समाकलन int limits_{-pi / 2}^{pi / 2} frac{d x | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d x}{\left(1+e^{x}\right)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)}$.गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx =

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$\frac{\pi}{2}$

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(D) माना $I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d x}{\left(1+e^{x}ight)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} xight)}$.गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d x}{\left(1+e^{-x}ight)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} xight)}$.$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:$2I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left( \frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} ight) \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$.चूंकि $\frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} = 1$,इसलिए:$2I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$.चूंकि फलन सम है,$2I = 2 \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$,अतः $I = \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$.अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर:$I = \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{\sec^6 x dx}{	an^6 x + 1} = \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{(1+	an^2 x)^2 \sec^2 x dx}{	an^6 x + 1}$.माना $	an x = t$,तो $\sec^2 x dx = dt$:$I = \int \limits_{0}^{\infty} \frac{(1+t^2)^2}{t^6+1} dt = \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1+2t^2+t^4}{t^6+1} dt$.इस समाकलन का मान $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

समाकलन $\int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d x}{\left(1+e^{x}\right)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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