ધારો કે y=y(x) એ અંતરાલ (0, infty) માં એક વિક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} = 3$. $t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા: $\lim_{t \rightarrow x} \

Vedclass · Accepted Answer

$23$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} = 3$. $t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા: $\lim_{t \rightarrow x} \frac{2ty(x)-x^{2}y'(t)}{-1} = 3$. $t=x$ મૂકતા: $2xy(x) - x^{2}y'(x) = -3$,જેનું સાદું રૂપ $x^{2}y'(x) - 2xy(x) = 3$ થાય છે. $x^{4}$ વડે ભાગતા ($x>0$ માટે): $\frac{x^{2}y'(x) - 2xy(x)}{x^{4}} = \frac{3}{x^{4}} \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{y(x)}{x^{2}} \right) = 3x^{-4}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{y(x)}{x^{2}} = \int 3x^{-4} dx = -x^{-3} + C = -\frac{1}{x^{3}} + C$. તેથી,$y(x) = Cx^{2} - \frac{1}{x}$. $y(1)=2$ આપેલ છે: $2 = C(1)^{2} - \frac{1}{1} \Rightarrow 2 = C - 1 \Rightarrow C = 3$. આમ,$y(x) = 3x^{2} - \frac{1}{x}$. અંતે,$2y(2) = 2 \left( 3(2)^{2} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( 12 - 0.5 \right) = 24 - 1 = 23$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ નો ઉકેલ શોધો.

રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x + 3y}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 3(\tan^2 x + 1)y = \sec^2 x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં પ્રારંભિક શરત $y(0) = \frac{1}{3} + e^3$ છે. તો $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$r dx + (x - r^2) dr = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \sec x(\sec x + \tan x)$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module