambda + 51 + \lambda + 4 + 8\lambda^2 - 40\lambda + 40 = 0$
$8\lambda^2 - 57\lambda + 95 = 0$
यह $\lambda$ में एक द्विघात समीकरण है। मूलों का गुणनफल $\lambda_1 \lambda_2 = \frac{c}{a} = \frac{95}{8}$ होगा।

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि स्थानांतरित गेंद क्रमशः लाल,काली या सफेद है।
$P(E_1) = \frac{3}{10}, P(E_2) = \frac{4}{10}, P(E_3) = \frac{3}{10}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि बैग $II$ से निकाली गई गेंद काली है।
यदि $E_1$ घटित होती है,तो बैग $II$ में $3$ लाल,$5$ काली,$2$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(A|E_1) = \frac{5}{10}$.
यदि $E_2$ घटित होती है,तो बैग $II$ में $2$ लाल,$6$ काली,$2$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(A|E_2) = \frac{6}{10}$.
यदि $E_3$ घटित होती है,तो बैग $II$ में $2$ लाल,$5$ काली,$3$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(A|E_3) = \frac{5}{10}$.
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$.
$P(E_1|A) = \frac{(\frac{3}{10} \times \frac{5}{10})}{(\frac{3}{10} \times \frac{5}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{6}{10}) + (\frac{3}{10} \times \frac{5}{10})} = \frac{15}{15 + 24 + 15} = \frac{15}{54} = \frac{5}{18}$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं और किन्हीं दो के बीच का कोण समान है,इसलिए कोण $\theta = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ$ है।
मान लीजिए $a = |\vec{a}|, b = |\vec{b}|, c = |\vec{c}|$ है। हमें $abc = 14$ दिया गया है।
सदिश सर्वसमिका $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot (\vec{w} \times \vec{z}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})(\vec{v} \cdot \vec{z}) - (\vec{u} \cdot \vec{z})(\vec{v} \cdot \vec{w})$ का उपयोग करते हुए:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{b}) = (a b \cos 120^\circ)(b c \cos 120^\circ) - (a c \cos 120^\circ)(b^2) = (a b \cdot -\frac{1}{2})(b c \cdot -\frac{1}{2}) - (a c \cdot -\frac{1}{2})(b^2) = \frac{1}{4} a b^2 c + \frac{1}{2} a b^2 c = \frac{3}{4} a b^2 c$।
इसी प्रकार,$(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \frac{3}{4} a b c^2$ और $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \frac{3}{4} a^2 b c$।
इनका योग करने पर,हमें $\frac{3}{4} a b c (a + b + c) = 168$ प्राप्त होता है।
$abc = 14$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{4} \cdot 14 \cdot (a + b + c) = 168$।
$\frac{21}{2} (a + b + c) = 168 \implies a + b + c = 168 \cdot \frac{2}{21} = 8 \cdot 2 = 16$।

(C) फलन $f(x) = \sin^{-1}(g(x))$ को परिभाषित होने के लिए,तर्क $g(x)$ को $-1 \leq g(x) \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
चरण $1$: $\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+2x+7} \geq -1$ को हल करें।
$x^{2}-3x+2 \geq -(x^{2}+2x+7)$
$2x^{2}-x+9 \geq 0$.
यहाँ विविक्तकर (discriminant) $D = (-1)^{2} - 4(2)(9) = 1 - 72 = -71 < 0$ है। चूँकि $x^{2}$ का गुणांक धनात्मक है,$2x^{2}-x+9$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
चरण $2$: $\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+2x+7} \leq 1$ को हल करें।
$x^{2}-3x+2 \leq x^{2}+2x+7$
$-3x+2 \leq 2x+7$
$-5 \leq 5x \Rightarrow x \geq -1$.
दोनों शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $x \in [-1, \infty)$ प्राप्त होता है।

(D) माना माध्य $m = np$ और प्रसरण $v = npq$ है,जहाँ $p + q = 1$ है।
दिया है,योग $m + v = 82.5 = \frac{165}{2}$ और गुणनफल $mv = 1350$ है।
चूँकि $m$ और $v$ द्विघात समीकरण $x^2 - (m+v)x + mv = 0$ के मूल हैं,इसलिए:
$x^2 - \frac{165}{2}x + 1350 = 0$
$2x^2 - 165x + 2700 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{165 \pm \sqrt{165^2 - 4(2)(2700)}}{4} = \frac{165 \pm \sqrt{5625}}{4} = \frac{165 \pm 75}{4}$
अतः,$x_1 = 60$ और $x_2 = 22.5$ प्राप्त होते हैं।
द्विपद बंटन के लिए $m > v$ होता है,इसलिए $m = 60$ और $v = 22.5$ है।
अब,$v = mq \implies 22.5 = 60q \implies q = \frac{3}{8}$ है।
अतः $p = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ है।
अंत में,$m = np \implies 60 = n \times \frac{5}{8} \implies n = 96$ है।

(D) दिया गया है $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ और $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2}$ की गणना करें:
$A^{2} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$A^{4} = A^{2} \cdot A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
गणितीय आगमन द्वारा,किसी भी सम संख्या $k$ के लिए,$A^{k} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
हमें $X^{T} A^{k} X = 33$ दिया गया है। $A^{k}$ का मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 33$
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3k+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 33$
$1 + 1 + 3k + 1 = 33$
$3k + 3 = 33$
$3k = 30 \implies k = 10$.
चूंकि $10$ एक सम संख्या है,इसलिए यह हल मान्य है।

(B) फलन $f(x) = 4|2x + 3| + 9[x + \frac{1}{2}] - 12[x + 20]$ दिया गया है।
$1$. पद $4|2x + 3|$,$2x + 3 = 0$ अर्थात $x = -\frac{3}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है। यह $1$ बिंदु है।
$2$. पद $9[x + \frac{1}{2}]$,$x + \frac{1}{2} = k$ (जहाँ $k$ पूर्णांक है) के लिए अवकलनीय नहीं है। अंतराल $(-20, 20)$ में,$x + \frac{1}{2} \in (-19.5, 20.5)$ है। पूर्णांक $k \in \{-19, -18, \dots, 20\}$ हैं। कुल $40$ बिंदु हैं। चूँकि $x = -\frac{3}{2}$ पर $x + \frac{1}{2} = -1$ है,जो एक पूर्णांक है,अतः एक बिंदु उभयनिष्ठ है।
$3$. पद $-12[x + 20]$,$x + 20 = k$ के लिए अवकलनीय नहीं है। अंतराल $(-20, 20)$ में,$x + 20 \in (0, 40)$ है। पूर्णांक $k \in \{1, 2, \dots, 39\}$ हैं। कुल $39$ बिंदु हैं।
$4$. कुल गैर-अवकलनीय बिंदुओं की संख्या = $1 + 39 + 39 = 79$।

(C) वक्र का समीकरण $y=5x^{2}+2x-25$ बिंदु $P(2, -1)$ पर है।
सबसे पहले,अवकलन करके $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करें: $y' = 10x + 2$।
$x=2$ पर,ढाल $m = 10(2) + 2 = 22$ है।
बिंदु $P(2, -1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - (-1) = 22(x - 2)$ है,जो सरल होकर $y = 22x - 45$ हो जाता है।
अब,बिंदु $(a, b)$ पर वक्र $y=x^{3}-x^{2}+x$ पर विचार करें।
$(a, b)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-2x+1$ द्वारा दी जाती है।
$x=a$ पर,ढाल $3a^{2}-2a+1$ है।
चूंकि यह स्पर्शरेखा पहले ज्ञात की गई स्पर्शरेखा के समान है,इसलिए इसकी ढाल $22$ होनी चाहिए: $3a^{2}-2a+1 = 22$।
इससे द्विघात समीकरण $3a^{2}-2a-21 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3a+7)(a-3) = 0$,अतः $a=3$ या $a=-7/3$।
$a=3$ के लिए,बिंदु $(a, b)$ वक्र $y=x^{3}-x^{2}+x$ पर स्थित है,इसलिए $b = 3^{3}-3^{2}+3 = 27-9+3 = 21$।
तब $|2a+9b| = |2(3)+9(21)| = |6+189| = 195$।
$a=-7/3$ के लिए,स्पर्शरेखा रेखा $y=22x-45$ के समानांतर होगी लेकिन समान नहीं होगी,इसलिए इस मान को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,मान $195$ है।

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+2|\vec{b}|^{2}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=3$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2(\vec{a} \cdot \vec{b})=|\vec{a}|^{2}+2|\vec{b}|^{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $|\vec{a}|^{2}$ घटाने पर,$|\vec{b}|^{2}=2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b}=3$ रखने पर,$|\vec{b}|^{2}=2(3)=6$ प्राप्त होता है।
लाग्रेंज सर्वसमिका $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}=75$ का उपयोग करने पर।
ज्ञात मान रखने पर,$|\vec{a}|^{2}(6)-(3)^{2}=75$।
$6|\vec{a}|^{2}-9=75$।
$6|\vec{a}|^{2}=84$।
$|\vec{a}|^{2}=14$।

(B) संबंध $R$ को $R = \{(a, b) : a \in \{1, 2, \ldots, 60\}, b = pq, p, q \geq 3, p, q \text{ अभाज्य संख्याएँ}, b \leq 60\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $a$,$1$ से $60$ तक कोई भी मान ले सकता है,इसलिए $a$ के लिए $60$ विकल्प हैं।
हमें $b = pq$ के लिए संभावित मान ज्ञात करने की आवश्यकता है ताकि $b \leq 60$ और $p, q \geq 3$ अभाज्य संख्याएँ हों।
स्थिति $1$: $p = 3$. तो $b = 3q$. चूँकि $b \leq 60$,$3q \leq 60 \implies q \leq 20$. $q \geq 3$ वाली अभाज्य संख्याएँ $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ हैं। कुल $7$ मान हैं।
स्थिति $2$: $p = 5$. तो $b = 5q$. चूँकि $b \leq 60$,$5q \leq 60 \implies q \leq 12$. $q \geq 5$ वाली अभाज्य संख्याएँ $5, 7, 11$ हैं। कुल $3$ मान हैं।
स्थिति $3$: $p = 7$. तो $b = 7q$. चूँकि $b \leq 60$,$7q \leq 60 \implies q \leq 8.57$. $q \geq 7$ वाली अभाज्य संख्या $7$ है। कुल $1$ मान है।
स्थिति $4$: $p = 11$. तो $b = 11q$. चूँकि $b \leq 60$,$11q \leq 60 \implies q \leq 5.45$. ऐसी कोई अभाज्य संख्या $q \geq 11$ नहीं है जो इसे संतुष्ट करे।
$b$ के लिए कुल मान = $7 + 3 + 1 = 11$.
चूंकि $a$ के $60$ विकल्प हैं और $b$ के $11$ विकल्प हैं,इसलिए $R$ में अवयवों की कुल संख्या $60 \times 11 = 660$ है।

(B) दिया गया है कि $AB = 0$,जहाँ $A$ और $B$ $3 \times 3$ शून्येतर आव्यूह हैं।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|AB| = |0| = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|AB| = |A||B| = 0$,इसका अर्थ है कि $|A|$ या $|B|$ में से कम से कम एक $0$ होना चाहिए।
यदि $|A| \neq 0$ है,तो $A$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $A^{-1}(AB) = A^{-1}(0) \Rightarrow B = 0$,जो दी गई शर्त कि $B$ एक शून्येतर आव्यूह है,का विरोधाभास करता है।
यदि $|B| \neq 0$ है,तो $B$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $(AB)B^{-1} = 0(B^{-1}) \Rightarrow A = 0$,जो दी गई शर्त कि $A$ एक शून्येतर आव्यूह है,का विरोधाभास करता है।
अतः,$|A| = 0$ और $|B| = 0$ है।
चूंकि $|A| = 0$,आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है,जिसका अर्थ है कि रैखिक समीकरण निकाय $AX = 0$ के अनंत हल हैं।

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{3+2 \sin x + \cos x}$.
प्रतिस्थापन $\tan(\frac{x}{2}) = t$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,और $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{3 + 2(\frac{2t}{1+t^2}) + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2}$
$I = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{3(1+t^2) + 4t + 1 - t^2} = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{2t^2 + 4t + 4} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t + 2}$
$I = \int_{0}^{1} \frac{dt}{(t+1)^2 + 1}$
$I = [\tan^{-1}(t+1)]_{0}^{1} = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ है,जिसे $\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{1+e^{2x}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=1$ और $Q=\frac{1}{1+e^{2x}}$ है।
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।
सामान्य हल $y \cdot e^x = \int Q \cdot I.F. dx + c = \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx + c$ है।
मान लीजिए $u=e^x$,तो $du=e^x dx$। समाकलन $\int \frac{1}{1+u^2} du = \tan^{-1}(u) = \tan^{-1}(e^x)$ हो जाता है।
अतः,$y \cdot e^x = \tan^{-1}(e^x) + c$ है।
चूँकि वक्र बिंदु $(0, \frac{\pi}{2})$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{\pi}{2} \cdot e^0 = \tan^{-1}(e^0) + c$ है,जो $\frac{\pi}{2} = \tan^{-1}(1) + c = \frac{\pi}{4} + c$ देता है।
इस प्रकार,$c = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ है।
हल $y \cdot e^x = \tan^{-1}(e^x) + \frac{\pi}{4}$ है।
जब $x \rightarrow \infty$ हो,तो सीमा लेने पर,$\lim_{x \rightarrow \infty} (y \cdot e^x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (\tan^{-1}(e^x) + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।

(B) दिया गया समतल $P: 2x + my + nz = 4$ है और बिंदु $A(-1, 4, 3)$ से लंब का पाद $B\left(-2, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है।
चूँकि $B$ समतल पर स्थित है,इसलिए $2(-2) + m(\frac{7}{2}) + n(\frac{3}{2}) = 4$,जो सरल होकर $7m + 3n = 16$ देता है। $(1)$
साथ ही,सदिश $\vec{AB} = B - A = (-2 - (-1), \frac{7}{2} - 4, \frac{3}{2} - 3) = (-1, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, m, n)$ है। चूँकि $\vec{AB}$,$\vec{n}$ के समांतर है,इसलिए $\frac{2}{-1} = \frac{m}{-1/2} = \frac{n}{-3/2} = k$ है।
अतः,$k = -2$,जिससे $m = (-1/2)(-2) = 1$ और $n = (-3/2)(-2) = 3$ प्राप्त होता है।
हमें बिंदु $A$ की समतल $P$ से $3, -1, -4$ दिक-अनुपात वाली रेखा के समांतर दूरी ज्ञात करनी है। मान लीजिए यह रेखा $L$ है। बिंदु $A(-1, 4, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x+1}{3} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z-3}{-4} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $C$,$(3\lambda - 1, -\lambda + 4, -4\lambda + 3)$ है।
चूँकि $C$ समतल $2x + y + 3z = 4$ पर स्थित है,हम $C$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(3\lambda - 1) + 1(-\lambda + 4) + 3(-4\lambda + 3) = 4$
$6\lambda - 2 - \lambda + 4 - 12\lambda + 9 = 4$
$-7\lambda + 11 = 4 \Rightarrow -7\lambda = -7 \Rightarrow \lambda = 1$।
अतः,बिंदु $C$,$(3(1) - 1, -1 + 4, -4(1) + 3) = (2, 3, -1)$ है।
दूरी $AC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$।

(A) दिया गया है $\vec{a} = 3 \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ का उपयोग करते हुए।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} + \lambda \vec{c}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{b} + \lambda \vec{c}$।
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ समांतर नहीं हैं,हम $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ और $-(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \lambda$।
अब,$\vec{a} \cdot \vec{b}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) = (3)(1) + (1)(2) + (0)(1) = 3 + 2 = 5$।
अतः,$\lambda = -(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -5$।

(A) दिया गया है कि $\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}||\hat{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
मान लीजिए $\vec{u} = \hat{a} + \hat{b}$ और $\vec{v} = \hat{a} + 2\hat{b} + 2(\hat{a} \times \hat{b})$.
$|\vec{u}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + 1 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 + \sqrt{2}$.
$|\vec{v}|^2 = |\hat{a} + 2\hat{b} + 2(\hat{a} \times \hat{b})|^2 = |\hat{a}|^2 + 4|\hat{b}|^2 + 4|\hat{a} \times \hat{b}|^2 + 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 0 + 0$.
चूँकि $|\hat{a} \times \hat{b}| = |\hat{a}||\hat{b}| \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $|\hat{a} \times \hat{b}|^2 = \frac{1}{2}$.
$|\vec{v}|^2 = 1 + 4(1) + 4(\frac{1}{2}) + 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 + 4 + 2 + 2\sqrt{2} = 7 + 2\sqrt{2}$.
अब,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\hat{a} + \hat{b}) \cdot (\hat{a} + 2\hat{b} + 2(\hat{a} \times \hat{b})) = |\hat{a}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 0 + (\hat{b} \cdot \hat{a}) + 2|\hat{b}|^2 + 0 = 1 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 = 3 + \frac{3}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{3 + \frac{3}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{7+2\sqrt{2}}}$.
$\cos^2 \theta = \frac{9(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2}{(2+\sqrt{2})(7+2\sqrt{2})} = \frac{9(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}})^2}{14 + 4\sqrt{2} + 7\sqrt{2} + 4} = \frac{9(\frac{3+2\sqrt{2}}{2})}{18 + 11\sqrt{2}} = \frac{9(3+2\sqrt{2})}{2(18+11\sqrt{2})}$.
$164$ से गुणा करने पर: $164 \cos^2 \theta = 164 \times \frac{9(3+2\sqrt{2})}{2(18+11\sqrt{2})} = 82 \times \frac{9(3+2\sqrt{2})}{18+11\sqrt{2}} \times \frac{18-11\sqrt{2}}{18-11\sqrt{2}} = 738 \times \frac{54 - 33\sqrt{2} + 36\sqrt{2} - 44}{324 - 242} = 738 \times \frac{10 + 3\sqrt{2}}{82} = 9(10 + 3\sqrt{2}) = 90 + 27\sqrt{2}$.

(D) दिया है $f(\alpha) = \int_{1}^{\alpha} \frac{\ln t}{(\ln 10)(1+t)} dt$.
$f(e^{3}) = \int_{1}^{e^{3}} \frac{\ln t}{(\ln 10)(1+t)} dt \quad \dots(1)$
$f(e^{-3}) = \int_{1}^{e^{-3}} \frac{\ln t}{(\ln 10)(1+t)} dt$ के लिए,$t = \frac{1}{x}$ रखने पर,$dt = -\frac{1}{x^{2}} dx$.
जब $t=1, x=1$ और जब $t=e^{-3}, x=e^{3}$.
$f(e^{-3}) = \int_{1}^{e^{3}} \frac{\ln(1/x)}{(\ln 10)(1+1/x)} \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) dx = \frac{1}{\ln 10} \int_{1}^{e^{3}} \frac{\ln x}{x(x+1)} dx \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$f(e^{3}) + f(e^{-3}) = \frac{1}{\ln 10} \int_{1}^{e^{3}} \left( \frac{\ln t}{1+t} + \frac{\ln t}{t(1+t)} \right) dt$
$= \frac{1}{\ln 10} \int_{1}^{e^{3}} \frac{\ln t}{t} dt$
$\ln t = u$ रखने पर,$\frac{1}{t} dt = du$. जब $t=1, u=0$ और जब $t=e^{3}, u=3$.
$= \frac{1}{\ln 10} \int_{0}^{3} u du = \frac{1}{\ln 10} \left[ \frac{u^{2}}{2} \right]_{0}^{3} = \frac{9}{2 \log_{e} 10}$.

(D) यह क्षेत्र $y = |x-1|$ और $y = \sqrt{5-x^2}$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$|x-1| = \sqrt{5-x^2}$ रखें।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-1)^2 = 5-x^2 \implies x^2 - 2x + 1 = 5 - x^2 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(x-2)(x+1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 2$ और $x = -1$ है।
$x = 2$ पर $y = 1$ और $x = -1$ पर $y = 2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $\int_{-1}^{2} (\sqrt{5-x^2} - |x-1|) dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसे वृत्त के नीचे के क्षेत्रफल और त्रिभुज के क्षेत्रफल में विभाजित किया जा सकता है।
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx - \int_{-1}^{2} |x-1| dx$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\int_{-1}^{2} |x-1| dx = 2.5$ है।
ज्यामितीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए,अंतिम क्षेत्रफल $\frac{5 \pi}{4} - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = |x-1| \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x^2-5x+4|$.
द्विघात पद का गुणनखंड करने पर: $x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)$.
अतः,$f(x) = |x-1| \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-1||x-4|$.
$|x-1|$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $f(x) = |x-1| [\cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-4|]$.
मान लीजिए $g(x) = |x-1|$ और $h(x) = \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-4|$.
फलन $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $g(x)$ अवकलनीय नहीं है,बशर्ते उन बिंदुओं पर $h(x) \neq 0$ हो।
$g(x) = |x-1|$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$h(1) = \cos |1-2| \sin |1-1| + (1-3)|1-4| = \cos(1) \cdot 0 + (-2) \cdot |-3| = -6 \neq 0$ की जाँच करें।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अब $h(x)$ में $|x-4|$ पद की जाँच करें। फलन $f(x)$ में $(x-3)$ के साथ $|x-4|$ का गुणा है।
$x = 4$ पर,$f(x) = |x-1| \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-1||x-4|$.
$x = 4$ के निकट,$|x-1| \cos |x-2| \sin |x-1|$ पद अवकलनीय है।
पद $(x-3)|x-1||x-4|$,$k(x)|x-4|$ के रूप में है,जहाँ $k(4) = (4-3)|4-1| = 3 \neq 0$.
चूँकि $k(4) \neq 0$,फलन $x = 4$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,फलन $x = 1$ और $x = 4$ पर अवकलनीय नहीं है। कुल बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = 3^{(x^2-2)^3+4} = 81 \cdot 3^{(x^2-2)^3}$.
प्रथम अवकलज: $f'(x) = 81 \cdot 3^{(x^2-2)^3} \cdot \ln 3 \cdot 3(x^2-2)^2 \cdot 2x = (486 \ln 3) \cdot 3^{(x^2-2)^3} \cdot x(x^2-2)^2$.
$P$ के लिए: $x=0$ और $x=\pm \sqrt{2}$ पर $f'(x) = 0$ है। $x=0$ के निकट,$x(x^2-2)^2$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x=0$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है। अतः,$P$ सत्य है।
$Q$ के लिए: $x=\sqrt{2}$ पर $f''(x) = 0$ है। चूँकि $x=\sqrt{2}$ पर $f''(x)$ का चिह्न बदलता है (क्योंकि $(x^2-2)$ एक गुणनखंड है),इसलिए $x=\sqrt{2}$ नति परिवर्तन बिंदु है। अतः,$Q$ सत्य है।
$R$ के लिए: $x > \sqrt{2}$ के लिए,$f'(x) > 0$ है। $f''(x)$ का विश्लेषण करने पर,$x > \sqrt{2}$ के लिए $f''(x) > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ वर्धमान है। अतः,$R$ सत्य है।
इसलिए,सभी कथन $P, Q$ और $R$ सत्य हैं।

(B) दिया गया है कि $(a, -4a, -7)$ दिक-अनुपात वाली रेखा $(3, -1, 2b)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य है: $3a + 4a - 14b = 0 \implies 7a = 14b \implies a = 2b$ $(i)$.
यह $(b, a, -2)$ के भी लंबवत है,इसलिए $ab - 4a^2 + 14 = 0$ $(ii)$.
$a = 2b$ को $(ii)$ में रखने पर: $b(2b) - 4(2b)^2 + 14 = 0 \implies 2b^2 - 16b^2 + 14 = 0 \implies -14b^2 = -14 \implies b^2 = 1$.
अतः,$a^2 = (2b)^2 = 4b^2 = 4$.
रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{4+1} = \frac{y-2}{4-1} = \frac{z}{1} = k$ हो जाता है,अर्थात $\frac{x+1}{5} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{1} = k$.
इससे $\alpha = 5k - 1, \beta = 3k + 2, \gamma = k$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $x - y + z = 0$ पर स्थित है,इसलिए $(5k - 1) - (3k + 2) + k = 0 \implies 3k - 3 = 0 \implies k = 1$.
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = (5k - 1) + (3k + 2) + k = 9k + 1 = 9(1) + 1 = 10$.

(A) $3 \times 3$ क्रम के आव्यूह $A$ में $9$ अवयव होते हैं,जहाँ प्रत्येक अवयव $a_{ij} \in \{0, 1\}$ है।
सभी अवयवों का योग $S = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}$ का मान $0$ से $9$ के बीच हो सकता है।
चूंकि योग एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए,इसलिए संभावित योग $2, 3, 5, 7$ हैं (क्योंकि $0$ और $1$ अभाज्य नहीं हैं,और $9$ अभाज्य नहीं है)।
$k$ अवयवों को $1$ के रूप में चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{9}{k}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
आव्यूहों की कुल संख्या = $\binom{9}{2} + \binom{9}{3} + \binom{9}{5} + \binom{9}{7}$.
प्रत्येक पद की गणना:
$\binom{9}{2} = 36$
$\binom{9}{3} = 84$
$\binom{9}{5} = 126$
$\binom{9}{7} = 36$
कुल = $36 + 84 + 126 + 36 = 282$.

(A) दिया गया है $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} p! & (p+1)! & (p+2)! \\ (p+1)! & (p+2)! & (p+3)! \\ (p+2)! & (p+3)! & (p+4)!\end{array}\right|$.
पंक्ति $1, 2, 3$ से क्रमशः $p!$,$(p+1)!$,और $(p+2)!$ कॉमन लेने पर:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! \left|\begin{array}{ccc} 1 & p+1 & (p+2)(p+1) \\ 1 & p+2 & (p+3)(p+2) \\ 1 & p+3 & (p+4)(p+3)\end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! \left|\begin{array}{ccc} 1 & p+1 & (p+1)(p+2) \\ 0 & 1 & 2(p+2) \\ 0 & 1 & 2(p+3)\end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! [1 \cdot (2(p+3) - 2(p+2))] = p!(p+1)!(p+2)! [2] = 2 \cdot p!(p+1)!(p+2)!$.
चूंकि $p$ और $p+2$ अभाज्य हैं,$p!$ में $p$ एक बार आता है।
$(p+1)! = (p+1)p!$ है,इसलिए $p$ का गुणनखंड $p!$ और $(p+1)!$ में आता है,अतः $p^2$,$p!(p+1)!$ को विभाजित करता है। साथ ही $(p+2)!$ में $p$ एक बार आता है। इसलिए $p^3$,$\Delta$ को विभाजित करता है,अतः $\alpha = 3$.
$(p+2)!$ में $(p+2)$ एक बार आता है। इसलिए $(p+2)^1$,$\Delta$ को विभाजित करता है,अतः $\beta = 1$.
योग $\alpha + \beta = 3 + 1 = 4$.