JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે વિધાન $P$ છે: "દરેક $M > 0$ માટે,એવો $x \in S$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $x \geq M$."
ક્વોન્ટિફાયર ધરાવતા વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન નીચેના નિયમોને અનુસરે છે:
$1$. "દરેક માટે" $(\forall)$ નું નકારાત્મક "અસ્તિત્વ ધરાવે છે" $(\exists)$ થાય છે.
$2$. "અસ્તિત્વ ધરાવે છે" $(\exists)$ નું નકારાત્મક "દરેક માટે" $(\forall)$ થાય છે.
$3$. $x \geq M$ નું નકારાત્મક $x < M$ થાય છે.
$P$ પર આ નિયમો લાગુ પાડતા:
$\sim P$: "એવો $M > 0$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી દરેક $x \in S$ માટે,$x < M$."
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) બિંદુ $P(a, b)$ નું રેખા $y=x$ પર પરાવર્તન $(b, a)$ મળે છે.
આ બિંદુને $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $2$ એકમ ખસેડતા $(b+2, a)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુની આસપાસ $\frac{\pi}{4}$ ના ખૂણે પરિભ્રમણ કરતા,નવા યામ $(x', y')$ નીચે મુજબ મળે:
$x' = \frac{b+2-a}{\sqrt{2}}$
$y' = \frac{b+2+a}{\sqrt{2}}$
અંતિમ સ્થાન $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ આપેલ હોવાથી:
$b-a = -3$ (સમીકરણ $1$)
$b+a = 5$ (સમીકરણ $2$)
બંને સમીકરણો ઉકેલતા $b=1$ અને $a=4$ મળે છે.
તેથી,$2a+b = 2(4)+1 = 9$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha = \max \{8^{2 \sin 3x} \cdot 4^{4 \cos 3x}\}$ અને $\beta = \min \{8^{2 \sin 3x} \cdot 4^{4 \cos 3x}\}$.
આ પદને $2^{6 \sin 3x} \cdot 2^{8 \cos 3x} = 2^{6 \sin 3x + 8 \cos 3x}$ તરીકે લખી શકાય.
$6 \sin 3x + 8 \cos 3x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{6^2 + 8^2}, \sqrt{6^2 + 8^2}] = [-10, 10]$ છે.
તેથી,$\alpha = 2^{10}$ અને $\beta = 2^{-10}$.
તેથી $\alpha^{1/5} = (2^{10})^{1/5} = 2^2 = 4$ અને $\beta^{1/5} = (2^{-10})^{1/5} = 2^{-2} = 1/4$.
$8x^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $4$ અને $1/4$ છે.
બીજનો સરવાળો: $4 + 1/4 = 17/4 = -b/8 \Rightarrow b = -34$.
બીજનો ગુણાકાર: $4 \cdot 1/4 = 1 = c/8 \Rightarrow c = 8$.
તેથી,$c - b = 8 - (-34) = 42$.

(D) આપેલ છે $S_{1}: |z-2| \leq 1$,જે $(2, 0)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
આપેલ છે $S_{2}: z(1+i)+\overline{z}(1-i) \geq 4$. ધારો કે $z = x+iy$. તો $\overline{z} = x-iy$.
આ કિંમતો અસમતામાં મૂકતા:
$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq 4$
$(x - y + i(x+y)) + (x - y - i(x+y)) \geq 4$
$2x - 2y \geq 4 \implies y \leq x-2$.
આપણે $z \in S_{1} \cap S_{2}$ માટે $|z - 2.5|^2$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવાની છે.
રેખા $y = x-2$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર $(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ $(x-2)^2 + y^2 = 1$ અને રેખા $y = x-2$ ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y = x-2$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-2)^2 + (x-2)^2 = 1 \implies 2(x-2)^2 = 1 \implies x-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી $x = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. અનુરૂપ $y$ કિંમતો $y = x-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
છેદબિંદુઓ $(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
બિંદુ $P = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ એ છેદગણમાં $2.5 + 0i$ થી સૌથી દૂરનું બિંદુ છે.
$|z - 2.5|^2 = |(2 - \frac{1}{\sqrt{2}} - 2.5) - i\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = |-\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}|^2$
$= (-\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5 + 2\sqrt{2}}{4}$.

(C) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. રેખાઓ $4x + 5y = 0$ અને $7x + 2y = 0$ ઉગમબિંદુ $A(0, 0)$ પર છેદે છે.
ધારો કે વિકર્ણ $BD$ એ $11x + 7y = 9$ રેખા પર છે.
બિંદુ $D$ એ $4x + 5y = 0$ અને $11x + 7y = 9$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$D = (5/3, -4/3)$ મળે.
બિંદુ $B$ એ $7x + 2y = 0$ અને $11x + 7y = 9$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$B = (-2/3, 7/3)$ મળે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. ધારો કે $M$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$M = (\frac{5/3 - 2/3}{2}, \frac{-4/3 + 7/3}{2}) = (1/2, 1/2)$.
બીજો વિકર્ણ $AC$ એ $A(0, 0)$ અને $M(1/2, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1/2 - 0}{1/2 - 0}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(2, 2)$ એ $y = x$ નું સમાધાન કરે છે.

(C) કુલ આવૃત્તિ $N = 4 + 4 + \alpha + \beta = 8 + \alpha + \beta$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 6$ છે.
$\frac{4(2) + 4(6) + \alpha(8) + \beta(9)}{8 + \alpha + \beta} = 6$
$8 + 24 + 8\alpha + 9\beta = 48 + 6\alpha + 6\beta$
$2\alpha + 3\beta = 16 \quad \dots (i)$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 6.8$ છે.
$\frac{16 + 144 + 64\alpha + 81\beta}{8 + \alpha + \beta} = 42.8$
$160 + 64\alpha + 81\beta = 342.4 + 42.8\alpha + 42.8\beta$
$21.2\alpha + 38.2\beta = 182.4$
સમીકરણો ઉકેલતા,$\alpha = 5$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
કુલ આવૃત્તિ $N = 15$ છે.
જ્યારે $x_3$ ને $8$ થી બદલીને $7$ કરવામાં આવે ત્યારે નવો સરવાળો $= 90 - (8 \times 5) + (7 \times 5) = 85$ થાય છે.
નવો મધ્યક $= \frac{85}{15} = \frac{17}{3}$.

(B) ધારો કે $a = 3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}} = \sqrt{25^{x-1}+7}$ અને $b = 3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)} = (5^{x-1}+1)^{-1/8}$.
વિસ્તરણ $(a+b)^{10}$ છે. નવમું પદ $T_9 = {}^{10}C_8 a^2 b^8$ છે.
કિંમતો મૂકતા: ${}^{10}C_8 = 45$,$a^2 = 25^{x-1}+7$,અને $b^8 = (5^{x-1}+1)^{-1}$.
તેથી,$45 \times \frac{25^{x-1}+7}{5^{x-1}+1} = 180$.
$45$ વડે ભાગતા,$\frac{25^{x-1}+7}{5^{x-1}+1} = 4$.
ધારો કે $t = 5^{x-1}$. તો $\frac{t^2+7}{t+1} = 4$.
$t^2+7 = 4t+4 \Rightarrow t^2-4t+3 = 0$.
$(t-1)(t-3) = 0$,તેથી $t=1$ અથવા $t=3$.
જો $5^{x-1} = 1$,તો $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
જો $5^{x-1} = 3$,તો $x-1 = \log_5 3 \Rightarrow x = 1 + \log_5 3$.

(A) આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), x, \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2x = \tan \left(\frac{\pi}{9}\right) + \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$,એટલે કે $x = \frac{1}{2} \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{7 \pi}{18}\right)$.
તે જ રીતે,$\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), y, \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2y = \tan \left(\frac{\pi}{9}\right) + \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$.
હવે,$|x - 2y|$ ની કિંમત શોધતા:
$x - 2y = \frac{1}{2} \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{7 \pi}{18}\right) - \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{5 \pi}{18}\right)$.
નિત્યસમ $\tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right) = \cot \left(\frac{\pi}{9}\right)$ અને $\tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right) = \cot \left(\frac{2 \pi}{9}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x - 2y = \frac{1}{2} \left(\cot \frac{\pi}{9} - \tan \frac{\pi}{9}\right) - \cot \frac{2 \pi}{9} = \cot \frac{2 \pi}{9} - \cot \frac{2 \pi}{9} = 0$.
આમ,$|x - 2y| = 0$.

(B) $\text{ધારો કે}$ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{(1-\sin x)^{1/8}-(1+\sin x)^{1/8}}$.
$\text{દ્વિપદી વિસ્તરણ}$ $(1+u)^n \approx 1+nu$ $\text{નો ઉપયોગ કરતા}$,$\text{જ્યાં}$ $n = 1/8$:
$(1-\sin x)^{1/8} \approx 1 - \frac{1}{8} \sin x$.
$(1+\sin x)^{1/8} \approx 1 + \frac{1}{8} \sin x$.
$\text{આ કિંમતોને લક્ષના પદમાં મૂકતા}$:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{(1 - \frac{1}{8} \sin x) - (1 + \frac{1}{8} \sin x)}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{-\frac{2}{8} \sin x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{-\frac{1}{4} \sin x}$.
$\text{આપણે જાણીએ છીએ કે}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,$\text{તેથી}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x} = 1$.
$\text{તેથી}$,$L = -4 \times 1 = -4$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, 6)$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 6$ છે અને ત્રિજ્યા $r = |h|$ છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^{2} + (y - 6)^{2} = h^{2}$ થાય.
આ વર્તુળ $x$-અક્ષ પર $6 \sqrt{5}$ લંબાઈનો અંતઃખંડ કાપે છે. સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,$(x - h)^{2} + (0 - 6)^{2} = h^{2}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(x - h)^{2} + 36 = h^{2}$ અથવા $(x - h)^{2} = h^{2} - 36$ થાય.
વર્ગમૂળ લેતા,$x - h = \pm \sqrt{h^{2} - 36}$,તેથી $x = h \pm \sqrt{h^{2} - 36}$.
$x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ આ બે $x$-કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત છે: $(h + \sqrt{h^{2} - 36}) - (h - \sqrt{h^{2} - 36}) = 2 \sqrt{h^{2} - 36}$.
આપેલ છે કે અંતઃખંડ $6 \sqrt{5}$ છે,તેથી $2 \sqrt{h^{2} - 36} = 6 \sqrt{5}$,એટલે કે $\sqrt{h^{2} - 36} = 3 \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^{2} - 36 = 9 \times 5 = 45$,તેથી $h^{2} = 81$,જેનો અર્થ છે કે $h = \pm 9$.
ત્રિજ્યા $r = |h|$ હોવાથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 9$ થાય.

(C) ઉપવલયનું કેન્દ્ર $C(3, -4)$ છે.
નાભિ $S(4, -4)$ અને શિરોબિંદુ $A(5, -4)$ છે.
$y$-યામ સમાન હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ સમક્ષિતિજ છે.
કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $a = |5 - 3| = 2$ છે.
કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae = |4 - 3| = 1$ છે.
તેથી,$e = \frac{1}{2}$.
$b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^{2} = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ મળે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x - 3)^{2}}{4} + \frac{(y + 4)^{2}}{3} = 1$ છે.
રેખા $y = mx - 4$ એ ઉપવલય $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $(y - k) = m(x - h) \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}}$ છે.
અહીં,$h = 3, k = -4, a^{2} = 4, b^{2} = 3$.
રેખા $y + 4 = mx - 3m$ છે,એટલે કે $y - (-4) = m(x - 3) - 3m$.
સ્પર્શકના સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,અચળ પદ $-3m = \pm \sqrt{4m^{2} + 3}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9m^{2} = 4m^{2} + 3$.
$5m^{2} = 3$.

(A) આપેલ છે $z = \frac{3 + 2i \cos \theta}{1 - 3i \cos \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગ શોધવા માટે, છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1 + 3i \cos \theta)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(3 + 2i \cos \theta)(1 + 3i \cos \theta)}{(1 - 3i \cos \theta)(1 + 3i \cos \theta)}$
$z = \frac{3 + 9i \cos \theta + 2i \cos \theta + 6i^2 \cos^2 \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{3 - 6 \cos^2 \theta + 11i \cos \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$
વાસ્તવિક ભાગ $\operatorname{Re}(z) = \frac{3 - 6 \cos^2 \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$ છે.
$\operatorname{Re}(z) = 0$ આપેલ હોવાથી, $3 - 6 \cos^2 \theta = 0$, જેનો અર્થ છે $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી, $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
હવે, $\sin^2 3\theta + \cos^2 \theta$ ની ગણતરી કરતા:
$\sin^2 3(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \sin^2(\frac{3\pi}{4}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $e^{4x} - e^{3x} - 4e^{2x} - e^{x} + 1 = 0$.
$e^{2x}$ વડે ભાગતા ($e^{2x} > 0$ હોવાથી):
$e^{2x} - e^{x} - 4 - e^{-x} + e^{-2x} = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $(e^{2x} + e^{-2x}) - (e^{x} + e^{-x}) - 4 = 0$.
ધારો કે $t = e^{x} > 0$. તો $e^{x} + e^{-x} = t + \frac{1}{t} = \alpha$,જ્યાં $\alpha \geq 2$.
અહીં $e^{2x} + e^{-2x} = (t + \frac{1}{t})^2 - 2 = \alpha^2 - 2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(\alpha^2 - 2) - \alpha - 4 = 0$.
$\alpha^2 - \alpha - 6 = 0$.
$(\alpha - 3)(\alpha + 2) = 0$.
$\alpha \geq 2$ હોવાથી,$\alpha = 3$.
હવે,$t + \frac{1}{t} = 3 \Rightarrow t^2 - 3t + 1 = 0$.
વિવેચક $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 5 > 0$.
$t = e^{x} > 0$ હોવાથી અને બીજનો ગુણાકાર $1$ તથા સરવાળો $3$ હોવાથી,$t$ ના બંને ઉકેલો ધન છે.
તેથી,$x$ ના $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સંખ્યા $N = 2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 11^{11} \cdot 13^{13}$ છે.
ભાજક $d = 2^a \cdot 5^b \cdot 11^c \cdot 13^d$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $0 \le a \le 10, 0 \le b \le 10, 0 \le c \le 11, 0 \le d \le 13$.
$4n+1$ સ્વરૂપ માટે $d$ એકી હોવો જોઈએ,તેથી $a=0$.
$d = 5^b \cdot 11^c \cdot 13^d \equiv (-1)^c \pmod{4}$.
$d \equiv 1 \pmod{4}$ માટે $c$ બેકી હોવો જોઈએ.
$c$ માટે $6$ વિકલ્પો,$b$ માટે $11$ વિકલ્પો અને $d$ માટે $14$ વિકલ્પો છે.
કુલ ભાજકોની સંખ્યા $11 \times 6 \times 14 = 924$ છે.

(A) પ્રથમ,ગણ $A$ શોધો: $n^{2} - n \leq 10,000$. $n(n-1) \leq 10,000$ ઉકેલતા,આપણને $n \approx 100.5$ મળે છે,તેથી $A = \{1, 2, \ldots, 100\}$.
આગળ,$B - C$ શોધો: $B$ માં $3k+1$ સ્વરૂપની સંખ્યાઓ છે (જેમ કે $4, 7, 10, 13, 16, 19, \ldots$). $C$ માં બેકી સંખ્યાઓ છે. તેથી,$B - C$ માં $3k+1$ સ્વરૂપની એકી સંખ્યાઓ છે,જે $7, 13, 19, \ldots$ છે.
$B - C$ નું સામાન્ય પદ $m \geq 1$ માટે $6m + 1$ છે.
આપણને $A \cap (B - C) = \{n \in \{1, \ldots, 100\} \mid n = 6m + 1\}$ જોઈએ છે.
$m=1$ માટે,$n=7$; $m=16$ માટે,$n=97$. પદોની સંખ્યા $16$ છે.
સરવાળો સમાંતર શ્રેણી છે: $S = \frac{16}{2}(7 + 97) = 8 \times 104 = 832$.

(C) $a, b, c$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{a+b+c}{3}$ છે.
$b = a + c$ હોવાથી,$\bar{x} = \frac{b+b}{3} = \frac{2b}{3}$ મળે.
$a+2, b+2, c+2$ નું પ્રમાણિત વિચલન એ $a, b, c$ ના પ્રમાણિત વિચલન જેટલું જ એટલે કે $d$ છે.
તેથી,$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - (\bar{x})^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \left(\frac{2b}{3}\right)^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \frac{4b^2}{9}$.
$d^2 = \frac{3(a^2+b^2+c^2) - 4b^2}{9}$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2+b^2) - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) + 3b^2 - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) - b^2$.
તેથી,$b^2 = 3(a^2+c^2) - 9d^2$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$.
$x \in [n, n+1)$ માટે,જ્યાં $n \in \mathbb{N}_0$,આપણી પાસે $y \in [n, x)$ માટે $[y] = n$ છે.
તેથી,$f(x) = \int_{0}^{1} 0 \, dy + \int_{1}^{2} 1 \, dy + \dots + \int_{n-1}^{n} (n-1) \, dy + \int_{n}^{x} n \, dy$.
$f(x) = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) + n(x-n) = \frac{(n-1)n}{2} + nx - n^2$.
$n = [x]$ હોવાથી,$f(x) = \frac{[x]([x]-1)}{2} + [x](x-[x])$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $x=n$ પર,ડાબી બાજુની લક્ષ $\lim_{x \to n^-} f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ અને જમણી બાજુની લક્ષ $\lim_{x \to n^+} f(x) = \frac{(n-1)n}{2} + n(n-n) = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
લક્ષ સમાન હોવાથી,$f(x)$ એ તમામ $x \geq 0$ માટે સતત છે.
જોકે,વિકલન $f'(x) = [x]$ એ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર અસતત છે કારણ કે $\lim_{x \to n^-} f'(x) = n-1$ અને $\lim_{x \to n^+} f'(x) = n$.
તેથી,$f$ એ દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી.

(B) આપેલ છે કે $g(3n+1)=3n+2$,$g(3n+2)=3n+3$,અને $g(3n+3)=3n+1$,જ્યાં $n \geq 0$.
પ્રથમ,આપણે $g \circ g \circ g(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$x = 3n+1$ માટે,$g(g(g(3n+1))) = g(g(3n+2)) = g(3n+3) = 3n+1$.
તે જ રીતે,$g(g(g(3n+2))) = 3n+2$ અને $g(g(g(3n+3))) = 3n+3$.
આમ,તમામ $x \in N$ માટે $g \circ g \circ g(x) = x$ થાય છે.
હવે,શરત $f(g(x)) = f(x)$ ધ્યાનમાં લો.
જો $f$ એ અચળ વિધેય હોય,તો $f(g(x)) = f(x)$ થાય,પરંતુ અચળ વિધેય $N$ પર વ્યાપ્ત નથી.
જો આપણે $f$ ને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે તે $g$ ના સમાન ચક્રના તમામ ઘટકોને સમાન મૂલ્ય પર મેપ કરે,તો $f$ એ $f(g(x)) = f(x)$ નું પાલન કરશે.
ઉદાહરણ તરીકે,$f(3n+1) = f(3n+2) = f(3n+3) = n+1$ લો. આ વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે કારણ કે કોઈપણ $y \in N$ માટે,આપણે $n = y-1$ પસંદ કરી શકીએ જેથી $f(3(y-1)+1) = y$.
આમ,એવું વ્યાપ્ત વિધેય $f$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ g = f$.

(C) $9$ અલગ-અલગ દડાઓને $4$ બોક્સમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $4^{9}$ છે.
$B_{3}$ બોક્સ માટે $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{9}C_{3}$ છે.
બાકીના $6$ દડાઓને અન્ય $3$ બોક્સ $(B_{1}, B_{2}, B_{4})$ માં $3^{6}$ રીતે વહેંચી શકાય છે.
તેથી,$B_{3}$ માં બરાબર $3$ દડા હોય તેની સંભાવના $P = \frac{{}^{9}C_{3} \cdot 3^{6}}{4^{9}}$ છે.
આને $P = \frac{{}^{9}C_{3} \cdot 3^{6}}{4^{9}} = \frac{84 \cdot 3^{6}}{4^{9}}$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે $k \left(\frac{3}{4}\right)^{9}$ સ્વરૂપમાં જોઈએ છીએ,તેથી $P = k \cdot \frac{3^{9}}{4^{9}}$ લખીએ.
બંને પદોને સરખાવતા: $k \cdot \frac{3^{9}}{4^{9}} = \frac{84 \cdot 3^{6}}{4^{9}}$.
$k = \frac{84 \cdot 3^{6}}{3^{9}} = \frac{84}{27} = \frac{28}{9} \approx 3.11$.
$k = \frac{28}{9} \approx 3.11$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$|x-3| < 1 \Rightarrow 2 < x < 4$. $3.11$ આ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) રેખા $L$ એ $\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{-1} = \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $N(\lambda, 0, -\lambda)$ છે.
કારણ કે $PN \perp L$,સદિશ $\vec{PN} = (\lambda-1, -2, -\lambda+1)$ એ $L$ ના દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 0, -1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$(\lambda-1)(1) + (-2)(0) + (-\lambda+1)(-1) = 0 \Rightarrow \lambda-1 + \lambda-1 = 0 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી,$N = (1, 0, -1)$ અને $\vec{PN} = (0, -2, 0)$.
હવે,ધારો કે $P$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $x+y+2z=0$ ને સમાંતર રેખા $L$ ને $Q(\mu, 0, -\mu)$ પર મળે છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (\mu-1, -2, -\mu+1)$. આ રેખા સમતલને સમાંતર હોવાથી,$\vec{PQ}$ એ સમતલના અભિલંબ $\vec{n} = (1, 1, 2)$ ને લંબ છે.
તેથી,$(\mu-1)(1) + (-2)(1) + (-\mu+1)(2) = 0 \Rightarrow \mu-1 - 2 - 2\mu + 2 = 0 \Rightarrow -\mu - 1 = 0 \Rightarrow \mu = -1$.
તેથી,$Q = (-1, 0, 1)$ અને $\vec{PQ} = (-2, -2, 2)$.
$\vec{PN} = (0, -2, 0)$ અને $\vec{PQ} = (-2, -2, 2)$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{|\vec{PN} \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{PN}| |\vec{PQ}|}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{PN}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = 2$.
$|\vec{PQ}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
$\vec{PN} \cdot \vec{PQ} = (0)(-2) + (-2)(-2) + (0)(2) = 4$.
$\cos \alpha = \frac{4}{2 \times 2\sqrt{3}} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=3 \sin ^{4} x+10 \sin ^{3} x+6 \sin ^{2} x-3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 12 \sin^3 x \cos x + 30 \sin^2 x \cos x + 12 \sin x \cos x$
$f'(x) = 6 \sin x \cos x (2 \sin^2 x + 5 \sin x + 2)$
દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડતા:
$f'(x) = 6 \sin x \cos x (2 \sin x + 1)(\sin x + 2)$
$x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ માટે:
$1. \cos x > 0$,દરેક $x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ માટે.
$2. (\sin x + 2) > 0$,દરેક $x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ માટે.
$3. (2 \sin x + 1) \ge 0$,દરેક $x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ માટે.
આમ,$f'(x)$ ની નિશાની $\sin x$ પર આધાર રાખે છે:
- જો $x \in \left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$,તો $\sin x < 0$,તેથી $f'(x) < 0$. આમ,$f$ એ $\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
- જો $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,તો $\sin x > 0$,તેથી $f'(x) > 0$. આમ,$f$ એ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માં વધતું વિધેય છે.

(B) જો સદિશો સમતલીય હોય,તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} a+b+2 & a+2 b+c & -(b+c) \\ b+1 & 2 b & -b \\ b+2 & 2 b & 1-b \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ અને $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} a+1 & a+c & -c \\ b+1 & 2 b & -b \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$1((a+c)(-b) - (2b)(-c)) + 1((a+1)(2b) - (b+1)(a+c)) = 0$
$(-ab - bc + 2bc) + (2ab + 2b - (ab + ac + b + c)) = 0$
$2ab + 2b - 2ab - a - 2bc - c + 2bc = 0$
$2b - a - c = 0$
તેથી,$2b = a+c$.

(C) $f$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = f(2) = \mu$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ શોધીએ:
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} e^{\frac{\tan(x-2)}{x-[x]}}$. અહીં $x > 2$ હોવાથી,$[x] = 2$ થાય,તેથી $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} e^{\frac{\tan(x-2)}{x-2}} = e^{1} = e$.
આમ,$\mu = e$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ શોધીએ:
$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{\lambda|x^{2}-5x+6|}{\mu(5x-x^{2}-6)}$.
અહીં $x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3)$ છે. $x < 2$ માટે,$(x-2) < 0$ અને $(x-3) < 0$ હોવાથી,$(x-2)(x-3) > 0$ થાય. તેથી $|x^{2}-5x+6| = (x-2)(x-3)$.
વળી,$5x-x^{2}-6 = -(x^{2}-5x+6) = -(x-2)(x-3)$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \frac{\lambda(x-2)(x-3)}{\mu(-(x-2)(x-3))} = -\frac{\lambda}{\mu}$.
લક્ષને સરખાવતા: $-\frac{\lambda}{\mu} = e \Rightarrow \lambda = -\mu e = -e^{2}$.
તેથી,$\lambda + \mu = -e^{2} + e = e(-e+1)$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1 = 0$
આખા સમીકરણને $e^{3x}$ વડે ભાગતા (કારણ કે $e^{3x} \neq 0$):
$e^{3x} - e^{x} - 2 - 12e^{-x} + e^{-2x} + e^{-3x} = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$(e^{3x} + e^{-3x}) - (e^{x} - e^{-2x}) - (e^{-x} - e^{x}) - 2 = 0$
વૈકલ્પિક રીતે,$e^{3x}$ વડે ભાગીને જૂથ બનાવતા:
$e^{3x} - 12 - e^{-3x} = e^{x} + 2 - e^{-x}$
ધારો કે $f(x) = e^{3x} - 12 - e^{-3x}$ અને $g(x) = e^{x} + 2 - e^{-x}$.
$f'(x) = 3e^{3x} + 3e^{-3x} > 0$ (ચુસ્ત વધતું વિધેય).
$g'(x) = e^{x} + e^{-x} > 0$ (ચુસ્ત વધતું વિધેય).
$f(x)$ અને $g(x)$ ના આલેખના છેદબિંદુઓનું અવલોકન કરતા,અથવા વિધેય $h(x) = e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1$ ના વર્તનની તપાસ કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે વિધેય $x$-અક્ષને બરાબર $2$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) આ પ્રદેશ વક્રો $y = 2x^2$ અને $y = 4-2x$ દ્વારા $x \geq 0$ માટે ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$2x^2 = 4-2x$ લો,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x - 2 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(x+2)(x-1) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -2$.
$x \geq 0$ હોવાથી,આપણે અંતરાલ $[0, 1]$ ધ્યાનમાં લઈશું.
ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int_{0}^{1} ((4-2x) - 2x^2) dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \int_{0}^{1} (4 - 2x - 2x^2) dx$
$= [4x - x^2 - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{1}$
$= (4(1) - (1)^2 - \frac{2(1)^3}{3}) - (0)$
$= 4 - 1 - \frac{2}{3} = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \, sq. \, units$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ ગણો:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & a \\ 3 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 2(18 - 5a) - 3(9 - 3a) + 6(5 - 6) = 36 - 10a - 27 + 9a - 6 = 3 - a$.
$D = 0$ માટે,$a = 3$ હોવું જોઈએ.
હવે,નિશ્ચાયક $D_z$ ગણો:
$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & b \end{vmatrix} = 2(2b - 25) - 3(b - 15) + 8(5 - 6) = 4b - 50 - 3b + 45 - 8 = b - 13$.
જ્યારે $D = 0$ હોય ત્યારે સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$D_z \neq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $b - 13 \neq 0$,એટલે કે $b \neq 13$.
આમ,$a = 3$ અને $b \neq 13$ હોય ત્યારે સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) ધારો કે $I = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{1}{1 + (\tan 2x)^{1/3}} dx = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{(\cos 2x)^{1/3}}{(\cos 2x)^{1/3} + (\sin 2x)^{1/3}} dx \dots (i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = \frac{\pi}{24} + \frac{5\pi}{24} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$.
તેથી $I = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{(\cos(2(\frac{\pi}{4} - x)))^{1/3}}{(\cos(2(\frac{\pi}{4} - x)))^{1/3} + (\sin(2(\frac{\pi}{4} - x)))^{1/3}} dx$
$I = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{(\cos(\frac{\pi}{2} - 2x))^{1/3}}{(\cos(\frac{\pi}{2} - 2x))^{1/3} + (\sin(\frac{\pi}{2} - 2x))^{1/3}} dx$
$I = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{(\sin 2x)^{1/3}}{(\sin 2x)^{1/3} + (\cos 2x)^{1/3}} dx \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{(\cos 2x)^{1/3} + (\sin 2x)^{1/3}}{(\cos 2x)^{1/3} + (\sin 2x)^{1/3}} dx = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} 1 dx$
$2I = [x]_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} = \frac{5\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.
ધારો કે $y-x = u$,તો $\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$. આ કિંમત મૂકતા,$\frac{du}{dx} = xe^u$ મળે.
ચલને અલગ કરતા: $e^{-u} du = x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-u} du = \int x dx \Rightarrow -e^{-u} = \frac{x^2}{2} + C$.
$u = y-x$ મૂકતા: $-e^{-(y-x)} = \frac{x^2}{2} + C \Rightarrow -e^{x-y} = \frac{x^2}{2} + C$.
$y(0)=0$ આપેલ છે,તેથી $x=0, y=0$ માટે: $-e^0 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.
તેથી,$-e^{x-y} = \frac{x^2}{2} - 1 \Rightarrow e^{x-y} = 1 - \frac{x^2}{2} = \frac{2-x^2}{2}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $x-y = \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right) \Rightarrow y = x - \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right)$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લો: $1 + xe^{y-x} = 0$. મૂળ સમીકરણ પરથી,$\frac{dy}{dx} = 1 + x\left(\frac{2}{2-x^2}\right) = \frac{2-x^2+2x}{2-x^2} = 0$.
$-x^2+2x+2=0 \Rightarrow x^2-2x-2=0$ ઉકેલતા. બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ મળે.
$x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ હોવાથી,આપણે $x = 1-\sqrt{3}$ લઈશું.
$x = 1-\sqrt{3}$ ને $y(x)$ માં મૂકતા: $y = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1-\sqrt{3})^2}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1+3-2\sqrt{3})}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-4+2\sqrt{3}}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln(\sqrt{3}-1)$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{p}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{q}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો અને તફાવત શોધો:
$\vec{p}+\vec{q} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{p}-\vec{q} = \hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$
સદિશ $\vec{r}$ એ $(\vec{p}+\vec{q})$ અને $(\vec{p}-\vec{q})$ બંનેને લંબ હોવાથી,તે તેમના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ને સમાંતર હશે:
$(\vec{p}+\vec{q}) \times (\vec{p}-\vec{q}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{v} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$. તેનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3}$ છે.
સદિશ $\vec{r} = \pm |\vec{r}| \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \sqrt{3} \frac{-2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{2\sqrt{3}} = \pm (-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ છે.
આમ,$|\alpha|=1, |\beta|=1, |\gamma|=1$ મળે.
તેથી,$|\alpha|+|\beta|+|\gamma| = 1+1+1 = 3$.

(A) આપણને $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ આપેલ છે જ્યાં $a, b, c, d \in \{\pm 3, \pm 2, \pm 1, 0\}$.
આપણે એવા શ્રેણિકોની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેના માટે $\det(A) = ad - bc = 15$ થાય.
$ad$ ની મહત્તમ કિંમત $3 \times 3 = 9$ છે અને $bc$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-3 \times 3 = -9$ છે,તેથી $ad - bc$ ની મહત્તમ કિંમત $9 - (-9) = 18$ છે.
$ad - bc = 15$ થાય તેવી $ad$ અને $bc$ ની શક્ય કિંમતો:
કિસ્સો $I$: $ad = 9$ અને $bc = -6$.
$ad = 9$ માટે,$(a, d)$ ની જોડી $(3, 3)$ અથવા $(-3, -3)$ હોઈ શકે ($2$ જોડી).
$bc = -6$ માટે,$(b, c)$ ની જોડી $(3, -2), (-3, 2), (-2, 3), (2, -3)$ હોઈ શકે ($4$ જોડી).
કિસ્સો $I$ માટે કુલ શ્રેણિકો $= 2 \times 4 = 8$.
કિસ્સો $II$: $ad = 6$ અને $bc = -9$.
$ad = 6$ માટે,$(a, d)$ ની જોડી $(3, 2), (2, 3), (-3, -2), (-2, -3)$ હોઈ શકે ($4$ જોડી).
$bc = -9$ માટે,$(b, c)$ ની જોડી $(3, -3), (-3, 3)$ હોઈ શકે ($2$ જોડી).
કિસ્સો $II$ માટે કુલ શ્રેણિકો $= 4 \times 2 = 8$.
આવા કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $= 8 + 8 = 16$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x=-\sin x \cos ^{2} x$.
ધારો કે $e^{y}=t$,તેથી $e^{y} \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$.
સમીકરણ $\frac{d t}{d x}-2 \sin x \cdot t=-\sin x \cos ^{2} x$ બને છે.
આ $\frac{d t}{d x}+P(x)t=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=-2 \sin x$ અને $Q(x)=-\sin x \cos ^{2} x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -2 \sin x dx} = e^{2 \cos x}$.
ઉકેલ $t \cdot e^{2 \cos x} = \int -\sin x \cos ^{2} x \cdot e^{2 \cos x} dx + C$ છે.
ધારો કે $u = \cos x$,તેથી $du = -\sin x dx$. સંકલન $\int u^{2} e^{2u} du$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u^{2} e^{2u} du = u^{2} \frac{e^{2u}}{2} - \int 2u \frac{e^{2u}}{2} du = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - (u \frac{e^{2u}}{2} - \int \frac{e^{2u}}{2} du) = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - \frac{u e^{2u}}{2} + \frac{e^{2u}}{4}$.
તેથી,$e^{y} e^{2 \cos x} = e^{2 \cos x} (\frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4}) + C$.
$x = \frac{\pi}{2}$ પર,$y = 0$,તેથી $e^{0} e^{0} = e^{0} (0 - 0 + \frac{1}{4}) + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$.
આમ,$e^{y} = \frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2 \cos x}$.
$x = 0$ પર,$e^{y(0)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2}$.
$\alpha + \beta e^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{4}$ અને $\beta = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી,$4(\alpha + \beta) = 4(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 4(1) = 4$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
આપેલ શરત $A^n X = X$ એ તમામ $a, b, c, d \in R$ માટે છે.
કારણ કે $X$ કોઈપણ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોઈ શકે છે,આપણે $X = I$ (એકમ શ્રેણિક) લઈ શકીએ છીએ,જે સૂચવે છે કે $A^n = I$.
હવે,$A$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = iI$.
$A^4 = (A^2)^2 = (iI)^2 = i^2 I = -I$.
$A^8 = (A^4)^2 = (-I)^2 = I$.
આમ,$A^n = I$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $n$ એ $8$ નો ગુણક હોય.
આપણે $2$-અંકની એવી સંખ્યાઓ $n$ શોધવાની છે જે $8$ નો ગુણક હોય.
$8$ ના $2$-અંકના ગુણકો $16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96$ છે.
આ ગણતરી કરતા,આપણને કુલ $11$ સંખ્યાઓ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy = (y + x^3 \cos x) dx$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{x dy - y dx}{x^2} = x \cos x dx$
આ ભાગાકારના નિયમનું વિકલન છે:
$d(\frac{y}{x}) = x \cos x dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int d(\frac{y}{x}) = \int x \cos x dx$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{y}{x} = x \sin x - \int \sin x dx$
$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x + C$
$y(\pi) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = \pi$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 = \pi \sin(\pi) + \cos(\pi) + C$
$0 = 0 - 1 + C \implies C = 1$
તેથી,$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x + 1$
$y = x^2 \sin x + x \cos x + x$
હવે,$y(\frac{\pi}{2})$ ની કિંમત શોધતા:
$y(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2}$
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{4}(1) + \frac{\pi}{2}(0) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{lll} \sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}\right|=0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2}$ અને $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{3}$ લાગુ કરતા:
$\left|\begin{array}{ccc} \sin x-\cos x & \cos x-\sin x & 0 \\ 0 & \sin x-\cos x & \cos x-\sin x \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}\right|=0$.
$R_{1}$ અને $R_{2}$ માંથી $(\sin x-\cos x)$ સામાન્ય લેતા:
$(\sin x-\cos x)^{2} \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}\right|=0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\sin x-\cos x)^{2} [1(\sin x + \cos x) + 1(0 + \cos x)] = 0$.
$(\sin x-\cos x)^{2} (\sin x + 2 \cos x) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin x = \cos x$ અથવા $\sin x = -2 \cos x$.
કિસ્સો $1$: $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$. આ કિંમત અંતરાલ $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ માં આવેલી છે.
કિસ્સો $2$: $\tan x = -2$. અંતરાલ $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ માં $\tan x$ ની કિંમત $-1$ થી $1$ ની વચ્ચે હોય છે. $-2$ આ અંતરાલની બહાર હોવાથી,આ અંતરાલમાં $\tan x = -2$ નો કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,માત્ર $1$ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલ છે,જે $x = \frac{\pi}{4}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $(g \circ f)^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી સંયોજિત વિધેય $g \circ f: A \rightarrow C$ એ બાયજેક્શન (એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને) હોવું જોઈએ.
$1$. $g \circ f$ ને એક-એક થવા માટે,$f$ એક-એક હોવું જરૂરી છે. જો $f$ એક-એક ન હોય,તો $A$ માં એવા $x_1, x_2$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $f(x_1) = f(x_2)$,જેનો અર્થ થાય કે $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,જે $g \circ f$ ના એક-એક ગુણધર્મનો વિરોધાભાસ કરે છે.
$2$. $g \circ f$ ને વ્યાપ્ત થવા માટે,$g$ વ્યાપ્ત હોવું જરૂરી છે. જો $g$ વ્યાપ્ત ન હોય,તો $C$ માં એવો કોઈ $z$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેના માટે $B$ માં કોઈ $y$ ન મળે જેથી $g(y) = z$,જેનો અર્થ છે કે $A$ માં કોઈ $x$ ન મળે જેથી $g(f(x)) = z$,જે $g \circ f$ ના વ્યાપ્ત ગુણધર્મનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$f$ એક-એક હોવું જોઈએ અને $g$ વ્યાપ્ત હોવું જોઈએ.

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx$,જ્યાં $f(x) = \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ છે.
$f(-x)$ ની ગણતરી કરીને ચકાસો કે $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય છે કે નહીં:
$f(-x) = \log \left(-x+\sqrt{(-x)^{2}+1}\right) = \log \left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$.
અંશ અને છેદને $(\sqrt{x^{2}+1}+x)$ વડે ગુણતા:
$f(-x) = \log \left(\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right) = \log \left(\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right) = \log \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right)$.
ગુણધર્મ $\log(1/a) = -\log(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = -\log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) = -f(x)$.
આમ,$f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-1}^{1} \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \, dx = 0$.

(B) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^2 = P \times P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 + 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \times P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 + 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^4 = P^2 \times P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
આ પેટર્ન જોતા,$P^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n/2 & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.
તેથી,$n = 50$ માટે,$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 50/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 25 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = 0$.
આપેલા સદિશો $\vec{u} = a \hat{i} + a \hat{j} + c \hat{k}$,$\vec{v} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k}$,અને $\vec{w} = c \hat{i} + c \hat{j} + b \hat{k}$ છે.
સમતલીય હોવાની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\left|\begin{array}{lll}a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b\end{array}\right| = 0$
બીજી હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right| + 0 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right| - 1 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & a \\ c & c\end{array}\right| = 0$
$-1(ab - c^2) - 1(ac - ac) = 0$
$-(ab - c^2) - 0 = 0$
$c^2 - ab = 0$
$c^2 = ab$
કારણ કે $a, b, c$ ધન સંખ્યાઓ છે,તેથી $c = \sqrt{ab}$.

(D) મધ્યક $E(X) = \sum_{j=0}^{\infty} j \cdot P(X=j)$ દ્વારા મળે છે.
$P(X=0) = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$ હોવાથી,$E(X) = \sum_{j=1}^{\infty} j \cdot \frac{1}{3^j}$ થાય.
આ $\sum_{j=1}^{\infty} j r^j$ પ્રકારની શ્રેણી છે જ્યાં $r = \frac{1}{3}$.
તેનો સરવાળો $\frac{r}{(1-r)^2} = \frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ થાય.
$P(X \text{ ધન અને બેકી હોય})$ માટે,આપણે $j \in \{2, 4, 6, \ldots\}$ માટે $P(X=j)$ નો સરવાળો કરીશું.
$P(X \text{ ધન અને બેકી હોય}) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{2k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{9}\right)^k$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{9}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{9}$ છે.
સરવાળો $\frac{a}{1-r} = \frac{1/9}{1-1/9} = \frac{1/9}{8/9} = \frac{1}{8}$ થાય.
આમ,મધ્યક $\frac{3}{4}$ અને સંભાવના $\frac{1}{8}$ છે.

(C) આપેલ છે: $|\vec{a}|=2$ અને $|\vec{b}|=5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta = 8$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 5 \times \sin \theta = 8 \implies 10 \sin \theta = 8 \implies \sin \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
આમ,$|\cos \theta| = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
હવે,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta|$.
$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = 2 \times 5 \times \frac{3}{5} = 6$.

(B) $x > 2$ માટે,$f(x) = \int_{0}^{1} (5 + (1-t)) \, dt + \int_{1}^{x} (5 + (t-1)) \, dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$f(x) = \int_{0}^{1} (6-t) \, dt + \int_{1}^{x} (4+t) \, dt = [6t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{1} + [4t + \frac{t^2}{2}]_{1}^{x}$.
$f(x) = (6 - \frac{1}{2}) + (4x + \frac{x^2}{2} - 4 - \frac{1}{2}) = \frac{11}{2} + 4x + \frac{x^2}{2} - \frac{9}{2} = \frac{x^2}{2} + 4x + 1$.
$x=2$ આગળ સાતત્ય ચકાસતા:
$f(2^-) = 5(2) + 1 = 11$.
$f(2^+) = \frac{2^2}{2} + 4(2) + 1 = 2 + 8 + 1 = 11$.
$f(2^-) = f(2^+) = 11$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=2$ આગળ સતત છે.
$x=2$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસતા:
$Lf'(2) = \frac{d}{dx}(5x+1)|_{x=2} = 5$.
$Rf'(2) = \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2} + 4x + 1)|_{x=2} = (x+4)|_{x=2} = 2+4 = 6$.
$Lf'(2) \neq Rf'(2)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=2$ આગળ વિકલનીય નથી.

(C) કારણ કે $P''(x)$ અચળ છે,તેથી $P(x)$ એ $2$ ઘાતની બહુપદી હોવી જોઈએ. ધારો કે $P(x) = ax^2 + bx + c$.
આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 7$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\lim_{x \to 2} \frac{P(x)}{\sin(x-2)} = 7$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$P(2) = 0$ હોવું જોઈએ કારણ કે $x \to 2$ ત્યારે $\sin(x-2) \to 0$ થાય છે. તેથી,$(x-2)$ એ $P(x)$ નો અવયવ છે.
ધારો કે $P(x) = (x-2)(ax + k)$.
તેથી $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(ax+k)}{\sin(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sin(x-2)} \cdot (ax+k) = 1 \cdot (2a+k) = 7$.
તેથી,$2a + k = 7$.
આપણને $P(3) = 9$ આપેલ છે. $P(x) = (x-2)(ax+k)$ માં $x=3$ મૂકતા,$(3-2)(3a+k) = 9$,તેથી $3a + k = 9$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(3a+k) - (2a+k) = 9 - 7$,જે આપણને $a = 2$ આપે છે.
$2a+k=7$ માં $a=2$ મૂકતા $4+k=7$ મળે,તેથી $k=3$.
આમ,$P(x) = (x-2)(2x+3)$.
અંતે,$P(5) = (5-2)(2(5)+3) = 3(13) = 39$.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a = 2 \sqrt{2}$ છે.
ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $\ell$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
ઉપરના ભાગમાં બનતા સમરૂપ ત્રિકોણો પરથી,નાના ત્રિકોણની ઊંચાઈ અને તેના પાયાનો ગુણોત્તર એ મોટા ત્રિકોણની ઊંચાઈ અને તેના પાયાના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $H = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sqrt{2}) = \sqrt{6}$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણો દ્વારા,$\frac{H-b}{H} = \frac{\ell}{a}$.
$\frac{\sqrt{6}-b}{\sqrt{6}} = \frac{\ell}{2 \sqrt{2}}$.
$b = \sqrt{6} (1 - \frac{\ell}{2 \sqrt{2}}) = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ell$.
ક્ષેત્રફળ $A = \ell \times b = \ell (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ell) = \sqrt{6} \ell - \frac{\sqrt{3}}{2} \ell^2$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dA}{d\ell} = 0$ લો.
$\sqrt{6} - \sqrt{3} \ell = 0 \Rightarrow \ell = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{2} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2}) = \sqrt{12} - \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{2} = 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $A^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$ થાય.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x \ln x}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{2 dx}{x \ln x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{2}{x \ln x} dx$.
ધારો કે $u = \ln x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન કરતા: $\ln |y| = 2 \int \frac{du}{u} = 2 \ln |u| + C = 2 \ln |\ln x| + C$.
તેથી,$\ln |y| = \ln |(\ln x)^2| + C$,જેનો અર્થ છે કે $y = k(\ln x)^2$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
વક્ર બિંદુ $(2, (\ln 2)^2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2$ અને $y=(\ln 2)^2$ મૂકતા:
$(\ln 2)^2 = k(\ln 2)^2 \Rightarrow k = 1$.
આમ,વિધેય $f(x) = (\ln x)^2$ છે.
$f(e)$ શોધવા માટે,$x=e$ મૂકતા: $f(e) = (\ln e)^2 = (1)^2 = 1$.

(B) એક સિક્કાને ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $P(H) = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના $P(X=0) = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
આપેલ છે કે $P(X \geq 1) \geq 0.9$,તેથી:
$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \geq 0.9$
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા:
$1 - 0.9 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$0.1 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$\frac{1}{10} \geq \frac{1}{2^n}$
$2^n \geq 10$
$n$ માટે કિંમતો તપાસતા:
$n=3$ માટે,$2^3 = 8 < 10$.
$n=4$ માટે,$2^4 = 16 \geq 10$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(C) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો તેમના બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (k, 2, 3)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-1, -2, -3)$.
દિશા સદિશો $(a_1, b_1, c_1) = (1, 2, 3)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (3, 2, 1)$ છે.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} -1-k & -2-2 & -3-3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} -(k+1) & -4 & -6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-(k+1)(2-6) - (-4)(1-9) + (-6)(2-6) = 0$
$-(k+1)(-4) + 4(-8) - 6(-4) = 0$
$4(k+1) - 32 + 24 = 0$
$4k + 4 - 8 = 0$
$4k - 4 = 0$
$4k = 4$
$k = 1$

(B) આપેલ છે કે $(\vec{a}+3 \vec{b}) \perp(7 \vec{a}-5 \vec{b})$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\vec{a}+3 \vec{b}) \cdot(7 \vec{a}-5 \vec{b}) = 7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 16(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \quad \dots(1)$
આપેલ છે કે $(\vec{a}-4 \vec{b}) \perp(7 \vec{a}-2 \vec{b})$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\vec{a}-4 \vec{b}) \cdot(7 \vec{a}-2 \vec{b}) = 7|\vec{a}|^2 + 8|\vec{b}|^2 - 30(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 16(\vec{a} \cdot \vec{b})) - (7|\vec{a}|^2 + 8|\vec{b}|^2 - 30(\vec{a} \cdot \vec{b})) = 0$
$-23|\vec{b}|^2 + 46(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \implies 46(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 23|\vec{b}|^2 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2$
હવે $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 16(\frac{1}{2}|\vec{b}|^2) = 0$
$7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 8|\vec{b}|^2 = 0 \implies 7|\vec{a}|^2 = 7|\vec{b}|^2 \implies |\vec{a}| = |\vec{b}|$
હવે,$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{\frac{1}{2}|\vec{b}|^2}{|\vec{b}||\vec{b}|} = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$

(D) પ્રદેશ $R$ એ $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ અને $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ માટે $0 \leq y \leq 2^x$,તથા $x \in [1, 2]$ માટે $\log_e x \leq y \leq 2^x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1/2}^{1} 2^x \, dx + \int_{1}^{2} (2^x - \log_e x) \, dx$
$A = \int_{1/2}^{2} 2^x \, dx - \int_{1}^{2} \log_e x \, dx$
$A = \left[ \frac{2^x}{\log_e 2} \right]_{1/2}^{2} - [x \log_e x - x]_{1}^{2}$
$A = \frac{2^2 - 2^{1/2}}{\log_e 2} - ((2 \log_e 2 - 2) - (1 \log_e 1 - 1))$
$A = \frac{4 - \sqrt{2}}{\log_e 2} - (2 \log_e 2 - 2 + 1)$
$A = (4 - \sqrt{2})(\log_e 2)^{-1} - 2(\log_e 2) + 1$
$\alpha(\log_e 2)^{-1} + \beta(\log_e 2) + \gamma$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4 - \sqrt{2}$,$\beta = -2$,$\gamma = 1$ મળે છે.
હવે,$(\alpha + \beta - 2\gamma)^2 = (4 - \sqrt{2} - 2 - 2(1))^2 = (4 - \sqrt{2} - 2 - 2)^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log _{e}\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ ને $\frac{d y}{d x}=e^{3 x+4 y}=e^{3 x} \cdot e^{4 y}$ તરીકે લખી શકાય.
ચલને અલગ કરતા,$e^{-4 y} d y=e^{3 x} d x$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{-4 y} d y=\int e^{3 x} d x$,જે $-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}+C$ આપે છે.
શરત $y(0)=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા: $-\frac{1}{4} e^{0}=\frac{1}{3} e^{0}+C \Rightarrow -\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+C \Rightarrow C=-\frac{7}{12}$.
આમ,$-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}-\frac{7}{12}$.
$-12$ વડે ગુણતા,$3 e^{-4 y} = 7 - 4 e^{3 x}$,તેથી $e^{-4 y} = \frac{7 - 4 e^{3 x}}{3}$.
વ્યસ્ત લેતા,$e^{4 y} = \frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}$,તેથી $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}\right)$.
$x = -\frac{2}{3} \log _{e} 2$ માટે,$e^{3 x} = e^{3 \left(-\frac{2}{3} \log _{e} 2\right)} = e^{-2 \log _{e} 2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.
આ કિંમત $4y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4(1/4)}\right) = \log _{e} \left(\frac{3}{6}\right) = \log _{e} \left(\frac{1}{2}\right) = -\log _{e} 2$.
તેથી,$y = -\frac{1}{4} \log _{e} 2$. આને $y = \alpha \log _{e} 2$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -\frac{1}{4}$ મળે.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ: $|A| = (1)(4) - (2)(-1) = 4 + 2 = 6$.
ત્યારબાદ,$A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક શોધીએ: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $A^{-1} = \alpha I + \beta A$,તેથી:
$\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ -\beta & \alpha + 4\beta \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2\beta = -\frac{1}{3} \implies \beta = -\frac{1}{6}$.
$\alpha + \beta = \frac{2}{3} \implies \alpha - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \implies \alpha = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
અંતે,$4(\alpha - \beta) = 4(\frac{5}{6} - (-\frac{1}{6})) = 4(\frac{5}{6} + \frac{1}{6}) = 4(1) = 4$.

(B) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = b$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\cot 4x}{\cot 2x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{\tan 4x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{2\tan 2x(1-\tan^2 2x)}} = e^{1/2}$.
તેથી,$b = e^{1/2}$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{3a}{|\sin x|}} = \lim_{t \rightarrow 0^+} (1+t)^{\frac{3a}{t}} = e^{3a}$ (જ્યાં $t = |\sin x|$).
લક્ષને સરખાવતા,$e^{3a} = e^{1/2}$,જેનો અર્થ છે કે $3a = 1/2$,તેથી $a = 1/6$.
તેથી,$6a = 1$.
અંતે,$6a + b^2 = 1 + (e^{1/2})^2 = 1 + e$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a}+\vec{b} = (1-1)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (2+3)\hat{k} = 3\hat{j} + 5\hat{k}$ ગણો.
હવે,પદાવલિ $E = ((\vec{a} \times((\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b})) \times \vec{b})$ ને સરળ બનાવો.
ગુણધર્મ $(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$E = ((\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b})) \times \vec{b})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}$.
તેથી $E = ((\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{b} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \times \vec{b})$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-1) + (1)(2) + (2)(3) = -1 + 2 + 6 = 7$ ગણો.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(3+2) + \hat{k}(2+1) = -\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$ ગણો.
આમ,$E = 7(-\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k})$.
છેલ્લે,$(\vec{a}+\vec{b}) \times E = (3\hat{j} + 5\hat{k}) \times 7(-\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 7 \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & 5 \\ -1 & -5 & 3 \end{vmatrix}$ ગણો.
$= 7 [\hat{i}(9 - (-25)) - \hat{j}(0 - (-5)) + \hat{k}(0 - (-3))] = 7(34\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k})$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)} \cdots(1)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -\frac{\pi}{4}$ અને $b = \frac{\pi}{4}$,આપણને $a+b = 0$ મળે છે. તેથી,$f(x)$ એ $f(-x)$ બને છે:
$I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{-x \cos(-x)}\right)\left(\sin ^{4}(-x)+\cos ^{4}(-x)\right)} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{-x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)} \cdots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{1+e^{x \cos x}} + \frac{1}{1+e^{-x \cos x}} \right) \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}$
કારણ કે $\frac{1}{1+e^{x \cos x}} + \frac{1}{1+e^{-x \cos x}} = 1$,તેથી:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(1+\tan^2 x) \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$
ધારો કે $\tan x = u$,તો $\sec^2 x dx = du$. જ્યારે $x \to 0, u \to 0$ અને $x \to \frac{\pi}{4}, u \to 1$:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1+u^2}{u^4+1} du = \int_{0}^{1} \frac{1+\frac{1}{u^2}}{u^2+\frac{1}{u^2}} du = \int_{0}^{1} \frac{1+\frac{1}{u^2}}{(u-\frac{1}{u})^2 + 2} du$
ધારો કે $u-\frac{1}{u} = t$,તો $(1+\frac{1}{u^2}) du = dt$. જ્યારે $u \to 0, t \to -\infty$ અને $u \to 1, t \to 0$:
$I = \int_{-\infty}^{0} \frac{dt}{t^2+2} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{2}} \right) \right]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$

(B) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(-2 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ મળે.
બિંદુ $(-1, 0, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-2(x + 1) + 1(y - 0) - 3(z + 2) = 0$
$-2x - 2 + y - 3z - 6 = 0$
$-2x + y - 3z - 8 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,$2x - y + 3z + 8 = 0$ મળે.
$ax + by + cz + 8 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = -1, c = 3$ મળે.
તેથી,$a + b + c = 2 - 1 + 3 = 4$.

(C) આપેલ સીમા $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{(2 j-1)+8 n}{(2 j-1)+4 n}$ છે.
સરવાળાની અંદરના પદના અંશ અને છેદને $n$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{2(\frac{j}{n}) - \frac{1}{n} + 8}{2(\frac{j}{n}) - \frac{1}{n} + 4}$.
રીમાન સરવાળાની સીમા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n \rightarrow \infty$ ત્યારે $\frac{j}{n} \rightarrow x$ અને $\frac{1}{n} \rightarrow dx$ થાય છે,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$L = \int_{0}^{1} \frac{2x + 8}{2x + 4} dx$.
આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$\frac{2x + 8}{2x + 4} = \frac{(2x + 4) + 4}{2x + 4} = 1 + \frac{4}{2x + 4} = 1 + \frac{2}{x + 2}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$L = \int_{0}^{1} (1 + \frac{2}{x + 2}) dx = [x + 2 \ln|x + 2|]_{0}^{1}$.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$L = (1 + 2 \ln(3)) - (0 + 2 \ln(2)) = 1 + 2(\ln(3) - \ln(2)) = 1 + 2 \ln(\frac{3}{2})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin^2 x & -2 + \cos^2 x & \cos 2x \\ 2 + \sin^2 x & \cos^2 x & \cos 2x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + \cos 2x \end{array} \right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + \cos 2x \end{array} \right|$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = -2(0 - (-\cos^2 x)) - (-2)(2(1 + \cos 2x) - (-\sin^2 x)) + 0$
$f(x) = -2 \cos^2 x + 2(2 + 2 \cos 2x + \sin^2 x)$
$f(x) = -2 \cos^2 x + 4 + 4 \cos 2x + 2 \sin^2 x$
$f(x) = 4 + 4 \cos 2x - 2(\cos^2 x - \sin^2 x)$
કારણ કે $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$,તેથી:
$f(x) = 4 + 4 \cos 2x - 2 \cos 2x = 4 + 2 \cos 2x$.
$x \in [0, \pi]$ માટે,$\cos 2x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી,$f(x)_{\text{max}} = 4 + 2(1) = 6$.

(B) આપેલ છે કે $F(x) = e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. નોંધો કે $F(3) = 0$.
બંને બાજુ $e^{x}$ વડે ગુણતા: $e^{x}F(x) = \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$e^{x}F(x) + e^{x}F^{\prime}(x) = 3x^{2}+2x+4F^{\prime}(x)$.
પદોને ગોઠવતા: $(e^{x}-4)F^{\prime}(x) + e^{x}F(x) = 3x^{2}+2x$.
આ $\frac{d}{dx} [F(x)(e^{x}-4)] = 3x^{2}+2x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $F(x)(e^{x}-4) = \int (3x^{2}+2x) \,dx = x^{3}+x^{2}+C$.
$F(3) = 0$ હોવાથી,$0 = 3^{3}+3^{2}+C \Rightarrow C = -36$.
આમ,$F(x) = \frac{x^{3}+x^{2}-36}{e^{x}-4}$.
હવે,$F^{\prime}(x) = \frac{(3x^{2}+2x)(e^{x}-4) - (x^{3}+x^{2}-36)e^{x}}{(e^{x}-4)^{2}}$.
$x=4$ માટે: $F^{\prime}(4) = \frac{(3(16)+2(4))(e^{4}-4) - (64+16-36)e^{4}}{(e^{4}-4)^{2}} = \frac{56(e^{4}-4) - 44e^{4}}{(e^{4}-4)^{2}} = \frac{12e^{4}-224}{(e^{4}-4)^{2}}$.
$\frac{\alpha e^{\beta}-224}{(e^{\beta}-4)^{2}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha=12$ અને $\beta=4$ મળે છે.
તેથી,$\alpha+\beta = 12+4 = 16$.

(C) રેખા બિંદુ $A(2, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલ બિંદુ $B(3, 7, -7)$ અને બિંદુ $A(2, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
સદિશ $\vec{AB} = (3-2)\hat{i} + (7-3)\hat{j} + (-7 - (-2))\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{AB}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10-4) - \hat{j}(15-1) + \hat{k}(-12-2) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-2) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z - 3 = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $x + y + z - 3 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$d^{2} = (\sqrt{3})^{2} = 3$.

(D) આપેલ છે કે $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ દરેક $m, n \in S$ માટે જ્યાં $m \cdot n \in S$.
$1$. $m=1$ લેતા,$f(n) = f(1) \cdot f(n)$,જે સૂચવે છે કે $f(1) = 1$.
$2$. $f(2), f(3), f(5), f(7)$ ની કિંમતો વિધેય નક્કી કરે છે કારણ કે $f(4) = f(2 \cdot 2) = f(2)^2$ અને $f(6) = f(2 \cdot 3) = f(2) \cdot f(3)$.
$3$. કિસ્સો $1$: $f(2) = 1$. તો $f(4) = 1^2 = 1$ અને $f(6) = 1 \cdot f(3) = f(3)$.
$f(3)$ એ $S$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે ($7$ વિકલ્પો),$f(5)$ એ $S$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે ($7$ વિકલ્પો),અને $f(7)$ એ $S$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે ($7$ વિકલ્પો).
વિધેયોની સંખ્યા = $1 \times 1 \times 7 \times 1 \times 7 \times 7 = 343$.
$4$. કિસ્સો $2$: $f(2) = 2$. તો $f(4) = 2^2 = 4 \in S$ (માન્ય) અને $f(6) = 2 \cdot f(3)$.
$f(6) \in S$ માટે,$2 \cdot f(3) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
$f(3)$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 2, 3$ છે (કારણ કે $2 \cdot 1=2, 2 \cdot 2=4, 2 \cdot 3=6$,જે બધી $S$ માં છે).
$f(5)$ એ $S$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે ($7$ વિકલ્પો),$f(7)$ એ $S$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે ($7$ વિકલ્પો).
વિધેયોની સંખ્યા = $1 \times 3 \times 7 \times 7 = 147$.
$5$. કિસ્સો $3$: $f(2) = 3$. તો $f(4) = 3^2 = 9 \notin S$ (અમાન્ય).
કુલ વિધેયોની સંખ્યા = $343 + 147 = 490$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \min \{x-[x], 1+[x]-x\}$. ધારો કે ${x} = x-[x]$. તો $f(x) = \min \{\{x\}, 1-\{x\}\}$.
$x \in [0, 3)$ માટે,વિધેય ${x}$ એ $1$ આવર્તમાન ધરાવે છે. $f(x)$ નો આલેખ $0$ અને $3$ ની વચ્ચે ત્રિકોણીય તરંગો જેવો છે.
ચોક્કસ રીતે,$f(x) = \{x\}$ જ્યારે $0 \le \{x\} \le 1/2$ અને $f(x) = 1-\{x\}$ જ્યારે $1/2 < \{x\} < 1$.
$1$. સાતત્ય: વિધેય $f(x)$ એ $[0, 3]$ પર દરેક જગ્યાએ સતત છે કારણ કે ${x}$ એ પૂર્ણાંકો સિવાય સતત છે,પરંતુ $\min$ વિધેય તેને પૂર્ણાંકો પર પણ સતત બનાવે છે. તેથી,$P = \emptyset$ અને $P$ માં ઘટકોની સંખ્યા $0$ છે.
$2$. વિકલનીયતા: વિધેય $f(x)$ એવા બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી જ્યાં બંને પદો સમાન હોય,એટલે કે ${x} = 1/2$,અને જ્યાં ${x}$ અસતત હોય,એટલે કે $x \in \{1, 2\}$.
અંતરાલ $(0, 3)$ માં,${x} = 1/2$ એ $x \in \{1/2, 3/2, 5/2\}$ પર મળે છે.
જે બિંદુઓ પર $f$ વિકલનીય નથી તે $Q = \{1/2, 1, 3/2, 2, 5/2\}$ છે.
$Q$ માં ઘટકોની સંખ્યા $5$ છે.
$P$ અને $Q$ માં ઘટકોની સંખ્યાનો સરવાળો = $0 + 5 = 5$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને નિશ્ચાયકો $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 + \alpha) - 1(1 - 2\alpha) - 1(-1 - 4) = 2 + \alpha - 1 + 2\alpha + 5 = 3\alpha + 6$.
$\Delta = 0$ લેતા,આપણને $3\alpha + 6 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -2$.
હવે,$\alpha = -2$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x + y - z = 2$
$x + 2y - 2z = 1$
$2x - y + z = \beta$
અનંત ઉકેલો માટે,ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો રેન્ક $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. $\Delta_2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & \beta & 1 \end{vmatrix} = 1(1 + 2\beta) - 2(1 + 4) - 1(\beta - 2) = 1 + 2\beta - 10 - \beta + 2 = \beta - 7$.
$\Delta_2 = 0$ લેતા,આપણને $\beta = 7$ મળે છે.
આમ,$\alpha + \beta = -2 + 7 = 5$.

(C) વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,લઘુગણકના પદો ધન હોવા જોઈએ:
$\log_{5}(\log_{3}(18x - x^{2} - 77)) > 0 \implies \log_{3}(18x - x^{2} - 77) > 1 \implies 18x - x^{2} - 77 > 3$
$x^{2} - 18x + 80 < 0 \implies (x - 8)(x - 10) < 0 \implies x \in (8, 10)$.
આમ,$a = 8$ અને $b = 10$.
ધારો કે $I = \int_{a}^{b} \frac{\sin^{3} x}{\sin^{3} x + \sin^{3}(a + b - x)} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{a}^{b} \frac{\sin^{3}(a + b - x)}{\sin^{3}(a + b - x) + \sin^{3} x} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{a}^{b} \frac{\sin^{3} x + \sin^{3}(a + b - x)}{\sin^{3} x + \sin^{3}(a + b - x)} dx = \int_{a}^{b} 1 dx = b - a$.
$I = \frac{b - a}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec y \frac{dy}{dx} - (\sin(x+y) + \sin(x-y)) = 0$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sec y \frac{dy}{dx} - 2 \sin x \cos y = 0$.
$\sec y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$.
$\cos y$ વડે ભાગતા ($y \in [0, \frac{\pi}{2})$ માટે $\cos y \neq 0$):
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \sec^2 y dy = \int 2 \sin x dx$.
$\tan y = -2 \cos x + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$\tan(0) = -2 \cos(0) + C \Rightarrow 0 = -2(1) + C \Rightarrow C = 2$.
તેથી,$\tan y = 2 - 2 \cos x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x$.
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$\tan y = 2 - 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 - 0 = 2$.
$\tan y = 2$ હોવાથી,$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + 2^2 = 5$.
વિકલનના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$5 \frac{dy}{dx} = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2(1) = 2$.
આમ,$5y'(\frac{\pi}{2}) = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$.
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{c} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ગણો.
તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{(-2)^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ થાય.
સદિશ $\vec{b}$ નો $\vec{a} \times \vec{c}$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $l = \frac{|\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})|}{|\vec{a} \times \vec{c}|}$ છે.
અહીં $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^{2} = 2$ થાય.
તેથી,$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = -\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = -|\vec{c}|^{2} = -2$ મળે.
માટે,$l = \frac{|-2|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,$l^{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ અને $3l^{2} = 3 \times \frac{2}{3} = 2$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x-\alpha}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3} = \phi$ છે. તેથી આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\phi+\alpha, 2\phi+1, 3\phi+1)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x-4}{\beta}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-7}{3} = q$ છે. તેથી આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(q\beta+4, 3q+6, 3q+7)$ છે.
રેખાઓના છેદન માટે,$\phi$ અને $q$ એવા હોવા જોઈએ કે જેથી:
$\phi+\alpha = q\beta+4$ $(i)$
$2\phi+1 = 3q+6$ (ii)
$3\phi+1 = 3q+7$ (iii)
(iii) માંથી (ii) બાદ કરતા,આપણને $\phi = 1$ મળે છે. (ii) માં $\phi=1$ મૂકતા,$2(1)+1 = 3q+6$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3q = -3$,તેથી $q = -1$.
$(i)$ માં $\phi=1$ અને $q=-1$ મૂકતા,$1+\alpha = -\beta+4$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\alpha+\beta = 3$ થાય છે.
છેદબિંદુ $(\phi+\alpha, 2\phi+1, 3\phi+1) = (1+\alpha, 3, 4)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x+2y-z=8$ પર હોવાથી,$(1+\alpha) + 2(3) - 4 = 8$.
$1+\alpha+6-4 = 8 \implies \alpha+3 = 8 \implies \alpha = 5$.
$\alpha+\beta = 3$ હોવાથી,$5+\beta = 3 \implies \beta = -2$.
આમ,$\alpha-\beta = 5 - (-2) = 7$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ છે.
આ એક જાણીતું કોશી-પ્રકારનું વિધેય સમીકરણ છે જેનો ઉકેલ $f(x) = \cos(ax)$ છે.
આપેલ છે કે $f\left(\frac{1}{2}\right) = -1$,તેથી $\cos\left(\frac{a}{2}\right) = -1$,જે સૂચવે છે કે $\frac{a}{2} = (2n+1)\pi$,એટલે કે $a = 2(2n+1)\pi$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $k$ માટે,$f(k) = \cos(2(2n+1)\pi k) = \cos(2m\pi) = 1$ જ્યાં $m$ પૂર્ણાંક છે.
આમ,પદાવલિ $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)}$ બને છે.
નિત્યસમ $\frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)} = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\sin((k+1)-k)}{\sin(k) \sin(k+1)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} (\cot(k) - \cot(k+1))$ નો ઉપયોગ કરતા.
$k=1$ થી $20$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{1}{\sin(1)} (\cot(1) - \cot(21))$ મળે છે.
$= \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)}{\sin(1)} - \frac{\cos(21)}{\sin(21)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)\sin(21) - \sin(1)\cos(21)}{\sin(1)\sin(21)} \right)$.
$= \frac{\sin(21-1)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \frac{\sin(20)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \operatorname{cosec}^2(1) \operatorname{cosec}(21) \sin(20)$.