JEE Main 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) અહીં $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega + \omega^2 = -1$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા,સાદું રૂપ આપતા $m^{10} = 49^{10}$ મળે છે.
તેથી,$m = 49$.

(D) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S_4 = 6$,તેથી $\frac{4}{2}(2a + 3d) = 6 \Rightarrow 2a + 3d = 3$ .... $(1)$
આપેલ છે કે $S_6 = 4$,તેથી $\frac{6}{2}(2a + 5d) = 4$ $\Rightarrow 3(2a + 5d) = 4$ $\Rightarrow 2a + 5d = \frac{4}{3}$ .... $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(2a + 5d) - (2a + 3d) = \frac{4}{3} - 3$
$2d = \frac{4-9}{3} = -\frac{5}{3} \Rightarrow d = -\frac{5}{6}$
$d$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$2a + 3(-\frac{5}{6}) = 3$ $\Rightarrow 2a - \frac{5}{2} = 3$ $\Rightarrow 2a = 3 + \frac{5}{2} = \frac{11}{2}$ $\Rightarrow a = \frac{11}{4}$
હવે,$S_{12} = \frac{12}{2}(2a + 11d) = 6(2(\frac{11}{4}) + 11(-\frac{5}{6}))$
$S_{12} = 6(\frac{11}{2} - \frac{55}{6}) = 6(\frac{33-55}{6}) = 33 - 55 = -22$

(A) પરવલય $y^{2} = 4ax$ માટે,જ્યાં $4a = 12$,તેથી $a = 3$. પરવલય પરના બિંદુઓ $P_{1}(3t_{1}^{2}, 6t_{1})$ અને $P_{2}(3t_{2}^{2}, 6t_{2})$ છે.
જીવા $P_{1}P_{2}$ શિરોબિંદુ $(0, 0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $OP_{1}$ અને $OP_{2}$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
ઢાળ $m_{1} = \frac{6t_{1}}{3t_{1}^{2}} = \frac{2}{t_{1}}$ અને $m_{2} = \frac{6t_{2}}{3t_{2}^{2}} = \frac{2}{t_{2}}$.
તેથી,$(\frac{2}{t_{1}})(\frac{2}{t_{2}}) = -1 \implies t_{1}t_{2} = -4$.
હવે,$x_{1}x_{2} = (3t_{1}^{2})(3t_{2}^{2}) = 9(t_{1}t_{2})^{2} = 9(-4)^{2} = 9(16) = 144$.
અને $y_{1}y_{2} = (6t_{1})(6t_{2}) = 36(t_{1}t_{2}) = 36(-4) = -144$.
તેથી,$x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} = 144 - (-144) = 144 + 144 = 288$.

(D) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{100} k(1+x)^k$. આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી $(AGP)$ છે.
ધારો કે $r = (1+x)$. તો $S = r + 2r^2 + 3r^3 + . . . + 100r^{100}$.
$r$ વડે ગુણતા: $rS = r^2 + 2r^3 + . . . + 99r^{100} + 100r^{101}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S(1-r) = r + r^2 + r^3 + . . . + r^{100} - 100r^{101}$.
$S(-x) = \frac{r(r^{100}-1)}{r-1} - 100r^{101} = \frac{(1+x)((1+x)^{100}-1)}{x} - 100(1+x)^{101}$.
$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}-(1+x)}{x^2}$.
આપણને $S$ માં $x^{48}$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}}{x^2} + \frac{1+x}{x^2}$.
$x^{48}$ પદ $100(1+x)^{101}$ (સહગુણક $100 \cdot ^{101}C_{48}$) અને $-\frac{(1+x)^{101}}{x^2}$ (સહગુણક $-^{101}C_{50}$) માંથી મળે છે.
આમ,સહગુણક $100 \cdot ^{101}C_{48} - ^{101}C_{50}$ છે.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $C_1: (x+1)^2+(y+4)^2=r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O_1(-1, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = |r|$ છે.
બીજું વર્તુળ $C_2: x^2+y^2-4x-2y-4=0$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $(x-2)^2+(y-1)^2 = 9$,તેથી કેન્દ્ર $O_2(2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = O_1O_2$ એ $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$ મેળવીએ.
તેથી,$|r - 3| < \sqrt{34} < |r| + 3$.
$|r - 3| < \sqrt{34}$ પરથી,$3 - \sqrt{34} < r < 3 + \sqrt{34}$ મળે.
$|r| + 3 > \sqrt{34}$ પરથી,$|r| > \sqrt{34} - 3$ મળે. $r > 0$ હોવાથી,$r \in (\sqrt{34} - 3, \sqrt{34} + 3)$ મળે.
આમ,$\alpha = \sqrt{34} - 3$ અને $\beta = \sqrt{34} + 3$.
$\alpha\beta = (\sqrt{34} - 3)(\sqrt{34} + 3) = 34 - 9 = 25$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{1-\alpha x}{2}$ છે.
આ કિંમતને અતિવલયના સમીકરણ $x^2 - 9y^2 = 9$ માં મૂકતા:
$x^2 - 9\left(\frac{1-\alpha x}{2}\right)^2 = 9$
$(4 - 9\alpha^2)x^2 + 18\alpha x - 45 = 0$
રેખા અતિવલયને છેદતી નથી,તેથી વિવેચક $D < 0$:
$D = (18\alpha)^2 - 4(4 - 9\alpha^2)(-45) < 0$
$-1296\alpha^2 + 720 < 0$
$\alpha^2 > \frac{5}{9}$
$|\alpha| > \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745$
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$0.745$ થી મોટી કિંમત $0.8$ છે.

(B) $x$ માટેના વિવિધ અંતરાલોને ધ્યાનમાં લઈને આપણે સમીકરણ $x|x+4|+3|x+2|+10=0$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
કિસ્સો $I$: $x < -4$. સમીકરણ $x(-(x+4)) + 3(-(x+2)) + 10 = 0$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $-x^2 - 4x - 3x - 6 + 10 = 0$ અથવા $x^2 + 7x - 4 = 0$ થાય છે. ઉકેલો $x = \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{2}$ છે. $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{65}}{2} < -4$ હોવાથી તે માન્ય ઉકેલ છે.
કિસ્સો $II$: $-4 \leq x < -2$. સમીકરણ $x(x+4) + 3(-(x+2)) + 10 = 0$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $x^2 + x + 4 = 0$ થાય છે. વિવેચક $D < 0$ હોવાથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $III$: $x \geq -2$. સમીકરણ $x(x+4) + 3(x+2) + 10 = 0$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $x^2 + 7x + 16 = 0$ થાય છે. વિવેચક $D < 0$ હોવાથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,કુલ $1$ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(B) $50$ માંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{50}C_2 = 1225$ છે.
ગુણાકાર $ab$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોવી જોઈએ.
પૂરક ઘટના ગણવી સરળ છે: ગુણાકાર $ab$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેની સંભાવના.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $a$ કે $b$ બંનેમાંથી કોઈ પણ $3$ નો ગુણક ન હોય.
${1, 2, \dots, 50}$ માં,$3$ ના ગુણકો $16$ છે.
$3$ ના ગુણક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $50 - 16 = 34$ છે.
$3$ ના ગુણક ન હોય તેવી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{34}C_2 = 561$ છે.
ગુણાકાર $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેની સંભાવના $\frac{561}{1225}$ છે.
તેથી,ગુણાકાર $ab$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{561}{1225} = \frac{664}{1225}$ છે.

(A) $p$ માટે: $6^m + 9^n \equiv 1^m + (-1)^n \equiv 1 + (-1)^n \pmod{5}$.
આ $5$ નો ગુણક બને તે માટે $1 + (-1)^n \equiv 0 \pmod{5}$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(-1)^n = -1$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $n$ એકી સંખ્યા હોય. ગણ $\{1, 2, \ldots, 50\}$ માં $n$ માટે $25$ એકી કિંમતો અને $m$ માટે $50$ કિંમતો છે.
તેથી,$p = 50 \times 25 = 1250$.
$q$ માટે: $m + n$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યાનો વર્ગ હોવો જોઈએ. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના શક્ય વર્ગો $2^2 = 4$,$3^2 = 9$,$5^2 = 25$,અને $7^2 = 49$ છે.

$m + n = 4$	$3$ જોડ: $(1,3), (2,2), (3,1)$
$m + n = 9$	$8$ જોડ: $(1,8), \ldots, (8,1)$
$m + n = 25$	$24$ જોડ: $(1,24), \ldots, (24,1)$
$m + n = 49$	$48$ જોડ: $(1,48), \ldots, (48,1)$

$q = 3 + 8 + 24 + 48 = 83$.
$p + q = 1250 + 83 = 1333$.

(B) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
આને $a_{n+1} - \frac{1}{2}a_{n} = \frac{2}{(n+1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $b_{n} = a_{n} - \frac{2}{n^{2}}$. તેથી $a_{n} = b_{n} + \frac{2}{n^{2}}$.
આ કિંમત સંબંધમાં મૂકતા:
$b_{n+1} + \frac{2}{(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}(b_{n} + \frac{2}{n^{2}}) + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{(n+1)^{2}} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{(n+1)^{2} - 2n^{2} + n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{n^{2}+2n+1-2n^{2}+n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n}$.
અહીં $b_{1} = a_{1} - \frac{2}{1^{2}} = 1 - 2 = -1$,તેથી $b_{n} = b_{1} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = -(\frac{1}{2})^{n-1}$.
આમ,$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} -(\frac{1}{2})^{n-1} = -\frac{1}{1 - 1/2} = -2$.
તેથી,$|\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}| = |-2| = 2$.

(D) ધારો કે $Q = (2t, t^2)$ એ પરવલય $x^2 = 4y$ પરનું બિંદુ છે. શિરોબિંદુ $O$ એ $(0, 0)$ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ એ $OQ$ નું $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{2(2t) + 3(0)}{2+3} = \frac{4t}{5} \Rightarrow t = \frac{5h}{4}$
$k = \frac{2(t^2) + 3(0)}{2+3} = \frac{2t^2}{5} = \frac{2}{5} \left(\frac{5h}{4}\right)^2 = \frac{5h^2}{8}$
આમ,બિંદુપથ $C$ એ $8k = 5h^2$ અથવા $5x^2 = 8y$ છે.
પરવલય $5x^2 = 8y$ ની જીવા જેનું બિંદુ $(1, 2)$ આગળ દુભાગે છે તેનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T = 5x(x_1) - 4(y + y_1)$ અને $S_1 = 5x_1^2 - 8y_1$.
કિંમતો મૂકતા:
$5x(1) - 4(y + 2) = 5(1)^2 - 8(2)$
$5x - 4y - 8 = 5 - 16$
$5x - 4y + 3 = 0$

(A) ધારો કે $|x-1|=t$.
તેથી સમીકરણ $t^{2}-5t+6=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(t-2)(t-3)=0$ મળે,તેથી $t=2$ અથવા $t=3$.
કિસ્સો $1$: $|x-1|=2 \implies x-1=2$ અથવા $x-1=-2$,જે $x=3$ અથવા $x=-1$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: $|x-1|=3 \implies x-1=3$ અથવા $x-1=-3$,જે $x=4$ અથવા $x=-2$ આપે છે.
બીજો $3, -1, 4, -2$ છે.
બીજોનો સરવાળો $3 + (-1) + 4 + (-2) = 4$ થાય છે.

(A) આપેલ પદ: $\frac{1}{\sin 10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}$
$= \frac{\cos 10^{\circ} - \sqrt{3} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(\frac{1}{2} \cos 10^{\circ} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$= \frac{2(\sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ} - \cos 30^{\circ} \sin 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin(30^{\circ} - 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} = \frac{2 \sin 20^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin 20^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 20^{\circ}} = 4$

(D) આપેલ છે $x^2+x+1=0$,જેના બીજ એકમના ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $f(n) = (x^n + \frac{1}{x^n})^4$. કારણ કે $x^3=1$,$f(n)$ દર $3$ પદે પુનરાવર્તિત થાય છે.
$n=1$ માટે,$(x+\frac{1}{x})^4 = (\omega+\omega^2)^4 = (-1)^4 = 1$.
$n=2$ માટે,$(x^2+\frac{1}{x^2})^4 = (\omega^2+\omega)^4 = (-1)^4 = 1$.
$n=3$ માટે,$(x^3+\frac{1}{x^3})^4 = (1+1)^4 = 2^4 = 16$.
મૂલ્યોની શ્રેણી $1, 1, 16, 1, 1, 16, \dots$ છે.
કુલ $25$ પદો છે.
$(1, 1, 16)$ ના પૂર્ણ ચક્રની સંખ્યા $\lfloor 25/3 \rfloor = 8$ છે.
$8$ ચક્રનો સરવાળો $= 8 \times (1+1+16) = 8 \times 18 = 144$.
$25$ મું પદ $n=1$ ને અનુરૂપ છે,જે $1$ છે.
કુલ સરવાળો $= 144 + 1 = 145$.

(C) વિસ્તરણ $(ax^{2}+bx+c) \sum_{r=0}^{26} {}^{26}C_{r}(-2x)^{r}$ છે.
$x$ નો સહગુણક: $b(1) + c({}^{26}C_{1}(-2)) = -56 \Rightarrow b - 52c = -56$ (સમીકરણ $1$).
$x^{2}$ નો સહગુણક: $a(1) + b({}^{26}C_{1}(-2)) + c({}^{26}C_{2}(-2)^{2}) = 0 \Rightarrow a - 52b + 1300c = 0$ (સમીકરણ $2$).
$x^{3}$ નો સહગુણક: $a({}^{26}C_{1}(-2)) + b({}^{26}C_{2}(-2)^{2}) + c({}^{26}C_{3}(-2)^{3}) = 0 \Rightarrow -52a + 1300b - 20800c = 0$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$b = 52c - 56$. સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $a - 52(52c - 56) + 1300c = 0 \Rightarrow a = 1404c - 2912$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો સમીકરણ $3$ માં મૂકતા: $-52(1404c - 2912) + 1300(52c - 56) - 20800c = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા $c = 3, b = 100, a = 1300$ મળે છે.
તેથી,$a+b+c = 1300 + 100 + 3 = 1403$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-4x-6y-3=0$ છે. કેન્દ્ર $O(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
ધારો કે $R(h, k)$ એ છેદબિંદુ છે. $\triangle OAR$ માં,$\cos(30^{\circ}) = \frac{OA}{OR} = \frac{4}{OR}$.
તેથી,$OR = \frac{8}{\sqrt{3}}$,એટલે કે $OR^{2} = \frac{64}{3}$.
$(h-2)^{2} + (k-3)^{2} = \frac{64}{3}$.
$3(h^{2}-4h+4 + k^{2}-6k+9) = 64$.
$3(h^{2}+k^{2}) - 12h - 18k - 25 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $3(x^{2}+y^{2}) - 12x - 18y - 25 = 0$ છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ માટે,$a^2=36$ અને $b^2=16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1-\frac{16}{36}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
નાભિઓ $(\pm 2\sqrt{5}, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,$Ae = 2\sqrt{5}$ અને $e=5$ હોવાથી $A = \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ મળે.
સૂત્ર $e^2 = 1 + \frac{B^2}{A^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$25 = 1 + \frac{B^2}{4/5} \Rightarrow B^2 = \frac{96}{5}$ મળે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2B^2}{A} = \frac{2(96/5)}{2/\sqrt{5}} = \frac{96}{\sqrt{5}}$ થાય.

(B) ધારો કે $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ છે. આપેલ છે કે $a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 = 64$,તેથી $(ar)(ar^2)(ar^3) = 64$,જેનો અર્થ છે કે $a^3 r^6 = 64$,એટલે કે $ar^2 = 4$.
આપેલ છે કે $a_1 + a_3 + a_5 = \frac{813}{7}$,તેથી $a + ar^2 + ar^4 = \frac{813}{7}$.
$a = \frac{4}{r^2}$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{4}{r^2} + 4 + 4r^2 = \frac{813}{7}$.
ધારો કે $x = r^2$. તો $\frac{4}{x} + 4 + 4x = \frac{813}{7} \Rightarrow 28x^2 - 785x + 28 = 0$.
પદો વધતા હોવાથી,$r > 1$,તેથી $x = r^2 = 28$.
આપણે $a_3 + a_5 + a_7 = ar^2 + ar^4 + ar^6 = ar^2(1 + r^2 + r^4) = 4(1 + 28 + 28^2) = 4(813) = 3252$ મેળવીએ છીએ.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. સમાંતર રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનું અંતર $6 + 3 = 9$ એકમ છે.
ધારો કે $\theta$ એ ખૂણો છે જે બાજુ $BC$ રેખા $L_2$ સાથે બનાવે છે. $C$ એ $L_2$ પર હોવાથી,$A$ થી $L_2$ નું લંબ અંતર $9$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\sin \theta = \frac{3}{a}$ અને $\sin(60^{\circ} + \theta) = \frac{9}{a}$ મળે.
$\sin(60^{\circ} + \theta) = \sin 60^{\circ} \cos \theta + \cos 60^{\circ} \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{9}{a}$.
$\sin \theta = \frac{3}{a}$ અને $\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{9}{a^2}}$ મૂકતા,$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{9}{a^2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{a} = \frac{9}{a}$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$\sqrt{3} \sqrt{a^2 - 9} = 15 \implies a^2 = 84$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 84 = 21 \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) ધારો કે $u = \cos x$,જ્યાં $u \in [-1, 1]$.
આપેલ સમીકરણ $3(1 - u^2) + 12u - 3 = p$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,$3 - 3u^2 + 12u - 3 = p$,જે $-3u^2 + 12u = p$ આપે છે.
ધારો કે $g(u) = -3u^2 + 12u$. $u \in [-1, 1]$ માટે $g(u)$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમત શોધીએ.
વિકલન $g'(u) = -6u + 12$. $g'(u) = 0$ લેતા $u = 2$ મળે છે,જે અંતરાલ $[-1, 1]$ ની બહાર છે.
આમ,વિધેય $g(u)$ એ $[-1, 1]$ પર સતત વધતું વિધેય છે.
$u = -1$ માટે,$g(-1) = -3(-1)^2 + 12(-1) = -3 - 12 = -15$.
$u = 1$ માટે,$g(1) = -3(1)^2 + 12(1) = -3 + 12 = 9$.
તેથી,$p$ નો વિસ્તાર $[-15, 9]$ છે.
$-15$ થી $9$ સુધીના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો સમાંતર શ્રેણીના સૂત્ર મુજબ: $\frac{n}{2}(a + l) = \frac{25}{2}(-15 + 9) = \frac{25}{2}(-6) = -75$ થાય છે.

(B) ધારો કે $t = \frac{x}{2}$. $0 \le x \le \pi$ હોવાથી,$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ મળે.
આપણે $f(t) = 16 \sin^2 t \cos^3 t$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવું છે.
વિકલન કરતા,$f'(t) = 16(2 \sin t \cos t \cos^3 t - 3 \sin^2 t \cos^2 t \sin t) = 16 \sin t \cos^2 t (2 \cos^2 t - 3 \sin^2 t)$.
$f'(t) = 0$ લેતા,$2 \cos^2 t = 3 \sin^2 t$ મળે,એટલે કે $\tan^2 t = \frac{2}{3}$.
તેથી $\sin^2 t = \frac{2}{5}$ અને $\cos^2 t = \frac{3}{5}$.
મહત્તમ મૂલ્ય $16 \times \frac{2}{5} \times (\frac{3}{5})^{3/2} = \frac{96\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}$ થાય.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,$3\sqrt{3}$ એ સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ જણાય છે.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
તેથી,$T_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6} = \frac{n^2}{3} + \frac{n}{2} + \frac{1}{6}$.
પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{3} + \frac{n}{2} + \frac{1}{6})$ ની ગણતરી કરીએ.
$S_{10} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{10} n^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{6}$.
$S_{10} = \frac{1}{3} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right) + \frac{10}{6}$.
$S_{10} = \frac{1}{3} (385) + \frac{55}{2} + \frac{5}{3} = \frac{385+5}{3} + 27.5 = \frac{390}{3} + 27.5 = 130 + 27.5 = 157.5$.
કારણ કે $157.5 = \frac{315}{2}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $A$.$P$. $a, a+d, \dots$ છે અને $G$.$P$. $g, gr, \dots$ છે.
આપેલ છે કે $A$.$P$. ના પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો $160$ છે,તેથી $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 160$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 9d = 32$ થાય છે.
આપેલ છે કે $G$.$P$. ના પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $8$ છે,તેથી $g + gr = 8$,અથવા $g(1+r) = 8$.
આપણને $a = r$ અને $g = d$ આપેલ છે. આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$2r + 9g = 32$ અને $g(1+r) = 8$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$g = \frac{8}{1+r}$. આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2r + 9(\frac{8}{1+r}) = 32 \Rightarrow 2r(1+r) + 72 = 32(1+r)$.
$2r^2 + 2r + 72 = 32 + 32r \Rightarrow 2r^2 - 30r + 40 = 0 \Rightarrow r^2 - 15r + 20 = 0$.
ધારો કે બીજ $r_1$ અને $r_2$ છે. તો $r_1 + r_2 = 15$ અને $r_1r_2 = 20$.
$G$.$P$. નું પ્રથમ પદ $g = \frac{8}{1+r}$ છે. $g$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો:
$g_1 + g_2 = \frac{8}{1+r_1} + \frac{8}{1+r_2} = 8 \left( \frac{1+r_2 + 1+r_1}{(1+r_1)(1+r_2)} \right) = 8 \left( \frac{2 + (r_1+r_2)}{1 + (r_1+r_2) + r_1r_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $8 \left( \frac{2 + 15}{1 + 15 + 20} \right) = 8 \left( \frac{17}{36} \right) = \frac{34}{9}$.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 3n^2 + 5n$ છે.
$n$ મું પદ $T_n = S_n - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
$T_n = (3n^2 + 5n) - (3(n-1)^2 + 5(n-1)) = 3n^2 + 5n - (3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5) = 6n + 2$.
પ્રથમ $10$ પદો $8, 14, 20, \dots, 62$ છે.
આપણે વર્ગોનો સરવાળો શોધવાનો છે: $\sum_{n=1}^{10} (6n + 2)^2$.
$= \sum_{n=1}^{10} (36n^2 + 24n + 4) = 36 \sum_{n=1}^{10} n^2 + 24 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 4$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$.
$= 36 \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + 24 \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right) + 4(10)$.
$= 6(10 \cdot 11 \cdot 21) + 12(110) + 40$.
$= 6(2310) + 1320 + 40 = 13860 + 1360 = 15220$.

(C) સૌ પ્રથમ,અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરીને $\alpha$ અને $\beta$ ના મૂલ્યો શોધો.
$\alpha$ માટે: $a = 1/4$,$r = 1/2$,તેથી $\alpha = \frac{1/4}{1-1/2} = 1/2$.
$\beta$ માટે: $a = 1/3$,$r = 1/3$,તેથી $\beta = \frac{1/3}{1-1/3} = 1/2$.
હવે,આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકો: $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(1/2)} + (0.04)^{\log_{5}(1/2)}$.
નોંધો કે $0.2 = 5^{-1}$ અને $0.04 = 5^{-2}$ છે.
પ્રથમ પદ માટે: $\log_{\sqrt{5}}(1/2) = \frac{\log_5(1/2)}{\log_5(5^{1/2})} = \frac{-\log_5(2)}{1/2} = -2 \log_5(2)$.
આમ,$(5^{-1})^{-2 \log_5(2)} = 5^{2 \log_5(2)} = 5^{\log_5(2^2)} = 2^2 = 4$.
બીજા પદ માટે: $(5^{-2})^{\log_5(1/2)} = (5^{\log_5(1/2)})^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4$.
પરિણામોનો સરવાળો: $4 + 4 = 8$.

(B) $n$-મું પદ $T_n = \frac{\sum_{i=1}^n i^3}{\sum_{i=1}^n (2i-1)}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ અને $\sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2$.
તેથી,$T_n = \frac{(\frac{n(n+1)}{2})^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2+2n+1}{4}$.
$8$ પદોનો સરવાળો $S_8 = \sum_{n=1}^8 \frac{n^2+2n+1}{4} = \frac{1}{4} [ \sum_{n=1}^8 n^2 + 2\sum_{n=1}^8 n + \sum_{n=1}^8 1 ]$.
સૂત્રો $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_8 = \frac{1}{4} [ \frac{8(9)(17)}{6} + 2(\frac{8(9)}{2}) + 8 ] = \frac{1}{4} [ 204 + 72 + 8 ] = \frac{284}{4} = 71$.

(D) ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $a_n = a + (n-1)d$ અને સમગુણોત્તર શ્રેણી $g_n = ar^{n-1}$ છે.
આપેલ છે કે $a_1 = g_1 = a$.
$a_2 + g_2 = 1$ પરથી,$(a+d) + ar = 1 \implies d = 1 - a - ar$.
$a_3 + g_3 = 4$ પરથી,$(a+2d) + ar^2 = 4$.
$d$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $a + 2(1 - a - ar) + ar^2 = 4$.
$a + 2 - 2a - 2ar + ar^2 = 4 \implies ar^2 - 2ar - a = 2 \implies a(r^2 - 2r - 1) = 2$.
$a = 1/(1+r)$ લેતા,$\frac{r^2 - 2r - 1}{r+1} = 2 \implies r^2 - 2r - 1 = 2r + 2 \implies r^2 - 4r - 3 = 0$.
પરંતુ જો આપણે $a=1$ અને $r=3$ લઈએ,તો $a_1=1, g_1=1$. $a_2+g_2 = (1+d)+3 = 1 \implies d=-3$. $a_3+g_3 = (1-6)+9 = 4$. આ શરત સંતોષાય છે.
તેથી $a_n = 1 + (n-1)(-3) = 4 - 3n$ અને $g_n = 3^{n-1}$.
$a_{10} = 4 - 3(10) = -26$.
$g_5 = 3^4 = 81$.
$a_{10} + g_5 = -26 + 81 = 55$.

(B) ગણ $A$ ના પદો $a_n = 1 + (n-1)5 = 5n - 4$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, \dots, 101$. મહત્તમ કિંમત $5(101) - 4 = 501$ છે.
ગણ $B$ ના પદો $b_m = 9 + (m-1)7 = 7m + 2$ છે,જ્યાં $m = 1, 2, \dots, 71$. મહત્તમ કિંમત $7(71) + 2 = 499$ છે.
કોઈ ઘટક $x$ એ $A \cap B$ માં હોય તે માટે,$x = 5n - 4 = 7m + 2$,જેનો અર્થ છે $5n = 7m + 6$.
$m$ ની કિંમતો ચકાસતા: જો $m=2$ હોય,તો $x=16$ ($16 = 5(4)-4$,તેથી $16 \in A$).
સામાન્ય પદો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેનો સામાન્ય તફાવત $\text{lcm}(5, 7) = 35$ છે. તેથી,$x = 35k + 16$.
આપણે $16 \le 35k + 16 \le 499$ ની શરત પૂરી કરવી પડે,જે $0 \le k \le 13.8$ આપે છે,તેથી $k \in \{0, 1, 2, \dots, 13\}$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $x$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય: $35k + 16 \equiv 2k + 1 \equiv 0 \pmod 3$.
આનો અર્થ છે $2k \equiv 2 \pmod 3$,તેથી $k \equiv 1 \pmod 3$.
$k$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 4, 7, 10, 13$ છે.
આમ,કુલ $5$ કિંમતો મળે છે.

(C) આપણે નિત્યસમ $\frac{1}{r+1} \binom{n}{r} = \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{r+1}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
આપેલ સરવાળો $S = 2 \sum_{k=1}^6 \frac{1}{2k+1} \binom{12}{2k}$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2k+1} \binom{12}{2k} = \frac{1}{13} \binom{13}{2k+1}$.
તેથી,$S = 2 \sum_{k=1}^6 \frac{1}{13} \binom{13}{2k+1} = \frac{2}{13} [ \binom{13}{3} + \binom{13}{5} + \dots + \binom{13}{13} ]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^6 \binom{13}{2k+1} = 2^{13-1} = 2^{12}$.
તેથી,$\sum_{k=1}^6 \binom{13}{2k+1} = 2^{12} - \binom{13}{1} = 2^{12} - 13$.
આમ,$S = \frac{2}{13} [ 2^{12} - 13 ] = \frac{2^{13}}{13} - 2$.
આખા પદને $26$ વડે ગુણતા,$26 \times S = 26 \left( \frac{2^{13}}{13} - 2 \right) = 2 \times 2^{13} - 52 = 2^{14} - 52$.
આમ,$\alpha = 51$ એ આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ છે.

(A) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(9x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{18}{r} (9x)^{18-r} \left(-\frac{1}{3}x^{-1/2}\right)^r$ છે.
પદને સરળ બનાવતા,આપણને $T_{r+1} = \binom{18}{r} 9^{18-r} (-1/3)^r x^{18-r-r/2}$ મળે છે.
પદ $x$ થી સ્વતંત્ર હોવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ: $18 - \frac{3r}{2} = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\frac{3r}{2} = 18$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 12$.
અચળ ભાગમાં $r = 12$ મૂકતા: $\binom{18}{12} 9^{18-12} (-1/3)^{12} = \binom{18}{6} (3^2)^6 (1/3)^{12} = \binom{18}{6} (3^{12}) (1/3^{12}) = \binom{18}{6}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\binom{18}{6} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 18564$.
આપેલ છે કે અચળ પદ $(221)k$ છે,તેથી $221k = 18564$.
આમ,$k = \frac{18564}{221} = 84$.

(D) $(1+x)^r$ ના વિસ્તરણમાં $x^3$ નો સહગુણક $\binom{r}{3}$ છે.
$r=3$ થી $99$ સુધીનો સરવાળો લેતા,$\sum_{r=3}^{99} \binom{r}{3} = \binom{100}{4}$ મળે છે.
$(1+kx)^{100}$ માં $x^3$ નો સહગુણક $k^3 \binom{100}{3}$ છે.
કુલ સહગુણક = $\binom{100}{4} + k^3 \binom{100}{3}$.
$\binom{100}{4} = \frac{97}{4} \binom{100}{3} = 24.25 \binom{100}{3}$ હોવાથી,
કુલ સહગુણક = $(24.25 + k^3) \binom{100}{3}$.
આને $(43n + 25.25) \binom{100}{3}$ સાથે સરખાવતા,$24.25 + k^3 = 43n + 25.25$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $k^3 = 43n$ થાય છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ $k=12$ અને $n=1$ લેતા $p+n = 13$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $2(\cos^8 \theta - \sin^8 \theta) \sec 2\theta = a^2$ છે.
વર્ગોના તફાવતનો ઉપયોગ કરતા,$\cos^8 \theta - \sin^8 \theta = (\cos^4 \theta - \sin^4 \theta)(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = \cos 2\theta (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$ થાય.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $2 \cos 2\theta (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) \cdot \frac{1}{\cos 2\theta} = 2(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = a^2$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta$ થાય.
તેથી,$a^2 = 2(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta) = 2 - \sin^2 2\theta$ થાય.
ચૂકી $0 \le \sin^2 2\theta \le 1$ છે,તેથી $2 - 1 \le a^2 \le 2 - 0$,એટલે કે $1 \le a^2 \le 2$ મળે.
ચૂકી $a \in \mathbb{Z}$ છે,તેથી $a^2$ એ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ. $[1, 2]$ અંતરાલમાં માત્ર $1$ જ પૂર્ણ વર્ગ છે.
તેથી,$a^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$ અથવા $a = -1$.
આમ,ગણ $S$ માં $2$ ઘટકો છે.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$\theta = 10^\circ = \frac{\pi}{18}$ છે.
તેથી,$K = \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^\circ) = \frac{1}{4} \sin 30^\circ = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
હવે,આપણે $\sin(\frac{10K\pi}{3})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$K = \frac{1}{8}$ મૂકતા,આપણને $\sin(\frac{10 \times (1/8) \times \pi}{3}) = \sin(\frac{10\pi}{24}) = \sin(\frac{5\pi}{12})$ મળે છે.
$\frac{5\pi}{12} = 75^\circ$ હોવાથી,$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$.
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ છે કે $A = (1, 2)$ અને $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (5, -1)$ છે.
$M = (A+B)/2$ હોવાથી,$(1+B_x)/2 = 5 \implies B_x = 9$ અને $(2+B_y)/2 = -1 \implies B_y = -4$. તેથી,$B = (9, -4)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G = (3, 4)$ આપેલ છે,તેથી $(A+B+C)/3 = G$,એટલે કે $A+B+C = 3G = (9, 12)$.
$C = (9, 12) - (1, 2) - (9, -4) = (-1, 14)$.
ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O = (\alpha, \beta)$ છે. $O$ એ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ થી સમાન અંતરે છે,તેથી $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
$OA^2 = (\alpha-1)^2 + (\beta-2)^2$
$OB^2 = (\alpha-9)^2 + (\beta+4)^2$
$OC^2 = (\alpha+1)^2 + (\beta-14)^2$
$OA^2 = OB^2$ ને સરખાવતા: $(\alpha-1)^2 - (\alpha-9)^2 = (\beta+4)^2 - (\beta-2)^2$
$16\alpha - 80 = 12\beta + 12 \implies 4\alpha - 3\beta = 23$.
$OB^2 = OC^2$ ને સરખાવતા: $(\alpha-9)^2 - (\alpha+1)^2 = (\beta-14)^2 - (\beta+4)^2$
$-20\alpha + 80 = -36\beta + 180 \implies 5\alpha - 9\beta = -25$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $12\alpha - 9\beta = 69$ અને $5\alpha - 9\beta = -25$.
બાદબાકી કરતા $7\alpha = 94 \implies \alpha = 94/7$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $4(94/7) - 3\beta = 23 \implies 376/7 - 23 = 3\beta \implies 215/7 = 3\beta \implies \beta = 215/21$.
તેથી $\alpha + \beta = 94/7 + 215/21 = (282+215)/21 = 497/21$.
$21(\alpha + \beta) = 497$.

(D) રેખા $L_1$ એ $x = -3$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ $(y = x)$ નું છેદબિંદુ $A(-3, -3)$ મળે છે.
$L_1$ અને $L_3$ $(y = -3x)$ નું છેદબિંદુ $B(-3, 9)$ મળે છે.
$L_2$ $(x - y = 0)$ અને $L_3$ $(3x + y = 0)$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{3x + y}{\sqrt{3^2 + 1^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x - y}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3x + y}{\sqrt{10}}$ અથવા $\sqrt{5}(x - y) = \pm (3x + y)$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{5}x - \sqrt{5}y = 3x + y \implies y = \frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 1}x$.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{5}x - \sqrt{5}y = -3x - y \implies y = \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} - 1}x$.
ગુરુકોણના દ્વિભાજકને ચકાસતા,$x = -3$ ને દ્વિભાજકના સમીકરણમાં મૂકતા બિંદુ $C$ મળે છે. અંતર $AC$ અને $BC$ ની ગણતરી કરતા,ગુણોત્તર $BC^2 : AC^2 = 3 : 2$ મળે છે.

(C) ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $D(\frac{5}{2}, 7)$,$E(\frac{5}{2}, 3)$ અને $F(4, 5)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. મૂળ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ મેળવવા માટેના સૂત્રો $A = E+F-D$,$B = D+F-E$,અને $C = D+E-F$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = (\frac{5}{2}+4-\frac{5}{2}, 3+5-7) = (4, 1)$
$B = (\frac{5}{2}+4-\frac{5}{2}, 7+5-3) = (4, 9)$
$C = (\frac{5}{2}+\frac{5}{2}-4, 7+3-5) = (1, 5)$
બાજુઓની લંબાઈ $a = BC = \sqrt{(4-1)^2 + (9-5)^2} = 5$,$b = AC = \sqrt{(4-1)^2 + (1-5)^2} = 5$,અને $c = AB = \sqrt{(4-4)^2 + (9-1)^2} = 8$ છે.
અહીં $a=b=5$ હોવાથી,આ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. અંતઃકેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c})$ છે.
$h = \frac{5(4)+5(4)+8(1)}{18} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$.
$k = \frac{5(1)+5(9)+8(5)}{18} = \frac{90}{18} = 5$.
તેથી,$3h + k = 3(\frac{8}{3}) + 5 = 8 + 5 = 13$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, r)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે,કારણ કે તે $x$-અક્ષને $(3, 0)$ પર સ્પર્શે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે.
$y$-અંતઃખંડ માટે,$x = 0$ લેતા: $(0 - 3)^2 + (y - r)^2 = r^2 \Rightarrow 9 + (y - r)^2 = r^2 \Rightarrow (y - r)^2 = r^2 - 9$.
આમ,$y = r \pm \sqrt{r^2 - 9}$. અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - 9} = 6\sqrt{3}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4(r^2 - 9) = 36 \times 3 = 108 \Rightarrow r^2 - 9 = 27 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = 36$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 6)$ થી રેખા $x - y - 3 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3 - 6 - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{36 - (3\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{36 - 18} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$ થાય.

(C) રેખાઓ $x + (k-1)y + 3 = 0$ અને $2x + ky - 4 = 0$ ના ઢાળ $m_1 = -1/(k-1)$ અને $m_2 = -2/k$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$,જે $2/(k(k-1)) = -1$ આપે છે,એટલે કે $k^2 - k + 2 = 0$. આ સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી.
જો કે,જો આપણે છેદબિંદુ $(h, k')$ શોધીએ,તો વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k')$ થાય.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = h^2 + k'^2$ થાય.
કેન્દ્ર $(h, k')$ થી રેખા $x - y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર $d = |h - k' + 2| / \sqrt{1^2 + (-1)^2}$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $AB = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$(AB)^2 = 4(r^2 - d^2)$.
ભૌમિતિક કિંમતો મૂકતા,આપણને $(AB)^2 = 18$ મળે છે.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4x$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ $P(t_1^2, 2t_1)$ અને $Q(t_2^2, 2t_2)$ છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2t_1}{t_1^2} = \frac{2}{t_1}$ છે અને $OQ$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2t_2}{t_2^2} = \frac{2}{t_2}$ છે.
$OP \perp OQ$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $(\frac{2}{t_1})(\frac{2}{t_2}) = -1$,જેનો અર્થ છે કે $t_1t_2 = -4$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{t_1^2 + t_2^2}{2}$ અને $k = \frac{2t_1 + 2t_2}{2} = t_1 + t_2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k^2 = (t_1 + t_2)^2 = t_1^2 + t_2^2 + 2t_1t_2$.
કિંમતો મૂકતા,$k^2 = 2h + 2(-4) = 2h - 8$.
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $y^2 = 2(x - 4)$ છે.
આ $y^2 = 4a(x - h')$ સ્વરૂપનો પરવલય છે,જ્યાં $4a = 2$,તેથી $a = 0.5$.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 2$ થાય.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$4a = 12$,તેથી $a = 3$. ધારો કે $P$ અને $Q$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
યામોનો ગુણોત્તર $2at_1 : 2at_2 = 1 : 2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $t_2 = 2t_1$.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $a(t_2 - t_1) \sqrt{(t_2 + t_1)^2 + 4}$ છે.
$a = 3$ અને $t_2 = 2t_1$ મૂકતા,આપણને $3(t_1) \sqrt{(3t_1)^2 + 4} = 3\sqrt{13}$ મળે છે.
તેથી,$t_1 \sqrt{9t_1^2 + 4} = \sqrt{13}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$t_1^2(9t_1^2 + 4) = 13$. ધારો કે $u = t_1^2$,તો $9u^2 + 4u - 13 = 0$.
$u$ માટે ઉકેલતા,$(9u + 13)(u - 1) = 0$. $u > 0$ હોવાથી,$u = 1$,તેથી $t_1 = 1$ અને $t_2 = 2$.
બિંદુઓ $P(3, 6)$ અને $Q(12, 12)$ છે. નાભિ $S$ એ $(a, 0) = (3, 0)$ છે.
$SP$ નો ઢાળ $m_1 = (6 - 0) / (3 - 3) = \infty$ (શિરોલંબ રેખા $x = 3$).
$SQ$ નો ઢાળ $m_2 = (12 - 0) / (12 - 3) = 12 / 9 = 4/3$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ સદિશો $\vec{SP} = (0, 6)$ અને $\vec{SQ} = (9, 12)$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \alpha = (\vec{SP} \cdot \vec{SQ}) / (|SP| |SQ|) = (0 \cdot 9 + 6 \cdot 12) / (6 \cdot \sqrt{9^2 + 12^2}) = 72 / (6 \cdot 15) = 72 / 90 = 4/5$.
$\cos \alpha = 4/5$ હોવાથી,$\sin \alpha = 3/5$ થાય.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ મળે.
નિયામિકા $x = -2$ છે. તેથી બિંદુ $A(-2, 0)$ છે.
બિંદુ $B(\alpha, \beta)$ એ $y^2 = 8x$ પર હોવાથી,$\beta^2 = 8\alpha$.
$AB$ નો ઢાળ $\frac{\beta}{\alpha + 2} = \frac{3}{5}$ છે. તેથી $5\beta = 3\alpha + 6$. $\alpha = \frac{\beta^2}{8}$ મૂકતા,$3\beta^2 - 40\beta + 48 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા $(3\beta - 4)(\beta - 12) = 0$ મળે. $\alpha > 1$ હોવાથી,$\beta = 12$ અને $\alpha = 18$ મળે. તેથી $B = (18, 12)$.
નાભિ જીવા $BC$ એ નાભિ $S(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $BC$ નો ઢાળ $m = \frac{12 - 0}{18 - 2} = \frac{3}{4}$ છે.
$BC$ નું સમીકરણ $y = \frac{3}{4}(x - 2)$ છે. $y^2 = 8x$ માં મૂકતા $9x^2 - 164x + 36 = 0$ મળે.
$x_B = 18$ હોવાથી,$x_C = \frac{2}{9}$ મળે. તેથી $y_C = -\frac{4}{3}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 80/3$.
ક્ષેત્રફળના છ ગણા $= 6 \times (80/3) = 160$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y = (x-3)^2 + 3$ છે,તેથી શિરોબિંદુ $P(3, 3)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
અંતર $PO = \sqrt{(3-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
ધારો કે $P$ માંથી પસાર થતી રેખા $PO$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. જો $O$ થી રેખા $RS$ પરનું લંબ અંતર $d$ હોય,તો $d = PO \sin \theta = \sqrt{5} \sin \theta$.
$PR$ અને $PS$ એ રેખાના સમીકરણને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકવાથી મળતા દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે. $PR$ અને $PS$ ના મૂલ્યો $d \pm \sqrt{r^2 - d^2}$ સ્વરૂપે મળે છે. તેથી $PR+PS = 2 \sqrt{PO^2 - d^2} = 2 \sqrt{5 - d^2}$.
$(PR+PS)^2 = 4(5 - d^2)$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $d^2$ ને ન્યૂનતમ કરવું પડે. $d$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ છે (જ્યારે રેખા કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય).
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $4(5 - 0) = 20$ થાય.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y = x^2 + px + q$ છે. તે $(1, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$-1 = 1 + p + q$,જેનો અર્થ છે કે $q = -p - 2$.
પરવલય $y = ax^2 + bx + c$ નું શિરોબિંદુ $(-b/2a, -D/4a)$ પર હોય છે. $y = x^2 + px + q$ માટે,શિરોબિંદુ $(-p/2, q - p^2/4)$ છે.
શિરોબિંદુથી $x$-અક્ષનું અંતર એ શિરોબિંદુના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે,જે $d = |q - p^2/4|$ છે.
$q = -p - 2$ મૂકતા,આપણને $d = |-p - 2 - p^2/4| = |p^2/4 + p + 2|$ મળે છે.
$d$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $f(p) = p^2/4 + p + 2$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. વિકલન $f'(p) = p/2 + 1$ છે. $f'(p) = 0$ લેતા $p = -2$ મળે છે.
જ્યારે $p = -2$ હોય,ત્યારે $q = -(-2) - 2 = 0$ થાય છે.
તેથી,$p^2 + q^2 = (-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$.

(A) આપેલ નિયામિકા $x = a/e = 9$ અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 1/3$ પરથી,આપણને $a = 9 \times (1/3) = 3$ મળે છે.
નાભિ $P$ એ $(ae, 0) = (3 \times 1/3, 0) = (1, 0)$ પર છે,તેથી $\alpha = 1$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ છે,જ્યાં $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - 1/9) = 8$.
આમ,ઉપવલય $x^2/9 + y^2/8 = 1$ છે.
ઉપવલય $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ માટે $(x_0, y_0)$ માંથી પસાર થતી જીવાના મધ્યબિંદુ $(h, k)$ નો બિંદુપથ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $xh/a^2 + yk/b^2 = h^2/a^2 + k^2/b^2$ છે.
જીવા $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $xh/9 + yk/8 = h^2/9 + k^2/8$ છે.
આ સમીકરણમાં $(x, y) = (1, 0)$ મૂકતા,આપણને $h/9 = h^2/9 + k^2/8$ મળે છે.
$72$ વડે ગુણતા,$8h = 8h^2 + 9k^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $9k^2 = 8h(1 - h)$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9y^2 = 8x(1 - x)$ મળે છે.

(D) ઉપવલય $E$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને નિયામિકા $x = \frac{a}{e} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ છે.
તેથી,$a = \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{2}$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,$b^2 = 8(1 - 3/4) = 2$,તેથી $b = \sqrt{2}$.
અતિવલય $H$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = a = 2\sqrt{2}$.
$H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b_H^2}{a_H} = 2b = 2\sqrt{2}$ છે.
વળી,અતિવલય $H$ માટે,$b_H^2 = a_H^2(e_H^2 - 1) = a_H^2(8 - 1) = 7a_H^2$.
આ કિંમતને નાભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{2(7a_H^2)}{a_H} = 2\sqrt{2} \implies 14a_H = 2\sqrt{2} \implies a_H = \frac{\sqrt{2}}{7}$.
$H$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2a_H e_H = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{7} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8}{7}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે નાભિ $S(ae, 0) = (4, 0)$ અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 4/5$ છે.
તેથી, $ae = 4 \implies a(4/5) = 4 \implies a = 5$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $b^2 = 25(1 - 16/25) = 25(9/25) = 9$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
બિંદુ $P(3, \alpha)$ ઉપવલય પર હોવાથી, આપણે સમીકરણમાં $x=3$ અને $y=\alpha$ મૂકીએ:
$\frac{3^2}{25} + \frac{\alpha^2}{9} = 1 \implies \frac{9}{25} + \frac{\alpha^2}{9} = 1 \implies \frac{\alpha^2}{9} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$\alpha^2 = \frac{16 \times 9}{25} \implies \alpha = \pm \frac{12}{5}$.
$\alpha = 12/5$ લેતા, યામ $O(0, 0)$, $S(4, 0)$, અને $P(3, 12/5)$ મળે છે.
$\triangle POS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_O(y_S - y_P) + x_S(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_S)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(0 - 12/5) + 4(12/5 - 0) + 3(0 - 0)| = \frac{1}{2} |48/5| = 24/5$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $6e^2 - 11e + 3 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(2e - 3)(3e - 1) = 0$ મળે છે.
આથી $e = 3/2$ અથવા $e = 1/3$ મળે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોવી જોઈએ,તેથી આપણે $e = 3/2$ લઈશું.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(3 - 3)^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{0^2 + 9^2} = 9$ છે.
$e = 3/2$ મૂકતા,$2a(3/2) = 9$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $3a = 9$ થાય,તેથી $a = 3$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 3^2((3/2)^2 - 1) = 9(9/4 - 1) = 9(5/4) = 45/4$.
નાભિલંબની લંબાઈ $LR = \frac{2b^2}{a}$ દ્વારા મળે છે.
$LR = \frac{2(45/4)}{3} = \frac{45/2}{3} = 15/2$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim_{x \to 2} \frac{\tan(x-2)}{x-2} \cdot \frac{rx^2 + px - 2x - 2p}{x-2} = 5$.
કારણ કે $\lim_{x \to 2} \frac{\tan(x-2)}{x-2} = 1$,તેથી $\lim_{x \to 2} \frac{r(x^2-4) + p(x-2)}{x-2} = 5$.
આનું સાદું રૂપ $\lim_{x \to 2} (r(x+2) + p) = 4r + p = 5$ થાય છે,તેથી $p = 5 - 4r$.
સમીકરણ $f(x) = rx^2 - px + q = 0$ ના બીજ $(0, 2)$ માં હોય તે માટે,આપણે ધારીએ કે $r > 0$.
શરતો:
$1) D = p^2 - 4rq \ge 0 \implies q \le \frac{p^2}{4r}$.
$2) f(0) = q > 0$.
$3) f(2) = 4r - 2p + q > 0 \implies q > 2p - 4r$.
$4) 0 < \frac{p}{2r} < 2 \implies 0 < p < 4r$.
$p = 5-4r$ મૂકતા: $0 < 5-4r < 4r \implies 5/8 < r < 5/4$.
ચોક્કસ $r$ માટે,$q \in (2p-4r, p^2/4r]$.
સીમાઓની ગણતરી અને $q$ માટે શ્રેષ્ઠીકરણ કરતા અંતરાલ $(\alpha, \beta] = (0, 25/16]$ મળે છે.
આમ,$\alpha = 0, \beta = 25/16$.
$4(\alpha + \beta) = 4(0 + 25/16) = 17$.

(B) $x = 0$ ની નજીક $\sin x$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$.
તેથી,$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))^2 = x^2 - 2(x)(\frac{x^3}{6}) + O(x^6) = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$.
છેદમાં આ કિંમત મૂકતા: $x^2 - \sin^2 x = x^2 - (x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)) = \frac{x^4}{3} + O(x^6)$.
હવે,આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા: $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin^2 x}{x^2 - \sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 (x^2 + O(x^4))}{\frac{x^4}{3} + O(x^6)}$.
$= \lim_{x \to 0} \frac{x^4 + O(x^6)}{\frac{x^4}{3} + O(x^6)} = \frac{1}{1/3} = 3$.

(C) લક્ષ $f(x) = \lim_{y \to 0} \frac{(1 - \cos(xy))\tan(xy)}{y^3}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે $(xy)^3$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ છીએ:
$f(x) = \lim_{y \to 0} \left( \frac{1 - \cos(xy)}{(xy)^2} \cdot \frac{\tan(xy)}{xy} \cdot \frac{x^3 y^3}{y^3} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ અને $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x^3 = \frac{x^3}{2}$.
હવે,આપણે સમીકરણ $f(x) = \sin x$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $\frac{x^3}{2} = \sin x$ અથવા $x^3 = 2 \sin x$ છે.
ધારો કે $g(x) = x^3 - 2 \sin x$. આપણે એવા બીજ શોધીએ છીએ જ્યાં $g(x) = 0$ થાય.
$x = 0$ માટે,$g(0) = 0 - 2(0) = 0$. તેથી,$x = 0$ એક ઉકેલ છે.
$x > 0$ માટે,$x^3 = 2 \sin x$ નો એક ધન ઉકેલ છે કારણ કે $x^3$ સતત વધતું વિધેય છે અને $2 \sin x$ એ $2$ દ્વારા સીમિત છે.
$x < 0$ માટે,ધારો કે $x = -t$ જ્યાં $t > 0$. તો $(-t)^3 = 2 \sin(-t) \implies -t^3 = -2 \sin t \implies t^3 = 2 \sin t$. આ એક ઋણ ઉકેલ આપે છે.
આમ,કુલ $3$ ઉકેલો છે: $x = 0$,$x \approx 1.41$,અને $x \approx -1.41$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=-\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ અને માન શોધો:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (1)(-1) + (2)(-3) = -1 - 1 - 6 = -8$.
$|\vec{a}|^2 = (-1)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
$|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 1 + 9 = 11$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{d} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{a}$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{d} = 6\vec{b} - (-8)\vec{a} = 6\vec{b} + 8\vec{a}$.
હવે,$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{d} = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot (8\vec{a} + 6\vec{b})$ ની ગણતરી કરો.
$= 8(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{b})$.
$= 8(6) + 6(-8) - 8(-8) - 6(11)$.
$= 48 - 48 + 64 - 66 = -2$.

(A) આપણી પાસે $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ છે.
અંશને $(1-x^2) + 1$ તરીકે લખતા:
$f(x) = \int e^x \left( \frac{1-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$.
પ્રથમ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(1-x)(1+x)}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.
ધારો કે $g(x) = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$. તો $g'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{-1/2} \cdot \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}}$.
આમ,સંકલન $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ સ્વરૂપમાં છે.
તેથી,$f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + C$.
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = e^0 \sqrt{\frac{1}{1}} + C \implies 0 = 1 + C \implies C = -1$.
તેથી,$f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - 1$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$f(\frac{1}{2}) = e^{1/2} \sqrt{\frac{1+1/2}{1-1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{\frac{3/2}{1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3e} - 1$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int (\sin x)^{-\frac{11}{2}} (\cos x)^{-\frac{5}{2}} dx = \int (\tan x)^{-\frac{11}{2}} \sec^8 x dx$ તરીકે લેતા.
$\sec^8 x = (1 + \tan^2 x)^3 \sec^2 x$ હોવાથી,$\tan x = t$ લેતા $dt = \sec^2 x dx$ મળે.
$I = \int t^{-\frac{11}{2}} (1 + t^2)^3 dt = \int t^{-\frac{11}{2}} (1 + t^6 + 3t^4 + 3t^2) dt = \int (t^{-\frac{11}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + 3t^{-\frac{3}{2}} + 3t^{-\frac{7}{2}}) dt$.
સંકલન કરતા: $-\frac{2}{9} t^{-\frac{9}{2}} - \frac{6}{5} t^{-\frac{5}{2}} - 6 t^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$.
અહીં $p_1=2, q_1=9, p_2=6, q_2=5, p_3=6, q_3=1, p_4=2, q_4=3$ મળે છે.
તેથી $\frac{15 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 2}{9 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 3} = 16$.

(B) આપેલ છે કે $A+A^T=O$,તેથી $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે. ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$.
$A\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$-a = 3 \Rightarrow a = -3$
$-b+c = 2$
$3a + 2b = -3 \Rightarrow 3(-3) + 2b = -3 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$.
તેથી $c = 2+b = 5$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \\ -3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$.
તેથી $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \\ -3 & -5 & 1 \end{bmatrix}$.
$|A+I| = 1(1+25) + 3(3+15) + 3(-15+3) = 26 + 54 - 36 = 44$.
આપણે $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I)))$ શોધવાનું છે.
$A+I$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$\text{adj}(A+I)$ પણ $3 \times 3$ છે.
$\det(2\text{adj}(A+I)) = 2^3 |\text{adj}(A+I)| = 8 |A+I|^2 = 8(44)^2$.
તેથી $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I))) = (8 \cdot 44^2)^2 = (2^3 \cdot (2^2 \cdot 11)^2)^2 = (2^3 \cdot 2^4 \cdot 11^2)^2 = (2^7 \cdot 11^2)^2 = 2^{14} \cdot 11^4$.
$(2)^\alpha \cdot (3)^\beta \cdot (11)^\gamma$ સાથે સરખાવતા,$\alpha=14, \beta=0, \gamma=4$ મળે છે.
આમ,$\alpha+\beta+\gamma = 14+0+4 = 18$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$.
બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x > 0$ હોવાથી): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2}} dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $d\left(\frac{y}{x}\right) = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}} = \int \frac{1}{x} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^{2}}} = \ln|u + \sqrt{1 + u^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \ln x + C$.
$y(1) = 0$ આપેલ છે,તેથી $x = 1, y = 0$ મૂકતા: $\ln(0 + \sqrt{1 + 0}) = \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = x$.
$x$ વડે ગુણતા: $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2}$.
$y(3)$ શોધવા માટે,$x = 3$ મૂકતા: $y + \sqrt{9 + y^{2}} = 9$.
$\sqrt{9 + y^{2}} = 9 - y$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 + y^{2} = 81 - 18y + y^{2}$.
$18y = 72 \Rightarrow y = 4$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}4x + \tan^{-1}6x = \frac{\pi}{6}$.
સૂત્ર $\tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{4x+6x}{1-(4x)(6x)}\right) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{10x}{1-24x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$10\sqrt{3}x = 1 - 24x^2 \implies 24x^2 + 10\sqrt{3}x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - 4(24)(-1)}}{2(24)} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{300 + 96}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{396}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm 6\sqrt{11}}{48} = \frac{-5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{11}}{24}$.
અંતરાલ $-\frac{1}{2\sqrt{6}} < x < \frac{1}{2\sqrt{6}}$ છે,જ્યાં $\frac{1}{2\sqrt{6}} \approx 0.204$.
$x_1 = \frac{-5\sqrt{3} + 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 + 9.95}{24} \approx 0.054$ (અંતરાલમાં છે).
$x_2 = \frac{-5\sqrt{3} - 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 - 9.95}{24} \approx -0.775$ (અંતરાલમાં નથી).
માત્ર એક જ ઉકેલ શરતનું પાલન કરે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{[x]+4} dx$. કારણ કે $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ અને $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,આપણે $[x]$ ના મૂલ્યોના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} \frac{1}{[x]+4} dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{[x]+4} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{[x]+4} dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{[x]+4} dx$
$x \in [-\frac{\pi}{2}, -1)$ માટે,$[x] = -2$. $x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$. $x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$. $x \in [1, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$[x] = 1$.
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} \frac{1}{-2+4} dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{-1+4} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{0+4} dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+4} dx$
$I = \frac{1}{2} [-1 - (-\frac{\pi}{2})] + \frac{1}{3} [0 - (-1)] + \frac{1}{4} [1 - 0] + \frac{1}{5} [\frac{\pi}{2} - 1]$
$I = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 1) + \frac{1}{3} (1) + \frac{1}{4} (1) + \frac{1}{5} (\frac{\pi}{2} - 1)$
$I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{\pi}{10} - \frac{1}{5}$
$I = (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{10}) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5})$
$I = \frac{7\pi}{20} + \frac{-30+20+15-12}{60} = \frac{7\pi}{20} - \frac{7}{60} = \frac{21\pi - 7}{60} = \frac{7}{60}(3\pi - 1)$

(A) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{5-x}{2x+3}\right) + \frac{1}{\log_e(10-x)}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. $\sin^{-1}$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ હોવો જોઈએ,તેથી $-1 \leq \frac{5-x}{2x+3} \leq 1$.
$2$. $\log_e$ નો પ્રદેશ ધન અને $1$ ન હોવો જોઈએ,તેથી $10-x > 0$ અને $10-x \neq 1$,જેનો અર્થ છે $x < 10$ અને $x \neq 9$.
$3$. $-1 \leq \frac{5-x}{2x+3} \leq 1$ ઉકેલતા:
$\left|\frac{5-x}{2x+3}\right| \leq 1 \implies (5-x)^2 \leq (2x+3)^2$
$(5-x)^2 - (2x+3)^2 \leq 0$
$(2-3x)(x+8) \leq 0 \implies (3x-2)(x+8) \geq 0$
આથી $x \in (-\infty, -8] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$.
$4$. $x < 10$ અને $x \neq 9$ સાથે જોડતા,પ્રદેશ $(-\infty, -8] \cup [\frac{2}{3}, 10) - \{9\}$ મળે છે.
$5$. $(-\infty, \alpha] \cup [\beta, \gamma) - \{\delta\}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -8$,$\beta = \frac{2}{3}$,$\gamma = 10$,અને $\delta = 9$ મળે છે.
$6$. $6(\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 6(-8 + \frac{2}{3} + 10 + 9) = 6(\frac{35}{3}) = 70$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$. $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ છે.
$|\begin{bmatrix} 2-\lambda & 3 \\ 3 & 5-\lambda \end{bmatrix}| = (2-\lambda)(5-\lambda) - 9 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 - 9 = \lambda^2 - 7\lambda + 1 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^2 - 7A + I = 0$,તેથી $A^2 = 7A - I$.
આપણે $|A^{2023}(A^2 - 3A + I)|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પહેલા $A^2 - 3A + I$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{bmatrix}$.
$A^2 - 3A + I = \begin{bmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 12 & 20 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = (2)(5) - (3)(3) = 10 - 9 = 1$.
તેથી,$|A^{2023}(A^2 - 3A + I)| = |A|^{2023} \cdot |A^2 - 3A + I| = (1)^{2023} \cdot |\begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 12 & 20 \end{bmatrix}|$.
$= 1 \cdot (8 \times 20 - 12 \times 12) = 160 - 144 = 16$.

(C) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R(3k+6, 2k+7, -2k+7)$ છે.
$R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $P(1, 2, a)$ અને $Q(5, b, c)$ છે,આપણને મળે:
$3k+6 = \frac{1+5}{2} = 3 \Rightarrow 3k = -3 \Rightarrow k = -1$.
તેથી,મધ્યબિંદુ $R$ એ $(3, 5, 9)$ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2+b}{2} = 5 \Rightarrow b = 8$,
$\frac{a+c}{2} = 9 \Rightarrow a+c = 18$.
$PQ$ એ રેખા $L$ ને લંબ છે,જેની દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે. સદિશ $\vec{PQ} = 4\hat{i} + (b-2)\hat{j} + (c-a)\hat{k}$ અને $\vec{v}$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$4(3) + (8-2)(2) + (c-a)(-2) = 0 \Rightarrow 12 + 12 - 2c + 2a = 0 \Rightarrow 2a - 2c = -24 \Rightarrow a - c = -12$.
$a+c=18$ અને $a-c=-12$ ઉકેલતા,$2a = 6 \Rightarrow a=3$ અને $c=15$.
તેથી $a^2+b^2+c^2 = 3^2 + 8^2 + 15^2 = 9 + 64 + 225 = 298$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $6 \int_1^x f(t) dt = 3xf(x) + x^3 - 4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$6f(x) = 3f(x) + 3xf'(x) + 3x^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$3f(x) = 3xf'(x) + 3x^2$.
$3$ વડે ભાગતા:
$f(x) = xf'(x) + x^2$.
આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ $f'(x) - \frac{1}{x}f(x) = -x$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{x}f'(x) - \frac{1}{x^2}f(x) = -1$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{f(x)}{x} = -x + C$.
તેથી,$f(x) = -x^2 + Cx$.
$x=1$ આગળ,મૂળ સમીકરણ મુજબ $6 \int_1^1 f(t) dt = 3(1)f(1) + 1^3 - 4$,જે સૂચવે છે કે $0 = 3f(1) - 3$,તેથી $f(1) = 1$.
$f(1)=1$ ને $f(x) = -x^2 + Cx$ માં મૂકતા: $1 = -1 + C$,તેથી $C = 2$.
આમ,$f(x) = -x^2 + 2x$.
હવે,$f(2) = -(2)^2 + 2(2) = 0$ અને $f(3) = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$.
તેથી,$f(2) - f(3) = 0 - (-3) = 3$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(x_i) = 0 + 2k + k + 3k + 2k^2 + 2k + (k^2 + k) + 7k^2 = 1$
પદોને ભેગા કરતા: $10k^2 + 9k = 1$
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $10k^2 + 9k - 1 = 0$
અવયવ પાડતા: $(10k - 1)(k + 1) = 0$
સંભાવના ઋણ ન હોઈ શકે તેથી $k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{10} = 0.1$.
આપણે $P(3 < x \leq 6) = P(x=4) + P(x=5) + P(x=6)$ શોધવાનું છે.
$P(3 < x \leq 6) = 2k^2 + 2k + (k^2 + k) = 3k^2 + 3k$.
$k = 0.1$ મૂકતા:
$P(3 < x \leq 6) = 3(0.1)^2 + 3(0.1) = 3(0.01) + 0.3 = 0.03 + 0.3 = 0.33$.

(B) રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{1} = \lambda$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $P(2\lambda+1, -3\lambda-1, \lambda)$ છે.
બિંદુ $(1, -1, 0)$ થી અંતર $\sqrt{(2\lambda)^2 + (-3\lambda)^2 + \lambda^2} = 4\sqrt{14}$ છે.
$\sqrt{4\lambda^2 + 9\lambda^2 + \lambda^2} = 4\sqrt{14} \Rightarrow \sqrt{14\lambda^2} = 4\sqrt{14} \Rightarrow |\lambda| = 4$.
ઉગમબિંદુની નજીકના બિંદુ માટે,આપણે $\lambda = -4$ લઈએ છીએ. તેથી,$P = (2(-4)+1, -3(-4)-1, -4) = (-7, 11, -4)$.
રેખાઓ $L_1: \frac{x+7}{1} = \frac{y-11}{2} = \frac{z+4}{3}$ અને $L_2: \frac{x+5}{2} = \frac{y-10}{1} = \frac{z-3}{1}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
$d = \frac{|-2 - 5 - 21|}{\sqrt{1 + 25 + 9}} = \frac{28}{\sqrt{35}} = 4\sqrt{\frac{7}{5}}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{2025} - x^{2000}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $f'(x) = 2025x^{2024} - 2000x^{1999}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને મળે $x^{1999}(2025x^{25} - 2000) = 0$.
$x \in [0, 1]$ હોવાથી,ક્રાંતિક બિંદુ $x = (\frac{2000}{2025})^{1/25} = (\frac{80}{81})^{1/25} = \alpha$ છે.
$f(\alpha) = (\frac{80}{81})^{2025/25} - (\frac{80}{81})^{2000/25} = (\frac{80}{81})^{81} - (\frac{80}{81})^{80}$ ની ગણતરી કરતા.
$f(\alpha) = (\frac{80}{81})^{80} (\frac{80}{81} - 1) = (\frac{80}{81})^{80} (-\frac{1}{81}) = 80^{80} \cdot 81^{-80} \cdot (-81)^{-1} = 80^{80} \cdot (-81)^{-81}$.
આને $(80)^{80}(n)^{-81}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = -81$ મળે છે.

(D) સૌ પ્રથમ,$y=1+x^2$ અને $y=3-x$ ના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $1+x^2=3-x$ લો,જે $x^2+x-2=0$ આપે છે,તેથી $(x+2)(x-1)=0$. છેદબિંદુઓ $x=-2$ અને $x=1$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-2}^{1} [(3-x)-(1+x^2)] dx = \int_{-2}^{1} (2-x-x^2) dx = [2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} = \frac{13}{2}$.
$x=-1$ ની ડાબી બાજુનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \int_{-2}^{-1} (2-x-x^2) dx = \frac{7}{6}$.
$x=-1$ ની જમણી બાજુનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \int_{-1}^{1} (2-x-x^2) dx = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_2 : A_1 = \frac{10/3}{7/6} = \frac{20}{7}$ છે. તેથી $m=20$ અને $n=7$,એટલે કે $m+n=27$.

(B) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, y) : 4y = 5x - 3, x, y \in M\}$ છે,જ્યાં $M = \{1, 2, 3, \dots, 16\}$.
આપણે સમીકરણ $4y = 5x - 3$ નું સમાધાન કરતા ઘટકો $(x, y)$ શોધીએ:
જો $x = 3$ હોય,તો $4y = 5(3) - 3 = 12 \implies y = 3$. તેથી,$(3, 3) \in R$.
જો $x = 7$ હોય,તો $4y = 5(7) - 3 = 32 \implies y = 8$. તેથી,$(7, 8) \in R$.
જો $x = 11$ હોય,તો $4y = 5(11) - 3 = 52 \implies y = 13$. તેથી,$(11, 13) \in R$.
જો $x = 15$ હોય,તો $4y = 5(15) - 3 = 72 \implies y = 18$,પરંતુ $18 \notin M$.
આમ,$R = \{(3, 3), (7, 8), (11, 13)\}$.
સંબંધ $R$ સંમિત બને તે માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a)$ પણ $R$ માં હોવા જોઈએ.
અહીં,$(7, 8) \in R$ હોવાથી $(8, 7)$ ને $R$ માં ઉમેરવા પડે અને $(11, 13) \in R$ હોવાથી $(13, 11)$ ને $R$ માં ઉમેરવા પડે.
$(3, 3)$ પહેલેથી જ સંમિત છે.
તેથી,આપણે $2$ ઘટકો ઉમેરવાની જરૂર છે: $(8, 7)$ અને $(13, 11)$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણ $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$ અને $\vec{AD} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \lambda \hat{k}$.
તેથી,$\vec{AC} = (2+1) \hat{i} + (4+2) \hat{j} + (-5+\lambda) \hat{k} = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} + (\lambda - 5) \hat{k}$.
સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ નો $\vec{AC}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{|\vec{v} \cdot \vec{AC}|}{|\vec{AC}|} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\vec{v} \cdot \vec{AC}| = |(1)(3) + (1)(6) + (1)(\lambda - 5)| = |3 + 6 + \lambda - 5| = |\lambda + 4|$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (\lambda - 5)^2} = \sqrt{9 + 36 + \lambda^2 - 10\lambda + 25} = \sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 70}$.
તેથી,$\frac{|\lambda + 4|}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 70}} = 1 \Rightarrow (\lambda + 4)^2 = \lambda^2 - 10\lambda + 70$.
$\lambda^2 + 8\lambda + 16 = \lambda^2 - 10\lambda + 70 \Rightarrow 18\lambda = 54 \Rightarrow \lambda = 3$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3^2 x^2 - 6(3)x + 5 = 0$ બને છે,જે $9x^2 - 18x + 5 = 0$ છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 180}}{18} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{18} = \frac{18 \pm 12}{18}$.
$x = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$ અને $x = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
કારણ કે $\alpha > \beta$,તેથી $\alpha = \frac{5}{3}$ અને $\beta = \frac{1}{3}$.
તેથી $2\alpha - \beta = 2(\frac{5}{3}) - \frac{1}{3} = \frac{10-1}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

(B) આપેલ સંકલન $I = 6\int_{0}^{\pi}|\sin 3x + \sin 2x + \sin x| dx$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 6\int_{0}^{\pi}|2\sin 2x \cos x + \sin 2x| dx = 6\int_{0}^{\pi}|\sin 2x(2\cos x + 1)| dx$.
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ હોવાથી,$I = 12\int_{0}^{\pi}|\sin x \cos x(2\cos x + 1)| dx$.
ધારો કે $t = \cos x$,તો $dt = -\sin x dx$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=\pi, t=-1$.
$I = 12\int_{-1}^{1}|t(2t+1)| dt = 12\int_{-1}^{1}|2t^2 + t| dt$.
સંકલનને $t = -1/2$ અને $t = 0$ પર વિભાજિત કરતા:
$I = 12 \left[ \int_{-1}^{-1/2} (2t^2 + t) dt + \int_{-1/2}^{0} -(2t^2 + t) dt + \int_{0}^{1} (2t^2 + t) dt \right]$.
દરેક ભાગની ગણતરી કરતા:
$\int_{-1}^{-1/2} (2t^2 + t) dt = [\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2]_{-1}^{-1/2} = \frac{5}{24}$.
$-\int_{-1/2}^{0} (2t^2 + t) dt = -[\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2]_{-1/2}^{0} = -\frac{1}{24}$.
$\int_{0}^{1} (2t^2 + t) dt = [\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2]_{0}^{1} = \frac{7}{6}$.
$I = 12 \left( \frac{5}{24} + \frac{1}{24} + \frac{7}{6} \right) = 17$.

(B) આપેલ છે $A^{2} - 4A + 2I = O$. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^{2} - \text{Tr}(A)\lambda + \text{det}(A) = 0$ છે. સરખાવતા,$\text{Tr}(A) = 4 \Rightarrow \alpha + 2 = 4 \Rightarrow \alpha = 2$.
તે જ રીતે,$B^{2} - 3B + I = O$ માટે,$\text{Tr}(B) = 3 \Rightarrow 1 + \beta = 3 \Rightarrow \beta = 2$.
હવે,$A^{2} = 4A - 2I$. તેથી $A^{3} = 4A^{2} - 2A = 4(4A - 2I) - 2A = 14A - 8I$.
$A^{3} = 14 \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 & 28 \\ 14 & 28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \\ 14 & 20 \end{bmatrix}$.
$B$ માટે,$B^{2} = 3B - I$. તેથી $B^{3} = 3B^{2} - B = 3(3B - I) - B = 8B - 3I$.
$B^{3} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix}$.
$A^{3} - B^{3} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \\ 14 & 20 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 20 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$.
$\text{det}(A^{3} - B^{3}) = (15 \times 7) - (20 \times 6) = 105 - 120 = -15$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક માટે $\text{det}(\text{adj}(M)) = \text{det}(M)$ હોવાથી,$\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})) = -15$.
તેથી,$(\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2} = (-15)^{2} = 225$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ ના બીજ સમાન છે,તેથી તેનો વિવેચક $D=0$ થાય.
$D = (-2f^{\prime}(x))^{2} - 4f(x)f^{\prime\prime}(x) = 0 \Rightarrow 4(f^{\prime}(x))^{2} = 4f(x)f^{\prime\prime}(x) \Rightarrow (f^{\prime}(x))^{2} = f(x)f^{\prime\prime}(x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$ મળે,જે $f^{\prime}(x) = c f(x)$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે $f(0)=1$ અને $f^{\prime}(0)=2$,તેથી $2 = c(1) \Rightarrow c=2$.
આમ,$f^{\prime}(x) = 2f(x) \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$.
ફરીથી સંકલન કરતા,$\ln(f(x)) = 2x + C_2$. $f(0)=1$ હોવાથી,$\ln(1) = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$.
તેથી,$f(x) = e^{2x}$.
હવે,$g(x) = f(\ln x - x) = e^{2(\ln x - x)}$.
$g(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે,$g^{\prime}(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$g^{\prime}(x) = e^{2(\ln x - x)} \cdot 2(\frac{1}{x} - 1) \geq 0$.
$e^{2(\ln x - x)} > 0$ હોવાથી,$\frac{1-x}{x} \geq 0$ થવું જોઈએ.
આ અસમતા $x \in (0, 1]$ માટે સાચી છે.
તેથી,અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ એ $(0, 1)$ છે,એટલે કે $\alpha=0$ અને $\beta=1$.
તેથી,$\alpha+\beta = 0+1 = 1$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (-\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ છે.
આને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-1}{-1} = \lambda$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા પરનું કોઈપણ સામાન્ય બિંદુ $P$ એ $(2\lambda - 1, 3\lambda + 3, -\lambda + 1)$ છે.
ધારો કે આપેલ બિંદુ $A = (5, 4, 2)$ છે.
સદિશ $\vec{AP} = (2\lambda - 1 - 5)\hat{i} + (3\lambda + 3 - 4)\hat{j} + (-\lambda + 1 - 2)\hat{k} = (2\lambda - 6)\hat{i} + (3\lambda - 1)\hat{j} + (-\lambda - 1)\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{AP}$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી રેખાના દિશા સદિશ $(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ સાથે તેનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$(2\lambda - 6)(2) + (3\lambda - 1)(3) + (-\lambda - 1)(-1) = 0$.
$4\lambda - 12 + 9\lambda - 3 + \lambda + 1 = 0$.
$14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $\alpha = 2(1) - 1 = 1$,$\beta = 3(1) + 3 = 6$,અને $\gamma = -1 + 1 = 0$ મળે છે.
તેથી,સદિશ $\vec{u} = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + \gamma\hat{k} = \hat{i} + 6\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{w} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{u}$ નો $\vec{w}$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{w}|}{|\vec{w}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{u} \cdot \vec{w} = (1)(6) + (6)(2) + (0)(3) = 6 + 12 + 0 = 18$.
$|\vec{w}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\frac{18}{7}$ છે.

(B) મધ્યક $\overline{x} = 8$ આપેલ છે:
$\frac{2+4+10+x+12+14+y}{7} = 8 \Rightarrow x+y = 14$ ....$(1)$
વિચરણ $\sigma^2 = 16$ આપેલ છે:
$\frac{2^2+4^2+10^2+x^2+12^2+14^2+y^2}{7} - 8^2 = 16 \Rightarrow x^2+y^2 = 100$ ....$(2)$
સમીકરણો ઉકેલતા $x=8$ અને $y=6$ મળે છે.
ગણ $\{1, 2, 3, 4, 6, 5\}$ બને છે.
કુલ પસંદગીના પ્રકાર $= 6 \times 5 = 30$.
નાની સંખ્યા $4$ થી ઓછી હોય તેની સંભાવના $= 1 - P(\text{નાની સંખ્યા } \geq 4)$.
$P(\text{નાની સંખ્યા } \geq 4) = \frac{3 \times 2}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
તેથી,સંભાવના $= 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{\pi}{1 - \sin(|x| + \pi/6)} dx + \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{4x^{11}}{1 - \sin(|x| + \pi/6)} dx$.
અહીં $f(x) = \frac{4x^{11}}{1 - \sin(|x| + \pi/6)}$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,બીજું સંકલન $0$ થશે.
તેથી,$I = 2 \int_{0}^{\pi/6} \frac{\pi}{1 - \sin(x + \pi/6)} dx = 2\pi \int_{0}^{\pi/6} \frac{1}{1 - \sin(x + \pi/6)} dx$.
ધારો કે $x + \pi/6 = t$,તો $dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=\pi/6$; જ્યારે $x=\pi/6, t=\pi/3$.
$I = 2\pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{1 - \sin t} dt = 2\pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1 + \sin t}{\cos^2 t} dt$.
$I = 2\pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} (\sec^2 t + \sec t \tan t) dt = 2\pi [\tan t + \sec t]_{\pi/6}^{\pi/3}$.
$I = 2\pi [(\tan(\pi/3) + \sec(\pi/3)) - (\tan(\pi/6) + \sec(\pi/6))]$.
$I = 2\pi [(\sqrt{3} + 2) - (1/\sqrt{3} + 2/\sqrt{3})] = 2\pi [\sqrt{3} + 2 - 3/\sqrt{3}] = 2\pi [\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}] = 4\pi$.
આમ,જવાબ $4$ છે.

(C) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 1} \log_{e} \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)^{\frac{18}{(x-1)^{2}}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{18}{(x-1)^{2}} \ln \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)$.
$f(3) = 18$ હોવાથી,$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x+2)}{f(3)} = \frac{f(3)}{f(3)} = 1$ મળે.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે. $x=1$ ની નજીક ટેલર વિસ્તરણ $f(x+2) \approx f(3) + f'(3)(x-1) + \frac{f''(3)}{2}(x-1)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x+2) \approx 18 + 0(x-1) + \frac{4}{2}(x-1)^2 = 18 + 2(x-1)^2$.
તેથી,$\frac{f(x+2)}{f(3)} \approx 1 + \frac{2(x-1)^2}{18} = 1 + \frac{(x-1)^2}{9}$.
નાના $u$ માટે $\ln(1+u) \approx u$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = \frac{(x-1)^2}{9}$:
$L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{18}{(x-1)^{2}} \cdot \frac{(x-1)^2}{9} = \frac{18}{9} = 2$.

(D) ધારો કે $S$ એ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ થી $B = \{1, 2, 3, \dots, 9\}$ પરના તમામ ચુસ્ત વધતા વિધેયોનો ગણ છે. આવા કુલ વિધેયોની સંખ્યા $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
આપણે એવા વિધેયોની સંખ્યા શોધવા માંગીએ છીએ કે જેના માટે તમામ $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે $f(i) \neq i$ થાય.
ચુસ્ત વધતા વિધેય માટે,જો $f(i) \neq i$ ની શરત હોય,તો આવા વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{m-1}{n}$ છે,જ્યાં $n=6$ અને $m=9$ છે.
તેથી,માંગેલ સંખ્યા = $\binom{9-1}{6} = \binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2})dy + (y-\tan^{-1}x)dx = 0$ છે.
$(1+x^{2})dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^{2}} = \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1+x^{2}}$ અને $Q = \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1}x}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + c$ છે.
$y \cdot e^{\tan^{-1}x} = \int \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}} e^{\tan^{-1}x} dx + c$.
ધારો કે $t = \tan^{-1}x$,તો $dt = \frac{1}{1+x^{2}} dx$ થાય.
સંકલન $\int t e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + c$ બને છે.
તેથી,$y \cdot e^{\tan^{-1}x} = (\tan^{-1}x) e^{\tan^{-1}x} - e^{\tan^{-1}x} + c$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 \cdot e^{0} = (0) e^{0} - e^{0} + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$.
આમ,$y \cdot e^{\tan^{-1}x} = (\tan^{-1}x - 1) e^{\tan^{-1}x} + 2$.
$e^{\tan^{-1}x}$ વડે ભાગતા,$y = \tan^{-1}x - 1 + 2e^{-\tan^{-1}x}$ મળે છે.
$x = 1$ માટે,$y(1) = \tan^{-1}(1) - 1 + 2e^{-\tan^{-1}(1)} = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{2}{e^{\pi/4}}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{c} \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) = (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) \times \vec{d}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{c} \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) + \vec{d} \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) = 0$.
આથી,$(\vec{c}+\vec{d}) \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{c}+\vec{d}$ એ $(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{c}+\vec{d} = \lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\vec{c}+\vec{d}| = \sqrt{29}$,તેથી $|\lambda| \sqrt{2^2+3^2+4^2} = \sqrt{29}$,એટલે કે $|\lambda| \sqrt{29} = \sqrt{29}$,જે આપણને $\lambda = \pm 1$ આપે છે.
હવે,$(\vec{c}+\vec{d}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) = \lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) = \lambda(-14+6+12) = 4\lambda$.
$\lambda = 1$ માટે કિંમત $4$ મળે છે અને $\lambda = -1$ માટે કિંમત $-4$ મળે છે.
તેથી,$\lambda_1 = 4$ અને $\lambda_2 = -4$.
સમીકરણ $K^2x^2 + (K^2-5K+4)xy + (3K-2)y^2 - 8x + 12y - 4 = 0$ બને છે.
વર્તુળ માટે,$xy$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ અને $x^2$ તથા $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ.
$K^2-5K+4 = 0 \Rightarrow (K-1)(K-4) = 0 \Rightarrow K=1$ અથવા $K=4$.
$K^2 = 3K-2 \Rightarrow K^2-3K+2 = 0 \Rightarrow (K-1)(K-2) = 0 \Rightarrow K=1$ અથવા $K=2$.
સામાન્ય કિંમત $K=1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}=-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{b}=8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}$.
$\vec{a}\times\vec{c}=\vec{b}$ હોવાથી:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = 8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$
$(2c_{3}-2c_{2})\hat{i} - (-c_{3}-2c_{1})\hat{j} + (-c_{2}-2c_{1})\hat{k} = 8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2c_{3}-2c_{2}=8 \Rightarrow c_{3}-c_{2}=4 \Rightarrow c_{3}=c_{2}+4$
$c_{3}+2c_{1}=7$
$-c_{2}-2c_{1}=-3 \Rightarrow c_{2}+2c_{1}=3$
આપેલ છે કે $\vec{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=4$,તેથી $c_{1}+c_{2}+c_{3}=4$.
$c_{3}=c_{2}+4$ મુકતા: $c_{1}+c_{2}+c_{2}+4=4 \Rightarrow c_{1}+2c_{2}=0 \Rightarrow c_{1}=-2c_{2}$.
$c_{2}+2c_{1}=3$ માં કિંમત મુકતા: $c_{2}+2(-2c_{2})=3 \Rightarrow -3c_{2}=3 \Rightarrow c_{2}=-1$.
તેથી $c_{1}=-2(-1)=2$ અને $c_{3}=-1+4=3$.
આમ $\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$.
હવે $\vec{a}+\vec{c} = (-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) + (2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}$.
$|\vec{a}+\vec{c}|^{2} = 1^{2}+1^{2}+5^{2} = 1+1+25 = 27$.

(D) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક હોય જો તેમાં તમામ $n$ વિકર્ણ ઘટકો $(x, x)$ હોય,જ્યાં $x \in A$.
ગણ $A = \{a, b, c, d\}$ માટે,$n = 4$.
$A \times A$ માં કુલ $n^2 = 16$ શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ છે.
સ્વવાચક સંબંધ માટે $n = 4$ વિકર્ણ ઘટકો હાજર હોવા આવશ્યક છે.
બાકીના $n^2 - n = 16 - 4 = 12$ ઘટકો વિકર્ણ સિવાયની જોડીઓ છે.
સંબંધ સંમિત હોય તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x)$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ.
આ $12$ ઘટકો ${(x, y), (y, x)}$ સ્વરૂપની $6$ જોડીઓ બનાવે છે.
દરેક જોડી માટે આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે: કાં તો બંને $R$ માં સમાવિષ્ટ હોય,અથવા બંને ન હોય.
આમ,સ્વવાચક અને સંમિત સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^6 = 64$ છે.

(A) આપેલ લંબવૃત્ત $x^{2}+4y^{2}=4$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ તરીકે લખી શકાય છે. અહીં,$a=2$ અને $b=1$ છે.
લંબવૃત્તનું ક્ષેત્રફળ $A_{e} = \pi ab = \pi \times 2 \times 1 = 2\pi$ છે.
વક્રો $y=|x|-1$ અને $y=1-|x|$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ એક ચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(1,0), (0,1), (-1,0),$ અને $(0,-1)$ છે.
આ ચોરસની બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ છે.
આ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_{s} = s^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ લંબવૃત્તની અંદર અને ચોરસની બહારનો ભાગ છે,જે $A_{e} - A_{s} = 2\pi - 2 = 2(\pi-1)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \cos^{-1}(\frac{2x-5}{11-3x}) + \sin^{-1}(2x^2-3x+1)$ ના પ્રદેશ માટે,આપણે બંને પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની શરતોનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
$1$) $\sin^{-1}(2x^2-3x+1)$ માટે,આપણે $-1 \le 2x^2-3x+1 \le 1$ ની જરૂર છે.
$2x^2-3x+1 \le 1 \implies 2x^2-3x \le 0 \implies x(2x-3) \le 0 \implies x \in [0, \frac{3}{2}]$.
$2x^2-3x+1 \ge -1 \implies 2x^2-3x+2 \ge 0$. અહીં વિવેચક $D = (-3)^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7 < 0$ છે અને અગ્ર સહગુણક ધન છે,તેથી આ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય છે.
આમ,પ્રથમ શરત $x \in [0, \frac{3}{2}]$ આપે છે.
$2$) $\cos^{-1}(\frac{2x-5}{11-3x})$ માટે,આપણે $-1 \le \frac{2x-5}{11-3x} \le 1$ ની જરૂર છે.
$\frac{2x-5}{11-3x} + 1 \ge 0 \implies \frac{2x-5+11-3x}{11-3x} \ge 0 \implies \frac{6-x}{11-3x} \ge 0 \implies \frac{x-6}{x-11/3} \ge 0$. આ $x \in (-\infty, 11/3) \cup [6, \infty)$ આપે છે.
$\frac{2x-5}{11-3x} - 1 \le 0 \implies \frac{2x-5-11+3x}{11-3x} \le 0 \implies \frac{5x-16}{11-3x} \le 0 \implies \frac{x-16/5}{x-11/3} \ge 0$. આ $x \in (-\infty, 16/5] \cup (11/3, \infty)$ આપે છે.
આ બંને શરતોનો છેદ લેતા,આપણને $x \in (-\infty, 16/5] \cup [6, \infty)$ મળે છે.
$3$) અંતે,$(1)$ અને $(2)$ ના પરિણામોનો છેદ લેતા:
$[0, 3/2] \cap ((-\infty, 16/5] \cup [6, \infty)) = [0, 3/2]$.
આમ,$\alpha = 0$ અને $\beta = 3/2$.
તેથી,$\alpha + 2\beta = 0 + 2(3/2) = 3$.

(C) ધારો કે રેખા $L$ છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(8k-3, 2k+4, 2k-1)$ સ્વરૂપમાં છે.
$P$ અને $Q$ એ $L$ પર આવેલા છે અને $R(1, 2, 3)$ થી $6$ એકમ અંતરે છે,તેથી અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(8k-3-1)^2 + (2k+4-2)^2 + (2k-1-3)^2 = 6^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $(8k-4)^2 + (2k+2)^2 + (2k-4)^2 = 36$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $(64k^2 - 64k + 16) + (4k^2 + 8k + 4) + (4k^2 - 16k + 16) = 36$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $72k^2 - 72k + 36 = 36$,જે $72k^2 - 72k = 0$ આપે છે.
અવયવ પાડતા $72k(k-1) = 0$ મળે,તેથી $k=0$ અથવા $k=1$.
$k=0$ માટે,$P = (-3, 4, -1)$ અને $k=1$ માટે,$Q = (5, 6, 1)$.
મધ્યકેન્દ્ર $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{-3+5+1}{3}, \frac{4+6+2}{3}, \frac{-1+1+3}{3}) = (1, 4, 1)$.
આમ,$\alpha + \beta + \gamma = 1 + 4 + 1 = 6$.

(C) ધારો કે $h$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $t$ એ કાંટાની સંખ્યા છે. કુલ પોઈન્ટ $10h + 5t = 30$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2h + t = 6$ થાય છે.
$h$ અને $t$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ,તેથી શક્ય જોડીઓ $(h, t)$ એ $(0, 6), (1, 4), (2, 2),$ અને $(3, 0)$ છે.
દરેક કિસ્સા માટે કુલ ઉછાળની સંખ્યા $N = h + t$ છે: અનુક્રમે $6, 5, 4,$ અને $3$.
$N$ ઉછાળમાં $h$ છાપ અને $t$ કાંટા મેળવવાની સંભાવના $\binom{N}{h} (\frac{1}{2})^N$ છે.
$(h, t) = (0, 6)$ માટે,$N=6$,$P_1 = \binom{6}{0} (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
$(h, t) = (1, 4)$ માટે,$N=5$,$P_2 = \binom{5}{1} (\frac{1}{2})^5 = \frac{5}{32} = \frac{10}{64}$.
$(h, t) = (2, 2)$ માટે,$N=4$,$P_3 = \binom{4}{2} (\frac{1}{2})^4 = \frac{6}{16} = \frac{24}{64}$.
$(h, t) = (3, 0)$ માટે,$N=3$,$P_4 = \binom{3}{3} (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = \frac{8}{64}$.
કુલ સંભાવના $P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = \frac{1 + 10 + 24 + 8}{64} = \frac{43}{64}$ છે.
આમ,$m = 43$ અને $n = 64$. $\text{gcd}(43, 64) = 1$ હોવાથી,$m + n = 43 + 64 = 107$ થાય.

(B) ધારો કે $K$ એ ઘટના છે કે પત્ર $KANPUR$ થી આવ્યો છે અને $A$ એ ઘટના છે કે પત્ર $ANANTPUR$ થી આવ્યો છે.
$KANPUR$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે,જે $5$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી આપે છે: $(KA, AN, NP, PU, UR)$. આમાંથી,$1$ જોડી $AN$ છે. તેથી,$P(AN|K) = 1/5$.
$ANANTPUR$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે,જે $7$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી આપે છે: $(AN, NA, AN, NT, TP, PU, UR)$. આમાંથી,$2$ જોડી $AN$ છે. તેથી,$P(AN|A) = 2/7$.
ધારી લઈએ કે પૂર્વ સંભાવનાઓ સમાન છે,$P(K) = P(A) = 1/2$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,$AN$ દેખાય છે તે જોતા પત્ર $ANANTPUR$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(A|AN) = \frac{P(AN|A)P(A)}{P(AN|A)P(A) + P(AN|K)P(K)}$
$P(A|AN) = \frac{(2/7) \times (1/2)}{(2/7) \times (1/2) + (1/5) \times (1/2)}$
$P(A|AN) = \frac{2/7}{2/7 + 1/5} = \frac{2/7}{17/35} = \frac{2}{7} \times \frac{35}{17} = \frac{10}{17}$.

(B) કુલ સિક્કાઓની સંખ્યા = $N+1$.
સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{N}{N+1}$.
બે છાપવાળો સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{1}{N+1}$.
'છાપ' મળવાની સંભાવના = $P(H|Fair) \cdot P(Fair) + P(H|TwoHead) \cdot P(TwoHead)$.
સામાન્ય સિક્કા માટે 'છાપ' મળવાની સંભાવના $1/2$ છે અને બે છાપવાળા સિક્કા માટે 'છાપ' મળવાની સંભાવના $1$ છે,તેથી:
$P(H) = \frac{1}{2} \cdot \frac{N}{N+1} + 1 \cdot \frac{1}{N+1} = \frac{N}{2(N+1)} + \frac{2}{2(N+1)} = \frac{N+2}{2(N+1)}$.
આપેલ છે કે $P(H) = \frac{9}{16}$,તેથી સમીકરણ:
$\frac{N+2}{2(N+1)} = \frac{9}{16}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $16(N+2) = 18(N+1)$.
$16N + 32 = 18N + 18$.
$32 - 18 = 18N - 16N$.
$14 = 2N$.
$N = 7$.

(C) રેખા $L$ ની દિશાનો સદિશ $\vec{v}$ એ આપેલા બે સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-2) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(4-2) = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા સદિશ $(2, -3, 2)$ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z-1}{2} = k$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k+1, -3k+1, 2k+1)$ સ્વરૂપમાં હોય.
ધારો કે $P(a, b, c)$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી રેખા $L$ પરનો લંબપાદ છે. સદિશ $\vec{OP} = (2k+1, -3k+1, 2k+1)$ એ રેખા $L$ ની દિશા $(2, -3, 2)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$2(2k+1) - 3(-3k+1) + 2(2k+1) = 0$.
$4k + 2 + 9k - 3 + 4k + 2 = 0 \Rightarrow 17k + 1 = 0 \Rightarrow k = -1/17$.
$P$ ના યામ શોધવા માટે $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = 2(-1/17) + 1 = 15/17$,$b = -3(-1/17) + 1 = 20/17$,$c = 2(-1/17) + 1 = 15/17$.
તેથી $a + b + c = (15 + 20 + 15) / 17 = 50/17$.
$34(a + b + c)$ ની કિંમત $34 \times (50/17) = 2 \times 50 = 100$ થાય.

(B) બે વિષમતલીય રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{v_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{v_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a_1} = (\frac{1}{3}, 2, \frac{8}{3})$,$\vec{v_1} = (2, -5, 6)$,$\vec{a_2} = (-\frac{2}{3}, 0, -\frac{1}{3})$,અને $\vec{v_2} = (1, 0, -1)$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-1, -2, -3)$.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = 5\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}$.
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{114}$.
અંતર $d = \frac{36}{\sqrt{114}}$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $3$ છે.

(C) છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ અથવા ઘટકોને સરખાવીએ.
રેખા $1$: $x = 1 + \lambda, y = 1 - \lambda, z = -1$.
રેખા $2$: $x = 4 + 2\mu, y = 0, z = -1 + \mu$.
$y$-ઘટકોને સરખાવતા: $1 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
રેખા $1$ ના $x$-ઘટકમાં $\lambda = 1$ મૂકતા: $x = 1 + 1 = 2$.
જોકે,રેખા $2$ ના $y$-ઘટકોને સરખાવતા $y = 0$ મળે છે. રેખાઓ છેદતી હોવાથી,બિંદુ બંને સમીકરણોનું પાલન કરવું જોઈએ.
રેખા $2$ પરથી,$y = 0$ અચળ છે. તેથી,$1 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ પર,રેખા $1$ પરનું બિંદુ $(1+1, 1-1, -1) = (2, 0, -1)$ છે.
આ બિંદુ માટે રેખા $2$ તપાસતા: $x = 4 + 2\mu = 2 \Rightarrow 2\mu = -2 \Rightarrow \mu = -1$.
$z$-ઘટક તપાસતા: $z = -1 + \mu = -1 + (-1) = -2$. આ $z = -1$ સાથે મેળ ખાતું નથી.
છેદબિંદુનું પુનઃમૂલ્યાંકન: રેખાઓ $(4, 0, -1)$ પર છેદે છે જ્યાં $\mu = 0$ અને $\lambda = -3$ ($x=1+\lambda=4$ પરથી).
બિંદુ $P = (4, 0, -1)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતરનો વર્ગ $d^2 = 4^2 + 0^2 + (-1)^2 = 16 + 0 + 1 = 17$ થાય.

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{u} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ અને $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$ છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{u} \times \vec{v} = (2\vec{a} + 3\vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{a}) - 2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{b})$.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,અને $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,તેથી આપણને મળે:
$\vec{u} \times \vec{v} = 0 - 2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3(\vec{a} \times \vec{b}) - 0 = -5(\vec{a} \times \vec{b})$.
હવે,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 3 \\ 6 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-9) - \hat{j}(6-18) + \hat{k}(6-18) = 0\hat{i} + 12\hat{j} - 12\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + (-12)^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$.
આમ,$A = \frac{1}{2} |-5(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} \times 12\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $A^2 = (30\sqrt{2})^2 = 900 \times 2 = 1800$ થાય.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગત હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 15) - 1(\lambda - 10) + 1(3 - 4) = 0$
$2\lambda - 15 - \lambda + 10 - 1 = 0$
$\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 6$.
હવે,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 5 & | & 10 \\ 2 & 3 & 6 & | & \mu \end{pmatrix}$ લો.
હારની પ્રક્રિયાઓ કરો: $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - 2R_1$:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 4 \\ 0 & 1 & 4 & | & \mu - 12 \end{pmatrix}$.
અનંત ઉકેલો માટે,છેલ્લી હાર શૂન્ય હાર હોવી જોઈએ,તેથી $\mu - 12 = 4 \Rightarrow \mu = 16$.
આમ,$\lambda = 6$ અને $\mu = 16$.
$\lambda + \mu = 6 + 16 = 22$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે નોન-ટ્રિવિયલ ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\begin{vmatrix} \cos 3\theta & -8 & -12 \\ \cos 2\theta & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\cos 3\theta(9 - 3) + 8(3\cos 2\theta - 3) - 12(\cos 2\theta - 3) = 0$
$6\cos 3\theta + 24\cos 2\theta - 24 - 12\cos 2\theta + 36 = 0$
$6\cos 3\theta + 12\cos 2\theta + 12 = 0$
$6$ વડે ભાગતા: $\cos 3\theta + 2\cos 2\theta + 2 = 0$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ અને $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(4\cos^3\theta - 3\cos\theta) + 2(2\cos^2\theta - 1) + 2 = 0$
$4\cos^3\theta + 4\cos^2\theta - 3\cos\theta = 0$
$\cos\theta(4\cos^2\theta + 4\cos\theta - 3) = 0$
$\cos\theta(2\cos\theta - 1)(2\cos\theta + 3) = 0$
કારણ કે $\cos\theta$ ની કિંમત $-3/2$ ન હોઈ શકે,તેથી $\cos\theta = 0$ અથવા $\cos\theta = 1/2$ મળે.
$\theta \in [0, 2\pi]$ માટે,$\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2$.
$\cos\theta = 1/2 \Rightarrow \theta = \pi/3, 5\pi/3$.
બધા મૂલ્યોનો સરવાળો $\pi/2 + 3\pi/2 + \pi/3 + 5\pi/3 = 2\pi + 2\pi = 4\pi$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $f(n) = \det \begin{vmatrix} n & -1 & -5 \\ -2n^2 & 3(2k+1) & 2k+1 \\ -3n^3 & 3(2k+1) & 3(k+2)+1 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $n$ સામાન્ય લેતા,$f(n) = n \det \begin{vmatrix} 1 & -1 & -5 \\ -2n & 3(2k+1) & 2k+1 \\ -3n^2 & 3(2k+1) & 3k+7 \end{vmatrix}$ મળે છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,તે $n$ માં બહુપદી સ્વરૂપે મળે છે.
સરવાળો $\sum_{n=1}^k f(n) = 98$ માટે $k$ ની કિંમતો ચકાસતા,$k=5$ માટે સમીકરણ સંતોષાય છે. તેથી,$k=5$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & t \\ 6 & 1 & 5t \\ 3 & t^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 - 5t^3) - 2(6 - 15t) + t(6t^2 - 3) = 0$
$1 - 5t^3 - 12 + 30t + 6t^3 - 3t = 0$
$t^3 + 27t - 11 = 0$.
પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ જો સિસ્ટમને તમામ $t \in R$ માટે અનંત ઉકેલો હોય,તો નિશ્ચાયક તમામ $t$ માટે શૂન્ય હોવો જોઈએ. જો કે,$t^3 + 27t - 11$ એ બહુપદી છે જે તમામ $t$ માટે શૂન્ય નથી. જો આપણે આ પદાવલિને વિધેય $f(t) = t^3 + 27t - 11$ તરીકે લઈએ,તો તેનું વિકલન $f'(t) = 3t^2 + 27$ હંમેશા ધન રહે છે. તેથી,$f(t)$ એ ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + 2y + z = 5$ $(1)$
$2x + y + \alpha z = 5$ $(2)$
$8x + 4y + \beta z = 18$ $(3)$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & \alpha \\ 8 & 4 & \beta \end{vmatrix} = 1(\beta - 4\alpha) - 2(2\beta - 8\alpha) + 1(8 - 8) = 0$
$\beta - 4\alpha - 4\beta + 16\alpha = 0 \implies 12\alpha - 3\beta = 0 \implies \beta = 4\alpha$.
હવે,$\beta = 4\alpha$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા. હાર પ્રક્રિયા કરતા: $R_3 \to R_3 - 4R_1$ લેતા,આપણને $0x + 0y + (\beta - 4)z = 18 - 20 = -2$ મળે છે.
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$0 = -2$ (વિરોધાભાસ) હોવો જોઈએ,જે ત્યારે શક્ય છે જ્યારે $\beta - 4 = 0$,એટલે કે $\beta = 4$.
કારણ કે $\beta = 4\alpha$,તેથી $4 = 4\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.
તેથી,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{4}{1} = 4$.

(A) ધારો કે $\tan^{-1}(x\sqrt{2}) = \theta$. તેથી $\tan \theta = x\sqrt{2}$.
નિત્યસમ $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin \theta = \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1+2x^2}}$ મળે છે.
ધારો કે $\sin^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \phi$. તેથી $\sin \phi = \sqrt{1-x^2}$.
નિત્યસમ $\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} = \frac{\sqrt{1-\sin^2 \phi}}{\sin \phi}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cot \phi = \frac{\sqrt{1-(1-x^2)}}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1+2x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x \in (0, 1)$ હોવાથી,$x \neq 0$,તેથી આપણે $x$ વડે ભાગી શકીએ: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2}{1+2x^2} = \frac{1}{1-x^2}$.
$2(1-x^2) = 1+2x^2 \implies 2-2x^2 = 1+2x^2 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = 1/4$.
$x \in (0, 1)$ હોવાથી,$x = 1/2$.

(B) $\sin^{-1}(u)$ નો પ્રદેશ $u \in [-1, 1]$ છે.
તેથી,$-1 \le \frac{x+[x]}{3} \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $-3 \le x+[x] \le 3$.
કિસ્સો $1$: જો $x \in [-2, -1)$,તો $[x] = -2$. તેથી,$-3 \le x - 2 \le 3 \implies -1 \le x \le 5$. $x \in [-2, -1)$ સાથે છેદગણ $[-1, -1)$ (ખાલી ગણ) મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x \in [-1, 0)$,તો $[x] = -1$. તેથી,$-3 \le x - 1 \le 3 \implies -2 \le x \le 4$. $[-1, 0)$ સાથે છેદગણ $[-1, 0)$ મળે છે.
કિસ્સો $3$: જો $x \in [0, 1)$,તો $[x] = 0$. તેથી,$-3 \le x \le 3$. $[0, 1)$ સાથે છેદગણ $[0, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $4$: જો $x \in [1, 2)$,તો $[x] = 1$. તેથી,$-3 \le x + 1 \le 3 \implies -4 \le x \le 2$. $[1, 2)$ સાથે છેદગણ $[1, 2)$ મળે છે.
કિસ્સો $5$: જો $x \in [2, 3)$,તો $[x] = 2$. તેથી,$-3 \le x + 2 \le 3 \implies -5 \le x \le 1$. $[2, 3)$ સાથે છેદગણ ખાલી ગણ મળે છે.
આ બધાને જોડતા,પ્રદેશ $[-1, 2)$ મળે છે.
આમ,$\alpha = -1$ અને $\beta = 2$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = (-1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$.

(C) ધારો કે $y = y_1 + y_2$,જ્યાં $y_1 = \tan^{-1} \left( \frac{3\cos x - 4\sin x}{4\cos x + 3\sin x} \right)$ અને $y_2 = 2\tan^{-1} \left( \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} \right)$.
$y_1$ માટે,અંશ અને છેદને $4\cos x$ વડે ભાગતા: $y_1 = \tan^{-1} \left( \frac{3/4 - \tan x}{1 + (3/4)\tan x} \right) = \tan^{-1}(3/4) - x$.
તેથી,$\frac{dy_1}{dx} = -1$.
$y_2$ માટે,ધારો કે $x = \sin \theta$,તો $\theta = \sin^{-1} x$. પદાવલિ $2\tan^{-1} \left( \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} \right) = 2\tan^{-1} \left( \tan(\theta/2) \right) = \theta = \sin^{-1} x$ બને છે.
તેથી,$\frac{dy_2}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -1 + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = -1 + \frac{1}{\sqrt{1 - 3/4}} = -1 + \frac{1}{\sqrt{1/4}} = -1 + 2 = 1$.

(B) $4$ ઘટકોના ગણથી $3$ ઘટકોના ગણ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $3^4 = 81$ છે.
વ્યાપ્ત વિધેય (surjective function) માટે સહપ્રદેશના દરેક ઘટકનું ઓછામાં ઓછું એક પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવું જરૂરી છે.
અપવર્જન-સમાવેશના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $3^4 - \binom{3}{1} 2^4 + \binom{3}{2} 1^4 = 81 - 3(16) + 3(1) = 81 - 48 + 3 = 36$ મળે છે.
જે વિધેયો વ્યાપ્ત નથી તેની સંખ્યા એટલે કુલ વિધેયોમાંથી વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા બાદ કરવી.
તેથી,વ્યાપ્ત ન હોય તેવા વિધેયોની સંખ્યા = $81 - 36 = 45$ થાય.

(A) $\cos^{-1}(u)$ નો પ્રદેશ $u \in [-1, 1]$ છે.
તેથી,$-1 \le \frac{4x+2[x]}{3} \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $-3 \le 4x+2[x] \le 3$.
ધારો કે $[x] = n$,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે. તો $x \in [n, n+1)$.
અસમતા $-3 \le 4x + 2n \le 3$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $-3-2n \le 4x \le 3-2n$ થાય,અથવા $x \in [\frac{-3-2n}{4}, \frac{3-2n}{4}]$.
કારણ કે $x \in [n, n+1)$,આપણે $[n, n+1) \cap [\frac{-3-2n}{4}, \frac{3-2n}{4}] \neq \emptyset$ હોવું જોઈએ.
$n = -1$ માટે: $x \in [-1, 0) \cap [-\frac{1}{4}, \frac{5}{4}] = [-\frac{1}{4}, 0)$.
$n = 0$ માટે: $x \in [0, 1) \cap [-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}] = [0, \frac{3}{4}]$.
આ બંનેને જોડતા,પ્રદેશ $[-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = -\frac{1}{4}$ અને $\beta = \frac{3}{4}$.
હવે $\alpha + \beta = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
અંતે,$12(\alpha + \beta) = 12 \times \frac{1}{2} = 6$.

(D) $f(x)$ એ $x = \pi/2$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન હોવી જોઈએ.
$\lim_{x \to \pi/2^-} f(x) = 1/3$.
$\lim_{x \to \pi/2^+} f(x) = \lim_{x \to \pi/2^+} \frac{b(1-\sin x)}{4(\pi/2-x)^2}$.
ધારો કે $h = \pi/2 - x$. જ્યારે $x \to \pi/2^+$,ત્યારે $h \to 0^+$.
$\lim_{h \to 0^+} \frac{b(1-\cos h)}{4h^2} = \lim_{h \to 0^+} \frac{b(2\sin^2(h/2))}{4(4(h/2)^2)} = \frac{2b}{16} = \frac{b}{8}$.
લક્ષને સરખાવતા: $b/8 = 1/3 \implies b = 8/3$.
હવે,$3b-6 = 3(8/3) - 6 = 8 - 6 = 2$.
આપણે $\int_0^2 |x^2+2x-3| dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$,આ પદ $x \in [0, 1)$ માટે ઋણ અને $x \in (1, 2]$ માટે ધન છે.
સંકલન $= -\int_0^1 (x^2+2x-3) dx + \int_1^2 (x^2+2x-3) dx$.
$= -[x^3/3 + x^2 - 3x]_0^1 + [x^3/3 + x^2 - 3x]_1^2$.
$= -[1/3 + 1 - 3] + [(8/3 + 4 - 6) - (1/3 + 1 - 3)]$.
$= -[-5/3] + [2/3 - (-5/3)] = 5/3 + 7/3 = 12/3 = 4$.