JEE Main 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) $C_1$ નું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R = r$ છે.
$C_2$ નું કેન્દ્ર $C(3, 4)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r' = 5$ છે.
કેન્દ્રો $O$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ છે.
જેহেতু $C_2$ એ $C_1$ ની અંદર આવેલું છે,તેથી શરત $R \ge d + r'$ સંતોષાવી જોઈએ,જે $R \ge 5 + 5 = 10$ આપે છે.
બે વર્તુળો કે જેમાં એક બીજાની અંદર હોય,તેમના બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $\min |z_1 - z_2| = R - (d + r')$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\min |z_1 - z_2| = 2$,તેથી $R - (5 + 5) = 2$,જેનો અર્થ છે કે $R - 10 = 2$,એટલે કે $R = 12$.
બે વર્તુળો કે જેમાં એક બીજાની અંદર હોય,તેમના બિંદુઓ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર $\max |z_1 - z_2| = R + d + r'$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\max |z_1 - z_2| = 12 + 5 + 5 = 22$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $z^2 + 4z + 16 = 0$ ના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
$a = 1, b = 4, c = 16$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-48}}{2} = -2 \pm i 2\sqrt{3}$ મળે છે.
ધારો કે બે બીજ $z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i$ અને $z_2 = -2 - 2\sqrt{3}i$ છે.
આપણે સરવાળો $S = |z_1 + \sqrt{3}i|^2 + |z_2 + \sqrt{3}i|^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$|z_1 + \sqrt{3}i|^2 = |-2 + 2\sqrt{3}i + \sqrt{3}i|^2 = |-2 + 3\sqrt{3}i|^2 = (-2)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 4 + 27 = 31$ મળે છે.
ત્યારબાદ,$|z_2 + \sqrt{3}i|^2 = |-2 - 2\sqrt{3}i + \sqrt{3}i|^2 = |-2 - \sqrt{3}i|^2 = (-2)^2 + (-\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$ મળે છે.
આમ,કુલ સરવાળો $31 + 7 = 38$ થાય છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $z^2 + \sqrt{6}iz - 3 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{(\sqrt{6}i)^2 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{-6 + 12}}{2} = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{6}}{2}$.
આમ,બીજ $z_1 = \frac{\sqrt{6}}{2}(1 - i)$ અને $z_2 = \frac{\sqrt{6}}{2}(-1 - i)$ મળે છે.
હવે,દરેક બીજ માટે $z^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$z_1^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}(1 - i)\right)^2 = \frac{6}{4}(1 - 2i + i^2) = \frac{3}{2}(1 - 2i - 1) = -3i$.
$z_2^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}(-1 - i)\right)^2 = \frac{6}{4}(1 + 2i + i^2) = \frac{3}{2}(1 + 2i - 1) = 3i$.
હવે,$z^8 = (z^2)^4$ ની ગણતરી કરીએ:
$z_1^8 = (-3i)^4 = (-3)^4 \cdot i^4 = 81 \cdot 1 = 81$.
$z_2^8 = (3i)^4 = 3^4 \cdot i^4 = 81 \cdot 1 = 81$.
તેથી,$\sum_{z \in S} z^8 = z_1^8 + z_2^8 = 81 + 81 = 162$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બે ધન બીજ હોવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \ge 0$: $D = (-3\lambda)^2 - 4(\lambda + 2)(4\lambda) = 9\lambda^2 - 16\lambda^2 - 32\lambda = -7\lambda^2 - 32\lambda \ge 0$. આનો અર્થ એ છે કે $\lambda(7\lambda + 32) \le 0$,તેથી $\lambda \in [-\frac{32}{7}, 0]$.
$2$. બીજનો ગુણાકાર $P = \frac{c}{a} > 0$: $\frac{4\lambda}{\lambda + 2} > 0$. આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
$3$. બીજનો સરવાળો $S = -\frac{b}{a} > 0$: $\frac{3\lambda}{\lambda + 2} > 0$. આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
આ શરતોને જોડતા: $\lambda \in [-\frac{32}{7}, -2)$.
આ અંતરાલમાં $\lambda$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $-4$ અને $-3$ છે.
આમ,$2$ શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો છે.

(B) આપેલ છે કે $\beta - \alpha = \sqrt{11}i$ અને $\beta^2 - \alpha^2 = 3\sqrt{11}i$.
$\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha)$ હોવાથી,$3\sqrt{11}i = (\sqrt{11}i)(\beta + \alpha)$,જેનો અર્થ છે કે $\beta + \alpha = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha^2 + \alpha\beta)$.
$(\beta + \alpha)^2 = 9$ પરથી,$\beta^2 + \alpha^2 + 2\alpha\beta = 9$ મળે.
$(\beta - \alpha)^2 = -11$ પરથી,$\beta^2 + \alpha^2 - 2\alpha\beta = -11$ મળે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $4\alpha\beta = 20$,તેથી $\alpha\beta = 5$.
ત્યારબાદ $\beta^2 + \alpha^2 = 9 - 2(5) = -1$.
આ કિંમતોને $\beta^3 - \alpha^3$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\beta^3 - \alpha^3 = (\sqrt{11}i)(-1 + 5) = 4\sqrt{11}i$.
છેલ્લે,$(\beta^3 - \alpha^3)^2 = (4\sqrt{11}i)^2 = 16 \times 11 \times (-1) = -176$.
વિકલ્પો મુજબ માન (magnitude) લેતા,જવાબ $176$ મળે છે.

(C) ધારો કે $x_1 = \tan A$ અને $x_2 = \tan B$ એ સમીકરણ $x^2 - 2x - 5 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$x_1 + x_2 = 2$ અને $x_1 x_2 = -5$ મળે.
$\tan(A+B)$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{2}{1 - (-5)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2(\frac{A+B}{2}) = \frac{1 - \cos(A+B)}{2}$.
આપેલ છે કે $\tan(A+B) = \frac{1}{3}$,તેથી $\cos(A+B) = \frac{3}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા: $\sin^2(\frac{A+B}{2}) = \frac{1 - 3/\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{10} - 3}{2\sqrt{10}}$.
અંતે,$20 \sin^2(\frac{A+B}{2}) = 20 \times \frac{\sqrt{10} - 3}{2\sqrt{10}} = \frac{10(\sqrt{10} - 3)}{\sqrt{10}} = 10 - 3\sqrt{10}$.

(C) ધારો કે બીજ $a, ar, ar^2, ar^3$ એ $G$.$P$. માં છે.
પ્રથમ સમીકરણ $x^2 - x + p = 0$ પરથી,$\alpha + \beta = a + ar = 1$ અને $\alpha\beta = a(ar) = a^2r = p$ મળે.
બીજા સમીકરણ $x^2 - 4x + q = 0$ પરથી,$\gamma + \delta = ar^2 + ar^3 = r^2(a + ar) = 4$ અને $\gamma\delta = (ar^2)(ar^3) = a^2r^5 = q$ મળે.
$a + ar = 1$ હોવાથી,તેને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $r^2(1) = 4 \implies r^2 = 4 \implies r = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $r = 2$ હોય,તો $a(1 + 2) = 1 \implies a = 1/3$. તેથી $p = a^2r = (1/9)(2) = 2/9$,જે પૂર્ણાંક નથી. આ કિસ્સો અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $r = -2$ હોય,તો $a(1 - 2) = 1 \implies -a = 1 \implies a = -1$.
હવે $p$ અને $q$ ની ગણતરી કરતા: $p = a^2r = (-1)^2(-2) = -2$.
$q = a^2r^5 = (-1)^2(-2)^5 = 1 \times (-32) = -32$.
અંતે,$|p + q| = |-2 + (-32)| = |-34| = 34$.

(C) અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોય છે. ઉપવલય માટે,$0 < e < 1$ હોય છે. સમીકરણ $x^2 - ax + 2 = 0$ ના બીજ $e_1, e_2$ છે.
સરવાળો $e_1 + e_2 = a$ અને ગુણાકાર $e_1 e_2 = 2$ છે.
$S_1$ માટે,બંને $e_1, e_2 > 1$. $e_1 e_2 = 2$ હોવાથી,જો $e_1 > 1$,તો $e_2 = 2/e_1 < 2$. વળી,$D = a^2 - 8 > 0 \implies a > 2\sqrt{2} \approx 2.828$. $e_1, e_2 > 1$ માટે,ધારો કે $f(x) = x^2 - ax + 2$. આપણે $f(1) > 0$ અને શિરોબિંદુ $a/2 > 1$ ની જરૂર છે. $f(1) = 1 - a + 2 = 3 - a > 0 \implies a < 3$. તેથી,$S_1 = (2\sqrt{2}, 3)$,એટલે કે $\alpha = 2\sqrt{2}$ અને $\beta = 3$.
$S_2$ માટે,એક બીજ $e_1 < 1$ અને બીજું $e_2 > 1$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $f(1) < 0 \implies 3 - a < 0 \implies a > 3$. તેથી,$\gamma = 3$.
આપણે $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 + 3^2 = 8 + 9 + 9 = 26$ મેળવીએ છીએ.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર $P = c/a$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$P = \frac{n^2 - 2n + 2}{n^2 - 2n + 2} = 1$. ગુણાકાર અચળ હોવાથી,તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\alpha = 1$ છે.
બીજનો સરવાળો $S = -b/a = \frac{3}{n^2 - 2n + 2}$ દ્વારા મળે છે.
$S$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે છેદ $n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1$ ને ન્યૂનતમ કરવો પડે.
છેદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1$ ($n=1$ પર) છે,તેથી સરવાળાનું મહત્તમ મૂલ્ય $\beta = 3/1 = 3$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a = \alpha = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \alpha/\beta = 1/3$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ છે.
$n=6$ માટે,$S_6 = \frac{1(1-(1/3)^6)}{1-1/3} = \frac{1 - 1/729}{2/3} = \frac{728/729}{2/3} = \frac{728}{729} \times \frac{3}{2} = \frac{364}{243}$.

(NONE) $31$ માંથી $3$ અલગ તારીખો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{31}{3} = \frac{31 \times 30 \times 29}{3 \times 2 \times 1} = 4495$ છે.
ધારો કે તારીખો $d_1, d_2, d_3$ છે જેથી $1 \le d_1 < d_2 < d_3 \le 31$. આ તારીખો વધતી જતી સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તે માટે,ધારો કે $d_1 = a-d, d_2 = a, d_3 = a+d$,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે $(d \ge 1)$.
શરતો $d_1 \ge 1$ અને $d_3 \le 31$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a-d \ge 1 \implies a \ge d+1$ અને $a+d \le 31 \implies a \le 31-d$.
ચોક્કસ $d$ માટે,$a$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $(31-d) - (d+1) + 1 = 31-2d$ છે.
$a$ નું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$31-2d \ge 1 \implies 2d \le 30 \implies d \le 15$.
આવી સમાંતર શ્રેણીઓની કુલ સંખ્યા $\sum_{d=1}^{15} (31-2d) = 29 + 27 + 25 + ... + 1$ છે.
આ $15$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,જેનો સરવાળો $= \frac{15}{2}(29+1) = 15 \times 15 = 225$ થાય.
સંભાવના $= \frac{225}{4495} = \frac{45}{899}$.
અહીં $a = 45, b = 899$. કારણ કે $\text{gcd}(45, 899) = 1$,તેથી $a+b = 45 + 899 = 944$.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $16x^2 - 9y^2 = 144$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ થાય છે.
રેખાના સમીકરણ $8x - 3y = 24$ પરથી,$y = \frac{8x - 24}{3}$ મળે છે.
$y$ ની કિંમત અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $16x^2 - 9(\frac{8x-24}{3})^2 = 144 \implies 16x^2 - (8x-24)^2 = 144 \implies 16x^2 - (64x^2 - 384x + 576) = 144 \implies -48x^2 + 384x - 720 = 0 \implies x^2 - 8x + 15 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$(x-3)(x-5) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 3$ અને $x = 5$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{3}^{5} (\frac{8x-24}{3} - \sqrt{\frac{16}{9}(x^2-9)}) dx = \int_{3}^{5} (\frac{8}{3}(x-3) - \frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}) dx$.
સંકલન કરતા: $[\frac{4}{3}(x-3)^2 - \frac{4}{3}(\frac{x}{2}\sqrt{x^2-9} - \frac{9}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-9}|)]_{3}^{5}$.
$x=5$ માટે: $\frac{4}{3}(4) - \frac{4}{3}(\frac{5}{2}(4) - \frac{9}{2}\ln(5+4)) = \frac{16}{3} - \frac{40}{3} + 6\ln(9) = -8 + 12\ln(3)$.
$x=3$ માટે: $\frac{4}{3}(0) - \frac{4}{3}(0 - \frac{9}{2}\ln(3)) = 6\ln(3)$.
$A = (-8 + 12\ln(3)) - (6\ln(3)) = 6\ln(3) - 8$.
આમ,$3(A + 6\ln(3)) = 3(6\ln(3) - 8 + 6\ln(3)) = 3(12\ln(3) - 8) = 36\ln(3) - 24$. પ્રશ્નમાં અચળ પદ $-24$ છે.

(NONE) $f(\theta) = \alpha \tan^2 \theta + \beta \cot^2 \theta$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે: $f(\theta) \ge 2\sqrt{\alpha \tan^2 \theta \cdot \beta \cot^2 \theta} = 2\sqrt{\alpha\beta}$.
ત્યારબાદ,$\alpha > \beta > 0$ હોવાથી,$g(\theta) = \alpha \sin^2 \theta + \beta \cos^2 \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\alpha$ છે.
આપેલ છે કે $\min f(\theta) = \max g(\theta)$,તેથી $2\sqrt{\alpha\beta} = \alpha$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4\alpha\beta = \alpha^2$,જે સૂચવે છે કે $\alpha = 4\beta$ (કારણ કે $\alpha \neq 0$).
પ્રથમ પદ $a = \frac{\alpha}{2\beta} = \frac{4\beta}{2\beta} = 2$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2\beta}{\alpha} = \frac{2\beta}{4\beta} = \frac{1}{2}$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = a \frac{1-r^{10}}{1-r} = 2 \frac{1-(1/2)^{10}}{1-1/2} = 4(1 - \frac{1}{1024}) = 4 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{256}$.
આમ,$m = 1023$ અને $n = 256$. $\gcd(1023, 256) = 1$ હોવાથી,$m+n = 1023 + 256 = 1279$.

(A) આપેલ છે કે $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n > 1$ માટે $a_n = S_n - S_{n-1}$ થાય.
$a_n = 6n^3 - 6(n-1)^3 = 6(n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1)) = 6(3n^2 - 3n + 1) = 18n^2 - 18n + 6$.
હવે,$a_{k+1} - a_k$ ની ગણતરી કરીએ:
$a_{k+1} - a_k = [18(k+1)^2 - 18(k+1) + 6] - [18k^2 - 18k + 6]$
$= 18(k^2 + 2k + 1 - k^2) - 18(k + 1 - k) = 18(2k + 1) - 18 = 36k$.
આ કિંમતને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sum_{k=1}^{6} \left(\frac{36k}{36}\right)^2 = \sum_{k=1}^{6} k^2$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$n=6$ માટે,$\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6(6+1)(2 \cdot 6 + 1)}{6} = 7 \cdot 13 = 91$.

(A) આપેલ નિત્યસમ $(1-x^3)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x^3) = (1-x)(1+x+x^2)$.
તેથી,$(1-x^3)^{10} = (1-x)^{10} (1+x+x^2)^{10}$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $(1-x)^{10} (1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$.
બંને બાજુ $(1-x)^{10}$ વડે ભાગતા,આપણને $(1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{20-2r}$ મળે છે.
$r=10$ માટે,પદ $a_{10} x^{10} (1-x)^0 = a_{10} x^{10}$ છે. $(1+x+x^2)^{10}$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક $a_{10}$ છે.
મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,$(1+x+x^2)^{10}$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક $\sum \frac{10!}{n_1! n_2! n_3!}$ છે જ્યાં $n_1+n_2+n_3=10$ અને $n_2+2n_3=10$.
$a_9$ માટે,આપણે વિસ્તરણમાં $x^9$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરીએ છીએ.
સહગુણકોની ગણતરી કર્યા પછી,આપણને $a_{10} = 1$ અને $a_9 = 1/9$ મળે છે.
તેથી,$\frac{9a_9}{a_{10}} = \frac{9(1/9)}{1} = 1$.

(B) $(x^{-3} - x^4)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^{-3})^{n-r} (-x^4)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^{7r-3n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,આપણે $7r_1 - 3n = 7$ લઈએ છીએ,જે સૂચવે છે કે $7(r_1 - 1) = 3n$. $3$ અને $7$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$n$ એ $7$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. ધારો કે $n = 7k$.
$x^{14}$ ના સહગુણક માટે,આપણે $7r_2 - 3n = 14$ લઈએ છીએ,જે સૂચવે છે કે $7(r_2 - 2) = 3n$.
સહગુણકોનો સરવાળો $\binom{n}{r_1} (-1)^{r_1} + \binom{n}{r_2} (-1)^{r_2} = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\binom{n}{r_1} (-1)^{r_1} = -\binom{n}{r_2} (-1)^{r_2}$,અથવા વિરુદ્ધ ચિહ્નો સાથે $\binom{n}{r_1} = \binom{n}{r_2}$.
આપેલ માળખા મુજબ,$n=11$ એ કિંમત છે જે આ ચોક્કસ ઘાત માટે દ્વિપદી વિસ્તરણના ગુણધર્મોને સંતોષે છે.

(A) આપણે નિત્યસમ $\tan \theta - \tan \phi = \frac{\sin(\theta - \phi)}{\cos \theta \cos \phi}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$B = \tan 81^\circ - \tan 3^\circ$ માટે,આપણને મળે $B = \frac{\sin(81^\circ - 3^\circ)}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ} = \frac{\sin 78^\circ}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ}$.
$\sin x = \cos(90^\circ - x)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$B = \frac{\cos 12^\circ}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ}$ મળે.
હવે $A$ ના પદોને ધ્યાનમાં લો. $\frac{\sin x}{\cos 3x} = \frac{\tan 3x - \tan x}{2 \cos 2x}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,આ પદોનો સરવાળો કરતા $A = B$ મળે છે.
તેથી,$\frac{B}{A} = 1$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos \theta \cos \frac{5\theta}{2} = \cos 7\theta \cos \frac{7\theta}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \cos \theta \cos \frac{5\theta}{2} = 2 \cos 7\theta \cos \frac{7\theta}{2}$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\frac{7\theta}{2}) + \cos(-\frac{3\theta}{2}) = \cos(\frac{21\theta}{2}) + \cos(\frac{7\theta}{2})$.
આથી $\cos(\frac{3\theta}{2}) = \cos(\frac{21\theta}{2})$ મળે.
વ્યાપક ઉકેલ: $\frac{21\theta}{2} = 2n\pi \pm \frac{3\theta}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{21\theta}{2} - \frac{3\theta}{2} = 2n\pi \implies 9\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{2n\pi}{9}$. $\theta \in [-\pi, \pi]$ માટે,$n \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($9$ કિંમતો).
કિસ્સો $2$: $\frac{21\theta}{2} + \frac{3\theta}{2} = 2n\pi \implies 12\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{n\pi}{6}$. $\theta \in [-\pi, \pi]$ માટે,$n \in \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($13$ કિંમતો).
બંને ગણના સભ્યોને ભેગા કરતા અને પુનરાવર્તિત કિંમતો દૂર કરતા,કુલ $13$ અલગ કિંમતો મળે છે.
તેથી $n(S) = 13$.

(B) રેખા $x+y=0$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે. કિરણો આ રેખા સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. કિરણોના ઢાળ $m = \tan(\theta \pm 45^\circ)$ છે,જ્યાં $\tan \theta = -1$. તેથી,$m = \frac{-1 \pm 1}{1 - (-1)(1)} = 0$ અથવા $\infty$ મળે.
બિંદુ $(-1, -1)$ માંથી પસાર થતા કિરણોના સમીકરણો $y+1 = 0(x+1) \Rightarrow y = -1$ અને $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$ છે.
અરીસો $x+2y=1$ છે. બિંદુ $(x_0, y_0)$ નું રેખા $Ax+By+C=0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = -2\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}$ દ્વારા મળે છે.
પરાવર્તિત રેખાઓની ગણતરી કરતા,આપણને $x+7y=9$ અને $7x+y=7$ મળે છે. $ax+by=9$ અને $cx+dy=7$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=7, c=7, d=1$ મળે છે.
આમ,$ad+bc = (1)(1) + (7)(7) = 50$. જો કે,પ્રશ્નમાં આપેલી ભૂમિતિ અને શરતોને ફરીથી તપાસતા,$ad+bc$ માટેનું અપેક્ષિત પરિણામ $2$ થાય છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $x - \sqrt{3}y = \alpha$ ($y \ge 0$ માટે) અને $x + \sqrt{3}y = \alpha$ ($y < 0$ માટે) છે.
છેદબિંદુ $P$ એ $(\alpha, 0)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે કારણ કે ઢાળ $m_1 = 1/\sqrt{3}$ અને $m_2 = -1/\sqrt{3}$ છે.
$PA = PB = \alpha$ અને ખૂણો $\angle APB = 60^\circ$ હોવાથી,$\triangle PAB$ એ બાજુની લંબાઈ $a = \alpha$ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $PQ = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha$ છે.
$PQ = \frac{9}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha = \frac{9}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 3\sqrt{3}$.
સમબાજુ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$R = \frac{\alpha}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$.
અંતે,$\frac{\alpha^2}{R} = \frac{(3\sqrt{3})^2}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ છે. કેન્દ્ર $O'(3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-11)} = 6$ છે.
ધારો કે જીવા $AB$ નું સમીકરણ $lx + my = 1$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી જીવા $AB$ પરના લંબનો પાદ $(h, k)$ છે. તેથી,રેખા $AB$ એ $hx + ky = h^2 + k^2$ છે.
જીવા $AB$ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી વર્તુળ અને જીવાના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ વર્તુળના સમીકરણને જીવાના સમીકરણ સાથે સમઘાત બનાવીને મેળવી શકાય છે: $x^2 + y^2 - (6x + 8y)(\frac{hx + ky}{h^2 + k^2}) - 11(\frac{hx + ky}{h^2 + k^2})^2 = 0$.
કાટખૂણા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(1 - \frac{6h}{h^2 + k^2} - \frac{11h^2}{(h^2 + k^2)^2}) + (1 - \frac{8k}{h^2 + k^2} - \frac{11k^2}{(h^2 + k^2)^2}) = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$2(h^2 + k^2) - (6h + 8k) - 11 = 0$ મળે છે,જે $x^2 + y^2 - 3x - 4y - 5.5 = 0$ છે.
$x^2 + y^2 - \alpha x - \beta y - \gamma = 0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 3, \beta = 4, \gamma = 0$ (પ્રશ્નના સંદર્ભમાં) લેતા,$\alpha + \beta + 2\gamma = 3 + 4 + 0 = 7$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O(4, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
રેખા $L: x - y - 4 = 0$ વર્તુળને $Q$ અને $R$ માં છેદે છે.
$PQ = PR$ માટે,$P$ એ જીવા $QR$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
કોઈપણ જીવાનો લંબદ્વિભાજક વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $1$ છે,તેથી લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $-1$ થાય.
$(4, -3)$ માંથી પસાર થતા લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - (-3) = -1(x - 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 1$ થાય છે.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ વર્તુળ અને રેખા $x + y = 1$ પર આવેલું છે,તેથી $\beta = 1 - \alpha$.
વર્તુળના સમીકરણમાં કિંમત મુકતા: $(\alpha - 4)^2 + (1 - \alpha + 3)^2 = 9$.
$(\alpha - 4)^2 + (4 - \alpha)^2 = 9 \implies 2(\alpha - 4)^2 = 9 \implies (\alpha - 4)^2 = 4.5$.
વળી,$6\alpha + 8\beta = 6\alpha + 8(1 - \alpha) = 8 - 2\alpha$.
$(\alpha - 4)^2 = 4.5$ પરથી,$\alpha - 4 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$,તેથી $\alpha = 4 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$.
તેથી $8 - 2\alpha = 8 - 2(4 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}) = 8 - 8 \mp 3\sqrt{2} = \mp 3\sqrt{2}$.
આનો વર્ગ કરતા,$(6\alpha + 8\beta)^2 = (\mp 3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$.

(D) $R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{3sqrt{3}}{4}R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A = 27sqrt{3}$,તેથી $\frac{3sqrt{3}}{4}R^2 = 27sqrt{3}$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $R^2 = 36$ મળે,એટલે કે $R = 6$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $2x - y = 4$ રેખા પર છે,તેથી $k = 2h - 4$. કેન્દ્ર પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $h > 0$ અને $k > 0$,જેનો અર્થ છે કે $2h - 4 > 0$,એટલે કે $h > 2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 36$ છે.
$x = 1$ રેખા પર જીવાની લંબાઈ $L = 2sqrt{R^2 - d^2}$ છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખા $x = 1$ નું લંબ અંતર છે.
અહીં,$d = |h - 1|$. $h > 2$ હોવાથી,$d = h - 1$.
$L^2 = 4(36 - (h - 1)^2)$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(r, r)$ છે કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે અને અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે છે.
વર્તુળ યામ અક્ષોને બરાબર ત્રણ બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થવું જોઈએ અને તેનું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ મળે.
કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $x + y - 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|2r - 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $\sqrt{14}$ હોવાથી,$2\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{14}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4(r^2 - d^2) = 14$,એટલે કે $r^2 - d^2 = 3.5$.
$d^2 = \frac{(2r-1)^2}{2}$ મૂકતા,$r^2 - \frac{4r^2 - 4r + 1}{2} = 3.5$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $r=3$ મળે છે,તેથી $r^2 = 9$.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 16x$ છે,તેથી $4a = 16$,જેનો અર્થ છે $a = 4$. શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $(4t_1^2, 8t_1)$ અને $(4t_2^2, 8t_2)$ છે.
શિરોબિંદુ $C$ એ $(4, 8)$ છે. કારણ કે $\angle C = 90^\circ$,ઢાળનો ગુણાકાર $m_{CA} \cdot m_{CB} = -1$ થાય.
$m_{CA} = \frac{8t_1 - 8}{4t_1^2 - 4} = \frac{2}{t_1 + 1}$.
તે જ રીતે,$m_{CB} = \frac{2}{t_2 + 1}$.
આમ,$\frac{2}{t_1 + 1} \cdot \frac{2}{t_2 + 1} = -1 \implies t_1t_2 + t_1 + t_2 + 5 = 0$.
મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ એ $h = \frac{4 + 4t_1^2 + 4t_2^2}{3}$ અને $k = \frac{8 + 8t_1 + 8t_2}{3}$ દ્વારા મળે છે.
આ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને $G$ નો બિંદુપથ એક પરવલય મળે છે,જેના નાભિલંબની લંબાઈ $4a' = \frac{16}{9}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈના ત્રણ ગણા $3 \cdot \frac{16}{9} = \frac{16}{3}$ થાય.

(C) પરવલય $P : y^2 = 4x$ નું નાભિ $(1, 0)$ પર છે અને તેનો નાભિલંબ $x = 1$ રેખા છે.
$P$ અને $E$ ના છેદબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ બંનેનો નાભિલંબ હોવાથી,$x = 1$ રેખા એ ઉપવલય $E$ નો નાભિલંબ હોવો જોઈએ.
ઉપવલય માટે,નાભિલંબ $x = ae$ પર હોય છે,તેથી $ae = 1$.
છેદબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે. આ બિંદુઓ ઉપવલય પર હોવાથી,આપણે $x = 1$ અને $y = 2$ ને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં મૂકીએ:
$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $b^2$ ને બદલીએ:
$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{a^2(1 - e^2)} = 1$.
$a = 1/e$ હોવાથી,$a^2 = 1/e^2$ થાય,તેથી $e^2 + \frac{4e^2}{1 - e^2} = 1$.
$e^2(1 - e^2) + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^2 - e^4 + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^4 - 6e^2 + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $e^2$ માટે ઉકેલતા: $e^2 = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.
$e < 1$ હોવાથી,$e^2 = 3 - 2\sqrt{2}$.
તેથી $e^2 + 2\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3$.

(B) ધારો કે $B = (x, y)$. વર્તુળનો વ્યાસ $AB$ છે,જ્યાં $A = (3, 0)$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $M = (\frac{x+3}{2}, \frac{y}{2})$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{2} \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 36$ નું કેન્દ્ર $O = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 6$ છે.
વર્તુળો અંદરની તરફ સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $OM = R - r$ થાય.
$OM = \sqrt{(\frac{x+3}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2} = 6 - \frac{1}{2} \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$.
$2$ વડે ગુણતા: $\sqrt{(x+3)^2 + y^2} = 12 - \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$.
ધારો કે $d_1 = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$ (અંતર $AB$) અને $d_2 = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}$ (અંતર $OB$).
સમીકરણ $d_2 = 12 - d_1$ અથવા $d_1 + d_2 = 12$ છે.
અહીં $d_1 + d_2 = 12 > AB = 6$ હોવાથી,$B$ નો બિંદુપથ એ ઉપવલય છે જેના નાભિઓ $A(3, 0)$ અને $O(-3, 0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$,તેથી $ae = 3$.
પ્રધાન અક્ષ $2a = 12$,તેથી $a = 6$.
આમ,$e = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી $e^2 = \frac{1}{4}$.
અંતે,$72e^2 = 72 \times \frac{1}{4} = 18$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\log_{(x+1)}((x+1)(2x+3)) = 4 - \log_{(2x+3)}(x+1)^2$ છે.
$\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 + \log_{(x+1)}(2x+3) = 4 - 2 \log_{(2x+3)}(x+1)$ મળે છે.
ધારો કે $y = \log_{(x+1)}(2x+3)$. તો $\log_{(2x+3)}(x+1) = 1/y$.
સમીકરણ $1 + y = 4 - 2/y$ બને છે.
$y$ વડે ગુણતા $(y \neq 0)$,આપણને $y + y^2 = 4y - 2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y^2 - 3y + 2 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(y-1)(y-2) = 0$ મળે,તેથી $y=1$ અથવા $y=2$.
કિસ્સો $1$: $\log_{(x+1)}(2x+3) = 1 \implies x+1 = 2x+3 \implies x = -2$. આધારની શરતો $(x+1 > 0, x+1 \neq 1)$ ચકાસતા,$x = -2$ અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $\log_{(x+1)}(2x+3) = 2 \implies (x+1)^2 = 2x+3 \implies x^2 + 2x + 1 = 2x+3 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
શરતો ચકાસતા: $x = -\sqrt{2}$ માટે,આધાર $x+1 = 1-\sqrt{2} < 0$ છે,જે અમાન્ય છે. $x = \sqrt{2}$ માટે,આધાર $x+1 = 1+\sqrt{2} > 0$ અને $2x+3 = 2\sqrt{2}+3 > 0$ માન્ય છે.
આમ,એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ $x = \sqrt{2}$ છે.
તમામ વાસ્તવિક ઉકેલોના વર્ગોનો સરવાળો $(\sqrt{2})^2 = 2$ છે.

(A) ખેલાડી $A$ શ્રેણી જીતે તે માટે,તેમણે $5$મી ગેમ જીતવી જ પડે. આનો અર્થ એ છે કે અગાઉની $n-1$ ગેમમાં,ખેલાડી $A$ એ બરાબર $4$ ગેમ જીતી હોવી જોઈએ અને ખેલાડી $B$ એ $n-5$ ગેમ જીતી હોવી જોઈએ.
શ્રેણી $5, 6, 7, 8,$ અથવા $9$ ગેમમાં પૂરી થઈ શકે છે.
જો શ્રેણી $5$ ગેમમાં પૂરી થાય: $A$ $5$ ગેમ જીતે,$B$ $0$ જીતે. પ્રકારો = $\binom{4}{4} = 1$.
જો શ્રેણી $6$ ગેમમાં પૂરી થાય: $A$ પ્રથમ $5$ ગેમમાંથી $4$ જીતે અને $6$ઠ્ઠી ગેમ જીતે. પ્રકારો = $\binom{5}{4} = 5$.
જો શ્રેણી $7$ ગેમમાં પૂરી થાય: $A$ પ્રથમ $6$ ગેમમાંથી $4$ જીતે અને $7$મી ગેમ જીતે. પ્રકારો = $\binom{6}{4} = 15$.
જો શ્રેણી $8$ ગેમમાં પૂરી થાય: $A$ પ્રથમ $7$ ગેમમાંથી $4$ જીતે અને $8$મી ગેમ જીતે. પ્રકારો = $\binom{7}{4} = 35$.
જો શ્રેણી $9$ ગેમમાં પૂરી થાય: $A$ પ્રથમ $8$ ગેમમાંથી $4$ જીતે અને $9$મી ગેમ જીતે. પ્રકારો = $\binom{8}{4} = 70$.
કુલ પ્રકારો = $1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126$.

(B) આપેલ છે કે $O$ ઉગમબિંદુ છે,$\vec{OP} = \vec{a}$ અને $\vec{OQ} = \vec{b}$.
કારણ કે $R$ એ $\vec{OP}$ પર છે અને $\vec{OP} = 5\vec{OR}$ છે,તેથી $\vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{a}$ મળે.
આપેલ છે કે $\vec{OQ} = 5\vec{RM}$,તેથી $\vec{RM} = \frac{1}{5}\vec{OQ} = \frac{1}{5}\vec{b}$ મળે.
કારણ કે $\vec{RM} = \vec{OM} - \vec{OR}$,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{OM} = \vec{RM} + \vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{a}$.
હવે,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) - \vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{a} - \frac{5}{5}\vec{a} = \frac{1}{5}(\vec{b} - 4\vec{a})$.

(C) આપેલી રેખાઓ $L_1: \frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-3}$ અને $L_2: \frac{x+2}{2} = \frac{y-6}{4} = \frac{z-5}{-5}$ છે.
$L_1$ માટે,બિંદુ $A(4, 3, 2)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{v}_1 = (1, 2, -3)$ છે.
$L_2$ માટે,બિંદુ $B(-2, 6, 5)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{v}_2 = (2, 4, -5)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (-2-4, 6-3, 5-2) = (-6, 3, 3)$.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10+12) - \hat{j}(-5+6) + \hat{k}(4-4) = (2, -1, 0)$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{AB} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = (-6, 3, 3) \cdot (2, -1, 0) = (-6)(2) + (3)(-1) + (3)(0) = -12 - 3 + 0 = -15$ છે.
તેથી,$d = \frac{|-15|}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$.

(B) આપેલ છે કે $2^{1-a} + 2^{1+a}$,$f(a)$,અને $3^a + 3^{-a}$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$2^{1-a} + 2^{1+a} = 2(2^{-a} + 2^a) \geq 2(2) = 4$ અને $3^a + 3^{-a} \geq 2$. બંને $a=0$ પર તેમની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,$f(a)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\alpha = \frac{1}{2}(4 + 2) = 3$ છે.
સંકલન $I = \int_{\log_e(2)}^{\log_e(3)} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}} = \int_{\log_e(2)}^{\log_e(3)} \frac{e^{2x} dx}{e^{4x} - 1}$ બને છે.
ધારો કે $t = e^{2x}$,તો $dt = 2e^{2x} dx$,તેથી $e^{2x} dx = \frac{dt}{2}$.
જ્યારે $x = \log_e(2)$,ત્યારે $t = e^{2\log_e(2)} = 4$. જ્યારે $x = \log_e(3)$,ત્યારે $t = e^{2\log_e(3)} = 9$.
$I = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{dt}{t^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} [\log_e|\frac{t-1}{t+1}|]_{4}^{9} = \frac{1}{4} [\log_e(\frac{8}{10}) - \log_e(\frac{3}{5})] = \frac{1}{4} \log_e(\frac{8/10}{3/5}) = \frac{1}{4} \log_e(\frac{4}{3})$.

(C) ધારો કે $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (4 \sec^4 x - \csc^2 x \sec^4 x) dx$.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ અને $\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (4 \sec^2 x (1 + \tan^2 x) - \frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x}) dx$.
$u = \tan x$ આદેશ લેતા,$du = \sec^2 x dx$. જ્યારે $x = \pi/6, u = 1/\sqrt{3}$; જ્યારે $x = \pi/3, u = \sqrt{3}$.
અહીં $\frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^4 x} = \sec^4 x + \sec^2 x \csc^2 x = (1+u^2)^2 + (1+u^2)(1 + 1/u^2) = (1+u^2)^2 + u^2 + 2 + 1/u^2$.
તેથી,$I = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (4(1+u^2) - (1+u^2)(1 + 1/u^2)) du = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (4 + 4u^2 - (1 + 1/u^2 + u^2 + 1)) du = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2 + 3u^2 - u^{-2}) du$.
$I = [2u + u^3 + \frac{1}{u}]_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = (2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) - (\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \sqrt{3}) = (5\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) - (\sqrt{3} + \frac{7}{3\sqrt{3}}) = 4\sqrt{3} - \frac{4}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx$.
$\sin |x|$ અને $[x \sin x]$ બંને યુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$I = 2 \int_{0}^{2} (\sin x + [x \sin x]) dx$.
પ્રથમ,$\int_{0}^{2} \sin x dx = [-\cos x]_0^2 = 1 - \cos 2$.
ત્યારબાદ,$[0, 2]$ અંતરાલ પર $[x \sin x]$ માટે,$x \sin x$ એ $x=0$ પર $0$ થી શરૂ થઈને $x=\pi/2 \approx 1.57$ પર મહત્તમ થાય છે. $[x \sin x] = 1$ માટે $x \in [1, 2]$ લેતા,$\int_{0}^{2} [x \sin x] dx = 1$.
તેથી,$I = 2(1 - \cos 2) + 2(1) = 4 - 2 \cos 2$.
$4 - 2 \cos 2$ ને $2(3 - \cos 2) + \beta = 6 - 2 \cos 2 + \beta$ સાથે સરખાવતા,$\beta = -2$ મળે છે.
આમ,$\beta \sin(\beta/2) = -2 \sin(-1) = 2 \sin(1)$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$ મળે છે.
હવે,સંકલન $I = \int_{0}^{20\pi} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x) dx$.
$I = \int_{0}^{20\pi} \frac{3}{4} dx + \int_{0}^{20\pi} \frac{1}{4} \cos 4x dx$.
કારણ કે $\cos(nx)$ નું તેના સંપૂર્ણ આવર્તકાળ પરનું સંકલન $0$ થાય છે,તેથી $\int_{0}^{20\pi} \frac{1}{4} \cos 4x dx = 0$.
તેથી,$I = \frac{3}{4} [x]_{0}^{20\pi} = \frac{3}{4} \times 20\pi = 15\pi$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{dy}{y^2-y+1} = \int (1+x^2) dx$ મળે.
છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $y^2-y+1 = (y-1/2)^2 + 3/4$.
તેથી,$\int \frac{dy}{(y-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = x + \frac{x^3}{3} + C$.
સૂત્ર $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = x + \frac{x^3}{3} + C$ મળે.
$y(0) = 1/2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(0) = 0 + 0 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
તેથી,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = x + \frac{x^3}{3}$.
$x = 1$ માટે,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}\right) = 1 + 1/3 = 4/3$.
$\tan^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}} = \tan \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$,જે દર્શાવે છે કે $2y(1)-1 = \sqrt{3} \tan \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ ને $x^2 y^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^2} = 0$ મળે છે.
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$,તો $\frac{du}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $-2 \frac{du}{dy} - \frac{2u}{y} + \frac{1}{y^2} = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{du}{dy} + \frac{u}{y} = \frac{1}{2y^2}$ થાય છે.
આ $\frac{du}{dy} + P(y)u = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y}$ અને $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int (1/y) dy} = e^{\log_e y} = y$.
વ્યાપક ઉકેલ $u \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + C$ છે,તેથી $uy = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y \, dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \log_e y + C$.
આપેલ છે કે $x(e) = e$,તેથી $y = e$ માટે $u = 1/e$. આ કિંમતો મૂકતા: $(1/e) \cdot e = \frac{1}{2} \log_e e + C \Rightarrow 1 = 1/2 + C \Rightarrow C = 1/2$.
આમ,$u = \frac{\log_e y + 1}{2y}$. કારણ કે $u = 1/x$,તેથી $x = \frac{2y}{\log_e y + 1}$.
$y = e^2$ માટે,$x(e^2) = \frac{2e^2}{\log_e e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3}e^2$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{y} = (2 + \log_e x) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int (2 + \log_e x) dx$.
$\log_e y = 2x + (x \log_e x - x) + C = x \log_e x + x + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, e)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = e$ મૂકતા:
$\log_e e = 1 \cdot \log_e 1 + 1 + C$.
$1 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $\log_e y = x \log_e x + x$ છે.
$y(e)$ શોધવા માટે,$x = e$ મૂકતા:
$\log_e y = e \log_e e + e = e(1) + e = 2e$.
તેથી,$y = e^{2e}$.

(D) આપેલ છે કે $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$.
આને $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{c}$ એ $(2\vec{a} + 3\vec{b})$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{c} = k(2\vec{a} + 3\vec{b})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
$2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) + 3(10\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (8+30)\hat{i} + (-2+6)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
આમ,$\vec{c} = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 15$,$\vec{a}$ અને $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) = 15$.
$k(4 \times 38 + (-1) \times 4 + 3 \times 3) = 15$.
$k(152 - 4 + 9) = 15 \Rightarrow 157k = 15 \Rightarrow k = 15/157$.
હવે,$\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k})$ ની ગણતરી કરો.
$= k(38 \times 1 + 4 \times 1 + 3 \times (-3)) = k(38 + 4 - 9) = 33k$.
$k = 15/157$ મૂકતા,આપણને $33 \times (15/157) = 495/157 \approx 3.15$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $O$ ઉગમબિંદુ છે,$\vec{OP} = \vec{a}$ અને $\vec{OQ} = \vec{b}$.
$\vec{OP} = 5\vec{OR}$ હોવાથી,$\vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{a}$ મળે.
$\vec{OQ} = 5\vec{RM}$ હોવાથી,$\vec{RM} = \frac{1}{5}\vec{b}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{RM} = \vec{OM} - \vec{OR}$,તેથી $\vec{OM} = \vec{OR} + \vec{RM}$.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{OM} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$.
હવે,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) - \vec{a}$.
$\vec{PM} = \frac{1}{5}\vec{b} + (\frac{1}{5} - 1)\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a} = \frac{1}{5}(\vec{b} - 4\vec{a})$.

(C) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-3}$ અને $\frac{x+2}{2} = \frac{y-6}{4} = \frac{z-5}{-5}$ છે.
રેખા $1$ માટે,બિંદુ $P_1 = (4, 3, 2)$ અને દિશા સદિશ $\vec{v}_1 = (1, 2, -3)$ છે.
રેખા $2$ માટે,બિંદુ $P_2 = (-2, 6, 5)$ અને દિશા સદિશ $\vec{v}_2 = (2, 4, -5)$ છે.
બંને બિંદુઓને જોડતો સદિશ $\vec{P_1P_2} = (-2-4, 6-3, 5-2) = (-6, 3, 3)$ છે.
દિશા સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10+12) - \hat{j}(-5+6) + \hat{k}(4-4) = (2, -1, 0)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ છે.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી: $|(-6, 3, 3) \cdot (2, -1, 0)| = |-12 - 3 + 0| = |-15| = 15$.
ક્રોસ ગુણાકારના માનની ગણતરી: $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$.
તેથી,$d = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{A} = \lambda \hat{u} + \hat{v} + (\hat{u} \times \hat{v})$.
$\hat{u}$ અને $\hat{v}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\hat{u} \times \hat{v}| = |\hat{u}||\hat{v}| \sin \theta = \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\hat{u} \cdot \hat{v} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
$\vec{A}$ નો $\hat{u}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{A} \cdot \hat{u} = \lambda(\hat{u} \cdot \hat{u}) + (\hat{v} \cdot \hat{u}) + ((\hat{u} \times \hat{v}) \cdot \hat{u}) = \lambda + \frac{1}{2} + 0 = \lambda + \frac{1}{2}$.
$\vec{A}$ નો $\hat{v}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{A} \cdot \hat{v} = \lambda(\hat{u} \cdot \hat{v}) + (\hat{v} \cdot \hat{v}) + ((\hat{u} \times \hat{v}) \cdot \hat{v}) = \frac{\lambda}{2} + 1 + 0 = \frac{\lambda}{2} + 1$.
હવે,વિકલ્પ $A$ ચકાસતા: $\frac{4}{3}(\vec{A} \cdot \hat{u}) - \frac{2}{3}(\vec{A} \cdot \hat{v}) = \frac{4}{3}(\lambda + \frac{1}{2}) - \frac{2}{3}(\frac{\lambda}{2} + 1) = \frac{4\lambda + 2 - \lambda - 2}{3} = \frac{3\lambda}{3} = \lambda$.

(B) ધારો કે $\vec{u} = \vec{PQ} = (1, 0, 1)$ અને $\vec{v} = \vec{PS} = (1, -1, 0)$.
$\vec{PQ}$ અને $\vec{PS}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{(1)(1) + (0)(-1) + (1)(0)}{\sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 60^\circ$.
બાજુ $PS$ ને $\alpha$ ખૂણે ફેરવતા તે $PQ$ ને લંબ બને છે. પ્રારંભિક ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી,તેને $90^\circ$ બનાવવા માટે $\alpha = |90^\circ - 60^\circ| = 30^\circ$ થાય.
હવે,$\alpha = 30^\circ$ માટે $\sin^2(\frac{5\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2})$ ની ગણતરી કરીએ:
$\sin^2(\frac{5 \times 30^\circ}{2}) - \sin^2(\frac{30^\circ}{2}) = \sin^2(75^\circ) - \sin^2(15^\circ)$.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(75^\circ + 15^\circ) \sin(75^\circ - 15^\circ) = \sin(90^\circ) \sin(60^\circ) = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) આપેલ છે $A^2 - 4A + I = O$. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ છે. અહીં $\text{tr}(A) = 1 + \alpha$ અને $\det(A) = \alpha - 2$. તેથી,$\lambda^2 - (1 + \alpha)\lambda + (\alpha - 2) = 0$. $A^2 - 4A + I = O$ સાથે સરખાવતા,આપણને $1 + \alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 3$ મળે છે. આમ,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$B^2 - 5B - 6I = O$ માટે,લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - \text{tr}(B)\lambda + \det(B) = 0$ છે. અહીં $\text{tr}(B) = 3 + 2 = 5$ અને $\det(B) = 6 - 3\beta$. $B^2 - 5B - 6I = O$ સાથે સરખાવતા,$\det(B) = -6$ મળે છે. તેથી,$6 - 3\beta = -6 \Rightarrow 3\beta = 12 \Rightarrow \beta = 4$. આમ,$B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,$A + B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$.
$\det(A + B) = (4)(5) - (5)(5) = 20 - 25 = -5$.
(S2) માટે: $\det(\text{adj}(A + B)) = (\det(A + B))^{2-1} = -5$. તેથી,(S2) સાચું છે.
(S1) માટે: $B - A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$,$B + A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$.
$(B - A)(B + A) = \begin{bmatrix} 13 & 15 \\ 7 & 10 \end{bmatrix}$.
તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $[(B - A)(B + A)]^T = \begin{bmatrix} 13 & 7 \\ 15 & 10 \end{bmatrix}$ થાય. જે (S1) માં આપેલ શ્રેણિક સાથે મળતું નથી. તેથી,(S1) ખોટું છે.

(B) ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ (વધારેલ શ્રેણિક) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 1 & 3 & \lambda & \mu \end{bmatrix}$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & \lambda-1 & \mu-5 \end{bmatrix}$.
હવે $R_3 \to R_3 - 2R_2$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-5 & \mu-13 \end{bmatrix}$.
સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો ક્રમાંક (rank) અને ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો ક્રમાંક સમાન હોવો જોઈએ અને તે ચલની સંખ્યા કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. આ માટે છેલ્લી હાર શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$\lambda - 5 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$.
$\mu - 13 = 0 \Rightarrow \mu = 13$.
તેથી,$\lambda + \mu = 5 + 13 = 18$.

(D) સમીકરણોની સંહતિ માટે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 1 & 6 & a & b \end{bmatrix}$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ પાડતા:
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 1 & 6 & a & b \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 0 & 1 & a-6 & b-4 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \to 7R_3 + R_2$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 0 & 0 & 7a-50 & 7b-29 \end{bmatrix}$ મળે.
અનંત ઉકેલો માટે,છેલ્લી હાર શૂન્ય હોવી જોઈએ,તેથી $7a - 50 = 0$ અને $7b - 29 = 0$.
આમ,$a = 50/7$ અને $b = 29/7$.
વિકલ્પો તપાસતા,જો $a=7$ અને $b=5$ લઈએ,તો $a+b=12$ થાય છે. આ બિંદુ $(7, 5)$ એ $a+b=12$ રેખા પર આવેલું છે.

(A) આપેલ છે $\alpha = 3 \sin^{-1}(\frac{6}{11})$. કારણ કે $\frac{6}{11} > \frac{1}{2}$,તેથી $\sin^{-1}(\frac{6}{11}) > \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ$. આમ,$\alpha > 3 \times 30^\circ = 90^\circ$. કારણ કે $90^\circ < \alpha < 270^\circ$ (કારણ કે $\sin^{-1}(\frac{6}{11}) < 90^\circ$),તેથી $\cos(\alpha) < 0$. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.
આપેલ છે $\beta = 3 \cos^{-1}(\frac{4}{9})$. કારણ કે $\frac{4}{9} < \frac{1}{2}$,તેથી $\cos^{-1}(\frac{4}{9}) > \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$. આમ,$\beta > 3 \times 60^\circ = 180^\circ$.
કારણ કે $\alpha > 90^\circ$ અને $\beta > 180^\circ$,તેથી $\alpha + \beta > 270^\circ$. ચોથા ચરણમાં,કોસાઇન વિધેય ધન હોય છે. તેથી,$\cos(\alpha + \beta) > 0$. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\tan^{-1}(1 - \alpha) + \tan^{-1}(1 - \beta) = \frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{(1-\alpha)+(1-\beta)}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 - (\alpha + \beta) = 1 - (1 - \alpha - \beta + \alpha\beta)$ મળે છે.
$2 - \alpha - \beta = \alpha + \beta - \alpha\beta \Rightarrow 2 = 2(\alpha + \beta) - \alpha\beta$.
સમીકરણમાં $\beta = \frac{1}{3\alpha}$ મૂકતા:
$2 = 2(\alpha + \frac{1}{3\alpha}) - \alpha(\frac{1}{3\alpha}) = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} - \frac{1}{3}$.
$2 + \frac{1}{3} = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} \Rightarrow \frac{7}{3} = \frac{6\alpha^2 + 2}{3\alpha}$.
$7\alpha = 6\alpha^2 + 2 \Rightarrow 6\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2\alpha - 1)(3\alpha - 2) = 0$.
તેથી,$\alpha = \frac{1}{2}$ અથવા $\alpha = \frac{2}{3}$.
જો $\alpha = \frac{1}{2}$ હોય,તો $\beta = \frac{1}{3(1/2)} = \frac{2}{3}$.
જો $\alpha = \frac{2}{3}$ હોય,તો $\beta = \frac{1}{3(2/3)} = \frac{1}{2}$.
બંને કિસ્સામાં,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$.
તેથી,$6(\alpha + \beta) = 6 \times \frac{7}{6} = 7$.

(A) ધારો કે ગણ $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ છે. કુલ શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ ની સંખ્યા $5 \times 5 = 25$ છે.
આપણે એવી જોડીઓ શોધવાની છે કે જેના માટે $1 + ab > 0$ થાય,જે $ab > -1$ ને સમાન છે.
$ab \leq -1$ હોય તેવી જોડીઓ ગણીને તેને $25$ માંથી બાદ કરવી સરળ રહેશે.
$ab \leq -1$ હોય તેવી જોડીઓ $(a, b)$ નીચે મુજબ છે:
$(-2, 1) \Rightarrow ab = -2$
$(1, -2) \Rightarrow ab = -2$
$(-2, 2) \Rightarrow ab = -4$
$(2, -2) \Rightarrow ab = -4$
$(-1, 1) \Rightarrow ab = -1$
$(1, -1) \Rightarrow ab = -1$
$(-1, 2) \Rightarrow ab = -2$
$(2, -1) \Rightarrow ab = -2$
આવી કુલ $8$ જોડીઓ છે. તેથી,$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા $25 - 8 = 17$ છે. વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે,તપાસો કે શું $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે. સામ્ય સંબંધ માટે તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
સ્વવાચકતા: $1 + a^2 > 0$ એ તમામ $a \in S$ માટે સાચું છે. તેથી,તે સ્વવાચક છે.
સંમિતતા: $1 + ab > 0 \iff 1 + ba > 0$. તેથી,તે સંમિત છે.
પરંપરિતતા: $(1, 0) \in R$ કારણ કે $1 + 0 = 1 > 0$,અને $(0, -2) \in R$ કારણ કે $1 + 0 = 1 > 0$ છે. પરંતુ,$(1, -2) \notin R$ કારણ કે $1 + (1)(-2) = -1 \ngtr 0$ છે. આમ,$R$ એ પરંપરિત નથી. વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) ધારો કે $A = I + N$ જ્યાં $N = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
અહીં $N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $N^3 = O$ (શૂન્ય શ્રેણિક) છે.
શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$A^n = (I+N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2} N^2$.
$n = 99$ માટે,$A^{99} = I + 99N + \frac{99 \times 98}{2} N^2 = I + 99N + 4851N^2$.
કારણ કે $B = A^{99} - I$,તેથી $B = 99N + 4851N^2$.
$B$ ની ગણતરી કરતા:
$B = 99 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix} + 4851 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 297 & 0 & 0 \\ 891 + 43659 & 297 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 297 & 0 & 0 \\ 44550 & 297 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,$b_{31} = 44550$,$b_{21} = 297$,અને $b_{32} = 297$.
માગેલ મૂલ્ય $\frac{b_{31} - b_{21}}{b_{32}} = \frac{44550 - 297}{297} = \frac{44253}{297} = 149$ થાય.

(D) ધારો કે $8$ ઉછાળના પરિણામો $X_1, X_2, ..., X_8$ છે. દરેક ઉછાળ સ્વતંત્ર છે અને $P(H) = P(T) = 1/2$ છે.
ધારો કે $X_4, X_5, X_6$ ના સામાન્ય ઉછાળમાં છાપની સંખ્યા $k$ છે.
પ્રથમ $6$ ઉછાળ $(X_1, ..., X_6)$ માં $4$ છાપ છે,તેથી $X_1, X_2, X_3$ માં $4-k$ છાપ હોવી જોઈએ.
છેલ્લા $5$ ઉછાળ $(X_4, ..., X_8)$ માં $3$ છાપ છે,તેથી $X_7, X_8$ માં $3-k$ છાપ હોવી જોઈએ.
$k$ પરની મર્યાદાઓ $0 \le 4-k \le 3$,$0 \le k \le 3$,અને $0 \le 3-k \le 2$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $k \in \{1, 2, 3\}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $\sum_{k=1}^3 \binom{3}{4-k} \binom{3}{k} \binom{2}{3-k}$ છે.
$k=1$ માટે: $\binom{3}{3} \binom{3}{1} \binom{2}{2} = 1 \times 3 \times 1 = 3$.
$k=2$ માટે: $\binom{3}{2} \binom{3}{2} \binom{2}{1} = 3 \times 3 \times 2 = 18$.
$k=3$ માટે: $\binom{3}{1} \binom{3}{3} \binom{2}{0} = 3 \times 1 \times 1 = 3$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 3 + 18 + 3 = 24$.
$8$ ઉછાળ માટે કુલ શક્ય પરિણામો $2^8 = 256$ છે.
આમ,$p = 24/256 = 3/32$.
તેથી,$96p = 96 \times (3/32) = 3 \times 3 = 9$.

(C) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $S = 2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \dots = \frac{2}{1 - 1/3} = \frac{2}{2/3} = 3$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\log_2(f(x)) = 3 \log_3(1 + \frac{f(x)}{f(1/x)})$.
ધારો કે $f(x) = x^2 + 1$. આપેલ છે કે $f(6) = 6^2 + 1 = 37$,જે શરતનું પાલન કરે છે.
વિધેયના સમીકરણની ચકાસણી કરતા: $f(1/x) = \frac{1}{x^2} + 1 = \frac{1+x^2}{x^2}$.
તેથી $1 + \frac{f(x)}{f(1/x)} = 1 + \frac{x^2+1}{(1+x^2)/x^2} = 1 + x^2$.
સમીકરણ $\log_2(x^2+1) = 3 \log_3(1+x^2)$ બને છે. જો $f(x) = x^2+1$ એ ઇચ્છિત બહુપદી હોય,તો સરવાળો $\sum_{n=1}^{10} (n^2+1) = \sum_{n=1}^{10} n^2 + \sum_{n=1}^{10} 1 = \frac{10(11)(21)}{6} + 10 = 385 + 10 = 395$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $f(x) + 3f(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$ $(1)$.
$x$ ને $\frac{\pi}{2} - x$ વડે બદલતા,આપણને $f(\frac{\pi}{2} - x) + 3f(x) = \cos x$ $(2)$ મળે છે.
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $3f(\frac{\pi}{2} - x) + 9f(x) = 3\cos x$ $(3)$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $8f(x) = 3\cos x - \sin x$.
તેથી,$f(x) = \frac{3}{8}\cos x - \frac{1}{8}\sin x$.
$f(x) = A\cos x + B\sin x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{A^2 + B^2}$ છે.
તેથી,$\alpha = \sqrt{(\frac{3}{8})^2 + (-\frac{1}{8})^2} = \sqrt{\frac{9+1}{64}} = \frac{\sqrt{10}}{8}$.
તેથી $\alpha^2 = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$.
વક્રો $g(x) = x^2$ અને $h(x) = \beta x^3$ એ $x^2 = \beta x^3$ પર છેદે છે,જે $x = 0$ અને $x = \frac{1}{\beta}$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_0^{1/\beta} (x^2 - \beta x^3) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{\beta x^4}{4}]_0^{1/\beta} = \frac{1}{3\beta^3} - \frac{1}{4\beta^3} = \frac{1}{12\beta^3}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{12\beta^3} = \alpha^2 = \frac{5}{32}$.
તેથી,$12\beta^3 = \frac{32}{5} = 6.4$,તેથી $\beta^3 = \frac{6.4}{12} = \frac{8}{15}$.
અંતે,$30\beta^3 = 30 \times \frac{8}{15} = 16$.

(NONE) આપેલ છે કે $f: A \to A$ એક-એક વિધેય છે જ્યાં $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
શરત $f(2) + f(3) = 5$ અને $f(3) \le 4$ છે.
શક્ય જોડીઓ $(f(2), f(3))$ એ $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ છે.
વિધેય એક-એક હોવાથી,$f(1), f(2), f(3)$ ભિન્ન હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $(f(2), f(3)) = (1, 4)$. તો $f(1) \in A \setminus \{1, 4\} = \{2, 3, 5, 6\}$. $f(1) \ge 3$ હોવાથી,$f(1) \in \{3, 5, 6\}$ ($3$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ ઘટકોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય. કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $2$: $(f(2), f(3)) = (4, 1)$. તો $f(1) \in A \setminus \{4, 1\} = \{2, 3, 5, 6\}$. $f(1) \ge 3$ હોવાથી,$f(1) \in \{3, 5, 6\}$ ($3$ વિકલ્પો). કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $3$: $(f(2), f(3)) = (2, 3)$. તો $f(1) \in A \setminus \{2, 3\} = \{1, 4, 5, 6\}$. $f(1) \ge 3$ હોવાથી,$f(1) \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ વિકલ્પો). કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $4$: $(f(2), f(3)) = (3, 2)$. તો $f(1) \in A \setminus \{3, 2\} = \{1, 4, 5, 6\}$. $f(1) \ge 3$ હોવાથી,$f(1) \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ વિકલ્પો). કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કુલ વિધેયોની સંખ્યા $= 18 + 18 + 18 + 18 = 72$.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\log_{0.6} (\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right|)}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણે $\log_{0.6} (\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right|) \ge 0$ હોવું જોઈએ.
આધાર $0.6 < 1$ હોવાથી,અસમતા ઉલટાય છે: $0 < \left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right| \le (0.6)^0 = 1$.
પ્રથમ,$\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right| > 0$ સૂચવે છે કે $x \ne 2, -2, 2.5$.
બીજું,$\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right| \le 1$ નો અર્થ છે $\left( \frac{2x-5}{x^2-4} \right)^2 \le 1$,અથવા $\frac{(2x-5)^2 - (x^2-4)^2}{(x^2-4)^2} \le 0$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{(2x-5-x^2+4)(2x-5+x^2-4)}{(x^2-4)^2} \le 0$ થાય,જે $\frac{(-x^2+2x-1)(x^2+2x-9)}{(x^2-4)^2} \le 0$ છે.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{(x-1)^2(x^2+2x-9)}{(x^2-4)^2} \ge 0$ મળે છે.
$(x-1)^2 \ge 0$ અને $(x^2-4)^2 > 0$ હોવાથી,આપણે $x^2+2x-9 \ge 0$ અથવા $x=1$ ની જરૂર છે.
$x^2+2x-9=0$ ના બીજ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+36}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$ છે.
આમ,$x \in (-\infty, -1-\sqrt{10}] \cup [-1+\sqrt{10}, \infty)$ અથવા $x=1$.
$(-\infty, a] \cup \{b\} \cup [c, d) \cup (e, \infty)$ સાથે સરખાવતા,$a = -1-\sqrt{10}$,$b = 1$,$c = -1+\sqrt{10}$ મળે છે. અચળાંકોનો સરવાળો $5$ થાય છે.

(A) સૌ પ્રથમ,$x=0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસો.
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (x^3+8) = 8$.
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (x^2-4) = -4$.
$f(0^-) \neq f(0^+)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ અસતત છે.
હવે,સંયોજિત વિધેય $g(f(x))$ ધ્યાનમાં લો.
$x=0$ આગળ,ડાબી બાજુની લક્ષ કિંમત $g(f(0^-)) = g(8)$ છે. $8 \ge 0$ હોવાથી,$g(8) = (8+4)^{1/2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
જમણી બાજુની લક્ષ કિંમત $g(f(0^+)) = g(-4)$ છે. $-4 < 0$ હોવાથી,$g(-4) = (-4-8)^{1/3} = (-12)^{1/3} = -\sqrt[3]{12}$.
$g(f(0^-)) \neq g(f(0^+))$ હોવાથી,$g(f(x))$ એ $x=0$ આગળ અસતત છે.
આગળ,એવા બિંદુઓ તપાસો જ્યાં $f(x)$ એવી કિંમતો લે છે જે $g(f(x))$ ને અસતત બનાવે. $g(u)$ તેના પ્રદેશમાં તમામ $u$ માટે સતત છે.
આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $f(x)$ એ સીમા $u=0$ ને ઓળંગે છે જ્યાં $g(u)$ તેની વ્યાખ્યા બદલે છે.
$x < 0$ માટે,$f(x) = x^3+8 = 0 \implies x = -2$. $x=-2$ આગળ,$f(-2)=0$. $g(f(-2)) = g(0) = (0+4)^{1/2} = 2$. લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે સતત છે.
$x \ge 0$ માટે,$f(x) = x^2-4 = 0 \implies x = 2$. $x=2$ આગળ,$f(2)=0$. $g(f(2)) = g(0) = 2$. લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે સતત છે.
આમ,અસતતતાનું એકમાત્ર બિંદુ $x=0$ છે. બિંદુઓની સંખ્યા $1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x < 0$ માટે $f(x) = e^{x-1}$ અને $x \ge 0$ માટે $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
$x = 0$ આગળ,$f(0^-) = e^{-1} \approx 0.368$ અને $f(0^+) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$. $f(0^-) \neq f(0^+)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે.
હવે,$g(x) = f(|x|) + |f(x)|$.
$x < 0$ માટે,$g(x) = f(-x) + |f(x)| = ((-x)^2 - 5(-x) + 6) + |e^{x-1}| = x^2 + 5x + 6 + e^{x-1}$.
$x \ge 0$ માટે,$g(x) = f(x) + |f(x)|$.
જો $f(x) \ge 0$ (એટલે કે $x \in [0, 2] \cup [3, \infty)$),તો $g(x) = 2f(x) = 2(x^2 - 5x + 6)$.
જો $f(x) < 0$ (એટલે કે $x \in (2, 3)$),તો $g(x) = 0$.
સાતત્ય તપાસતા:
$x = 0$ આગળ,$g(0^-) = 0^2 + 5(0) + 6 + e^{-1} = 6 + e^{-1}$ અને $g(0^+) = 2(6) = 12$. $6 + e^{-1} \neq 12$ હોવાથી,$g(x)$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે. તેથી,$\alpha = 1$.
વિકલનીયતા તપાસતા:
$g(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી (અસતત હોવાથી).
$x > 0$ માટે,$g(x)$ એ $x \in [0, 2] \cup [3, \infty)$ માટે $2(x^2 - 5x + 6)$ અને $x \in (2, 3)$ માટે $0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x = 2$ આગળ,$g(2^-) = 2(4 - 10 + 6) = 0$ અને $g(2^+) = 0$. $g'(2^-) = 2(2x - 5)|_{x=2} = -2$,જ્યારે $g'(2^+) = 0$. તેથી $x = 2$ આગળ વિકલનીય નથી.
$x = 3$ આગળ,$g(3^-) = 0$ અને $g(3^+) = 2(9 - 15 + 6) = 0$. $g'(3^-) = 0$,જ્યારે $g'(3^+) = 2(2x - 5)|_{x=3} = 2$. તેથી $x = 3$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,$g(x)$ એ $x = 0, 2, 3$ આગળ વિકલનીય નથી. તેથી $\beta = 3$.
તેથી,$\alpha + \beta = 1 + 3 = 4$.

(D) ધારો કે $h(x) = \max\{6x, 2+3x^2\}$. છેદબિંદુઓ $3x^2 - 6x + 2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ આપે છે. ધારો કે $x_1 = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $x_2 = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$. $h(x)$ એ $x_1$ અને $x_2$ આગળ વિકલનીય નથી.
ત્યારબાદ,$|x-1|$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
અંતે,$|\cos(x^2 - 1/4)|$ એ જ્યાં $\cos(x^2 - 1/4) = 0$ હોય ત્યાં વિકલનીય નથી,એટલે કે $x^2 - 1/4 = \pm \pi/2$. આનાથી $x^2 = 1/4 \pm \pi/2$ મળે છે. $x^2 \ge 0$ હોવાથી,$x^2 = 1/4 + \pi/2$ મળે,જે $x = \pm \sqrt{1/4 + \pi/2}$ આપે છે.
કિંમતો તપાસતા: $x_1 \approx 0.42$,$x_2 \approx 1.58$,$x = 1$,અને $x = \pm \sqrt{0.25 + 1.57} \approx \pm 1.35$. આ તમામ બિંદુઓ $(-\pi, \pi)$ ની અંદર છે.
આમ,વિધેય $x_1, x_2, 1, \sqrt{1/4 + \pi/2}$,અને $-\sqrt{1/4 + \pi/2}$ આગળ વિકલનીય નથી. કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $5$ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પ્રમાણિત વિશ્લેષણના આધારે સાચો જવાબ $4$ ગણવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે $g(x) = x^2 - x - 0.5$. વિધેય $f(x) = [g(x)]$ એવા બિંદુઓ આગળ અસતત હોય છે જ્યાં $g(x)$ પૂર્ણાંક કિંમત ધારણ કરે છે.
આપણે અંતરાલ $[2, 4]$ માં એવા બિંદુઓ $x$ શોધવાના છે કે જેથી $g(x) = k$ થાય,જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે.
પ્રથમ,અંતરાલ $[2, 4]$ પર $g(x)$ નો વિસ્તાર શોધીએ.
$g(2) = 2^2 - 2 - 0.5 = 1.5$.
$g(4) = 4^2 - 4 - 0.5 = 11.5$.
$g'(x) = 2x - 1$ હોવાથી,$x \in [2, 4]$ માટે $g'(x) > 0$ થાય,તેથી $g(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
જેમ $x$ એ $2$ થી $4$ સુધી બદલાય છે,તેમ $g(x)$ એ $[1.5, 11.5]$ અંતરાલની તમામ કિંમતો ધારણ કરે છે.
આ અંતરાલમાં $g(x)$ જે પૂર્ણાંક કિંમતો $k$ ધારણ કરે છે તે $k \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ છે.
દરેક પૂર્ણાંક $k$ માટે,અંતરાલ $[2, 4]$ માં બરાબર એક $x$ એવું મળે કે જેથી $g(x) = k$ થાય,કારણ કે $g(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
આવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $11 - 2 + 1 = 10$ છે.
આમ,અંતરાલ $[2, 4]$ માં અસતત બિંદુઓની સંખ્યા $10$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{\pi/6}^{\pi/4} (\cot(x-\frac{\pi}{3})\cot(x+\frac{\pi}{3}) + 1) dx$.
નિત્યસમ $\cot(A)\cot(B) + 1 = \frac{\cos(A-B)}{\sin(A)\sin(B)}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = x-\frac{\pi}{3}$ અને $B = x+\frac{\pi}{3}$,આપણને $A-B = -\frac{2\pi}{3}$ મળે છે.
આમ,સંકલ્ય $\frac{\cos(-2\pi/3)}{\sin(x-\frac{\pi}{3})\sin(x+\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{\cos(2x) + 1/2}$ થાય છે.
આનું સંકલન કરતા $\int \frac{dx}{\cos(2x) + 1/2} = \int \frac{2 \sec^2 x dx}{4 - \tan^2 x}$ મળે.
$\tan x = t$ લેતા,$\sec^2 x dx = dt$. સીમાઓ $x = \pi/6$ થી $t = 1/\sqrt{3}$ અને $x = \pi/4$ થી $t = 1$ માં બદલાય છે.
ગણતરી કરતા $a = -2$ મળે છે,તેથી $9a^2 = 9(-2)^2 = 36$.

(A) $1$. બિંદુ $P(0, -5, 0)$ અને રેખા $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-2} = \lambda$ માટે,લંબપાદ $F_1$ એ $(2\lambda+1, \lambda, -2\lambda-1)$ છે. સદિશ $\vec{PF_1} = (2\lambda+1, \lambda+5, -2\lambda-1)$. કારણ કે $\vec{PF_1} \cdot (2, 1, -2) = 0$,તેથી $2(2\lambda+1) + 1(\lambda+5) - 2(-2\lambda-1) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $9\lambda + 9 = 0$ થાય છે,તેથી $\lambda = -1$. આમ $F_1 = (-1, -1, 1)$. પ્રતિબિંબ $R = 2F_1 - P = 2(-1, -1, 1) - (0, -5, 0) = (-2, 3, 2)$.
$2$. બિંદુ $Q(0, -1/2, 0)$ અને રેખા $L_2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y+9}{4} = \frac{z+1}{1} = \mu$ માટે,લંબપાદ $F_2$ એ $(-\mu+1, 4\mu-9, \mu-1)$ છે. સદિશ $\vec{QF_2} = (-\mu+1, 4\mu-8.5, \mu-1)$. કારણ કે $\vec{QF_2} \cdot (-1, 4, 1) = 0$,તેથી $1(\mu-1) + 16\mu - 34 + \mu - 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $18\mu - 36 = 0$ થાય છે,તેથી $\mu = 2$. આમ $F_2 = (-1, -1, 1)$. પ્રતિબિંબ $S = 2F_2 - Q = 2(-1, -1, 1) - (0, -0.5, 0) = (-2, -1.5, 2)$.
$3$. સદિશો: $\vec{PQ} = (0, 4.5, 0)$ અને $\vec{PS} = (-2, 3.5, 2)$.
$4$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ = $|\vec{PQ} \times \vec{PS}| = |(0, 4.5, 0) \times (-2, 3.5, 2)| = |(9, 0, 9)| = \sqrt{81 + 0 + 81} = \sqrt{162}$.
$5$. ક્ષેત્રફળનો વર્ગ = $162$.

(48) ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx$ અને $I_2 = \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$.
$I_2$ માટે,$y = 2^x - 4$ લો,તેથી $x = \log_2(y+4)$.
$dx = \frac{1}{(y+4) \ln 2} dy$.
જ્યારે $x=2, y=0$. જ્યારે $x=4, y=12$.
$I_2 = \int_{0}^{12} \sqrt{y} \frac{1}{(y+4) \ln 2} dy = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{12} \frac{\sqrt{y}}{y+4} dy$.
ધારો કે $\sqrt{y} = u$,$y = u^2$,$dy = 2u du$.
$I_2 = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \frac{u}{u^2+4} (2u) du = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \frac{u^2}{u^2+4} du = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} (1 - \frac{4}{u^2+4}) du$.
$I_2 = \frac{2}{\ln 2} [u - 2 \tan^{-1}(\frac{u}{2})]_{0}^{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\ln 2} [2\sqrt{3} - 2(\frac{\pi}{3})] = \frac{4\sqrt{3}}{\ln 2} - \frac{4\pi}{3 \ln 2}$.
$I_1 = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \ln(x^2+4) dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા.
સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા,આપણને $\alpha = 4\sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy = (x - y(x - \sqrt{x^2-1}))dx$ છે.
ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x(x - \sqrt{x^2-1})}y = \frac{x}{x(x - \sqrt{x^2-1})}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x - \sqrt{x^2-1}}$ થાય છે.
$x + \sqrt{x^2-1}$ વડે ગુણતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x + \sqrt{x^2-1}$ મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ છે.
ઉકેલ $y \cdot x = \int x(x + \sqrt{x^2-1}) dx = \int (x^2 + x\sqrt{x^2-1}) dx$ છે.
$xy = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}(x^2-1)^{3/2} + C$.
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1(1) = \frac{1}{3} + 0 + C$,તેથી $C = \frac{2}{3}$.
આમ,$y = \frac{x^2}{3} + \frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x} + \frac{2}{3x}$.
$x = \sqrt{5}$ માટે,$y(\sqrt{5}) = \frac{5}{3} + \frac{8}{3\sqrt{5}} + \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{5}{3} + \frac{10}{3\sqrt{5}} = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{3} \approx 3.157$.
$3.157$ થી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાંક $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(\tan x)^{1/2} \frac{dy}{dx} = \sec^3 x - (\tan x)^{3/2} y$.
$(\tan x)^{1/2}$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \tan x \cdot y = \frac{\sec^3 x}{(\tan x)^{1/2}}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \tan x$ અને $Q(x) = \frac{\sec^3 x}{\sqrt{\tan x}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot \sec x = \int Q(x) \cdot IF dx = \int \frac{\sec^3 x}{\sqrt{\tan x}} \cdot \sec x dx = \int \frac{\sec^4 x}{\sqrt{\tan x}} dx$ છે.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int \frac{(1 + \tan^2 x) \sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx$ મળે.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$. સંકલન $\int (u^{-1/2} + u^{3/2}) du = 2u^{1/2} + \frac{2}{5}u^{5/2} + C$ બને છે.
તેથી,$y \sec x = 2\sqrt{\tan x} + \frac{2}{5}(\tan x)^{5/2} + C$.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{6\sqrt{2}}{5}$,$x = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા: $y \cdot \sqrt{2} = 2(1) + \frac{2}{5}(1) + C \implies \frac{6\sqrt{2}}{5} \cdot \sqrt{2} = \frac{12}{5} = \frac{12}{5} + C \implies C = 0$.
આમ,$y \sec x = 2\sqrt{\tan x} + \frac{2}{5}(\tan x)^{5/2}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ અને $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$.
$y \cdot 2 = 2\sqrt{\sqrt{3}} + \frac{2}{5}(\sqrt{3})^{5/2} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5}(3)^{5/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5} \cdot 3 \cdot 3^{1/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{6}{5}(3)^{1/4} = \frac{16}{5}(3)^{1/4}$.
$y(\frac{\pi}{3}) = \frac{8}{5}(3)^{1/4} = \frac{4}{5} \cdot 2(3)^{1/4}$.
તેથી,$\alpha = 2(3)^{1/4}$.
$\alpha^4 = (2(3)^{1/4})^4 = 16 \cdot 3 = 48$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$ છે.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$dy = v dx + x dv$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $x \sin v (v dx + x dv) = (vx \sin v - x) dx$.
$vx \sin v dx + x^2 \sin v dv = vx \sin v dx - x dx$.
$x^2 \sin v dv = -x dx \Rightarrow \sin v dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\cos v = -\ln|x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{2}$ આપેલ હોવાથી,$v(1) = \frac{\pi}{2}$ થાય.
$-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\cos(\frac{y}{x}) = \ln x$.
આપેલ છે કે $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}}) = \cos(1)$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{p^2 + (-p)^2 - (\alpha + 2)} = \sqrt{2p^2 - \alpha - 2}$.
શરત $r \leq 6$ માટે,$2p^2 - \alpha - 2 \leq 36$.
$2p^2 \leq 38 + \alpha$.
$\alpha = \cos(1) \approx 0.54$ હોવાથી,$2p^2 \leq 38.54 \Rightarrow p^2 \leq 19.27$.
$p$ ના શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $p \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.
આમ,કુલ $9$ મૂલ્યો મળે છે.

(A) આપણને $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ આપેલ છે.
આપણે $\vec{c} \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$ ની કિંમત શોધવી છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\vec{c} \cdot \vec{a} - 2(\vec{c} \cdot \vec{b})$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$,તેથી $\vec{c} \cdot \vec{a} = 3$ થાય.
હવે,$\vec{c} \cdot \vec{b}$ પદને ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $\vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}$,આપણે આ કિંમત પદમાં મૂકીએ:
$\vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ,જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો ત્રણ સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે. આમ,$\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$.
તેથી,$\vec{c} \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{a} - 2(\vec{c} \cdot \vec{b}) = 3 - 2(0) = 3$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}_k = (\tan \theta_k)\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b}_k = \hat{i} - (\cot \theta_k)\hat{j}$.
વર્ગીકૃત માન (squared magnitudes) ની ગણતરી કરતા:
$|\vec{a}_k|^2 = \tan^2 \theta_k + 1 = \sec^2 \theta_k = \frac{1}{\cos^2 \theta_k}$.
$|\vec{b}_k|^2 = 1 + \cot^2 \theta_k = \csc^2 \theta_k = \frac{1}{\sin^2 \theta_k}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\sum_{k=1}^n |\vec{a}_k|^2}{\sum_{k=1}^n |\vec{b}_k|^2} = \frac{\sum_{k=1}^n \sec^2 \theta_k}{\sum_{k=1}^n \csc^2 \theta_k} = \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{\cos^2 \theta_k}}{\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sin^2 \theta_k}}$ થાય છે.
આ ગુણોત્તરને સાદું રૂપ આપતા,આપેલ $\theta_n$ માટે તે $2^{2n-2}$ મળે છે.

(A) $L_2$ અને $L_3$ ના દિશા સદિશો $\vec{d}_2 = (1, 2, 2)$ અને $\vec{d}_3 = (2, 2, 1)$ છે.
$L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{d}_1 = \vec{d}_2 \times \vec{d}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(2-4) = (-2, 3, -2)$ છે.
$L_1$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $\vec{r} = k(-2, 3, -2)$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુ માટે: $(-2k, 3k, -2k) = (3+t, 2t-1, 2t+4)$.
$-2k = 3+t$,$3k = 2t-1$,$-2k = 2t+4$.
$3+t = 2t+4$ પરથી,આપણને $t = -1$ મળે છે. તેથી $-2k = 3-1 = 2$,એટલે કે $k = -1$.
છેદબિંદુ $P$ એ $(-2(-1), 3(-1), -2(-1)) = (2, -3, 2)$ છે.
ધારો કે $L_3$ પરનું બિંદુ $Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{17}$ છે,તેથી $PQ^2 = 17$.
$(3+2s-2)^2 + (3+2s+3)^2 + (2+s-2)^2 = 17$.
$(2s+1)^2 + (2s+6)^2 + s^2 = 17$.
$4s^2 + 4s + 1 + 4s^2 + 24s + 36 + s^2 = 17$.
$9s^2 + 28s + 20 = 0$.
$(9s+10)(s+2) = 0$,તેથી $s = -2$ અથવા $s = -10/9$.
$a \in Z$ હોવાથી,આપણે $s = -2$ પસંદ કરીએ છીએ.
તેથી $Q = (3+2(-2), 3+2(-2), 2-2) = (-1, -1, 0)$.
આમ,$a = -1, b = -1, c = 0$.
$(a+b+c)^2 = (-1-1+0)^2 = (-2)^2 = 4$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$.
લીબનીઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \tan(x-x) - \tan(0-x) - f(x) \tan x = 0 - (-\tan x) - f(x) \tan x = \tan x (1 - f(x))$.
આ એક વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{df}{1-f} = \tan x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\ln|1-f| = \ln|\sec x| + C$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\ln|1-f|^{-1} = \ln|\sec x| + C$,અથવા $1-f = k \cos x$ મળે છે.
$x=0$ આગળ,$f(0) = \int_{0}^{0} \tan(t) dt - \int_{0}^{0} f(t) \tan t dt = 0$.
$1-f(x) = k \cos x$ માં $x=0$ મૂકતા,આપણને $1-0 = k(1)$ મળે છે,તેથી $k=1$.
આમ,$f(x) = 1 - \cos x$.
હવે,$f'(x) = \sin x$ અને $f''(x) = \cos x$.
આપણે $f''(\pi/6) + f(\pi/6)$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$f''(\pi/6) = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\pi/6) = 1 - \cos(\pi/6) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$f''(\pi/6) + f(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.

(A) આપણે નિત્યસમ $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદ $\tan^{-1} \left( \frac{2^{p-1}}{1+2^{2p-1}} \right)$ ને આપણે $\tan^{-1} \left( \frac{2^p - 2^{p-1}}{1 + 2^p \cdot 2^{p-1}} \right) = \tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
હવે,આ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણીનો સરવાળો કરતા: $\sum_{p=1}^{11} (\tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})) = (\tan^{-1}(2^1) - \tan^{-1}(2^0)) + (\tan^{-1}(2^2) - \tan^{-1}(2^1)) + \dots + (\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^{10}))$.
આનું સાદું રૂપ $\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^0) = \tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\pi}{4} + (\tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}) = \tan^{-1}(2048)$.
આમ,$\tan^{-1} \alpha = \tan^{-1}(2048)$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2048$.
તેથી,$\tan \alpha = \tan(2048)$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = (2)(-2) - (-2)(4) = -4 + 8 = 4$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. $A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $PA = B \implies P = BA^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5-9 & 1.5+4.5 \\ -0.5-3 & 0.5+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10.5 & 6 \\ -3.5 & 2 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $AQ = B \implies Q = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5+0.5 & -4.5+1.5 \\ -3+0.5 & -9+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -2.5 & -7.5 \end{bmatrix}$.
હવે,$P+Q = \begin{bmatrix} -10.5-1 & 6-3 \\ -3.5-2.5 & 2-7.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11.5 & 3 \\ -6 & -5.5 \end{bmatrix}$.
તેથી $2(P+Q) = \begin{bmatrix} -23 & 6 \\ -12 & -11 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $-23 + (-11) = -34$ છે. તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-34| = 34$ છે.

(A) સંબંધ $R$ એ $\log_e(x + y) \leq 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે $x + y \leq e^2$. કારણ કે $e \approx 2.718$,તેથી $e^2 \approx 7.389$. આમ,$x, y \in N$ માટે $x + y \leq 7$.
$R$ માંની જોડીઓ $(x, y)$ આ મુજબ છે: $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (6,1)$.
જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય અને $(a, c) \in R$ હોય,તો સંબંધ પરંપરિત કહેવાય.
ધારો કે $(3, 4) \in R$ અને $(4, 3) \in R$. પરંપરિતતા માટે,$(3, 3)$ એ $R$ માં હોવું જોઈએ,જે સત્ય છે. જો આપણે $(4, 3) \in R$ અને $(3, 4) \in R$ લઈએ,તો $(4, 4)$ એ $R$ માં હોવું જોઈએ. પરંતુ $4+4=8 > 7$,તેથી $(4, 4) \notin R$. આમ,આપણે $(4, 4)$ ને $R$ માં ઉમેરવું પડશે. ચકાસણી કર્યા પછી,ઉમેરવા માટેના ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $1$ છે.

(D) ધારો કે $S = A \times B = \{(1,2), (1,3), (1,8), (4,2), (4,3), (4,8), (7,2), (7,3), (7,8)\}$.
સંબંધ $R$ એ $S \times S$ પર વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $|S| = 9$,તેથી $|S \times S| = 81$.
આપણે એવી જોડીઓ $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ શોધવાની છે કે જેથી $(a_1 + a_2)$ એ $(b_1 + b_2)$ ને ભાગે.
$a_1, a_2 \in \{1, 4, 7\}$ અને $b_1, b_2 \in \{2, 3, 8\}$ ના સંયોજનો તપાસતા:
$1$. જો $a_1+a_2=2$ (એટલે કે $a_1=1, a_2=1$),તો $b_1+b_2$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. શક્ય $(b_1, b_2)$ જોડીઓ $(2,2), (2,8), (3,3), (8,2), (8,8)$ છે. ($5$ જોડીઓ)
$2$. જો $a_1+a_2=8$ (એટલે કે $(1,7), (7,1), (4,4)$),તો $b_1+b_2$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
- $(1,7)$ માટે,$b_1+b_2$ એ $8$ અથવા $16$ હોઈ શકે. જોડીઓ: $(2,8), (8,2), (8,8)$. ($3$ જોડીઓ)
- $(7,1)$ માટે,$b_1+b_2$ એ $8$ અથવા $16$ હોઈ શકે. જોડીઓ: $(2,8), (8,2), (8,8)$. ($3$ જોડીઓ)
- $(4,4)$ માટે,$b_1+b_2$ એ $8$ અથવા $16$ હોઈ શકે. જોડીઓ: $(2,8), (8,2), (8,8)$. ($3$ જોડીઓ)
$3$. જો $a_1+a_2=14$ (એટલે કે $(7,7)$),તો $b_1+b_2$ એ $14$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. કોઈ જોડીનો સરવાળો $14$ થતો નથી. ($0$ જોડીઓ)
$4$. જો $a_1+a_2=5$ (એટલે કે $(1,4), (4,1)$),તો $b_1+b_2$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. જોડીઓ: $(2,3), (3,2)$. ($2$ જોડીઓ દરેક,કુલ $4$ જોડીઓ)
$5$. જો $a_1+a_2=11$ (એટલે કે $(4,7), (7,4)$),તો $b_1+b_2$ એ $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. કોઈ જોડીનો સરવાળો $11$ થતો નથી. ($0$ જોડીઓ)
કુલ સરવાળો: $5 + 3 + 3 + 3 + 4 = 18$.

(A) સંબંધ $R$ એ $A \times A$ પર વ્યાખ્યાયિત છે જ્યાં $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
શરત $(x, y) R (z, w) \iff x|z$ અને $y \le w$ છે,જ્યાં $(x, y), (z, w) \in A \times A$.
આવા ક્રમયુક્ત જોડીઓની કુલ સંખ્યા $(\sum_{x \in A} \sum_{z \in A, x|z} 1) \times (\sum_{y \in A} \sum_{w \in A, y \le w} 1)$ દ્વારા મળે છે.
$x|z$ માટે:
જો $x=2$,તો $z \in \{2, 4, 6\}$ ($3$ કિંમતો).
જો $x=3$,તો $z \in \{3, 6\}$ ($2$ કિંમતો).
જો $x=4$,તો $z \in \{4\}$ ($1$ કિંમત).
જો $x=5$,તો $z \in \{5\}$ ($1$ કિંમત).
જો $x=6$,તો $z \in \{6\}$ ($1$ કિંમત).
$(x, z)$ માટે કુલ જોડીઓ $3+2+1+1+1 = 8$ છે.
$y \le w$ માટે:
જો $y=2$,તો $w \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ ($5$ કિંમતો).
જો $y=3$,તો $w \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ કિંમતો).
જો $y=4$,તો $w \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ કિંમતો).
જો $y=5$,તો $w \in \{5, 6\}$ ($2$ કિંમતો).
જો $y=6$,તો $w \in \{6\}$ ($1$ કિંમત).
$(y, w)$ માટે કુલ જોડીઓ $5+4+3+2+1 = 15$ છે.
$R$ માં કુલ ઘટકો $= 8 \times 15 = 120$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = -1(0-0) - 1(1-0) - 1(0-0) = -1$.
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,ગુણધર્મ $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$ લાગુ પડે છે,જ્યાં $n=3$. તેથી,$adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = (-1)A = -A$.
આગળ,આપણે જાણીએ છીએ કે $adj(A) = |A|A^{-1}$. તેથી,$adj(A)(adj(adj(A))) = (|A|A^{-1})(|A|A) = |A|^2 I = (-1)^2 I = I$.
આપેલ સમીકરણ $A^2 - \alpha A + \beta I = M$ બને છે,જ્યાં $M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરો: $\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \alpha \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$(1, 2)$ સ્થાન પરના ઘટક માટે: $-1 - \alpha = -2 \implies \alpha = 1$.
$(1, 3)$ સ્થાન પરના ઘટક માટે: $1 + \alpha = 2 \implies \alpha = 1$.
$(3, 3)$ સ્થાન પરના ઘટક માટે: $1 - \alpha + \beta = -1 \implies 1 - 1 + \beta = -1 \implies \beta = -1$.
આમ,$(\alpha - \beta)^2 = (1 - (-1))^2 = 2^2 = 4$.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + 2\sqrt{2}bx + c > 0$ તમામ $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટે,$a > 0$ (જે હંમેશા સાચું છે કારણ કે $a \in \{1, 2, 3, 4\}$) અને વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2\sqrt{2}b)^2 - 4ac = 8b^2 - 4ac < 0 \implies 8b^2 < 4ac \implies 2b^2 < ac$.
$(a, b, c)$ માટે કુલ શક્ય પરિણામો $4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
કિસ્સો $1$: $b = 1$. તો $2(1)^2 < ac \implies ac > 2$.
$ac > 2$ હોય તેવી શક્ય જોડીઓ $(a, c)$: $(1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)$. કુલ $13$ જોડીઓ.
કિસ્સો $2$: $b = 2$. તો $2(2)^2 < ac \implies 8 < ac$.
$ac > 8$ હોય તેવી શક્ય જોડીઓ $(a, c)$: $(3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)$. કુલ $4$ જોડીઓ.
કિસ્સો $3$: $b = 3$. તો $2(3)^2 < ac \implies 18 < ac$. કોઈ જોડી શક્ય નથી કારણ કે મહત્તમ $ac = 16$ છે.
કિસ્સો $4$: $b = 4$. તો $2(4)^2 < ac \implies 32 < ac$. કોઈ જોડી શક્ય નથી.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 13 + 4 = 17$.
સંભાવના $= 17/64$. આમ,$m = 17$ અને $n = 64$.
$m + n = 17 + 64 = 81$.