JEE Main 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{^{n}C_{r}} + \frac{1}{^{n}C_{r+1}} = \frac{n+1}{n-r} \cdot \frac{1}{^{n}C_{r}}$.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{^{15}C_{r}} + \frac{1}{^{15}C_{r+1}} = \frac{16}{15} \cdot \frac{1}{^{14}C_{r}}$.
તેથી,ગુણાકાર $\prod_{r=0}^{12} (\frac{1}{^{15}C_{r}} + \frac{1}{^{15}C_{r+1}}) = \prod_{r=0}^{12} (\frac{16}{15} \cdot \frac{1}{^{14}C_{r}}) = \frac{(16/15)^{13}}{^{14}C_{0} \cdot ^{14}C_{1} \cdot ... \cdot ^{14}C_{12}}$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{16}{15}$.
તેથી,$30a = 30 \cdot \frac{16}{15} = 32$.

(A) $101!$ માં $7$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} [\frac{m}{p^k}]$ છે.
અહીં,$m = 101$ અને $p = 7$ છે.
$E_7(101!) = [\frac{101}{7}] + [\frac{101}{7^2}] + [\frac{101}{7^3}] + \dots$
$E_7(101!) = [14.428] + [2.061] + [0.294] + \dots$
$E_7(101!) = 14 + 2 + 0 = 16$.
આમ,સૌથી મોટી $n$ ની કિંમત $16$ છે.

(D) $|z-5| \le 3$ એ $(5, 0)$ કેન્દ્ર અને $3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે. $z$ નો કોણાંક મહત્તમ હોય તે માટે,ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલી રેખા વર્તુળને બિંદુ $P(z)$ પર સ્પર્શવી જોઈએ.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$,કેન્દ્ર $(5, 0)$ અને બિંદુ $P(z)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ $5$ છે અને ત્રિજ્યા $3$ છે. તેથી,ઉગમબિંદુથી $P$ નું અંતર $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
તેથી,$z = 4(\cos \theta + i \sin \theta) = 4(\frac{4}{5} + i \frac{3}{5}) = \frac{16}{5} + i \frac{12}{5}$.
હવે,$z$ ની કિંમત પદમાં મૂકતા:
$5z - 12 = 5(\frac{16}{5} + i \frac{12}{5}) - 12 = 16 + 12i - 12 = 4 + 12i$.
$5iz + 16 = 5i(\frac{16}{5} + i \frac{12}{5}) + 16 = 16i - 12 + 16 = 4 + 16i$.
તેથી,$|\frac{5z-12}{5iz+16}|^2 = |\frac{4+12i}{4+16i}|^2 = |\frac{1+3i}{1+4i}|^2 = \frac{1^2 + 3^2}{1^2 + 4^2} = \frac{1+9}{1+16} = \frac{10}{17}$.
અંતે,$34 \times \frac{10}{17} = 2 \times 10 = 20$.

(C) $|x^{2} - 10| \le 6$ આપેલ છે,તેથી $-6 \le x^{2} - 10 \le 6$.
બધી બાજુ $10$ ઉમેરતા,$4 \le x^{2} \le 16$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા,$x \in [-4, -2] \cup [2, 4]$,તેથી $A = [-4, -2] \cup [2, 4]$.
$|x - 2| > 1$ આપેલ છે,તેથી $x - 2 > 1$ અથવા $x - 2 < -1$.
આનો અર્થ $x > 3$ અથવા $x < 1$ થાય,તેથી $B = (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
હવે,$A \cap B = ([-4, -2] \cup [2, 4]) \cap ((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) = [-4, -2] \cup (3, 4]$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$\frac{a_2/2}{a_1} = \frac{a_3/2^2}{a_2/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{a_2}{2a_1} = \frac{a_3}{2a_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{a_2}{a_1} = \sqrt{2}$.
આમ,$a_1, a_2, \ldots, a_{10}$ એ $a_1$ પ્રથમ પદ અને $R = \sqrt{2}$ સામાન્ય ગુણોત્તર ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = a_1 \frac{R^{10}-1}{R-1} = 62$.
$a_1 \frac{(\sqrt{2})^{10}-1}{\sqrt{2}-1} = 62$.
$a_1 \frac{31}{\sqrt{2}-1} = 62$.
$a_1 = 2(\sqrt{2}-1)$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = x^{2}+2ax+(3a+10) = 0$ છે.
કારણ કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ $\alpha < 1 < \beta$ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી $x=1$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f(1) < 0$.
$x=1$ મુકતા:
$f(1) = (1)^{2} + 2a(1) + (3a+10) < 0$
$1 + 2a + 3a + 10 < 0$
$5a + 11 < 0$
$5a < -11$
$a < -11/5$
તેથી,$a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $(-\infty, -11/5)$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=16x$ છે,જે $y^{2}=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=4$.
ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(at_{1}^{2}, 2at_{1}) = (16, 16)$ છે.
તેથી,$2(4)t_{1} = 16 \Rightarrow t_{1}=2$.
$AB$ નાભિ જીવા હોવાથી,તેના અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલનો ગુણાકાર $t_{1}t_{2}=-1$ થાય.
તેથી,$2t_{2}=-1 \Rightarrow t_{2}=-\frac{1}{2}$.
બિંદુ $B$ ના યામ $(at_{2}^{2}, 2at_{2}) = (4(-\frac{1}{2})^{2}, 2(4)(-\frac{1}{2})) = (1, -4)$ મળે.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ જીવા $AB$ નું $5:2$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
કિસ્સો $1$: $P$ એ $AB$ નું $5:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$\alpha = \frac{5(1) + 2(16)}{5+2} = \frac{37}{7}$,$\beta = \frac{5(-4) + 2(16)}{5+2} = \frac{12}{7}$.
$\alpha+\beta = \frac{37+12}{7} = \frac{49}{7} = 7$.
કિસ્સો $2$: $P$ એ $BA$ નું $5:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$\alpha = \frac{5(16) + 2(1)}{5+2} = \frac{82}{7}$,$\beta = \frac{5(16) + 2(-4)}{5+2} = \frac{72}{7}$.
$\alpha+\beta = \frac{82+72}{7} = \frac{154}{7} = 22$.
$\alpha+\beta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે.

(C) પરવલય $y^{2}=12x$ છે,તેથી $4a=12 \Rightarrow a=3$. પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3t^{2}, 6t)$ તરીકે લઈ શકાય.
$OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = \frac{2}{t}$ છે.
$\angle OPA=90^{\circ}$ હોવાથી,$OP \perp PA$,તેથી $PA$ નો ઢાળ $m_{PA} = -\frac{t}{2}$ છે.
$PA$ રેખાનું સમીકરણ $y-6t = -\frac{t}{2}(x-3t^{2})$ છે.
$x$-અક્ષ પરના બિંદુ $A$ માટે,$y=0$ લેતા: $x = 3t^{2}+12$.
તેથી,$A = (3t^{2}+12, 0)$.
$\triangle OPA$ ના મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ માટે:
$h = \frac{6t^{2}+12}{3} = 2t^{2}+4$ અને $k = \frac{6t}{3} = 2t$.
$t = \frac{k}{2}$ લેતા,$h = 2(\frac{k}{2})^{2}+4 = \frac{k^{2}}{2}+4$.
$2h = k^{2}+8 \Rightarrow k^{2} = 2h-8$.
આમ,બિંદુપથ $y^{2} = 2x-8$ અથવા $y^{2}-2x+8=0$ છે.

(D) રેખાનું સમીકરણ $\alpha x+4y-\sqrt{7}=0$ છે. આ રેખા ઉપવલય $3x^{2}+4y^{2}=1$ ને સ્પર્શે છે.
સ્પર્શકની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\alpha = \pm 3$ મળે છે.
પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ માટે,સ્પર્શક $3x+4y=\sqrt{7}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P$ ના યામ $(\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}})$ મળે છે.
ઉપવલય માટે ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{1}{2}$ છે.
નાભિ અંતરો $a \pm ex_{1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જે $\frac{1}{\sqrt{3}} \pm \frac{1}{2\sqrt{7}}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n}(x+2r-2)(x+2r) = \frac{8n}{3}$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n}(x^2 + 4rx - 2x + 4r^2 - 4r) = \frac{8n}{3}$.
આનું સાદું રૂપ $nx^2 + 2x(2\sum r - n) + 4\sum r^2 - 4\sum r = \frac{8n}{3}$ થાય છે.
$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $nx^2 + 2x(n^2) + \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n(n+1) = \frac{8n}{3}$ મળે છે.
$n$ વડે ભાગતા: $x^2 + 2nx + \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) = \frac{8}{3}$.
$x^2 + 2nx + \frac{4n^2+6n+2-6n-6-8}{3} = 0 \Rightarrow x^2 + 2nx + \frac{4n^2-12}{3} = 0$.
કારણ કે ઉકેલો $\alpha, \beta$ બે ક્રમિક બેકી પૂર્ણાંકો છે,તેથી $|\alpha - \beta| = 2$.
આમ,$\frac{\sqrt{D}}{1} = 2 \Rightarrow D = 4$.
$D = (2n)^2 - 4(\frac{4n^2-12}{3}) = 4$.
$4n^2 - \frac{16n^2-48}{3} = 4 \Rightarrow 12n^2 - 16n^2 + 48 = 12$.
$-4n^2 = -36$ $\Rightarrow n^2 = 9$ $\Rightarrow n = 3$.

(A) ગણ $S = \{1, 2, 3, . . . , 11\}$ માં $6$ એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ અને $5$ બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ છે.
$S$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{11} = 2048$ છે.
ઉપગણ $B$ નો ગુણાકાર એકી હોય જો અને માત્ર જો $B$ ના તમામ ઘટકો એકી હોય. આવા ઉપગણોની સંખ્યા $2^6 = 64$ છે.
ઉપગણ $B$ નો ગુણાકાર બેકી હોય જો તેમાં ઓછામાં ઓછી એક બેકી સંખ્યા હોય. આવા ઉપગણોની સંખ્યા $2^{11} - 2^6 = 2048 - 64 = 1984$ છે.
શરત $n(B) \ge 2$ એ $0$ અથવા $1$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણોને બાકાત રાખે છે.
$0$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણો: $\emptyset$ (ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી અથવા એકી ગણાય છે,તેથી તે બાકાત છે).
$1$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણો: $\{1\}, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \{9\}, \{11\}$ (બધા એકી ગુણાકાર) અને $\{2\}, \{4\}, \{6\}, \{8\}, \{10\}$ (બધા બેકી ગુણાકાર).
આપણે તે $5$ ઉપગણોને બાકાત રાખવા જોઈએ જે બરાબર એક બેકી સંખ્યા ધરાવે છે (કારણ કે તેમનો ગુણાકાર બેકી છે પણ $n(B) < 2$ છે).
તેથી,જરૂરી ઉપગણોની સંખ્યા $1984 - 5 = 1979$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $a = b - d$ અને $c = b + d$ લો.
$a+b+c=1$ હોવાથી,$(b-d) + b + (b+d) = 1,$ જેનો અર્થ છે કે $3b = 1$ અથવા $b = \frac{1}{3}.$
$a^{2}, 2b^{2}, c^{2}$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$(2b^{2})^{2} = a^{2}c^{2},$ એટલે કે $4b^{4} = (ac)^{2}.$
$a = b-d$ અને $c = b+d$ મૂકતા,$4b^{4} = ((b-d)(b+d))^{2} = (b^{2}-d^{2})^{2}.$
વર્ગમૂળ લેતા,$b^{2}-d^{2} = \pm 2b^{2}.$
કિસ્સો $1: b^{2}-d^{2} = 2b^{2} \Rightarrow d^{2} = -b^{2}$ (વાસ્તવિક $d$ માટે શક્ય નથી).
કિસ્સો $2: b^{2}-d^{2} = -2b^{2} \Rightarrow d^{2} = 3b^{2} = 3(\frac{1}{9}) = \frac{1}{3}.$
$a < b < c$ હોવાથી,$d$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $d = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
હવે,$a^{2}+b^{2}+c^{2} = (b-d)^{2} + b^{2} + (b+d)^{2} = 3b^{2} + 2d^{2}.$
કિંમતો મૂકતા: $3(\frac{1}{9}) + 2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.$
તેથી,$9(a^{2}+b^{2}+c^{2}) = 9(1) = 9.$

(C) આપેલ છે $\cos(\alpha+\beta) = -\frac{1}{10}$. $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ અને $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 < \alpha+\beta < \frac{7\pi}{12}$. $\cos(\alpha+\beta) < 0$ હોવાથી,$\frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{7\pi}{12}$.
તેથી,$\sin(\alpha+\beta) = \sqrt{1 - (-\frac{1}{10})^2} = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{3\sqrt{11}}{10}$.
તેથી,$\tan(\alpha+\beta) = \frac{3\sqrt{11}/10}{-1/10} = -3\sqrt{11}$.
આપેલ છે $\sin(\alpha-\beta) = \frac{3}{8}$. $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ અને $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$-\frac{\pi}{4} < \alpha-\beta < \frac{\pi}{3}$. $\sin(\alpha-\beta) > 0$ હોવાથી,$0 < \alpha-\beta < \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\cos(\alpha-\beta) = \sqrt{1 - (\frac{3}{8})^2} = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}$.
તેથી,$\tan(\alpha-\beta) = \frac{3/8}{\sqrt{55}/8} = \frac{3}{\sqrt{55}}$.
હવે,$\tan 2\alpha = \tan((\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)) = \frac{\tan(\alpha+\beta) + \tan(\alpha-\beta)}{1 - \tan(\alpha+\beta)\tan(\alpha-\beta)}$.
કિંમતો મૂકતા,$\tan 2\alpha = \frac{-3\sqrt{11} + \frac{3}{\sqrt{55}}}{1 - (-3\sqrt{11})(\frac{3}{\sqrt{55}})} = \frac{\frac{-3\sqrt{11}\sqrt{55} + 3}{\sqrt{55}}}{1 + \frac{9\sqrt{11}}{\sqrt{55}}} = \frac{-3(11\sqrt{5}) + 3}{\sqrt{55} + 9\sqrt{11}} = \frac{3(1 - 11\sqrt{5})}{\sqrt{11}(\sqrt{5} + 9)}$.
$\frac{3(1-r\sqrt{5})}{\sqrt{11}(s+\sqrt{5})}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $r=11$ અને $s=9$ મળે છે.
તેથી,$r+s = 11+9 = 20$.

(D) $P_n = \sum_{r=0}^n \frac{{}^n C_r(-2)^r}{r+1} = \sum_{r=0}^n \frac{1}{n+1} {}^{n+1} C_{r+1}(-2)^r$
$= \frac{-1}{2(n+1)} \sum_{r=0}^n {}^{n+1} C_{r+1}(-2)^{r+1}$
$= \frac{-1}{2(n+1)} \left[(1-2)^{n+1} - 1\right]$
$P_n = \frac{1}{2(n+1)} \left[1 - (-1)^{n+1}\right]$
$P_{2n} = \frac{1}{2(2n+1)} \left[1 - (-1)^{2n+1}\right]$
$P_{2n} = \frac{1}{2n+1}$
$\sum_{n=1}^{25} \frac{1}{P_{2n}} = \sum_{n=1}^{25} (2n+1)$
$= 3 + 5 + \dots + 51$
$= \frac{25}{2} [51 + 3]$
$= 25 \times 27 = 675$

(B) ધારો કે પરવલય $y^2=4x$ છે. પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(t^2, 2t)$ છે.
જીવા ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ અને $P(t^2, 2t)$ માંથી પસાર થાય છે.
જીવા $OP$ નું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ એ $h = \frac{t^2+0}{2} = \frac{t^2}{2}$ અને $k = \frac{2t+0}{2} = t$ દ્વારા મળે છે.
$t=k$ ને $h = \frac{t^2}{2}$ માં મૂકતા,આપણને $h = \frac{k^2}{2}$ મળે છે,તેથી $k^2=2h$.
બિંદુપથ $S$ એ $y^2=2x$ છે.
ધારો કે $P(x_0, y_0)$ એ $S$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $y_0^2=2x_0$. $P$ એ $S$ પર હોવાથી,આપણે $P$ ને $(2t^2, 2t)$ તરીકે લખી શકીએ કારણ કે $(2t)^2 = 2(2t^2)$.
ધારો કે $R(x, y)$ એ બિંદુ છે જે $OP$ નું $3:1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{3(2t^2) + 1(0)}{3+1} = \frac{6t^2}{4} = \frac{3t^2}{2}$
$y = \frac{3(2t) + 1(0)}{3+1} = \frac{6t}{4} = \frac{3t}{2}$
$y = \frac{3t}{2}$ પરથી,આપણને $t = \frac{2y}{3}$ મળે છે.
$t$ ની કિંમત $x = \frac{3t^2}{2}$ માં મૂકતા:
$x = \frac{3}{2} \left(\frac{2y}{3}\right)^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4y^2}{9} = \frac{2y^2}{3}$
આમ,$3x = 2y^2$,અથવા $2y^2=3x$.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a=5$ અને $b=3$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{4}{5}$ છે.
નાભિઓ $S(4, 0)$ અને $S^{\prime}(-4, 0)$ છે.
$P(\alpha, \beta)$ ઉપવલય પર હોવાથી $SP+S^{\prime}P=10$.
આપેલ સમીકરણ $(SP)^2+(S^{\prime}P)^2-SP \cdot S^{\prime}P=37$ માં $(SP+S^{\prime}P)^2-3SP \cdot S^{\prime}P=37$ મૂકતા,
$100-3SP \cdot S^{\prime}P=37 \Rightarrow SP \cdot S^{\prime}P=21$.
$SP \cdot S^{\prime}P = a^2-e^2\alpha^2 = 25-\frac{16}{25}\alpha^2 = 21$.
$\frac{16}{25}\alpha^2 = 4 \Rightarrow \alpha^2 = \frac{25}{4}$.
$\frac{\alpha^2}{25}+\frac{\beta^2}{9}=1$ માં કિંમત મૂકતા,$\beta^2=\frac{27}{4}$.
તેથી $\alpha^2+\beta^2 = \frac{25}{4}+\frac{27}{4} = 13$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $12x^{2}-20x+3\lambda=0$ માટે,બીજ $\alpha$ અને $\beta$ નો સરવાળો $\alpha+\beta = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ અને ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{3\lambda}{12} = \frac{\lambda}{4}$ છે.
આપણને $\frac{1}{2} \le |\beta-\alpha| \le \frac{3}{2}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} \le (\beta-\alpha)^{2} \le \frac{9}{4}$ મળે.
નિત્યસમ $(\beta-\alpha)^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 4\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{4} \le (\frac{5}{3})^{2} - 4(\frac{\lambda}{4}) \le \frac{9}{4}$.
$\frac{1}{4} \le \frac{25}{9} - \lambda \le \frac{9}{4}$.
$\frac{19}{36} \le \lambda \le \frac{91}{36}$ મળે.
$\lambda$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\lambda = 1, 2$ શક્ય છે.
તેથી,સરવાળો $1+2 = 3$ થાય.

(D) $P (10, 2 \sqrt{15})$ એ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર આવેલું છે.
$\frac{100}{a^2} - \frac{60}{b^2} = 1 \dots (1)$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= 8$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2b^2}{a} = 8 \Rightarrow b^2 = 4a \dots (2)$.
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $\frac{100}{a^2} - \frac{60}{4a} = 1 \Rightarrow \frac{100}{a^2} - \frac{15}{a} = 1$.
$100 - 15a = a^2 \Rightarrow a^2 + 15a - 100 = 0$.
$(a + 20)(a - 5) = 0$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 5$.
તેથી $b^2 = 4(5) = 20$.
અતિવલય $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{20} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 25, b^2 = 20$. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{20}{25}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $SS' = 2ae = 2(5)(\frac{3\sqrt{5}}{5}) = 6\sqrt{5}$.
$\Delta PSS'$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (SS') \times |y_P| = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{5} \times 2\sqrt{15} = 30\sqrt{3}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $= (30\sqrt{3})^2 = 2700$.

(D) વિધાન - $1$ નો ઉકેલ:
ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(h, k)$ છે.
લંબકેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે.
$AO \perp BC$ હોવાથી,$AO$ નો ઢાળ $m_{AO} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ છે.
$m_{AO} \cdot m_{BC} = -1$ હોવાથી,$(-\frac{1}{5}) \cdot (\frac{k - 3}{h + 2}) = -1 \Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ....$(1)$
$BO \perp AC$ હોવાથી,$BO$ નો ઢાળ $m_{BO} = \frac{0 - 3}{0 - (-2)} = -\frac{3}{2}$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{k + 1}{h - 5}$ છે.
$m_{BO} \cdot m_{AC} = -1$ હોવાથી,$(-\frac{3}{2}) \cdot (\frac{k + 1}{h - 5}) = -1 \Rightarrow 2h - 3k = 13$ ....$(2)$
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,$h = -4$ અને $k = -7$ મળે છે.
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે. આમ,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન - $2$ નો ઉકેલ:
$2a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = 2a + c \Rightarrow 2a - 2b + c = 0$.
રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
$2a - 2b + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$x = 2$ અને $y = -2$ માટે સમીકરણ $a(2) + b(-2) + c = 0$ સત્ય છે.
તેથી,રેખાઓ $ax + by + c = 0$ એ $(2, -2)$ માં સંગામી છે. આમ,વિધાન $2$ સાચું છે.

(C) $x \rightarrow 0$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
અંશમાં $x^0$ અને $x^1$ ના સહગુણકો $0$ હોવા જોઈએ.
અચળ પદ: $1 + 2 + c - 2 = c + 1 = 0 \Rightarrow c = -1$
$x$ નો સહગુણક: $(a-1) - (c-2) = a - c + 1 = 0 \Rightarrow a = -2$
$x^2$ નો સહગુણક: $\frac{(a-1)^2}{2} - b^2 + \frac{c-2}{2} = 1$
$\frac{9}{2} - b^2 - \frac{3}{2} = 1 \Rightarrow b^2 = 2$
તેથી,$a^2 + b^2 + c^2 = (-2)^2 + 2 + (-1)^2 = 7$.

(A) આપેલ છે $4z^2 + \overline{z} = 0$. ધારો કે $z = x + iy$.
સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $4(x + iy)^2 + (x - iy) = 0$.
$4(x^2 - y^2 + 2xyi) + x - iy = 0$.
$4x^2 - 4y^2 + x + i(8xy - y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$4x^2 - 4y^2 + x = 0$ અને $y(8x - 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: $y = 0$. તો $4x^2 + x = 0 \Rightarrow x(4x + 1) = 0$. તેથી $x = 0$ અથવા $x = -1/4$.
આનાથી $z_1 = 0$ $(|z_1|^2 = 0)$ અને $z_2 = -1/4$ $(|z_2|^2 = 1/16)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $x = 1/8$. તો $4(1/8)^2 - 4y^2 + 1/8 = 0$.
$4/64 - 4y^2 + 1/8 = 0$ $\Rightarrow 1/16 + 1/8 = 4y^2$ $\Rightarrow 3/16 = 4y^2$ $\Rightarrow y^2 = 3/64$.
તેથી $y = \pm \sqrt{3}/8$. આનાથી $z_3 = 1/8 + i\sqrt{3}/8$ અને $z_4 = 1/8 - i\sqrt{3}/8$ મળે છે.
$|z_3|^2 = (1/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2 = 1/64 + 3/64 = 4/64 = 1/16$.
$|z_4|^2 = (1/8)^2 + (-\sqrt{3}/8)^2 = 1/64 + 3/64 = 4/64 = 1/16$.
માનાંકના વર્ગોનો સરવાળો: $0 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 3/16$.

(A) આપણે $4x^{2} + y^{2} < 52$ નું સમાધાન કરતી પૂર્ણાંક જોડીઓ $(x, y)$ શોધવાની જરૂર છે.
આપણે $x$ ની એવી કિંમતો ચકાસીએ કે જેથી $4x^{2} < 52$,એટલે કે $x^{2} < 13$. તેથી,$x \in \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\}$.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$ હોય,તો $y^{2} < 52$. તેથી $y \in \{0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 7\}$. કુલ $15$ કિંમતો.
કિસ્સો $2$: જો $x = \pm 1$ હોય,તો $4(1)^{2} + y^{2} < 52 \implies y^{2} < 48$. તેથી $y \in \{0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 6\}$. કુલ $2 \times 13 = 26$ કિંમતો.
કિસ્સો $3$: જો $x = \pm 2$ હોય,તો $4(4) + y^{2} < 52 \implies y^{2} < 36$. તેથી $y \in \{0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 5\}$. કુલ $2 \times 11 = 22$ કિંમતો.
કિસ્સો $4$: જો $x = \pm 3$ હોય,તો $4(9) + y^{2} < 52 \implies y^{2} < 16$. તેથી $y \in \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\}$. કુલ $2 \times 7 = 14$ કિંમતો.
ઘટકોની કુલ સંખ્યા $= 15 + 26 + 22 + 14 = 77$.

(B) આપેલ સંખ્યાઓ $k, 2k, 3k, \dots, 1000k$ છે. અહીં $n = 1000$ (બેકી સંખ્યા).
મધ્યસ્થ $X_M = \frac{(\frac{n}{2})k + (\frac{n}{2} + 1)k}{2} = \frac{500k + 501k}{2} = 500.5k$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - X_M| = \frac{1}{1000} \sum_{i=1}^{1000} |ik - 500.5k| = \frac{k}{1000} \sum_{i=1}^{1000} |i - 500.5|$.
આ સરવાળો $2 \times (0.5 + 1.5 + 2.5 + \dots + 499.5) = 2 \times \frac{500}{2} (0.5 + 499.5) = 500 \times 500 = 250000$ થાય.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{k \times 250000}{1000} = 250k$.
આપેલ છે કે $250k = 500$,તેથી $k = 2$.
તેથી,$k^{2} = 2^{2} = 4$.

(B) $n(S)$ માટે,આપણે ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ માંથી $4$ અલગ અંકો પસંદ કરવાના છે. શરત $a > b > c > d$ હોવાથી,એકવાર $4$ અંકો પસંદ થઈ જાય,પછી તેને ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવાની માત્ર $1$ રીત છે. તેથી,$n(S) = {}^{10}C_4 = 210$.
$n(P)$ માટે,આપણે એવી $5$-અંકી સંખ્યાઓ જોઈએ છીએ જેના અંકોનો ગુણાકાર $20$ થાય. $20$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^2 \times 5$ છે. શક્ય $5$ અંકોના સમૂહ છે:
$1)$ ${5, 4, 1, 1, 1}$: ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{3!} = 20$ છે.
$2)$ ${5, 2, 2, 1, 1}$: ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{2!2!} = 30$ છે.
તેથી,$n(P) = 20 + 30 = 50$.
આમ,$n(S) + n(P) = 210 + 50 = 260$.

(C) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \alpha n^2 + \beta n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_n = S_n - S_{n-1}$.
$a_n = (\alpha n^2 + \beta n) - (\alpha(n-1)^2 + \beta(n-1))$
$a_n = 2\alpha n - \alpha + \beta$.
$a_{10} = 59$ આપેલ છે,તેથી $2\alpha(10) - \alpha + \beta = 59 \Rightarrow 19\alpha + \beta = 59$ (સમીકરણ $1$).
$a_6 = 7a_1$ આપેલ છે,તેથી $2\alpha(6) - \alpha + \beta = 7(2\alpha(1) - \alpha + \beta)$.
$11\alpha + \beta = 7(\alpha + \beta) \Rightarrow 11\alpha + \beta = 7\alpha + 7\beta$.
$4\alpha = 6\beta$ $\Rightarrow 2\alpha = 3\beta$ $\Rightarrow \beta = \frac{2}{3}\alpha$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$19\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 59$ $\Rightarrow \frac{59\alpha}{3} = 59$ $\Rightarrow \alpha = 3$.
તેથી $\beta = \frac{2}{3}(3) = 2$.
આમ,$\alpha + \beta = 3 + 2 = 5$.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(t^2, 2t)$ છે. $\triangle OAB$ સમબાજુ હોવાથી અને $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,$\angle AOx = 30^{\circ}$ થાય.
તેથી,$OA$ નો ઢાળ $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
$OA$ નો ઢાળ $\frac{2t}{t^2} = \frac{2}{t}$ હોવાથી,$\frac{2}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જે આપણને $t = 2\sqrt{3}$ આપે છે.
તેથી,$A = ((2\sqrt{3})^2, 2(2\sqrt{3})) = (12, 4\sqrt{3})$ અને $B = (12, -4\sqrt{3})$.
$AB$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (12, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 4\sqrt{3}$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી કેન્દ્ર $C(12,0)$ નું અંતર $d = 12$ છે.
ઉગમબિંદુથી વર્તુળનું ન્યૂનતમ અંતર $|d - R| = |12 - 4\sqrt{3}| = 4(3 - \sqrt{3})$ થાય.

(D) વર્ગ મધ્યક $(x_i)$ $6, 10, 14, 18$ છે. આવૃત્તિઓ $(f_i)$ $3, \lambda, 4, 7$ છે. કુલ આવૃત્તિ $N = 14+\lambda$ છે.
મધ્યક $\mu = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{3(6) + 10\lambda + 4(14) + 7(18)}{14+\lambda} = \frac{200+10\lambda}{14+\lambda}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \mu^2 = 19$.
$\sum f_i x_i^2 = 3160 + 100\lambda$ મળે છે.
સમીકરણ ઉકેલતા $\lambda = 6$ મળે છે.
$\lambda = 6$ મુકતા,$\mu = \frac{260}{20} = 13$ મળે છે.
તેથી,$\lambda + \mu = 6 + 13 = 19$.

(D) આપેલ છે કે $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$z^{201} = \cos\left(201 \times \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(201 \times \frac{\pi}{6}\right)$.
$z^{201} = \cos\left(\frac{67\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{67\pi}{2}\right)$.
કારણ કે $\frac{67\pi}{2} = 33\pi + \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos\left(\frac{67\pi}{2}\right) = 0$ અને $\sin\left(\frac{67\pi}{2}\right) = -1$.
આમ,$z^{201} = 0 + i(-1) = -i$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $(z^{201} - i)^{8} = (-i - i)^{8} = (-2i)^{8}$.
$(-2i)^{8} = (-2)^{8} \times i^{8} = 256 \times 1 = 256$.

(D) ધારો કે ચાર બાળકોને આપવામાં આવતી નારંગીઓની સંખ્યા $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે.
નારંગીઓ સમાન હોવાથી,આપણે સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા પડશે,જ્યાં $x_i \geq 1$.
$x_i = x_i^{\prime} + 1$ આદેશ લેતા,જ્યાં $x_i^{\prime} \geq 0$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$x_1^{\prime} + x_2^{\prime} + x_3^{\prime} + x_4^{\prime} = 12$.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{n+k-1}{k-1}$ છે,જ્યાં $n = 12$ અને $k = 4$.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{12+4-1}{4-1} = \binom{15}{3}$.
$\binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.

(C) ધારો કે $f(\theta) = cos^{2}\theta - 6sin\theta cos\theta + 3sin^{2}\theta + 2$.
નિત્યસમ $cos^{2}\theta = \frac{1+cos 2\theta}{2}$,$sin^{2}\theta = \frac{1-cos 2\theta}{2}$,અને $2sin\theta cos\theta = sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = \frac{1+cos 2\theta}{2} - 3sin 2\theta + 3(\frac{1-cos 2\theta}{2}) + 2$
$f(\theta) = 4 - 3sin 2\theta - cos 2\theta$
$a sin x + b cos x$ પદ $[-\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+b^{2}}]$ અંતરાલમાં હોય છે.
અહીં,$a = -3$ અને $b = -1$,તેથી $\sqrt{(-3)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{10}$.
આમ,$f(\theta) \in [4-\sqrt{10}, 4+\sqrt{10}]$.
ન્યૂનતમ કિંમત $4-\sqrt{10}$ છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ આપેલ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + \frac{b^2}{4} = 3$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 2$ $\Rightarrow b^2 = 8$.
તેથી,અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1$ છે.
ધારો કે $P = (x_0, y_0)$. $PQ$ એ $x$-અક્ષને લંબ હોવાથી અને $OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$\angle POM = 30^{\circ}$ થાય,જ્યાં $M$ એ $P$ માંથી $x$-અક્ષ પરનો લંબપાદ છે.
$\triangle OMP$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{PM}{OM} = \frac{y_0}{x_0} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}y_0$.
$P$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{(\sqrt{3}y_0)^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{3y_0^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1$.
$\frac{6y_0^2 - y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow \frac{5y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = \frac{8}{5}$ $\Rightarrow y_0 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
ત્રિકોણ $OPQ$ ની ઊંચાઈ $OM = x_0 = \sqrt{3}y_0 = \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$.
ત્રિકોણનો પાયો $PQ = 2y_0 = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \times \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{12}}{5} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$.

(D) ધારો કે ઉપવલયોના સમીકરણો $S_{1} = x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23=0$ અને $S_{2} = 4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35=0$ છે.
આ બે ઉપવલયોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23) + \lambda(4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35) = 0$.
$(1+4\lambda)x^{2} + (2+2\lambda)y^{2} - (6+20\lambda)x - (12+12\lambda)y + (23+35\lambda) = 0$.
આ વર્તુળ હોવા માટે,$x^{2}$ નો સહગુણક અને $y^{2}$ નો સહગુણક સમાન હોવા જોઈએ:
$1+4\lambda = 2+2\lambda$ $\Rightarrow 2\lambda = 1$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
સમીકરણમાં $\lambda = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$3x^{2} + 3y^{2} - 16x - 18y + 40.5 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^{2} + y^{2} - \frac{16}{3}x - 6y + 13.5 = 0$.
કેન્દ્ર $(a, b) = (\frac{8}{3}, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r^{2} = \frac{47}{18}$ મળે છે.
તેથી,$ab + 18r^{2} = (\frac{8}{3} \times 3) + 18(\frac{47}{18}) = 8 + 47 = 55$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $ \log_{(x+3)}(6x^{2}+28x+30)=5-2\log_{(6x+10)}(x+3)^{2} $
અવયવ પાડતા: $ 6x^{2}+28x+30 = (6x+10)(x+3) $.
તેથી,$ \log_{(x+3)}[(6x+10)(x+3)] = 5 - 4\log_{(6x+10)}(x+3) $
$ 1 + \log_{(x+3)}(6x+10) = 5 - 4\log_{(6x+10)}(x+3) $
ધારો કે $ A = \log_{(x+3)}(6x+10) $. તો $ \log_{(6x+10)}(x+3) = \frac{1}{A} $.
સમીકરણ $ 1 + A = 5 - \frac{4}{A} $ બને છે.
$ A - 4 + \frac{4}{A} = 0 \Rightarrow A^{2} - 4A + 4 = 0 $.
$ (A-2)^{2} = 0 \Rightarrow A = 2 $.
$ \log_{(x+3)}(6x+10) = 2 \Rightarrow 6x+10 = (x+3)^{2} $.
$ 6x+10 = x^{2}+6x+9 \Rightarrow x^{2} = 1 $.
$ x = 1 $ અથવા $ x = -1 $.
ઉકેલોનો સરવાળો $= 1 + (-1) = 0$.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે. ધારો કે $O$ એ વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ નું છેદબિંદુ છે. $O$ ના યામ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે:
$O = \left(\frac{1-3}{2}, \frac{2-6}{2}\right) = (-1, -2)$.
કારણ કે $O$ એ $BD$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે,તેથી આપણી પાસે છે:
$\frac{\alpha+\gamma}{2} = -1 \implies \alpha+\gamma = -2$
$\frac{\beta+\delta}{2} = -2 \implies \beta+\delta = -4$
આપણે $|\alpha+\beta+\gamma+\delta|$ શોધવાનું છે.
$|\alpha+\beta+\gamma+\delta| = |(\alpha+\gamma) + (\beta+\delta)| = |-2 + (-4)| = |-6| = 6$.

(A) આપેલ છે $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ અને $\cot \theta = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $\sin (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta + \sin (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta + \cos (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta - \cos (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta$.
પદોને ગોઠવતા: $(\cos (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta + \sin (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta) + (\sin (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta - \cos (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta)$.
નિત્યસમ $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ અને $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos (8 \theta - \frac{15 \theta}{2}) + \sin (\frac{15 \theta}{2} - 8 \theta) = \cos (\frac{\theta}{2}) - \sin (\frac{\theta}{2})$.
$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ હોવાથી,$\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $\sin (\frac{\theta}{2}) > \cos (\frac{\theta}{2})$,તેથી $\cos (\frac{\theta}{2}) - \sin (\frac{\theta}{2}) < 0$.
પદાવલિનો વર્ગ કરતા: $(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2 = 1 - \sin \theta$.
આપેલ $\cot \theta = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ પરથી,$\sin \theta = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2 = 1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3} = \frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{3}$.
વર્ગમૂળ લેતા,પદાવલિ ઋણ હોવાથી: $\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} = -\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(B) '$PQRPQRSTUVP$' શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $P(3), Q(2), R(2), S(1), T(1), U(1), V(1)$. કુલ $7$ ભિન્ન અક્ષરો છે.
કિસ્સો $I$: $3$ સમાન,$1$ ભિન્ન: ${}^{1}C_{1} \times {}^{6}C_{1} \times \frac{4!}{3!} = 24$.
કિસ્સો $II$: $2$ સમાન,$2$ સમાન: ${}^{3}C_{2} \times \frac{4!}{2!2!} = 18$.
કિસ્સો $III$: $2$ સમાન,$2$ ભિન્ન: ${}^{3}C_{1} \times {}^{6}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 540$.
કિસ્સો $IV$: બધા $4$ ભિન્ન: ${}^{7}C_{4} \times 4! = 840$.
કુલ શબ્દો $= 24 + 18 + 540 + 840 = 1422$.

(B) $100$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $100 \times 99 = 9900$ છે.
આપણે એવી જોડી $(a, b)$ શોધવી છે કે જેથી $a-b \ge 10$ થાય,જેનો અર્થ છે $a \ge b+10$.
જો $b=1$ હોય,તો $a$ એ $11$ થી $100$ સુધીની કોઈપણ કિંમત હોઈ શકે ($90$ કિંમતો).
જો $b=2$ હોય,તો $a$ એ $12$ થી $100$ સુધીની કોઈપણ કિંમત હોઈ શકે ($89$ કિંમતો).
આ રીતે આગળ વધતા,જો $b=90$ હોય,તો $a$ માત્ર $100$ હોઈ શકે ($1$ કિંમત).
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 90 + 89 + \dots + 1 = \frac{90 \times 91}{2} = 4095$.
સંભાવના $\frac{4095}{9900}$ છે.
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $45$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{4095 \div 45}{9900 \div 45} = \frac{91}{220}$ મળે છે.
અહીં,$m=91$ અને $n=220$,તેથી $\gcd(91, 220) = 1$.
તેથી,$m+n = 91 + 220 = 311$.

(D) ધારો કે કડિયા $A$ ને કામ પૂર્ણ કરતા લાગતો સમય $x$ દિવસ છે. તેથી,કડિયા $B$ ને લાગતો સમય $x+24$ દિવસ થશે.
$A$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{x}$.
$B$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{x+24}$.
$A+B$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{22.5} = \frac{2}{45}$.
તેથી,$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{2}{45}$.
$\frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{2}{45} \implies 45(x+12) = x^2+24x$.
$x^2 - 21x - 540 = 0$.
$(x-36)(x+15) = 0$.
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 36$ દિવસ.

(B) આપેલ છે $f(\theta)=4(\sin^{4}(\frac{7\pi}{2}-\theta)+\sin^{4}(11\pi+\theta)) - 2(\sin^{6}(\frac{3\pi}{2}-\theta)+\sin^{6}(9\pi-\theta))$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\frac{7\pi}{2}-\theta) = \cos\theta$ અને $\sin(11\pi+\theta) = -\sin\theta$.
$\sin(\frac{3\pi}{2}-\theta) = -\cos\theta$ અને $\sin(9\pi-\theta) = \sin\theta$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f(\theta) = 4(\cos^{4}\theta + \sin^{4}\theta) - 2(\cos^{6}\theta + \sin^{6}\theta)$.
$\sin^{4}\theta + \cos^{4}\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$ અને $\sin^{6}\theta + \cos^{6}\theta = 1 - 3\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = 4(1 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta) - 2(1 - 3\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta) = 2 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$.
$\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta = \frac{\sin^{2}(2\theta)}{4}$ હોવાથી:
$f(\theta) = 2 - \frac{\sin^{2}(2\theta)}{2}$.
મહત્તમ કિંમત $\alpha$ જ્યારે $\sin^{2}(2\theta) = 0$ હોય ત્યારે મળે,તેથી $\alpha = 2$.
ન્યૂનતમ કિંમત $\beta$ જ્યારે $\sin^{2}(2\theta) = 1$ હોય ત્યારે મળે,તેથી $\beta = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\alpha + 2\beta = 2 + 2(\frac{3}{2}) = 5$.

(B) આપેલ ગણ $S = \{z : 3 \le |2z - 3(1 + i)| \le 7\}$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{3}{2} \le |z - \frac{3}{2}(1 + i)| \le \frac{7}{2}$.
આ એક વલય (annulus) દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $C(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ છે,આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{3}{2}$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{7}{2}$ છે.
આપણે બિંદુ $P(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2})$ થી ગણ $S$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર શોધવાનું છે.
અંતર $PC = \sqrt{(\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2}))^2 + (\frac{3}{2} - (-\frac{3}{2}))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$P$ થી વલય સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર $PC - r_2 = 5 - \frac{7}{2} = \frac{3}{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3}\cos 2\theta + 8\cos \theta + 3\sqrt{3} = 0$
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{3}(2\cos^2 \theta - 1) + 8\cos \theta + 3\sqrt{3} = 0$
$2\sqrt{3}\cos^2 \theta + 8\cos \theta + 2\sqrt{3} = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $\sqrt{3}\cos^2 \theta + 4\cos \theta + \sqrt{3} = 0$
અવયવ પાડતા: $(\sqrt{3}\cos \theta + 1)(\cos \theta + \sqrt{3}) = 0$
તેથી $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ અથવા $\cos \theta = -\sqrt{3}$.
$\cos \theta = -\sqrt{3}$ શક્ય નથી.
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $[-3\pi, 2\pi]$ અંતરાલમાં કુલ $5$ ઉકેલો મળે છે.

(D) વિસ્તરણ $(1+2x^2+x^4)(^nC_0 + ^nC_1x + ^nC_2x^2 + ^nC_3x^3 + \dots)$ છે.
$x$ નો સહગુણક $^nC_1 = n$ છે.
$x^2$ નો સહગુણક $2 + ^nC_2 = 2 + \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
$x^3$ નો સહગુણક $2(^nC_1) + ^nC_3 = 2n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ છે.
આ પદો સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2 \times (x^2 \text{ નો સહગુણક}) = (x \text{ નો સહગુણક}) + (x^3 \text{ નો સહગુણક})$.
$2 \left[ 2 + \frac{n(n-1)}{2} \right] = n + 2n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$4 + n(n-1) = 3n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n^3 - 9n^2 + 26n - 24 = 0$.
$n$ ના શક્ય મૂલ્યો $2, 3, 4$ છે.
તેથી,$n$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો $2+3+4 = 9$ થાય.

(A) $8$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\frac{7}{2}$ આપેલ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $= -10 - 7 - 1 + x + y + 9 + 2 + 16 = x + y + 9$.
$\frac{x + y + 9}{8} = \frac{7}{2}$ $\Rightarrow x + y + 9 = 28$ $\Rightarrow x + y = 19$ . . . $(1)$
વિચરણ $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{મધ્યક})^2 = \frac{293}{4}$.
$\frac{(-10)^2 + (-7)^2 + (-1)^2 + x^2 + y^2 + 9^2 + 2^2 + 16^2}{8} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{293}{4}$.
$\frac{491 + x^2 + y^2}{8} = \frac{342}{4} = 85.5$.
$x^2 + y^2 = 193$ . . . $(2)$
$(1)$ પરથી $y = 19 - x$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (19 - x)^2 = 193$ $\Rightarrow 2x^2 - 38x + 168 = 0$ $\Rightarrow x^2 - 19x + 84 = 0$.
$(x - 12)(x - 7) = 0$. તેથી $x = 12, y = 7$.
$4$ સંખ્યાઓ $12, 7, 20, 5$ છે.
મધ્યક $= \frac{12 + 7 + 20 + 5}{4} = \frac{44}{4} = 11$.

(D) આપણે નિત્યસમ $\frac{^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{100}C_{r}}{r+1}$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા, આપણને $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{101}C_{r+1}}{101}$ મળે છે.
$S = \frac{1}{101} \sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}}$, જ્યાં $k = r+1$.
સરવાળો $\sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}}$ એ $(1+x)^{101}$ ના દ્વિપદી સહગુણકોના છેલ્લા અડધા ભાગનો સરવાળો દર્શાવે છે.
કારણ કે $\sum_{k=0}^{101} {^{101}C_{k}} = 2^{101}$ અને $\sum_{k=0}^{50} {^{101}C_{k}} = \sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}} = \frac{2^{101}}{2} = 2^{100}$.
આમ, $S = \frac{2^{100}}{101}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(\sqrt{3}-2)|\sqrt{x}-3| + (\sqrt{x}-3)^2 - 2\sqrt{3} = 0$ છે.
ધારો કે $t = |\sqrt{x}-3|$. તો સમીકરણ $t^2 + (\sqrt{3}-2)t - 2\sqrt{3} = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t+ \sqrt{3})(t-2) = 0$.
કારણ કે $t = |\sqrt{x}-3| \ge 0$,તેથી $t = 2$ મળે.
આમ,$|\sqrt{x}-3| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x}-3 = 2$ અથવા $\sqrt{x}-3 = -2$.
આથી $\sqrt{x} = 5$ અથવા $\sqrt{x} = 1$ મળે.
તેથી,$x = 25$ અથવા $x = 1$.
$\alpha < \beta$ હોવાથી,$\alpha = 1$ અને $\beta = 25$ મળે.
અંતે,$\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\alpha\beta} = \sqrt{\frac{25}{1}} + \sqrt{1 \times 25} = 5 + 5 = 10$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $y = x + 1$ છે. તેને ઉપવલયના સમીકરણ $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ માં મૂકતા:
$\frac{x^2}{2} + (x+1)^2 = 1$
$\frac{x^2}{2} + x^2 + 2x + 1 = 1$
$\frac{3x^2}{2} + 2x = 0$
$x(\frac{3x}{2} + 2) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -\frac{4}{3}$.
જો $x = 0$,તો $y = 1$,તેથી $A = (0, 1)$.
જો $x = -\frac{4}{3}$,તો $y = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{1}{3}$,તેથી $B = (-\frac{4}{3}, -\frac{1}{3})$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m_1 = \infty$ છે (ઊભી રેખા,ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે).
$OB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{1}{4}$ છે.
ખૂણો $\angle AOB = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}(\frac{1}{4})$.

(D) લંબચોરસ $x=0, x=3, y=0, y=4$ દ્વારા સીમિત છે. લંબચોરસનું કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, 2)$ છે.
કોઈપણ રેખા જે લંબચોરસને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે તે તેના કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, 2)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
રેખા $L$ એ $3x+y+6=0$ ને લંબ છે. $3x+y+6=0$ નો ઢાળ $-3$ છે,તેથી રેખા $L$ નો ઢાળ $\frac{1}{3}$ છે.
$(\frac{3}{2}, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 2 = \frac{1}{3}(x - \frac{3}{2})$
$3y - 6 = x - \frac{3}{2}$
$6y - 12 = 2x - 3$
$2x - 6y + 9 = 0$.
બિંદુ $(\frac{1}{2}, -5)$ નું રેખા $2x - 6y + 9 = 0$ થી અંતર:
$d = \frac{|2(\frac{1}{2}) - 6(-5) + 9|}{\sqrt{2^2 + (-6)^2}}$
$d = \frac{|1 + 30 + 9|}{\sqrt{4 + 36}}$
$d = \frac{40}{\sqrt{40}} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

(D) વિધેય $f(x) = \log_{3}\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણે જરૂર છે:
$\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13) > 0 \implies \log_{7}(9x - x^{2} - 13) > 1 \implies 9x - x^{2} - 13 > 7$
$x^{2} - 9x + 20 < 0 \implies (x - 4)(x - 5) < 0 \implies x \in (4, 5)$.
આમ,$m = 4$ અને $n = 5$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{n}{3} = \frac{5}{3}$.
$e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ હોવાથી,$\frac{25}{9} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} \implies \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{16}{9} \implies \frac{b}{a} = \frac{4}{3} \implies b = \frac{4a}{3}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{8m}{3} = \frac{32}{3}$ છે.
$b = \frac{4a}{3}$ મૂકતા,$\frac{2(16a^{2}/9)}{a} = \frac{32}{3} \implies \frac{32a}{9} = \frac{32}{3} \implies a = 3$.
તેથી $b = \frac{4(3)}{3} = 4$.
તેથી,$b^{2} - a^{2} = 16 - 9 = 7$.

(C) આપેલ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને પંચકોણ બનાવવા માટે,આપણે $5$ બિંદુઓ એવી રીતે પસંદ કરવા જોઈએ કે જેથી કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ ન હોય. બિંદુઓ ત્રિકોણની બાજુઓ પર હોવાથી,આપણે બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $AC$ માંથી બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $AB$ માંથી $2$ બિંદુઓ,$BC$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $AC$ માંથી $1$ બિંદુ.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 6 \times 10 \times 4 = 240$.
કિસ્સો $2$: $AB$ માંથી $2$ બિંદુઓ,$BC$ માંથી $1$ બિંદુ અને $AC$ માંથી $2$ બિંદુઓ.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 6 \times 5 \times 6 = 180$.
કિસ્સો $3$: $AB$ માંથી $1$ બિંદુ,$BC$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $AC$ માંથી $2$ બિંદુઓ.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{4}{2} = 4 \times 10 \times 6 = 240$.
પંચકોણની કુલ સંખ્યા = $240 + 180 + 240 = 660$.

(B) નિત્યસમ $\cos ^2 A - \sin ^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ અને $\sin ^2 A - \sin ^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\cos ^2 48^{\circ} - \sin ^2 12^{\circ} = \cos 60^{\circ} \cos 36^{\circ}$.
છેદ: $\sin ^2 24^{\circ} - \sin ^2 6^{\circ} = \sin 30^{\circ} \sin 18^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(1/2) \times ((\sqrt{5}+1)/4)}{(1/2) \times ((\sqrt{5}-1)/4)} = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
સરખામણી કરતા,$\alpha = 3$ અને $\beta = 1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha+\beta = 4$.

(D) સૌ પ્રથમ,સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપો: $f(x) = \int \frac{x^{18}(7x^{-8} + 9x^{-10})}{(x^9(x^{-9} + x^{-7} + 2))^2} dx = \int \frac{7x^{-8} + 9x^{-10}}{(x^{-9} + x^{-7} + 2)^2} dx$.
ધારો કે $t = x^{-9} + x^{-7} + 2$,તો $dt = (-9x^{-10} - 7x^{-8}) dx$,તેથી $-(7x^{-8} + 9x^{-10}) dx = dt$.
આમ,$f(x) = \int -t^{-2} dt = t^{-1} + C = \frac{1}{x^{-9} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^9}{1 + x^2 + 2x^9} + C$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$,તેથી $C = 0$. વળી $f(1) = \frac{1}{1+1+2} = \frac{1}{4}$,જે સુસંગત છે.
હવે,$f'(x) = \frac{9x^8(1+x^2+2x^9) - x^9(2x + 18x^8)}{(1+x^2+2x^9)^2}$.
$x=1$ આગળ,$f'(1) = \frac{9(4) - 1(20)}{4^2} = \frac{36-20}{16} = 1$.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1/4 & 1 & 1 \\ \alpha^2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.
$|A| = 1(\frac{1}{4} \times 4 - \alpha^2 \times 1) = 1 - \alpha^2$.
આપેલ છે કે $|B| = |\text{adj}(\text{adj } A)| = |A|^{(n-1)^2} = |A|^4 = 81$,તેથી $|A| = \pm 3$.
$1 - \alpha^2 = 3 \Rightarrow \alpha^2 = -2$ (શક્ય નથી) અથવા $1 - \alpha^2 = -3 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.

(B) ધારો કે $f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (cos^{-1}x)^{2}$.
$cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - sin^{-1}x$ હોવાથી,આપણને મળે:
$f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (\frac{\pi}{2} - sin^{-1}x)^{2}$
$f(x) = 2(sin^{-1}x)^{2} - \pi sin^{-1}x + \frac{\pi^{2}}{4}$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$f(x) = 2(sin^{-1}x - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8}$.
$x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ માટે,$sin^{-1}x$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}]$ છે.
$f(x)$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $sin^{-1}x$ ની એવી કિંમત પસંદ કરીએ જે $\frac{\pi}{4}$ થી સૌથી દૂર હોય,જે $-\frac{\pi}{3}$ છે.
મહત્તમ કિંમત $= 2(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = 2(-\frac{7\pi}{12})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = \frac{49\pi^{2}}{72} + \frac{9\pi^{2}}{72} = \frac{58\pi^{2}}{72} = \frac{29\pi^{2}}{36}$.
આમ,$m = 29$ અને $n = 36$. $\gcd(29, 36) = 1$ હોવાથી,$m+n = 29 + 36 = 65$.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx$.
$z > 0$ માટે $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}(\frac{1}{z})$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(\frac{1}{1+x(x-1)}) dx$ મળે.
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(x-1)) dx$ મળે.
$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1}(-x)) dx = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) + \tan^{-1}(x)) dx$.
$\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(1-x) = \tan^{-1}(\frac{1}{1+x-x^2})$ હોવાથી,આ સંકલન $2 \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) dx$ થાય છે.
ખંડશઃ સંકલન કરતા: $2 [x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)]_{0}^{1} = 2 [(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2) - 0] = \frac{\pi}{2} - \ln 2$.
આપેલ સમીકરણ $4I = a \tan^{-1}(2) - b \ln(5)$ સાથે સરખાવતા,$a=4, b=1$ મળે છે.
તેથી,$2a+b = 2(4)+1 = 9$.

(B) ગુણધર્મ $x-1 < [x] \leq x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે: $\sum_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{3^x} - 1 \right) < \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right] \leq \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{3^x}$.
$n^3$ વડે ભાગતા અને $n \to \infty$ લેતા:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{3^x} - 1 \right) < f(x) \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{3^x}$.
$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ હોવાથી,$\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3 \cdot 3^x} = \frac{1}{3 \cdot 3^x} = \frac{1}{3^{x+1}}$.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય દ્વારા,$f(x) = \frac{1}{3^{x+1}}$.
હવે,$12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j) = 12 \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{3^{j+1}} = 12 \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots \right)$.
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{9}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
સરવાળો $= 12 \left( \frac{1/9}{1 - 1/3} \right) = 12 \left( \frac{1/9}{2/3} \right) = 12 \left( \frac{1}{6} \right) = 2$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & a & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$3(a + 2) - 1(2 + 1) + 4(4 - a) = 0$
$3a + 6 - 3 + 16 - 4a = 0$
$19 - a = 0 \Rightarrow a = 19$
હવે,$a = 19$ માટે $\Delta_x$ ચકાસીએ:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -3 & 19 & -1 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3(19 + 2) - 1(-3 + 4) + 4(-6 - 76)$
$= 3(21) - 1(1) + 4(-82) = 63 - 1 - 328 = -266 \neq 0$
આમ,$\Delta = 0$ અને $\Delta_x \neq 0$ હોવાથી,$a = 19$ માટે આ સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ છે $A = \{2, 3, 5, 7, 9\}$. સંબંધ $R$ એ $2x \le 3y$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે $y \ge \frac{2x}{3}$.
દરેક $x \in A$ માટે,આપણે અનુરૂપ $y \in A$ શોધીએ:
જો $x = 2$,$y \ge 1.33 \implies y \in \{2, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ ઘટકો).
જો $x = 3$,$y \ge 2 \implies y \in \{2, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ ઘટકો).
જો $x = 5$,$y \ge 3.33 \implies y \in \{5, 7, 9\}$ ($3$ ઘટકો).
જો $x = 7$,$y \ge 4.66 \implies y \in \{5, 7, 9\}$ ($3$ ઘટકો).
જો $x = 9$,$y \ge 6 \implies y \in \{7, 9\}$ ($2$ ઘટકો).
કુલ ઘટકો $l = 5 + 5 + 3 + 3 + 2 = 18$.
$R$ ને સંમિત બનાવવા માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x)$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ.
હાલમાં $R$ માં રહેલા ઘટકો: $(2,2), (2,3), (2,5), (2,7), (2,9), (3,2), (3,3), (3,5), (3,7), (3,9), (5,5), (5,7), (5,9), (7,5), (7,7), (7,9), (9,7), (9,9)$.
જે જોડીઓ $(x, y)$ માટે $(x, y) \in R$ છે પણ $(y, x) \notin R$ છે તે છે: $(2,5), (2,7), (2,9), (3,5), (3,7), (3,9), (5,9)$.
$R$ ને સંમિત બનાવવા માટે,આપણે તેમની ઉલટી જોડીઓ ઉમેરવી પડશે: $(5,2), (7,2), (9,2), (5,3), (7,3), (9,3), (9,5)$.
આમ,$m = 7$.
તેથી,$l + m = 18 + 7 = 25$.

(NONE) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ છે.
$\sec x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - 2y \cos x = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -2 \cos x$ અને $Q = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \cos x dx} = e^{-2 \sin x}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y e^{-2 \sin x} = \int (2 \cos x + 3 \sin x \cos x) e^{-2 \sin x} dx + C$.
ધારો કે $u = -2 \sin x$,તો $du = -2 \cos x dx$,તેથી $\cos x dx = -\frac{du}{2}$.
સંકલન $\int (-1 - \frac{3}{2} u) e^u (-\frac{du}{2}) = \int (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} u) e^u du = \frac{1}{2} e^u + \frac{3}{4} (u e^u - e^u) + C = \frac{3}{4} u e^u - \frac{1}{4} e^u + C$ બને છે.
$u = -2 \sin x$ પાછું મૂકતા: $y e^{-2 \sin x} = -\frac{3}{2} \sin x e^{-2 \sin x} - \frac{1}{4} e^{-2 \sin x} + C$.
$y = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} + C e^{2 \sin x}$.
$y(0) = -\frac{7}{4}$ આપેલ હોવાથી,$-\frac{7}{4} = 0 - \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$y(x) = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} e^{2 \sin x}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\sin x = \frac{1}{2}$,તેથી $y(\frac{\pi}{6}) = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} - \frac{3e}{2} = -1 - \frac{3e}{2}$.

(D) ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણી પાસે $\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$ છે,તેથી $\vec{p} + \vec{q} = \vec{r}$.
શિરોબિંદુ $C$ પરના ખૂણા $(\pi - \theta)$ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\pi - \theta) = \frac{|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - |\vec{r}|^2}{2|\vec{p}||\vec{q}|}$
કારણ કે $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી:
$-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3})^2 + 2^2 - |\vec{r}|^2}{2(2\sqrt{3})(2)} = \frac{12 + 4 - |\vec{r}|^2}{8\sqrt{3}}$
$-8 = 16 - |\vec{r}|^2 \implies |\vec{r}|^2 = 24$.
હવે,આપણે $|\vec{p} \times (\vec{q} - 3\vec{r})|^2 + 3|\vec{r}|^2$ પદાવલિની કિંમત શોધીએ:
$\vec{r} = \vec{p} + \vec{q}$ મૂકતા:
$|\vec{p} \times (\vec{q} - 3(\vec{p} + \vec{q}))|^2 + 3(24) = |\vec{p} \times (\vec{q} - 3\vec{p} - 3\vec{q})|^2 + 72$
$= |\vec{p} \times (-3\vec{p} - 2\vec{q})|^2 + 72 = |-2(\vec{p} \times \vec{q})|^2 + 72$
$= 4|\vec{p} \times \vec{q}|^2 + 72 = 4|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2 \sin^2 \theta + 72$
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$= 4(12)(4)(\frac{2}{3}) + 72 = 16(8) + 72 = 128 + 72 = 200$.

(C) પ્રથમ,આપણે $A^n$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ શોધીએ. આપેલ $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ માટે,$A^2 = \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$ મળે છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} 2n+1 & -4n \\ n & -2n+1 \end{bmatrix}$ થાય.
$n=15$ માટે,$A^{15} = \begin{bmatrix} 31 & -60 \\ 15 & -29 \end{bmatrix}$ મળે.
હવે,$A^{15}+B = \begin{bmatrix} 31 & -60 \\ 15 & -29 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -29 & 49 \\ -13 & 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -11 \\ 2 & -11 \end{bmatrix}$.
સમીકરણ $(A^{15}+B)\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ એ $\begin{bmatrix} 2 & -11 \\ 2 & -11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ બને છે.
આથી $2x - 11y = 0$ અથવા $2x = 11y$ મળે.
વિકલ્પો તપાસતા,$x=11$ અને $y=2$ માટે $2(11) = 22$ અને $11(2) = 22$ થાય છે. તેથી,$x=11, y=2$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આ પ્રદેશ પરવલય $y = 4 - x^2$,રેખા $y = -2x + 1$ અને અક્ષો $x \ge 0, y \ge 0$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx - \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેના શિરોબિંદુઓ } (0,0), (0.5,0), (0,1) \text{ છે.}$
ક્ષેત્રફળ $= [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{2} \times 0.5 \times 1$
$= (8 - \frac{8}{3}) - \frac{1}{4} = \frac{16}{3} - \frac{1}{4} = \frac{64 - 3}{12} = \frac{61}{12}$.
અહીં $\alpha = 61$ અને $\beta = 12$ છે,તેથી $\alpha + \beta = 61 + 12 = 73$.

(C) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\frac{2a + 1}{30} + \frac{8a - 1}{30} + \frac{4a + 1}{30} + b = 1$
$\frac{14a + 1}{30} + b = 1 \Rightarrow 14a + 30b = 29 \dots (1)$
આપણને $\sigma^{2} + \mu^{2} = 2$ આપેલ છે. $\sigma^{2} = E[X^{2}] - \mu^{2}$ હોવાથી,$E[X^{2}] = 2$ મળે.
$E[X^{2}] = \sum x_{i}^{2} p(x_{i}) = 0^{2} \cdot \frac{2a+1}{30} + 1^{2} \cdot \frac{8a-1}{30} + 2^{2} \cdot \frac{4a+1}{30} + 3^{2} \cdot b = 2$
$\frac{8a - 1 + 16a + 4}{30} + 9b = 2$
$\frac{24a + 3}{30} + 9b = 2$ $\Rightarrow 24a + 3 + 270b = 60$ $\Rightarrow 24a + 270b = 57$
$3$ વડે ભાગતા: $8a + 90b = 19 \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$30b = 29 - 14a$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$8a + 3(29 - 14a) = 19$
$8a + 87 - 42a = 19$
$-34a = -68 \Rightarrow a = 2$
$a = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $14(2) + 30b = 29$ $\Rightarrow 28 + 30b = 29$ $\Rightarrow 30b = 1$ $\Rightarrow b = \frac{1}{30}$
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{2}{1/30} = 60$.

(B) રેખા $L_{1}$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{-3} = \frac{y-6}{2} = \frac{z-7}{4} = \lambda_{1}$ છે. તેથી,$L_{1}$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $C$ એ $(-3\lambda_{1}+2, 2\lambda_{1}+6, 4\lambda_{1}+7)$ છે.
રેખા $L_{2}$ નું સમીકરણ $\frac{x-4}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-5}{3} = \lambda_{2}$ છે. તેથી,$L_{2}$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D$ એ $(2\lambda_{2}+4, \lambda_{2}+3, 3\lambda_{2}+5)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{CD} = (2\lambda_{2}+3\lambda_{1}+2)\hat{i} + (\lambda_{2}-2\lambda_{1}-3)\hat{j} + (3\lambda_{2}-4\lambda_{1}-2)\hat{k}$ થાય.
રેખા $L_{3}$ એ $-3\hat{i}+5\hat{j}+16\hat{k}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\overrightarrow{CD}$ ના ઘટકો $(-3, 5, 16)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{2\lambda_{2}+3\lambda_{1}+2}{-3} = \frac{\lambda_{2}-2\lambda_{1}-3}{5} = \frac{3\lambda_{2}-4\lambda_{1}-2}{16} = k$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\lambda_{1} = -3$ અને $\lambda_{2} = 2$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $C = (11, 0, -5)$ અને $D = (8, 5, 11)$ મળે છે.
તેથી $\overrightarrow{CD} = (8-11)\hat{i} + (5-0)\hat{j} + (11-(-5))\hat{k} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 16\hat{k}$ થાય.
તેથી,$|\overrightarrow{CD}|^2 = (-3)^2 + 5^2 + 16^2 = 9 + 25 + 256 = 290$.

(D) રેખા $L$ એ બિંદુ $A(-3, 5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી તેના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+3}{1} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-2}{1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ સામાન્ય બિંદુ $R$ એ $(\lambda-3, \lambda+5, \lambda+2)$ છે.
ધારો કે $P = (-2, r, 1)$. સદિશ $\overrightarrow{PR} = ((\lambda-3) - (-2), (\lambda+5) - r, (\lambda+2) - 1) = (\lambda-1, \lambda+5-r, \lambda+1)$ છે.
કારણ કે $PR$ એ લંબ અંતર છે,$\overrightarrow{PR} \cdot \vec{d} = 0$,જ્યાં $\vec{d} = (1, 1, 1)$.
$(\lambda-1)(1) + (\lambda+5-r)(1) + (\lambda+1)(1) = 0 \Rightarrow 3\lambda - r + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{r-5}{3}$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,$R = (\frac{r-5}{3}-3, \frac{r-5}{3}+5, \frac{r-5}{3}+2) = (\frac{r-14}{3}, \frac{r+10}{3}, \frac{r+1}{3})$.
અંતર $PR = \sqrt{\frac{14}{3}}$,તેથી $PR^2 = \frac{14}{3}$.
$PR^2 = (\frac{r-14}{3} + 2)^2 + (\frac{r+10}{3} - r)^2 + (\frac{r+1}{3} - 1)^2 = \frac{14}{3}$.
$(\frac{r-8}{3})^2 + (\frac{10-2r}{3})^2 + (\frac{r-2}{3})^2 = \frac{14}{3}$.
$\frac{r^2-16r+64 + 100-40r+4r^2 + r^2-4r+4}{9} = \frac{14}{3}$.
$6r^2 - 60r + 168 = 42 \Rightarrow 6r^2 - 60r + 126 = 0$.
$r^2 - 10r + 21 = 0 \Rightarrow (r-3)(r-7) = 0$.
$r$ ના શક્ય મૂલ્યો $3$ અને $7$ છે.
$r$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $3 + 7 = 10$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^{3} + x^{2}f^{\prime}(1) + 2x f^{\prime\prime}(2) + f^{\prime\prime\prime}(3)$.
પ્રથમ વિકલન: $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 2f^{\prime\prime}(2)$.
દ્વિતીય વિકલન: $f^{\prime\prime}(x) = 6x + 2f^{\prime}(1)$.
તૃતીય વિકલન: $f^{\prime\prime\prime}(x) = 6$.
હવે,અચળાંકોની કિંમત શોધીએ:
$f^{\prime\prime}(2) = 6(2) + 2f^{\prime}(1) = 12 + 2f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime\prime\prime}(3) = 6$.
આ કિંમતોને $f^{\prime}(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 2(12 + 2f^{\prime}(1)) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime}(1)$ શોધવા માટે $x = 1$ મૂકતા:
$f^{\prime}(1) = 3(1)^{2} + 2(1)f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime}(1) = 3 + 2f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1) = 27 + 6f^{\prime}(1)$.
$-5f^{\prime}(1) = 27 \implies f^{\prime}(1) = -\frac{27}{5}$.
હવે $f^{\prime}(1)$ ની કિંમત $f^{\prime}(x)$ માં મૂકતા:
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x(-\frac{27}{5}) + 24 + 4(-\frac{27}{5}) = 3x^{2} - \frac{54}{5}x + 24 - \frac{108}{5} = 3x^{2} - \frac{54}{5}x + \frac{12}{5}$.
છેલ્લે,$f^{\prime}(5)$ ની ગણતરી કરતા:
$f^{\prime}(5) = 3(5)^{2} - \frac{54}{5}(5) + \frac{12}{5} = 75 - 54 + \frac{12}{5} = 21 + \frac{12}{5} = \frac{105 + 12}{5} = \frac{117}{5}$.

(A) આપેલ છે $g(x) = f((\tan x - 1)^{2} + a - 1)$.
વિકલન કરતા,$g^{\prime}(x) = f^{\prime}((\tan x - 1)^{2} + a - 1) \cdot 2(\tan x - 1) \cdot \sec^{2}x$.
કારણ કે $f^{\prime\prime}(x) > 0$,$f^{\prime}(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
આપણને આપેલ છે કે $f^{\prime}(a-1) = 0$.
જો $(\tan x - 1)^{2} > 0$ હોય,તો $(\tan x - 1)^{2} + a - 1 > a - 1$,જે સૂચવે છે કે $f^{\prime}((\tan x - 1)^{2} + a - 1) > f^{\prime}(a - 1) = 0$.
$x \in (0, \frac{\pi}{4})$ માટે,$\tan x < 1$,તેથી $(\tan x - 1) < 0$. આમ $g^{\prime}(x) = (\text{ધન}) \cdot (\text{ઋણ}) \cdot (\text{ધન}) < 0$. તેથી $g$ એ $(0, \frac{\pi}{4})$ માં ઘટતું વિધેય છે.
$x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ માટે,$\tan x > 1$,તેથી $(\tan x - 1) > 0$. આમ $g^{\prime}(x) = (\text{ધન}) \cdot (\text{ધન}) \cdot (\text{ધન}) > 0$. તેથી $g$ એ $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ માં વધતું વિધેય છે.
તેથી,વિધાન $(I)$ કે $(II)$ માંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(B) પ્રથમ,આપણે $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx = \int_{0}^{64} x^{1/3} dx - \int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ ની ગણતરી કરીએ.
$\int_{0}^{64} x^{1/3} dx = \left[ \frac{3}{4} x^{4/3} \right]_{0}^{64} = \frac{3}{4} \times 256 = 192$.
$\int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ માટે,આપણે $[x^{1/3}]$ ની કિંમતોના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{8} 1 dx + \int_{8}^{27} 2 dx + \int_{27}^{64} 3 dx = 0 + (8-1) + 2(27-8) + 3(64-27) = 7 + 38 + 111 = 156$.
આમ,$\alpha = 192 - 156 = 36$.
હવે,આપણે $E = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{36\pi} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$ ની કિંમત શોધીએ.
વિધેયનો આવર્તમાન $\pi$ હોવાથી,$E = \frac{36}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta = \frac{36 \times 2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$.
ધારો કે $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$. કિંગના ગુણધર્મ મુજબ,$J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$2J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sec^6 \theta}{\tan^6 \theta + 1} d\theta$.
ધારો કે $\tan \theta = t$,તો $dt = \sec^2 \theta d\theta$. $2J = \int_{0}^{\infty} \frac{(1+t^2)^2}{t^6+1} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1+t^2}{t^4-t^2+1} dt = \pi$.
આમ $J = \pi/2$.
અંતે,$E = \frac{72}{\pi} \times \frac{\pi}{2} = 36$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=\sqrt{2}\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=-\lambda^{2}\hat{i}+4\sqrt{2}\hat{j}+4\sqrt{2}\hat{k}$.
સદિશ $\overrightarrow{a}$ એ ધન $z$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતો હોવાથી,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \hat{k}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\lambda}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-1)^2+\lambda^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{3+\lambda^2}}$.
આપેલ છે કે $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos \frac{\pi}{2} < \cos \theta < \cos \frac{\pi}{6}$,જે સૂચવે છે કે $0 < \frac{\lambda}{\sqrt{3+\lambda^2}} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
અસમતાનો વર્ગ કરતા,$0 < \frac{\lambda^2}{3+\lambda^2} < \frac{3}{4}$.
$\lambda > 0$ હોવાથી,ડાબી બાજુ હંમેશા સાચી છે. જમણી બાજુ માટે,$4\lambda^2 < 9 + 3\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2 < 9 \Rightarrow \lambda < 3$. તેથી $\lambda \in (0, 3)$....$(1)$
સદિશ $\overrightarrow{a}$ એ $\overrightarrow{b}$ સાથે ગુરુકોણ બનાવતો હોવાથી,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\sqrt{2})(-\lambda^2) + (-1)(4\sqrt{2}) + (\lambda)(4\sqrt{2}) = -\sqrt{2}(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = -\sqrt{2}(\lambda-2)^2 < 0$.
$\sqrt{2} > 0$ હોવાથી,$(\lambda-2)^2 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \neq 2$....$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$\lambda \in (0, 3) - \{2\}$.
આમ,$\alpha=0, \beta=3, \gamma=2$.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = 0+3+2 = 5$.

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f(y)$ અને $f(1)=7$. આ $f(x)=a^x$ પ્રકારનું વિધેય છે. $f(1)=7$ હોવાથી,$a^1=7$,તેથી $f(x)=7^x$.
આપેલ છે કે $g(x+y)=g(xy)$ અને $g(1)=1$. $y=1$ મૂકતા,આપણને $g(x+1)=g(x)$ મળે છે. $g(1)=1$ હોવાથી,બધા $x \in \mathbb{N}$ માટે $g(x)=1$ થશે.
આપેલ સરવાળો $\sum_{x=1}^{n} \frac{f(x)}{g(x)} = 19607$ છે.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા,$\sum_{x=1}^{n} \frac{7^x}{1} = 19607$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $7 + 7^2 + \dots + 7^n = 19607$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = a\frac{r^n-1}{r-1}$ છે. અહીં $a=7$ અને $r=7$.
$7 \left(\frac{7^n-1}{7-1}\right) = 19607$.
$7 \left(\frac{7^n-1}{6}\right) = 19607$.
$7^n-1 = \frac{19607 \times 6}{7} = 2801 \times 6 = 16806$.
$7^n = 16807$.
$7^5 = 16807$ હોવાથી,$n=5$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = [x]^2 - ([x] + 3) - 3 = [x]^2 - [x] - 6$.
અવયવ પાડતા,$f(x) = ([x] - 3)([x] + 2)$.
$(1)$ $f(x) > 0$ માટે,$[x] > 3$ અથવા $[x] < -2$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in [4, \infty)$ અથવા $x \in (-\infty, -2)$. તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$(2)$ $f(x) < 0$ માટે,$-2 < [x] < 3$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $[x] \in \{-1, 0, 1, 2\}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in [-1, 3)$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$(3)$ સંકલન ગણતા: $\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = 0^2 - 0 - 6 = -6$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = 1^2 - 1 - 6 = -6$.
તેથી,$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 (-6) dx + \int_1^2 (-6) dx = -6 - 6 = -12$. વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$(4)$ $f(x) = 0$ માટે,$[x] = 3$ અથવા $[x] = -2$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in [3, 4)$ અથવા $x \in [-2, -1)$,જેમાં અસંખ્ય કિંમતો છે. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(C) વિધેય $g(x) = |x|[x^2]$ ત્યાં અસતત છે જ્યાં $[x^2]$ અસતત હોય,શરત એ છે કે $|x| \neq 0$.
$[x^2]$ એ $x^2 \in \mathbb{Z}$ માટે અસતત છે.
$x \in (-2, 2)$ માટે,$x^2 \in [0, 4)$.
$[0, 4)$ માં પૂર્ણાંકો $0, 1, 2, 3$ છે.
તેથી,$x^2 = 1, 2, 3$ લેતા $x = \pm 1, \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
$x=0$ આગળ,$g(x) = |x|[x^2] = 0 \cdot [0] = 0$,અને $\lim_{x \to 0} |x|[x^2] = 0$,તેથી $g(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે.
આમ,$S = \{-1, 1, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$.
હવે,$f(x) = \min \{\sqrt{2}x, x^2\}$.
$f(-1) = \min \{-\sqrt{2}, 1\} = -\sqrt{2}$.
$f(1) = \min \{\sqrt{2}, 1\} = 1$.
$f(-\sqrt{2}) = \min \{-2, 2\} = -2$.
$f(\sqrt{2}) = \min \{2, 2\} = 2$.
$f(-\sqrt{3}) = \min \{-\sqrt{6}, 3\} = -\sqrt{6}$.
$f(\sqrt{3}) = \min \{\sqrt{6}, 3\} = \sqrt{6}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો: $\sum_{x \in S} f(x) = -\sqrt{2} + 1 - 2 + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{6} = 1 - \sqrt{2}$.

(C) પ્રથમ પદ $\log_3 \log_5 (7 - \log_2 (x^2 - 10 x + 85))$ માટે,આપણે $\log_5 (7 - \log_2 (x^2 - 10 x + 85)) > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $7 - \log_2 (x^2 - 10 x + 85) > 1$,તેથી $\log_2 (x^2 - 10 x + 85) < 6$. આનાથી $x^2 - 10 x + 85 < 2^6 = 64$ મળે છે,એટલે કે $x^2 - 10 x + 21 < 0$. અવયવ પાડતા $(x - 3)(x - 7) < 0$ મળે,તેથી $x \in (3, 7)$.
બીજા પદ $\sin^{-1} ( | \frac{3 x - 7}{17 - x} | )$ માટે,આપણે $0 \leq | \frac{3 x - 7}{17 - x} | \leq 1$ ની જરૂર છે. શરત $| \frac{3 x - 7}{17 - x} | \leq 1$ નો અર્થ છે કે $(3x - 7)^2 \leq (17 - x)^2$,તેથી $9x^2 - 42x + 49 \leq 289 - 34x + x^2$. આનું સાદું રૂપ આપતા $8x^2 - 8x - 240 \leq 0$,અથવા $x^2 - x - 30 \leq 0$ મળે છે. અવયવ પાડતા $(x - 6)(x + 5) \leq 0$ મળે,તેથી $x \in [-5, 6]$.
પ્રદેશો $(3, 7)$ અને $[-5, 6]$ ને જોડતા,આપણને $x \in (3, 6]$ મળે છે.
આમ,$\alpha = 3$ અને $\beta = 6$.
તેથી,$\alpha + \beta = 3 + 6 = 9$.

(B) આપેલ પ્રદેશ ઉપવલય $4x^2 + y^2 = 8$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ,$y^2 = 4x$ ને $4x^2 + y^2 = 8$ માં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો:
$4x^2 + 4x - 8 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$.
પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x = 1$ મળે. $x=1$ માટે,$y^2 = 4$,તેથી $y = \pm 2$.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_0^1 \sqrt{4x} dx + 2 \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{8-4x^2} dx$.
$= 4 \int_0^1 \sqrt{x} dx + 4 \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^2} dx$.
$= 4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 + 4 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{2-x^2} + \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]_1^{\sqrt{2}}$.
$= \frac{8}{3} + 4 \left[ (0 + \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \right]$.
$= \frac{8}{3} + 4 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi = \pi + \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(a, b, c) = (2k-1, 3k-1, 6k-3)$ છે.
આપેલ છે કે આ બિંદુનું બિંદુ $P(-1, -1, -9)$ થી અંતર $7$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(2k-1 - (-1))^2 + (3k-1 - (-1))^2 + (6k-3 - (-9))^2} = 7$.
$\sqrt{(2k)^2 + (3k)^2 + (6k+6)^2} = 7$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4k^2 + 9k^2 + (6k+6)^2 = 49$.
$13k^2 + 36k^2 + 72k + 36 = 49$.
$49k^2 + 72k - 13 = 0$.
આ $k$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $k_1$ અને $k_2$ છે.
બિંદુ $(a, b, c)$ માટે યામોનો સરવાળો $a+b+c = (2k-1) + (3k-1) + (6k-3) = 11k - 5$ છે.
$S$ માં રહેલા બે બિંદુઓ માટે,સરવાળો $(11k_1 - 5) + (11k_2 - 5) = 11(k_1 + k_2) - 10$ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$k_1 + k_2 = -\frac{72}{49}$.
સરવાળો $= 11(-\frac{72}{49}) - 10 = -\frac{792}{49} - 10 = -\frac{1282}{49}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $X = A^{-1}B = \frac{\text{adj } A}{|A|} B$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n=3$.
$|\text{adj } A| = 4(0 - (-10)) - 2(-15 - 5) + 2(10 - 0) = 4(10) - 2(-20) + 2(10) = 40 + 40 + 20 = 100$.
તેથી,$|A|^2 = 100$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 10$.
હવે,$X = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 16 + 0 + 4 \\ -20 + 0 + 10 \\ 4 + 0 + 6 \end{bmatrix} = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \pm \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
આમ,$x = \pm 2, y = \mp 1, z = \pm 1$.
તેથી $|x + y + z| = |\pm(2 - 1 + 1)| = |\pm 2| = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$.
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & \lambda & 2 \end{vmatrix} = (-2-\lambda) \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \lambda \hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{53}$,તેથી $|\overrightarrow{c}|^2 = 53$.
$(-2-\lambda)^2 + (-4)^2 + (2\lambda)^2 = 53$
$4 + 4\lambda + \lambda^2 + 16 + 4\lambda^2 = 53$
$5\lambda^2 + 4\lambda - 33 = 0$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(5)(-33)}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 660}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{676}}{10} = \frac{-4 \pm 26}{10}$.
$\lambda \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,આપણે $\lambda = -3$ લઈશું (કારણ કે $\frac{22}{10}$ પૂર્ણાંક નથી).
આમ,$\overrightarrow{c} = (-2 - (-3))\hat{i} - 4\hat{j} + 2(-3)\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} - 6\hat{k}$.
ધારો કે $\overrightarrow{d} = y\hat{j} + z\hat{k}$ એ $yz$-સમતલમાં સદિશ છે જેનું માન $|\overrightarrow{d}|=2$ છે,તેથી $y^2 + z^2 = 4$.
તેથી $\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} = (\hat{i} - 4\hat{j} - 6\hat{k}) \cdot (y\hat{j} + z\hat{k}) = -4y - 6z$.
આપણે $(-4y - 6z)^2 = (4y + 6z)^2$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી છે.
કોશી-શ્વાર્ટ્ઝ અસમતા મુજબ,$(4y + 6z)^2 \leq (4^2 + 6^2)(y^2 + z^2) = (16 + 36)(4) = 52 \times 4 = 208$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \int \frac{dx}{16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}})}$.
ધારો કે $u = 1+2 \sin y$,તો $du = 2 \cos y \, dy$,તેથી $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y|$.
જમણી બાજુ માટે,ધારો કે $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$. તેથી $t-4 = \sqrt{9+\sqrt{x}}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(t-4)^2 = 9+\sqrt{x}$,તેથી $\sqrt{x} = (t-4)^2 - 9$.
$t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$ નું વિકલન કરતા,$dt = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{dx}{4\sqrt{x(9+\sqrt{x})}} = \frac{dx}{4\sqrt{x+9\sqrt{x}}}$.
તેથી,$\frac{dx}{\sqrt{x+9\sqrt{x}}} = 4 \, dt$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $\frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y| = \int \frac{4 \, dt}{16t} = \frac{1}{4} \ln |t| + C = \frac{1}{4} \ln |4+\sqrt{9+\sqrt{x}}| + C$.
$y(256) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{256}}) + C \implies \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+16}) + C = \frac{1}{4} \ln 9 + C = \frac{1}{2} \ln 3 + C$. તેથી $C = 0$.
હવે,$y(49) = \alpha$ માટે: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{49}}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{16}) = \frac{1}{4} \ln 8 = \frac{1}{4} \ln(2^3) = \frac{3}{4} \ln 2$.
તેથી $\ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{3}{2} \ln 2 = \ln(2^{3/2}) = \ln(2\sqrt{2})$.
આમ,$1+2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}$,જે આપણને $2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}-1$ આપે છે.

(D) સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ અનન્ય હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D \neq 0$ હોય.
$D = \begin{vmatrix} 1 & -n & 1 \\ 1 & n-2 & n+1 \\ 0 & n-1 & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1((n-2)(1) - (n+1)(n-1)) - 1((-n)(1) - (1)(n-1)) + 0$
$D = (n-2 - (n^2-1)) - (-n - n + 1)$
$D = (n-2 - n^2 + 1) - (-2n + 1)$
$D = -n^2 + 3n - 2$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$,તેથી $-n^2 + 3n - 2 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 - 3n + 2 \neq 0$.
$(n-1)(n-2) \neq 0$,તેથી $n \neq 1$ અને $n \neq 2$.
પાસા પર મળતી સંખ્યા $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
$n$ ના જે મૂલ્યો માટે સિસ્ટમનો ઉકેલ અનન્ય છે તે $n \in \{3, 4, 5, 6\}$ છે.
આવા મૂલ્યોની સંખ્યા $4$ છે,તેથી સંભાવના $\frac{4}{6}$ છે.
આમ,$k = 4$.
$k$ અને $n$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $4 + (3 + 4 + 5 + 6) = 4 + 18 = 22$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{bmatrix}$. અહીં $A^T = -A$ છે,તેથી $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આપેલ સમીકરણ $B(I - A) = I + A$ પરથી,$B = (I + A)(I - A)^{-1}$ મળે.
તેથી $B^T = ((I + A)(I - A)^{-1})^T = ((I - A)^{-1})^T (I + A)^T = (I - A^T)^{-1} (I + A^T)$.
$A^T = -A$ હોવાથી,$B^T = (I - (-A))^{-1} (I + (-A)) = (I + A)^{-1} (I - A)$ મળે.
હવે,$B^T B = (I + A)^{-1} (I - A) (I + A) (I - A)^{-1}$.
$A$ વિસંમિત હોવાથી,$(I - A)$ અને $(I + A)$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે,એટલે કે $(I - A)(I + A) = I^2 - A^2 = (I + A)(I - A)$.
તેથી,$B^T B = (I + A)^{-1} (I + A) (I - A) (I - A)^{-1} = I \cdot I = I$.
શ્રેણિક $B^T B$ એ એકમ શ્રેણિક $I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $1 + 1 + 1 = 3$ થાય.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_{0}^{x} (x-t)^{2} \sin(t) dt$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$I = \int_{0}^{x} (x^{2} - 2xt + t^{2}) \sin(t) dt = x^{2} \int_{0}^{x} \sin(t) dt - 2x \int_{0}^{x} t \sin(t) dt + \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt$.
સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$1. \int_{0}^{x} \sin(t) dt = [-\cos(t)]_{0}^{x} = 1 - \cos(x)$.
$2. \int_{0}^{x} t \sin(t) dt = [-t \cos(t)]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} \cos(t) dt = -x \cos(x) + \sin(x)$.
$3. \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt = [-t^{2} \cos(t)]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t \cos(t) dt = -x^{2} \cos(x) + 2(t \sin(t) + \cos(t))_{0}^{x} = -x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2$.
આ કિંમતો મૂકતા: $I = x^{2}(1 - \cos(x)) - 2x(-x \cos(x) + \sin(x)) + (-x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2) = x^{2} + 2 \cos(x) - 2$.
આપેલ છે કે $I = x^{2}$,તેથી $x^{2} + 2 \cos(x) - 2 = x^{2}$,જેનું સાદું રૂપ $2 \cos(x) = 2$ અથવા $\cos(x) = 1$ થાય છે.
$x \in [0, 100]$ માટે,$\cos(x) = 1$ નો અર્થ છે $x = 2n\pi$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
$2n\pi \le 100$ હોવાથી,$n \le \frac{100}{2\pi} \approx 15.92$.
આમ,$n$ ની કિંમતો $0, 1, 2, \dots, 15$ હોઈ શકે,જે કુલ $16$ મૂલ્યો આપે છે.

(C) ધારો કે રેખા $L_1$ એ $\frac{x}{2} = \frac{y+a}{1} = \frac{z}{1} = \lambda$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda, \lambda-a, \lambda)$ છે.
$Q$ એ $P(a, 2, a)$ નું $L_1$ માં પ્રતિબિંબ હોવાથી,$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $L_1$ પર આવેલું છે અને $PQ$ એ $L_1$ ને લંબ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $(2\lambda, \lambda-a, \lambda)$ છે. તેથી,$Q = (4\lambda-a, 2\lambda-2a-2, 2\lambda-a)$.
સદિશ $\vec{PQ} = (3\lambda-2a, 2\lambda-2a-4, 2\lambda-2a)$. કારણ કે $\vec{PQ} \perp (2, 1, 1)$,
$2(3\lambda-2a) + 1(2\lambda-2a-4) + 1(2\lambda-2a) = 0 \Rightarrow 10\lambda - 8a - 4 = 0 \Rightarrow 5\lambda - 4a = 2$.
તે જ રીતે,બીજી રેખા $L_2: \frac{x-2b}{2} = \frac{y-a}{1} = \frac{z+2b}{-5} = \mu$ માટે,$Q$ નું પ્રતિબિંબ $P$ છે.
$L_2$ માટે સમાન તર્ક અનુસરતા,આપણને $a=1$ અને $b=2$ મળે છે.
તેથી,$a+b = 1+2 = 3$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2-4)y^{\prime}-2xy = -2x(4-x^2)^2$ છે.
$(x^2-4)^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{(x^2-4)y^{\prime}-2xy}{(x^2-4)^2} = -2x$.
આ ભાગાકારના નિયમનું વિકલન છે: $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x^2-4} \right) = -2x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $\frac{y}{x^2-4} = -x^2 + C$.
તેથી,$y = (-x^2+C)(x^2-4)$.
વક્ર બિંદુ $(3, 15)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=3$ અને $y=15$ મૂકતા: $15 = (-9+C)(9-4) \Rightarrow 15 = 5(-9+C) \Rightarrow 3 = -9+C \Rightarrow C=12$.
આમ,$f(x) = (12-x^2)(x^2-4)$.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$f^{\prime}(x) = 0$ લેતા: $f^{\prime}(x) = (-2x)(x^2-4) + (12-x^2)(2x) = -2x^3 + 8x + 24x - 2x^3 = -4x^3 + 32x = 0$.
$-4x(x^2-8) = 0$. $x>2$ હોવાથી,$x^2=8$,એટલે કે $x=2\sqrt{2}$.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(2\sqrt{2}) = (12-8)(8-4) = 4 \times 4 = 16$ છે.

(B) ગણ $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માં $10$ ઘટકો છે.
આપણે $A$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે સામ્ય વર્ગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$C_0 = \{0, 3, 6, 9\}$ (કદ $4$)
$C_1 = \{1, 4, 7\}$ (કદ $3$)
$C_2 = \{2, 5, 8\}$ (કદ $3$)
$(x, y) \in R$ માટે,$|x - y|$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x$ અને $y$ એક જ સામ્ય વર્ગના હોવા જોઈએ.
$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(R) = |C_0|^2 + |C_1|^2 + |C_2|^2 = 4^2 + 3^2 + 3^2 = 16 + 9 + 9 = 34$ છે.
આમ,વિધાન $I$ ખોટું છે $(34 \neq 36)$.
વિધાન $II$ માટે:
$1$. સ્વવાચક: $|x - x| = 0$,જે $3$ નો ગુણક છે.
$2$. સંમિત: જો $|x - y| = 3k$ હોય,તો $|y - x| = 3k$ થાય.
$3$. પરંપરિત: જો $|x - y| = 3k$ અને $|y - z| = 3m$ હોય,તો $|x - z| = |(x - y) + (y - z)| = 3|k \pm m|$,જે $3$ નો ગુણક છે.
તેથી $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે. વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે $I(x) = \int \frac{3dx}{(4x+6)\sqrt{4x^2+8x+3}}$.
સંકલનને $I(x) = \int \frac{3dx}{(4x+6)\sqrt{(2x+2)^2-1}}$ તરીકે ફરીથી લખો.
ધારો કે $2x+2 = \sec \theta$,તો $2dx = \sec \theta \tan \theta d\theta$.
વળી,$4x+6 = 2(2x+2)+2 = 2\sec \theta + 2 = 2(\sec \theta + 1)$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I(x) = \int \frac{3 \cdot \frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta d\theta}{2(\sec \theta + 1)\tan \theta} = \frac{3}{4} \int \frac{\sec \theta}{\sec \theta + 1} d\theta = \frac{3}{4} \int \frac{1}{\cos \theta + 1} d\theta = \frac{3}{4} \int \frac{1}{2 \cos^2(\theta/2)} d\theta = \frac{3}{8} \int \sec^2(\theta/2) d\theta$.
$I(x) = \frac{3}{8} \cdot 2 \tan(\theta/2) + C = \frac{3}{4} \tan(\theta/2) + C$.
કારણ કે $\sec \theta = 2x+2$,$\tan^2(\theta/2) = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} = \frac{1-1/(2x+2)}{1+1/(2x+2)} = \frac{2x+1}{2x+3}$.
તેથી,$I(x) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2x+1}{2x+3}} + C$.
આપેલ છે $I(0) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{1}{3}} + C = \frac{\sqrt{3}}{4} + C = \frac{\sqrt{3}}{4} + 20$,તેથી $C=20$.
આમ,$I(x) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2x+1}{2x+3}} + 20$.
$x = 1/2$ માટે,$I(1/2) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{1+1}{1+3}} + 20 = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2}{4}} + 20 = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 20 = \frac{3\sqrt{2}}{8} + 20$.
અહીં $a=3, b=8, c=20$. $gcd(3,8)=1$.
તેથી,$a+b+c = 3+8+20 = 31$.

(D) આપેલ વર્તુળો $x^{2}+y^{2}=4$ (કેન્દ્ર $(0,0)$,ત્રિજ્યા $2$) અને $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ (કેન્દ્ર $(0,2)$,ત્રિજ્યા $2$) છે.
સમીકરણો ઉકેલતા: $x^{2}+y^{2}=4$ અને $x^{2}+y^{2}-4y+4=4$.
બીજા સમીકરણમાં $x^{2}+y^{2}=4$ મૂકતા: $4-4y+4=4$,જે $4y=4$ આપે છે,તેથી $y=1$.
$y=1$ ને $x^{2}+y^{2}=4$ માં મૂકતા,આપણને $x^{2}+1=4$ મળે છે,તેથી $x^{2}=3$,$x=\pm\sqrt{3}$.
છેદબિંદુનું ક્ષેત્રફળ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} [\sqrt{4-x^{2}} - (2 - \sqrt{4-x^{2}})] dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (2\sqrt{4-x^{2}} - 2) dx = 4 \int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-x^{2}} - 1) dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = 4 [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2}) - x]_{0}^{\sqrt{3}}$
$A = 4 [(\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-3} + 2\sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})) - \sqrt{3}]$
$A = 4 [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2(\frac{\pi}{3}) - \sqrt{3}] = 4 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3} = \frac{2}{3}(4\pi - 3\sqrt{3})$.

(B) ધારો કે $W_B$ એ બેગ $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે,અને $B_B$ એ બેગ $B$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$P(W_B) = \frac{6}{6+4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P(B_B) = \frac{4}{6+4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
જો સફેદ દડો બેગ $A$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો બેગ $A$ માં હવે $10$ સફેદ અને $8$ કાળા દડા (કુલ $18$) છે. બેગ $A$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W_A | W_B) = \frac{10}{18}$ છે.
જો કાળો દડો બેગ $A$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો બેગ $A$ માં હવે $9$ સફેદ અને $9$ કાળા દડા (કુલ $18$) છે. બેગ $A$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W_A | B_B) = \frac{9}{18}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W_A) = P(W_B) \times P(W_A | W_B) + P(B_B) \times P(W_A | B_B)$
$P(W_A) = \frac{3}{5} \times \frac{10}{18} + \frac{2}{5} \times \frac{9}{18}$
$P(W_A) = \frac{30}{90} + \frac{18}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$
આમ,$p=8$ અને $q=15$. કારણ કે $gcd(8,15)=1$,તેથી $p+q = 8+15 = 23$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = 2(\vec{a} \times \vec{c})$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} - 2\vec{c}) = 0$.
તેથી,કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\vec{b} - 2\vec{c} = \lambda \vec{a}$ થાય.
બંને બાજુ માનનો વર્ગ લેતા: $|\vec{b} - 2\vec{c}|^2 = \lambda^2 |\vec{a}|^2$.
$|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 - 4(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \lambda^2 (1)^2$.
આપેલ છે કે $|\vec{b}| = 4, |\vec{c}| = 2$ અને $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(60^{\circ}) = 4 \times 2 \times \frac{1}{2} = 4$.
તેથી,$16 + 4(4) - 4(4) = \lambda^2 \Rightarrow \lambda^2 = 16 \Rightarrow \lambda = \pm 4$.
હવે,$\vec{b} - 2\vec{c} = \pm 4\vec{a}$.
બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$(\vec{b} - 2\vec{c}) \cdot \vec{c} = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} - 2|\vec{c}|^2 = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$4 - 2(4) = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) \Rightarrow -4 = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$|\vec{a} \cdot \vec{c}| = |\frac{-4}{\pm 4}| = 1$.

(B) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + y + z = 6$
$2x + 5y + az = 36$
$x + 2y + 3z = b$
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & a \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 2a) - 1(6 - a) + 1(4 - 5) = 8 - a$.
સંહતિને અનંત ઉકેલો અથવા કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે $D = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
હવે,$a = 8$ સાથે $D_3$ ની ગણતરી કરો:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 5 & 36 \\ 1 & 2 & b \end{vmatrix} = 1(5b - 72) - 1(2b - 36) + 6(4 - 5) = 3b - 42$.
$D_3 = 0$ માટે,આપણને $3b = 42$ મળે છે,તેથી $b = 14$.
જ્યારે $a = 8$ અને $b = 14$ હોય,ત્યારે આપણે $D_1$ અને $D_2$ તપાસીએ છીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 36 & 5 & 8 \\ 14 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$ અને $D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 36 & 8 \\ 1 & 14 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
આમ,$a = 8$ અને $b = 14$ માટે $D = D_1 = D_2 = D_3 = 0$ હોવાથી,સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.

(A) પ્રથમ,આપણે ગણ $A$ ના ઘટકો શોધીએ:
$|(|x - 3| - 3)| \leq 1 \implies -1 \leq |x - 3| - 3 \leq 1$
$2 \leq |x - 3| \leq 4$
આનો અર્થ એ છે કે $2 \leq x - 3 \leq 4$ અથવા $-4 \leq x - 3 \leq -2$
$5 \leq x \leq 7$ અથવા $-1 \leq x \leq 1$
$x \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$A = \{-1, 0, 1, 5, 6, 7\}$. $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 6$ છે.
હવે,આપણે ગણ $B$ ના ઘટકો શોધીએ:
$\frac{(x - 2)(x - 4)}{x - 1} \log_{e}(|x - 2|) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $(x - 2)(x - 4) = 0$ અથવા $\log_{e}(|x - 2|) = 0$.
જો $(x - 2)(x - 4) = 0$ હોય,તો $x = 2$ અથવા $x = 4$. $x \in \mathbb{R} - \{1, 2\}$ હોવાથી,આપણે $x = 4$ સ્વીકારીએ છીએ.
જો $\log_{e}(|x - 2|) = 0$ હોય,તો $|x - 2| = 1$,તેથી $x - 2 = 1$ અથવા $x - 2 = -1$.
આનાથી $x = 3$ અથવા $x = 1$ મળે છે. $x \in \mathbb{R} - \{1, 2\}$ હોવાથી,આપણે $x = 3$ સ્વીકારીએ છીએ.
આમ,$B = \{3, 4\}$,અને $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 2$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી $m$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $m^n - \binom{m}{1}(m-1)^n + \binom{m}{2}(m-2)^n - \dots$ દ્વારા મળે છે.
$n = 6$ અને $m = 2$ માટે,વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{c}=\lambda\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(1+4) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{v} \cdot \vec{c} = 11$,તેથી $(-\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (\lambda\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 11$.
$-\lambda + 7 + 5 = 11 \Rightarrow -\lambda + 12 = 11 \Rightarrow \lambda = 1$.
હવે,$\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$. $\vec{b}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપની લંબાઈ $p = \left| \vec{b} \cdot \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} \right|$ છે.
$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$p = \left| (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{2 + 1 - 1}{\sqrt{3}} \right| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$9p^2 = 9 \times \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 = 9 \times \frac{4}{3} = 12$.

(B) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = b$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ $(x > 0)$ ધ્યાનમાં લો:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{ax + x^2 - 2\sin x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left( a + x - \frac{\sin(2x)}{x} \right) = a + 0 - 2 = a - 2$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(x < 0)$ ધ્યાનમાં લો:
ધારો કે $x = -h$ જ્યાં $h > 0$. જેમ $x \to 0^-$,તેમ $h \to 0^+$.
$\lim_{h \to 0^+} \frac{a|-h| + (-h)^2 - 2\sin|-h|\cos|-h|}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{ah + h^2 - 2\sin h \cos h}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \left( -a - h + \frac{\sin(2h)}{h} \right) = -a - 0 + 2 = -a + 2$.
સાતત્ય માટે,$a - 2 = -a + 2 = b$.
$a - 2 = -a + 2$ પરથી,$2a = 4$,તેથી $a = 2$.
$b = a - 2$ માં $a = 2$ મૂકતા,$b = 2 - 2 = 0$ મળે.
તેથી,$a + b = 2 + 0 = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2 f(x) f'(x) = (f(x))^2 + (f'(x))^2$.
પદોને ગોઠવતા: $(f(x))^2 - 2 f(x) f'(x) + (f'(x))^2 = 0$.
આનું સાદું રૂપ: $(f(x) - f'(x))^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) = f(x)$.
આ વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1 \Rightarrow \ln(f(x)) = x + C \Rightarrow f(x) = A e^x$.
$x = 0$ આગળ,$(f(0))^2 = 25 + 0 \Rightarrow f(0) = 5$ (કારણ કે $f$ અ-ઋણ છે).
આમ,$A e^0 = 5 \Rightarrow A = 5$,તેથી $f(x) = 5 e^x$.
આપણે $f(\ln 1), f(\ln 2), \ldots, f(\ln 625)$ નો મધ્યક શોધવાનો છે.
$f(\ln n) = 5 e^{\ln n} = 5n$ હોવાથી,મધ્યક થશે:
$\text{મધ્યક} = \frac{1}{625} \sum_{n=1}^{625} 5n = \frac{5}{625} \times \frac{625 \times 626}{2} = \frac{5 \times 626}{2} = 5 \times 313 = 1565$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=\frac{3\pi}{2}$ સુધીના વક્ર $y=\max\{\sin x, \cos x\}$ અને x-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
આપણે સંકલનને તે અંતરાલો પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં $\sin x$ અથવા $\cos x$ મોટા હોય છે:
$A = \int_{0}^{\pi/4} \cos x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{5\pi/4} |\sin x| \, dx + \int_{5\pi/4}^{3\pi/2} |\cos x| \, dx$
ક્ષેત્રફળ x-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું હોવાથી,આપણે વિધેયો જ્યાં ઋણ હોય ત્યાં તેમનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈએ છીએ.
$A = \int_{0}^{\pi/4} \cos x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{5\pi/4} (-\sin x) \, dx + \int_{5\pi/4}^{3\pi/2} (-\cos x) \, dx$
$A = [\sin x]_{0}^{\pi/4} + [-\cos x]_{\pi/4}^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{5\pi/4} + [-\sin x]_{5\pi/4}^{3\pi/2}$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) + (-(-1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1)) + (-(-1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}))$
$A = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 3$
આમ,$A+A^2 = 3 + 3^2 = 3 + 9 = 12$.

(B) આપેલ છે કે $|A|=6$ અને $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $|adj(k A)| = k^{n-1} |adj(A)|$ અને $adj(kA) = k^{n-1} adj(A)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ,$adj(2A) = 2^{3-1} adj(A) = 4 adj(A)$.
તેથી,$A^2 \cdot adj(2A) = A^2 \cdot 4 adj(A) = 4 A (A \cdot adj(A)) = 4 A |A| I_3 = 4 \cdot 6 \cdot A = 24A$.
હવે,$3 adj(24A) = 3 \cdot 24^{3-1} adj(A) = 3 \cdot 24^2 adj(A) = 3 \cdot (2^3 \cdot 3)^2 adj(A) = 3 \cdot 2^6 \cdot 3^2 adj(A) = 2^6 \cdot 3^3 adj(A)$.
ધારો કે $K = 2^6 \cdot 3^3$. તો આપણે $|adj(K adj(A))|$ શોધવાનું છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિક $M$ માટે $|adj(M)| = |M|^{n-1} = |M|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|adj(K adj(A))| = |K adj(A)|^2 = K^6 |adj(A)|^2 = K^6 (|A|^{3-1})^2 = K^6 |A|^4$.
$K = 2^6 \cdot 3^3$ અને $|A|=6 = 2^1 \cdot 3^1$ મૂકતા:
$|adj(K adj(A))| = (2^6 \cdot 3^3)^6 \cdot (2^1 \cdot 3^1)^4 = (2^{36} \cdot 3^{18}) \cdot (2^4 \cdot 3^4) = 2^{40} \cdot 3^{22}$.
આમ,$m=40$ અને $n=22$.
તેથી,$m+n = 40+22 = 62$.

(D) દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$4l + m - n = 0 \implies n = 4l + m$ ... $(1)$
$2mn + 10nl + 3lm = 0$ ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માં $n = 4l + m$ મૂકતા:
$2m(4l + m) + 10l(4l + m) + 3lm = 0$
$8lm + 2m^2 + 40l^2 + 10lm + 3lm = 0$
$40l^2 + 21lm + 2m^2 = 0$
$(8l + m)(5l + 2m) = 0$
કિસ્સો $1$: $m = -8l$. તેથી $n = 4l - 8l = -4l$. દિકગુણોત્તર $(l, -8l, -4l)$ અથવા $(1, -8, -4)$ મળે.
કિસ્સો $2$: $m = -\frac{5}{2}l$. તેથી $n = 4l - \frac{5}{2}l = \frac{3}{2}l$. દિકગુણોત્તર $(l, -\frac{5}{2}l, \frac{3}{2}l)$ અથવા $(2, -5, 3)$ મળે.
ધારો કે દિક સદિશો $\vec{a} = (1, -8, -4)$ અને $\vec{b} = (2, -5, 3)$ છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(2) + (-8)(-5) + (-4)(3)|}{\sqrt{1^2 + (-8)^2 + (-4)^2} \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 3^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 + 40 - 12|}{\sqrt{1 + 64 + 16} \sqrt{4 + 25 + 9}} = \frac{30}{\sqrt{81} \sqrt{38}} = \frac{30}{9 \sqrt{38}} = \frac{10}{3 \sqrt{38}}$.

(A) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \lambda$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\lambda, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$ છે.
$B(4, 9, \alpha)$ રેખા પર હોવાથી,$\frac{4}{1} = \frac{9-1}{2} = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow 4 = 4 = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow \alpha = 14$.
ધારો કે $AD$ એ $A(1, 6, 3)$ થી રેખા $BC$ પરનો વેધ છે. $D$ એ રેખા પર $A$ નો પ્રક્ષેપ છે,તેથી $D(\lambda, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$.
સદિશ $\vec{AD} = (\lambda-1)\hat{i} + (2\lambda+1-6)\hat{j} + (3\lambda+2-3)\hat{k} = (\lambda-1)\hat{i} + (2\lambda-5)\hat{j} + (3\lambda-1)\hat{k}$.
$\vec{AD}$ એ રેખાની દિશાના સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\lambda-1)(1) + (2\lambda-5)(2) + (3\lambda-1)(3) = 0$
$\lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,$D = (1, 2(1)+1, 3(1)+2) = (1, 3, 5)$.
વેધ $AD$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(1-1)^2 + (3-6)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 10 \times \sqrt{13} = 5\sqrt{13}$ ચોરસ એકમ.

(A) વિધાન $I$ માટે: ધારો કે $\cos \alpha = x, \cos \beta = y, \cos \gamma = z$.
આપેલ સમીકરણ $\begin{vmatrix} 1 & x & y \\ x & 1 & z \\ y & z & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & x & y \\ x & 0 & z \\ y & z & 0 \end{vmatrix}$ છે.
ડાબી બાજુના નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ: $1(1-z^2) - x(x-yz) + y(xz-y) = 1 - z^2 - x^2 + xyz + xyz - y^2 = 1 - (x^2+y^2+z^2) + 2xyz$.
જમણી બાજુના નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ: $0(0-z^2) - x(0-yz) + y(xz-0) = xyz + xyz = 2xyz$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $1 - (x^2+y^2+z^2) + 2xyz = 2xyz \implies x^2+y^2+z^2 = 1$.
આમ,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \neq \frac{3}{2}$. વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ માટે: ધારો કે $f(x) = \begin{vmatrix} x^{2}+x & x+1 & x-2 \\ 2x^{2}+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^{2}+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{vmatrix} = px+q$.
$x=0$ લેતા: $q = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0(0-3) - 1(1+9) - 2(1-0) = -10 - 2 = -12$.
$x=1$ લેતા: $p+q = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 6 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(3-3) - 2(4-18) - 1(4-18) = 0 + 28 + 14 = 42$.
$q = -12$ હોવાથી,$p - 12 = 42 \implies p = 54$.
$p^2 = 196q^2$ ચકાસતા: $54^2 = 2916$ અને $196(-12)^2 = 196 \times 144 = 28224$.
$2916 \neq 28224$ હોવાથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan 2x}}$ ...$(1)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = \frac{\pi}{24} + \frac{5\pi}{24} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$.
$I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan(2(\frac{\pi}{4}-x))}}$
$I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan(\frac{\pi}{2}-2x)}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\frac{\pi}{2}-\theta) = \cot \theta$,તેથી:
$I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\cot 2x}} = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{\sqrt[3]{\tan 2x} dx}{\sqrt[3]{\tan 2x} + 1}$ ...$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{1+\sqrt[3]{\tan 2x}}{1+\sqrt[3]{\tan 2x}} dx = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} 1 dx$
$2I = [x]_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} = \frac{5\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$

(B) $f(x)$ એ $x = -\frac{3}{2}$ પર સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to -\frac{3}{2}} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવું જોઈએ અને તે $f(-\frac{3}{2}) = b$ બરાબર હોવું જોઈએ.
છેદ $(2x-1)(2x+3)$ એ $x \to -\frac{3}{2}$ માટે $0$ થાય છે,તેથી અંશ $ax^2 + 2ax + 3$ પણ $0$ થવો જોઈએ.
$a(-\frac{3}{2})^2 + 2a(-\frac{3}{2}) + 3 = 0$ $\Rightarrow \frac{9a}{4} - 3a + 3 = 0$ $\Rightarrow -\frac{3a}{4} = -3$ $\Rightarrow a = 4$.
$a=4$ મૂકતા,$f(x) = \frac{4x^2+8x+3}{(2x-1)(2x+3)} = \frac{(2x+1)(2x+3)}{(2x-1)(2x+3)} = \frac{2x+1}{2x-1}$ જ્યાં $x \neq -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}$.
હવે,$f(f(x)) = f\left(\frac{2x+1}{2x-1}\right) = \frac{2(\frac{2x+1}{2x-1}) + 1}{2(\frac{2x+1}{2x-1}) - 1} = \frac{4x+2+2x-1}{4x+2-2x+1} = \frac{6x+1}{2x+3}$.
આપેલ છે કે $f(f(x)) = \frac{7}{5}$,તેથી $\frac{6x+1}{2x+3} = \frac{7}{5}$.
$5(6x+1) = 7(2x+3)$ $\Rightarrow 30x + 5 = 14x + 21$ $\Rightarrow 16x = 16$ $\Rightarrow x = 1$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^{4}dy + (4x^{3}y + 2\sin x)dx = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $x^{4}dy + 4x^{3}ydx = -2\sin x dx$.
આને $d(x^{4}y) = -2\sin x dx$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int d(x^{4}y) = \int -2\sin x dx$,જે $x^{4}y = 2\cos x + C$ આપે છે.
શરત $y(\frac{\pi}{2}) = 0$ આપેલ છે,તેથી $x = \frac{\pi}{2}$ અને $y = 0$ મુકતા:
$(\frac{\pi}{2})^{4}(0) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + C
\Rightarrow 0 = 2(0) + C
\Rightarrow C = 0$.
તેથી,ઉકેલ $x^{4}y = 2\cos x$ છે.
હવે,આપણે $\pi^{4}y(\frac{\pi}{3})$ શોધવાનું છે.
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$(\frac{\pi}{3})^{4} y(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,આપણને મળે $\frac{\pi^{4}}{81} y(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$.
તેથી,$\pi^{4} y(\frac{\pi}{3}) = 81$.

(C) આપેલ છે $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ અને $xRy \iff 2x + y \le 2$.
દરેક $x \in A$ માટે,આપણે $y \in A$ શોધીએ છીએ જેથી $y \le 2 - 2x$ થાય:
- જો $x = -2$,$y \le 6 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($7$ ઘટકો).
- જો $x = -1$,$y \le 4 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($7$ ઘટકો).
- જો $x = 0$,$y \le 2 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ($5$ ઘટકો).
- જો $x = 1$,$y \le 0 \implies y \in \{-2, -1, 0\}$ ($3$ ઘટકો).
- જો $x = 2$,$y \le -2 \implies y \in \{-2\}$ ($1$ ઘટક).
- જો $x = 3$,$y \le -4 \implies$ કોઈ $y \in A$ નથી.
- જો $x = 4$,$y \le -6 \implies$ કોઈ $y \in A$ નથી.
કુલ ઘટકો $l = 7 + 7 + 5 + 3 + 1 = 23$.
સ્વવાચકતા માટે,બધા $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. તપાસતા: $(-2, -2), (-1, -1), (0, 0)$ એ $R$ માં છે. $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ ખૂટે છે. તેથી $m = 4$.
સંમિતતા માટે,જો $(x, y) \in R$,તો $(y, x)$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ. $R$ માં એવા ઘટકો $(x, y)$ કે જેના માટે $(y, x) \notin R$ છે તે: $(3, -2), (4, -2), (2, -1), (2, 0), (3, -1), (4, -1)$. આવા $6$ ઘટકો છે. તેથી $n = 6$.
આમ,$l + m + n = 23 + 4 + 6 = 33$.