मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता $\frac{5}{4}$ है। यदि अतिपरवलय पर बिंदु $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण $8 \sqrt{5} x + \beta y = \lambda$ है,तो $\lambda - \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y = 0$ के अनंतस्पर्शी का संयुक्त समीकरण क्या है?

यदि $l$,$-3x^2+4x+1$ का अधिकतम मान है और $m$,$3x^2+4x+1$ का न्यूनतम मान है,तो $(l, 0)$ और $(7m, 0)$ पर नाभियों वाले और उत्केंद्रता $e=2$ वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उस बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी स्पर्श जीवा अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के सापेक्ष,अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियों को जोड़ने वाली रेखा को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त को स्पर्श करती है।

मान लीजिए कि $R$ एक आयत है जो रेखाओं $x=0, x=2, y=0$ और $y=5$ द्वारा दिया गया है। मान लीजिए $A(\alpha, 0)$ और $B(0, \beta)$,जहाँ $\alpha \in [0, 2]$ और $\beta \in [0, 5]$,इस प्रकार हैं कि रेखाखंड $AB$ आयत $R$ के क्षेत्रफल को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। तो,$AB$ का मध्य-बिंदु $.........$ पर स्थित है।

अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसकी उत्केंद्रता $\sqrt{2}$ है और जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $16$ इकाई है।