lim _{n rightarrow infty}left(frac{n^{2}}{lef | vedclass

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Question

(A) दिए गए व्यंजक को $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n^{2}+r^{2})(n+r)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।अंश और हर को $n^3$ से व

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$\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4} \log _{ e } 2$

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(A) दिए गए व्यंजक को $\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n^{2}+r^{2})(n+r)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।अंश और हर को $n^3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n \left(1+(\frac{r}{n})^{2}ight)(1+\frac{r}{n})}$.यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^{2})(1+x)}$.आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(1+x^{2})(1+x)} = \frac{1}{2(1+x)} - \frac{x-1}{2(1+x^{2})}$.अतः,समाकलन $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x-1}{1+x^{2}} dx$ हो जाता है।$= \frac{1}{2} [\ln(1+x)]_{0}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) - 	an^{-1} x]_{0}^{1}$.$= \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \ln 2$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+1\right)(n+1)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+4\right)(n+2)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+9\right)(n+3)}+\ldots+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+n^{2}\right)(n+n)}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. तो $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ का मान ........... है।

निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1) \sqrt{2n+1}}+\frac{n}{(n+2) \sqrt{2(2n+2)}}+\frac{n}{(n+3) \sqrt{3(2n+3)}}+\ldots n \text{ पद}\right]=\int_0^1 f(x) d x$,तो $f(x)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2n(2n-1) \dots (n+1))^{1/n}}{n} = $

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