TS EAMCET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ દળ: $m_1 = 50 \ g$,$m_2 = 100 \ g$,$m_3 = 150 \ g$.
શિરોબિંદુઓના યામ:
$A = (0, 0)$
$B = (1, 0)$
તે સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$C$ નો $x$-યામ $AB$ નું મધ્યબિંદુ થશે,એટલે કે $x_3 = 0.5 \ m$.
$C$ નો $y$-યામ $h = \sqrt{1^2 - 0.5^2} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ m$ છે.
તેથી,$C = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(1) + 150(0.5)}{50 + 100 + 150} = \frac{100 + 75}{300} = \frac{175}{300} = \frac{7}{12} \ m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(0) + 150(\frac{\sqrt{3}}{2})}{50 + 100 + 150} = \frac{75\sqrt{3}}{300} = \frac{\sqrt{3}}{4} \ m$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left(\frac{7}{12}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \ m$ છે.

(D) આપેલ છે: દડા $A$ નું દળ $m_A = 50 \ gm$; દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_A = 10 \ m/s$. દડા $B$ નું દળ $m_B = 10 \ gm$; દડા $B$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_B = -15 \ m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે). રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = \frac{2}{5}$.
એક-પરિમાણીય અથડામણ પછી બીજા દડા $B$ નો અંતિમ વેગ $v_B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_B = \frac{m_A(1+e)}{m_A+m_B} u_A + \frac{m_B - e m_A}{m_A+m_B} u_B$
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$v_B = \frac{50(1 + \frac{2}{5})}{50 + 10} \times 10 + \frac{10 - (\frac{2}{5} \times 50)}{50 + 10} \times (-15)$
$v_B = \frac{50 \times \frac{7}{5}}{60} \times 10 + \frac{10 - 20}{60} \times (-15)$
$v_B = \frac{70}{60} \times 10 + \frac{-10}{60} \times (-15)$
$v_B = \frac{70}{6} + \frac{150}{60} = \frac{70}{6} + \frac{15}{6} = \frac{85}{6} \ m/s$
આમ,દડા $B$ ની અંતિમ ઝડપ $\frac{85}{6} \ m/s$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$, સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 1 \,N/m$, અને આઘાત $I = 2 \,Ns$.
બ્લોક બે સ્પ્રિંગની વચ્ચે હોવાથી, અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k + k = 2 \,N/m$ થશે.
આઘાત $I$ દ્વારા આપવામાં આવેલ પ્રારંભિક વેગ $v$ એ $I = m \Delta v$ દ્વારા મળે છે, તેથી $v = I/m = 2 / 0.1 = 20 \,m/s$.
તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{k_{eff}/m} = \sqrt{2 / 0.1} = \sqrt{20} \,rad/s$ છે.
સંતુલન સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર $A$) એ $A = v / \omega$ દ્વારા મળે છે.
$A = 20 / \sqrt{20} = \sqrt{20} \approx 4.47 \,m$.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકના પૂર્ણાંક મુજબ, મહત્તમ સ્થાનાંતર $4 \,m$ છે.

(D) આપેલ છે: દડાનું દળ $m = 200 \,g = 0.2 \,kg$, ઊંચાઈ $h = 5 \,m$, $g = 10 \,m/s^2$.
પ્રથમ અથડામણ પહેલાંનો વેગ: $v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10 \,m/s$.
પ્રથમ અથડામણ પછીનો વેગ: $v_1' = \frac{v_1}{2} = 5 \,m/s$.
પ્રથમ અથડામણમાં આપેલ વેગમાન: $p_1 = m(v_1 - (-v_1')) = m(v_1 + v_1') = 0.2(10 + 5) = 3 \,kg \,m/s$.
બીજી અથડામણ પહેલાંનો વેગ: $v_2 = v_1' = 5 \,m/s$.
બીજી અથડામણ પછીનો વેગ: $v_2' = \frac{v_2}{2} = 2.5 \,m/s$.
બીજી અથડામણમાં આપેલ વેગમાન: $p_2 = m(v_2 + v_2') = 0.2(5 + 2.5) = 1.5 = \frac{3}{2} \,kg \,m/s$.
ત્રીજી અથડામણ પહેલાંનો વેગ: $v_3 = v_2' = 2.5 \,m/s$.
ત્રીજી અથડામણ પછીનો વેગ: $v_3' = \frac{v_3}{2} = 1.25 \,m/s$.
ત્રીજી અથડામણમાં આપેલ વેગમાન: $p_3 = m(v_3 + v_3') = 0.2(2.5 + 1.25) = 0.75 = \frac{3}{4} \,kg \,m/s$.
કુલ વેગમાન: $p = p_1 + p_2 + p_3 = 3 + 1.5 + 0.75 = 5.25 = \frac{21}{4} \,kg \,m/s$.

(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર રોકેટનો વેગ ત્સિઓલકોવ્સ્કી રોકેટ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = u \ln\left(\frac{m_0}{m}\right) - gt$.
અહીં ગુરુત્વાકર્ષણ બળોને અવગણવામાં આવ્યા છે,તેથી $g = 0$,અને સમીકરણ $v = u \ln\left(\frac{m_0}{m}\right)$ બને છે.
અહીં,$u = 5 \ km/s$ એ રોકેટની સાપેક્ષમાં વાયુઓનો બહાર નીકળવાનો વેગ છે.
પ્રારંભિક દળ $m_0$ છે અને અંતિમ દળ $m = \frac{1}{20}m_0$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_0}{m} = 20$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = 5 \ln(20) \ km/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પરથી કણનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,આપણને $GM = gR^2$ મળે છે. તેથી,$v_e = \sqrt{2gR}$.
ધ્રુવો પર,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_P = g$ છે (જ્યાં $g$ એ પરિભ્રમણ વગરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે).
વિષુવવૃત્ત પર,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_E = g - \omega^2 R$ છે,જ્યાં $\omega$ એ ગ્રહનો કોણીય વેગ છે.
આપેલ છે કે $g_E = \frac{1}{3} g_P$,તેથી $g_E = \frac{1}{3} g_P \implies g_P = 3g_E$.
વિષુવવૃત્ત પરના બિંદુની ઝડપ $v = \omega R$ છે. વિષુવવૃત્ત પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e,E} = \sqrt{2g_E R}$ છે.
ધ્રુવ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e,P} = \sqrt{2g_P R}$ છે.
$g_P = 3g_E$ મૂકતા,આપણને $v_{e,P} = \sqrt{2(3g_E)R} = \sqrt{3} \sqrt{2g_E R}$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં વિષુવવૃત્ત પરના બિંદુની ઝડપ $v$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,ધ્રુવ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $\sqrt{3}v$ થાય છે.

(B) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$
ત્રિજ્યા $R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$R = \frac{2GM}{v_e^2}$
આપેલ કિંમતો:
$M = 6.4 \times 10^{23} \ kg$
$v_e = 8 \times 10^4 \ m/s$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{(8 \times 10^4)^2}$
$R = \frac{85.376 \times 10^{12}}{64 \times 10^8}$
$R = 1.334 \times 10^4 \ m \approx 13.3 \times 10^3 \ m = 13.3 \ km$
આપેલા વિકલ્પોમાં વપરાયેલ અંદાજને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી નજીકની કિંમત $13.2 \ km$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક મૂલ્યો: $g = 10 \ m/s^2$ અને $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$.
પ્રારંભિક નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2 \times 10 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{128 \times 10^6} \approx 11.3 \times 10^3 \ m/s = 11.3 \ km/s$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g' = 2g$ અને નવી ત્રિજ્યા $R' = R/2$ છે.
નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_e' = \sqrt{2g'R'} = \sqrt{2(2g)(R/2)} = \sqrt{2gR} = v_e$.
તેથી,નવો નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રારંભિક મૂલ્ય જેટલો જ રહે છે,જે આશરે $11.3 \ km/s$ છે,જેને $12 \ km/s$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) કણનું દળ $m = 0.1 \ kg$ છે.
$\text{SHM}$ કરતા કણનો કંપવિસ્તાર $A = 0.1 \ m$ છે.
કણની પ્રારંભિક કળા $\phi = 45^{\circ} = \pi/4$ છે.
$\text{SHM}$ કરતા કણનું સામાન્ય સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
જ્યારે કણ મધ્યમાન સ્થાનમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા મહત્તમ હોય છે,જે નીચે મુજબ છે:
$KE_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = 8 \times 10^{-3} \ J$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2 = 8 \times 10^{-3}$.
$0.05 \times \omega^2 \times 0.01 = 8 \times 10^{-3}$.
$0.0005 \times \omega^2 = 0.008$.
$\omega^2 = \frac{0.008}{0.0005} = 16$.
$\omega = 4 \ rad/s$.
$\omega$,$A$,અને $\phi$ ની કિંમતો સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$x(t) = 0.1 \sin(4t + \pi/4)$.

(C) લંબગોળ કક્ષાનો અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ એ મહત્તમ અંતર $(r_{max} = R)$ અને ન્યૂનતમ અંતર $(r_{min} = R/3)$ ની સરેરાશ છે:
$a = \frac{R + R/3}{2} = \frac{4R/3}{2} = \frac{2R}{3}$
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(2R/3)^3}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{8R^3}{27GM}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^2 = 4\pi^2 \cdot \frac{8R^3}{27GM} = \frac{32\pi^2}{27GM} \cdot R^3$
$T^2 = \alpha R^3$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = \frac{32\pi^2}{27GM}$

(A) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = nRT = (m/M)RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ વાયુનું દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે. કારણ કે $\rho = m/V$,તેથી $p = (\rho/M)RT$,અથવા $\rho = pM / (RT)$.
શરૂઆતમાં,પાત્રમાં વાયુનું દળ $m_1 = \rho V$ છે.
થોડો વાયુ બહાર કાઢ્યા પછી,દબાણ $p' = p - \Delta p$ થાય છે. કદ $V$ અને તાપમાન $T$ અચળ રહેતા હોવાથી,નવી ઘનતા $\rho' = p'M / (RT) = (p - \Delta p)M / (RT)$ મળે છે.
પાત્રમાં વાયુનું નવું દળ $m_2 = \rho' V = \frac{(p - \Delta p)M}{RT} V = \frac{(p - \Delta p)}{p} \rho V$ થાય.
બહાર નીકળેલા વાયુનું દળ $\Delta m = m_1 - m_2 = \rho V - \frac{(p - \Delta p)}{p} \rho V$ છે.
$\Delta m = \rho V \left(1 - \frac{p - \Delta p}{p}\right) = \rho V \left(\frac{p - p + \Delta p}{p}\right) = \frac{\rho V \Delta p}{p}$.

(B) આદર્શ વાયુના સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 p}$ છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ $(d = 2r)$ છે,$k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $p$ એ દબાણ છે.
$d = 2r$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi (2r)^2 p} = \frac{k_B T}{4 \sqrt{2} \pi r^2 p}$.
આમ,પ્રારંભિક સરેરાશ મુક્ત પથ $L = \frac{k_B T}{4 \sqrt{2} \pi r^2 p}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$,નવું દબાણ $p' = 2p$ અને નવું તાપમાન $T' = 2T$ છે.
નવો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\lambda' = \frac{k_B (2T)}{4 \sqrt{2} \pi (2r)^2 (2p)}$
$\lambda' = \frac{2 k_B T}{4 \sqrt{2} \pi (4r^2) (2p)}$
$\lambda' = \frac{2}{8} \cdot \frac{k_B T}{4 \sqrt{2} \pi r^2 p} = \frac{1}{4} L$.
તેથી,નવો સરેરાશ મુક્ત પથ $\frac{L}{4}$ થશે.

(C) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
વાયુ $A$ માટે: $m_A = 4 \ u$,$T_A = 27^{\circ} C = 300 \ K$.
વાયુ $B$ માટે: $m_B = 2 \times 20 \ u = 40 \ u$,$T_B = ?$.
શરત મુજબ,$(v_{rms})_A = (v_{rms})_B$ હોવાથી:
$\frac{T_A}{m_A} = \frac{T_B}{m_B}$
$\frac{27}{4} = \frac{T_B}{40}$
$T_B = \frac{27 \times 40}{4} = 270^{\circ} C$.

(B) આદર્શ વાયુના કણોની રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિન સ્કેલ પરનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તેથી,rms ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{1,rms}}{v_{2,rms}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
આપેલ છે કે અંતિમ rms ઝડપ એ પ્રારંભિક rms ઝડપ કરતા $2$ ગણી છે,એટલે કે $v_{2,rms} = 2v_{1,rms}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{v_{1,rms}}{2v_{1,rms}} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4} = \frac{300}{T_2}$
$T_2 = 1200 \ K$
અંતિમ તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T_2(^{\circ} C) = 1200 - 273 = 927^{\circ} C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) જ્યારે પાત્ર અચાનક અટકી જાય છે, ત્યારે પાત્રની સામૂહિક ગતિને કારણે વાયુના અણુઓની ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે અને $v$ એ પાત્રનો વેગ છે.
વાયુના પ્રતિ મોલ ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$ છે, જ્યાં $M$ એ $kg/mol$ માં મોલર દળ છે.
$M = 83 \, g/mol = 0.083 \, kg/mol$.
$K.E. = \frac{1}{2} \times 0.083 \times (30)^2 = \frac{1}{2} \times 0.083 \times 900 = 0.083 \times 450 = 37.35 \, J/mol$.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
અહીં $n=1$ મોલ અને મોનોએટોમિક વાયુ માટે $C_v = \frac{3}{2} R$ હોવાથી:
$\Delta U = 1 \times \frac{3}{2} \times 8.3 \times \Delta T = 12.45 \Delta T$.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$37.35 = 12.45 \Delta T$.
$\Delta T = \frac{37.35}{12.45} = 3 \, K$.

(D) તંત્રનું કુલ દળ $M = (8 + 5 + 3) \,kg = 16 \,kg$ છે।
બ્લોક્સ એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી અને સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,આખા તંત્રને $M = 16 \,kg$ દળના એક પદાર્થ તરીકે ગણી શકાય જે $a$ પ્રવેગ સાથે ઢાળ પર ઉપર તરફ ગતિ કરે છે।
લગાડવામાં આવેલ બાહ્ય બળ $F = 104 \,N$ છે।
ઢાળની નીચેની દિશામાં લાગતો કુલ વજનનો ઘટક $Mg \sin 30^{\circ}$ છે।
તંત્ર માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F - Mg \sin 30^{\circ} = Ma$
$104 - 16 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 16a$
$104 - 160 \times 0.5 = 16a$
$104 - 80 = 16a$
$24 = 16a$
$a = \frac{24}{16} = 1.5 \,m / s^2$.
આમ,બ્લોક્સનો પ્રવેગ $1.5 \,m / s^2$ છે।

(B) ધારો કે $m_A = m$ અને $m_B = 2m$. સળિયો $B$ અને બ્લોક $C$ સંતુલનમાં હોવાથી,તેમને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $T$ તેમના વજનને સંતુલિત કરે છે. આકૃતિ પરથી,ગતિશીલ ગરગડી $B$ અને $C$ બંનેને ટેકો આપે છે,તેથી $2T = (m_B + m_C)g$. જો $m_B = m_C = 2m$ લઈએ,તો $2T = 4mg$,એટલે કે $T = 2mg$.
દળ $A$ માટે,ગતિનું સમીકરણ $2T - m_Ag = m_Aa$ છે. $T = 2mg$ મૂકતા,$2(2mg) - mg = ma$,જેનું સાદું રૂપ $3mg = ma$ થાય છે,તેથી $a = 3g = 30 \text{ m/s}^2$.
જોકે,સળિયા $B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો સાપેક્ષ પ્રવેગ ધ્યાનમાં લેવો પડે. સળિયા $B$ નો પ્રવેગ $a/2$ (નીચેની તરફ) છે. સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = a + a/2 = 3a/2$ થાય. $s = \frac{1}{2} a_{rel} t^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$s = 5 \text{ m}$ અને $a = 6 \text{ m/s}^2$ માટે,$t = \sqrt{2s/a_{rel}} = \sqrt{10/9} \approx 1.05 \text{ s}$. આમ,સમય આશરે $1.0 \text{ s}$ છે.

(A) ધારો કે બ્લોક્સ $A$ અને $B$ નું દળ $m$ છે. ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$ છે. બ્લોક $X$ પ્રવેગ $a$ થી જમણી તરફ ગતિ કરે છે।
બ્લોક $B$ માટે: ઉર્ધ્વ દિશામાં સંતુલન માટે $T = mg - f_B$ અને સમક્ષિતિજ દિશામાં $f_B = \mu N_B = \mu ma$.
બ્લોક $A$ માટે: સમક્ષિતિજ દિશામાં સંતુલન માટે $T = f_A + ma$, જ્યાં $f_A = \mu mg$.
બંને સમીકરણો પરથી: $mg - \mu ma = \mu mg + ma$
$mg(1 - \mu) = a(1 + \mu)$
$a = g \frac{1 - \mu}{1 + \mu} = g \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} = g \frac{0.5}{1.5} = \frac{g}{3}$.

(D) ધારો કે $a$ એ બંને બ્લોક્સનો સામાન્ય પ્રવેગ છે.
પ્રથમ બ્લોક $(m_1)$ માટે: ઢળતા સમતલ પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $m_1 g \sin 60^{\circ}$ નીચેની તરફ,ઘર્ષણ બળ $f_1 = \mu_1 N_1 = 1.5 \mu m_1 g \cos 60^{\circ}$ ઉપરની તરફ અને બીજા બ્લોક દ્વારા લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ $R$ ઉપરની તરફ છે.
ગતિનું સમીકરણ: $m_1 g \sin 60^{\circ} - 1.5 \mu m_1 g \cos 60^{\circ} + R = m_1 a$ --- $(i)$
બીજા બ્લોક $(m_2)$ માટે: ઢળતા સમતલ પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $m_2 g \sin 60^{\circ}$ નીચેની તરફ,ઘર્ષણ બળ $f_2 = \mu_2 N_2 = \mu m_2 g \cos 60^{\circ}$ ઉપરની તરફ અને પ્રથમ બ્લોક દ્વારા લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ $R$ નીચેની તરફ છે.
ગતિનું સમીકરણ: $m_2 g \sin 60^{\circ} - \mu m_2 g \cos 60^{\circ} - R = m_2 a$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$a = g \sin 60^{\circ} - 1.5 \mu g \cos 60^{\circ} + \frac{R}{m_1}$.
$(ii)$ પરથી,$a = g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} - \frac{R}{m_2}$.
$a$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$g \sin 60^{\circ} - 1.5 \mu g \cos 60^{\circ} + \frac{R}{m_1} = g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} - \frac{R}{m_2}$
$R \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = 1.5 \mu g \cos 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} = 0.5 \mu g \cos 60^{\circ}$
$R \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \right) = 0.5 \mu g \left( \frac{1}{2} \right) = 0.25 \mu g = \frac{1}{4} \mu g$
$R = \frac{1}{4} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \mu g$.

(A) ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ સરકતા બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
આપેલ છે: દળ $m = 10 \ kg$,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$,ગતિશીલ ઘર્ષણાંક $\mu = 0.3$,સમય $t = 2 \ s$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
આ કિંમતોને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = 10 \sin 45^{\circ} - 0.3 \times 10 \cos 45^{\circ}$
$a = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \ m/s^2$
શરૂઆતનો વેગ $u = 0$ લઈને અંતર $s$ માટે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$s = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times \left( \frac{7}{\sqrt{2}} \right) \times (2)^2$
$s = \frac{1}{2} \times \frac{7}{\sqrt{2}} \times 4 = \frac{14}{\sqrt{2}} = 7 \sqrt{2} \ m$
આમ,કાપેલું અંતર $7 \sqrt{2} \ m$ છે.

(A) ધારો કે $m_1 = 0.8 \text{ kg}$ અને $m_2 = 0.2 \text{ kg}$. પ્રવેગ $a = 5 \text{ m/s}^2$ છે. ઘર્ષણાંક $\mu = 0.1$ છે.
$0.2 \text{ kg}$ ના બ્લોક માટે, તણાવબળ $T$ તેને ગરગડી તરફ ખેંચે છે, અને $0.8 \text{ kg}$ ના બ્લોક દ્વારા લાગતું ઘર્ષણબળ $f_2$ આ ગતિનો વિરોધ કરે છે. $0.2 \text{ kg}$ ના બ્લોક પરનું લંબબળ $N_2 = m_2 g = 0.2 \times 10 = 2 \text{ N}$ છે.
$m_2$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - \mu N_2 = m_2 a \implies T - 0.1 \times 2 = 0.2 \times 5 \implies T - 0.2 = 1.0 \implies T = 1.2 \text{ N}$.
$0.8 \text{ kg}$ ના બ્લોક માટે, લગાડેલું બળ $F$ જમણી તરફ લાગે છે. તણાવબળ $T$ ડાબી તરફ લાગે છે. ટેબલ દ્વારા લાગતું ઘર્ષણબળ $f_1$ અને $0.2 \text{ kg}$ ના બ્લોક દ્વારા લાગતું ઘર્ષણબળ $f_2$ પણ ડાબી તરફ લાગે છે. ટેબલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N_1 = (m_1 + m_2)g = (0.8 + 0.2) \times 10 = 10 \text{ N}$ છે.
$m_1$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $F - T - \mu N_1 - \mu N_2 = m_1 a \implies F - 1.2 - 0.1 \times 10 - 0.1 \times 2 = 0.8 \times 5 \implies F - 1.2 - 1 - 0.2 = 4 \implies F - 2.4 = 4 \implies F = 6.4 \text{ N}$.

(A) આપેલ છે, બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = \frac{mg}{9}$.
બળ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = Cx$ ખૂણો બનાવે છે, જ્યાં $C = 10^{\circ} \text{ m}^{-1}$.
બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = F \cos(\theta) = F \cos(Cx)$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા: $W_{\text{net}} = \Delta K.E.$
$\int_0^x F \cos(Cx) dx = \frac{1}{2}mv^2$.
જ્યારે $\theta = 30^{\circ}$ થાય, ત્યારે $x = \frac{30^{\circ}}{10^{\circ} \text{ m}^{-1}} = 3 \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા: $\int_0^3 \frac{mg}{9} \cos(Cx) dx = \frac{1}{2}mv^2$.
$\frac{g}{9} \left[ \frac{\sin(Cx)}{C} \right]_0^3 = \frac{1}{2}v^2$.
જો આપણે ગણતરીમાં આપેલ વિકલ્પ મુજબ આગળ વધીએ તો: $\frac{10}{9 \times 10} \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} v^2$.
$\frac{1}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} v^2$.
$v^2 = \frac{1}{9} \implies v = \frac{1}{3} = 0.33 \text{ m s}^{-1}$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 3 \hat{i} \ m/s$,અંતિમ વેગ $\vec{v} = (8 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m/s$,અને સમય $t = 8 \ s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગ $\vec{a}$ શોધી શકીએ:
$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{u}}{t} = \frac{(8 \hat{i} + 10 \hat{j}) - 3 \hat{i}}{8} = \frac{5 \hat{i} + 10 \hat{j}}{8} \ m/s^2$.
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $\vec{F} = m\vec{a}$ મુજબ:
$\vec{F} = 4 \times \left( \frac{5 \hat{i} + 10 \hat{j}}{8} \right) = \frac{1}{2} (5 \hat{i} + 10 \hat{j}) = (2.5 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ N$.
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = \sqrt{(2.5)^2 + 5^2} = \sqrt{6.25 + 25} = \sqrt{31.25} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5 \sqrt{5}}{2} \ N$ થાય.

(A) ધારો કે સળિયો $AB$ છે જેની લંબાઈ $l = 1.5 \,m$ છે. છેડા $A$ ને $v_A = 3 \,m/s$ ના અચળ વેગથી શિરોલંબ ઉપર ખેંચવામાં આવે છે. સમય $t$ પર છેડા $A$ ની શિરોલંબ ઊંચાઈ $y = v_A t = 3t$ છે. ધારો કે સમય $t$ પર છેડા $B$ નું $A$ ની નીચેના બિંદુથી આડું અંતર $x$ છે. સળિયાની લંબાઈ $l$ અચળ રહે છે, તેથી પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $x^2 + y^2 = l^2$. $y = 3t$ અને $l = 1.5$ મૂકતા, $x^2 + (3t)^2 = (1.5)^2$, જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 9t^2 = 2.25$ થાય છે. સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x \frac{dx}{dt} + 18t = 0$. છેડા $B$ ની ઝડપ $v_B = |\frac{dx}{dt}| = \frac{18t}{2x} = \frac{9t}{x}$ છે. આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $v_B = v_A = 3 \,m/s$ થાય. તેથી, $\frac{9t}{x} = 3 \Rightarrow x = 3t$. હવે $x = 3t$ ને $x^2 + 9t^2 = 2.25$ માં મૂકતા: $(3t)^2 + 9t^2 = 2.25 \Rightarrow 9t^2 + 9t^2 = 2.25 \Rightarrow 18t^2 = 2.25 \Rightarrow t^2 = \frac{2.25}{18} = \frac{1}{8}$. આમ, $t = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \,s$.

(C) પ્રકૃતિમાં રહેલા ચાર મૂળભૂત બળોના ગુણધર્મો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલા છે:
| બળ | આશરે સાપેક્ષ શક્તિ | વિસ્તાર | આકર્ષણ/અપાકર્ષણ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| ગુરુત્વાકર્ષણ | $10^{-38}$ | અનંત | માત્ર આકર્ષણ |
| વિદ્યુતચુંબકીય | $10^{-2}$ | અનંત | આકર્ષણ અને અપાકર્ષણ |
| નબળું ન્યુક્લિયર | $10^{-13}$ | $ < 10^{-16} \,m$ | આકર્ષણ અને અપાકર્ષણ |
| પ્રબળ ન્યુક્લિયર | $1$ | $ < 10^{-15} \,m$ | આકર્ષણ અને અપાકર્ષણ |
કોષ્ટક પરથી,આપણે નીચે મુજબ અવલોકન કરી શકીએ છીએ:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ અને વિદ્યુતચુંબકીય બળો અનંત વિસ્તાર ધરાવે છે.
$2$. નબળા ન્યુક્લિયર બળનો વિસ્તાર ($ < 10^{-16} \,m$) એ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ ($ < 10^{-15} \,m$) ના વિસ્તાર કરતા,તેમજ ગુરુત્વાકર્ષણ અને વિદ્યુતચુંબકીય બળોના અનંત વિસ્તાર કરતા નાનો છે.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે સ્પ્રિંગમાં તણાવબળ $F$ છે. સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $x$ એ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ છે。
સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફારનો દર $\frac{dU}{dt} = kx \frac{dx}{dt} = F \cdot v_{rel}$ છે, જ્યાં $v_{rel}$ એ વિસ્તરણમાં ફેરફારનો દર છે, જે સ્પ્રિંગના છેડાઓનો સાપેક્ષ વેગ છે。
અહીં, $v_{rel} = v_A - v_{block} = 6 \,m/s - 3 \,m/s = 3 \,m/s$.
આપેલ છે કે $\frac{dU}{dt} = 15 \,J/s$, તેથી $15 = F \cdot 3$, જે $F = 5 \,N$ આપે છે。
બળ $F$ એ $m = 2 \,kg$ દળના બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ છે。
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $F = ma$, આપણને $5 = 2 \cdot a$ મળે છે。
તેથી, $a = \frac{5}{2} = 2.5 \,m/s^2$.

(B) વિધાન $(b)$ માં,$1 \ m$ લંબાઈ માટે પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{0.01}{1} \times 100 = 1 \%$ છે.
$0.5 \ m$ લંબાઈ માટે,પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{0.01}{0.5} \times 100 = 2 \%$ છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ અલગ હોવાથી,માપન સમાન રીતે સચોટ નથી. તેથી,વિધાન $(b)$ ખોટું છે.
વિધાન $(c)$ માં,$1.6$ માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા $2$ છે અને $0.60$ માં પણ $2$ છે (શરૂઆતના શૂન્યો સાર્થક નથી). તેથી,વિધાન $(c)$ ખોટું છે.
વિધાન $(d)$ માં,રાઉન્ડિંગના નિયમો મુજબ,જો દૂર કરવાનો અંક $5$ હોય,તો તેની આગળનો અંક બેકી હોય તો તે બદલાતો નથી. તેથી,$2.445$ ને બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $2.44$ મળે. તેથી,વિધાન $(d)$ પણ ખોટું છે.
નોંધ: આ પ્રશ્નમાં એક કરતા વધુ ખોટા વિધાનો $(b, c, d)$ છે.

(D) આપેલ સંબંધ: $z = a b^2 c^{-2}$.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,$z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + 2 \frac{\Delta c}{c}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આખા સમીકરણને $100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 2.1 \% + 2(1.3 \%) + 2(2.2 \%)$.
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 2.1 \% + 2.6 \% + 4.4 \% = 9.1 \%$.
તેથી,$z$ ના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $9.1 \%$ છે.

(C) આપેલ છે,વાહકમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = (5 \pm 0.2) \text{ A}$,જ્યાં $\Delta I = 0.2 \text{ A}$ છે.
ઉત્પન્ન થતો વોલ્ટેજ $V = (60 \pm 6) \text{ V}$,જ્યાં $\Delta V = 6 \text{ V}$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V = RI$,તેથી $R = V/I$.
અવરોધ $R$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{6}{60} + \frac{0.2}{5}$.
પદોની ગણતરી કરતા: $\frac{\Delta R}{R} = 0.1 + 0.04 = 0.14$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા: $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.14 \times 100 = 14\%$.

(C) આપેલ છે: લોખંડના ગોળાનું દળ, $m = 100 \,kg$. લોખંડની ઘનતા, $\rho_{\text{iron}} = 8 \times 10^3 \,kg/m^3$. દરિયાના પાણીની ઘનતા, $\rho_{\text{sea water}} = 1000 \,kg/m^3$. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g = 10 \,m/s^2$.
જ્યારે ગોળાને દરિયાના પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર ઉપરની દિશામાં ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) લાગે છે।
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ, ગોળાનું આભાસી વજન તેના વાસ્તવિક વજન અને ઉત્પ્લાવક બળના તફાવત જેટલું હોય છે।
કેબલમાં તણાવ $T$ એ ગોળાના આભાસી વજન જેટલું હોય છે।
$T = W - F_B = mg - V \rho_{\text{sea water}} g = mg \left(1 - \frac{\rho_{\text{sea water}}}{\rho_{\text{iron}}}\right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$T = 100 \times 10 \left(1 - \frac{1000}{8 \times 10^3}\right) = 1000 \left(1 - \frac{1}{8}\right) = 1000 \times \frac{7}{8} = 875 \,N$.

(A) આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.01 \ cm^2 = 10^{-6} \ m^2$.
તણાવ $T = 22 \ N$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1.1 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = 0.32$.
રેખીય વિકૃતિ $\frac{\Delta l}{l} = \frac{T}{AY} = \frac{22}{10^{-6} \times 1.1 \times 10^{11}} = \frac{22}{1.1 \times 10^5} = 20 \times 10^{-5}$.
પાર્શ્વીય વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} = -0.32 \times 20 \times 10^{-5} = -6.4 \times 10^{-5}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = 2\pi r \Delta r$ થાય,તેથી $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $= |2 \times (-6.4 \times 10^{-5})| \times 100 = 12.8 \times 10^{-3} \%$.

(C) આપેલ છે કે નળાકારની ઊંચાઈ $H = 50 \,cm$ છે.
ધારો કે છિદ્ર તળિયેથી $h$ ઊંચાઈ પર છે। છિદ્રની ઉપર પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $(H - h)$ છે.
બહિર્સ્ત્રાવનો વેગ $v = \sqrt{2g(H - h)}$ છે.
પાણીને ટેબલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
ક્ષૈતિજ અવધિ $x$ એ $x = v \cdot t = \sqrt{2g(H - h)} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H - h)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ અવધિ $x_{\max }$ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{dx}{dh} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{h(H - h)}} \cdot (H - 2h) = 0$.
આનાથી $H - 2h = 0$,અથવા $h = \frac{H}{2}$ મળે છે.
$x$ ના સમીકરણમાં $h = \frac{H}{2}$ મૂકતા:
$x_{\max } = 2\sqrt{\frac{H}{2}(H - \frac{H}{2})} = 2\sqrt{\frac{H}{2} \cdot \frac{H}{2}} = H$.
આપેલ છે કે $H = 50 \,cm$,તેથી $x_{\max } = 50 \,cm$.

(D) આપેલ છે: છિદ્રનો વ્યાસ $D = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$, સ્નિગ્ધતા $\eta = 1 \,cP = 10^{-3} \,Pa \cdot s$, ઘનતા $\rho = 10^3 \,kg/m^3$, $g = 10 \,m/s^2$.
પ્રવાહ અશાંત બને તે માટે, રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e$ એ ક્રાંતિક મૂલ્ય કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ, જે સામાન્ય રીતે $R_e = 3000$ લેવામાં આવે છે।
રેનોલ્ડ્સ નંબરનું સૂત્ર $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$ છે।
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $v = \frac{R_e \eta}{\rho D} = \frac{3000 \times 10^{-3}}{10^3 \times 2 \times 10^{-3}} = 1.5 \,m/s$.
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 = 2gh \Rightarrow h = \frac{v^2}{2g}$.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{(1.5)^2}{2 \times 10} = \frac{2.25}{20} = 0.1125 \,m = 11.25 \,cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, આપણને $11 \,cm$ મળે છે।

(D) ધારો કે સમઘન બ્લોકની બાજુની લંબાઈ $L = 10 \,cm = 0.1 \,m$ છે.
બ્લોક આંતર સપાટી પર તરે છે। ધારો કે $h_w = 1.5 \,cm = 0.015 \,m$ એ પાણીમાં બ્લોકની ઊંડાઈ છે અને $h_o = 10 \,cm - 1.5 \,cm = 8.5 \,cm = 0.085 \,m$ એ તેલમાં બ્લોકની ઊંચાઈ છે.
નીચેની સપાટી પરનું દબાણ (પાણીમાં) $P_{lower} = P_{interface} + \rho_w g h_w$ છે.
ઉપરની સપાટી પરનું દબાણ (તેલમાં) $P_{upper} = P_{interface} - \rho_o g h_o$ છે.
નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેના દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_{lower} - P_{upper} = (P_{interface} + \rho_w g h_w) - (P_{interface} - \rho_o g h_o) = \rho_w g h_w + \rho_o g h_o$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = (1000 \,kg/m^3 \times 10 \,m/s^2 \times 0.015 \,m) + (800 \,kg/m^3 \times 10 \,m/s^2 \times 0.085 \,m)$
$\Delta P = 150 \,Pa + 680 \,Pa = 830 \,Pa$.

(D) પૃથ્વીનું આંતરિક બંધારણ એવા સ્તરોનું બનેલું છે કે જેમાં કેન્દ્ર તરફ જતાં ઘનતા અને દબાણ વધતું જાય છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રમાં (આંતરિક ગર્ભમાં),ઉપરના સ્તરો દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણીય દબાણને કારણે દબાણ સૌથી વધુ હોય છે.
તીવ્ર દબાણ અને કિરણોત્સર્ગી ક્ષય તેમજ ગ્રહના નિર્માણની બાકી રહેલી ગરમીને કારણે,તાપમાન પણ કેન્દ્રમાં સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,પૃથ્વીનું કેન્દ્ર તાપમાન,ઘનતા અને દબાણ માટે સૌથી વધુ મૂલ્યો દર્શાવે છે.

(D) પાણીની ઉપરની સપાટી અને છિદ્ર પર બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{atm} + \rho g h + \frac{1}{2} \rho v_{top}^2 = P_{atm} + 0 + \frac{1}{2} \rho v_{hole}^2$
ટાંકીનો વ્યાસ મોટો હોવાથી,ઉપરની સપાટીનો વેગ $v_{top} \approx 0$ ગણી શકાય.
આમ,છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ ટોર્સેલીના નિયમ મુજબ:
$v = \sqrt{2gh}$
અહીં $g = 9.8 \ m/s^2$ અને $h = 0.2 \ m$ લેતા:
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.2} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \ m/s$
પાણીનો નિકાલ દર (કદનો પ્રવાહ દર) $Q = A \times v$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $A = 6 \ cm^2 = 6 \times 10^{-4} \ m^2$.
$Q = 6 \times 10^{-4} \times 1.98 \approx 1.188 \times 10^{-3} \ m^3/s$.
આમ,$Q \approx 1.2 \times 10^{-3} \ m^3/s$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોફિલિક સપાટી માટે, પાણી-ઘન આંતરપૃષ્ઠ પરનો સંપર્ક કોણ $90^{\circ}$ કરતા ઓછો હોય છે, એટલે કે $ < 90^{\circ}$.
આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે પ્રવાહીના અણુઓ અને હાઇડ્રોફિલિક સપાટી વચ્ચેનું સંલગ્ન બળ (adhesive force) પ્રવાહીની અંદરના આસંજક બળો (cohesive forces) કરતા નોંધપાત્ર રીતે મજબૂત હોય છે.
પરિણામે, પ્રવાહી સપાટી પર ફેલાઈ જાય છે, જેના કારણે સંપર્ક કોણ $90^{\circ}$ કરતા ઓછો રહે છે.

(D) આપેલ છે, પાણીના ટીપાંનો વ્યાસ $d = 0.2 \,mm$.
ત્રિજ્યા, $r = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$.
ટીપાંની બહારનું દબાણ, $p_0 = 1.5 \,N / cm^2 = 1.5 \times 10^4 \,N / m^2$.
પૃષ્ઠતાણ, $T = 0.08 \,N / m$.
ગોળાકાર ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta p = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, ટીપાંની અંદરનું કુલ દબાણ $p = p_0 + \frac{2T}{r}$ થશે।
કિંમતો મૂકતા:
$p = 1.5 \times 10^4 + \frac{2 \times 0.08}{10^{-4}}$
$p = 1.5 \times 10^4 + 0.16 \times 10^4$
$p = 1.66 \times 10^4 \,N / m^2$
$N / cm^2$ માં ફેરવતા:
$p = 1.66 \,N / cm^2$.

(A) આપેલ છે: તાંબાના દડાની ત્રિજ્યા $r = 3.0 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, તેલની સ્નિગ્ધતા $\eta = 1 \,kg / ms$, તેલની ઘનતા $\rho = 1.5 \times 10^3 \,kg / m^3$, તાંબાની ઘનતા $\sigma = 9 \times 10^3 \,kg / m^3$, અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \,m / s^2$.
ટર્મિનલ વેગ $v_T$ માટેનું સૂત્ર સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ છે:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2(\sigma - \rho)g}{\eta}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{(3 \times 10^{-3})^2 \times (9 \times 10^3 - 1.5 \times 10^3) \times 10}{1}$
$v_T = \frac{2}{9} \times (9 \times 10^{-6}) \times (7.5 \times 10^3) \times 10$
$v_T = 2 \times 10^{-6} \times 7.5 \times 10^4$
$v_T = 15 \times 10^{-2} \,m / s$
આમ, ટર્મિનલ વેગ $15 \times 10^{-2} \,m / s$ છે.

(C) આપેલ છે,કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{|\Delta V|}{V} = 0.4 \% = 0.004$.
પાણીનો બલ્ક મોડ્યુલસ,$B = 2.0 \times 10^9 \text{ Pa}$.
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $p$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ દબાણ છે.
તેથી,જરૂરી દબાણ $p = B \times \left| \frac{\Delta V}{V} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$p = (2.0 \times 10^9 \text{ Pa}) \times 0.004 = 8.0 \times 10^6 \text{ Pa}$.
દબાણને $\text{Pa}$ માંથી $\text{atm}$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $1 \text{ atm} \approx 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$p = \frac{8.0 \times 10^6}{1.01325 \times 10^5} \text{ atm} \approx 78.95 \text{ atm}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$p \approx 80 \text{ atm}$ મળે છે.

(B) કેન્ટીલીવર સળિયાના છેડે $F = mg$ જેટલું વજન લટકાવવાથી થતું શિરોલંબ વિચલન $x$ અને શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\eta = \frac{F L}{A x} \Rightarrow x = \frac{mg L}{A \eta}$
અહીં $L = 6 \text{ cm} = 6 \times 10^{-2} \text{ m}$,ત્રિજ્યા $r = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$,$m = 400 \pi \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,અને $\eta = 3 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (2 \times 10^{-2})^2 = 4 \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{(400 \pi \times 10) \times (6 \times 10^{-2})}{(4 \pi \times 10^{-4}) \times (3 \times 10^{10})}$
$x = \frac{4000 \pi \times 6 \times 10^{-2}}{12 \pi \times 10^6}$
$x = \frac{24000 \pi \times 10^{-2}}{12 \pi \times 10^6} = \frac{240 \pi}{12 \pi \times 10^6} = 20 \times 10^{-6} \text{ m}$
$x = 20 \times 10^{-3} \text{ mm} = 0.02 \text{ mm}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે: સમયગાળો $T = 6 \text{ કલાક} = 21600 \text{ સેકન્ડ}$.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_e = 6400 \text{ km} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ: $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$, જ્યાં $R$ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
$R^3 = T^2 \times \frac{GM}{4\pi^2} = (21600)^2 \times 8 \times 10^{12} = 3.732 \times 10^{21} \text{ m}^3$.
$R = (3732.48)^{1/3} \times 10^6 \approx 15510 \text{ km}$.
પૃથ્વીની સપાટીથી અંતર $h = R - R_e = 15510 - 6400 = 9110 \text{ km}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ નજીકનો જવાબ $8720 \text{ km}$ છે.

(B) પરિભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના સળિયાના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો.
આ ઘટકનું દળ $dm = \frac{M}{L} dx = \rho A dx$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ ઘટક પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $dF = (dm) x \omega^2 = \rho A \omega^2 x dx$ છે.
ધરીથી $x$ અંતરે તણાવ $T(x)$ એ $x$ થી $L$ સુધીના તમામ ઘટકો પરના કેન્દ્રત્યાગી બળોનો સરવાળો છે:
$T(x) = \int_x^L \rho A \omega^2 x' dx' = \rho A \omega^2 \left[ \frac{x'^2}{2} \right]_x^L = \frac{\rho A \omega^2}{2} (L^2 - x^2)$.
હુકના નિયમ મુજબ $dx$ ઘટકનું વિસ્તરણ $d\Delta L$ નીચે મુજબ છે:
$d\Delta L = \frac{T(x) dx}{AY} = \frac{\rho A \omega^2 (L^2 - x^2) dx}{2 AY} = \frac{\rho \omega^2}{2Y} (L^2 - x^2) dx$.
લંબાઈમાં કુલ વધારો $\Delta L$ એ $0$ થી $L$ સુધીનું સંકલન છે:
$\Delta L = \int_0^L \frac{\rho \omega^2}{2Y} (L^2 - x^2) dx = \frac{\rho \omega^2}{2Y} \left[ L^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_0^L = \frac{\rho \omega^2}{2Y} \left( L^3 - \frac{L^3}{3} \right) = \frac{\rho \omega^2}{2Y} \left( \frac{2L^3}{3} \right) = \frac{\rho \omega^2 L^3}{3Y}$.

(B) આપેલ છે: લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1: l_2 = 5: 2$,વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_1: d_2 = 4: 3$ અને બળનો ગુણોત્તર $F_1: F_2 = 4: 5$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_1: A_2 = d_1^2: d_2^2 = 4^2: 3^2 = 16: 9$ થાય.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A \Delta l}$ છે,તેથી લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l = \frac{FL}{AY}$ થાય.
તેથી,લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{F_1}{F_2} \times \frac{l_1}{l_2} \times \frac{A_2}{A_1} \times \frac{Y_2}{Y_1}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left(\frac{4}{5}\right) \times \left(\frac{5}{2}\right) \times \left(\frac{9}{16}\right) \times \left(\frac{0.7 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}}\right)$.
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = 2 \times \frac{9}{16} \times \frac{7}{11} = \frac{18}{16} \times \frac{7}{11} = \frac{9}{8} \times \frac{7}{11} = \frac{63}{88}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{63}{88}$ છે.

(D) $1$. ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન: $[V] = [\text{ઉર્જા} / \text{દળ}] = [ML^2 T^{-2} / M] = M^0 L^2 T^{-2}$. જે $II$ સાથે સુસંગત છે。
$2$. સ્ટેફનનો અચળાંક $(\sigma)$: $P = \sigma A T^4$ પરથી, $[\sigma] = [P / (A T^4)] = [ML^2 T^{-3} / (L^2 K^4)] = M L^0 T^{-3} K^{-4}$. જે $III$ સાથે સુસંગત છે。
$3$. પરમિટિવિટી $(\varepsilon_0)$: કુલંબના નિયમ $F = q^2 / (4 \pi \varepsilon_0 r^2)$ પરથી, $[\varepsilon_0] = [q^2 / (F r^2)] = [(I T)^2 / (MLT^{-2} \cdot L^2)] = M^{-1} L^{-3} T^4 I^2$. જે $IV$ સાથે સુસંગત છે。
$4$. વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(c)$: $Q = mc \Delta T$ પરથી, $[c] = [Q / (m \Delta T)] = [ML^2 T^{-2} / (M \cdot K)] = M^0 L^2 T^{-2} K^{-1}$. જે $I$ સાથે સુસંગત છે。
આમ, સાચી જોડ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(B) થી $B$ સુધી કણની ગતિ માટેનો અંતર-સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આલેખ પરથી,$A$ થી $C$ અને $D$ થી $B$ વિભાગો માટે અંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ ધન છે,જેનો અર્થ છે કે આ અંતરાલોમાં ઝડપ શૂન્યતર છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ સમય. $A$ થી $B$ સુધી કાપેલું કુલ અંતર શૂન્યતર હોવાથી,સરેરાશ ઝડપ હંમેશા શૂન્યતર હોય છે.
તત્કાલીન ઝડપ એ કોઈપણ ક્ષણે અંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ છે. $C$ થી $D$ વિભાગમાં,આલેખ એક આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે સમય સાથે અંતરમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. તેથી,ઢાળ શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે આ અંતરાલ દરમિયાન તત્કાલીન ઝડપ શૂન્ય છે.
આમ,સરેરાશ ઝડપ હંમેશા શૂન્યતર હોય છે,પરંતુ તત્કાલીન ઝડપ શૂન્ય હોઈ શકે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,વેગનું ગતિનું સમીકરણ $v = u + gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $u = 0$ હોવાથી,સમીકરણ $v = gt$ બને છે.
અહીં,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે,જે અચળ છે ($g \approx 9.8 \ m/s^2$ અથવા $10 \ m/s^2$).
આ સમીકરણ $v = gt$ એ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y$ એ ઝડપ દર્શાવે છે,$x$ એ સમય દર્શાવે છે,અને $m = g$ એ ઢાળ છે.
કોઈ અચળ પદ (આંતરછેદ) ન હોવાથી,આલેખ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પ્રશ્ન મુજબ, દડો $t_1 = 3 \,s$ સમયે ટાવરની ટોચ પર પહોંચે છે અને ત્યારબાદ $2 \,s$ પછી તે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે.
તેથી, દડાને મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = 3 + 2 = 5 \,s$ છે.
જો $t = 0$ સમયે દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ હોય, તો ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $(v = u - gt)$ પરથી:
$0 = u - 10 \times 5 \implies u = 50 \,m/s$.
જો ટાવરની ઊંચાઈ $h$ હોય, તો ગતિના બીજા સમીકરણ $(h = ut - \frac{1}{2}gt^2)$ પરથી:
$h = 50 \times 3 - \frac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 150 - 45 = 105 \,m$.
આમ, ટાવરની ઊંચાઈ $105 \,m$ છે.

(A) ધારો કે બંને દડા $t$ સમય પછી ટોચથી $h$ અંતરે મળે છે।
દડા-$1$ માટે (નીચેની ગતિ):
$h = u_1 t + \frac{1}{2} g t^2 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} (10) t^2 = 5 t^2$ ... $(i)$
દડા-$2$ માટે (ઉપરની ગતિ):
દડા-$2$ દ્વારા કાપેલું અંતર $(21 - h)$ છે।
$(21 - h) = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2 = 14 t - 5 t^2$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$h + (21 - h) = 5 t^2 + 14 t - 5 t^2$
$21 = 14 t$
$t = \frac{21}{14} = 1.5 \,s$
$t = 1.5 \,s$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$h = 5 \times (1.5)^2 = 5 \times 2.25 = 11.25 \,m = \frac{45}{4} \,m$
આમ,જ્યારે દડા-$1$,દડા-$2$ ને પસાર કરે ત્યારે તે $\frac{45}{4} \,m$ નીચે પડ્યો હશે।

(B) આપેલ છે કે, અવરોધક બળ $F \propto \sqrt{v}$, તેથી $ma = -k\sqrt{v}$, જેનો અર્થ છે $a = -c\sqrt{v}$ જ્યાં $c$ અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{dv}{dt} = -c\sqrt{v}$.
ગોઠવતા, $\frac{dv}{\sqrt{v}} = -c \, dt$.
$t=0$ $(v=u)$ થી $t=T$ $(v=0)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{u}^{0} v^{-1/2} \, dv = \int_{0}^{T} -c \, dt \Rightarrow [2\sqrt{v}]_{u}^{0} = -cT \Rightarrow -2\sqrt{u} = -cT \Rightarrow c = \frac{2\sqrt{u}}{T}$.
હવે, $v \frac{dv}{ds} = -c\sqrt{v} \Rightarrow \sqrt{v} \, dv = -c \, ds$.
$s=0$ $(v=u)$ થી $s=S$ $(v=0)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{u}^{0} v^{1/2} \, dv = \int_{0}^{S} -c \, ds \Rightarrow [\frac{2}{3} v^{3/2}]_{u}^{0} = -cS \Rightarrow -\frac{2}{3} u^{3/2} = -cS \Rightarrow S = \frac{2u^{3/2}}{3c}$.
$c = \frac{2\sqrt{u}}{T}$ મૂકતા:
$S = \frac{2u^{3/2}}{3(2\sqrt{u}/T)} = \frac{uT}{3}$.
આપેલ છે $u = 120 \,m/s$ અને $T = 1.5 \,s$:
$S = \frac{120 \times 1.5}{3} = \frac{180}{3} = 60 \,m$.
આમ, $60 \,m$ વિકલ્પોમાં આપેલ નથી, તેથી આપેલા વિકલ્પો ખોટા છે.

(C) $AC$ સર્કિટમાં, પ્રવાહ emf સાથે સમાન કળામાં છે, જેનો અર્થ છે કે સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે। અનુનાદ સમયે, સર્કિટનું ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ ઇન્ડક્ટર કોઈલના અવરોધ $R$ જેટલું હોય છે $(Z = R)$.
આપેલ છે કે, rms વોલ્ટેજ $V_{\text{rms}} = 8 \, V$ અને rms પ્રવાહ $I_{\text{rms}} = 16 \, A$ છે।
ઇન્ડક્ટર કોઈલનો અવરોધ $R = \frac{V_{\text{rms}}}{I_{\text{rms}}} = \frac{8}{16} = 0.5 \, \Omega$ છે।
જ્યારે ઇન્ડક્ટર કોઈલને $6 \, V$ ની $DC$ બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસિટર $DC$ માટે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે, પરંતુ પ્રશ્ન ઇન્ડક્ટર કોઈલમાંથી વહેતા સ્થાયી પ્રવાહ વિશે છે। ઇન્ડક્ટર કોઈલનો અવરોધ $R = 0.5 \, \Omega$ હોવાથી, ઓહ્મના નિયમ મુજબ સ્થાયી પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે:
$I = \frac{V_{\text{DC}}}{R} = \frac{6 \, V}{0.5 \, \Omega} = 12 \, A$.

(D) ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $e = B l_{eff} v \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $l_{eff}$ એ વાહકના બે છેડાઓ વચ્ચેનું સ્થાનાંતર સદિશ છે.
$L$ લંબાઈના અર્ધવર્તુળાકાર તાર માટે,ત્રિજ્યા $r$ એ $L = \pi r$ દ્વારા મળે છે,તેથી $r = \frac{L}{\pi}$.
અસરકારક લંબાઈ $l_{eff}$ (બે છેડાઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર) એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે,$l_{eff} = 2r = \frac{2L}{\pi}$.
વેગ $v$ એ વ્યાસ (અસરકારક લંબાઈ સદિશ) સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ કિંમતોને emf ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = B \times (\frac{2L}{\pi}) \times v \times \sin(45^{\circ})$
$e = B \times \frac{2L}{\pi} \times v \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$e = \frac{\sqrt{2}}{\pi} B v L$
આ સમીકરણની આપેલ સમીકરણ $\Phi = \alpha(B v L)$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$ મળે છે.

(A) મુખ્ય વિચાર: શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર અનુનાદ (resonance) સમયે મહત્તમ હોય છે, જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે, એટલે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
આપેલ છે: $L = 0.5 \text{ H}$, $R = 10 \Omega$, $V_{rms} = 200 \text{ V}$, અને $f = \frac{150}{\pi} \text{ Hz}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{150}{\pi} = 300 \text{ rad/s}$.
અનુનાદ સમયે, ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 10 \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200}{10} = 20 \text{ A}$.
ઇન્ડક્ટર પરનો $rms$ વોલ્ટેજ $V_L = I_{rms} \times X_L$ છે, જ્યાં $X_L = \omega L$.
$V_L = 20 \times (300 \times 0.5) = 20 \times 150 = 3000 \text{ V}$.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$f_1 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
અંતે,કેપેસીટન્સ $C$ ને $C^{\prime}$ માં બદલવાથી રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f_2 = 2f_1$ થાય છે.
તેથી,$f_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC^{\prime}}}$.
સમીકરણમાં $f_2 = 2f_1$ મૂકતા:
$\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC^{\prime}}} = 2 \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $2 \pi$ અને $\sqrt{L}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{C^{\prime}}} = \frac{2}{\sqrt{C}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{C^{\prime}} = \frac{4}{C}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C}{C^{\prime}} = 4$ મળે છે.
નોંધ: અવરોધ $R$ માં થતો ફેરફાર $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સીને અસર કરતું નથી.

(C) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 4$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_P} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$.
તેથી,$\lambda_P = \frac{144}{7R}$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 2$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$.
તેથી,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_P}{\lambda_L}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{\lambda_P}{\lambda_L} = \frac{144 / 7R}{4 / 3R} = \frac{144}{7R} \times \frac{3R}{4} = \frac{36 \times 3}{7} = \frac{108}{7} \approx 15.42$.
આમ,$15 < 15.42 < 16$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{|E|}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક અવસ્થા $n_A = 3$ છે,તેથી પ્રારંભિક ઉર્જા $E_{n_A} = -\frac{|E|}{3^2} = -\frac{|E|}{9}$ છે.
જ્યારે $\Delta E = \frac{|E|}{12}$ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનનું શોષણ થાય છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_B$ અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,જેની ઉર્જા $E_{n_B} = -\frac{|E|}{n_B^2}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણનું સમીકરણ $E_{n_B} - E_{n_A} = \Delta E$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-\frac{|E|}{n_B^2} - (-\frac{|E|}{9}) = \frac{|E|}{12}$.
$|E|$ વડે ભાગતા: $-\frac{1}{n_B^2} + \frac{1}{9} = \frac{1}{12}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{n_B^2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{12}$.
સામાન્ય છેદ લેતા: $\frac{1}{n_B^2} = \frac{4 - 3}{36} = \frac{1}{36}$.
તેથી,$n_B^2 = 36$,જેનો અર્થ છે કે $n_B = 6$.

(D) આપેલ છે,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $= 5.5 eV$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુને ધરા-સ્થિતિ $(n=1)$ માંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 eV - (-13.6 eV) = 10.2 eV$ છે.
અહીં આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(5.5 eV)$ એ જરૂરી ઉત્તેજન ઊર્જા $(10.2 eV)$ કરતા ઓછી હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન હાઇડ્રોજન પરમાણુને કોઈ ઊર્જા આપી શકશે નહીં અને કોઈ ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ થશે નહીં.
આંતરિક ઉત્તેજન માટે કોઈ ઊર્જાનો વ્યય થતો ન હોવાથી,તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,આ અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે.

(D) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યાનું સૂત્ર: $N = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
અહીં $N = 10$ આપેલ છે, તેથી $\frac{n(n-1)}{2} = 10$, જેનો અર્થ છે કે $n^2 - n - 20 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા, $(n-5)(n+4) = 0$, આપણને $n = 5$ મળે છે (કારણ કે $n$ ધન હોવું જોઈએ).
$n=5$ અવસ્થાની ઉર્જા $E_5 = -\frac{13.6}{5^2} = -\frac{13.6}{25} = -0.544 \text{ eV}$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ ની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
પરમાણુને $n=1$ થી $n=5$ સુધી ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી આપાત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_5 - E_1 = -0.544 - (-13.6) = 13.056 \text{ eV}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1242 \text{ eV-nm}}{13.056 \text{ eV}} \approx 95.1 \text{ nm}$ મળે છે.

(B) અનંત રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{line} = \frac{2k\lambda}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે તેનાથી $(d-r)$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{point} = \frac{kq}{(d-r)^2}$ છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંનેના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $E_{line} = E_{point}$.
કિંમતો મૂકતા $\lambda = 1 \ C \ m^{-1}$,$q = 1 \ C$,અને $d = 3 \ m$:
$\frac{2k(1)}{r} = \frac{k(1)}{(3-r)^2}$
$\frac{2}{r} = \frac{1}{(3-r)^2}$
$2(3-r)^2 = r$
$2(9 - 6r + r^2) = r$
$18 - 12r + 2r^2 = r$
$2r^2 - 13r + 18 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{4} = \frac{13 \pm 5}{4}$
$r_1 = \frac{18}{4} = 4.5 \ m$ અને $r_2 = \frac{8}{4} = 2 \ m$.
બિંદુ ઉગમબિંદુ અને વિદ્યુતભારની વચ્ચે હોવું જોઈએ $(0 < r < 3)$,તેથી માન્ય અંતર $r = 2 \ m$ છે.

(C) $2 \,mm$ જાડાઈની ધાતુની પ્લેટને $6 \,mm$ પ્લેટ અંતર ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં દાખલ કરવામાં આવે ત્યારે,ધાતુની પ્લેટની બંને બાજુએ હવાની જગ્યા $d_1 = 3 \,mm$ અને $d_2 = d - d_1 - t = 6 - 3 - 2 = 1 \,mm$ થાય છે.
આ ગોઠવણી એ શ્રેણીમાં જોડેલા બે કેપેસિટર જેવી છે,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A = 36 \pi \,cm^2 = 36 \pi \times 10^{-4} \,m^2$ છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d_1}{\varepsilon_0 A} + \frac{d_2}{\varepsilon_0 A} = \frac{d_1 + d_2}{\varepsilon_0 A}$.
કિંમતો મૂકતા: $d_1 + d_2 = 3 \,mm + 1 \,mm = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$.
$C_{\text{eq}} = \frac{\varepsilon_0 A}{d_1 + d_2} = \frac{1}{4 \pi \times 9 \times 10^9} \times \frac{36 \pi \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}}$.
$C_{\text{eq}} = \frac{1}{36 \times 10^9} \times \frac{36 \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}} = \frac{10^{-4}}{4 \times 10^{-3} \times 10^9} = \frac{1}{4} \times 10^{-10} \,F = 0.25 \times 10^{-10} \,F = 25 \times 10^{-12} \,F = 25 \,pF$.

(B) ધારો કે ચાર પ્લેટોને ઉપરથી નીચે $1, 2, 3, 4$ ક્રમ આપવામાં આવ્યો છે. બહારની પ્લેટો $1$ અને $4$ ને એકસાથે જોડવામાં આવી છે. બિંદુઓ $A$ અને $B$ અનુક્રમે પ્લેટ $2$ અને $3$ સાથે જોડાયેલા છે.
પ્લેટ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે, એક કેપેસીટર $C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ છે.
પ્લેટ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે, એક કેપેસીટર $C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ છે.
પ્લેટ $3$ અને $4$ ની વચ્ચે, એક કેપેસીટર $C_3 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ છે.
પ્લેટ $1$ અને $4$ જોડાયેલી હોવાથી, તે સમાન પોટેન્શિયલ પર છે. ધારો કે આ પોટેન્શિયલ $V_0$ છે. પ્લેટ $2$ એ $V_A$ પોટેન્શિયલ પર છે અને પ્લેટ $3$ એ $V_B$ પોટેન્શિયલ પર છે.
કેપેસીટર $C_1$ એ $V_A$ અને $V_0$ ની વચ્ચે જોડાયેલું છે. કેપેસીટર $C_3$ એ $V_B$ અને $V_0$ ની વચ્ચે જોડાયેલું છે. કેપેસીટર $C_2$ એ $V_A$ અને $V_B$ ની વચ્ચે જોડાયેલું છે.
આ ગોઠવણી $C_1$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણ જેવી છે, જે $C_2$ સાથે સમાંતર છે.
$C_1 = C_2 = C_3 = C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$C_{eq} = C_2 + (C_1 \text{ અને } C_3 \text{ નું શ્રેણી જોડાણ})$
$C_{eq} = C + \frac{C \times C}{C + C} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$
$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ મૂકતા, આપણને મળે છે:
$C_{eq} = \frac{3}{2} \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

(A) આપેલ છે:
કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I_C = 8.9 \ mA$
એમિટર પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I_E = 9.0 \ mA$
આપણે જાણીએ છીએ કે એમિટર પ્રવાહ એ કલેક્ટર પ્રવાહ અને બેઝ પ્રવાહનો સરવાળો છે: $\Delta I_E = \Delta I_C + \Delta I_B$
તેથી,બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર: $\Delta I_B = \Delta I_E - \Delta I_C = 9.0 \ mA - 8.9 \ mA = 0.1 \ mA$
પ્રવાહ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર $\beta$ એ કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર અને બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફારનો ગુણોત્તર છે:
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{8.9 \ mA}{0.1 \ mA} = 89$

(D) ઓછી આવર્તનવાળા સંકેતો પાસે ખૂબ જ ઓછી ઉર્જા હોય છે; તેથી,મોડ્યુલેશન વગર તેમને લાંબા અંતર સુધી પ્રસારિત કરી શકાતા નથી.
મોડ્યુલેશનમાં,કેરિયર તરંગની લાક્ષણિકતાઓને ઓછી આવર્તનવાળા (મેસેજ) સંકેતના કંપનવિસ્તાર મુજબ બદલવામાં આવે છે.
કેરિયર તરંગો એ ઉચ્ચ આવર્તનવાળા સંકેતો છે જેનો ઉપયોગ મોડ્યુલેશન દ્વારા ઓછી આવર્તનવાળા સંકેતને લાંબા અંતર સુધી મોકલવા માટે થાય છે.

(D) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ ને $\mu = \frac{A_m}{A_c}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A_m$ એ મેસેજ સિગ્નલનો મહત્તમ કંપનવિસ્તાર છે અને $A_c$ એ કેરિયર સિગ્નલનો મહત્તમ કંપનવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે $A_m$ માં $0.1 \%$ નો વધારો થાય છે અને $A_c$ માં $0.3 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવા કંપનવિસ્તાર $A_m' = A_m(1 + 0.001) = 1.001 A_m$ અને $A_c' = A_c(1 + 0.003) = 1.003 A_c$ થશે.
નવો મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu'$ એ $\mu' = \frac{1.001 A_m}{1.003 A_c} = \frac{1.001}{1.003} \mu$ થશે.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\mu' - \mu}{\mu} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{1.001}{1.003} - 1 \right) \times 100 = \left( \frac{1.001 - 1.003}{1.003} \right) \times 100 = \frac{-0.002}{1.003} \times 100 \approx -0.1994 \% \approx -0.2 \%$.

(D) ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_T$ અને રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_R$ વચ્ચેના મહત્તમ લાઇન-ઓફ-સાઇટ $(LOS)$ અંતર $d_m$ માટેનું સૂત્ર $d_m = \sqrt{2Rh_T} + \sqrt{2Rh_R}$ છે, જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $h_T = 20 \,m$, $d_m = 40 \,km = 40,000 \,m$, અને $R = 6400 \,km = 6.4 \times 10^6 \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$40,000 = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 20} + \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times h_R}$
$40,000 = \sqrt{256 \times 10^6} + \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_R}$
$40,000 = 16,000 + \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_R}$
$24,000 = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_R}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(24,000)^2 = 12.8 \times 10^6 \times h_R$
$576,000,000 = 12,800,000 \times h_R$
$h_R = \frac{576,000,000}{12,800,000} = 45 \,m$.
આમ, રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $45 \,m$ છે.

(D) આપેલ છે: કેરિયર આવૃત્તિ $f_c = 5 MHz$,કેરિયર પીક વોલ્ટેજ $V_c = 40 V$,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu = 0.75$.
$1$. મેસેજ સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજ $(V_m)$ ની ગણતરી:
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu = \frac{V_m}{V_c}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.75 = \frac{V_m}{40 V}$.
$V_m = 40 V \times 0.75 = 30 V$.
$2$. મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ $(f_m)$ ની ગણતરી:
બે સાઇડ-બેન્ડ્સ (અપર સાઇડ-બેન્ડ અને લોઅર સાઇડ-બેન્ડ) વચ્ચેનો આવૃત્તિ તફાવત બેન્ડવિડ્થ જેટલો હોય છે,જે $2 f_m$ છે.
આપેલ છે: $2 f_m = 40 kHz$.
$f_m = \frac{40 kHz}{2} = 20 kHz$.
તેથી,મેસેજ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ અને આવૃત્તિ અનુક્રમે $30 V$ અને $20 kHz$ છે.

(C) આપેલ છે કે $E_1 = 2 \ V$ emf ધરાવતી બેટરીમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી $I_1 = 0 \ A$ છે.
સર્કિટમાં,$E_2 = 5 \ V$ અને $R_2$ ધરાવતી શાખા એ $R_3 = 2 \ \Omega$ ધરાવતી શાખા સાથે સમાંતર છે.
$I_1 = 0$ હોવાથી,સમાંતર જોડાણ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E_1 = 2 \ V$ જેટલો થાય છે.
તેથી,$R_3$ પરનો વોલ્ટેજ $V_{R3} = 2 \ V$ છે.
$R_3$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_3 = \frac{V_{R3}}{R_3} = \frac{2 \ V}{2 \ \Omega} = 1 \ A$ મળે છે.
હવે,વચ્ચેની શાખામાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા,શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = 2 \ V$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_2 - I_3 R_2 = V_{AB}$,જ્યાં $E_2 = 5 \ V$ છે.
$5 \ V - (1 \ A) \times R_2 = 2 \ V
\Rightarrow R_2 = 3 \ \Omega$.
$R_2$ પરનો વોલ્ટેજ $V_2$ એ અવરોધ $R_2$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ છે,જે $V_2 = -I_3 R_2 = -1 \ A \times 3 \ \Omega = -3 \ V$ છે.
તેથી,$V_2 = -3 \ V$ અને $I_3 = 1 \ A$ મળે છે.

(B) અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટને જમણી બાજુના છેડેથી સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. છેલ્લા બે અવરોધો (એક શ્રેણીમાં $R$ અને એક ઉભો $R$) શ્રેણીમાં છે: $R_{\text{eq1}} = R + R = 2R$.
$2$. આ $2R$ એ ઉભા $2R$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{\text{eq2}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
$3$. હવે,આ $R$ એ પછીના આડા $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે: $R_{\text{eq3}} = R + R = 2R$.
$4$. આ $2R$ એ પછીના ઉભા $2R$ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{\text{eq4}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
$5$. આ પેટર્ન ચાલુ રાખતા,પછીનો આડો $R$ એ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે: $R_{\text{eq5}} = R + R = 2R$.
$6$. આ $2R$ એ પછીના ઉભા $2R$ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{\text{eq6}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
$7$. અંતે,આ $R$ એ પ્રથમ આડા $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે: $R_{\text{eq7}} = R + R = 2R$.
$8$. આ $2R$ એ પ્રથમ ઉભા $2R$ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{\text{eq8}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
આમ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) શરૂઆતમાં,પ્રથમ કેપેસીટર $C_1 = 4 \mu F$ ને $V = 6 \ V$ સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V = 4 \mu F \times 6 \ V = 24 \mu C$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને બીજું કેપેસીટર $C_2 = 8 \mu F$ (જે શરૂઆતમાં અનચાર્જ્ડ છે) ને પ્રથમ કેપેસીટર સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 24 \mu C$ બંને વચ્ચે પુનઃવિતરિત થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં,બંને કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ સમાન હોય છે.
કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 4 \mu F + 8 \mu F = 12 \mu F$ થાય છે.
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{24 \mu C}{12 \mu F} = 2 \ V$ મળે છે.

(B) સર્કિટ $A$ માં,વોલ્ટમીટર સીધું અવરોધ $R$ ની આજુબાજુ જોડાયેલું છે. એમીટર અવરોધ $R$ અને વોલ્ટમીટર બંનેમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ માપે છે. વોલ્ટમીટરનો અવરોધ ખૂબ જ વધારે હોવાથી,તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ ખૂબ જ ઓછો હોય છે. જ્યારે અવરોધ $R$ ઓછો હોય ત્યારે આ સર્કિટ પસંદ કરવામાં આવે છે,કારણ કે એમીટર દ્વારા વધારાનો પ્રવાહ માપવાથી થતી ભૂલ ન્યૂનતમ થાય છે.
સર્કિટ $B$ માં,એમીટર અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલું છે,અને વોલ્ટમીટર અવરોધ $R$ અને એમીટર બંને પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે. એમીટરનો અવરોધ ખૂબ જ ઓછો હોવાથી,તેના પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ ખૂબ જ ઓછો હોય છે. જ્યારે અવરોધ $R$ વધારે હોય ત્યારે આ સર્કિટ પસંદ કરવામાં આવે છે,કારણ કે વોલ્ટમીટર દ્વારા એમીટર પરના વધારાના વોલ્ટેજ ડ્રોપને માપવાથી થતી ભૂલ ન્યૂનતમ થાય છે.
તેથી,સર્કિટ $A$ નો ઉપયોગ ઓછા અવરોધ માટે અને સર્કિટ $B$ નો ઉપયોગ ઉચ્ચ અવરોધ માટે થાય છે.

(D) આપેલ છે કે,ઉપકરણનો અવરોધ $R$ એ પ્રવાહ $I$ સાથે $R = \frac{0.2 I}{I-4}$ સંબંધ ધરાવે છે.
ઉપકરણ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા: $P = I^2 \left( \frac{0.2 I}{I-4} \right) = \frac{0.2 I^3}{I-4}$.
લઘુત્તમ પાવર શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $I$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ: $\frac{dP}{dI} = 0$.
$\frac{d}{dI} \left( \frac{0.2 I^3}{I-4} \right) = 0$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{(I-4)(0.6 I^2) - (0.2 I^3)(1)}{(I-4)^2} = 0$.
$0.6 I^3 - 2.4 I^2 - 0.2 I^3 = 0$.
$0.4 I^3 - 2.4 I^2 = 0$.
$0.4 I^2 (I - 6) = 0$.
$I > 4$ હોવાથી,$I = 6 \ A$ મળે.
$I = 6 \ A$ ને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા: $P_{\min} = \frac{0.2 \times (6)^3}{6-4} = \frac{0.2 \times 216}{2} = 0.2 \times 108 = 21.6 \ W$.

(B) આપેલ સર્કિટ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે $I_1$ અને $I_2$ એ અનુક્રમે લૂપ $(1)$ અને લૂપ $(2)$ માં વહેતા પ્રવાહો છે.
લૂપ $(1)$ માં $KVL$ લાગુ પાડતા:
$-5 + 10 I_1 + 10(I_1 - I_2) = 0$
$20 I_1 - 10 I_2 = 5$ --- $(i)$
લૂપ $(2)$ માં $KVL$ લાગુ પાડતા:
$10 I_2 + 3 + 10(I_2 - I_1) = 0$
$-10 I_1 + 20 I_2 = -3$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણીને સમીકરણ $(ii)$ માં ઉમેરતા:
$40 I_1 - 20 I_2 = 10$
$-10 I_1 + 20 I_2 = -3$
સરવાળો કરતા $30 I_1 = 7 \Rightarrow I_1 = \frac{7}{30} \text{ A}$ મળે છે.
$I_1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$20(\frac{7}{30}) - 10 I_2 = 5$
$\frac{14}{3} - 5 = 10 I_2$
$10 I_2 = \frac{14 - 15}{3} = -\frac{1}{3} \Rightarrow I_2 = -\frac{1}{30} \text{ A}$.
$AB$ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{AB} = I_1 - I_2 = \frac{7}{30} - (-\frac{1}{30}) = \frac{8}{30} \text{ A}$ છે.
$AB$ ટર્મિનલ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_{AB} = I_{AB} \times R_{AB} = \frac{8}{30} \times 10 = \frac{8}{3} \text{ V}$ થાય.

(C) જ્યારે ધાતુનું તાપમાન વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં રહેલા પરમાણુઓ વધુ જોરથી કંપન કરવા લાગે છે. આનાથી ઇલેક્ટ્રોન અને લેટીસ આયનો વચ્ચેની અથડામણની સંખ્યામાં વધારો થાય છે. આમ,ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય,જેને રિલેક્સેશન સમય ' $\tau$ ' કહેવાય છે,તે ઘટે છે. ધાતુની અવરોધકતા ' $\rho$ ' નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\rho = \frac{m}{n e^2 \tau}$. અહીં,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે. કારણ કે $\rho \propto \frac{1}{\tau}$,તેથી જેમ તાપમાન વધવાની સાથે રિલેક્સેશન સમય ' $\tau$ ' ઘટે છે,તેમ અવરોધકતા ' $\rho$ ' વધે છે.

(A) પ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતભારના વહેવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જે $I = \frac{Q}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ, વાયરમાંથી વહેતા કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ની ગણતરી કરો.
ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $N = n \times N_A$, જ્યાં $n = 0.1 \text{ mol}$ અને $N_A = 6 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ છે.
$N = 0.1 \times 6 \times 10^{23} = 6 \times 10^{22} \text{ ઇલેક્ટ્રોન}$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = N \times e$, જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ છે.
$Q = 6 \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} = 9.6 \times 10^3 \text{ C} = 9600 \text{ C}$.
સમય $t = 40 \text{ min} = 40 \times 60 \text{ s} = 2400 \text{ s}$.
હવે, પ્રવાહ $I = \frac{9600 \text{ C}}{2400 \text{ s}} = 4 \text{ A}$ ની ગણતરી કરો.

(A) આપેલ છે: વોલ્ટેજ $V = 10 \, V$, પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = 0.1 \, A$, પ્રારંભિક તાપમાન $t_1 = 40^{\circ} C$, અને તાપમાન ગુણાંક $\alpha = 2 \times 10^{-4} {}^{\circ} C^{-1}$.
$t_1 = 40^{\circ} C$ તાપમાને પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = \frac{V}{I_1} = \frac{10}{0.1} = 100 \, \Omega$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ $I_2 = 0.098 \, A$ થાય ત્યારે તાપમાન $t_2$ પરનો અવરોધ $R_2 = \frac{V}{I_2} = \frac{10}{0.098} \approx 102.04 \, \Omega$ છે.
સંબંધ $R_2 = R_1 [1 + \alpha(t_2 - t_1)]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$102.04 = 100 [1 + 2 \times 10^{-4} (t_2 - 40)]$.
$1.0204 = 1 + 2 \times 10^{-4} (t_2 - 40)$.
$0.0204 = 2 \times 10^{-4} (t_2 - 40)$.
$t_2 - 40 = \frac{0.0204}{2 \times 10^{-4}} = 102$.
$t_2 = 102 + 40 = 142^{\circ} C$.

(B) ધારો કે $t_2$ એ ફિલામેન્ટનું તાપમાન છે જ્યારે બલ્બ ચાલુ હોય અને $t_1$ એ ઓરડાનું તાપમાન છે જ્યારે બલ્બ બંધ હોય.
આપેલ છે:
$R_{t_2} = 250 \ \Omega$
$R_{t_1} = 25 \ \Omega$
$t_1 = 25^{\circ} C$
$\alpha = 4.5 \times 10^{-3} /^{\circ} C$
અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R_{t_2} = R_{t_1} [1 + \alpha(t_2 - t_1)]$
$250 = 25 [1 + 4.5 \times 10^{-3} (t_2 - 25)]$
બંને બાજુ $25$ વડે ભાગતા:
$10 = 1 + 4.5 \times 10^{-3} (t_2 - 25)$
$9 = 4.5 \times 10^{-3} (t_2 - 25)$
$t_2 - 25 = \frac{9}{4.5 \times 10^{-3}}$
$t_2 - 25 = 2 \times 10^3$
$t_2 - 25 = 2000$
$t_2 = 2025^{\circ} C$
આમ,જ્યારે બલ્બ ચાલુ હોય ત્યારે ફિલામેન્ટનું તાપમાન $2025^{\circ} C$ છે.

(C) $A \rightarrow IV$: માઈકલસન-મોરલી પ્રયોગ લ્યુમિનીફેરસ ઈથરના અસ્તિત્વને શોધવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. આ પ્રયોગના પરિણામે ઈથરનું અસ્તિત્વ ન હોવાનું સૂચવ્યું હતું.
$B \rightarrow III$: સ્ટર્ન-ગેરલેચ પ્રયોગે દર્શાવ્યું કે કોણીય વેગમાનનું અવકાશી અભિગમ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ છે. તે સાબિત કરે છે કે ઇલેક્ટ્રોન પાસે સ્પિન નામનો આંતરિક ગુણધર્મ છે, જે તેમને ચુંબકીય મોમેન્ટ આપે છે.
$C \rightarrow II$: ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગે ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ માટે પ્રાયોગિક પુરાવા પૂરા પાડ્યા, જે ડી-બ્રોગ્લી દ્રવ્ય તરંગોના અસ્તિત્વની પુષ્ટિ કરે છે.
$D \rightarrow I$: ક્લાઉડ ચેમ્બરમાં કોસ્મિક કિરણોના ટ્રેકનો અભ્યાસ કરીને, કાર્લ એન્ડરસને પોઝિટ્રોનની શોધ કરી, જે ઇલેક્ટ્રોન જેટલું જ દળ ધરાવતો ધન વીજભારિત કણ છે, જે એન્ટિ-મેટરના અસ્તિત્વની પુષ્ટિ કરે છે.

(D) $m$ દળ અને $E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$
બીજા કણ માટે,દળ $m' = 2m$ અને ઉર્જા $E' = 2E$ છે. આપેલ ગતિઊર્જા ધરાવતા કણ માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં વિદ્યુતભાર $q$ ની કોઈ અસર થતી નથી.
નવી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m'E'}}$
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2(2m)(2E)}}$
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{8mE}}$
$\lambda' = \frac{h}{2\sqrt{2mE}}$
કારણ કે $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\lambda' = \frac{\lambda}{2}$

(A) આપેલ છે: દળ $m = 8.0 \times 10^{-31} \ kg$, વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$, ગતિઊર્જા $KE = 3 \ keV = 3 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 4.8 \times 10^{-16} \ J$, અને પ્લાન્ક અચળાંક $h = 6.4 \times 10^{-34} \ Js$ છે।
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે।
વેગમાન $p = \sqrt{2m(KE)}$ હોવાથી, $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ મળે।
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.4 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 8.0 \times 10^{-31} \times 4.8 \times 10^{-16}}} \approx 0.4 \ \text{Å}$ (આપેલ વિકલ્પો મુજબ)।
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે।

(C) એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{660 \times 10^{-9}} = 3 \times 10^{-19} J$.
$t = 100 ms = 0.1 s$ સમયમાં લેમ્પ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E_{total} = P \times t = 300 \times 0.1 = 30 J$ છે.
$r = 10 m$ અંતરે તીવ્રતા $A_{sphere} = 4\pi r^2 = 4\pi(10)^2 = 400\pi m^2$ ના ગોળાકાર ક્ષેત્રફળ પર ફેલાયેલી છે.
$r_s = 1 cm = 10^{-2} m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સેન્સરના મુખનું ક્ષેત્રફળ $A_{sensor} = \pi r_s^2 = \pi(10^{-2})^2 = \pi \times 10^{-4} m^2$ છે.
સેન્સર પર આપાત થતી ઉર્જા $E_{sensor} = E_{total} \times \frac{A_{sensor}}{A_{sphere}} = 30 \times \frac{\pi \times 10^{-4}}{400\pi} = \frac{30 \times 10^{-4}}{400} = 7.5 \times 10^{-6} J$ છે.
ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{E_{sensor}}{E} = \frac{7.5 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-19}} = 2.5 \times 10^{13}$ છે.

(C) વૈજ્ઞાનિક મેક્સવેલે એમ્પિયરના નિયમનું વધુ સંશોધન કર્યું અને જાણ્યું કે તે સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત ક્ષેત્રો માટે અધૂરો હતો.
તેમણે એમ્પિયરના નિયમને સુધારવા માટે સ્થાનભ્રંશ પ્રવાહ,$I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ નો ખ્યાલ રજૂ કર્યો.
આ સુધારો,જેને એમ્પિયર-મેક્સવેલનો નિયમ કહેવામાં આવે છે,તે કેપેસિટર ધરાવતા પરિપથોમાં પ્રવાહની સાતત્યતા અંગે એમ્પિયરના મૂળભૂત સર્કિટલ નિયમમાં રહેલી અસ્પષ્ટતાને દૂર કરે છે.

(A) આપેલ છે: સ્ત્રોતનો પાવર $P = 1 \,W$, અંતર $d = 1 \,m$, ખુલ્લા વિસ્તારની ત્રિજ્યા $r = 1 \,Å = 10^{-10} \,m$, વર્ક ફંક્શન $\phi = 5 \,eV = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J$.
$d$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi d^2} = \frac{1}{4 \pi (1)^2} = \frac{1}{4 \pi} \,W/m^2$.
વર્તુળાકાર વિસ્તાર $A = \pi r^2$ દ્વારા શોષાયેલ પાવર $P_{abs} = I \times A = \frac{1}{4 \pi} \times \pi (10^{-10})^2 = \frac{10^{-20}}{4} \,W$.
વર્ક ફંક્શન જેટલી ઉર્જા મેળવવા માટે જરૂરી સમય $t = \frac{\phi}{P_{abs}}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{5 \times 1.6 \times 10^{-19}}{10^{-20} / 4} = \frac{8 \times 10^{-19}}{0.25 \times 10^{-20}} = 320 \,s$.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણપુંજ $\theta$ આપાતકોણે આપાત થાય છે,ત્યારે સપાટી પરની અસરકારક તીવ્રતા $I \cos \theta$ થાય છે અને અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A \cos \theta$ થાય છે. આપાત પ્રકાશ દ્વારા એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સ્થાનાંતરિત વેગમાન $\frac{I \cos \theta}{c}$ છે. આ વેગમાન સ્થાનાંતરનો લંબ ઘટક $\frac{I \cos \theta}{c} \times \cos \theta = \frac{I \cos^2 \theta}{c}$ છે.
સપાટી સંપૂર્ણ પરાવર્તક હોવાથી,પરાવર્તિત પ્રકાશ પણ વેગમાનમાં ફેરફારને કારણે સમાન દબાણ લગાડે છે. કુલ વિકિરણ દબાણ $p_{\text{net}}$ એ આપાત અને પરાવર્તિત પ્રકાશને કારણે લાગતા દબાણનો સરવાળો છે:
$p_{\text{net}} = \frac{I \cos^2 \theta}{c} + \frac{I \cos^2 \theta}{c} = \frac{2I \cos^2 \theta}{c}$.
$A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી સપાટી પર લાગતું બળ $F$ એ $F = p_{\text{net}} \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$F = \frac{2IA \cos^2 \theta}{c}$.

(C) આપેલ છે, ફ્લેશલાઇટની તીવ્રતા, $I = 9 \, W/cm^2 = 9 \times 10^4 \, W/m^2$.
ક્ષેત્રફળ, $A = 300 \, cm^2 = 3 \times 10^{-2} \, m^2$.
સંપૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી માટે, રેડિયેશન દબાણ $p = \frac{2I}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c = 3.0 \times 10^8 \, m/s$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે।
કિંમતો મૂકતા: $p = \frac{2 \times 9 \times 10^4}{3 \times 10^8} = 6 \times 10^{-4} \, N/m^2$.
સપાટી પર લાગતું સરેરાશ બળ $F = p \times A$ છે।
$F = (6 \times 10^{-4} \, N/m^2) \times (3 \times 10^{-2} \, m^2) = 18 \times 10^{-6} \, N = 18 \, \mu N$.

(C) આ સર્કિટમાં બે સમાંતર બ્લોક છે જે $10 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પ્રથમ,ઉપરના સમાંતર બ્લોક ($15 \Omega$ અને $5 \Omega$) નો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_{eq1} = \frac{15 \times 5}{15 + 5} = \frac{75}{20} = 3.75 \Omega$.
આ બ્લોક પરનો વોલ્ટેજ $45 V$ આપેલ છે. આ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{V}{R_{eq1}} = \frac{45}{3.75} = 12 A$.
ત્યારબાદ,વચ્ચેના સમાંતર બ્લોક $(24 \Omega, 12 \Omega, 8 \Omega)$ નો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$\frac{1}{R_{eq2}} = \frac{1}{24} + \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{1 + 2 + 3}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \Rightarrow R_{eq2} = 4 \Omega$.
$a$ અને $b$ વચ્ચેનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ ત્રણેય વિભાગો પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપનો સરવાળો છે:
$V_{ab} = V_{top} + V_{middle} + V_{bottom} = 45 V + (I \times R_{eq2}) + (I \times 10 \Omega)$.
$V_{ab} = 45 + (12 \times 4) + (12 \times 10) = 45 + 48 + 120 = 213 V$.

(D) આપેલ છે: પીક emf, $V_0 = 8 \, V$, આવૃત્તિ $f = \frac{30}{\pi} \, Hz$, અવરોધ $R = 8 \, \Omega$, સરેરાશ પાવર $P_{avg} = 0.4 \, W$.
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \, V$.
સરેરાશ પાવરનું સૂત્ર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = V_{rms} \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right) \left(\frac{R}{Z}\right) = \frac{V_{rms}^2 R}{Z^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.4 = \frac{(8/\sqrt{2})^2 \times 8}{Z^2} = \frac{32 \times 8}{Z^2} = \frac{256}{Z^2}$.
$Z^2 = \frac{256}{0.4} = 640 \, \Omega^2$.
$Z^2 = R^2 + X_L^2$ હોવાથી, $640 = 8^2 + X_L^2 = 64 + X_L^2$.
$X_L^2 = 640 - 64 = 576$, તેથી $X_L = 24 \, \Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ નો ઉપયોગ કરતા, $24 = 2 \pi (\frac{30}{\pi}) L = 60 L$.
$L = \frac{24}{60} = 0.4 \, H$.

(B) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 10^{-12} \sin(5 \times 10^6 t) \text{ T}$,આંટાની સંખ્યા $N = 300$,અને ક્ષેત્રફળ $A = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e = -N \frac{d\phi}{dt}$ છે,જ્યાં $\phi = BA$.
કોઈલ ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,$\phi = BA \cos(0^\circ) = BA$.
કિંમતો મૂકતા:
$e = -N \frac{d}{dt}(BA) = -NA \frac{dB}{dt}$
$e = -300 \times (20 \times 10^{-4}) \times \frac{d}{dt} [10^{-12} \sin(5 \times 10^6 t)]$
$e = -300 \times 20 \times 10^{-4} \times 10^{-12} \times \cos(5 \times 10^6 t) \times (5 \times 10^6)$
$e = -6000 \times 10^{-16} \times 5 \times 10^6 \times \cos(5 \times 10^6 t)$
$e = -30000 \times 10^{-10} \times \cos(5 \times 10^6 t)$
$e = -3 \times 10^{-6} \cos(5 \times 10^6 t) \text{ V}$.

(A) ટોરોઇડના વાઇન્ડિંગમાં પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ H m}^{-1}$,$n = 1500 \text{ turns/m}$,અને $I = 10 \text{ A}$.
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 1500 \times 10 = 6 \pi \times 10^{-3} \text{ T} = 6 \pi \text{ mT}$.
કુલ આંતરિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = 10 \pi \text{ mT}$ આપેલ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર અને મેગ્નેટાઇઝેશનને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $(B_m)$ નો સરવાળો છે:
$B_0 = B + B_m$.
તેથી,$B_m = B_0 - B = 10 \pi \text{ mT} - 6 \pi \text{ mT} = 4 \pi \text{ mT}$.

(B) આપેલ છે: પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = 10 \ rev/s$,સળિયાની લંબાઈ $L = 80 \ cm = 0.8 \ m$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.5 \ T$.
સળિયો તેના મધ્યબિંદુની આસપાસ ફરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોણીય વેગ $\omega$ થી ફરતા $l$ લંબાઈના સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સળિયો તેના કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે,તેથી સળિયાનો દરેક અડધો ભાગ (લંબાઈ $r = L/2 = 0.4 \ m$) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા અલગ વાહક તરીકે વર્તે છે.
સળિયાના એક અડધા ભાગમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon' = \frac{1}{2} B \omega r^2$ છે.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 10 = 20 \pi \ rad/s$,તેથી:
$\varepsilon' = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (20 \pi) \times (0.4)^2 = 0.5 \times 10 \pi \times 0.16 = 0.8 \pi \ V$.
કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં બંને અડધા ભાગો વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બે છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \varepsilon' + \varepsilon' = 2 \times 0.8 \pi = 1.6 \pi \ V$ થશે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = 6.0 \,A$,અંતિમ પ્રવાહ $I_2 = 1.0 \,A$,સમયગાળો $\Delta t = 0.2 \,s$,અને સરેરાશ પ્રેરિત emf $e = 150 \,V$.
ઇન્ડક્ટરમાં પ્રેરિત સરેરાશ emf નું સૂત્ર $e = L \frac{|\Delta I|}{\Delta t}$ છે,જ્યાં $\Delta I = I_1 - I_2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$150 = L \frac{(6.0 - 1.0)}{0.2}$
$150 = L \frac{5.0}{0.2}$
$150 = L \times 25$
$L = \frac{150}{25} = 6 \,H$.
તેથી,સર્કિટનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $6 \,H$ છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) કેન્દ્રથી $r$ ત્રિજ્યાએ ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ પહોળાઈ અને $h$ ઊંચાઈની એક સૂક્ષ્મ લંબચોરસ પટ્ટીનો વિચાર કરો. ક્ષેત્રફળનો ઘટક $dA = h \, dr$ છે.
આ સૂક્ષ્મ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = \left( \frac{\mu_0 n I}{2 \pi r} \right) (h \, dr)$ છે.
આડછેદમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ મેળવવા માટે $r = a$ થી $r = b$ સુધી સંકલન કરતા:
$\phi = \int_a^b \frac{\mu_0 n I h}{2 \pi r} dr = \frac{\mu_0 n I h}{2 \pi} \int_a^b \frac{1}{r} dr = \frac{\mu_0 n I h}{2 \pi} [\ln r]_a^b = \frac{\mu_0 n I h}{2 \pi} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.
આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ને $L = \frac{n \phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$L = \frac{n}{I} \left( \frac{\mu_0 n I h}{2 \pi} \ln \left( \frac{b}{a} \right) \right) = \frac{\mu_0 n^2 h}{2 \pi} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.

(A) આપેલ છે,વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગની આવૃત્તિ,$f = 3 \ MHz = 3 \times 10^6 \ Hz$.
બિન-ચુંબકીય માધ્યમની પરમિટિવિટી,$\epsilon = 16 \epsilon_0$.
શૂન્યાવકાશમાં $EM$ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{3 \times 10^6 \ Hz} = 100 \ m$ છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ છે. માધ્યમ બિન-ચુંબકીય હોવાથી,$\mu_r = 1$ થાય.
તેથી,$n = \sqrt{\frac{\epsilon}{\epsilon_0}} = \sqrt{16} = 4$.
માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{\lambda}{n} = \frac{100 \ m}{4} = 25 \ m$ થાય.
તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 25 \ m - 100 \ m = -75 \ m$ છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટ માટે ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અહીં,$R = 5 \ \Omega$,$L = 20 \ mH = 20 \times 10^{-3} \ H$,અને $C = 500 \ \mu F = 500 \times 10^{-6} \ F$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \ rad/s$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \pi \times 20 \times 10^{-3} = 2 \pi \approx 6.28 \ \Omega$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times 500 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.05 \pi} = \frac{20}{\pi} \approx 6.37 \ \Omega$ છે.
હવે,$Z = \sqrt{5^2 + (6.28 - 6.37)^2} = \sqrt{25 + (-0.09)^2} = \sqrt{25 + 0.0081} = \sqrt{25.0081} \approx 5 \ \Omega$ થાય.

(B) આપેલ છે,મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B_0 = 1.26 \times 10^{-4} \ T$ અને શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી,$\mu_0 = 1.26 \times 10^{-6} \ H/m$. પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{1}{2} \frac{B_0^2 c}{\mu_0}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times \frac{(1.26 \times 10^{-4})^2 \times 3 \times 10^8}{1.26 \times 10^{-6}}$
$I = \frac{1}{2} \times \frac{1.26 \times 1.26 \times 10^{-8} \times 3 \times 10^8}{1.26 \times 10^{-6}}$
$I = \frac{1}{2} \times 1.26 \times 3 \times 10^2 \times 10^6$
$I = 0.63 \times 3 \times 10^6 = 1.89 \times 10^6 \ W/m^2$.

(B) આપેલ છે,દરેક ગોળાનું દળ $m = 20 \text{ g} = 2 \times 10^{-2} \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$.
દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q = 10^{-10} \text{ C}$.
દોરાની લંબાઈ $L = 300 \text{ cm} = 3 \text{ m}$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,એક ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ અને વજન $mg$ છે.
બળોના ઘટકો પાડતા:
$T \cos \theta = mg$
$T \sin \theta = F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2}$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{F}{mg} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2 mg}$
ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{x/2}{\sqrt{L^2 - (x/2)^2}} \approx \frac{x}{2L}$ (કારણ કે $x \ll L$).
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણો સરખાવતા:
$\frac{x}{2L} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2 mg}$
$x^3 = \frac{2L q^2}{4 \pi \varepsilon_0 mg} = (9 \times 10^9) \cdot \frac{2 \times 3 \times (10^{-10})^2}{2 \times 10^{-2} \times 10} = 27 \times 10^{-9} \text{ m}^3$.
$x = (27 \times 10^{-9})^{1/3} \text{ m} = 3 \times 10^{-3} \text{ m} = 3 \text{ mm}$.
આમ,સંતુલન અંતર $3 \text{ mm}$ મળે છે.

(C) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી શીટ દ્વારા ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સ્લિટ માટે,$\mu_1 = 1.6$ હોવાથી,પથ તફાવત $\Delta x_1 = (1.6 - 1)t = 0.6t$ થશે.
બીજી સ્લિટ માટે,$\mu_2 = 1.3$ હોવાથી,પથ તફાવત $\Delta x_2 = (1.3 - 1)t = 0.3t$ થશે.
મધ્યબિંદુ પર ચોખ્ખો પથ તફાવત $\Delta x = |\Delta x_1 - \Delta x_2| = |0.6t - 0.3t| = 0.3t$ થશે.
આપેલ છે કે મધ્યબિંદુ પર $10$ મી પ્રકાશિત શલાકા છે,તેથી ચોખ્ખો પથ તફાવત $10\lambda$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$0.3t = 10\lambda$.
અહીં $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$ મૂકતા:
$0.3t = 10 \times 600 \times 10^{-9} \ m$.
$t = \frac{6000 \times 10^{-9}}{0.3} \ m = 20000 \times 10^{-9} \ m = 20 \ \mu m$.

(C) ધારો કે પોલાણ બનાવતા પહેલા ઘન ગોળાનો વિદ્યુતભાર $Q_0$ છે. સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત અવાહક ગોળાની અંદર કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0} = \frac{Q_0 \vec{r}}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,પોલાણના કેન્દ્ર $(O')$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ મૂળ ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર અને દૂર કરેલા ગોળાકાર ભાગને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રનો તફાવત છે.
$E = E_{Q_0} - E_{\text{cavity}} = \frac{Q_0}{4 \pi \epsilon_0 R^3} \left( \frac{R}{2} \right) - 0 = \frac{Q_0}{8 \pi \epsilon_0 R^2} = \frac{Q_0}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \left( \frac{1}{2} \right)$.
વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,વિદ્યુતભાર એ કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{Q}{Q_0} = \frac{V_{\text{sphere}} - V_{\text{cavity}}}{V_{\text{sphere}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3 - \frac{4}{3} \pi (R/4)^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$.
આમ,$Q_0 = Q \left( \frac{64}{63} \right)$.
$Q_0$ ની કિંમત $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{Q (64/63)}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{32}{63} \left( \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \right) \approx 0.5079 \left( \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \right)$.
આને $E = K \left( \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K \approx 0.51$ મળે છે.

(A) જ્યારે એક અવાહક ગોળાના કેન્દ્ર પર ઋણ વિદ્યુતભાર $(-q)$ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેની આસપાસના અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભાર તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
જેহেতু વિદ્યુતભાર ગોળાના કેન્દ્રમાં છે,તેથી ગોળાની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશ કરશે.
તેથી,સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ હોય છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.

(D) આપેલ છે કે,ગોળાની કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho_v = 1 \times 10^{-6} \ C/m^3$ છે.
અચળાંક $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$ છે.
કેન્દ્રથી અંતર $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$ છે.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાની અંદરના બિંદુ માટે,ગૌસના નિયમ મુજબ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{\rho_v r}{3 \epsilon_0}$
કારણ કે $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9$,તેથી $\frac{1}{\epsilon_0} = 36 \pi \times 10^9$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{\rho_v r}{3} \times (36 \pi \times 10^9)$
$E = \rho_v r \times 12 \pi \times 10^9$
$\rho_v$ અને $r$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = (1 \times 10^{-6}) \times (10^{-3}) \times 12 \pi \times 10^9$
$E = 10^{-9} \times 12 \pi \times 10^9$
$E = 12 \pi \ N/C$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $12 \pi \ N/C$ છે.

(C) પ્રશ્ન મુજબ,બે મોટી સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યા સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા પદાર્થથી ભરેલી છે. તે એક સમાંગ માધ્યમ હોવાથી,આ પ્લેટો વચ્ચેના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાનની ગણતરી પોઈસન (Poisson's) ના સમીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે:
$\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$
આપણે $x$-દિશામાં કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાનની ગણતરી કરવાની હોવાથી,$y$ અને $z$ દિશામાં સ્થિતિમાનનું વિકલન શૂન્ય થશે.
તેથી,સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\frac{d^2 V}{d x^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{d^2 V}{d x^2} dx = -\int \frac{\rho}{\varepsilon_0} dx$
$\frac{d V}{d x} = -\frac{\rho x}{\varepsilon_0} - A$
ફરીથી બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{d V}{d x} dx = \int \left( -\frac{\rho x}{\varepsilon_0} - A \right) dx$
$V = -\frac{\rho x^2}{2 \varepsilon_0} - Ax - B$
$V = -\left( \frac{\rho x^2}{2 \varepsilon_0} + Ax + B \right)$