અહી a_{1}, a_{2}, ldots ldots, a_{21} એ સમાંત | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

$\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+d\right)}$

$=\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20}\left(\frac{1}{a_{n}}-\f

Vedclass · Accepted Answer

$72$

Vedclass · Answer

$\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+dight)}$

$=\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20}\left(\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n}+d}ight)$

$\Rightarrow \frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{21}}ight)=\frac{4}{9} 	ext { (Given) }$

$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{~d}}\left(\frac{\mathrm{a}_{21}-\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{21}}ight)=\frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{~d}}\left(\frac{\mathrm{a}_{1}+20 \mathrm{~d}-\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}}ight)=\frac{4}{9}$$\Rightarrow \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}=45 \ldots (1)$

Now sum of first $21$ terms $=\frac{21}{2}\left(2 \mathrm{a}_{1}+20 \mathrm{~d}ight)=189$

$\Rightarrow a_{1}+10 d=9 \ldots (2)$

For equation $(1) \,\&\,(2)$ we get

$a_{1}=3\,\&\, d=\frac{3}{5}$

OR

$a_{1}=15\, \&\, d=-\frac{3}{5}$

$\mathrm{So}, a_{6} \cdot \mathrm{a}_{16}=\left(\mathrm{a}_{1}+5 \mathrm{~d}ight)\left(\mathrm{a}_{1}+15 \mathrm{~d}ight)$

$\Rightarrow \mathrm{a}_{6} \mathrm{a}_{16}=72$

Similar Questions

અચળ $p, q$ માટે જે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $\left(p n+q n^{2}\right),$ હોય, તેનો સામાન્ય તફાવત શોધો. છે.

જો શ્રેણીના પહેલા $n$ પદોનો સરવાળો $An^2 + Bn$ સ્વરૂપમાં હોય જ્યાં $A, B$ એ $n$ ના નિરપેક્ષ અચળ છે, તો ........ શ્રેણી છે.

જો $x=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a^{n}, y=\sum\limits_{n=0}^{\infty} b^{n}, z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c^{n}$, જ્યાં $a , b , c$ એ સમાંતર શ્રેણી$(A.P.)$ માં છે. $|a| < 1,|b| < 1,|c| < 1$, $abc$ $\neq 0$ તો:

જેનું $n$ મું પદ આપેલ છે તે શ્રેણીનાં ${a_{20}}$પદ શોધો : $a_{n}=\frac{n(n-2)}{n+3}$