JEE Main 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दी गई श्रेणी $3+4+8+9+13+14+18+19+\ldots$ में $40$ पद हैं।
हम पदों को जोड़ों में व्यवस्थित कर सकते हैं: $(3+4) + (8+9) + (13+14) + (18+19) + \ldots$
इसमें $20$ ऐसे जोड़े हैं।
प्रत्येक जोड़े के प्रथम पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं: $3, 8, 13, 18, \ldots$ जहाँ $a=3$ और $d=5$ है।
इस श्रेणी का $n$-वाँ पद $a_n = 5n-2$ है।
प्रत्येक जोड़े के दूसरे पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं: $4, 9, 14, 19, \ldots$ जहाँ $a=4$ और $d=5$ है।
इस श्रेणी का $n$-वाँ पद $b_n = 5n-1$ है।
$20$ जोड़ों का योग $\sum_{n=1}^{20} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{20} (10n-3) = 2040$ है।
दिया गया है कि योग $(102)m$ है,इसलिए $102m = 2040$ है।
$m = 20$।

(C) दिया गया समीकरण: $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$.
सर्वसमिका $^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$ का उपयोग करने पर:
$6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$.
दोनों पक्षों को $^{35}C_{r}$ से विभाजित करने पर:
$6 = (k^{2} - 3) \cdot \frac{36}{r+1} \Rightarrow k^{2} - 3 = \frac{r+1}{6}$.
अतः,$k^{2} = \frac{r+19}{6}$.
चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,$k^{2}$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए और $0 \le r \le 35$ है।
$r=5$ के लिए,$k^{2} = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.
$r=35$ के लिए,$k^{2} = 9 \Rightarrow k = \pm 3$.
इस प्रकार,कुल $4$ क्रमित युग्म प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है $a_{1} + a_{2} = 4$ और $a_{3} + a_{4} = 16$।
चूंकि यह एक $G$.$P$. है,$a_{2} = a_{1}r$ और $a_{3} = a_{1}r^{2}$,$a_{4} = a_{1}r^{3}$।
$a_{1}(1 + r) = 4$ --- $(1)$
$a_{1}r^{2}(1 + r) = 16$ --- $(2)$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर,$r^{2} = 4$,इसलिए $r = 2$ या $r = -2$।
यदि $r = 2$ है,तो $a_{1}(1 + 2) = 4 \Rightarrow a_{1} = 4/3 > 0$,जो $a_{1} < 0$ का खंडन करता है।
अतः,$r = -2$। $(1)$ में मान रखने पर,$a_{1}(1 - 2) = 4$ $\Rightarrow -a_{1} = 4$ $\Rightarrow a_{1} = -4$।
प्रथम $9$ पदों का योग $S_{9} = a_{1} \frac{r^{9} - 1}{r - 1} = (-4) \frac{(-2)^{9} - 1}{-2 - 1} = (-4) \frac{-512 - 1}{-3} = (-4) \frac{-513}{-3} = (-4) \times 171 = -684$।
दिया गया है $S_{9} = 4 \lambda$,इसलिए $4 \lambda = -684 \Rightarrow \lambda = -171$।

(A) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
दिया गया कथन: "यदि $A \subseteq B$ और $B \subseteq D,$ तो $A \subseteq C$"
मान लीजिए $p$ है $(A \subseteq B) \land (B \subseteq D)$ और $q$ है $(A \subseteq C)$।
निषेध $\sim q$ है $A \not\subseteq C$।
निषेध $\sim p$ है $\sim((A \subseteq B) \land (B \subseteq D))$,जो डी मॉर्गन के नियम के अनुसार $(A \not\subseteq B) \lor (B \not\subseteq D)$ है।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: "यदि $A \not\subseteq C,$ तो $A \not\subseteq B$ या $B \not\subseteq D$।"

(B) रेखा का समीकरण $3x + 4y = 12\sqrt{2}$ है,जिसे $y = -\frac{3}{4}x + 3\sqrt{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = -\frac{3}{4}$ और $c = 3\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ है।
यहाँ $b^{2} = 9$ है। मान रखने पर: $(3\sqrt{2})^{2} = a^{2}(-\frac{3}{4})^{2} + 9$.
$18 = a^{2}(\frac{9}{16}) + 9$.
$9 = a^{2}(\frac{9}{16}) \Rightarrow a^{2} = 16$,अतः $a = 4$.
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ है। चूंकि $a^{2} > b^{2}$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2 \times 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{7}$ है।

(B) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{10}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$,और $n = 11$ पद हैं।
योग $S = a \frac{1-r^{n}}{1-r} = (1+x)^{10} \frac{1-(\frac{x}{1+x})^{11}}{1-\frac{x}{1+x}} = (1+x)^{11}-x^{11}$ है।
हमें $(1+x)^{11}-x^{11}$ में $x^{7}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1+x)^{11}$ के विस्तार में सामान्य पद $^{11}C_{r} x^{r}$ है।
$r = 7$ के लिए,गुणांक $^{11}C_{7} = \frac{11!}{7!4!} = 330$ है।

(D) समीकरण $x^{2}-x-1=0$ के लिए,विएटा के सूत्रों से $\alpha+\beta=1$ और $\alpha\beta=-1$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha^{2}-\alpha-1=0$ और $\beta^{2}-\beta-1=0$ है।
इन्हें $\alpha^{k-2}$ और $\beta^{k-2}$ से गुणा करने पर,हमें पुनरावृत्ति संबंध $p_{k}=p_{k-1}+p_{k-2}$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर:
$p_{1}=1$
$p_{2}=3$
$p_{3}=4$
$p_{4}=7$
$p_{5}=11$
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: 1+3+4+7+11 = 26$ (सत्य)
$B: p_{5}=11$ (सत्य)
$C: p_{5}-p_{4} = 11-7 = 4 = p_{3}$ (सत्य)
$D: p_{2} \cdot p_{3} = 3 \cdot 4 = 12 \neq p_{5}$ (असत्य)
अतः,विकल्प $D$ असत्य है।

(C) माना रेखा $x=2y$ पर एक बिंदु $P(2\alpha, \alpha)$ है।
माना $P$ से रेखा $x-y=0$ पर खींचा गया लंब उसे $Q(\beta, \beta)$ पर मिलता है।
$PQ$ की ढाल $\frac{\alpha-\beta}{2\alpha-\beta}$ है।
चूंकि $PQ$,रेखा $x-y=0$ (ढाल $1$) के लंबवत है,इसलिए $PQ$ की ढाल $-1$ होनी चाहिए।
अतः,$\frac{\alpha-\beta}{2\alpha-\beta} = -1 \implies \alpha-\beta = -2\alpha+\beta \implies 3\alpha = 2\beta \implies \beta = \frac{3\alpha}{2}$.
माना $(h, k)$ $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
$h = \frac{2\alpha+\beta}{2} = \frac{2\alpha + \frac{3\alpha}{2}}{2} = \frac{7\alpha}{4}$.
$k = \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\alpha + \frac{3\alpha}{2}}{2} = \frac{5\alpha}{4}$.
अब,$\frac{h}{k} = \frac{7\alpha/4}{5\alpha/4} = \frac{7}{5}$.
$5h = 7k \implies 5x-7y=0$.

(C) माना $z = \frac{3 + i \sin \theta}{4 - i \cos \theta}$। $z$ के वास्तविक होने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(4 + i \cos \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3 + i \sin \theta)(4 + i \cos \theta)}{16 + \cos^2 \theta} = \frac{12 - \sin \theta \cos \theta + i(3 \cos \theta + 4 \sin \theta)}{16 + \cos^2 \theta}$.
काल्पनिक भाग $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 0$ है,जिससे $\tan \theta = -\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta + i \cos \theta$ का कोणांक $\pi - \tan^{-1}(\frac{4}{3})$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-8x-4y+16=0$ है।
$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-4, f=-2, c=16$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (4, 2)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{16+4-16} = \sqrt{4} = 2$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{S_{1}} = \sqrt{0^{2}+0^{2}-8(0)-4(0)+16} = \sqrt{16} = 4$ है।
स्पर्श जीवा $AB$ की लंबाई का सूत्र $AB = \frac{2LR}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}}$ है।
मान रखने पर,$AB = \frac{2 \times 4 \times 2}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}} = \frac{16}{\sqrt{16+4}} = \frac{16}{\sqrt{20}} = \frac{16}{2\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(AB)^{2} = \left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right)^{2} = \frac{64}{5}$ है।

(C) $8$ संख्याओं का माध्य $10$ है:
$\frac{3+7+9+12+13+20+x+y}{8} = 10$
$64+x+y = 80$
$x+y = 16$ (समीकरण $1$)
प्रसरण $25$ है:
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{माध्य})^2 = 25$
$\frac{3^2+7^2+9^2+12^2+13^2+20^2+x^2+y^2}{8} - 10^2 = 25$
$\frac{9+49+81+144+169+400+x^2+y^2}{8} = 125$
$852+x^2+y^2 = 1000$
$x^2+y^2 = 148$ (समीकरण $2$)
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ का उपयोग करने पर:
$16^2 = 148 + 2xy$
$256 = 148 + 2xy$
$2xy = 108$
$xy = 54$

(A) समुच्चय $X$ में $50$ अवयव हैं।
$A = \{2, 4, 6, \dots, 50\}$,इसलिए $n(A) = \lfloor 50/2 \rfloor = 25$.
$B = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\}$,इसलिए $n(B) = \lfloor 50/7 \rfloor = 7$.
$A \cap B$ में $\text{lcm}(2, 7) = 14$ के गुणज शामिल हैं,जो $\{14, 28, 42\}$ हैं। अतः,$n(A \cap B) = 3$.
$A$ और $B$ दोनों को समाहित करने वाला $X$ का सबसे छोटा उपसमुच्चय $A \cup B$ है।
सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,
$n(A \cup B) = 25 + 7 - 3 = 29$.

(B) दिया है $\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=1.$
$z=x+iy$ रखने पर:
$\frac{z-1}{2z+i} = \frac{(x-1)+iy}{2x+i(2y+1)} = \frac{((x-1)+iy)(2x-i(2y+1))}{(2x)^2+(2y+1)^2}$
वास्तविक भाग $\frac{2x(x-1)+y(2y+1)}{(2x)^2+(2y+1)^2} = 1$ है.
$2x^2-2x+2y^2+y = 4x^2+4y^2+4y+1.$
$2x^2+2y^2+2x+3y+1 = 0.$
$x^2+y^2+x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} = 0.$
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$ है.
व्यास $2r = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।

(C) $A.P.$ में पाँच संख्याएँ $(a-2d, a-d, a, a+d, a+2d)$ मानिए।
योग $25$ दिया गया है,इसलिए $5a = 25$,जिससे $a = 5$ प्राप्त होता है।
गुणनफल $5(25-4d^2)(25-d^2) = 2520$ है,जिसे सरल करने पर $(25-4d^2)(25-d^2) = 504$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को हल करने पर $4d^4 - 125d^2 + 121 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(4d^2 - 121)(d^2 - 1) = 0$ हैं।
अतः $d^2 = 1$ या $d^2 = \frac{121}{4}$ प्राप्त होता है।
$d^2 = \frac{121}{4}$ लेने पर,$d = \pm \frac{11}{2}$ प्राप्त होता है।
श्रेणी $-6, -0.5, 5, 10.5, 16$ बनती है।
अतः सबसे बड़ी संख्या $16$ है।

(C) रेखा $y=mx+4$ परवलय $y^{2}=4x$ की स्पर्शरेखा है। $y=mx+c$ से तुलना करने पर,जहाँ $c=4$,स्पर्शरेखा की शर्त $c=\frac{a}{m}$ के अनुसार $4=\frac{1}{m}$,इसलिए $m=\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=\frac{1}{4}x+4$ परवलय $x^{2}=2by$ की भी स्पर्शरेखा है। रेखा के समीकरण से $y$ का मान परवलय के समीकरण में रखने पर,$x^{2}=2b(\frac{1}{4}x+4)$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $x^{2}-\frac{b}{2}x-8b=0$ में सरल हो जाता है।
चूँकि रेखा स्पर्शरेखा है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = (-\frac{b}{2})^{2} - 4(1)(-8b) = 0$.
$\frac{b^{2}}{4} + 32b = 0$.
$b^{2} + 128b = 0$.
$b(b+128) = 0$.
चूँकि $b \neq 0$,इसलिए $b=-128$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है,अतः $ae = 3$ $(1)$.
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = 12$ है,अतः $a = 6e$ $(2)$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$6e^2 = 3$,जिसका अर्थ है $e^2 = \frac{1}{2}$,अतः $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
तब $a = 6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = (3\sqrt{2})^2(1 - \frac{1}{2}) = 18 \times \frac{1}{2} = 9$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(9)}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ है।

(A) $6$-अंकों की संख्या बनाने के लिए जिसमें सभी पाँच अंक $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ शामिल हों,एक अंक को दो बार और शेष चार अंकों को एक-एक बार आना चाहिए।
चरण $1$: $5$ अंकों में से दोहराए जाने वाले अंक को चुनने के तरीके $^5C_1 = 5$ हैं।
चरण $2$: इन $6$ अंकों का क्रमचय $\frac{6!}{2!}$ है।
चरण $3$: कुल संख्याएँ $^5C_1 \times \frac{6!}{2!} = 5 \times 360 = 1800$ हैं।
नोट: $\frac{5}{2}(6!) = 1800$। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(k+1) \tan^{2} x - (\sqrt{2} \lambda) \tan x + (k-1) = 0$ है।
माना $t = \tan x$,तब $(k+1) t^{2} - (\sqrt{2} \lambda) t + (k-1) = 0$.
चूँकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,$\tan \alpha$ और $\tan \beta$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
मूलों का योग: $\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}$.
मूलों का गुणनफल: $\tan \alpha \tan \beta = \frac{k-1}{k+1}$.
सूत्र $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}}{1 - \frac{k-1}{k+1}} = \frac{\sqrt{2} \lambda}{2} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$.
दिया है $\tan^{2}(\alpha+\beta) = 50$,इसलिए $\left(\frac{\lambda}{\sqrt{2}}\right)^{2} = 50$.
$\frac{\lambda^{2}}{2} = 50 \implies \lambda^{2} = 100 \implies \lambda = \pm 10$.
अतः,$\lambda$ का एक संभावित मान $10$ है।

(C) दिया गया तार्किक कथन $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow \sim p)$ है।
निहित नियम $a \Rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee \sim p)$
क्रमविनिमेय नियम का उपयोग करके,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
वितरण नियम $x \vee (y \wedge z) \equiv (x \vee y) \wedge (x \vee z)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sim p \vee (q \wedge \sim q)$
चूंकि $q \wedge \sim q$ एक विरोधाभास $(C)$ है:
$\sim p \vee C \equiv \sim p$
अतः,यह कथन $\sim p$ के समतुल्य है।

(C) दिया गया योग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = 1 + 49 + 49^2 + \ldots + 49^{125}$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$S = \frac{49^{126}-1}{49-1} = \frac{49^{126}-1}{48}$.
हम $49^{126}-1$ को $(49^{63})^2 - 1^2 = (49^{63}-1)(49^{63}+1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$S = \frac{(49^{63}-1)(49^{63}+1)}{48}$.
$49^k+1$ को $S$ का गुणनखंड होने के लिए,हम देखते हैं कि $49^{63}+1$,$S$ का एक गुणनखंड है क्योंकि $48$,$(49^{63}-1)$ को विभाजित करता है (चूंकि $49 \equiv 1 \pmod{48}$,इसलिए $49^{63} \equiv 1^{63} \equiv 1 \pmod{48}$,जिसका अर्थ है कि $49^{63}-1$,$48$ का एक गुणज है)।
इसलिए,सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक $k = 63$ है।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{3^{x}+3^{3-x}-12}{3^{-x / 2}-3^{1-x}}$.
$t = 3^{x/2}$ प्रतिस्थापित करने पर,जब $x \rightarrow 2$,तब $t \rightarrow 3^{2/2} = 3$.
अतः $3^x = t^2$ और $3^{3-x} = \frac{27}{t^2}$.
साथ ही $3^{-x/2} = \frac{1}{t}$ और $3^{1-x} = \frac{3}{t^2}$.
व्यंजक इस प्रकार होगा:
$L = \lim _{t \rightarrow 3} \frac{t^2 + \frac{27}{t^2} - 12}{\frac{1}{t} - \frac{3}{t^2}} = \lim _{t \rightarrow 3} \frac{\frac{t^4 - 12t^2 + 27}{t^2}}{\frac{t - 3}{t^2}} = \lim _{t \rightarrow 3} \frac{t^4 - 12t^2 + 27}{t - 3}$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $t^4 - 12t^2 + 27 = (t^2 - 9)(t^2 - 3) = (t - 3)(t + 3)(t^2 - 3)$.
$L = \lim _{t \rightarrow 3} \frac{(t - 3)(t + 3)(t^2 - 3)}{t - 3} = \lim _{t \rightarrow 3} (t + 3)(t^2 - 3)$.
$t = 3$ रखने पर: $L = (3 + 3)(3^2 - 3) = 6 \times (9 - 3) = 6 \times 6 = 36$.

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\frac{n^{2}-1}{12}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\frac{n^{2}-1}{12} = 10$,अतः $n^{2}-1 = 120$,जिससे $n^{2} = 121$,अर्थात $n = 11$ प्राप्त होता है।
प्रथम $m$ सम प्राकृतिक संख्याओं $(2, 4, 6, ..., 2m)$ का प्रसरण,प्रथम $m$ प्राकृतिक संख्याओं के प्रसरण का $4$ गुना होता है।
अतः,प्रसरण $\frac{m^{2}-1}{3}$ है।
दिया गया है $\frac{m^{2}-1}{3} = 16$,अतः $m^{2}-1 = 48$,जिससे $m^{2} = 49$,अर्थात $m = 7$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m + n = 7 + 11 = 18$.

(A) माना $P(x) = (1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n}) = \sum_{k=0}^{4n} a_k x^k$.
सम घातों के गुणांकों का योग $\frac{P(1) + P(-1)}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
पहले,$P(1)$ की गणना करें:
$P(1) = (1+1+1^{2}+\ldots+1^{2n})(1-1+1^{2}-1^{3}+\ldots+1^{2n}) = (2n+1)(1) = 2n+1$.
इसके बाद,$P(-1)$ की गणना करें:
$P(-1) = (1-1+1-1+\ldots+1)(1-(-1)+(-1)^{2}-(-1)^{3}+\ldots+(-1)^{2n}) = (1)(2n+1) = 2n+1$.
सम घातों के गुणांकों का योग $= \frac{(2n+1) + (2n+1)}{2} = 2n+1$.
दिया गया है कि $2n+1 = 61$,इसलिए $2n = 60$,अर्थात $n = 30$.

(B) यदि त्रिभुज $ABC$ के अंदर एक बिंदु $P$ इसे समान क्षेत्रफल वाले तीन त्रिभुजों $APC, APB$ और $BPC$ में विभाजित करता है,तो $P$ त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक (centroid) होना चाहिए।
केंद्रक $P(x, y)$ के निर्देशांक शीर्षों $A(1, 0), B(6, 2)$ और $C(\frac{3}{2}, 6)$ के निर्देशांकों के औसत से प्राप्त होते हैं:
$x = \frac{1 + 6 + 1.5}{3} = \frac{8.5}{3} = \frac{17}{6}$
$y = \frac{0 + 2 + 6}{3} = \frac{8}{3}$
अतः,$P = (\frac{17}{6}, \frac{8}{3})$.
हमें $PQ$ की दूरी ज्ञात करनी है जहाँ $Q = (-\frac{7}{6}, -\frac{1}{3})$ है:
$PQ = \sqrt{(\frac{17}{6} - (-\frac{7}{6}))^2 + (\frac{8}{3} - (-\frac{1}{3}))^2}$
$PQ = \sqrt{(\frac{24}{6})^2 + (\frac{9}{3})^2}$
$PQ = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(B) दिया गया वक्र $x^{2}+2xy-3y^{2}=0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} - 6y\frac{dy}{dx} = 0$।
बिंदु $(2,2)$ पर: $2(2) + 2(2) + 2(2)\frac{dy}{dx} - 6(2)\frac{dy}{dx} = 0$।
$4 + 4 + 4\frac{dy}{dx} - 12\frac{dy}{dx} = 0 \implies 8 - 8\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = 1$।
बिंदु $(2,2)$ पर स्पर्श रेखा (tangent) की ढाल $m_{T} = 1$ है।
बिंदु $(2,2)$ पर अभिलंब (normal) की ढाल $m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = -1$ है।
बिंदु $(2,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - 2) = -1(x - 2) \implies y - 2 = -x + 2 \implies x + y - 4 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $x + y - 4 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=1$ है। बिंदु $P\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल अवकलन द्वारा प्राप्त होती है: $2x+2yy'=0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}$.
$P$ पर,ढाल $m_{L1} = -\frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = -1$.
चूँकि रेखा $y=mx+c$,$L_{1}$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = -\frac{1}{m_{L1}} = -\frac{1}{-1} = 1$.
अतः,रेखा $y=x+c$ या $x-y+c=0$ है।
यह रेखा वृत्त $(x-3)^{2}+y^{2}=1$ की स्पर्शरेखा है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $x-y+c=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|3-0+c|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = 1 \Rightarrow |3+c| = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3+c)^{2} = 2$ $\Rightarrow 9+6c+c^{2} = 2$ $\Rightarrow c^{2}+6c+7=0$.

(A) एक कथन एक पुनरुक्ति है यदि इसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए इसका सत्य मान हमेशा $T$ होता है।
विकल्प $A$ का विश्लेषण करें: $\sim(p \vee \sim q) \rightarrow (p \vee q)$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$।
अतः,व्यंजक $(\sim p \wedge q) \rightarrow (p \vee q)$ बन जाता है।
यह $\sim(\sim p \wedge q) \vee (p \vee q) \equiv (p \vee \sim q) \vee (p \vee q) \equiv p \vee (\sim q \vee q) \equiv p \vee T \equiv T$ के समतुल्य है।
चूंकि परिणाम हमेशा $T$ है,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(B) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया है $T_{10} = a + 9d = \frac{1}{20} \quad \dots (i)$
दिया है $T_{20} = a + 19d = \frac{1}{10} \quad \dots (ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(a + 19d) - (a + 9d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$10d = \frac{1}{20} \implies d = \frac{1}{200}$
$d$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$a + 9(\frac{1}{200}) = \frac{1}{20} \implies a = \frac{10}{200} - \frac{9}{200} = \frac{1}{200}$
अब,प्रथम $200$ पदों का योग $S_{200}$:
$S_{200} = \frac{200}{2}[2(\frac{1}{200}) + 199(\frac{1}{200})] = 100[\frac{201}{200}] = \frac{201}{2} = 100 \frac{1}{2}$

(C) माना $f(x) = (x+\sqrt{x^{2}-1})^{6}+(x-\sqrt{x^{2}-1})^{6}$.
द्विपद विस्तार $(a+b)^n + (a-b)^n = 2[^{n}C_{0}a^n + ^{n}C_{2}a^{n-2}b^2 + ^{n}C_{4}a^{n-4}b^4 + ^{n}C_{6}a^{n-6}b^6]$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2[^{6}C_{0}x^{6} + ^{6}C_{2}x^{4}(x^{2}-1) + ^{6}C_{4}x^{2}(x^{2}-1)^{2} + ^{6}C_{6}(x^{2}-1)^{3}]$.
पदों का विस्तार करने पर:
$f(x) = 2[1 \cdot x^{6} + 15(x^{6}-x^{4}) + 15x^{2}(x^{4}-2x^{2}+1) + 1(x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1)]$.
$f(x) = 2[x^{6} + 15x^{6}-15x^{4} + 15x^{6}-30x^{4}+15x^{2} + x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1]$.
$f(x) = 2[32x^{6} - 48x^{4} + 18x^{2} - 1]$.
$f(x) = 64x^{6} - 96x^{4} + 36x^{2} - 2$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$\alpha = -96$ और $\beta = 36$.
अतः,$\alpha - \beta = -96 - 36 = -132$.

(A) सीमा $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} t \sin(10t) dt}{x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम देखते हैं कि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप में है।
$L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं।
अंश के लिए $Leibniz$ समाकलन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} t \sin(10t) dt = x \sin(10x)$।
हर $x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन $1$ होता है।
इस प्रकार,सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin(10x)}{1}$ हो जाती है।
जैसे $x \rightarrow 0$,वैसे ही $x \sin(10x) \rightarrow 0 \times \sin(0) = 0 \times 0 = 0$।

(A) दिया गया है $n = 20$,$\text{माध्य} = 10$,और $\text{प्रसरण} = 4$।
$\frac{\sum x_i}{20} = 10 \implies \sum x_i = 200$।
$\frac{\sum x_i^2}{20} - (10)^2 = 4 \implies \frac{\sum x_i^2}{20} = 104 \implies \sum x_i^2 = 2080$।
प्रेक्षणों का सही योग $= 200 - 9 + 11 = 202$।
सही माध्य $= \frac{202}{20} = 10.1$।
वर्गों का सही योग $= 2080 - 9^2 + 11^2 = 2080 - 81 + 121 = 2120$।
सही प्रसरण $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{माध्य})^2 = \frac{2120}{20} - (10.1)^2$।
$= 106 - 102.01 = 3.99$।

(C) अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
यहाँ $a = 6$ है,अतः समीकरण $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
बिंदु $P(10, 16)$ समीकरण में रखने पर: $\frac{100}{36} - \frac{256}{b^2} = 1$.
$\frac{25}{9} - 1 = \frac{256}{b^2} \implies \frac{16}{9} = \frac{256}{b^2} \implies b^2 = 144$.
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{144} = 1$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} + \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 + b^2$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{36x}{10} + \frac{144y}{16} = 36 + 144 = 180$.
$3.6x + 9y = 180 \implies 2x + 5y = 100$.

(D) मान लीजिए $P(A)$ और $P(B)$ क्रमशः घटनाओं $A$ और $B$ की प्रायिकताएँ हैं।
उनमें से ठीक एक के घटित होने की प्रायिकता $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{2}{5}$ है।
$A$ या $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2}$ है।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(P(A) + P(B) - P(A \cap B)) - (P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5}$.
$P(A \cap B) = \frac{5 - 4}{10} = \frac{1}{10} = 0.10$.

(D) मान लीजिए $3^{x} = t$,जहाँ $t > 0$ है।
समीकरण $t(t-1) + 2 = |t-1| + |t-2|$ बन जाता है।
$t^{2} - t + 2 = |t-1| + |t-2|$.
स्थिति-$I$: $0 < t < 1$.
$t^{2} - t + 2 = (1 - t) + (2 - t) = 3 - 2t$.
$t^{2} + t - 1 = 0$.
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$,जो $0 < t < 1$ को संतुष्ट करता है।
स्थिति-$II$: $1 \leq t < 2$.
$t^{2} - t + 2 = (t - 1) + (2 - t) = 1$.
$t^{2} - t + 1 = 0$.
विविक्तकर $D = (-1)^{2} - 4(1)(1) = -3 < 0$,अतः कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति-$III$: $t \geq 2$.
$t^{2} - t + 2 = (t - 1) + (t - 2) = 2t - 3$.
$t^{2} - 3t + 5 = 0$.
विविक्तकर $D = (-3)^{2} - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 < 0$,अतः कोई वास्तविक हल नहीं है।
इस प्रकार,$t$ का केवल एक ही मान्य मान $t = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ है।
चूँकि $3^{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,इसलिए $x$ का केवल एक वास्तविक मान प्राप्त होता है,जो $x = \log_{3}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ है।
अतः,$S$ एक एकल समुच्चय है।

(A) दिया गया है $\alpha = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है,जो $\omega^{3} = 1$ और $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ को संतुष्ट करता है।
$a = (1 + \omega) (1 + \omega^{2} + \omega^{4} + \dots + \omega^{200})$ के लिए।
चूँकि $\omega^{3} = 1$,अनुक्रम $1, \omega^{2}, \omega^{4}, \dots$ हर तीन पदों में $1, \omega^{2}, \omega$ के रूप में दोहराता है। तीन क्रमागत पदों का योग $1 + \omega^{2} + \omega = 0$ होता है।
योग में कुल $101$ पद हैं। पहले $99$ पदों का योग $0$ है। शेष दो पद $100$वें और $101$वें पद हैं: $1 + \omega^{2}$।
अतः,$a = (1 + \omega)(1 + \omega^{2}) = 1 + \omega^{2} + \omega + \omega^{3} = 0 + 1 = 1$.
$b = \sum_{k=0}^{100} \alpha^{3k} = \sum_{k=0}^{100} (\omega^{3})^{k} = \sum_{k=0}^{100} (1)^{k} = 101$.
मूल $a = 1$ और $b = 101$ वाला द्विघात समीकरण $(x - 1)(x - 101) = 0$ है,जो $x^{2} - 102x + 101 = 0$ है।

(A) दिया गया है $\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{1+\cos 2 \alpha}}=\frac{1}{7}$। चूंकि $1+\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha$,इसलिए $\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = \tan \alpha = \frac{1}{7}$।
दिया गया है $\sqrt{\frac{1-\cos 2 \beta}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$। चूंकि $1-\cos 2 \beta = 2 \sin^2 \beta$,इसलिए $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
$\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ होने पर,$\tan \beta = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan 2 \beta = \frac{2 \tan \beta}{1-\tan^2 \beta} = \frac{3}{4}$ का उपयोग करने पर।
अंत में,$\tan (\alpha+2 \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan 2 \beta}{1 - \tan \alpha \tan 2 \beta} = \frac{1/7 + 3/4}{1 - (1/7)(3/4)} = 1$।

(B) परवलय $y^2=x$ है। मान लीजिए $P$ बिंदु $(t^2, t)$ है जहाँ $t>0$ है।
रेखा $y=mx$,$P(t^2, t)$ से गुजरती है,इसलिए $t=m(t^2)$,जिससे $m=1/t$ प्राप्त होता है।
$P(t^2, t)$ पर $y^2=x$ की स्पर्श रेखा $ty = \frac{1}{2}(x+t^2)$ है।
$x$-अंतःखंड $Q$ ज्ञात करने के लिए $y=0$ रखने पर,$0 = \frac{1}{2}(x+t^2)$,इसलिए $x = -t^2$। अतः,$Q$ बिंदु $(-t^2, 0)$ है।
$\Delta OPQ$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$P(t^2, t)$,और $Q(-t^2, 0)$ हैं।
क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_O(y_P-y_Q) + x_P(y_Q-y_O) + x_Q(y_O-y_P)| = 4$ है।
$\frac{1}{2} |0(t-0) + t^2(0-0) + (-t^2)(0-t)| = 4$।
$\frac{1}{2} |t^3| = 4 \implies t^3 = 8 \implies t = 2$।
चूँकि $m = 1/t$,इसलिए $m = 1/2 = 0.5$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$,$\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$,और $\sum_{n=1}^{k} n^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$.
दिया गया योग $\frac{1}{4} \sum_{n=1}^{7} (2n^3 + 3n^2 + n)$ है।
$k=7$ के लिए सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{7} n = \frac{7 \times 8}{2} = 28$.
$\sum_{n=1}^{7} n^2 = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140$.
$\sum_{n=1}^{7} n^3 = (28)^2 = 784$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
योग $= \frac{1}{4} [2(784) + 3(140) + 28] = \frac{1}{4} [1568 + 420 + 28] = \frac{2016}{4} = 504$.

(D) $'EXAMINATION'$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A, A, I, I, N, N, E, X, M, T, O$।
भिन्न अक्षर $A, I, N, E, X, M, T, O$ ($8$ भिन्न अक्षर) हैं।
पुनरावृत्त अक्षर $A, I, N$ हैं (प्रत्येक $2$ बार)।
हमें $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$1$. दो एक प्रकार के समान और दो दूसरे प्रकार के समान:
चयन: $^3C_2 = 3$ तरीके।
व्यवस्था: $3 \times \frac{4!}{2!2!} = 18$ तरीके।
$2$. दो समान और दो भिन्न:
चयन: $^3C_1 \times ^7C_2 = 63$ तरीके।
व्यवस्था: $63 \times \frac{4!}{2!} = 756$ तरीके।
$3$. चारों भिन्न:
चयन: $^8C_4 = 70$ तरीके।
व्यवस्था: $70 \times 4! = 1680$ तरीके।
कुल शब्दों की संख्या = $18 + 756 + 1680 = 2454$।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^{2}+y^{2}=1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{(1/\sqrt{2})^{2}} + \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए बिंदु $P$ $(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta, \sin\theta)$ है।
बिंदु $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\cos\theta} - \frac{by}{\sin\theta} = a^{2}-b^{2}$ है,जहाँ $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $b=1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x}{\sqrt{2}\cos\theta} - \frac{y}{\sin\theta} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{x}{(-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta)} + \frac{y}{(\frac{1}{2}\sin\theta)} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए अंतःखंडों $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ और $(0, \beta)$ से तुलना करने पर,$-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta = -\frac{1}{3\sqrt{2}} \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{3}$।
चूंकि $\sin^{2}\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$,इसलिए $\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta = \frac{1}{2}\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$।

(B) दिया गया है कि $(2^{1+x}+2^{1-x})$,$f(x)$,और $(3^x+3^{-x})$ $A.P.$ में हैं।
$A.P.$ के गुणधर्म के अनुसार,$2f(x) = (2^{1+x}+2^{1-x}) + (3^x+3^{-x})$.
$f(x) = \frac{2(2^x+2^{-x}) + (3^x+3^{-x})}{2} = (2^x+2^{-x}) + \frac{1}{2}(3^x+3^{-x})$.
$A.M. \geq G.M.$ असमिका का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a^x + a^{-x} \geq 2$ जहाँ $a > 0$.
अतः,$2^x+2^{-x} \geq 2$ और $3^x+3^{-x} \geq 2$.
इसलिए,$f(x) \geq 2 + \frac{1}{2}(2) = 2 + 1 = 3$.
$f(x)$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(D) $^{n}C_{r}$ का अधिकतम मान $^{n}C_{n/2}$ होता है यदि $n$ सम है,और $^{n}C_{(n-1)/2}$ या $^{n}C_{(n+1)/2}$ होता है यदि $n$ विषम है।
$a = ^{19}C_{p}$ के लिए,अधिकतम मान $^{19}C_{9} = ^{19}C_{10} = a$ है।
$b = ^{20}C_{q}$ के लिए,अधिकतम मान $^{20}C_{10} = b$ है।
$c = ^{21}C_{r}$ के लिए,अधिकतम मान $^{21}C_{10} = ^{21}C_{11} = c$ है।
हम जानते हैं कि $b = ^{20}C_{10} = \frac{20}{10} \times ^{19}C_{9} = 2a$ है।
अतः $c = ^{21}C_{10} = \frac{21}{11} \times ^{20}C_{10} = \frac{21}{11}b = \frac{21}{11}(2a) = \frac{42a}{11}$ है।
इस प्रकार,$a : b : c = a : 2a : \frac{42a}{11} = 1 : 2 : \frac{42}{11} = 11 : 22 : 42$ है।
अतः $\frac{a}{11} = \frac{b}{22} = \frac{c}{42}$ प्राप्त होता है।

(D) सीमा $1^{\infty}$ के रूप में है।
सूत्र $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [f(x)-1]g(x)}$ का उपयोग करने पर:
अभीष्ट सीमा $= e^{\lim_{x \to 0} \left(\frac{3x^2+2}{7x^2+2} - 1\right) \cdot \frac{1}{x^2}}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \left(\frac{3x^2+2 - (7x^2+2)}{7x^2+2}\right) \cdot \frac{1}{x^2}}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \left(\frac{-4x^2}{7x^2+2}\right) \cdot \frac{1}{x^2}}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \left(\frac{-4}{7x^2+2}\right)}$
$= e^{\frac{-4}{0+2}} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

(C) रेखा $AB$ का समीकरण जो $(1, -1)$ और $(0, 2)$ से होकर गुजरती है,$3x + y - 2 = 0$ है।
आधार $AB$ की लंबाई $\sqrt{10}$ है।
$\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 5$.
$\frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times h = 5 \Rightarrow h = \sqrt{10}$.
बिंदु $P$ की रेखा $AB$ से लंबवत दूरी $\frac{|4\lambda - 2|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ है।
$|4\lambda - 2| = 10 \Rightarrow 4\lambda - 2 = 10$ या $4\lambda - 2 = -10$.
अतः,$\lambda = 3$ या $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।

(D) माना समीकरण $x^{2}+bx+45=0$ के मूल $z$ और $\bar{z}$ हैं।
चूंकि मूल सम्मिश्र हैं,विविक्तकर $D < 0$,इसलिए $b^{2}-4(45) < 0$,जिसका अर्थ है $b^{2} < 180$।
मूल $z = \frac{-b \pm i\sqrt{180-b^{2}}}{2}$ हैं।
दिया है $|z+1| = 2\sqrt{10}$,इसलिए $|z+1|^{2} = 40$।
माना $z = x+iy$,तो $x = -b/2$ और $y = \pm \frac{\sqrt{180-b^{2}}}{2}$।
अतः,$(x+1)^{2} + y^{2} = 40$।
मान रखने पर,$(1 - b/2)^{2} + \frac{180-b^{2}}{4} = 40$।
$1 - b + \frac{b^{2}}{4} + 45 - \frac{b^{2}}{4} = 40$।
$46 - b = 40$,जिससे $b = 6$ प्राप्त होता है।
अब,$b=6$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$b^{2}-b = 36-6 = 30$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) पुनरुक्ति (tautology) एक ऐसा कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
$1$. $P \wedge (P \vee Q) \equiv P$ के लिए,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$2$. $P \vee (P \wedge Q) \equiv P$ के लिए,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$3$. $Q$ $\rightarrow (P \wedge (P$ $\rightarrow Q)) \equiv \sim Q \vee P$ के लिए,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$4$. $(P \wedge (P$ $\rightarrow Q))$ $\rightarrow Q \equiv (P \wedge Q)$ $\rightarrow Q \equiv \sim P \vee t \equiv t$ के लिए।
चूंकि परिणाम $t$ (सत्य) है,इसलिए विकल्प $D$ एक पुनरुक्ति है।

(B) माना परवलय $x^{2}=4y$ पर स्थित बिंदु $Q(2t, t^{2})$ है।
माना बिंदु $P(h, k)$,$A(0, -1)$ और $Q(2t, t^{2})$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक:
$h = \frac{1(2t) + 2(0)}{1+2} = \frac{2t}{3} \Rightarrow t = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1(t^{2}) + 2(-1)}{1+2} = \frac{t^{2}-2}{3} \Rightarrow 3k = t^{2}-2$
$t = \frac{3h}{2}$ को समीकरण $3k = t^{2}-2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3k = \left(\frac{3h}{2}\right)^{2} - 2$
$3k = \frac{9h^{2}}{4} - 2$
$12k = 9h^{2} - 8$
$9h^{2} - 12k = 8$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $9x^{2}-12y=8$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^{2} + (a-10)x + (\frac{33}{2} - 2a) = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (a-10)^{2} - 4(2)(\frac{33}{2} - 2a) \geq 0$.
$D = a^{2} - 4a - 32 \geq 0$.
$(a-8)(a+4) \geq 0$.
यह असमिका $a \in (-\infty, -4] \cup [8, \infty)$ के लिए सत्य है।
चूंकि हमें $a$ का न्यूनतम धनात्मक मान ज्ञात करना है,इसलिए हम अंतराल $[8, \infty)$ पर विचार करेंगे।
अतः,न्यूनतम धनात्मक मान $8$ है।

(C) योग $\sum_{k=1}^{20} \frac{k(k+1)}{2}$ द्वारा दिया गया है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$1+2+\ldots+k = \frac{k(k+1)}{2}$।
हमें $\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{20} (k^2 + k)$ की गणना करनी है।
$n=20$ के लिए योग के सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$।
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(21)}{2} = 210$।
अतः,कुल योग $\frac{1}{2} (2870 + 210) = \frac{1}{2} (3080) = 1540$ है।

(D) कुल कंचों की संख्या $= 5 + 4 + 3 = 12$.
$12$ कंचों में से $4$ कंचे चुनने के कुल तरीके $= ^{12}C_{4} = 495$.
हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें अधिकतम $3$ लाल कंचे हों।
यह इसके बराबर है: (कुल तरीके) - (वे तरीके जिनमें सभी $4$ कंचे लाल हों)।
$5$ लाल कंचों में से $4$ लाल कंचे चुनने के तरीके $= ^{5}C_{4} = 5$.
अतः,अधिकतम $3$ लाल कंचे होने के तरीकों की संख्या $= 495 - 5 = 490$.

(D) माना लोहे की गेंद की त्रिज्या $r = 10 \, cm$ है और बर्फ की परत की मोटाई $h$ है।
बर्फ सहित गोले की कुल त्रिज्या $R = 10 + h$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V$,बर्फ के साथ गोले के आयतन और लोहे की गेंद के आयतन के बीच का अंतर है:
$V = \frac{4}{3}\pi (10 + h)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3(10 + h)^2 \cdot \frac{dh}{dt} = 4\pi (10 + h)^2 \frac{dh}{dt}$
दिया गया है कि बर्फ $50 \, cm^3/min$ की दर से पिघल रही है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = -50 \, cm^3/min$ है।
समीकरण में $h = 5 \, cm$ और $\frac{dV}{dt} = -50$ रखने पर:
$-50 = 4\pi (10 + 5)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (225) \frac{dh}{dt}$
$-50 = 900\pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \, cm/min$.
अतः,बर्फ की मोटाई के घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \, cm/min$ है।

(B) माना $x = \sin \theta$ और $y = \sin \alpha$ है।
दिए गए समीकरण $y \sqrt{1-x^{2}} = k - x \sqrt{1-y^{2}}$ में मान रखने पर:
$\sin \alpha \cos \theta = k - \sin \theta \cos \alpha$
$\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta = k$
$\sin(\alpha + \theta) = k$
$\alpha + \theta = \sin^{-1} k$
वापस मान रखने पर,$\sin^{-1} y + \sin^{-1} x = \sin^{-1} k$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = 0$
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y = -\frac{1}{4}$ है।
$\sqrt{1-x^{2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{1-y^{2}} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$
इन मानों को रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}/2} + \frac{1}{\sqrt{15}/4} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{15}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

(D) यह क्षेत्र परवलय $y = 4x^2$ और रेखा $y = 8x + 12$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$4x^2 = 8x + 12$ रखें।
$4x^2 - 8x - 12 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.
$(x - 3)(x + 1) = 0$,अतः $x = -1$ और $x = 3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-1, 4)$ और $B(3, 36)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 3$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{3} (8x + 12 - 4x^2) dx$
$= [4x^2 + 12x - \frac{4x^3}{3}]_{-1}^{3}$
$= (4(9) + 12(3) - \frac{4(27)}{3}) - (4(1) + 12(-1) - \frac{4(-1)}{3})$
$= (36 + 36 - 36) - (4 - 12 + \frac{4}{3})$
$= 36 - (-8 + \frac{4}{3}) = 36 - (-\frac{20}{3}) = 36 + \frac{20}{3} = \frac{108 + 20}{3} = \frac{128}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया है $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ और $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 0$।
$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$1+1+1+2\lambda = 0 \Rightarrow 3+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$।
अब,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$।
$\vec{a}$ के साथ क्रॉस गुणन लेने पर: $\vec{a} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c}) \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इसी प्रकार,$\vec{b}$ के साथ क्रॉस गुणन लेने पर: $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{b} = (-\vec{c}) \times \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$।
अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इसलिए,$\vec{d} = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{a} \times \vec{b})$।
क्रमित युग्म $\left(-\frac{3}{2}, 3 \vec{a} \times \vec{b}\right)$ है।

(D) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 8x + 11$ और अंतराल $[0, 1]$ दिया गया है,इसलिए $a = 0$ और $b = 1$ है।
$f(0) = 0^{3} - 4(0)^{2} + 8(0) + 11 = 11$ है।
$f(1) = 1^{3} - 4(1)^{2} + 8(1) + 11 = 16$ है।
सेकेंट रेखा की ढाल $\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{16 - 11}{1} = 5$ है।
अवकलन $f'(x) = 3x^{2} - 8x + 8$ प्राप्त होता है।
$f'(c) = 5$ रखने पर,$3c^{2} - 8c + 8 = 5$,अर्थात $3c^{2} - 8c + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$c = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $c \in (0, 1)$ है,इसलिए $c = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ सही मान है।

(D) दिया गया समीकरण: $2 \cot^{2} \theta - \frac{5}{\sin \theta} + 4 = 0$.
$\cot^{2} \theta = \frac{1 - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}$ रखने पर:
$2 \left( \frac{1 - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta} \right) - \frac{5}{\sin \theta} + 4 = 0$.
$\sin^{2} \theta$ से गुणा करने पर:
$2(1 - \sin^{2} \theta) - 5 \sin \theta + 4 \sin^{2} \theta = 0$.
$2 \sin^{2} \theta - 5 \sin \theta + 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta - 2) = 0$.
अतः,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $\sin \theta = 2$ संभव नहीं है).
अंतराल $(0, 2\pi) - \{\pi\}$ में,$\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होते हैं.
यहाँ,$\theta_{1} = \frac{\pi}{6}$ और $\theta_{2} = \frac{5\pi}{6}$.
अब समाकलन करने पर:
$I = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \frac{1 + \cos 6\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{\sin 6\theta}{6} \right]_{\pi/6}^{5\pi/6}$.
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{3}$.

(D) दिया गया है कि $b_{ij} = 3^{(i+j-2)} a_{ji}$ है।
हम आव्यूह $B$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$B = \begin{bmatrix} a_{11} & 3a_{21} & 9a_{31} \\ 3a_{12} & 9a_{22} & 27a_{32} \\ 9a_{13} & 27a_{23} & 81a_{33} \end{bmatrix}$
पंक्तियों और स्तंभों से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$|B| = (3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2) \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & 3a_{22} & 9a_{32} \\ a_{13} & 3a_{23} & 9a_{33} \end{vmatrix}$
$|B| = 3^3 \cdot (3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2) \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$
$|B| = 3^3 \cdot 3^3 \cdot |A^T| = 3^6 |A| = 729 |A|$.
दिया गया है कि $|B| = 81$,इसलिए $729 |A| = 81$ है।
$|A| = \frac{81}{729} = \frac{1}{9}$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^{2} e^{-\alpha |x|} dx$ है।
चूंकि $|x| = -x$ जब $x < 0$ और $|x| = x$ जब $x \ge 0$,हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-1}^{0} e^{\alpha x} dx + \int_{0}^{2} e^{-\alpha x} dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$I = \left[ \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{e^{-\alpha x}}{-\alpha} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{e^{-\alpha}}{\alpha} \right) + \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{e^{-2\alpha}}{\alpha} \right) = \frac{2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}}{\alpha}$.
अब,इस मान को समीकरण $4\alpha I = 5$ में रखने पर:
$4\alpha \left( \frac{2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}}{\alpha} \right) = 5$.
$4(2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}) = 5 \Rightarrow 8 - 4e^{-\alpha} - 4e^{-2\alpha} = 5$.
$4e^{-2\alpha} + 4e^{-\alpha} - 3 = 0$.
माना $t = e^{-\alpha}$. तब $4t^2 + 4t - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-3)}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8}$.
चूंकि $t = e^{-\alpha} > 0$,इसलिए $t = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ लेने पर।
$e^{-\alpha} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{\alpha} = 2 \Rightarrow \alpha = \log_{e} 2$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^{2}-x) \frac{dy}{dx}=1$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = y^{2}-x$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{dy} + x = y^{2}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y)=1$ और $Q(y)=y^{2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int 1 dy} = e^{y}$ है।
सामान्य हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{y} = \int y^{2} e^{y} dy + C$.
$\int y^{2} e^{y} dy$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y^{2} e^{y} dy = y^{2} e^{y} - \int 2y e^{y} dy = y^{2} e^{y} - 2(y e^{y} - e^{y}) = (y^{2}-2y+2)e^{y}$.
अतः,$x e^{y} = (y^{2}-2y+2)e^{y} + C$.
शर्त $y(0)=1$ दी गई है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$0 \cdot e^{1} = (1^{2}-2(1)+2)e^{1} + C \Rightarrow 0 = (1)e + C \Rightarrow C = -e$.
वक्र का समीकरण $x e^{y} = (y^{2}-2y+2)e^{y} - e$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y=0$ रखने पर:
$x e^{0} = (0^{2}-2(0)+2)e^{0} - e \Rightarrow x(1) = 2(1) - e \Rightarrow x = 2-e$.

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2+\frac{f(x)}{x^{3}}\right)=4$,अतः $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=2$ है। चूँकि $f(x)$ घात $5$ का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + g$ है। सीमा के अस्तित्व और $2$ होने के लिए,$g=e=d=0$ और $c=2$ होना चाहिए। अतः,$f(x) = ax^5 + bx^4 + 2x^3$ है।
$f'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 6x^2$ है।
चूँकि $x=\pm 1$ क्रांतिक बिंदु हैं,$f'(1) = 5a + 4b + 6 = 0$ और $f'(-1) = 5a - 4b + 6 = 0$ है।
दोनों को जोड़ने पर $10a + 12 = 0 \Rightarrow a = -6/5$ प्राप्त होता है। घटाने पर $8b = 0 \Rightarrow b = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = 2x^3 - \frac{6}{5}x^5$ है।
$f'(x) = 6x^2 - 6x^4 = 6x^2(1-x^2) = 6x^2(1-x)(1+x)$ है।
$x < -1$ के लिए,$f'(x) < 0$ है। $-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) > 0$ है। $0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है। $x > 1$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x = -1$ पर,$f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।
$x = 1$ पर,$f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
विकल्प $B$ कहता है कि $x=1$ निम्निष्ठ का बिंदु है और $x=-1$ उच्चिष्ठ का बिंदु है,जो गलत है।

(C) माना $X$ खराब मशीनों की संख्या है। $X$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{4}$ है।
$r$ मशीनों के खराब होने की प्रायिकता $P(X = r) = ^{5}C_{r} (\frac{1}{4})^{r} (\frac{3}{4})^{5-r}$ द्वारा दी जाती है।
हमें अधिकतम $2$ मशीनों के खराब होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
$P(X=0) = ^{5}C_{0} (\frac{1}{4})^{0} (\frac{3}{4})^{5} = (\frac{3}{4})^{5}$.
$P(X=1) = ^{5}C_{1} (\frac{1}{4})^{1} (\frac{3}{4})^{4} = 5 \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^{4} = \frac{15}{16} (\frac{3}{4})^{3}$.
$P(X=2) = ^{5}C_{2} (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4})^{3} = 10 \times \frac{1}{16} \times (\frac{3}{4})^{3} = \frac{10}{16} (\frac{3}{4})^{3}$.
योग करने पर: $P(X \le 2) = (\frac{9}{16} + \frac{15}{16} + \frac{10}{16}) (\frac{3}{4})^{3} = \frac{34}{16} (\frac{3}{4})^{3} = \frac{17}{8} (\frac{3}{4})^{3}$.
इसे $(\frac{3}{4})^{3} k$ के साथ तुलना करने पर,$k = \frac{17}{8}$ प्राप्त होता है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय के दो से अधिक हल होने का अर्थ है कि इसके अनंत हल हैं। यह तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य हो और संगतता की शर्त पूरी हो।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & \lambda \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A| = 0$ रखने पर:
$|A| = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 9) + 1(2 - 6) = 0$
$2\lambda - 6 - \lambda + 9 - 4 = 0$
$\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
अब,अनंत हलों के लिए,अचर पद के स्तंभ को बदलने पर प्राप्त सारणिक का मान भी शून्य होना चाहिए $(D_z = 0)$:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 10 \\ 3 & 2 & \mu \end{vmatrix} = 0$
$1(2\mu - 20) - 1(\mu - 30) + 6(2 - 6) = 0$
$2\mu - 20 - \mu + 30 - 24 = 0$
$\mu - 14 = 0 \Rightarrow \mu = 14$.
अंत में,$\mu - \lambda^{2}$ की गणना करने पर:
$\mu - \lambda^{2} = 14 - (1)^{2} = 14 - 1 = 13$.

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$k = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log_{e}\left(\frac{1+3x}{1-2x}\right)$
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\log_{e}\left(\frac{a}{b}\right) = \log_{e}(a) - \log_{e}(b)$:
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log_{e}(1+3x) - \log_{e}(1-2x)}{x}$
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\log_{e}(1+3x)}{x} - \frac{\log_{e}(1-2x)}{x} \right)$
मानक सीमा $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log_{e}(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 3 \cdot \frac{\log_{e}(1+3x)}{3x} - (-2) \cdot \frac{\log_{e}(1-2x)}{-2x} \right)$
$k = 3(1) - (-2)(1) = 3 + 2 = 5$.

(B) माना $A = (1, 0, 3)$,$B = (\alpha, 7, 1)$,और $P = \left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3}\right)$ है।
चूँकि $P$,$A$ से रेखा पर खींचे गए लंब का पाद है,इसलिए सदिश $\vec{AP}$,सदिश $\vec{BP}$ के लंबवत होना चाहिए।
सबसे पहले,$\vec{AP}$ के दिक अनुपात ज्ञात करें:
$\vec{AP} = \left(\frac{5}{3} - 1, \frac{7}{3} - 0, \frac{17}{3} - 3\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}\right)$.
इसके बाद,$\vec{BP}$ के दिक अनुपात ज्ञात करें:
$\vec{BP} = \left(\frac{5}{3} - \alpha, \frac{7}{3} - 7, \frac{17}{3} - 1\right) = \left(\frac{5}{3} - \alpha, -\frac{14}{3}, \frac{14}{3}\right)$.
चूँकि $\vec{AP} \perp \vec{BP}$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$\vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0$
$\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + \left(\frac{7}{3}\right)\left(-\frac{14}{3}\right) + \left(\frac{8}{3}\right)\left(\frac{14}{3}\right) = 0$
$\frac{2}{3} \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) - \frac{98}{9} + \frac{112}{9} = 0$
$\frac{2}{3} \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + \frac{14}{9} = 0$
$9$ से गुणा करने पर:
$6 \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + 14 = 0$
$10 - 6\alpha + 14 = 0$
$24 = 6\alpha$
$\alpha = 4$.

(B) दिया गया है $g(x) = x^{2} + x - 1$ और $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 4x^{2} - 10x + 5$.
माना $f(x) = y$. तब $g(y) = y^{2} + y - 1 = 4x^{2} - 10x + 5$.
$y^{2} + y - 6 = 4x^{2} - 10x$.
$y$ के लिए हल करने हेतु,हम $y^{2} + y$ को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$(y + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4} - 6 = 4x^{2} - 10x$.
$(y + \frac{1}{2})^{2} = 4x^{2} - 10x + \frac{25}{4} = (2x - \frac{5}{2})^{2}$.
वर्गमूल लेने पर,$y + \frac{1}{2} = \pm(2x - \frac{5}{2})$.
स्थिति $1$: $f(x) = 2x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2x - 3$.
स्थिति $2$: $f(x) = -2x + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = -2x + 2$.
$f(x) = 2x - 3$ के लिए,$f(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4}) - 3 = \frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$.
$f(x) = -2x + 2$ के लिए,$f(\frac{5}{4}) = -2(\frac{5}{4}) + 2 = -\frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{2}$.
अतः,$f(\frac{5}{4}) = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है $y(\alpha)=\sqrt{2\left(\frac{\tan \alpha+\cot \alpha}{\sec^2 \alpha}\right)+\csc^2 \alpha}$.
चूँकि $1+\tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$,हमारे पास $y(\alpha)=\sqrt{2\left(\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}\right)+\csc^2 \alpha}$ है।
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $2\left(\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\right) \cdot \cos^2 \alpha + \csc^2 \alpha = 2\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \csc^2 \alpha = 2\cot \alpha + \csc^2 \alpha$.
ध्यान दें कि $2\cot \alpha + \csc^2 \alpha = 2\cot \alpha + 1 + \cot^2 \alpha = (1+\cot \alpha)^2$.
अतः,$y(\alpha) = \sqrt{(1+\cot \alpha)^2} = |1+\cot \alpha|$.
$\alpha \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)$ के लिए,$\cot \alpha < -1$,इसलिए $1+\cot \alpha < 0$.
अतः,$y(\alpha) = -(1+\cot \alpha) = -1 - \cot \alpha$.
$\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{d\alpha} = -(-\csc^2 \alpha) = \csc^2 \alpha$.
$\alpha = \frac{5\pi}{6}$ पर,$\csc \alpha = \csc \frac{5\pi}{6} = 2$.
इसलिए,$\frac{dy}{d\alpha} = (2)^2 = 4$.

(A) दिए गए समीकरण $x^{2}+x+1=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं। मान लीजिए $\alpha = \omega$ है। तब $\alpha^{2} = \omega^{2}$ और $\alpha^{4} = \omega^{4} = \omega$ होगा।
आव्यूह $A$ का मान $A = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix}$ है।
$A^{2} = A \cdot A = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अब,$A^{4} = A^{2} \cdot A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_{3}$ होता है।
चूंकि $A^{4} = I_{3}$ है,इसलिए $A^{31} = A^{28} \cdot A^{3} = (A^{4})^{7} \cdot A^{3} = I_{3}^{7} \cdot A^{3} = A^{3}$ होगा।

(C) कुल परिणाम $= 2^5 = 32$ हैं।
$k=5$ के लिए: ${HHHHH}$,इसलिए $P(X=5) = \frac{1}{32}$।
$k=4$ के लिए: ${HHHHT, THHHH}$,इसलिए $P(X=4) = \frac{2}{32}$।
$k=3$ के लिए: ${HHHTH, HHHTT, THHHT, TTHHH, HTHHH}$,इसलिए $P(X=3) = \frac{5}{32}$।
$X=-1$ के लिए: शेष परिणाम $32 - (1 + 2 + 5) = 24$,इसलिए $P(X=-1) = \frac{24}{32}$।
अपेक्षित मान $E[X] = \sum x P(x) = (5 \times \frac{1}{32}) + (4 \times \frac{2}{32}) + (3 \times \frac{5}{32}) + (-1 \times \frac{24}{32})$
$E[X] = \frac{5 + 8 + 15 - 24}{32} = \frac{28 - 24}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=2$ है,अतः इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2} = \pi(\sqrt{2})^{2} = 2\pi$ है।
परवलय $y^{2}=x$ और रेखा $y=x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^{2}=x$ और $y=x$ की तुलना करने पर $x^{2}=x$ प्राप्त होता है,अर्थात $x(x-1)=0$,जिससे $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
परवलय और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.
अभीष्ट क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल में से उभयनिष्ठ क्षेत्रफल $A$ को घटाने पर प्राप्त होता है:
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = 2\pi - \frac{1}{6} = \frac{12\pi - 1}{6} = \frac{1}{6}(12\pi - 1)$.

(C) दिया गया समीकरण $x^{k}+y^{k}=a^{k}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$k x^{k-1} + k y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
$k$ से भाग देने पर ($k > 0$ होने के कारण):
$x^{k-1} + y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{k-1}}{y^{k-1}} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{k-1}$.
हमें दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{3}}$.
$\frac{dy}{dx}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-\left(\frac{x}{y}\right)^{k-1} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{3}}$.
घातांकों की तुलना करने पर:
$k - 1 = -\frac{1}{3}$.
$k$ के लिए हल करने पर:
$k = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$ है।
इसे $e^{y} \frac{dy}{dx} - e^{y} = e^{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $e^{y} = t$ है। अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$e^{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dt}{dx} - t = e^{x}$।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(t e^{-x}) = e^{x} \cdot e^{-x} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$t e^{-x} = x + c$ प्राप्त होता है।
$t = e^{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^{y} e^{-x} = x + c$,अर्थात $e^{y-x} = x + c$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $e^{0-0} = 0 + c \Rightarrow 1 = c$।
अतः,हल $e^{y-x} = x + 1$ है।
$y(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर: $e^{y-1} = 1 + 1 = 2$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$y - 1 = \log_{e} 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(1) = 1 + \log_{e} 2$।

(D) चूंकि $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\overrightarrow{a}$ को $\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ की दिशा में इकाई सदिशों के योग के समानांतर होना चाहिए।
सबसे पहले,इकाई सदिश ज्ञात करें:
$\hat{b} = \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$
$\hat{c} = \frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{18}} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{3 \sqrt{2}}$
अतः,$\overrightarrow{a} = \lambda (\hat{b} + \hat{c}) = \lambda \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{3 \sqrt{2}} \right) = \frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} [3(\hat{i} + \hat{j}) + (\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k})] = \frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} (4 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k})$.
इसे $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + \beta \hat{k}$ के साथ तुलना करने पर,हमारे पास $y$-घटक $2$ है। इसलिए,$\frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} \times 2 = 2$,जिससे $\frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\overrightarrow{a} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
विकल्पों की जांच करने पर:
$\overrightarrow{a} \cdot \hat{k} = 4$. इसलिए,$\overrightarrow{a} \cdot \hat{k} - 4 = 0$.

(D) माना $I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx \quad \dots(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b-x)(f(a+b-x)+f(a+b-x+1)) dx$
दिया गया है $f(a+b+1-x) = f(x)$,इसलिए $f(a+b-x) = f(x+1)$.
अतः,$I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b-x)(f(x+1)+f(x)) dx \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b)(f(x)+f(x+1)) dx = \int_{a}^{b} (f(x)+f(x+1)) dx$
चूँकि $f(a+b+1-x) = f(x)$,$t = a+b+1-x$ लेने पर,$dt = -dx$. जब $x=a, t=b+1$; जब $x=b, t=a+1$.
$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a+1}^{b+1} f(a+b+1-t) dt = \int_{a+1}^{b+1} f(t) dt$.
अतः,$2I = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} f(x+1) dx = \int_{a+1}^{b+1} f(x+1) dx + \int_{a}^{b} f(x+1) dx$. इसका सरलीकरण $I = \int_{a}^{b} f(x+1) dx = \int_{a-1}^{b-1} f(x) dx$ है।

(B) अंतराल $[-7, -1]$ पर माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ का उपयोग करने पर,कोई $c_1 \in (-7, -1)$ मौजूद है ताकि $\frac{f(-1) - f(-7)}{-1 - (-7)} = f'(c_1)$ हो।
दिया गया है कि $f'(x) \leq 2$,इसलिए $\frac{f(-1) - (-3)}{6} \leq 2$,जिसका अर्थ है $f(-1) + 3 \leq 12$,अर्थात $f(-1) \leq 9$।
अंतराल $[-7, 0]$ पर माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ का उपयोग करने पर,कोई $c_2 \in (-7, 0)$ मौजूद है ताकि $\frac{f(0) - f(-7)}{0 - (-7)} = f'(c_2)$ हो।
दिया गया है कि $f'(x) \leq 2$,इसलिए $\frac{f(0) - (-3)}{7} \leq 2$,जिसका अर्थ है $f(0) + 3 \leq 14$,अर्थात $f(0) \leq 11$।
इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें $f(-1) + f(0) \leq 9 + 11 = 20$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(-1)$ और $f(0)$ का मान मनमाने ढंग से छोटा हो सकता है,इसलिए अंतराल $(-\infty, 20]$ है।

(D) रैखिक समीकरण निकाय का शून्येतर हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
सारणिक इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} 2 & 2a & a \\ 2 & 3b & b \\ 2 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
पहले स्तंभ से $2$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$2 \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाएँ $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$2 \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 0 & 3b-2a & b-a \\ 0 & 4c-2a & c-a \end{vmatrix} = 0$
पहले स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(3b-2a)(c-a) - (b-a)(4c-2a) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(3bc - 3ab - 2ac + 2a^2) - (4bc - 2ab - 4ac + 2a^2) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - 4bc + 2ab + 4ac - 2a^2 = 0$
$-bc - ab + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a, b, c \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $A.P.$ में हैं।

(C) फलन $f(x) = |2 - |x - 3||$ द्वारा दिया गया है।
सबसे पहले,हम उन बिंदुओं की पहचान करते हैं जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है। फलन $g(x) = |x - 3|$,$x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है। फलन $h(x) = 2 - |x - 3|$,$x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है। फलन $f(x) = |h(x)|$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $h(x) = 0$ है या जहाँ $h(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$h(x) = 0$ रखने पर,हमें $2 - |x - 3| = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|x - 3| = 2$,इसलिए $x - 3 = 2$ या $x - 3 = -2$। अतः,$x = 5$ या $x = 1$।
इसलिए,उन बिंदुओं का समुच्चय $S$ जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है,$S = \{1, 3, 5\}$ है।
अब,प्रत्येक $x \in S$ के लिए हम $f(f(x))$ की गणना करते हैं:
$x = 1$ के लिए: $f(1) = |2 - |1 - 3|| = |2 - 2| = 0$। अतः $f(f(1)) = f(0) = |2 - |0 - 3|| = |2 - 3| = 1$।
$x = 3$ के लिए: $f(3) = |2 - |3 - 3|| = |2 - 0| = 2$। अतः $f(f(3)) = f(2) = |2 - |2 - 3|| = |2 - 1| = 1$।
$x = 5$ के लिए: $f(5) = |2 - |5 - 3|| = |2 - 2| = 0$। अतः $f(f(5)) = f(0) = |2 - |0 - 3|| = |2 - 3| = 1$।
अंत में,$\sum_{x \in S} f(f(x)) = f(f(1)) + f(f(3)) + f(f(5)) = 1 + 1 + 1 = 3$।

(C) दिया गया है कि $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{a}$,जिसे हम $\vec{b} \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $\vec{c} - \vec{a}$ सदिश $\vec{b}$ के समांतर है,अतः $\vec{c} - \vec{a} = k\vec{b}$ किसी अदिश $k$ के लिए।
इस प्रकार,$\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b}$.
दिया गया है कि $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$,अतः $\vec{c}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow |\vec{a}|^2 + k(\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
परिमाण और अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-1)(-2) + (1)(1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
इन मानों को रखने पर: $6 + k(4) = 0 \Rightarrow 4k = -6 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}$.
अब,$\vec{c} \cdot \vec{b} = (\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + k|\vec{b}|^2$.
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 3$.
$\vec{c} \cdot \vec{b} = 4 + (-\frac{3}{2})(3) = 4 - \frac{9}{2} = \frac{8-9}{2} = -\frac{1}{2}$.

(D) परवलय $y = x^{2}$ और रेखा $y = 3 - 2x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,जिसके लिए $x^{2} = 3 - 2x$ रखते हैं।
$x^{2} + 2x - 3 = 0$
$(x + 3)(x - 1) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -3$ और $x = 1$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x = -3$ से $x = 1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-3}^{1} ((3 - 2x) - x^{2}) dx$
$A = [3x - x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]_{-3}^{1}$
$A = (3(1) - (1)^{2} - \frac{(1)^{3}}{3}) - (3(-3) - (-3)^{2} - \frac{(-3)^{3}}{3})$
$A = (3 - 1 - \frac{1}{3}) - (-9 - 9 + 9)$
$A = (2 - \frac{1}{3}) - (-9)$
$A = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5 + 27}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) माना $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^{3}-9x^{2}+12x+4}}$.
$I$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $[1, 2]$ पर $g(x) = 2x^{3}-9x^{2}+12x+4$ के व्यवहार की जाँच करते हैं।
$g'(x) = 6x^{2}-18x+12 = 6(x-1)(x-2)$.
चूँकि $x \in [1, 2]$ के लिए $g'(x) \leq 0$ है,इसलिए $g(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर एक ह्रासमान फलन है।
अतः,$g(2) \leq g(x) \leq g(1)$.
$g(1) = 2-9+12+4 = 9$.
$g(2) = 16-36+24+4 = 8$.
इसलिए,$x \in [1, 2]$ के लिए $8 \leq g(x) \leq 9$ है।
वर्गमूल और व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{\sqrt{g(x)}} \leq \frac{1}{\sqrt{8}}$.
$1$ से $2$ तक समाकलन करने पर: $\int_{1}^{2} \frac{1}{3} dx < I < \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{8}} dx$.
$\frac{1}{3}(2-1) < I < \frac{1}{\sqrt{8}}(2-1)$.
$\frac{1}{3} < I < \frac{1}{\sqrt{8}}$.
असमिका का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} < I^{2} < \frac{1}{8}$.

(D) अंतराल $[c, 1]$ पर फलन $f$ के लिए लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,जहाँ $c \in (0, 1)$,कम से कम एक बिंदु $a \in (c, 1)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $\frac{f(1) - f(c)}{1 - c} = f'(a)$ हो।
विकल्प $(A)$,$(B)$,और $(C)$ $S$ के सभी फलनों के लिए सत्य होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $f(x) = k$ (एक अचर फलन) है,तो $f'(x) = 0$ होगा। इस स्थिति में,$|f(c) - f(1)| = 0$ और $(1 - c)|f'(c)| = 0$ होगा,इसलिए असमिका $|f(c) - f(1)| < (1 - c)|f'(c)|$ का रूप $0 < 0$ हो जाता है,जो कि असत्य है।
विकल्प $(D)$ अंतराल $[c, 1]$ पर $LMVT$ का सीधा अनुप्रयोग है,जो समीकरण को संतुष्ट करने वाले $a \in (c, 1)$ के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है।

(D) फलन $x \in (1, 3)$ के लिए $f(x) = \frac{x[x]}{1+x^2}$ के रूप में परिभाषित है।
हम महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के आधार पर डोमेन को विभाजित करते हैं:
स्थिति $1$: $x \in (1, 2)$,तब $[x] = 1$. अतः,$f(x) = \frac{x}{1+x^2}$.
$x \in (1, 2)$ के लिए,$f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} < 0$. अतः,$f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
जब $x \to 1^+$,$f(x) \to \frac{1}{2}$. जब $x \to 2^-$,$f(x) \to \frac{2}{5}$. अतः,$f(x) \in (\frac{2}{5}, \frac{1}{2})$.
स्थिति $2$: $x \in [2, 3)$,तब $[x] = 2$. अतः,$f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$.
$x \in [2, 3)$ के लिए,$f'(x) = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2} < 0$. अतः,$f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
$x = 2$ पर,$f(2) = \frac{4}{5}$. जब $x \to 3^-$,$f(x) \to \frac{3}{5}$. अतः,$f(x) \in (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}]$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,परिसर $(\frac{2}{5}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}]$ प्राप्त होता है।

(D) गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 2 \\ 2\lambda & 3 & 5 \\ 4 & \lambda & 6 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = \lambda(18 - 5\lambda) - 2(12\lambda - 20) + 2(2\lambda^2 - 12)$
$D = 18\lambda - 5\lambda^2 - 24\lambda + 40 + 4\lambda^2 - 24$
$D = -\lambda^2 - 6\lambda + 16 = -(\lambda + 8)(\lambda - 2) = (\lambda + 8)(2 - \lambda)$
जब $\lambda = 2$ है,तो $D = 0$ होता है। समीकरणों में $\lambda = 2$ रखने पर:
$2x + 2y + 2z = 5$
$4x + 3y + 5z = 8$
$4x + 2y + 6z = 10$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण का $2$ गुना घटाने पर: $(4x + 3y + 5z) - 2(2x + 2y + 2z) = 8 - 10 \implies -y + z = -2 \implies y - z = 2$.
तीसरे समीकरण में से पहले समीकरण का $2$ गुना घटाने पर: $(4x + 2y + 6z) - 2(2x + 2y + 2z) = 10 - 10 \implies -2y + 2z = 0 \implies y - z = 0$.
चूंकि $y - z = 2$ और $y - z = 0$ परस्पर विरोधी हैं,इसलिए $\lambda = 2$ के लिए कोई हल संभव नहीं है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (2 \times 4) - (2 \times 9) = 8 - 18 = -10$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$A$ का सहखंडज (adj) ज्ञात करें: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix}$.
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix}$.
अतः,$10 A^{-1} = 10 \times \left( \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix} \right) = -1 \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 9 & -2 \end{bmatrix}$.
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$A - 6I = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 9 & -2 \end{bmatrix}$.
इस प्रकार,$10 A^{-1} = A - 6I$ है।

(D) माना बिंदु $P(1, 2, 3)$ है और इसका प्रतिबिंब $P'\left(-\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ है।
$PP'$ का मध्य बिंदु $M$ समतल पर स्थित है:
$M = \left(\frac{1 - \frac{7}{3}}{2}, \frac{2 - \frac{4}{3}}{2}, \frac{3 - \frac{1}{3}}{2}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{PP'}$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{n} = \vec{PP'} = \left(-\frac{7}{3} - 1, -\frac{4}{3} - 2, -\frac{1}{3} - 3\right) = \left(-\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}\right)$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 1)$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x - (-\frac{2}{3})) + 1(y - \frac{1}{3}) + 1(z - \frac{4}{3}) = 0$ है।
$x + \frac{2}{3} + y - \frac{1}{3} + z - \frac{4}{3} = 0 \implies x + y + z - 1 = 0 \implies x + y + z = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1, -1, 1)$ के लिए,$1 + (-1) + 1 = 1$ है। अतः,बिंदु $(1, -1, 1)$ समतल पर स्थित है।

(A) वक्रों के कुल का दिया गया समीकरण: $x^{2} = 4b(y+b)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = 4b y^{\prime}$
$b = \frac{2x}{4y^{\prime}} = \frac{x}{2y^{\prime}}$.
$b$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} = 4 \left( \frac{x}{2y^{\prime}} \right) \left( y + \frac{x}{2y^{\prime}} \right)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$x^{2} = \frac{2x}{y^{\prime}} \left( \frac{2yy^{\prime} + x}{2y^{\prime}} \right)$.
$x^{2} = \frac{2x(2yy^{\prime} + x)}{2(y^{\prime})^{2}}$.
$x^{2} = \frac{x(2yy^{\prime} + x)}{(y^{\prime})^{2}}$.
$x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$x(y^{\prime})^{2} = 2yy^{\prime} + x$.

(B) चूंकि $f(x)$ घात $3$ का बहुपद है,इसलिए $f^{\prime \prime}(x)$ एक रैखिक फलन है। दिया गया है कि $f^{\prime}(x)$ का $x=1$ पर क्रांतिक बिंदु है,अतः $f^{\prime \prime}(1)=0$ है। इसलिए,$f^{\prime \prime}(x) = \lambda(x-1)$।
$f^{\prime \prime}(x)$ का समाकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ का $x=-1$ पर क्रांतिक बिंदु है,इसलिए $f^{\prime}(-1) = 0$ है। $x=-1$ रखने पर $\frac{\lambda}{2} + \lambda + C = 0$ मिलता है,अतः $C = -\frac{3\lambda}{2}$।
इस प्रकार,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x - \frac{3\lambda}{2}$।
$f^{\prime}(x)$ का समाकलन करने पर,$f(x) = \frac{\lambda x^3}{6} - \frac{\lambda x^2}{2} - \frac{3\lambda x}{2} + d$ प्राप्त होता है।
$f(1) = -6$ का उपयोग करने पर: $\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} - \frac{3\lambda}{2} + d = -6 \Rightarrow -\frac{11\lambda}{6} + d = -6 \Rightarrow -11\lambda + 6d = -36 \dots (i)$।
$f(-1) = 10$ का उपयोग करने पर: $-\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} + \frac{3\lambda}{2} + d = 10 \Rightarrow \frac{5\lambda}{6} + d = 10 \Rightarrow 5\lambda + 6d = 60 \dots (ii)$।
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $16\lambda = 96 \Rightarrow \lambda = 6$।
$\lambda = 6$ को $(ii)$ में रखने पर: $5(6) + 6d = 60 \Rightarrow 30 + 6d = 60 \Rightarrow d = 5$।
अतः,$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$।
$f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$।
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर क्रांतिक बिंदु $x=3$ और $x=-1$ प्राप्त होते हैं।
$f^{\prime \prime}(x) = 6x - 6$। $x=3$ पर,$f^{\prime \prime}(3) = 18 - 6 = 12 > 0$,इसलिए $f(x)$ का स्थानीय न्यूनतम मान $x=3$ पर है।

(A) समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक $|[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}]| = 1$ द्वारा दिया जाता है।
$|\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-3) - 1(1-6) + \lambda(1-2) = -2 + 5 - \lambda = 3 - \lambda$.
चूंकि आयतन $1$ है,$|3 - \lambda| = 1$,जिसका अर्थ है $3 - \lambda = 1$ या $3 - \lambda = -1$.
अतः,$\lambda = 2$ या $\lambda = 4$.
स्थिति $1$: यदि $\lambda = 2$,तो $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (1)(2) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ और $|\overrightarrow{w}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{w}|} = \frac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$.
स्थिति $2$: यदि $\lambda = 4$,तो $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (1)(2) + (1)(1) + (4)(1) = 2 + 1 + 4 = 7$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ और $|\overrightarrow{w}| = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{3\sqrt{12}} = \frac{7}{3 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{7}{6\sqrt{3}}$.
विकल्पों की तुलना करने पर,$\frac{7}{6\sqrt{3}}$ सही उत्तर है।

(A) माना $\tan^{-1} x = \theta$ है। तब $\sin(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ और $\sin(\cot^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।
$f(x) = (\frac{x+1}{\sqrt{1+x^2}})^2 - 1 = \frac{x^2+1+2x}{1+x^2} - 1 = \frac{2x}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
दिया है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}))$.
$|x| > 1$ के लिए,$\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) = \pi - 2\tan^{-1} x$ यदि $x > 1$ और $-\pi - 2\tan^{-1} x$ यदि $x < -1$ होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\pi - 2\tan^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}$ जब $x > 1$ हो।
और $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(-\pi - 2\tan^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}$ जब $x < -1$ हो।
समाकलन करने पर,$y = -\tan^{-1} x + C_1$ जब $x > 1$ और $y = -\tan^{-1} x + C_2$ जब $x < -1$ प्राप्त होता है।
दिया है $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} \Rightarrow -\frac{\pi}{3} + C_1 = \frac{\pi}{6} \Rightarrow C_1 = \frac{\pi}{2}$।
यदि हम मान लें कि $C_2 = C_1 = \frac{\pi}{2}$ है,तो $y(-\sqrt{3}) = -\tan^{-1}(-\sqrt{3}) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$ होगा।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sqrt{1-x^{2}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{1-y^{2}} = 0$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $\sin^{-1} y = -\sin^{-1} x + C$,या $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = C$.
दिया गया है $y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = C$.
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,समीकरण $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ है।
सर्वसमिका $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^{-1} y = \cos^{-1} x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = \sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$.
अब,$y\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ज्ञात करने के लिए,$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) वक्र $C_{1}: y^{2}=ax$ और $C_{2}: x^{2}=ay$ हैं। उन्हें हल करने पर,हमें $x^{4}/a^{2} = ax \Rightarrow x(x^{3}-a^{3})=0$ प्राप्त होता है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ और $P(a,a)$ हैं।
जीवा $OP$ का समीकरण $y=x$ है। रेखा $x=b$,$OP$ को $Q(b,b)$ पर और $x$-अक्ष को $R(b,0)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$\Delta OQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times b \times b = \frac{b^{2}}{2}.$ क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $b^{2}=1 \Rightarrow b=1$ प्राप्त होता है।
वक्रों द्वारा परिबद्ध कुल क्षेत्रफल $\int_{0}^{a} (\sqrt{ax} - x^{2}/a) dx = [\frac{2}{3}\sqrt{a}x^{3/2} - x^{3}/(3a)]_{0}^{a} = \frac{2}{3}a^{2} - \frac{1}{3}a^{2} = \frac{a^{2}}{3}$ है।
रेखा $x=b$ इस क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\int_{0}^{b} (\sqrt{ax} - x^{2}/a) dx = \frac{1}{2} \times \frac{a^{2}}{3} = \frac{a^{2}}{6}$ होगा।
$b=1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{3}\sqrt{a} - \frac{1}{3a} = \frac{a^{2}}{6}.$
$6a$ से गुणा करने पर: $4a^{3/2} - 2 = a^{3} \Rightarrow a^{3} + 2 = 4a^{3/2}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a^{3}+2)^{2} = 16a^{3} \Rightarrow a^{6} + 4a^{3} + 4 = 16a^{3} \Rightarrow a^{6} - 12a^{3} + 4 = 0.$

(B) रोले के प्रमेय के लिए,$f(3) = f(4)$ होना चाहिए।
$\log_{e}\left(\frac{3^{2}+\alpha}{7(3)}\right) = \log_{e}\left(\frac{4^{2}+\alpha}{7(4)}\right)$
$\frac{9+\alpha}{21} = \frac{16+\alpha}{28} \Rightarrow 4(9+\alpha) = 3(16+\alpha) \Rightarrow 36+4\alpha = 48+3\alpha \Rightarrow \alpha = 12$.
अब,$f(x) = \log_{e}(x^{2}+12) - \log_{e}(7) - \log_{e}(x)$.
$f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+12} - \frac{1}{x} = \frac{x^{2}-12}{x(x^{2}+12)}$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,$f'(c) = 0 \Rightarrow c^{2}-12 = 0 \Rightarrow c = 2\sqrt{3}$.
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2}-12}{x^{3}+12x} \right)$.
$c^{2}=12$ रखने पर,$f''(c) = \frac{2}{c^{2}+12} = \frac{2}{12+12} = \frac{1}{12}$.

(D) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$(i) x + 2y + 3z = 1$
$(ii) 3x + 4y + 5z = \mu$
$(iii) 4x + 4y + 4z = \delta$
असंगतता की जाँच करने के लिए,हम चरों को विलोपित करते हैं।
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर: $(3x-x) + (4y-2y) + (5z-3z) = \mu - 1 \Rightarrow 2x + 2y + 2z = \mu - 1$.
इसे $2$ से गुणा करने पर: $4x + 4y + 4z = 2(\mu - 1)$.
समीकरण $(iii)$ के साथ तुलना करने पर,$4x + 4y + 4z = \delta$.
यदि $\delta \neq 2(\mu - 1)$ है,तो निकाय असंगत है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A) (1, 0): \delta = 0, 2(\mu - 1) = 0$. यहाँ $\delta = 2(\mu - 1)$,अतः यह संगत है।
$(B) (4, 6): \delta = 6, 2(\mu - 1) = 6$. यहाँ $\delta = 2(\mu - 1)$,अतः यह संगत है।
$(C) (3, 4): \delta = 4, 2(\mu - 1) = 4$. यहाँ $\delta = 2(\mu - 1)$,अतः यह संगत है।
$(D) (4, 3): \delta = 3, 2(\mu - 1) = 6$. यहाँ $\delta \neq 2(\mu - 1)$,अतः निकाय असंगत है।

(C) चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $P(A / B) = P(A) = \frac{1}{3}$,इसलिए $P(A / B) = \frac{2}{3}$ असत्य है।
विकल्प $B$ के लिए: $P(A / (A \cup B)) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \frac{1/3}{1/3 + 1/6 - 1/18} = \frac{1/3}{6/18 + 3/18 - 1/18} = \frac{1/3}{8/18} = \frac{1}{3} \times \frac{18}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$,इसलिए $P(A / (A \cup B)) = \frac{1}{4}$ असत्य है।
विकल्प $C$ के लिए: चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$A$ और $B^{\prime}$ भी स्वतंत्र हैं। अतः,$P(A / B^{\prime}) = P(A) = \frac{1}{3}$ होता है। यह सत्य है।
विकल्प $D$ के लिए: चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ भी स्वतंत्र हैं। अतः,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ होता है,इसलिए $P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{1}{3}$ असत्य है।

(C) माना $y = f(x) = \frac{8^{2x} - 8^{-2x}}{8^{2x} + 8^{-2x}}$।
अंश और हर को $8^{2x}$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{8^{4x} - 1}{8^{4x} + 1}$।
अब,$y$ के पदों में $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$y(8^{4x} + 1) = 8^{4x} - 1$
$y \cdot 8^{4x} + y = 8^{4x} - 1$
$1 + y = 8^{4x}(1 - y)$
$8^{4x} = \frac{1 + y}{1 - y}$।
दोनों पक्षों में $\log_{8}$ लेने पर:
$4x = \log_{8} \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$।
आधार परिवर्तन नियम $\log_{8} A = \frac{\ln A}{\ln 8} = (\log_{8} e) \ln A$ का उपयोग करने पर:
$4x = (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$।
$x = \frac{1}{4} (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x) = \frac{1}{4} (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{\cos x \, dx}{\sin ^{3} x \left(1+\sin ^{6} x\right)^{2 / 3}}$.
$u = \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \cos x \, dx$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{du}{u^3 (1+u^6)^{2/3}}$.
कोष्ठक से $u^6$ बाहर लेने पर: $I = \int \frac{du}{u^3 (u^6(\frac{1}{u^6}+1))^{2/3}} = \int \frac{du}{u^3 \cdot u^4 (\frac{1}{u^6}+1)^{2/3}} = \int \frac{du}{u^7 (u^{-6}+1)^{2/3}}$.
$t = u^{-6}+1$ लेने पर,$dt = -6u^{-7} \, du$,अतः $u^{-7} \, du = -\frac{1}{6} \, dt$.
$I = -\frac{1}{6} \int t^{-2/3} \, dt = -\frac{1}{6} \cdot \frac{t^{1/3}}{1/3} + c = -\frac{1}{2} t^{1/3} + c$.
$t = u^{-6}+1 = \frac{1+u^6}{u^6}$ वापस रखने पर,$I = -\frac{1}{2} \left(\frac{1+u^6}{u^6}\right)^{1/3} + c = -\frac{1}{2} \frac{(1+\sin^6 x)^{1/3}}{\sin^2 x} + c$.
$f(x)(1+\sin^6 x)^{1/\lambda} + c$ से तुलना करने पर,$\lambda = 3$ और $f(x) = -\frac{1}{2 \sin^2 x}$ प्राप्त होता है।
अतः $\lambda f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2 \sin^2(\pi/3)}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2 \cdot (3/4)}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -2$.

(B) रेखाएं $\vec{r_1} = (3, 8, 3) + \lambda(3, -1, 1)$ और $\vec{r_2} = (-3, -7, 6) + \mu(-3, 2, 4)$ द्वारा दी गई हैं।
माना $\vec{a_1} = (3, 8, 3)$,$\vec{a_2} = (-3, -7, 6)$,$\vec{b_1} = (3, -1, 1)$,और $\vec{b_2} = (-3, 2, 4)$ है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ है।
सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-6, -15, 3)$ है।
इसके बाद,$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ है।
अदिश गुणनफल $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 36 + 225 + 9 = 270$ है।
अतः,$d = \frac{270}{\sqrt{270}} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$।

(A) दिया गया है $f(x) = x \cos^{-1}(-\sin |x|)$। चूंकि $\cos^{-1}(-u) = \pi - \cos^{-1}(u)$,इसलिए $f(x) = x(\pi - \cos^{-1}(\sin |x|))$।
$\cos^{-1}(\sin |x|) = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - |x|)) = \frac{\pi}{2} - |x|$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $|x| \in [0, \frac{\pi}{2}]$,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = x(\pi - (\frac{\pi}{2} - |x|)) = x(\frac{\pi}{2} + |x|)$।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = x(\frac{\pi}{2} + x) = \frac{\pi}{2}x + x^2$। अतः $f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{2} + 2x$।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = x(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{\pi}{2}x - x^2$। अतः $f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{2} - 2x$।
$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर: $LHD = \lim_{x \to 0^-} (\frac{\pi}{2} - 2x) = \frac{\pi}{2}$ और $RHD = \lim_{x \to 0^+} (\frac{\pi}{2} + 2x) = \frac{\pi}{2}$। चूंकि $LHD = RHD$,इसलिए $f$,$x=0$ पर अवकलनीय है और $f^{\prime}(0) = \frac{\pi}{2}$।
अब,$x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ के लिए,$f^{\prime\prime}(x) = -2 < 0$,इसलिए $f^{\prime}$ ह्रासमान है।
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$f^{\prime\prime}(x) = 2 > 0$,इसलिए $f^{\prime}$ वर्धमान है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) माना $A = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ है।
$AA^{T}$ के विकर्ण तत्वों का योग $\operatorname{trace}(AA^{T})$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{trace}(AA^{T}) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$।
दिया गया है कि $\operatorname{trace}(AA^{T}) = 3$,इसलिए $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 3$।
चूँकि $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,$a_{ij}^{2}$ केवल $0$ या $1$ हो सकता है।
नौ वर्गों का योग $3$ होने के लिए,ठीक तीन प्रविष्टियाँ $a_{ij}$ का मान $\pm 1$ होना चाहिए और शेष छह प्रविष्टियाँ $0$ होनी चाहिए।
सबसे पहले,हम $9$ स्थानों में से $3$ स्थान चुनते हैं,जिसे $\binom{9}{3}$ तरीकों से किया जा सकता है।
फिर,इन $3$ चुने गए स्थानों में से प्रत्येक के लिए,प्रविष्टि $1$ या $-1$ हो सकती है,जो $2^{3}$ संभावनाएँ देती है।
अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $\binom{9}{3} \times 2^{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 8 = 84 \times 8 = 672$ है।

(B) मान लीजिए बिंदु $P$ $(\alpha, \beta)$ है। चूंकि $P$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $\beta^{2}-3\alpha^{2}+\beta+10=0 \dots(i)$।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2yy' - 6x + y' = 0$,जिसका अर्थ है $y'(2y+1) = 6x$,अतः $y' = \frac{6x}{2y+1}$।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{6\alpha}{2\beta+1} \dots(ii)$ है।
बिंदु $P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{m} = -\frac{2\beta+1}{6\alpha}$ है।
अभिलंब $(0, \frac{3}{2})$ और $(\alpha, \beta)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इसकी ढाल $\frac{\beta - 3/2}{\alpha - 0} = \frac{2\beta-3}{2\alpha}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{2\beta-3}{2\alpha} = -\frac{2\beta+1}{6\alpha}$।
यदि $\alpha \neq 0$ है,तो $3(2\beta-3) = -(2\beta+1) \Rightarrow 6\beta - 9 = -2\beta - 1 \Rightarrow 8\beta = 8 \Rightarrow \beta = 1$।
$\beta = 1$ को $(i)$ में रखने पर: $1^{2} - 3\alpha^{2} + 1 + 10 = 0 \Rightarrow 3\alpha^{2} = 12 \Rightarrow \alpha^{2} = 4$।
$(ii)$ से,$|m| = |\frac{6\alpha}{2(1)+1}| = |\frac{6\alpha}{3}| = |2\alpha|$।
चूंकि $\alpha^{2} = 4$,इसलिए $|\alpha| = 2$,अतः $|m| = 2 \times 2 = 4$।

(B) दिया गया है $A = \lim_{x \to 0} x[\frac{4}{x}]$.
गुणधर्म $[y] = y - \{y\}$ का उपयोग करने पर,$A = \lim_{x \to 0} x(\frac{4}{x} - \{\frac{4}{x}\}) = \lim_{x \to 0} (4 - x\{\frac{4}{x}\})$.
चूंकि $0 \leq \{\frac{4}{x}\} < 1$,स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x \to 0} x\{\frac{4}{x}\} = 0$.
अतः,$A = 4$.
फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ वहाँ असंतत है जहाँ $[x^2]$ असंतत है,जो तब होता है जब $x^2$ एक पूर्णांक हो,उन बिंदुओं को छोड़कर जहाँ $\sin(\pi x) = 0$ हो।
$x^2 = k$ $(k \in \mathbb{Z})$ के लिए,$f(x)$ असंतत है जब तक कि $\sin(\pi \sqrt{k}) = 0$ न हो।
$A=4$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर: $\sqrt{A+1} = \sqrt{5}$। चूंकि $x^2 = 5$ एक पूर्णांक है और $\sin(\pi \sqrt{5}) \neq 0$,इसलिए फलन $x = \sqrt{5}$ पर असंतत है।