JEE Main 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે $M = 3 \ kg$ એ ફ્લાયવ્હીલનું દળ છે,$R = 5 \ m$ તેની ત્રિજ્યા છે,અને $m = 3 \ kg$ એ લટકતું દળ છે. ફ્લાયવ્હીલની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}MR^{2}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,લટકતા દળ દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જા એ સિસ્ટમ (ફ્લાયવ્હીલ + દળ) દ્વારા મેળવેલી કુલ ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2}I\omega^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$
કારણ કે $v = \omega R$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$. $I$ અને $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^{2})(\frac{v}{R})^{2} + \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{4}Mv^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$
આપેલ છે કે $m = 3 \ kg, M = 3 \ kg, h = 3 \ m, g = 10 \ m/s^{2}$:
$3 \times 10 \times 3 = \frac{1}{4}(3)v^{2} + \frac{1}{2}(3)v^{2} = \frac{3}{4}v^{2} + \frac{2}{4}(3)v^{2} = \frac{9}{4}v^{2}$
$90 = \frac{9}{4}v^{2} \implies v^{2} = 40 \ m^{2}/s^{2}$.
ફ્લાયવ્હીલની ગતિઊર્જા $K.E._{flywheel} = \frac{1}{2}I\omega^{2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^{2})(\frac{v}{R})^{2} = \frac{1}{4}Mv^{2}$.
$K.E._{flywheel} = \frac{1}{4} \times 3 \times 40 = 30 \ J$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $P-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચક્ર $ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ત્રિકોણનો પાયો એ કદમાં થતો ફેરફાર છે,$\Delta V = V_B - V_A = 5 - 2 = 3 \ m^3$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે,$\Delta P = P_B - P_C = 300 - 100 = 200 \ Pa$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 200 = 300 \ J$.
ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી,સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ધન છે.
તેથી,કુલ કાર્ય $300 \ J$ છે.

(A) બીટ આવૃત્તિ એટલે પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા. શરૂઆતમાં,$2$ સેકન્ડમાં $8$ બીટ્સ એટલે કે બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = 8/2 = 4$ Hz છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|f_A - f_B| = 4$ Hz.
અહીં $f_B = 380$ Hz આપેલ છે,તેથી $|f_A - 380| = 4$,જેનો અર્થ છે કે $f_A = 384$ Hz અથવા $f_A = 376$ Hz.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ ઘટે છે.
મીણ લગાવ્યા પછી,નવી બીટ આવૃત્તિ $2$ સેકન્ડમાં $4$ બીટ્સ છે,એટલે કે $f'_{beat} = 4/2 = 2$ Hz.
જો $f_A = 376$ Hz હોત,તો મીણ લગાવવાથી તે $380$ Hz થી વધુ દૂર જત,જેથી બીટ આવૃત્તિ વધત.
જો $f_A = 384$ Hz હોત,તો મીણ લગાવવાથી તે $380$ Hz ની નજીક આવત,જેથી બીટ આવૃત્તિ ઘટીને $2$ Hz થાત.
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની મૂળ આવૃત્તિ $384$ Hz હોવી જોઈએ.

(B) સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = \frac{F dr}{A dv} = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[L^2][LT^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$. તેથી, $A-IV$.
$(B)$ પૃષ્ઠતાણ $S = \frac{F}{L} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L]} = [MT^{-2}]$ અથવા $[ML^0T^{-2}]$. તેથી, $B-III$.
$(C)$ દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$. તેથી, $C-I$.
$(D)$ પૃષ્ઠ ઊર્જા $E = S \times A = [MT^{-2}][L^2] = [ML^2T^{-2}]$. તેથી, $D-II$.
આમ, સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-I, D-II$ છે.

(D) આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}$.
$k$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $m = 10 \ g$,$\Delta m = 10 \ mg = 0.01 \ g$.
$50$ દોલનો માટેનો સમય $t = 60 \ s$ છે,અને રિઝોલ્યુશન $\Delta t = 2 \ s$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{t}{50} = \frac{60}{50} = 1.2 \ s$.
આવર્તકાળમાં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{50} = \frac{2}{50} = 0.04 \ s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta k}{k} = \frac{0.01}{10} + 2 \times \frac{0.04}{1.2} = 0.001 + 0.0666... = 0.06766...$
પ્રતિશત ત્રુટિ = $0.06766 \times 100 \% \approx 6.76 \%$.

(A) આ તંત્રમાં $m_1 = 1 \ kg$ અને $m_2 = 200 \ g = 0.2 \ kg$ ના બે દળ $k = 150 \ N/m$ ના સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા છે.
બે-દળ ધરાવતા સ્પ્રિંગ-માસ તંત્ર માટે,સમતુલ્ય દળ (રિડ્યુસ્ડ માસ) $\mu$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 0.2}{1 + 0.2} = \frac{0.2}{1.2} = \frac{1}{6} \ kg$.
તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{\frac{150}{1/6}} = \sqrt{150 \times 6} = \sqrt{900} = 30 \ rad/s$.
આમ,કોણીય આવૃત્તિ $30 \ rad/s$ છે.

(D) સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\vec{r} \rightarrow -\vec{r}$ થાય,ત્યારે વેગ સદિશ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ પણ તેની નિશાની બદલીને $-\vec{v}$ થાય છે.
રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ તેની નિશાની બદલીને $-m\vec{v} = -\vec{p}$ થાય છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ તેની નિશાની બદલીને $-\vec{a}$ થાય છે.
કોણીય વેગમાનને $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જ્યારે $\vec{r} \rightarrow -\vec{r}$ અને $\vec{v} \rightarrow -\vec{v}$ થાય,ત્યારે નવું કોણીય વેગમાન $\vec{L}' = (-\vec{r}) \times (-m\vec{v}) = (-1)(-1)(\vec{r} \times m\vec{v}) = \vec{L}$ થાય છે.
આમ,કોણીય વેગમાન તેની નિશાની બદલતું નથી.

(D) ધાતુના સળિયામાં લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = \frac{1}{2} \frac{\Delta Y}{Y} - \frac{1}{2} \frac{\Delta \rho}{\rho}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = 1\%$ અને $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.5\%$.
આ કિંમતો મૂકતા,ઝડપમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{1}{2}(1\%) - \frac{1}{2}(0.5\%) = 0.5\% - 0.25\% = 0.25\%$ થાય છે.
ઝડપમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = \frac{0.25}{100} \times 400 \ m/s = 1 \ m/s$.
અંતિમ ઝડપ $V_{final} = V + \Delta V = 400 + 1 = 401 \ m/s$ થશે.

(B) આપેલ સ્થાન: $x(t) = 4t^3 - 3t$.
$1$. તે ક્યારે ઉગમબિંદુ પર પાછો ફરે છે તે શોધવા માટે,$x(t) = 0$ લો: $t(4t^2 - 3) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$. વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = 12t^2 - 3$. ટર્નિંગ પોઈન્ટ પર,$v = 0$,તેથી $12t^2 = 3 \Rightarrow t^2 = 1/4 \Rightarrow t = 0.5$.
$3$. ટર્નિંગ પોઈન્ટ પર સ્થાન: $x(0.5) = 4(0.5)^3 - 3(0.5) = 4(0.125) - 1.5 = 0.5 - 1.5 = -1$. કણ ઉગમબિંદુથી $|-1| = 1$ એકમ દૂર છે. વિધાન $B$ સાચું છે.
$4$. પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt} = 24t$. $t \ge 0$ માટે,$a(t) \ge 0$. વિધાન $C$ સાચું છે.
$5$. $t > 0$ માટે $a(t) \ge 0$ હોવાથી,વેગ વધે છે,પરંતુ જો કણ ઋણ વેગથી શરૂ થાય તો તે પાછો ફરી શકે છે. અહીં,$v(0) = -3$,તેથી તે $t=0.5$ સુધી ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે અને પછી પાછો ફરે છે. વિધાન $E$ ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $A, B, C$ સાચા છે.

(A) સાધનનું લઘુત્તમ માપ એ તેના દ્વારા માપી શકાતું સૌથી નાનું મૂલ્ય છે.
આપેલ અવલોકનો $1.24 \ mm, 1.25 \ mm, 1.23 \ mm$ અને $1.21 \ mm$ છે,જે તમામ મિલીમીટરમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી બે અંક સુધી નોંધાયેલા છે.
આનો અર્થ એ છે કે સાધન સોળમાં ભાગ $(0.01 \ mm)$ સુધીના ફેરફારોને માપી શકે છે.
તેથી,સાધનનું લઘુત્તમ માપ $0.01 \ mm$ છે.

(C) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\pi\sigma^{2}P}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$k_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$
$T = 41^{\circ}C = 41 + 273 = 314 \ K$
$P = 1.38 \times 10^{5} \ Pa$
$\sigma = 5 \times 10^{-10} \ m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 314}{\sqrt{2} \times 3.14 \times (5 \times 10^{-10})^{2} \times 1.38 \times 10^{5}}$
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 314}{\sqrt{2} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-20} \times 1.38 \times 10^{5}}$
$\lambda = \frac{314 \times 10^{-23}}{\sqrt{2} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-15}}$
$\lambda = \frac{100 \times 10^{-23}}{\sqrt{2} \times 25 \times 10^{-15}} = \frac{4 \times 10^{-8}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \times 10^{-8} \ m$.

(A) નક્કર ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્રથી $d$ અંતરે રહેલી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2$ થાય.
$I = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ માટે $I = mk^2$ થાય.
તેથી,$mk^2 = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
$k^2 = \frac{2}{5} R^2 + d^2$.
અહીં $R = 10 \ cm$ અને $d = 15 \ cm$ આપેલ છે:
$k^2 = \frac{2}{5} (10)^2 + (15)^2$.
$k^2 = \frac{2}{5} (100) + 225 = 40 + 225 = 265$.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k = \sqrt{n}$ હોવાથી,$k^2 = n$ થાય.
આમ,$n = 265$.

(B) સરળ આવર્ત દોલકની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\sin^2(\omega t) = 1$ હોય ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે,જે અંતિમ સ્થાનો પર જોવા મળે છે.
મધ્યમાન સ્થાન ($t=0$ સમયે $x=0$) થી શરૂ થતો કણ પ્રથમ અંતિમ સ્થાન $(x=A)$ પર $t = T/4$ સમયે પહોંચે છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $t = T / (2 \beta)$ સમયે મળે છે,તેથી આપણે બંને પદોને સરખાવીએ:
$T / (2 \beta) = T / 4$.
છેદની સરખામણી કરતા,આપણને $2 \beta = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2$.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = mg - kv = m \frac{dv}{dt}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dv}{mg - kv} = \frac{dt}{m}$ મળે છે.
$t=0$ સમયે $v=0$ ની પ્રારંભિક શરતો સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int_0^v \frac{dv}{mg - kv} = \int_0^t \frac{dt}{m}$ મળે છે.
આનાથી $-\frac{1}{k} \ln \left( \frac{mg - kv}{mg} \right) = \frac{t}{m}$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\ln \left( 1 - \frac{kv}{mg} \right) = -\frac{kt}{m}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $v(t) = \frac{mg}{k} (1 - e^{-kt/m})$ થાય છે.
આ સમીકરણ એક ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ વક્ર દર્શાવે છે જે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થાય છે અને અંતિમ વેગ $v_t = \frac{mg}{k}$ તરફ અભિસરણ પામે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $B$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) શૂન્ય ત્રુટિ ધન છે કારણ કે વર્નિયર સ્કેલનું શૂન્ય મુખ્ય સ્કેલના શૂન્યની જમણી બાજુએ છે.
શૂન્ય ત્રુટિ $= + (VSR_{coinciding} \times LC) = + (4 \times 0.1 \ mm) = + 0.4 \ mm$.
અવલોકન કરેલ રીડિંગ: $Observed \ Reading = MSR + (VSR \times LC) = 15 \ mm + (5 \times 0.1 \ mm) = 15.5 \ mm$.
સાચી લંબાઈની ગણતરી: $True \ Length = Observed \ Reading - Zero \ Error$.
$True \ Length = 15.5 \ mm - 0.4 \ mm = 15.1 \ mm$.

(B) બ્લોક પ્રવેગ વગર નીચે તરફ ગતિ કરે તે માટે,ઢળતા સમતલની દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $F$ એ ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ લગાડવામાં આવતું બળ છે.
ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું બળ ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$ છે.
ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગતા બળો એ લગાડવામાં આવેલ બળ $F$ અને ગતિક ઘર્ષણ $f_k = \mu N = \mu mg \cos 30^{\circ}$ છે.
બળોને સરખાવતા: $mg \sin 30^{\circ} = F + \mu mg \cos 30^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $5 \times 10 \times \frac{1}{2} = F + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$25 = F + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = F + \frac{3}{4} \times 50 = F + 37.5$.
$F = 25 - 37.5 = -12.5 \ N$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે બળ $F$ વિરુદ્ધ દિશામાં (એટલે કે ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ) લગાડવું આવશ્યક છે.
તેથી,ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ $12.5 \ N$ નું બળ લગાડવું પડશે.

(D) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F / A}{\Delta \ell / \ell} = \frac{F \ell}{A \Delta \ell}$ છે.
આપેલ છે કે ભાર $F$ અને લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta \ell$ બંને તાર માટે સમાન છે,તેથી $Y \propto \frac{\ell}{A}$ મળે.
તેથી,યંગ મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{\ell_A}{\ell_B} \times \frac{A_B}{A_A}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\ell_A = 6.0 \ cm$,$\ell_B = 5.4 \ cm$,$A_A = 3.0 \times 10^{-5} \ m^2$,અને $A_B = 4.5 \times 10^{-5} \ m^2$.
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{6.0}{5.4} \times \frac{4.5 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5}} = \frac{6.0}{5.4} \times \frac{4.5}{3.0} = \frac{6.0}{5.4} \times 1.5 = \frac{9}{5.4} = \frac{90}{54} = \frac{5}{3}$.
આપેલ છે કે $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{x}{3}$,તેથી $\frac{x}{3} = \frac{5}{3}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = 5$.

(D) $p-V$ ચક્રમાં થયેલ કાર્ય એ પથ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. ચક્ર વિષમઘડી (counter-clockwise) દિશામાં હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ હશે.
વક્ર $(V-2)^2 = 4aP$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $V=1$ થી $V=3$ સુધી $\int_{1}^{3} P \, dV$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણ પરથી,$P = \frac{(V-2)^2}{4a}$.
વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $= \int_{1}^{3} \frac{(V-2)^2}{4a} \, dV = \frac{1}{4a} \left[ \frac{(V-2)^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{12a} [(3-2)^3 - (1-2)^3] = \frac{1}{12a} [1 - (-1)] = \frac{2}{12a} = \frac{1}{6a}$.
$V=1$ અથવા $V=3$ પર,દબાણ $P_0$ એ $(1-2)^2 = 4aP_0$ દ્વારા મળે છે,તેથી $P_0 = \frac{1}{4a}$.
ઉપરની આડી રેખા ($P_0$ પર) અને $V=1$ થી $V=3$ સુધીના $V$-અક્ષ દ્વારા બનતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $P_0 \times (3-1) = \frac{1}{4a} \times 2 = \frac{1}{2a}$ છે.
ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2a} - \frac{1}{6a} = \frac{3-1}{6a} = \frac{2}{6a} = \frac{1}{3a}$.
ચક્ર વિષમઘડી હોવાથી,થયેલ કાર્ય $W = -\frac{1}{3a}$ છે.

(B) જ્યારે પાણીને $-20^{\circ}C$ થી $120^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નીચે મુજબના અવસ્થા પરિવર્તનો થાય છે:
$1$. $-20^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી,બરફ ગરમ થાય છે (તાપમાન વધે છે).
$2$. $0^{\circ}C$ પર,બરફ પાણીમાં ઓગળે છે (અવસ્થા પરિવર્તન,તાપમાન અચળ રહે છે,જે એક સપાટ ભાગ બનાવે છે).
$3$. $0^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી,પાણી ગરમ થાય છે (તાપમાન વધે છે).
$4$. $100^{\circ}C$ પર,પાણી વરાળમાં રૂપાંતરિત થાય છે (અવસ્થા પરિવર્તન,તાપમાન અચળ રહે છે,જે બીજો સપાટ ભાગ બનાવે છે).
$5$. $100^{\circ}C$ થી $120^{\circ}C$ સુધી,વરાળ ગરમ થાય છે (તાપમાન વધે છે).
તેથી,આલેખમાં $0^{\circ}C$ અને $100^{\circ}C$ પર બે આડા સપાટ ભાગ હોવા જોઈએ. આ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) ધારો કે બે ક્રમિક ટીપાં વચ્ચેનો સમયગાળો $t$ છે.
જ્યારે છઠ્ઠું ટીપું પડવાનું શરૂ કરે છે ત્યારે પ્રથમ ટીપું જમીન પર અથડાય છે,તેથી પ્રથમ ટીપાંને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $5t$ છે.
આપેલ ઊંચાઈ $h = 5 \ m$ અને $g = 10 \ m/s^2$ માટે,લાગતો સમય $t_{total} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1 \ s$ છે.
આમ,$5t = 1 \ s$,જેનો અર્થ છે કે $t = 0.2 \ s$.
જે ક્ષણે પ્રથમ ટીપું જમીન પર અથડાય છે,ત્યારે ચોથું ટીપું $(1.0 - 0.6) = 0.4 \ s$ સમયથી નીચે પડી રહ્યું છે.
ચોથા ટીપાં દ્વારા કાપેલું અંતર $h_4 = \frac{1}{2}gt_4^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \ m$.
જમીનથી ઊંચાઈ $= 5 - 0.8 = 4.2 \ m$.

(B) અક્ષ $AB$ ની આસપાસ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ બે તકતીઓ અને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
દરેક તકતી માટે,અક્ષ $AB$ ડાબી તકતીના કેન્દ્રથી $10 \ \text{cm}$ $(R)$ અંતરે અને જમણી તકતીના કેન્દ્રથી $20 \ \text{cm}$ $(2R)$ અંતરે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{disc} = I_{cm} + md^2$.
ડાબી તકતી માટે: $I_1 = \frac{1}{4}mR^2 + mR^2 = \frac{5}{4}mR^2$.
જમણી તકતી માટે: $I_2 = \frac{1}{4}mR^2 + m(2R)^2 = \frac{17}{4}mR^2$.
$L = 3R = 30 \ \text{cm}$ લંબાઈના સળિયા માટે,અક્ષ $AB$ એક છેડાથી $10 \ \text{cm}$ દૂરના બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. $AB$ થી સળિયાના કેન્દ્રનું અંતર $d = 5 \ \text{cm} = R/2$ છે.
$I_{rod} = I_{cm} + md^2 = \frac{mL^2}{12} + m(R/2)^2 = \frac{m(3R)^2}{12} + \frac{mR^2}{4} = \frac{9mR^2}{12} + \frac{mR^2}{4} = \frac{3mR^2}{4} + \frac{mR^2}{4} = mR^2$.
કુલ $I = I_1 + I_2 + I_{rod} = \frac{5}{4}mR^2 + \frac{17}{4}mR^2 + mR^2 = \frac{22}{4}mR^2 + mR^2 = 5.5mR^2 + mR^2 = 6.5mR^2$.
આપેલ છે કે $m = 600 \ \text{g}$,$R = 10 \ \text{cm}$.
$I = 6.5 \times 600 \times (10)^2 = 6.5 \times 60000 = 390000 \ \text{g cm}^2 = 39 \times 10^4 \ \text{g cm}^2$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{43 \times 10^5}{39 \times 10^4} = \frac{430}{39} \approx 11.02 \ \text{rad/s}^2$.
આમ,કોણીય પ્રવેગ આશરે $11 \ \text{rad/s}^2$ છે.

(A) બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = (બરફને $-10^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટેની ઉષ્મા) + ($0^{\circ}C$ પર બરફને ઓગાળવા માટેની ઉષ્મા) + (ઓગળેલા પાણીને $0^{\circ}C$ થી $T^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટેની ઉષ્મા).
$Q_{gain} = (10 \times 2100 \times 10) + (10 \times 3.36 \times 10^5) + (10 \times 4200 \times T) = 210000 + 3360000 + 42000T = 3570000 + 42000T$.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $100 \times 4200 \times (25 - T) = 420000 \times (25 - T) = 10500000 - 420000T$.
બંનેને સરખાવતા: $3570000 + 42000T = 10500000 - 420000T$.
$462000T = 6930000$.
$T = 6930000 / 462000 = 15^{\circ}C$.
તાપમાનમાં થતો ઘટાડો $\Delta T = 25^{\circ}C - 15^{\circ}C = 10^{\circ}C$ છે.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $V = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\gamma$,$R$,અને $M$ અચળ હોવાથી,$V \propto \sqrt{T}$,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે વેગ બમણો થાય છે,જો $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ પર $V_1 = V_0$ હોય,તો $T_2 = (\alpha + 273) \ K$ પર $V_2 = 2V_0$ થાય.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_0}{2V_0} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{273}{T_2}$.
તેથી,$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$.
કારણ કે $T_2 = \alpha + 273$,તેથી $\alpha = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.

(B) ધારો કે તકતીની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma$ છે. મૂળ તકતીનું દળ $M = \sigma \pi r^2$ છે.
દરેક કાપેલા ભાગની ત્રિજ્યા $r' = r/4$ છે. તેનું દળ $m = \sigma \pi (r/4)^2 = \sigma \pi r^2 / 16 = M/16$ છે.
મૂળ તકતીની અક્ષ $A$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_0 = \frac{1}{2} Mr^2$ છે.
એક કાપેલા ભાગની તેની પોતાની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} m (r/4)^2 = \frac{1}{2} m (r^2/16) = \frac{mr^2}{32}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક કાપેલા ભાગની અક્ષ $A$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cut} = I_{cm} + md^2$ છે,જ્યાં $d = 3r/4$.
$I_{cut} = \frac{mr^2}{32} + m(3r/4)^2 = \frac{mr^2}{32} + \frac{9mr^2}{16} = \frac{mr^2 + 18mr^2}{32} = \frac{19mr^2}{32}$.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rem} = I_0 - 2 \times I_{cut}$ છે.
$I_{rem} = \frac{1}{2} Mr^2 - 2 \times \left( \frac{19mr^2}{32} \right) = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19mr^2}{16}$.
$m = M/16$ મૂકતા,આપણને મળે $I_{rem} = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19(M/16)r^2}{16} = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19}{256} Mr^2$.
$I_{rem} = \frac{128}{256} Mr^2 - \frac{19}{256} Mr^2 = \frac{109}{256} Mr^2$.
આને $\frac{x}{256} Mr^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 109$ મળે છે.

(A) ચલના પરિમાણો છે: $[t] = T^1$,$[\rho] = ML^{-3}$,$[r] = L^1$,$[\eta] = ML^{-1}T^{-1}$,અને $[\sigma] = ML^{-3}$.
આપેલ સંબંધ $t = A \rho^{a} r^{b} \eta^{c} \sigma^{d}$ માટે,બંને બાજુના પરિમાણોને સરખાવતા:
$T^1 = (ML^{-3})^a (L)^b (ML^{-1}T^{-1})^c (ML^{-3})^d$
$T^1 = M^{a+c+d} L^{-3a+b-c-3d} T^{-c}$
$M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $a+c+d = 0$
$L$ માટે: $-3a+b-c-3d = 0$
$T$ માટે: $-c = 1 \implies c = -1$
$c = -1$ ને $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $a+d-1 = 0 \implies a+d = 1$.
$c = -1$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $-3a+b+1-3d = 0 \implies b - 3(a+d) + 1 = 0$.
કારણ કે $a+d = 1$,તેથી $b - 3(1) + 1 = 0 \implies b - 2 = 0 \implies b = 2$.
અંતે,મૂલ્યની ગણતરી કરતા: $\frac{b+c}{a+d} = \frac{2 + (-1)}{1} = \frac{1}{1} = 1$.

(A) ટર્મિનલ વેગ $(V_T)$ માટેનું સૂત્ર સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_T = \frac{2r^2g}{9\eta}(\rho_b - \rho_\ell)$.
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 2 \ mm \implies r = 1 \ mm = 0.1 \ cm$.
ગોળાની ઘનતા $\rho_b = 10.5 \ g/cm^3$.
ગ્લિસરીનની ઘનતા $\rho_\ell = 1.5 \ g/cm^3$.
સ્નિગ્ધતા $\eta = 10 \ \text{Poise} = 10 \ g/(cm \cdot s)$ ($CGS$ એકમમાં).
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2 = 1000 \ cm/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$V_T = \frac{2 \times (0.1)^2 \times 1000}{9 \times 10} \times (10.5 - 1.5)$
$V_T = \frac{2 \times 0.01 \times 1000}{90} \times 9$
$V_T = \frac{20}{90} \times 9 = 2 \ cm/s$.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,કાર્ય $W_{\text{isothermal}} = nRT \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1$,$T = 27^{\circ} C = 300 \ K$,અને $V_2/V_1 = 2$ છે,તેથી $W = 1 \cdot R \cdot 300 \cdot \ln(2) \approx 300R(0.693)$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,કાર્ય $W_{\text{adiabatic}} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$\gamma = 1.4$ છે.
આપેલ છે કે $W_{\text{isothermal}} = W_{\text{adiabatic}}$,તેથી બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1 \cdot R(300 - T_{\text{final}})}{1.4 - 1} = 300R(0.693)$.
$\frac{300 - T_{\text{final}}}{0.4} = 300(0.693)$.
$300 - T_{\text{final}} = 0.4 \cdot 300 \cdot 0.693 = 83.16$.
$T_{\text{final}} = 300 - 83.16 = 216.84 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ} C) = 216.84 - 273.15 \approx -56.31^{\circ} C$.
આમ,અંતિમ તાપમાન $-56^{\circ} C$ ની નજીક છે.

(D) પાણીમાં ઉપર આવતા હવાના પરપોટા માટે,મોલની સંખ્યા અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
તળિયે (સ્થિતિ $1$):
$P_1 = P_{atm} + \rho gh = 10^5 + (10^3 \times 10 \times 5) = 1.5 \times 10^5 \ Pa$.
$V_1 = 2.9 \ cm^3$.
$T_1 = 17 + 273 = 290 \ K$.
સપાટી પર (સ્થિતિ $2$):
$P_2 = P_{atm} = 10^5 \ Pa$.
$T_2 = 27 + 273 = 300 \ K$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(1.5 \times 10^5) \times 2.9}{290} = \frac{10^5 \times V_2}{300}$.
$V_2 = \frac{1.5 \times 2.9 \times 300}{290} = \frac{1.5 \times 2.9 \times 30}{29} = 1.5 \times 0.1 \times 30 = 4.5 \ cm^3$.

(B) ધારો કે અર્ધ-વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે. મણકા $Q$ દ્વારા $B$ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $2R$ છે. તે અચળ સમક્ષિતિજ વેગ $v$ થી ગતિ કરતું હોવાથી,લાગતો સમય $t_Q = \frac{2R}{v}$ છે.
મણકા $P$ માટે,$S$ બિંદુ પર વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v$ આપેલ છે. જેમ મણકો ઘર્ષણરહિત અર્ધ-વર્તુળાકાર તાર પર નીચે સરકે છે,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તેની ઝડપ વધે છે. તેના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta$ હશે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો છે. મણકો અર્ધ-વર્તુળ પર ગતિ કરવા માટે બંધાયેલ હોવાથી,જેમ તે $C$ તરફ અને પછી $B$ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તેનો સમક્ષિતિજ વેગ ઘટક $v_x$ હંમેશા તેના પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $v$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હશે. કારણ કે $P$ નો સરેરાશ સમક્ષિતિજ વેગ $v$ કરતા વધારે છે અને $P$ એ કાપવાનું કુલ સમક્ષિતિજ અંતર $2R$ છે,તેથી લાગતો સમય $t_P$ એ $t_Q$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.

(B) ધારો કે ગતિના બિંદુઓ $A$ (કૂદકો),$B$ (પેરાશૂટ ખુલે છે),$C$ ($10 \ m$ ઊંચાઈએ),અને $D$ (જમીન) છે.
$1.$ $A$ થી $B$ સુધીની ગતિ (મુક્ત પતન):
પ્રારંભિક વેગ $u_A = 0$,સમય $t = 2 \ s$,પ્રવેગ $a = g = 10 \ m/s^2$.
કાપેલું અંતર $x_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 20 \ m$.
$B$ પાસે વેગ,$v_B = u_A + gt = 0 + 10 \times 2 = 20 \ m/s$.
$2.$ $B$ થી $C$ સુધીની ગતિ (પ્રતિપ્રવેગ):
પ્રારંભિક વેગ $u_B = 20 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v_C = 5 \ m/s$,પ્રવેગ $a = -3 \ m/s^2$.
સૂત્ર $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(5)^2 - (20)^2 = 2(-3) x_2$
$25 - 400 = -6 x_2$
$-375 = -6 x_2$
$x_2 = \frac{375}{6} = 62.5 \ m$.
$3.$ $C$ થી $D$ સુધીની ગતિ:
અંતર $x_3 = 10 \ m$.
કુલ ઊંચાઈ $H = x_1 + x_2 + x_3 = 20 + 62.5 + 10 = 92.5 \ m$.

(B) પદાર્થનું કુલ દળ $M = 14 \ kg$ છે. ત્રણ ટુકડાઓના દળનો ગુણોત્તર $2:2:3$ છે. તેથી,ટુકડાઓના દળ $m_1 = 4 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$ અને $m_3 = 6 \ kg$ થશે (કારણ કે $2x + 2x + 3x = 7x = 14 \ kg$,તેથી $x = 2 \ kg$).
શરૂઆતમાં પદાર્થ સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ કુલ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$.
ધારો કે સમાન દળના બે ટુકડાઓ અનુક્રમે ઋણ $x$-અક્ષ અને ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે: $\vec{v}_1 = -18 \hat{i} \ m/s$ અને $\vec{v}_2 = -18 \hat{j} \ m/s$.
પ્રથમ બે ટુકડાઓનું વેગમાન $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 4(-18 \hat{i}) + 4(-18 \hat{j}) = -72 \hat{i} - 72 \hat{j} \ kg \cdot m/s$ થાય.
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$ હોવાથી,$\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2) = 72 \hat{i} + 72 \hat{j} \ kg \cdot m/s$ મળે.
ત્રીજા (ભારે) ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_3 = \frac{\vec{p}_3}{m_3} = \frac{72 \hat{i} + 72 \hat{j}}{6} = 12 \hat{i} + 12 \hat{j} \ m/s$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_3| = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \ m/s$ મળે.

(A) સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = S \times \Delta A$.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4 \pi r_2^2 - 4 \pi r_1^2) = 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$ છે.
આપેલ છે: $S = 0.04 \ N/m$,$r_1 = 3.5 \ cm = 0.035 \ m$,$r_2 = 7 \ cm = 0.07 \ m$.
$W = 0.04 \times 8 \times \frac{22}{7} \times [(0.07)^2 - (0.035)^2]$.
$W = 0.32 \times \frac{22}{7} \times [0.0049 - 0.001225] = 0.32 \times \frac{22}{7} \times 0.003675$.
$W = 0.32 \times 22 \times 0.000525 = 0.003696 \ J = 3696 \ \mu J$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા: $15000 - x = 3696$.
$x = 15000 - 3696 = 11304$.

(A) ધારો કે નળાકારના દ્રવ્યની ઘનતા $\rho$ છે.
મૂળ નળાકારનું દળ $M = \rho \cdot \pi R^2 L$ છે.
તેની અક્ષ પર મૂળ નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L$ છે.
કાપેલા નળાકારનું દળ $m = \rho \cdot \pi (R/3)^2 \cdot (L/2) = \rho \cdot \pi (R^2/9) \cdot (L/2) = \frac{\rho \pi R^2 L}{18} = \frac{M}{18}$ છે.
તેની અક્ષ પર કાપેલા નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} m (R/3)^2 = \frac{1}{2} (\frac{M}{18}) (\frac{R^2}{9}) = \frac{1}{324} M R^2$ છે.
હવે,ગુણોત્તર $I_1/I_2$:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} M R^2}{\frac{1}{324} M R^2} = \frac{1}{2} \times 324 = 162$.

(A) આપેલ છે: ઉષ્મા $\Delta Q = 300 \ J$,$C_{p} = \frac{7}{2}R$,$\Delta T = 30 \ K$.
કદ અચળ હોવાથી,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v}$ નો ઉપયોગ થાય છે.
મેયરના સંબંધ મુજબ: $C_{v} = C_{p} - R = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R$.
અચળ કદે ઉષ્માનું સૂત્ર: $\Delta Q = n C_{v} \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા: $300 = n \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times 30$.
$300 = n \times 124.71$.
$n = \frac{300}{124.71} \approx 2.405 \ mol$.
જો પ્રશ્ન મુજબ $n$ ને જ દળ ગણવામાં આવે (અથવા $M=1$ હોય),તો જવાબ $0.48 \ g$ મળે છે.

(B) $v$ વિરુદ્ધ $x$ ના આલેખનું સમીકરણ એ ઋણ ઢાળ અને $v$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા છે:
$v = C_1 - C_2 x$,જ્યાં $C_1$ અને $C_2$ ધન અચળાંકો છે.
પ્રવેગ $a$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = v \frac{dv}{dx}$
$v$ નું સમીકરણ અને તેનું વિકલન $\frac{dv}{dx} = -C_2$ મૂકતા:
$a = (C_1 - C_2 x) \times (-C_2)$
$a = C_2^2 x - C_1 C_2$
આ સમીકરણ $a = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = C_2^2$ (ધન) અને અંતઃખંડ $c = -C_1 C_2$ (ઋણ) છે.
આમ,$a$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ એ ધન ઢાળ અને $a$-અક્ષ પર ઋણ અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે વિકલ્પ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(C) $P_1$ થી $P_2$ સુધીની પ્રક્રિયા અચળ કદ $V = 1 \text{ m}^3$ પર થાય છે.
સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા માટે,આપલે થયેલ ઉષ્મા $\Delta Q = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $nR \Delta T = V \Delta P$ મળે છે.
આ કિંમતને ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta Q = \frac{C_v}{R} (nR \Delta T) = \frac{C_v}{R} V (P_2 - P_1)$.
અહીં $n = 10 \text{ mol}$,$C_v = 21 \text{ J/K} \cdot \text{mol}$,$R = 8.3 \text{ J/mol} \cdot \text{K}$,$V = 1 \text{ m}^3$,$P_1 = 21.7 \text{ Pa}$,અને $P_2 = 30 \text{ Pa}$ આપેલ છે.
$\Delta Q = \frac{21}{8.3} \times 1 \times (30 - 21.7) = \frac{21}{8.3} \times 8.3 = 21 \text{ J}$.
તેથી,$\alpha = 21$.

(D) ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $V \propto R^3$.
જો કદ $V$ $8$ ગણું વધે,તો $R^3$ $8$ ગણું વધે,તેથી ત્રિજ્યા $R$ $2$ ગણી વધે $(R \rightarrow 2R)$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi R^2$ છે,જે સૂચવે છે કે $A \propto R^2$.
જેમ કે $R$ $2$ ગણું વધે છે,ક્ષેત્રફળ $A$ $2^2 = 4$ ગણું વધશે $(A \rightarrow 4A)$.
તીવ્રતા $I$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = \frac{P}{A}$.
બિંદુવત ઉદગમનો પાવર $P$ અચળ રહેતો હોવાથી,$I \propto \frac{1}{A}$.
તેથી,જો ક્ષેત્રફળ $A$ $4$ ગણું વધે,તો તીવ્રતા $I$ $4$ ગણી ઘટશે $(I \rightarrow \frac{I}{4})$.

(A) સાંકળના અડધા ભાગની ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામ ($F$.$B$.$D$) ધ્યાનમાં લો.
આ અડધા ભાગ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. આધાર બિંદુ પર તણાવ $T$,જે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે લાગે છે.
$2$. સૌથી નીચલા બિંદુ પર તણાવ $T_0$,જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
$3$. અડધી સાંકળનું વજન,જે $\frac{m}{2}g$ છે અને શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
શિરોલંબ દિશામાં સંતુલન માટે:
$T \sin 30^{\circ} = \frac{m}{2}g$
$T \times \frac{1}{2} = \frac{mg}{2} \implies T = mg$
સમક્ષિતિજ દિશામાં સંતુલન માટે:
$T \cos 30^{\circ} = T_0$
$T = mg$ મૂકતા:
$T_0 = mg \cos 30^{\circ} = mg \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} mg$

(D) તરતી વસ્તુ માટે,વસ્તુનું વજન પ્રવાહી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે.
$Mg = F_{b}$
ધારો કે સમઘન બ્લોકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને ડૂબેલા ભાગની ઊંચાઈ $h$ છે.
બ્લોકનું દળ $M = \rho_{b} \times A \times H$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_{b} = \rho_{l} \times A \times h \times g$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\rho_{b} \times A \times H \times g = \rho_{l} \times A \times h \times g$.
સાદુરૂપ આપતા: $\rho_{b} \times H = \rho_{l} \times h$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $600 \times 8.0 = 900 \times h$.
$h = \frac{600 \times 8.0}{900} = \frac{2}{3} \times 8.0 = \frac{16}{3} \approx 5.33 \ cm$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ડૂબેલા ભાગની ઊંચાઈ $5.3 \ cm$ મળે છે.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપના $n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{n, closed} = \frac{nv}{4L_{closed}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એકી પૂર્ણાંક $(1, 3, 5, ...)$ છે.
પાંચમા હાર્મોનિક માટે,$n = 5$,તેથી $f_{5, closed} = \frac{5v}{4L_{closed}}$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ હાર્મોનિક (મૂળભૂત આવૃત્તિ) ની આવૃત્તિ $f_{1, open} = \frac{v}{2L_{open}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંધ પાઇપનો પાંચમો હાર્મોનિક ખુલ્લી પાઇપના પ્રથમ હાર્મોનિક સાથે સુસંગત છે,તેથી $f_{5, closed} = f_{1, open}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{5v}{4L_{closed}} = \frac{v}{2L_{open}}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{5}{4L_{closed}} = \frac{1}{2L_{open}}$.
લંબાઈના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{L_{closed}}{L_{open}} = \frac{5 \times 2}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
આ ગુણોત્તરને આપેલ ગુણોત્તર $\frac{5}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(D) સળિયો નીચેના છેડાથી $\frac{L}{3}$ અંતરે ધરી પર રાખેલ છે. સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચેના છેડાથી $\frac{L}{2}$ અંતરે છે.
શરૂઆતમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધરી બિંદુથી $h_i = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ ઊંચાઈ પર છે.
જ્યારે સળિયો ટેબલને અથડાય છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધરી બિંદુ જેટલી જ સપાટી પર હોય છે,તેથી અંતિમ ઊંચાઈ $h_f = 0$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta PE = Mg(h_f - h_i) = -Mg\frac{L}{6}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો એ પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જામાં વધારા બરાબર છે: $Mg\frac{L}{6} = \frac{1}{2} I \omega^2$.
ધરી બિંદુની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ (જે છેડાથી $\frac{L}{3}$ અંતરે છે) સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $I = I_{cm} + M d^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{2} - \frac{L}{3})^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{6})^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.
ઊર્જા સમીકરણમાં $I$ મૂકતા: $Mg\frac{L}{6} = \frac{1}{2} (\frac{ML^2}{9}) \omega^2$.
$Mg\frac{L}{6} = \frac{ML^2}{18} \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{MgL}{6} \cdot \frac{18}{ML^2} = \frac{3g}{L}$.
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$.

(B) ધારો કે કણ બિંદુ $P$ પર છે જ્યાં દોરો સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે। શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
આ બિંદુએ, ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં લાગતા બળો તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \cos 60^{\circ}$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $T + mg \cos 60^{\circ} = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આપેલ છે કે આ બિંદુએ તણાવ $T = 0$ છે, તેથી $mg \cos 60^{\circ} = \frac{mv^2}{r}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી, આપણને $mg(\frac{1}{2}) = \frac{mv^2}{r}$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $v^2 = \frac{gr}{2}$ થાય છે.
હવે, નીચેના બિંદુ $A$ અને બિંદુ $P$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P$ ની ઊંચાઈ $h = r + r \sin 30^{\circ} = r + r(\frac{1}{2}) = \frac{3r}{2}$ છે.
ધારો કે બિંદુ $A$ પર વેગ $u$ છે. તો, $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}m(\frac{gr}{2}) + mg(\frac{3r}{2})$.
$u^2 = \frac{gr}{2} + 3gr = \frac{7gr}{2}$.
તેથી, નીચેના બિંદુ પર વેગ $u = \sqrt{\frac{7}{2}gr}$ થશે.

(A) વર્નિયર કેલિપર્સનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ એ એક મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD)$ અને એક વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ $(VSD)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે $50 \ VSD = 48 \ MSD$,તેથી $1 \ VSD = \frac{48}{50} \ MSD$ થાય.
લઘુત્તમ માપનું સૂત્ર $LC = 1 \ MSD - 1 \ VSD$ છે.
$VSD$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $LC = 1 \ MSD - \frac{48}{50} \ MSD = \frac{2}{50} \ MSD$.
આપેલ છે કે $1 \ MSD = 0.05 \ mm$,તેથી $LC = \frac{2}{50} \times 0.05 \ mm = 0.04 \times 0.05 \ mm = 0.002 \ mm$ થાય.

(C) ટર્મિનલ વેગનું સૂત્ર $V_T = \frac{2r^2g}{9\eta}(\sigma - \rho)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_T \propto r^2$.
ધારો કે $R_1$ એ દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા છે અને $R_2$ એ મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
કારણ કે $64$ નાના ટીપાં જોડાઈને એક મોટું ટીપું બનાવે છે,તેથી કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$64 \times (\frac{4}{3} \pi R_1^3) = \frac{4}{3} \pi R_2^3$
$R_2^3 = 64 R_1^3 \implies R_2 = 4R_1$.
હવે,$V_T \propto r^2$ ના પ્રમાણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(V_T)_1}{(V_T)_2} = (\frac{R_1}{R_2})^2 = (\frac{R_1}{4R_1})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
આપેલ છે કે $(V_T)_1 = 10 \ cm/s$,તેથી:
$\frac{10}{(V_T)_2} = \frac{1}{16} \implies (V_T)_2 = 160 \ cm/s$.

(B) ધારો કે દળ $m_A = 4 \ kg$,$m_B = 6 \ kg$,અને $m_C = 8 \ kg$ છે. ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$ અને $g = 10 \ m/s^2$ છે.
$1$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ: $f_1 = \mu m_A g = 0.5 \times 4 \times 10 = 20 \ N$.
$2$. $B$ અને $C$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ: $f_2 = \mu (m_A + m_B) g = 0.5 \times (4 + 6) \times 10 = 50 \ N$.
$3$. $C$ અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ: $f_3 = \mu (m_A + m_B + m_C) g = 0.5 \times (4 + 6 + 8) \times 10 = 90 \ N$.
બ્લોક $C$ અચળ ઝડપે ગતિ કરે તે માટે,તેના પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે. બ્લોક $B$ ગરગડી દ્વારા દીવાલ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી બ્લોક $B$ ને ગતિ કરાવવા માટે,$T = f_1 + f_2 = 20 + 50 = 70 \ N$.
બ્લોક $C$ માટે,લાગુ પડતું બળ $F$ એક દિશામાં છે,અને ઘર્ષણ $f_3$,ઘર્ષણ $f_2$ (બ્લોક $B$ થી) અને તણાવ $T$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
$F = f_3 + f_2 + T = 90 + 50 + 70 = 210 \ N$.

(B) બંધ નળાકારમાં રહેલા વાયુ માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ પર વાયુના નિશ્ચિત દળ માટે,$P \propto T$,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 50^{\circ} C = 50 + 273 = 323 \ K$.
પ્રારંભિક દબાણ $P_i = 3.23 \ kPa = 3230 \ Pa$.
વાયુને તેના નિરપેક્ષ તાપમાન કરતા બમણું તાપમાન થાય ત્યાં સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,તેથી $T_f = 2 \times T_i = 2 \times 323 = 646 \ K$.
સંબંધ $\frac{P_f}{P_i} = \frac{T_f}{T_i}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_f = P_i \times \frac{T_f}{T_i} = 3230 \times \frac{646}{323} = 3230 \times 2 = 6460 \ Pa$.

(C) બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{ext} = \Delta U = U_f - U_i$.
ત્રણ દળના તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = -G \left( \frac{m_1 m_2}{r} + \frac{m_2 m_3}{r} + \frac{m_1 m_3}{r} \right) = -\frac{G}{r} (m_1 m_2 + m_2 m_3 + m_1 m_3)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ: $m_1 = 200 \ kg$,$m_2 = 300 \ kg$,$m_3 = 400 \ kg$.
ગુણાકારનો સરવાળો: $(200 \times 300) + (300 \times 400) + (200 \times 400) = 60000 + 120000 + 80000 = 260000 = 2.6 \times 10^5 \ kg^2$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $(r_i = 20 \ m)$:
$U_i = -\frac{6.67 \times 10^{-11}}{20} \times 2.6 \times 10^5 = -6.67 \times 10^{-11} \times 0.13 \times 10^5 = -8.671 \times 10^{-7} \ J$.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $(r_f = 25 \ m)$:
$U_f = -\frac{6.67 \times 10^{-11}}{25} \times 2.6 \times 10^5 = -6.67 \times 10^{-11} \times 0.104 \times 10^5 = -6.9368 \times 10^{-7} \ J$.
થયેલું કાર્ય:
$W = U_f - U_i = (-6.9368 \times 10^{-7}) - (-8.671 \times 10^{-7}) = 1.7342 \times 10^{-7} \ J \approx 1.74 \times 10^{-7} \ J$.

(D) મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_m = \frac{u_y}{g} = 2 \text{ s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g = 10 \text{ m/s}^2$,તેથી $u_y = 2 \times 10 = 20 \text{ m/s}$ મળે.
કોઈપણ સમય $t$ પર શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y$ એ સમીકરણ $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 3 \text{ s}$ સમયે,દડો $H$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી:
$H = (20 \text{ m/s}) \times (3 \text{ s}) - \frac{1}{2} \times (10 \text{ m/s}^2) \times (3 \text{ s})^2$
$H = 60 \text{ m} - 5 \times 9 \text{ m}$
$H = 60 \text{ m} - 45 \text{ m} = 15 \text{ m}$.

(A) આપેલ છે: $m_1 = 0.4 \ kg$,$m_2 = 0.35 \ kg$,$R = 0.02 \ m$,$s = 0.81 \ m$,$t = 9 \ s$,$g = 9.8 \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$0.81 = 0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (9)^2$
$0.81 = \frac{81}{2} \cdot a \implies a = 0.02 \ m/s^2$.
દળ માટે ગતિના સમીકરણો:
$m_1g - T_1 = m_1a$
$T_2 - m_2g = m_2a$
ગરગડી માટે ટોર્કનું સમીકરણ:
$(T_1 - T_2)R = I \alpha = I \cdot \frac{a}{R} \implies T_1 - T_2 = \frac{Ia}{R^2}$.
દળના સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(m_1 - m_2)g - (T_1 - T_2) = (m_1 + m_2)a$
$(m_1 - m_2)g - \frac{Ia}{R^2} = (m_1 + m_2)a$
$I = \frac{R^2}{a} [(m_1 - m_2)g - (m_1 + m_2)a]$
$I = \frac{(0.02)^2}{0.02} [(0.4 - 0.35)(9.8) - (0.4 + 0.35)(0.02)]$
$I = 0.02 [0.05 \times 9.8 - 0.75 \times 0.02]$
$I = 0.02 [0.49 - 0.015] = 0.02 \times 0.475 = 0.0095 \ kg \cdot m^2 = 9.5 \times 10^{-3} \ kg \cdot m^2$.

(B) બે દ્રઢ આધાર વચ્ચે જડેલા તારમાં તાપમાનના ફેરફાર $\Delta \theta$ ને કારણે ઉદ્ભવતું તણાવ $T = Y A \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
શરૂઆતમાં,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta_1 = 27 - (-43) = 70 ^\circ C$ છે. તેથી,$T = Y A \alpha (70)$ . . . . . . $(1)$
ધારો કે અંતિમ તાપમાન $\theta$ છે. નવો તાપમાનનો ફેરફાર $\Delta \theta_2 = 27 - \theta$ છે. નવું તણાવ $1.4 \ T = Y A \alpha (27 - \theta)$ છે . . . . . . $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1.4 \ T}{T} = \frac{Y A \alpha (27 - \theta)}{Y A \alpha (70)}$
$1.4 = \frac{27 - \theta}{70}$
$27 - \theta = 1.4 \times 70 = 98$
$\theta = 27 - 98 = -71 ^\circ C$.

(A) $n$-મી પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y = n \frac{\lambda D}{d}$ છે.
બંને તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 650 \ nm$ અને $\lambda_2 = 550 \ nm$ ની પ્રકાશિત શલાકાઓ સંપાત થાય તે માટે,તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ: $y_1 = y_2$.
$n_1 \frac{\lambda_1 D}{d} = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{550}{650} = \frac{11}{13}$.
આપણે લઘુત્તમ અંતર શોધવાનું હોવાથી,આપણે સૌથી નાના પૂર્ણાંકો $n_1 = 11$ અને $n_2 = 13$ લઈશું.
સ્થાનના સૂત્રમાં $n_1 = 11$ મૂકતા:
$y = 11 \times \frac{650 \times 10^{-9} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}}$.
$y = 11 \times 325 \times 1.2 \times 10^{-6} = 4290 \times 10^{-6} \ m = 429 \times 10^{-5} \ m$.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L i_{rms}^2 = 16 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $i_{rms} = 2 \ A$,તેથી $\frac{1}{2} \times L \times (2)^2 = 16$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $2L = 16$,એટલે કે $L = 8 \ H$ મળે છે.
ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતી પાવર $P = i_{rms}^2 R = 32 \ W$ છે.
$i_{rms} = 2 \ A$ મૂકતા,$(2)^2 \times R = 32$,જેનો અર્થ છે કે $4R = 32$,તેથી $R = 8 \ \Omega$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 8 = 100 \times 3.14 \times 8 = 2512 \ \Omega$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{X_L}{R} = \frac{2512}{8} = 314$ થાય છે.

(B) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $n$ માટેનું સૂત્ર $n = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{\min}$ એ વક્રીભવન કોણ $A$ જેટલો છે,તેથી સૂત્રમાં $\delta_{\min} = A$ મૂકતા.
$n = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$ મળે છે.
પ્રિઝમનો વક્રીભવન કોણ $A$ એ $0 < A < 180^{\circ}$ ની વચ્ચે હોય છે,તેથી $\cos(A/2)$ ની કિંમત $\cos(90^{\circ}) = 0$ અને $\cos(0^{\circ}) = 1$ ની વચ્ચે હોય છે.
તેથી,$0 < \cos(A/2) < 1$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$0 < 2 \cos(A/2) < 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $0 < n < 2$.
જોકે,ભૌતિક પ્રિઝમ માટે $A$ સામાન્ય રીતે $180^{\circ}$ કરતા ઓછો હોય છે અને $n > 1$ હોય છે. તેથી,$1 < n < 2$.

(C) વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$A$. ખોટું: સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થઈને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે; તે બંધ ગાળાઓ રચતી નથી (ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓથી વિપરીત).
$B$. સાચું: ધન વિદ્યુતભાર $(q > 0)$ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ હોય છે.
$C$. સાચું: ગૌસનો નિયમ એ કુલંબના નિયમના વ્યસ્ત-વર્ગના સ્વભાવનું સીધું પરિણામ છે.
$D$. સાચું: સ્થિત વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે,તેથી બંધ માર્ગે વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
$E$. સાચું: કુલંબનું બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે,અને કેન્દ્રીય બળ હેઠળની ગતિ હંમેશા એક સમતલમાં જ મર્યાદિત હોય છે.
તેથી,વિધાનો $B, C, D,$ અને $E$ સાચા છે.

(A) સમાન રીતે વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના લાંબા નળાકાર વાહક માટે,અક્ષથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$1$. વાહકની અંદર $(r < R)$: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$. અક્ષ પર $(r = 0)$,$B = 0$ થાય છે,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
$2$. સપાટી પર $(r = R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
$3$. વાહકની બહાર $(r > R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$,જે $r$ વધવાની સાથે ઘટે છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર વાહકની અક્ષ પર ન્યૂનતમ હોય છે (વિધાન $D$). વિધાન $A, B, C, E$ ખોટા છે. તેથી,માત્ર વિધાન $D$ સાચું છે.

(C) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,કોઈ એક બિંદુ પરનો નિરપેક્ષ વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ એવી રાશિ નથી જેને અનન્ય રીતે માપી શકાય,કારણ કે તે સંદર્ભ બિંદુની પસંદગી પર આધાર રાખે છે (જ્યાં સ્થિતિમાન શૂન્ય માનવામાં આવે છે).
જો કે,બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) એ સુનિશ્ચિત અને માપી શકાય તેવી રાશિ છે.
અવરોધ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ બંને એવી ભૌતિક રાશિઓ છે જેને યોગ્ય સાધનોનો ઉપયોગ કરીને સીધી રીતે માપી શકાય છે.
તેથી,'વોલ્ટેજ' (જ્યારે તે કોઈ બિંદુ પરના નિરપેક્ષ સ્થિતિમાનનો સંદર્ભ આપે છે) ને નિરપેક્ષ અર્થમાં માપી શકાય તેવી રાશિ ગણવામાં આવતી નથી.

(D) લેસર સ્ત્રોતની પાવર $P$ એ સૂત્ર $P = n \times E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E$ એ એક ફોટોનની ઊર્જા છે.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આ કિંમતને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = \frac{n \times hc}{\lambda}$.
આપેલ કિંમતો: $P = 6 \ mW = 6 \times 10^{-3} \ W$,$\lambda = 663 \ nm = 663 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J.s$,અને $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$.
$n$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $n = \frac{P \times \lambda}{h \times c}$.
$n = \frac{6 \times 10^{-3} \times 663 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}$.
$n = \frac{6 \times 663 \times 10^{-12}}{19.89 \times 10^{-26}}$.
$n = \frac{3978 \times 10^{-12}}{19.89 \times 10^{-26}} = 200 \times 10^{14} = 2 \times 10^{16}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(C) . શ્રેણી જોડાણમાં,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots$. આ સૂચવે છે કે $C_{eq}$ હંમેશા સૌથી નાના વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સ કરતા ઓછું હોય છે. તેથી,$A$ સાચું છે.
$B$. જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિકને વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ધ્રુવીભવન થાય છે,જેના કારણે વિદ્યુતભારોનું સ્થાનાંતર (બદ્ધ વિદ્યુતભારો) થાય છે. તેથી,$B$ ખોટું છે.
$C$. સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે. ક્ષેત્રફળ $A$ વધારવાથી અથવા અંતર $d$ (ડાયઇલેક્ટ્રિકની જાડાઈ) ઘટાડવાથી $C$ વધે છે. તેથી,$C$ સાચું છે.
$D$. બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ માટે,$r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ છે. નિશ્ચિત $r$ માટે $V$ અચળ હોવાથી,ગોળાકાર કવચ એ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો છે. તેથી,$D$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $A, C$ અને $D$ સાચા છે.

(C) ધારો કે કુલ વોલ્ટેજ $V = 40 \text{ V}$ છે.
શરૂઆતમાં,બધા અવરોધો $R$ છે. બ્રિજ સંતુલિત છે,તેથી $V_a = V_b = V/2 = 20 \text{ V}$.
ગરમ કર્યા પછી,$R_3$ એ $R' = R + 0.1R = 1.1R$ બને છે.
હવે બ્રિજ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે: એક $(R_1 + R_2)$ સાથે અને બીજી $(R_3 + R_4)$ સાથે.
જોકે,નોડ $a$ અને $b$ આ શાખાઓના મધ્યબિંદુઓ છે.
નોડ $a$ પર વોલ્ટેજ ($R_1$ અને $R_2$ ની વચ્ચે): $V_a = V \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 40 \times \frac{R}{R + R} = 20 \text{ V}$.
નોડ $b$ પર વોલ્ટેજ ($R_3$ અને $R_4$ ની વચ્ચે): $V_b = V \times \frac{R_4}{R_3 + R_4} = 40 \times \frac{R}{1.1R + R} = 40 \times \frac{R}{2.1R} = \frac{40}{2.1} \approx 19.0476 \text{ V}$.
પોટેન્શિયલ તફાવત $V_a - V_b = 20 - 19.0476 = 0.9524 \text{ V}$ છે.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.95 \text{ V}$ મળે છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,ડાયોડ એવી રીતે જોડાયેલા છે કે તેમના કેથોડ ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા છે,અને તેમના એનોડ આઉટપુટ $C$ અને $V_{dc} = 5 \text{ V}$ સાથે જોડાયેલા પુલ-અપ રઝિસ્ટર $R$ સાથે જોડાયેલા છે.
$1$. જો $A = 0$ અથવા $B = 0$ (લો લેવલ) હોય,તો સંબંધિત ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસ થાય છે. આ આઉટપુટ $C$ ને લો વોલ્ટેજ લેવલ $(C = 0)$ પર ખેંચે છે.
$2$. જો $A = 1$ અને $B = 1$ (હાઇ લેવલ) હોય,તો બંને ડાયોડ રિવર્સ-બાયસ થાય છે. ડાયોડમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,અને આઉટપુટ $C$ રઝિસ્ટર $R$ દ્વારા $V_{dc}$ સુધી ખેંચાય છે,જેના પરિણામે $C = 1$ મળે છે.
$3$. આ સર્કિટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $C$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
આ ટ્રુથ ટેબલ $AND$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(A) લેન્સનું કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પ્રથમ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1)(\frac{1}{15} - \frac{1}{\infty}) = 0.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{30} \ cm^{-1}$.
બીજા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1)(\frac{1}{\infty} - (-\frac{1}{12})) = 0.2 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{60} \ cm^{-1}$.
સંયોજનની કુલ કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f_{net}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$,તેથી $f_{net} = 20 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -30 \ cm$ અને $f = 20 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
આમ,$v = 60 \ cm$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$ થાય.

(A) તરંગના પ્રસરણની દિશા તરંગ સદિશ $\vec{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $z$-અક્ષ ($+\hat{k}$ દિશા) ની સાથે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને પ્રસરણની દિશા $\hat{c}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{B} = \frac{1}{c} (\hat{c} \times \vec{E})$ છે.
અહીં,$\hat{c} = \hat{k}$ અને $\vec{E} = E_0 \sin(kz - \omega t) \hat{j}$ છે.
$\vec{B}$ ની દિશા $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ થશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{54}{3 \times 10^8} = 18 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7} \ T$ છે.
તેથી,$\vec{B} = -1.8 \times 10^{-7} \sin(kz - \omega t) \hat{i} \ T$ થશે.

(D) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_{0}A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_{0}$ એ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
પ્રથમ ન્યુક્લિયસ માટે,$R_{\alpha} = R_{0}\alpha^{1/3}$.
બીજા ન્યુક્લિયસ માટે,$R_{\beta} = R_{0}\beta^{1/3}$.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{R_{\alpha}}{R_{\beta}} = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{1/3}$.
આપેલ છે કે $\beta = 8\alpha$,તેથી આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{R_{\alpha}}{R_{\beta}} = \left(\frac{\alpha}{8\alpha}\right)^{1/3} = \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(B) બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટની સંમિતિ અથવા નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચે $1 \text{ V}$ નો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરવામાં આવ્યો છે.
ધારો કે $A$ પર પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $i$ છે. આ સર્કિટને બ્રિજ સર્કિટ તરીકે ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
કિર્ચોફના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને અથવા સંમિતિને ઓળખીને,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$R_{eq} = \frac{21}{5} \Omega$.
આને આપેલ અભિવ્યક્તિ $\frac{x}{5} \Omega$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{5} = \frac{21}{5}$
તેથી,$x = 21$.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં: $\frac{1}{f_{\text{air}}} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \times K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
આપેલ છે કે $f_{\text{air}} = f = 18 \ cm$,તેથી $K = \frac{1}{0.5f} = \frac{2}{f}$.
પાણીમાં $(\mu_w = 4/3)$: $\frac{1}{f_{\text{water}}} = (\frac{1.5}{4/3} - 1) K = (\frac{4.5}{4} - 1) K = (1.125 - 1) K = 0.125 K$.
$K = \frac{2}{f}$ મૂકતા: $\frac{1}{f_{\text{water}}} = 0.125 \times \frac{2}{f} = \frac{0.25}{f} = \frac{1}{4f}$.
આમ,$f_{\text{water}} = 4f$.
કેન્દ્રલંબાઈનો તફાવત $f_{\text{water}} - f_{\text{air}} = 4f - f = 3f$ છે.
$\alpha \times f$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3$ મળે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m \cdot KE}}$ છે.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે,દળ $m_d = 2m_p$ અને ગતિઊર્જા $KE_d = E$ છે.
આલ્ફા કણ $(\alpha)$ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને ગતિઊર્જા $KE_{\alpha} = 2E$ છે.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_d}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} \cdot KE_{\alpha}}{m_d \cdot KE_d}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_d}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p \cdot 2E}{2m_p \cdot E}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(A) વિદ્યુતભારો $q_{1}$ અને $q_{2}$ ની હાજરીમાં $q_{3}$ વિદ્યુતભારને કોઈ બિંદુ પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તંત્રની સ્થિતિઊર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = V \times q_{3} = (\frac{kq_{1}}{\ell} + \frac{kq_{2}}{\ell}) q_{3}$
આપેલ છે: $q_{1} = 1 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_{2} = 2 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_{3} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$,$\ell = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$,$k = 9 \times 10^{9} \text{ N.m}^{2}/\text{C}^{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{9 \times 10^{9}}{3 \times 10^{-2}} (1 \times 10^{-9} + 2 \times 10^{-9}) \times 3 \times 10^{-9}$
$W = (3 \times 10^{11}) \times (3 \times 10^{-9}) \times (3 \times 10^{-9})$
$W = 27 \times 10^{-7} \text{ J} = 2.7 \times 10^{-6} \text{ J} = 2.7 \text{ } \mu\text{J}$.

(C) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R} = 16 \ \mu T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $x = \sqrt{3}R$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2((\sqrt{3}R)^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(3R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(4R^2)^{3/2} = (2R)^3 = 8R^3$.
આમ,$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2 \times 8R^3} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{\mu_0 I}{2R}\right)$.
$B_{center} = 16 \ \mu T$ ની કિંમત મૂકતા:
$B_{axis} = \frac{1}{8} \times 16 \ \mu T = 2 \ \mu T$.

(C) વિધાન-$I$ સાચું છે. પ્રિઝમ સમતલ તરંગની દિશા બદલે છે પરંતુ તેના સમતલ તરંગાગ્રને જાળવી રાખે છે. એક નાનું પિનહોલ બિંદુવત ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે તરંગાગ્ર ગોલીય રીતે ફેલાય છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે. વિવર્તન કોણ $\theta = \lambda / a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે. જેમ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ વધે છે,તેમ વિવર્તન કોણ $\theta$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે તરંગ ઓછું ફેલાય છે અને વધુ સપાટ (ઓછી વક્રતાવાળું) બને છે. તેથી,સ્લિટની પહોળાઈ વધારવાથી બહાર આવતા તરંગની વક્રતા ઘટે છે.

(D) જ્યારે બે કોષોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ $EMF$ $2E$ થાય છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r$ થાય છે. $R = 6 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{1}$ આ મુજબ છે: $i_{1} = \frac{2E}{R + 2r} = \frac{2E}{6 + 2r}$.
જ્યારે બે કોષોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ $EMF$ $E$ રહે છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $\frac{r}{2}$ થાય છે. $R = 6 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{2}$ આ મુજબ છે: $i_{2} = \frac{E}{R + \frac{r}{2}} = \frac{E}{6 + \frac{r}{2}}$.
આપેલ છે કે $i_{1} = i_{2}$,તેથી: $\frac{2E}{6 + 2r} = \frac{E}{6 + \frac{r}{2}}$.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{6 + 2r} = \frac{1}{6 + \frac{r}{2}}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(6 + \frac{r}{2}) = 6 + 2r$.
$12 + r = 6 + 2r$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = 12 - 6 = 6 \ \Omega$.

(A) ધારો કે બાયકોન્વેક્સ લેન્સની વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1$ અને $R_2$ છે. બાયકોન્વેક્સ લેન્સનો પાવર $P_A = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ માટે, વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_2$ છે અને બીજી સપાટી સમતલ $(R = \infty)$ છે. તેનો પાવર $P_B = -(\mu' - 1) \left( \frac{1}{R_2} + \frac{1}{\infty} \right) = -(1.7 - 1) \left( \frac{1}{R_2} \right) = -0.7 \left( \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
આપેલ છે કે પાવરના મૂલ્યો સમાન છે, તેથી $|P_A| = |P_B|$.
$0.5 \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = 0.7 \left( \frac{1}{R_2} \right)$.
$0.5 \left( \frac{1}{R_1} \right) = (0.7 - 0.5) \left( \frac{1}{R_2} \right) = 0.2 \left( \frac{1}{R_2} \right)$.
$\frac{0.5}{R_1} = \frac{0.2}{R_2} \implies \frac{R_1}{R_2} = \frac{0.5}{0.2} = \frac{5}{2}$.

(D) પરિપથમાં $12 \text{ V}$ નો સ્ત્રોત,$R_1 = 0.3 \text{ k}\Omega$ નો અવરોધ અને સમાંતરમાં જોડાયેલા ત્રણ સિલિકોન ડાયોડ $D_1, D_2, D_3$ છે.
ડાયોડ સમાંતરમાં હોવાથી,દરેક ડાયોડ પરનો વોલ્ટેજ $V_d = 0.7 \text{ V}$ છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ મુજબ:
$12 - I \times R_1 - V_d = 0$
$12 - I \times (0.3 \times 10^3) - 0.7 = 0$
$11.3 = I \times 300$
$I = \frac{11.3}{300} \text{ A} = 37.66 \text{ mA}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો પ્રવાહ બે સમાન ભાગમાં વહેંચાય તો $I_1 = I / 2 = 37.66 / 2 = 18.83 \text{ mA}$ મળે છે.

(B) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $Q$ $(I_Q = 1 \ A)$ માટે:
$1$. તાર $P$ ($I_P = 3 \ A$,$d_1 = 3 \ cm = 0.03 \ m$) ને કારણે બળ: પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,બળ અપાકર્ષી છે ($P$ થી દૂર,એટલે કે $R$ તરફ).
$F_{QP} = \frac{\mu_0 I_Q I_P}{2 \pi d_1} \ell = (2 \times 10^{-7}) \times \frac{1 \times 3}{0.03} \times 0.15 = 3 \times 10^{-6} \ N$ ($R$ તરફ).
$2$. તાર $R$ ($I_R = 2 \ A$,$d_2 = 2 \ cm = 0.02 \ m$) ને કારણે બળ: પ્રવાહો સમાન દિશામાં હોવાથી,બળ આકર્ષી છે ($R$ તરફ).
$F_{QR} = \frac{\mu_0 I_Q I_R}{2 \pi d_2} \ell = (2 \times 10^{-7}) \times \frac{1 \times 2}{0.02} \times 0.15 = 3 \times 10^{-6} \ N$ ($R$ તરફ).
કુલ બળ $F_{net} = F_{QP} + F_{QR} = 3 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-6} = 6 \times 10^{-6} \ N$,$R$ તરફ.

(C) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $\overline{E}(x,t) = 25 \sin(2.0 \times 10^{15}t - 10^{7}x)\hat{n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega = 2.0 \times 10^{15} \text{ rad/s}$
$k = 10^{7} \text{ m}^{-1}$
માધ્યમમાં તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
$v = \frac{2.0 \times 10^{15}}{10^7} = 2.0 \times 10^8 \text{ m/s}$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\mu = \frac{c}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
$\mu = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5$.

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ગોળાકાર ન્યુક્લિયસનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi R^2 = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$ છે.
આમ,$S \propto A^{2/3}$.
પ્રારંભિક દળ ક્રમાંક $A_i = 8$.
પ્રારંભિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S_i \propto (8)^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.
$10$ પ્રોટોન અને $9$ ન્યુટ્રોનનું શોષણ કર્યા પછી (ઇલેક્ટ્રોન દળ ક્રમાંકમાં ફાળો આપતા નથી),નવો દળ ક્રમાંક $A_f = 8 + 10 + 9 = 27$ થાય છે.
અંતિમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S_f \propto (27)^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9$.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતી ટકાવારી વૃદ્ધિ $\frac{S_f - S_i}{S_i} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી વૃદ્ધિ $= \frac{9 - 4}{4} \times 100 = \frac{5}{4} \times 100 = 125\%$.

(B) ધારો કે $E$ એ $EMF$ છે અને $r$ એ કોષનો આંતરિક અવરોધ છે. ધારો કે $K$ એ પોટેન્શિયોમીટર તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષને $R_1 = 4 \ \Omega$ અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_1 = \frac{E \cdot R_1}{r + R_1} = \frac{E \cdot 4}{r + 4}$ થાય છે.
સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 120 \ cm$ છે,તેથી $V_1 = K \cdot l_1 \Rightarrow \frac{E \cdot 4}{r + 4} = 120K$ --- $(1)$
જ્યારે કોષને $R_2 = 12 \ \Omega$ અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_2 = \frac{E \cdot R_2}{r + R_2} = \frac{E \cdot 12}{r + 12}$ થાય છે.
સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 180 \ cm$ છે,તેથી $V_2 = K \cdot l_2 \Rightarrow \frac{E \cdot 12}{r + 12} = 180K$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4}{r + 4} \cdot \frac{r + 12}{12} = \frac{120K}{180K}$
$\frac{1}{3} \cdot \frac{r + 12}{r + 4} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 12}{r + 4} = 2$
$r + 12 = 2(r + 4)$
$r + 12 = 2r + 8$
$r = 4 \ \Omega$.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s) પ્રવાહને $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2 dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $i = i_{0}(t / T)$,તેથી $i^2 = i_{0}^2 (t^2 / T^2)$.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$i_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{i_{0}^2 t^2}{T^2} dt = \frac{i_{0}^2}{T^3} \int_{0}^{T} t^2 dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\int_{0}^{T} t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{T} = \frac{T^3}{3}$.
તેથી,$i_{rms}^2 = \frac{i_{0}^2}{T^3} \cdot \frac{T^3}{3} = \frac{i_{0}^2}{3}$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(B) પાતળા લેન્સ માટે,મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિબિંબનું કદ સમાન હોવાથી,મોટવણીનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ,પરંતુ એક પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક (ઊલટું) અને બીજું આભાસી (ચત્તું) હોય છે.
તેથી,$m_1 = -m_2$.
ધારો કે બે સ્થાનો $u_1 = -8 \ cm$ અને $u_2 = -24 \ cm$ છે.
આ કિંમતોને મોટવણીના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{f}{f-8} = -\frac{f}{f-24}$.
બંને બાજુથી $f$ ને દૂર કરતા: $\frac{1}{f-8} = -\frac{1}{f-24}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $f - 24 = -(f - 8)$.
$f - 24 = -f + 8$.
$2f = 32$.
$f = 16 \ cm$.

(B) $_{92}^{235} U$ નું મોલર દળ $235 \text{ g/mol}$ છે.
$47 \text{ g}$ $_{92}^{235} U$ માં મોલની સંખ્યા $n = \frac{47 \text{ g}}{235 \text{ g/mol}} = 0.2 \text{ moles} = \frac{1}{5} \text{ moles}$ છે.
પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $N = n \times N_A = \frac{1}{5} \times 6 \times 10^{23} = 1.2 \times 10^{23} \text{ atoms}$ છે.
પ્રતિ વિખંડન મુક્ત થતી ઉર્જા $190 \text{ MeV}$ છે.
કુલ મુક્ત થતી ઉર્જા $= N \times 190 \text{ MeV} = (1.2 \times 10^{23}) \times 190 \text{ MeV} = 228 \times 10^{23} \text{ MeV}$ છે.
આને $\alpha \times 10^{23} \text{ MeV}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 228$ મળે છે.

(B) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રકાશ ધ્રુવીભવન કોણ $i_p$ પર આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત કિરણ સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત હોય છે,અને પરાવર્તિત કિરણ વક્રીભૂત કિરણને લંબ હોય છે.
બ્રુસ્ટરનો નિયમ જણાવે છે: $\tan i_p = \frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\mu_{glass}}{\mu_{air}}$.
અહીં $\mu_{glass} = 1.52$ અને $\mu_{air} = 1.00$ આપેલ છે,તેથી $\tan i_p = 1.52$.
આપેલ માહિતી પરથી,$i_p = \tan^{-1}(1.52) = 57.7^{\circ}$.
ધ્રુવીભવન કોણ પર,આપાતકોણ $i_p$ અને વક્રીભવન કોણ $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $i_p + r = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$r = 90^{\circ} - i_p = 90^{\circ} - 57.7^{\circ} = 32.3^{\circ}$.
આમ,લંબ સાથે વક્રીભૂત કિરણનો ખૂણો $32.3^{\circ}$ છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $C = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}$ છે.
માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $V = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{C}{V} = \sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}} = \sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}$ થાય.
અહીં,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = \varepsilon_{r} = 3$ અને સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_{r} = \frac{\mu}{\mu_{0}} = 2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{C}{V} = \sqrt{3 \times 2} = \sqrt{6}$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $\sqrt{6} : 1$ છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 500 \ turns/cm = 50000 \ turns/m$ છે.
આપેલ છે કે $I = 10 \sin(\omega t)$,તેથી $B = \mu_0 n (10 \sin(\omega t))$.
$r = 1 \ cm = 0.01 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \mu_0 n (10 \sin(\omega t)) \cdot (\pi r^2)$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega \cos(\omega t))$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહનું મૂલ્ય $i = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega \cos(\omega t))}{R}$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega)}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T\cdot m/A$,$n = 5 \times 10^4 \ m^{-1}$,$r = 10^{-2} \ m$,$\omega = 10^3 \ rad/s$,$R = 10 \ \Omega$.
$i_0 = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (5 \times 10^4) \times \pi \times (10^{-2})^2 \times 10 \times 10^3}{10} = 20 \pi^2 \times 10^{-6} \ A$.
$i_0 = 20 \times (9.8696) \times 10^{-6} \ A \approx 197.39 \ \mu A$.
r.m.s. પ્રવાહ $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{197.39}{\sqrt{2}} \ \mu A$ છે.
આમ,$\alpha \approx 197$.

(D) વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $r = 7 \ cm = 0.07 \ m$ છે. વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2 = \pi (0.07)^2 = 0.0049 \pi \ m^2$ છે.
લૂપનો પરિઘ $C = 2 \pi r = 2 \pi (0.07) = 0.14 \pi \ m$ છે.
જ્યારે તેને ચોરસ લૂપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિમિતિ સમાન રહે છે. ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. તેથી $4a = 0.14 \pi$,એટલે કે $a = 0.035 \pi \ m$.
ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = a^2 = (0.035 \pi)^2 = 0.001225 \pi^2 \ m^2$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = B(A_1 - A_2) = 0.2 \times (0.0049 \pi - 0.001225 \pi^2)$ છે.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$A_1 \approx 0.01539 \ m^2$ અને $A_2 \approx 0.01208 \ m^2$ મળે છે.
$\Delta \phi = 0.2 \times (0.01539 - 0.01208) = 0.2 \times 0.00331 = 0.000662 \ Wb$.
પ્રેરિત $EMF$ $\epsilon = \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t} = \frac{0.000662}{0.5} = 0.001324 \ V$ છે.
$mV$ માં રૂપાંતરિત કરતા,$\epsilon = 1.324 \ mV \approx 1.32 \ mV$ મળે છે.

(D) આઈસોબાર એટલે એવા ન્યુક્લિયસ કે જેમનો દળ ક્રમાંક $(A)$ સમાન હોય પરંતુ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અલગ હોય.
જોડી ${}_{1}^{3}H$ અને ${}_{2}^{3}He$ માટે:
$1$. ${}_{1}^{3}H$ માટે,દળ ક્રમાંક $A = 3$ છે.
$2$. ${}_{2}^{3}He$ માટે,દળ ક્રમાંક $A = 3$ છે.
બંને ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $(A = 3)$ સમાન હોવાથી,તેઓ આઈસોબાર છે.

(A) કોષનું $EMF$ $\epsilon = \lambda \ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે અને $\ell$ એ બેલેન્સિંગ લંબાઈ છે.
બે કોષો માટે,$\epsilon_1 = \lambda \ell_1$ અને $\epsilon_2 = \lambda \ell_2$ થાય.
$EMF$ નો ગુણોત્તર $y = \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ છે.
ગુણોત્તરમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta \ell_1}{\ell_1} + \frac{\Delta \ell_2}{\ell_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\ell_1 = 200 \ cm$,$\ell_2 = 150 \ cm$,અને $\Delta \ell_1 = \Delta \ell_2 = 1 \ cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta y}{y} = \frac{1}{200} + \frac{1}{150}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta y}{y} \right) \times 100 = \left( \frac{1}{200} + \frac{1}{150} \right) \times 100$ થાય.
$= \left( \frac{3 + 4}{600} \right) \times 100 = \frac{7}{6} \approx 1.16 \%$.

(B) કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{5 \times 10^{-3}}$ છે.
પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_1 = CV$.
જ્યારે $t = 2 \text{ mm}$ જાડાઈની માઈકાની શીટ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે: એક $(d-t) = 3 \text{ mm}$ જાડાઈની હવા સાથે અને એક $t = 2 \text{ mm}$ જાડાઈના માઈકા સાથે.
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d-t} = \frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}}$ અને $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A}{t} = \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}}$.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(\frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}}) (\frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}})}{\frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}} + \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}}} = \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3} + 3 \times 10^{-3} K} = \frac{K \epsilon_0 A}{10^{-3}(2 + 3K)}$.
બેટરી જોડાયેલી રહેતી હોવાથી,નવો ચાર્જ $Q_2 = C_{eq} V$ છે. આપેલ છે કે $Q_2 = 1.25 Q_1$,તેથી $C_{eq} = 1.25 C$.
$\frac{K \epsilon_0 A}{10^{-3}(2 + 3K)} = 1.25 \frac{\epsilon_0 A}{5 \times 10^{-3}}$.
$\frac{K}{2 + 3K} = \frac{1.25}{5} = 0.25 = \frac{1}{4}$.
$4K = 2 + 3K \Rightarrow K = 2$.

(C) બાહ્ય ક્ષેત્ર $E = \frac{A}{r^2}$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V$ એ $V = -\int_{\infty}^{r} E \cdot dr = -\int_{\infty}^{r} \frac{A}{r^2} dr = \frac{A}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r_1 = 9 \ cm = 0.09 \ m$ અને $r_2 = 9 \ cm = 0.09 \ m$ છે.
કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ બાહ્ય ક્ષેત્રમાં દરેક વિદ્યુતભારની સ્થિતિ ઊર્જા અને તેમની પરસ્પર આંતરક્રિયા ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$U = q_1 V(r_1) + q_2 V(r_2) + \frac{k q_1 q_2}{r_{12}}$
$U = (7 \times 10^{-6}) \left( \frac{9 \times 10^5}{0.09} \right) + (-2 \times 10^{-6}) \left( \frac{9 \times 10^5}{0.09} \right) + \frac{(9 \times 10^9) (7 \times 10^{-6}) (-2 \times 10^{-6})}{0.18}$
$U = (7 \times 10^{-6}) (10^7) - (2 \times 10^{-6}) (10^7) - \frac{126 \times 10^{-3}}{0.18}$
$U = 70 - 20 - 0.7 = 49.3 \ J$.

(D) ડાયપોલ મોમેન્ટ $P_1 = q_1 \times l_1 = 2 \times 10^{-6} \text{ C} \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \times 10^{-8} \text{ Cm}$ અને $P_2 = q_2 \times l_2 = 4 \times 10^{-6} \text{ C} \times 10^{-2} \text{ m} = 4 \times 10^{-8} \text{ Cm}$ છે.
બિંદુ $P$ દરેક ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$ અંતરે છે.
ડાયપોલ $A$ માટે,બિંદુ $P$ તેની અક્ષીય રેખા પર છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_1 = \frac{2KP_1}{r^3} \hat{i} = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-8})}{(0.4)^3} \hat{i} = 5625 \hat{i} \text{ N/C}$ છે.
ડાયપોલ $B$ માટે,બિંદુ $P$ તેની વિષુવરેખીય રેખા પર છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_2 = -\frac{KP_2}{r^3} \hat{j} = -\frac{(9 \times 10^9) \times (4 \times 10^{-8})}{(0.4)^3} \hat{j} = -5625 \hat{j} \text{ N/C}$ છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 5625(\hat{i} - \hat{j}) \text{ N/C}$ છે.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{E}_{net}| = 5625 \sqrt{2} \text{ N/C}$ થાય.
$5625 = \frac{9 \times 10^4}{16}$ હોવાથી,મૂલ્ય $\frac{9}{16} \sqrt{2} \times 10^4 \text{ N/C}$ મળે છે.

(C) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $d$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 4\sqrt{3} \text{ cm}$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $d = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ થાય.
કેન્દ્ર પર ખૂણાઓ દ્વારા બનતા ખૂણાઓ દરેક $60^{\circ}$ છે,તેથી $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{10^{-7} \times 2}{2 \times 10^{-2}} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 10^{-5} \times \sqrt{3} \text{ T}$ થાય.
ત્રણ બાજુઓ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times B_1 = 3\sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$ થાય.
તેને $\alpha \times 10^{-5} \text{ T}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3\sqrt{3}$ મળે છે.

(C) કિસ્સા $I$ માં,અવરોધો $R_1 = 2 \ \Omega$ અને $R_2 = 3 \ \Omega$ છે. નલ પોઈન્ટ $l$ પર છે. મીટર બ્રિજના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l} \implies \frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
આને ઉકેલતા,$200 - 2l = 3l \implies 5l = 200 \implies l = 40 \ cm$.
કિસ્સા $II$ માં,જમણા ગેપમાં અવરોધ $R_2' = \frac{3x}{3+x}$ થાય છે કારણ કે $x$ ને $3 \ \Omega$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. નલ પોઈન્ટ $10 \ cm$ જમણી તરફ ખસે છે,તેથી નવી સ્થિતિ $l' = 40 + 10 = 50 \ cm$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l'}{100-l'} \implies \frac{2}{\frac{3x}{3+x}} = \frac{50}{100-50} = \frac{50}{50} = 1$.
તેથી,$\frac{2(3+x)}{3x} = 1 \implies 6 + 2x = 3x \implies x = 6 \ \Omega$.

(B) ધારો કે બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ઉગમબિંદુ $x=0$ પર છે. તાર $x = 2 \text{ cm}$ થી $x = 12 \text{ cm}$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
તારની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{24 \times 10^{-6} \text{ C}}{0.1 \text{ m}} = 2.4 \times 10^{-4} \text{ C/m}$ છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $x$ અંતરે તારના એક નાના ખંડ $dx$ નો વિચાર કરો. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dx$ છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ અને ખંડ $dq$ વચ્ચેનું બળ $dF = \frac{k q dq}{x^2} = \frac{k q \lambda dx}{x^2}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$ છે.
કુલ બળ $F$ એ $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ થી $x = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ સુધી $dF$ નું સંકલન છે:
$F = \int_{0.02}^{0.12} \frac{k q \lambda}{x^2} dx = k q \lambda \left[ -\frac{1}{x} \right]_{0.02}^{0.12} = k q \lambda \left( \frac{1}{0.02} - \frac{1}{0.12} \right)$
$F = (9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-6}) \times (2.4 \times 10^{-4}) \times \left( 50 - 8.333 \right) = 9000 \times 2.4 \times 10^{-4} \times \left( \frac{6-1}{0.12} \right) = 9000 \times 2.4 \times 10^{-4} \times \frac{5}{0.12} = 90 \text{ N}$.

(D) વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી $m = -3$ છે. $m = -v/u$ હોવાથી,$-3 = -v/u$,જેનો અર્થ છે કે $v = 3u$.
આપેલ છે કે વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $40 \ cm$ છે,અને અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ બંને એક જ બાજુએ હોય છે,તેથી અંતર $|v - u| = 40 \ cm$ થાય.
$v = 3u$ મૂકતા,આપણને $|3u - u| = 40$ મળે છે,તેથી $|2u| = 40$,જે $u = -20 \ cm$ આપે છે (ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા).
ત્યારબાદ $v = 3(-20) = -60 \ cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-60} + \frac{1}{-20} = \frac{-1 - 3}{60} = \frac{-4}{60} = \frac{-1}{15}$.
તેથી,$f = -15 \ cm$.

(B) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,પડદાનું અંતર $D = 10 \ m$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \ m$.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = 4 I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
પડદા પર $y$ સ્થાન પર પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ છે.
એક સ્લિટની સામેના બિંદુ માટે,$y = \frac{d}{2}$.
તેથી,$\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 10} = \frac{4 \times 10^{-6}}{20} = 2 \times 10^{-7} \ m$.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{6 \times 10^{-7}} \times 2 \times 10^{-7} = \frac{2\pi}{3}$.
તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2}) = (4 I_0) \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = 4 I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $I = 4 I_0 (\frac{1}{2})^2 = 4 I_0 \times \frac{1}{4} = I_0$.

(D) આ સર્કિટમાં $A$ અને $A$ ઇનપુટ ધરાવતું એક $AND$ ગેટ છે (જે બફર તરીકે કામ કરે છે,આઉટપુટ $A$),$A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતું એક $NAND$ ગેટ છે (આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$),અને $NAND$ આઉટપુટ સાથે જોડાયેલ એક $NOT$ ગેટ છે.
પ્રથમ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = A \cdot A = A$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ $Y_2$ એક $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અંતિમ $AND$ ગેટનો ઇનપુટ $\overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ છે.
આમ,અંતિમ આઉટપુટ $Y = Y_1 \cdot (A \cdot B) = A \cdot (A \cdot B) = A \cdot B$ છે.
$Y = A \cdot B$ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(A) આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ,$G = 100 \ \Omega$
ગેલ્વેનોમીટરનો પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ,$i_g = 1 \ mA$
એમીટરનો ઇચ્છિત પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ,$i = 5 \ mA$
ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં એક શંટ અવરોધ $r_s$ જોડવામાં આવે છે.
શંટ અવરોધ માટેનું સૂત્ર છે:
$r_s = \frac{G \cdot i_g}{i - i_g}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r_s = \frac{100 \times 1 \ mA}{5 \ mA - 1 \ mA}$
$r_s = \frac{100}{4} \ \Omega = 25 \ \Omega$
આમ,જરૂરી શંટ અવરોધ $25 \ \Omega$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની સ્થિરતા તેની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે. જોકે,આ પ્રક્રિયાઓમાં આપણે સાપેક્ષ સ્થિરતા નક્કી કરવા માટે સીધી બંધન ઉર્જા $(BE)$ ની સરખામણી કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ પ્રક્રિયા પરથી: ${ }_2 He ^3 + { }_0 n ^1 \rightarrow { }_2 He ^4 + 20 \ MeV$. મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q = 20 \ MeV)$ સૂચવે છે કે $BE({ }_2 He ^4) - BE({ }_2 He ^3) = 20 \ MeV$. તેથી,$BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^3)$.
બીજી પ્રક્રિયા પરથી: ${ }_2 He ^4 + { }_0 n ^1 \rightarrow { }_2 He ^5 - 0.9 \ MeV$. શોષાયેલી ઉર્જા $(Q = -0.9 \ MeV)$ સૂચવે છે કે $BE({ }_2 He ^5) - BE({ }_2 He ^4) = -0.9 \ MeV$. તેથી,$BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^5)$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^3)$ અને $BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^5)$ મળે છે.
${ }_2 He ^4$ એ ખૂબ જ સ્થિર આલ્ફા કણ (મેજિક નંબર $Z=2, N=2$) હોવાથી,તેની સ્થિરતા સૌથી વધુ છે. ${ }_2 He ^3$ અને ${ }_2 He ^5$ ની સરખામણી કરતા,${ }_2 He ^3$ એ ${ }_2 He ^5$ કરતા વધુ સ્થિર છે કારણ કે ${ }_2 He ^5$ અત્યંત અસ્થિર છે અને ઝડપથી ક્ષય પામે છે.
તેથી,સ્થિરતાનો સાચો ક્રમ $X_4 > X_3 > X_5$ છે.

(D) ધારો કે $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.
કેપેસિટર $A$ માટે:
ઉપરના અડધા ભાગમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક $k_1$ છે અને નીચેનો અડધો ભાગ $k_1$ અને $k_2$ ડાયઇલેક્ટ્રિક્સ સાથે બે સમાંતર ભાગોમાં વહેંચાયેલ છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_A = \left( \frac{1}{C_{k1}} + \frac{1}{C_{parallel}} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{2k_1 C_0} + \frac{1}{k_1 C_0/2 + k_2 C_0/2} \right)^{-1} = \frac{2k_1(k_1+k_2)C_0}{3k_1+k_2}$ છે.
કેપેસિટર $B$ માટે:
ઉપરના અડધા ભાગમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક $k_2$ છે અને નીચેનો અડધો ભાગ $k_1$ અને $k_2$ ડાયઇલેક્ટ્રિક્સ સાથે બે સમાંતર ભાગોમાં વહેંચાયેલ છે. તેવી જ રીતે,$C_B = \frac{2k_2(k_1+k_2)C_0}{k_1+3k_2}$ છે.
કેપેસિટર $C$ માટે:
તે બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે ડાયઇલેક્ટ્રિક્સ શ્રેણીમાં છે. $C_C = \frac{k_1 k_2}{k_1+k_2} C_0 + \frac{k_2 k_1}{k_2+k_1} C_0 = \frac{2k_1 k_2}{k_1+k_2} C_0$ છે.
આપેલ છે કે $k_1 > k_2$,આ પદોની સરખામણી કરતા $C_A > C_C > C_B$ મળે છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બંને લૂપ $P$ અને $Q$ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $x = r$ છે.
તેથી,$O$ પાસે લૂપ $P$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_P)$ એ $B_P = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2}r^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$ છે.
$O$ થી જોતા $P$ માં પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_P$ એ $P$ તરફ ( $Q$ થી દૂર) નિર્દેશિત થાય છે.
$O$ પાસે લૂપ $Q$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_Q)$ એ $B_Q = \frac{\mu_0 (4I) r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{4\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2}r^3)} = \frac{4\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$ છે.
$O$ થી જોતા $Q$ માં પ્રવાહ પણ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_Q$ એ $Q$ તરફ ($P$ થી દૂર) નિર્દેશિત થાય છે.
ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_Q - B_P = \frac{4\mu_0 I}{4\sqrt{2}r} - \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r} = \frac{3\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$,$Q$ તરફ.

(A) ધારો કે દરેક તારનો અવરોધ $r$ છે. ષટ્કોણમાં $6$ બહારના તાર અને કેન્દ્ર સાથે જોડાયેલા $6$ ત્રિજ્યાવર્તી તાર હોય છે.
સંમિતિને કારણે,જો પ્રવાહ ખૂણા $A$ પર દાખલ થાય અને સામેના ખૂણા $B$ પર બહાર નીકળે,તો અક્ષ $AB$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત નોડ્સ પરનું સ્થિતિમાન સમાન હશે.
પરિપથને $A$ અને $B$ વચ્ચેની બે સમાંતર શાખાઓને ધ્યાનમાં લઈને સરળ બનાવી શકાય છે.
એક શાખામાં શ્રેણીમાં $r$ ના બે અવરોધ હોય છે,જે $2r$ આપે છે.
બીજી શાખા બાકીના નેટવર્કની બનેલી છે જે $\frac{4}{3}r$ ના સમતુલ્ય અવરોધમાં સરળ બને છે.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $2r$ અને $\frac{4}{3}r$ ના સમાંતર જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$R_{eq} = \frac{2r \times \frac{4}{3}r}{2r + \frac{4}{3}r} = \frac{\frac{8}{3}r^2}{\frac{10}{3}r} = \frac{8}{10}r = \frac{4}{5}r$.

(B) આપેલ પાવર $P = +5 \ D$. કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{100}{P} = \frac{100}{5} = 20 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u$ ઋણ છે,આપણને મળે $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} - \frac{1}{|u|}$.
$P_1$ માટે: $u = -25 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{25} = \frac{1}{100} \Rightarrow v = 100 \ cm$ (આશરે $96 \ cm$ નજીક છે).
$P_2$ માટે: $u = -30 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{1}{60} \Rightarrow v = 60 \ cm$ (આશરે $62 \ cm$ નજીક છે).
$P_3$ માટે: $u = -35 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{35} = \frac{3}{140} \Rightarrow v \approx 46.6 \ cm$. નોંધાયેલ મૂલ્ય $37 \ cm$ નોંધપાત્ર રીતે ખોટું છે.
$P_4$ માટે: $u = -45 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{45} = \frac{1}{36} \Rightarrow v = 36 \ cm$ (આશરે $35 \ cm$ નજીક છે).
$P_5$ માટે: $u = -50 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{50} = \frac{3}{100} \Rightarrow v \approx 33.3 \ cm$ (આશરે $32 \ cm$ નજીક છે).
આમ,$P_3$ દ્વારા નોંધાયેલ રીડિંગ ખોટું છે.