જો y frac{dy}{dx} = x left[ frac{y^2}{x^2} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $v = \frac{y^2}{x^2}$,તેથી $y^2 = v x^2$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2vx^2 + x^2 \frac{dv}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $y \

Vedclass · Accepted Answer

$4 \phi(1)$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $v = \frac{y^2}{x^2}$,તેથી $y^2 = v x^2$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2vx^2 + x^2 \frac{dv}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $y \frac{dy}{dx} = vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}$.આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx} = x \left[ v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \right] = xv + x \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.$x > 0$ હોવાથી,$x$ વડે ભાગતા: $vx + \frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.આ સમીકરણને ઉકેલતા: $\frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \implies \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{2}{x} dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(\phi(v)) = 2 \ln(x) + C = \ln(x^2) + C$.તેથી,$\phi(v) = k x^2$,જ્યાં $k = e^C$.$v = y^2/x^2$ હોવાથી,$\phi(y^2/x^2) = k x^2$.$y(1) = -1$ આપેલ છે,તેથી $x=1$ પર,$v = (-1)^2/1^2 = 1$. આમ $\phi(1) = k(1)^2 = k$.આપણે $\phi(y^2/4)$ શોધવાનું છે. જો $x=2$ લઈએ,તો $v = y^2/4$.તેથી,$\phi(y^2/4) = k(2)^2 = 4k = 4 \phi(1)$.

જો $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$,$x > 0$,$\phi > 0$,અને $y(1) = -1$ હોય,તો $\phi(y^2/4)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $(x-y) dy - (x+y) dx = 0$ એ એક સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

વિકલ સમીકરણ $(3x^2-2xy)dy+(y^2-2xy)dx=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \cos \left( \frac{y}{x} \right) (y dx + x dy) = y \sin \left( \frac{y}{x} \right) (x dy - y dx)$ માટે,(જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે) વ્યાપક ઉકેલ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module