વિધેય $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$ એવું છે કે $f(2) = f(4) = 0$. બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો.
$(S_1)$ એવા $x_{1}, x_{2} \in (2, 4)$,$x_{1} < x_{2}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ અને $f^{\prime}(x_{2}) = 0$ થાય.
$(S_2)$ એવા $x_{3}, x_{4} \in (2, 4)$,$x_{3} < x_{4}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f$ એ $(2, x_{4})$ માં ઘટતું વિધેય છે,$(x_{4}, 4)$ માં વધતું વિધેય છે અને $2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4})$ થાય.
તો
$(S_1)$ એવા $x_{1}, x_{2} \in (2, 4)$,$x_{1} < x_{2}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ અને $f^{\prime}(x_{2}) = 0$ થાય.
$(S_2)$ એવા $x_{3}, x_{4} \in (2, 4)$,$x_{3} < x_{4}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f$ એ $(2, x_{4})$ માં ઘટતું વિધેય છે,$(x_{4}, 4)$ માં વધતું વિધેય છે અને $2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4})$ થાય.
તો
- A$(S_1)$ અને $(S_2)$ બંને સાચા છે
- B$(S_1)$ ખોટું છે અને $(S_2)$ સાચું છે
- C$(S_1)$ અને $(S_2)$ બંને ખોટા છે
- D$(S_1)$ સાચું છે અને $(S_2)$ ખોટું છે
Explore More
Similar Questions
ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $f$ એ અંતરાલ $(-2, -1)$ માં ઘટતું વિધેય છે
$(B)$ $f$ એ અંતરાલ $(1, 2)$ માં વધતું વિધેય છે
$(C)$ $f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે
$(D)$ $f$ નો વિસ્તાર $[-\frac{3}{2}, 2]$ છે
$(A)$ $f$ એ અંતરાલ $(-2, -1)$ માં ઘટતું વિધેય છે
$(B)$ $f$ એ અંતરાલ $(1, 2)$ માં વધતું વિધેય છે
$(C)$ $f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે
$(D)$ $f$ નો વિસ્તાર $[-\frac{3}{2}, 2]$ છે
જો $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$ એ તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે હોય,તો
$(A)$ $f$ ને $x=2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે
$(B)$ $f$ એ $(2,3)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ કોઈ એવું $c \in(0, \infty)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime \prime}(c)=0$ થાય
$(D)$ $f$ ને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે
$(A)$ $f$ ને $x=2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે
$(B)$ $f$ એ $(2,3)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ કોઈ એવું $c \in(0, \infty)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime \prime}(c)=0$ થાય
$(D)$ $f$ ને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે
DifficultIIT 2012
View Solutionધારો કે $f(x)=2^x-x^2, x \in R$. જો $m$ અને $n$ એ અનુક્રમે $y=f(x)$ અને $y=f^{\prime}(x)$ વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓની સંખ્યા હોય,તો $m+n$ નું મૂલ્ય શોધો.
DifficultJEE MAIN 2024
View Solutionધારો કે $f(x) = x \cos^{-1}(-\sin |x|)$,$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
DifficultJEE MAIN 2020
View Solutionધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. List-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને List-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.
List-$I$ List-$II$ $(P)$ વિધેય $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ અંતરાલ $[1,2]$ પર સતત હોય તે માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(1)$ $8$ $(Q)$ વિધેય $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$ એ $R$ પર વધતું વિધેય હોય તે માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(2)$ $9$ $(R)$ $5$ થી મોટી એવી સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ કે જેના માટે $x=3$ એ $h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ નું સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ હોય $(3)$ $5$ $(S)$ $x_0 \in R$ ની સંખ્યા કે જેના માટે $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin |x-k|+\cos \left|x-k+\frac{1}{2}\right|\right), x \in R$ એ $x_0$ પર વિકલનીય ન હોય $(4)$ $6$ $(5)$ $10$
| List-$I$ | List-$II$ |
| $(P)$ વિધેય $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ અંતરાલ $[1,2]$ પર સતત હોય તે માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત | $(1)$ $8$ |
| $(Q)$ વિધેય $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$ એ $R$ પર વધતું વિધેય હોય તે માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત | $(2)$ $9$ |
| $(R)$ $5$ થી મોટી એવી સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ કે જેના માટે $x=3$ એ $h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ નું સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ હોય | $(3)$ $5$ |
| $(S)$ $x_0 \in R$ ની સંખ્યા કે જેના માટે $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin |x-k|+\cos \left|x-k+\frac{1}{2}\right|\right), x \in R$ એ $x_0$ પર વિકલનીય ન હોય | $(4)$ $6$ |
| $(5)$ $10$ |
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo