AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) વર્તુળ $x^2+y^2-3x-4y-1=0$ નું કેન્દ્ર $C(\frac{3}{2}, 2)$ છે.
આપેલ છે કે માંગેલ વર્તુળ બિંદુ $C(\frac{3}{2}, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $(5, 2)$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(5 - \frac{3}{2})^2 + (2 - 2)^2} = \frac{7}{2}$.
માટે,વર્તુળનું સમીકરણ $(x-5)^2 + (y-2)^2 = (\frac{7}{2})^2$ થશે.
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - 4y + 4 = \frac{49}{4}$
$x^2 + y^2 - 10x - 4y + 29 = \frac{49}{4}$
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$4x^2 + 4y^2 - 40x - 16y + 116 = 49$
$4x^2 + 4y^2 - 40x - 16y + 67 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $(x+1)(x+2)+(y-1)(y+3)=0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2+3x+2+y^2+2y-3=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2+3x+2y-1=0$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$2g=3 \implies g=\frac{3}{2}$,$2f=2 \implies f=1$,અને $c=-1$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (1)^2 - (-1)} = \sqrt{\frac{9}{4}+1+1} = \sqrt{\frac{17}{4}}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi (\frac{17}{4}) = \frac{17 \pi}{4}$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) $(h, k)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ છે.
અહીં કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ આપેલ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલી થાય.
$r = |k| = |2| = 2$.
$h=1$,$k=2$,અને $r=2$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-1)^2+(y-2)^2=2^2$
$(x-1)^2+(y-2)^2=4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 x^2 + 2 y^2 - 3 x + 2 y - 1 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - \frac{3}{2} x + y - \frac{1}{2} = 0$
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$2g = -\frac{3}{2} \Rightarrow g = -\frac{3}{4}$
$2f = 1 \Rightarrow f = \frac{1}{2}$
$c = -\frac{1}{2}$
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$
$r = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2})}$
$r = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}$
$r = \sqrt{\frac{9 + 4 + 8}{16}} = \sqrt{\frac{21}{16}}$
$r = \frac{\sqrt{21}}{4} \text{ એકમ.}$

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-6y-15=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1$ અને $f=-3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 3)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે વ્યાસના બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(a, b)$ છે.
એક અંત્યબિંદુ $(4, 1)$ આપેલ છે,તેથી મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ:
$1 = \frac{4+a}{2}$ $\Rightarrow 2 = 4+a$ $\Rightarrow a = -2$.
$3 = \frac{1+b}{2}$ $\Rightarrow 6 = 1+b$ $\Rightarrow b = 5$.
આમ,બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(-2, 5)$ છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે.
વર્તુળ અક્ષો પર અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી છેદબિંદુઓ $(5,0)$ અને $(0,6)$ છે.
સમીકરણમાં $(5,0)$ મૂકતા: $5^2+0^2+2g(5)+2f(0)=0 \implies 25+10g=0 \implies g = -2.5$.
સમીકરણમાં $(0,6)$ મૂકતા: $0^2+6^2+2g(0)+2f(6)=0 \implies 36+12f=0 \implies f = -3$.
$g$ અને $f$ ની કિંમતો સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2+2(-2.5)x+2(-3)y=0$.
આનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-5x-6y=0$ થાય છે.

(C) ધારો કે વર્તુળ પરનું બિંદુ $(h, k)$ છે. તે $x^2+y^2=4$ પર હોવાથી,$h^2+k^2=4$ મળે.
રેખા $4x+3y-12=0$ થી $(h, k)$ નું અંતર $\frac{|4h+3k-12|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{4}{5}$ છે.
આથી $|4h+3k-12|=4$,એટલે કે $4h+3k=16$ અથવા $4h+3k=8$.
કિસ્સો $1$: $4h+3k=16$ માટે ઉકેલ વાસ્તવિક નથી.
કિસ્સો $2$: $4h+3k=8$ માટે $25h^2-64h+28=0$ મળે છે.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $h=2$ અથવા $h=\frac{14}{25}$ મળે.
તેથી,બિંદુઓ $(2,0)$ અને $(\frac{14}{25}, \frac{48}{25})$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-10x-10y+25=0$ છે.
આપેલ બિંદુ $P$ એ $(1, -2)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ છે.
અહીં,$g = -5$,$f = -5$,$c = 25$,$x_1 = 1$,અને $y_1 = -2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x(1) + y(-2) - 5(x+1) - 5(y-2) + 25 = 0$
$x - 2y - 5x - 5 - 5y + 10 + 25 = 0$
$-4x - 7y + 30 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $4x + 7y - 30 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-10y+p=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y-5)^2 = 34-p$ મળે.
વર્તુળના અસ્તિત્વ માટે,$34-p > 0$,તેથી $p < 34$.
કેન્દ્ર $(3,5)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{34-p}$ છે.
બિંદુ $(1,4)$ વર્તુળની અંદર હોવાથી,$1^2+4^2-6(1)-10(4)+p < 0$ $\Rightarrow 1+16-6-40+p < 0$ $\Rightarrow p < 29$ $(i)$.
વર્તુળ યામ અક્ષોને છેદતું કે સ્પર્શતું ન હોવાથી,કેન્દ્ર $(3,5)$ થી અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
$y$-અક્ષથી અંતર $|3| = 3$ છે,તેથી $r < 3$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 3$ $\Rightarrow 34-p < 9$ $\Rightarrow p > 25$ (ii).
$x$-અક્ષથી અંતર $|5| = 5$ છે,તેથી $r < 5$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 5$ $\Rightarrow 34-p < 25$ $\Rightarrow p > 9$ (iii).
$(i)$,(ii) અને (iii) ને જોડતા,આપણને $25 < p < 29$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ મળે છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{25} = 5$ છે.
બિંદુ $K(10, 7)$ અને કેન્દ્ર $C(2, 1)$ વચ્ચેનું અંતર $CK = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ છે.
વર્તુળથી બિંદુ $K$ નું મહત્તમ અંતર $CK + r = 10 + 5 = 15 \text{ એકમ}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-10y+p=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y-5)^2 = 34-p$ મળે.
વર્તુળના અસ્તિત્વ માટે,ત્રિજ્યાનો વર્ગ ધન હોવો જોઈએ: $34-p > 0 \Rightarrow p < 34$ ... $(i)$.
વર્તુળ યામ અક્ષોને સ્પર્શતું કે છેદતું ન હોવાથી,કેન્દ્ર $(3,5)$ થી અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{34-p}$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
$x$-અક્ષ માટે,અંતર $|y_c| = 5$ છે. તેથી,$r < 5$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 5$ $\Rightarrow 34-p < 25$ $\Rightarrow p > 9$ ... $(ii)$.
$y$-અક્ષ માટે,અંતર $|x_c| = 3$ છે. તેથી,$r < 3$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 3$ $\Rightarrow 34-p < 9$ $\Rightarrow p > 25$ ... $(iii)$.
બિંદુ $(1,4)$ વર્તુળની અંદર હોવાથી,તેને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા કિંમત ઋણ મળવી જોઈએ: $1^2+4^2-6(1)-10(4)+p < 0$ $\Rightarrow 1+16-6-40+p < 0$ $\Rightarrow p-29 < 0$ $\Rightarrow p < 29$ ... $(iv)$.
અસમતાઓ $(i), (ii), (iii),$ અને $(iv)$ ને જોડતા,આપણને $25 < p < 29$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-93=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-1)^2+(y+2)^2 = 98$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ છે.
યામ અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા અંતર્ગત ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(h \pm r\cos(\pi/4), k \pm r\sin(\pi/4))$ દ્વારા મળે છે.
$\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ હોવાથી,શિરોબિંદુઓ $(1 \pm 7, -2 \pm 7)$ થાય.
શક્ય શિરોબિંદુઓ $(8, 5), (8, -9), (-6, 5)$ અને $(-6, -9)$ છે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,$(8, 5)$ એ સાચું શિરોબિંદુ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ થાય.
આપેલ બિંદુઓ $(1, a)$ અને $(b, 2)$ તથા વર્તુળ $x^2+y^2=25$ માટે,$r^2=25$ છે.
શરતમાં યામો મૂકતા,આપણને $(1)(b) + (a)(2) = 25$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $b + 2a = 25$ થાય છે.
આપણે $4a + 2b$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સમીકરણ $2a + b = 25$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2(2a + b) = 2(25)$ મળે,જે $4a + 2b = 50$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2-6x-4y-12=0$.
કેન્દ્ર: $(3, 2)$ અને ત્રિજ્યા: $r = 5$.
રેખાઓ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y = k$ સ્વરૂપમાં હશે.
કેન્દ્ર $(3, 2)$ થી રેખા $y = k$ નું અંતર ત્રિજ્યા $5$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$|k - 2| = 5$.
આથી $k = 7$ અથવા $k = -3$.
રેખાઓના સમીકરણો $y = 7$ અને $y = -3$ છે.
રેખાઓની જોડ: $(y - 7)(y + 3) = 0$.
જેનું સાદું રૂપ $y^2 - 4y - 21 = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+2y-28=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $(x-3)^2+(y+1)^2 = 28+9+1 = 38$ મળે છે.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{38}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
અહીં,$R = r = \sqrt{38}$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{3\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{38})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 38 = \frac{3\sqrt{3} \times 19}{2} = \frac{57\sqrt{3}}{2}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+8y-5=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3, f=4, c=-5$ મળે.
કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (3, -4)$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+4^2-(-5)} = \sqrt{9+16+5} = \sqrt{30}$.
રેખાનું સમીકરણ $2x-y-5=0$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -4)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|2(3)-(-4)-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|6+4-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2}$ દ્વારા મળે છે.
લંબાઈ $= 2\sqrt{(\sqrt{30})^2-(\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{30-5} = 2\sqrt{25} = 2 \times 5 = 10$ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) રેખા $y=mx+1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ $y-mx=1$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
$1 = y-mx$ ને $x^2+y^2=1^2$ માં મૂકતા:
$x^2+y^2=(y-mx)^2$
$x^2+y^2=y^2-2mxy+m^2x^2$
$(1-m^2)x^2+2mxy=0$
જો આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય,તો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
અહીં,$x^2$ નો સહગુણક $(1-m^2)$ છે અને $y^2$ નો સહગુણક $0$ છે.
તેથી,$(1-m^2)+0=0$
$1-m^2=0$
$m^2=1$
$m=\pm 1$

(B) $M(a, b)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $\theta$ ખૂણે લઈએ.
રેખાના પ્રચલ સમીકરણો $x = a + r \cos \theta$ અને $y = b + r \sin \theta$ છે,જ્યાં $r$ એ $M$ થી અંતર છે.
આ કિંમતોને વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 = k^2$ માં મૂકતા:
$(a + r \cos \theta)^2 + (b + r \sin \theta)^2 = k^2$
$a^2 + 2ar \cos \theta + r^2 \cos^2 \theta + b^2 + 2br \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta = k^2$
$r^2 + 2r(a \cos \theta + b \sin \theta) + (a^2 + b^2 - k^2) = 0$
આ $r$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેના બીજ $r_1$ અને $r_2$ એ અંતર $MC$ અને $MD$ દર્શાવે છે.
બીજનો ગુણાકાર $r_1 \cdot r_2$ એ દ્વિઘાત સમીકરણના અચળ પદ જેટલો થાય.
તેથી,$MC \times MD = a^2 + b^2 - k^2$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - x - 3y - 4 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ:
$2x + 2yy' - 1 - 3y' = 0$
$y'(2y - 3) = 1 - 2x$
$y' = \frac{1 - 2x}{2y - 3}$
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T$ છે:
$m_T = \frac{1 - 2(1)}{2(1) - 3} = \frac{-1}{-1} = 1$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 1 = -1(x - 1)$
$y - 1 = -x + 1$
$x + y - 2 = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c_1=0$ અને $C_2 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c_2=0$ છે.
બંને વર્તુળોનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ સમાન હોવાથી,તેઓ એકકેન્દ્રીય છે.
ધારો કે $A$ એ $C_1$ પરનું બિંદુ છે અને $T$ એ $C_2$ પરનું સ્પર્શક બિંદુ છે. $O$ એ સામાન્ય કેન્દ્ર છે.
$C_1$ ની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c_1}$ અને $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c_2}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OTA$ માં,સ્પર્શકની લંબાઈ $AT$ નીચે મુજબ મળે છે:
$AT = \sqrt{OA^2 - OT^2} = \sqrt{r_1^2 - r_2^2}$
$AT = \sqrt{(g^2+f^2-c_1) - (g^2+f^2-c_2)} = \sqrt{c_2-c_1}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 10$ છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ છે.
રેખા $3x + y + k = 0$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર તેની ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી $3x + y + k = 0$ નું લંબ અંતર $\left| \frac{3(0) + 1(0) + k}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \right| = \left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right|$ છે.
તેને ત્રિજ્યા સાથે સરખાવતા: $\left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right| = \sqrt{10}$.
$\Rightarrow |k| = \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10$.
તેથી,$k = \pm 10$.

(C) ધારો કે બિંદુ $(4, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - (-2) = m(x - 4)$ છે,જે $mx - y - (4m + 2) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 10$ નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{10} = \frac{|m(0) - 1(0) - (4m + 2)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$.
$\sqrt{10} = \frac{|4m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $10(m^2 + 1) = (4m + 2)^2$.
$10m^2 + 10 = 16m^2 + 16m + 4$.
$6m^2 + 16m - 6 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $3m^2 + 8m - 3 = 0$ થાય.
$(3m - 1)(m + 3) = 0$,તેથી $m = \frac{1}{3}$ અથવા $m = -3$.
$m = \frac{1}{3}$ માટે,રેખા $y + 2 = \frac{1}{3}(x - 4) \implies 3y + 6 = x - 4 \implies x - 3y = 10$ મળે.
$m = -3$ માટે,રેખા $y + 2 = -3(x - 4) \implies y + 2 = -3x + 12 \implies 3x + y = 10$ મળે.
આમ,સમીકરણો $3x + y = 10$ અને $x - 3y = 10$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=16$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C(0,0)$ છે.
વર્તુળનો કોઈપણ અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,બિંદુ $P\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ આગળનો અભિલંબ એ $C(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે.
રેખા $CP$ નો ઢાળ $m = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - 0}{\frac{1}{\sqrt{3}} - 0} = 1$ છે.
$(0,0)$ માંથી પસાર થતી અને $m=1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = 1(x - 0)$ છે,જે $x - y = 0$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) બે સમાંતર રેખાઓ $y=mx+k_1$ અને $y=mx+k_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{1+m^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રેખાઓ $r=2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના સમાંતર સ્પર્શકો હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર વર્તુળના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2r = 2 \times 2 = 4$ થાય.
અહીં,$m = \sqrt{3}$,તેથી $m^2 = 3$.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{1+3}} = 4$
$\frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{4}} = 4$
$\frac{|k_1-k_2|}{2} = 4$
$|k_1-k_2| = 8$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને બિંદુ $(4, -4)$ ને જોડતી રેખાનું મધ્યબિંદુ $P = (\frac{0+4}{2}, \frac{0-4}{2}) = (2, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2 + 2y^2 - y = 0$ છે. તેને $2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - \frac{1}{2}y = 0$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ છે.
$x_1 = 2, y_1 = -2, g = 0, f = -\frac{1}{4}, c = 0$ મૂકતા:
લંબાઈ $= \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 - \frac{1}{2}(-2)} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \text{ એકમ.}$

(C) ધારો કે બિંદુ $P = (6, 8)$ છે અને વર્તુળનું સમીકરણ $S: x^2 + y^2 - 4 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - 4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(6, 8)$ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\text{લંબાઈ} = \sqrt{6^2 + 8^2 - 4} = \sqrt{36 + 64 - 4} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96}$.
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4 \sqrt{6}$ નું સાદું રૂપ આપતા.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P = (f, g)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુથી સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ છે.
વર્તુળ $S: x^2+y^2-6=0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $L_1 = \sqrt{f^2+g^2-6}$ છે.
વર્તુળ $S': x^2+y^2+3x+3y=0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $L_2 = \sqrt{f^2+g^2+3f+3g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$L_1 = 2L_2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$L_1^2 = 4L_2^2$.
$f^2+g^2-6 = 4(f^2+g^2+3f+3g)$.
$f^2+g^2-6 = 4f^2+4g^2+12f+12g$.
$3f^2+3g^2+12f+12g+6 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,$f^2+g^2+4f+4g+2 = 0$.
આમ,$f^2+g^2+4f+4g+2$ ની કિંમત $0$ છે.

(A) $(x_1, y_1)$ બિંદુએ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1+yy_1=r^2$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=25$ માટે,$r^2=25$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1) = (-3, 4)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x(-3) + y(4) = 25$
$-3x + 4y = 25$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$3x - 4y + 25 = 0$.

(A) ધારો કે વ્યાસ $PR = 2r$ છે. $PQ$ અને $RS$ એ $P$ અને $R$ પરના સ્પર્શકો હોવાથી,$PQ \perp PR$ અને $RS \perp PR$ થાય.
ધારો કે $\angle PRQ = \theta$. $\triangle PQR$ માં,$\tan \theta = \frac{PQ}{PR}$,તેથી $PR = PQ \cot \theta$.
$X$ એ વર્તુળ પર છે અને $PR$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle PXR = 90^{\circ}$ થાય.
$\triangle PXR$ માં,$\angle XPR = 90^{\circ} - \theta$ અને $\angle XRP = \theta$.
$\triangle PXS$ માં,$\angle XPS = 90^{\circ} - \theta$ અને $\angle XSP = \theta$. આમ,$\tan \theta = \frac{RS}{PR}$,તેથી $PR = RS \tan \theta$.
$PR$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$PQ \cot \theta = RS \tan \theta$
$\tan^2 \theta = \frac{PQ}{RS} \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{\frac{PQ}{RS}}$.
આ કિંમતને $PR = RS \tan \theta$ માં મૂકતા:
$PR = RS \cdot \sqrt{\frac{PQ}{RS}} = \sqrt{PQ \cdot RS}$.
$PR = 2r$ હોવાથી,$2r = \sqrt{PQ \cdot RS}$ મળે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-2y-11=0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $(x-2)^2+(y-1)^2 = 16$.
તેથી,કેન્દ્ર $C(2,1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બિંદુ $P(4,5)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $AP = \sqrt{4^2+5^2-4(4)-2(5)-11} = \sqrt{4} = 2$ છે.
ચતુષ્કોણ $PACB$ એ બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PAC$ અને $\triangle PBC$ નો બનેલો છે.
$\triangle PAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times AP = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$.
ચતુષ્કોણ $PACB$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 4 = 8 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x - 4y + 5 = 0$ અને $L_2: 6x - 8y - 9 = 0$ છે.
$L_2$ ને $3x - 4y - \frac{9}{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$d = \frac{|5 - (-9/2)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{9.5}{5} = \frac{19}{10}$.
વ્યાસ $2r = d$ હોવાથી,$2r = \frac{19}{10}$,એટલે કે $r = \frac{19}{20}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-1)^2+2^2-(-11)} = 4$.
બિંદુ $(1,3)$ થી સ્પર્શકની લંબાઈ $L_T = \sqrt{1^2+3^2-2(1)+4(3)-11} = 3$.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે.
$\tan\theta = \frac{r}{L_T} = \frac{4}{3}$.
$\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \frac{2(4/3)}{1+(4/3)^2} = \frac{24}{25}$.
તેથી,$2\theta = \sin^{-1}\left(\frac{24}{25}\right)$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ અને બિંદુ $A(x_1, y_1)$ છે.
તો સંપર્ક જીવાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $(x_1 + g)x + (y_1 + f)y + (gx_1 + fy_1 + c) = 0$ છે.
ધારો કે બીજું બિંદુ $B(x_2, y_2)$ છે જેમાંથી જીવા પસાર થાય છે,તેથી $x_1x_2 + gx_2 + y_1y_2 + fy_2 + gx_1 + fy_1 + c = 0$ ... $(i)$.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - (x_1 + x_2)x - (y_1 + y_2)y + x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ ... $(ii)$ થાય.
બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબછેદી હોય જો $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ હોય.
આપણા વર્તુળો માટે,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = 2g(-\frac{x_1 + x_2}{2}) + 2f(-\frac{y_1 + y_2}{2}) = -gx_1 - gx_2 - fy_1 - fy_2$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$-gx_1 - gx_2 - fy_1 - fy_2 = x_1x_2 + y_1y_2 + c$.
આમ,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$,જે દર્શાવે છે કે વર્તુળો લંબછેદી છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) વર્તુળ $S=0$ માટે $(x_1, y_1)$ મધ્યબિંદુ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = x^2+y^2-9=0$ અને $(x_1, y_1) = (1, 2)$ છે.
$T = x(1) + y(2) - 9 = x+2y-9$.
$S_1 = (1)^2 + (2)^2 - 9 = 1+4-9 = -4$.
$T=S_1$ ને સરખાવતા,આપણને $x+2y-9 = -4$ મળે છે.
તેથી,$x+2y-5=0$.

(A) ધારો કે $S_1 \equiv x^2+y^2+8x+8y-m=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2-2x+4y+n=0$.
બે વર્તુળોની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+8x+8y-m) - (x^2+y^2-2x+4y+n) = 0$.
$10x + 4y - (m+n) = 0$.
કારણ કે વર્તુળ $S_1$ નો પરિઘ વર્તુળ $S_2$ દ્વારા દુભાગે છે,તેથી સામાન્ય જીવા વર્તુળ $S_1$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $(-4, -4)$ છે.
સામાન્ય જીવાના સમીકરણમાં $(-4, -4)$ મૂકતા:
$10(-4) + 4(-4) = m+n$.
$-40 - 16 = m+n$.
$m+n = -56$.

(D) બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2$ એ શરત સંતોષવી જોઈએ: $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$.
પ્રથમ વર્તુળ $(x-1)^2+(y-3)^2=r^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-g, -f) = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-4)^2+(1)^2-8} = \sqrt{16+1-8} = \sqrt{9} = 3$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(1, 3)$ અને $C_2(4, -1)$ વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $|r - 3| < 5 < r + 3$.
$5 < r + 3$ પરથી,આપણને $r > 2$ મળે છે.
$|r - 3| < 5$ પરથી,આપણને $-5 < r - 3 < 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $-2 < r < 8$. કારણ કે $r$ ધન હોવું જોઈએ,$0 < r < 8$.
$r > 2$ અને $0 < r < 8$ ને જોડતા,આપણને $2 < r < 8$ મળે છે.

(D) ધારો કે જરૂરી વર્તુળ $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. તે $S_1: x^2+y^2+4x+3=0$ અને $S_2: x^2+y^2-12x+35=0$ ને લંબ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ અક્ષ પર હોવું જોઈએ.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ છે,જે $(4x+3) - (-12x+35) = 0$ આપે છે,તેથી $16x - 32 = 0$,અથવા $x = 2$.
આમ,જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, k)$ છે.
વર્તુળ $S_1$ ને લંબ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ $r^2 = S_1(2, k) = 2^2 + k^2 + 4(2) + 3 = 4 + k^2 + 8 + 3 = k^2 + 15$ નું પાલન કરે છે.
જ્યારે $k = 0$ હોય ત્યારે ત્રિજ્યા ન્યૂનતમ થાય છે,જે $r^2 = 15$ આપે છે,તેથી $r = \sqrt{15}$.
આમ,ન્યૂનતમ ત્રિજ્યા $\sqrt{15}$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x-2y-7=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x+2y+k=0$ છે.
તેઓ લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
અહીં,$g_1=-1, f_1=-1, c_1=-7$ અને $g_2=2, f_2=1, c_2=k$.
$2(-1)(2) + 2(-1)(1) = -7 + k$ $\Rightarrow -4 - 2 = -7 + k$ $\Rightarrow k = 1$.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2-2x-2y-7) - (x^2+y^2+4x+2y+1) = 0$ $\Rightarrow -6x - 4y - 8 = 0$ $\Rightarrow 3x + 2y + 4 = 0$.
વર્તુળ $S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2+1^2-(-7)} = \sqrt{9} = 3$.
કેન્દ્ર $C(1, 1)$ થી જીવા $3x+2y+4=0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|3(1)+2(1)+4|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{3^2 - (\frac{9}{\sqrt{13}})^2} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{13}} = 2\sqrt{\frac{117-81}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ એકમ થાય.

(A) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય જો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ હોય.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-8y+12=0$ માટે,$g_1=-3, f_1=-4, c_1=12$ મળે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-4x+6y+k=0$ માટે,$g_2=-2, f_2=3, c_2=k$ મળે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(-3)(-2) + 2(-4)(3) = 12 + k$
$2(6) + 2(-12) = 12 + k$
$12 - 24 = 12 + k$
$-12 = 12 + k$
$k = -24$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $(x-1)^2+(y-2)^2=25$.
કેન્દ્ર $C_1(1,2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=5$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2(h,k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2=5$ છે.
વર્તુળો $P(5,5)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $P$ એ $C_1C_2$ રેખાખંડ પર આવેલું છે.
$r_1=r_2=5$ હોવાથી,$P$ એ $C_1C_2$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1+h}{2}=5 \Rightarrow h=9$ અને $\frac{2+k}{2}=5 \Rightarrow k=8$.
આમ,કેન્દ્ર $C_2(9,8)$ છે.
બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-9)^2+(y-8)^2=5^2$ થશે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2-18x+81+y^2-16y+64=25$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^2+y^2-18x-16y+120=0$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+4y+3=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-2, f=2, c=3$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+4-3} = \sqrt{5}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $x-3y-13=0$ છે.
કેન્દ્ર $(2, -2)$ થી રેખા $x-3y-13=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|(1)(2) - 3(-2) - 13|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}} = \frac{|2+6-13|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{5 - \frac{10}{4}} = 2\sqrt{2.5} = \sqrt{10}$ થાય.

(D) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. \\ આપેલ વર્તુળો છે: \\ $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ \\ $S_2: x^2+y^2-5x-6y+4=0$ \\ $S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા: \\ $(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2-5x-6y+4) = 0$ \\ $(2x - (-5x)) + (3y - (-6y)) + (1 - 4) = 0$ \\ $7x + 9y - 3 = 0$ \\ આમ,સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $7x+9y-3=0$ છે.

(C) વર્તુળોના પરિવારનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-8-\lambda(2y)=0$ છે.
આ $S+\lambda L=0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S=x^2+y^2-2x-8=0$ અને $L=2y=0$ છે.
નિશ્ચિત બિંદુઓ $A$ અને $B$ એ વર્તુળ $S=0$ અને રેખા $L=0$ ના છેદબિંદુઓ છે.
$x^2+y^2-2x-8=0$ માં $y=0$ મૂકતા,આપણને $x^2-2x-8=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-4)(x+2)=0$,જે $x=4$ અને $x=-2$ આપે છે.
આમ,બિંદુઓ $A(4, 0)$ અને $B(-2, 0)$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $|4 - (-2)| = |6| = 6$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2-4x-6y+5=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-4y-1=0$
$S_3: x^2+y^2-6x-2y=0$
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$-2x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow x+y=3$ ... $(i)$
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_2 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$4x - 2y - 1 = 0$ ... (ii)
રેડિકલ સેન્ટર મેળવવા માટે,સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલો:
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$y = 3 - x$. તેને (ii) માં મૂકતા:
$4x - 2(3 - x) - 1 = 0$
$6x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{6}$
$x = \frac{7}{6}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$y = 3 - \frac{7}{6} = \frac{11}{6}$
આમ,રેડિકલ સેન્ટર $\left(\frac{7}{6}, \frac{11}{6}\right)$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2+\alpha_1(x-y)+c=0$ અને $x^2+y^2+\alpha_2(x-y)+c=0$ છે.
કેન્દ્રો $C_1 = (-\frac{\alpha_1}{2}, \frac{\alpha_1}{2})$ અને $C_2 = (-\frac{\alpha_2}{2}, \frac{\alpha_2}{2})$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{\frac{\alpha_1^2}{2} - c}$ અને $r_2 = \sqrt{\frac{\alpha_2^2}{2} - c}$ છે.
એક વર્તુળ બીજાની અંદર હોય તે માટેની શરત $d(C_1, C_2) < |r_1 - r_2|$ છે.
આ શરતનું સાદુરૂપ આપતા $c > 0$ મળે છે.

(D) $A(1, 2)$ અને $B(-2, 1)$ સીમિત બિંદુઓ ધરાવતી વર્તુળોની સહ-અક્ષીય પ્રણાલીની રેડિકલ ધરી એ $AB$ રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે.
રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ: $m_{AB} = \frac{1 - 2}{-2 - 1} = \frac{1}{3}$.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = -3$ થશે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ છે.
રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ: $y - \frac{3}{2} = -3(x + \frac{1}{2})$
$y - \frac{3}{2} = -3x - \frac{3}{2}$
$3x + y = 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) કોઈપણ બે વર્તુળોની રેડિકલ ધરી તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે।
ધારો કે બે વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ છે।
રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ $2(g_1-g_2)x + 2(f_1-f_2)y + (c_1-c_2) = 0$ છે।
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{g_1-g_2}{f_1-f_2}$ છે।
કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{f_1-f_2}{g_1-g_2}$ છે।
અહીં $m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,રેડિકલ ધરી કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ છે।
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે।

(A) પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિથી અંતર અને નિયામિકાથી લંબ અંતર સમાન હોય છે.
આપેલ નાભિ $S(1, 0)$ અને નિયામિકા $x+2y-1=0$ છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(x+2y-1)^2}{5} = (x-1)^2 + y^2$
$(x+2y-1)^2 = 5(x^2-2x+1+y^2)$
$x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y = 5x^2 - 10x + 5 + 5y^2$
પદોને ગોઠવતા:
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $169\{(x-1)^2+(y-3)^2\}=(5x-12y+17)^2$ છે.
$169$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$(x-1)^2+(y-3)^2 = \left(\frac{5x-12y+17}{13}\right)^2$.
આ $SP^2 = PM^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S$ એ નાભિ $(1, 3)$ છે અને $PM$ એ બિંદુ $P(x, y)$ થી નિયામિકા $5x-12y+17=0$ નું લંબ અંતર છે.
નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $2a$ છે.
$2a = \left|\frac{5(1)-12(3)+17}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}\right| = \left|\frac{5-36+17}{13}\right| = \left|\frac{-14}{13}\right| = \frac{14}{13}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
કારણ કે $2a = \frac{14}{13}$,તેથી $4a = 2 \times \frac{14}{13} = \frac{28}{13}$.

(A) નિયામિકા $x = -5$ છે અને શિરોબિંદુ $V(-3, 0)$ છે.
નિયામિકા શિરોબિંદુની ડાબી બાજુએ હોવાથી,પરવલય જમણી તરફ ખુલે છે.
શિરોબિંદુથી નિયામિકાનું અંતર $a = |-3 - (-5)| = 2$ છે.
પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(y-0)^2 = 4(2)(x - (-3))$
$y^2 = 8(x+3)$

(C) આપેલ છે કે $p \times q = r$ અને $q \times p = r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકાર એ એન્ટિકોમ્યુટેટિવ છે,તેથી $q \times p = -(p \times q)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $r = -r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2r = 0$,તેથી $r = 0$.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $r \neq 0$.
આમ,$p \times q = q \times p = r$ ની શરત $r \neq 0$ ની સ્થિતિમાં વિરોધાભાસ પેદા કરે છે,તેથી પ્રશ્નમાં આપેલી શરતો ગાણિતિક રીતે અસંગત છે.
જો પ્રશ્નનો હેતુ સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો દર્શાવવાનો હોય જ્યાં $p \times q = r$,તો $r$ એ $p$ અને $q$ બંનેને લંબ હોય છે.
જોકે,આપેલા સમીકરણોના તાર્કિક અર્થઘટન મુજબ,$r \neq 0$ ની શરત હેઠળ વિધાન $(i)$ અને (ii) બંને એકસાથે સંતોષાઈ શકે નહીં.

(A) બે સદિશો $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $b = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$.
આપેલ છે કે $a = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ અને $b = 2 \hat{i} - \hat{j} + \beta \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{-1} = \frac{-6}{\beta}$
$\frac{\alpha}{2} = -3$ પરથી,આપણને $\alpha = -6$ મળે છે.
$\frac{3}{-1} = \frac{-6}{\beta}$ પરથી,$-3\beta = -6$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2$.
આમ,$\alpha = -6$ અને $\beta = 2$ એ માંગેલ કિંમતો છે.

(A) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપેલ દિશાઓ સાથેના ત્રિકોણ $ABC$ માટે:
$(i)$ ત્રિકોણના નિયમ દ્વારા,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0}$ મળે.
કારણ કે $\vec{AC} = -\vec{CA}$,તેથી $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$. આમ,$(i)$ સાચું છે.
(ii) ત્રિકોણના નિયમ પરથી,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$,જે સૂચવે છે કે $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0}$. આમ,(ii) સાચું છે.
(iii) આપણી પાસે $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ છે. વળી,$\vec{CB} = -\vec{BC}$,તેથી $\vec{BC} = -\vec{CB}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{AB} - \vec{CB} = \vec{AC}$.
ફરીથી ગોઠવતા $\vec{AB} - \vec{CB} - \vec{AC} = 0$,અથવા $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = 0$ મળે. આમ,(iii) સાચું છે.
(iv) $(i)$ પરથી,$\vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{CA} = \vec{AC}$.
તેથી $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} = \vec{AC} - \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{AC} = 2\vec{AC} \neq \vec{0}$. આમ,(iv) ખોટું છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $(i)$ સાચું,(ii) સાચું,(iii) સાચું,(iv) ખોટું છે.

(D) સમતલીય સદિશો માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય છે: $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = 0$.
$abc - a - c + 1 + 1 - b = 0 \Rightarrow abc - (a + b + c) + 2 = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array}\right| = 0$.
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$.
$(1-a)(1-b)(1-c)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$.
$\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$.
કારણ કે $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,આ કિંમત મૂકતા:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$.
તેથી,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(D) કોઈપણ સદિશ $z \in R^3$ ને રેખીય સંયોજન $z = au + bv + cw$ તરીકે દર્શાવવા માટે,સદિશોનો સમૂહ ${u, v, w}$ એ સમગ્ર સદિશ અવકાશ $R^3$ ને વ્યાપ્ત (span) કરવો જોઈએ.
કારણ કે $R^3$ એ $3$-પરિમાણીય અવકાશ છે,$R^3$ ને વ્યાપ્ત કરતા કોઈપણ $3$ સદિશોના સમૂહને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવું આવશ્યક છે.
જો સદિશો રેખીય રીતે અવલંબિત હોય,તો તેઓ એક સમતલમાં અથવા એક રેખા પર આવેલા હોય,અને તેથી તેઓ $R^3$ ના દરેક સદિશનું નિરૂપણ કરી શકે નહીં.
તેથી,શરત એ છે કે $u, v$ અને $w$ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ.
આ વિકલ્પ મૂળ યાદીમાં આપવામાં આવ્યો ન હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\vec{PO} + \vec{OQ} = \vec{QO} + \vec{OR}$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{PO} + \vec{OQ} = \vec{PQ}$.
તે જ રીતે,$\vec{QO} + \vec{OR} = \vec{QR}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\vec{PQ} = \vec{QR}$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{PQ}$ એ સદિશ $\vec{QR}$ ને સમાન છે.
તેમની દિશા સમાન છે અને તેમના માન (magnitude) પણ સમાન હોવાથી $(|\vec{PQ}| = |\vec{QR}|)$,બિંદુ $Q$ એ રેખાખંડ $PR$ નું મધ્યબિંદુ હોવું જોઈએ.

(B) ધારો કે $O$ એ નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ નું કેન્દ્ર છે. નિયમિત ષટ્કોણમાં,વિકર્ણો $AD$,$BE$ અને $CF$ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે અને તે ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ કરતા બમણા હોય છે. ખાસ કરીને,$AD = 2BC$,$EB = 2FA$,અને $FC = 2AB$.
સદિશ સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{BC} = \vec{b}$ લો. તો $\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$,$\vec{DE} = -\vec{a}$,$\vec{EF} = -\vec{b}$,$\vec{FA} = \vec{a} - \vec{b}$.
$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{a} + \vec{b} + (\vec{b} - \vec{a}) = 2\vec{b}$.
$\vec{EB} = \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{a} - (\vec{b} - \vec{a}) - \vec{b} = 2\vec{a} - 2\vec{b}$.
$\vec{FC} = \vec{FA} + \vec{AB} + \vec{BC} = (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{a}$.
સરવાળો $= \vec{AD} + \vec{EB} + \vec{FC} = 2\vec{b} + 2\vec{a} - 2\vec{b} + 2\vec{a} = 4\vec{a} = 4\vec{AB}$.
આપેલ છે કે $(3\lambda - 8)\vec{AB} = 4\vec{AB}$,તેથી $3\lambda - 8 = 4$,જે $3\lambda = 12$ આપે છે,તેથી $\lambda = 4$.

(C) બે સદિશો $u$ અને $v$ સમાંતર ત્યારે કહેવાય જ્યારે તેઓ સમાન અથવા વિરુદ્ધ દિશા ધરાવતા હોય.
ગાણિતિક રીતે,આ શરતનો અર્થ એ છે કે એક સદિશ બીજા સદિશનો અદિશ ગુણાંક છે,એટલે કે $u = k v$,જ્યાં $k$ એ કોઈ શૂન્યતર અદિશ $k \in \mathbb{R}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $|u+v|=|u-v|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|u+v|^2 = |u-v|^2$
$(u+v) \cdot (u+v) = (u-v) \cdot (u-v)$
$|u|^2 + |v|^2 + 2(u \cdot v) = |u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v)$
$2(u \cdot v) = -2(u \cdot v)$
$4(u \cdot v) = 0$
$u \cdot v = 0$
બે શૂન્યતર સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,સદિશો $u$ અને $v$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$ થાય.
વળી,$a+b$ પણ એકમ સદિશ છે,તેથી $|a+b| = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$ મળે.
ગુણધર્મ $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b) = 1$
$1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$
$2 + 2(a \cdot b) = 1$
$2(a \cdot b) = -1$
$a \cdot b = -\frac{1}{2}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$(1)(1) \cos \theta = -\frac{1}{2}$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = 120^{\circ}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,કેન્દ્ર $O$ ને ઉગમબિંદુ તરીકે લઈએ. શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણ હોવાથી,$\vec{AB} + \vec{AF} = \vec{AO}$ થાય.
તે જ રીતે,$\vec{CD} + \vec{EF} = \vec{CO}$ થાય.
તેથી,$\vec{AB} + \vec{AF} + \vec{CD} + \vec{EF} = \vec{AO} + \vec{CO}$.
ષટ્કોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આ સરવાળો $\vec{BC} + \vec{DE}$ બરાબર થાય છે.

(B) ધારો કે $p$ એ $a$ અને $b$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક પરનો એકમ સદિશ છે. કારણ કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,સદિશ $a+b$ એ $a$ અને $b$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક પર આવેલો છે.
તેથી,$p = \lambda(a+b)$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
કારણ કે $p$ એકમ સદિશ છે,$|p| = 1$.
$|p|^2 = \lambda^2 |a+b|^2 = 1$.
$|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = 1 + 1 + 2 \cos \theta = 2(1 + \cos \theta) = 4 \cos^2 (\theta / 2)$.
તેથી,$\lambda^2 (4 \cos^2 (\theta / 2)) = 1$.
$\lambda = \frac{1}{2 \cos (\theta / 2)}$.
તેથી,$p = \frac{a+b}{2 \cos (\theta / 2)}$.

(A) આપેલ છે કે $|u+v|^2 = 2(|u|^2+|v|^2)$.
ડાબી બાજુને $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(u \cdot v)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરતા:
$|u|^2 + |v|^2 + 2(u \cdot v) = 2|u|^2 + 2|v|^2$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$|u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v) = 0$
આ પદાવલિ સદિશોના તફાવતના વર્ગ સમાન છે:
$|u - v|^2 = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|u - v| = 0$
તેથી,$u - v = 0$,જેનો અર્થ છે કે $u = v$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $a, b, c$ છે.
આપણી પાસે સદિશો $AB = b - a$ અને $AC = c - a$ છે.
પદાવલિ $\frac{(a-c) \times (b-a)}{(b-a) \cdot (c-a)}$ છે.
નોંધો કે $a - c = -(c - a) = -AC$.
તેથી,અંશ $(-AC) \times (AB) = AC \times AB$ થાય.
છેદ $(AB) \cdot (AC) = |AB| |AC| \cos A$ થાય.
સદિશ ગુણાકાર $AC \times AB$ નું મૂલ્ય $|AC| |AB| \sin A$ છે.
આમ,પદાવલિ $\frac{|AC| |AB| \sin A}{|AB| |AC| \cos A} = \tan A$ થાય છે.

(C) વિકર્ણો $\vec{d}_1$ અને $\vec{d}_2$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{d}_1 \times \vec{d}_2$ શોધીએ:
$\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(-1) - (1)(3)) - \hat{j}((2)(-1) - (1)(1)) + \hat{k}((2)(3) - (-1)(1))$
$= \hat{i}(1 - 3) - \hat{j}(-2 - 1) + \hat{k}(6 + 1)$
$= -2\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$
હવે,આ સદિશનું માન (magnitude) શોધીએ:
$|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 9 + 49} = \sqrt{62}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \sqrt{62} = \frac{\sqrt{62}}{2}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) સદિશ $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ એક એકમ સદિશ છે જો તેનું માન $1$ હોય,એટલે કે $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ મળે છે.
આપેલ છે કે $a, b, c \in W$,જ્યાં $W = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ એ પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગણ છે.
કારણ કે $a^2, b^2, c^2 \ge 0$,તેથી તેમનો સરવાળો $1$ થવા માટે એક ચલ $1$ હોવો જોઈએ અને બાકીના $0$ હોવા જોઈએ.
શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ એ $(1, 0, 0)$,$(0, 1, 0)$,અને $(0, 0, 1)$ છે.
આમ,આવા કુલ $3$ એકમ સદિશો મળે છે.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$,અને $\vec{c} = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{b} + \vec{c} = (\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{v}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{(\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 6^2 + (-2)^2}} = \frac{(\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}}$.
$\vec{a}$ અને $\hat{u}$ નો અદિશ ગુણાકાર $1$ છે,તેથી $\vec{a} \cdot \hat{u} = 1$.
$\frac{(\lambda + 2)(1) + (6)(1) + (-2)(1)}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\frac{\lambda + 2 + 6 - 2}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\frac{\lambda + 6}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\lambda + 6 = \sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\lambda + 6)^2 = (\lambda + 2)^2 + 40$.
$\lambda^2 + 12\lambda + 36 = \lambda^2 + 4\lambda + 4 + 40$.
$12\lambda + 36 = 4\lambda + 44$.
$8\lambda = 8$.
$\lambda = 1$.

(C) ધારો કે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{t}$ એ શિરોબિંદુઓ $P, Q, R, S, T$ ના સ્થાન સદિશો છે.
આપેલ સદિશોનો સરવાળો $\vec{V} = \overline{PQ} + \overline{PT} + \overline{QR} + \overline{SR} + \overline{TS} + \overline{PS}$ છે.
સ્થાન સદિશો મૂકતા:
$\vec{V} = (\vec{q} - \vec{p}) + (\vec{t} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q}) + (\vec{s} - \vec{r}) + (\vec{s} - \vec{t}) + (\vec{s} - \vec{p})$.
પદોને ગોઠવતા:
$\vec{V} = (\vec{q} - \vec{q}) + (\vec{t} - \vec{t}) + (\vec{r} - \vec{r}) + (\vec{s} + \vec{s} + \vec{s}) - (\vec{p} + \vec{p} + \vec{p})$.
$\vec{V} = 3\vec{s} - 3\vec{p} = 3(\vec{s} - \vec{p})$.
કારણ કે $\vec{s} - \vec{p} = \overline{PS}$,તેથી $\vec{V} = 3\overline{PS}$ થાય.

(A) સ્થાન સદિશો $A, B$ અને $C$ ધરાવતા ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય જો સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોય,એટલે કે કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{AB} = k \vec{BC}$ થાય.
વિકલ્પ $A$ માટે,ધારો કે $A = u-2v+3w$,$B = 2u+3v-4w$,અને $C = u-7v+10w$.
અહીં,$2A - B = 2(u-2v+3w) - (2u+3v-4w) = 2u-4v+6w - 2u-3v+4w = -7v+10w$.
આમ,$C = 2A - B$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $C - A = A - B$,એટલે કે $\vec{AC} = \vec{BA}$,જે દર્શાવે છે કે બિંદુઓ સમરેખ છે.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $A$ પર છે. તેથી $\vec{A} = 0$,$\vec{B} = u$,અને $\vec{C} = v$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{D} = \frac{u+v}{2}$ છે.
$\triangle ABD$ માં,ધારો કે $M$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. શિરોબિંદુ $B$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા $BM$ છે.
$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2} = \frac{0 + \frac{u+v}{2}}{2} = \frac{u+v}{4}$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{BM} = \vec{M} - \vec{B} = \frac{u+v}{4} - u = \frac{u+v-4u}{4} = \frac{v-3u}{4}$.
મધ્યગાની લંબાઈ $|\overrightarrow{BM}| = |\frac{v-3u}{4}| = \frac{|v-3u|}{4}$ થાય.

(C) આપેલ સદિશ $v = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $v$ નું માન શોધો:
$|v| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
$v$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{v} = \frac{v}{|v|} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}}$ છે.
$v$ ની દિશામાં $\sqrt{7}$ માન ધરાવતો સદિશ $\sqrt{7} \times \hat{v}$ દ્વારા મળે છે:
$= \sqrt{7} \times \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} \right) = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{14}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = \frac{2}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{3}{\sqrt{2}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) નિયમિત પંચકોણનો આંતરિક ખૂણો $\theta = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n=5$ છે.
તેથી,$\theta = \frac{(5-2) \times 180^{\circ}}{5} = \frac{3 \times 180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$.
સદિશ $\vec{v} = (\sin \theta) \hat{i} + (\cos \theta) \hat{j} + (\tan \theta) \hat{k}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \tan^2 \theta}$ છે.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $|\vec{v}| = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = |\sec \theta|$.
$\theta = 108^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $|\sec 108^{\circ}|$ મળે છે.
કારણ કે $\sec 108^{\circ} = \sec(180^{\circ} - 72^{\circ}) = -\sec 72^{\circ} = -\operatorname{cosec} 18^{\circ}$,તેથી માન $|-\operatorname{cosec} 18^{\circ}| = |\operatorname{cosec} 18^{\circ}|$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બે સદિશો $a$ અને $b$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $|a| = 2$,$|b| = 3$,અને $\theta = \frac{\pi}{6}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$|a \times b| = 2 \times 3 \times \sin(\frac{\pi}{6})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $|a \times b| = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$.
આમ,$|a \times b|^2 = (3)^2 = 9$.

(B) સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર આ મુજબ છે:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$
આ સૂત્રને વિધાન (ii) સાથે સરખાવતા,પ્રશ્નમાં આપેલ વિધાન (ii) $a \times (b \times c) = (a \cdot b) c - (a \cdot c) b$ છે,જે સાચા સૂત્રનું વિરોધી છે. તેથી,વિધાન (ii) ખોટું છે.
હવે,વિધાન $(i)$ ધ્યાનમાં લો: $(a \times b) \times c$. $u \times v = -(v \times u)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(a \times b) \times c = -c \times (a \times b)$
સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર લાગુ પાડતા: $-[ (c \cdot b) a - (c \cdot a) b ] = (a \cdot c) b - (b \cdot c) a$.
આમ,વિધાન $(i)$ સાચું છે. તેથી,$(i)$ સાચું છે અને (ii) ખોટું છે.

(B) આપેલ છે કે $B = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ અને $C = 5\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$.
સદિશ $\vec{BC} = C - B = (5-3)\hat{i} + (1-(-2))\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$.
કારણ કે $\max \{AB, BC, AC\} = BC$,તેથી $BC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ નો કર્ણ છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
તેથી,$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$.
આપણે $\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ હોવાથી,પદાવલિ $\vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ બને છે.
$\triangle ABC$ માં પ્રક્ષેપ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| |\vec{BC}| \cos B = |\vec{BA}|^2$ અને $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}| |\vec{CB}| \cos C = |\vec{CA}|^2$.
આમ,પદાવલિ $|\vec{BA}|^2 + |\vec{CA}|^2$ થાય છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$|\vec{BA}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2$.
$|\vec{BC}|^2 = (2)^2 + (3)^2 + (-4)^2 = 4 + 9 + 16 = 29$.

(D) આપેલ છે કે,$a+b+c=0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $a+b=-c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(a+b)^2 = (-c)^2$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
આપેલ મૂલ્યો $|a|=3, |b|=5, |c|=7$ મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2|a||b| \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34$.
$30 \cos \theta = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે,$r \times b = c \times b$.
આનો અર્થ એ થાય કે $(r - c) \times b = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(r - c)$ એ $b$ ને સમાંતર છે,તેથી આપણે કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $(r - c) = \lambda b$ લખી શકીએ.
આમ,$r = c + \lambda b$ ...$(i)$.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે $r \cdot a = 0$.
$(i)$ માંથી $r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $(c + \lambda b) \cdot a = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા $c \cdot a + \lambda (b \cdot a) = 0$ મળે છે.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = -\frac{c \cdot a}{b \cdot a}$ મળે છે ...(ii).
$\lambda$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $r = c - \left( \frac{c \cdot a}{b \cdot a} \right) b$ મળે છે.

(D) બે શૂન્યતર સદિશો $u$ અને $v$ નો સદિશ ગુણાકાર $u \times v = |u||v| \sin \theta \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે અને $\hat{n}$ એ $u$ અને $v$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ છે.
બંને બાજુ માન લેતા,આપણને $|u \times v| = |u||v| |\sin \theta|$ મળે છે.
સાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|\sin \theta|$ એ $0 \leq |\sin \theta| \leq 1$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,$|u \times v| = |u||v| |\sin \theta| \leq |u||v|$.
આમ,સદિશ ગુણાકારનું માન હંમેશા વ્યક્તિગત સદિશોના માનના ગુણાકાર કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.

(A) આપેલ છે કે,$|u|=3$,$|v|=5$,અને $|w|=7$.
$u+v+w=0$ હોવાથી,આપણે $u+v=-w$ લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|u+v|^2 = |-w|^2$ મળે.
$|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(u \cdot v)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| \cos \theta = |w|^2$,જ્યાં $\theta$ એ $u$ અને $v$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$
$34 + 30 \cos \theta = 49$
$30 \cos \theta = 49 - 34$
$30 \cos \theta = 15$
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = 60^{\circ}$.

(C) બે સદિશો $p$ અને $q$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\sin(\alpha) = \frac{|p \times q|}{|p||q|}$ થાય.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $p \times q$ શોધો:
$p \times q = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 1) - \hat{j}(3 + 2) + \hat{k}(-3 - 8) = 3\hat{i} - 5\hat{j} - 11\hat{k}$.
હવે,તેમના માન શોધો:
$|p \times q| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-11)^2} = \sqrt{9 + 25 + 121} = \sqrt{155}$.
$|p| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}$.
$|q| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{26} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{156}} = \sqrt{\frac{155}{156}}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે. રેખાખંડ $AB$ ના મધ્યબિંદુ $M$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{a+b}{2}$ છે.
લંબદ્વિભાજક $M$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{AB} = b - a$ (અથવા $a - b$) ને લંબ છે.
ધારો કે $P$ એ લંબદ્વિભાજક પરનું કોઈપણ બિંદુ છે જેનો સ્થાન સદિશ $r$ છે. તો સદિશ $\vec{MP} = r - \frac{a+b}{2}$ એ સદિશ $\vec{AB} = a - b$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\left(r - \frac{a+b}{2}\right) \cdot (a - b) = 0$
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$(2r - (a + b)) \cdot (a - b) = 0$
આમ,સમીકરણ $(2r - a - b) \cdot (a - b) = 0$ છે.

(C) આપેલ સદિશો $a = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ અને $b = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$2a + b$ ની ગણતરી કરો:
$2a + b = 2(2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (4\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 7\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
ત્યારબાદ,$a + 2b$ ની ગણતરી કરો:
$a + 2b = (2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + 2(3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + (6\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 8\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
ધારો કે $u = 2a + b = 7\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ અને $v = a + 2b = 8\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$u$ અને $v$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u| |v|}$ દ્વારા મળે છે.
$u \cdot v = (7)(8) + (1)(-1) + (-4)(1) = 56 - 1 - 4 = 51$.
$|u| = \sqrt{7^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 1 + 16} = \sqrt{66}$.
$|v| = \sqrt{8^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1 + 1} = \sqrt{66}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{51}{\sqrt{66} \sqrt{66}} = \frac{51}{66}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{51}{66}\right)$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$,અને $\vec{c} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$.
તેથી $\vec{b}+\vec{c} = (2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$.
ધારો કે $\hat{u}$ એ $(\vec{b}+\vec{c})$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે,તેથી $\hat{u} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2+36+4}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}}$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \hat{u}| = \sqrt{2}$ છે.
$\vec{a} \times \hat{u} = \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2+\lambda & 6 & -2 \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} [\hat{i}(-2-6) - \hat{j}(-2-(2+\lambda)) + \hat{k}(6-(2+\lambda))]$.
$= \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} [-8 \hat{i} + (4+\lambda) \hat{j} + (4-\lambda) \hat{k}]$.
માન લેતા: $|\vec{a} \times \hat{u}| = \frac{\sqrt{(-8)^2 + (4+\lambda)^2 + (4-\lambda)^2}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2}$.
$\frac{\sqrt{64 + 16 + 8\lambda + \lambda^2 + 16 - 8\lambda + \lambda^2}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2} \implies \frac{\sqrt{2\lambda^2 + 96}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2\lambda^2 + 96}{\lambda^2+4 \lambda+44} = 2 \implies 2\lambda^2 + 96 = 2\lambda^2 + 8\lambda + 88$.
$8\lambda = 8 \implies \lambda = 1$. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે સદિશ $u = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $v = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
અદિશ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u||v|}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $u \cdot v = (-2)(1) + (2)(-2) + (1)(2) = -2 - 4 + 2 = -4$.
ત્યારબાદ,માન શોધો: $|u| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ અને $|v| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{-4}{3 \times 3} = -\frac{4}{9}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{4}{9}\right)$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં $\cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચો ગણવામાં આવે છે.

(C) સદિશો $P$ અને $Q$ દ્વારા દર્શાવેલ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |P \times Q|$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $P \times Q$ શોધીએ:
$P \times Q = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(5 \times 3 - (-1) \times 2) - \hat{j}(3 \times 3 - (-1) \times 1) + \hat{k}(3 \times 2 - 5 \times 1)$
$= \hat{i}(15 + 2) - \hat{j}(9 + 1) + \hat{k}(6 - 5)$
$= 17 \hat{i} - 10 \hat{j} + \hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધીએ:
$|P \times Q| = \sqrt{17^2 + (-10)^2 + 1^2} = \sqrt{289 + 100 + 1} = \sqrt{390}$.
અંતે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |P \times Q| = \frac{\sqrt{390}}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b$ અને $c$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે જેથી $a \times b = c$ અને $b \times c = a$.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$a \cdot b = 0$,$b \cdot c = 0$,અને $c \cdot a = 0$ થાય.
વળી,સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = |a||b| \sin(90^\circ) = |a||b| = |c|$ દ્વારા મળે છે.
તે જ રીતે,$|b \times c| = |b||c| = |a|$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણમાં $|a| = |b||c|$ મૂકતા: $|b||c| \cdot |b| = |c|$.
અહીં $c$ એક સદિશ હોવાથી $|c| \neq 0$,તેથી $|c|$ વડે ભાગતા $|b|^2 = 1$ મળે.
સદિશનું માન $|b|$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$|b| = 1$ થાય.

(B) આપેલ છે: $p \times q = p \times r$ અને $p \cdot q = p \cdot r$
$p \times q = p \times r$ પરથી,આપણને મળે છે:
$p \times q - p \times r = 0$
$p \times (q - r) = 0$
આ સૂચવે છે કે $p$ એ $(q - r)$ ને સમાંતર છે અથવા $(q - r) = 0$ છે.
$p \cdot q = p \cdot r$ પરથી,આપણને મળે છે:
$p \cdot q - p \cdot r = 0$
$p \cdot (q - r) = 0$
આ સૂચવે છે કે $p$ એ $(q - r)$ ને લંબ છે અથવા $(q - r) = 0$ છે.
કારણ કે $p$ એ શૂન્યતર સદિશ $(q - r)$ ને એકસાથે સમાંતર અને લંબ હોઈ શકે નહીં,તેથી $(q - r) = 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$q = r$ ($p \neq 0$ ધારીને).
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\vec{a}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{c}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{a} = k(\vec{b} \times \vec{c})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
બંને બાજુ માન લેતા,$|\vec{a}| = |k| |\vec{b} \times \vec{c}|$.
$|\vec{a}| = 1$ હોવાથી,$1 = |k| |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\pi / 3)$.
કિંમતો મૂકતા,$1 = |k| (1)(1)(\sqrt{3} / 2)$,જે આપણને $|k| = 2 / \sqrt{3}$ આપે છે.
આમ,$\vec{a} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}(\vec{b} \times \vec{c})$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ $\vec{a} + \vec{b} = -\sqrt{3} \vec{c}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\sqrt{3} \vec{c}|^2$ મળે.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3|\vec{c}|^2$.
કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3(1)^2$.
$2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\frac{1}{2} = (1)(1) \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j}$ અને $\vec{b} = -3\hat{i} + 5\hat{j}$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ જે રેખાખંડ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેનો સ્થાન સદિશ:
$\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{p} = \frac{2(-3\hat{i} + 5\hat{j}) + 1(\hat{i} - 2\hat{j})}{2+1}$
$\vec{p} = \frac{-6\hat{i} + 10\hat{j} + \hat{i} - 2\hat{j}}{3}$
$\vec{p} = \frac{-5\hat{i} + 8\hat{j}}{3}$

(D) ધારો કે જરૂરી રેખાના દિક્ગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ છે.
આ રેખા $\langle 1, -2, -2 \rangle$ અને $\langle 0, 2, 1 \rangle$ દિક્ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$1(a) - 2(b) - 2(c) = 0$ (સમીકરણ $1$)
$0(a) + 2(b) + 1(c) = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ પરથી,$c = -2b$ મળે છે.
$c = -2b$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a - 2b - 2(-2b) = 0$
$a - 2b + 4b = 0$
$a + 2b = 0 \implies a = -2b$.
જો $b = -1$ લઈએ,તો $a = 2$ અને $c = 2$ મળે.
તેથી દિક્ગુણોત્તર $\langle 2, -1, 2 \rangle$ છે.
તેનું મૂલ્ય $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
આમ,દિક્કોસાઇન $\langle \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{2}{3} \rangle$ થાય.

(A) $X, Y$ અને $Z$-અક્ષ સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવતી રેખાના દિક-કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 90^{\circ}, \beta = 135^{\circ}$ અને $\gamma = 45^{\circ}$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$\cos \alpha = \cos 90^{\circ} = 0$
$\cos \beta = \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \gamma = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,દિક-કોસાઇન $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(D) બે લંબ રેખાઓ જેના દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,તેમના માટે લંબ હોવાની શરત $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ છે.
વિધાન $4$ માં સરવાળો $1$ હોવાનું કહેવામાં આવ્યું છે,જે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $4$ ખોટું છે.

(B) સદિશ $\vec{a} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ ના દિક્કોસાઇન $\frac{x}{|\vec{a}|}, \frac{y}{|\vec{a}|}, \frac{z}{|\vec{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = -2 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશનું માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$.
તેથી,દિક્કોસાઇન $\frac{-2}{\sqrt{30}}, \frac{1}{\sqrt{30}}, \frac{-5}{\sqrt{30}}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) સદિશ $v$ નો સદિશ $u$ પરનો ઘટક શોધવાનું સૂત્ર $\frac{v \cdot u}{|u|}$ છે.
આપેલ છે કે $u = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $v = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $v \cdot u = (1)(-2) + (-2)(2) + (2)(1) = -2 - 4 + 2 = -4$ શોધો.
ત્યારબાદ,$u$ નું માન $|u| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ શોધો.
તેથી,$u$ પર $v$ નો ઘટક $\frac{v \cdot u}{|u|} = \frac{-4}{3}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) રેખાના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ તેના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
અહીં આપેલ દિકકોસાઇન $\langle -\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11} \rangle$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકગુણોત્તર એ દિકકોસાઇનના પ્રમાણમાં રહેલી કોઈપણ સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે.
જો આપણે દિકકોસાઇનને અચળાંક $k = 11$ વડે ગુણીએ,તો આપણને દિકગુણોત્તર $\langle -9, 6, -2 \rangle$ મળે છે.
તેથી,દિકગુણોત્તર $\langle -9, 6, -2 \rangle$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) બે રેખાઓ સમાંતર હોય જો અને માત્ર જો તેમના દિકકોસાઇન પ્રમાણમાં હોય.
આપેલ છે કે બે રેખાઓના દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે,તેથી સમાંતરતા માટેની શરત છે:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓની દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ અને $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = |(\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{4})(\frac{\sqrt{3}}{4})|$
$\cos \theta = |-\frac{3}{4} + \frac{1}{16} + \frac{3}{16}|$
$\cos \theta = |-\frac{12}{16} + \frac{4}{16}| = |-\frac{8}{16}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = 60^{\circ}$.
આમ,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.

(B) બે રેખાઓની દિકકોસાઇન $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
આ દિકકોસાઇન હોવાથી,આપણી પાસે ગુણધર્મ $a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 = 1$ અને $a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 = 1$ છે.
બે રેખાઓ જેની દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos \theta = |a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|$ મળે છે.
છેદ $\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} = 1$ હોવાથી,પદાવલિ $|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|$ માં પરિણમે છે.

(D) ધારો કે રેખા ધન $x$,$y$,અને $z$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$,અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{3}$ અને $\beta = \frac{\pi}{4}$.
રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos \gamma = \frac{1}{2}$ (કારણ કે ખૂણો ધન અક્ષ સાથે છે,તેથી $\cos \gamma > 0$).
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{3}$.