मान लीजिए A = begin{bmatrix} 2 & -2 1 & -1 e | vedclass

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Question

(A) सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें: $A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatri

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$1$

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(A) सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें: $A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-2 & -4+2 \ 2-1 & -2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \ 1 & -1 \end{bmatrix} = A$. चूंकि $A^2 = A$,इसलिए सभी $n \geq 1$ के लिए $A^n = A$ होता है। अब,$B^2$ की गणना करें: $B^2 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 \ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 & -2+4 \ 1-2 & -2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \ -1 & 2 \end{bmatrix} = B$. चूंकि $B^2 = B$,इसलिए सभी $m \geq 1$ के लिए $B^m = B$ होता है। दिया गया समीकरण $nA^n + mB^m = I$ अब $nA + mB = I$ बन जाता है। आव्यूहों को प्रतिस्थापित करने पर: $n \begin{bmatrix} 2 & -2 \ 1 & -1 \end{bmatrix} + m \begin{bmatrix} -1 & 2 \ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$. इससे समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है: $2n - m = 1$ $-2n + 2m = 0 \implies n = m$. $n = m$ को $2n - m = 1$ में रखने पर,हमें $2n - n = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $n = 1$. अतः,$n = 1$ और $m = 1$ है। केवल एक ही युग्म $(n, m) = (1, 1)$ संभव है,इसलिए समुच्चय में $1$ अवयव है।

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