TS EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $m$ છોકરાઓ અને $m$ છોકરીઓને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે,તે $x = (m+1)! m!$ છે.
$m$ છોકરાઓ અને $m$ છોકરીઓને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી તેઓ એકાંતરે બેસે,તે $y = m! \times m! \times 2$ છે.
$m$ છોકરાઓ અને $m$ છોકરીઓને એક ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી તેઓ એકાંતરે બેસે,તે $z = (m-1)! m!$ છે.
આમ,ગુણોત્તર:
$x: y: z = (m+1)! m! : 2(m! m!) : (m-1)! m!$
$(m-1)! m!$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x: y: z = (m+1)m : 2m : 1$.

(C) '$REPETITION$' શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $R, E, P, E, T, I, T, I, O, N$. ભિન્ન અક્ષરો $R, E, P, T, I, O, N$ ($7$ ભિન્ન અક્ષરો) છે. પુનરાવર્તિત અક્ષરો $E, T, I$ છે (દરેક બે વાર આવે છે).
આપણે $4$ અક્ષરોના ક્રમચયો બનાવવાના છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય: $7$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $4$ પસંદ કરીને ગોઠવતા: ${}^{7}C_{4} \times 4! = 35 \times 24 = 840$.
(ii) $2$ અક્ષરો સમાન (એક જોડી) અને $2$ ભિન્ન હોય: $3$ જોડીમાંથી $1$ જોડી અને બાકીના $6$ અક્ષરોમાંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરીને ગોઠવતા: ${}^{3}C_{1} \times {}^{6}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 15 \times 12 = 540$.
(iii) $2$ જોડી હોય: $3$ જોડીમાંથી $2$ જોડી પસંદ કરીને ગોઠવતા: ${}^{3}C_{2} \times \frac{4!}{2! \times 2!} = 3 \times 6 = 18$.
કુલ ક્રમચયો $= 840 + 540 + 18 = 1398$.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) વિદ્યાર્થીએ કુલ $13$ પ્રશ્નોમાંથી $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની શરત છે.
કિસ્સો $I$: પ્રથમ $5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{4} \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $II$: પ્રથમ $5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{5} \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$.
કુલ વિકલ્પોની સંખ્યા $= 140 + 56 = 196$.

(C) આપણે $2$ ભિન્ન સ્વરો અને $2$ ભિન્ન વ્યંજનો સાથે $4$-અક્ષરનો શબ્દ બનાવવો છે,જ્યાં પુનરાવર્તનની છૂટ છે.
ધારો કે $V$ એ $5$ સ્વરોનો સમૂહ છે અને $C$ એ $21$ વ્યંજનોનો સમૂહ છે.
કિસ્સો $1$: આપણે $1$ સ્વર અને $1$ વ્યંજન પસંદ કરીએ છીએ,અને દરેકનું એકવાર પુનરાવર્તન થાય છે.
$1$ સ્વર અને $1$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{1} \times \binom{21}{1} = 5 \times 21 = 105$ છે.
આ $4$ અક્ષરોની ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ $= 105 \times 6 = 630$.
કિસ્સો $2$: આપણે $2$ ભિન્ન સ્વરો અને $2$ ભિન્ન વ્યંજનો પસંદ કરીએ છીએ.
$2$ સ્વરો અને $2$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{2} \times \binom{21}{2} = 10 \times 210 = 2100$ છે.
આ $4$ ભિન્ન અક્ષરોની ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ $= 2100 \times 24 = 50400$.
કુલ ક્રમચયો $= 630 + 50400 = 51030$.
$51030 = 729 \times 70 = 3^6 \times 70$.

(B) આ પ્રશ્ન સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 3$ ના અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા જેવો છે,જ્યાં $x_i \ge 0$ છે.
સ્ટાર્સ અને બાર્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,રીતોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 3$ (સમાન દડા) અને $r = 7$ (અલગ પાત્રો).
રીતોની સંખ્યા = $\binom{7+3-1}{7-1} = \binom{9}{6}$.
$\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.

(C) $(i).$ $n$ વસ્તુઓને $k$ પાત્રોમાં એવી રીતે મૂકવાની રીતો કે જેથી કોઈ પાત્ર ખાલી ન રહે તે $x_1 + x_2 + \ldots + x_k = n$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા છે,જે ${}^{n-1}C_{k-1}$ છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(ii).$ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને $k$ ધન પૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે લખવાની રીતોની સંખ્યા $x_1 + x_2 + \ldots + x_k = n$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા જેટલી છે,જે ${}^{n-1}C_{k-1}$ છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(iii).$ આ વિધાન ખોટું છે.
$(iv).$ પાસ્કલના નિયમ મુજબ,${}^nC_k = {}^{n-1}C_k + {}^{n-1}C_{k-1}$. તેથી ${}^nC_k - {}^{n-1}C_k = {}^{n-1}C_{k-1}$ સાચું છે.
આમ,$(iii)$ સિવાયના બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) આપેલ સંખ્યા $n = (210)^2(360)(143)$ છે.
પ્રથમ,આપણે $n$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધીએ:
$n = (2 \times 3 \times 5 \times 7)^2 \times (2^3 \times 3^2 \times 5) \times (11 \times 13)$
$n = (2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2) \times (2^3 \times 3^2 \times 5) \times (11 \times 13)$
$n = 2^5 \times 3^4 \times 5^3 \times 7^2 \times 11^1 \times 13^1$
$n$ ના કુલ અવયવોની સંખ્યા દરેક અવિભાજ્ય અવયવના (ઘાત + $1$) ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
કુલ અવયવો $= (5+1)(4+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)$
કુલ અવયવો $= 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 1440$
તુચ્છ અવયવો $1$ અને $n$ પોતે છે.
તેથી,બિન-તુચ્છ અવયવોની સંખ્યા $1440 - 2 = 1438$ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = r(n-r+1) = nr - r^2 + r$ છે.
$r=1$ થી $n$ સુધીનો સરવાળો લેતા:
$S_n = \sum_{r=1}^n (nr - r^2 + r) = (n+1) \sum_{r=1}^n r - \sum_{r=1}^n r^2$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [ (n+1) - \frac{2n+1}{3} ] = \frac{n(n+1)}{2} [ \frac{3n+3-2n-1}{3} ] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
આને $\alpha n(n+1)(n+2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{6}$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો નીચે મુજબ છે:
$S_n = 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
આ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા આપણને મળે છે:
$S_n = \frac{2n^3+3n^2+n}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}$
કારણ કે $n \in \mathbb{N}$,$n \ge 1$,તેથી $\frac{n^2}{2} + \frac{n}{6} > 0$.
આમ,$S_n = \frac{n^3}{3} + (\text{ધન પદો}) > \frac{n^3}{3}$.
આપેલ અસમતા $S_n > x$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $x = \frac{n^3}{3}$.

(D) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(3-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણ માટે,$n=10$,$a=3$,અને $b=-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}$ છે.
છઠ્ઠું પદ $(T_6)$ એ $r=5$ ને અનુરૂપ છે:
$T_6 = {}^{10}C_5 (3)^{10-5} \left(-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}\right)^5$.
$T_6 = -{}^{10}C_5 (3)^5 \left(\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}\right)^{5/2}$.
જેમ કે $\sqrt{2}$ અસંમેય છે,તેથી $\left(\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}\right)$ નો કોઈપણ અપૂર્ણાંક ઘાત અસંમેય રહેશે.
આમ,$T_6$ એ ઋણ અસંમેય સંખ્યા છે.

(C) $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^6C_r \left(\frac{3}{2}\right)^{6-r} \left(-\frac{1}{3}\right)^r x^{12-3r}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$12-3r = 0 \implies r = 4$.
તેથી $k = r+1 = 5$.
હવે,$x = \frac{2}{3}$ માટે $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^5$ માં સૌથી મોટું પદ શોધતા,$r=2$ મળે છે.
$T_3 = {}^5C_2 \left(\frac{3}{2} x^2\right)^3 \left(-\frac{1}{3x}\right)^2 = 10 \cdot \frac{27}{8} x^6 \cdot \frac{1}{9x^2} = \frac{20}{27}$.

(A) $\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^8$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{8}C_{r} (x^2)^{8-r} (x^{-1})^r = {}^{8}C_{r} x^{16-3r}$ છે.
$x^4$ ના સહગુણક માટે,$16-3r = 4$ લેતા,$3r = 12$,તેથી $r = 4$ મળે. સહગુણક ${}^{8}C_{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ છે.
$x$ ના સહગુણક માટે,$16-3r = 1$ લેતા,$3r = 15$,તેથી $r = 5$ મળે. સહગુણક ${}^{8}C_{5} = {}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
આપણે $56$ અને $70$ ની વચ્ચે આવતી $4$ ની પૂર્ણાંક ગુણક સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
$4$ ના ગુણકો $60, 64, 68$ છે.
આમ,$p$ ના આવા $3$ મૂલ્યો મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $(2+\sqrt{3})^5 = I + f$,જ્યાં $I$ એ પૂર્ણાંક છે અને $0 < f < 1$.
$(2-\sqrt{3})^5 = f'$ ધ્યાનમાં લો.
$0 < 2-\sqrt{3} < 1$ હોવાથી,$0 < (2-\sqrt{3})^5 < 1$ થાય,તેથી $0 < f' < 1$.
હવે,સરવાળો $S = (2+\sqrt{3})^5 + (2-\sqrt{3})^5$ ધ્યાનમાં લો.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$S = 2 \times [^5C_0 2^5 + ^5C_2 2^3 (\sqrt{3})^2 + ^5C_4 2^1 (\sqrt{3})^4]$.
$S = 2 \times [32 + 10 \times 8 \times 3 + 5 \times 2 \times 9] = 2 \times [32 + 240 + 90] = 2 \times 362 = 724$.
$I + f + f' = 724$ અને $0 < f + f' < 2$ હોવાથી,$f + f'$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
$0 < f < 1$ અને $0 < f' < 1$ આપેલ હોવાથી,$f + f'$ ની એકમાત્ર શક્ય કિંમત $1$ છે.
તેથી,$I + 1 = 724$,જેનો અર્થ છે કે $I = 723$.

(C) $\left(2^{1/3} + 3^{-1/3}\right)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = { }^n C_r 2^{(n-r)/3} 3^{-r/3}$ છે.
શરૂઆતથી $7$ મું પદ $T_7 = { }^n C_6 2^{(n-6)/3} 3^{-2}$ છે.
અંતથી $7$ મું પદ એ શરૂઆતથી $(n-5)$ મું પદ છે,જે $T_{n-5} = { }^n C_6 2^2 3^{(6-n)/3}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{1}{6}$ છે:
$\frac{{ }^n C_6 2^{(n-6)/3} 3^{-2}}{{ }^n C_6 2^2 3^{(6-n)/3}} = \frac{1}{6}$
$6^{(n-12)/3} = 6^{-1}$
$\frac{n-12}{3} = -1 \Rightarrow n = 9$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ વિસ્તરણ: $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$.
પગલું $1$: $x=1$ મૂકતા:
$(1+1+1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \implies 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \quad (i)$
પગલું $2$: $x=-1$ મૂકતા:
$(1-1+1)^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \implies 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \quad (ii)$
પગલું $3$: $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$3^n + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots) \implies a_0 + a_2 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n + 1)$. તેથી,$A \rightarrow III$.
પગલું $4$: $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$3^n - 1 = 2(a_1 + a_3 + a_5 + \ldots) \implies a_1 + a_3 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n - 1)$. તેથી,$B \rightarrow IV$.
પગલું $5$: વિસ્તરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 2n a_{2n} x^{2n-1}$.
$x=1$ મૂકતા:
$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n} \implies n \cdot 3^n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$. તેથી,$C \rightarrow II$.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|x| < \frac{4}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{(4-3 x)^{\frac{1}{2}}} = (4-3 x)^{-\frac{1}{2}} = 4^{-\frac{1}{2}} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!} u^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u = -\frac{3x}{4}$ અને $n = -\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left[ 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3x}{4}\right) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2} \left(-\frac{3x}{4}\right)^2 + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{3x}{8} + \frac{3}{8} \cdot \frac{9x^2}{16} + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{3x}{8} + \frac{27x^2}{128} + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} + \frac{3x}{16} + \frac{27x^2}{256} + \dots$

(C) $|x |< 1$ માટે $(1+x)^n$ નું વિસ્તરણ $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = \frac{7}{5}$ અને $x = \frac{5}{7}$ આપેલ છે.
$t_1 = 1$
$t_2 = nx = \frac{7}{5} \times \frac{5}{7} = 1$
$t_3 = \frac{n(n-1)}{2!}x^2 = \frac{\frac{7}{5}(\frac{2}{5})}{2} \times (\frac{5}{7})^2 = \frac{7}{25} \times \frac{25}{49} = \frac{1}{7}$
$t_4 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 = \frac{\frac{7}{5}(\frac{2}{5})(-\frac{3}{5})}{6} \times (\frac{5}{7})^3 = \frac{-\frac{42}{125}}{6} \times \frac{125}{343} = -\frac{7}{343} = -\frac{1}{49}$
તેથી $t_4$ એ પ્રથમ ઋણ પદ છે,$k=4$.
સરવાળો $t_1+t_2+t_3+t_4 = 1 + 1 + \frac{1}{7} - \frac{1}{49} = 2 + \frac{7-1}{49} = 2 + \frac{6}{49} = \frac{98+6}{49} = \frac{104}{49}$.

(A) આપણી પાસે છે,$\frac{x}{x+1} = x(1+x)^{-1}$.
જો $|x| < 1$ હોય,તો $(1+x)^{-1}$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1-x+x^2-x^3+\dots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$ થાય.
તેથી,$\frac{x}{x+1} = x \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{n+1}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ એ $|x| < 1$ માટે $(1+x)^{-1}$ નું પ્રમાણિત વિસ્તરણ છે,જે પણ સાચું છે.
વિધાન એ કારણ પરથી સીધું તારવી શકાય છે,તેથી $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) આપેલ છે કે $(2+a)^{50}$ ના વિસ્તરણમાં $17^{\text{th}}$ અને $18^{\text{th}}$ પદ સમાન છે.
$(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{n}C_{r} x^{n-r} y^{r}$ છે.
$T_{17} = T_{18}$ માટે:
$^{50}C_{16} (2)^{34} (a)^{16} = ^{50}C_{17} (2)^{33} (a)^{17}$
બંને બાજુને $^{50}C_{16} (2)^{33} (a)^{16}$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{^{50}C_{17}}{^{50}C_{16}} \times a$
ગુણધર્મ $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{50-17+1}{17} \times a = \frac{34}{17} \times a = 2a$
તેથી,$a = 1$.
હવે,$(a+x)^{-2} = (1+x)^{-2}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{35}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
$(1+x)^{-n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ નો સહગુણક $(-1)^r (r+1)$ છે.
$r=35$ માટે,સહગુણક $(-1)^{35} (35+1) = -36$ થાય.

(C) આપણી પાસે છે,$\frac{x^4-12x^2+7}{(x^2+1)^3} = (x^4-12x^2+7)(1+x^2)^{-3}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^{-n} = 1 - nu + \frac{n(n+1)}{2!}u^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}u^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x^2$ અને $n = 3$:
$(1+x^2)^{-3} = 1 - 3x^2 + 6x^4 - 10x^6 + \dots$
હવે,$(x^4 - 12x^2 + 7)$ સાથે ગુણાકાર કરતા:
$(x^4 - 12x^2 + 7)(1 - 3x^2 + 6x^4 - 10x^6 + \dots)$
$x^6$ ધરાવતા પદો:
$x^4 \times (-3x^2) = -3x^6$
$-12x^2 \times (6x^4) = -72x^6$
$7 \times (-10x^6) = -70x^6$
સહગુણકોનો સરવાળો: $-3 - 72 - 70 = -145$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે,$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 18^{\circ} = \sqrt{1 - \sin^2 18^{\circ}}$
$= \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2}$
$= \sqrt{1 - \frac{5+1-2\sqrt{5}}{16}}$
$= \sqrt{\frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16}}$
$= \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}}$
$= \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$
$= \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt{5})}}{4} = \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે બે લઘુકોણ $x$ અને $y$ છે જ્યાં $x > y$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં બે લઘુકોણનો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે: $x - y = 60^{\circ}$ અને $x + y = 90^{\circ}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x = 150^{\circ} \implies x = 75^{\circ}$.
તેથી,$y = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$.
ધારો કે $BD$ એ કાટખૂણો બનાવતા શિરોબિંદુ $B$ માંથી કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે. $\triangle ABD$ માં,$\angle ADB = 90^{\circ}$ અને $\angle BAD = y = 15^{\circ}$. તેથી,$\tan(15^{\circ}) = \frac{BD}{AD} \implies AD = BD \cot(15^{\circ})$.
$\triangle BDC$ માં,$\angle BDC = 90^{\circ}$ અને $\angle BCD = x = 75^{\circ}$. તેથી,$\tan(75^{\circ}) = \frac{BD}{CD} \implies CD = BD \cot(75^{\circ})$.
કર્ણની લંબાઈ $AC = AD + CD = BD(\cot(15^{\circ}) + \cot(75^{\circ}))$.
$\cot(15^{\circ}) = 2 + \sqrt{3}$ અને $\cot(75^{\circ}) = 2 - \sqrt{3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AC = BD(2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}) = 4BD$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{AC}{BD} = 4: 1$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1) \ 3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$2) \ \frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A}$ $\Rightarrow 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$ $\Rightarrow \frac{3}{2} \sin 2A = \sin 2B$
$(1)$ પરથી:
$3(1 - \sin^2 A) + 2(1 - \sin^2 B) = 4$
$5 - 3 \sin^2 A - 2 \sin^2 B = 4$
$3 \sin^2 A + 2 \sin^2 B = 1$
$3 \sin^2 A = 1 - 2 \sin^2 B = \cos 2B$
$\cos(A + 2B) = \cos A \cos 2B - \sin A \sin 2B$ ધ્યાનમાં લો.
$\cos 2B = 3 \sin^2 A$ અને $\sin 2B = \frac{3}{2} \sin 2A = 3 \sin A \cos A$ મૂકતા:
$\cos(A + 2B) = \cos A (3 \sin^2 A) - \sin A (3 \sin A \cos A)$
$\cos(A + 2B) = 3 \sin^2 A \cos A - 3 \sin^2 A \cos A = 0$
$A, B$ લઘુકોણ હોવાથી,$A + 2B = 90^{\circ}$ થાય.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)$ છે.
નિત્યસમ $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{3\pi}{8}$ અને $\cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8}$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)$
$E = \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2 \frac{3 \pi}{8}\right)$
$E = \sin^2 \frac{\pi}{8} \sin^2 \frac{3 \pi}{8}$
કારણ કે $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$,તેથી $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$ થાય.
$E = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} = \left(\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}\right)^2$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ મળે.
$E = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{8}$.

(C) આપેલ છે કે $A+B+C=270^{\circ}$.
આપણે $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C + 4 \sin A \sin B \sin C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos 2B + \cos 2C = 2 \cos(B+C) \cos(B-C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos 2A + 2 \cos(B+C) \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$.
અહીં $B+C = 270^{\circ} - A$ હોવાથી,$\cos(B+C) = \cos(270^{\circ} - A) = -\sin A$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= \cos 2A + 2(-\sin A) \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= (1 - 2 \sin^2 A) - 2 \sin A \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1 - 2 \sin A [\sin A + \cos(B-C)] + 4 \sin A \sin B \sin C$.
$\sin A = \sin(270^{\circ} - (B+C)) = -\cos(B+C)$ હોવાથી:
$= 1 - 2 \sin A [-\cos(B+C) + \cos(B-C)] + 4 \sin A \sin B \sin C$.
નિત્યસમ $-\cos(B+C) + \cos(B-C) = 2 \sin B \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 - 2 \sin A (2 \sin B \sin C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1 - 4 \sin A \sin B \sin C + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1$.

(C) આપેલ છે કે $0 < A < B < \frac{\pi}{4}$,$\cos (A+B) = \frac{11}{61}$ અને $\sin (A-B) = \frac{24}{25}$.
$\sin (A+B) = \frac{60}{61}$ અને $\cos (A-B) = \frac{7}{25}$ મળે છે.
$\sin 2A = \sin ((A+B) + (A-B)) = \sin (A+B) \cos (A-B) + \cos (A+B) \sin (A-B) = \frac{684}{1525}$.
$\sin 2B = \sin ((A+B) - (A-B)) = \sin (A+B) \cos (A-B) - \cos (A+B) \sin (A-B) = \frac{156}{1525}$.
તેથી,$\sin 2A + \sin 2B = \frac{684}{1525} + \frac{156}{1525} = \frac{168}{305}$.

(D) આપેલ છે,$A+B+C=\frac{\pi}{3}$.
આપણે $S = \sin \left(\frac{\pi-6A}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi-6B}{6}\right)+\sin C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્ર $\sin X + \sin Y = 2 \sin \left(\frac{X+Y}{2}\right) \cos \left(\frac{X-Y}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2 \sin \left(\frac{\frac{\pi-6A}{6} + \frac{\pi-6B}{6}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{\pi-6A}{6} - \frac{\pi-6B}{6}}{2}\right) + \sin C$
$S = 2 \sin \left(\frac{2\pi - 6(A+B)}{12}\right) \cos \left(\frac{6(B-A)}{12}\right) + \sin C$
$A+B = \frac{\pi}{3} - C$ હોવાથી,$6(A+B) = 2\pi - 6C$.
$S = 2 \sin \left(\frac{2\pi - (2\pi - 6C)}{12}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \sin C$
$S = 2 \sin \left(\frac{6C}{12}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$S = 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \cos \frac{C}{2} \right]$
$C = \frac{\pi}{3} - (A+B)$ હોવાથી,$\frac{C}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{A+B}{2}$.
$S = 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{6} - \frac{A+B}{2}\right) \right]$
$\cos X + \cos Y = 2 \cos \left(\frac{X+Y}{2}\right) \cos \left(\frac{X-Y}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 4 \sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{\pi - 6A}{12}\right) \cos \left(\frac{\pi - 6B}{12}\right)$.

(D) ધારો કે $E = \left(2 \cos^2 18^{\circ} - \sin 18^{\circ}\right) \left(\cos \theta + 3 \sqrt{2} \cos \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) + 3\right)$.
પ્રથમ,અચળ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $2 \cos^2 18^{\circ} - \sin 18^{\circ} = (1 + \cos 36^{\circ}) - \sin 18^{\circ}$.
$\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ અને $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 + \frac{\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = 1 + \frac{2}{4} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
હવે,બીજા પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\cos \theta + 3 \sqrt{2} \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4}\right) + 3$.
$= \cos \theta + 3 \sqrt{2} \left(\cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3$.
$= \cos \theta + 3 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3 = 4 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3$.
આમ,$E = \frac{3}{2} (4 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3)$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
અહીં,$4 \cos \theta - 3 \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ છે.
તેથી,$E$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{3}{2} (5 + 3) = \frac{3}{2} \times 8 = 12$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ છે.
$\sin C \le 1$ હોવાથી,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B)$.
$\cos(A - B) \le 1$ હોવાથી,સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\cos(A - B) = 1$ અને $\sin C = 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $A = B$ અને $C = 90^{\circ}$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$2A + 90^{\circ} = 180^{\circ}$,તેથી $A = 45^{\circ}$ અને $B = 45^{\circ}$.
આમ,$\sin A + \sin B + \sin C = \sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} + \sin 90^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{2} + 1$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sin^2(3^{\circ}) + \sin^2(6^{\circ}) + \dots + \sin^2(87^{\circ}) + \sin^2(90^{\circ})$ છે.
અહીં ખૂણાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે: $3^{\circ}, 6^{\circ}, \dots, 90^{\circ}$,જેમાં કુલ $30$ પદો છે.
નિત્યસમ $\sin^2(\theta) + \sin^2(90^{\circ} - \theta) = 1$ નો ઉપયોગ કરીને જોડી બનાવતા:
જોડીઓ $(3^{\circ}, 87^{\circ}), (6^{\circ}, 84^{\circ}), \dots, (42^{\circ}, 48^{\circ})$ મળે છે.
$\sin^2(90^{\circ})$ સિવાય કુલ $29$ પદો છે,તેથી $14$ જોડીઓ અને એક મધ્યમ પદ $\sin^2(45^{\circ})$ મળે.
સરવાળો $= 14 \times 1 + \sin^2(45^{\circ}) + \sin^2(90^{\circ}) = 14 + 0.5 + 1 = 15.5 = \frac{31}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x - \sqrt{3} \cos x + 4 \sin 2x - 4 \sqrt{3} \cos 2x + \sin 3x - \sqrt{3} \cos 3x = 0$.
$2$ વડે ભાગતા:
$2[\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x] + 8[\frac{1}{2} \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x] + 2[\frac{1}{2} \sin 3x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3x] = 0$.
જેનું સાદું રૂપ:
$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) + 8 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 2 \sin(3x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$2$ વડે ભાગતા:
$\sin(x - \frac{\pi}{3}) + \sin(3x - \frac{\pi}{3}) + 4 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$\sin C + \sin D$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) \cos(x) + 4 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$2 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) [\cos x + 2] = 0$.
$\cos x + 2 \neq 0$ હોવાથી,$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
તેથી,$2x - \frac{\pi}{3} = n \pi$,એટલે કે $x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.

(D) આપેલ છે કે $y = \log_e \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)$.
$e^y = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{e^y - 1}{e^y + 1}$.
$e^y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} - 1}{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} + 1} = \frac{(1 + \tan \frac{x}{2}) - (1 - \tan \frac{x}{2})}{(1 + \tan \frac{x}{2}) + (1 - \tan \frac{x}{2})} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{2} = \tan \frac{x}{2}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin A - 5 \sin 2A + \sin 3A = \cos A - 5 \cos 2A + \cos 3A$
પદોને ગોઠવતા: $(\sin A + \sin 3A) - 5 \sin 2A = (\cos A + \cos 3A) - 5 \cos 2A$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin 2A \cos A - 5 \sin 2A = 2 \cos 2A \cos A - 5 \cos 2A$
અવયવ પાડતા: $2 \cos A (\sin 2A - \cos 2A) - 5 (\sin 2A - \cos 2A) = 0$
$(\sin 2A - \cos 2A)(2 \cos A - 5) = 0$
કારણ કે $2 \cos A - 5 = 0$ એ $\cos A = 2.5$ સૂચવે છે,જે અશક્ય છે,તેથી $\sin 2A - \cos 2A = 0$ હોવું જોઈએ
$\sin 2A = \cos 2A \Rightarrow \tan 2A = 1$
અંતરાલ $(0, \pi)$ માટે,$2A \in (0, 2\pi)$
$\tan 2A = 1$ એ $2A = \frac{\pi}{4}$ અને $2A = \frac{5\pi}{4}$ પર મળે છે
તેથી,$A = \frac{\pi}{8}$ અને $A = \frac{5\pi}{8}$
આમ,આપેલ અંતરાલમાં $2$ ઉકેલો છે.

(C) આપેલ છે $\cot \theta + \tan \theta = 3$.
$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 3 \Rightarrow \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{3}$.
$1 - \cos^2 \theta - \alpha \cos \theta = 0 \Rightarrow \sin^2 \theta = \alpha \cos \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sin^4 \theta = \alpha^2 \cos^2 \theta = \alpha^2(1 - \sin^2 \theta)$.
$\sin^3 \theta = \frac{\alpha}{3}$ હોવાથી,$\sin^2 \theta = (\frac{\alpha}{3})^{2/3}$.
કિંમત મૂકતા,$9 \alpha^2(6 - \alpha^2) = 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે $S = \cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} - \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} - \cos \frac{6\pi}{7}$.
ગુણધર્મ $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\cos \frac{6\pi}{7} = -\cos \frac{\pi}{7}$,$\cos \frac{5\pi}{7} = -\cos \frac{2\pi}{7}$,અને $\cos \frac{4\pi}{7} = -\cos \frac{3\pi}{7}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$S = \cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} - (-\cos \frac{3\pi}{7}) + (-\cos \frac{2\pi}{7}) - (-\cos \frac{\pi}{7})$
$S = \cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7}$
$S = 2 \cos \frac{\pi}{7} - 2 \cos \frac{2\pi}{7} + 2 \cos \frac{3\pi}{7}$.
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} - 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{\sin \frac{2\pi}{7} - (\sin \frac{3\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}) + (\sin \frac{4\pi}{7} - \sin \frac{2\pi}{7})}{\sin \frac{\pi}{7}}$
$S = \frac{\sin \frac{2\pi}{7} - \sin \frac{3\pi}{7} + \sin \frac{\pi}{7} + \sin \frac{4\pi}{7} - \sin \frac{2\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}$
કારણ કે $\sin \frac{4\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{4\pi}{7}) = \sin \frac{3\pi}{7}$,તેથી પદો ઉડી જશે:
$S = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} = 1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ અને $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
પ્રથમ પદ માટે: $\sinh[\log(2+\sqrt{5})] = \frac{e^{\log(2+\sqrt{5})} - e^{-\log(2+\sqrt{5})}}{2} = \frac{(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2+\sqrt{5}}}{2}$.
કારણ કે $\frac{1}{2+\sqrt{5}} = \sqrt{5}-2$,તેથી $\frac{(2+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
બીજા પદ માટે: $\cosh[\log(2+\sqrt{3})] = \frac{e^{\log(2+\sqrt{3})} + e^{-\log(2+\sqrt{3})}}{2} = \frac{(2+\sqrt{3}) + \frac{1}{2+\sqrt{3}}}{2}$.
કારણ કે $\frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$,તેથી $\frac{(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $2 + 2 = 4$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x - 2 \tan x + 2 = 0$
$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} - 2 \tan x + 2 = 0$
$(1 + \tan^2 x)$ વડે ગુણતા:
$(1 - \tan^2 x) - 2 \tan x(1 + \tan^2 x) + 2(1 + \tan^2 x) = 0$
$1 - \tan^2 x - 2 \tan x - 2 \tan^3 x + 2 + 2 \tan^2 x = 0$
$2 \tan^3 x - \tan^2 x + 2 \tan x - 3 = 0$
ધારો કે $\tan x = t$,તો $2t^3 - t^2 + 2t - 3 = 0$.
અવલોકન કરતા,$t = 1$ એ બીજ છે.
$(t - 1)(2t^2 + t + 3) = 0$ મળે.
અહીં $2t^2 + t + 3$ માટે વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલ માત્ર $t = 1$ છે.
તેથી,$\tan x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$.
વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \frac{\pi}{4}, n \in Z$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \cosh 2x + 10 \sinh 2x = 5$
ઘાતાંકીય વ્યાખ્યાઓ $\cosh 2x = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ અને $\sinh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}$ મૂકતા:
$2 \left(\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}\right) + 10 \left(\frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}\right) = 5$
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 5(e^{2x} - e^{-2x}) = 5$
$6e^{2x} - 4e^{-2x} = 5$
$e^{2x}$ વડે ગુણતા:
$6(e^{2x})^2 - 5e^{2x} - 4 = 0$
ધારો કે $u = e^{2x}$,તો $6u^2 - 5u - 4 = 0$
અવયવ પાડતા: $(2u + 1)(3u - 4) = 0$
$u = e^{2x} > 0$ હોવાથી,$3u - 4 = 0 \Rightarrow u = \frac{4}{3}$
$e^{2x} = \frac{4}{3} \Rightarrow 2x = \log \left(\frac{4}{3}\right)$
$x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{4}{3}\right)$

(C) આપેલ છે કે,$A+B+C=\pi$.
આપણે $\sin A - \sin B + \sin C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$ અને $\sin B = 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$A+C = \pi - B$ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,તેથી $\sin \left(\frac{A+C}{2}\right) = \cos \frac{B}{2}$.
આમ,$\sin A + \sin C = 2 \cos \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
હવે,$\sin A - \sin B + \sin C = 2 \cos \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$.
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - \sin \frac{B}{2} \right]$.
$\frac{B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2}$ હોવાથી,$\sin \frac{B}{2} = \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$.
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \right]$.
$\cos X - \cos Y = 2 \sin \left(\frac{X+Y}{2}\right) \sin \left(\frac{Y-X}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} \right] = 4 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.

(B) આપેલ છે: $\sin x + \sin y = p$ $(i)$ અને $\cos x + \cos y = q$ (ii).
$(i)$ અને (ii) નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2 = p^2 + q^2$
$2 + 2 \cos(x - y) = p^2 + q^2$ (iii).
હવે,$q^2 - p^2 = (\cos x + \cos y)^2 - (\sin x + \sin y)^2$
$= \cos 2x + \cos 2y + 2 \cos(x + y) = 2 \cos(x + y) [\cos(x - y) + 1]$.
(iii) પરથી,$\cos(x - y) + 1 = \frac{p^2 + q^2}{2}$.
તેથી,$q^2 - p^2 = 2 \cos(x + y) \cdot \frac{p^2 + q^2}{2} = \cos(x + y)(p^2 + q^2)$.
તેથી,$\sec(x + y) = \frac{p^2 + q^2}{q^2 - p^2}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $7 \cos x + 5 \sin x = 2k + 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cos x + b \sin x$ પદાવલિનો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 7$ અને $b = 5$ છે,તેથી વિસ્તાર $[-\sqrt{7^2 + 5^2}, \sqrt{7^2 + 5^2}] = [-\sqrt{74}, \sqrt{74}]$ થાય.
કારણ કે $\sqrt{64} < \sqrt{74} < \sqrt{81}$,તેથી $8 < \sqrt{74} < 9$,જે આશરે $8.6$ છે.
સમીકરણનો ઉકેલ મળે તે માટે,$-\sqrt{74} \leq 2k + 1 \leq \sqrt{74}$ હોવું જોઈએ.
આશરે કિંમત મૂકતા: $-8.6 \leq 2k + 1 \leq 8.6$.
બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા: $-9.6 \leq 2k \leq 7.6$.
$2$ વડે ભાગતા: $-4.8 \leq k \leq 3.8$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k$ ની શક્ય કિંમતો $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
આમ,$k$ ના કુલ $8$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો મળે છે.

(B) આપેલ અસમતા $\sqrt{2} \sin^2 x + (3\sqrt{2} + 1) \sin x + 3 > 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(\sqrt{2} \sin x + 1)(\sin x + 3) > 0$.
કારણ કે $\sin x + 3 > 0$ દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે સત્ય છે,તેથી $\sqrt{2} \sin x + 1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\sin x > -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ અસમતા $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2n\pi, \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\right)$ માટે સાચી છે.
બીજી અસમતા $x^2 - 7x + 10 < 0$ માટે,અવયવ $(x - 2)(x - 5) < 0$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $x \in (2, 5)$ છે.
તેથી,બંનેનો છેદગણ $x \in \left(2, \frac{5\pi}{4}\right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $O(h, k)$ એ $\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે,જ્યાં શિરોબિંદુઓ $A(-2, 1)$,$B(0, -2)$,અને $C(1, 2)$ છે.
પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$OA = OB = OC$ થાય.
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (h+2)^2 + (k-1)^2 = h^2 + (k+2)^2$
$4h - 6k + 1 = 0$ --- $(i)$
$OB^2 = OC^2 \Rightarrow h^2 + (k+2)^2 = (h-1)^2 + (k-2)^2$
$2h + 8k - 1 = 0$ --- $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,આપણને $h = -\frac{1}{22}$ અને $k = \frac{3}{22}$ મળે છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ: $4x - y - 2 = 0$
પરિકેન્દ્ર $O(-\frac{1}{22}, \frac{3}{22})$ થી રેખા $BC$ નું લંબ અંતર:
$d = \frac{|4(-\frac{1}{22}) - \frac{3}{22} - 2|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{51}{22\sqrt{17}} = \frac{3\sqrt{17}}{22}$

(C) અને $b$ અંતઃખંડો ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ મળે છે.
જ્યારે અક્ષોને ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ઉગમબિંદુ સ્થિર રહે છે,તેથી રેખા $L$ નું ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $d$ બદલાતું નથી.
નવી યામ પદ્ધતિમાં,રેખા $L$ ના અંતઃખંડો $p$ અને $q$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ છે.
આ નવી રેખાનું ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $d = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{d^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$.
આમ,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2\sqrt{3}xy - y^2 = 2a^2$ છે.
અક્ષોને $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવતા,રૂપાંતરણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos 30^{\circ} - Y \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}X - Y}{2}$
$y = X \sin 30^{\circ} + Y \cos 30^{\circ} = \frac{X + \sqrt{3}Y}{2}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{\sqrt{3}X - Y}{2}\right)^2 + 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}X - Y}{2}\right)\left(\frac{X + \sqrt{3}Y}{2}\right) - \left(\frac{X + \sqrt{3}Y}{2}\right)^2 = 2a^2$
$4$ વડે ગુણતા:
$(\sqrt{3}X - Y)^2 + 2\sqrt{3}(\sqrt{3}X^2 + 2XY - \sqrt{3}Y^2) - (X + \sqrt{3}Y)^2 = 8a^2$
સાદુરૂપ આપતા:
$8X^2 - 8Y^2 = 8a^2$
$X^2 - Y^2 = a^2$

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(3, -1)$,અને $C(4, 0)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{13}$
$AC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{13}$
$AB = AC$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
પરિકેન્દ્ર $O$ એ $A$ માંથી $BC$ પરના વેધ પર આવેલું છે. $BC$ નો ઢાળ $1$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $-1$ છે. વેધનું સમીકરણ $y = -x + 3$ છે.
$AC$ ના લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y = 1.5x - 2.75$ છે.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા,$O = \left(\frac{23}{10}, \frac{7}{10}\right)$ મળે છે.
અંતર $OG = \sqrt{(\frac{8}{3} - \frac{23}{10})^2 + (\frac{1}{3} - \frac{7}{10})^2} = \frac{11}{30} \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' + h$ અને $y = y' + k$ છે. આપેલ સમીકરણ $x^2 + 5xy + 2y^2 + 5x + 6y + 7 = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(x' + h)^2 + 5(x' + h)(y' + k) + 2(y' + k)^2 + 5(x' + h) + 6(y' + k) + 7 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા,$x'$ અને $y'$ ના પ્રથમ ઘાતના પદો:
$(2h + 5k + 5)x' + (5h + 4k + 6)y'$.
સમીકરણ પ્રથમ ક્રમના પદોથી મુક્ત હોવા માટે,આ સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2h + 5k + 5 = 0$ $(i)$
$5h + 4k + 6 = 0$ (ii)
$(i)$ ને $4$ વડે અને (ii) ને $5$ વડે ગુણતા:
$8h + 20k + 20 = 0$
$25h + 20k + 30 = 0$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદ કરતા: $17h + 10 = 0 \implies h = -\frac{10}{17}$.
$h$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $2(-\frac{10}{17}) + 5k + 5 = 0 \implies -\frac{20}{17} + 5k + 5 = 0 \implies 5k = -\frac{65}{17} \implies k = -\frac{13}{17}$.
આમ,$h = -\frac{10}{17}$ અને $k = -\frac{13}{17}$.

(D) ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકોનું છેદબિંદુ એ પરિકેન્દ્ર $O$ છે. સમીકરણો $x-y+5=0$ અને $x+2y=0$ ઉકેલતા,આપણને $x = -10/3$ અને $y = 5/3$ મળે છે. આમ,પરિકેન્દ્ર $O(-10/3, 5/3)$ છે.
$B$ એ રેખા $x-y+5=0$ ની સાપેક્ષે $A(1,-2)$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$\frac{x_B-1}{1} = \frac{y_B+2}{-1} = -2 \frac{1-(-2)+5}{1^2+(-1)^2} = -8$ મળે. આથી $x_B = -7$ અને $y_B = 6$ મળે. તેથી $B = (-7, 6)$.
$C$ એ રેખા $x+2y=0$ ની સાપેક્ષે $A(1,-2)$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$\frac{x_C-1}{1} = \frac{y_C+2}{2} = -2 \frac{1+2(-2)}{1^2+2^2} = 6/5$ મળે. આથી $x_C = 11/5$ અને $y_C = 2/5$ મળે. તેથી $C = (11/5, 2/5)$.
$BC$ નો લંબદ્વિભાજક પરિકેન્દ્ર $O(-10/3, 5/3)$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી પસાર થાય છે. મધ્યબિંદુ $M = (-12/5, 16/5)$ છે.
$O$ અને $M$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = 23/14$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 5/3 = 23/14(x + 10/3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $23x - 14y + 100 = 0$ થાય છે.

(A) રેખાઓ $3x - 4y + 1 = 0$ અને $5x + y - 1 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(3x - 4y + 1) + \lambda(5x + y - 1) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(3 + 5\lambda)x + (-4 + \lambda)y + (1 - \lambda) = 0$ મળે.
રેખા અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડો બનાવે છે,તેથી $3 + 5\lambda = -4 + \lambda$ $\Rightarrow 4\lambda = -7$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{7}{4}$.
સમીકરણમાં $\lambda = -\frac{7}{4}$ મૂકતા,$23x + 23y = 11$ મળે.
અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં: $\frac{x}{11/23} + \frac{y}{11/23} = 1$.
અંતઃખંડો $a = \frac{11}{23}$ અને $b = \frac{11}{23}$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \frac{11}{23} \times \frac{11}{23} = \frac{121}{1058}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y^{\cos x}=x^{\sin y}$
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\cos x \log y = \sin y \log x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\cos x \log y) = \frac{d}{dx}(\sin y \log x)$
$(\cos x) \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + (\log y) \cdot (-\sin x) = (\sin y) \cdot \frac{1}{x} + (\log x) \cdot (\cos y) \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{\cos x}{y} - \cos y \log x \right) = \frac{\sin y}{x} + \sin x \log y$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{\cos x - y \cos y \log x}{y} \right) = \frac{\sin y + x \sin x \log y}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin y + x \sin x \log y)}{x(\cos x - y \cos y \log x)}$

(A) ધારો કે $u = \cosh^{-1} x$. તેનું વિકલન $\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ થાય.
ધારો કે $v = \log x$. તેનું વિકલન $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$ થાય.
આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1/\sqrt{x^2-1}}{1/x} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ શોધવાનું છે.
$x=5$ આગળ,$\frac{du}{dv} = \frac{5}{\sqrt{5^2-1}} = \frac{5}{\sqrt{25-1}} = \frac{5}{\sqrt{24}}$.

(D) આપેલ છે કે $x = t + \frac{1}{t}$ અને $y = t - \frac{1}{t}$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2-1}{t^2}$
$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{t^2} = \frac{t^2+1}{t^2}$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t^2+1)/t^2}{(t^2-1)/t^2} = \frac{t^2+1}{t^2-1}$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા $\frac{d^2y}{dx^2}$ મળે:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2+1}{t^2-1}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(t^2-1)(2t) - (t^2+1)(2t)}{(t^2-1)^2} = \frac{2t^3 - 2t - 2t^3 - 2t}{(t^2-1)^2} = \frac{-4t}{(t^2-1)^2}$
અહીં $\frac{dx}{dt} = \frac{t^2-1}{t^2}$ હોવાથી,$\frac{dt}{dx} = \frac{t^2}{t^2-1}$ થાય.
તેથી,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-4t}{(t^2-1)^2} \cdot \frac{t^2}{t^2-1} = \frac{-4t^3}{(t^2-1)^3}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \cosh^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
વિકલનના સૂત્ર $\frac{d}{dx}(\cosh^{-1}(u)) = \frac{1}{\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{du}{dx}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2 - 1}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x)^2 - (1+x)^2}{(1+x)^2}}} \cdot \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{\sqrt{1 - 2x + x^2 - (1 + 2x + x^2)}} \cdot \frac{-1 - x - 1 + x}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{\sqrt{-4x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{2\sqrt{-x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{-x}}$.

(C) આપેલ છે કે $h(x)=(f(x))^2+(g(x))^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(x)=2f(x)f^{\prime}(x)+2g(x)g^{\prime}(x)$.
કારણ કે $f^{\prime}(x)=g(x)$,તેથી $g^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)$ થાય.
આપેલ છે કે $f^{\prime \prime}(x)=-f(x)$,તેથી $g^{\prime}(x)=-f(x)$ થાય.
આ કિંમતોને $h^{\prime}(x)$ માં મૂકતા:
$h^{\prime}(x)=2f(x)g(x)+2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x)-2f(x)g(x) = 0$.
કારણ કે $h^{\prime}(x)=0$,તેથી $h(x)$ એ અચળ વિધેય છે.
આપેલ છે કે $h(1)=2$,તેથી તમામ $x$ માટે $h(x)=2$ થાય.
તેથી,$h(2)=2$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=e^{-\sqrt{x}}+e^{-\frac{1}{x^2}}$ છે.
પ્રથમ,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધીએ:
$f^{\prime}(x) = e^{-\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(-\sqrt{x}) + e^{-\frac{1}{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(-x^{-2})$
$f^{\prime}(x) = e^{-\sqrt{x}} \left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) + e^{-\frac{1}{x^2}} \left(\frac{2}{x^3}\right)$
હવે,$f^{\prime \prime}(x)$ શોધવા માટે $f^{\prime}(x)$ નું ફરીથી વિકલન કરીએ:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} \left[ -\frac{1}{2} x^{-1/2} e^{-\sqrt{x}} \right] + \frac{d}{dx} \left[ 2 x^{-3} e^{-\frac{1}{x^2}} \right]$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ પદ માટે: $-\frac{1}{2} \left[ e^{-\sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2} x^{-3/2}) + x^{-1/2} \cdot e^{-\sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2} x^{-1/2}) \right] = \frac{1}{4} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{x} (1 + \frac{1}{\sqrt{x}})$
બીજા પદ માટે: $2 \left[ e^{-\frac{1}{x^2}} \cdot (-3x^{-4}) + x^{-3} \cdot e^{-\frac{1}{x^2}} \cdot (2x^{-3}) \right] = 2 \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^4} (-3 + \frac{2}{x^2}) = -2 \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^4} (3 - \frac{2}{x^2})$
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{4}$ અને $\beta = -2$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dx}{dy} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1}$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left(\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1}\right) = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-2} \cdot \frac{d}{dy} \left(\frac{dy}{dx}\right)$.
કારણ કે $\frac{d}{dy} \left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dx}{dy} = \frac{d^2y}{dx^2} \cdot \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,તેથી:
$\frac{d^2x}{dy^2} = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} \cdot \left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1} = -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^3}$.
બિંદુ $P$ આગળ $\frac{dy}{dx} = 4$ અને $\frac{d^2y}{dx^2} = -3$ આપેલ છે:
$\left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)_P = -\frac{-3}{(4)^3} = \frac{3}{64}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $ax^2+2hxy+by^2=3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2ax + 2h(y + x\frac{dy}{dx}) + 2by\frac{dy}{dx} = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $ax + hy + hx\frac{dy}{dx} + by\frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{ax+hy}{hx+by}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(hx+by)(a+h\frac{dy}{dx}) - (ax+hy)(h+b\frac{dy}{dx})}{(hx+by)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{ax+hy}{hx+by}$ ની કિંમત મૂકતા અને મૂળ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=3$ નો ઉપયોગ કરીને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3(h^2-ab)}{(hx+by)^3}$.

(B) આપેલ છે કે $\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(x+y)+(x-y)-2 \sqrt{x^2-y^2}=c^2$.
$2x - c^2 = 2 \sqrt{x^2-y^2}$.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $4x^2 + c^4 - 4xc^2 = 4(x^2-y^2) = 4x^2 - 4y^2$.
$c^4 - 4xc^2 = -4y^2$,જેનો અર્થ છે $4y^2 = 4xc^2 - c^4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $8y \frac{dy}{dx} = 4c^2$,તેથી $2y \frac{dy}{dx} = c^2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $2(\frac{dy}{dx})^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
આમ,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(\frac{dy}{dx})^2}{y}$.
કારણ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{c^2}{2y}$,તેથી $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(c^2/2y)^2}{y} = -\frac{c^4}{4y^3}$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) . $y = |x| + |x - 2|$ માટે,$x = 2$ આગળ વિધેયને ખૂણો (corner point) છે. તેથી,$\frac{dy}{dx}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી. એટલે કે,$A \rightarrow IV$.
$B$. $f(x) = |\cos 2x|$ માટે,$x$ એ $\frac{\pi}{4}$ થી સહેજ મોટું હોય ત્યારે,$\cos 2x$ ઋણ છે,તેથી $f(x) = -\cos 2x$. પછી $f'(x) = 2 \sin 2x$. આમ,$f'(\frac{\pi}{4} +) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$. એટલે કે,$B \rightarrow I$.
$C$. $f(x) = \sin(\pi[x])$ માટે,$x$ એ $1$ થી સહેજ નાનું હોય ત્યારે,$[x] = 0$. તેથી $f(x) = \sin(0) = 0$. આમ,$f'(1-) = 0$. એટલે કે,$C \rightarrow II$.
$D$. $f(x) = \log|x - 1|$ માટે,$f'(x) = \frac{1}{x - 1}$. પછી $f'(\frac{1}{2}) = \frac{1}{1/2 - 1} = \frac{1}{-1/2} = -2$. એટલે કે,$D \rightarrow III$.
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-I, C-II, D-III$ છે.

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = t^2 - 7t + 7$ અને $y = t^2 - 4t - 10$ છે.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ $t$ ની કિંમત શોધવા માટે,$x = 1$ અને $y = 2$ લઈએ.
$x = 1$ માટે: $t^2 - 7t + 7 = 1 \Rightarrow t^2 - 7t + 6 = 0 \Rightarrow (t - 6)(t - 1) = 0$,તેથી $t = 1$ અથવા $t = 6$.
$y = 2$ માટે: $t^2 - 4t - 10 = 2 \Rightarrow t^2 - 4t - 12 = 0 \Rightarrow (t - 6)(t + 2) = 0$,તેથી $t = 6$ અથવા $t = -2$.
સામાન્ય કિંમત $t = 6$ છે.
હવે,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 2t - 7$ અને $\frac{dy}{dt} = 2t - 4$.
$t = 6$ આગળ:
$\frac{dx}{dt} = 2(6) - 7 = 12 - 7 = 5$.
$\frac{dy}{dt} = 2(6) - 4 = 12 - 4 = 8$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{8}{5}$ થાય.

(C) આપેલ વક્રો $xy=1$ $(i)$ અને $x^2+8y=0$ (ii) છે.
$(i)$ પરથી,$y = \frac{1}{x}$. (ii) માં મૂકતા: $x^2 + 8(\frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ માટે,$y = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. છેદબિંદુ $(-2, -\frac{1}{2})$ છે.
$(i)$ નું વિકલન કરતા: $y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$. $(-2, -\frac{1}{2})$ આગળ,$m_1 = -\frac{-1/2}{-2} = -\frac{1}{4}$.
(ii) નું વિકલન કરતા: $2x + 8 \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4}$. $(-2, -\frac{1}{2})$ આગળ,$m_2 = -\frac{-2}{4} = \frac{1}{2}$.
વક્રો વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો સ્પર્શક $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = |\frac{-1/4 - 1/2}{1 + (-1/4)(1/2)}| = |\frac{-3/4}{1 - 1/8}| = |\frac{-3/4}{7/8}| = |-\frac{3}{4} \times \frac{8}{7}| = |-\frac{6}{7}| = \frac{6}{7}$.

(B) વક્ર $y = g(x)$ ના કોઈ પણ બિંદુ $x$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $g'(x)$ દ્વારા મળે છે.
$g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિકલિત હોવાથી,$g'(x) = f(x) = ax^2 + bx + c$ થાય.
$x = 1$ અને $x = 2$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ સમાન છે,તેથી $g'(1) = g'(2)$ થાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $f(1) = f(2)$.
કિંમતો મૂકતા,$a(1)^2 + b(1) + c = a(2)^2 + b(2) + c$.
$a + b + c = 4a + 2b + c$.
$3a + b = 0 \implies b = -3a$.
આપણને સમીકરણ $2a + 3b + 6c = 0$ આપેલું છે.
આ સમીકરણમાં $b = -3a$ મૂકતા: $2a + 3(-3a) + 6c = 0$.
$2a - 9a + 6c = 0 \implies -7a + 6c = 0 \implies 6c = 7a$.
આમ,$a : b : c = a : -3a : \frac{7a}{6}$.
$6$ વડે ગુણતા,આપણને $6 : -18 : 7$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{6} = \frac{b}{-18} = \frac{c}{7}$.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના બિંદુ $(1,2)$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $f^{\prime}(1)$ છે.
વક્રના બિંદુ $(1,2)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(1)}$ છે.
આપેલ છે કે અભિલંબ ધન $X$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ માપનો ખૂણો બનાવે છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$.
અભિલંબના ઢાળ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $-\frac{1}{f^{\prime}(1)} = -1$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{1}{f^{\prime}(1)} = 1$ મળે છે.
તેથી,$f^{\prime}(1) = 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પર્શકની લંબાઈ (subtangent) $|y_1 \frac{dx}{dy}|$ દ્વારા અને અભિલંબની લંબાઈ (subnormal) $|y_1 \frac{dy}{dx}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકની લંબાઈ અને અભિલંબની લંબાઈ સમાન છે,તેથી:
$|y_1 \frac{dx}{dy}| = |y_1 \frac{dy}{dx}|$
જો $y_1 \neq 0$ હોય,તો આપણને મળે:
$|\frac{dx}{dy}| = |\frac{dy}{dx}|$
કારણ કે $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$,આ સૂચવે છે કે:
$|\frac{1}{dy/dx}| = |\frac{dy}{dx}|$
$|\frac{dy}{dx}|^2 = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \pm 1$.
સ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$L = |y_1 \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2}|$
કારણ કે $\frac{dy}{dx} = \pm 1$,તેથી $\frac{dx}{dy} = \pm 1$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = |y_1 \sqrt{1 + (\pm 1)^2}| = |y_1 \sqrt{1 + 1}| = \sqrt{2}|y_1|$.
આમ,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{2}|y_1|$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ વક્ર $y=3x^2-5x+7$ પર છે.
બિંદુ $P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 6x-5$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $P(h, k)$ પર,ઢાળ $6h-5$ છે.
જીવા બિંદુઓ $(1, y_1)$ અને $(2, y_2)$ ને જોડે છે.
$x=1$ માટે,$y_1 = 3(1)^2 - 5(1) + 7 = 5$.
$x=2$ માટે,$y_2 = 3(2)^2 - 5(2) + 7 = 12 - 10 + 7 = 9$.
જીવાનો ઢાળ $\frac{y_2-y_1}{2-1} = \frac{9-5}{1} = 4$ છે.
સ્પર્શક જીવાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન છે:
$6h-5 = 4$.
$6h = 9$.
$h = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
આમ,બિંદુ $P$ નો $x$-યામ $\frac{3}{2}$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $x=a(\theta+\sin \theta)$ અને $y=a(1-\cos \theta)$ છે.
સ્પર્શક ધન $X$-અક્ષ સાથે $\psi = \frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવતો હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = a(1+\cos \theta)$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ અને $1+\cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})}{2 \cos^2(\frac{\theta}{2})} = \tan(\frac{\theta}{2}) = 1$.
તેથી,$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
હવે,$x$ અને $y$ ના સમીકરણોમાં $\theta = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$
$y = a(1 - \cos(\frac{\pi}{2})) = a(1 - 0) = a$.
બિંદુના યામ $\left(a(\frac{\pi}{2}+1), a\right)$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $I \propto \tan \theta$,તેથી $I = k \tan \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે.
સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{dI}{I} = \frac{k \sec^2 \theta \, d\theta}{k \tan \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta$ દ્વારા મળે છે.
$\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ અને $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dI}{I} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ મળે.
અહીં $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન અને $\theta$ માં ટકાવારી ભૂલ $\frac{d\theta}{\theta} \times 100 = 1\%$ છે,તેથી $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ રેડિયન.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{2}{\sin(2 \times 45^{\circ})} \times d\theta \times 100 = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} \times 100 = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \%$.
આમ,પ્રવાહમાં ટકાવારી ભૂલ $\frac{\pi}{2} \%$ છે.

(A) ધારો કે $y = \tan ^{-1} x$.
તેથી $y + \Delta y = \tan ^{-1}(x + \Delta x)$.
અહીં $x = 1$ અને $\Delta x = -0.001$ લેતા.
વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$ મળે.
વિકલિતના અંદાજ મુજબ $dy = \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{-0.001}{1 + 1^2} = \frac{-0.001}{2} = -0.0005$.
તેથી $\tan ^{-1}(0.999) = \tan ^{-1}(1) + dy = \frac{\pi}{4} - 0.0005$.
$\frac{\pi}{4} \approx 0.7854$ હોવાથી,$\tan ^{-1}(0.999) \approx 0.7854 - 0.0005 = 0.7849$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $0.7852$ છે.

(D) આપેલ છે: $\frac{d(2r)}{dt} = 4 \text{ cm/s} \implies \frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/s}$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$. ઘનફળ અચળ હોવાથી, $\frac{dV}{dt} = 0$.
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh \frac{dr}{dt} \right) = 0$.
$r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh(2) = 0 \implies r \frac{dh}{dt} + 4h = 0 \implies \frac{dh}{dt} = -\frac{4h}{r}$.
જ્યારે $r = 4 \text{ cm}$ અને $h = 12 \text{ cm}$ હોય, ત્યારે $\frac{dh}{dt} = -\frac{4(12)}{4} = -12 \text{ cm/s}$.
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $S = 2 \pi rh$.
$\frac{dS}{dt} = 2 \pi \left( r \frac{dh}{dt} + h \frac{dr}{dt} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dS}{dt} = 2 \pi \left( 4(-12) + 12(2) \right) = 2 \pi (-48 + 24) = 2 \pi (-24) = -48 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.

(A) આપેલ છે કે,બાજુ $l$ માં ભૂલ $dl = 0.01$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ નું $l$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dl} = \frac{\sqrt{3}}{2} l$ મળે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં અંદાજિત ફેરફાર $dA = \frac{\sqrt{3}}{2} l \cdot dl$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dA}{A} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dA}{A} \times 100 = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} l \cdot dl}{\frac{\sqrt{3}}{4} l^2} \times 100$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{dA}{A} \times 100 = \frac{2 \cdot dl}{l} \times 100$ મળે છે.
$dl = 0.01$ આપેલ હોવાથી,પ્રતિશત ભૂલ $\frac{2 \times 0.01}{l} \times 100 = \frac{2}{l}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે વિદ્યુત પ્રવાહ $I \propto \tan \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે છે.
$I = k \tan \theta$ વડે ભાગતા,$\frac{dI}{I} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ મળે.
અહીં $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન છે,અને $\theta$ વાંચવામાં $1 \%$ ની ભૂલ છે,તેથી $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ રેડિયન.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{dI}{I} = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{400} = \frac{\pi}{200}$.
ટકાવારી ભૂલ શોધવા માટે: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{\pi}{200} \times 100 = \frac{\pi}{2} \%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = e^{x-1} + \log x + x - 2$. કારણ કે $\log x$ એ $x > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,આપણે પ્રદેશ $(0, \infty)$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
આપણે વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = e^{x-1} + \frac{1}{x} + 1$.
બધા $x > 0$ માટે,$e^{x-1} > 0$,$\frac{1}{x} > 0$,અને $1 > 0$ છે. તેથી,બધા $x \in (0, \infty)$ માટે $f'(x) > 0$ છે.
કારણ કે $f'(x) > 0$ છે,વિધેય $f(x)$ તેના પ્રદેશ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
જેમ $x \to 0^+$,$f(x) \to -\infty$,અને જેમ $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,સમીકરણ $f(x) = 0$ માટે બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(C) $f(x)=2x^3-3x^2-x+1=0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમનો ઉપયોગ કરીને દરેક અંતરાલના અંતબિંદુઓ પર $f(x)$ ની નિશાની તપાસીએ.
$f(-2) = 2(-8) - 3(4) - (-2) + 1 = -16 - 12 + 2 + 1 = -25$
$f(-1) = 2(-1) - 3(1) - (-1) + 1 = -2 - 3 + 1 + 1 = -3$
$f(-2)$ અને $f(-1)$ સમાન નિશાની ધરાવતા હોવાથી,$I_4=[-2,-1]$ માં કોઈ બીજ નથી.
$f(0) = 1$
$f(-1)=-3$ અને $f(0)=1$ હોવાથી,$I_1=[-1,0]$ માં એક બીજ છે.
$f(1) = 2 - 3 - 1 + 1 = -1$
$f(0)=1$ અને $f(1)=-1$ હોવાથી,$I_2=[0,1]$ માં એક બીજ છે.
$f(2) = 2(8) - 3(4) - 2 + 1 = 16 - 12 - 2 + 1 = 3$
$f(1)=-1$ અને $f(2)=3$ હોવાથી,$I_3=[1,2]$ માં એક બીજ છે.
આમ,$f(x)=0$ ને $I_4$ સિવાયના દરેક અંતરાલમાં બીજ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = (x - 3)^{2018}(x - 2)^{2019}$ છે.
ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા,$f'(x) = 2018(x - 3)^{2017}(x - 2)^{2019} + 2019(x - 3)^{2018}(x - 2)^{2018}$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા,$f'(x) = (x - 3)^{2017}(x - 2)^{2018} \{2018(x - 2) + 2019(x - 3)\}$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા,$2018x - 4036 + 2019x - 6057 = 4037x - 10093$.
આમ,$f'(x) = (x - 3)^{2017}(x - 2)^{2018} \cdot 4037 \left( x - \frac{10093}{4037} \right)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 3, 2, \frac{10093}{4037}$ છે.
$x = \alpha = \frac{10093}{4037}$ ની આસપાસ $f'(x)$ ના ચિહ્નની તપાસ કરતા,વિકલન ધનમાંથી ઋણ થાય છે,જે સ્થાનિક મહત્તમ દર્શાવે છે.
$x = \alpha = \frac{10093}{4037}$ પર,$x - 3 = -\frac{2018}{4037}$ અને $x - 2 = \frac{2019}{4037}$ મળે છે.
તેથી,$f(\alpha) = \left( -\frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019} = \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019}$.
તેથી,$2\alpha + 3f(\alpha) = 2 \left( \frac{10093}{4037} \right) + 3 \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019} = \frac{20186}{4037} + 3 \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019}$.

(A) ધારો કે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 2$ છે. ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $2x$ અને પહોળાઈ $y$ છે જે અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = R^2 = 2^2 = 4$.
તેથી,$x = \sqrt{4 - y^2}$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2x) \times y = 2y \sqrt{4 - y^2}$ છે.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = 4y^2(4 - y^2) = 16y^2 - 4y^4$ ને મહત્તમ કરીએ.
ધારો કે $f(y) = 16y^2 - 4y^4$. $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(y) = 32y - 16y^3$ મળે છે.
$f'(y) = 0$ લેતા,આપણને $16y(2 - y^2) = 0$ મળે છે.
$y > 0$ હોવાથી,$y^2 = 2$,તેથી $y = \sqrt{2}$.
ત્યારબાદ $x = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$.
લંબચોરસની બાજુઓ $2x = 2\sqrt{2}$ અને $y = \sqrt{2}$ છે.
આમ,નાની બાજુની લંબાઈ $\sqrt{2}$ છે.

(B) ધારો કે નક્કર નળાકારની ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{V}{\pi r^2}$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $S = 2\pi rh + 2\pi r^2$ છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા: $S = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + 2\pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2\pi r^2$.
ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ માટે,$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4\pi r$.
$\frac{dS}{dr} = 0$ લેતા,$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $V = 2\pi r^3$.
$V = \pi r^2 h$ ની કિંમત મૂકતા: $\pi r^2 h = 2\pi r^3$,જેનું સાદું રૂપ $h = 2r$ મળે છે.
$2r$ એ વ્યાસ હોવાથી,જ્યારે ઊંચાઈ વ્યાસ જેટલી હોય ત્યારે પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ થાય છે.

(C) વિકલનીય વિધેય $f$ માટે અંતિમ બિંદુ $c$ એ $f'(c) = 0$ નું પાલન કરે છે.
વિધાન $Y$ માટે: ધારો કે $g(x) = rf(x)$. તો $g'(x) = rf'(x)$. $x=c$ આગળ,$g'(c) = rf'(c) = r(0) = 0$. આમ,$c$ એ $rf$ નું અંતિમ બિંદુ છે.
વિધાન $M$ માટે: ધારો કે $h(x) = r + f(x)$. તો $h'(x) = f'(x)$. $x=c$ આગળ,$h'(c) = f'(c) = 0$. આમ,$c$ એ $r+f$ નું અંતિમ બિંદુ છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(A) આપેલ છે કે $\int \frac{\cos x+x}{1+\sin x} d x=f(x)+\int \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} d x+c_r$.
$f(x) = \int \left( \frac{\cos x+x}{1+\sin x} - \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} \right) d x$.
$1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ અને $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ.
નોંધો કે $\frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} = \frac{(3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})}{1+\sin x} = \frac{3 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{1+\sin x} = \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sin x + 1}{1+\sin x} = \frac{1+\cos x + \sin x}{1+\sin x} = \frac{\cos x}{1+\sin x} + 1$.
આ કિંમત મૂકતા,$f(x) = \int \left( \frac{\cos x+x}{1+\sin x} - (\frac{\cos x}{1+\sin x} + 1) \right) d x = \int (\frac{x}{1+\sin x} - 1) d x$.
$1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $f(x) = \frac{-2x}{1+\tan \frac{x}{2}}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધીએ:
$\int_0^3 (3x^2 - 4x + 2) dx = [x^3 - 2x^2 + 2x]_0^3$
$= (3^3 - 2(3^2) + 2(3)) - (0) = 27 - 18 + 6 = 15$.
આમ,$k = 15$.
હવે,આપણે સમીકરણ $3x^2 - 4x + 2 = \frac{3k}{5}$ ઉકેલીએ:
$3x^2 - 4x + 2 = \frac{3(15)}{5} = 9$.
$3x^2 - 4x - 7 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3x^2 - 7x + 3x - 7 = 0$
$x(3x - 7) + 1(3x - 7) = 0$
$(x + 1)(3x - 7) = 0$.
બીજ $x = -1$ અને $x = \frac{7}{3}$ મળે છે.
કારણ કે આપણે અંતરાલ $[0, 3]$ માં બીજ જોઈએ છે,તેથી સાચું બીજ $x = \frac{7}{3}$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,અંશને છેદ વડે ભાગાકાર કરો:
$2x^3 - 4x^2 - x - 3 = (2x)(x^2 - 2x - 3) + (5x - 3)$.
તેથી,સંકલ્ય નીચે મુજબ થશે:
$\frac{2x^3 - 4x^2 - x - 3}{x^2 - 2x - 3} = 2x + \frac{5x - 3}{(x+1)(x-3)}$.
હવે,$\frac{5x - 3}{(x+1)(x-3)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરો:
$\frac{5x - 3}{(x+1)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-3}$.
$5x - 3 = A(x-3) + B(x+1)$.
$x = -1$ લેતા,$-8 = A(-4) \implies A = 2$.
$x = 3$ લેતા,$12 = B(4) \implies B = 3$.
તેથી,સંકલન:
$I = \int (2x + \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-3}) dx = x^2 + 2 \log |x+1| + 3 \log |x-3| + c$.

(B) આપેલ છે,$\int e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) d x=-e^x \cot \frac{x}{2}+c$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = \frac{d}{dx} \left(-e^x \cot \frac{x}{2}\right)$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -\left[e^x \cot \frac{x}{2} + e^x \left(-\frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2}\right)\right]$.
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{1}{2 \sin^2(x/2)}\right]$.
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2) - 1}{2 \sin^2(x/2)}\right]$.
$2 \sin(x/2) \cos(x/2) = \sin x$ અને $2 \sin^2(x/2) = 1 - \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{\sin x - 1}{1 - \cos x}\right] = e^x \left(\frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ અને $\beta = 1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{2 \alpha \beta} = \frac{1^2 + 1^2}{2(1)(1)} = \frac{2}{2} = 1$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \sqrt{1+2 \cot x(\cot x+\operatorname{cosec} x)} \, dx$ છે.
નિત્યસમ $1+\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$ નો ઉપયોગ કરીને,વર્ગમૂળની અંદરના પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int \sqrt{1+2 \cot^2 x + 2 \operatorname{cosec} x \cot x} \, dx$.
$1+\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$ હોવાથી,$1 = \operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા:
$I = \int \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x + 2 \cot^2 x + 2 \operatorname{cosec} x \cot x} \, dx$
$I = \int \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x + \cot^2 x + 2 \operatorname{cosec} x \cot x} \, dx$
$I = \int \sqrt{(\operatorname{cosec} x + \cot x)^2} \, dx$
$I = \int (\operatorname{cosec} x + \cot x) \, dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \ln |\operatorname{cosec} x - \cot x| + \ln |\sin x| + c$
$I = \ln |(\operatorname{cosec} x - \cot x) \sin x| + c$
$I = \ln |1 - \cos x| + c$
નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \ln |2 \sin^2 \frac{x}{2}| + c = \ln 2 + 2 \ln |\sin \frac{x}{2}| + c$
અહીં $\ln 2$ અચળ હોવાથી,તેને $c$ માં સમાવી શકાય છે:
$I = 2 \ln |\sin \frac{x}{2}| + c$.

(D) ધારો કે $I = \int e^x \left( \frac{\sec^2 x + \tan x - \cot x}{\sin x} \right) dx$.
આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int e^x \left( \frac{\sec^2 x}{\sin x} + \frac{\tan x}{\sin x} - \frac{\cot x}{\sin x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \sec^2 x \operatorname{cosec} x + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
નિત્યસમ $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left( \operatorname{cosec} x(1 + \tan^2 x) + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
$I = \int e^x \left( \operatorname{cosec} x + \operatorname{cosec} x \tan^2 x + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
કારણ કે $\operatorname{cosec} x \tan^2 x = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \tan x$,તેથી પદ આ મુજબ બને છે:
$I = \int e^x \left( (\operatorname{cosec} x - \cot x \operatorname{cosec} x) + (\sec x + \sec x \tan x) \right) dx$
આ $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$f(x) = \operatorname{cosec} x + \sec x$ અને $f'(x) = -\operatorname{cosec} x \cot x + \sec x \tan x$ છે.
તેથી,$I = e^x(\operatorname{cosec} x + \sec x) + c$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{\sqrt{2} \, dx}{\cos x \sqrt{\sin 2x}}$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{\sin 2x} = \sqrt{2} \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x}$ મળે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sqrt{2} \, dx}{\cos x \cdot \sqrt{2} \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x}} = \int \frac{dx}{\cos x \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x}} = \int \frac{dx}{(\cos x)^{3/2} \sqrt{\sin x}}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x \, dx}{\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}} = \int \frac{\sec^2 x \, dx}{\sqrt{\tan x}}$.
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x \, dx$.
$I = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-1/2} \, du = 2u^{1/2} + c = 2 \sqrt{\tan x} + c$.
આમ,$f(x) = 2 \sqrt{\tan x}$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{\cos 2x}}{\sin x} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$.
તેથી,$I = \int \frac{\sqrt{1-\tan^2 x}}{\sec x \sin x} dx = \int \frac{\sqrt{1-\tan^2 x}}{\tan x} dx$.
ધારો કે $1-\tan^2 x = t^2$,તો $-2\tan x \sec^2 x dx = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{-t dt}{\tan x (1+\tan^2 x)} = \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}(2-t^2)}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$I = \int \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}(2-t^2)} = -\int \frac{t^2}{(1-t^2)(2-t^2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{t^2}{(1-t^2)(2-t^2)} = \frac{2}{t^2-2} - \frac{1}{t^2-1}$.
આમ,$I = -\int \left( \frac{2}{t^2-2} - \frac{1}{t^2-1} \right) dt = 2 \int \frac{1}{2-t^2} dt + \int \frac{1}{t^2-1} dt$.
પ્રમાણિત સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t} \right| + \frac{1}{2} \log \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + c$.
$t = \sqrt{1-\tan^2 x}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}+\sqrt{1-\tan^2 x}}{\sqrt{2}-\sqrt{1-\tan^2 x}} \right| - \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sqrt{1-\tan^2 x}}{1-\sqrt{1-\tan^2 x}} \right| + c$.

(D) આપણી પાસે છે,$I = \int \frac{x^2-1}{x^3 \sqrt{2 x^4-2 x^2+1}} dx$.
વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $x^4$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{x^2-1}{x^3 \cdot x^2 \sqrt{2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4}}} dx = \int \frac{x^2-1}{x^5 \sqrt{2 - 2x^{-2} + x^{-4}}} dx$.
$I = \int \frac{x^{-3} - x^{-5}}{\sqrt{2 - 2x^{-2} + x^{-4}}} dx$.
ધારો કે $t = \sqrt{2 - 2x^{-2} + x^{-4}}$.
તેથી $t^2 = 2 - 2x^{-2} + x^{-4}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2t \frac{dt}{dx} = 4x^{-3} - 4x^{-5} = 4(x^{-3} - x^{-5})$.
તેથી,$(x^{-3} - x^{-5}) dx = \frac{1}{2} t dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\frac{1}{2} t dt}{t} = \frac{1}{2} \int dt = \frac{1}{2} t + c$.
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4}} + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x$.
$x = a \tan^2 \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ મળે.
તેથી $\sqrt{\frac{x}{a+x}} = \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a(1+\tan^2 \theta)}} = \sqrt{\sin^2 \theta} = \sin \theta$.
માટે,$I = \int \theta \cdot 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta = 2a \int \theta \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \theta$ અને $dv = \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ લેતા,$du = d\theta$ અને $v = \frac{1}{2} \tan^2 \theta$ મળે.
$I = 2a \left[ \frac{1}{2} \theta \tan^2 \theta - \int \frac{1}{2} \tan^2 \theta d\theta \right] = a \theta \tan^2 \theta - a \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$.
$I = a \theta \tan^2 \theta - a (\tan \theta - \theta) + c = a \theta (\tan^2 \theta + 1) - a \tan \theta + c$.
અહીં $\tan^2 \theta = \frac{x}{a}$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ મળે.
$I = a \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} (\frac{x}{a} + 1) - a \sqrt{\frac{x}{a}} + c = (x+a) \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{(x+1) e^x}{x e^x(1+x e^x)} d x$.
ધારો કે $t = 1 + x e^x$.
તેથી $d t = (e^x + x e^x) d x = (1+x) e^x d x$.
વળી,$t = 1 + x e^x$ પરથી,આપણને $x e^x = t - 1$ મળે છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{d t}{(t-1) t}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(t-1) t} = \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$I = \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t} \right) d t = \log |t-1| - \log |t| + C = \log \left| \frac{t-1}{t} \right| + C$.
$t = 1 + x e^x$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^3+2x}{x^4+4} dx$.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int \frac{x^3}{x^4+4} dx + \int \frac{2x}{x^4+4} dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$u = x^4+4$ લો,તેથી $du = 4x^3 dx$,જેથી $\int \frac{x^3}{x^4+4} dx = \frac{1}{4} \log|x^4+4| + C_1$.
બીજા ભાગ માટે,$t = x^2$ લો,તેથી $dt = 2x dx$,જેથી $\int \frac{2x}{(x^2)^2+4} dx = \int \frac{dt}{t^2+2^2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{t}{2}) + C_2 = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) + C_2$.
આ બંનેને જોડતા,$I = \frac{1}{4} \log(x^4+4) + \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) + C$.
નોંધો કે $\frac{1}{4} \log(x^4+4) = \frac{1}{2} \log(\sqrt{x^4+4}) = \frac{1}{2} \log(\frac{\sqrt{x^4+4}}{2} \times 2) = \frac{1}{2} \log(\frac{\sqrt{x^4+4}}{2}) + \frac{1}{2} \log(2)$.
અચળાંક $\frac{1}{2} \log(2)$ ને $C$ માં સમાવી લેતા,આપણને $I = \frac{1}{2} \left[ \tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) + \log(\frac{\sqrt{x^4+4}}{2}) \right] + C$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(1+x) \sqrt{8+7x-x^2}}$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $8+7x-x^2 = (8-x)(1+x)$.
તેથી,$I = \int \frac{dx}{(1+x) \sqrt{(8-x)(1+x)}} = \int \frac{dx}{(1+x)^{3/2} \sqrt{8-x}} = \int \frac{dx}{(1+x)^2 \sqrt{\frac{8-x}{1+x}}}$.
ધારો કે $t^2 = \frac{8-x}{1+x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2t \frac{dt}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (8-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-8+x}{(1+x)^2} = \frac{-9}{(1+x)^2}$.
આમ,$\frac{dx}{(1+x)^2} = -\frac{2}{9} t \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t} \left(-\frac{2}{9} t \, dt\right) = -\frac{2}{9} \int dt = -\frac{2}{9} t + c$.
$t = \sqrt{\frac{8-x}{1+x}}$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{2}{9} \sqrt{\frac{8-x}{1+x}} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{3 \sin x + 5 \cos x + 4}{\sin x + \cos x + 2} dx$.
અંશને $A(\sin x + \cos x + 2) + B \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x + 2) + C$ તરીકે દર્શાવીએ.
$3 \sin x + 5 \cos x + 4 = A(\sin x + \cos x + 2) + B(\cos x - \sin x) + C$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A - B = 3$
$A + B = 5$
$2A + C = 4$
આને ઉકેલતા,આપણને $2A = 8 \Rightarrow A = 4$,$B = 1$,અને $C = 4 - 2(4) = -4$ મળે છે.
તેથી,$I = \int 4 dx + \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x + 2} dx - 4 \int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2}$.
$I = 4x + \log|\sin x + \cos x + 2| - 4 \int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2}$.
$\tan(x/2) = t$ આદેશ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$\int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2} = \int \frac{2 dt / (1+t^2)}{\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} + 2} = \int \frac{2 dt}{2t + 1 - t^2 + 2 + 2t^2} = \int \frac{2 dt}{t^2 + 2t + 3} = \int \frac{2 dt}{(t+1)^2 + 2}$.
$= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t+1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan(x/2) + 1}{\sqrt{2}}\right)$.
તેથી,$I = 4x + \log|\sin x + \cos x + 2| - 4\sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan(x/2) + 1}{\sqrt{2}}\right) + c$.

(C) $I = \int \frac{dx}{4 \sin x + 3 \cos x}$
ધારો કે $3 = r \cos \theta$ અને $4 = r \sin \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$r^2 = 3^2 + 4^2 = 25$,તેથી $r = 5$.
ભાગાકાર કરતા,$\tan \theta = \frac{4}{3}$,તેથી $\theta = \tan^{-1} \frac{4}{3}$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \frac{dx}{r \cos(x - \theta)} = \frac{1}{5} \int \sec(x - \theta) dx$.
સૂત્ર $\int \sec u du = \log |\sec u + \tan u| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{5} \log |\sec(x - \theta) + \tan(x - \theta)| + c$.
$\theta = \tan^{-1} \frac{4}{3}$ મૂકતા,$I = \frac{1}{5} \log |\sec(x - \tan^{-1} \frac{4}{3}) + \tan(x - \tan^{-1} \frac{4}{3})| + c$.

(C) સંકલન $I = \int (\log x)^2 dx$ મેળવવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનની રીતનો ઉપયોગ કરીશું: $\int u dv = uv - \int v du$.
ધારો કે $u = (\log x)^2$ અને $dv = dx$.
તેથી $du = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = x(\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2 \log x}{x} dx + c$
$I = x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx + c$
હવે,$\int \log x dx$ નું ફરીથી ખંડશઃ સંકલન કરતા (ધારો કે $u = \log x, dv = dx$):
$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - x$.
આ કિંમત $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x) + c$
$I = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + c$
$I = x(\log x)^2 - 2x(\log x - 1) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int (\log(\sin x) + x \cot x) dx$.
આપણે સંકલનને $I = \int \log(\sin x) dx + \int x \cot x dx$ તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ ભાગ $I_1 = \int \log(\sin x) dx$ ધ્યાનમાં લો. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(\sin x)$ અને $dv = dx$ લો.
તેથી $du = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x dx = \cot x dx$ અને $v = x$ મળે.
ખંડશઃ સંકલનના સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_1 = x \log(\sin x) - \int x \cot x dx$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = (x \log(\sin x) - \int x \cot x dx) + \int x \cot x dx + c$.
$I = x \log(\sin x) + c$.

(A) આપણી પાસે છે,$I = \int \frac{2 x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} d x$.
છેદમાં પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$x(x+3) = x^2+3x$ અને $(x+1)(x+2) = x^2+3x+2$.
તેથી,$I = \int \frac{2 x+3}{(x^2+3 x)(x^2+3 x+2)+1} d x$.
ધારો કે $t = x^2+3 x$,તો $dt = (2x+3) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{d t}{t(t+2)+1} = \int \frac{d t}{t^2+2 t+1} = \int \frac{d t}{(t+1)^2}$.
સંકલન કરતા,આપણને $I = -\frac{1}{t+1} + c$ મળે છે.
$t = x^2+3x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = -\frac{1}{x^2+3 x+1} + c$ મળે છે.
આને $-\frac{1}{p x^2+q x+r} + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p=1, q=3, r=1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{3 p-q}{r} = \frac{3(1)-3}{1} = \frac{0}{1} = 0$.

(B) ધારો કે $I = \int \sec^5 x \, dx = \int \sec^3 x \cdot \sec^2 x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \sec^3 x$ અને $dv = \sec^2 x \, dx$ લો. તેથી $du = 3 \sec^3 x \tan x \, dx$ અને $v = \tan x$.
$I = \sec^3 x \tan x - \int 3 \sec^3 x \tan^2 x \, dx$.
$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ હોવાથી:
$I = \sec^3 x \tan x - 3 \int \sec^3 x (\sec^2 x - 1) \, dx$.
$I = \sec^3 x \tan x - 3 \int \sec^5 x \, dx + 3 \int \sec^3 x \, dx$.
$4I = \sec^3 x \tan x + 3 \int \sec^3 x \, dx$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2} (\sec x \tan x + \ln |\sec x + \tan x|) + c_1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4I = \sec^3 x \tan x + \frac{3}{2} \sec x \tan x + \frac{3}{2} \ln |\sec x + \tan x| + C$.
$I = \frac{1}{4} \sec^3 x \tan x + \frac{3}{8} \sec x \tan x + \frac{3}{8} \ln |\sec x + \tan x| + c$.
$\sec^3 x = \sec x (1 + \tan^2 x)$ હોવાથી,આ પદને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$I = \frac{1}{4} \sec x \tan^3 x + \frac{5}{8} \sec x \tan x + \frac{3}{8} \ln |\sec x + \tan x| + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \operatorname{cosec}^5 x \, dx = \int \operatorname{cosec}^3 x \cdot \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \operatorname{cosec}^3 x$ અને $dv = \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ લો. તેથી $du = 3 \operatorname{cosec}^2 x (-\operatorname{cosec} x \cot x) \, dx$ અને $v = -\cot x$ મળે.
$I = \operatorname{cosec}^3 x(-\cot x) - \int (-\cot x) (-3 \operatorname{cosec}^3 x \cot x) \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \cot^2 x \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^3 x (\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^5 x \, dx + 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3I + 3I_1$,જ્યાં $I_1 = \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$.
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x + 3I_1$.
$I_1 = \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$ માટે,ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I_1 = -\operatorname{cosec} x \cot x - \int \operatorname{cosec} x(\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx = -\operatorname{cosec} x \cot x - I_1 + \log|\tan \frac{x}{2}|$
$2I_1 = -\operatorname{cosec} x \cot x + \log|\tan \frac{x}{2}|$.
$I_1$ ની કિંમત $4I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x + 3 \left( -\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{1}{2} \log|\tan \frac{x}{2}| \right)$
$I = -\frac{\operatorname{cosec}^3 x \cot x}{4} - \frac{3}{8} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{3}{8} \log|\tan \frac{x}{2}| + C$.

(D) આપેલ છે,$\int \frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} d x=\frac{\sqrt{5}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}+c$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{x^2+5} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{x^2+2} = \frac{1}{3} \left( \frac{5(x^2+2) - 2(x^2+5)}{(x^2+5)(x^2+2)} \right)$.
$= \frac{1}{3} \left( \frac{5x^2 + 10 - 2x^2 - 10}{(x^2+5)(x^2+2)} \right) = \frac{3x^2}{3(x^2+5)(x^2+2)} = \frac{x^2}{(x^2+5)(x^2+2)}$.
આને ડાબી બાજુ $\frac{2x^2}{(2x^2+\alpha)(x^2+5)}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2x^2}{(2x^2+\alpha)(x^2+5)} = \frac{x^2}{(x^2+5)(x^2+2)}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2(x^2+2) = 2x^2 + \alpha$,તેથી $2x^2 + 4 = 2x^2 + \alpha$.
આમ,$\alpha = 4$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx$.
$x = 2a \sin^2 \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 4a \sin \theta \cos \theta d\theta$ મળે.
સીમાઓ બદલાય છે: જ્યારે $x=0, \theta=0$; જ્યારે $x=2a, \theta=\frac{\pi}{2}$.
વળી,$\sqrt{2ax-x^2} = \sqrt{4a^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 2a \sin \theta \cos \theta$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^{\pi/2} (2a \sin^2 \theta)^2 (2a \sin \theta \cos \theta) (4a \sin \theta \cos \theta) d\theta$
$I = 32a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^6 \theta \cos^2 \theta d\theta$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = 32a^4 \cdot \frac{(5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (1)}{(8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi a^4}{8}$.
આપેલ છે કે $I = ka^4$,તેથી $k = \frac{5\pi}{8}$,એટલે કે $k : \pi = 5 : 8$.