JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$. કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = g(x)$.
કારણ કે $f(x) = 0$ ને $(a, b)$ માં $5$ ભિન્ન બીજ છે,રોલના પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = 0$ ને $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછા $5 - 1 = 4$ ભિન્ન બીજ હોવા જોઈએ.
આમ,$g(x) = 0$ ને $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછા $4$ ભિન્ન બીજ છે.
હવે,$g(x)$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા,કારણ કે $g(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા $4$ ભિન્ન બીજ છે,તેથી $g'(x) = 0$ ને $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછા $4 - 1 = 3$ ભિન્ન બીજ હોવા જોઈએ.
સમીકરણ $g(x) g'(x) = 0$ ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે $g(x) = 0$ અથવા $g'(x) = 0$ હોય.
કારણ કે $g(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા $4$ બીજ છે અને $g'(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા $3$ બીજ છે,તેથી $g(x) g'(x) = 0$ માટે કુલ ભિન્ન બીજની સંખ્યા $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછી $4 + 3 = 7$ થાય.

(A) $0 \leq x \leq \pi$ માટે,$f(x) = \max \{\sin t : 0 \leq t \leq x\}$ છે. કારણ કે $\sin t$ એ $[0, \pi/2]$ પર $0$ થી $1$ સુધી વધે છે અને $[\pi/2, \pi]$ પર $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે,તેથી:
$f(x) = \sin x$ જ્યારે $0 \leq x \leq \pi/2$,અને $f(x) = 1$ જ્યારે $\pi/2 < x \leq \pi$.
$x > \pi$ માટે,$f(x) = 2 + \cos x$.
હવે,$x = \pi$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:
ડાબી બાજુની લક્ષ: $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = 1$.
જમણી બાજુની લક્ષ: $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = 2 + \cos(\pi) = 2 - 1 = 1$.
$f(\pi) = 1$ હોવાથી,વિધેય $x = \pi$ આગળ સતત છે.
વિકલનીયતા ચકાસીએ:
$x = \pi/2$ આગળ: ડાબું વિકલન $\cos(\pi/2) = 0$ છે,જમણું વિકલન $0$ છે. તેથી,$f$ એ $x = \pi/2$ આગળ વિકલનીય છે.
$x = \pi$ આગળ: ડાબું વિકલન $0$ છે (કારણ કે $x \in [\pi/2, \pi]$ માટે $f(x)=1$). જમણું વિકલન $-\sin(\pi) = 0$ છે. તેથી,$f$ એ $x = \pi$ આગળ વિકલનીય છે.
$x > \pi$ માટે,$f(x) = 2 + \cos x$,જે દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે. આમ,$f$ એ $(0, \infty)$ માં દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે.

(B) આપેલ વક્રો $y = x+2$ અને $y = x^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 = x+2$ લો.
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x-2)(x+1) = 0$
તેથી,$x = 2$ અને $x = -1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{2} (x+2 - x^2) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$A = \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3} \right)$
$A = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right)$
$A = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right)$
$A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x-x^{3}) dy = (y+yx^{2}-3x^{4}) dx$
પદોને ગોઠવતા:
$(x-x^{3}) dy - y(1+x^{2}) dx = -3x^{4} dx$
પદોને આ રીતે ગોઠવો:
$x dy - x^{3} dy = y dx + yx^{2} dx - 3x^{4} dx$
$x dy - y dx = x^{3} dy + yx^{2} dx - 3x^{4} dx$
બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{x^{3} dy + yx^{2} dx}{x^{2}} - 3x^{2} dx$
$d(\frac{y}{x}) = d(xy) - d(x^{3})$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{y}{x} = xy - x^{3} + C$
આપેલ છે કે $y(3)=3$,તેથી $x=3, y=3$ મુકતા:
$\frac{3}{3} = 3(3) - 3^{3} + C$
$1 = 9 - 27 + C$
$1 = -18 + C \Rightarrow C = 19$
તેથી,સમીકરણ $\frac{y}{x} = xy - x^{3} + 19$ મળે છે.
$x=4$ માટે:
$\frac{y}{4} = 4y - 64 + 19$
$\frac{y}{4} = 4y - 45$
$y = 16y - 180$
$15y = 180$
$y = 12$

(B) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} = \vec{b} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{2}$,$|\vec{b}| = 1$,$|\vec{c}| = 2$,અને $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta = 1 \cdot 2 \cdot \cos \theta = 2 \cos \theta$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\vec{a} = (2 \cos \theta) \vec{b} - (1)^2 \vec{c} = 2 \cos \theta \vec{b} - \vec{c}$.
હવે,$|\vec{a}|^2 = |2 \cos \theta \vec{b} - \vec{c}|^2 = (2 \cos \theta)^2 |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(2 \cos \theta) (\vec{b} \cdot \vec{c})$ ની ગણતરી કરો.
$|\vec{a}|^2 = 4 \cos^2 \theta (1) + 4 - 4 \cos \theta (2 \cos \theta) = 4 \cos^2 \theta + 4 - 8 \cos^2 \theta = 4 - 4 \cos^2 \theta$.
કારણ કે $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$,તેથી $2 = 4 - 4 \cos^2 \theta$.
$4 \cos^2 \theta = 2 \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$1 + \tan \theta = 1 + \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 + 1 = 2$.

(A) ધારો કે $X$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે. વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવતો હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n=8, p=1/2)$ ને અનુસરે છે.
આપણે $n$ ની એવી ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે કે જેથી $P(X \geq n) < \frac{1}{2}$ થાય.
$P(X \geq n) = \sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} (\frac{1}{2})^{r} (\frac{1}{2})^{8-r} = \frac{1}{2^{8}} \sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} < \frac{1}{2}$.
$\sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} < 2^{7} = 128$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{8} {}^{8}C_{r} = 2^{8} = 256$.
તેથી,$\sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} = 256 - \sum_{r=0}^{n-1} {}^{8}C_{r} < 128$.
$\sum_{r=0}^{n-1} {}^{8}C_{r} > 128$.
$n=5$ માટે,$\sum_{r=0}^{4} {}^{8}C_{r} = {}^{8}C_{0} + {}^{8}C_{1} + {}^{8}C_{2} + {}^{8}C_{3} + {}^{8}C_{4} = 1 + 8 + 28 + 56 + 70 = 163$.
કારણ કે $163 > 128$,તેથી $n=5$ માટે શરત સંતોષાય છે.
$n=4$ માટે,$\sum_{r=0}^{3} {}^{8}C_{r} = 1 + 8 + 28 + 56 = 93$,જે $128$ કરતા વધારે નથી.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{3}-3x^{2}y-xy^{2}+3y^{3}=0$ છે.
પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$x^{2}(x-3y) - y^{2}(x-3y) = 0$
$(x^{2}-y^{2})(x-3y) = 0$
$(x-y)(x+y)(x-3y) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x=y$ અથવા $x=-y$ અથવા $x=3y$.
કારણ કે $x, y \in N$,$x=-y$ શક્ય નથી કારણ કે $x, y > 0$.
આમ,સંબંધ $R = \{(x, y) \in N \times N : x=y \text{ અથવા } x=3y\}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in N$ માટે,$(x, x) \in R$ કારણ કે $x=x$ સત્ય છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $(3, 1) \in R$ ધ્યાનમાં લો કારણ કે $3=3(1)$. જોકે,$(1, 3) \notin R$ કારણ કે $1 \neq 3$ અને $1 \neq 3(3)=9$. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: $(9, 3) \in R$ (કારણ કે $9=3(3)$) અને $(3, 1) \in R$ (કારણ કે $3=3(1)$) ધ્યાનમાં લો. $R$ પરંપરિત હોવા માટે,$(9, 1)$ એ $R$ માં હોવું જોઈએ. પરંતુ $9 \neq 1$ અને $9 \neq 3(1)=3$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
તેથી,$R$ સ્વવાચક છે પરંતુ સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(A) આપેલ છે કે $A^{5}=B^{5}$ અને $A^{3} B^{2}=A^{2} B^{3}$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$A^{5}-A^{3} B^{2} = B^{5}-A^{2} B^{3}$
$A^{3}(A^{2}-B^{2}) = B^{5}-A^{2} B^{3}$
પદોને ગોઠવતા:
$A^{3}(A^{2}-B^{2}) + B^{3}(A^{2}-B^{2}) = 0$
$(A^{3}+B^{3})(A^{2}-B^{2}) = 0$
કારણ કે $(A^{2}-B^{2})$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,આપણે તેના વ્યસ્ત $(A^{2}-B^{2})^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ:
$(A^{3}+B^{3})(A^{2}-B^{2})(A^{2}-B^{2})^{-1} = 0 \cdot (A^{2}-B^{2})^{-1}$
$A^{3}+B^{3} = 0$
તેથી,શૂન્ય શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|A^{3}+B^{3}| = |0| = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A = I + N$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે અને $N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
અહીં $N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $N^3 = 0$ થાય છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$A^n = (I+N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2}N^2$.
તેથી,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n^2+n}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે.
$A^n$ ના ઘટકોનો સરવાળો $S_n = 1 + n + \frac{n^2+n}{2} + 0 + 1 + n + 0 + 0 + 1 = 3 + 2n + \frac{n^2+n}{2} = 3 + \frac{5n+n^2}{2}$ છે.
$M$ ના ઘટકોનો સરવાળો $= \sum_{n=1}^{20} S_n = \sum_{n=1}^{20} (3 + \frac{5}{2}n + \frac{1}{2}n^2) = 3(20) + \frac{5}{2} \frac{20(21)}{2} + \frac{1}{2} \frac{20(21)(41)}{6}$.
$= 60 + 525 + 1435 = 2020$.

(D) બિંદુઓ $Q(3,-4,-5)$ અને $R(2,-3,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{2-3} = \frac{y-(-4)}{-3-(-4)} = \frac{z-(-5)}{1-(-5)} = r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = r$ થાય છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z) = (-r+3, r-4, 6r-5)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x+y+z=7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(-r+3) + (r-4) + (6r-5) = 7$.
$-2r + 6 + r - 4 + 6r - 5 = 7$.
$5r - 3 = 7 \Rightarrow 5r = 10 \Rightarrow r = 2$.
$r=2$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા,આપણને છેદબિંદુ $T = (-2+3, 2-4, 6(2)-5) = (1, -2, 7)$ મળે છે.
$P(3,4,4)$ અને $T(1,-2,7)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$PT = \sqrt{(1-3)^2 + (-2-4)^2 + (7-4)^2}$.
$PT = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} \sin^{3} x e^{-\sin^{2} x} dx$. કારણ કે $\sin^{3}(\pi - x) = \sin^{3} x$ અને $\sin^{2}(\pi - x) = \sin^{2} x$,તેથી $I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{3} x e^{-\sin^{2} x} dx$ થાય.
$\sin^{3} x = \sin x (1 - \cos^{2} x)$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x e^{-\sin^{2} x} dx - 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^{2} x e^{-\sin^{2} x} dx$.
બીજા સંકલન માટે,ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 - \frac{3}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ મળે છે.
$\alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ અને $\beta = 3$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 3 = 5$.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a}=(1, -\alpha, \beta)$,$\vec{b}=(3, \beta, -\alpha)$,અને $\vec{c}=(-\alpha, -2, 1)$ છે,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ પરથી:
$(1)(3) + (-\alpha)(\beta) + (\beta)(-\alpha) = -1$
$3 - 2\alpha\beta = -1 \Rightarrow 2\alpha\beta = 4 \Rightarrow \alpha\beta = 2$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 10$ પરથી:
$(3)(-\alpha) + (\beta)(-2) + (-\alpha)(1) = 10$
$-3\alpha - 2\beta - \alpha = 10 \Rightarrow -4\alpha - 2\beta = 10 \Rightarrow 2\alpha + \beta = -5$.
$\alpha\beta = 2$ અને $\beta = -5 - 2\alpha$ હોવાથી,આપણે $\beta$ ની કિંમત મૂકીએ:
$\alpha(-5 - 2\alpha) = 2 \Rightarrow -5\alpha - 2\alpha^2 = 2 \Rightarrow 2\alpha^2 + 5\alpha + 2 = 0$.
$(2\alpha + 1)(\alpha + 2) = 0$. $\alpha$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\alpha = -2$.
તેથી $\beta = -5 - 2(-2) = -5 + 4 = -1$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$ શોધો.
$= 1(-1 + 4) - 2(3 - 4) - 1(-6 + 2)$
$= 1(3) - 2(-1) - 1(-4) = 3 + 2 + 4 = 9$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $dy = e^{\alpha x + y} dx$.
ચલને અલગ કરતા:
$e^{-y} dy = e^{\alpha x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int e^{-y} dy = \int e^{\alpha x} dx$
$-e^{-y} = \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} + C \quad \dots(i)$
શરત $y(0) = \log_{e}(\frac{1}{2}) = -\log_{e} 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-e^{-(-\log_{e} 2)} = \frac{e^{\alpha(0)}}{\alpha} + C$
$-e^{\log_{e} 2} = \frac{1}{\alpha} + C$
$-2 = \frac{1}{\alpha} + C \quad \dots(ii)$
શરત $y(\log_{e} 2) = \log_{e} 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-e^{-\log_{e} 2} = \frac{e^{\alpha \log_{e} 2}}{\alpha} + C$
$-\frac{1}{2} = \frac{2^{\alpha}}{\alpha} + C \quad \dots(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(-\frac{1}{2}) - (-2) = \frac{2^{\alpha}}{\alpha} - \frac{1}{\alpha}$
$\frac{3}{2} = \frac{2^{\alpha} - 1}{\alpha}$
જો $\alpha = 2$ લઈએ તો:
$\frac{2^{2} - 1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$.
આમ,$\alpha$ ની કિંમત $2$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{8 - \sin 2x}} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $8 - \sin 2x = 9 - (1 + \sin 2x) = 9 - (\sin x + \cos x)^2$.
તેથી,$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{9 - (\sin x + \cos x)^2}} dx$.
ધારો કે $t = \sin x + \cos x$.
તો $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{dt}{\sqrt{3^2 - t^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I = \sin^{-1}(\frac{t}{3}) + c$ મળે છે.
$t = \sin x + \cos x$ પાછું મૂકતા,$I = \sin^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{3}\right) + c$.
આને આપેલ પદ $a \sin^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{b}\right) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ અને $b = 3$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (1, 3)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(a, 6, 9)$ છે અને તેનું પ્રતિબિંબ $P'(20, b, -a-9)$ છે.
$PP'$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{a+20}{2}, \frac{6+b}{2}, \frac{9-a-9}{2}\right) = \left(\frac{a+20}{2}, \frac{6+b}{2}, -\frac{a}{2}\right)$ છે.
આ મધ્યબિંદુ $M$ રેખા $\frac{x-3}{7} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-1}{-9} = k$ પર આવેલું છે.
તેથી,$\frac{\frac{a+20}{2}-3}{7} = \frac{\frac{6+b}{2}-2}{5} = \frac{-\frac{a}{2}-1}{-9} = k$.
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગ પરથી: $\frac{a+14}{14} = \frac{a+2}{18} \implies 18a + 252 = 14a + 28 \implies 4a = -224 \implies a = -56$.
$a = -56$ ની કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{-56+14}{14} = \frac{6+b-4}{10} \implies -3 = \frac{b+2}{10} \implies b+2 = -30 \implies b = -32$.
આમ,$|a+b| = |-56 - 32| = |-88| = 88$.