AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $5x^2 = -12y$.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $x^2 = -\frac{12}{5}y$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,$4a = -\frac{12}{5}$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = -\frac{12}{5 \times 4} = -\frac{3}{5}$.
$x^2 = 4ay$ સ્વરૂપના પરવલયની નાભિ $(0, a)$ હોય છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,નાભિ $\left(0, -\frac{3}{5}\right)$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(x+3)^2 = 2(y-5)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (-3, 5)$ મળે છે.
અહીં,$4a = 2$,તેથી $a = 1/2$ થાય.
પરવલય $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ માટે નાભિના યામ $(h, k+a)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,નાભિ $(-3, 5 + 1/2) = (-3, 11/2)$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) પરવલય માટે,અર્ધ-નાભિલંબની લંબાઈ એ નાભિસ્થ જીવાના ખંડોનો હરાત્મક મધ્યક (harmonic mean) છે.
ધારો કે $l$ એ અર્ધ-નાભિલંબ છે. તો,$\frac{1}{PS} + \frac{1}{QS} = \frac{2}{l}$.
અહીં $PS = 3$ અને $QS = 2$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{l}$.
$\frac{2+3}{6} = \frac{2}{l} \implies \frac{5}{6} = \frac{2}{l}$.
$l = \frac{12}{5}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $2l = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ થાય.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $2 y^2+25 x=0$ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2 y^2 = -25 x$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $y^2 = -\frac{25}{2} x$ મળે છે.
આને પરવલયના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = -4 a x$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$4 a = \frac{25}{2}$
$a = \frac{25}{8}$
પરવલય $y^2 = -4 a x$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = a$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x = \frac{25}{8}$ મળે છે.
આને $8 x = 25$ અથવા $8 x - 25 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{1} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 1$.
ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{9m^2 - 1}$ છે. તે $(3, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$2 = 3m \pm \sqrt{9m^2 - 1}$.
$(2 - 3m)^2 = 9m^2 - 1$ $\Rightarrow 4 - 12m + 9m^2 = 9m^2 - 1$ $\Rightarrow 12m = 5$ $\Rightarrow m = \frac{5}{12}$.
બીજો સ્પર્શક શિરોલંબ રેખા $x = 3$ છે (કારણ કે બિંદુ $(3, 2)$ રેખા $x = 3$ પર આવેલું છે).
પ્રથમ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{5}{12}(x - 3) \Rightarrow 5x - 12y + 9 = 0$ છે.
બિંદુ $(3, 2)$ માટે સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $\frac{3x}{9} - \frac{2y}{1} = 1 \Rightarrow x - 6y = 3$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(3, 2)$,$(3, 0)$ અને $(-5, -4/3)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(0 - (-4/3)) + 3(-4/3 - 2) + (-5)(2 - 0)| = 8$ ચોરસ એકમ.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 12$,તેથી $a = 3$.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
$a = 3$ મૂકતા,આપણને $yy_1 = 6(x + x_1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $6x - y_1y + 6x_1 = 0$ થાય છે.
આપણને સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + 9 = 0$ આપેલ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા: $\frac{6}{1} = \frac{-y_1}{-\sqrt{3}} = \frac{6x_1}{9}$.
$\frac{6}{1} = \frac{y_1}{\sqrt{3}}$ પરથી,$y_1 = 6\sqrt{3}$ મળે છે.
$\frac{6}{1} = \frac{6x_1}{9}$ પરથી,$x_1 = 9$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(9, 6\sqrt{3})$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે,તેથી $4a=16$,જે $a=4$ આપે છે.
આપેલ રેખા $3x-4y+5=0$ છે,જેને $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1=\frac{3}{4}$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times m_1 = -1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
તેથી,$m = -\frac{4}{3}$.
$y^2=4ax$ પરવલય માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
$a=4$ અને $m=-\frac{4}{3}$ મૂકતા,આપણને $y=-\frac{4}{3}x+\frac{4}{-4/3}$ મળે છે.
$y=-\frac{4}{3}x-3$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3y=-4x-9$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4x+3y+9=0$ થાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $y^2 = 4x$ અને બિંદુ $P(1, 2)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 4$
$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{2y} = \frac{2}{y}$
બિંદુ $P(1, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m$:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)} = \frac{2}{2} = 1$
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan \theta$ હોવાથી:
$\tan \theta = 1$
$\theta = 45^{\circ}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પરવલય $y^2=4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x+x_1)$ છે.
અહીં,$4a = 12$,તેથી $a = 3$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (3, -6)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$y(-6) = 2(3)(x+3)$
$-6y = 6(x+3)$
$-y = x+3$
$x+y+3 = 0$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
અહીં,પરવલય $y^2=8x$ છે,તેથી $4a=8$,જેનો અર્થ છે કે $a=2$.
ઢાળ $m=\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
આ કિંમતો સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{2}{1/\sqrt{3}}$
$y=\frac{x}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}$
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}y=x+6$
$x-\sqrt{3}y+6=0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પરવલયો $y^2=32x$ અને $x^2=256y$ છે.
પરવલયો $y^2=4ax$ અને $x^2=4by$ ના સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $b^{1/3}y + a^{1/3}x + (a^2b^2)^{1/3} = 0$ છે.
$y^2=32x$ ને $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=32 \Rightarrow a=8$ મળે છે.
$x^2=256y$ ને $x^2=4by$ સાથે સરખાવતા,$4b=256 \Rightarrow b=64$ મળે છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(64)^{1/3}y + (8)^{1/3}x + (8^2 \times 64^2)^{1/3} = 0$
$4y + 2x + 64 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2=4x$ ને $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=1$ મળે છે.
આપેલ રેખા $y=2x+k$ છે,તેથી ઢાળ $m=2$ છે.
$a=1$ અને $m=2$ ની કિંમત અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$k = -2(1)(2) - (1)(2)^3$
$k = -4 - 8$
$k = -12$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4(x+4)$ છે.
પરવલય પરનું બિંદુ $P(x, y) = (t^2-4, 2t)$ લો.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુનું અંતરનો વર્ગ $d^2 = x^2 + y^2 = (t^2-4)^2 + (2t)^2$ છે.
$d^2 = t^4 - 8t^2 + 16 + 4t^2 = t^4 - 4t^2 + 16$.
વર્તુળ $x^2+y^2=k^2$ પરવલયની અંદર રહે તે માટે,તમામ $t$ માટે $k^2 \leq d^2$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $u = t^2$,જ્યાં $u \geq 0$. તો $f(u) = u^2 - 4u + 16$.
$f(u)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $u = 2$ પર મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(2) = 2^2 - 4(2) + 16 = 12$ છે.
આમ,$k^2 \leq 12$,જેનો અર્થ છે કે $k \leq 2\sqrt{3}$.
$k$ ની મહત્તમ કિંમત $2\sqrt{3}$ છે.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2}\right)^5$ છે.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$E = \left(\frac{x^2 + 2 + 2\sqrt{2}x}{2x}\right)^5 = \frac{(x + \sqrt{2})^{10}}{32x^5}$.
$E$ ના વિસ્તરણમાં અચળ પદ એ $(x + \sqrt{2})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ નો સહગુણક ભાગ્યા $32$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x + \sqrt{2})^{10}$ માં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r \cdot x^{10-r} \cdot (\sqrt{2})^r$ છે.
$x^5$ ના સહગુણક માટે,આપણે $10-r = 5$ લઈએ,જેથી $r = 5$ મળે.
આ પદ ${}^{10}C_5 \cdot (\sqrt{2})^5 = 252 \cdot 4\sqrt{2} = 1008\sqrt{2}$ છે.
આમ,અચળ પદ $\frac{1008\sqrt{2}}{32} = \frac{63\sqrt{2}}{2}$ છે.
આને $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 63$ મળે છે.

(B) નાના $|x|$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} \approx 1+\frac{1}{2}x$
$(1-x)^{3/2} \approx 1-\frac{3}{2}x$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(1+\frac{1}{2}x) + (1-\frac{3}{2}x)}{(1+x) + (1+\frac{1}{2}x)} = \frac{2-x}{2+\frac{3}{2}x} = \frac{2-x}{\frac{4+3x}{2}} = \frac{2(2-x)}{4+3x}$
$= \frac{4-2x}{4+3x} = (4-2x)(4+3x)^{-1} = (4-2x) \cdot \frac{1}{4}(1+\frac{3}{4}x)^{-1}$
$\approx \frac{1}{4}(4-2x)(1-\frac{3}{4}x) = \frac{1}{4}(4 - 3x - 2x + \frac{6}{4}x^2)$
$x^2$ વાળા પદોને અવગણતા:
$\approx \frac{1}{4}(4-5x) = 1-\frac{5x}{4}$

(C) આપેલ વિસ્તરણ: $(1-x+x^2)^{10}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{20} x^{20}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$10(1-x+x^2)^9 \cdot (-1+2x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 20a_{20} x^{19}$.
$x=1$ મૂકતા:
$10(1-1+1)^9 \cdot (-1+2) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20}$.
$10(1)^9 \cdot (1) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 10$.
$a_1$ શોધવા માટે,મૂળ પદાવલિનું વિકલન કરી $x=0$ મૂકતા અથવા $(1-x+x^2)^{10}$ માં $x$ નો સહગુણક જોતા:
$(1-x+x^2)^{10} = 1 + 10(-x+x^2) + \ldots = 1 - 10x + \ldots$.
આમ,$a_1 = -10$.
$a_1 = -10$ ને સમીકરણ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 10$ માં મૂકતા:
$-10 + (2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20}) = 10$.
તેથી,$2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 20$.

(C) $\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)^{20}$ ના વિસ્તરણમાં $20+1 = 21$ પદો છે.
પદોની સંખ્યા એકી હોવાથી,મધ્યમ પદ $\left(\frac{20}{2}+1\right) = 11$-મું પદ છે.
તેથી,$m = 11$.
આપણે $T_{m+3} = T_{11+3} = T_{14} = T_{13+1}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ છે.
$T_{13+1}$ માટે,$n=20$,$r=13$,$a=x^2$,અને $b=-\frac{1}{2x}$ છે.
$T_{14} = {}^{20}C_{13} (x^2)^7 \left(-\frac{1}{2^{13} x^{13}}\right) = -{}^{20}C_{13} \cdot 2^{-13} x$.
આમ,$T_{m+3}$ નો સહગુણક $-{}^{20}C_{13} 2^{-13}$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = (1+x)^{1000}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{1+x}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 1001$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{(1+x)^{1000} \left(1 - (\frac{x}{1+x})^{1001}\right)}{1 - \frac{x}{1+x}}$
$f(x) = (1+x)^{1001} - x^{1001}$.
તેથી,$(1+x)^{1001} - x^{1001}$ માં $x^{50}$ નો સહગુણક એ $(1+x)^{1001}$ માં $x^{50}$ નો સહગુણક છે,જે ${}^{1001}C_{50}$ થાય.

(D) $(\sqrt[5]{3}+\sqrt[3]{2})^{15}$ ના વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r 3^{(15-r)/5} 2^{r/3}$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$r$ એ $5$ અને $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r$ એ $15$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \leq r \leq 15$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $15$ છે.
$r=0$ માટે,$T_1 = 27$ અને $r=15$ માટે,$T_{16} = 32$ મળે.
સંમેય પદોનો સરવાળો $= 27 + 32 = 59$ થાય.
આમ,અસંમેય પદોનો સરવાળો એ સંમેય પદોના સરવાળા કરતા વધારે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $(a+1+\frac{1}{a})^n = \frac{(a^2+a+1)^n}{a^n}$ છે.
$(a^2+a+1)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $2n+1$ છે કારણ કે $a$ ના ઘાતાંક $a^0$ થી $a^{2n}$ સુધીના હોય છે.
આપેલ છે કે પદોની સંખ્યા $2029$ છે,તેથી $2n+1 = 2029$.
$2n = 2028$.
$n = 1014$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) $(3+\frac{x}{2})^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r (3)^{n-r} (\frac{x}{2})^r = {}^nC_r \frac{3^{n-r}}{2^r} x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^r$ નો સહગુણક ${}^nC_r \frac{3^{n-r}}{2^r}$ છે.
$r=9$ માટે,સહગુણક ${}^nC_9 \frac{3^{n-9}}{2^9}$ છે.
$r=10$ માટે,સહગુણક ${}^nC_{10} \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$ છે.
આપેલ છે કે આ સહગુણકો સમાન છે:
${}^nC_9 \frac{3^{n-9}}{2^9} = {}^nC_{10} \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$.
બંને બાજુને ${}^nC_9 \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3^{n-9}}{3^{n-10}} \times \frac{2^{10}}{2^9} = \frac{{}^nC_{10}}{{}^nC_9}$.
$3^1 \times 2^1 = \frac{n-10+1}{10} = \frac{n-9}{10}$.
$6 = \frac{n-9}{10}$ $\Rightarrow n-9 = 60$ $\Rightarrow n = 69$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} y^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(\frac{2p}{3} + \frac{3q}{2}\right)^9$ ના વિસ્તરણ માટે,$6^{th}$ પદ $(T_6)$ એ $T_{5+1}$ છે.
અહીં,$n=9$,$r=5$,$x=\frac{2p}{3}$,અને $y=\frac{3q}{2}$.
$T_6 = {}^9C_5 \left(\frac{2p}{3}\right)^4 \left(\frac{3q}{2}\right)^5$
$T_6 = 126 \times \frac{16 p^4}{81} \times \frac{243 q^5}{32} = 189 p^4 q^5$.
$189 p^4 q^5$ ને $ap^bq^c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=189, b=4, c=5$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1+3x)^n \left(1+\frac{1}{3x}\right)^n$
$= (1+3x)^n \left(\frac{3x+1}{3x}\right)^n$
$= \frac{(1+3x)^n (1+3x)^n}{(3x)^n}$
$= \frac{(1+3x)^{2n}}{(3x)^n}$
$(1+3x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{2n}{r} (3x)^r$ છે.
અચળ પદ શોધવા માટે,આપણે એવું પદ જોઈએ જ્યાં $x$ નો ઘાત $0$ હોય.
પદાવલિ $\frac{1}{(3x)^n} \times \sum_{r=0}^{2n} \binom{2n}{r} (3x)^r = \sum_{r=0}^{2n} \binom{2n}{r} (3x)^{r-n}$ છે.
અચળ પદ ત્યારે મળે જ્યારે $r-n = 0$,એટલે કે $r = n$.
$r=n$ મૂકતા,અચળ પદ $\binom{2n}{n} (3x)^{n-n} = \binom{2n}{n}$ મળે છે.
આમ,અચળ પદ $\binom{2n}{n}$ છે.

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^2}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ આ મુજબ છે:
$T_{r+1} = \binom{10}{r} (x^{1/2})^{10-r} (-k x^{-2})^r$
$T_{r+1} = \binom{10}{r} (-k)^r x^{\frac{10-r}{2} - 2r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{2} - 2r = 0$
$10 - r = 4r$
$5r = 10 \Rightarrow r = 2$
હવે,$r=2$ ને પદના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_3 = \binom{10}{2} (-k)^2 = 405$
$45 k^2 = 405$
$k^2 = 9$
$k = \pm 3$

(D) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં અંતથી $r^{\text{th}}$ પદ એ શરૂઆતથી $(n - r + 2)^{\text{th}}$ પદ છે.
અહીં,$n = 12$ અને $r = 5$ છે,તેથી આપણે શરૂઆતથી $(12 - 5 + 2) = 9^{\text{th}}$ પદ શોધવું પડશે.
સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{12}C_k (\frac{x^3}{2})^{12-k} (-\frac{2}{x^2})^k$ છે.
$9^{\text{th}}$ પદ માટે,$k = 8$.
$T_9 = {}^{12}C_8 (\frac{x^3}{2})^4 (-\frac{2}{x^2})^8$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot \frac{x^{12}}{2^4} \cdot \frac{2^8}{x^{16}}$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot 2^4 \cdot x^{12-16}$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot 16 \cdot x^{-4}$
આમ,$x$ ના ઘાતાંકનો અંક $-4$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણી $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ એ ચુસ્તપણે વધતી જાય છે અને જેમ $n \to \infty$ તેમ તે $e$ ને અભિસરણ પામે છે.
અહીં $n = 100000$ આપેલ છે,તેથી $\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} < e$.
$e \approx 2.71828$ હોવાથી,$\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000}$ ની કિંમત $2.71828$ થી થોડી ઓછી છે.
વળી,$n=1$ માટે,$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2$.
શ્રેણી વધતી હોવાથી,$\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} > 2$.
આમ,$2 < \left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} < 2.71828$.
તેથી,આ કિંમતથી મોટો ન હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક $[2.something] = 2$ થાય.

(B) આપેલ પદાવલિ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = 1 + (1+x) + (1+x)^2 + \cdots + (1+x)^n$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1$,$r = (1+x)$,અને પદોની સંખ્યા $n+1$ છે:
$S = \frac{1((1+x)^{n+1} - 1)}{(1+x) - 1} = \frac{(1+x)^{n+1} - 1}{x}$.
આપણે $S$ માં $x^{100}$ નો સહગુણક શોધવો છે,જે $\frac{(1+x)^{n+1} - 1}{x}$ માં $x^{100}$ ના સહગુણક જેટલો છે.
આ $(1+x)^{n+1} - 1$ માં $x^{101}$ નો સહગુણક શોધવા સમાન છે.
$(1+x)^{n+1}$ માં $x^{101}$ નો સહગુણક ${ }^{n+1} C_{101}$ છે.
આપેલ છે કે આ સહગુણક ${ }^{201} C_{101}$ છે,તેથી ${ }^{n+1} C_{101} = { }^{201} C_{101}$.
આમ,$n+1 = 201$,જેનો અર્થ છે કે $n = 200$.

(A) $(a-b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} (-b)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5^{\text{th}}$ પદ માટે,$r=4$: $T_5 = \binom{n}{4} a^{n-4} b^4$.
$6^{\text{th}}$ પદ માટે,$r=5$: $T_6 = -\binom{n}{5} a^{n-5} b^5$.
આપેલ છે કે $T_5 + T_6 = 0$,તેથી $\binom{n}{4} a^{n-4} b^4 = \binom{n}{5} a^{n-5} b^5$.
બંને બાજુ $\binom{n}{4} a^{n-5} b^4$ વડે ભાગતા,$\frac{a}{b} = \frac{\binom{n}{5}}{\binom{n}{4}} = \frac{n-4}{5}$ મળે છે.

(C) શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,શેષ $P(2)$ થાય.
આપેલ $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7$.
બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 7$
$P(2) = 2(8) - 5(4) + 7$
$P(2) = 16 - 20 + 7$
$P(2) = 3$
તેથી,શેષ $3$ છે.

(D) કોઈપણ એકી ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,પદાવલિ $a^n + b^n$ ને દ્વિપદી પ્રમેય અથવા બીજગણિતીય અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરી શકાય છે.
ચોક્કસ રીતે,$a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$.
તેથી,જ્યારે $n$ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય ત્યારે $a^n + b^n$ હંમેશા $(a + b)$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(B) આપેલ છે કે $x^4+x^2+1$ એ $x^2+mx+1$ અને $x^2+nx+1$ બંને વડે વિભાજ્ય છે.
બહુપદી $4$ ઘાતની હોવાથી અને ભાજક $2$ ઘાતની હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$x^4+x^2+1 = (x^2+mx+1)(x^2+nx+1)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^4 + (m+n)x^3 + (mn+2)x^2 + (m+n)x + 1$
બંને બાજુ $x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$m+n = 0$

(A) ધારો કે $f(k) = 3^{3k} - 26k - 1 = 27^k - 26k - 1$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $27^k$ ને $(1 + 26)^k$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$27^k = (1 + 26)^k = \binom{k}{0} + \binom{k}{1}(26) + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + \binom{k}{k}(26)^k$.
$27^k = 1 + 26k + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + (26)^k$.
આ કિંમતને $f(k)$ માં મૂકતા:
$f(k) = (1 + 26k + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + (26)^k) - 26k - 1$.
$f(k) = \binom{k}{2}(26)^2 + \binom{k}{3}(26)^3 + \dots + (26)^k$.
આ વિસ્તરણના તમામ પદો $(26)^2 = 676$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$3^{3k} - 26k - 1$ એ $676$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) $(1+x+x^2)^8$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (1)^{n_1} (x)^{n_2} (x^2)^{n_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_1 + n_2 + n_3 = 8$ અને $n_2 + 2n_3 = 5$.
અમે $(n_1, n_2, n_3)$ માટે અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધીએ છીએ:
$1$. જો $n_3 = 0$,તો $n_2 = 5$,તેથી $n_1 = 8 - 5 - 0 = 3$. સહગુણક: $\frac{8!}{3! 5! 0!} = 56$.
$2$. જો $n_3 = 1$,તો $n_2 = 3$,તેથી $n_1 = 8 - 3 - 1 = 4$. સહગુણક: $\frac{8!}{4! 3! 1!} = 280$.
$3$. જો $n_3 = 2$,તો $n_2 = 1$,તેથી $n_1 = 8 - 1 - 2 = 5$. સહગુણક: $\frac{8!}{5! 1! 2!} = 168$.
આ સહગુણકોનો સરવાળો: $56 + 280 + 168 = 504$.
આમ,$x^5$ નો સહગુણક $504$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $(1+x)^{101} (1-x+x^2)^{100}$ છે.
આપણે તેને $(1+x) [(1+x)(1-x+x^2)]^{100}$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $(1+x)(1-x+x^2) = 1+x^3$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $(1+x)(1+x^3)^{100}$ બને છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(1+x^3)^{100} + x(1+x^3)^{100}$ મળે છે.
$(1+x^3)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં,$x$ ના ઘાતાંક $3k$ સ્વરૂપના હોય છે,જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે.
પ્રથમ ભાગ $(1+x^3)^{100}$ માટે,આપણને $x^{50}$ નો સહગુણક જોઈએ છે. $50$ એ $3$ નો ગુણક ન હોવાથી,સહગુણક $0$ છે.
બીજા ભાગ $x(1+x^3)^{100}$ માટે,આપણને $(1+x^3)^{100}$ માં $x^{49}$ નો સહગુણક જોઈએ છે. $49$ એ $3$ નો ગુણક ન હોવાથી,સહગુણક $0$ છે.
તેથી,$x^{50}$ નો કુલ સહગુણક $0 + 0 = 0$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A) આપેલ પદ $(x+y)^{-5} = \frac{1}{x^5} \left(1 + \frac{y}{x}\right)^{-5}$ છે,જ્યાં $\left|\frac{y}{x}\right| < 1$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $z = \frac{y}{x}$ અને $n = 5$.
વ્યાપક પદ $\binom{-5}{r} \left(\frac{y}{x}\right)^r$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $\frac{y^3}{x^8} = \frac{1}{x^5} \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^3$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
આ $\left(1 + \frac{y}{x}\right)^{-5}$ ના વિસ્તરણમાં $r = 3$ વાળા પદને અનુરૂપ છે.
સહગુણક $\binom{-5}{3} = \frac{(-5)(-6)(-7)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{-210}{6} = -35$ છે.
આમ,સહગુણક $-35$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે,${}^n C_7 = {}^n C_6$.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: જો ${}^n C_x = {}^n C_y$ હોય,તો કાં તો $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય.
અહીં $7 \neq 6$ હોવાથી,$n = 7 + 6 = 13$ મળે.
તેથી,${}^n C_2 = {}^{13} C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 13 \times 6 = 78$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે,${ }^{12} C_{2 k-1}={ }^{12} C_{k+1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો ${ }^n C_x={ }^n C_y$ હોય,તો કાં તો $x=y$ અથવા $x+y=n$ થાય.
કિસ્સો $1$: $2k-1 = k+1$
$k = 2$.
કિસ્સો $2$: $(2k-1) + (k+1) = 12$
$3k = 12$
$k = 4$.
આમ,$k=4$ એ આપેલા વિકલ્પોમાંથી એક છે,તેથી સાચો જવાબ $4$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n(1+x)^{n-1} = C_1 + 2C_2 x + 3C_3 x^2 + \ldots + nC_n x^{n-1}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$nx(1+x)^{n-1} = C_1 x + 2C_2 x^2 + 3C_3 x^3 + \ldots + nC_n x^n$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n[(1+x)^{n-1} + x(n-1)(1+x)^{n-2}] = C_1 + 2^2 C_2 x + 3^2 C_3 x^2 + \ldots + n^2 C_n x^{n-1}$.
$x=1$ મુકતા:
$\sum_{r=1}^n r^2 C_r = n[2^{n-1} + (n-1)2^{n-2}] = n[2 \cdot 2^{n-2} + (n-1)2^{n-2}] = n(n+1)2^{n-2}$.
આમ,ખૂટતું પદ $n(n+1)$ છે.

(C) બહુપદી $P(x)$ ના સહગુણકોનો સરવાળો તમામ ચલને $1$ લઈને મેળવવામાં આવે છે.
$(\alpha x^2 - 2x + 1)^{2019}$ પદાવલિ માટે,સહગુણકોનો સરવાળો $(\alpha(1)^2 - 2(1) + 1)^{2019} = (\alpha - 1)^{2019}$ થાય છે.
$(x - \alpha y)^{2019}$ પદાવલિ માટે,સહગુણકોનો સરવાળો $(1 - \alpha(1))^{2019} = (1 - \alpha)^{2019}$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સરવાળા સમાન છે:
$(\alpha - 1)^{2019} = (1 - \alpha)^{2019}$.
ઘાત $2019$ એકી સંખ્યા હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\alpha - 1 = 1 - \alpha$.
$2\alpha = 2$.
$\alpha = 1$.

(D) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} a^{n-k} b^k$.
$(102)^4 = (100+2)^4$
$= {^4C_0}(100)^4(2)^0 + {^4C_1}(100)^3(2)^1 + {^4C_2}(100)^2(2)^2 + {^4C_3}(100)^1(2)^3 + {^4C_4}(100)^0(2)^4$
$= 1 \cdot 100000000 + 4 \cdot 1000000 \cdot 2 + 6 \cdot 10000 \cdot 4 + 4 \cdot 100 \cdot 8 + 1 \cdot 1 \cdot 16$
$= 100000000 + 8000000 + 240000 + 3200 + 16$
$= 108243216$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(1-x)^{1/3}+(1-5x)^2}{(16-x)^{1/4}}$
$= \frac{1}{2} (1-x)^{1/3} (1-\frac{x}{16})^{-1/4} + \frac{1}{2} (1-5x)^2 (1-\frac{x}{16})^{-1/4}$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n \approx 1+nz$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} (1-\frac{1}{3}x)(1+\frac{x}{64}) + \frac{1}{2} (1-10x)(1+\frac{x}{64})$
$= \frac{1}{2} [ (1 - \frac{1}{3}x + \frac{x}{64}) + (1 - 10x + \frac{x}{64}) ]$
$= \frac{1}{2} [ 2 - x(\frac{1}{3} + 10 - \frac{2}{64}) ]$
$= 1 - \frac{x}{2} (\frac{1}{3} + 10 - \frac{1}{32})$
$= 1 - \frac{x}{2} (\frac{32 + 960 - 3}{96}) = 1 - \frac{989}{192}x$
તેથી,$x$ નો સહગુણક $-\frac{989}{192}$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $2x^2 + 3y^2 - 4x - 12y + 13 = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$2(x - 1)^2 + 3(y - 2)^2 = 1$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ: $\frac{(x - 1)^2}{1/2} + \frac{(y - 2)^2}{1/3} = 1$.
અહીં $a^2 = 1/2$ અને $b^2 = 1/3$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{1/3}{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
નાભિનું અંતર $ae = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ હોવાથી,નાભિઓ $\left(1 \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 2\right)$ થશે.

(B) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત ઉપવલયના સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(5,0)$ અને $(0,-4)$ છે,જે અક્ષો પરના અંતઃખંડો દર્શાવે છે.
$x$-અંતઃખંડ $\pm a = \pm 5$ છે,તેથી $a^2 = 25$.
$y$-અંતઃખંડ $\pm b = \pm 4$ છે,તેથી $b^2 = 16$.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,નાભિ $S = (6, 2)$,કેન્દ્ર $C = (1, 2) = (h, k)$,અને ઉપવલય બિંદુ $P = (4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ મૂકતા,આપણને $\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1$ મળે છે ... $(i)$.
ઉપવલય $P(4, 6)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{(4-1)^2}{a^2} + \frac{(6-2)^2}{b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{9}{a^2} + \frac{16}{b^2} = 1$ થાય છે ... (ii).
કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae = 6 - 1 = 5$ છે,તેથી $a^2e^2 = 25$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = a^2 - 25$,અથવા $a^2 = b^2 + 25$ મળે છે ... (iii).
$a^2$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા: $\frac{9}{b^2+25} + \frac{16}{b^2} = 1$.
$9b^2 + 16(b^2 + 25) = b^2(b^2 + 25) \implies 25b^2 + 400 = b^4 + 25b^2 \implies b^4 = 400 \implies b^2 = 20$.
(iii) પરથી,$a^2 = 20 + 25 = 45$.
આમ,સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{45} + \frac{(y-2)^2}{20} = 1$ છે.

(D) આપેલ છે: કેન્દ્ર $(0,0)$,ઉત્કેન્દ્રતા $e = 1/2$,અને નિયામિકા $x = 4$.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = a/e$ છે,તેથી $a/e = 4$.
$e = 1/2$ મૂકતા,$a = 4 \times (1/2) = 2$ મળે.
હવે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 4(1 - 1/4) = 4(3/4) = 3$.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ મળે.
$12$ વડે ગુણતા,$3x^2 + 4y^2 = 12$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
પ્રશ્ન મુજબ,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 2a$ ... $(i)$.
શિરોબિંદુ $(a, 0)$ અને નજીકની નાભિ $(ae, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $a - ae = 3/2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a(1 - e) = 3/2$ ... $(ii)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે $b^2 = a^2(1 - e^2)$. આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{2a^2(1 - e^2)}{a} = 4$ $\Rightarrow 2a(1 - e^2) = 4$ $\Rightarrow a(1 - e^2) = 2$.
$a(1 - e) = 3/2$ હોવાથી,આપણે $a(1 - e)(1 + e) = 2$ લખી શકીએ.
$a(1 - e) = 3/2$ ની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{3}{2}(1 + e) = 2$ $\Rightarrow 1 + e = \frac{4}{3}$ $\Rightarrow e = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
આમ,ઉત્કેન્દ્રતા $1/3$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 25y^2 = 100$ છે.
બંને બાજુ $100$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 4$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓ $P = (-ae, 0)$ અને $Q = (ae, 0)$ છે.
ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $R = (0, b)$ છે.
$\triangle PQR$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$PQ = PR = QR$ થાય.
$PQ = 2ae$.
$PR = \sqrt{(ae - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$.
$PQ^2 = PR^2$ લેતા,$(2ae)^2 = a^2e^2 + b^2$.
$4a^2e^2 = a^2e^2 + b^2 \implies 3a^2e^2 = b^2$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$3a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$3e^2 = 1 - e^2 \implies 4e^2 = 1 \implies e^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$e = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે.
ઉપરનું શિરોબિંદુ $V(0, b)$ છે.
નાભિઓને જોડતો રેખાખંડ $SS'$ એ $V(0, b)$ આગળ $2\alpha$ ખૂણો આંતરે છે.
આથી $\angle SVS' = 2\alpha$,તેથી $\angle SVO = \alpha$,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle SVO$ માં,$\tan \alpha = \frac{SO}{VO} = \frac{ae}{b}$.
તેથી,$ae = b \tan \alpha$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,જેનો અર્થ છે $b^2 = a^2 - a^2e^2$.
$ae = b \tan \alpha$ મૂકતા,આપણને મળે $b^2 = a^2 - (b \tan \alpha)^2$,તેથી $a^2 = b^2 + b^2 \tan^2 \alpha = b^2(1 + \tan^2 \alpha) = b^2 \sec^2 \alpha$.
તેથી,$a = b \sec \alpha$.
હવે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{ae}{a} = \frac{b \tan \alpha}{b \sec \alpha} = \sin \alpha$.

(A) રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે.
આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2+5y^2=15$ છે,જેને $15$ વડે ભાગતા પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ મળે છે.
અહીં,$a^2=5$,$b^2=3$,$m=2$,અને $c=k$ છે.
આ કિંમતોને શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ માં મૂકતા:
$k^2 = (5)(2^2) + 3$
$k^2 = 5 \times 4 + 3$
$k^2 = 20 + 3 = 23$
$k = \pm \sqrt{23}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાના દિકકોસાઇન સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખા દ્વારા $X, Y,$ અને $Z$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
અહીં $\alpha = \frac{\pi}{3}$ અને $\beta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સંબંધમાં મૂકતા:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \gamma = 1$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$
કારણ કે $\gamma$ એ $0$ અને $\pi$ ની વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ નો અર્થ છે $\gamma = \frac{\pi}{3}$ (અથવા $\cos \gamma = -\frac{1}{2}$ નો અર્થ છે $\gamma = \frac{2\pi}{3}$).
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.

(B) રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma = 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma = (1 - \cos ^2 \alpha) + (1 - \cos ^2 \beta) + (1 - \cos ^2 \gamma)$
$= 3 - (\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma)$
$= 3 - 1 = 2$.
આમ,કિંમત $2$ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓના દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
આપેલ સમીકરણો $al + bm + cn = 0$ અને $fmn + gnl + hlm = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -\frac{bm + cn}{a}$. આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$fmn + gn(-\frac{bm + cn}{a}) + hm(-\frac{bm + cn}{a}) = 0$
$afmn - bgnm - cgn^2 - bhm^2 - chmn = 0$
$bhm^2 + (ch + bg - af)mn + cgn^2 = 0$
$n^2$ વડે ભાગતા,આપણને $bh(\frac{m}{n})^2 + (ch + bg - af)(\frac{m}{n}) + cg = 0$ મળે છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = \frac{cg}{bh}$ થાય છે.
તે જ રીતે,$m$ નો લોપ કરતા,આપણને $ah(\frac{l}{n})^2 + (ch + af - bg)(\frac{l}{n}) + cf = 0$ મળે છે,તેથી $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{cf}{ah}$.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$.
$n_1 n_2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} + \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} + 1 = 0$ મળે છે.
ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા: $\frac{cf}{ah} + \frac{cg}{bh} + 1 = 0$.
$c$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ $2x - 3 = 3y + 1 = 5 - 6z$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ માં લખવા માટે,આપણે $x, y, z$ ના સહગુણકો વડે ભાગાકાર કરીશું:
$2(x - \frac{3}{2}) = 3(y + \frac{1}{3}) = -6(z - \frac{5}{6})$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x - 3/2}{3} = \frac{y + 1/3}{2} = \frac{z - 5/6}{-1}$ મળે છે.
આ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a} = 7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 0 \hat{k}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{v}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ છે.
તેથી,$\vec{r} = (7 \hat{i} - 5 \hat{j}) + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k})$.

(A) આપેલ છે કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ $\vec{PQ} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{PS} = \hat{i} - 2\hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{PS}$ અને $\vec{d_2} = \vec{QS} = \vec{PS} - \vec{PQ}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{PR}$ ની ગણતરી:
$\vec{PR} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{QS}$ ની ગણતરી:
$\vec{QS} = (\hat{i} - 2\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
ધારો કે $\theta$ એ વિકર્ણો $\vec{PR}$ અને $\vec{QS}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = \frac{\vec{PR} \cdot \vec{QS}}{|\vec{PR}| |\vec{QS}|}$.
$\vec{PR} \cdot \vec{QS} = (4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) = (4)(-2) + (-2)(2) + (0)(-4) = -8 - 4 + 0 = -12$.
$|\vec{PR}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$|\vec{QS}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{-12}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{6})} = \frac{-12}{4\sqrt{30}} = \frac{-3}{\sqrt{30}} = -\sqrt{\frac{9}{30}} = -\sqrt{\frac{3}{10}}$.
આમ,$\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{10}}$.

(D) ધારો કે $A = (9, 13, 15)$,$B = (12, 21, 10)$,અને $P = (5, 7, 3)$. ધારો કે $Q(x, y, z)$ એ $P$ માંથી રેખા $AB$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(12 - 9, 21 - 13, 10 - 15) = (3, 8, -5)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x - 9}{3} = \frac{y - 13}{8} = \frac{z - 15}{-5} = \lambda$ છે.
રેખા $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (3\lambda + 9, 8\lambda + 13, -5\lambda + 15)$ સ્વરૂપમાં મળે.
$PQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(3\lambda + 9 - 5, 8\lambda + 13 - 7, -5\lambda + 15 - 3) = (3\lambda + 4, 8\lambda + 6, -5\lambda + 12)$ છે.
$PQ \perp AB$ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda + 4) + 8(8\lambda + 6) - 5(-5\lambda + 12) = 0$
$9\lambda + 12 + 64\lambda + 48 + 25\lambda - 60 = 0$
$98\lambda = 0 \implies \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા,$Q = (9, 13, 15)$ મળે.
આમ,લંબનો લંબપાદ $(9, 13, 15)$ છે,જે વિકલ્પ $D$ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે.
આ રેખા બિંદુ $P(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
આપેલી રેખાઓના દિકગુણોત્તર $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ અને $\vec{v_2} = (-3, 2, 5)$ છે.
માંગેલ રેખા બંને આપેલી રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિક સદિશ $\vec{v} = (a, b, c)$ એ $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ ને સમાંતર હશે.
$\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 - (-9)) + \hat{k}(2 - (-6)) = 4\hat{i} - 14\hat{j} + 8\hat{k}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને દિકગુણોત્તર $(2, -7, 4)$ મળે છે.
બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થતી અને $(2, -7, 4)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$ છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $\vec{a} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 2)$ છે.
બે રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (-2)(-2) + (1)(2)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}$
અંશની ગણતરી:
$|2 + 4 + 2| = 8$
છેદની ગણતરી:
$\sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
આમ,$\cos \theta = \frac{8}{3 \times 3} = \frac{8}{9}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$.

(A) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી અંતર શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
અહીં,સમતલ $2x - y - 2z - 9 = 0$ છે અને ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
કિંમતો $A = 2, B = -1, C = -2, D = -9$ અને $(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ મૂકતા:
$d = \left| \frac{2(0) + (-1)(0) + (-2)(0) - 9}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-9}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \right| = \left| \frac{-9}{\sqrt{9}} \right| = \left| \frac{-9}{3} \right| = 3 \text{ એકમ.}$

(A) બે સમતલો $P_1: x+2y+3z-4=0$ અને $P_2: 4x+3y+2z+1=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z+1) = 0$ ...$(i)$
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણ $(i)$ માં $x=0, y=0, z=0$ મૂકીએ:
$(0+0+0-4) + \lambda(0+0+0+1) = 0$
$-4 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 4$
હવે $\lambda = 4$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(x+2y+3z-4) + 4(4x+3y+2z+1) = 0$
$x+2y+3z-4 + 16x+12y+8z+4 = 0$
$17x+14y+11z = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે સમતલો $x-y=0$ અને $2x+y+z=0$ ની છેદતી રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $a_1, b_1, c_1$ છે. આ રેખા બંને સમતલોને લંબ છે. અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, -1, 0)$ અને $\vec{n_2} = (2, 1, 1)$ છે.
દિશા સદિશ $\vec{v_1} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (1, 1, -3)$ મળે છે.
તે જ રીતે,સમતલો $2x-z=0$ અને $x+y-3z=0$ માટે,અભિલંબ $\vec{n_3} = (2, 0, -1)$ અને $\vec{n_4} = (1, 1, -3)$ છે.
દિશા સદિશ $\vec{v_2} = \vec{n_3} \times \vec{n_4} = (1, 5, 2)$ મળે છે.
હવે,$\vec{v_1}$ અને $\vec{v_2}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે,$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(1) + (1)(5) + (-3)(2) = 1 + 5 - 6 = 0$.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(1, 3, 4)$ છે અને સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ છે.
સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(x', y', z')$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = \frac{z' - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x' - 1}{2} = \frac{y' - 3}{-1} = \frac{z' - 4}{1} = -2 \frac{2(1) - 1(3) + 1(4) + 3}{2^2 + (-1)^2 + 1^2}$.
$\frac{x' - 1}{2} = \frac{y' - 3}{-1} = \frac{z' - 4}{1} = -2 \frac{2 - 3 + 4 + 3}{4 + 1 + 1} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
યામ શોધતા:
$x' - 1 = 2(-2) \Rightarrow x' = -3$.
$y' - 3 = -1(-2) \Rightarrow y' = 5$.
$z' - 4 = 1(-2) \Rightarrow z' = 2$.
આમ,પ્રતિબિંબ $(-3, 5, 2)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) સમતલના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $x, y, z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
અહીં આપેલ છે કે અંતઃખંડો $a = 1, b = 2, c = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપવા માટે,સમીકરણને છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ એટલે કે $4$ વડે ગુણતા:
$4 \times (\frac{x}{1}) + 4 \times (\frac{y}{2}) + 4 \times (\frac{z}{4}) = 4 \times 1$.
આથી,$4x + 2y + z = 4$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2+z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું સમતલ $x+z-1=0$ થી અંતર $\frac{|x+z-1|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}} = \frac{|x+z-1|}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરો સમાન છે:
$\sqrt{y^2+z^2} = \frac{|x+z-1|}{\sqrt{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y^2+z^2 = \frac{(x+z-1)^2}{2}$
$2(y^2+z^2) = x^2+z^2+1+2xz-2x-2z$
$2y^2+2z^2 = x^2+z^2+1+2xz-2x-2z$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x^2-2y^2-z^2+2xz-2x-2z+1=0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલા સમતલોના સમીકરણો $x+2y+2z-5=0$ અને $3x+3y+2z-8=0$ છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(3) + (2)(3) + (2)(2) = 3 + 6 + 4 = 13$.
માનની ગણતરી: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ અને $|\vec{n_2}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{9+9+4} = \sqrt{22}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{13}{3\sqrt{22}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{13}{3\sqrt{22}}\right)$.

(A) આપેલ સમતલો $P_1: 2x - 3y + 6z + 21 = 0$ અને $P_2: 2x - 3y + 6z - 14 = 0$ છે.
સમતલો સમાંતર હોવાથી,મધ્ય-સમાંતર સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(2, -3, 6)$ સમાન રહેશે.
ધારો કે મધ્ય-સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 6z + d = 0$ છે.
જ્યારે $x, y, z$ ના સહગુણકો સમાન હોય,ત્યારે મધ્ય-સમતલનો અચળ પદ $d$ એ આપેલ બે સમતલોના અચળ પદોની સરેરાશ હોય છે.
અહીં $d = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{21 + (-14)}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$ છે.
તેથી,સમીકરણ $2x - 3y + 6z + 3.5 = 0$ થાય.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $2$ વડે ગુણતા,આપણને $4x - 6y + 12z + 7 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=r$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $P(2r+1, r-1, 1-r)$ છે.
બિંદુ $P$ સમતલ $x+2y+3z=4$ પર હોવાથી,આપણે $P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2r+1) + 2(r-1) + 3(1-r) = 4$
$2r + 1 + 2r - 2 + 3 - 3r = 4$
$r + 2 = 4 \Rightarrow r = 2$.
$r=2$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા,છેદબિંદુ $P(5, 1, -1)$ મળે છે.
માગેલ રેખાનો દિશા સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = (2\hat{i}-3\hat{j}) \times (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3-0) - \hat{j}(-2-0) + \hat{k}(4+3) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$.
બિંદુ $(5, 1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $(3, 2, 7)$ દિશા ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-5}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{7}$ છે.
છેદને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x-5}{-3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{-7}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(B) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v} = a(2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + b(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ છે.
આનું સાદું રૂપ $\vec{v} = (2a+b)\hat{i} + (a-b)\hat{j} + (a+b)\hat{k}$ થાય છે.
કારણ કે $\vec{v}$ એ $3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(2a+b) + 2(a-b) + 6(a+b) = 0$.
$6a + 3b + 2a - 2b + 6a + 6b = 0$.
$14a + 7b = 0 \implies b = -2a$.
$\vec{v}$ ના સમીકરણમાં $b = -2a$ મૂકતા:
$\vec{v} = (2a - 2a)\hat{i} + (a - (-2a))\hat{j} + (a + (-2a))\hat{k} = 0\hat{i} + 3a\hat{j} - a\hat{k} = a(3\hat{j} - \hat{k})$.
એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{a(3\hat{j} - \hat{k})}{|a|\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ થાય.

(A) સમતલમાં રહેલા કોઈપણ સદિશ $w$ ને તે જ સમતલના બે સદિશો $u$ અને $v$ ના સુરેખ સંયોજન $w = au + bv$ તરીકે દર્શાવવા માટે,સદિશો $u$ અને $v$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ.
બે સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોય છે જો અને માત્ર જો તેઓ એકબીજાને સમાંતર ન હોય.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ અદિશ $k$ માટે $u = k \cdot v$ અથવા $v = k \cdot u$ લખી શકાય નહીં.
તેથી,શરત એ છે કે $u$ અને $v$ માંથી કોઈ પણ એક બીજાનો અદિશ ગુણક ન હોય.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે $yz$-સમતલ બિંદુઓ $A(2, 3, 4)$ અને $B(-3, 5, -4)$ ને જોડતી રેખાને $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $M$ પર છેદે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $M$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$M = \left( \frac{-3\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda + 3}{\lambda + 1}, \frac{-4\lambda + 4}{\lambda + 1} \right)$.
બિંદુ $M$ એ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{-3\lambda + 2}{\lambda + 1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $-3\lambda + 2 = 0$,એટલે કે $\lambda = \frac{2}{3}$.
હવે $\lambda = \frac{2}{3}$ ની કિંમત $M$ ના યામમાં મૂકતા:
$y = \frac{5(2/3) + 3}{(2/3) + 1} = \frac{10/3 + 9/3}{5/3} = \frac{19}{5}$.
$z = \frac{-4(2/3) + 4}{(2/3) + 1} = \frac{-8/3 + 12/3}{5/3} = \frac{4}{5}$.
આમ,છેદબિંદુ $\left(0, \frac{19}{5}, \frac{4}{5}\right)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ધારો કે આપેલી રેખાઓના સમીકરણો છે:
$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{-3}=r_1$
અને
$\frac{x+5}{3}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z+3}{4}=r_2$.
છેદબિંદુ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$x = r_1 + 1 = 3r_2 - 5$
$y = 2r_1 + 2 = -r_2 + 4$
$z = -3r_1 + 5 = 4r_2 - 3$
પ્રથમ બે સમીકરણો ઉકેલતા:
$r_1 - 3r_2 = -6$
$2r_1 + r_2 = 2$
બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા: $6r_1 + 3r_2 = 6$.
પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $7r_1 = 0 \implies r_1 = 0$.
તેથી $r_2 = 2$.
ત્રીજા સમીકરણમાં ચકાસતા: $-3(0) + 5 = 5$ અને $4(2) - 3 = 5$.
$5 = 5$ હોવાથી,રેખાઓ બિંદુ $A(1, 2, 5)$ પર છેદે છે.
$xy$-સમતલને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $z = k$ સ્વરૂપનું હોય છે.
તે બિંદુ $(1, 2, 5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$z = 5$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) $P(1, 1, -1)$ અને $Q(3, -1, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (0-(-1))\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલ $\sqrt{\lambda} x + 3y + 6z = 17$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \sqrt{\lambda}\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)$,તેથી $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{8}}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{3}$.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(\sqrt{\lambda}) + (-2)(3) + (1)(6) = 2\sqrt{\lambda}$.
માન: $|\vec{v}| = 3$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{\lambda + 45}$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{3} = \frac{|2\sqrt{\lambda}|}{3 \sqrt{\lambda + 45}}$.
$\sqrt{\lambda + 45} = 2\sqrt{\lambda}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\lambda + 45 = 4\lambda \implies 3\lambda = 45 \implies \lambda = 15$.

(C) જ્યારે પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપણે સરવાળો $S$ એવો શોધવાનો છે કે જેથી $S$ એ $4n+1$ સ્વરૂપની અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય.
શક્ય સરવાળા $3$ થી $18$ ની વચ્ચે છે.
આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3, 5, 7, 11, 13, 17$ છે.
તેમાંથી,$4n+1$ સ્વરૂપની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $5, 13, 17$ છે.
સરવાળો $5$ મેળવવાની રીતો: $(1,1,3)$ ના $3$ ક્રમચયો,$(1,2,2)$ ના $3$ ક્રમચયો. કુલ = $6$ રીતો.
સરવાળો $13$ મેળવવાની રીતો: $(1,6,6)$ ના $3$ ક્રમચયો,$(2,5,6)$ ના $6$ ક્રમચયો,$(3,4,6)$ ના $6$ ક્રમચયો,$(3,5,5)$ ના $3$ ક્રમચયો,$(4,4,5)$ ના $3$ ક્રમચયો. કુલ = $21$ રીતો.
સરવાળો $17$ મેળવવાની રીતો: $(5,6,6)$ ના $3$ ક્રમચયો. કુલ = $3$ રીતો.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $6 + 21 + 3 = 30$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{30}{216} = \frac{5}{36}$.

(B) આ બેયઝના પ્રમેયનો દાખલો છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય દડા અલગ-અલગ રંગના છે.
ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે અનુક્રમે બોક્સ $1$,બોક્સ $2$ અને બોક્સ $3$ પસંદ કરવામાં આવે છે.
એક બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતું હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
દરેક બોક્સમાંથી $3$ અલગ-અલગ રંગના દડા કાઢવાની સંભાવના:
$P(A|E_1) = \frac{{}^1C_1 \times {}^2C_1 \times {}^3C_1}{{}^6C_3} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
$P(A|E_2) = \frac{{}^1C_1 \times {}^1C_1 \times {}^2C_1}{{}^4C_3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(A|E_3) = \frac{{}^5C_1 \times {}^4C_1 \times {}^1C_1}{{}^{10}C_3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,દડા બોક્સ $2$ માંથી આવ્યા હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2) + P(E_3) \cdot P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6}} = \frac{15}{29}$

(D) જ્યારે સિક્કાને $6$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામો $2^6 = 64$ મળે છે.
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા છે. આપણે $P(X > 3)$ શોધવું છે,જેનો અર્થ છે કે $X$ ની કિંમત $4, 5,$ અથવા $6$ હોઈ શકે.
$n$ વખત ઉછાળતા $r$ છાપ મળે તેની રીતો $\binom{n}{r}$ દ્વારા મળે છે.
$4$ છાપ મળે તેની રીતો $= \binom{6}{4} = 15$.
$5$ છાપ મળે તેની રીતો $= \binom{6}{5} = 6$.
$6$ છાપ મળે તેની રીતો $= \binom{6}{6} = 1$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 15 + 6 + 1 = 22$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $X$ એ $P$ ને મળતી છાપની સંખ્યા છે અને $Y$ એ $Q$ ને મળતી છાપની સંખ્યા છે. બંને $X$ અને $Y$ દ્વિપદી વિતરણ $B(n=3, p=0.5)$ અનુસરે છે.
$3$ સિક્કા ઉછાળતા $r$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=r) = ^{3}C_{r} (0.5)^3$ છે.
આપણે $P(X=Y) = \sum_{r=0}^{3} P(X=r) \times P(Y=r)$ શોધવું છે.
$P(X=r) = P(Y=r)$ હોવાથી,આ $\sum_{r=0}^{3} [P(X=r)]^2$ થાય છે.
$P(X=0) = \frac{1}{8}$,$P(X=1) = \frac{3}{8}$,$P(X=2) = \frac{3}{8}$,$P(X=3) = \frac{1}{8}$.
$P(X=Y) = (\frac{1}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 + (\frac{1}{8})^2 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) $5$ અલગ-અલગ પુસ્તકોને $4$ વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે વહેંચવાની કુલ રીતો $4^5 = 1024$ છે.
દરેક વિદ્યાર્થીને ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક મળે તે માટે,આપણે પુસ્તકો એવી રીતે વહેંચવા જોઈએ કે એક વિદ્યાર્થીને $2$ પુસ્તકો મળે અને બાકીના ત્રણ વિદ્યાર્થીઓને $1-1$ પુસ્તક મળે.
કયા વિદ્યાર્થીને $2$ પુસ્તકો મળશે તે પસંદ કરવાની રીતો $\binom{4}{1} = 4$ છે.
$5$ માંથી $2$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{2} = 10$ છે.
બાકીના $3$ પુસ્તકોને બાકીના $3$ વિદ્યાર્થીઓમાં વહેંચવાની રીતો $3! = 6$ છે.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $4 \times 10 \times 6 = 240$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{240}{1024} = \frac{15}{64}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) $2 \times 2$ નિશ્ચાયકમાં $4$ સ્થાનો હોય છે,દરેકને $0$ અથવા $1$ વડે ભરી શકાય છે. આમ,શક્ય નિશ્ચાયકોની કુલ સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ છે.
નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોય જો $ad - bc \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $ad \neq bc$.
કારણ કે $a, b, c, d \in \{0, 1\}$,$ad$ અને $bc$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અથવા $1$ છે.
શરત $ad \neq bc$ નીચેના કિસ્સાઓમાં સાચી પડે છે:
$1$. $ad = 1$ અને $bc = 0$: આનો અર્થ છે $a=1, d=1$ અને $(b=0$ અથવા $c=0)$. $(b, c)$ ની જોડીઓ $(0, 0), (0, 1), (1, 0)$ હોઈ શકે છે. આવા $3$ શ્રેણિકો છે.
$2$. $ad = 0$ અને $bc = 1$: આનો અર્થ છે $b=1, c=1$ અને $(a=0$ અથવા $d=0)$. $(a, d)$ ની જોડીઓ $(0, 0), (0, 1), (1, 0)$ હોઈ શકે છે. આવા $3$ શ્રેણિકો છે.
શૂન્યતર નિશ્ચાયક ધરાવતા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $= 3 + 3 = 6$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(D) ધારો કે $X_1, X_2, X_3$ એ બદલી સાથે પસંદ કરેલા ત્રણ પુસ્તકોના નંબર છે. દરેક $X_i \in \{1, 2, \dots, 20\}$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 20^3$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે સૌથી મોટો નંબર $7$ હોય. આનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય નંબર $\le 7$ હોવા જોઈએ અને ઓછામાં ઓછો એક નંબર $7$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સૌથી મોટો નંબર $\le 7$ છે. તો $P(E) = \left(\frac{7}{20}\right)^3$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે સૌથી મોટો નંબર $\le 6$ છે. તો $P(F) = \left(\frac{6}{20}\right)^3$.
સૌથી મોટો નંબર બરાબર $7$ હોય તેની સંભાવના $P(E) - P(F) = \left(\frac{7}{20}\right)^3 - \left(\frac{6}{20}\right)^3$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) $6$ સિક્કાઓ ઉછાળતા કુલ શક્ય પરિણામો $2^6 = 64$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી $4$ છાપ મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=r) = \binom{n}{r} p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=6$ અને $p=q=1/2$:
$P(X=4) = \binom{6}{4} (1/2)^6 = \frac{15}{64}$
$P(X=5) = \binom{6}{5} (1/2)^6 = \frac{6}{64}$
$P(X=6) = \binom{6}{6} (1/2)^6 = \frac{1}{64}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 4) = \frac{15+6+1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ પર્વતારોહકના સુરક્ષિત રીતે પાછા ફરવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{9}{10}$.
ધારો કે $q$ એ પર્વતારોહકના સુરક્ષિત રીતે પાછા ન ફરવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{1}{10}$.
આપણે દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $n = 5$.
આપણે ઓછામાં ઓછા $4$ પર્વતારોહકો સુરક્ષિત રીતે પાછા ફરે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 4) = {}^5C_4 \cdot (\frac{9}{10})^4 \cdot (\frac{1}{10})^1 = 5 \cdot \frac{9^4}{10^5}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 \cdot (\frac{9}{10})^5 = 1 \cdot \frac{9^5}{10^5}$.
$P(X \ge 4) = \frac{5 \cdot 9^4}{10^5} + \frac{9^5}{10^5} = \frac{9^4(5 + 9)}{10^5} = \frac{9^4 \cdot 14}{100000} = \frac{9^4 \cdot 7}{50000}$.

(B) ધારો કે $S$ એ ત્રણ પાસાનો સરવાળો $8$ હોય તેવા પરિણામોનો ગણ છે. શક્ય સંયોજનો:
$(1, 1, 6) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$(1, 2, 5) \rightarrow 6$ ક્રમચયો
$(1, 3, 4) \rightarrow 6$ ક્રમચયો
$(2, 2, 4) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
$(2, 3, 3) \rightarrow 3$ ક્રમચયો
કુલ પરિણામો $n(S) = 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $4$ આવે. સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 3, 4)$ અને $(2, 2, 4)$ માંથી મળે છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 6 + 3 = 9$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(C) આપેલ છે કે,$P(A) = 0.7$.
બંનેમાંથી બરાબર એકની પસંદગી થવાની સંભાવના $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0.6$ છે.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
બરાબર એકની પસંદગી થવાની સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = 0.6$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.7 + P(B) - 2(0.7)P(B) = 0.6$.
$0.7 + P(B) - 1.4P(B) = 0.6$.
$-0.4P(B) = 0.6 - 0.7$.
$-0.4P(B) = -0.1$.
$P(B) = \frac{0.1}{0.4} = 0.25$.
આમ,$B$ ની પસંદગી થવાની સંભાવના $0.25$ છે.

(B) ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બિલ ટાર્ગેટને હિટ કરે છે અને $G$ એ ઘટના છે કે જ્યોર્જ ટાર્ગેટને હિટ કરે છે.
આપેલ છે કે $P(B) = 0.7$ અને $P(G) = 0.4$.
બિલ ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(B') = 1 - 0.7 = 0.3$ છે.
જ્યોર્જ ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(G') = 1 - 0.4 = 0.6$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બરાબર એક ગોળી ટાર્ગેટને વાગે તેની સંભાવના બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓનો સરવાળો છે: (બિલ હિટ કરે અને જ્યોર્જ ચૂકી જાય) અથવા (બિલ ચૂકી જાય અને જ્યોર્જ હિટ કરે).
$P(\text{બરાબર એક હિટ}) = P(B \cap G') + P(B' \cap G) = P(B)P(G') + P(B')P(G)$
$= (0.7 \times 0.6) + (0.3 \times 0.4) = 0.42 + 0.12 = 0.54$.
આપણે શરતી સંભાવના શોધવી છે કે તે જ્યોર્જની ગોળી હતી,આપેલ છે કે બરાબર એક હિટ થઈ છે.
$P(G \text{ હિટ} | \text{બરાબર એક હિટ}) = \frac{P(B' \cap G)}{P(\text{બરાબર એક હિટ})} = \frac{0.12}{0.54} = \frac{12}{54} = \frac{2}{9}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે દ્વિપદી વિતરણના $3$ પ્રયત્નોમાં,$2$ સફળતાની સંભાવના એ $3$ સફળતાની સંભાવના કરતા $9$ ગણી છે.
ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે,જ્યાં $p + q = 1$.
$n$ પ્રયત્નોમાં $r$ સફળતાની સંભાવના $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ માટે:
$P(X = 2) = 9 \times P(X = 3)$
${}^3C_2 p^2 q^1 = 9 \times {}^3C_3 p^3 q^0$
$3 p^2 q = 9 p^3$
અહીં $p \neq 0$ હોવાથી,આપણે $3p^2$ વડે ભાગી શકીએ:
$q = 3p$
$q = 1 - p$ મૂકતા:
$1 - p = 3p$
$1 = 4p$
$p = \frac{1}{4}$
આમ,દરેક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પાસો $A$ પસંદ થયો છે (સિક્કા પર છાપ આવે છે) અને $E_2$ એ ઘટના છે કે પાસો $B$ પસંદ થયો છે (સિક્કા પર કાંટો આવે છે).
ધારો કે $R$ એ ઘટના છે કે તમામ $n$ ફેંકમાં લાલ બાજુ આવે છે.
આપેલ છે કે $P(E_1) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_2) = \frac{1}{2}$.
પાસા $A$ માટે,એક ફેંકમાં લાલ બાજુ મળવાની સંભાવના $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે. તેથી,$P(R \mid E_1) = \left(\frac{2}{3}\right)^n$.
પાસા $B$ માટે,એક ફેંકમાં લાલ બાજુ મળવાની સંભાવના $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે. તેથી,$P(R \mid E_2) = \left(\frac{1}{3}\right)^n$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$n$ વાર લાલ રંગ આવે ત્યારે પાસો $A$ વપરાયો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1 \mid R) = \frac{P(E_1)P(R \mid E_1)}{P(E_1)P(R \mid E_1) + P(E_2)P(R \mid E_2)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{32}{33} = \frac{\frac{1}{2} \times (\frac{2}{3})^n}{\frac{1}{2} \times (\frac{2}{3})^n + \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^n} = \frac{2^n}{2^n + 1^n} = \frac{2^n}{2^n + 1}$.
$n$ માટે ઉકેલતા:
$32(2^n + 1) = 33(2^n) \implies 32 \cdot 2^n + 32 = 33 \cdot 2^n \implies 2^n = 32$.
$32 = 2^5$ હોવાથી,આપણને $n = 5$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $= 20$.
$\Rightarrow np = 20$ $(i)$.
દ્વિપદી વિતરણનું પ્રમાણિત વિચલન $= 4$.
$\Rightarrow \sqrt{np(1-p)} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $np(1-p) = 16$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $np = 20$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$20(1-p) = 16$.
$1-p = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
$p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
$p$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$n \times \frac{1}{5} = 20$.
$n = 20 \times 5 = 100$.
તેથી,પ્રયત્નોની સંખ્યા $100$ છે.

(A) ત્રણ સિક્કાઓ ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
$X$ એ છાપની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
આપણે $P(X = 2)$ શોધવાનું છે,જે બરાબર બે છાપ મળવાની સંભાવના છે.
બરાબર બે છાપ ધરાવતા પરિણામો $\{HHT, HTH, THH\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(X = 2) = 3$ છે.
તેથી,$P(X = 2) = \frac{n(X = 2)}{n(S)} = \frac{3}{8}$.

(B) અપેક્ષિત મૂલ્ય $E[X^2]$ ની ગણતરી $E[X^2] = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
આપેલ સંભાવના વિતરણ:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$0.2$	$0.5$	$0.3$

$E[X^2] = (0^2 \times 0.2) + (1^2 \times 0.5) + (2^2 \times 0.3)$
$E[X^2] = (0 \times 0.2) + (1 \times 0.5) + (4 \times 0.3)$
$E[X^2] = 0 + 0.5 + 1.2$
$E[X^2] = 1.7$

(C) ધારો કે $W$ એ જીત (સંખ્યા $> 4$ મેળવવી,સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$) અને $L$ એ હાર (સંખ્યા $\le 4$ મેળવવી,સંભાવના $q = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$) દર્શાવે છે. ખેલાડી જ્યારે $W$ મળે અથવા $3$ પ્રયત્નો પછી રમત છોડી દે છે. શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ $W$: $5$ રૂપિયા જીતે છે. સંભાવના $P_1 = \frac{1}{3}$.
(ii) $LW$: $1$ રૂપિયો ગુમાવે છે,પછી $5$ રૂપિયા જીતે છે. ચોખ્ખો નફો $= 4$ રૂપિયા. સંભાવના $P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.
(iii) $LLW$: $1$ રૂપિયો ગુમાવે છે,$1$ રૂપિયો ગુમાવે છે,પછી $5$ રૂપિયા જીતે છે. ચોખ્ખો નફો $= 3$ રૂપિયા. સંભાવના $P_3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$.
(iv) $LLL$: $1$ રૂપિયો ગુમાવે છે,$1$ રૂપિયો ગુમાવે છે,$1$ રૂપિયો ગુમાવે છે. ચોખ્ખો નફો $= -3$ રૂપિયા. સંભાવના $P_4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$.
અપેક્ષિત કિંમત $E = \sum x_i P_i = 5(\frac{1}{3}) + 4(\frac{2}{9}) + 3(\frac{4}{27}) + (-3)(\frac{8}{27})$.
$E = \frac{5}{3} + \frac{8}{9} + \frac{12}{27} - \frac{24}{27} = \frac{45 + 24 + 12 - 24}{27} = \frac{57}{27} = \frac{19}{9}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
તેથી,$\sum_{i=1}^{100} P(X=x_i) = 1$.
આપેલ સંભાવના $P(X=x_i) = K i(i+1)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$K \sum_{i=1}^{100} (i^2 + i) = 1$.
$n=100$ માટે સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K \left[ \frac{100(101)(201)}{6} + \frac{100(101)}{2} \right] = 1$.
$K \left[ \frac{100 \times 101}{2} \left( \frac{201}{3} + 1 \right) \right] = 1$.
$K \left[ 5050 \times (67 + 1) \right] = 1$.
$K \times 5050 \times 68 = 1$.
$K = \frac{1}{5050 \times 68} = \frac{1}{343400}$.
તેથી,$200 K = \frac{200}{343400} = \frac{2}{3434} = \frac{1}{1717}$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) આપેલ સંભાવના વિતરણ માટે:
$\sum P(X) = 1$
$K + 2K + K^2 + 2K^2 + 5K^2 + K + K + 2K = 1$
$8K^2 + 7K - 1 = 0$
$(8K - 1)(K + 1) = 0$
$K > 0$ હોવાથી,$K = \frac{1}{8}$ મળે.
ઘટનાઓ $E = \{2, 3, 5, 7\}$ અને $F = \{1, 2, 3\}$ છે.
$E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ થાય.
$P(E \cup F) = P(1) + P(2) + P(3) + P(5) + P(7)$
$P(E \cup F) = K + 2K + K^2 + 5K^2 + K = 6K^2 + 4K$
$K = \frac{1}{8}$ મૂકતા:
$P(E \cup F) = 6(\frac{1}{64}) + 4(\frac{1}{8}) = \frac{6}{64} + \frac{32}{64} = \frac{38}{64}$.

(A) અકસ્માતોની સંખ્યા $\lambda = 3$ પેરામીટર સાથે પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે.
પોઈસન રેન્ડમ વેરિયેબલ $X$ નું સંભાવના દળ વિધેય $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x = 0, 1, 2, \dots$.
આપણે આજે કોઈ અકસ્માત ન થાય તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(X = 0)$ ને અનુરૂપ છે.
સૂત્રમાં $\lambda = 3$ અને $x = 0$ મૂકતા:
$P(X = 0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!}$.
કારણ કે $3^0 = 1$ અને $0! = 1$,આપણને મળે છે:
$P(X = 0) = \frac{1 \times e^{-3}}{1} = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$.
આમ,આજે કોઈ અકસ્માત ન થાય તેની સંભાવના $\frac{1}{e^3}$ છે.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1$.
પદોને જોડતા,આપણને $0.6 + 4k = 1$ મળે છે.
$4k = 0.4$,જેનો અર્થ છે કે $k = 0.1$.
$X$ નો મધ્યક,જેને $E(X)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $\sum x_i P(x_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X) = (-2 \times 0.1) + (-1 \times 0.1) + (0 \times 0.2) + (1 \times 0.2) + (2 \times 0.3) + (3 \times 0.1)$.
$E(X) = -0.2 - 0.1 + 0 + 0.2 + 0.6 + 0.3$.
$E(X) = 0.8$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sum P(X=x) = 1$.
$0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1$
$k$ વાળા પદો અને અચળ પદોનો સરવાળો કરતા:
$(0.1 + 0.2 + 0.3) + (k + 2k + k) = 1$
$0.6 + 4k = 1$
$4k = 1 - 0.6$
$4k = 0.4$
$k = \frac{0.4}{4}$
$k = 0.1$

(D) ચોરસ શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત ન હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$|A| = -x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
નિરીક્ષણ દ્વારા,જો $x = 1$ લઈએ,તો $1^3 + 1 - 2 = 0$ થાય છે,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $x = 1$ હોય,તો શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ બને છે.
અહીં પ્રથમ અને ત્રીજી હાર (અથવા સ્તંભ) સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયક $0$ થાય છે.
તેથી,$x$ ની વાસ્તવિક કિંમત $1$ છે.

(C) એક-એક (injective) ચકાસવા માટે,ધારો કે $x_1, x_2 \in R$ માટે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{x_1^2}{1+x_1^2} = \frac{x_2^2}{1+x_2^2}$
$x_1^2(1+x_2^2) = x_2^2(1+x_1^2)$
$x_1^2 + x_1^2x_2^2 = x_2^2 + x_1^2x_2^2$
$x_1^2 = x_2^2$
અહીં $f'(x) = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} > 0$ હોવાથી,વિધેય વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસવા માટે,ધારો કે $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
કારણ કે $x^2 < 1+x^2$,તેથી $\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}} < 1$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $(-1, 1)$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ જેટલો નથી.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,વિધેય એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(C) આપેલ છે કે,$a+b+\sqrt{3} c=0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $a+b = -\sqrt{3} c$ મળે છે.
બંને બાજુઓનો પોતાની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(a+b) \cdot (a+b) = (-\sqrt{3} c) \cdot (-\sqrt{3} c)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા અને જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$|a|^2 + 2(a \cdot b) + |b|^2 = 3|c|^2$.
કારણ કે $a, b, c$ એ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$1^2 + 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 3(1)^2$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1 + 2 \cos \theta + 1 = 3$.
$2 + 2 \cos \theta = 3$.
$2 \cos \theta = 1$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.