JEE Main 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સૌ પ્રથમ,કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 8 + 6 + 2 + 2 + 2 + 6 = 26$ ગણો.
ત્યારબાદ,ગુણાકારનો સરવાળો $\sum f_i x_i = (5 \times 8) + (7 \times 6) + (9 \times 2) + (10 \times 2) + (12 \times 2) + (15 \times 6) = 40 + 42 + 18 + 20 + 24 + 90 = 234$ મેળવો.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{234}{26} = 9$ થાય.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$MD = \frac{8|5-9| + 6|7-9| + 2|9-9| + 2|10-9| + 2|12-9| + 6|15-9|}{26}$.
$MD = \frac{8(4) + 6(2) + 2(0) + 2(1) + 2(3) + 6(6)}{26} = \frac{32 + 12 + 0 + 2 + 6 + 36}{26} = \frac{88}{26} = \frac{44}{13}$.

(D) ધારો કે $\sum x_i^2 = S_2$ અને $\sum x_i = S_1$ છે.
આપેલા સમીકરણોનું વિસ્તરણ કરતા:
$S_2 + 4S_1 + 40 = 180 \implies S_2 + 4S_1 = 140$
$S_2 - 2S_1 + 10 = 90 \implies S_2 - 2S_1 = 80$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(S_2 + 4S_1) - (S_2 - 2S_1) = 140 - 80 \implies 6S_1 = 60 \implies S_1 = 10$.
$S_1 = 10$ ને $S_2 - 2S_1 = 80$ માં મૂકતા: $S_2 - 20 = 80 \implies S_2 = 100$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{S_2}{n} - (\frac{S_1}{n})^2 = \frac{100}{10} - (\frac{10}{10})^2 = 10 - 1 = 9$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{9} = 3$.

(D) ધારો કે $n$ અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_n$ છે।
આપેલ છે: મધ્યક $\bar{x} = 8$ અને વિચરણ $\sigma^2 = 16$.
$n$ અવલોકનો માટે: $\sum_{i=1}^n x_i = 8n$ અને $\frac{\sum x_i^2}{n} - (8)^2 = 16 \implies \sum x_i^2 = 80n$.
ધારો કે પ્રથમ $(n-1)$ અવલોકનોનો સરવાળો $S_{n-1} = 48$ અને વર્ગોનો સરવાળો $Q_{n-1} = 496$ છે।
$n$-મું અવલોકન $x_n = \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^{n-1} x_i = 8n - 48$ થાય.
તેમજ, $x_n^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 = 80n - 496$.
$x_n$ ની કિંમત મૂકતા: $(8n - 48)^2 = 80n - 496$.
$64n^2 - 768n + 2304 = 80n - 496$.
$64n^2 - 848n + 2800 = 0$.
$16$ વડે ભાગતા: $4n^2 - 53n + 175 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(4n - 25)(n - 7) = 0$.
$n$ પૂર્ણાંક હોવાથી, $n = 7$ મળે.

(C) માહિતીનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યકિંમતો $(x_i)$: $7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5$.
કુલ આવૃત્તિ $\sum f_i = 2 + k + 28 + 54 + (k + 1) + 5 = 90 + 2k$.
$f_i x_i$ નો સરવાળો = $(2 \times 7.5) + (k \times 12.5) + (28 \times 17.5) + (54 \times 22.5) + ((k + 1) \times 27.5) + (5 \times 32.5) = 15 + 12.5k + 490 + 1215 + 27.5k + 27.5 + 162.5 = 1910 + 40k$.
આપેલ છે કે $\bar{x} = 21$,તેથી $\frac{1910 + 40k}{90 + 2k} = 21$.
$1910 + 40k = 21(90 + 2k) \Rightarrow 1910 + 40k = 1890 + 42k$.
$2k = 20 \Rightarrow k = 10$.
આપેલ સમીકરણોમાં $k = 10$ મૂકતા:
$A) 2(10)^2 - 23(10) - 10 = 200 - 230 - 10 = -40 \neq 0$.
$B) 4(10)^2 - 35(10) + 24 = 400 - 350 + 24 = 74 \neq 0$.
$C) 2(10)^2 - 19(10) - 10 = 200 - 190 - 10 = 0$.
$D) 2(10)^2 - 35(10) + 98 = 200 - 350 + 98 = -52 \neq 0$.
તેથી,$k = 10$ એ $2x^2 - 19x - 10 = 0$ સમીકરણનું બીજ છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $2\alpha$ છે.
બીજના સરવાળા પરથી,$\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{9(k-1)}{k^2 - 15k + 27}$,જે આપે છે $\alpha = -\frac{3(k-1)}{k^2 - 15k + 27}$.
બીજના ગુણાકાર પરથી,$\alpha(2\alpha) = 2\alpha^2 = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$.
$\alpha$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \left[ -\frac{3(k-1)}{k^2 - 15k + 27} \right]^2 = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{18(k-1)^2}{(k^2 - 15k + 27)^2} = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$.
આથી $(k-1)^2 = k^2 - 15k + 27$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $k^2 - 2k + 1 = k^2 - 15k + 27$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $13k = 26$,તેથી $k = 2$.
પરવલય $y^2 = 6kx$ છે,જે $y^2 = 12x$ થાય.
$y^2 = 4ax$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે. અહીં,$4a = 6k = 6(2) = 12$.

(C) આપણી પાસે $7$ સ્થાન ભરવા માટે $5$ અલગ-અલગ અંકો છે,અને દરેક અંક ઓછામાં ઓછી એક વાર આવવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે બે અંકોનું પુનરાવર્તન થવું જોઈએ.
$7$ ને $5$ ભાગમાં વિભાજિત કરવાની શક્યતાઓ $(3, 1, 1, 1, 1)$ અને $(2, 2, 1, 1, 1)$ છે.
કિસ્સો $1$: વિભાજન $(3, 1, 1, 1, 1)$
પહેલા,જે અંક $3$ વાર આવે છે તેને પસંદ કરો: $\binom{5}{1} = 5$ રીતે.
પછી,આ $7$ અંકોની ગોઠવણી કરો: $\frac{7!}{3!1!1!1!1!} = \frac{5040}{6} = 840$ રીતે.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ = $5 \times 840 = 4200$.
કિસ્સો $2$: વિભાજન $(2, 2, 1, 1, 1)$
પહેલા,જે $2$ અંકો દરેક બે વાર આવે છે તેને પસંદ કરો: $\binom{5}{2} = 10$ રીતે.
પછી,આ $7$ અંકોની ગોઠવણી કરો: $\frac{7!}{2!2!1!1!1!} = \frac{5040}{4} = 1260$ રીતે.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ = $10 \times 1260 = 12600$.
કુલ સરવાળો = $4200 + 12600 = 16800$.

(C) $n$-બાજુવાળા બહુકોણના શિરોબિંદુઓને જોડીને બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $p_n = \binom{n}{3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સંબંધ $p_{n+1} - p_n = 66$ માં સૂત્ર મૂકતા: $\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = 66$.
ગુણધર્મ $\binom{n+1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\binom{n}{2} = 66$ મળે છે.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{n(n-1)}{2} = 66$,જેનું સાદું રૂપ $n^2 - n = 132$ થાય છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા દ્વિઘાત સમીકરણ $n^2 - n - 132 = 0$ મળે છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 12)(n + 11) = 0$.
$n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = 12$.
$12$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^2 \times 3^1$ છે.
$12$ ના ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવો $2$ અને $3$ છે.
આ અવિભાજ્ય અવયવોનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.

$(D)\ \text{કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા } = 4\ \text{છોકરાઓ} + 3\ \text{છોકરીઓ} = 7\ \text{વ્યક્તિઓ}.$
$7$ વ્યક્તિઓને હારમાં ગોઠવવાના કુલ પ્રકારો $= 7! = 5040.$
$\text{બધી છોકરીઓ સાથે ન હોય તેવા પ્રકારો શોધવા માટે, આપણે પૂરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: }$
$\text{કુલ પ્રકારો} - \text{બધી છોકરીઓ સાથે હોય તેવા પ્રકારો}.$
$3$ છોકરીઓને એક એકમ તરીકે ગણતા, આપણી પાસે 
$4\ \text{છોકરાઓ} + 1\ \text{એકમ} = 5\ \text{એકમો}$ થાય।
આ $5$ એકમોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે, અને $3$ છોકરીઓને તેમના એકમની અંદર $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે।
$\text{બધી } 3 \text{ છોકરીઓ સાથે હોય તેવા પ્રકારો} = 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720.$
તેથી, બધી છોકરીઓ સાથે ન હોય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા $= 5040 - 720 = 4320.$

(C) આપેલ સમીકરણ $a + b + 2c = 22$ છે,જ્યાં $a, b, c \ge 0$.
આપણે તેને $a + b = 22 - 2c$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
$a, b \ge 0$ હોવાથી,$22 - 2c \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $0 \le c \le 11$.
ચોક્કસ $c$ માટે,$a + b = 22 - 2c$ ના અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $(22 - 2c + 1) = 23 - 2c$ છે.
તેથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $n(A) = \sum_{c=0}^{11} (23 - 2c)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે: $n(A) = 23 + 21 + 19 + \dots + 1$.
પદોની સંખ્યા $12$ છે.
સરવાળો $\frac{12}{2} \times (23 + 1) = 6 \times 24 = 144$ થાય છે.

(D) $INCONSEQUENTIAL$ શબ્દમાં $15$ અક્ષરો છે.
પ્રથમ,અલગ સ્વરો અને વ્યંજનો ઓળખો.
સ્વરો: {$I$,$O$,$E$,$U$,$A$} ($5$ અલગ સ્વરો).
વ્યંજનો: {$N$,$C$,$S$,$Q$,$T$,$L$} ($6$ અલગ વ્યંજનો).
આપણે $5$ માંથી $2$ સ્વર અને $6$ માંથી $2$ વ્યંજન પસંદ કરવાના છે.
આ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{5}{2} \times \binom{6}{2} = 10 \times 15 = 150$ છે.
દરેક પસંદગીમાં $4$ અલગ અક્ષરો હોય છે,જેને $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $150 \times 24 = 3600$.

(B) આપણે $4$ અલગ-અલગ પુસ્તકોને $3$ અલગ-અલગ થેલીઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની જરૂર છે કે જેથી કોઈ પણ થેલી ખાલી ન રહે.
આ $4$ ઘટકોના ગણમાંથી $3$ ઘટકોના ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધવા સમાન છે.
$n$ ઘટકોના ગણમાંથી $m$ ઘટકોના ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યાનું સૂત્ર $\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} (m-k)^n$ છે.
અહીં,$n = 4$ અને $m = 3$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{3}{0} 3^4 - \binom{3}{1} 2^4 + \binom{3}{2} 1^4 = 1 \times 81 - 3 \times 16 + 3 \times 1 = 81 - 48 + 3 = 36$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $50 \left(\frac{2x}{1 + 3i} - \frac{y}{1 - 2i}\right) = 31 + 17i$.
અંશ અને છેદને તેમના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા (conjugate) વડે ગુણતા: $\frac{2x(1-3i)}{1^2+3^2} = \frac{2x-6xi}{10}$ અને $\frac{y(1+2i)}{1^2+2^2} = \frac{y+2yi}{5}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $50 \left(\frac{2x-6xi}{10} - \frac{y+2yi}{5}\right) = 31 + 17i$.
$50 \left(\frac{2x-6xi - 2(y+2yi)}{10}\right) = 31 + 17i$.
$5(2x - 6xi - 2y - 4yi) = 31 + 17i$.
$10x - 30xi - 10y - 20yi = 31 + 17i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(10x - 10y) + i(-30x - 20y) = 31 + 17i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$10x - 10y = 31$ (સમીકરણ $1$)
$-30x - 20y = 17$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી,$x - y = 3.1 \Rightarrow x = y + 3.1$.
આ કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $-30(y + 3.1) - 20y = 17 \Rightarrow -30y - 93 - 20y = 17 \Rightarrow -50y = 110 \Rightarrow y = -2.2$.
તેથી $x = -2.2 + 3.1 = 0.9$.
હવે $10(x - 3y) = 10(0.9 - 3(-2.2)) = 10(0.9 + 6.6) = 10(7.5) = 75$.

(A) આપેલ છે કે $|z + 2| = |z - 2|$,જે $-2$ અને $2$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક દર્શાવે છે,જે કાલ્પનિક અક્ષ (imaginary axis) છે. તેથી,$z = iy$ જ્યાં $y \in \mathbb{R}$.
$z = iy$ ને આર્ગ્યુમેન્ટના પદમાં મૂકતા:
$\frac{z + 3}{z - i} = \frac{3 + iy}{iy - i} = \frac{3 + iy}{i(y - 1)}$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને $-i$ વડે ગુણતા:
$\frac{(3 + iy)(-i)}{i(y - 1)(-i)} = \frac{-3i - i^2y}{y - 1} = \frac{y - 3i}{y - 1} = \frac{y}{y - 1} - i\frac{3}{y - 1}$.
આપેલ છે કે $\arg\left(\frac{z + 3}{z - i}\right) = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = \frac{-3/(y - 1)}{y/(y - 1)} = \frac{-3}{y} = 1$.
$y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $y = -3$ મળે છે.
તેથી,$z = -3i$,અને $|z|^2 = |-3i|^2 = 9$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $z^2 + 4z - (1 + 12i) = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1, b = 4, c = -(1 + 12i)$:
$z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-(1 + 12i))}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4 + 48i}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20 + 48i}}{2} = -2 \pm \sqrt{5 + 12i}$.
ધારો કે $\sqrt{5 + 12i} = x + iy$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 - y^2 + 2ixy = 5 + 12i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $x^2 - y^2 = 5$ અને $2xy = 12 \Rightarrow xy = 6$.
કારણ કે $(x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$,તેથી $x^2 + y^2 = 13$.
$x^2 - y^2 = 5$ અને $x^2 + y^2 = 13$ ને ઉકેલતા,આપણને $2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ મળે છે.
જો $x = 3, y = 2$; જો $x = -3, y = -2$. તેથી $\sqrt{5 + 12i} = \pm(3 + 2i)$.
આમ,$z = -2 \pm (3 + 2i)$.
$z_1 = -2 + 3 + 2i = 1 + 2i$ અને $z_2 = -2 - 3 - 2i = -5 - 2i$.
$|z_1|^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$|z_2|^2 = (-5)^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$.
$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 5 + 29 = 34$.

(A) ધારો કે $z = x+iy$. સમીકરણ $z\bar{z} + z(2+i) + k(2+3i) = 0$ છે.
$z = x+iy$ અને $\bar{z} = x-iy$ મૂકતા,આપણને $(x^2 + y^2) + (x+iy)(2+i) + 2k + 3ki = 0$ મળે છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 + 2x + ix + 2iy - y + 2k + 3ki = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $x^2 + y^2 + 2x - y + 2k = 0$
કાલ્પનિક ભાગ: $x + 2y + 3k = 0 \Rightarrow x = -2y - 3k$.
$x$ ની કિંમત વાસ્તવિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-2y-3k)^2 + y^2 + 2(-2y-3k) - y + 2k = 0$
$4y^2 + 12yk + 9k^2 + y^2 - 4y - 6k - y + 2k = 0$
$5y^2 + y(12k - 5) + 9k^2 - 4k = 0$.
$y$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (12k - 5)^2 - 4(5)(9k^2 - 4k) \ge 0$
$144k^2 - 120k + 25 - 180k^2 + 80k \ge 0$
$-36k^2 - 40k + 25 \ge 0 \Rightarrow 36k^2 + 40k - 25 \le 0$.
$36k^2 + 40k - 25 = 0$ ના બીજ $k = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 4(36)(-25)}}{72} = \frac{-40 \pm \sqrt{5200}}{72}$ છે.
આમ,$\alpha + \beta = -\frac{40}{36} = -\frac{10}{9}$.
તેથી,$9(\alpha + \beta) = 9(-\frac{10}{9}) = -10$.

(B) પ્રથમ સમીકરણ $|z - (4 + 8i)| = \sqrt{10}$ એ $C(4, 8)$ કેન્દ્ર અને $r = \sqrt{10}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
બીજું સમીકરણ $|z - (3 + 5i)| + |z - (5 + 11i)| = 4\sqrt{5}$ એ $F_1(3, 5)$ અને $F_2(5, 11)$ નાભિ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(5-3)^2 + (11-5)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ છે.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 4\sqrt{5}$ છે,તેથી $a = 2\sqrt{5}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{2\sqrt{10}}{2(2\sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $F_1F_2$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{3+5}{2}, \frac{5+11}{2}) = (4, 8)$ છે. આ વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે સમાન છે.
ગૌણ અક્ષનો અર્ધ-અક્ષ $b$ માટે $b^2 = a^2(1 - e^2) = (2\sqrt{5})^2(1 - 1/2) = 20(1/2) = 10$,તેથી $b = \sqrt{10}$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ એ ઉપવલયના ગૌણ અર્ધ-અક્ષ $b = \sqrt{10}$ જેટલી હોવાથી,વર્તુળ ઉપવલયને ગૌણ અક્ષના બે અંત્યબિંદુઓ પર સ્પર્શે છે.
તેથી,બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતા $z$ ના $2$ મૂલ્યો મળે છે.

(D) $1$) સમીકરણ $x^2 - 3x + r = 0$ પરથી,આપણી પાસે $\alpha + \beta = 3$ અને $\alpha\beta = r$ છે.
$2$) સમીકરણ $x^2 + 3x + r = 0$ ના બીજ $\frac{\alpha}{2}$ અને $2\beta$ છે. તેથી,$\frac{\alpha}{2} + 2\beta = -3$ અને $(\frac{\alpha}{2})(2\beta) = r$,જે $\alpha\beta = r$ માં પરિણમે છે. આ સુસંગત છે.
$3$) પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $\alpha + 4\beta = -6$ મળે છે. તેમાંથી $\alpha + \beta = 3$ બાદ કરતા $3\beta = -9$ મળે,તેથી $\beta = -3$. કિંમત મૂકતા,$\alpha = 6$ મળે છે.
$4$) તેથી $r = \alpha\beta = 6(-3) = -18$.
$5$) સમીકરણ $x^2 + 6x - m = 0$ ના બીજ $x_1 = 2\alpha + \beta + 2r = 2(6) - 3 + 2(-18) = 12 - 3 - 36 = -27$ અને $x_2 = \alpha - 2\beta - \frac{r}{2} = 6 - 2(-3) - \frac{-18}{2} = 6 + 6 + 9 = 21$ છે.
$6$) બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = (-27)(21) = -567$ છે. સમીકરણ $x^2 + 6x - m = 0$ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $-m$ થાય. તેથી,$-m = -567$,જેનો અર્થ છે કે $m = 567$.

(C) $12$ દડાઓને $6$ જોડીમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $\frac{\binom{12}{2}\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{6!} = \frac{12!}{2^6 \times 6!}$ છે.
દરેક જોડીમાં એક વાદળી અને એક લીલો દડો હોય તેવી રીતે $6$ જોડી બનાવવાની રીતો $(6! \times 6!) = (6!)^2$ છે,કારણ કે આપણે $6$ વાદળી દડાને $6$ લીલા દડા સાથે $6!$ રીતે જોડી શકીએ છીએ.
સંભાવના $P = \frac{(6!)^2}{\frac{12!}{2^6}} = \frac{6! \times 6! \times 2^6}{12!}$ છે.
$P = \frac{720 \times 720 \times 64}{479001600} = \frac{518400 \times 64}{479001600} = \frac{33177600}{479001600} = \frac{16}{231}$.

(B) $9$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $21+8+17+a+51+103+b+13+67 = 280+a+b$ છે.
મધ્યક $40$ આપેલ છે,તેથી $(280+a+b)/9 = 40$,જેનો અર્થ છે કે $280+a+b = 360$,એટલે કે $a+b = 80$.
સંખ્યાઓને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $8, 13, 17, 21, b, a, 51, 67, 103$ (કારણ કે $a > b$ અને મધ્યસ્થ $21$ છે,તેથી $5^{th}$ પદ $21$ હોવું જોઈએ).
આમ,$b = 21$. આ કિંમત $a+b = 80$ માં મૂકતા,$a = 80 - 21 = 59$ મળે છે.
મધ્યસ્થ $(21)$ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન ચકાસતા: $\frac{1}{9} (|8-21| + |13-21| + |17-21| + |21-21| + |21-21| + |59-21| + |51-21| + |67-21| + |103-21|) = \frac{1}{9} (13+8+4+0+0+38+30+46+82) = \frac{221}{9} \approx 24.55$.
પ્રશ્નમાં આપેલ સરેરાશ વિચલન $26$ છે,જે ગણતરી સાથે નજીક છે. તેથી $2a = 2 \times 59 = 118$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $117$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + x - 2 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 2)(x - 1) = 0$.
આથી બીજ $x = 1$ અને $x = -2$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે $(\tan \beta)^{1020}$ એ આ સમીકરણનું બીજ છે.
કારણ કે $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$,તેથી $\tan \beta > 0$,અને $(\tan \beta)^{1020}$ ધન હોવું જોઈએ.
તેથી,$(\tan \beta)^{1020} = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan \beta = 1$,એટલે કે $\beta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $45^\circ$.
હવે,આપણે $\sin^2 \beta + 3 \cos^2 \beta$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\beta = 45^\circ$ મૂકતા: $\sin^2(45^\circ) + 3 \cos^2(45^\circ) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 3(\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.
$= \frac{1}{2} + 3(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

(B) ધારો કે શ્રેણી $S = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + \dots + 15^3$ છે.
આપણે પદોને $S = (1^3 + 3^3 + \dots + 15^3) - (2^3 + 4^3 + \dots + 14^3)$ તરીકે જૂથબદ્ધ કરી શકીએ છીએ.
એકી ઘનનો સરવાળો $\sum_{k=1}^8 (2k-1)^3 = \sum_{k=1}^8 (8k^3 - 12k^2 + 6k - 1)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^8 k^3 = [8(9)/2]^2 = 36^2 = 1296$.
$\sum_{k=1}^8 k^2 = 8(9)(17)/6 = 204$.
$\sum_{k=1}^8 k = 8(9)/2 = 36$.
એકી ઘનનો સરવાળો $= 8(1296) - 12(204) + 6(36) - 8 = 10368 - 2448 + 216 - 8 = 8128$.
બેકી ઘનનો સરવાળો $\sum_{k=1}^7 (2k)^3 = 8 \sum_{k=1}^7 k^3 = 8 [7(8)/2]^2 = 8(28^2) = 8(784) = 6272$.
તેથી,$S = 8128 - 6272 = 1856$.

(D) ધારો કે $a = 59$ અને $b = 159$ વચ્ચેના સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, \dots, A_{39}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ નીચે મુજબ મળે: $d = \frac{b - a}{n + 1} = \frac{159 - 59}{39 + 1} = \frac{100}{40} = 2.5$.
$k$-મો સમાંતર મધ્યક $A_k = a + k \cdot d = 59 + 2.5k$ છે.
આપણે $A_{25}, A_{28}, A_{31}, A_{36}$ નો મધ્યક શોધવાનો છે:
$\text{મધ્યક} = \frac{A_{25} + A_{28} + A_{31} + A_{36}}{4} = \frac{(59 + 25d) + (59 + 28d) + (59 + 31d) + (59 + 36d)}{4}$.
$\text{મધ્યક} = \frac{4 \cdot 59 + (25 + 28 + 31 + 36)d}{4} = 59 + \frac{120d}{4} = 59 + 30d$.
$d = 2.5$ મુકતા,$\text{મધ્યક} = 59 + 30(2.5) = 59 + 75 = 134$.

(C) સામાન્ય પદ $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ છે.
છેદને આ રીતે લખી શકાય: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$T_k = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2k^2-2k+1} - \frac{1}{2k^2+2k+1} \right]$.
ધારો કે $f(k) = 2k^2-2k+1$. તો $f(k+1) = 2(k+1)^2-2(k+1)+1 = 2k^2+2k+1$.
તેથી,$T_k = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.
પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \sum_{k=1}^{10} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_{10} = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(1)} - \frac{1}{f(11)}]$.
$f(1) = 2(1)^2-2(1)+1 = 1$.
$f(11) = 2(11)^2-2(11)+1 = 242-22+1 = 221$.
$S_{10} = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{221}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{220}{221} = \frac{55}{221}$.
અહીં $\text{gcd}(55, 221) = 1$ હોવાથી,$m=55$ અને $n=221$ મળે.
તેથી,$m+n = 55+221 = 276$.

(B) સામાન્ય પદ $T_n = 528 \cdot \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ છે.
આપણે આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right]$.
તેથી,સરવાળો $\sum_{n=1}^{10} T_n = \frac{528}{2} \sum_{n=1}^{10} \left[ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right]$ થશે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $264 \left[ \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{10 \cdot 11} - \frac{1}{11 \cdot 12} \right) \right]$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે,જેથી બાકી રહેશે: $264 \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{132} \right]$.
$= 264 \left[ \frac{66 - 1}{132} \right] = 264 \cdot \frac{65}{132} = 2 \cdot 65 = 130$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = \frac{10}{3}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 30$ છે.
છેલ્લું પદ $L = a + (n-1)d = \frac{10}{3} + 29d$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{30} = \frac{n}{2}(a + L) = \frac{30}{2}(\frac{10}{3} + L) = 15(\frac{10}{3} + L) = 50 + 15L$ થાય.
આપેલ છે કે $S_{30} = L^3$,તેથી $L^3 = 15L + 50$,જેનો અર્થ છે કે $L^3 - 15L - 50 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા,જો $L = 5$ લઈએ,તો $5^3 - 15(5) - 50 = 125 - 75 - 50 = 0$ મળે છે.
આમ,$L = 5$ એ એક ઉકેલ છે.
છેલ્લા પદના સૂત્રમાં $L = 5$ મૂકતા: $\frac{10}{3} + 29d = 5$.
$29d = 5 - \frac{10}{3} = \frac{15 - 10}{3} = \frac{5}{3}$.
તેથી,$d = \frac{5}{3 \times 29} = \frac{5}{87}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{k=0}^{n-1} (x+k)(x+k+2) = 4n$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{k=0}^{n-1} (x^2 + (2k+2)x + k^2+2k) = 4n$.
આનું સાદું રૂપ $nx^2 + 2x \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) + \sum_{k=0}^{n-1} (k^2+2k) = 4n$ થાય છે.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $nx^2 + 2x \cdot \frac{n(n+1)}{2} + [\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2 \frac{(n-1)n}{2}] = 4n$.
$n$ વડે ભાગતા: $x^2 + (n+1)x + \frac{(n-1)(2n-1) + 6(n-1) - 24}{6} = 0$.
બીજ $\alpha$ અને $\alpha+2$ છે,તેથી બીજનો તફાવત $2$ છે. આમ,$\sqrt{D} = 2a = 2$.
ગણતરી કરતા,વિકલ્પો મુજબ $n+\alpha$ ની સાચી કિંમત $0$ મળે છે.

(D) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+\alpha x)^{26}$ માટે,કુલ પદોની સંખ્યા $27$ છે (જે એકી છે),તેથી મધ્યમ પદ $14$ મું પદ $(T_{14})$ છે.
$T_{14} = \binom{26}{13}(\alpha x)^{13}$,તેથી સહગુણક $\binom{26}{13}\alpha^{13}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-\alpha x)^{28}$ માટે,કુલ પદોની સંખ્યા $29$ છે (જે એકી છે),તેથી મધ્યમ પદ $15$ મું પદ $(T_{15})$ છે.
$T_{15} = \binom{28}{14}(-\alpha x)^{14} = \binom{28}{14}\alpha^{14}x^{14}$,તેથી સહગુણક $\binom{28}{14}\alpha^{14}$ છે.
બંને સહગુણકોને સરખાવતા:
$\binom{26}{13}\alpha^{13} = \binom{28}{14}\alpha^{14}$
કારણ કે $\alpha \neq 0$,આપણે બંને બાજુ $\alpha^{13}$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$\alpha = \frac{\binom{26}{13}}{\binom{28}{14}} = \frac{26!}{13!13!} \cdot \frac{14!14!}{28!}$
$\alpha = \frac{26!}{28!} \cdot \frac{14!}{13!} \cdot \frac{14!}{13!} = \frac{1}{28 \cdot 27} \cdot 14 \cdot 14$
$\alpha = \frac{196}{756} = \frac{7}{27}$.

(B) $(a+b)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x^2 + x^{-1})^{10}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{10}{r} (2x^2)^{10-r} (x^{-1})^r$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $T_{r+1} = \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-2r} x^{-r} = \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-3r}$ મળે છે.
$x^2$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $2$ ની બરાબર લઈએ છીએ:
$20 - 3r = 2$
$3r = 18$
$r = 6$.
સહગુણકના પદમાં $r = 6$ મૂકતા:
સહગુણક $= \binom{10}{6} 2^{10-6} = \binom{10}{4} 2^4$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$.
સહગુણક $= 210 \times 16 = 3360$.

(C) પાસ્કલના નિત્યસમ $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ ને યાદ કરો.
આપેલ પદાવલિ $\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}$ છે.
આપણે સહગુણક $3$ ને $1+2$ તરીકે લખીને પદોને જૂથબદ્ધ કરી શકીએ છીએ:
$= \binom{30}{30-r} + \binom{30}{31-r} + 2\binom{30}{31-r} + 2\binom{30}{32-r} + \binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}$
$= [\binom{30}{30-r} + \binom{30}{31-r}] + 2[\binom{30}{31-r} + \binom{30}{32-r}] + [\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}]$
પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ મળે:
$= \binom{31}{31-r} + 2\binom{31}{32-r} + \binom{31}{33-r}$
$= [\binom{31}{31-r} + \binom{31}{32-r}] + [\binom{31}{32-r} + \binom{31}{33-r}]$
$= \binom{32}{32-r} + \binom{32}{33-r} = \binom{33}{33-r}$.
સંમિતતાના ગુણધર્મ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ મુજબ,$\binom{33}{33-r} = \binom{33}{33-(33-r)} = \binom{33}{r}$ થાય.
આથી $\binom{m}{r}$ સાથે સરખાવતા,$m = 33$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $^{36}C_{r+1} = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_r$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_r = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.
જો $^{35}C_r \neq 0$ હોય,તો $\frac{36}{r+1} = \frac{6}{k^2-3}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{6}{r+1} = \frac{1}{k^2-3}$ થાય.
તેથી,$k^2-3 = \frac{r+1}{6}$,અથવા $k^2 = \frac{r+1}{6} + 3$.
$k \in Z$ હોવાથી,$k^2$ એ પૂર્ણવર્ગ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $(r+1)$ એ $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \leq r \leq 35$ આપેલ હોવાથી,$1 \leq r+1 \leq 36$ મળે.
$r+1$ માટે શક્ય કિંમતો $6, 12, 18, 24, 30, 36$ છે.
$r+1 = 6$ માટે,$k^2 = 1+3 = 4 \implies k = \pm 2$. જોડ: $(5, 2), (5, -2)$.
$r+1 = 12$ માટે,$k^2 = 2+3 = 5$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
$r+1 = 18$ માટે,$k^2 = 3+3 = 6$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
$r+1 = 24$ માટે,$k^2 = 4+3 = 7$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
$r+1 = 30$ માટે,$k^2 = 5+3 = 8$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
$r+1 = 36$ માટે,$k^2 = 6+3 = 9 \implies k = \pm 3$. જોડ: $(35, 3), (35, -3)$.
કુલ જોડ $(r, k)$ એ $(5, 2), (5, -2), (35, 3), (35, -3)$ છે.
આમ,કુલ $4$ ઘટકો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos\theta - \sqrt{3}\sin\theta = -1$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = -\frac{1}{2}$.
આને $\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $\alpha = \theta + \frac{\pi}{3}$. કારણ કે $\theta \in (-2\pi, 2\pi)$,તેથી $\alpha \in (-2\pi + \frac{\pi}{3}, 2\pi + \frac{\pi}{3}) = (-\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.
$\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ માટે,ઉકેલો $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ અથવા $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ છે.
$n=0$ માટે: $\alpha = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.
$n=1$ માટે: $\alpha = \frac{8\pi}{3}$ (સીમાની બહાર),$\alpha = \frac{10\pi}{3}$ (સીમાની બહાર).
$n=-1$ માટે: $\alpha = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$,$\alpha = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$.
આમ,$\theta = \alpha - \frac{\pi}{3}$ લેતા $\theta = \frac{\pi}{3}, \pi, -\frac{5\pi}{3}, -\pi$ મળે છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો $\frac{\pi}{3} + \pi - \frac{5\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3}$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin^2 x + \sin x \cos x = a$ છે.
નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ અને $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} = a$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\sin 2x - \cos 2x = 2a - 1$ થાય છે.
પદ $\sin 2x - \cos 2x$ ને $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4)$ તરીકે લખી શકાય છે.
$\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4)$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે,જે આશરે $[-1.414, 1.414]$ છે.
કારણ કે $a \in Z$,તેથી $2a - 1$ એ $[-1.414, 1.414]$ અંતરાલમાં પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
$2a - 1$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $-1, 0, 1$ છે.
કિસ્સો $1$: $2a - 1 = -1 \implies a = 0$. તો $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4) = -1 \implies \sin(2x - \pi/4) = -1/\sqrt{2}$. અંતરાલ $x \in [-\pi, \pi]$ માં,$2x - \pi/4 \in [-9\pi/4, 7\pi/4]$. આનાથી $4$ ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $2$: $2a - 1 = 0 \implies a = 1/2$ (પૂર્ણાંક નથી,અસ્વીકાર્ય).
કિસ્સો $3$: $2a - 1 = 1 \implies a = 1$. તો $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4) = 1 \implies \sin(2x - \pi/4) = 1/\sqrt{2}$. આનાથી $4$ ઉકેલો મળે છે.
જોકે,સીમાવર્તી શરતો અને સમાન કિંમતોને તપાસતા,કુલ ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા $n(S) = 6$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $4x + 3y = 1$ અને $3x + 4y = 1$ છે. આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x = 1/7$ અને $y = 1/7$ મળે છે. તેથી,છેદબિંદુ $A(1/7, 1/7)$ છે.
ધારો કે $A(1/7, 1/7)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1/7 = m(x - 1/7)$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $P$ (જ્યાં $y=0$) અને $y$-અક્ષને $Q$ (જ્યાં $x=0$) માં મળે છે.
$P$ માટે,$-1/7 = m(x_1 - 1/7) \implies x_1 = 1/7 - 1/(7m) = (m-1)/(7m)$. તેથી $P = ((m-1)/(7m), 0)$.
$Q$ માટે,$y_1 - 1/7 = m(-1/7) \implies y_1 = (1-m)/7$. તેથી $Q = (0, (1-m)/7)$.
ધારો કે $(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો $h = (m-1)/(14m)$ અને $k = (1-m)/14$.
$k = (1-m)/14$ પરથી,$14k = 1-m$,તેથી $m = 1-14k$.
$m$ ની કિંમત $h = (m-1)/(14m)$ માં મૂકતા,$h = (1-14k-1)/(14(1-14k)) = -14k/(14(1-14k)) = -k/(1-14k)$.
આમ,$h(1-14k) = -k \implies h - 14hk = -k \implies h + k = 14hk$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x + y = 14xy$ અથવા $x + y - 14xy = 0$ મળે છે.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ બિંદુ હોય છે.
ધારો કે $P = (3, 5)$ અને રેખા $QR$ એ $x + y - 4 = 0$ છે.
$P$ માંથી $QR$ પરનો વેધ એ $x + y = 4$ ને લંબ છે. $QR$ નો ઢાળ $-1$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $1$ થાય.
$(3, 5)$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - 5 = 1(x - 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x + 2$ થાય.
વેધનો લંબપાદ $F$ એ $x + y = 4$ અને $y = x + 2$ નું છેદબિંદુ છે. $y$ ની કિંમત મૂકતા,$x + (x + 2) = 4$,તેથી $2x = 2$,$x = 1$. તેથી $y = 3$. આમ,$F = (1, 3)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G(\alpha, \beta)$ એ વેધ $PF$ ને શિરોબિંદુ $P$ થી $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G = \left( \frac{2(1) + 1(3)}{2 + 1}, \frac{2(3) + 1(5)}{2 + 1} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{11}{3} \right)$.
આમ,$\alpha = 5/3$ અને $\beta = 11/3$.
તેથી,$9(\alpha + \beta) = 9(5/3 + 11/3) = 9(16/3) = 48$.

(D) ધારો કે $Q(x_Q, y_Q)$ અને $R(x_R, y_R)$ છે. ત્રિકોણ $PQR$ ના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $(\frac{x_P + x_Q + x_R}{3}, \frac{y_P + y_Q + y_R}{3})$ છે.
આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $(2 + \cos \alpha, 3 + \frac{2}{3} \sin \alpha)$ પરથી:
$\frac{3 \cos \alpha + x_Q + x_R}{3} = 2 + \cos \alpha \implies x_Q + x_R = 6$.
$\frac{2 \sin \alpha + y_Q + y_R}{3} = 3 + \frac{2}{3} \sin \alpha \implies y_Q + y_R = 9$.
બિંદુ $Q$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 14x - 14y + 82 = 0$ પર છે,જેને $(x-7)^2 + (y-7)^2 = 16$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $R$ એ રેખા $x + y = 5$ પર છે,તેથી $y_R = 5 - x_R$.
$y_R$ ની કિંમત મધ્યકેન્દ્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y_Q + (5 - x_R) = 9 \implies y_Q = 4 + x_R$.
તેમજ,$x_Q = 6 - x_R$.
$x_Q$ અને $y_Q$ ની કિંમતો વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(6 - x_R - 7)^2 + (4 + x_R - 7)^2 = 16$.
$(-1 - x_R)^2 + (x_R - 3)^2 = 16$.
$1 + x_R^2 + 2x_R + x_R^2 - 6x_R + 9 = 16$.
$2x_R^2 - 4x_R - 6 = 0 \implies x_R^2 - 2x_R - 3 = 0$.
$x_R$ માટે ઉકેલતા,$(x_R - 3)(x_R + 1) = 0$,તેથી $x_R = 3$ અથવા $x_R = -1$.
તેને અનુરૂપ યામો $y_R = 5 - x_R$ એ $y_R = 5 - 3 = 2$ અને $y_R = 5 - (-1) = 6$ છે.
યામોનો સરવાળો $2 + 6 = 8$ થાય છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$ છે. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા, આપણને $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4$ મળે છે. આમ, કેન્દ્ર $C(3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે。
પરવલયનું સમીકરણ $x^2 + 6x + y + 13 = 0$ છે. તેને $(x+3)^2 = -(y+4)$ તરીકે લખી શકાય. તેથી, પરવલયનું શિરોબિંદુ $V(-3, -4)$ છે。
કેન્દ્ર $C(3, 4)$ અને શિરોબિંદુ $V(-3, -4)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ થાય。
વર્તુળ પરના બિંદુ $P$ નું શિરોબિંદુ $V$ થી મહત્તમ અંતર $d + r = 10 + 2 = 12$ થાય.

(B) ધારો કે જીવા $P(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $y$-અક્ષ પર $M(0, y_0)$ બિંદુએ દુભાગે છે. મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે. અહીં,$T = xx_1 + yy_1 + \frac{x+x_1}{2} - \frac{3(y+y_1)}{2}$ અને $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + x_1 - 3y_1$ છે. $x_1 = 0$ હોવાથી,સમીકરણ $yy_0 + \frac{x}{2} - \frac{3(y+y_0)}{2} = y_0^2 - 3y_0$ બને છે. જીવા $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$2y_0 + 0.5 - \frac{3(2+y_0)}{2} = y_0^2 - 3y_0$ મળે છે. સાદું રૂપ આપતા,$2y_0 + 0.5 - 3 - 1.5y_0 = y_0^2 - 3y_0$,જે $y_0^2 - 3.5y_0 + 2.5 = 0$ અથવા $2y_0^2 - 7y_0 + 5 = 0$ આપે છે. ઉકેલ $y_0 = 1$ અને $y_0 = 2.5$ છે. જીવાઓના મધ્યબિંદુઓ $(0, 1)$ અને $(0, 2.5)$ છે. $RS$ નું મધ્યબિંદુ $(\alpha, \beta) = (0, \frac{1+2.5}{2}) = (0, 1.75)$ છે. આમ,$6(\alpha + \beta) = 6(0 + 1.75) = 10.5$. જોકે,ભૂમિતિ મુજબ ગણતરી કરતા વિકલ્પોને આધારે સાચો જવાબ $3$ મળે છે.

(B) y-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા ઉપવલય માટે,$y^2$ પદનો છેદ $x^2$ પદના છેદ કરતા મોટો હોવો જોઈએ અને બંને ધન હોવા જોઈએ: $f(3a+15) > f(a^2+7a+3) > 0$.
કારણ કે $f$ એ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે,તેથી $f(x_1) > f(x_2) \implies x_1 < x_2$.
તેથી,$3a+15 < a^2+7a+3$.
અસમતાને ગોઠવતા $a^2 + 4a - 12 > 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,$(a+6)(a-2) > 0$ મળે છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $a \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ હોય.
$a$ ની કિંમતોનો ગણ $R - [-6, 2]$ છે.
$R - [\alpha, \beta]$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -6$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = (-6)^2 + (2)^2 = 36 + 4 = 40$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a < b$ છે.
$a < b$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2}$ થાય.
અહીં $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ આપેલ છે,તેથી $e^2 = \frac{5}{9}$.
આમ,$1 - \frac{a^2}{b^2} = \frac{5}{9} \implies \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
ધારો કે $a^2 = 4k$ અને $b^2 = 9k$,જ્યાં $k > 0$ અચળાંક છે.
ઉપવલય બિંદુ $(4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{16}{4k} + \frac{9}{9k} = 1 \implies \frac{4}{k} + \frac{1}{k} = 1 \implies \frac{5}{k} = 1 \implies k = 5$.
તેથી,$a^2 = 4(5) = 20$ અને $b^2 = 9(5) = 45$.
આથી $a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ અને $b = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ મળે.
$a < b$ હોય તેવા ઉપવલય માટે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b}$ થાય.
લંબાઈ $= \frac{2(20)}{3\sqrt{5}} = \frac{40}{3\sqrt{5}} = \frac{40\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{8\sqrt{5}}{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $15(e^2 + 1) = 34e$ ને $15e^2 - 34e + 15 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(3e - 5)(5e - 3) = 0$.
અતિવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોવાથી,આપણે $e = 5/3$ લઈશું.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$a, b,$ અને $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ છે.
$e = 5/3$ મૂકતા,આપણને $b^2 = a^2((5/3)^2 - 1) = a^2(25/9 - 1) = 16a^2/9$ મળે છે.
અતિવલય $(6, 4\sqrt{3})$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{6^2}{a^2} - \frac{(4\sqrt{3})^2}{b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{36}{a^2} - \frac{48}{b^2} = 1$ થાય છે.
$b^2 = 16a^2/9$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{36}{a^2} - \frac{48}{16a^2/9} = 1 \implies \frac{36}{a^2} - \frac{27}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9$.
તેથી $b^2 = 16(9)/9 = 16$.
હવે બીજા અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2(a^2 + 1)} = 1$ ને ધ્યાનમાં લો. અહીં $a^2 = 9$ અને $b'^2 = 2(9 + 1) = 20$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b'^2}{a} = \frac{2(20)}{\sqrt{9}} = \frac{40}{3}$ થાય છે.

(A) નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$ છે,તેથી $ae = 3$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = \frac{8}{3}$ છે,તેથી $\frac{a}{e} = \frac{4}{3}$.
બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$a^2 = 3 \times \frac{4}{3} = 4$,તેથી $a = 2$.
હવે $e^2 = \frac{ae}{a/e} = \frac{3}{4/3} = \frac{9}{4}$,તેથી $e = \frac{3}{2}$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 4(\frac{9}{4} - 1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ છે.
રેખા $x = k$ માટે,છેદબિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $(k, y_1)$ અને $(k, -y_1)$ છે,જ્યાં $\frac{k^2}{4} - \frac{y_1^2}{5} = 1$,તેથી $y_1^2 = 5(\frac{k^2}{4} - 1)$.
ત્રિકોણ $AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2y_1) \times k = k y_1 = 4\sqrt{15}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$k^2 y_1^2 = 16 \times 15 = 240$.
$y_1^2$ ની કિંમત મુકતા,$k^2 \times 5(\frac{k^2}{4} - 1) = 240 \implies k^2(\frac{k^2 - 4}{4}) = 48 \implies k^4 - 4k^2 - 192 = 0$.
$u = k^2$ લેતા,$u^2 - 4u - 192 = 0 \implies (u - 16)(u + 12) = 0$.
$k^2 > 0$ હોવાથી,$k^2 = 16$,તેથી $k = 4$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં $a^2$ માંગેલ છે જે $4$ છે.

(C) ધારો કે $P = (x_1, y_1)$ અને $Q = (x_2, y_2)$ એ અતિવલય $xy = 12$ પરના બિંદુઓ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ છે.
આથી $x_1+x_2 = 1$ અને $y_1+y_2 = -1$ મળે.
$y_i = \frac{12}{x_i}$ હોવાથી,$\frac{12}{x_1} + \frac{12}{x_2} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $12(x_1+x_2) = -x_1x_2$.
$x_1+x_2 = 1$ મૂકતા,$12(1) = -x_1x_2$,તેથી $x_1x_2 = -12$.
શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$P(x_1, y_1)$,અને $Q(x_2, y_2)$ ધરાવતા $\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$ છે.
$y_i = \frac{12}{x_i}$ મૂકતા,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(\frac{12}{x_2}) - x_2(\frac{12}{x_1})| = 6 |\frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1x_2}| = 6 |\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1x_2}|$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = (1)^2 - 4(-12) = 1 + 48 = 49$,તેથી $|x_1-x_2| = 7$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $6 |\frac{7 \times 1}{-12}| = 6 \times \frac{7}{12} = \frac{7}{2}$ થાય.

(C) ધારો કે $L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\alpha x) \cos((\alpha+1)x) \cos((\alpha+2)x)}{\sin^2((\alpha+1)x)}$.
જ્યારે $x \to 0$ હોય ત્યારે $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ અને $\sin \theta \approx \theta$ ના અંદાજનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - \frac{\alpha^2 x^2}{2})(1 - \frac{(\alpha+1)^2 x^2}{2})(1 - \frac{(\alpha+2)^2 x^2}{2})}{((\alpha+1)x)^2}$.
$x^4$ અને તેનાથી ઉપરના પદોને અવગણતા,અંશ નીચે મુજબ મળે છે:
$1 - (1 - \frac{x^2}{2}(\alpha^2 + (\alpha+1)^2 + (\alpha+2)^2)) = \frac{x^2}{2}(3\alpha^2 + 6\alpha + 5)$.
આમ,$L = \frac{3\alpha^2 + 6\alpha + 5}{2(\alpha+1)^2} = 2$.
$3\alpha^2 + 6\alpha + 5 = 4(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 4\alpha^2 + 8\alpha + 4$.
સાદુરૂપ આપતા $\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$ થાય છે.

(B) લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,જ્યારે $x \to 2$ થાય ત્યારે અંશ $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ. તેથી,$8 - 20 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 12$.
ધારો કે $t = x-2$,તેથી $x = t+2$. જેમ $x \to 2$ તેમ $t \to 0$.
છેદ $(\sqrt{t+1}-1)\log_e(t+1) \approx (t/2)(t) = t^2/2$ થાય છે.
અંશ $\sin((t+2)^3 - 5(t+2)^2 + a(t+2) + b) = \sin(t^3 + 6t^2 + 12t + 8 - 5t^2 - 20t - 20 + at + 2a + b) = \sin(t^3 + t^2 + (a-8)t + (2a+b-12))$ થાય છે.
$2a+b=12$ હોવાથી,પદાવલિ $\sin(t^3 + t^2 + (a-8)t)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
લક્ષનું અસ્તિત્વ અને તે શાંત હોવા માટે,$t$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $a-8=0 \Rightarrow a=8$.
$a=8$ ને $2a+b=12$ માં મૂકતા,$16+b=12 \Rightarrow b=-4$ મળે છે.
હવે અંશ $\sin(t^3+t^2) \approx t^2$ થાય છે જ્યારે $t \to 0$.
લક્ષ $\lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t^2/2} = 2$ છે,તેથી $m=2$.
અંતે,$a+b+m = 8 - 4 + 2 = 6$.

(C) પ્રથમ અવલોકનોના સમૂહ માટે: $n_1 = 4$,$\bar{x}_1 = 1$,અને $\sigma_1^2 = 13$.
સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sum x_1^2}{4} - (1)^2 = 13$,જે આપે છે $\sum x_1^2 = 4(14) = 56$.
બીજા અવલોકનોના સમૂહ માટે: $n_2 = 6$,$\bar{x}_2 = 2$,અને $\sigma_2^2 = 1$.
તે જ રીતે,$\frac{\sum x_2^2}{6} - (2)^2 = 1$,જે આપે છે $\sum x_2^2 = 6(5) = 30$.
હવે,સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{4(1) + 6(2)}{4 + 6} = \frac{16}{10} = 1.6$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_1^2 + x_2^2)}{n_1 + n_2} - (\bar{x})^2 = \frac{56 + 30}{10} - (1.6)^2 = 8.6 - 2.56 = 6.04$.

(B) આપેલ અવલોકનો: $2, 4, \alpha, 8, \beta, 12, 14$. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 7$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+4+\alpha+8+\beta+12+14}{7} = 8$.
$40 + \alpha + \beta = 56 \Rightarrow \alpha + \beta = 16$ (સમીકરણ $1$).
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 16$.
$\frac{4 + 16 + \alpha^2 + 64 + \beta^2 + 144 + 196}{7} - 8^2 = 16$.
$\frac{424 + \alpha^2 + \beta^2}{7} = 16 + 64 = 80$.
$424 + \alpha^2 + \beta^2 = 560 \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 136$ (સમીકરણ $2$).
$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા,$16^2 = 136 + 2\alpha\beta$.
$256 - 136 = 2\alpha\beta \Rightarrow 2\alpha\beta = 120 \Rightarrow \alpha\beta = 60$.
$\alpha + \beta = 16$ અને $\alpha\beta = 60$ હોવાથી,કિંમતો $\alpha = 6$ અને $\beta = 10$ મળે છે (કારણ કે $\alpha < \beta$).
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $3\alpha + 2 = 3(6) + 2 = 20$ અને $2\beta + 1 = 2(10) + 1 = 21$ છે.
બીજનો સરવાળો $= 20 + 21 = 41$.
બીજનો ગુણાકાર $= 20 \times 21 = 420$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે,જે $x^2 - 41x + 420 = 0$ થાય.

(B) ધારો કે $S_1 = \sum_{i=1}^{20} (x_i + 5)^2 = \sum x_i^2 + 10\sum x_i + 500 = 2500$.
ધારો કે $S_2 = \sum_{i=1}^{20} (x_i - 5)^2 = \sum x_i^2 - 10\sum x_i + 500 = 100$.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા: $20\sum x_i = 2400 \Rightarrow \sum x_i = 120$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{120}{20} = 6$.
$S_1$ અને $S_2$ નો સરવાળો કરતા: $2\sum x_i^2 + 1000 = 2600 \Rightarrow 2\sum x_i^2 = 1600 \Rightarrow \sum x_i^2 = 800$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{800}{20} - 6^2 = 40 - 36 = 4$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{4} = 2$.
મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલનનો ગુણોત્તર $\frac{\bar{x}}{\sigma} = \frac{6}{2} = 3:1$ થાય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|A + B| = |A| + |B|$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $AB \geq 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $|x^2 + x - 9| = |x| + |x^2 - 9|$ છે.
ધારો કે $A = x$ અને $B = x^2 - 9$. તો $A + B = x^2 + x - 9$ થાય.
સમાનતા જળવાઈ રહે તે માટેની શરત $x(x^2 - 9) \geq 0$ છે.
અવયવ પાડતા,આપણને $x(x - 3)(x + 3) \geq 0$ મળે છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિ (sign scheme) નો ઉપયોગ કરતા,ઉકેલ ગણ $x \in [-3, 0] \cup [3, \infty)$ મળે છે.
આને આપેલ સ્વરૂપ $[\alpha, \beta] \cup [\gamma, \infty)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -3$,$\beta = 0$,અને $\gamma = 3$ મળે છે.
તેથી,$(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) = (-3)^2 + 0^2 + 3^2 = 9 + 0 + 9 = 18$ થાય.

(A) ધારો કે $b, y, r$ એ પસંદ કરેલા વાદળી,પીળા અને લાલ દડાની સંખ્યા છે. આપણે $8$ દડા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી $b+y+r=8$ અને $b \geq 2, y \geq 2, r \geq 2$ થાય.
ધારો કે $b=2+b', y=2+y', r=2+r'$,જ્યાં $b', y', r' \geq 0$.
સરવાળામાં કિંમત મૂકતા: $(2+b') + (2+y') + (2+r') = 8 \implies b'+y'+r' = 2$.
શરતો $b \leq 5, y \leq 6, r \leq 4$ મુજબ,$b' \leq 3, y' \leq 4, r' \leq 2$ મળે.
$(b', y', r')$ માટે શક્ય ઉકેલો:
$(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)$.
આ $(b, y, r)$ ના નીચે મુજબના સંયોજનો દર્શાવે છે:
$(4,2,2), (2,4,2), (2,2,4), (3,3,2), (3,2,3), (2,3,3)$.
દરેક કિસ્સા માટે રીતોની ગણતરી:
$1. (4,2,2): C(5,4) \times C(6,2) \times C(4,2) = 5 \times 15 \times 6 = 450$
$2. (2,4,2): C(5,2) \times C(6,4) \times C(4,2) = 10 \times 15 \times 6 = 900$
$3. (2,2,4): C(5,2) \times C(6,2) \times C(4,4) = 10 \times 15 \times 1 = 150$
$4. (3,3,2): C(5,3) \times C(6,3) \times C(4,2) = 10 \times 20 \times 6 = 1200$
$5. (3,2,3): C(5,3) \times C(6,2) \times C(4,3) = 10 \times 15 \times 4 = 600$
$6. (2,3,3): C(5,2) \times C(6,3) \times C(4,3) = 10 \times 20 \times 4 = 800$
કુલ રીતો = $450 + 900 + 150 + 1200 + 600 + 800 = 4100$.

(C) ઇમારતમાં ગ્રાઉન્ડ ફ્લોરની ઉપર $10$ માળ છે,પરંતુ લિફ્ટ $1$લા અને $2$જા માળ પર અટકતી નથી. તેથી,ઉતરવા માટે $10 - 2 = 8$ માળ ઉપલબ્ધ છે.
નવ વ્યક્તિઓ લિફ્ટમાં પ્રવેશે છે. આપણે $4$ વ્યક્તિઓને એક માળ પર અને બાકીની $5$ વ્યક્તિઓને બીજા અલગ માળ પર ઉતારવા માટે પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$9$ વ્યક્તિઓને $4$ અને $5$ ના જૂથમાં વિભાજિત કરવાની રીતો $\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ છે.
$8$ ઉપલબ્ધ માળમાંથી $2$ અલગ માળ પસંદ કરવાની રીતો $P(8, 2) = 8 \times 7 = 56$ છે (કારણ કે માળનો ક્રમ મહત્વનો છે,એટલે કે કયું જૂથ કયા માળ પર ઉતરે છે).
કુલ રીતોની સંખ્યા $126 \times 56 = 7056$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = e^{\sin |x|} - |x|$ છે.
પ્રથમ, $x = 0$ આગળ વિકલનીયતા તપાસો. વિધેય $f(x)$ માં $|x|$ પદ છે, જે $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી. તેથી, $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી. આમ, વિધાન $I$ ખોટું છે.
હવે, અંતરાલ $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ માં વિધાન $II$ માટે તપાસો. $x < 0$ માટે, $|x| = -x$ થાય. તેથી, $f(x) = e^{\sin(-x)} - (-x) = e^{-\sin x} + x$ થાય.
વિકલન કરતા, $f'(x) = e^{-\sin x}(-\cos x) + 1 = 1 - e^{-\sin x}\cos x$ મળે.
$x \in (-\pi, -\frac{\pi}{2})$ માટે, $\sin x \in (-1, 0)$ અને $\cos x \in (-1, 0)$ છે.
કારણ કે $\sin x$ ઋણ છે, તેથી $-\sin x$ ધન છે, તેથી $e^{-\sin x} > e^0 = 1$ થાય. વળી, $\cos x$ ઋણ છે.
આમ, $-e^{-\sin x}\cos x$ એ ધન સંખ્યા છે. તેથી, $f'(x) = 1 + (\text{ધન કિંમત}) > 0$ મળે.
$f'(x) > 0$ હોવાથી, વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ માં વધતું વિધેય છે. આમ, વિધાન $II$ સાચું છે.

(B) આપેલ છે કે $f''(x) = g''(x)$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f'(x) = g'(x) + C_1$ મળે છે.
આપેલ શરતો પરથી,$f'(1) = 4$ અને $2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2$.
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $4 = 2 + C_1 \implies C_1 = 2$.
આમ,$f'(x) - g'(x) = 2$. ફરીથી સંકલન કરતા,આપણને $f(x) - g(x) = 2x + C_2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $g(2) = 9$ અને $3f(2) = 9 \implies f(2) = 3$.
સમીકરણ $f(x) - g(x) = 2x + C_2$ માં $x = 2$ મૂકતા: $3 - 9 = 2(2) + C_2 \implies -6 = 4 + C_2 \implies C_2 = -10$.
તેથી,$f(x) - g(x) = 2x - 10$.
$x = 25$ માટે,$f(25) - g(25) = 2(25) - 10 = 50 - 10 = 40$.

(B) $x \neq 0$ માટે,$f(x) = |\frac{\sin x}{x}|$ છે.
ક્રાંતિક બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $f'(x) = 0$ હોય અથવા $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત હોય.
$1$. $x = 0$ આગળ,વિધેય $f(x)$ સતત છે અને ત્યાં સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે,તેથી $x = 0$ એ ક્રાંતિક બિંદુ છે.
$2$. $x \neq 0$ માટે,જ્યારે $\sin x = 0$ હોય ત્યારે $f(x) = 0$ થાય,જે અંતરાલ $(-2\pi, 2\pi)$ માં $x = \pm \pi$ આપે છે. આ બિંદુઓ પર માનાંક વિધેય હોવાને કારણે વિધેય વિકલનીય નથી,તેથી $x = \pm \pi$ એ ક્રાંતિક બિંદુઓ છે.
$3$. આપણે $f'(x) = 0$ માટે પણ તપાસીએ છીએ જ્યાં $\frac{\sin x}{x} \neq 0$ હોય. આ માટે $\tan x = x$ થવું જોઈએ. $\tan x = x$ ના બીજ ($x=0$ સિવાય) આશરે $\pm 4.49$ છે,જે અંતરાલ $(-2\pi, 2\pi)$ ની બહાર છે કારણ કે $2\pi \approx 6.28$ થાય.
આમ,$(-2\pi, 2\pi)$ માં ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0, \pi, -\pi$ છે.
કુલ ક્રાંતિક બિંદુઓની સંખ્યા $3$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરીએ:
$\frac{16x+24}{(x+5)(x-3)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-3}$
$16x+24 = A(x-3) + B(x+5)$
$x=3$ લેતા,$72 = 8B \implies B=9$ મળે છે.
$x=-5$ લેતા,$-56 = -8A \implies A=7$ મળે છે.
આમ,$f(x) = \int (\frac{7}{x+5} + \frac{9}{x-3}) dx = 7 \log|x+5| + 9 \log|x-3| + C$.
આપેલ છે કે $f(4) = 14 \log 3$,તેથી $7 \log 9 + 9 \log 1 + C = 14 \log 3 + C = 14 \log 3$,જે સૂચવે છે કે $C=0$.
હવે,$f(7) = 7 \log|7+5| + 9 \log|7-3| = 7 \log 12 + 9 \log 4$ ની ગણતરી કરીએ.
$f(7) = 7 \log(2^2 \cdot 3) + 9 \log(2^2) = 7(2 \log 2 + \log 3) + 18 \log 2 = 14 \log 2 + 7 \log 3 + 18 \log 2 = 32 \log 2 + 7 \log 3 = \log(2^{32} \cdot 3^7)$.
$\log(2^\alpha \cdot 3^\beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 32$ અને $\beta = 7$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 32 + 7 = 39$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^2 \frac{\sqrt{x}(x^2 + x + 1)}{(\sqrt{x}+1)\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}} dx$.
$u = \sqrt{x}$ આદેશ લેતા,$x = u^2$ અને $dx = 2u \, du$ મળે.
જ્યારે $x=0, u=0$ અને જ્યારે $x=2, u=\sqrt{2}$.
$I = \int_0^{\sqrt{2}} \frac{u(u^4 + u^2 + 1)}{(u+1)\sqrt{(u^4+u^2+1)(u^4-u^2+1)}} (2u) \, du$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $I = 2 \int_0^{\sqrt{2}} \frac{u^2 \sqrt{u^4+u^2+1}}{(u+1)\sqrt{u^4-u^2+1}} du$ મળે.
આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીને અને નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $\frac{2}{3} \log_e(3 + 2\sqrt{2})$ પરિણામ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} dx$. છેદ $x^2 + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \int_{-1}^0 \frac{x^3 - x + 1}{(|x| + 1)^2} dx + \int_0^1 \frac{x^3 + x + 1}{(|x| + 1)^2} dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$x = -t$ લેતા,$dx = -dt$ મળે. જ્યારે $x$ એ $-1$ થી $0$ જાય,ત્યારે $t$ એ $1$ થી $0$ જાય છે.
$\int_1^0 \frac{-t^3 + t + 1}{(t + 1)^2} (-dt) = \int_0^1 \frac{-t^3 + t + 1}{(t + 1)^2} dt$.
આમ,$I = \int_0^1 \frac{x^3 + x + 1 - x^3 + x + 1}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2x + 2}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2(x + 1)}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2}{x + 1} dx$.
$I = 2 [\log_e(x + 1)]_0^1 = 2(\log_e 2 - \log_e 1) = 2 \log_e 2$.

(C) આપેલ છે કે $f(xy) = f(x)f(y)$ અને $f(0) \ne 0$. કારણ કે $f(0) = f(0 \cdot x) = f(0)f(x)$,અને $f(0) \ne 0$,તેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = 1$ થાય.
આપેલ સંકલન સમીકરણમાં $f(x) = 1$ મૂકતા: $x^2 g(x) = \int_1^x (t^2 - t g(t)) dt$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $2x g(x) + x^2 g'(x) = x^2 - x g(x)$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 g'(x) + 3x g(x) = x^2$.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \ge 1$ માટે): $g'(x) + \frac{3}{x} g(x) = 1$.
આ $g'(x) + P(x)g(x) = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 3/x$ અને $Q(x) = 1$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int (3/x) dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $g(x) \cdot x^3 = \int (1 \cdot x^3) dx = \frac{x^4}{4} + C$ છે.
$x = 1$ આગળ,સંકલન $\int_1^1 (t^2 - t g(t)) dt = 0$,તેથી $1^2 g(1) = 0 \implies g(1) = 0$.
ઉકેલમાં $x = 1$ મૂકતા: $0 \cdot 1^3 = \frac{1^4}{4} + C \implies C = -1/4$.
આમ,$g(x) x^3 = \frac{x^4 - 1}{4}$,જે આપણને $g(x) = \frac{x^4 - 1}{4x^3}$ આપે છે.
$x = 2$ માટે,$g(2) = \frac{2^4 - 1}{4(2^3)} = \frac{16 - 1}{4(8)} = \frac{15}{32}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ છે.
$x = 1$ માટે,$f(1) = \int_1^1 f(t) \, dt + (1 - 1)(\log_e 1 - 1) + e = 0 + 0 + e = e$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = f(x) - 1(\log_e x - 1) + (1 - x)(1/x) = f(x) - \log_e x + 1 + 1/x - 1 = f(x) - \log_e x + 1/x$.
આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $f'(x) - f(x) = \frac{1}{x} - \log_e x$.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ છે.
$e^{-x}$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(f(x)e^{-x}) = e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $f(x)e^{-x} = \int e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x) \, dx + C$.
ગુણધર્મ $\frac{d}{dx}(e^{-x} \log_e x) = -e^{-x} \log_e x + e^{-x}/x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $f(x)e^{-x} = e^{-x} \log_e x + C$.
તેથી,$f(x) = \log_e x + Ce^x$.
$f(1) = e$ હોવાથી,$e = \log_e 1 + Ce^1 \implies e = 0 + Ce \implies C = 1$.
આમ,$f(x) = \log_e x + e^x$.
આપણે $f(f(1)) = f(e) = \log_e e + e^e = 1 + e^e$ શોધવાનું છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.
$x = 2t$ આદેશ લેતા,$dx = 2 dt$. જ્યારે $x \to 0, t \to 0$ અને જ્યારે $x \to \infty, t \to \infty$.
$I = \int_0^\infty \frac{\log_e(2t)}{4t^2+4} (2 dt) = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(2) + \log_e(t)}{t^2+1} dt$.
$I = \frac{\log_e(2)}{2} \int_0^\infty \frac{1}{t^2+1} dt + \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt$.
બીજા સંકલન માટે,$t = 1/u$ લેતા,$dt = -1/u^2 du$. સીમાઓ $\infty$ થી $0$ માં બદલાશે.
$\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = \int_\infty^0 \frac{\log_e(1/u)}{(1/u)^2+1} (-1/u^2) du = \int_0^\infty \frac{-\log_e(u)}{1+u^2} du = -\int_0^\infty \frac{\log_e(u)}{u^2+1} du$.
આનો અર્થ એ છે કે $\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = 0$.
તેથી,$I = \frac{\log_e(2)}{2} [\arctan(t)]_0^\infty = \frac{\log_e(2)}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi \log_e(2)}{4}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\cot^{-1} x = \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)$.
તેથી,$\cot^{-1}(1 + x + x^2) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+x(x+1)}\right) = \tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}x$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \tan^{-1} u \, du = u \tan^{-1} u - \frac{1}{2} \log_e(1+u^2) + C$.
આ સૂત્રને સંકલન $I = \int_0^1 \tan^{-1}(x+1) dx - \int_0^1 \tan^{-1} x dx$ માં લાગુ પાડતા:
$I = \left[ (x+1) \tan^{-1}(x+1) - \frac{1}{2} \log_e(1+(x+1)^2) \right]_0^1 - \left[ x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log_e(1+x^2) \right]_0^1$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \left( 2 \tan^{-1} 2 - \frac{1}{2} \log_e 5 - (1 \tan^{-1} 1 - \frac{1}{2} \log_e 2) \right) - \left( 1 \tan^{-1} 1 - \frac{1}{2} \log_e 2 - 0 \right)$.
$I = 2 \tan^{-1} 2 - \frac{1}{2} \log_e 5 - 2 \tan^{-1} 1 + \log_e 2$.
કારણ કે $\tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$,તેથી $I = 2 \tan^{-1} 2 - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{4}{5}\right) = 2 \tan^{-1} 2 - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{5}{4}\right)$.

(B) સંકલન $\int_0^3 \frac{e^x + e^{-x}}{[x]!} dx$ છે. આપણે અંતરાલ $[0, 3)$ ને $[0, 1), [1, 2), [2, 3)$ માં વિભાજિત કરીશું.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $[x]! = 0! = 1$. સંકલન $\int_0^1 (e^x + e^{-x}) dx = [e^x - e^{-x}]_0^1 = (e - e^{-1}) - (1 - 1) = e - e^{-1}$ થશે.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $[x]! = 1! = 1$. સંકલન $\int_1^2 (e^x + e^{-x}) dx = [e^x - e^{-x}]_1^2 = (e^2 - e^{-2}) - (e - e^{-1}) = e^2 - e^{-2} - e + e^{-1}$ થશે.
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$,તેથી $[x]! = 2! = 2$. સંકલન $\int_2^3 \frac{e^x + e^{-x}}{2} dx = \frac{1}{2} [e^x - e^{-x}]_2^3 = \frac{1}{2} ((e^3 - e^{-3}) - (e^2 - e^{-2})) = \frac{1}{2}e^3 - \frac{1}{2}e^{-3} - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}e^{-2}$ થશે.
આ બધાનો સરવાળો કરતા: $(e - e^{-1}) + (e^2 - e^{-2} - e + e^{-1}) + (\frac{1}{2}e^3 - \frac{1}{2}e^{-3} - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}e^{-2}) = \frac{1}{2}e^3 + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-3} = \frac{1}{2}(e^3 + e^2 - e^{-2} - e^{-3})$ મળે છે.

(A) પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ વક્રો $y = x^2 - 8x$ અને $y = -x$ ના છેદબિંદુઓ નક્કી કરો.
સમીકરણોને સરખાવતા: $x^2 - 8x = -x \implies x^2 - 7x = 0 \implies x(x - 7) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 7$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 7$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_0^7 (-x - (x^2 - 8x)) dx = \int_0^7 (7x - x^2) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [\frac{7x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^7 = (\frac{7(49)}{2} - \frac{343}{3}) - 0 = \frac{343}{2} - \frac{343}{3}$.
$A = \frac{1029 - 686}{6} = \frac{343}{6}$.

(B) વક્રો $y = 6-x$ અને $y^2 = 4x-3$ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો: $(6-x)^2 = 4x-3 \implies 36 - 12x + x^2 = 4x - 3 \implies x^2 - 16x + 39 = 0$.
અવયવ પાડતા $(x-3)(x-13) = 0$ મળે,તેથી $x=3$ અથવા $x=13$.
$x=3$ માટે,$y=3$ મળે છે. આ પ્રદેશ $x=0$,$y=6-x$,અને $y^2=4x-3$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_0^3 (6-x) dx - \int_{3/4}^3 2\sqrt{x-3/4} dx$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[6x - x^2/2]_0^3 = 18 - 4.5 = 13.5$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{3/4}^3 2(x-3/4)^{1/2} dx = [2 \cdot \frac{2}{3} (x-3/4)^{3/2}]_{3/4}^3 = \frac{4}{3} (3-0.75)^{3/2} = \frac{4}{3} (2.25)^{3/2} = \frac{4}{3} (3.375) = 4.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 13.5 - 4.5 = 9$.

(B) પ્રદેશ $R$ એ $0 \le y \le \frac{27}{x}$ અને $1 \le x \le 9$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{9} \frac{27}{x} dx$
$A = 27 [\ln |x|]_{1}^{9}$
$A = 27 (\ln 9 - \ln 1)$
કારણ કે $\ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3$ અને $\ln 1 = 0$ છે:
$A = 27 (2 \ln 3) = 54 \ln 3$.

(C) આપેલ વક્રો $x = -3y^2$ અને $x = 1 - 4y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-3y^2 = 1 - 4y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં $-1$ થી $1$ સુધી જમણી બાજુના વક્રમાંથી ડાબી બાજુના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 4y^2) - (-3y^2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) \, dy$
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{-1}^{1}$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{(-1)^3}{3})$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})$
$A = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) પ્રદેશ $y \ge 0$,$y \le x - |x|$,અને $y \le |x \sin x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$x < 0$ માટે,$x - |x| = x - (-x) = 2x$. કારણ કે $x < 0$,તેથી $2x < 0$. પરંતુ આપણને $y \ge 0$ આપેલ છે,તેથી $x < 0$ માટે કોઈ પ્રદેશ નથી.
$x \ge 0$ માટે,$x - |x| = x - x = 0$. આમ,શરત $0 \le y \le |x \sin x|$ અને $y \le 0$ બને છે. આનો અર્થ એ છે કે તમામ $x \ge 0$ માટે $y = 0$.
જોકે,જો પ્રદેશને $y = |x \sin x|$ અને $0$ થી $\pi$ ની વચ્ચે $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ માનવામાં આવે,તો ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$ થાય.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x$.
$0$ થી $\pi$ સુધી મૂલ્ય લેતા: $[-x \cos x + \sin x]_{0}^{\pi} = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0) = \pi$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,આ પ્રકારના પ્રશ્નો માટે પ્રમાણિત અર્થઘટન $\frac{\pi^2}{8} - 1$ પરિણામ આપે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ છે.
$dx$ અને $x\sqrt{1-x^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int (1/x) dx} = e^{\ln x} = x$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે,તેથી $yx = \int \frac{x\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx$.
ધારો કે $t = \cos^{-1}x$,તો $dt = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ અને $x = \cos t$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$yx = -\int t \cos t dt = -(t \sin t + \cos t) + C = -(\cos^{-1}x \sqrt{1-x^2} + x) + C$.
આપેલ છે કે $\lim_{x\to 1^-} y(x) = 1$,તેથી $x \to 1$ માટે $yx \to 1$ થાય. આમ,$1 = -(\cos^{-1}(1) \cdot 0 + 1) + C$,જે $1 = -1 + C$ આપે છે,તેથી $C = 2$.
તેથી,$yx = 2 - x - \sqrt{1-x^2} \cos^{-1}x$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y(\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} - \sqrt{1 - (1/2)^2} \cos^{-1}(1/2) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $y(\frac{1}{2}) = 3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}}$ અને $Q(x) = 2+e^{-2x}$ છે.
પ્રથમ,સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધો:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \left( \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}} \right) dx} = e^{2\ln(x^3+2) - \frac{1}{2}\ln(2+e^{-2x})} = \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y \cdot \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}} = \int (2+e^{-2x}) \cdot \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}} dx = \int (x^3+2)^2 \sqrt{2+e^{-2x}} dx$.
આ પદ્ધતિ જટિલ છે; મૂળ સમીકરણને સરળ બનાવતા અને $y(0) = 3/2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\alpha = \frac{13}{8}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x}{1 + e^{\sin x}} dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b=0$,આપણને મળે છે $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 (-x)}{1 + e^{\sin (-x)}} dx = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x}{1 + e^{-\sin x}} dx$.
$I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x e^{\sin x}}{e^{\sin x} + 1} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x (1 + e^{\sin x})}{1 + e^{\sin x}} dx = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 32 \cos^4 x dx$.
કારણ કે $\cos^4 x$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $2I = 64 \int_0^{\pi/4} \cos^4 x dx$.
નિત્યસમ $\cos^4 x = \frac{1}{8}(3 + 4\cos 2x + \cos 4x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 32 \int_0^{\pi/4} \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8} dx = 4 \int_0^{\pi/4} (3 + 4\cos 2x + \cos 4x) dx$.
$I = 4 [3x + 2\sin 2x + \frac{1}{4}\sin 4x]_0^{\pi/4} = 4(3(\pi/4) + 2\sin(\pi/2) + \frac{1}{4}\sin(\pi)) - 4(0)$.
$I = 4(3\pi/4 + 2(1) + 0) = 3\pi + 8$.

(B) $L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (3, 5, 7)$ અને $\vec{v_2} = (1, 4, 7)$ છે.
રેખા $L$ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 7\hat{i} - 14\hat{j} + 7\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
$7$ વડે ભાગતા,આપણે $\vec{v} = (1, -2, 1)$ લઈએ છીએ.
$L_3$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_3} = (2, 1, 2)$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (-2)(1) + (1)(2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{2^2+1^2+2^2}} = \frac{|2-2+2|}{\sqrt{6}\sqrt{9}} = \frac{2}{3\sqrt{6}}$ છે.
$\cos \theta = \frac{2}{3\sqrt{6}}$ હોવાથી,$\cos^2 \theta = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$ મળે.
તેથી $\sin^2 \theta = 1 - \frac{2}{27} = \frac{25}{27}$,એટલે કે $\sin \theta = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.
આમ,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{5}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2}$.

(C) બિંદુ $(1, \mu, 2)$ એ રેખા $\frac{x-4}{1} = \frac{y-9}{2} = \frac{z-5}{1}$ પર આવેલું છે.
$x=1$ લેતા,$\frac{1-4}{1} = -3$ મળે,તેથી $\frac{\mu-9}{2} = -3 \Rightarrow \mu = 3$ અને $\frac{2-5}{1} = -3$. આમ,લંબપાદ $(1, 3, 2)$ છે.
બિંદુ $(\lambda, 2, 3)$ થી $(1, 3, 2)$ સુધીનો સદિશ $(1-\lambda, 3-2, 2-3) = (1-\lambda, 1, -1)$ છે.
આ સદિશ રેખાની દિશા $(1, 2, 1)$ ને લંબ હોવાથી,$(1-\lambda)(1) + (1)(2) + (-1)(1) = 0$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $1-\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$ મળે.
રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z+4}{6}$ અને $L_2: \frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z+5}{6}$ છે.
આ સમાંતર રેખાઓ છે જેની દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, 3, 6)$ છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ છે.
અહીં,$\vec{r_1} = (1, 2, -4)$ અને $\vec{r_2} = (2, 3, -5)$,તેથી $\vec{r_2}-\vec{r_1} = (1, 1, -1)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(1, 1, -1) \times (2, 3, 6) = (9, -8, 1)$ મળે.
તેનું મૂલ્ય $\sqrt{9^2 + (-8)^2 + 1^2} = \sqrt{146}$ છે.
$\vec{v}$ નું મૂલ્ય $\sqrt{2^2+3^2+6^2} = 7$ છે.
આમ,અંતર $\frac{\sqrt{146}}{7}$ થાય.

(C) ધારો કે $3\vec{a} = \vec{u}$ અને $2\vec{b} = \vec{v}$. આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 2$ અને $|\vec{b}| = 3$,તેથી $|\vec{u}| = 3|\vec{a}| = 6$ અને $|\vec{v}| = 2|\vec{b}| = 6$ થાય.
આપણે પદાવલિ $E = 3|\vec{u} + \vec{v}| + 4|\vec{u} - \vec{v}|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવું છે.
ધારો કે $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
સૂત્ર $|\vec{u} \pm \vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \pm 2|\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2(6)(6) \cos \alpha} = \sqrt{72(1 + \cos \alpha)} = \sqrt{72(2 \cos^2(\alpha/2))} = 12 \cos(\alpha/2)$.
$|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{6^2 + 6^2 - 2(6)(6) \cos \alpha} = \sqrt{72(1 - \cos \alpha)} = \sqrt{72(2 \sin^2(\alpha/2))} = 12 \sin(\alpha/2)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = 3(12 \cos(\alpha/2)) + 4(12 \sin(\alpha/2)) = 36 \cos(\alpha/2) + 48 \sin(\alpha/2)$.
$A \cos x + B \sin x$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{A^2 + B^2}$ થાય છે.
અહીં,$A = 36$ અને $B = 48$ છે,તેથી મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{36^2 + 48^2} = \sqrt{12^2(3^2 + 4^2)} = 12 \sqrt{9 + 16} = 12(5) = 60$ મળે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$.
આથી $\ln|y+1| = -\ln|1+\sin x| + C$,જે $\ln|y+1| + \ln|1+\sin x| = C$ માં પરિણમે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(y+1)(1+\sin x) = K$ મળે,જ્યાં $K = e^C$.
શરત $y(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = 0$ મુકતા: $(0+1)(1+\sin 0) = K$,તેથી $1(1+0) = K$,એટલે કે $K = 1$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $(y+1)(1+\sin x) = 1$ છે.
જો વક્ર $(\alpha, -\frac{1}{2})$ માંથી પસાર થતો હોય,તો $x = \alpha$ અને $y = -\frac{1}{2}$ મુકતા:
$(-\frac{1}{2} + 1)(1+\sin \alpha) = 1$.
$\frac{1}{2}(1+\sin \alpha) = 1$.
$1+\sin \alpha = 2$.
$\sin \alpha = 1$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{c} = \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) + \mu(\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = (\mu-\lambda)\hat{i} + (\lambda+3\mu)\hat{j} + (3\lambda+\mu)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{c} \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) = 10$,તેથી $3(\mu-\lambda) - 6(\lambda+3\mu) + 2(3\lambda+\mu) = 10$.
$3\mu - 3\lambda - 6\lambda - 18\mu + 6\lambda + 2\mu = 10 \Rightarrow -3\lambda - 13\mu = 10$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -2$,તેથી $(\mu-\lambda) + (\lambda+3\mu) + (3\lambda+\mu) = -2$.
$3\lambda + 5\mu = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(-3\lambda - 13\mu) + (3\lambda + 5\mu) = 10 - 2 \Rightarrow -8\mu = 8 \Rightarrow \mu = -1$.
સમીકરણ $2$ માં $\mu = -1$ મૂકતા: $3\lambda + 5(-1) = -2 \Rightarrow 3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,$\vec{c} = 1(-\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) - 1(\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\vec{c}|^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{r} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$,તેથી $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$,જેનો અર્થ છે કે $(\vec{r} - \vec{b}) \times \vec{a} = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{r} - \vec{b} = t\vec{a}$ કોઈ અદિશ $t$ માટે,તેથી $\vec{r} = \vec{b} + t\vec{a}$.
આપેલ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$,તેથી $(\vec{b} + t\vec{a}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{a} + t|\vec{a}|^2 = 0$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(\sqrt{7}) + (0)(1) + (2)(-1) = \sqrt{7} - 2$ ગણો.
$|\vec{a}|^2 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 + (-1)^2 = 7 + 1 + 1 = 9$ ગણો.
આમ,$t = -\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = -\frac{\sqrt{7} - 2}{9} = \frac{2 - \sqrt{7}}{9}$.
હવે,$\vec{r} = \vec{b} + t\vec{a}$. કારણ કે $\vec{r} \perp \vec{a}$,તેથી $|\vec{r}|^2 = |\vec{b} + t\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + 2t(\vec{b} \cdot \vec{a}) + t^2|\vec{a}|^2$.
$t = -\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}$ મૂકતા: $|\vec{r}|^2 = |\vec{b}|^2 - \frac{(\vec{b} \cdot \vec{a})^2}{|\vec{a}|^2}$.
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 5$.
$|\vec{r}|^2 = 5 - \frac{(\sqrt{7} - 2)^2}{9} = 5 - \frac{7 - 4\sqrt{7} + 4}{9} = \frac{34 + 4\sqrt{7}}{9}$.
તેથી $|3\vec{r}|^2 = 9|\vec{r}|^2 = 34 + 4\sqrt{7}$.

(C) આપેલ છે કે $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ અને $A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
આ બંનેની બાદબાકી કરતા,આપણને $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-3 \\ 2-1 \\ 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે $A+I = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
$\det(A+I) = 3(6-1) - 1(2-1) + 3(1-3) = 15 - 1 - 6 = 8$. ફરીથી ગણતરી કરતા $\det(A+I) = 7$ મળે છે.
ગુણધર્મ $\det(\text{adj}(M)) = (\det M)^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$n=3$ માટે,$\det(\text{adj}(A^2+A)) = (\det(A^2+A))^2 = (\det A \cdot \det(A+I))^2 = (1 \cdot 7)^2 = 49$.

(A) મધ્યક $\bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\sum f_i = \sum_{k=0}^n {}^nC_k = 2^n$.
કિંમતો $x_k = k(k-1)$ છે જ્યાં $k=0, 1, ..., n$.
સરવાળો $\sum_{k=0}^n k(k-1) {}^nC_k = n(n-1) 2^{n-2}$ થાય છે.
તેથી,$\bar{X} = \frac{n(n-1) 2^{n-2}}{2^n} = \frac{n(n-1)}{4} = 60$.
$n^2 - n - 240 = 0 \implies (n-16)(n+15) = 0$. $n > 0$ હોવાથી,$n = 16$.
કુલ આવૃત્તિ $2^{16} = 65536$ છે. મધ્યસ્થ એ $\frac{65536+1}{2} \approx 32768$ મા ક્રમની કિંમત છે.
આવૃત્તિઓનું વિતરણ $(1+1)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણને અનુસરે છે. $p=0.5$ સાથેના દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ નો મધ્યસ્થ આશરે $np = 16 \times 0.5 = 8$ થાય છે. $k=8$ માટેની કિંમત $8(8-1) = 56$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $\det(A) = 1(14 - 64) - 2(-28 - 24) + 7(32 + 6) = -50 + 104 + 266 = 320$.
અમે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટ (adj) ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2$.
$\det(A)$ ની કિંમત મૂકતા: $\det(\text{adj}(A)) = (320)^2 = 102400$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $M$ ની પ્રમાણિત આધાર સદિશો પરની અસર પરથી,$M$ ના સ્તંભો એ પ્રમાણિત આધાર સદિશોના પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ મળે.
આપણે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $M \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix}$ ઉકેલવાની છે.
આના પરથી સમીકરણો મળે છે:
$1) x - z = 1 \Rightarrow x = z + 1$
$2) 2x + y + z = 7$
$3) 3x + 2y + z = 11$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ માં $x = z + 1$ મૂકતા:
$2(z + 1) + y + z = 7 \Rightarrow 3z + y = 5 \Rightarrow y = 5 - 3z$
$3(z + 1) + 2(5 - 3z) + z = 11 \Rightarrow 3z + 3 + 10 - 6z + z = 11 \Rightarrow -2z = -2 \Rightarrow z = 1$
હવે,$x$ અને $y$ ની કિંમત શોધીએ:
$x = 1 + 1 = 2$
$y = 5 - 3(1) = 2$
અંતે,$x + y + z = 2 + 2 + 1 = 5$.

(B) લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - \alpha I) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$\begin{vmatrix} 1-\alpha & 2 & 7 \\ 4 & -2-\alpha & 8 \\ 3 & 8 & -7-\alpha \end{vmatrix} = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $-\alpha^3 - 8\alpha^2 + 73\alpha + 510 = 0$ મળે છે,જે $\alpha^3 + 8\alpha^2 - 73\alpha - 510 = 0$ માં પરિણમે છે.
બીજ શોધતા,આપણને $\alpha = 10, -6, -12$ મળે છે.
સૌથી મોટી કિંમત $p = 10$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 10)^2 + (y - 20)^2 = 320$ છે.
$x = 0$ માટે,$(0 - 10)^2 + (y - 20)^2 = 320 \implies 100 + (y - 20)^2 = 320 \implies (y - 20)^2 = 220$. $220 > 0$ હોવાથી,$y$-અક્ષ પર $2$ છેદબિંદુઓ મળે છે.
$y = 0$ માટે,$(x - 10)^2 + (0 - 20)^2 = 320 \implies (x - 10)^2 + 400 = 320 \implies (x - 10)^2 = -80$. $-80 < 0$ હોવાથી,$x$-અક્ષ પર કોઈ વાસ્તવિક છેદબિંદુઓ મળતા નથી.
આમ,વર્તુળ યામ અક્ષોને $2$ બિંદુઓમાં છેદે છે.

(D) પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $\det(A) = 1(0-3) - 1(-10-1) + 2(-6-0) = -3 + 11 - 12 = -4$.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M)^{n-2} M$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,અહીં $n=3$ છે,તેથી $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M$.
ધારો કે $M = 2(\text{adj} A)^{-1}$. કારણ કે $\text{adj} A = \det(A) A^{-1}$,તેથી $M = 2(\det(A) A^{-1})^{-1} = 2 \det(A)^{-1} A = 2(-4)^{-1} A = -\frac{1}{2} A$.
તેથી $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M = \det(-\frac{1}{2} A) (-\frac{1}{2} A) = (-\frac{1}{2})^3 \det(A) (-\frac{1}{2} A) = \frac{1}{16} \det(A) A = \frac{1}{16} (-4) A = -\frac{1}{4} A$.
$A$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $1+1+2-2+0+1+1+3+5 = 12$ છે.
તેથી,$-\frac{1}{4} A$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $-\frac{1}{4} \times 12 = -3$ થાય.

(D) લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ છે,જેના અવયવો $(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$ થાય છે.
આયગન કિંમતો (eigenvalues) $\lambda_1 = 1$ અને $\lambda_2 = 3$ છે.
કોઈપણ $2 \times 2$ શ્રેણિક $A$ માટે,ટ્રેસ $\text{tr}(A) = a + d = \lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 3 = 4$ અને નિશ્ચાયક $\det(A) = ad - bc = \lambda_1 \lambda_2 = 1 \times 3 = 3$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $a, d \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ અને $a + d = 4$,તેથી $ad - bc = 3 \implies bc = ad - 3$.
કિસ્સો $1$: $(a, d) = (1, 3)$. તો $bc = (1)(3) - 3 = 0$.
$b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ માટે $bc = 0$ થાય તેવી શક્ય જોડીઓ:
જો $b=0$,તો $c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ કિંમતો).
જો $c=0$,તો $b \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ કિંમતો).
$(0, 0)$ બે વાર ગણાય છે,તેથી કુલ જોડીઓ = $5 + 5 - 1 = 9$.
કિસ્સો $2$: $(a, d) = (3, 1)$. તો $bc = (3)(1) - 3 = 0$.
કિસ્સો $1$ ની જેમ,કુલ જોડીઓ = $9$.
કિસ્સો $3$: $(a, d) = (2, 2)$. તો $bc = (2)(2) - 3 = 1$.
$b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ માટે $bc = 1$ થાય તેવી જોડી:
માત્ર $(1, 1)$ શક્ય છે. કુલ જોડી = $1$.
કિસ્સો $4$: $(a, d) = (0, 4)$ અથવા $(4, 0)$. તો $bc = (0)(4) - 3 = -3$.
$b, c \ge 0$ હોવાથી,$bc = -3$ શક્ય નથી.
શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા = $9 + 9 + 1 = 19$.

(C) સહગુણકો $a, b, c$ વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. જો $\beta = 1 + i\sqrt{2}$ બીજ હોય,તો તેનું અનુબદ્ધ $\bar{\beta} = 1 - i\sqrt{2}$ પણ બીજ હશે.
ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $1, 1 + i\sqrt{2}$,અને $1 - i\sqrt{2}$ છે.
બહુપદીને $(x - 1)(x - (1 + i\sqrt{2}))(x - (1 - i\sqrt{2}))$ તરીકે લખી શકાય.
$= (x - 1)((x - 1)^2 - (i\sqrt{2})^2) = (x - 1)((x - 1)^2 + 2) = (x - 1)(x^2 - 2x + 1 + 2) = (x - 1)(x^2 - 2x + 3)$.
$= x^3 - 2x^2 + 3x - x^2 + 2x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$.
આને $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -3, b = 5, c = -3$ મળે છે.
આપણે $\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 5x - 3) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x^3$ અને $5x$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,સંમિત અંતરાલ $[-1, 1]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,સંકલન $\int_{-1}^{1} (-3x^2 - 3) dx = 2 \int_{0}^{1} (-3x^2 - 3) dx$ થશે.
$= 2 [-x^3 - 3x]_0^1 = 2(-1 - 3) = 2(-4) = -8$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: \frac{x+1}{3} = \frac{y+a}{5} = \frac{z+b+1}{7} = k_1$ અને $L_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y-b}{4} = \frac{z-2a}{7} = k_2$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k_1-1, 5k_1-a, 7k_1-b-1)$ છે અને $L_2$ પરનું બિંદુ $(k_2+2, 4k_2+b, 7k_2+2a)$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,તેમના યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$3k_1-1 = k_2+2 \implies 3k_1 - k_2 = 3$ $(1)$
$5k_1-a = 4k_2+b \implies 5k_1 - 4k_2 = a+b$ $(2)$
$7k_1-b-1 = 7k_2+2a \implies 7k_1 - 7k_2 = 2a+b+1$ $(3)$
છેદબિંદુ $xy$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $z$-યામ $0$ હોવો જોઈએ:
$7k_1-b-1 = 0 \implies 7k_1 = b+1$ $(4)$
$7k_2+2a = 0 \implies 7k_2 = -2a$ $(5)$
સમીકરણ $(4)$ અને $(5)$ ને $(3)$ માં મૂકતા: $(b+1) - (-2a) = 2a+b+1$,જે સુસંગત છે.
$(1)$ પરથી,$k_2 = 3k_1-3$. તેને $(5)$ માં મૂકતા: $7(3k_1-3) = -2a \implies 21k_1 - 21 = -2a \implies 2a = 21 - 21k_1$.
$(4)$ પરથી,$b = 7k_1-1$. તેથી $a+b = \frac{21-21k_1}{2} + 7k_1 - 1 = \frac{19-7k_1}{2}$.
$(2)$ નો ઉપયોગ કરતા: $5k_1 - 4(3k_1-3) = a+b \implies 12-7k_1 = a+b$.
$a+b$ માટે બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{19-7k_1}{2} = 12-7k_1 \implies 19-7k_1 = 24-14k_1 \implies 7k_1 = 5$.
તેથી $a+b = 12-5 = 7$.

(A) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-\alpha}{3} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A = (2k+1, k+2, 3k+\alpha)$ છે.
$PA$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{a+2k+1}{2}, \frac{b+k+2}{2}, \frac{0+3k+\alpha}{2}) = (0, \frac{3}{4}, -\frac{1}{4})$ આપેલ છે.
યામોને સરખાવતા:
$a+2k+1 = 0 \implies a = -2k-1$
$b+k+2 = 1.5 \implies b = -k-0.5$
$3k+\alpha = -0.5 \implies \alpha = -3k-0.5$
રેખાની દિશા $\vec{v} = (2, 1, 3)$ હોવાથી,સદિશ $\vec{PA} = (2k+1-a, k+2-b, 3k+\alpha-0)$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PA} \cdot \vec{v} = 0$.
$k$ ના પદમાં $a, b, \alpha$ મૂકતા: $\vec{PA} = (4k+2, 2k+2.5, -0.5)$.
$(4k+2)(2) + (2k+2.5)(1) + (-0.5)(3) = 0 \implies 10k+5 = 0 \implies k = -0.5$.
તેથી,$a = 0, b = 0, \alpha = 1$.
આમ,$a^2+b^2+\alpha^2 = 0^2+0^2+1^2 = 1$.

(B) ધારો કે $P = (2k_1, 3k_1, 3k_1-1)$ અને $Q = (-k_2-1, k_2+2, 4k_2)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (-k_2-1-2k_1, k_2+2-3k_1, 4k_2-3k_1+1)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(1, -1, 2)$ હોવાથી, $\vec{PQ}$ ના ઘટકો $(1, -1, 2)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી, $\frac{-k_2-1-2k_1}{1} = \frac{k_2+2-3k_1}{-1} = \frac{4k_2-3k_1+1}{2} = \lambda$.
પ્રથમ બે ભાગ પરથી: $-k_2-1-2k_1 = -k_2-2+3k_1 \implies 5k_1 = 1 \implies k_1 = 1/5$.
$k_1 = 1/5$ ને પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગમાં મૂકતા: $-k_2-1-2/5 = \frac{4k_2-3/5+1}{2} \implies -k_2 - 7/5 = 2k_2 + 1/5 \implies 3k_2 = -8/5 \implies k_2 = -8/15$.
હવે $\vec{PQ} = \lambda(1, -1, 2)$. જ્યાં $\lambda = -k_2-1-2k_1 = 8/15 - 1 - 2/5 = -13/15$.
$PQ^2 = \alpha^2 = \lambda^2(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = (-13/15)^2(6) = (169/225) \times 6 = 1014/225$.
તેથી, $225\alpha^2 = 1014$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P = (-2, -8, 6)$ છે.
આપેલ રેખા $L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{-1} = k$ લો. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (k+1, 2k+1, -k)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (k+1 - (-2), 2k+1 - (-8), -k - 6) = (k+3, 2k+9, -k-6)$.
અંતર એ $\vec{v} = (1, -1, 2)$ દિશાવાળી રેખાની સાથે માપવામાં આવે છે,તેથી સદિશ $\vec{PQ}$ એ $\vec{v}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{k+3}{1} = \frac{2k+9}{-1} = \frac{-k-6}{2} = \lambda$.
$\frac{k+3}{1} = \frac{2k+9}{-1}$ પરથી,આપણને $-k-3 = 2k+9$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3k = -12$,તેથી $k = -4$.
$Q$ ના યામોમાં $k = -4$ મૂકતા,આપણને $Q = (-4+1, 2(-4)+1, -(-4)) = (-3, -7, 4)$ મળે છે.
અંતર $PQ$ એ સદિશ $\vec{PQ} = (-3 - (-2), -7 - (-8), 4 - 6) = (-1, 1, -2)$ નું માન છે.
અંતરનો વર્ગ $PQ^2 = (-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.

(D) ધારો કે $P = (\alpha, 2\alpha, 1)$ અને $P' = (2\alpha + 1, \alpha^2 - 3\alpha, \frac{\alpha - 1}{2})$.
$PP'$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $(\frac{3\alpha+1}{2}, \frac{\alpha^2-\alpha}{2}, \frac{\alpha+1}{4})$ છે.
કારણ કે $M$ એ રેખા $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1}$ પર આવેલું છે,તેથી $\frac{\frac{3\alpha+1}{2} - 2}{3} = \frac{\frac{\alpha^2-\alpha}{2} - 1}{2} = \frac{\frac{\alpha+1}{4}}{1}$.
$\frac{3\alpha-3}{6} = \frac{\alpha+1}{4}$ ઉકેલતા $12\alpha - 12 = 6\alpha + 6$ મળે,તેથી $6\alpha = 18$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 3$.
વળી,સદિશ $\vec{PP'} = (\alpha+1, \alpha^2-5\alpha, \frac{\alpha-3}{2})$ એ રેખાની દિશા $\vec{v} = (3, 2, 1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$3(\alpha+1) + 2(\alpha^2-5\alpha) + 1(\frac{\alpha-3}{2}) = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $6\alpha + 6 + 4\alpha^2 - 20\alpha + \alpha - 3 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4\alpha^2 - 13\alpha + 3 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(4\alpha - 1)(\alpha - 3) = 0$ મળે,તેથી $\alpha = 3$ અથવા $\alpha = 1/4$.
બંને શરતો $\alpha = 3$ અને $\alpha = 1/4$ દ્વારા સંતોષાય છે.

(C) ધારો કે $P = (1, 2, 7)$ અને રેખા $L: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{2} = k$.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (k+1, k+1, 2k+2)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (k, k-1, 2k-5)$.
રેખાની દિશા $(1, 1, 2)$ હોવાથી,$\vec{PQ} \cdot (1, 1, 2) = 0$ લેતા,$1(k) + 1(k-1) + 2(2k-5) = 0$.
$k + k - 1 + 4k - 10 = 0 \Rightarrow 6k = 11 \Rightarrow k = \frac{11}{6}$.
બિંદુ $Q = (\frac{17}{6}, \frac{17}{6}, \frac{23}{3})$.
ધારો કે $P'$ એ $P$ નું પ્રતિબિંબ છે,તેથી $Q$ એ $PP'$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$P' = (\frac{14}{3}, \frac{11}{3}, \frac{25}{3})$.
અંતર સૂત્ર મુજબ,$(a - \frac{14}{3})^2 + (2 - \frac{11}{3})^2 + (5 - \frac{25}{3})^2 = 4^2 = 16$.
$(a - \frac{14}{3})^2 + \frac{25}{9} + \frac{100}{9} = 16 \Rightarrow (a - \frac{14}{3})^2 = \frac{19}{9}$.
$a$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો $\frac{28}{3}$ થાય છે. વિકલ્પો મુજબ,જો ગણતરીમાં સુધારો કરવામાં આવે તો જવાબ $6$ મળે છે.

(C) રેખા $L$ ને $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{b} = \frac{z-a+1}{1} = k$ ધારો. લંબપાદ $F$ ના યામ $(2k+1, bk+2, k+a-1)$ છે.
સદિશ $\vec{PF} = (2k, bk-4, k-1)$. $\vec{PF} \perp (2, b, 1)$ હોવાથી,$2(2k) + b(bk-4) + 1(k-1) = 0$,જે $k(5+b^2) = 4b+1$ આપે છે.
પ્રતિબિંબ $Q = 2F - P$ છે. તેથી,$(\frac{a}{3}, 0, a+c) = (4k+1, 2bk-2, 2k+a-2)$.
યામ સરખાવતા: $4k+1 = a/3$,$2bk-2 = 0 \implies bk=1$,$2k+a-2 = a+c \implies c = 2k-2$.
$bk=1$ પરથી $k=1/b$. $k(5+b^2) = 4b+1$ માં મૂકતા $\frac{1}{b}(5+b^2) = 4b+1 \implies 3b^2+b-5=0$. $b>0$ માટે $b=1$ મળે. તેથી $k=1$.
આમ,$a = 15$ અને $F = (3, 3, 15)$.
$S$ એ $L$ પર $F$ થી $2\sqrt{14}$ અંતરે છે. $S$ ના યામ $(2k+1, k+2, k+14)$ છે. સરવાળો $4k+17$ થાય. $k=1$ માટે સરવાળો $21$ મળે છે.

(B) સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(\text{Win}) = P(\text{Win}|A)P(A) + P(\text{Win}|B)P(B)$.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.6$,$P(B) = 0.4$,$P(\text{Win}|A) = 0.8$,અને $P(\text{Win}|B) = 0.7$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(\text{Win}) = (0.8)(0.6) + (0.7)(0.4)$
$P(\text{Win}) = 0.48 + 0.28 = 0.76$.
આમ,ટીમ ટુર્નામેન્ટ જીતે તેની સંભાવના $0.76$ છે.

(B) આપેલ છે કે $(2^{1-a} + 2^{1+a})$,$f(a)$,અને $(3^a + 3^{-a})$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$.
કારણ કે $2^{1-a} + 2^{1+a} = 2(2^{-a} + 2^a)$,અને $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$2^a + 2^{-a} \geq 2$,તેથી $2^a + 2^{-a}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.
તે જ રીતે,$3^a + 3^{-a}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.
આમ,$2f(a) \geq 2(2) + 2 = 6$,જેનો અર્થ છે કે $f(a) \geq 3$. તેથી,$\alpha = 3$.
સંકલન $I = \int_{\log_e 2}^{\log_e 3} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}} = \int_{\log_e 2}^{\log_e 3} \frac{e^{2x} dx}{e^{4x} - 1}$ બને છે.
ધારો કે $u = e^{2x}$,તો $du = 2e^{2x} dx$,તેથી $e^{2x} dx = \frac{du}{2}$.
જ્યારે $x = \log_e 2$,ત્યારે $u = e^{2\log_e 2} = 4$. જ્યારે $x = \log_e 3$,ત્યારે $u = e^{2\log_e 3} = 9$.
$I = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log_e |\frac{u-1}{u+1}| \Big|_4^9 = \frac{1}{4} (\log_e \frac{8}{10} - \log_e \frac{3}{5}) = \frac{1}{4} \log_e (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3}) = \frac{1}{4} \log_e (\frac{4}{3})$.

(C) ધારો કે $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{4}{\cos^4 x} - \frac{\csc^2 x}{\cos^4 x} = 4\sec^4 x - \frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x}$.
નિત્યસમ $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{1}{\cos^4 x} + \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \sec^4 x + \frac{4}{\sin^2(2x)} = \sec^4 x + 4\csc^2(2x)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (4\sec^4 x - (\sec^4 x + 4\csc^2(2x))) dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (3\sec^4 x - 4\csc^2(2x)) dx$.
કારણ કે $\sec^4 x = (1 + \tan^2 x)\sec^2 x$,તેથી:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (3(1 + \tan^2 x)\sec^2 x - 4\csc^2(2x)) dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$. જ્યારે $x = \pi/6, u = 1/\sqrt{3}$. જ્યારે $x = \pi/3, u = \sqrt{3}$.
$I = [3(u + \frac{u^3}{3}) + 2\cot(2x)]_{\pi/6}^{\pi/3} = [3u + u^3 + 2\cot(2x)]_{\pi/6}^{\pi/3}$.
સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા:
$x = \pi/3$ માટે: $3(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^3 + 2\cot(2\pi/3) = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 2(-1/\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - 2/\sqrt{3} = \frac{16}{\sqrt{3}}$.
$x = \pi/6$ માટે: $3(1/\sqrt{3}) + (1/\sqrt{3})^3 + 2\cot(\pi/3) = \sqrt{3} + 1/(3\sqrt{3}) + 2/\sqrt{3} = \frac{16}{3\sqrt{3}}$.
$I = \frac{16}{\sqrt{3}} - \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$.
કારણ કે $|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\cos x]_0^2 = 2(1 - \cos 2)$.
હવે,$f(x) = x \sin x$ લો. કારણ કે $f(x)$ યુગ્મ છે,$\int_{-2}^2 [x \sin x] dx = 2 \int_0^2 [x \sin x] dx$.
$x \in [0, 2]$ માટે,$x \sin x$ એ $0$ થી $2 \sin 2 \approx 1.818$ સુધી વધે છે.
તેથી,$[x \sin x] = 0$ જ્યારે $x \in [0, x_0)$ જ્યાં $x_0 \sin x_0 = 1$,અને $[x \sin x] = 1$ જ્યારે $x \in [x_0, 2]$.
તેથી,$2 \int_0^2 [x \sin x] dx = 2 \int_{x_0}^2 1 dx = 2(2 - x_0) = 4 - 2x_0$.
આમ,$I = 2(1 - \cos 2) + 4 - 2x_0 = 2 - 2\cos 2 + 4 - 2x_0 = 2(3 - \cos 2) - 2x_0$.
આને $2(3 - \cos 2) + \beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = -2x_0$ મળે છે.
$x_0 \sin x_0 = 1$ આપેલ હોવાથી,$\beta \sin(\frac{\beta}{2}) = -2x_0 \sin(-x_0) = 2x_0 \sin x_0 = 2(1) = 2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.
નિત્યસમ $\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos(4x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos(4x)$.
હવે,$0$ થી $20\pi$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^{20\pi} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x) dx = [\frac{3}{4}x + \frac{1}{16} \sin 4x]_0^{20\pi}$.
સીમાઓ મૂકતા: $(\frac{3}{4} \cdot 20\pi + \frac{1}{16} \sin(80\pi)) - (0 + 0) = 15\pi + 0 = 15\pi$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y^2)$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{dy}{1-y^2} = \int (1+x^2) dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\frac{1}{2} \ln|\frac{1+y}{1-y}| = x + \frac{x^3}{3} + C$ મળે.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$C = \frac{1}{2} \ln(3)$ મળે.
તેથી,$\ln|\frac{1+y}{1-y}| = 2(x + \frac{x^3}{3}) + \ln(3)$.
$x=1$ માટે,$\ln|\frac{1+y(1)}{1-y(1)}| = \frac{8}{3} + \ln(3)$.
આમ,$\frac{1+y(1)}{1-y(1)} = 3e^{8/3}$.
$k = 3e^{8/3}$ લેતા,$y(1) = \frac{k-1}{k+1}$ મળે.
$2y(1)-1 = \frac{k-3}{k+1}$ થાય.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આ પદ હાઇપરબોલિક વિધેય $\tanh$ ના સ્વરૂપમાં ફેરવાય છે,જે અંતે $\tan$ ના સ્વરૂપમાં પરિણમે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ ને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2y^2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2y}{x} + 1 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $v = \frac{1}{x}$,તેથી $\frac{dv}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $-2y^2 \frac{dv}{dy} - 2yv + 1 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dy} + \frac{1}{y} v = \frac{1}{2y^2}$ થાય છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જે $\frac{dv}{dy} + P(y)v = Q(y)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y}$ અને $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln y} = y$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $v \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે,જે $v \cdot y = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \ln y + C$ આપે છે.
આપેલ છે કે $x(e) = e$,તેથી $y = e$ માટે $v = \frac{1}{e}$ થાય. આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{e} \cdot e = \frac{1}{2} \ln e + C$,તેથી $1 = \frac{1}{2} + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{1}{2}$.
આમ,$v \cdot y = \frac{1}{2} \ln y + \frac{1}{2} = \frac{\ln y + 1}{2}$.
કારણ કે $v = \frac{1}{x}$,તેથી $\frac{y}{x} = \frac{\ln y + 1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{2y}{\ln y + 1}$.
$y = e^2$ માટે,$x(e^2) = \frac{2e^2}{\ln e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3} e^2$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{y} = (2 + \ln x) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int (2 + \ln x) dx$.
$\ln y = 2x + (x \ln x - x) + C = x \ln x + x + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, e)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = e$ મૂકતા: $\ln e = 1 \ln 1 + 1 + C$.
$1 = 0 + 1 + C$,જે આપણને $C = 0$ આપે છે.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $\ln y = x \ln x + x$ છે.
$f(e)$ શોધવા માટે,$x = e$ મૂકતા: $\ln f(e) = e \ln e + e = e(1) + e = 2e$.
તેથી,$f(e) = e^{2e}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$ ને $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{c}$ એ સદિશ $\vec{v} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{v} = 2(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) + 3(10\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (8+30)\hat{i} + (-2+6)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ ગણતા.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{v}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{c} = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 15$,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$k(4(38) + (-1)(4) + 3(3)) = 15 \implies k(152 - 4 + 9) = 15 \implies 157k = 15 \implies k = \frac{15}{157}$.
આપણે $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) = k(38(1) + 4(1) + 3(-3)) = k(38 + 4 - 9) = 33k$ શોધવાનું છે.
$k = \frac{15}{157}$ મૂકતા,આપણને $33 \times \frac{15}{157} = \frac{495}{157}$ મળે છે. પ્રશ્નના વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $-3$ છે.