ધારો કે એક વિકલનીય વિધેય f સમીકરણ int_{0}^{36 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^{36} f\left(\frac{tx}{36}\right) dt = 4\alpha f(x)$.ધારો કે $u = \frac{tx}{36}$,તેથી $du = \frac{x}{36} dt$,એટલે કે $dt = \fr

Vedclass · Accepted Answer

$64$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^{36} f\left(\frac{tx}{36}\right) dt = 4\alpha f(x)$.ધારો કે $u = \frac{tx}{36}$,તેથી $du = \frac{x}{36} dt$,એટલે કે $dt = \frac{36}{x} du$.જ્યારે $t=0, u=0$ અને જ્યારે $t=36, u=x$.સંકલન આ મુજબ બનશે: $\int_0^x f(u) \cdot \frac{36}{x} du = 4\alpha f(x)$.$\int_0^x f(u) du = \frac{4\alpha x f(x)}{36} = \frac{\alpha x f(x)}{9}$.લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$f(x) = \frac{\alpha}{9} [f(x) + x f'(x)]$.$f(x) = \frac{\alpha}{9} f(x) + \frac{\alpha x}{9} f'(x)$.$(1 - \frac{\alpha}{9}) f(x) = \frac{\alpha x}{9} f'(x) \Rightarrow (9 - \alpha) f(x) = \alpha x f'(x)$.$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{9 - \alpha}{\alpha} \cdot \frac{1}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|f(x)| = (\frac{9}{\alpha} - 1) \ln|x| + C$.$f(x) = c x^{(\frac{9}{\alpha} - 1)}$.$f(x)$ એ પ્રમાણિત પરવલય હોવાથી,ઘાતાંક $2$ હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{9}{\alpha} - 1 = 2 \Rightarrow \frac{9}{\alpha} = 3 \Rightarrow \alpha = 3$.આમ,$f(x) = cx^2$.તે $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1 = c(2)^2 \Rightarrow c = \frac{1}{4}$.તેથી,$f(x) = \frac{x^2}{4}$.$(-4, \beta)$ બિંદુ માટે,$\beta = \frac{(-4)^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.અંતે,$\beta^{\alpha} = 4^3 = 64$.

Similar Questions

$\int_0^{\pi /2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f : (-1, 1) \to R$ એક સતત વિધેય છે. જો $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ હોય,તો $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^a x(2ax - x^2)^{3/2} dx = $

$\int_0^{\pi /2} \sin^2 x \cos^3 x \, dx = $

જો $x \cdot \sin(\pi x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$ હોય,જ્યાં $f$ એ સતત વિધેય છે,તો $f(4)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module