TS EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$(2)$ $\frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A} \implies 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$
$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{3}{2} \sin(2A) = \sin(2B)$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $A = 30^{\circ}$ और $B = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः $A + 2B = 30^{\circ} + 2(30^{\circ}) = 90^{\circ}$।

(B) दिया गया है $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$।
चूंकि $\sin C \le 1$,हमारे पास $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A-B)$ है।
अतः,$\cos(A-B) \ge 1$।
चूंकि $\cos(A-B)$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\cos(A-B) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $A = B$।
इसके लिए $\sin C = 1$ होना आवश्यक है,अतः $C = 90^\circ$।
चूंकि $A+B+C = 180^\circ$ और $A=B$,हमारे पास $2A + 90^\circ = 180^\circ$ है,इसलिए $A = B = 45^\circ$।
अब,$\sin A + \sin B + \sin C = \sin 45^\circ + \sin 45^\circ + \sin 90^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{2} + 1$।

(C) माना $r_1 = 2r_2 = 3r_3 = k$ है।
अतः $r_1 = k$,$r_2 = k/2$,और $r_3 = k/3$ है।
बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ होती हैं।
अतः,$s-a = \frac{\Delta}{k}$,$s-b = \frac{2\Delta}{k}$,और $s-c = \frac{3\Delta}{k}$ है।
योग करने पर,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = s$ प्राप्त होता है।
अतः,$s = \frac{\Delta}{k} (1 + 2 + 3) = \frac{6\Delta}{k}$ है।
अब,$a = s - (s-a) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{\Delta}{k} = \frac{5\Delta}{k}$ है।
और $b = s - (s-b) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{2\Delta}{k} = \frac{4\Delta}{k}$ है।
इसलिए,$a : b = \frac{5\Delta}{k} : \frac{4\Delta}{k} = 5 : 4$ है।

(C) दिया गया है $\frac{1}{(x^2-3)^2} = \frac{A_1}{x-\sqrt{3}} + \frac{A_2}{(x-\sqrt{3})^2} + \frac{A_3}{x+\sqrt{3}} + \frac{A_4}{(x+\sqrt{3})^2}$.
$(x^2-3)^2$ से गुणा करने पर,$1 = A_1(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})^2 + A_2(x+\sqrt{3})^2 + A_3(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})^2 + A_4(x-\sqrt{3})^2$ प्राप्त होता है।
$x = \sqrt{3}$ रखने पर,$1 = A_2(2\sqrt{3})^2 = 12A_2 \implies A_2 = \frac{1}{12}$.
$x = -\sqrt{3}$ रखने पर,$1 = A_4(-2\sqrt{3})^2 = 12A_4 \implies A_4 = \frac{1}{12}$.
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A_1 + A_3 = 0 \implies A_3 = -A_1$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $\sqrt{3}(A_1 - A_3) + A_2 + A_4 = 0$.
चूंकि $A_3 = -A_1$,हमारे पास $2\sqrt{3}A_1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = 0 \implies 2\sqrt{3}A_1 = -\frac{1}{6} \implies A_1 = -\frac{1}{12\sqrt{3}}$.
अतः,$A_3 = \frac{1}{12\sqrt{3}}$.
मान $A_1 = -\frac{1}{12\sqrt{3}}, A_2 = \frac{1}{12}, A_3 = \frac{1}{12\sqrt{3}}, A_4 = \frac{1}{12}$ हैं।
$(i)$ $A_i$ भिन्न नहीं हैं (सत्य,$A_2=A_4$)।
(ii) $A_p^2 = A_q^2$ के लिए $p=2, q=4$ (सत्य)।
(iii) $\sum A_i = \frac{1}{6}$ (सत्य)।
(iv) $\sum A_i = 1$ (असत्य)।
अतः,केवल कथन (iv) गलत है।

(C) माना $y = \frac{ax^2-2x+3}{2x-3x^2+a}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y(2x - 3x^2 + a) = ax^2 - 2x + 3$ प्राप्त होता है।
$2xy - 3x^2y + ay = ax^2 - 2x + 3$.
$x^2(a + 3y) - 2x(y + 1) + (3 - ay) = 0$.
चूंकि $x \in R$,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$4(y + 1)^2 - 4(a + 3y)(3 - ay) \geq 0$.
$(y^2 + 2y + 1) - (3a - a^2y + 9y - 3ay^2) \geq 0$.
$y^2(3a + 1) + y(a^2 - 7) + (1 - 3a) \geq 0$.
व्यंजक के सभी वास्तविक मान ग्रहण करने के लिए,$y$ में द्विघात समीकरण सभी $y \in R$ के लिए गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $y^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए और इसका विविक्तकर $\leq 0$ होना चाहिए।
हालाँकि,इस द्विघात के विविक्तकर की जाँच करने पर: $(a^2 - 7)^2 - 4(3a + 1)(1 - 3a) = a^4 + 22a^2 + 45$.
चूंकि सभी $a \in R$ के लिए $a^4 + 22a^2 + 45 > 0$,इसलिए $D \leq 0$ की शर्त कभी पूरी नहीं होती है।
अतः,'$a$' का ऐसा कोई मान नहीं है।
इसलिए,समुच्चय $\phi$ है।

(A) समीकरण $2x^3+5x^2+5x+2=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{5}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{5}{2}$
$\alpha\beta\gamma = -1$
नए मूल $y = x+h$ लें,अतः $x = y-h$। मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(y-h)^3+5(y-h)^2+5(y-h)+2 = 0$
$2y^3 + (5-6h)y^2 + (6h^2-10h+5)y + (-2h^3+5h^2-5h+2) = 0$
$a(h)x^3+b(h)x^2+c(h)x+d(h)=0$ के साथ तुलना करने पर,$c(h)=6h^2-10h+5$ प्राप्त होता है।
$c(h)$ के लिए विविक्तकर $D = (-10)^2 - 4(6)(5) = 100 - 120 = -20 < 0$ है।
अतः,सभी $h \in R$ के लिए $c(h) \neq 0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ हैं।
ध्रुवीय रूप में,$1 + i\sqrt{3} = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$ और $1 - i\sqrt{3} = 2e^{-i\pi/3}$ है।
अतः,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ है।
अब $\alpha^{12} = (2e^{i\pi/3})^{12} = 2^{12} e^{i4\pi} = 2^{12}(1) = 2^{12}$।
इसी प्रकार,$\beta^{12} = (2e^{-i\pi/3})^{12} = 2^{12} e^{-i4\pi} = 2^{12}(1) = 2^{12}$।
इसलिए,$\alpha^{12} + \beta^{12} = 2^{12} + 2^{12} = 2 \times 2^{12} = 2^{13}$।

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{27x^2+32x+16}{(3x+2)^2(1-x)} = \frac{A}{3x+2} + \frac{B}{(3x+2)^2} + \frac{C}{1-x}$ है।
दोनों पक्षों को $(3x+2)^2(1-x)$ से गुणा करने पर:
$27x^2+32x+16 = A(3x+2)(1-x) + B(1-x) + C(3x+2)^2$.
$x = 1$ रखने पर: $27(1)^2 + 32(1) + 16 = C(3(1)+2)^2$ $\Rightarrow 75 = 25C$ $\Rightarrow C = 3$.
$x = -2/3$ रखने पर: $27(-2/3)^2 + 32(-2/3) + 16 = B(1 - (-2/3))$ $\Rightarrow 12 - 64/3 + 16 = B(5/3)$ $\Rightarrow 20/3 = 5B/3$ $\Rightarrow B = 4$.
$x = 0$ रखने पर: $16 = A(2)(1) + B(1) + C(2)^2$ $\Rightarrow 16 = 2A + 4 + 4(3)$ $\Rightarrow 16 = 2A + 16$ $\Rightarrow A = 0$.
अंत में,$AB + BC + CA = (0)(4) + (4)(3) + (3)(0) = 0 + 12 + 0 = 12$.

(A) हमारे पास असमिकाएं हैं:
$x^2-4x+3 > 0$ और $x^2-2x-8 \leq 0$
सबसे पहले,$x^2-4x+3 > 0$ को हल करें:
$(x-3)(x-1) > 0$
यह दर्शाता है कि $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$।
इसके बाद,$x^2-2x-8 \leq 0$ को हल करें:
$(x-4)(x+2) \leq 0$
यह दर्शाता है कि $x \in [-2, 4]$।
अंत में,दोनों समुच्चयों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें:
$x \in ((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) \cap [-2, 4]$
$x \in [-2, 1) \cup (3, 4]$

(B) हमारे पास है,$x^2+|x-3|=4$.
स्थिति $I$: $x \ge 3$.
समीकरण $x^2 + x - 3 = 4$ हो जाता है,जो $x^2 + x - 7 = 0$ में सरल होता है।
मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$ हैं।
ये मान $x \ge 3$ की शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।
स्थिति $II$: $x < 3$.
समीकरण $x^2 - (x - 3) = 4$ हो जाता है,जो $x^2 - x - 1 = 0$ में सरल होता है।
मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
दोनों मूल $x < 3$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।
अतः,सभी वास्तविक संख्याओं का योग $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1$ है।

(C) माना द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है।
मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ है और मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ है।
जब अचर पद को गलत तरीके से लिखा जाता है,तो मूलों का योग अपरिवर्तित रहता है क्योंकि योग केवल $x^2$ और $x$ के गुणांकों पर निर्भर करता है।
दिए गए मूल $5$ और $9$ हैं,इसलिए मूलों का योग $5 + 9 = 14$ है।
अतः,$-\frac{b}{a} = 14$,जिसका अर्थ है $b = -14a$।
दूसरे छात्र ने अचर पद $c = 12$ और $x^2$ का गुणांक $a = 4$ सही ढंग से लिखा।
$b = -14a$ में $a = 4$ रखने पर,हमें $b = -14(4) = -56$ प्राप्त होता है।
सही समीकरण $4x^2 - 56x + 12 = 0$ है।
मूलों का योग $s = -\frac{b}{a} = -\frac{-56}{4} = 14$।
मूलों का गुणनफल $p = \frac{c}{a} = \frac{12}{4} = 3$।
विविक्तकर $\Delta = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4(4)(12) = 3136 - 192 = 2944$।
अंत में,आवश्यक मान की गणना करते हुए: $\frac{\Delta}{3p + s} = \frac{2944}{3(3) + 14} = \frac{2944}{9 + 14} = \frac{2944}{23} = 128$।

(B) दिया गया है कि $\sin 2 \theta$ और $\cos 2 \theta$ द्विघात समीकरण $x^2+bx-c=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\sin 2 \theta + \cos 2 \theta = -b$ और मूलों का गुणनफल $\sin 2 \theta \cos 2 \theta = -c$ है।
योग का वर्ग करने पर,$(\sin 2 \theta + \cos 2 \theta)^2 = (-b)^2$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta + 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta = b^2$।
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करने पर,$1 + 2(\sin 2 \theta \cos 2 \theta) = b^2$।
मूलों का गुणनफल प्रतिस्थापित करने पर,$1 + 2(-c) = b^2$,जो सरल होकर $b^2 + 2c - 1 = 0$ हो जाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) दी गई आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3 x^4+5 x^2+2}{\left(x^2+1\right)^2\left(x^2+2\right)}=\frac{A x+B}{x^2+2}+\frac{C x+D}{x^2+1}+\frac{E x+F}{\left(x^2+1\right)^2}$.
दोनों पक्षों को हर से गुणा करने पर: $3 x^4+5 x^2+2 = (A x+B)(x^2+1)^2 + (C x+D)(x^2+1)(x^2+2) + (E x+F)(x^2+2)$.
चूंकि व्यंजक में केवल $x$ की सम घातें हैं,इसलिए $x$ की विषम घातों के गुणांक शून्य होंगे। अतः,$A=0, C=0, E=0$.
समीकरण सरल होकर बनता है: $3 x^4+5 x^2+2 = B(x^2+1)^2 + D(x^2+1)(x^2+2) + F(x^2+2)$.
माना $y = x^2$. तो $3y^2+5y+2 = B(y+1)^2 + D(y+1)(y+2) + F(y+2)$.
$y = -1$ के लिए: $3-5+2 = F(1) \Rightarrow F=0$.
$y = -2$ के लिए: $3(4)-5(2)+2 = B(-1)^2$ $\Rightarrow 12-10+2 = B$ $\Rightarrow B=4$.
$y^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $3 = B+D$ $\Rightarrow 3 = 4+D$ $\Rightarrow D=-1$.
हमें $A+2 B+D+4 E = 0 + 2(4) + (-1) + 4(0) = 8-1 = 7$ ज्ञात करना है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना समीकरण $2x^3 + ax^2 - 8x + b = 0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
प्रत्येक मूल को $1$ से कम करने पर,नए मूल $\alpha-1, \beta-1, \gamma-1$ प्राप्त होते हैं।
माना $y = x - 1$,अतः $x = y + 1$।
मूल समीकरण में $x = y + 1$ रखने पर:
$2(y+1)^3 + a(y+1)^2 - 8(y+1) + b = 0$
$2(y^3 + 3y^2 + 3y + 1) + a(y^2 + 2y + 1) - 8(y + 1) + b = 0$
$2y^3 + (6 + a)y^2 + (6 + 2a - 8)y + (2 + a - 8 + b) = 0$।
दिया गया है कि $y^2$ का गुणांक और अचर पद शून्य हैं:
$6 + a = 0 \Rightarrow a = -6$।
$2 + a - 8 + b = 0$ $\Rightarrow 2 - 6 - 8 + b = 0$ $\Rightarrow b = 12$।
मूल समीकरण $2x^3 - 6x^2 - 8x + 12 = 0$ है।
$2$ से भाग देने पर,$x^3 - 3x^2 - 4x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = 1$ एक मूल है $(1 - 3 - 4 + 6 = 0)$,अतः $(x - 1)$ से भाग देने पर:
$(x - 1)(x^2 - 2x - 6) = 0$।
मूल $x = 1$ और $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$ हैं।

(C) माना समीकरण $x^3+b x^2+c x+d=0$ के मूल $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta+\gamma=-b$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,एक मूल अन्य दो मूलों के योग के बराबर है,इसलिए माना $\alpha=\beta+\gamma$ है।
इसे मूलों के योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha+\alpha=-b$,जिसका अर्थ है $2\alpha=-b$ या $\alpha=-\frac{b}{2}$।
चूंकि $\alpha$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह $x^3+b x^2+c x+d=0$ को संतुष्ट करेगा।
$x=-\frac{b}{2}$ रखने पर: $\left(-\frac{b}{2}\right)^3+b\left(-\frac{b}{2}\right)^2+c\left(-\frac{b}{2}\right)+d=0$।
$-\frac{b^3}{8}+\frac{b^3}{4}-\frac{b c}{2}+d=0$।
पूरे समीकरण को $8$ से गुणा करने पर: $-b^3+2b^3-4bc+8d=0$।
$b^3-4bc+8d=0$,जो सरल होकर $b^3+8d=4bc$ हो जाता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया है कि $\alpha_1, \alpha_2$ समीकरण $x^2+ax+1=0$ के मूल हैं,अतः $\alpha_1+\alpha_2 = -a$ और $\alpha_1\alpha_2 = 1$.
दिया गया है कि $\alpha_3, \alpha_4$ समीकरण $x^2+bx+1=0$ के मूल हैं,अतः $\alpha_3+\alpha_4 = -b$ और $\alpha_3\alpha_4 = 1$.
हमें $E = (\alpha_1+\alpha_3)(\alpha_2+\alpha_3)(\alpha_1+\alpha_4)(\alpha_2+\alpha_4)$ का मान ज्ञात करना है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$E = [(\alpha_1+\alpha_3)(\alpha_2+\alpha_3)] \times [(\alpha_1+\alpha_4)(\alpha_2+\alpha_4)]$.
विस्तार करने पर,$E = (\alpha_1\alpha_2 + \alpha_3(\alpha_1+\alpha_2) + \alpha_3^2) \times (\alpha_1\alpha_2 + \alpha_4(\alpha_1+\alpha_2) + \alpha_4^2)$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,$E = (1 - a\alpha_3 + \alpha_3^2) \times (1 - a\alpha_4 + \alpha_4^2)$.
चूंकि $\alpha_3$ समीकरण $x^2+bx+1=0$ का मूल है,$\alpha_3^2+b\alpha_3+1=0$,अतः $\alpha_3^2+1 = -b\alpha_3$.
इसी प्रकार,$\alpha_4^2+1 = -b\alpha_4$.
अतः,$E = (-b\alpha_3 - a\alpha_3) \times (-b\alpha_4 - a\alpha_4) = (-(a+b)\alpha_3) \times (-(a+b)\alpha_4)$.
इसलिए,$E = (a+b)^2 \alpha_3\alpha_4 = (a+b)^2(1) = (a+b)^2$.

(D) माना $y = \frac{2(x^2+2x-11)}{2x-5}$.
$y(2x-5) = 2x^2+4x-22$.
$2x^2 + x(4-2y) + (5y-22) = 0$.
चूँकि $x$ वास्तविक है,विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (4-2y)^2 - 4(2)(5y-22) \geq 0$.
$16 + 4y^2 - 16y - 40y + 176 \geq 0$.
$4y^2 - 56y + 192 \geq 0$.
$y^2 - 14y + 48 \geq 0$.
$(y-6)(y-8) \geq 0$.
अतः,$y \in (-\infty, 6] \cup [8, \infty)$.
इसलिए,व्यंजक का कोई भी मान अंतराल $(6,8)$ में स्थित नहीं है।

(D) माना $f(x) = -ax^2 + 2x - 7$ है। फलन का अधिकतम मान होने के लिए,$a > 0$ होना चाहिए।
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$f(x) = -a(x^2 - \frac{2}{a}x) - 7$
$f(x) = -a(x^2 - \frac{2}{a}x + \frac{1}{a^2} - \frac{1}{a^2}) - 7$
$f(x) = -a(x - \frac{1}{a})^2 + \frac{1}{a} - 7$
$f(x)$ का अधिकतम मान $\frac{1}{a} - 7$ है।
दिया गया है कि अधिकतम मान $20$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए:
$\frac{1}{a} - 7 \leq 20$
$\frac{1}{a} \leq 27$
चूंकि $a > 0$,हमें $a \geq \frac{1}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{27}$ है।

(B) माना $f(x) = x^2 - 4ax + (4a^2 - 3a + 1)$। दोनों मूलों के $1$ से अधिक होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = (-4a)^2 - 4(1)(4a^2 - 3a + 1) = 12a - 4 \geq 0 \Rightarrow a \geq \frac{1}{3}$।
$2$. शीर्ष की स्थिति: $\frac{-b}{2a} > 1$:
$\frac{4a}{2} > 1 \Rightarrow a > \frac{1}{2}$।
$3$. $f(1) > 0$:
$f(1) = 4a^2 - 7a + 2 > 0$।
$4a^2 - 7a + 2 = 0$ के मूल $a = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{8}$ हैं।
अतः,$a \in \left(-\infty, \frac{7-\sqrt{17}}{8}\right) \cup \left(\frac{7+\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$।
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,$a \in \left(\frac{7+\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$ प्राप्त होता है।

(B) वक्र $f(x) = a x^2 + b x + c$ द्वारा $X$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड की लंबाई $A = |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$ है,जहाँ $D = b^2 - 4 a c$ है।
$f_1(x) = 5 x^2 + 2 x + 1$ के लिए,$D = 4 - 20 = -16$ है। चूँकि $D < 0$ है,वक्र $X$-अक्ष को नहीं काटता है,इसलिए $A_1$ परिभाषित नहीं है।
$f_2(x) = 5 x^2 + 6 x + 1$ के लिए,$D = 36 - 20 = 16$ है। अतः,$A_2 = \frac{\sqrt{16}}{5} = 0.8$ है।
$f_3(x) = x^2 - 7 x + 6$ के लिए,$D = 49 - 24 = 25$ है। अतः,$A_3 = \frac{\sqrt{25}}{1} = 5$ है।
$f_4(x) = 64 x^2 + 48 x + 9$ के लिए,$D = 2304 - 2304 = 0$ है। अतः,$A_4 = 0$ है।
मानों की तुलना करने पर: $A_4 = 0, A_2 = 0.8, A_3 = 5$ है।
इसलिए,$A_4 < A_2 < A_3$ सत्य है।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+px^2+qx+r=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
हम जानते हैं कि $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) + \alpha\beta\gamma$।
मान रखने पर:
$(-p)(q) = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) + (-r)$
$-pq = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) - r$
अतः,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = r-pq$।

(C) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-ax^2+ax-1=0$ के मूल हैं। \\ विएटा के सूत्रों के अनुसार: \\ $\alpha+\beta+\gamma = a$ \\ $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = a$ \\ $\alpha\beta\gamma = 1$. \\ वह त्रिघात समीकरण जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हैं,वह $x^3 - (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)x^2 + (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2)x - (\alpha\beta\gamma)^2 = 0$ है। \\ इसे $x^3-ax^2+ax-1=0$ के साथ तुलना करने पर: \\ $a = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = a^2 - 2a$. \\ अतः,$a^2 - 3a = 0$,जिसका अर्थ है $a(a-3) = 0$. \\ चूँकि $a$ शून्येतर है,इसलिए $a = 3$.

(D) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन:
$\frac{2 x+7}{\left(x^2+4\right)\left(x^2+9\right)\left(x^2+16\right)}=\frac{A x+1}{x^2+4}+\frac{B x+m}{x^2+9}+\frac{C x+n}{x^2+16}$
दोनों पक्षों को $\left(x^2+4\right)\left(x^2+9\right)\left(x^2+16\right)$ से गुणा करने पर:
$2 x+7 = (A x+1)(x^2+9)(x^2+16) + (B x+m)(x^2+4)(x^2+16) + (C x+n)(x^2+4)(x^2+9)$
$x^2 = -4$ रखने पर:
$2x + 7 = (Ax + 1)(5)(12) = 60Ax + 60$
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $60A = 2 \Rightarrow A = \frac{1}{30}$
$x^2 = -9$ रखने पर:
$2x + 7 = (Bx + m)(-5)(7) = -35Bx - 35m$
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-35B = 2 \Rightarrow B = -\frac{2}{35}$
$x^2 = -16$ रखने पर:
$2x + 7 = (Cx + n)(-12)(-7) = 84Cx + 84n$
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $84C = 2 \Rightarrow C = \frac{1}{42}$
अब,$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C}$ की गणना करने पर:
$\frac{1}{A} = 30$,$\frac{1}{B} = -\frac{35}{2}$,$\frac{1}{C} = 42$
$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = 30 - \frac{35}{2} + 42 = 72 - 17.5 = 54.5 = \frac{109}{2}$

(C) दिया गया समीकरण: $x^3-6x^2+6x-2=0$.
विकल्प $(a)$ की जाँच: $x=-1$ रखने पर,$(-1)^3-6(-1)^2+6(-1)-2 = -15 \neq 0$.
विकल्प $(b)$ की जाँच: $x=2$ रखने पर,$(2)^3-6(2)^2+6(2)-2 = -6 \neq 0$.
विकल्प $(c)$ की जाँच: माना $x = \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}-1}$.
योगान्तरानुपात नियम (componendo and dividendo) लगाने पर: $\frac{x+1}{x-1} = \frac{2^{1/3}+2^{1/3}-1}{2^{1/3}-2^{1/3}+1} = 2 \cdot 2^{1/3}-1$.
$\frac{x+1}{x-1} + 1 = 2 \cdot 2^{1/3}$ $\Rightarrow \frac{2x}{x-1} = 2 \cdot 2^{1/3}$ $\Rightarrow \frac{x}{x-1} = 2^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर: $\frac{x^3}{(x-1)^3} = 2
$ $\Rightarrow x^3 = 2(x^3-3x^2+3x-1)
$ $\Rightarrow x^3 = 2x^3-6x^2+6x-2
$ $\Rightarrow x^3-6x^2+6x-2 = 0$.
अतः,विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+p_1 x^2+p_2 x+p_3=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$p_1 = -(\alpha+\beta+\gamma) = -S_1 = -10$.
$p_2 = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2 - (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)}{2} = \frac{S_1^2 - S_2}{2} = \frac{100-38}{2} = 31$.
सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 - (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$ का उपयोग करने पर:
$S_3 - 3(-p_3) = S_1(S_2 - p_2)$.
$-1840 + 3p_3 = 10(38 - 31)$.
$-1840 + 3p_3 = 10(7) = 70$.
$3p_3 = 1910$.
$p_3 = \frac{1910}{3}$.

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-6x^2+px+10=0$ के मूल हैं और समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
माना मूल $\beta-d, \beta, \beta+d$ हैं।
मूलों का योग लेने पर,$(\beta-d) + \beta + (\beta+d) = 6$,जिससे $3\beta = 6$ प्राप्त होता है,अतः $\beta = 2$।
चूंकि $\beta = 2$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $2^3 - 6(2^2) + p(2) + 10 = 0$।
$8 - 24 + 2p + 10 = 0$ $\Rightarrow 2p - 6 = 0$ $\Rightarrow p = 3$।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta\gamma = -10$ है। चूंकि $\beta = 2$,हमारे पास $\alpha\gamma = -5$ है।
साथ ही,$\alpha+\gamma = 6 - 2 = 4$।
हम सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)((\alpha+\beta+\gamma)^2 - 3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\alpha+\beta+\gamma = 6$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = p = 3$,और $\alpha\beta\gamma = -10$ है।
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-10) = 6(6^2 - 3(3))$।
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 30 = 6(36 - 9) = 6(27) = 162$।
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 162 - 30 = 132$।

(C) दिया गया समीकरण: $(x+1)^4+(x+3)^4=8$.
माना $x+2=y$,तब $x+1=y-1$ और $x+3=y+1$.
समीकरण $(y-1)^4+(y+1)^4=8$ हो जाता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार करने पर: $(y^4-4y^3+6y^2-4y+1)+(y^4+4y^3+6y^2+4y+1)=8$.
$2y^4+12y^2+2=8$ $\Rightarrow 2y^4+12y^2-6=0$ $\Rightarrow y^4+6y^2-3=0$.
माना $t=y^2$,तब $t^2+6t-3=0$.
$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4(1)(-3)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.
वास्तविक $y$ के लिए $t=y^2$ का मान ऋणेतर होना चाहिए,इसलिए हम $y^2 = 2\sqrt{3}-3$ लेते हैं।
$y=x+2$ वापस रखने पर: $(x+2)^2 = 2\sqrt{3}-3$.
$x^2+4x+4 = 2\sqrt{3}-3 \Rightarrow x^2+4x+(7-2\sqrt{3}) = 0$.
यह $x$ में एक द्विघात समीकरण है जो $ax^2+bx+c=0$ के रूप में है।
मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{7-2\sqrt{3}}{1} = 7-2\sqrt{3}$ है।

(D) हम जानते हैं कि $i$ की चार क्रमागत घातों का योग शून्य होता है,अर्थात किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$।
दी गई श्रेणी $S = i^2+i^3+i^4+\ldots+i^{4000}$ है।
इस श्रेणी में $3999$ पद हैं।
इन पदों को चार के समूहों में विभाजित करने पर,$3999 = 4 \times 999 + 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $999$ समूहों का योग $0$ होगा और $3$ पद शेष रहेंगे।
योग $\sum_{k=2}^{4000} i^k = \frac{i^2(1-i^{3999})}{1-i} = \frac{-1(1-(-i))}{1-i} = \frac{-(1+i)}{1-i} = -i$ होता है।

(B) माना $z = i^{1/4}$,जिसका अर्थ है $z^4 = i = e^{i\pi/2}$.
समीकरण $z^4 - i = 0$ है।
इस समीकरण के मूल $z_k = e^{i\left(\frac{\pi/2 + 2k\pi}{4}\right)}$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$ है।
ये मूल $e^{i\pi/8}, e^{i5\pi/8}, e^{i9\pi/8}, e^{i13\pi/8}$ हैं।
इनमें से कोई भी मूल एक-दूसरे के संयुग्मी नहीं हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,बहुपद $z^4 + 0z^3 + 0z^2 + 0z - i = 0$ के लिए,दो-दो मूलों के गुणनफलों का योग $z^2$ का गुणांक है,जो $0$ है।
अतः,योग $0$ है।

(B) हमारे पास है,$x+iy = (1+i)^6 - (1-i)^6$.
सबसे पहले,$(1+i)^2 = 1 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$ की गणना करें।
तब,$(1+i)^6 = ((1+i)^2)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = -8i$.
इसी प्रकार,$(1-i)^2 = 1 + i^2 - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$.
तब,$(1-i)^6 = ((1-i)^2)^3 = (-2i)^3 = -8i^3 = 8i$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x+iy = (-8i) - (8i) = -16i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = 0$ और $y = -16$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y = 0 + (-16) = -16$.

(A) दी गई असमिका: $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$3^x$ से गुणा करने पर ($3^x > 0$ होने के कारण):
$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 < 0$
माना $y = 3^x$,तब $y^2 - 4y + 3 < 0$
गुणनखंड करने पर: $(y-1)(y-3) < 0$
इसका अर्थ है $1 < y < 3$
$y = 3^x$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 < 3^x < 3$
$3^0 < 3^x < 3^1$
चूंकि आधार $3 > 1$ है,इसलिए $0 < x < 1$
अतः,हल समुच्चय $(0,1)$ है।

(C) माना $z_1 = \sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$ है। तब $z_1^{2016} = 2^{2016}(\cos(-336\pi) + i\sin(-336\pi)) = 2^{2016}$ है।
माना $z_2 = -\sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$ है। तब $z_2^{2019} = 2^{2019}(\cos(-\frac{3365\pi}{2}) + i\sin(-\frac{3365\pi}{2})) = -i 2^{2019}$ है।
योग $2^{2016} - i 2^{2019}$ है।
अतः,काल्पनिक भाग $-2^{2019}$ है।

(B) दिया गया है,$i z^4 + 1 = 0$.
$i z^4 = -1$.
$z^4 = \frac{-1}{i} = i$.
हम जानते हैं कि $i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.
अतः,$z^4 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,$z = \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{4}} = \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}$.
इस प्रकार,$z$ का वास्तविक भाग $\operatorname{Re}(z) = \cos \frac{\pi}{8}$ है।

(C) दिया गया है $z_n = (1 + i \sqrt{2})^n$.
तब $z_4 = (1 + i \sqrt{2})^4$ और $\bar{z}_5 = (1 - i \sqrt{2})^5$ है।
गुणनफल $z_4 \bar{z}_5 = (1 + i \sqrt{2})^4 (1 - i \sqrt{2})^5$ पर विचार करें।
हम इसे $z_4 \bar{z}_5 = [(1 + i \sqrt{2})(1 - i \sqrt{2})]^4 (1 - i \sqrt{2})$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूँकि $(1 + i \sqrt{2})(1 - i \sqrt{2}) = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$, इसलिए:
$z_4 \bar{z}_5 = 3^4 (1 - i \sqrt{2}) = 81(1 - i \sqrt{2}) = 81 - 81i \sqrt{2}$।
वास्तविक भाग $\operatorname{Re}(z_4 \bar{z}_5) = 81$ है।
अतः, $\frac{1}{9} \operatorname{Re}(z_4 \bar{z}_5) = \frac{81}{9} = 9$।

(B) दिया गया है $\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^4 = P$ जहाँ $|P| = 1$.
माना $w = \frac{1+iz}{1-iz}$. तब $w^4 = P$.
चूँकि $|P| = 1$,हमारे पास $|w|^4 = 1$ है,जिसका अर्थ है $|w| = 1$.
अतः,$\left|\frac{1+iz}{1-iz}\right| = 1$.
इसका तात्पर्य है $|1+iz| = |1-iz|$.
माना $z = x+iy$. तब $|1+i(x+iy)| = |1-i(x+iy)|$.
$|1-y+ix| = |1+y-ix|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1-y)^2 + x^2 = (1+y)^2 + x^2$.
$1 - 2y + y^2 + x^2 = 1 + 2y + y^2 + x^2$.
$-2y = 2y$ $\Rightarrow 4y = 0$ $\Rightarrow y = 0$.
अतः,$z$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए। चूँकि $z$ वास्तविक है,समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

(A) दिया गया है $z = \cos \alpha + i \sin \alpha$,जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ है।
डी-मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^n = \cos(n\alpha) + i \sin(n\alpha)$.
$\frac{1+z^4}{1-z^3} = \frac{1 + \cos 4\alpha + i \sin 4\alpha}{1 - \cos 3\alpha - i \sin 3\alpha}$
$= \frac{2 \cos^2 2\alpha + 2i \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \sin^2 \frac{3\alpha}{2} - 2i \sin \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2}}$
$= \frac{2 \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha)}{2 \sin \frac{3\alpha}{2} (\sin \frac{3\alpha}{2} - i \cos \frac{3\alpha}{2})}$
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:
$\left|\frac{1+z^4}{1-z^3}\right| = \left| \frac{\cos 2\alpha}{\sin \frac{3\alpha}{2}} \right| \times \frac{|\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha|}{|\sin \frac{3\alpha}{2} - i \cos \frac{3\alpha}{2}|}$
चूँकि $|\cos \theta + i \sin \theta| = 1$ और $|\sin \theta - i \cos \theta| = 1$,
$\left|\frac{1+z^4}{1-z^3}\right| = \frac{\cos 2\alpha}{\sin \frac{3\alpha}{2}}$.

(D) हमारे पास है,
$\sum_{r=1}^{16}\left(\sin \frac{2 r \pi}{17}+i \cos \frac{2 r \pi}{17}\right) = i \sum_{r=1}^{16}\left(\cos \frac{2 r \pi}{17} - i \sin \frac{2 r \pi}{17}\right)$
$= i \sum_{r=1}^{16} e^{-\frac{i 2 r \pi}{17}}$
मान लीजिए $K = e^{-\frac{2 i \pi}{17}}$ है। तब योग $i \sum_{r=1}^{16} K^r$ है।
यह $16$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है:
$i \left[ K \frac{1-K^{16}}{1-K} \right] = i \frac{K-K^{17}}{1-K}$
चूँकि $K^{17} = e^{-2 i \pi} = \cos(2 \pi) - i \sin(2 \pi) = 1$,
अतः व्यंजक $i \frac{K-1}{1-K} = i(-1) = -i$ हो जाता है।

(B) दिया गया है $z = \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{3} i}$.
हम $1 + \sqrt{3} i = \frac{1}{2} (2 + 2 \sqrt{3} i) = \frac{1}{2} ((\sqrt{3})^2 + i^2 + 2 \sqrt{3} i) = \frac{1}{2} (\sqrt{3} + i)^2$ लिख सकते हैं।
अतः,$z = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{3} + i) = \pm (\sqrt{3} + i)$.
चूंकि $z$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग ऋणात्मक होने चाहिए।
इसलिए,$z = -\sqrt{3} - i$.
मापांक $|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ है।
तीसरे चतुर्थांश में कोणांक $\theta = -(\pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})) = -(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\frac{5 \pi}{6}$ है।
अतः,ध्रुवीय रूप $z = 2 \left[ \cos \left( \frac{-5 \pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{-5 \pi}{6} \right) \right]$ है।

(B) हम जानते हैं कि घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
साथ ही,इकाई के घनमूलों से जुड़े गुणनखंडों का गुणनफल है:
$(a+b \omega+c \omega^2)(a+b \omega^2+c \omega) = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a+b+c)(a+b \omega+c \omega^2)(a+b \omega^2+c \omega) = a^3+b^3+c^3-3abc$

(D) माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। ये समीकरण $z^3 = -i$ या $z^3 + i = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,त्रिघात समीकरण $az^3 + bz^2 + cz + d = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -b/a$ और दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = c/a$ होता है।
यहाँ,$a = 1, b = 0, c = 0$ और $d = i$ है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 0$ और $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$।
मान रखने पर,हमें $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (0)^2 - 2(0) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^8$ समीकरण $x^9-1=0$ के मूल हैं।
चूंकि $\omega$ इकाई का $9$ वां मूल है,इसलिए $\omega^9 = 1$ है।
हमें योग $S = \sum_{r=1}^8 \left(\omega^r\right)^{99}$ का मूल्यांकन करना है।
$S = \sum_{r=1}^8 \omega^{99r} = \sum_{r=1}^8 (\omega^9)^{11r}$।
चूंकि $\omega^9 = 1$,इसलिए $(\omega^9)^{11r} = (1)^{11r} = 1$ है।
अतः,$S = \sum_{r=1}^8 1 = 8$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3$ समीकरण $x^3 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $a_1 + a_2 + a_3 = 0$ है।
$a_k = e^{i \alpha_k}$ होने के कारण,$\sum a_k = 0$ और $\sum \bar{a_k} = 0$ है।
$b = a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1$ है।
$(a_1 + a_2 + a_3)^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 2b = 0$।
अतः $b = -\frac{1}{2}(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$।
इकाई वृत्त पर स्थित सम्मिश्र संख्याओं के लिए यदि उनका योग शून्य है,तो उनके वर्गों का योग भी शून्य होता है।
इसलिए $b = 0$।

(D) दिया गया है $\left|\frac{z+3i}{3z+i}\right| < 1$,जहाँ $z = x + iy$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{|z+3i|^2}{|3z+i|^2} < 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $|x + i(y+3)|^2 < |3x + i(3y+1)|^2$।
$x^2 + (y+3)^2 < (3x)^2 + (3y+1)^2$।
$x^2 + y^2 + 6y + 9 < 9x^2 + 9y^2 + 6y + 1$।
$8x^2 + 8y^2 - 8 > 0$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 > 1$ बनता है।
चूँकि बिंदु $\left(\frac{k-1}{k}, \frac{k-2}{k}\right)$ इस असमिका को संतुष्ट करता है:
$\left(\frac{k-1}{k}\right)^2 + \left(\frac{k-2}{k}\right)^2 > 1$।
$\frac{k^2 - 2k + 1 + k^2 - 4k + 4}{k^2} > 1$।
$2k^2 - 6k + 5 > k^2$।
$k^2 - 6k + 5 > 0$।
$(k-1)(k-5) > 0$।
अतः,$k \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$।

(A) माना $z = x + iy$. तब $z - 1 - 2i = (x - 1) + i(y - 2)$.
दिया गया है कि $\text{arg}(z - 1 - 2i) = \frac{\pi}{3}$.
इसका अर्थ है $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{y - 2}{x - 1}$,जहाँ $x > 1$ और $y > 2$.
चूँकि $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$,इसलिए $\sqrt{3} = \frac{y - 2}{x - 1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y - 2 = \sqrt{3}(x - 1)$ प्राप्त होता है।
$y = \sqrt{3}x - \sqrt{3} + 2$.
$y = \sqrt{3}x + (2 - \sqrt{3})$.

(C) हमें दिया गया है कि $|z+4| \geq 3$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,हम जानते हैं कि $|z+4| = |(z+3) + 1| \leq |z+3| + |1|$ होता है।
दी गई शर्त को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 \leq |z+3| + 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $|z+3| \geq 3 - 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $|z+3| \geq 2$ है।
अतः,$|z+3|$ का न्यूनतम मान $2$ है।

(C) दिया गया है,$\left|\frac{z-3}{z-2i}\right|=2$.
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|(x-3)+iy| = 2|x+i(y-2)|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x-3)^2 + y^2 = 4(x^2 + (y-2)^2)$।
पदों का विस्तार करने पर,$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 4(x^2 + y^2 - 4y + 4)$।
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 - 16y + 16$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3x^2 + 3y^2 + 6x - 16y + 7 = 0$।
$3$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 + 2x - \frac{16}{3}y + \frac{7}{3} = 0$।
वृत्त के सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = 2 \Rightarrow g = 1$ और $2f = -\frac{16}{3} \Rightarrow f = -\frac{8}{3}$।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-1, \frac{8}{3})$ है।

(D) असमिका $2 < |z-(1+i)| < 3$ केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्याओं $r_1 = 2$ तथा $r_2 = 3$ वाले दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच के क्षेत्र को दर्शाती है।
इस क्षेत्र (वलय) का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल के बीच का अंतर है।
क्षेत्रफल $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2$
क्षेत्रफल $= \pi (3)^2 - \pi (2)^2$
क्षेत्रफल $= 9\pi - 4\pi = 5\pi$.

(A) दी गई शर्त $\left|\frac{z-1+i}{z+1-i}\right|=\left|\operatorname{Re}\left(\frac{z-1+i}{z+1-i}\right)\right|$ है, जहाँ $z \neq -1+i$.
माना $w = \frac{z-1+i}{z+1-i}$. शर्त $|w| = |\operatorname{Re}(w)|$ है।
किसी भी सम्मिश्र संख्या $w = u + iv$ के लिए, $|w| = \sqrt{u^2 + v^2}$ और $|\operatorname{Re}(w)| = |u| = \sqrt{u^2}$.
अतः, $\sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{u^2} \implies u^2 + v^2 = u^2 \implies v^2 = 0 \implies v = 0$.
इसका अर्थ है कि $\operatorname{Im}(w) = 0$, इसलिए $w$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए।
माना $z = x + iy$. तब $w = \frac{(x-1) + i(y+1)}{(x+1) + i(y-1)}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$w = \frac{((x-1) + i(y+1))((x+1) - i(y-1))}{(x+1)^2 + (y-1)^2}$.
$w$ का काल्पनिक भाग शून्य होगा जब अंश का काल्पनिक भाग शून्य हो:
$(x-1)(-(y-1)) + (y+1)(x+1) = 0$.
$-xy + x + y - 1 + xy + x + y + 1 = 0$.
$2x + 2y = 0 \implies x + y = 0$.
चूंकि $z \neq -1+i$, बिंदु $(-1, 1)$ रेखा $x+y=0$ से बाहर है।
अतः, बिंदुपथ एक सीधी रेखा है जिसमें बिंदु $(-1+i)$ शामिल नहीं है।

(C) दिए गए अंक $1, 2, 0, 2, 4, 2, 4$ हैं। कुल $7$ अंक हैं,जिनमें $2$ तीन बार,$4$ दो बार,$1$ एक बार और $0$ एक बार आता है।
कुल $7$ अंकों की संख्याएँ $\frac{7!}{3!2!} = 420$ तरीके से बनाई जा सकती हैं।
$0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ $7$ अंकों की नहीं होती हैं। शेष $6$ अंकों $(1, 2, 2, 2, 4, 4)$ को व्यवस्थित करने पर $\frac{6!}{3!2!} = 60$ मिलता है।
$1000000$ से बड़ी कुल संख्याएँ $420 - 60 = 360$ हैं।
विषम संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,अंतिम अंक $1$ होना चाहिए। अंत में $1$ रखकर शेष $6$ अंकों $(0, 2, 2, 2, 4, 4)$ को व्यवस्थित करने पर:
कुल व्यवस्था = $\frac{6!}{3!2!} = 60$।
प्रथम स्थान पर $0$ होने वाली स्थितियों को घटाने पर: $\frac{5!}{3!2!} = 10$।
अतः,कुल विषम संख्याएँ = $60 - 10 = 50$।
कुल सम संख्याएँ = (कुल संख्याएँ) - (कुल विषम संख्याएँ) = $360 - 50 = 310$।

(A) दिया गया अनुपात: $\frac{{ }^{n+2} C_2}{{ }^{n+3} C_1} = \frac{4}{2} = 2$.
सूत्र ${ }^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(n+2)!}{2! n!} \div (n+3) = 2$.
$\frac{(n+2)(n+1)}{2} \times \frac{1}{n+3} = 2$.
$(n+2)(n+1) = 4(n+3)$.
$n^2 + 3n + 2 = 4n + 12$.
$n^2 - n - 10 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $n$ का मान ज्ञात करने पर:
$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$.
चूंकि $\sqrt{41}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $n$ एक प्राकृतिक संख्या $(n \notin N)$ नहीं हो सकता।
अतः,$n$ के मानों की संख्या $0$ है।

(C) मूल बिंदु पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $y^2 = 4a(x+a) = 4ax + 4a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx}$।
$a$ का मान मूल समीकरण में रखने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) x + 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $m = 1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
अतः,$mn - m + n = (1 \times 2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ है।
$x \log x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \log x = \int \frac{2}{x} \cdot \log x dx + C$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$ है।
$y \log x = \int 2u du + C = u^2 + C = (\log x)^2 + C$.
दिया गया है कि $y(e) = 0$,इसलिए $0 \cdot \log e = (\log e)^2 + C$,जिसका अर्थ है $0 = 1 + C$,अर्थात $C = -1$।
अतः,$y \log x = (\log x)^2 - 1$।
$x = e^2$ के लिए,$y \log(e^2) = (\log e^2)^2 - 1$।
$y(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$।
$2y = 3$,इसलिए $y = \frac{3}{2}$।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^2 - 16x + 5 = 0$ है।
$ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 3, b = -16, c = 5$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\left(\frac{-16}{3}\right) = \frac{16}{3}$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$ है।
चूंकि $\alpha \beta = \frac{5}{3} > 1$,हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\tan^{-1} \alpha + \tan^{-1} \beta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right)$।
इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right)\right] - \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right) = \pi$।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 - x^2 \tan \theta + x \tan^2 \theta + \tan \theta = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग,दो मूलों के गुणनफल का योग और मूलों का गुणनफल इस प्रकार है:
$x_1 + x_2 + x_3 = \tan \theta$
$x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = \tan^2 \theta$
$x_1 x_2 x_3 = -\tan \theta$
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x_1 + \tan^{-1} x_2 + \tan^{-1} x_3 = \tan^{-1} \left( \frac{(x_1 + x_2 + x_3) - x_1 x_2 x_3}{1 - (x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1)} \right)$ होता है।
मान रखने पर:
$= \tan^{-1} \left( \frac{\tan \theta - (-\tan \theta)}{1 - \tan^2 \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \right)$।
द्विगुणित कोण सूत्र $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \tan^{-1} (\tan 2\theta) = 2\theta$।
$\theta = \frac{\pi}{12}$ पर,मान $2 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ होगा।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) दिया गया है,$x+y=60$.
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{x + \frac{y}{3} + \frac{y}{3} + \frac{y}{3}}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3}}$
$\frac{x+y}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
$x+y=60$ रखने पर:
$\frac{60}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
$15 \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$(15)^4 \geq \frac{x y^3}{27}$
$x y^3 \leq 27 \times (15)^4$
$x y^3 \leq 3^7 \times 5^4$
अतः,$x y^3$ का अधिकतम मान $\frac{(45)^4}{3}$ है.

(A) दिए गए स्थिति सदिश: $\vec{OA} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ और $\vec{OB} = \vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}$.
सदिश $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = -3\vec{b}+2\vec{c}$.
बिंदु $P$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है:
$\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 1\vec{OB}}{4} = \frac{4\vec{a}+\vec{b}+6\vec{c}}{4}$.
बिंदु $Q$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है:
$\vec{OQ} = \frac{3\vec{OA} - 1\vec{OB}}{2} = \frac{2\vec{a}+5\vec{b}}{2}$.
सदिश $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{9\vec{b}-6\vec{c}}{4} = \frac{3}{4}(3\vec{b}-2\vec{c})$.
अतः,$|PQ| = \frac{3}{4}|AB|$,जिसका अर्थ है $4|PQ| = 3|AB|$.

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज का केंद्रक,लंबकेंद्र और परिकेंद्र को जोड़ने वाली रेखा को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना लंबकेंद्र $O(5, 2, -6)$,केंद्रक $G(9, 6, -4)$ और परिकेंद्र $C(x, y, z)$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$G = \left( \frac{2x + 5}{3}, \frac{2y + 2}{3}, \frac{2z - 6}{3} \right) = (9, 6, -4)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$9 = \frac{2x + 5}{3} \implies x = 11$.
$6 = \frac{2y + 2}{3} \implies y = 8$.
$-4 = \frac{2z - 6}{3} \implies z = -3$.
अतः,परिकेंद्र $(11, 8, -3)$ है।

(D) दिया गया है $y=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$.
$(x-1)$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{x-1} = \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)}{x-1} = \frac{(x^8-1)(x^8+1)}{x-1} = \frac{x^{16}-1}{x-1}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(16x^{15}) - (x^{16}-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{16x^{16} - 16x^{15} - x^{16} + 1}{(x-1)^2} = \frac{15x^{16} - 16x^{15} + 1}{(x-1)^2}$.
$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,$x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{15(-1)^{16} - 16(-1)^{15} + 1}{(-1-1)^2} = \frac{15(1) - 16(-1) + 1}{(-2)^2} = \frac{15 + 16 + 1}{4} = \frac{32}{4} = 8$.

(D) अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ समाकल $A = \int_0^{2\pi} |\sin 2x| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फलन $f(x) = |\sin 2x|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $[0, 2\pi]$ पर क्षेत्रफल में $4$ समान भाग (humps) होते हैं,जिनमें से प्रत्येक $\frac{\pi}{2}$ लंबाई के अंतराल पर है।
अतः,$A = 4 \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx$.
समाकल का मूल्यांकन करने पर: $A = 4 \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\pi/2}$.
$A = 4 \left( -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-1 - 1) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-2) \right) = 4(1) = 4$.
अतः,क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(B) दिए गए वक्र $y=\sqrt{x}$ और $x=\sqrt{y}$ हैं।
$x=\sqrt{y}$ का वर्ग करने पर $y=x^2$ प्राप्त होता है।
हमें $x=1$ और $x=4$ के बीच $y=x^2$ और $y=\sqrt{x}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
अंतराल $[1, 4]$ में,वक्र $y=x^2$,वक्र $y=\sqrt{x}$ के ऊपर स्थित है।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_1^4 (x^2 - \sqrt{x}) dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^4$
$A = \left( \frac{4^3}{3} - \frac{2}{3} (4)^{3/2} \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{2}{3} (1)^{3/2} \right)$
$A = \left( \frac{64}{3} - \frac{2}{3} \times 8 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \right)$
$A = \left( \frac{64}{3} - \frac{16}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right)$
$A = \frac{48}{3} + \frac{1}{3} = \frac{49}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) यहाँ वक्र $y=x^3$ और $y=x$ दिए गए हैं।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि यह क्षेत्र मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है क्योंकि दोनों फलन विषम हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{1} |x - x^3| dx$ द्वारा दिया जाता है।
सममिति के कारण,$A = 2 \int_{0}^{1} |x - x^3| dx$ होगा।
अंतराल $[0, 1]$ में,$x \geq x^3$ है,इसलिए $|x - x^3| = x - x^3$ होगा।
अतः,$A = 2 \int_{0}^{1} (x - x^3) dx$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $A = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$।
$A = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = 2 \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

(D) वक्र $y=x^2+4$ और रेखा $y=5x-2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2+4 = 5x-2$
$x^2-5x+6 = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=2$ और $x=3$ पर हैं।
अंतराल $[2, 3]$ में,रेखा $y=5x-2$ वक्र $y=x^2+4$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_2^3 ((5x-2) - (x^2+4)) \, dx$
$A = \int_2^3 (5x - x^2 - 6) \, dx$
$A = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - 6x \right]_2^3$
सीमाओं पर मान रखने पर:
$A = \left( \frac{5(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} - 6(3) \right) - \left( \frac{5(2)^2}{2} - \frac{(2)^3}{3} - 6(2) \right)$
$A = \left( \frac{45}{2} - 9 - 18 \right) - \left( 10 - \frac{8}{3} - 12 \right)$
$A = \left( \frac{45}{2} - 27 \right) - \left( -2 - \frac{8}{3} \right)$
$A = \left( \frac{45-54}{2} \right) - \left( \frac{-6-8}{3} \right)$
$A = -\frac{9}{2} + \frac{14}{3} = \frac{-27+28}{6} = \frac{1}{6}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{6}$ वर्ग इकाई है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
चूंकि $A^2 = O$ (शून्य आव्यूह),इसलिए $A$ की सभी उच्च घातें भी शून्य आव्यूह होंगी,अर्थात $n \geq 2$ के लिए $A^n = O$।
दिया गया है $f(x) = x + x^2 + \dots + x^{2018}$,इसलिए:
$f(A) = A + A^2 + A^3 + \dots + A^{2018}$।
$A$ की घातें रखने पर:
$f(A) = A + O + O + \dots + O = A$।
अब,$f(A) + I$ की गणना करते हैं:
$f(A) + I = A + I = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) क्रम $3$ के दो वर्ग आव्यूहों $M$ और $N$ के लिए:
$1$. यदि $M$ और $N$ सममित आव्यूह हैं,तो आव्यूह $MN - NM$ विषम-सममित है,क्योंकि $(MN - NM)^T = (MN)^T - (NM)^T = N^T M^T - M^T N^T = NM - MN = -(MN - NM)$.
$2$. आव्यूह $N^T MN$ सममित या विषम-सममित है,जैसा कि $M$ सममित या विषम-सममित है,क्योंकि $(N^T MN)^T = N^T M^T (N^T)^T = N^T M^T N$. यदि $M^T = M$ है,तो $(N^T MN)^T = N^T MN$ (सममित)। यदि $M^T = -M$ है,तो $(N^T MN)^T = -N^T MN$ (विषम-सममित)।
$3$. दो सममित आव्यूहों का गुणनफल $MN$ तभी सममित होता है यदि $MN = NM$ हो। चूँकि यह सभी सममित आव्यूहों के लिए सत्य नहीं है,इसलिए कथन $(c)$ असत्य है।
$4$. किन्हीं दो आव्यूहों $M$ और $N$ के लिए,$\text{adj}(MN)$ और $\text{adj}(NM)$ का समान होना आवश्यक नहीं है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $(c)$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = 1(18-5) - 2(6-10) + 3(1-6) = 13 + 8 - 15 = 6$ ज्ञात करें।
हम जानते हैं कि $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A$,जहाँ $n$ आव्यूह का क्रम है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{3-2} A = |A| A = 6A$।
अतः,$(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))^{-1} = (6A)^{-1} = \frac{1}{6} A^{-1}$।
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A$,हम पहले $\operatorname{Adj} A$ ज्ञात करते हैं:
$\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$।
इस प्रकार,$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$।
अंत में,$(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))^{-1} = \frac{1}{6} A^{-1} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{36} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$।

(D) हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ और $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |A|^{(n-1)^2}$,जहाँ $n$ आव्यूह $A$ का क्रम है।
दिया गया है $|\operatorname{adj} A| = |\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|$.
इसलिए,$|A|^{n-1} = |A|^{(n-1)^2}$.
चूंकि $A$ गैर-शून्य है,$|A| \neq 0$. अतः,$n-1 = (n-1)^2$.
$(n-1) - (n-1)^2 = 0 \Rightarrow (n-1)(1 - (n-1)) = 0 \Rightarrow (n-1)(2-n) = 0$.
चूंकि $n > 1$,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।
आव्यूह की कोटि (rank) आव्यूह में रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की अधिकतम संख्या है। विकल्प $D$ में दिया गया आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ का सारणिक $-12$ है,जो शून्य नहीं है,इसलिए इसकी कोटि $3$ है।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 11 & 1 & 6 \\ -7 & -14 & 6 & -14 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह को पंक्ति-सोपान (row-echelon) रूप में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करते हुए:
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 11 & 1 & 6 \\ -7 & -14 & 6 & -14 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - 8R_1$,$R_4 \rightarrow R_4 + 7R_1$ संक्रियाओं का उपयोग करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & -21 & 33 & -42 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \leftrightarrow R_4$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 + 2R_2$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
यहाँ अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह की कोटि (Rank) $2$ है।

(A) माना $f(x) = \left|\begin{array}{ccc}x^2+3x & x+1 & x-3 \\ x-1 & 2-x & x+4 \\ x-3 & x-3 & 3x\end{array}\right| = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ है।
समीकरण में $x=1$ रखने पर:
$f(1) = \left|\begin{array}{ccc}4 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 5 \\ -2 & -2 & 3\end{array}\right| = a_0+a_1+a_2+a_3+a_4$.
सारणिक की गणना करने पर: $4(3+10) - 2(0+10) - 2(0+2) = 4(13) - 2(10) - 2(2) = 52 - 20 - 4 = 28$.
अतः,$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4 = 28$ (समीकरण $i$).
समीकरण में $x=-1$ रखने पर:
$f(-1) = \left|\begin{array}{ccc}-2 & 0 & -4 \\ -2 & 3 & 3 \\ -4 & -4 & -3\end{array}\right| = a_0-a_1+a_2-a_3+a_4$.
सारणिक की गणना करने पर: $-2(-9+12) - 0 + (-4)(8+12) = -2(3) - 4(20) = -6 - 80 = -86$.
अतः,$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4 = -86$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $i$ में से समीकरण $ii$ को घटाने पर:
$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4) - (a_0-a_1+a_2-a_3+a_4) = 28 - (-86) = 114$.
$2(a_1+a_3) = 114 \Rightarrow a_1+a_3 = 57$.
समीकरण $i$ और समीकरण $ii$ को जोड़ने पर:
$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4) + (a_0-a_1+a_2-a_3+a_4) = 28 + (-86) = -58$.
$2(a_0+a_2+a_4) = -58$.
अतः,$(a_1+a_3) + 2(a_0+a_2+a_4) = 57 + (-58) = -1$.

(A) आव्यूह $A$ का सारणिक $|A| = \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & \beta \\ -b & \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$|A| = 0(0 - \alpha\beta) - a(0 - (\beta)(-b)) + b((-a)(\alpha) - 0) = 0$.
$|A| = 0 - a(b\beta) + b(-a\alpha) = 0$.
$-ab\beta - ab\alpha = 0$.
$-ab(\alpha + \beta) = 0$.
चूंकि यह सभी $a, b$ के लिए सत्य है,इसलिए $\alpha + \beta = 0$ होगा।

(A) आव्यूह $A$ का सारणिक वेंडरमोंड सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)$.
हम इसे $|A| = -(a-b)(c-a)(b-c)$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $a-b=1$ और $b-c=3$,इसलिए $c-b = -3$.
साथ ही,$(a-c) = (a-b) + (b-c) = 1 + 3 = 4$,इसलिए $(c-a) = -4$.
इन मानों को सारणिक के सूत्र में रखने पर:
$|A| = -(1) \times (-4) \times (3) = 12$.
हालाँकि,प्रश्न में $|A| = -12$ दिया गया है।
दी गई शर्तों $a-b=1$ और $b-c=3$ के आधार पर सारणिक का मान हमेशा $12$ रहता है,इसलिए यह कभी भी $-12$ नहीं हो सकता।
अतः,ऐसे आव्यूहों की संख्या $0$ है।

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}n^2 & (n+1)^2 & (n+2)^2 \\ (n+1)^2 & (n+2)^2 & (n+3)^2 \\ (n+2)^2 & (n+3)^2 & (n+4)^2\end{array}\right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}n^2 & (n+1)^2 & (n+2)^2 \\ 2n+1 & 2n+3 & 2n+5 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right|$.
पुनः $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}n^2 & 2n+1 & 2 \\ 2n+1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right| = 2(0 - 4) = -8$.
अब,दिए गए दूसरे सारणिक समीकरण के अनुसार:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & -4 & 7 \\ -2 & 3 & -5 \\ 3 & x & -3\end{array}\right| = 2\Delta + 1 = 2(-8) + 1 = -15$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(-9 + 5x) + 4(6 + 15) + 7(-2x - 9) = -15$.
$-9 + 5x + 84 - 14x - 63 = -15$.
$-9x + 12 = -15$.
$-9x = -27$.
$x = 3$.

(C) दिया गया है,$AX=D$ तीन रैखिक गैर-सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली है।
चूंकि $|A|=0$ है,इसलिए प्रणाली का कोई अद्वितीय हल नहीं है।
हमें दिया गया है कि $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([AD]) = \alpha$ है।
Rouché-Capelli प्रमेय के अनुसार,यदि $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([AD]) = \alpha < n$ (जहाँ $n=3$ चरों की संख्या है),तो प्रणाली के अनंत हल होते हैं।
अतः,जब $\alpha < 3$ होता है,तो $AX=D$ प्रणाली के अनंत हल होते हैं।

(A) दी गई प्रणाली: $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$
मैट्रिक्स का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \\ 2 & 4 & 2\lambda \\ \lambda & 2\lambda & \lambda^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$
मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \\ 2 & 4 & 2\lambda \\ \lambda & 2\lambda & \lambda^2 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(4\lambda^2 - 4\lambda^2) - 2(2\lambda^2 - 2\lambda^2) + \lambda(4\lambda - 4\lambda) = 0 - 0 + 0 = 0$।
चूंकि गुणांक मैट्रिक्स का सारणिक $0$ है,इसलिए प्रणाली $AX = 0$ के पास किसी भी $\lambda \in (-\infty, \infty)$ के लिए हमेशा अनंत हल (नॉन-ट्रिवियल हल) होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+y+z=1$
$2x+3y+2z=2$
$ax+ay+2az=4$
एक रैखिक समीकरण निकाय $AX=B$ का एक अद्वितीय हल होता है यदि और केवल यदि गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो,अर्थात $|A| \neq 0$.
गुणांक आव्यूह $A$ है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2a \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(3(2a) - 2(a)) - 1(2(2a) - 2(a)) + 1(2(a) - 3(a))$
$|A| = 1(6a - 2a) - 1(4a - 2a) + 1(2a - 3a)$
$|A| = 4a - 2a - a = a$
अद्वितीय हल के लिए,हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $a \neq 0$.
अतः,निकाय का हल सभी $a \in R-\{0\}$ के लिए अद्वितीय है.

(C) रैखिक समीकरण निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
समीकरण निकाय है:
$4 \sin \theta x - 3y + z = 0$
$x - 6 \cos 2\theta y + z = 0$
$3x - 12y + 4z = 0$
सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 4 \sin \theta & -3 & 1 \\ 1 & -6 \cos 2\theta & 1 \\ 3 & -12 & 4 \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रिया $R_1 \rightarrow 4R_1 - R_3$ का उपयोग करने पर:
$\begin{vmatrix} 16 \sin \theta - 3 & 0 & 0 \\ 1 & -6 \cos 2\theta & 1 \\ 3 & -12 & 4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(16 \sin \theta - 3) [(-6 \cos 2\theta)(4) - (1)(-12)] = 0$
$(16 \sin \theta - 3) [-24 \cos 2\theta + 12] = 0$
$12(16 \sin \theta - 3)(1 - 2 \cos 2\theta) = 0$
इससे $16 \sin \theta = 3$ या $2 \cos 2\theta = 1$ प्राप्त होता है।
$16 \sin \theta = 3 \implies \sin \theta = \frac{3}{16} \implies \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{16}\right)$.
$2 \cos 2\theta = 1 \implies \cos 2\theta = \frac{1}{2} \implies 2\theta = \frac{\pi}{3} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.

(C) समघात रैखिक समीकरणों की प्रणाली का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$t(-1 - 3) - (t+1)(1 + 3) + (t-1)(1 - 1) = 0$
$-4t - 4(t+1) + 0 = 0$
$-4t - 4t - 4 = 0$
$-8t = 4 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}$
$t = -\frac{1}{2}$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(C)$ के लिए,$2t^2 + 3t + 1 = 2(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2}) + 1 = 2(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$.
अतः,$t = -\frac{1}{2}$ समीकरण $2t^2 + 3t + 1 = 0$ का एक मूल है।

(C) माना कि $\theta = \tan ^{-1} \left(\frac{y}{2}\right)$.
तब,$\tan \theta = \frac{y}{2}$.
हम सर्वसमिका $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ जानते हैं।
$\tan \theta$ का मान रखने पर:
$\sec ^2 \theta = 1 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1 + \frac{y^2}{4} = \frac{4+y^2}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sec \theta = \sqrt{\frac{4+y^2}{4}} = \frac{\sqrt{4+y^2}}{2}$.
अतः,$\sec \left(\tan ^{-1} \frac{y}{2}\right) = \frac{\sqrt{4+y^2}}{2}$.

(B) डोमेन की पहचान करें और लघुगणकीय रूपों का उपयोग करें:
सबसे पहले,ध्यान दें कि फलन $\cosh^{-1} x$ केवल $x \geq 1$ के लिए परिभाषित है। इसलिए,हमारे पास $x \geq 1$ होना चाहिए।
हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों की लघुगणकीय परिभाषाओं का उपयोग करते हैं:
$e^{\cosh^{-1} x} = x + \sqrt{x^2 - 1}$
$e^{\sinh^{-1} x} = x + \sqrt{x^2 + 1}$
समीकरण में मान रखें और सरल करें:
इन व्यंजकों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$\sqrt{2} + (x + \sqrt{x^2 - 1}) - (x + \sqrt{x^2 + 1}) = 0$
$x$ पद कट जाते हैं,जिससे शेष रहता है:
$\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x^2 + 1} = 0$
$\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{x^2 + 1}$
$x$ के लिए हल करें:
वर्गमूल को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
$(\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1})^2 = (\sqrt{x^2 + 1})^2$
$2 + (x^2 - 1) + 2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = x^2 + 1$
$x^2 + 1 + 2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = x^2 + 1$
दोनों पक्षों से $x^2 + 1$ घटाने पर:
$2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = 0$
$\sqrt{x^2 - 1} = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$
चूंकि डोमेन $x \geq 1$ की मांग करता है,इसलिए एकमात्र मान्य समाधान $x = 1$ है। अतः,$1$ मूल है।

(B) दिया गया है कि $f(x)=ax+b$ अंतराल $[-1,1]$ से $[0,2]$ पर एक आच्छादक फलन है। चूंकि $a>0$,$f(x)$ एक वर्धमान फलन है। अतः,$f(-1)=0$ और $f(1)=2$.
$-a+b=0 \implies a=b$.
$a+b=2 \implies 2a=2 \implies a=1, b=1$.
अतः,$f(x)=x+1$.
अब,व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं:
$\tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{8}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{8} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{13/40}{39/40} \right) = \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
फिर,$\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{7} \times \frac{1}{3}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{10/21}{20/21} \right) = \tan ^{-1} \frac{1}{2}$.
अंत में,$\cot \left( \tan ^{-1} \frac{1}{2} \right) = \cot \left( \cot ^{-1} 2 \right) = 2$.
चूंकि $f(1)=1+1=2$,इसलिए उत्तर $f(1)$ है।

(B) दिया गया है कि $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=3 \pi$ है।
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} \theta$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
चूंकि तीन मानों का योग,जिनमें से प्रत्येक अधिकतम $\pi$ हो सकता है,$3 \pi$ है,इसलिए प्रत्येक पद को $\pi$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\cos ^{-1} x = \pi$,$\cos ^{-1} y = \pi$,और $\cos ^{-1} z = \pi$।
इसका अर्थ है कि $x = \cos \pi = -1$,$y = \cos \pi = -1$,और $z = \cos \pi = -1$।
इन मानों को $x+y+z+3$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(-1) + (-1) + (-1) + 3 = -3 + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y+z+3=0$।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{x-[x]}{\log(x^2-x)}}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर का मान ऋणेतर होना चाहिए: $\frac{x-[x]}{\log(x^2-x)} \geq 0$.
$2$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $\log(x^2-x) \neq 0 \Rightarrow x^2-x \neq 1$.
$3$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^2-x > 0$.
चूंकि $x-[x] = \{x\} \geq 0$,इसलिए $\log(x^2-x) > 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $x^2-x > 1$ या $x^2-x-1 > 0$.
$x^2-x-1 = 0$ को हल करने पर $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $R \setminus \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
$1$. हर की शर्त: $[x] + 2 \neq 0 \Rightarrow [x] \neq -2$. इसका अर्थ है $x \notin [-2, -1)$.
$2$. असमिका की शर्त: $\frac{4-x^2}{[x]+2} \geq 0$.
स्थिति $I$: यदि $[x] + 2 > 0$,तो $[x] > -2$,जिसका अर्थ है $x \geq -1$.
तब $4 - x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq 4$ $\Rightarrow x \in [-2, 2]$.
$x \geq -1$ और $x \in [-2, 2]$ को मिलाने पर,हमें $x \in [-1, 2]$ प्राप्त होता है।
स्थिति $II$: यदि $[x] + 2 < 0$,तो $[x] < -2$,जिसका अर्थ है $x < -2$.
तब $4 - x^2 \leq 0$ $\Rightarrow x^2 \geq 4$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
$x < -2$ और $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ को मिलाने पर,हमें $x \in (-\infty, -2)$ प्राप्त होता है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -2) \cup [-1, 2]$ है।

(D) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left[\log_4\left(\frac{x}{4}\right)\right] + \sqrt{17x - x^2 - 16}$ परिभाषित है यदि दोनों भाग परिभाषित हों।
पहले,$\sin^{-1}(u)$ के लिए,$u \in [-1, 1]$ होना चाहिए:
$-1 \leq \log_4\left(\frac{x}{4}\right) \leq 1$
$4^{-1} \leq \frac{x}{4} \leq 4^1$
$\frac{1}{4} \leq \frac{x}{4} \leq 4$
$1 \leq x \leq 16$
दूसरे,वर्गमूल $\sqrt{17x - x^2 - 16}$ के लिए,$17x - x^2 - 16 \geq 0$ होना चाहिए:
$x^2 - 17x + 16 \leq 0$
$(x - 16)(x - 1) \leq 0$
$1 \leq x \leq 16$
दोनों शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $[1, 16]$ प्राप्त होता है।

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - [x] - 2}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$[x]^2 - [x] - 2 > 0$
गुणनखंड करने पर:
$([x] - 2)([x] + 1) > 0$
यह असमिका तब सत्य है जब $[x] > 2$ या $[x] < -1$ हो।
यदि $[x] > 2$ है,तो न्यूनतम पूर्णांक मान $3$ होगा,अतः $x \geq 3$।
यदि $[x] < -1$ है,तो अधिकतम पूर्णांक मान $-2$ होगा,अतः $x < -1$।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ है।

(A-IV, B-III, C-II, D-I) $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \cos(112x - 37)$। चूंकि $f(x)$ एक आवर्ती फलन है,यह बहु-एक है,इसलिए यह एकैकी नहीं है। इसका परिसर $[-1, 1]$ है,जो सह-प्रांत $R$ का उचित उपसमुच्चय है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,$A \rightarrow IV$.
$(B)$ $f: [-2, 2] \rightarrow [-4, 4]$,$f(x) = x|x|$। इसे $f(x) = \begin{cases} -x^2 & -2 \leq x < 0 \\ x^2 & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह फलन $[-2, 2]$ पर निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एकैकी है। इसका परिसर $[-4, 4]$ है,जो सह-प्रांत के बराबर है,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$B \rightarrow III$.
$(C)$ $f: R \rightarrow R$,$f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$। चूंकि $f(2) = f(3) = f(5) = 0$,यह एकैकी नहीं है। चूंकि यह एक त्रिघात बहुपद है,इसका परिसर $R$ है,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$C \rightarrow II$.
$(D)$ $f: N \rightarrow N$,$f(n) = n+1$। चूंकि $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1+1 = n_2+1 \implies n_1 = n_2$,यह एकैकी है। इसका परिसर ${2, 3, 4, \dots}$ है,जो सह-प्रांत $N$ के बराबर नहीं है (क्योंकि $1$ परिसर में नहीं है),इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,$D \rightarrow I$.

(A) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin x & 1 \\ 1+\cos x & 1 & 1 \end{array} \right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & \sin x & 0 \\ 1+\cos x & -\cos x & -\cos x \end{array} \right|$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $f(x) = 1 \cdot (\sin x \cdot (-\cos x) - 0) = -\sin x \cos x = -\frac{1}{2} \sin 2x$.
फलन $f$ के एकैकी और आच्छादक होने के लिए,इसका परिसर $\left[ -\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2} \right]$ होना चाहिए.
अतः,$-\frac{\sqrt{3}}{4} \leq -\frac{1}{2} \sin 2x \leq \frac{1}{2}$.
$-2$ से गुणा करने पर: $-1 \leq \sin 2x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसका अर्थ है कि $2x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3} \right]$.
$2$ से भाग देने पर: $x \in \left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6} \right]$.
इस प्रकार,$a = -\frac{\pi}{4}$ और $b = \frac{\pi}{6}$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ और $g(x) = \frac{x^2}{1+x^2}$,जहाँ $x \in R$.
$f(x)$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x^2)(1) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.
चूँकि $f'(x)$ का चिह्न $x = \pm 1$ पर बदलता है,$f(x)$ एकदिष्ट (monotonic) नहीं है,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
$f(x)$ का परिसर $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए $f(x)$ आच्छादक नहीं है।
$g(x)$ के लिए,$g(-x) = \frac{(-x)^2}{1+(-x)^2} = \frac{x^2}{1+x^2} = g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक सम फलन है,अतः यह एकैकी नहीं है।
$g(x)$ का परिसर $[0, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए $g(x)$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ और $g$ दोनों न तो एकैकी हैं और न ही आच्छादक।

(C) दिया गया है $f(x) = (x+1)^2 - 1, x \geq -1$.
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x+1)^2 - 1$ लें।
अतः $y+1 = (x+1)^2$,जिसका अर्थ है $x+1 = \sqrt{y+1}$ (क्योंकि $x \geq -1$),जिससे $x = \sqrt{y+1} - 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$.
हम $f(x) = f^{-1}(x)$ को हल करते हैं,जिसका अर्थ है $(x+1)^2 - 1 = \sqrt{x+1} - 1$.
यह सरल होकर $(x+1)^2 = \sqrt{x+1}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x+1)^4 = x+1$,या $(x+1)((x+1)^3 - 1) = 0$.
इससे $x+1 = 0$ या $(x+1)^3 = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
स्थिति $2$: $x+1 = 1 \Rightarrow x = 0$.
स्थिति $3$: $x+1 = \omega$ या $x+1 = \omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
$x = \omega - 1 = \frac{-3+i\sqrt{3}}{2}$ और $x = \omega^2 - 1 = \frac{-3-i\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि डोमेन $x \geq -1$ है,हम केवल वास्तविक मान $x = -1$ और $x = 0$ पर विचार करेंगे।
अतः,समुच्चय $\{0, -1\}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x - \frac{1}{x}$. मान लीजिए $y = f(x)$,अतः $y = x - \frac{1}{x}$.
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $x$ का मान निकालते हैं:
$y = \frac{x^2 - 1}{x} \Rightarrow x^2 - yx - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 4}}{2}$.
चूंकि $f$ का प्रांत $[1, \infty)$ है,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए,अतः हम धनात्मक मूल लेते हैं:
$x = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 + 4}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया फलन $f(x)=\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{[x]+2}}$ है।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1. \ 3+x \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$
$2. \ 3-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$
$3. \ [x]+2 > 0 \Rightarrow [x] > -2$
चूंकि $[x] > -2$,$[x]$ द्वारा लिया जा सकने वाला सबसे छोटा पूर्णांक मान $-1$ है। अतः,$x \geq -1$.
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $x \in [-1, 3]$ प्राप्त होता है।
यह देखते हुए कि अंतराल $[\alpha, \beta]$ है,हमारे पास $\alpha = -1$ और $\beta = 3$ है।
अब,हम $f^2(\alpha+1) + 5f^2(\beta) = f^2(0) + 5f^2(3)$ की गणना करते हैं।
$f(0) = \frac{\sqrt{3+0} + \sqrt{3-0}}{\sqrt{[0]+2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$. अतः,$f^2(0) = 6$.
$f(3) = \frac{\sqrt{3+3} + \sqrt{3-3}}{\sqrt{[3]+2}} = \frac{\sqrt{6} + 0}{\sqrt{3+2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$. अतः,$f^2(3) = \frac{6}{5}$.
इसलिए,$f^2(0) + 5f^2(3) = 6 + 5 \times \frac{6}{5} = 6 + 6 = 12$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) यहाँ $X = \{0, 1, 2\}$ और $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है। हमें ऐसे अचर न होने वाले फलनों $f: X \to Y$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $f(0) \leq f(1) \leq f(2)$ हो।
चूँकि फलन अचर नहीं होना चाहिए,हम उस स्थिति को घटा देंगे जहाँ $f(0) = f(1) = f(2)$ हो।
गैर-घटते फलनों की कुल संख्या $\binom{n+r-1}{r} = \binom{8+3-1}{3} = \binom{10}{3} = 120$ है।
यहाँ $8$ अचर फलन हैं जहाँ $f(0) = f(1) = f(2) = k$ है।
अतः,अचर न होने वाले गैर-घटते फलनों की संख्या $120 - 8 = 112$ है।
वैकल्पिक रूप से,स्थितियों का योग:
स्थिति $I$: $f(0) < f(1) < f(2)$. तरीकों की संख्या = $\binom{8}{3} = 56$.
स्थिति $II$: $f(0) = f(1) < f(2)$. तरीकों की संख्या = $\binom{8}{2} = 28$.
स्थिति $III$: $f(0) < f(1) = f(2)$. तरीकों की संख्या = $\binom{8}{2} = 28$.
कुल = $56 + 28 + 28 = 112$.

(A) फलन $f(x)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} \cos 2 x, & -\infty < x < 0 \\ e^{3 x}, & 0 \leq x < 3 \\ x^2-4 x+3, & 3 \leq x \leq 6 \\ \frac{\log (15 x-89)}{x-6}, & x>6 \end{cases}$
असांतत्य बिंदु $a$ ज्ञात करने के लिए,हम उन बिंदुओं की जाँच करते हैं जहाँ परिभाषा बदलती है,विशेष रूप से $x=0, 3, 6$ पर।
$x=3$ पर:
$\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} e^{3 x} = e^9$
$\lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (x^2-4 x+3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)$,इसलिए फलन $x=3$ पर असांतत्य है। अतः,$a=3$ है।
अब,हम सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-9}{x^3-5 x^2+9 x-9} = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^2-2 x+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x+3}{x^2-2 x+3} = \frac{3+3}{3^2-2(3)+3} = \frac{6}{9-6+3} = \frac{6}{6} = 1$

(C) दिया गया है कि फलन $f(x)$,$x = 2$ पर दाईं ओर से सतत है।
दाईं ओर की सांतत्य की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$ होता है।
यहाँ,$f(2) = k$ है।
अतः,$k = \lim_{h \to 0^+} f(2+h)$.
फलन की परिभाषा रखने पर:
$k = \lim_{h \to 0^+} ((2+h)^2 + e^{\frac{1}{2-(2+h)}})^{-1}$.
$k = \lim_{h \to 0^+} ((2+h)^2 + e^{\frac{1}{-h}})^{-1}$.
जैसे $h \to 0^+$,पद $\frac{1}{-h} \to -\infty$,इसलिए $e^{\frac{1}{-h}} \to e^{-\infty} = 0$ होता है।
अतः,$k = (2^2 + 0)^{-1} = (4)^{-1} = \frac{1}{4}$.

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = b$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a(1-\cos 2x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a(2 \sin^2 x)}{x^2} = 2a \lim_{x \rightarrow 0^-} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 2a(1)^2 = 2a$.
अतः,$2a = b$.
अब,दाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4+\sqrt{x}}-2}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)}{(\sqrt{4+\sqrt{x}}-2)(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)}{(4+\sqrt{x})-4} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (\sqrt{4+\sqrt{x}}+2) = \sqrt{4}+2 = 4$.
अतः,$b = 4$.
$b = 4$ को $2a = b$ में रखने पर,हमें $2a = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$.
इसलिए,$a+b = 2+4 = 6$.

(C) हम $x = \frac{5}{3}$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to \frac{5}{3}^-} f(x) = 5 - 3(\frac{5}{3}) = 5 - 5 = 0$.
दायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to \frac{5}{3}^+} f(x) = (\frac{5}{3})^2 - 3(\frac{5}{3}) + 20 = \frac{25}{9} - 5 + 20 = \frac{25}{9} + 15 = \frac{25 + 135}{9} = \frac{160}{9}$.
चूँकि $\lim_{x \to \frac{5}{3}^-} f(x) \neq \lim_{x \to \frac{5}{3}^+} f(x)$,फलन $x = \frac{5}{3}$ पर असंतत है।
अब $x = 2$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं। चूँकि $2 > \frac{5}{3}$,$x = 2$ के पड़ोस में फलन $f(x) = x^2 - 3x + 20$ द्वारा परिभाषित है।
यह एक बहुपद फलन है,जो अपने प्रांत में हर जगह अवकलनीय होता है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 2$ पर अवकलनीय है।

(C) फलन $f(x) = \log \left(\frac{x-1}{x+2}\right)$ वहाँ परिभाषित और सतत है जहाँ लघुगणक का तर्क धनात्मक हो।
हमें $\frac{x-1}{x+2} > 0$ की आवश्यकता है।
इस असमिका को हल करने के लिए,अंश और हर को शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं: $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$ और $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$।
संख्या रेखा पर वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर:
$x > 1$ के लिए,$\frac{x-1}{x+2} > 0$।
$-2 < x < 1$ के लिए,$\frac{x-1}{x+2} < 0$।
$x < -2$ के लिए,$\frac{x-1}{x+2} > 0$।
अतः,फलन $x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$ के लिए सतत है।

(D) दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1$,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\alpha$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)-g(x)}{(f(x)+7)^{2 / 3}}=\frac{7}{4}$.
सीमाओं का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{2(1)-\alpha}{(1+7)^{2 / 3}}=\frac{7}{4}$.
$\Rightarrow \frac{2-\alpha}{8^{2 / 3}}=\frac{7}{4} \Rightarrow \frac{2-\alpha}{4}=\frac{7}{4} \Rightarrow 2-\alpha=7 \Rightarrow \alpha=-5$.
अब,$h(x)= \begin{cases} \sin (-5x), & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{10} \\ \cos (-10x), & \frac{\pi}{10} < x \leq \frac{\pi}{5} \end{cases}$.
चूंकि $\sin (-5x)$ और $\cos (-10x)$ सतत फलन हैं,हमें केवल $x=\frac{\pi}{10}$ पर सांतत्य की जांच करने की आवश्यकता है।
$LHL = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{10}^-} \sin (-5x) = \sin \left(-\frac{5\pi}{10}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
$h\left(\frac{\pi}{10}\right) = \sin \left(-\frac{5\pi}{10}\right) = -1$.
$RHL = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{10}^+} \cos (-10x) = \cos \left(-\frac{10\pi}{10}\right) = \cos (-\pi) = -1$.
चूंकि $LHL = RHL = h\left(\frac{\pi}{10}\right)$,फलन $h(x)$ बिंदु $x=\frac{\pi}{10}$ पर सतत है।
अतः,$h(x)$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{5}\right]$ पर सतत है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है,इसलिए इसे $x=1$ और $x=2$ पर सतत होना चाहिए और इसका अवकलज मौजूद होना चाहिए।
$x=1$ पर सांतत्य: $f(1^-) = f(1^+) \Rightarrow a+b = a+c \Rightarrow b=c$.
$x=2$ पर सांतत्य: $f(2^-) = f(2^+) \Rightarrow 4a+c = \frac{4d+1}{2} \Rightarrow 8a+2c = 4d+1$.
$x=1$ पर अवकलनीयता: $f'(1^-) = f'(1^+) \Rightarrow a = 2a(1) \Rightarrow a=0$.
चूंकि $a=0$,$x=2$ पर सांतत्य का समीकरण $2c = 4d+1$ हो जाता है।
$x=2$ पर अवकलनीयता: $f'(2^-) = f'(2^+) \Rightarrow 2a(2) = \frac{d(2)^2-1}{2^2} \Rightarrow 4a = \frac{4d-1}{4}$.
$a=0$ रखने पर: $0 = \frac{4d-1}{4} \Rightarrow 4d-1 = 0 \Rightarrow d = \frac{1}{4}$.
अब,$d = \frac{1}{4}$ को $2c = 4d+1$ में रखने पर: $2c = 4(\frac{1}{4}) + 1 = 2 \Rightarrow c=1$.
चूंकि $b=c$,इसलिए $b=1$ है।
अंत में,$ad-bc = (0)(\frac{1}{4}) - (1)(1) = -1$.

(D) दिया गया समीकरण $\sqrt{\frac{y}{x}}+4 \sqrt{\frac{x}{y}}=4$ है।
माना $u = \sqrt{\frac{y}{x}}$। तब समीकरण $u + \frac{4}{u} = 4$ हो जाता है।
$u$ से गुणा करने पर,हमें $u^2 - 4u + 4 = 0$ प्राप्त होता है,जो $(u-2)^2 = 0$ है।
अतः,$u = 2$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{\frac{y}{x}} = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{y}{x} = 4$,या $y = 4x$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(4x) = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{d y}{d x} = 4$।

(D) दिया गया समीकरण: $y=\sqrt{x+\sqrt{y+\sqrt{x+\sqrt{y+\ldots \infty}}}}$
हम आंतरिक भाग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $y=\sqrt{x+\sqrt{y+y}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2=x+\sqrt{2y}$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y^2-x=\sqrt{2y}$
पुनः वर्ग करने पर: $(y^2-x)^2=2y$
विस्तार करने पर: $y^4-2xy^2+x^2=2y$
अस्पष्ट रूप में व्यवस्थित करने पर: $y^4-2xy^2-2y+x^2=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(y^4-2xy^2-2y+x^2) = 0$
$4y^3 \frac{dy}{dx} - (2y^2 + 4xy \frac{dy}{dx}) - 2 \frac{dy}{dx} + 2x = 0$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ करने पर: $\frac{dy}{dx}(4y^3 - 4xy - 2) = 2y^2 - 2x$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y^2-2x}{4y^3-4xy-2} = \frac{y^2-x}{2y^3-2xy-1}$