TS EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા ચલ વર્તુળ $S=0$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે.
વર્તુળ રેખા $x-y=0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(-g, -f)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2+f^2}$ જેટલું થાય.
$\frac{|-g+f|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \sqrt{g^2+f^2} \Rightarrow \frac{(g-f)^2}{2} = g^2+f^2$.
$g^2+f^2-2gf = 2g^2+2f^2$ $\Rightarrow g^2+f^2+2gf = 0$ $\Rightarrow (g+f)^2 = 0$ $\Rightarrow f = -g$.
$f = -g$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,$S = x^2+y^2+2gx-2gy = 0$ મળે.
$S=0$ અને $x^2+y^2+6x+8y-7=0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2gx-2gy) - (x^2+y^2+6x+8y-7) = 0$.
$(2g-6)x - (2g+8)y + 7 = 0$.
$2g(x-y) - (6x+8y-7) = 0$.
આ રેખાઓની સંહતિ દર્શાવે છે જે $x-y=0$ અને $6x+8y-7=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x=y$,તેથી $6x+8x-7=0$ $\Rightarrow 14x=7$ $\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $S^{\prime} \equiv x^2+y^2-2x+2y-7=0$ છે.
કેન્દ્ર $C_1(1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
રેખાઓ $5x^2-xy-5x+y=0$ એટલે કે $(x-1)(5x-y)=0$ છે.
તેથી,$S=0$ નું કેન્દ્ર $C_2(1, 5)$ છે.
બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$C_1C_2 = r_1 + r_2$ $\Rightarrow 6 = 3 + r_2$ $\Rightarrow r_2 = 3$.
$S=0$ નું સમીકરણ: $(x-1)^2 + (y-5)^2 = 9 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 10y + 17 = 0$.
$C_1(1, -1)$ માટે સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $T=0$ છે.
$x(1) + y(-1) - 1(x+1) - 5(y-1) + 17 = 0$.
$-6y + 21 = 0 \Rightarrow 2y-7=0$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+2y+3=0$ છે.
સરખામણી કરતા,કેન્દ્ર $(2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4+1-3} = \sqrt{2}$ મળે છે.
જો સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ એ નિયામક વર્તુળ (director circle) છે.
નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2 = 2r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x-2)^2+(y+1)^2 = 2(\sqrt{2})^2 = 4$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2+y^2-4x+2y+1 = 0$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) વિધાન $I$ માટે: $x = ly^2 + my + n \Rightarrow x - n = l(y^2 + \frac{m}{l}y) \Rightarrow x - n + \frac{m^2}{4l} = l(y + \frac{m}{2l})^2 \Rightarrow (y + \frac{m}{2l})^2 = \frac{1}{l}(x - (n - \frac{m^2}{4l}))$. શિરોબિંદુ $(n - \frac{m^2}{4l}, -\frac{m}{2l})$ છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: $y = lx^2 + mx + n \Rightarrow y - n = l(x^2 + \frac{m}{l}x) \Rightarrow y - n + \frac{m^2}{4l} = l(x + \frac{m}{2l})^2 \Rightarrow (x + \frac{m}{2l})^2 = \frac{1}{l}(y - (n - \frac{m^2}{4l}))$. અહીં $4a = \frac{1}{l} \Rightarrow a = \frac{1}{4l}$. નાભિ $(h, k+a) = (-\frac{m}{2l}, n - \frac{m^2-1}{4l})$ થાય. પ્રશ્નમાં આપેલ નાભિ ખોટું છે. આમ,વિધાન $II$ ખોટું છે.
વિધાન $III$ માટે: પરવલય $x^2 = 4ay$ માટે રેખા $lx + my + n = 0$ નો ધ્રુવ શોધતા,તે $(-\frac{2al}{m}, -\frac{n}{m})$ મળે છે. તેથી વિધાન $III$ પણ ખોટું છે.

(A) માટે: ધારો કે $x = \frac{p}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$ અને $y = \frac{q}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)$.
$\Rightarrow \frac{2x}{p} = t+\frac{1}{t}$ અને $\frac{2y}{q} = t-\frac{1}{t}$.
વર્ગ કરીને બાદબાકી કરતા: $\left(\frac{2x}{p}\right)^2 - \left(\frac{2y}{q}\right)^2 = \left(t+\frac{1}{t}\right)^2 - \left(t-\frac{1}{t}\right)^2 = 4$.
$\Rightarrow \frac{x^2}{p^2} - \frac{y^2}{q^2} = 1$,જે અતિવલય દર્શાવે છે. આમ,$(A \rightarrow IV)$.
$(B)$ માટે: ધારો કે $x = p+q \cos \theta$ અને $y = r+q \sin \theta$.
$\Rightarrow (x-p) = q \cos \theta$ અને $(y-r) = q \sin \theta$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $(x-p)^2 + (y-r)^2 = q^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = q^2$.
આ વર્તુળ દર્શાવે છે. આમ,$(B \rightarrow II)$.
$(C)$ માટે: ધારો કે $x = p+\lambda^2$ અને $y = q-\lambda$.
$\Rightarrow \lambda = q-y$.
$x$ માં $\lambda$ ની કિંમત મુકતા: $x = p + (q-y)^2$.
$\Rightarrow (y-q)^2 = x-p$,જે પરવલય દર્શાવે છે. આમ,$(C \rightarrow I)$.
તેથી,સાચી જોડ $(A$ $\rightarrow IV, B$ $\rightarrow II, C$ $\rightarrow I)$ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જ્યાં $4a=4$,તેથી $a=1$.
રેખા $y=mx+c$ એ પરવલય $y^2=4ax$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
આપેલ રેખા $y=mx+1$ માટે,$c=1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $1 = \frac{1}{m}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m=1$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જેનું શિરોબિંદુ $V(0,0)$ છે.
પરવલય પરનું બિંદુ $P(at^2, 2at)$ ધારો.
$V(0,0)$ અને $P(at^2, 2at)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $\frac{2at-0}{at^2-0} = \tan \theta$ છે.
તેથી,$\frac{2}{t} = \tan \theta$,જેનો અર્થ છે કે $t = 2 \cot \theta$.
રેખાખંડ $VP$ ની લંબાઈ $\sqrt{(at^2)^2 + (2at)^2} = a|t|\sqrt{t^2+4}$ છે.
$t = 2 \cot \theta$ મૂકતા:
$VP = 2a \cot \theta \cdot 2 \sqrt{\cot^2 \theta + 1} = 4a \cot \theta \operatorname{cosec} \theta = \frac{4a \cos \theta}{\sin^2 \theta}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે: $C_1: y^2=4x$,જ્યાં $a=1$.
$C_2: x^2+y^2-6x+1=0$,જેનું કેન્દ્ર $(3,0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2+0^2-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
$C_1$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ અથવા $m^2x - my + 1 = 0$ છે.
આ $C_2$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(3,0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $2\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|3m^2+1|}{\sqrt{m^4+m^2}} = 2\sqrt{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3m^2+1)^2 = 8(m^4+m^2)$
$m^4 - 2m^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow (m^2-1)^2 = 0$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
$m=1$ માટે સ્પર્શક $x - y + 1 = 0$ અને $m=-1$ માટે $x + y + 1 = 0$ મળે છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $1 \cdot (-1) = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો લંબ છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $a = 3$.
બિંદુ $P(3, 6)$ માટે $at^2 = 3$ અને $2at = 6$. $a = 3$ મૂકતા,$3t^2 = 3 \implies t = 1$.
$t$ આગળ અભિલંબ જીવાની લંબાઈ $l_1 = 2a(t^2+2) \sqrt{t^2+1}$ છે. $t = 1$ માટે,$l_1 = 2(3)(1+2) \sqrt{1+1} = 18 \sqrt{2}$.
$P(at^2, 2at)$ માંથી પસાર થતી નાભિ જીવાની લંબાઈ $l_2 = a(t + \frac{1}{t})^2$ છે. $t = 1$ માટે,$l_2 = 3(1 + 1)^2 = 12$.
તેથી,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{18 \sqrt{2}}{12} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$.

(B) આપેલ પરવલય $y^2=16x$ માટે, $4a=16$ હોવાથી $a=4$ મળે।
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(4, 8)$ અને $(4, -8)$ છે।
બિંદુ $(4, 8)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 1$ છે, તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -1$ થાય।
બિંદુ $(4, 8)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 8 = -1(x - 4) \implies y = -x + 12$ છે।
આ અભિલંબ $X$-અક્ષને $(12, 0)$ બિંદુ $P$ પર છેદે છે।
જીવા બિંદુ $P(12, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબને લંબ છે, તેથી જીવાનો ઢાળ $1$ છે।
જીવાનું સમીકરણ $y = x - 12$ છે।
$y = x - 12$ ને $y^2 = 16x$ માં મૂકતા, $(x - 12)^2 = 16x \implies x^2 - 40x + 144 = 0$ મળે।
ઉકેલતા $x = 4$ અને $x = 36$ મળે।
તેથી બિંદુઓ $(4, -8)$ અને $(36, 24)$ મળે।
જીવાની લંબાઈ $\sqrt{(36 - 4)^2 + (24 - (-8))^2} = \sqrt{32^2 + 32^2} = 32 \sqrt{2}$ થાય।

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$ મળે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$a = 4$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 8m - 4m^3$ થાય છે.
આપેલ રેખા $y = -x + k$ અભિલંબ હોવાથી,ઢાળ સરખાવતા $m = -1$ મળે છે.
$m = -1$ ને અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (-1)x - 8(-1) - 4(-1)^3$
$y = -x + 8 + 4$
$y = -x + 12$
આને $y = -x + k$ સાથે સરખાવતા,$k = 12$ મળે છે.

(A) આપેલ પરવલય $y^2=4x$ છે,જે $y^2=4ax$ ના સ્વરૂપમાં છે. સરખામણી કરતા,$a=1$ મળે છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
સ્પર્શક $(1,4)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$4=m(1)+\frac{1}{m}$ મળે.
$m$ વડે ગુણતા,$m^2-4m+1=0$ મળે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ બે સ્પર્શકોના ઢાળ છે. તેથી $m_1+m_2=4$ અને $m_1m_2=1$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
નિત્યસમ $|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan \theta = \frac{\sqrt{4^2-4(1)}}{1+1} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ મળે.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) ધારો કે $P(t_1^2, 2t_1)$ અને $Q(t_2^2, 2t_2)$ એ જીવાના અંત્યબિંદુઓ છે.
ધારો કે બિંદુ $R(h, k)$ એ જીવા $PQ$ ને $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{1 \cdot t_2^2 + 3 \cdot t_1^2}{1+3} = \frac{t_2^2 + 3t_1^2}{4}$
$k = \frac{1 \cdot 2t_2 + 3 \cdot 2t_1}{1+3} = \frac{2t_2 + 6t_1}{4} = \frac{t_2 + 3t_1}{2}$
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $2$ આપેલ છે:
$\frac{2t_2 - 2t_1}{t_2^2 - t_1^2} = 2$
$\frac{2(t_2 - t_1)}{(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)} = 2$
$\frac{2}{t_2 + t_1} = 2 \Rightarrow t_1 + t_2 = 1 \Rightarrow t_2 = 1 - t_1$
$t_2 = 1 - t_1$ ની કિંમત $h$ અને $k$ માં મૂકતા:
$k = \frac{(1 - t_1) + 3t_1}{2} = \frac{2t_1 + 1}{2} = t_1 + \frac{1}{2} \Rightarrow t_1 = k - \frac{1}{2}$
$4h = 3t_1^2 + (1 - t_1)^2 = 3t_1^2 + 1 - 2t_1 + t_1^2 = 4t_1^2 - 2t_1 + 1$
$t_1 = k - \frac{1}{2}$ ની કિંમત $4h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4h = 4(k - \frac{1}{2})^2 - 2(k - \frac{1}{2}) + 1$
$4h = 4(k^2 - k + \frac{1}{4}) - 2k + 1 + 1$
$4h = 4k^2 - 4k + 1 - 2k + 2 = 4k^2 - 6k + 3$
$h = k^2 - \frac{3}{2}k + \frac{3}{4}$
$k^2 - \frac{3}{2}k = h - \frac{3}{4}$
$(k - \frac{3}{4})^2 = h - \frac{3}{4} + \frac{9}{16} = h - \frac{3}{16}$
$(y - k_0)^2 = 4a(x - h_0)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $\left(\frac{3}{16}, \frac{3}{4}\right)$ મળે છે.

(C) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિ $S(1, -2)$ થી અંતર એ નિયામિકા $x+y-2=0$ થી અંતરના $e$ ગણું હોય છે.
$(x-1)^2 + (y+2)^2 = e^2 \frac{(x+y-2)^2}{1^2+1^2}$
$2(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4) = e^2(x^2 + y^2 + 4 + 2xy - 4x - 4y)$
$(2-e^2)x^2 - 2e^2xy + (2-e^2)y^2 + (4e^2-4)x + (8+4e^2)y + (10-4e^2) = 0$
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $17x^2 - 2xy + 17y^2 - 32x + 76y + 86 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{2-e^2}{17} = \frac{-2e^2}{-2} = \frac{4e^2-4}{-32}$
$\frac{2-e^2}{17} = e^2$ લેતા:
$2 - e^2 = 17e^2$ $\Rightarrow 18e^2 = 2$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow e = \frac{1}{3}$.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિઓના યામ $A(-ae, 0)$ અને $B(ae, 0)$ છે અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષનું અંતિમ બિંદુ $T(0, b)$ છે.
$AT$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b}{ae}$ અને $BT$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{b}{ae}$ છે.
$\angle ATB = 90^{\circ}$ હોવાથી,ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{b}{ae}\right) \left(-\frac{b}{ae}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2 e^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = a^2 e^2$.
ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ છે.
$b^2 = a^2 e^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2 e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = 1 - e^2
$ $\Rightarrow 2e^2 = 1
$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{2}
$ $\Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ ના પરિમાણ $2a$ અને $2b$ છે. ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ છે.
વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. લંબચોરસની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{b}{a}$.
વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\tan(2\theta) = 4\sqrt{3}$ આપેલ છે.
સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4\sqrt{3} = \frac{2(b/a)}{1-(b/a)^2}$
$2\sqrt{3} = \frac{b/a}{1-(b/a)^2}$
ધારો કે $k = b/a$. તો $2\sqrt{3}k^2 + k - 2\sqrt{3} = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - k^2}$.
$e = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) $X$-અક્ષને લંબ રેખા $x = 3 \cos \alpha$ લો. વર્તુળ $x^2+y^2=9$ પરનું બિંદુ $A$ $(3 \cos \alpha, 3 \sin \alpha)$ છે. $A$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 3$ છે. ઢાળ $m_1 = -\cot \alpha$ છે.
ઉપવલય $4x^2+9y^2=36$ પરનું બિંદુ $B$ $(3 \cos \alpha, 2 \sin \alpha)$ છે. $B$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $2x \cos \alpha + 3y \sin \alpha = 6$ છે. ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{3} \cot \alpha$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{\cot \alpha}{3 + 2 \cot^2 \alpha}$ મળે છે.
$f(u) = \frac{u}{3 + 2u^2}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$u = \sqrt{\frac{3}{2}}$ લેતા,$\tan \theta = \frac{1}{2 \sqrt{6}}$ મળે છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+3y^2=3$ છે,જેને $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2=3$ અને $b^2=1$ છે.
$lx+my+n=0$ એ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો અભિલંબ હોવાની શરત $\frac{a^2}{l^2}+\frac{b^2}{m^2}=\frac{(a^2-b^2)^2}{n^2}$ છે.
$l=1, m=1, a^2=3, b^2=1$ મૂકતા,આપણને $\frac{3}{1^2}+\frac{1}{1^2}=\frac{(3-1)^2}{n^2} \Rightarrow 4=\frac{4}{n^2} \Rightarrow n^2=1$ મળે છે.
$n>0$ હોવાથી,$n=1$. અભિલંબ $x+y+1=0$ છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+5y^2=5$ છે,અથવા $\frac{x^2}{5}+y^2=1$.
$lx+my+n=0$ એ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $n^2=a^2l^2+b^2m^2$ છે.
$l=1, n=3, a^2=5, b^2=1$ મૂકતા,આપણને $3^2=5(1)^2+1(m)^2 \Rightarrow 9=5+m^2 \Rightarrow m^2=4$ મળે છે.
$m<0$ હોવાથી,$m=-2$. સ્પર્શક $x-2y+3=0$ છે.
$x+y+1=0$ અને $x-2y+3=0$ ને ઉકેલતા: સમીકરણોની બાદબાકી કરતા $3y-2=0 \Rightarrow y=\frac{2}{3}$ મળે છે.
પછી $x=-1-y=-1-\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$.
વિકલ્પોમાં બિંદુ $(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$ તપાસતા: $x-5y+5=0$ માટે,આપણને $-\frac{5}{3}-5(\frac{2}{3})+5 = \frac{-5-10+15}{3} = 0$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $x-5y+5=0$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{1}=1$ પર બિંદુ $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(3 \sqrt{3} \cos \theta)}{27} + \frac{y \sin \theta}{1} = 1$ છે,જે $\frac{x \cos \theta}{3 \sqrt{3}} + y \sin \theta = 1$ તરીકે સરળ બને છે.
$x$-અંતઃખંડ $a = 3 \sqrt{3} \sec \theta$ અને $y$-અંતઃખંડ $b = \operatorname{cosec} \theta$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $L(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dL}{d\theta} = 3 \sqrt{3} \sec \theta \tan \theta - \operatorname{cosec} \theta \cot \theta$.
$\frac{dL}{d\theta} = 0$ લેતા,આપણને $3 \sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan^3 \theta = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3$.
આમ,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જે $\theta = \frac{\pi}{6}$ આપે છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે,તેથી $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
$P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે. તે મુખ્ય અક્ષ $(y=0)$ ને $Q(\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ માં મળે છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ છે. તે મુખ્ય અક્ષને $R(\frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a}, 0)$ માં મળે છે.
અંતર $QR = \left| \frac{a}{\cos \theta} - \frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a} \right| = \left| \frac{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}{a \cos \theta} \right|$ થાય.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
$a=4, b=3, \theta = \frac{\pi}{3}$ માટે,$QR = \frac{57}{8}$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ પણ સાચું છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{4}=1$ છે.
ઉપવલય પરનું પ્રાચલ બિંદુ $P(8 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ લો.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{8}+\frac{y \sin \theta}{2}=1$ છે.
આને $\frac{x}{8/\cos \theta} + \frac{y}{2/\sin \theta} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
યામ અક્ષો વચ્ચે બનતા અંતઃખંડની લંબાઈ $l = \sqrt{(\frac{8}{\cos \theta})^2 + (\frac{2}{\sin \theta})^2} = \sqrt{64 \sec^2 \theta + 4 \operatorname{cosec}^2 \theta}$ છે.
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ અને $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$l = \sqrt{68 + 64 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta}$ મળે.
$AM-GM$ અસમતા મુજબ,$64 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta \geq 2 \sqrt{64 \tan^2 \theta \cdot 4 \cot^2 \theta} = 32$.
તેથી,$l$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\sqrt{68 + 32} = 10$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{7} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 7$ છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{9x}{3/\sqrt{2}} - \frac{7y}{\sqrt{7/2}} = 2$.
જેનું સાદું રૂપ $3\sqrt{2}x - \sqrt{14}y = 2$ થાય છે.
મુખ્ય અક્ષ ($x$-અક્ષ) પર છેદબિંદુ શોધવા માટે $y = 0$ લેતા:
$3\sqrt{2}x = 2 \implies x = \sqrt{\frac{2}{9}}$.
તેથી,છેદબિંદુ $\left(\sqrt{\frac{2}{9}}, 0\right)$ છે.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ છે,જ્યાં $a^2=2$ અને $b^2=1$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(\sqrt{2}\cos \theta, \sin \theta)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને બિંદુ $A$ પર છેદે છે જ્યાં $y=0$,તેથી $A = (\frac{\sqrt{2}}{\cos \theta}, 0)$.
સ્પર્શક $y$-અક્ષને બિંદુ $B$ પર છેદે છે જ્યાં $x=0$,તેથી $B = (0, \frac{1}{\sin \theta})$.
ધારો કે $(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{\sqrt{2}}{2 \cos \theta}$ અને $k = \frac{1}{2 \sin \theta}$ મળે.
આના પરથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{2k}$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{1}{2k})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}h})^2 = 1$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{4k^2} + \frac{1}{2h^2} = 1$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ મળે છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=25$ છે. $b^2 > a^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ મળે.
$e_1 e_2 = 1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{3}{5} e_2 = 1 \Rightarrow e_2 = \frac{5}{3}$ મળે.
ઉપવલયની નાભિઓ $(0, \pm 3)$ છે.
અતિવલય $(0, \pm 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
$(0, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$b^2 = 9$ મળે.
અતિવલય માટે,$e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow (\frac{5}{3})^2 = 1 + \frac{a^2}{9}$ $\Rightarrow \frac{25}{9} = 1 + \frac{a^2}{9}$ $\Rightarrow a^2 = 16$.
આમ,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$ છે.

(B) રેખા $2x + y = 1$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e}$ છે.
રેખા $(\frac{a}{e}, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $2(\frac{a}{e}) + 0 = 1$,જે $2a = e$ આપે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલયનો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં,$y = -2x + 1$,તેથી $m = -2$ અને $c = 1$.
આમ,$1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,જે $4a^2 - b^2 = 1$ માં પરિણમે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
સ્પર્શકની શરતમાં $b^2$ મૂકતા: $4a^2 - a^2(e^2 - 1) = 1$.
$e = 2a$ હોવાથી,$a = \frac{e}{2}$,તેથી $a^2 = \frac{e^2}{4}$.
$a^2$ ની કિંમત મૂકતા: $4(\frac{e^2}{4}) - \frac{e^2}{4}(e^2 - 1) = 1$.
$e^2 - \frac{e^4}{4} + \frac{e^2}{4} = 1$.
$4$ વડે ગુણતા: $4e^2 - e^4 + e^2 = 4$.
$e^4 - 5e^2 + 4 = 0$.
$(e^2 - 4)(e^2 - 1) = 0$.
અતિવલય માટે $e > 1$ હોવાથી,$e^2 = 4$,તેથી $e = 2$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{4/3} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 20$ અને $b^2 = \frac{4}{3}$ છે.
આપેલ રેખા $x + 3y = 7$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{3}$ છે.
અતિવલયના સ્પર્શકનું ઢાળ સ્વરૂપ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = -\frac{1}{3}x \pm \sqrt{20(-\frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}x \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{1}{3}x \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
આથી બે સમાંતર સ્પર્શકો $x + 3y - 2\sqrt{2} = 0$ અને $x + 3y + 2\sqrt{2} = 0$ મળે છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.

(C) ધારો કે $(h, k)$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 8$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
તેથી,$h^2 - k^2 = 8$.
અતિવલય $x^2 - y^2 = 8$ ના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $x + y = 0$ અને $x - y = 0$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $x + y = 0$ પરના લંબનું અંતર $d_1 = \frac{|h + k|}{\sqrt{2}}$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $x - y = 0$ પરના લંબનું અંતર $d_2 = \frac{|h - k|}{\sqrt{2}}$ છે.
લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $d_1 d_2 = \frac{|h + k|}{\sqrt{2}} \times \frac{|h - k|}{\sqrt{2}} = \frac{|h^2 - k^2|}{2}$ થાય.
$h^2 - k^2 = 8$ મૂકતા,આપણને $d_1 d_2 = \frac{8}{2} = 4$ મળે છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $9x^2-4y^2+36x+8y-4=0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરીને સમીકરણને ફરીથી લખતા:
$9(x^2+4x+4) - 4(y^2-2y+1) = 36$.
$9(x+2)^2 - 4(y-1)^2 = 36$.
અનંતસ્પર્શકોનું સંયુક્ત સમીકરણ અચળ પદને શૂન્ય કરીને મેળવી શકાય છે:
$9(x+2)^2 - 4(y-1)^2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $3(x+2) = \pm 2(y-1)$.
આમ,બે અનંતસ્પર્શકો $L_1: 3x - 2y + 8 = 0$ અને $L_2: 3x + 2y + 4 = 0$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ થી $L_1$ નું લંબ અંતર $d_1 = \frac{|3(1) - 2(1) + 8|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ થી $L_2$ નું લંબ અંતર $d_2 = \frac{|3(1) + 2(1) + 4|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ છે.
અંતરનો ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = \frac{9}{\sqrt{13}} \times \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{81}{13}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.
આપણે લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(\frac{[x]^3}{3}-\left[\frac{x}{3}\right]^3\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 2 + h$,જ્યાં $h \rightarrow 0^{+}$.
જેમ $x \rightarrow 2^{+}$,તેમ $2 < x < 3$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $[x] = 2$.
વળી,$2 < x < 3$ માટે,$\frac{2}{3} < \frac{x}{3} < 1$ થાય.
કારણ કે $\frac{2}{3} < \frac{x}{3} < 1$,તેથી મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $\left[\frac{x}{3}\right] = 0$ થાય.
આ કિંમતોને લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim _{h}$ ${\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{[2+h]^3}{3}-\left[\frac{2+h}{3}\right]^3\right) = \frac{2^3}{3} - 0^3 = \frac{8}{3}$.

(C) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+100}-10}{x^2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+100}-10}{x^2} \times \frac{\sqrt{x^2+100}+10}{\sqrt{x^2+100}+10}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x^2+100)-100}{x^2(\sqrt{x^2+100}+10)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x^2(\sqrt{x^2+100}+10)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x^2+100}+10}$
$x = 0$ મૂકતા:
$= \frac{1}{\sqrt{0+100}+10} = \frac{1}{10+10} = \frac{1}{20} = 0.05$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{2 x^2+3 x+4}{x^2-3 x+5}\right)^{\frac{3|x|+1}{2|x|-1}}$.
જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $|x| = x$.
તેથી,$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \left(\frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}\right)^{\frac{3 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x}}}$.
લક્ષની કિંમત મુકતા,$\frac{1}{x}$ અને $\frac{1}{x^2}$ પદો $0$ ને અનુલક્ષે છે.
આમ,$L = \left(\frac{2+0+0}{1-0+0}\right)^{\frac{3+0}{2-0}} = (2)^{\frac{3}{2}}$.
$L = 2^{\frac{3}{2}} = 2^1 \times 2^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sinh 2 x}{2 x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$.
$\sinh(u)$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા,$\sinh(2x) = 2x + \frac{4x^3}{3} + O(x^5)$.
તેથી,$\frac{\sinh 2x}{2x} = 1 + \frac{2x^2}{3} + O(x^4)$.
હવે,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left(1 + \frac{2x^2}{3} + O(x^4)\right)^{\frac{1}{x^2}}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{u \rightarrow 0} (1+u)^{1/u} = e$ નો ઉપયોગ કરતા,$L = e^{2/3}$ મળે છે.

(C) અમને લક્ષ આપેલું છે: $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\log \left(1+\frac{x}{2}\right)-\log \frac{x}{2}\right)$.
ગુણધર્મ $\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{x \rightarrow \infty} x \log \left(\frac{1+\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right) = \lim _{x \rightarrow \infty} x \log \left(\frac{2}{x} + 1\right)$.
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$. જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $t \rightarrow 0$. પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\log (1+2t)}{t}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{\log (1+u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $2$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ છીએ:
$\lim _{t \rightarrow 0} 2 \cdot \frac{\log (1+2t)}{2t} = 2 \cdot 1 = 2$.

(B) આપેલ છે,\\ વિચલન ગુણાંક $= 7.2$ \\ વિચરણ $\sigma^2 = 3.24$ \\ પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{3.24} = 1.8$ \\ વિચલન ગુણાંકનું સૂત્ર: \\ $\text{વિચલન ગુણાંક} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ \\ કિંમતો મૂકતા: \\ $7.2 = \frac{1.8}{\bar{x}} \times 100$ \\ $\bar{x} = \frac{1.8 \times 100}{7.2} = \frac{180}{7.2} = 25$ \\ આમ,મધ્યક $25$ છે.

(A) આપેલ છે,$\sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 3600$ અને $\sum_{i=1}^{15} x_i = 175$,જ્યાં $n = 15$.
જ્યારે ખોટા અવલોકન $20$ ને સાચી કિંમત $40$ દ્વારા બદલવામાં આવે,ત્યારે નવા સરવાળા:
$\sum x_i = 175 - 20 + 40 = 195$
$\sum x_i^2 = 3600 - (20)^2 + (40)^2 = 3600 - 400 + 1600 = 4800$
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$ છે.
સુધારેલી કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{4800}{15} - \left(\frac{195}{15}\right)^2$
$\sigma^2 = 320 - (13)^2$
$\sigma^2 = 320 - 169 = 151$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(y_i)$ શોધીએ છીએ:

$y_i$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$
$f_i$	$1$	$2$	$3$	$2$	$1$

મધ્યક $\bar{y}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\bar{y} = \frac{\sum f_i y_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 1) + (2 \times 3) + (3 \times 5) + (2 \times 7) + (1 \times 9)}{1+2+3+2+1} = \frac{1+6+15+14+9}{9} = \frac{45}{9} = 5$
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન નીચે મુજબ છે:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{\sum f_i |y_i - \bar{y}|}{\sum f_i} = \frac{1|1-5| + 2|3-5| + 3|5-5| + 2|7-5| + 1|9-5|}{9}$
$= \frac{1(4) + 2(2) + 3(0) + 2(2) + 1(4)}{9} = \frac{4+4+0+4+4}{9} = \frac{16}{9} \approx 1.78$

(D) આપેલ માહિતી: $2, 3, 5, 11, 13, 17, 19$,જ્યાં $n = 7$.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19}{7} = \frac{70}{7} = 10$.
આપણે વિચરણ $(\sigma^2)$ નું સૂત્ર જાણીએ છીએ:
$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
માહિતીના વર્ગોનો સરવાળો શોધો:
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 11^2 + 13^2 + 17^2 + 19^2 = 4 + 9 + 25 + 121 + 169 + 289 + 361 = 978$.
હવે,કિંમતોને વિચરણના સૂત્રમાં મૂકો:
$\sigma^2 = \frac{978}{7} - (10)^2 = 139.714 - 100 = 39.714$.
આમ,વિચરણ આશરે $39.71$ છે.

(A) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ મધ્ય-કિંમતો $(x_i)$ ગણીએ છીએ અને પદ-વિચલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,ધારેલો મધ્યક $A = 10$ અને વર્ગ લંબાઈ $h = 4$ છે.
કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

વર્ગ અંતરાલ	$x_i$	$f_i$	$d_i = \frac{x_i - A}{h}$	$f_i d_i$	$f_i d_i^2$
$0$-$4$	$2$	$2$	-$2$	-$4$	$8$
$4$-$8$	$6$	$4$	-$1$	-$4$	$4$
$8$-$12$	$10$	$6$	$0$	$0$	$0$
$12$-$16$	$14$	$3$	$1$	$3$	$3$
$16$-$20$	$18$	$1$	$2$	$2$	$4$
કુલ		$\Sigma f_i = 16$		$\Sigma f_i d_i = -3$	$\Sigma f_i d_i^2 = 19$

વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = h^2 \left( \frac{\Sigma f_i d_i^2}{\Sigma f_i} - \left( \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} \right)^2 \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = 4^2 \left( \frac{19}{16} - \left( \frac{-3}{16} \right)^2 \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{19}{16} - \frac{9}{256} \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{304 - 9}{256} \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{295}{256} \right) = \frac{295}{16}$.

(C) આપેલ માહિતી: $16, 22, 3, 14, 5, 10, 8, 6, 11, 4$.
ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 16, 22$.
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$.
$n$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $5^{\text{th}}$ અને $6^{\text{th}}$ અવલોકનોની સરેરાશ છે:
$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{8 + 10}{2} = 9$.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum |x_i - \text{મધ્યસ્થ}|$ દ્વારા મળે છે:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{|3-9| + |4-9| + |5-9| + |6-9| + |8-9| + |10-9| + |11-9| + |14-9| + |16-9| + |22-9|}{10}$
$= \frac{6 + 5 + 4 + 3 + 1 + 1 + 2 + 5 + 7 + 13}{10}$
$= \frac{47}{10} = 4.7$.

(B) ધારો કે $n_1 = 50$,$\bar{x}_1 = 10$,અને $\sigma_1 = 2$ એ પ્રથમ જૂથના પરિમાણો છે. ધારો કે $n_2 = 50$,$\bar{x}_2$,અને $\sigma_2$ એ બીજા જૂથના પરિમાણો છે. કુલ અવલોકનો $N = 100$ છે,જેનો મધ્યક $\bar{x} = 8$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{10.5}$ છે.
પ્રથમ,બીજા જૂથનો મધ્યક શોધો:
$\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} \implies 8 = \frac{50(10) + 50(\bar{x}_2)}{100} \implies 800 = 500 + 50\bar{x}_2 \implies \bar{x}_2 = 6$.
ત્યારબાદ,સંયુક્ત વિચરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:
$\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$,જ્યાં $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 10 - 8 = 2$ અને $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 6 - 8 = -2$.
$10.5 = \frac{50(2^2 + 2^2) + 50(\sigma_2^2 + (-2)^2)}{100}$
$10.5 = \frac{50(8) + 50(\sigma_2^2 + 4)}{100} = \frac{400 + 50\sigma_2^2 + 200}{100}$
$1050 = 600 + 50\sigma_2^2$
$50\sigma_2^2 = 450 \implies \sigma_2^2 = 9 \implies \sigma_2 = 3$.

(A) મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(c.f.)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:

$x$	$f$	$c.f.$	$|x_i - \text{Median}|$	$f_i |x_i - \text{Median}|$
$6$	$4$	$4$	$18$	$72$
$12$	$7$	$11$	$12$	$84$
$18$	$9$	$20$	$6$	$54$
$24$	$18$	$38$	$0$	$0$
$30$	$15$	$53$	$6$	$90$
$36$	$10$	$63$	$12$	$120$
$42$	$5$	$68$	$18$	$90$

કુલ આવૃત્તિ $N = \Sigma f_i = 68$.
મધ્યસ્થ એ $(\frac{N}{2})^{th} = 34^{th}$ અવલોકનને અનુરૂપ કિંમત છે. $c.f.$ કોલમ પરથી,$34^{th}$ અવલોકન $x = 24$ વાળા વર્ગમાં આવે છે.
તેથી,$\text{Median} = 24$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન નીચે મુજબ છે:
$\text{M.D.}(\text{Median}) = \frac{\Sigma f_i |x_i - \text{Median}|}{\Sigma f_i} = \frac{72 + 84 + 54 + 0 + 90 + 120 + 90}{68} = \frac{510}{68} = 7.5$.

(B) મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3(5) + 2(7) + 1(9) + 2(11)}{3+2+1+2} = \frac{15+14+9+22}{8} = \frac{60}{8} = 7.5$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - (\bar{x})^2 = \frac{3(25) + 2(49) + 1(81) + 2(121)}{8} - (7.5)^2 = \frac{75+98+81+242}{8} - 56.25 = \frac{496}{8} - 56.25 = 62 - 56.25 = 5.75$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{5.75} = \sqrt{\frac{575}{100}} = \frac{\sqrt{23 \times 25}}{10} = \frac{5\sqrt{23}}{10} = \frac{\sqrt{23}}{2}$.
વિચલન ગુણાંક ($C$.$V$.) $= \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{\sqrt{23}/2}{7.5} \times 100 = \frac{\sqrt{23}}{15} \times 100 = \frac{20\sqrt{23}}{3}$.

(B) આપેલ માહિતી: $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 6$.
મધ્યક $= \frac{1+2+2+3+3+3+4+6}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
મધ્યસ્થ એ $4^{th}$ અને $5^{th}$ પદની સરેરાશ છે: $\frac{3+3}{2} = 3$.
બહુલક એ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતી કિંમત છે,જે $3$ છે.
કારણ કે મધ્યક $=$ મધ્યસ્થ $=$ બહુલક $= 3$ છે,તેથી આ કેન્દ્રીય વલણો સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનો સમાન હશે.
તેથી,$\alpha = \beta = \gamma$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $a^2-b^2-c^2=bc(\lambda^2-2\lambda-1)$
પદોની ગોઠવણી કરતા: $b^2+c^2-a^2 = -bc(\lambda^2-2\lambda-1)$
બંને બાજુ $2bc$ વડે ભાગતા: $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = -\frac{1}{2}(\lambda^2-2\lambda-1)$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,તેથી: $\cos A = -\frac{1}{2}(\lambda^2-2\lambda-1)$
કારણ કે $-1 \leq \cos A \leq 1$,તેથી: $-1 \leq -\frac{1}{2}(\lambda^2-2\lambda-1) \leq 1$
$-2$ વડે ગુણતા (અને અસમતા બદલતા): $-2 \leq \lambda^2-2\lambda-1 \leq 2$
દરેક ભાગમાં $1$ ઉમેરતા: $-1 \leq \lambda^2-2\lambda \leq 3$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $-1 \leq (\lambda-1)^2-1 \leq 3$
દરેક ભાગમાં $1$ ઉમેરતા: $0 \leq (\lambda-1)^2 \leq 4$
વર્ગમૂળ લેતા: $0 \leq |\lambda-1| \leq 2$
આનો અર્થ છે કે $-2 \leq \lambda-1 \leq 2$,જેનું સાદું રૂપ: $-1 \leq \lambda \leq 3$

(B) આપેલ પદાવલિ: $b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2}$
નિત્યસમ $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} [b(1 + \cos C) + c(1 + \cos B)]$
$= \frac{1}{2} [b + c + b \cos C + c \cos B]$
પ્રક્ષેપના નિયમ મુજબ,$a = b \cos C + c \cos B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{1}{2} [b + c + a] = \frac{1}{2} (a + b + c)$
પરિમિતિ $a + b + c = 50 \text{ cm}$ હોવાથી:
$= \frac{50}{2} = 25 \text{ cm}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે. આપેલ છે કે $a = 17 \text{ cm}$ અને પરિમિતિ $P = a + b + c = 40 \text{ cm}$.
બે બાજુઓનો સરવાળો $a + b = 35 \text{ cm}$ છે.
$a = 17$ મૂકતા, $17 + b = 35$, તેથી $b = 18 \text{ cm}$.
$a + b + c = 40$ હોવાથી, $17 + 18 + c = 40$, જે $c = 5 \text{ cm}$ આપે છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$A = \sqrt{20(20-17)(20-18)(20-5)} = \sqrt{20 \times 3 \times 2 \times 15}$.
$A = \sqrt{1800} = 30 \sqrt{2} \text{ cm}^2$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}, \frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}, \frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$ અને $\frac{1}{r} = \frac{s}{\Delta}$.
હવે,$\frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} + \frac{1}{r^2} = \frac{1}{\Delta^2} [(s-a)^2 + (s-b)^2 + (s-c)^2 + s^2]$.
$= \frac{1}{\Delta^2} [4s^2 - 2s(a+b+c) + a^2 + b^2 + c^2]$.
$a+b+c = 2s$ હોવાથી,$4s^2 - 2s(2s) + a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$ મળે.
તેથી,પદાવલિ $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{\Delta^2}$ બને છે.
વળી,$\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{2\Delta}{p_1}, b = \frac{2\Delta}{p_2}, c = \frac{2\Delta}{p_3}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $4(\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2})$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$a^2+2bc-(b^2+c^2) = ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
કોસાઇન નિયમ $b^2+c^2-a^2 = 2bc \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $a^2-(b^2+c^2) = -2bc \cos A$.
તેથી,$2bc - 2bc \cos A = ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$2bc(1-\cos A) = ab \cdot \frac{1}{2} \sin C$
$4bc \sin^2 \frac{A}{2} = ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$.
પછી $\tan A = \frac{2 \tan(A/2)}{1-\tan^2(A/2)} = \frac{2(1/4)}{1-1/16} = \frac{8}{15}$.
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$B+C = \pi-A$.
તેથી,$\cot(B+C) = \cot(\pi-A) = -\cot A = -\frac{15}{8}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ છે.
આથી,$\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}$,$\frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}$,અને $\frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = \frac{a}{2\Delta} + \frac{b}{2\Delta} - \frac{c}{2\Delta} = \frac{a+b-c}{2\Delta}$.
કારણ કે $2s = a+b+c$,તેથી $a+b = 2s-c$ થાય.
તેથી,$\frac{a+b-c}{2\Delta} = \frac{(2s-c)-c}{2\Delta} = \frac{2s-2c}{2\Delta} = \frac{s-c}{\Delta}$.

(D) આપેલ છે,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
સૂત્ર $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$.
$\Delta$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b} = \frac{3}{s-c} = k$ (ધારો).
તેથી $s-a = \frac{1}{k}$,$s-b = \frac{2}{k}$,અને $s-c = \frac{3}{k}$.
સરવાળો કરતા,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$.
તેથી,$s = \frac{1+2+3}{k} = \frac{6}{k}$,જેનો અર્થ છે $k = \frac{6}{s}$.
હવે,$s-a = \frac{1}{6/s} = \frac{s}{6}$ $\Rightarrow 6s - 6a = s$ $\Rightarrow 5s = 6a$ $\Rightarrow a = \frac{5s}{6}$.
અને $s-b = \frac{2}{6/s} = \frac{2s}{6} = \frac{s}{3}$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$ $\Rightarrow b = \frac{2s}{3} = \frac{4s}{6}$.
તેથી,$a : b = \frac{5s}{6} : \frac{4s}{6} = 5 : 4$.

(C) આપેલ રેખાઓ $r = a_1 + r b_1$ અને $r = a_2 + k b_2$ છે.
અહીં,$a_1 = -2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$b_1 = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$.
અને $a_2 = \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$,$b_2 = -\hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
પ્રથમ,$a_2 - a_1 = (1 - (-2)) \hat{i} + (-1 - 1) \hat{j} + (2 - (-1)) \hat{k} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-2)) - \hat{j}(8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = 14 \hat{i} - 7 \hat{j} + 7 \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|b_1 \times b_2| = \sqrt{14^2 + (-7)^2 + 7^2} = \sqrt{196 + 49 + 49} = \sqrt{294} = 7 \sqrt{6}$ છે.
લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ છે.
$d = \frac{|(3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (14 \hat{i} - 7 \hat{j} + 7 \hat{k})|}{7 \sqrt{6}} = \frac{|42 + 14 + 21|}{7 \sqrt{6}} = \frac{77}{7 \sqrt{6}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$.

(B) રેખા $L_1$ એ $5 \hat{i}+8 \hat{j}+11 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને $2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$L_1: \vec{r} = (5 \hat{i}+8 \hat{j}+11 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
રેખા $L_2$ એ $4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને $3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$L_2: \vec{r} = (4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k}) + \mu(3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})$.
છેદબિંદુ માટે,બંને રેખાઓને સરખાવતા:
$(5+2\lambda) \hat{i} + (8+3\lambda) \hat{j} + (11+4\lambda) \hat{k} = (4+3\mu) \hat{i} + (6+4\mu) \hat{j} + (8+5\mu) \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$5+2\lambda = 4+3\mu \Rightarrow 2\lambda - 3\mu = -1$ $(i)$
$8+3\lambda = 6+4\mu \Rightarrow 3\lambda - 4\mu = -2$ (ii)
$(i)$ અને (ii) ને ઉકેલતા: $(i)$ ને $3$ વડે અને (ii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$6\lambda - 9\mu = -3$
$6\lambda - 8\mu = -4$
બાદબાકી કરતા $\mu = -1$ મળે છે. $\mu = -1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2\lambda - 3(-1) = -1 \Rightarrow 2\lambda = -4 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ ને $L_1$ માં મૂકતા: $\vec{r} = (5-4) \hat{i} + (8-6) \hat{j} + (11-8) \hat{k} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$.

(A) બિંદુ $A(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = \sqrt{2} \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + \lambda(\sqrt{2} \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k})$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (\sqrt{2} \lambda+1, -5 \lambda+2, 3 \lambda-3)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
અંતર $AP = 18$ એકમ આપેલ છે.
$AP^2 = (\sqrt{2} \lambda+1-1)^2 + (-5 \lambda+2-2)^2 + (3 \lambda-3+3)^2 = 18^2$.
$2 \lambda^2 + 25 \lambda^2 + 9 \lambda^2 = 324$.
$36 \lambda^2 = 324$.
$\lambda^2 = 9$,તેથી $\lambda = \pm 3$.
$\lambda = 3$ માટે,$P = (3\sqrt{2}+1)\hat{i} - 13\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\lambda = -3$ માટે,$P = (-3\sqrt{2}+1)\hat{i} + 17\hat{j} - 12\hat{k}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સ્થાન સદિશ $(1-3 \sqrt{2}) \hat{i}+17 \hat{j}-12 \hat{k}$ છે.

(B) ધારો કે સદિશ $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ છે.
સદિશ $v = 19 \hat{i} + 22 \hat{j} + 5 \hat{k}$ એ $a$ અને $b = 6 \hat{i} + 8 \hat{j}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી તે તેમના એકમ સદિશોના સરવાળાના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ:
$\lambda \left( \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} \right) = v$
અહીં $|b| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$,તેથી $\frac{b}{|b|} = \frac{6 \hat{i} + 8 \hat{j}}{10} = \frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}$.
આમ,$\frac{a}{|a|} = \frac{19 \hat{i} + 22 \hat{j} + 5 \hat{k}}{\lambda} - (\frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}) = (\frac{19}{\lambda} - \frac{3}{5}) \hat{i} + (\frac{22}{\lambda} - \frac{4}{5}) \hat{j} + \frac{5}{\lambda} \hat{k}$.
કારણ કે $\frac{a}{|a|}$ એકમ સદિશ છે,તેનું માન $1$ થાય:
$(\frac{19}{\lambda} - \frac{3}{5})^2 + (\frac{22}{\lambda} - \frac{4}{5})^2 + (\frac{5}{\lambda})^2 = 1$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{361}{\lambda^2} - \frac{114}{5\lambda} + \frac{9}{25} + \frac{484}{\lambda^2} - \frac{176}{5\lambda} + \frac{16}{25} + \frac{25}{\lambda^2} = 1$.
$\frac{870}{\lambda^2} - \frac{290}{5\lambda} + 1 = 1 \Rightarrow \frac{870}{\lambda^2} = \frac{58}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{870}{58} = 15$.
$\lambda = 15$ મૂકતા,$\frac{a}{|a|} = (\frac{19}{15} - \frac{9}{15}) \hat{i} + (\frac{22}{15} - \frac{12}{15}) \hat{j} + \frac{5}{15} \hat{k} = \frac{10}{15} \hat{i} + \frac{10}{15} \hat{j} + \frac{5}{15} \hat{k} = \frac{1}{3}(2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુથી અંતર $6$ એકમ છે.
સમતલના ઉગમબિંદુથી અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 6$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{36} \quad (i)$.
$A, B$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ અને $(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z)$ એ $x = \frac{a}{3}, y = \frac{b}{3}, z = \frac{c}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$a = 3x, b = 3y, c = 3z$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{36}$.
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{36}$.
$9$ વડે ગુણતા,$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે સમતલ $P$ નું સમીકરણ $a(x-1) + by + cz = 0$ છે,જે $ax + by + cz = a$ તરીકે લખી શકાય. તે $(0,1,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$b = a$ મળે. તેથી,સમીકરણ $ax + ay + cz = a$ અથવા $x + y + \frac{c}{a}z = 1$ થાય. ધારો કે $k = \frac{c}{a}$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ છે.
સમતલ $x + y = 3$ નો અભિલંબ $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ છે.
બે સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)} \Rightarrow 2+k^2 = 4 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $(1, 1, \sqrt{2})$ છે.

(C) બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો એ તેમના અભિલંબ સદિશો વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોય છે.
પ્રથમ,આપણે સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{n_1}$ શોધીએ. $\pi_1$ એ $x+2y+3z-6=0$ અને $x+2y+2z-5=0$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\overrightarrow{n_1}$ એ આ બે સમતલોના અભિલંબ $\overrightarrow{n_A} = (1, 2, 3)$ અને $\overrightarrow{n_B} = (1, 2, 2)$ ના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર હશે.
$\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{n_A} \times \overrightarrow{n_B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-6) - \hat{j}(2-3) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$.
હવે,આપણે સમતલ $\pi_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{n_2}$ શોધીએ. અભિલંબ સદિશ એ બિંદુ $(1, 3, 2)$ અને તેના લંબપાદ $(-1, 2, -3)$ ને જોડતો સદિશ છે.
$\overrightarrow{n_2} = (-1-1)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (-3-2)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} - 5\hat{k}$.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (-2)(-2) + (1)(-1) + (0)(-5) = 4 - 1 + 0 = 3$.
$|\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}$.
$|\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+1+25} = \sqrt{30}$.
$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{30}} = \frac{3}{\sqrt{150}} = \frac{3}{5\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{10}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}\right)$.

(A) ધારો કે $\vec{N_1}$ અને $\vec{N_2}$ એ સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબ સદિશો છે.
સમતલ $P_1$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા નિર્ધારિત હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\vec{N_1} = \vec{a} \times \vec{b}$ થાય.
સમતલ $P_2$ એ $\vec{c}$ અને $\vec{d}$ દ્વારા નિર્ધારિત હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\vec{N_2} = \vec{c} \times \vec{d}$ થાય.
આપેલ છે કે $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{0}$,તેથી $\vec{N_1} \times \vec{N_2} = \vec{0}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે અભિલંબ સદિશો $\vec{N_1}$ અને $\vec{N_2}$ એકબીજાને સમાંતર છે.
જ્યારે અભિલંબ સદિશો સમાંતર હોય,ત્યારે સમતલો $P_1$ અને $P_2$ પણ સમાંતર હોય છે.
તેથી,સમતલો $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ થાય.

(A) ઉગમબિંદુથી $d$ અંતરે અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ એકમ અભિલંબ સદિશ છે.
આપેલ અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે,તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ છે.
તેથી,એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}}$ છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $d = \frac{6}{\sqrt{29}}$ છે.
સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$.
બંને બાજુ $\sqrt{29}$ વડે ગુણતા,આપણને $2x - 3y + 4z = 6$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ યામ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ માં છેદે છે,તેથી $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(6, 6, 3)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 6 \implies a = 18$
$\frac{b}{3} = 6 \implies b = 18$
$\frac{c}{3} = 3 \implies c = 9$
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{18} + \frac{y}{18} + \frac{z}{9} = 1$
આખા સમીકરણને $18$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x + y + 2z = 18$.

(A) સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $P(1, -2, 5)$ સુધીનો સદિશ છે,જે $\vec{n_1} = (1, -2, 5)$ છે.
સમતલ $\pi_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2}$ એ $(1, 2, -1)$ થી $P(1, -2, 5)$ સુધીનો સદિશ છે,જે $\vec{n_2} = (1-1, -2-2, 5-(-1)) = (0, -4, 6)$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (-2)(-4) + (5)(6) = 0 + 8 + 30 = 38$.
માનની ગણતરી: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{38}{\sqrt{30} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{19}{\sqrt{390}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{\sqrt{390}}\right)$.

(B) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = 6 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{6} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(6k, 2k, 3k)$ સ્વરૂપમાં છે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ $3x + 4y - 12z = 7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $P$ ના યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(6k) + 4(2k) - 12(3k) = 7$
$18k + 8k - 36k = 7$
$-10k = 7 \Rightarrow k = -\frac{7}{10}$.
બિંદુ $P$ ના યામ $(6(-\frac{7}{10}), 2(-\frac{7}{10}), 3(-\frac{7}{10})) = (-\frac{42}{10}, -\frac{14}{10}, -\frac{21}{10})$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(-\frac{42}{10})^2 + (-\frac{14}{10})^2 + (-\frac{21}{10})^2}$
$d = \frac{1}{10} \sqrt{42^2 + 14^2 + 21^2} = \frac{1}{10} \sqrt{1764 + 196 + 441} = \frac{1}{10} \sqrt{2401} = \frac{49}{10}$.

(B) બિંદુઓ $(1, 1, 1)$,$(2, 0, -1)$ અને ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$x(-1 - 0) - y(-1 - 2) + z(0 - 2) = 0$
$-x + 3y - 2z = 0$ અથવા $x - 3y + 2z = 0$ (સમીકરણ $i$).
બિંદુઓ $(1, 3, -2)$ અને $(1, -1, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-1}{1-1} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-(-2)}{3-(-2)} = r$
$\frac{x-1}{0} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z+2}{5} = r$
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1, -4r+3, 5r-2)$ છે.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $x - 3y + 2z = 0$ માં મૂકતા:
$1 - 3(-4r+3) + 2(5r-2) = 0$
$1 + 12r - 9 + 10r - 4 = 0$
$22r - 12 = 0 \Rightarrow r = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$.
$r = \frac{6}{11}$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = 1$,$y = -4(\frac{6}{11}) + 3 = \frac{-24+33}{11} = \frac{9}{11}$,$z = 5(\frac{6}{11}) - 2 = \frac{30-22}{11} = \frac{8}{11}$.
બિંદુ $A$ એ $(1, \frac{9}{11}, \frac{8}{11})$ છે,જે સદિશ સ્વરૂપમાં $\frac{1}{11}(11\hat{i} + 9\hat{j} + 8\hat{k})$ થાય.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
આ બે સમતલોની છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v}_1$ એ $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v}_1 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & 3 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10 + 9) - \hat{j}(-10 + 9) + \hat{k}(6 - 6) = -\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$.
આપેલી રેખા $r = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} + t(5\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k})$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}_2 = 5\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| |\vec{v}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (-1)(5) + (1)(5) + (0)(-7) = -5 + 5 + 0 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(D) જો બિંદુ $P = xa + yb + zc$ એ અસમરેખ બિંદુઓ $a, b$ અને $c$ ધરાવતા સમતલમાં હોય,તો સહગુણકોનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
અહીં,$x = k, y = 2, z = 3$ છે.
તેથી,$k + 2 + 3 = 1$.
$k + 5 = 1$.
$k = 1 - 5 = -4$.

(C) ધારો કે $n = 5$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે.
કોઈ ચોક્કસ અંક માટે,એક પાસા પર તે અંક આવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ અને ન આવવાની સંભાવના $q = \frac{5}{6}$ છે.
કુલ $6$ શક્ય અંકો હોવાથી,ઓછામાં ઓછા $3$ પાસા પર સમાન અંક આવે તેની સંભાવના $6 \times P(X \geq 3)$ છે,જ્યાં $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(5, \frac{1}{6})$ ને અનુસરે છે.
$P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$.
$P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^2 = \frac{250}{6^5}$.
$P(X = 4) = \binom{5}{4} (\frac{1}{6})^4 (\frac{5}{6})^1 = \frac{25}{6^5}$.
$P(X = 5) = \binom{5}{5} (\frac{1}{6})^5 = \frac{1}{6^5}$.
કુલ સંભાવના $= 6 \times (\frac{250 + 25 + 1}{6^5}) = \frac{276}{6^4}$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બે પાસા પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $6$ છે. $A$ માટે શક્ય પરિણામો: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$.
આમ,$A$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 5$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $1$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A)$ શોધી રહ્યા છીએ,જે $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ પરિણામો દર્શાવે છે જ્યાં સરવાળો $6$ હોય અને સંખ્યા $1$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે. આ પરિણામો છે: $(1, 5)$ અને $(5, 1)$.
આમ,$n(A \cap B) = 2$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(B|A) = \frac{2}{5}$ છે.

(A) દ્વિપદી સંભાવના વિતરણ મુજબ,ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
$5$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=5) = {}^{n}C_{5} (\frac{1}{2})^{n}$ છે.
$7$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=7) = {}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^{n}$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,${}^{n}C_{5} = {}^{n}C_{7}$ હોવાથી $n = 5+7 = 12$ મળે.
હવે,$4$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=4) = {}^{12}C_{4} (\frac{1}{2})^{12}$ થાય.
$P(X=4) = \frac{495}{4096}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $E_1$ એ $5$ મેળવવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ $5$ ન મેળવવાની ઘટના છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે છોકરો રિપોર્ટ કરે છે કે તે $5$ છે.
આપેલ છે: $P(E_1) = \frac{1}{6}$,$P(E_2) = \frac{5}{6}$.
છોકરો $\frac{3}{5}$ સંભાવના સાથે સાચું બોલે છે,તેથી તે $\frac{2}{5}$ સંભાવના સાથે જૂઠું બોલે છે.
$P(A|E_1) = \frac{3}{5}$
$P(A|E_2) = \frac{2}{5}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} = \frac{3}{13}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) કુલ કેરીઓ $= 10$. સારી કેરીઓ $= 6$. બગડેલી કેરીઓ $= 4$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછી એક કેરી સારી છે,અને $F$ એ ઘટના છે કે બંને કેરીઓ સારી છે.
$10$ માંથી $2$ કેરી પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે.
$2$ બગડેલી કેરી પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સારી કેરી પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $45 - 6 = 39$ છે. તેથી,$P(E) = \frac{39}{45}$.
$2$ સારી કેરી પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ છે. તેથી,$P(F) = \frac{15}{45}$.
કારણ કે $F \subset E$,$P(E \cap F) = P(F) = \frac{15}{45}$.
એક સારી છે તે જાણીને બીજી પણ સારી હોય તેની શરતી સંભાવના $P(F|E) = \frac{P(F \cap E)}{P(E)} = \frac{15/45}{39/45} = \frac{15}{39} = \frac{5}{13}$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ ઘટના છે કે બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $9$ કરતા વધારે છે.
ધારો કે $Y$ એ ઘટના છે કે પાસા $B$ પરનો અંક $5$ છે.
ઘટના $Y$ માટે નિદર્શાવકાશ $\{(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)\}$ છે. તેથી,$n(Y) = 6$.
ઘટના $X \cap Y$ એવા પરિણામો દર્શાવે છે જ્યાં પાસા $B$ પરનો અંક $5$ હોય અને સરવાળો $9$ કરતા વધારે હોય.
$X \cap Y$ માટે શક્ય પરિણામો $\{(5,5), (6,5)\}$ છે. તેથી,$n(X \cap Y) = 2$.
શરતી સંભાવના $P(X|Y) = \frac{n(X \cap Y)}{n(Y)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(X|Y) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે $U_1$ અને $U_2$ એ અનુક્રમે થેલી $I$ અને થેલી $II$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $I$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|U_1) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ છે.
થેલી $II$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|U_2) = \frac{5}{5+6} = \frac{5}{11}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો લાલ હોય તો તે થેલી $II$ માંથી કાઢવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(U_2|R) = \frac{P(U_2) \times P(R|U_2)}{P(U_1) \times P(R|U_1) + P(U_2) \times P(R|U_2)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(U_2|R) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{11}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{3}{14} + \frac{5}{22}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{33+35}{154}} = \frac{5}{22} \times \frac{154}{68} = \frac{5 \times 7}{68} = \frac{35}{68}$.

(C) આપેલ છે કે $P(\bar{A})=0.3$,તેથી $P(A)=1-0.3=0.7$.
આપેલ છે કે $P(B)=0.4$,તેથી $P(\bar{B})=1-0.4=0.6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5$.
$P(A)=0.7$ મૂકતા,આપણને $0.7 - P(A \cap B) = 0.5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = 0.2$.
હવે,આપણે $P(B \mid A \cup \bar{B}) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,છેદની ગણતરી કરો: $P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
આગળ,અંશની ગણતરી કરો: $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = P((B \cap A) \cup (B \cap \bar{B})) = P((B \cap A) \cup \emptyset) = P(A \cap B) = 0.2$.
તેથી,$P(B \mid A \cup \bar{B}) = \frac{0.2}{0.8} = 0.25$.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ફ્લાઇટ સમયસર રવાના થાય છે અને $B$ એ ઘટના છે કે ફ્લાઇટ સમયસર પહોંચે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(A) = 80 \% = 0.80$
$P(B) = 70 \% = 0.70$
$P(A \cap B) = 65 \% = 0.65$
આપણે શરતી સંભાવના શોધવાની છે કે ફ્લાઇટ સમયસર પહોંચે છે,જો તે સમયસર રવાના થઈ હોય,જે $P(B|A)$ છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(B|A) = \frac{0.65}{0.80} = \frac{65}{80} = \frac{13}{16}$
આમ,સંભાવના $\frac{13}{16}$ છે.

(D) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે મોડ્યુલ $X$ માં ભૂલ છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે મોડ્યુલ $Y$ માં ભૂલ છે. આપેલ છે કે $P(E_1) = 0.1$ અને $P(E_2) = 0.3$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2) = 0.1 \times 0.3 = 0.03$.
ભૂલો માટેની પરસ્પર નિવારક પરિસ્થિતિઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. માત્ર $X$ માં ભૂલ: $P(E_1 \cap E_2^c) = P(E_1) - P(E_1 \cap E_2) = 0.1 - 0.03 = 0.07$.
$2$. માત્ર $Y$ માં ભૂલ: $P(E_1^c \cap E_2) = P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = 0.3 - 0.03 = 0.27$.
$3$. $X$ અને $Y$ બંનેમાં ભૂલ: $P(E_1 \cap E_2) = 0.03$.
ધારો કે $C$ એ ઘટના છે કે પ્રોગ્રામ ક્રેશ થાય છે. શરતી સંભાવનાઓ $P(C|X \text{ માત્ર}) = 0.5$,$P(C|Y \text{ માત્ર}) = 0.7$,અને $P(C|X \cap Y) = 0.8$ આપેલ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(C) = P(C|X \text{ માત્ર})P(X \text{ માત્ર}) + P(C|Y \text{ માત્ર})P(Y \text{ માત્ર}) + P(C|X \cap Y)P(X \cap Y)$
$P(C) = (0.5 \times 0.07) + (0.7 \times 0.27) + (0.8 \times 0.03)$
$P(C) = 0.035 + 0.189 + 0.024 = 0.248$
$P(C) = \frac{248}{1000} = \frac{31}{125}$.

(A) ધારો કે $E_1$,$E_2$ અને $E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે પસંદ કરેલ પરીક્ષાર્થી અનુક્રમે સ્નાતક,અનુસ્નાતક અને ડોક્ટરેટ ધારક છે.
કુલ પરીક્ષાર્થીઓ = $5000 + 2000 + 1000 = 8000$.
$P(E_1) = \frac{5000}{8000} = \frac{5}{8}$,$P(E_2) = \frac{2000}{8000} = \frac{1}{4}$,$P(E_3) = \frac{1000}{8000} = \frac{1}{8}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પરીક્ષાર્થી પરીક્ષા પાસ કરે છે.
$P(A|E_1) = \frac{2}{3}$,$P(A|E_2) = \frac{3}{4}$,$P(A|E_3) = \frac{4}{5}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો પરીક્ષાર્થી પાસ થયો હોય તો તે અનુસ્નાતક હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \times P(A|E_2)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2) + P(E_3) \times P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{2}{8} \times \frac{3}{4}}{\frac{5}{8} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{8} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{8} \times \frac{4}{5}}$
$P(E_2|A) = \frac{45}{169}$.

(C) ધારો કે $n=10$ એ કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p$ એ સફળતાની સંભાવના (છાપ મળે) $= \frac{1}{2}$ છે,અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના (કાંટો મળે) $= \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $X$ એ સફળતાઓની સંખ્યા છે. આપણે નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા સફળતા કરતા વધારે હોય તેની સંભાવના શોધવી છે. આનો અર્થ એ છે કે $10-X > X$,એટલે કે $2X < 10$,અથવા $X < 5$.
આમ,આપણે $P(X \leq 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સંમિત વિતરણ હોવાથી,$P(X \leq 4) = P(X \geq 6)$ થાય.
$P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$.
$P(X \geq 6) = \sum_{r=6}^{10} {}^{10}C_r (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} ({}^{10}C_6 + {}^{10}C_7 + {}^{10}C_8 + {}^{10}C_9 + {}^{10}C_{10})$.
$= \frac{1}{2^{10}} (210 + 120 + 45 + 10 + 1) = \frac{386}{2^{10}} = \frac{193}{2^9}$.

(B) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $7$ છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $11$ છે.
બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $7$ માટેના પરિણામો $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ છે,તેથી $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
સરવાળો $11$ માટેના પરિણામો $(5,6), (6,5)$ છે,તેથી $P(E_2) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
આપણે એ ઘટનામાં રસ ધરાવીએ છીએ કે $E_2$ પહેલા $E_1$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ પ્રયાસમાં,આપણે એવા પરિણામોને અવગણીએ છીએ જ્યાં સરવાળો $7$ કે $11$ નથી.
સરવાળો $7$ અથવા $11$ મેળવવાની સંભાવના $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો $7$ અથવા $11$ છે,તો સરવાળો $7$ હોવાની શરતી સંભાવના $P(E_1 | E_1 \cup E_2) = \frac{P(E_1)}{P(E_1) + P(E_2)} = \frac{6/36}{8/36} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ છે.
આમ,$11$ પહેલા $7$ આવવાની સંભાવના $\frac{3}{4}$ છે.

(A) અહીં કુલ સંદેશાઓની સંખ્યા $n = 500$ છે અને સંદેશો સાચી રીતે ટ્રાન્સમિટ થવાની સંભાવના $0.98$ છે.
તેથી,સંદેશો ખોટી રીતે ટ્રાન્સમિટ થવાની સંભાવના $p = 1 - 0.98 = 0.02$ છે.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ નાનું છે,તેથી આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું જ્યાં પેરામીટર $\lambda = np = 500 \times 0.02 = 10$ છે.
ખોટી રીતે ટ્રાન્સમિટ થયેલા સંદેશાઓ $X$ માટેની સંભાવના $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે વધુમાં વધુ એક સંદેશો ખોટી રીતે ટ્રાન્સમિટ થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$.
$P(X=0) = \frac{10^0 e^{-10}}{0!} = e^{-10}$.
$P(X=1) = \frac{10^1 e^{-10}}{1!} = 10 e^{-10}$.
આમ,$P(X \leq 1) = e^{-10} + 10 e^{-10} = 11 e^{-10} = \frac{11}{e^{10}}$.

(B) દ્વિપદી સંભાવના વિતરણનો ઉપયોગ કરો જ્યાં $n = 5$ અને $p = 0.2 = \frac{1}{5}$ છે.
સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{5}$,તેથી નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા બે સબ્સ્ક્રાઇબર્સને પ્રમોશન મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 2)$ છે.
આની ગણતરી $P(X \geq 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ તરીકે કરી શકાય છે.
$P(X = 0) = { }^5 C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{1024}{3125} = \frac{1024}{3125}$.
$P(X = 1) = { }^5 C_1 \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 5 \times \frac{1}{5} \times \frac{256}{625} = \frac{256}{625} = \frac{1280}{3125}$.
તેથી,$P(X \geq 2) = 1 - \left(\frac{1024 + 1280}{3125}\right) = 1 - \frac{2304}{3125} = \frac{3125 - 2304}{3125} = \frac{821}{3125}$.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{t \rightarrow 0}(1+5t)^{\frac{1}{t}} = K$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{t \rightarrow 0}(1+at)^{\frac{1}{t}} = e^a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $K = e^5$ મળે છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે જે $n = 100$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નોમાં સફળતાની સંખ્યા દર્શાવે છે અને સફળતાની સંભાવના $p = 0.05$ છે,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ નાનું છે,તેથી આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીને $\lambda = np = 100 \times 0.05 = 5$ મેળવી શકીએ છીએ.
ઓછામાં ઓછી એક સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ છે.
પોઈસન સૂત્ર $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ નો ઉપયોગ કરતા,$P(X = 0) = e^{-5}$ મળે છે.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - e^{-5} = 1 - \frac{1}{e^5} = 1 - \frac{1}{K} = \frac{K-1}{K}$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. ધારો કે $X$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો તફાવત છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5$ છે. સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X$ | $P(X)$ | $P_i X_i$ |
|---|---|---|
| $0$ | $6/36$ | $0$ |
| $1$ | $10/36$ | $10/36$ |
| $2$ | $8/36$ | $16/36$ |
| $3$ | $6/36$ | $18/36$ |
| $4$ | $4/36$ | $16/36$ |
| $5$ | $2/36$ | $10/36$ |
મધ્યક $\mu$ એ $\sum P_i X_i$ દ્વારા મળે છે:
$\mu = 0 + \frac{10}{36} + \frac{16}{36} + \frac{18}{36} + \frac{16}{36} + \frac{10}{36}$
$\mu = \frac{10 + 16 + 18 + 16 + 10}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18}$.

(C) આપેલ છે,$n = 50$. ધારો કે $p$ એ એક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના છે. તો પોઈસન વિતરણનો પ્રાચલ $\lambda = np = 50p$ છે.
પોઈસન ચલ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $2 P(X=1) = 5 P(X=5) + 2 P(X=3)$.
સૂત્ર મૂકતા: $2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = 5 \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!} + 2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$.
બંને બાજુ $e^{-\lambda}$ વડે ભાગતા ($e^{-\lambda} \neq 0$ હોવાથી): $2 \lambda = 5 \frac{\lambda^5}{120} + 2 \frac{\lambda^3}{6}$.
$2 \lambda = \frac{\lambda^5}{24} + \frac{\lambda^3}{3}$.
$24$ વડે ગુણતા: $48 \lambda = \lambda^5 + 8 \lambda^3$.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda$ વડે ભાગતા: $\lambda^4 + 8 \lambda^2 - 48 = 0$.
ધારો કે $u = \lambda^2$,તો $u^2 + 8u - 48 = 0$.
$(u + 12)(u - 4) = 0$.
તેથી,$\lambda^2 = 4$ અથવા $\lambda^2 = -12$. $\lambda^2$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $\lambda^2 = 4$,જે $\lambda = 2$ આપે છે.
અંતે,$p = \frac{\lambda}{n} = \frac{2}{50} = 0.04$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલ વિતરણનો ઉપયોગ કરીને $E(X)$ અને $E(X^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = \Sigma x P(X=x) = (-1)(\frac{1}{3}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{6}) + (2)(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{-2+0+1+4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$E(X^2) = \Sigma x^2 P(X=x) = (-1)^2(\frac{1}{3}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{6}) + (2)^2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{4}{3} = \frac{2+0+1+8}{6} = \frac{11}{6}$
હવે,આપણે $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{11}{6} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{6} - \frac{1}{4} = \frac{22-3}{12} = \frac{19}{12}$ શોધીએ.
અંતે,આપણે $6 E(X^2) - \operatorname{Var}(X)$ ની ગણતરી કરીએ:
$6 E(X^2) - \operatorname{Var}(X) = 6(\frac{11}{6}) - \frac{19}{12} = 11 - \frac{19}{12} = \frac{132-19}{12} = \frac{113}{12}$

(A) ધારો કે $N$ એ પાસા પર આવતી સંખ્યા છે. $N$ માટે શક્ય કિંમતો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
જો $N$ બેકી હોય $(N \in \{2, 4, 6\})$,તો ચોકલેટની સંખ્યા $X = N + 2$ થાય.
$N = 2$ માટે,$X = 2 + 2 = 4$.
$N = 4$ માટે,$X = 4 + 2 = 6$.
$N = 6$ માટે,$X = 6 + 2 = 8$.
જો $N$ એકી હોય $(N \in \{1, 3, 5\})$,તો ચોકલેટની સંખ્યા $X = N + 3$ થાય.
$N = 1$ માટે,$X = 1 + 3 = 4$.
$N = 3$ માટે,$X = 3 + 3 = 6$.
$N = 5$ માટે,$X = 5 + 3 = 8$.
આમ,$X$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $\{4, 6, 8\}$ છે.
તેથી,$X$ નો વિસ્તાર $\{4, 6, 8\}$ છે.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે સરવાળો $X$ એ $2$ થી $12$ સુધીની કિંમતો લઈ શકે છે. સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$
$P(X): \frac{1}{36}, \frac{2}{36}, \frac{3}{36}, \frac{4}{36}, \frac{5}{36}, \frac{6}{36}, \frac{5}{36}, \frac{4}{36}, \frac{3}{36}, \frac{2}{36}, \frac{1}{36}$
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{2(1)+3(2)+4(3)+5(4)+6(5)+7(6)+8(5)+9(4)+10(3)+11(2)+12(1)}{36} = \frac{252}{36} = 7$.
હવે,સંભાવનાઓની ગણતરી કરીએ:
$P(X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36}$.
$P(X > 9) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36}$.
$P(X = 7) = \frac{6}{36}$.
આ કિંમતોને પદાવલિ $\mu + P(X < 5) + P(X > 9) + P(X = 7)$ માં મૂકતા:
$= 7 + \frac{6}{36} + \frac{6}{36} + \frac{6}{36} = 7 + \frac{18}{36} = 7 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = P(X=3)$,તેથી:
$\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$
$\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$
કારણ કે $\lambda > 0$,આપણે $\lambda^2$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{6} \Rightarrow \lambda = 3$.
હવે,આપણે $P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} = \frac{243 e^{-3}}{120} = \frac{81 e^{-3}}{40} = \frac{81}{40 e^3}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.