JEE Main 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए $M = 3 \ kg$ फ्लाईव्हील का द्रव्यमान है,$R = 5 \ m$ इसकी त्रिज्या है,और $m = 3 \ kg$ लटकता हुआ द्रव्यमान है। फ्लाईव्हील का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^{2}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,लटकते हुए द्रव्यमान द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,प्रणाली (फ्लाईव्हील + द्रव्यमान) द्वारा प्राप्त कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2}I\omega^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$
चूंकि $v = \omega R$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$। $I$ और $\omega$ का मान रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^{2})(\frac{v}{R})^{2} + \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{4}Mv^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$
दिया गया है $m = 3 \ kg, M = 3 \ kg, h = 3 \ m, g = 10 \ m/s^{2}$:
$3 \times 10 \times 3 = \frac{1}{4}(3)v^{2} + \frac{1}{2}(3)v^{2} = \frac{3}{4}v^{2} + \frac{2}{4}(3)v^{2} = \frac{9}{4}v^{2}$
$90 = \frac{9}{4}v^{2} \implies v^{2} = 40 \ m^{2}/s^{2}$.
फ्लाईव्हील की गतिज ऊर्जा $K.E._{flywheel} = \frac{1}{2}I\omega^{2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^{2})(\frac{v}{R})^{2} = \frac{1}{4}Mv^{2}$.
$K.E._{flywheel} = \frac{1}{4} \times 3 \times 40 = 30 \ J$.

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया में ऊष्मागतिक निकाय द्वारा किया गया कार्य $P-V$ आरेख पर चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिए गए चित्र में,चक्र $ABC$ एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
त्रिभुज का आधार आयतन में परिवर्तन है,$\Delta V = V_B - V_A = 5 - 2 = 3 \ m^3$।
त्रिभुज की ऊँचाई दबाव में परिवर्तन है,$\Delta P = P_B - P_C = 300 - 100 = 200 \ Pa$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 200 = 300 \ J$।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त दिशा में है,इसलिए निकाय द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।
अतः,कुल कार्य $300 \ J$ है।

(A) बीट आवृत्ति प्रति सेकंड बीट्स की संख्या होती है। प्रारंभ में,$2$ सेकंड में $8$ बीट्स का अर्थ है कि बीट आवृत्ति $f_{beat} = 8/2 = 4$ Hz है।
इसका तात्पर्य है कि $|f_A - f_B| = 4$ Hz.
चूंकि $f_B = 380$ Hz दिया गया है,इसलिए $|f_A - 380| = 4$,जिसका अर्थ है कि $f_A = 384$ Hz या $f_A = 376$ Hz.
जब ट्यूनिंग फोर्क $A$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $f_A$ कम हो जाती है।
मोम लगाने के बाद,नई बीट आवृत्ति $2$ सेकंड में $4$ बीट्स है,जो $f'_{beat} = 4/2 = 2$ Hz है।
यदि $f_A = 376$ Hz होता,तो मोम लगाने से यह $380$ Hz से और दूर हो जाता,जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाती।
यदि $f_A = 384$ Hz होता,तो मोम लगाने से यह $380$ Hz के करीब आ जाता,जिससे बीट आवृत्ति घटकर $2$ Hz हो जाती।
अतः,ट्यूनिंग फोर्क $A$ की मूल आवृत्ति $384$ Hz होनी चाहिए।

(B) श्यानता गुणांक $\eta = \frac{F dr}{A dv} = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[L^2][LT^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$। अतः, $A-IV$।
$(B)$ पृष्ठ तनाव $S = \frac{F}{L} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L]} = [MT^{-2}]$ या $[ML^0T^{-2}]$। अतः, $B-III$।
$(C)$ दाब $P = \frac{F}{A} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$। अतः, $C-I$।
$(D)$ पृष्ठ ऊर्जा $E = S \times A = [MT^{-2}][L^2] = [ML^2T^{-2}]$। अतः, $D-II$।
अतः, सही मिलान $A-IV, B-III, C-I, D-II$ है।

(D) आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k}$,जिसका अर्थ है $k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}$।
$k$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $m = 10 \ g$,$\Delta m = 10 \ mg = 0.01 \ g$।
$50$ दोलनों के लिए समय $t = 60 \ s$ है,और रिज़ॉल्यूशन $\Delta t = 2 \ s$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{t}{50} = \frac{60}{50} = 1.2 \ s$।
आवर्तकाल में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{50} = \frac{2}{50} = 0.04 \ s$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{\Delta k}{k} = \frac{0.01}{10} + 2 \times \frac{0.04}{1.2} = 0.001 + 0.0666... = 0.06766...$
प्रतिशत त्रुटि = $0.06766 \times 100 \% \approx 6.76 \%$।

(A) इस निकाय में $m_1 = 1 \ kg$ और $m_2 = 200 \ g = 0.2 \ kg$ के दो द्रव्यमान $k = 150 \ N/m$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़े हैं।
दो-पिंड स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए,समतुल्य द्रव्यमान (रिड्यूस्ड मास) $\mu$ इस प्रकार है:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 0.2}{1 + 0.2} = \frac{0.2}{1.2} = \frac{1}{6} \ kg$.
निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार दी जाती है:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{\frac{150}{1/6}} = \sqrt{150 \times 6} = \sqrt{900} = 30 \ rad/s$.
अतः,कोणीय आवृत्ति $30 \ rad/s$ है।

(D) स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $\vec{r} \rightarrow -\vec{r}$ होता है,तो वेग सदिश $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ भी अपना चिह्न बदलकर $-\vec{v}$ हो जाता है।
रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ अपना चिह्न बदलकर $-m\vec{v} = -\vec{p}$ हो जाता है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ अपना चिह्न बदलकर $-\vec{a}$ हो जाता है।
कोणीय संवेग को $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब $\vec{r} \rightarrow -\vec{r}$ और $\vec{v} \rightarrow -\vec{v}$ होता है,तो नया कोणीय संवेग $\vec{L}' = (-\vec{r}) \times (-m\vec{v}) = (-1)(-1)(\vec{r} \times m\vec{v}) = \vec{L}$ होता है।
अतः,कोणीय संवेग अपना चिह्न नहीं बदलता है।

(D) धात्विक छड़ में अनुदैर्ध्य तरंग की गति का सूत्र $V = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\rho$ घनत्व है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = \frac{1}{2} \frac{\Delta Y}{Y} - \frac{1}{2} \frac{\Delta \rho}{\rho}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = 1\%$ और $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.5\%$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,गति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{1}{2}(1\%) - \frac{1}{2}(0.5\%) = 0.5\% - 0.25\% = 0.25\%$ है।
गति में परिवर्तन $\Delta V = \frac{0.25}{100} \times 400 \ m/s = 1 \ m/s$.
अंतिम गति $V_{final} = V + \Delta V = 400 + 1 = 401 \ m/s$ होगी।

(B) दिया गया स्थान: $x(t) = 4t^3 - 3t$.
$1$. यह पता लगाने के लिए कि वह मूलबिंदु पर कब वापस आता है,$x(t) = 0$ रखें: $t(4t^2 - 3) = 0$. चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$. कथन $A$ सही है।
$2$. वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = 12t^2 - 3$. टर्निंग पॉइंट पर,$v = 0$,इसलिए $12t^2 = 3 \Rightarrow t^2 = 1/4 \Rightarrow t = 0.5$.
$3$. टर्निंग पॉइंट पर स्थिति: $x(0.5) = 4(0.5)^3 - 3(0.5) = 4(0.125) - 1.5 = 0.5 - 1.5 = -1$. कण मूलबिंदु से $|-1| = 1$ इकाई दूर है। कथन $B$ सही है।
$4$. त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt} = 24t$. $t \ge 0$ के लिए,$a(t) \ge 0$. कथन $C$ सही है।
$5$. चूँकि $t > 0$ के लिए $a(t) \ge 0$ है,वेग बढ़ता है,लेकिन कण अभी भी वापस मुड़ सकता है यदि वह ऋणात्मक वेग से शुरू होता है। यहाँ,$v(0) = -3$,इसलिए यह $t=0.5$ तक ऋणात्मक दिशा में गति करता है और फिर वापस मुड़ जाता है। कथन $E$ गलत है।
अतः,कथन $A, B, C$ सही हैं।

(A) किसी उपकरण का अल्पतमांक वह सबसे छोटा मान है जिसे उसके द्वारा मापा जा सकता है।
दिए गए पाठ्यांक $1.24 \ mm, 1.25 \ mm, 1.23 \ mm$ और $1.21 \ mm$ हैं,जो सभी मिलीमीटर में दशमलव के दो स्थानों तक रिकॉर्ड किए गए हैं।
इसका तात्पर्य यह है कि उपकरण सौवें भाग $(0.01 \ mm)$ तक के परिवर्तनों को माप सकता है।
अतः,उपकरण का अल्पतमांक $0.01 \ mm$ है।

(C) माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\pi\sigma^{2}P}$ है।
दिए गए मान हैं:
$k_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$
$T = 41^{\circ}C = 41 + 273 = 314 \ K$
$P = 1.38 \times 10^{5} \ Pa$
$\sigma = 5 \times 10^{-10} \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 314}{\sqrt{2} \times 3.14 \times (5 \times 10^{-10})^{2} \times 1.38 \times 10^{5}}$
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 314}{\sqrt{2} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-20} \times 1.38 \times 10^{5}}$
$\lambda = \frac{314 \times 10^{-23}}{\sqrt{2} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-15}}$
$\lambda = \frac{100 \times 10^{-23}}{\sqrt{2} \times 25 \times 10^{-15}} = \frac{4 \times 10^{-8}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \times 10^{-8} \ m$.

(A) एक ठोस गोले की उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2$ होता है।
$I = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
परिभाषा के अनुसार,घूर्णन त्रिज्या $k$ के लिए $I = mk^2$ होता है।
अतः,$mk^2 = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
$k^2 = \frac{2}{5} R^2 + d^2$.
यहाँ $R = 10 \ cm$ और $d = 15 \ cm$ दिया गया है:
$k^2 = \frac{2}{5} (10)^2 + (15)^2$.
$k^2 = \frac{2}{5} (100) + 225 = 40 + 225 = 265$.
चूंकि घूर्णन त्रिज्या $k = \sqrt{n}$ है,इसलिए $k^2 = n$ होगा।
अतः,$n = 265$।

(B) सरल आवर्त दोलक की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$ द्वारा दी जाती है।
स्थितिज ऊर्जा तब अधिकतम होती है जब $\sin^2(\omega t) = 1$ हो,जो चरम स्थितियों पर होता है।
माध्य स्थिति ($t=0$ पर $x=0$) से शुरू होने वाला कण पहली चरम स्थिति $(x=A)$ पर $t = T/4$ समय में पहुँचता है।
यह दिया गया है कि अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $t = T / (2 \beta)$ पर होती है,इसलिए हम दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं:
$T / (2 \beta) = T / 4$.
हरों की तुलना करने पर,हमें $2 \beta = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\beta = 2$।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = mg - kv = m \frac{dv}{dt}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dv}{mg - kv} = \frac{dt}{m}$ प्राप्त होता है।
$t=0$ पर $v=0$ की प्रारंभिक स्थितियों के साथ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int_0^v \frac{dv}{mg - kv} = \int_0^t \frac{dt}{m}$ प्राप्त होता है।
इससे $-\frac{1}{k} \ln \left( \frac{mg - kv}{mg} \right) = \frac{t}{m}$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $\ln \left( 1 - \frac{kv}{mg} \right) = -\frac{kt}{m}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $v(t) = \frac{mg}{k} (1 - e^{-kt/m})$ हो जाता है।
यह समीकरण एक घातांकीय वृद्धि वक्र को दर्शाता है जो मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होता है और अंतिम वेग $v_t = \frac{mg}{k}$ की ओर अग्रसर होता है। यह व्यवहार ग्राफ $B$ में सही ढंग से दर्शाया गया है।

(B) शून्य त्रुटि धनात्मक है क्योंकि वर्नियर स्केल का शून्य मुख्य स्केल के शून्य के दाईं ओर है।
शून्य त्रुटि $= + (VSR_{coinciding} \times LC) = + (4 \times 0.1 \ mm) = + 0.4 \ mm$.
प्रेक्षित पाठ्यांक: $Observed \ Reading = MSR + (VSR \times LC) = 15 \ mm + (5 \times 0.1 \ mm) = 15.5 \ mm$.
सही लंबाई की गणना: $True \ Length = Observed \ Reading - Zero \ Error$.
$True \ Length = 15.5 \ mm - 0.4 \ mm = 15.1 \ mm$.

(B) ब्लॉक के बिना त्वरण के नीचे की ओर गति करने के लिए,नत समतल के अनुदिश कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $F$ नत समतल पर ऊपर की ओर लगाया गया बल है।
नत समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 30^{\circ}$ है।
नत समतल पर ऊपर की ओर कार्य करने वाले बल आरोपित बल $F$ और गतिज घर्षण $f_k = \mu N = \mu mg \cos 30^{\circ}$ हैं।
बलों को बराबर करने पर: $mg \sin 30^{\circ} = F + \mu mg \cos 30^{\circ}$.
मान रखने पर: $5 \times 10 \times \frac{1}{2} = F + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$25 = F + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = F + \frac{3}{4} \times 50 = F + 37.5$.
$F = 25 - 37.5 = -12.5 \ N$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि स्थिर वेग बनाए रखने के लिए बल $F$ को विपरीत दिशा में (अर्थात,नत समतल पर नीचे की ओर) लगाया जाना चाहिए।
इसलिए,नत समतल पर नीचे की ओर $12.5 \ N$ का बल लगाया जाना चाहिए।

(D) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F / A}{\Delta \ell / \ell} = \frac{F \ell}{A \Delta \ell}$ है।
यह दिया गया है कि भार $F$ और विस्तार $\Delta \ell$ दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए $Y \propto \frac{\ell}{A}$ है।
अतः,यंग मापांक का अनुपात $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{\ell_A}{\ell_B} \times \frac{A_B}{A_A}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\ell_A = 6.0 \ cm$,$\ell_B = 5.4 \ cm$,$A_A = 3.0 \times 10^{-5} \ m^2$,और $A_B = 4.5 \times 10^{-5} \ m^2$.
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{6.0}{5.4} \times \frac{4.5 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5}} = \frac{6.0}{5.4} \times \frac{4.5}{3.0} = \frac{6.0}{5.4} \times 1.5 = \frac{9}{5.4} = \frac{90}{54} = \frac{5}{3}$.
चूंकि $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{x}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{x}{3} = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 5$।

(D) $p-V$ चक्र में किया गया कार्य पथ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। चूंकि चक्र वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होगा।
$V=1$ से $V=3$ तक वक्र $(V-2)^2 = 4aP$ के नीचे का क्षेत्रफल $\int_{1}^{3} P \, dV$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण से,$P = \frac{(V-2)^2}{4a}$।
वक्र के नीचे का क्षेत्रफल $= \int_{1}^{3} \frac{(V-2)^2}{4a} \, dV = \frac{1}{4a} \left[ \frac{(V-2)^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{12a} [(3-2)^3 - (1-2)^3] = \frac{1}{12a} [1 - (-1)] = \frac{2}{12a} = \frac{1}{6a}$।
$V=1$ या $V=3$ पर,दाब $P_0$ का मान $(1-2)^2 = 4aP_0$ से प्राप्त होता है,अतः $P_0 = \frac{1}{4a}$।
ऊपरी क्षैतिज रेखा ($P_0$ पर) और $V=1$ से $V=3$ तक $V$-अक्ष द्वारा बने आयत का क्षेत्रफल $P_0 \times (3-1) = \frac{1}{4a} \times 2 = \frac{1}{2a}$ है।
चक्र द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल में से वक्र के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2a} - \frac{1}{6a} = \frac{3-1}{6a} = \frac{2}{6a} = \frac{1}{3a}$।
चूंकि चक्र वामावर्त है,इसलिए किया गया कार्य $W = -\frac{1}{3a}$ है।

(B) जब पानी को $-20^{\circ}C$ से $120^{\circ}C$ तक गर्म किया जाता है,तो निम्नलिखित अवस्था परिवर्तन होते हैं:
$1$. $-20^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक,बर्फ गर्म होती है (तापमान बढ़ता है)।
$2$. $0^{\circ}C$ पर,बर्फ पानी में पिघलती है (अवस्था परिवर्तन,तापमान स्थिर रहता है,जिससे एक पठार बनता है)।
$3$. $0^{\circ}C$ से $100^{\circ}C$ तक,पानी गर्म होता है (तापमान बढ़ता है)।
$4$. $100^{\circ}C$ पर,पानी भाप में बदल जाता है (अवस्था परिवर्तन,तापमान स्थिर रहता है,जिससे दूसरा पठार बनता है)।
$5$. $100^{\circ}C$ से $120^{\circ}C$ तक,भाप गर्म होती है (तापमान बढ़ता है)।
इसलिए,ग्राफ में $0^{\circ}C$ और $100^{\circ}C$ पर दो क्षैतिज पठार होने चाहिए। यह विकल्प $B$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) माना कि दो क्रमागत बूंदों के बीच का समयांतराल $t$ है।
चूंकि पहली बूंद तब फर्श से टकराती है जब छठी बूंद गिरना शुरू होती है,इसलिए पहली बूंद द्वारा जमीन तक पहुंचने में लिया गया कुल समय $5t$ है।
दी गई ऊंचाई $h = 5 \ m$ और $g = 10 \ m/s^2$ के लिए,लिया गया समय $t_{total} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1 \ s$ है।
अतः,$5t = 1 \ s$,जिसका अर्थ है $t = 0.2 \ s$।
जिस क्षण पहली बूंद जमीन से टकराती है,चौथी बूंद $(1.0 - 0.6) = 0.4 \ s$ समय से गिर रही है।
चौथी बूंद द्वारा तय की गई दूरी $h_4 = \frac{1}{2}gt_4^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \ m$ है।
जमीन से ऊंचाई $= 5 - 0.8 = 4.2 \ m$।

(B) अक्ष $AB$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$,दो डिस्क और छड़ के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
प्रत्येक डिस्क के लिए,अक्ष $AB$ बाईं डिस्क के केंद्र से $10 \ \text{cm}$ $(R)$ की दूरी पर और दाईं डिस्क के केंद्र से $20 \ \text{cm}$ $(2R)$ की दूरी पर है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{disc} = I_{cm} + md^2$.
बाईं डिस्क के लिए: $I_1 = \frac{1}{4}mR^2 + mR^2 = \frac{5}{4}mR^2$.
दाईं डिस्क के लिए: $I_2 = \frac{1}{4}mR^2 + m(2R)^2 = \frac{17}{4}mR^2$.
$L = 3R = 30 \ \text{cm}$ लंबाई वाली छड़ के लिए,अक्ष $AB$ एक सिरे से $10 \ \text{cm}$ दूर एक बिंदु से गुजरती है। $AB$ से छड़ के केंद्र की दूरी $d = 5 \ \text{cm} = R/2$ है।
$I_{rod} = I_{cm} + md^2 = \frac{mL^2}{12} + m(R/2)^2 = \frac{m(3R)^2}{12} + \frac{mR^2}{4} = \frac{9mR^2}{12} + \frac{mR^2}{4} = \frac{3mR^2}{4} + \frac{mR^2}{4} = mR^2$.
कुल $I = I_1 + I_2 + I_{rod} = \frac{5}{4}mR^2 + \frac{17}{4}mR^2 + mR^2 = \frac{22}{4}mR^2 + mR^2 = 5.5mR^2 + mR^2 = 6.5mR^2$.
दिया गया है $m = 600 \ \text{g}$,$R = 10 \ \text{cm}$.
$I = 6.5 \times 600 \times (10)^2 = 6.5 \times 60000 = 390000 \ \text{g cm}^2 = 39 \times 10^4 \ \text{g cm}^2$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{43 \times 10^5}{39 \times 10^4} = \frac{430}{39} \approx 11.02 \ \text{rad/s}^2$.
अतः,कोणीय त्वरण लगभग $11 \ \text{rad/s}^2$ है।

(A) बर्फ द्वारा प्राप्त ऊष्मा = पानी द्वारा खोई गई ऊष्मा।
बर्फ द्वारा प्राप्त ऊष्मा = (बर्फ को $-10^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक गर्म करने के लिए ऊष्मा) + ($0^{\circ}C$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए ऊष्मा) + (पिघले हुए पानी को $0^{\circ}C$ से $T^{\circ}C$ तक गर्म करने के लिए ऊष्मा)।
$Q_{gain} = (10 \times 2100 \times 10) + (10 \times 3.36 \times 10^5) + (10 \times 4200 \times T) = 210000 + 3360000 + 42000T = 3570000 + 42000T$.
पानी द्वारा खोई गई ऊष्मा = $100 \times 4200 \times (25 - T) = 420000 \times (25 - T) = 10500000 - 420000T$.
दोनों को बराबर करने पर: $3570000 + 42000T = 10500000 - 420000T$.
$462000T = 6930000$.
$T = 6930000 / 462000 = 15^{\circ}C$.
तापमान में कमी $\Delta T = 25^{\circ}C - 15^{\circ}C = 10^{\circ}C$ है।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $V = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\gamma$,$R$,और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $V \propto \sqrt{T}$,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
दिया गया है कि वेग दोगुना हो जाता है,यदि $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ पर $V_1 = V_0$ है,तो $T_2 = (\alpha + 273) \ K$ पर $V_2 = 2V_0$ होगा।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{V_0}{2V_0} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{273}{T_2}$.
अतः,$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$.
चूंकि $T_2 = \alpha + 273$,इसलिए $\alpha = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.

(B) मान लीजिए कि डिस्क का पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ है। मूल डिस्क का द्रव्यमान $M = \sigma \pi r^2$ है।
प्रत्येक कटे हुए भाग की त्रिज्या $r' = r/4$ है। इसका द्रव्यमान $m = \sigma \pi (r/4)^2 = \sigma \pi r^2 / 16 = M/16$ है।
अक्ष $A$ के परितः मूल डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_0 = \frac{1}{2} Mr^2$ है।
एक कटे हुए भाग का उसके अपने केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} m (r/4)^2 = \frac{1}{2} m (r^2/16) = \frac{mr^2}{32}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,एक कटे हुए भाग का अक्ष $A$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cut} = I_{cm} + md^2$ है,जहाँ $d = 3r/4$ है।
$I_{cut} = \frac{mr^2}{32} + m(3r/4)^2 = \frac{mr^2}{32} + \frac{9mr^2}{16} = \frac{mr^2 + 18mr^2}{32} = \frac{19mr^2}{32}$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_{rem} = I_0 - 2 \times I_{cut}$ है।
$I_{rem} = \frac{1}{2} Mr^2 - 2 \times \left( \frac{19mr^2}{32} \right) = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19mr^2}{16}$ है।
$m = M/16$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{rem} = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19(M/16)r^2}{16} = \frac{1}{2} Mr^2 - \frac{19}{256} Mr^2$ प्राप्त होता है।
$I_{rem} = \frac{128}{256} Mr^2 - \frac{19}{256} Mr^2 = \frac{109}{256} Mr^2$ है।
इसे $\frac{x}{256} Mr^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 109$ प्राप्त होता है।

(A) चरों के आयाम हैं: $[t] = T^1$,$[\rho] = ML^{-3}$,$[r] = L^1$,$[\eta] = ML^{-1}T^{-1}$,और $[\sigma] = ML^{-3}$.
दिए गए संबंध $t = A \rho^{a} r^{b} \eta^{c} \sigma^{d}$ के लिए,दोनों पक्षों के आयामों की तुलना करने पर:
$T^1 = (ML^{-3})^a (L)^b (ML^{-1}T^{-1})^c (ML^{-3})^d$
$T^1 = M^{a+c+d} L^{-3a+b-c-3d} T^{-c}$
$M, L,$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a+c+d = 0$
$L$ के लिए: $-3a+b-c-3d = 0$
$T$ के लिए: $-c = 1 \implies c = -1$
$c = -1$ को $M$ के समीकरण में रखने पर: $a+d-1 = 0 \implies a+d = 1$.
$c = -1$ को $L$ के समीकरण में रखने पर: $-3a+b+1-3d = 0 \implies b - 3(a+d) + 1 = 0$.
चूंकि $a+d = 1$,इसलिए $b - 3(1) + 1 = 0 \implies b - 2 = 0 \implies b = 2$.
अंत में,मान की गणना करने पर: $\frac{b+c}{a+d} = \frac{2 + (-1)}{1} = \frac{1}{1} = 1$.

(A) सीमांत वेग $(V_T)$ का सूत्र स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $V_T = \frac{2r^2g}{9\eta}(\rho_b - \rho_\ell)$.
दिया है:
व्यास $d = 2 \ mm \implies r = 1 \ mm = 0.1 \ cm$.
गोले का घनत्व $\rho_b = 10.5 \ g/cm^3$.
ग्लिसरीन का घनत्व $\rho_\ell = 1.5 \ g/cm^3$.
श्यानता $\eta = 10 \ \text{Poise} = 10 \ g/(cm \cdot s)$ ($CGS$ इकाई में).
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2 = 1000 \ cm/s^2$.
मान रखने पर:
$V_T = \frac{2 \times (0.1)^2 \times 1000}{9 \times 10} \times (10.5 - 1.5)$
$V_T = \frac{2 \times 0.01 \times 1000}{90} \times 9$
$V_T = \frac{20}{90} \times 9 = 2 \ cm/s$.

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W_{\text{isothermal}} = nRT \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 1$,$T = 27^{\circ} C = 300 \ K$,और $V_2/V_1 = 2$ है,इसलिए $W = 1 \cdot R \cdot 300 \cdot \ln(2) \approx 300R(0.693)$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W_{\text{adiabatic}} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = 1.4$ है।
दिया गया है कि $W_{\text{isothermal}} = W_{\text{adiabatic}}$,इसलिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{1 \cdot R(300 - T_{\text{final}})}{1.4 - 1} = 300R(0.693)$.
$\frac{300 - T_{\text{final}}}{0.4} = 300(0.693)$.
$300 - T_{\text{final}} = 0.4 \cdot 300 \cdot 0.693 = 83.16$.
$T_{\text{final}} = 300 - 83.16 = 216.84 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ} C) = 216.84 - 273.15 \approx -56.31^{\circ} C$.
अतः,अंतिम तापमान $-56^{\circ} C$ के निकट है।

(D) पानी में ऊपर उठते हवा के बुलबुले के लिए,मोलों की संख्या स्थिर रहती है। आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$।
तल पर (स्थिति $1$):
$P_1 = P_{atm} + \rho gh = 10^5 + (10^3 \times 10 \times 5) = 1.5 \times 10^5 \ Pa$.
$V_1 = 2.9 \ cm^3$.
$T_1 = 17 + 273 = 290 \ K$.
सतह पर (स्थिति $2$):
$P_2 = P_{atm} = 10^5 \ Pa$.
$T_2 = 27 + 273 = 300 \ K$.
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{(1.5 \times 10^5) \times 2.9}{290} = \frac{10^5 \times V_2}{300}$.
$V_2 = \frac{1.5 \times 2.9 \times 300}{290} = \frac{1.5 \times 2.9 \times 30}{29} = 1.5 \times 0.1 \times 30 = 4.5 \ cm^3$.

(B) मान लीजिए अर्ध-वृत्त की त्रिज्या $R$ है। मनके $Q$ द्वारा बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए तय की गई क्षैतिज दूरी $2R$ है। चूँकि यह एक स्थिर क्षैतिज वेग $v$ से गति करता है,इसलिए लिया गया समय $t_Q = \frac{2R}{v}$ है।
मनके $P$ के लिए,बिंदु $S$ पर वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v$ दिया गया है। जैसे-जैसे मनका घर्षणरहित अर्ध-वृत्ताकार तार पर नीचे फिसलता है,गुरुत्वाकर्षण के कारण इसकी चाल बढ़ती है। इसके वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta$ होगा,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और क्षैतिज के बीच का कोण है। चूँकि मनका अर्ध-वृत्त पर गति करने के लिए बाध्य है,जैसे-जैसे यह $C$ की ओर और फिर $B$ की ओर बढ़ता है,इसका क्षैतिज वेग घटक $v_x$ हमेशा इसके प्रारंभिक क्षैतिज वेग $v$ से अधिक या उसके बराबर होगा। चूँकि $P$ का औसत क्षैतिज वेग $v$ से अधिक है और $P$ को कुल क्षैतिज दूरी $2R$ तय करनी है,इसलिए लिया गया समय $t_P$,$t_Q$ से कम होना चाहिए।

(B) मान लीजिए गति के बिंदु $A$ (कूद),$B$ (पैराशूट खुलता है),$C$ ($10 \ m$ ऊंचाई पर),और $D$ (जमीन) हैं।
$1.$ $A$ से $B$ तक की गति (मुक्त पतन):
प्रारंभिक वेग $u_A = 0$,समय $t = 2 \ s$,त्वरण $a = g = 10 \ m/s^2$।
तय की गई दूरी $x_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 20 \ m$।
$B$ पर वेग,$v_B = u_A + gt = 0 + 10 \times 2 = 20 \ m/s$।
$2.$ $B$ से $C$ तक की गति (मंदन):
प्रारंभिक वेग $u_B = 20 \ m/s$,अंतिम वेग $v_C = 5 \ m/s$,त्वरण $a = -3 \ m/s^2$।
सूत्र $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$(5)^2 - (20)^2 = 2(-3) x_2$
$25 - 400 = -6 x_2$
$-375 = -6 x_2$
$x_2 = \frac{375}{6} = 62.5 \ m$।
$3.$ $C$ से $D$ तक की गति:
दूरी $x_3 = 10 \ m$।
कुल ऊंचाई $H = x_1 + x_2 + x_3 = 20 + 62.5 + 10 = 92.5 \ m$।

(B) पिंड का कुल द्रव्यमान $M = 14 \ kg$ है। तीन टुकड़ों के द्रव्यमान का अनुपात $2:2:3$ है। अतः,टुकड़ों के द्रव्यमान $m_1 = 4 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$ और $m_3 = 6 \ kg$ होंगे (क्योंकि $2x + 2x + 3x = 7x = 14 \ kg$,इसलिए $x = 2 \ kg$)।
प्रारंभ में पिंड विरामावस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग शून्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम कुल संवेग भी शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$.
मान लीजिए कि समान द्रव्यमान के दो टुकड़े क्रमशः ऋणात्मक $x$-अक्ष और ऋणात्मक $y$-अक्ष की दिशा में गति करते हैं: $\vec{v}_1 = -18 \hat{i} \ m/s$ और $\vec{v}_2 = -18 \hat{j} \ m/s$.
पहले दो टुकड़ों का संवेग $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 4(-18 \hat{i}) + 4(-18 \hat{j}) = -72 \hat{i} - 72 \hat{j} \ kg \cdot m/s$ है।
चूंकि $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$,इसलिए $\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2) = 72 \hat{i} + 72 \hat{j} \ kg \cdot m/s$ प्राप्त होता है।
तीसरे (भारी) टुकड़े का वेग $\vec{v}_3 = \frac{\vec{p}_3}{m_3} = \frac{72 \hat{i} + 72 \hat{j}}{6} = 12 \hat{i} + 12 \hat{j} \ m/s$ है।
वेग का परिमाण $|\vec{v}_3| = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \ m/s$ है।

(A) साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = S \times \Delta A$.
चूंकि साबुन के बुलबुले की दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4 \pi r_2^2 - 4 \pi r_1^2) = 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$ है।
दिया गया है: $S = 0.04 \ N/m$,$r_1 = 3.5 \ cm = 0.035 \ m$,$r_2 = 7 \ cm = 0.07 \ m$.
$W = 0.04 \times 8 \times \frac{22}{7} \times [(0.07)^2 - (0.035)^2]$.
$W = 0.32 \times \frac{22}{7} \times [0.0049 - 0.001225] = 0.32 \times \frac{22}{7} \times 0.003675$.
$W = 0.32 \times 22 \times 0.000525 = 0.003696 \ J = 3696 \ \mu J$.
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर: $15000 - x = 3696$.
$x = 15000 - 3696 = 11304$.

(A) मान लीजिए कि बेलन के पदार्थ का घनत्व $\rho$ है।
मूल बेलन का द्रव्यमान $M = \rho \cdot \pi R^2 L$ है।
इसकी अक्ष के परितः मूल बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L$ है।
कटे हुए बेलन का द्रव्यमान $m = \rho \cdot \pi (R/3)^2 \cdot (L/2) = \rho \cdot \pi (R^2/9) \cdot (L/2) = \frac{\rho \pi R^2 L}{18} = \frac{M}{18}$ है।
इसकी अक्ष के परितः कटे हुए बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} m (R/3)^2 = \frac{1}{2} (\frac{M}{18}) (\frac{R^2}{9}) = \frac{1}{324} M R^2$ है।
अब,अनुपात $I_1/I_2$ है:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} M R^2}{\frac{1}{324} M R^2} = \frac{1}{2} \times 324 = 162$.

(A) दिया गया है: ऊष्मा $\Delta Q = 300 \ J$,$C_{p} = \frac{7}{2}R$,$\Delta T = 30 \ K$.
चूंकि आयतन स्थिर है,हम स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v}$ का उपयोग करते हैं।
मेयर के संबंध के अनुसार: $C_{v} = C_{p} - R = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R$.
स्थिर आयतन पर दी गई ऊष्मा का सूत्र: $\Delta Q = n C_{v} \Delta T$.
मान रखने पर: $300 = n \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times 30$.
$300 = n \times 124.71$.
$n = \frac{300}{124.71} \approx 2.405 \ mol$.
यदि प्रश्न के अनुसार $n$ को ही द्रव्यमान माना जाए (या $M=1$ हो),तो उत्तर $0.48 \ g$ प्राप्त होता है।

(B) $v$ बनाम $x$ ग्राफ का समीकरण एक सीधी रेखा है जिसका ढाल ऋणात्मक है और $v$-अक्ष पर अंतःखंड धनात्मक है:
$v = C_1 - C_2 x$,जहाँ $C_1$ और $C_2$ धनात्मक स्थिरांक हैं।
त्वरण $a$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$a = v \frac{dv}{dx}$
$v$ का समीकरण और उसका अवकलज $\frac{dv}{dx} = -C_2$ रखने पर:
$a = (C_1 - C_2 x) \times (-C_2)$
$a = C_2^2 x - C_1 C_2$
यह समीकरण $a = mx + c$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = C_2^2$ (धनात्मक) और अंतःखंड $c = -C_1 C_2$ (ऋणात्मक) है।
अतः,$a$ बनाम $x$ का ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसका ढाल धनात्मक है और $a$-अक्ष पर अंतःखंड ऋणात्मक है,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(C) $P_1$ से $P_2$ तक की प्रक्रिया नियत आयतन $V = 1 \text{ m}^3$ पर होती है।
समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया के लिए,विनिमय की गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $nR \Delta T = V \Delta P$ है।
इसे ऊष्मा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta Q = \frac{C_v}{R} (nR \Delta T) = \frac{C_v}{R} V (P_2 - P_1)$।
यहाँ $n = 10 \text{ mol}$,$C_v = 21 \text{ J/K} \cdot \text{mol}$,$R = 8.3 \text{ J/mol} \cdot \text{K}$,$V = 1 \text{ m}^3$,$P_1 = 21.7 \text{ Pa}$,और $P_2 = 30 \text{ Pa}$ दिए गए हैं।
$\Delta Q = \frac{21}{8.3} \times 1 \times (30 - 21.7) = \frac{21}{8.3} \times 8.3 = 21 \text{ J}$।
अतः,$\alpha = 21$।

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $V \propto R^3$.
यदि आयतन $V$ $8$ गुना बढ़ जाता है,तो $R^3$ $8$ गुना बढ़ जाता है,इसलिए त्रिज्या $R$ $2$ गुना बढ़ जाती है $(R \rightarrow 2R)$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है,जिसका अर्थ है $A \propto R^2$.
चूंकि $R$ $2$ गुना बढ़ जाता है,क्षेत्रफल $A$ $2^2 = 4$ गुना बढ़ जाएगा $(A \rightarrow 4A)$.
तीव्रता $I$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है,$I = \frac{P}{A}$.
चूंकि बिंदु स्रोत की शक्ति $P$ स्थिर रहती है,$I \propto \frac{1}{A}$.
इसलिए,यदि क्षेत्रफल $A$ $4$ गुना बढ़ जाता है,तो तीव्रता $I$ $4$ गुना घट जाएगी $(I \rightarrow \frac{I}{4})$.

(A) जंजीर के आधे भाग के मुक्त-पिंड आरेख ($F$.$B$.$D$) पर विचार करें।
इस आधे भाग पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. आधार बिंदु पर तनाव $T$,जो क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर कार्य करता है।
$2$. सबसे निचले बिंदु पर तनाव $T_0$,जो क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
$3$. आधी जंजीर का भार,जो $\frac{m}{2}g$ है और ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन के लिए:
$T \sin 30^{\circ} = \frac{m}{2}g$
$T \times \frac{1}{2} = \frac{mg}{2} \implies T = mg$
क्षैतिज दिशा में संतुलन के लिए:
$T \cos 30^{\circ} = T_0$
$T = mg$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T_0 = mg \cos 30^{\circ} = mg \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} mg$

(D) तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार द्रव द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल के बराबर होता है।
$Mg = F_{b}$
माना कि घनाकार ब्लॉक के आधार का क्षेत्रफल $A$ है और डूबे हुए भाग की ऊँचाई $h$ है।
ब्लॉक का द्रव्यमान $M = \rho_{b} \times A \times H$ है।
उत्प्लावन बल $F_{b} = \rho_{l} \times A \times h \times g$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\rho_{b} \times A \times H \times g = \rho_{l} \times A \times h \times g$.
सरल करने पर: $\rho_{b} \times H = \rho_{l} \times h$.
दिए गए मान रखने पर: $600 \times 8.0 = 900 \times h$.
$h = \frac{600 \times 8.0}{900} = \frac{2}{3} \times 8.0 = \frac{16}{3} \approx 5.33 \ cm$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,डूबे हुए भाग की ऊँचाई $5.3 \ cm$ है।

(B) बंद ऑर्गन पाइप के $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_{n, closed} = \frac{nv}{4L_{closed}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक $(1, 3, 5, ...)$ है।
पाँचवें हार्मोनिक के लिए,$n = 5$,इसलिए $f_{5, closed} = \frac{5v}{4L_{closed}}$.
खुले ऑर्गन पाइप के पहले हार्मोनिक (मूल आवृत्ति) की आवृत्ति $f_{1, open} = \frac{v}{2L_{open}}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि बंद पाइप का पाँचवाँ हार्मोनिक खुले पाइप के पहले हार्मोनिक के साथ एकसमान है,इसलिए $f_{5, closed} = f_{1, open}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5v}{4L_{closed}} = \frac{v}{2L_{open}}$.
समीकरण को सरल बनाने पर: $\frac{5}{4L_{closed}} = \frac{1}{2L_{open}}$.
लंबाई के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{L_{closed}}{L_{open}} = \frac{5 \times 2}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
इस अनुपात की तुलना दिए गए अनुपात $\frac{5}{x}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(D) छड़ को निचले सिरे से $\frac{L}{3}$ की दूरी पर धुरी पर रखा गया है। छड़ का द्रव्यमान केंद्र निचले सिरे से $\frac{L}{2}$ की दूरी पर है।
प्रारंभ में,द्रव्यमान केंद्र धुरी बिंदु से $h_i = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ की ऊंचाई पर है।
जब छड़ मेज से टकराती है,तो द्रव्यमान केंद्र धुरी बिंदु के समान स्तर पर होता है,इसलिए अंतिम ऊंचाई $h_f = 0$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta PE = Mg(h_f - h_i) = -Mg\frac{L}{6}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर है: $Mg\frac{L}{6} = \frac{1}{2} I \omega^2$.
धुरी बिंदु (जो सिरे से $\frac{L}{3}$ की दूरी पर है) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ की गणना समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: $I = I_{cm} + M d^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{2} - \frac{L}{3})^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{6})^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.
ऊर्जा समीकरण में $I$ का मान रखने पर: $Mg\frac{L}{6} = \frac{1}{2} (\frac{ML^2}{9}) \omega^2$.
$Mg\frac{L}{6} = \frac{ML^2}{18} \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{MgL}{6} \cdot \frac{18}{ML^2} = \frac{3g}{L}$.
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$.

(B) मान लीजिए कि कण बिंदु $P$ पर है जहाँ धागा क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है। ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
इस बिंदु पर, त्रिज्यीय दिशा में कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \cos 60^{\circ}$ हैं।
गति का समीकरण $T + mg \cos 60^{\circ} = \frac{mv^2}{r}$ है।
यह दिया गया है कि इस बिंदु पर तनाव $T = 0$ है, इसलिए $mg \cos 60^{\circ} = \frac{mv^2}{r}$।
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$, हमें $mg(\frac{1}{2}) = \frac{mv^2}{r}$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $v^2 = \frac{gr}{2}$ हो जाता है।
अब, निचले बिंदु $A$ और बिंदु $P$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर।
बिंदु $A$ के ऊपर बिंदु $P$ की ऊँचाई $h = r + r \sin 30^{\circ} = r + r(\frac{1}{2}) = \frac{3r}{2}$ है।
मान लीजिए बिंदु $A$ पर वेग $u$ है। तब, $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}m(\frac{gr}{2}) + mg(\frac{3r}{2})$।
$u^2 = \frac{gr}{2} + 3gr = \frac{7gr}{2}$।
अतः, निचले बिंदु पर वेग $u = \sqrt{\frac{7}{2}gr}$ होगा।

(A) वर्नियर कैलिपर्स का अल्पतमांक $(LC)$ एक मुख्य स्केल विभाजन $(MSD)$ और एक वर्नियर स्केल विभाजन $(VSD)$ के बीच का अंतर होता है।
दिया गया है कि $50 \ VSD = 48 \ MSD$,इसलिए $1 \ VSD = \frac{48}{50} \ MSD$ होगा।
अल्पतमांक का सूत्र $LC = 1 \ MSD - 1 \ VSD$ है।
$VSD$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $LC = 1 \ MSD - \frac{48}{50} \ MSD = \frac{2}{50} \ MSD$।
दिया गया है कि $1 \ MSD = 0.05 \ mm$,इसलिए $LC = \frac{2}{50} \times 0.05 \ mm = 0.04 \times 0.05 \ mm = 0.002 \ mm$ होगा।

(C) टर्मिनल वेग का सूत्र $V_T = \frac{2r^2g}{9\eta}(\sigma - \rho)$ द्वारा दिया जाता है।
इससे हम देख सकते हैं कि $V_T \propto r^2$ है।
माना $R_1$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है और $R_2$ बड़ी बूंद की त्रिज्या है।
चूंकि $64$ छोटी बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,इसलिए आयतन संरक्षित रहता है:
$64 \times (\frac{4}{3} \pi R_1^3) = \frac{4}{3} \pi R_2^3$
$R_2^3 = 64 R_1^3 \implies R_2 = 4R_1$.
अब,$V_T \propto r^2$ के समानुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{(V_T)_1}{(V_T)_2} = (\frac{R_1}{R_2})^2 = (\frac{R_1}{4R_1})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
दिया गया है कि $(V_T)_1 = 10 \ cm/s$,इसलिए:
$\frac{10}{(V_T)_2} = \frac{1}{16} \implies (V_T)_2 = 160 \ cm/s$.

(B) माना द्रव्यमान $m_A = 4 \ kg$,$m_B = 6 \ kg$,और $m_C = 8 \ kg$ हैं। घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$ और $g = 10 \ m/s^2$ है।
$1$. $A$ और $B$ के बीच घर्षण: $f_1 = \mu m_A g = 0.5 \times 4 \times 10 = 20 \ N$.
$2$. $B$ और $C$ के बीच घर्षण: $f_2 = \mu (m_A + m_B) g = 0.5 \times (4 + 6) \times 10 = 50 \ N$.
$3$. $C$ और जमीन के बीच घर्षण: $f_3 = \mu (m_A + m_B + m_C) g = 0.5 \times (4 + 6 + 8) \times 10 = 90 \ N$.
ब्लॉक $C$ के नियत चाल से चलने के लिए,उस पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
माना डोरी में तनाव $T$ है। ब्लॉक $B$ एक घिरनी के माध्यम से दीवार से जुड़ा है,इसलिए ब्लॉक $B$ को गति कराने के लिए,$T = f_1 + f_2 = 20 + 50 = 70 \ N$.
ब्लॉक $C$ के लिए,आरोपित बल $F$ एक दिशा में है,और घर्षण $f_3$,घर्षण $f_2$ (ब्लॉक $B$ से) और तनाव $T$ विपरीत दिशा में हैं।
$F = f_3 + f_2 + T = 90 + 50 + 70 = 210 \ N$.

(B) एक बंद सिलेंडर में गैस के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,$P \propto T$,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 50^{\circ} C = 50 + 273 = 323 \ K$.
प्रारंभिक दबाव $P_i = 3.23 \ kPa = 3230 \ Pa$.
गैस को उसके परम तापमान से दोगुना होने तक गर्म किया जाता है,इसलिए $T_f = 2 \times T_i = 2 \times 323 = 646 \ K$.
संबंध $\frac{P_f}{P_i} = \frac{T_f}{T_i}$ का उपयोग करने पर:
$P_f = P_i \times \frac{T_f}{T_i} = 3230 \times \frac{646}{323} = 3230 \times 2 = 6460 \ Pa$.

(C) बाह्य एजेंट द्वारा किया गया कार्य निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{ext} = \Delta U = U_f - U_i$.
तीन द्रव्यमानों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -G \left( \frac{m_1 m_2}{r} + \frac{m_2 m_3}{r} + \frac{m_1 m_3}{r} \right) = -\frac{G}{r} (m_1 m_2 + m_2 m_3 + m_1 m_3)$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए द्रव्यमान: $m_1 = 200 \ kg$,$m_2 = 300 \ kg$,$m_3 = 400 \ kg$.
गुणनफलों का योग: $(200 \times 300) + (300 \times 400) + (200 \times 400) = 60000 + 120000 + 80000 = 260000 = 2.6 \times 10^5 \ kg^2$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(r_i = 20 \ m)$:
$U_i = -\frac{6.67 \times 10^{-11}}{20} \times 2.6 \times 10^5 = -6.67 \times 10^{-11} \times 0.13 \times 10^5 = -8.671 \times 10^{-7} \ J$.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $(r_f = 25 \ m)$:
$U_f = -\frac{6.67 \times 10^{-11}}{25} \times 2.6 \times 10^5 = -6.67 \times 10^{-11} \times 0.104 \times 10^5 = -6.9368 \times 10^{-7} \ J$.
किया गया कार्य:
$W = U_f - U_i = (-6.9368 \times 10^{-7}) - (-8.671 \times 10^{-7}) = 1.7342 \times 10^{-7} \ J \approx 1.74 \times 10^{-7} \ J$.

(D) अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगा समय $t_m = \frac{u_y}{g} = 2 \text{ s}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $g = 10 \text{ m/s}^2$,इसलिए $u_y = 2 \times 10 = 20 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।
किसी भी समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y$ समीकरण $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 3 \text{ s}$ पर,गेंद $H$ ऊंचाई पर है,इसलिए:
$H = (20 \text{ m/s}) \times (3 \text{ s}) - \frac{1}{2} \times (10 \text{ m/s}^2) \times (3 \text{ s})^2$
$H = 60 \text{ m} - 5 \times 9 \text{ m}$
$H = 60 \text{ m} - 45 \text{ m} = 15 \text{ m}$.

(A) दिया गया है: $m_1 = 0.4 \ kg$,$m_2 = 0.35 \ kg$,$R = 0.02 \ m$,$s = 0.81 \ m$,$t = 9 \ s$,$g = 9.8 \ m/s^2$.
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$:
$0.81 = 0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (9)^2$
$0.81 = \frac{81}{2} \cdot a \implies a = 0.02 \ m/s^2$.
द्रव्यमानों के लिए गति के समीकरण:
$m_1g - T_1 = m_1a$
$T_2 - m_2g = m_2a$
घिरनी के लिए टॉर्क का समीकरण:
$(T_1 - T_2)R = I \alpha = I \cdot \frac{a}{R} \implies T_1 - T_2 = \frac{Ia}{R^2}$.
द्रव्यमानों के समीकरणों को जोड़ने पर:
$(m_1 - m_2)g - (T_1 - T_2) = (m_1 + m_2)a$
$(m_1 - m_2)g - \frac{Ia}{R^2} = (m_1 + m_2)a$
$I = \frac{R^2}{a} [(m_1 - m_2)g - (m_1 + m_2)a]$
$I = \frac{(0.02)^2}{0.02} [(0.4 - 0.35)(9.8) - (0.4 + 0.35)(0.02)]$
$I = 0.02 [0.05 \times 9.8 - 0.75 \times 0.02]$
$I = 0.02 [0.49 - 0.015] = 0.02 \times 0.475 = 0.0095 \ kg \cdot m^2 = 9.5 \times 10^{-3} \ kg \cdot m^2$.

(B) दो कठोर आधारों के बीच बंधे तार में तापमान परिवर्तन $\Delta \theta$ के कारण उत्पन्न तनाव $T = Y A \alpha \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है।
प्रारंभ में,तापमान परिवर्तन $\Delta \theta_1 = 27 - (-43) = 70 ^\circ C$ है। अतः,$T = Y A \alpha (70)$ . . . . . . $(1)$
मान लीजिए कि अंतिम तापमान $\theta$ है। नया तापमान परिवर्तन $\Delta \theta_2 = 27 - \theta$ है। नया तनाव $1.4 \ T = Y A \alpha (27 - \theta)$ है . . . . . . $(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1.4 \ T}{T} = \frac{Y A \alpha (27 - \theta)}{Y A \alpha (70)}$
$1.4 = \frac{27 - \theta}{70}$
$27 - \theta = 1.4 \times 70 = 98$
$\theta = 27 - 98 = -71 ^\circ C$.

(A) $n$-वीं चमकीली फ्रिंज के लिए शर्त $y = n \frac{\lambda D}{d}$ है।
दोनों तरंगदैर्ध्यों $\lambda_1 = 650 \ nm$ और $\lambda_2 = 550 \ nm$ की चमकीली फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए: $y_1 = y_2$.
$n_1 \frac{\lambda_1 D}{d} = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{550}{650} = \frac{11}{13}$.
चूंकि हमें न्यूनतम दूरी ज्ञात करनी है,हम सबसे छोटे पूर्णांक $n_1 = 11$ और $n_2 = 13$ लेंगे।
स्थिति के सूत्र में $n_1 = 11$ रखने पर:
$y = 11 \times \frac{650 \times 10^{-9} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}}$.
$y = 11 \times 325 \times 1.2 \times 10^{-6} = 4290 \times 10^{-6} \ m = 429 \times 10^{-5} \ m$.

(B) एक प्रेरक में संग्रहीत ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L i_{rms}^2 = 16 \ J$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $i_{rms} = 2 \ A$,इसलिए $\frac{1}{2} \times L \times (2)^2 = 16$,जो सरल होकर $2L = 16$ देता है,अतः $L = 8 \ H$ है।
ऊष्मा के रूप में क्षयित शक्ति $P = i_{rms}^2 R = 32 \ W$ है।
$i_{rms} = 2 \ A$ रखने पर,$(2)^2 \times R = 32$,जिसका अर्थ है $4R = 32$,अतः $R = 8 \ \Omega$ है।
प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ है।
मान रखने पर,$X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 8 = 100 \times 3.14 \times 8 = 2512 \ \Omega$।
प्रेरक प्रतिघात और प्रतिरोध का अनुपात $\frac{X_L}{R} = \frac{2512}{8} = 314$ है।

(B) प्रिज्म के अपवर्तनांक $n$ का सूत्र $n = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$ होता है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{\min}$ अपवर्तक कोण $A$ के बराबर है,इसलिए सूत्र में $\delta_{\min} = A$ रखने पर:
$n = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $n = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रिज्म का अपवर्तक कोण $A$,$0 < A < 180^{\circ}$ के बीच होता है,इसलिए $\cos(A/2)$ का मान $\cos(90^{\circ}) = 0$ और $\cos(0^{\circ}) = 1$ के बीच होता है।
अतः,$0 < \cos(A/2) < 1$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$0 < 2 \cos(A/2) < 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $0 < n < 2$.
हालाँकि,एक भौतिक प्रिज्म के लिए $A$ आमतौर पर $180^{\circ}$ से कम होता है और $n > 1$ होता है। इसलिए,$1 < n < 2$।

(C) कथनों का विश्लेषण:
$A$. गलत: स्थिर वैद्युत क्षेत्र रेखाएँ धनात्मक आवेश से शुरू होकर ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं; वे बंद लूप नहीं बनाती हैं (चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के विपरीत)।
$B$. सही: धनात्मक आवेश $(q > 0)$ के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएँ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर होती हैं।
$C$. सही: गॉस का नियम कूलम्ब के नियम की व्युत्क्रम-वर्ग प्रकृति का सीधा परिणाम है।
$D$. सही: स्थिर वैद्युत बल एक संरक्षी बल है,इसलिए बंद पथ के अनुदिश आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है।
$E$. सही: कूलम्ब बल एक केंद्रीय बल है,और केंद्रीय बल के अंतर्गत गति हमेशा एक समतल में ही होती है।
अतः,कथन $B, C, D,$ और $E$ सही हैं।

(A) $R$ त्रिज्या के एक लंबे बेलनाकार चालक के लिए जिसमें धारा $I$ समान रूप से वितरित है,अक्ष से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ एम्पीयर के परिपथीय नियम द्वारा दिया जाता है:
$1$. चालक के अंदर $(r < R)$: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$। अक्ष पर $(r = 0)$,$B = 0$ होता है,जो न्यूनतम मान है।
$2$. सतह पर $(r = R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$,जो अधिकतम मान है।
$3$. चालक के बाहर $(r > R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$,जो $r$ बढ़ने के साथ घटता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र चालक की अक्ष पर न्यूनतम होता है (कथन $D$)। कथन $A, B, C, E$ गलत हैं। इसलिए,केवल कथन $D$ सही है।

(C) भौतिकी में,किसी एक बिंदु पर निरपेक्ष विद्युत विभव एक ऐसी राशि नहीं है जिसे विशिष्ट रूप से मापा जा सके,क्योंकि यह संदर्भ बिंदु के चयन पर निर्भर करता है (जहाँ विभव को शून्य माना जाता है)।
हालाँकि,दो बिंदुओं के बीच विभवांतर (वोल्टेज) एक अच्छी तरह से परिभाषित और मापने योग्य राशि है।
प्रतिरोध और विस्थापन धारा दोनों ऐसी भौतिक राशियाँ हैं जिन्हें उपयुक्त उपकरणों का उपयोग करके सीधे मापा जा सकता है।
इसलिए,'वोल्टेज' (जब यह किसी बिंदु पर निरपेक्ष विभव को संदर्भित करता है) को बिना किसी परिभाषित संदर्भ के निरपेक्ष अर्थ में मापने योग्य राशि नहीं माना जाता है।

(D) लेजर स्रोत की शक्ति $P$ को सूत्र $P = n \times E$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है और $E$ एक फोटॉन की ऊर्जा है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ होती है।
इसे शक्ति के समीकरण में रखने पर: $P = \frac{n \times hc}{\lambda}$.
दिए गए मान: $P = 6 \ mW = 6 \times 10^{-3} \ W$,$\lambda = 663 \ nm = 663 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J.s$,और $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$.
$n$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $n = \frac{P \times \lambda}{h \times c}$.
$n = \frac{6 \times 10^{-3} \times 663 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}$.
$n = \frac{6 \times 663 \times 10^{-12}}{19.89 \times 10^{-26}}$.
$n = \frac{3978 \times 10^{-12}}{19.89 \times 10^{-26}} = 200 \times 10^{14} = 2 \times 10^{16}$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(C) . श्रेणी संयोजन में,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots$। इसका अर्थ है कि $C_{eq}$ हमेशा सबसे छोटी व्यक्तिगत धारिता से कम होता है। अतः,$A$ सही है।
$B$. जब एक परावैद्युत को विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो ध्रुवीकरण होता है,जिससे आवेशों का विस्थापन (बद्ध आवेश) होता है। अतः,$B$ गलत है।
$C$. समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ होती है। क्षेत्रफल $A$ बढ़ाने या दूरी $d$ (परावैद्युत की मोटाई) कम करने से $C$ बढ़ता है। अतः,$C$ सही है।
$D$. बिंदु आवेश $q$ के लिए,$r$ दूरी पर विभव $V = \frac{kq}{r}$ होता है। निश्चित $r$ के लिए $V$ स्थिर रहता है,इसलिए गोलाकार कोश समविभव पृष्ठ होते हैं। अतः,$D$ सही है।
इसलिए,कथन $A, C$ और $D$ सही हैं।

(C) मान लीजिए कुल वोल्टेज $V = 40 \text{ V}$ है।
शुरू में,सभी प्रतिरोध $R$ हैं। ब्रिज संतुलित है,इसलिए $V_a = V_b = V/2 = 20 \text{ V}$ है।
गर्म करने के बाद,$R_3$ का मान $R' = R + 0.1R = 1.1R$ हो जाता है।
अब ब्रिज दो समानांतर शाखाओं से बना है: एक $(R_1 + R_2)$ के साथ और दूसरी $(R_3 + R_4)$ के साथ।
हालाँकि,नोड $a$ और $b$ इन शाखाओं के मध्य बिंदु हैं।
नोड $a$ पर वोल्टेज ($R_1$ और $R_2$ के बीच): $V_a = V \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 40 \times \frac{R}{R + R} = 20 \text{ V}$।
नोड $b$ पर वोल्टेज ($R_3$ और $R_4$ के बीच): $V_b = V \times \frac{R_4}{R_3 + R_4} = 40 \times \frac{R}{1.1R + R} = 40 \times \frac{R}{2.1R} = \frac{40}{2.1} \approx 19.0476 \text{ V}$।
विभवांतर $V_a - V_b = 20 - 19.0476 = 0.9524 \text{ V}$ है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.95 \text{ V}$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए सर्किट में,डायोड इस तरह से जुड़े हैं कि उनके कैथोड इनपुट $A$ और $B$ से जुड़े हैं,और उनके एनोड आउटपुट $C$ और $V_{dc} = 5 \text{ V}$ से जुड़े पुल-अप प्रतिरोध $R$ से जुड़े हैं।
$1$. यदि $A = 0$ या $B = 0$ (लो लेवल) है,तो संबंधित डायोड फॉरवर्ड-बायस हो जाता है। यह आउटपुट $C$ को लो वोल्टेज लेवल $(C = 0)$ पर खींचता है।
$2$. यदि $A = 1$ और $B = 1$ (हाई लेवल) है,तो दोनों डायोड रिवर्स-बायस हो जाते हैं। डायोड के माध्यम से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,और आउटपुट $C$ प्रतिरोध $R$ के माध्यम से $V_{dc}$ तक खिंच जाता है,जिसके परिणामस्वरूप $C = 1$ प्राप्त होता है।
$3$. इस सर्किट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $C$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
यह सत्यता सारणी $AND$ गेट के अनुरूप है।

(A) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
पहले समतल-उत्तल लेंस के लिए: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1)(\frac{1}{15} - \frac{1}{\infty}) = 0.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{30} \ cm^{-1}$.
दूसरे समतल-उत्तल लेंस के लिए: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1)(\frac{1}{\infty} - (-\frac{1}{12})) = 0.2 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{60} \ cm^{-1}$.
संयोजन की कुल फोकस दूरी $\frac{1}{f_{net}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$,इसलिए $f_{net} = 20 \ cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -30 \ cm$ और $f = 20 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = 60 \ cm$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$ होगा।

(A) तरंग के संचरण की दिशा तरंग सदिश $\vec{k}$ द्वारा दी जाती है,जो $z$-अक्ष ($+\hat{k}$ दिशा) के अनुदिश है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ और संचरण की दिशा $\hat{c}$ के बीच संबंध $\vec{B} = \frac{1}{c} (\hat{c} \times \vec{E})$ है।
यहाँ,$\hat{c} = \hat{k}$ और $\vec{E} = E_0 \sin(kz - \omega t) \hat{j}$ है।
$\vec{B}$ की दिशा $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ होगी।
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{54}{3 \times 10^8} = 18 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7} \ T$ है।
अतः,$\vec{B} = -1.8 \times 10^{-7} \sin(kz - \omega t) \hat{i} \ T$ होगा।

(D) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_{0}A^{1/3}$ होता है,जहाँ $R_{0}$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
पहले नाभिक के लिए,$R_{\alpha} = R_{0}\alpha^{1/3}$.
दूसरे नाभिक के लिए,$R_{\beta} = R_{0}\beta^{1/3}$.
अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{R_{\alpha}}{R_{\beta}} = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{1/3}$.
दिया गया है कि $\beta = 8\alpha$,इसलिए इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{R_{\alpha}}{R_{\beta}} = \left(\frac{\alpha}{8\alpha}\right)^{1/3} = \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(B) बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ की सममिति या नोडल विश्लेषण का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए कि $A$ और $B$ के बीच $1 \text{ V}$ का विभवांतर लगाया गया है।
मान लीजिए कि $A$ पर प्रवेश करने वाली कुल धारा $i$ है। इस परिपथ को एक ब्रिज परिपथ के रूप में पहचान कर सरल बनाया जा सकता है।
किरचॉफ के नियमों का उपयोग करके या सममिति को पहचान कर,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$R_{eq} = \frac{21}{5} \Omega$.
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{x}{5} \Omega$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{5} = \frac{21}{5}$
अतः,$x = 21$.

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में: $\frac{1}{f_{\text{air}}} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \times K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
दिया है $f_{\text{air}} = f = 18 \ cm$,इसलिए $K = \frac{1}{0.5f} = \frac{2}{f}$.
पानी में $(\mu_w = 4/3)$: $\frac{1}{f_{\text{water}}} = (\frac{1.5}{4/3} - 1) K = (\frac{4.5}{4} - 1) K = (1.125 - 1) K = 0.125 K$.
$K = \frac{2}{f}$ रखने पर: $\frac{1}{f_{\text{water}}} = 0.125 \times \frac{2}{f} = \frac{0.25}{f} = \frac{1}{4f}$.
अतः,$f_{\text{water}} = 4f$.
फोकस दूरियों का अंतर $f_{\text{water}} - f_{\text{air}} = 4f - f = 3f$ है।
$\alpha \times f$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m \cdot KE}}$ है।
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए,द्रव्यमान $m_d = 2m_p$ और गतिज ऊर्जा $KE_d = E$ है।
अल्फा कण $(\alpha)$ के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और गतिज ऊर्जा $KE_{\alpha} = 2E$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_d}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} \cdot KE_{\alpha}}{m_d \cdot KE_d}}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_d}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p \cdot 2E}{2m_p \cdot E}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,अनुपात $2:1$ है,जिसका अर्थ है कि $n = 2$।

(A) आवेशों $q_{1}$ और $q_{2}$ की उपस्थिति में $q_{3}$ आवेश को एक बिंदु पर लाने में किया गया कार्य $W$ निकाय की स्थितिज ऊर्जा द्वारा दिया जाता है:
$W = V \times q_{3} = (\frac{kq_{1}}{\ell} + \frac{kq_{2}}{\ell}) q_{3}$
दिया गया है: $q_{1} = 1 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_{2} = 2 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_{3} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$,$\ell = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$,$k = 9 \times 10^{9} \text{ N.m}^{2}/\text{C}^{2}$.
मान रखने पर:
$W = \frac{9 \times 10^{9}}{3 \times 10^{-2}} (1 \times 10^{-9} + 2 \times 10^{-9}) \times 3 \times 10^{-9}$
$W = (3 \times 10^{11}) \times (3 \times 10^{-9}) \times (3 \times 10^{-9})$
$W = 27 \times 10^{-7} \text{ J} = 2.7 \times 10^{-6} \text{ J} = 2.7 \text{ } \mu\text{J}$.

(C) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R} = 16 \ \mu T$ द्वारा दिया जाता है।
लूप की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $x = \sqrt{3}R$ दिया गया है,अतः सूत्र में मान रखने पर:
$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2((\sqrt{3}R)^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(3R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}}$.
हर का सरलीकरण करने पर:
$(4R^2)^{3/2} = (2R)^3 = 8R^3$.
अतः,$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2 \times 8R^3} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{\mu_0 I}{2R}\right)$.
$B_{center} = 16 \ \mu T$ का मान रखने पर:
$B_{axis} = \frac{1}{8} \times 16 \ \mu T = 2 \ \mu T$.

(C) कथन-$I$ सही है। प्रिज्म समतल तरंग की दिशा बदलता है लेकिन उसके समतल तरंगाग्र को बनाए रखता है। एक छोटा पिनहोल बिंदु स्रोत के रूप में कार्य करता है,जिससे तरंगाग्र गोलीय रूप से फैल जाता है।
कथन-$II$ गलत है। विवर्तन कोण $\theta = \lambda / a$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है। जैसे-जैसे स्लिट की चौड़ाई $a$ बढ़ती है,विवर्तन कोण $\theta$ घटता है,जिसका अर्थ है कि तरंग कम फैलती है और अधिक सपाट (कम वक्रता वाली) हो जाती है। इसलिए,स्लिट की चौड़ाई बढ़ाने से निकलने वाली तरंग की वक्रता कम हो जाती है।

(D) जब दो सेलों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $EMF$ $2E$ होता है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r$ होता है। $R = 6 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $i_{1}$ इस प्रकार है: $i_{1} = \frac{2E}{R + 2r} = \frac{2E}{6 + 2r}$.
जब दो सेलों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $EMF$ $E$ रहता है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{r}{2}$ होता है। $R = 6 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $i_{2}$ इस प्रकार है: $i_{2} = \frac{E}{R + \frac{r}{2}} = \frac{E}{6 + \frac{r}{2}}$.
यह दिया गया है कि $i_{1} = i_{2}$,इसलिए: $\frac{2E}{6 + 2r} = \frac{E}{6 + \frac{r}{2}}$.
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने और सरल करने पर: $\frac{2}{6 + 2r} = \frac{1}{6 + \frac{r}{2}}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(6 + \frac{r}{2}) = 6 + 2r$.
$12 + r = 6 + 2r$.
$r$ के लिए हल करने पर: $r = 12 - 6 = 6 \ \Omega$.

(A) मान लीजिए कि उभयोत्तल लेंस की वक्रता त्रिज्याएँ $R_1$ और $R_2$ हैं। उभयोत्तल लेंस की शक्ति $P_A = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
समतल-अवतल लेंस के लिए, वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या $R_2$ है और दूसरी सतह समतल $(R = \infty)$ है। इसकी शक्ति $P_B = -(\mu' - 1) \left( \frac{1}{R_2} + \frac{1}{\infty} \right) = -(1.7 - 1) \left( \frac{1}{R_2} \right) = -0.7 \left( \frac{1}{R_2} \right)$ है।
यह दिया गया है कि शक्ति का परिमाण समान है, इसलिए $|P_A| = |P_B|$.
$0.5 \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = 0.7 \left( \frac{1}{R_2} \right)$.
$0.5 \left( \frac{1}{R_1} \right) = (0.7 - 0.5) \left( \frac{1}{R_2} \right) = 0.2 \left( \frac{1}{R_2} \right)$.
$\frac{0.5}{R_1} = \frac{0.2}{R_2} \implies \frac{R_1}{R_2} = \frac{0.5}{0.2} = \frac{5}{2}$.

(D) परिपथ में $12 \text{ V}$ का स्रोत,$R_1 = 0.3 \text{ k}\Omega$ का प्रतिरोध और समानांतर में जुड़े तीन सिलिकॉन डायोड $D_1, D_2, D_3$ हैं।
चूंकि डायोड समानांतर में हैं,प्रत्येक डायोड पर वोल्टेज $V_d = 0.7 \text{ V}$ है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर:
$12 - I \times R_1 - V_d = 0$
$12 - I \times (0.3 \times 10^3) - 0.7 = 0$
$11.3 = I \times 300$
$I = \frac{11.3}{300} \text{ A} = 37.66 \text{ mA}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि धारा दो समान भागों में विभाजित होती है,तो $I_1 = I / 2 = 37.66 / 2 = 18.83 \text{ mA}$ प्राप्त होता है।

(B) $I_1$ और $I_2$ धारा वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $Q$ $(I_Q = 1 \ A)$ के लिए:
$1$. तार $P$ ($I_P = 3 \ A$,$d_1 = 3 \ cm = 0.03 \ m$) के कारण बल: धाराएं विपरीत दिशा में हैं,इसलिए बल प्रतिकर्षी है ($P$ से दूर,यानी $R$ की ओर)।
$F_{QP} = \frac{\mu_0 I_Q I_P}{2 \pi d_1} \ell = (2 \times 10^{-7}) \times \frac{1 \times 3}{0.03} \times 0.15 = 3 \times 10^{-6} \ N$ ($R$ की ओर)।
$2$. तार $R$ ($I_R = 2 \ A$,$d_2 = 2 \ cm = 0.02 \ m$) के कारण बल: धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए बल आकर्षी है ($R$ की ओर)।
$F_{QR} = \frac{\mu_0 I_Q I_R}{2 \pi d_2} \ell = (2 \times 10^{-7}) \times \frac{1 \times 2}{0.02} \times 0.15 = 3 \times 10^{-6} \ N$ ($R$ की ओर)।
कुल बल $F_{net} = F_{QP} + F_{QR} = 3 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-6} = 6 \times 10^{-6} \ N$,$R$ की ओर।

(C) तरंग का सामान्य समीकरण $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $\overline{E}(x,t) = 25 \sin(2.0 \times 10^{15}t - 10^{7}x)\hat{n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = 2.0 \times 10^{15} \text{ rad/s}$
$k = 10^{7} \text{ m}^{-1}$
माध्यम में तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k}$ है।
$v = \frac{2.0 \times 10^{15}}{10^7} = 2.0 \times 10^8 \text{ m/s}$.
अपवर्तनांक $\mu$ को $\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
$\mu = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5$.

(C) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
गोलाकार नाभिक का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi R^2 = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$ होता है।
अतः,$S \propto A^{2/3}$.
प्रारंभिक द्रव्यमान संख्या $A_i = 8$.
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_i \propto (8)^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.
$10$ प्रोटॉन और $9$ न्यूट्रॉन को अवशोषित करने के बाद (इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान संख्या में योगदान नहीं देते हैं),नई द्रव्यमान संख्या $A_f = 8 + 10 + 9 = 27$ है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_f \propto (27)^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{S_f - S_i}{S_i} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= \frac{9 - 4}{4} \times 100 = \frac{5}{4} \times 100 = 125\%$.

(B) माना $E$ विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है और $r$ सेल का आंतरिक प्रतिरोध है। माना $K$ विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल को $R_1 = 4 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V_1 = \frac{E \cdot R_1}{r + R_1} = \frac{E \cdot 4}{r + 4}$ होता है।
संतुलन लंबाई $l_1 = 120 \ cm$ है,इसलिए $V_1 = K \cdot l_1 \Rightarrow \frac{E \cdot 4}{r + 4} = 120K$ --- $(1)$
जब सेल को $R_2 = 12 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V_2 = \frac{E \cdot R_2}{r + R_2} = \frac{E \cdot 12}{r + 12}$ होता है।
संतुलन लंबाई $l_2 = 180 \ cm$ है,इसलिए $V_2 = K \cdot l_2 \Rightarrow \frac{E \cdot 12}{r + 12} = 180K$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4}{r + 4} \cdot \frac{r + 12}{12} = \frac{120K}{180K}$
$\frac{1}{3} \cdot \frac{r + 12}{r + 4} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 12}{r + 4} = 2$
$r + 12 = 2(r + 4)$
$r + 12 = 2r + 8$
$r = 4 \ \Omega$.

(D) रूट मीन स्क्वायर (r.m.s) धारा को $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2 dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है $i = i_{0}(t / T)$,इसलिए $i^2 = i_{0}^2 (t^2 / T^2)$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$i_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{i_{0}^2 t^2}{T^2} dt = \frac{i_{0}^2}{T^3} \int_{0}^{T} t^2 dt$.
समाकलन का मान निकालने पर: $\int_{0}^{T} t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{T} = \frac{T^3}{3}$.
अतः,$i_{rms}^2 = \frac{i_{0}^2}{T^3} \cdot \frac{T^3}{3} = \frac{i_{0}^2}{3}$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(B) पतले लेंस के लिए,आवर्धन $m = \frac{f}{f+u}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रतिबिंबों का आकार समान है,इसलिए आवर्धन का परिमाण समान होना चाहिए,लेकिन एक प्रतिबिंब वास्तविक (उल्टा) और दूसरा आभासी (सीधा) होता है।
अतः,$m_1 = -m_2$.
मान लीजिए कि दो स्थितियाँ $u_1 = -8 \ cm$ और $u_2 = -24 \ cm$ हैं।
इन मानों को आवर्धन सूत्र में रखने पर: $\frac{f}{f-8} = -\frac{f}{f-24}$.
दोनों पक्षों से $f$ को हटाने पर: $\frac{1}{f-8} = -\frac{1}{f-24}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $f - 24 = -(f - 8)$.
$f - 24 = -f + 8$.
$2f = 32$.
$f = 16 \ cm$.

(B) $_{92}^{235} U$ का मोलर द्रव्यमान $235 \text{ g/mol}$ है।
$47 \text{ g}$ $_{92}^{235} U$ में मोलों की संख्या $n = \frac{47 \text{ g}}{235 \text{ g/mol}} = 0.2 \text{ moles} = \frac{1}{5} \text{ moles}$ है।
परमाणुओं की कुल संख्या $N = n \times N_A = \frac{1}{5} \times 6 \times 10^{23} = 1.2 \times 10^{23} \text{ atoms}$ है।
प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $190 \text{ MeV}$ है।
कुल मुक्त ऊर्जा $= N \times 190 \text{ MeV} = (1.2 \times 10^{23}) \times 190 \text{ MeV} = 228 \times 10^{23} \text{ MeV}$ है।
इसे $\alpha \times 10^{23} \text{ MeV}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 228$ प्राप्त होता है।

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ध्रुवण कोण $i_p$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण पूरी तरह से ध्रुवित होती है,और परावर्तित किरण अपवर्तित किरण के लंबवत होती है।
ब्रूस्टर का नियम कहता है: $\tan i_p = \frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\mu_{glass}}{\mu_{air}}$.
यहाँ $\mu_{glass} = 1.52$ और $\mu_{air} = 1.00$ दिया गया है,इसलिए $\tan i_p = 1.52$।
दिए गए आंकड़ों से,$i_p = \tan^{-1}(1.52) = 57.7^{\circ}$।
ध्रुवण कोण पर,आपतन कोण $i_p$ और अपवर्तन कोण $r$ के बीच संबंध $i_p + r = 90^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$r = 90^{\circ} - i_p = 90^{\circ} - 57.7^{\circ} = 32.3^{\circ}$।
अतः,अभिलंब के सापेक्ष अपवर्तित किरण का कोण $32.3^{\circ}$ है।

(D) निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की चाल $C = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}$ होती है।
माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंगों की चाल $V = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$ होती है।
चाल का अनुपात $\frac{C}{V} = \sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}} = \sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}$ होता है।
यहाँ,परावैद्युतांक $K = \varepsilon_{r} = 3$ और सापेक्ष पारगम्यता $\mu_{r} = \frac{\mu}{\mu_{0}} = 2$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{C}{V} = \sqrt{3 \times 2} = \sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\sqrt{6} : 1$ है।

(A) लंबे सोलनॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 500 \ turns/cm = 50000 \ turns/m$ है।
दिया गया है $I = 10 \sin(\omega t)$,इसलिए $B = \mu_0 n (10 \sin(\omega t))$।
$r = 1 \ cm = 0.01 \ m$ त्रिज्या वाले लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \mu_0 n (10 \sin(\omega t)) \cdot (\pi r^2)$ है।
प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega \cos(\omega t))$ है।
प्रेरित धारा का परिमाण $i = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega \cos(\omega t))}{R}$ है।
अधिकतम धारा $i_0 = \frac{\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega)}{R}$ है।
मान रखने पर: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T\cdot m/A$,$n = 5 \times 10^4 \ m^{-1}$,$r = 10^{-2} \ m$,$\omega = 10^3 \ rad/s$,$R = 10 \ \Omega$।
$i_0 = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (5 \times 10^4) \times \pi \times (10^{-2})^2 \times 10 \times 10^3}{10} = 20 \pi^2 \times 10^{-6} \ A$।
$i_0 = 20 \times (9.8696) \times 10^{-6} \ A \approx 197.39 \ \mu A$।
r.m.s. धारा $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{197.39}{\sqrt{2}} \ \mu A$ है।
अतः,$\alpha \approx 197$।

(D) वृत्ताकार लूप की त्रिज्या $r = 7 \ cm = 0.07 \ m$ है। वृत्ताकार लूप का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2 = \pi (0.07)^2 = 0.0049 \pi \ m^2$ है।
लूप की परिधि $C = 2 \pi r = 2 \pi (0.07) = 0.14 \pi \ m$ है।
जब इसे वर्गाकार लूप में परिवर्तित किया जाता है,तो परिधि समान रहती है। मान लीजिए वर्ग की भुजा $a$ है। तब $4a = 0.14 \pi$,जिससे $a = 0.035 \pi \ m$ प्राप्त होता है।
वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A_2 = a^2 = (0.035 \pi)^2 = 0.001225 \pi^2 \ m^2$ है।
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = B(A_1 - A_2) = 0.2 \times (0.0049 \pi - 0.001225 \pi^2)$ है।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,$A_1 \approx 0.01539 \ m^2$ और $A_2 \approx 0.01208 \ m^2$ मिलता है।
$\Delta \phi = 0.2 \times (0.01539 - 0.01208) = 0.2 \times 0.00331 = 0.000662 \ Wb$ है।
प्रेरित $EMF$ $\epsilon = \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t} = \frac{0.000662}{0.5} = 0.001324 \ V$ है।
$mV$ में बदलने पर,$\epsilon = 1.324 \ mV \approx 1.32 \ mV$ प्राप्त होता है।

(D) समभारिक (isobars) वे नाभिक होते हैं जिनका द्रव्यमान संख्या $(A)$ समान होती है लेकिन परमाणु क्रमांक $(Z)$ अलग-अलग होते हैं।
युग्म ${}_{1}^{3}H$ और ${}_{2}^{3}He$ के लिए:
$1$. ${}_{1}^{3}H$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $A = 3$ है।
$2$. ${}_{2}^{3}He$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $A = 3$ है।
चूंकि दोनों नाभिकों की द्रव्यमान संख्या $(A = 3)$ समान है,इसलिए वे समभारिक हैं।

(A) सेल का $EMF$ $\epsilon = \lambda \ell$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ विभव प्रवणता (potential gradient) है और $\ell$ संतुलन लंबाई है।
दो सेल के लिए,$\epsilon_1 = \lambda \ell_1$ और $\epsilon_2 = \lambda \ell_2$ है।
$EMF$ का अनुपात $y = \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ है।
अनुपात में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta \ell_1}{\ell_1} + \frac{\Delta \ell_2}{\ell_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\ell_1 = 200 \ cm$,$\ell_2 = 150 \ cm$,और $\Delta \ell_1 = \Delta \ell_2 = 1 \ cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta y}{y} = \frac{1}{200} + \frac{1}{150}$।
प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta y}{y} \right) \times 100 = \left( \frac{1}{200} + \frac{1}{150} \right) \times 100$ है।
$= \left( \frac{3 + 4}{600} \right) \times 100 = \frac{7}{6} \approx 1.16 \%$।

(B) संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{5 \times 10^{-3}}$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q_1 = CV$ है।
जब $t = 2 \text{ mm}$ मोटाई की माइका शीट डाली जाती है,तो संधारित्र श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों के रूप में कार्य करता है: एक $(d-t) = 3 \text{ mm}$ मोटाई की हवा के साथ और एक $t = 2 \text{ mm}$ मोटाई के माइका के साथ।
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d-t} = \frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}}$ और $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A}{t} = \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}}$ है।
तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(\frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}}) (\frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}})}{\frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}} + \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}}} = \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3} + 3 \times 10^{-3} K} = \frac{K \epsilon_0 A}{10^{-3}(2 + 3K)}$ है।
चूंकि बैटरी जुड़ी रहती है,नया आवेश $Q_2 = C_{eq} V$ है। दिया गया है कि $Q_2 = 1.25 Q_1$,इसलिए $C_{eq} = 1.25 C$ है।
$\frac{K \epsilon_0 A}{10^{-3}(2 + 3K)} = 1.25 \frac{\epsilon_0 A}{5 \times 10^{-3}}$
$\frac{K}{2 + 3K} = \frac{1.25}{5} = 0.25 = \frac{1}{4}$
$4K = 2 + 3K \Rightarrow K = 2$.

(C) बाहरी क्षेत्र $E = \frac{A}{r^2}$ के कारण विभव $V$ को $V = -\int_{\infty}^{r} E \cdot dr = -\int_{\infty}^{r} \frac{A}{r^2} dr = \frac{A}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$r_1 = 9 \ cm = 0.09 \ m$ और $r_2 = 9 \ cm = 0.09 \ m$ है।
कुल स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$,बाहरी क्षेत्र में प्रत्येक आवेश की स्थितिज ऊर्जा और उनकी पारस्परिक अन्योन्य क्रिया ऊर्जा का योग है:
$U = q_1 V(r_1) + q_2 V(r_2) + \frac{k q_1 q_2}{r_{12}}$
$U = (7 \times 10^{-6}) \left( \frac{9 \times 10^5}{0.09} \right) + (-2 \times 10^{-6}) \left( \frac{9 \times 10^5}{0.09} \right) + \frac{(9 \times 10^9) (7 \times 10^{-6}) (-2 \times 10^{-6})}{0.18}$
$U = (7 \times 10^{-6}) (10^7) - (2 \times 10^{-6}) (10^7) - \frac{126 \times 10^{-3}}{0.18}$
$U = 70 - 20 - 0.7 = 49.3 \ J$.

(D) द्विध्रुव आघूर्ण $P_1 = q_1 \times l_1 = 2 \times 10^{-6} \text{ C} \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \times 10^{-8} \text{ Cm}$ और $P_2 = q_2 \times l_2 = 4 \times 10^{-6} \text{ C} \times 10^{-2} \text{ m} = 4 \times 10^{-8} \text{ Cm}$ हैं।
बिंदु $P$ प्रत्येक द्विध्रुव के केंद्र से $r = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$ की दूरी पर है।
द्विध्रुव $A$ के लिए,बिंदु $P$ उसकी अक्षीय रेखा पर है। विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1 = \frac{2KP_1}{r^3} \hat{i} = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-8})}{(0.4)^3} \hat{i} = 5625 \hat{i} \text{ N/C}$ है।
द्विध्रुव $B$ के लिए,बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर है। विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_2 = -\frac{KP_2}{r^3} \hat{j} = -\frac{(9 \times 10^9) \times (4 \times 10^{-8})}{(0.4)^3} \hat{j} = -5625 \hat{j} \text{ N/C}$ है।
कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 5625(\hat{i} - \hat{j}) \text{ N/C}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{E}_{net}| = 5625 \sqrt{2} \text{ N/C}$ है।
चूंकि $5625 = \frac{9 \times 10^4}{16}$,इसलिए परिमाण $\frac{9}{16} \sqrt{2} \times 10^4 \text{ N/C}$ प्राप्त होता है।

(C) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $d$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 4\sqrt{3} \text{ cm}$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $d = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ है।
केंद्रक पर कोनों द्वारा अंतरित कोण प्रत्येक $60^{\circ}$ हैं,इसलिए $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{10^{-7} \times 2}{2 \times 10^{-2}} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 10^{-5} \times \sqrt{3} \text{ T}$ है।
चूंकि $3$ भुजाएं हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 \times B_1 = 3\sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$ है।
इसे $\alpha \times 10^{-5} \text{ T}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(C) स्थिति $I$ में,प्रतिरोध $R_1 = 2 \ \Omega$ और $R_2 = 3 \ \Omega$ हैं। शून्य विक्षेप बिंदु $l$ पर है। मीटर ब्रिज सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l} \implies \frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
इसे हल करने पर,$200 - 2l = 3l \implies 5l = 200 \implies l = 40 \ cm$.
स्थिति $II$ में,दाएं अंतराल में प्रतिरोध $R_2' = \frac{3x}{3+x}$ हो जाता है क्योंकि $x$ को $3 \ \Omega$ के समानांतर जोड़ा गया है। शून्य विक्षेप बिंदु $10 \ cm$ दाईं ओर खिसक जाता है,इसलिए नई स्थिति $l' = 40 + 10 = 50 \ cm$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l'}{100-l'} \implies \frac{2}{\frac{3x}{3+x}} = \frac{50}{100-50} = \frac{50}{50} = 1$.
अतः,$\frac{2(3+x)}{3x} = 1 \implies 6 + 2x = 3x \implies x = 6 \ \Omega$.

(B) मान लीजिए कि बिंदु आवेश $q$ मूल बिंदु $x=0$ पर है। तार $x = 2 \text{ cm}$ से $x = 12 \text{ cm}$ तक फैला हुआ है।
तार का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{24 \times 10^{-6} \text{ C}}{0.1 \text{ m}} = 2.4 \times 10^{-4} \text{ C/m}$ है।
बिंदु आवेश $q$ से $x$ दूरी पर तार के एक छोटे अवयव $dx$ पर विचार करें। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dx$ है।
बिंदु आवेश $q$ और अवयव $dq$ के बीच का बल $dF = \frac{k q dq}{x^2} = \frac{k q \lambda dx}{x^2}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$ है।
कुल बल $F$,$x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ से $x = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ तक $dF$ का समाकलन है:
$F = \int_{0.02}^{0.12} \frac{k q \lambda}{x^2} dx = k q \lambda \left[ -\frac{1}{x} \right]_{0.02}^{0.12} = k q \lambda \left( \frac{1}{0.02} - \frac{1}{0.12} \right)$
$F = (9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-6}) \times (2.4 \times 10^{-4}) \times \left( 50 - 8.333 \right) = 9000 \times 2.4 \times 10^{-4} \times \left( \frac{6-1}{0.12} \right) = 9000 \times 2.4 \times 10^{-4} \times \frac{5}{0.12} = 90 \text{ N}$.

(D) वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m = -3$ है। चूँकि $m = -v/u$,हमारे पास $-3 = -v/u$ है,जिसका अर्थ है $v = 3u$।
यह दिया गया है कि वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $40 \ cm$ है,और अवतल दर्पण द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,वस्तु और प्रतिबिंब दोनों एक ही तरफ होते हैं,इसलिए दूरी $|v - u| = 40 \ cm$ है।
$v = 3u$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|3u - u| = 40$ प्राप्त होता है,इसलिए $|2u| = 40$,जो $u = -20 \ cm$ देता है (चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए)।
तब $v = 3(-20) = -60 \ cm$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-60} + \frac{1}{-20} = \frac{-1 - 3}{60} = \frac{-4}{60} = \frac{-1}{15}$।
अतः,$f = -15 \ cm$।

(B) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,पर्दे की दूरी $D = 10 \ m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \ m$.
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4 I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
पर्दे पर $y$ स्थिति पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ है।
एक स्लिट के सामने के बिंदु के लिए,$y = \frac{d}{2}$.
अतः,$\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 10} = \frac{4 \times 10^{-6}}{20} = 2 \times 10^{-7} \ m$.
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{6 \times 10^{-7}} \times 2 \times 10^{-7} = \frac{2\pi}{3}$.
तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2}) = (4 I_0) \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = 4 I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3})$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $I = 4 I_0 (\frac{1}{2})^2 = 4 I_0 \times \frac{1}{4} = I_0$.

(D) यह सर्किट $A$ और $A$ इनपुट वाले एक $AND$ गेट (जो बफर के रूप में कार्य करता है,आउटपुट $A$),$A$ और $B$ इनपुट वाले एक $NAND$ गेट (आउटपुट $\overline{A \cdot B}$),और $NAND$ आउटपुट से जुड़े एक $NOT$ गेट से बना है।
पहले $AND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A \cdot A = A$ है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{A \cdot B}$ है।
यह $Y_2$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए अंतिम $AND$ गेट का इनपुट $\overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ है।
अतः,अंतिम आउटपुट $Y = Y_1 \cdot (A \cdot B) = A \cdot (A \cdot B) = A \cdot B$ है।
$Y = A \cdot B$ के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(A) दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध,$G = 100 \ \Omega$
गैल्वेनोमीटर की पूर्ण स्केल विक्षेप धारा,$i_g = 1 \ mA$
एमीटर की वांछित पूर्ण स्केल विक्षेप धारा,$i = 5 \ mA$
गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध $r_s$ जोड़ा जाता है।
शंट प्रतिरोध का सूत्र है:
$r_s = \frac{G \cdot i_g}{i - i_g}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r_s = \frac{100 \times 1 \ mA}{5 \ mA - 1 \ mA}$
$r_s = \frac{100}{4} \ \Omega = 25 \ \Omega$
अतः,आवश्यक शंट प्रतिरोध $25 \ \Omega$ है।

(A) एक नाभिक की स्थिरता सीधे उसकी प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा से संबंधित होती है। हालाँकि,इन प्रतिक्रियाओं में,हम सापेक्ष स्थिरता निर्धारित करने के लिए सीधे बंधन ऊर्जा $(BE)$ की तुलना कर सकते हैं।
पहली प्रतिक्रिया से: ${ }_2 He ^3 + { }_0 n ^1 \rightarrow { }_2 He ^4 + 20 \ MeV$। मुक्त ऊर्जा $(Q = 20 \ MeV)$ का अर्थ है कि $BE({ }_2 He ^4) - BE({ }_2 He ^3) = 20 \ MeV$। अतः,$BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^3)$।
दूसरी प्रतिक्रिया से: ${ }_2 He ^4 + { }_0 n ^1 \rightarrow { }_2 He ^5 - 0.9 \ MeV$। अवशोषित ऊर्जा $(Q = -0.9 \ MeV)$ का अर्थ है कि $BE({ }_2 He ^5) - BE({ }_2 He ^4) = -0.9 \ MeV$। अतः,$BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^5)$।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^3)$ और $BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^5)$ प्राप्त होता है।
चूँकि ${ }_2 He ^4$ एक बहुत ही स्थिर अल्फा कण (मैजिक नंबर $Z=2, N=2$) है,इसलिए इसकी स्थिरता सबसे अधिक है। ${ }_2 He ^3$ और ${ }_2 He ^5$ की तुलना करने पर,${ }_2 He ^3$ अधिक स्थिर है क्योंकि ${ }_2 He ^5$ अत्यधिक अस्थिर है और तेजी से क्षय होता है।
इसलिए,स्थिरता का सही क्रम $X_4 > X_3 > X_5$ है।

(D) माना $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
संधारित्र $A$ के लिए:
ऊपरी आधे भाग में परावैद्युत $k_1$ है और निचला आधा भाग $k_1$ और $k_2$ परावैद्युत के साथ दो समानांतर भागों में विभाजित है। तुल्य धारिता $C_A = \left( \frac{1}{C_{k1}} + \frac{1}{C_{parallel}} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{2k_1 C_0} + \frac{1}{k_1 C_0/2 + k_2 C_0/2} \right)^{-1} = \frac{2k_1(k_1+k_2)C_0}{3k_1+k_2}$ है।
संधारित्र $B$ के लिए:
ऊपरी आधे भाग में परावैद्युत $k_2$ है और निचला आधा भाग $k_1$ और $k_2$ परावैद्युत के साथ दो समानांतर भागों में विभाजित है। इसी प्रकार,$C_B = \frac{2k_2(k_1+k_2)C_0}{k_1+3k_2}$ है।
संधारित्र $C$ के लिए:
इसमें दो समानांतर शाखाएं हैं,जिनमें से प्रत्येक में दो परावैद्युत श्रेणीक्रम में हैं। $C_C = \frac{k_1 k_2}{k_1+k_2} C_0 + \frac{k_2 k_1}{k_2+k_1} C_0 = \frac{2k_1 k_2}{k_1+k_2} C_0$ है।
दिया गया है कि $k_1 > k_2$,व्यंजकों की तुलना करने पर $C_A > C_C > C_B$ प्राप्त होता है।

(D) $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,दोनों लूप $P$ और $Q$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $x = r$ है।
अतः,$O$ पर लूप $P$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_P)$ का मान $B_P = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2}r^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$ है।
$O$ से देखने पर $P$ में धारा दक्षिणावर्त होने के कारण,चुंबकीय क्षेत्र $B_P$,$P$ की ओर ($Q$ से दूर) निर्देशित होता है।
$O$ पर लूप $Q$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_Q)$ का मान $B_Q = \frac{\mu_0 (4I) r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{4\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2}r^3)} = \frac{4\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$ है।
$O$ से देखने पर $Q$ में धारा भी दक्षिणावर्त होने के कारण,चुंबकीय क्षेत्र $B_Q$,$Q$ की ओर ($P$ से दूर) निर्देशित होता है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_Q - B_P = \frac{4\mu_0 I}{4\sqrt{2}r} - \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r} = \frac{3\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$,$Q$ की ओर।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक तार का प्रतिरोध $r$ है। षट्कोण में $6$ बाहरी तार और केंद्र से जुड़े $6$ त्रिज्यीय तार होते हैं।
समरूपता के कारण,यदि धारा कोने $A$ पर प्रवेश करती है और विपरीत कोने $B$ पर बाहर निकलती है,तो अक्ष $AB$ के सापेक्ष सममित नोड्स पर विभव समान होगा।
परिपथ को $A$ और $B$ के बीच दो समानांतर शाखाओं पर विचार करके सरल बनाया जा सकता है।
एक शाखा में श्रेणीक्रम में $r$ के दो प्रतिरोध होते हैं,जो $2r$ देते हैं।
दूसरी शाखा शेष नेटवर्क से बनी है जो $\frac{4}{3}r$ के समतुल्य प्रतिरोध में सरल हो जाती है।
इस प्रकार,समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$,$2r$ और $\frac{4}{3}r$ के समानांतर संयोजन द्वारा दिया जाता है:
$R_{eq} = \frac{2r \times \frac{4}{3}r}{2r + \frac{4}{3}r} = \frac{\frac{8}{3}r^2}{\frac{10}{3}r} = \frac{8}{10}r = \frac{4}{5}r$.

(B) दिया गया पावर $P = +5 \ D$ है। फोकस दूरी $f = \frac{100}{P} = \frac{100}{5} = 20 \ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u$ ऋणात्मक है,हमें मिलता है $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} - \frac{1}{|u|}$।
$P_1$ के लिए: $u = -25 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{25} = \frac{1}{100} \Rightarrow v = 100 \ cm$ (लगभग $96 \ cm$ करीब है)।
$P_2$ के लिए: $u = -30 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{1}{60} \Rightarrow v = 60 \ cm$ (लगभग $62 \ cm$ करीब है)।
$P_3$ के लिए: $u = -35 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{35} = \frac{3}{140} \Rightarrow v \approx 46.6 \ cm$। दर्ज किया गया मान $37 \ cm$ काफी गलत है।
$P_4$ के लिए: $u = -45 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{45} = \frac{1}{36} \Rightarrow v = 36 \ cm$ (लगभग $35 \ cm$ करीब है)।
$P_5$ के लिए: $u = -50 \ cm, \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{50} = \frac{3}{100} \Rightarrow v \approx 33.3 \ cm$ (लगभग $32 \ cm$ करीब है)।
अतः,$P_3$ द्वारा दर्ज की गई रीडिंग गलत है।