ધારો કે $y=mx+c, m>0$ એ $y^{2}=-64x$ ની નાભિ જીવા છે,જે $(x+10)^{2}+y^{2}=4$ ને સ્પર્શે છે. તો $4\sqrt{2}(m+c)$ ની કિંમત $.....$ છે.

ધારો કે એક વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ $x + (k-1)y + 3 = 0$ અને $2x + ky - 4 = 0$ નું છેદબિંદુ છે. જો રેખા $x - y + 2 = 0$ વર્તુળને $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે,તો $(AB)^2$ ની કિંમત શોધો:

વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=3$,જેનું કેન્દ્ર $O$ છે,તે પરવલય $x^2=2y$ ને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ પર છેદે છે. ધારો કે $P$ આગળ વર્તુળ $C_1$ ને સ્પર્શક અન્ય બે વર્તુળો $C_2$ અને $C_3$ ને અનુક્રમે $R_2$ અને $R_3$ પર સ્પર્શે છે. ધારો કે $C_2$ અને $C_3$ ની ત્રિજ્યા સમાન $2\sqrt{3}$ છે અને તેમના કેન્દ્રો અનુક્રમે $Q_2$ અને $Q_3$ છે. જો $Q_2$ અને $Q_3$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય,તો:
$(A)$ $Q_2Q_3=12$
$(B)$ $R_2R_3=4\sqrt{6}$
$(C)$ ત્રિકોણ $OR_2R_3$ નું ક્ષેત્રફળ $6\sqrt{2}$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQ_2Q_3$ નું ક્ષેત્રફળ $4\sqrt{2}$ છે

વર્તુળોની જોડી $(|x| - 1)^2 + y^2 = 1$ ધ્યાનમાં લો. રામ $(1, 0)$ કેન્દ્રિત વર્તુળ પર $2 \ m/s$ ની ઝડપે ઘડિયાળની દિશામાં ગતિ કરે છે,અને શ્યામ $(-1, 0)$ કેન્દ્રિત વર્તુળ પર $1 \ m/s$ ની ઝડપે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. જો રામ અને શ્યામ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી તેમની મુસાફરી શરૂ કરે,તો જ્યારે રામ પ્રથમ વખત $x$-અક્ષને ઓળંગે ત્યારે તેમની વચ્ચેના અંતરમાં થતા ફેરફારનો દર શોધો:

રેખા $x+y=k$ એ વક્ર $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ ને બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં મળે છે. જો $O$ એ ઉગમબિંદુ હોય અને $\angle AOB=90^{\circ}$ હોય,તો $k$ $(k>1)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $C_i \equiv x^2 + y^2 = i^2$ જ્યાં $i = 1, 2, 3$ એ ત્રણ વર્તુળો છે. દરેક વર્તુળ $C_i$ ના પરિઘ પર $4i$ બિંદુઓ છે. જો ત્રણેય વર્તુળો પરના તમામ બિંદુઓમાંથી કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ ન હોય,તો આ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા શોધો જેનું પરિકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર ન હોય: