$\cos ^{-1}(\cos (-5))+\sin ^{-1}(\sin (6))-\tan ^{-1}(\tan (12))$ ની કિંમત શોધો :
(પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો મુખ્ય કિંમતો લે છે)

આપેલ છે કે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય માત્ર મુખ્ય કિંમતો ધારણ કરે છે. ધારો કે $x, y$ એ $[-1, 1]$ માં કોઈપણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$,જ્યાં $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi$ છે. તો,$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $k \in R$ માટે,સમીકરણ $\cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right)=k$,જ્યાં $0 < |x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$,ના ઉકેલો $\alpha$ અને $\beta$ છે,જ્યાં પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માત્ર મુખ્ય કિંમતો લે છે. જો સમીકરણ $x^{2}- bx -5=0$ ના ઉકેલો $\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$ અને $\frac{\alpha}{\beta}$ હોય,તો $\frac{b}{k^{2}}$ ની કિંમત $......$ છે.

$x$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $x>0$ અને $\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$ છે.

જો $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} 2 x=\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ હોય,તો $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1}\left(\frac{x}{x+1}\right)=$

જો $x = \sin \left( 2 \tan^{-1} 2 \right)$ અને $y = \sin \left( \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{4}{3} \right)$ હોય,તો -