TS EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે રેખાઓ $L_1: 3x + 4y + 5 = 0$ અને $L_2: 3x + 4y - 5 = 0$ છે.
રેખા $L: 3x + 4y + \lambda = 0$ એ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેના અંતરને $3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$L$ અને $L_1$ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|\lambda - 5|}{5}$ છે.
$L$ અને $L_2$ વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \frac{|\lambda + 5|}{5}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{7}$,તેથી $\frac{|\lambda - 5|}{|\lambda + 5|} = \frac{3}{7}$.
$-5 < \lambda < 5$ ધારતા,$\frac{5 - \lambda}{\lambda + 5} = \frac{3}{7}$ મળે.
$7(5 - \lambda) = 3(\lambda + 5) \Rightarrow 35 - 7\lambda = 3\lambda + 15$.
$10\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = 2$.

(B) રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P(1,4)$ નું પરાવર્તન $A(4,1)$ છે.
હવે,$X$-અક્ષની ધન દિશામાં $1$ એકમ અંતરના સ્થાનાંતર પછી,બિંદુ $A(4,1)$ ના નવા યામ $B(5,1)$ મળે છે.
હવે,ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે બિંદુ $B(5,1)$ ના પરિભ્રમણ પછી,નવા યામ $(x', y')$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta = 5 \cos \frac{\pi}{4} - 1 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta = 5 \sin \frac{\pi}{4} + 1 \cos \frac{\pi}{4} = \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
આમ,$C$ ના યામ $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) $(1, 2)$ અને $(3, 4)$ બિંદુઓને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{4-2}{3-1} = 1$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ રેખા સાથેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - 1}{1 + m} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - 1}{m + 1} \right|$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $m = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
$m_1 > m_2$ હોવાથી,$m_1 = 2 + \sqrt{3}$ અને $m_2 = 2 - \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = 7 + 4\sqrt{3}$.

(D) ધારો કે રેખાનો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $(-5, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-4=m(x+5)$ છે,જે $mx-y+5m+4=0$ તરીકે લખી શકાય.
સમાંતર રેખાઓ $x+2y+1=0$ અને $x+2y-1=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|1 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
રેખા દ્વારા આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચે બનતો અંતઃખંડ એ તેમની વચ્ચેના અંતર જેટલો હોવાથી,રેખા આપેલી સમાંતર રેખાઓને લંબ હોવી જોઈએ.
રેખાઓ $x+2y+1=0$ અને $x+2y-1=0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_1} = 2$ થશે.
$m=2$ ને સમીકરણ $y-4=m(x+5)$ માં મૂકતા,આપણને $y-4=2(x+5)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x-y+14=0$ થાય છે.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x + \sqrt{3} y = -4$ છે.
$X$-અંતઃખંડ $a$ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા: $x = -4$,તેથી $a = -4$.
$Y$-અંતઃખંડ $b$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $\sqrt{3} y = -4$,તેથી $b = -\frac{4}{\sqrt{3}}$.
અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
$x + \sqrt{3} y = -4$ ને $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ સાથે સરખાવતા,અચળ પદ ધન બનાવવા માટે: $-x - \sqrt{3} y = 4$.
$\sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$ વડે ભાગતા,$-\frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2} y = 2$ મળે.
આમ,$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ અને $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,જે $\alpha = \frac{4 \pi}{3}$ અને $p = 2$ આપે છે.
હવે,$\sqrt{3} \pi b p - 3 a \alpha$ ની ગણતરી કરતા:
$\sqrt{3} \pi \left( -\frac{4}{\sqrt{3}} \right) (2) - 3 (-4) \left( \frac{4 \pi}{3} \right) = -8 \pi + 16 \pi = 8 \pi$.

(B) રેખા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. રેખાનો ઢાળ $m = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે રેખા પરનો લંબ $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. લંબ એ રેખાને લંબ હોવાથી,લંબનો ખૂણો $\alpha = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
ઉગમબિંદુથી રેખા પરના લંબની લંબાઈ $p = 4$ આપેલ છે.
રેખાના અભિલંબ સ્વરૂપનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \cos(30^{\circ}) + y \sin(30^{\circ}) = 4$.
$x(\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(\frac{1}{2}) = 4$.
$2$ વડે ગુણતા,$\sqrt{3}x + y = 8$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $2x^2 + 5xy + 2y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $2x^2 + 4xy + xy + 2y^2 = 0$ $\Rightarrow 2x(x + 2y) + y(x + 2y) = 0$ $\Rightarrow (2x + y)(x + 2y) = 0$.
રેખાઓ $L_1: 2x + y = 0$ અને $L_2: x + 2y = 0$ છે.
તેમના ઢાળ $m_1 = -2$ અને $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x - 2y + 1 = 0$ નો ઢાળ $m_3 = \frac{1}{2}$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_3 = (-2) \times (\frac{1}{2}) = -1$,તેથી રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે. આમ,તેઓ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે પરસ્પર લંબ રેખાઓની શરત $a + b = 0$ છે. કારણ $(R)$ સાચું છે.
જોકે,$(R)$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત છે,ત્રીજી રેખા સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવવાની શરત નથી. તેથી,$(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) રેખાનું સમીકરણ $2x + 7y + 6 = 0$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{2}{7}$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી રેખા પર દોરવામાં આવેલ લંબ રેખાને લંબ છે.
ધારો કે લંબનો ઢાળ $m'$ છે. લંબ રેખાને લંબ હોવાથી,$m \times m' = -1$.
$(-\frac{2}{7}) \times m' = -1 \Rightarrow m' = \frac{7}{2}$.
ધારો કે $\alpha$ એ લંબ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો છે. તેથી $\tan \alpha = m' = \frac{7}{2}$,એટલે કે $\alpha = \tan^{-1} \frac{7}{2}$.
આકૃતિ પરથી,લંબ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી ધન $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta = \pi + \alpha$ થાય.
તેથી,$\theta = \pi + \tan^{-1} \frac{7}{2}$.

(C) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે. $\triangle OAB$ નું પરિવૃત $(0, 0)$,$(a, 0)$ અને $(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર આ વર્તુળનો સ્પર્શક $-ax - by = 0$ એટલે કે $ax + by = 0$ છે.
$A(a, 0)$ થી રેખા $ax + by = 0$ નું લંબ અંતર $m = \frac{|a(a) + b(0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
$B(0, b)$ થી રેખા $ax + by = 0$ નું લંબ અંતર $n = \frac{|a(0) + b(b)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
આ અંતરોનો સરવાળો કરતા,$m + n = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ નો વ્યાસ $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
આમ,વ્યાસ $m + n$ છે.

(D) ધારો કે $(0, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-2 = mx$ છે,એટલે કે $mx - y + 2 = 0$.
બિંદુ $(4, 4)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $2$ એકમ છે.
$\frac{|m(4) - 4 + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
$\frac{|4m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
$|2m - 1| = \sqrt{m^2 + 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1$
$3m^2 - 4m = 0$
$m(3m - 4) = 0$
તેથી,$m = 0$ અથવા $m = \frac{4}{3}$.
કિસ્સો $1$: $m = 0$. રેખા $y = 2$ છે. $(4, 4)$ થી $y = 2$ પરના લંબનો લંબપાદ $D(4, 2)$ છે.
કિસ્સો $2$: $m = \frac{4}{3}$. રેખા $y - 2 = \frac{4}{3}x$ છે,એટલે કે $4x - 3y + 6 = 0$. $(4, 4)$ થી લંબપાદ $(x_1, y_1)$ માટે $\frac{x_1 - 4}{4} = \frac{y_1 - 4}{-3} = -\frac{4(4) - 3(4) + 6}{4^2 + (-3)^2} = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5}$.
$x_1 = 4 - \frac{8}{5} = \frac{12}{5}$,$y_1 = 4 + \frac{6}{5} = \frac{26}{5}$. તેથી $C(\frac{12}{5}, \frac{26}{5})$.
$D(4, 2)$ અને $C(\frac{12}{5}, \frac{26}{5})$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $\frac{\frac{26}{5} - 2}{\frac{12}{5} - 4} = \frac{16/5}{-8/5} = -2$ છે.
સમીકરણ $y - 2 = -2(x - 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y + 2x = 10$ થાય છે.

(B) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ માં $xy$ પદને દૂર કરવા માટે,અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવી પડે જેથી $\tan 2\theta = \frac{b}{a-c}$ થાય.
$A_1$ માટે: $a=3, b=5, c=3$. $\tan 2\theta_1 = \frac{5}{3-3} = \infty$ $\Rightarrow 2\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta_1 = \frac{\pi}{4}$.
$A_2$ માટે: $a=5, b=2\sqrt{3}, c=3$. $\tan 2\theta_2 = \frac{2\sqrt{3}}{5-3} = \sqrt{3}$ $\Rightarrow 2\theta_2 = \frac{\pi}{3}$ $\Rightarrow \theta_2 = \frac{\pi}{6}$.
$A_3$ માટે: $a=4, b=\sqrt{3}, c=5$. $\tan 2\theta_3 = \frac{\sqrt{3}}{4-5} = -\sqrt{3}$ $\Rightarrow 2\theta_3 = \frac{2\pi}{3}$ $\Rightarrow \theta_3 = \frac{\pi}{3}$.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા: $\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta_3 > \theta_1 > \theta_2$.

(C) ત્રણ રેખાઓ ત્રિકોણ ન બનાવે જો તેઓ સંગામી હોય અથવા તેમાંથી કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર હોય.
પ્રથમ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો:
$x+3y=5$ $(i)$
$5x+2y=12$ (ii)
$(i)$ ને $5$ વડે ગુણતા: $5x+15y=25$ (iii)
(iii) માંથી (ii) બાદ કરતા: $13y=13 \Rightarrow y=1$.
$y=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x+3(1)=5 \Rightarrow x=2$.
છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોય તે માટે,આ બિંદુ ત્રીજી રેખા $3x-ky-1=0$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ:
$3(2)-k(1)-1=0$ $\Rightarrow 6-k-1=0$ $\Rightarrow k=5$.
જો કે,વિકલ્પો તપાસતા,આપણે તે કિસ્સો પણ ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ જ્યાં રેખાઓ સમાંતર હોય.
જો $3x-ky-1=0$ એ $5x+2y-12=0$ ને સમાંતર હોય,તો $\frac{3}{5} = \frac{-k}{2} \Rightarrow k=-\frac{6}{5}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી કિંમત $k=-\frac{6}{5}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 - m(x - x_1) = 0$ છે,જેને $mx - y + (y_1 - mx_1) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબનું અંતર $\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે. લંબની લંબાઈનો બેઝિક સરવાળો લેતા,આપણે ચિહ્નિત અંતર $\frac{mx_0 - y_0 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ લઈએ છીએ.
$(2, 0)$,$(0, 2)$ અને $(1, 1)$ થી લંબનો સરવાળો:
$\frac{(2m - 0 + y_1 - mx_1) + (0m - 2 + y_1 - mx_1) + (1m - 1 + y_1 - mx_1)}{\sqrt{m^2 + 1}} = 0$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$(2m + y_1 - mx_1) + (y_1 - 2 - mx_1) + (m - 1 + y_1 - mx_1) = 0$
$m(2 + 1 - 3x_1) + (3y_1 - 3) = 0$
$m(3 - 3x_1) + 3(y_1 - 1) = 0$
આ સમીકરણ કોઈપણ ઢાળ $m$ માટે સાચું હોવાથી,$m$ ના સહગુણક અને અચળ પદ સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$3 - 3x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
$3(y_1 - 1) = 0 \Rightarrow y_1 = 1$
આમ,$(x_1, y_1) = (1, 1)$.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે ત્રીજો શિરોબિંદુ $C(x, y)$ છે. બિંદુઓ $A(1, -2)$,$B(-5, 3)$ અને $C(x, y)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 15$
$\frac{1}{2} |1(3 - y) + (-5)(y + 2) + x(-2 - 3)| = 15$
$|3 - y - 5y - 10 - 5x| = 30$
$|-5x - 6y - 7| = 30$
$|5x + 6y + 7| = 30$
આથી $5x + 6y + 7 = 30$ અથવા $5x + 6y + 7 = -30$.
તેથી,$5x + 6y - 23 = 0$ અથવા $5x + 6y + 37 = 0$.
બિંદુઓનો બિંદુપથ આ બે રેખાઓનો યોગ છે,જે આ રીતે લખી શકાય:
$(5x + 6y - 23)(5x + 6y + 37) = 0$.

(A) ધારો કે $(x, y)$ એવું કોઈ બિંદુ છે જેનું $(-3, 0)$ થી અંતર $2$ એકમ કરતા વધારે છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,શરત $\sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 0)^2} > 2$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(x + 3)^2 + y^2 > 2^2$ મળે છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + 6x + 9 + y^2 > 4$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 + y^2 + 6x + 9 - 4 > 0$ મળે છે.
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + 6x + 5 > 0$ છે.

(B) ધારો કે $C(x, y)$ એ ચલ બિંદુ છે. ધારો કે $\angle CAB = \beta$ અને $\angle CBA = \gamma$.
$AC$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y}{x+a} = \tan \beta$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{y}{x-a}$ છે. $\angle CBA = \gamma$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $-\tan \gamma$ થાય.
તેથી,$\tan \gamma = \frac{y}{a-x}$.
આપેલ છે કે $\beta - \gamma = \alpha$,તેથી $\tan(\beta - \gamma) = \tan \alpha$.
સૂત્ર $\tan(\beta - \gamma) = \frac{\tan \beta - \tan \gamma}{1 + \tan \beta \tan \gamma}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \alpha = \frac{\frac{y}{x+a} - \frac{y}{a-x}}{1 + (\frac{y}{x+a})(\frac{y}{a-x})} = \frac{-2xy}{a^2-x^2+y^2}$.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{-2xy}{a^2-x^2+y^2}$.
ગોઠવતા: $(a^2-x^2+y^2) \tan \alpha = -2xy$.
$\cot \alpha$ વડે ગુણતા: $a^2-x^2+y^2+2xy \cot \alpha = 0$.

(D) આપેલ છે,ઉગમબિંદુ $(h, k) = (1, -2)$ પર ખસેડવામાં આવ્યું છે.
ધારો કે મૂળ કોઓર્ડિનેટ્સ $(x, y) = (3, -2)$ છે.
સ્થાનાંતર પછીના નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(\alpha, \beta)$ એ $\alpha = x - h$ અને $\beta = y - k$ દ્વારા મળે છે.
$\alpha = 3 - 1 = 2$ અને $\beta = -2 - (-2) = 0$.
તેથી,$(\alpha, \beta) = (2, 0)$.
હવે,અક્ષોને ઉગમબિંદુની આસપાસ $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે.
ભ્રમણ પછીના નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(x', y')$ નીચે મુજબ છે:
$x' = \alpha \cos \theta + \beta \sin \theta = 2 \cos 45^{\circ} + 0 \sin 45^{\circ} = \sqrt{2}$.
$y' = -\alpha \sin \theta + \beta \cos \theta = -2 \sin 45^{\circ} + 0 \cos 45^{\circ} = -\sqrt{2}$.
આમ,રૂપાંતરિત કોઓર્ડિનેટ્સ $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ છે.

(D) ધારો કે પરસ્પર લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો છે. સળિયાના છેડા $(a, 0)$ અને $(0, b)$ છે. સળિયાની લંબાઈ $l$ હોવાથી,$a^2+b^2=l^2$ થાય.
ધારો કે બિંદુ $(h, k)$ સળિયાને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot a}{1+2} = \frac{2a}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1 \cdot b + 2 \cdot 0}{1+2} = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 3k$
આ કિંમતોને $a^2+b^2=l^2$ માં મૂકતા:
$(\frac{3h}{2})^2 + (3k)^2 = l^2$
$\frac{9h^2}{4} + 9k^2 = l^2$
$9h^2 + 36k^2 = 4l^2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^2+36y^2=4l^2$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી છે:
$(i)$ $xy+4x-5y-20=0 \Rightarrow (x-5)(y+4)=0$. આ રેખાઓ $x=5$ અને $y=-4$ દર્શાવે છે.
(ii) $xy-5x+4y-20=0 \Rightarrow (x+4)(y-5)=0$. આ રેખાઓ $x=-4$ અને $y=5$ દર્શાવે છે.
આ ચાર રેખાઓ શિરોબિંદુઓ $A(-4,-4)$,$B(5,-4)$,$C(5,5)$,અને $D(-4,5)$ વાળો ચોરસ બનાવે છે.
વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
$(-4,-4)$ અને $(5,5)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણ $AC$ નું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{5-(-4)}{5-(-4)}(x-(-4))$ $\Rightarrow y+4 = x+4$ $\Rightarrow x-y=0$ છે.
$(5,-4)$ અને $(-4,5)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણ $BD$ નું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{5-(-4)}{-4-5}(x-5)$ $\Rightarrow y+4 = -1(x-5)$ $\Rightarrow x+y-1=0$ છે.
વિકર્ણોનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+y-1)=0$ છે.
$x^2+xy-x-xy-y^2+y=0 \Rightarrow x^2-y^2-x+y=0$.
આને $x^2-y^2-kx+ly=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k=1$ અને $l=1$ મળે છે.
તેથી,$k+l = 1+1 = 2$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીના સમીકરણો છે:
$xy+6y-4x-24=0$ $\Rightarrow (x+6)(y-4)=0$ $\Rightarrow x+6=0$ અને $y-4=0$.
$xy+6x-4y-24=0$ $\Rightarrow (x-4)(y+6)=0$ $\Rightarrow x-4=0$ અને $y+6=0$.
આમ,ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(4,4)$,$B(4,-6)$,$C(-6,-6)$,અને $D(-6,4)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ $(4,4)$ અને $(-6,-6)$ ને જોડે છે. તેનો ઢાળ $m = \frac{-6-4}{-6-4} = 1$ છે. સમીકરણ $y-4 = 1(x-4) \Rightarrow x-y=0$ છે.
વિકર્ણ $BD$ એ $(4,-6)$ અને $(-6,4)$ ને જોડે છે. તેનો ઢાળ $m = \frac{4-(-6)}{-6-4} = -1$ છે. સમીકરણ $y-4 = -1(x+6) \Rightarrow x+y+2=0$ છે.
વિકર્ણોનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+y+2)=0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2+xy+2x-xy-y^2-2y=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2-y^2+2x-2y=0$ થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$ અથવા $m_2 = -\frac{1}{m_1}$ થાય.
આપેલ છે કે રેખાઓ રેખા $2x + 3y = 6$ સાથે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી રેખાઓ પાયાની રેખા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
રેખા $2x + 3y = 6$ નો ઢાળ $m = -\frac{2}{3}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 45^{\circ}$:
$1 = \left| \frac{m_1 - (-2/3)}{1 + m_1(-2/3)} \right| = \left| \frac{3m_1 + 2}{3 - 2m_1} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3 - 2m_1)^2 = (3m_1 + 2)^2$.
$9 - 12m_1 + 4m_1^2 = 9m_1^2 + 12m_1 + 4$.
$5m_1^2 + 24m_1 - 5 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ આપે છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ $y = m_1x$ અને $y = m_2x$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $(y - m_1x)(y - m_2x) = 0$ છે,જે $y^2 - (m_1 + m_2)xy + m_1m_2x^2 = 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $5m^2 + 24m - 5 = 0$ પરથી,$m_1 + m_2 = -\frac{24}{5}$ અને $m_1m_2 = -1$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $y^2 - (-\frac{24}{5})xy + (-1)x^2 = 0$.
$5y^2 + 24xy - 5x^2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $5x^2 - 24xy - 5y^2 = 0$ થાય છે.

(C) ધન યામ અક્ષો (પ્રથમ ચરણ) ના ખૂણાનો દુભાજક $y = x$ રેખા છે.
આ રેખા $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ પૈકીની એક હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા:
$ax^2 + 2h(x)(x) + b(x)^2 = 0$
$ax^2 + 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવાથી,$a + 2h + b = 0$ મળે.
તેથી,$a + b = -2h$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a + b)^2 = (-2h)^2$,જેનું સાદું રૂપ $(a + b)^2 = 4h^2$ થાય છે.

(C) વક્રનું સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 = 6$ છે,જેને $2x^2 + 3y^2 - 6(1)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાના સમીકરણ $x + y = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ:
$2x^2 + 3y^2 - 6(x + y)^2 = 0$
$2x^2 + 3y^2 - 6(x^2 + y^2 + 2xy) = 0$
$-4x^2 - 3y^2 - 12xy = 0$
$4x^2 + 12xy + 3y^2 = 0$.
આને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$2h = 12$ (તેથી $h = 6$),અને $b = 3$ મળે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{6^2 - 4(3)}}{4 + 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{36 - 12}}{7} \right| = \frac{2\sqrt{24}}{7} = \frac{4\sqrt{6}}{7}$.
$\tan \theta = \frac{4\sqrt{6}}{7}$ હોવાથી,કર્ણ $\sqrt{(4\sqrt{6})^2 + 7^2} = \sqrt{145}$ મળે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{145}} = \sqrt{\frac{96}{145}}$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2 \sqrt{2} x y+k y^2=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=\sqrt{2}, b=k$ મળે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1 = \frac{2\sqrt{2-k}}{1+k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1+k)^2 = 4(2-k)$ $\Rightarrow k^2+2k+1 = 8-4k$ $\Rightarrow k^2+6k-7=0$.
અવયવ પાડતા $(k+7)(k-1)=0$ મળે. $k>0$ હોવાથી,$k=1$.
રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2\sqrt{2}xy+y^2=0$ બને છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ $\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{1-1} = \frac{xy}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow x^2-y^2=0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x-y=0$ અને $x+y=0$.
ત્રીજી રેખા $x+2y+1=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ ત્રણ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$) $x-y=0$ અને $x+y=0 \Rightarrow (0,0)$.
$2$) $x-y=0$ અને $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1/3, x=-1/3$.
$3$) $x+y=0$ અને $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1, x=1$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્રથી મળે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 1/3 + 1/3| = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી: $3x^2+7xy+2y^2+5x+5y+2=0$.
અવયવ પાડતા,$(3x+y+2)(x+2y+1)=0$ મળે છે.
રેખાઓ $L_1: 3x+y+2=0$ અને $L_2: x+2y+1=0$ છે.
છેદબિંદુ $(-3/5, -1/5)$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{5x+3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{5y+1}{\sqrt{5}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$7(5x+3)^2-2(5x+3)(5y+1)-7(5y+1)^2=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $f(x, y) = 2x^2 - 13xy - 7y^2 + x + 23y - 6 = 0$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $\frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 13y + 1 = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = -13x - 14y + 23 = 0$ ને ઉકેલીએ છીએ.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુ $P(\frac{19}{15}, \frac{7}{15})$ મળે છે.
રેખા $L: x+y-1=0$ એ $O(0,0)$ અને $P(\frac{19}{15}, \frac{7}{15})$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ગુણોત્તર $-\frac{L(O)}{L(P)} = -\frac{0+0-1}{\frac{19}{15} + \frac{7}{15} - 1} = \frac{15}{11}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $15:11$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy+ky^2-4x-10y+3=0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. આ માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & k & -5 \\ -2 & -5 & 3 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(3k-25) - 2(6-10) - 2(-10+2k) = 0$
$3k-25+8+20-4k = 0 \implies k = 3$.
સમીકરણ $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(x+y-3)(x+3y-1) = 0$.
રેખાઓ $x+y-3=0$ અને $x+3y-1=0$ છે.
છેદબિંદુ શોધતા: $x+y=3$ અને $x+3y=1$. બાદબાકી કરતા $2y = -2 \implies y = -1$,તેથી $x = 4$. છેદબિંદુ $(4, -1)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $(4,-1)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}$,તેથી $d^2 = 17$.
ઉગમબિંદુથી રેખાઓ $x+y-3=0$ અને $x+3y-1=0$ પરના લંબ અંતર $d_1 = \frac{|-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ અને $d_2 = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ છે.
ગુણાકાર $p = d_1 \times d_2 = \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}$.
આમ,$p^2 = \frac{9}{20}$.
અંતે,$d^2 - 20p^2 = 17 - 20 \times \frac{9}{20} = 17 - 9 = 8$.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+4x+4y-10=0$ અને $S_2: x^2+y^2-6x-6y+10=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3\sqrt{2}$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 2\sqrt{2}$.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $C_1C_2$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
$P = (1, 1)$.
બાહ્ય સમરૂપતાનું કેન્દ્ર $Q$ એ રેખાખંડ $C_1C_2$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.
$Q = (13, 13)$.
$P(1, 1)$ અને $Q(13, 13)$ ને વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)(x-13) + (y-1)(y-13) = 0$ થાય.
$x^2 + y^2 - 14x - 14y + 26 = 0$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1, f=-3, c=6$ મળે છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 3)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1+9-6} = \sqrt{4} = 2$ છે.
આ વર્તુળનો એક વ્યાસ એ $O(2, 1)$ કેન્દ્ર ધરાવતા મોટા વર્તુળની જીવા છે.
આ જીવાની લંબાઈ નાના વર્તુળના વ્યાસ જેટલી છે,જે $2r = 2(2) = 4$ છે.
ધારો કે $A(1, 3)$ એ નાના વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $B$ એ નાના વર્તુળની પરિઘ પરનું બિંદુ છે જેથી $AB$ એ ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
કેન્દ્રો $(2, 1)$ અને $(1, 3)$ વચ્ચેનું અંતર $OA = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ છે.
મોટા વર્તુળના કેન્દ્ર $O$,નાના વર્તુળના કેન્દ્ર $A$ અને જીવા પરના બિંદુ $B$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $R^2 = OA^2 + r^2$ છે,જ્યાં $R$ એ મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$R^2 = (\sqrt{5})^2 + 2^2 = 5 + 4 = 9$.
તેથી,$R = \sqrt{9} = 3$.

(B) આપેલ છે,ચાપની લંબાઈ $l = 44 \text{ cm}$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 12 \text{ cm}$.
કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta$ રેડિયનમાં $\theta = \frac{l}{r}$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = \frac{44}{12} = \frac{11}{3} \text{ રેડિયન}$.
ખૂણાને રેડિયનમાંથી અંશમાં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણીએ છીએ.
$\theta_{\text{deg}} = \frac{11}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{11 \times 60}{\pi} = \left(\frac{660}{\pi}\right)^{\circ}$.

(A) આપેલ પરવલય $(y - 1)^2 = 8(x - 1)$ છે.
તેનું શિરોબિંદુ $(1, 1)$ છે,જે વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = r^2$ છે.
પરવલયનો નાભિલંબ $x = 3$ છે,જેના અંત્યબિંદુઓ $(3, 5)$ અને $(3, -3)$ છે.
આ બિંદુઓ વર્તુળ પર હોવાથી,$(3 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = r^2 \Rightarrow 4 + 16 = 20 = r^2$.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 20$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 18 = 0$ થાય.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુથી $4$ એકમના અંતરે $Y-$અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $C(\pm r, 4)$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x \mp r)^2 + (y - 4)^2 = r^2$ છે.
આ વર્તુળ $X-$અક્ષ પર $6$ એકમનો અંતઃખંડ કાપે છે. $X-$અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - k^2}$ છે,જ્યાં $k=4$.
આપેલ છે કે $2\sqrt{r^2 - 4^2} = 6$,તેથી $\sqrt{r^2 - 16} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$r^2 - 16 = 9$,જે $r^2 = 25$ આપે છે,તેથી $r = 5$.
કેન્દ્ર $C(\pm 5, 4)$ છે.
સમીકરણ $(x \mp 5)^2 + (y - 4)^2 = 25$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 \mp 10x + 25 + y^2 - 8y + 16 = 25$.
$x^2 + y^2 \mp 10x - 8y + 16 = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2-6x+12y+15=0$.
કેન્દ્ર $(3, -6)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{30}$ છે.
આપેલ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = 30\pi$ છે.
નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $60\pi$ છે,તેથી $R^2 = 60$.
નવા વર્તુળનું સમીકરણ: $(x-3)^2 + (y+6)^2 = 60$.
$x^2+y^2-6x+12y-15=0$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
વર્તુળો $(5, 5)$ બિંદુએ સ્પર્શતા હોવાથી,$(5, 5)$ એ કેન્દ્રો $(h, k)$ અને $(1, 2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$\frac{h+1}{2} = 5 \Rightarrow h = 9$.
અને $\frac{k+2}{2} = 5 \Rightarrow k = 8$.
માટે,માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $(x-9)^2 + (y-8)^2 = 5^2$ થશે.
જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 18x - 16y + 120 = 0$ મળે છે.

(D) વક્ર $y=x^2$ માટે $(2,4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{y+4}{2} = 2x$ છે,જે $4x - y - 4 = 0$ થાય છે.
$(2,4)$ આગળ સ્પર્શતા અને $4x - y - 4 = 0$ સ્પર્શક ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-4)^2 + \lambda(4x - y - 4) = 0$ છે.
વર્તુળ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(0-2)^2 + (1-4)^2 + \lambda(0-1-4) = 0$.
આથી $4 + 9 - 5\lambda = 0$,એટલે કે $\lambda = \frac{13}{5}$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + x(\frac{52}{5} - 4) - y(8 + \frac{13}{5}) + (20 - \frac{52}{5}) = 0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{1}{2}(\frac{52}{5} - 4), \frac{1}{2}(8 + \frac{13}{5})) = (-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ છે.

(B) આપેલ પ્રાચલ સમીકરણો:
$x = \frac{2at}{1+t^2}$
$y = \frac{a(1-t^2)}{1+t^2}$
$t = \tan \theta$ લેતા:
$x = a \sin 2\theta$
$y = a \cos 2\theta$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = a^2 \sin^2 2\theta + a^2 \cos^2 2\theta$
$x^2 + y^2 = a^2(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta)$
$x^2 + y^2 = a^2$
આ $a$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
તેથી,$a$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

(D) વિધાન $I$: જો બિંદુ $P$ ની ધ્રુવીય રેખા બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થાય,તો બે બિંદુઓ $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી છે. આમ,$I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: વર્તુળ $x^2+y^2=9$ માટે રેખા $x+y+1=0$ નો ધ્રુવ $(-9, -9)$ મળે છે. તેથી,$II$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1+1+2g+2f+c=0$,જે $2g+2f+c+2=0$ $(i)$ માં પરિણમે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+3x-5y+7=0$ ને લંબ હોવાથી,$2g(3/2) + 2f(-5/2) = c+7$,જે $3g-5f-c-7=0$ (ii) માં પરિણમે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x-10y+9=0$ ને લંબ હોવાથી,$2g(-3) + 2f(-5) = c+9$,જે $6g+10f+c+9=0$ (iii) માં પરિણમે છે.
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $5g-3f-5=0$ (iv).
$(i)$ માંથી $c = -2g-2f-2$ મેળવીને (iii) માં મૂકતા: $4g+8f+7=0$ $(v)$.
(iv) અને $(v)$ ઉકેલતા,$g = 19/52$ અને $f = -55/52$ મળે છે.
તેથી કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-19/52, 55/52)$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે $(1,-1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1+1+2g-2f+c=0$,એટલે કે $2g-2f+c=-2$ $(i)$.
$(1,-1)$ આગળનો અભિલંબ સ્પર્શક $2x+3y+1=0$ ને લંબ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $-2/3$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $3/2$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-(-1) = \frac{3}{2}(x-1)$,એટલે કે $3x-2y-5=0$ છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ અભિલંબ પર છે,તેથી $-3g+2f=5$ (ii).
વર્તુળ એ $(0,-1)$ અને $(-2,3)$ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ ધરાવતા વર્તુળ $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ ને લંબ છે.
લંબતાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ મુજબ $2g(1) + 2f(-1) = c-3$,એટલે કે $2g-2f-c=-3$ (iii).
$(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા $4g-4f=-5$ મળે છે.
સમીકરણો ઉકેલતા $g=-5/2, f=-5/4, c=1/2$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2+2y^2-10x-5y+1=0$ મળે છે.

(A) રેખા $ax+by-1=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-r^2=0$ નો સ્પર્શક છે,જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $ax+by-1=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|a(0)+b(0)-1|}{\sqrt{a^2+b^2}} = r$.
$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} = r$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{1}{a^2+b^2} = r^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2+b^2 = \frac{1}{r^2}$.
જો $r=1$ હોય,તો $a^2+b^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે બિંદુ $(a,b)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ પર આવેલું છે,એટલે કે $S_1=0$.

(C) રેખા $3x-y+k=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-6y+3=0$ ને સ્પર્શે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - 3} = \sqrt{10}$ છે.
રેખા વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(-2, 3)$ થી રેખા $3x-y+k=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
$\frac{|3(-2) - (3) + k|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \sqrt{10}$
$|k-9| = 10$
$k = 19$ અથવા $k = -1$.
$k_1 < k_2$ હોવાથી,$k_1 = -1$ અને $k_2 = 19$ મળે.
બિંદુ $(-1, 19)$ માટે સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ:
$-x + 19y + 2(x-1) - 3(y+19) + 3 = 0$
$x + 16y - 56 = 0$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+x+3y=0$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P(h, k)$ છે.
સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T=0$ દ્વારા મળે છે:
$xh + yk + \frac{x+h}{2} + 3\left(\frac{y+k}{2}\right) = 0$
$x\left(h+\frac{1}{2}\right) + y\left(k+\frac{3}{2}\right) + \frac{h+3k}{2} = 0$.
આને આપેલ રેખા $x+y+1=0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{h+1/2}{1} = \frac{k+3/2}{1} = \frac{(h+3k)/2}{1}$.
$h+1/2 = k+3/2$ પરથી,આપણને $h-k=1$ મળે છે.
$h+1/2 = (h+3k)/2$ પરથી,આપણને $2h+1 = h+3k$ મળે છે,એટલે કે $h-3k = -1$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $k=1$ અને $h=2$ મળે છે. તેથી $P=(2, 1)$.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ $x^2+y^2+x+3y + \lambda(x+y+1) = 0$ છે.
આ વર્તુળ $P(2, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$4+1+2+3 + \lambda(2+1+1) = 0$,જે $10 + 4\lambda = 0$ આપે છે,તેથી $\lambda = -5/2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+x+3y - \frac{5}{2}(x+y+1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{5}{2} = 0$ થાય છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{-3/2}{2}, -\frac{1/2}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}\right)$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2gx-2hy+g^2+h^2-c^2=0$ છે.
ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $P(x_1, x_1)$ રેખા $y=x$ પર છે. મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે.
$(x_1, x_1)$ કિંમત મૂકતા:
$xx_1 + yx_1 - g(x+x_1) - h(y+x_1) + g^2+h^2-c^2 = x_1^2+x_1^2-2gx_1-2hx_1+g^2+h^2-c^2$.
સાદું રૂપ આપતા,$x(x_1-g) + y(x_1-h) = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
જીવા $(g, h+c)$ માંથી પસાર થાય છે:
$g(x_1-g) + (h+c)(x_1-h) = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
$gx_1 - g^2 + hx_1 - h^2 + cx_1 - ch = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
$2x_1^2 - (2g+2h+c)x_1 + (g^2+h^2+ch) = 0$.
બે ભિન્ન જીવાઓ હોવાથી,વિવેચક $D > 0$:
$(2g+2h+c)^2 - 8(g^2+h^2+ch) > 0$.
$4g^2+4h^2+c^2+8gh+4gc+4hc - 8g^2 - 8h^2 - 8hc > 0$.
$-4g^2-4h^2+8gh-4hc+4gc+c^2 > 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,$4g^2+4h^2-8gh+4hc-4gc-c^2 < 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+k=0$ છે. વર્તુળ $(2,0)$ અને $(-2,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$4+4g+k=0$ અને $4-4g+k=0$ મળે. આ ઉકેલતા $g=0$ અને $k=-4$ મળે. તેથી,વર્તુળો $x^2+y^2+2fy-4=0$ સ્વરૂપના છે. ધારો કે બે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+2f_1y-4=0$ અને $C_2: x^2+y^2+2f_2y-4=0$ છે. તેઓ લંબકોણીય હોવાથી,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = k_1+k_2$. અહીં $g_1=g_2=0$ હોવાથી,$2f_1f_2 = -4-4 = -8$,એટલે કે $f_1f_2 = -4$. રેખા $y=mx+c$ એ $x^2+y^2+2fy-4=0$ નો સ્પર્શક છે,તેથી કેન્દ્ર $(0,-f)$ થી રેખા $mx-y+c=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{f^2+4}$ જેટલું થાય. આમ,$|-f-c|/\sqrt{m^2+1} = \sqrt{f^2+4}$,જેનું સાદું રૂપ $(f+c)^2 = (m^2+1)(f^2+4)$ થાય. વિસ્તરણ કરતા $f^2+2cf+c^2 = m^2f^2+4m^2+f^2+4$,અથવા $m^2f^2-2cf+4m^2+4-c^2=0$ મળે. $f_1$ અને $f_2$ એ $f$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $f_1f_2 = (4m^2+4-c^2)/m^2$ થાય. આને $-4$ સાથે સરખાવતા,$(4m^2+4-c^2)/m^2 = -4$,તેથી $4m^2+4-c^2 = -4m^2$,જેનું સાદું રૂપ $c^2 = 8m^2+4 = 4(1+2m^2)$ મળે.

(D) ધારો કે જરૂરી વર્તુળ $S_3: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x-6y+4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+6x-4y+15=0$ છે.
$S_3$ એ $S_1$ ને લંબરૂપે છેદતું હોવાથી,$2g(-2) + 2f(-3) = c + 4 \implies 4g + 6f + c = -4 \dots(1)$.
$S_3$ એ $S_2$ ને લંબરૂપે છેદતું હોવાથી,$2g(3) + 2f(-2) = c + 15 \implies 6g - 4f - c = 15 \dots(2)$.
$S_3$ એ $(1,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$2g + 2f + c = -2 \dots(3)$.
સમીકરણો ઉકેલતા,$g=\frac{4}{3}, f=-\frac{7}{6}, c=-\frac{7}{3}$ મળે છે.
તેથી,$5g + 2f + c = 5(\frac{4}{3}) + 2(-\frac{7}{6}) - \frac{7}{3} = 2$.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+ax+4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+by+4=0$ છે.
કેન્દ્રો $C_1 = (\frac{-a}{2}, 0)$ અને $C_2 = (0, \frac{-b}{2})$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\sqrt{a^2-16}}{2}$ અને $r_2 = \frac{\sqrt{b^2-16}}{2}$ છે.
વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે તે માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = r_1 + r_2$ થાય.
$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2-16} + \sqrt{b^2-16}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $a^2+b^2 = a^2-16 + b^2-16 + 2\sqrt{(a^2-16)(b^2-16)}$.
$32 = 2\sqrt{(a^2-16)(b^2-16)} \Rightarrow 16 = \sqrt{(a^2-16)(b^2-16)}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $256 = a^2b^2 - 16a^2 - 16b^2 + 256$.
$a^2b^2 = 16(a^2+b^2)$.
$16a^2b^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{16} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.

(A-IV, B-I, C-III, D-II) આપેલ વર્તુળો $S_\alpha: x^2+y^2+2\alpha x+k=0$ અને $S_\beta: x^2+y^2+2\beta y-k=0$ છે,જ્યાં $k>0$.
$(A)$ $S_\alpha=0$ માટે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\alpha^2-k}$ છે. બિંદુ વર્તુળ માટે,$r=0$,તેથી $\alpha^2-k=0 \Rightarrow \alpha = \pm \sqrt{k}$. કેન્દ્ર $(-\alpha, 0) = (\mp \sqrt{k}, 0)$ છે. આમ,બિંદુ વર્તુળો $(\pm \sqrt{k}, 0)$ છે. જે (iv) સાથે સુસંગત છે.
$(B)$ $S_\beta=0$ માટે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\beta^2-(-k)} = \sqrt{\beta^2+k}$ છે. $k>0$ હોવાથી,તમામ વાસ્તવિક $\beta$ માટે $\beta^2+k > 0$ છે. તેથી,$r$ ક્યારેય $0$ હોઈ શકે નહીં. બિંદુ વર્તુળો અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી. જે $(i)$ સાથે સુસંગત છે.
$(C)$ $S_\alpha=0$ માટે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\alpha^2-k}$ છે. જો $\alpha^2 < k$ હોય,તો ત્રિજ્યા કાલ્પનિક છે,એટલે કે વર્તુળો અસ્તિત્વમાં નથી. જો $\alpha^2 > k$ હોય,તો વર્તુળો વાસ્તવિક છે અને ન છેદતા છે. જે (iii) સાથે સુસંગત છે.
$(D)$ $S_\beta=0$ માટે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\beta^2+k}$ છે. આ $y$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળોનું કુટુંબ છે. વિવિધ $\beta$ માટે તેમની ત્રિજ્યા અલગ હોવાથી,તેઓ છેદતા છે. જે (ii) સાથે સુસંગત છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-(iv), B-(i), C-(iii), D-(ii)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2-2x+4y-4=0$
$x^2+y^2+4x-4y+\alpha=0$
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)} = 3$.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 - \alpha} = \sqrt{8-\alpha}$.
બે વર્તુળોને $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય તે માટે,તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2$ તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોવું જોઈએ:
$d > r_1 + r_2$
$d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$.
તેથી,$5 > 3 + \sqrt{8-\alpha}$
$2 > \sqrt{8-\alpha}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 > 8 - \alpha$
$\alpha > 4$.
$\alpha$ ની $4$ કરતા મોટી ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $5$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-3x+y-10=0$ અને $S_2: x^2+y^2-x+2y-20=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ એટલે કે $2x+y-10=0$ છે.
વર્તુળોની સંહતિનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{3+\lambda}{2(1+\lambda)}, \frac{-(1+2\lambda)}{2(1+\lambda)})$ છે.
કેન્દ્ર $2x+y-10=0$ પર હોવાથી,$\lambda = -\frac{3}{4}$ મળે છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,$x^2+y^2-9x-2y+20=0$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ મળે છે: $(x^2+y^2-6x-4y+9) - (x^2+y^2-8x-6y+23) = 0$
જેનું સાદું રૂપ $2x + 2y - 14 = 0$ એટલે કે $x + y - 7 = 0$ થાય છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y+9=0$ માટે,કેન્દ્ર $(3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2 + 2^2 - 9} = 2$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 2)$ થી રેખા $x + y - 7 = 0$ પરના લંબનું અંતર $d = \frac{|3 + 2 - 7|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(A) ધારો કે $I = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cot^9 x \, dx$.
$t = \sin x$ આદેશ લેતા,$dt = \cos x \, dx$ મળે.
$\cot^9 x = \frac{\cos^9 x}{\sin^9 x} = \frac{(\cos^2 x)^4 \cos x}{\sin^9 x} = \frac{(1-t^2)^4}{t^9}$ હોવાથી:
$I = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \frac{(1-t^2)^4}{t^9} \, dt$.
$(1-t^2)^4 = 1 - 4t^2 + 6t^4 - 4t^6 + t^8$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} (t^{-9} - 4t^{-7} + 6t^{-5} - 4t^{-3} + t^{-1}) \, dt$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \left[ \frac{t^{-8}}{-8} - 4\frac{t^{-6}}{-6} + 6\frac{t^{-4}}{-4} - 4\frac{t^{-2}}{-2} + \log|t| \right]_{1/\sqrt{2}}^{1}$.
$I = \left[ -\frac{1}{8t^8} + \frac{2}{3t^6} - \frac{3}{2t^4} + \frac{2}{t^2} + \log t \right]_{1/\sqrt{2}}^{1}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$t=1$ માટે: $-\frac{1}{8} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 2 + \log 1 = \frac{25}{24}$.
$t=1/\sqrt{2}$ માટે: $-2 + \frac{16}{3} - 6 + 4 - \frac{1}{2} \log 2 = \frac{32}{24} - \frac{1}{2} \log 2$.
$I = \frac{25}{24} - (\frac{32}{24} - \frac{1}{2} \log 2) = -\frac{7}{24} + \frac{1}{2} \log 2$.

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{x} \sin \left(\frac{1}{x}-x\right) d x$.
$x = \frac{1}{t}$ આદેશ લેતા,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ મળે.
જ્યારે $x = \frac{1}{3}$ ત્યારે $t = 3$ અને જ્યારે $x = 3$ ત્યારે $t = \frac{1}{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_3^{\frac{1}{3}} t \sin \left(t - \frac{1}{t}\right) \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt$
$I = \int_3^{\frac{1}{3}} -\frac{1}{t} \sin \left(t - \frac{1}{t}\right) dt$
ગુણધર્મ $\sin(- \theta) = -\sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(t - \frac{1}{t}) = -\sin(\frac{1}{t} - t)$ મળે.
$I = \int_3^{\frac{1}{3}} \frac{1}{t} \sin \left(\frac{1}{t} - t\right) dt$
સંકલનની સીમાઓ બદલતા ચિહ્ન બદલાશે:
$I = -\int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{t} \sin \left(\frac{1}{t} - t\right) dt$
સંકલનનો ચલ એક ડમી ચલ હોવાથી,આપણે $t$ ને $x$ વડે બદલી શકીએ છીએ:
$I = -\int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{x} \sin \left(\frac{1}{x} - x\right) dx$
$I = -I$
$2I = 0 \implies I = 0$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{1+4 \tan ^2 x} d x$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{dt}{1+t^2}$.
જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{4}, t=1$.
તેથી,$I = \int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right)$.
$I = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right) dt$.
$I = \frac{1}{3} \left[ 2 \tan^{-1}(2t) - \tan^{-1}(t) \right]_0^1$.
$I = \frac{1}{3} \left[ (2 \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) - (0 - 0) \right]$.
$I = \frac{1}{3} \left[ 2 \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{2}{3} \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{12}$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int_{-1}^{1} [x+2[x+2[x]]] dx$ છે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $[x+n] = [x]+n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલનની અંદરના પદને સરળ બનાવીએ:
$[x+2[x+2[x]]] = [x] + 2[x+2[x]] = [x] + 2([x] + 2[x]) = [x] + 2[x] + 4[x] = 7[x]$.
હવે,આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{-1}^{1} 7[x] dx = 7 \int_{-1}^{1} [x] dx$.
સંકલનને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરતા:
$I = 7 \left( \int_{-1}^{0} [x] dx + \int_{0}^{1} [x] dx \right)$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$. $x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$.
$I = 7 \left( \int_{-1}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{1} (0) dx \right) = 7 ([-x]_{-1}^{0} + 0) = 7(-1) = -7$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $2$ આવર્તમાન ધરાવતું યુગ્મ વિધેય છે.
$f(x)$ એ $2$ આવર્તમાન ધરાવતું હોવાથી,કોઈપણ $a$ માટે $\int_0^2 f(t) dt = \int_a^{a+2} f(t) dt$ થાય.
વળી,યુગ્મ વિધેય માટે $\int_{-a}^a f(t) dt = 2 \int_0^a f(t) dt$ થાય.
ખાસ કરીને,$\int_{-1}^1 f(t) dt = 2 \int_0^1 f(t) dt$.
આવર્તમાન $2$ હોવાથી,$\int_0^2 f(t) dt = \int_{-1}^1 f(t) dt = 2 \int_0^1 f(t) dt$ થાય.
હવે,$g(x+2) = \int_0^{x+2} f(t) dt = \int_0^2 f(t) dt + \int_2^{x+2} f(t) dt$.
આવર્તમાનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા $\int_2^{x+2} f(t) dt = \int_0^x f(t) dt = g(x)$ મળે.
તેથી,$g(x+2) = g(2) + g(x)$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| dx$.
$x \in [-1, 0]$ અને $x \in [1, 3/2]$ માટે $x \sin(\pi x) \ge 0$ હોવાથી અને $x \in [0, 1]$ માટે $x \sin(\pi x) \le 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{-1}^{0} -x \sin(\pi x) dx + \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) dx + \int_{1}^{3/2} -x \sin(\pi x) dx$.
યુગ્મ વિધેય માટે $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = x \sin(\pi x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
તેથી,$I = 2 \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) dx - \int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) dx$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int x \sin(\pi x) dx = -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2}$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $2 \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{0}^{1} = 2 \left[ (\frac{1}{\pi} + 0) - (0 + 0) \right] = \frac{2}{\pi}$.
બીજા ભાગની ગણતરી: $-\left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{1}^{3/2} = -\left[ (0 - \frac{1}{\pi^2}) - (\frac{1}{\pi} + 0) \right] = \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{\pi}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $I = \frac{2}{\pi} + \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi^2} = \frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int_x^{x+1} e^{-t^2} dt$.
સંકલન ચિહ્ન હેઠળ વિકલન માટે લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f'(x) = e^{-(x+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) - e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$f'(x) = e^{-(x+1)^2} - e^{-x^2}$
$f(x)$ ઘટતું વિધેય હોવા માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$e^{-(x+1)^2} - e^{-x^2} < 0$
$e^{-(x+1)^2} < e^{-x^2}$
ઘાતાંકીય વિધેય $e^u$ એ સતત વધતું વિધેય હોવાથી,આપણને મળે છે:
$-(x+1)^2 < -x^2$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાશે:
$(x+1)^2 > x^2$
$x^2 + 2x + 1 > x^2$
$2x + 1 > 0$
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$
આમ,જે અંતરાલમાં $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે તે $\left(-\frac{1}{2}, \infty\right)$ છે.

(A) આપણી પાસે છે,
$I = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1+(k/n)^2}$
સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણે $\frac{k}{n}$ ને $x$ વડે અને $\frac{1}{n}$ ને $dx$ વડે બદલીએ છીએ,જ્યાં સંકલનની મર્યાદા $0$ થી $1$ છે.
$I = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$
ધારો કે $u = 1+x^2$,તો $du = 2x dx$,જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{1}{2} du$.
જ્યારે $x=0, u=1$ અને જ્યારે $x=1, u=2$.
$I = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_1^2 = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$.

(A) ધારો કે $S_n = \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2+r^2}$.
આપણે પદાવલિને $S_n = \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2(1 + \frac{r^2}{n^2})} = \sum_{r=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા,આપણે રીમાન સરવાળાના લક્ષ તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ છે.
તેથી,$S = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $S = [\tan^{-1} x]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{10} (5 - \sqrt{10x - x^2}) \, dx$.
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદર પૂર્ણવર્ગ બનાવો: $10x - x^2 = -(x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x + 25 - 25) = 25 - (x - 5)^2$.
તેથી,$I = \int_0^{10} 5 \, dx - \int_0^{10} \sqrt{5^2 - (x - 5)^2} \, dx$.
પ્રથમ ભાગ $\int_0^{10} 5 \, dx = [5x]_0^{10} = 50$ છે.
બીજા ભાગ માટે,સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2}\sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{a})$ નો ઉપયોગ કરો.
અહીં $u = x - 5$,તેથી $du = dx$. જ્યારે $x=0, u=-5$; જ્યારે $x=10, u=5$.
$\int_{-5}^5 \sqrt{5^2 - u^2} \, du = [\frac{u}{2}\sqrt{25 - u^2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{5})]_{-5}^5$.
$= (0 + \frac{25}{2}\sin^{-1}(1)) - (0 + \frac{25}{2}\sin^{-1}(-1)) = \frac{25}{2}(\frac{\pi}{2}) - \frac{25}{2}(-\frac{\pi}{2}) = \frac{25\pi}{4} + \frac{25\pi}{4} = \frac{25\pi}{2}$.
આમ,$I = 50 - \frac{25\pi}{2} = \frac{100 - 25\pi}{2} = \frac{1}{2}(100 - 25\pi)$.

(C) વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2}-2\left(\frac{d y}{d x}\right)^3+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+y=0$ નો ક્રમ $l=2$ છે.
$\left(1+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{2}{3}}=\left[2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{\frac{3}{2}}$ ની ઘાત શોધવા માટે,બંને બાજુ ઘન કરતા: $\left(1+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left[2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{\frac{9}{2}}$. અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે ફરીથી વર્ગ કરતા,મહત્તમ વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ની ઘાત $2 \times 2 = 4$ થશે. તેથી,$m=4$.
આપેલ છે $y=A x^2+B e^{4 x}$.
$y^{\prime}=2 A x+4 B e^{4 x}$
$y^{\prime \prime}=2 A+16 B e^{4 x}$
$A$ અને $B$ નો લોપ કરતા,આપણને વિકલ સમીકરણ $\left(2 x^2-x\right) y^{\prime \prime}-\left(8 x^2-1\right) y^{\prime}+(16 x-4) y=0$ મળે છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ તેની ધરી હોય તેવા પરવલયોના સમૂહનું સમીકરણ $(y-0)^2 = -4a(x-a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રાચલ છે.
$y^2 = -4ax + 4a^2$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y y' = -4a$
$a = -\frac{y y'}{2}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = -4\left(-\frac{y y'}{2}\right)x + 4\left(-\frac{y y'}{2}\right)^2$
$y^2 = 2x y y' + 4\left(\frac{y^2 y'^2}{4}\right)$
$y^2 = 2x y y' + y^2 y'^2$
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારીને):
$y = 2x y' + y y'^2$
$y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2x\left(\frac{dy}{dx}\right) - y = 0$
આ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $m = 1$ છે અને ઘાત $n = 2$ છે.
તેથી,$mn - m + n = (1)(2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$.

(C) $r$ જેટલી અચળ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $(a, b)$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-a) + 2(y-b)y' = 0 \Rightarrow x-a = -(y-b)y'$.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(y-b)^2 (y')^2 + (y-b)^2 = r^2 \Rightarrow (y-b)^2 [1 + (y')^2] = r^2 \Rightarrow y-b = \frac{\pm r}{\sqrt{1+(y')^2}}$.
$x-a = -(y-b)y'$ નું ફરીથી વિકલન કરતા: $1 = -[y'' (y-b) + (y')^2]$.
$y-b$ ની કિંમત મૂકતા: $1 + (y')^2 = -y'' \left( \frac{\pm r}{\sqrt{1+(y')^2}} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા: $1 + (y')^2 = \mp \frac{r y''}{\sqrt{1+(y')^2}} \Rightarrow (1+(y')^2)^{3/2} = \mp r y''$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1+(y')^2)^3 = r^2 (y'')^2$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y dx - x dy + 3x^2 y^2 e^{x^3} dx = 0$.
આખા સમીકરણને $y^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{y dx - x dy}{y^2} + 3x^2 e^{x^3} dx = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $d(\frac{x}{y}) + d(e^{x^3}) = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{x}{y} + e^{x^3} = C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
આપેલ છે કે જ્યારે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$,તેથી કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{1} + e^{1^3} = C \Rightarrow C = 1 + e$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x}{y} + e^{x^3} = 1 + e$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x}{y} = 1 + e - e^{x^3} \Rightarrow x = y(1 + e - e^{x^3}) \Rightarrow x + y(e^{x^3} - (1 + e)) = 0$.

(C) અચળ ત્રિજ્યા $r$ અને કેન્દ્ર $(a, b)$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ છે.
અહીં બે સ્વૈર અચળાંકો $a$ અને $b$ હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $k = 2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-a) + 2(y-b)y' = 0 \Rightarrow (x-a) + (y-b)y' = 0$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $1 + (y')^2 + (y-b)y'' = 0 \Rightarrow (y-b) = -\frac{1+(y')^2}{y''}$.
આ કિંમત પ્રથમ વિકલિતના સમીકરણમાં મૂકતા: $(x-a) = -y' \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right) = \frac{y'(1+(y')^2)}{y''}$.
$(x-a)$ અને $(y-b)$ ની કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(\frac{y'(1+(y')^2)}{y''}\right)^2 + \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 = r^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{(1+(y')^2)^2}{(y'')^2} ( (y')^2 + 1 ) = r^2 \Rightarrow (1+(y')^2)^3 = r^2(y'')^2$.
સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $y''$ છે,તેથી ક્રમ $k = 2$.
સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $l = 2$.
આમ,$k^2 + l^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y^{\prime} = \frac{y}{2x}$
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{y} dy = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx$
$\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$
$\ln|y| = \ln|x^{1/2}| + C$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = k \sqrt{x}$,જ્યાં $k = e^C$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 = k^2 x$
ધારો કે $k^2 = c$,તો $y^2 = cx$
આ સમીકરણ $x$-અક્ષ પર ખુલતા પરવલયોના પરિવારને દર્શાવે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2x - 3y + 5)dx + (9y - 6x - 7)dy = 0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 3y + 5}{3(2x - 3y) + 7}$
ધારો કે $2x - 3y = z$. તેથી $2 - 3\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(2 - \frac{dz}{dx})$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{3}(2 - \frac{dz}{dx}) = \frac{z + 5}{3z + 7}$
$2 - \frac{dz}{dx} = \frac{3z + 15}{3z + 7}$
$\frac{dz}{dx} = 2 - \frac{3z + 15}{3z + 7} = \frac{6z + 14 - 3z - 15}{3z + 7} = \frac{3z - 1}{3z + 7}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{3z + 7}{3z - 1} dz = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 + \frac{8}{3z - 1}) dz = \int dx$
$z + \frac{8}{3} \log |3z - 1| = x + c$
$3$ વડે ગુણતા: $3z + 8 \log |3z - 1| = 3x + c'$
$z = 2x - 3y$ મૂકતા: $3(2x - 3y) + 8 \log |3(2x - 3y) - 1| = 3x + c'$
$6x - 9y + 8 \log |6x - 9y - 1| = 3x + c'$
$3x - 9y + 8 \log |6x - 9y - 1| = c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y \sin x + y) \frac{dy}{dx} - \cos^2 x = 0$
ચલને અલગ કરતા: $y(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} = \cos^2 x$
$y \, dy = \frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} dx$
નિત્યસમ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y \, dy = \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 + \sin x} dx$
$y \, dy = (1 - \sin x) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int y \, dy = \int (1 - \sin x) dx$
$\frac{y^2}{2} = x - (-\cos x) + c$
$\frac{y^2}{2} = x + \cos x + c$
$y^2 = 2x + 2 \cos x + c$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = 1 - \cos(y-x) \cot(y-x)$.
ધારો કે $v = y - x$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dv}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 + \frac{dv}{dx} = 1 - \cos v \cot v$
$\frac{dv}{dx} = -\cos v \left( \frac{\cos v}{\sin v} \right) = -\frac{\cos^2 v}{\sin v}$.
ચલને અલગ કરતા:
$-\int \frac{\sin v}{\cos^2 v} dv = \int dx$.
$u = \cos v$ આદેશ લેતા,$du = -\sin v dv$,તેથી સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int \frac{du}{u^2} = x + c$
$-\frac{1}{u} = x + c$
$-\frac{1}{\cos v} = x + c$
$-\sec v = x + c$
$x + \sec(y-x) = c$.

(C) આપેલ છે કે,$\frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2$.
ધારો કે $v = 4x + y + 1$.
તેથી,$\frac{dv}{dx} = 4 + \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 4$.
આ કિંમત વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{dv}{dx} - 4 = v^2$,અથવા $\frac{dv}{dx} = v^2 + 4$.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dv}{v^2 + 4} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dv}{v^2 + 2^2} = \int dx$.
આથી,$\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{v}{2}) = x + c$.
$v = 4x + y + 1$ મૂકતા,$\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = x + c$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા: $\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{0 + 1 + 1}{2}) = 0 + c$,તેથી $c = \frac{1}{2} \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{8}$.
આમ,$\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = x + \frac{\pi}{8}$.
$2$ વડે ગુણતા,$\tan^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = 2x + \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જેન્ટ લેતા,$\frac{4x + y + 1}{2} = \tan(2x + \frac{\pi}{4})$.
તેથી,$y = 2 \tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 4x - 1$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{1-y^2} dx + (x - \sin^{-1} y) dy = 0$ છે.
$dy$ અને $\sqrt{1-y^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ અને $Q(y) = \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy} = e^{\sin^{-1} y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ છે.
$x e^{\sin^{-1} y} = \int \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}} e^{\sin^{-1} y} dy + c$.
ધારો કે $t = \sin^{-1} y$,તો $dt = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy$.
$x e^{\sin^{-1} y} = \int t e^t dt + c = (t e^t - e^t) + c = e^t(t - 1) + c$.
$t = \sin^{-1} y$ મૂકતા,આપણને $x e^{\sin^{-1} y} = e^{\sin^{-1} y}(\sin^{-1} y - 1) + c$ મળે છે.
$e^{\sin^{-1} y}$ વડે ભાગતા,$x = \sin^{-1} y - 1 + c e^{-\sin^{-1} y}$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2)+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^2)$.
$\frac{dy}{dx}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} = -\frac{x}{1+y^2} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે.
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + c = \int \frac{e^{2 \tan ^{-1} y}}{1+y^2} dy + c$.
ધારો કે $u = \tan ^{-1} y$,તો $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int e^{2u} du + c = \frac{1}{2} e^{2u} + c = \frac{1}{2} e^{2 \tan ^{-1} y} + c$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + 2c$.
$2c$ એ અચળાંક હોવાથી,ઉકેલ $2x e^{\tan ^{-1} y} - e^{2 \tan ^{-1} y} = C$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+2y^3) \frac{dy}{dx} = y$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $y \frac{dx}{dy} = x + 2y^3$
$y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{1}{y}$ અને $Q = 2y^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ મળે: $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$.
ઉકેલ આ મુજબ મળે: $x \cdot (IF) = \int (Q \cdot IF) dy + c$
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$
$\frac{x}{y} = y^2 + c$
તેથી,$x = y^3 + cy$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{x(x^2+y^2-1)}{y(2(x^2+y^2)+1)} = 0$
પદોને ગોઠવતા: $y(2(x^2+y^2)+1) dy + x(x^2+y^2-1) dx = 0$
$2y(x^2+y^2) dy + y dy + x(x^2+y^2) dx - x dx = 0$
$(x^2+y^2)(2y dy + x dx) + y dy - x dx = 0$
સમીકરણને ફરીથી લખતા: $(x^2+y^2+2)(2y dy + x dx) - 3x dx = 0$
$(x^2+y^2+2)(2y dy + x dx) = 3x dx + 3y dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $x^2 + 2y^2 - 3 \log(x^2+y^2+2) = c$.

(D) આપેલ છે કે,$a = 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $b = \hat{i} + \hat{j}$.
કારણ કે $a = a_1 + a_2$ અને $a_1$ એ $b$ ને સમાંતર છે,આપણે $a_1 = \lambda b = \lambda(\hat{i} + \hat{j})$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
કારણ કે $a_2$ એ $b$ ને લંબ છે,તેથી $a_2 \cdot b = 0$ થાય.
$a_2 = a - a_1$ મૂકતા,આપણને $(a - a_1) \cdot b = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot b = a_1 \cdot b$.
$a \cdot b = (3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 3$ ની ગણતરી કરતા.
$a_1 \cdot b = \lambda(\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = \lambda(1^2 + 1^2) = 2\lambda$ ની ગણતરી કરતા.
બંનેને સરખાવતા,$2\lambda = 3$,તેથી $\lambda = \frac{3}{2}$.
આમ,$a_1 = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j})$.

(D) ધારો કે $D$ એ બાજુ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$D = \left( \frac{\alpha + 1}{2}, \frac{5 + 0}{2}, \frac{\beta - 3}{2} \right) = \left( \frac{\alpha + 1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{\beta - 3}{2} \right)$
સદિશ $\vec{BD}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{BD} = \left( \frac{\alpha + 1}{2} - (-2) \right) \hat{i} + \left( \frac{5}{2} - 1 \right) \hat{j} + \left( \frac{\beta - 3}{2} - 6 \right) \hat{k}$
$\vec{BD} = \left( \frac{\alpha + 5}{2} \right) \hat{i} + \left( \frac{3}{2} \right) \hat{j} + \left( \frac{\beta - 15}{2} \right) \hat{k}$
જેহেতু મધ્યગા $\vec{BD}$ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલી છે,તેથી તેના દિકગુણોત્તરોનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$\left| \frac{\alpha + 5}{2} \right| = \left| \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{\beta - 15}{2} \right|$
દિકગુણોત્તરો માટે ધન કિંમત લેતા:
$\frac{\alpha + 5}{2} = \frac{3}{2} \implies \alpha + 5 = 3 \implies \alpha = -2$
$\frac{\beta - 15}{2} = \frac{3}{2} \implies \beta - 15 = 3 \implies \beta = 18$
તેથી,$\alpha + \beta = -2 + 18 = 16$.

(B) ધારો કે $u = -\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $v = 3\hat{i} + 4\hat{j}$.
$|u| = 3$ અને $|v| = 5$.
એકમ સદિશો $\hat{u} = \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{3}$ અને $\hat{v} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5}$ છે.
આંતરિક દ્વિભાજક $a = \lambda(\hat{u} + \hat{v})$ અને બાહ્ય દ્વિભાજક $b = \mu(\hat{u} - \hat{v})$ છે.
ગણતરી કરતા,$a = \frac{4\hat{i} + 22\hat{j} - 10\hat{k}}{15}$ અને $b = \frac{-14\hat{i} - 2\hat{j} - 10\hat{k}}{15}$ મળે છે.
તેથી,$a - b$ ની એક શક્ય કિંમત વિકલ્પ $B$ મુજબ $\frac{2}{3}(-\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ છે.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ સાથેના સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = \sqrt{3}\hat{i} - \sqrt{3}\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશોના માનની ગણતરી કરો:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 3 + 0} = \sqrt{6}$.
કારણ કે માન સમાન છે $(|\vec{a}| = |\vec{b}|)$,ખૂણાના દ્વિભાજકના દિશા ગુણોત્તર સદિશ $\vec{a} + \vec{b}$ અથવા $\vec{a} - \vec{b}$ ના ઘટકો દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{a} + \vec{b} = (1 + \sqrt{3})\hat{i} + (1 - \sqrt{3})\hat{j} + (2 + 0)\hat{k}$ ની ગણતરી કરતા.
આમ,દિશા ગુણોત્તર $(1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}, 2)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $r = a + \lambda b$ છે,જ્યાં $b = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $r \cdot n = d$ છે,જ્યાં $n = 10\hat{i} + 2\hat{j} - 11\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|b \cdot n|}{|b||n|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $b \cdot n = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40$ મેળવો.
હવે,માન $|b| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
અને $|n| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(C) આપેલ છે,$x = \hat{i} + \hat{j}$ અને $y = 3\hat{i} - 2\hat{k}$.
શરતો $r \times x = y \times x$ અને $r \times y = x \times y$ છે.
$r \times x = y \times x$ પરથી,$(r - y) \times x = 0$,જે સૂચવે છે કે $(r - y)$ એ $x$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$r - y = \lambda x$,અથવા $r = y + \lambda x$.
સદિશો મૂકતા: $r = (3\hat{i} - 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j}) = (3 + \lambda)\hat{i} + \lambda\hat{j} - 2\hat{k}$.
માન $|r| = \sqrt{21}$ આપેલ હોવાથી,$|r|^2 = 21$.
$(3 + \lambda)^2 + \lambda^2 + (-2)^2 = 21$.
$9 + 6\lambda + \lambda^2 + \lambda^2 + 4 = 21$.
$2\lambda^2 + 6\lambda + 13 = 21 \Rightarrow 2\lambda^2 + 6\lambda - 8 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $\lambda^2 + 3\lambda - 4 = 0$.
$(\lambda + 4)(\lambda - 1) = 0$,તેથી $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -4$.
$\lambda = 1$ માટે,$r = (3 + 1)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k} = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
બીજી શરત $r \times y = x \times y$ ચકાસતા: $(r - x) \times y = 0$,તેથી $r - x$ એ $y$ ને સમાંતર હોવું જોઈએ.
$r = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ માટે,$r - x = (4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j}) = 3\hat{i} - 2\hat{k} = y$. જે $y$ ને સમાંતર છે,તેથી આ સાચું છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(3, 4, 5)$,$B(4, 6, 3)$,$C(-1, 2, 4)$ અને $D(1, 0, 5)$ છે.
પ્રથમ,આપણે $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડનો સદિશ $\overrightarrow{AB}$ મેળવીએ:
$\overrightarrow{AB} = (4-3)\hat{i} + (6-4)\hat{j} + (3-5)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
ત્યારબાદ,$C$ અને $D$ ને જોડતી રેખાનો સદિશ $\overrightarrow{CD}$ મેળવીએ:
$\overrightarrow{CD} = (1 - (-1))\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-4)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ $\overrightarrow{AB}$ નો સદિશ $\overrightarrow{CD}$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈનું સૂત્ર $\left| \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|} \right|$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(2) + (2)(-2) + (-2)(1) = 2 - 4 - 2 = -4$.
$\overrightarrow{CD}$ નું માન $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\left| \frac{-4}{3} \right| = \frac{4}{3}$ થાય.

(A) ધારો કે $\vec{a}$ એ $Z$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે અને $\vec{b}$ એ $X$-અક્ષ સાથે $\beta$ ખૂણો બનાવે છે. દિક્કોસાઇનના ગુણધર્મ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
સદિશ $\vec{a}$ માટે: $\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\vec{a} = 2(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \cos 60^{\circ} \hat{j} + \cos \alpha \hat{k}) = 2(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} \pm \sqrt{2} \hat{k}$.
સદિશ $\vec{b}$ માટે: $\cos^2 \beta + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} = 1 \Rightarrow \cos^2 \beta + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \cos \beta = 0$.
તેથી,$\vec{b} = \sqrt{2}(0 \hat{i} + \cos 45^{\circ} \hat{j} + \cos 45^{\circ} \hat{k}) = \sqrt{2}(0 \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}) = \hat{j} + \hat{k}$.
હવે,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & \pm \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (\pm \sqrt{2})) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = (1 \mp \sqrt{2}) \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
ધન ચિહ્ન લેતા,આપણને $(1 - \sqrt{2}) \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $C$ એ રેખા પરનું બિંદુ છે જેથી $\overrightarrow{BC}$ એ $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ ને સમાંતર હોય અને $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{189}$ થાય.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} = \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ શોધો:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(1-12) + \hat{k}(0-8) = 2\hat{i} + 11\hat{j} - 8\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC}$ એ $\vec{v}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\overrightarrow{BC} = \lambda(2\hat{i} + 11\hat{j} - 8\hat{k})$.
તેનું માન $|\overrightarrow{BC}| = |\lambda| \sqrt{2^2 + 11^2 + (-8)^2} = |\lambda| \sqrt{4 + 121 + 64} = |\lambda| \sqrt{189}$ છે.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{189}$ આપેલ હોવાથી,$|\lambda| = 1$,એટલે કે $\lambda = \pm 1$.
$C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OC} = \vec{OB} + \overrightarrow{BC} = (4\hat{i} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 11\hat{j} - 8\hat{k})$ છે.
$\lambda = 1$ માટે,$\vec{OC} = (4+2)\hat{i} + (0+11)\hat{j} + (1-8)\hat{k} = 6\hat{i} + 11\hat{j} - 7\hat{k}$.

(A) આપેલ છે કે $a = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$. $a \cdot b = 0$ હોવાથી અને $b$ એ $XOY$ સમતલમાં હોવાથી,$b$ એ $k(3 \hat{i} - 4 \hat{j})$ સ્વરૂપમાં હશે. ધારો કે $b = 3 \hat{i} - 4 \hat{j}$.
ધારો કે $c = x \hat{i} + y \hat{j}$.
$a$ પર $c$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{a \cdot c}{|a|} = 1 \implies \frac{4x + 3y}{5} = 1 \implies 4x + 3y = 5$ $(i)$.
$b$ પર $c$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{b \cdot c}{|b|} = 2 \implies \frac{3x - 4y}{5} = 2 \implies 3x - 4y = 10$ (ii).
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે અને (ii) ને $3$ વડે ગુણતા: $16x + 12y = 20$ અને $9x - 12y = 30$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$25x = 50 \implies x = 2$.
$x = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $4(2) + 3y = 5 \implies 8 + 3y = 5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$.
આમ,$c = 2 \hat{i} - \hat{j}$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો:
$A = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$
$B = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$
$C = \frac{7}{4} \hat{i}+\frac{15}{4} \hat{j}+\frac{15}{4} \hat{k}$
$D = \frac{7}{3} \hat{i}+\frac{2}{3} \hat{j}+\frac{5+3a}{3} \hat{k}$
સદિશ $\vec{AC} = C - A = (\frac{7}{4}-1) \hat{i} + (\frac{15}{4}-2) \hat{j} + (\frac{15}{4}-3) \hat{k} = \frac{3}{4} \hat{i} + \frac{7}{4} \hat{j} + \frac{3}{4} \hat{k}$.
સદિશ $\vec{BD} = D - B = (\frac{7}{3}-2) \hat{i} + (\frac{2}{3}-(-1)) \hat{j} + (\frac{5+3a}{3}-2) \hat{k} = \frac{1}{3} \hat{i} + \frac{5}{3} \hat{j} + \frac{3a-1}{3} \hat{k}$.
આપેલ છે કે $|AC| = |BD|$,તેથી $|AC|^2 = |BD|^2$:
$(\frac{3}{4})^2 + (\frac{7}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 = (\frac{1}{3})^2 + (\frac{5}{3})^2 + (\frac{3a-1}{3})^2$
$\frac{9+49+9}{16} = \frac{1+25+(3a-1)^2}{9}$
$\frac{67}{16} = \frac{26+(3a-1)^2}{9}$
$603 = 16(26 + (3a-1)^2)$
$603 = 416 + 16(3a-1)^2$
$16(3a-1)^2 = 603 - 416 = 187$.

(C) આપેલ સદિશો $a=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધીએ:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(1 - 2) = 3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a b p] = p \cdot (a \times b)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$p$ એ એકમ સદિશ હોવાથી,$|p| = 1$. ધારો કે $p$ અને $(a \times b)$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી $[a b p] = |p| |a \times b| \cos \theta = |a \times b| \cos \theta$.
આ પદ ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $p$ એ $(a \times b)$ ની દિશામાં હોવો જોઈએ.
આમ,$p = \frac{a \times b}{|a \times b|} = \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{14}}(3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.

(B) ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = 2 \alpha^2 \hat{i} + 4 \alpha \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$ છે.
સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોવાથી,$\cos \theta < 0$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$. સદિશોના માન $|\vec{a}|$ અને $|\vec{b}|$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$\cos \theta < 0$ ની શરતનો અર્થ એ છે કે તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ થાય.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \alpha^2)(7) + (4 \alpha)(-2) + (1)(\alpha) < 0$
$14 \alpha^2 - 8 \alpha + \alpha < 0$
$14 \alpha^2 - 7 \alpha < 0$
$7 \alpha (2 \alpha - 1) < 0$
આ અસમતા ઉકેલવા માટે,આપણે નિર્ણાયક બિંદુઓ $\alpha = 0$ અને $\alpha = \frac{1}{2}$ મેળવીએ છીએ.
પદાવલિ $7 \alpha (2 \alpha - 1)$ એ મૂળની વચ્ચે ઋણ હોય છે.
તેથી,$0 < \alpha < \frac{1}{2}$.

(D) ધારો કે સદિશ $b=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $a \cdot b = b_1+b_2+b_3 = 1$ $(i)$
વળી,$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3-b_2) \hat{i} + (b_1-b_3) \hat{j} + (b_2-b_1) \hat{k}$.
આપેલ છે કે $a \times b = \hat{j}-\hat{k}$,તેથી ઘટકોને સરખાવતા:
$b_3-b_2 = 0 \Rightarrow b_2 = b_3$
$b_1-b_3 = 1 \Rightarrow b_1 = b_3+1$
$b_2-b_1 = -1 \Rightarrow b_2 = b_1-1$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(b_3+1) + b_3 + b_3 = 1$
$3b_3 + 1 = 1 \Rightarrow 3b_3 = 0 \Rightarrow b_3 = 0$.
આમ,$b_2 = 0$ અને $b_1 = 0+1 = 1$.
તેથી,$b = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = \hat{i}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $p=a-2b$ અને $q=2a+b$ છે.
$a$ માટે ઉકેલવા,બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણો: $2q=4a+2b$.
આને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $p+2q = (a-2b) + (4a+2b) = 5a$.
$5a = (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) + 2(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = 5\hat{i}+\hat{k}$.
તેથી,$a = \hat{i} + \frac{1}{5}\hat{k}$.
$b$ માટે ઉકેલવા,$q=2a+b$ માં $a$ ની કિંમત મૂકો: $b = q-2a$.
$b = (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - 2(\hat{i} + \frac{1}{5}\hat{k}) = -\hat{j} + \frac{3}{5}\hat{k}$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $a \cdot b = (1)(0) + (0)(-1) + (\frac{1}{5})(\frac{3}{5}) = \frac{3}{25}$.
માન $|a| = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{26}{25}} = \frac{\sqrt{26}}{5}$ અને $|b| = \sqrt{(-1)^2 + (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{34}{25}} = \frac{\sqrt{34}}{5}$.
ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = \frac{3/25}{(\sqrt{26}/5)(\sqrt{34}/5)} = \frac{3}{\sqrt{26 \times 34}} = \frac{3}{\sqrt{884}} = \frac{3}{2\sqrt{221}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{2\sqrt{221}}\right)$.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{OP} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
$\vec{OQ} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{OR} = 2\hat{i} - 3\hat{k}$
$\vec{OS} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
હવે,સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{RS}$ શોધો:
$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{RS} = \vec{OS} - \vec{OR} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} - 3\hat{k}) = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$
અહીં $\vec{PQ} = \vec{RS}$ હોવાથી,બંને સદિશો સમાંતર છે.
તેથી,બે સમાંતર સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $0$ થાય.

(C) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B})\vec{C}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{x} = \hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = \vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i}$
$\vec{y} = \hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) - \vec{a} = ((\hat{j} \cdot \hat{j})\vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j}) - \vec{a} = \vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} - \vec{a} = -(\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j}$
$\vec{z} = \hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) - \vec{a} = ((\hat{k} \cdot \hat{k})\vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k}) - \vec{a} = \vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} - \vec{a} = -(\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k}$
ધારો કે $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$. તો:
$\vec{x} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) - a_1\hat{i} = a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$
$\vec{y} = -a_2\hat{j}$
$\vec{z} = -a_3\hat{k}$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\left[\begin{array}{lll}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\end{array}\right] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ છે.
$\vec{y} \times \vec{z} = (-a_2\hat{j}) \times (-a_3\hat{k}) = a_2 a_3 (\hat{j} \times \hat{k}) = a_2 a_3 \hat{i}$.
$\left[\begin{array}{lll}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\end{array}\right] = (a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \cdot (a_2 a_3 \hat{i}) = 0$ (કારણ કે $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$ અને $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$).

(D) સહ-અંતિમ ધાર $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,આપણે અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 6 & 3 & -4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 6(4 - (-1)) - 3(0 - 5) - 4(0 - 10) = 6(5) - 3(-5) - 4(-10) = 30 + 15 + 40 = 85$.
$\vec{OB}$ અને $\vec{OC}$ દ્વારા બનતા પાયાનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{OB} \times \vec{OC}|$ છે.
$\vec{OB} \times \vec{OC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-1)) - \hat{j}(0 - 5) + \hat{k}(0 - 10) = 5 \hat{i} + 5 \hat{j} - 10 \hat{k}$.
પાયાના ક્ષેત્રફળનું મૂલ્ય $|\vec{OB} \times \vec{OC}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 25 + 100} = \sqrt{150} = 5 \sqrt{6}$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ માંથી સમાંતરફલકની ઊંચાઈ $h = \frac{|\text{ઘનફળ}|}{\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{85}{5 \sqrt{6}} = \frac{17}{\sqrt{6}}$ થાય.

(D) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $2x + y + z = K$ છે.
$K$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{x}{K/2} + \frac{y}{K} + \frac{z}{K} = 1$.
સમતલ અને યામ સમતલો દ્વારા બનતા ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$,$A(K/2, 0, 0)$,$B(0, K, 0)$ અને $C(0, 0, K)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ સૂત્ર $V_{tet} = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} \times \frac{K}{2} \times K \times K = \frac{K^3}{12}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ઘનફળ $\frac{2V^3}{3}$ છે,તેથી આપણે બંને પદોને સરખાવીએ:
$\frac{K^3}{12} = \frac{2V^3}{3}$.
બંને બાજુ $12$ વડે ગુણતા,આપણને $K^3 = 8V^3$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $K = 2V$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{K}{V} = \frac{2}{1}$.
આમ,$K:V = 2:1$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે,$\vec{r} \times \vec{a}=\vec{b}$.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $(\vec{r} \times \vec{a}) \times \vec{a}=\vec{b} \times \vec{a}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{B} \cdot \vec{C})\vec{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{r} \cdot \vec{a})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{r} = \vec{b} \times \vec{a}$.
કારણ કે $|\vec{a}|=2$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 4$.
આમ,$4\vec{r} = (\vec{r} \cdot \vec{a})\vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a})$.
હવે,$|\vec{r} \times \vec{a}| = |\vec{b}| \Rightarrow |\vec{r}||\vec{a}|\sin \theta = \sqrt{3}$.
$1 \times 2 \sin \theta = \sqrt{3} \Rightarrow \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\vec{r} \cdot \vec{a} = |\vec{r}||\vec{a}|\cos \theta = 1 \times 2 \times \cos \frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
સમીકરણ $4\vec{r} = (\vec{r} \cdot \vec{a})\vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a})$ માં $\vec{r} \cdot \vec{a} = 1$ મૂકતા:
$4\vec{r} = \vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a}) \Rightarrow \vec{r} = \frac{1}{4}[\vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a})]$.

(C) આપેલ સદિશો $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,અને $c=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \cdot c = (2)(2) + (-3)(1) + (1)(1) = 4 - 3 + 1 = 2$
$b \cdot c = (1)(2) + (-1)(1) + (2)(1) = 2 - 1 + 2 = 3$
$(a \times b) \times c = 2(i - j + 2k) - 3(2i - 3j + k) = (2i - 2j + 4k) - (6i - 9j + 3k) = -4i + 7j + k$
$|(a \times b) \times c| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 49 + 1} = \sqrt{66}$.
હવે,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ માટે:
$a \cdot c = 2$
$a \cdot b = (2)(1) + (-3)(-1) + (1)(2) = 2 + 3 + 2 = 7$
$a \times (b \times c) = 2(i - j + 2k) - 7(2i + j + k) = (2i - 2j + 4k) - (14i + 7j + 7k) = -12i - 9j - 3k$
$|a \times (b \times c)| = \sqrt{(-12)^2 + (-9)^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 81 + 9} = \sqrt{234}$.
આમ,$\frac{|(a \times b) \times c|}{|a \times (b \times c)|} = \sqrt{\frac{66}{234}} = \sqrt{\frac{11}{39}}$.
તેથી,$|(a \times b) \times c| = \sqrt{\frac{11}{39}}|a \times (b \times c)|$.

(D) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[abc]$ એ સદિશો $a$,$b$,અને $c$ ના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$[abc] = \begin{vmatrix} p & p & p \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$[abc] = p(1(2) - (-2)(-1)) - p(1(2) - (-2)(2)) + p(1(-1) - 1(2))$
$[abc] = p(2 - 2) - p(2 + 4) + p(-1 - 2)$
$[abc] = p(0) - p(6) + p(-3) = -9p$
આપેલ છે કે $-5 \leq [abc] \leq 15$,તેથી $[abc] = -9p$ મૂકતા:
$-5 \leq -9p \leq 15$
$-9$ વડે ભાગતા અને અસમતાની નિશાની બદલતા:
$\frac{15}{-9} \leq p \leq \frac{-5}{-9}$
$\frac{-5}{3} \leq p \leq \frac{5}{9}$
આમ,$p \in \left[\frac{-5}{3}, \frac{5}{9}\right]$.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $M$ પર દુભાગે છે.
$M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $M = \left(\frac{3+7}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (5, 3, 4)$.
$M$ એ $BD$ નું પણ મધ્યબિંદુ હોવાથી,ધારો કે $D = (x, y, z)$. તેથી $\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}, \frac{z+6}{2}\right) = (5, 3, 4)$.
$x, y, z$ માટે ઉકેલતા: $x+1=10 \Rightarrow x=9$; $y+4=6 \Rightarrow y=2$; $z+6=8 \Rightarrow z=2$. આમ,$D = (9, 2, 2)$.
સદિશ $\vec{DC} = (7-9, 4-2, 5-2) = (-2, 2, 3)$. દિશા ગુણોત્તર $a_1 = -2, b_1 = 2, c_1 = 3$ છે.
સદિશ $\vec{DB} = (1-9, 4-2, 6-2) = (-8, 2, 4)$. દિશા ગુણોત્તર $a_2 = -8, b_2 = 2, c_2 = 4$ છે.
$\vec{DC}$ અને $\vec{DB}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = \frac{|(-2)(-8) + (2)(2) + (3)(4)|}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 3^2} \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|16 + 4 + 12|}{\sqrt{4+4+9} \sqrt{64+4+16}} = \frac{32}{\sqrt{17} \sqrt{84}} = \frac{32}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{21}} = \frac{16}{\sqrt{357}}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{16}{\sqrt{357}}\right)$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P_1 = 2a+3b-c, P_2 = a-2b+3c, P_3 = 3a+\lambda b-2c$ અને $P_4 = a-6b+6c$ છે.
સદિશો $\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}$ અને $\vec{P_1P_4}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
$\vec{P_1P_2} = -a-5b+4c$
$\vec{P_1P_3} = a+(\lambda-3)b-c$
$\vec{P_1P_4} = -a-9b+7c$
સમતલીયતા માટેની શરત $\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & \lambda-3 & -1 \\ -1 & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $-1(7(\lambda-3) - 9) + 5(7-1) + 4(-9 + (\lambda-3)) = 0$.
$-1(7\lambda - 21 - 9) + 5(6) + 4(\lambda - 12) = 0$.
$-7\lambda + 30 + 30 + 4\lambda - 48 = 0$.
$-3\lambda + 12 = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
સદિશ $4\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.
તેનું માન $\sqrt{4^2 + (-8)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9$ છે.
દિક્કોસાઇન $\frac{4}{9}, \frac{-8}{9}, \frac{1}{9}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $a+2b+c=0$ $(i)$ અને $11bc+6ca-14ab=0$ (ii) છે.
$(i)$ પરથી,$b = \frac{-(a+c)}{2}$.
આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$11\left(\frac{-(a+c)}{2}\right)c + 6ac - 14a\left(\frac{-(a+c)}{2}\right) = 0$
$\Rightarrow -\frac{11}{2}ac - \frac{11}{2}c^2 + 6ac + 7a^2 + 7ac = 0$
$2$ વડે ગુણતા: $-11ac - 11c^2 + 12ac + 14a^2 + 14ac = 0$
$\Rightarrow 14a^2 + 15ac - 11c^2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(7a+11c)(2a-c) = 0$.
કિસ્સો $1$: $2a = c \Rightarrow a = 1, c = 2$. તો $b = \frac{-(1+2)}{2} = -1.5$. અપૂર્ણાંક ટાળવા માટે,$a=2, c=4, b=-3$ લો. દિકગુણોત્તરો: $(2, -3, 4)$.
કિસ્સો $2$: $7a = -11c \Rightarrow a = -11, c = 7$. તો $b = \frac{-(-11+7)}{2} = 2$. દિકગુણોત્તરો: $(-11, 2, 7)$.
ધારો કે દિકગુણોત્તરો $\vec{n_1} = (2, -3, 4)$ અને $\vec{n_2} = (-11, 2, 7)$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(-11) + (-3)(2) + (4)(7) = -22 - 6 + 28 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) રેખાઓના સમીકરણો $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{b}_2$ છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{a}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b}_2 = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ ગણો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = 3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{59}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \left| \frac{(\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k})}{\sqrt{59}} \right| = \frac{12}{\sqrt{59}}$.