AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+4y^2=64$ છે,જેને $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રથમ ચરણમાં લંબચોરસના શિરોબિંદુ $P$ ને $(8\cos\theta, 4\sin\theta)$ ધારો.
લંબચોરસના ચાર શિરોબિંદુઓ $(8\cos\theta, 4\sin\theta)$,$(-8\cos\theta, 4\sin\theta)$,$(-8\cos\theta, -4\sin\theta)$ અને $(8\cos\theta, -4\sin\theta)$ છે.
લંબચોરસની બાજુઓની લંબાઈ $L = 2(8\cos\theta) = 16\cos\theta$ અને $W = 2(4\sin\theta) = 8\sin\theta$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times W = (16\cos\theta)(8\sin\theta) = 128\sin\theta\cos\theta = 64\sin(2\theta)$ છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin(2\theta) = 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \frac{\pi}{2}$ અથવા $\theta = \frac{\pi}{4}$.
બાજુઓ માટેના સમીકરણોમાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$L = 16\cos(\frac{\pi}{4}) = 16(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 8\sqrt{2}$.
$W = 8\sin(\frac{\pi}{4}) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 4\sqrt{2}$.
આમ,બાજુઓની લંબાઈ $8\sqrt{2}$ અને $4\sqrt{2}$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + y^2 = 9$ છે.
$x = m^2$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $9(m^2)^2 + y^2 = 9$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $9m^4 + y^2 = 9$ થાય છે,જે $y^2 = 9 - 9m^4 = 9(1 - m^4)$ આપે છે.
બિંદુઓ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,$y^2 > 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$9(1 - m^4) > 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 - m^4 > 0$ અથવા $m^4 < 1$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,આપણને $|m| < 1$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 18$ અને $b^2 = 32$. અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
$m = -\frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(-\frac{4}{3})^2 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(\frac{16}{9}) + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{32 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm 8$.
આથી $4x + 3y = \pm 24$ મળે છે.
સ્પર્શક $4x + 3y = 24$ માટે:
$x$-અંતઃખંડ ($y=0$ લેતા) $Q(6,0)$ છે.
$y$-અંતઃખંડ ($x=0$ લેતા) $P(0,8)$ છે.
આમ,બિંદુઓ $P(0,8)$ અને $Q(6,0)$ છે.

(C) રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે.
અહીં,$a^2=4$,$b^2=1$,અને $m=4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $c^2 = 4(4)^2 + 1 = 4(16) + 1 = 64 + 1 = 65$ મળે છે.
આમ,$c = \pm \sqrt{65}$.
'$c$' માટે $2$ શક્ય મૂલ્યો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલય $x^2+16y^2=16$ છે,જેને $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=16$ અને $b^2=1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(\sqrt{3})^2+1}$.
$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(3)+1} = \sqrt{3}x \pm \sqrt{49} = \sqrt{3}x \pm 7$.
તેથી,સમીકરણો $\sqrt{3}x-y+7=0$ અથવા $\sqrt{3}x-y-7=0$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\sqrt{3}x-y+7=0$ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $x^2+4y^2=4$ છે. $4$ વડે ભાગતા,આપણને ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$.
અહીં,$a^2=4$ અને $b^2=1$ છે.
રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે.
$y=2x+c$ ને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=2$ મળે છે.
કિંમતો $a^2=4$,$b^2=1$,અને $m=2$ ને શરતમાં મૂકતા:
$c^2 = (4)(2)^2 + 1$
$c^2 = 4(4) + 1$
$c^2 = 16 + 1 = 17$.

(C) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{36} = 1$ પર બિંદુ $P(2 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ છે. બિંદુ $P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે. અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 36$ છે. બિંદુ $(2 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ મૂકતા,આપણને મળે: $\frac{4x}{2 \cos \theta} - \frac{36y}{6 \sin \theta} = 4 - 36$. સાદું રૂપ આપતા,$2x \sec \theta - 6y \operatorname{cosec} \theta + 32 = 0$ મળે છે. તેને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$\frac{a}{2 \sec \theta} = \frac{b}{-6 \operatorname{cosec} \theta} = \frac{c}{32}$ મળે. આથી $\cos \theta = \frac{c}{16a}$ અને $\sin \theta = -\frac{3c}{16b}$ મળે છે. $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{c^2}{256a^2} + \frac{9c^2}{256b^2} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{a^2} + \frac{9}{b^2} = \frac{256}{c^2}$ થાય છે.

(B) ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
ધારો કે $A$ એ $X$-અક્ષ પર અને $B$ એ $Y$-અક્ષ પર છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાખંડ $AB$ દ્વારા $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$\triangle PMA$ માં,આપણી પાસે $\sin \theta = \frac{k}{b}$ છે,જેનો અર્થ છે $k = b \sin \theta$.
$\triangle BNP$ માં,આપણી પાસે $\cos \theta = \frac{h}{a}$ છે,જેનો અર્થ છે $h = a \cos \theta$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કિંમતો મૂકીએ છીએ:
$(\frac{k}{b})^2 + (\frac{h}{a})^2 = 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિઓ $F_1(-ae, 0)$ અને $F_2(ae, 0)$ છે. $F_1$ માંથી પસાર થતા નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $A(-ae, b^2/a)$ અને $A'(-ae, -b^2/a)$ છે.
નાભિલંબ દ્વારા બીજી નાભિ $F_2$ આગળ બનતો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
નાભિ $F_2$,નાભિલંબનું મધ્યબિંદુ $B(-ae, 0)$ અને એક અંત્યબિંદુ $A(-ae, b^2/a)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$F_2$ આગળનો ખૂણો $30^{\circ}$ થાય.
$\triangle ABF_2$ માં,$AB = \frac{b^2}{a}$ અને $BF_2 = 2ae$ છે.
તેથી,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BF_2} = \frac{b^2}{2a^2e}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b^2}{2a^2e}$ અને $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{e^2 - 1}{2e}$.
આથી $2e = \sqrt{3}(e^2 - 1)$,એટલે કે $\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $e = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.
$e > 1$ હોવાથી,$e = \sqrt{3}$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x-3)^2+(y+1)^2=(4x+3y)^2$ છે.
આને $\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2} = 5 \left| \frac{4x+3y}{5} \right|$ તરીકે લખી શકાય.
આ $SP = ePM$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S(3, -1)$ નાભિ છે,$e = 5$ ઉત્કેન્દ્રતા છે અને $4x+3y=0$ નિયામિકા છે.
મુખ્ય અક્ષ એ નાભિ $(3, -1)$ માંથી પસાર થતી અને નિયામિકા $4x+3y=0$ ને લંબ રેખા છે.
નિયામિકાનો ઢાળ $m_1 = -4/3$ છે.
મુખ્ય અક્ષ નિયામિકાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = 3/4$ થાય.
મુખ્ય અક્ષનું સમીકરણ $y - (-1) = \frac{3}{4}(x - 3)$ છે.
$4(y+1) = 3(x-3) \implies 4y+4 = 3x-9 \implies 3x-4y = 13$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $7x^2 - 49y^2 = 343$ છે.
બંને બાજુ $343$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{7x^2}{343} - \frac{49y^2}{343} = \frac{343}{343}$
$\frac{x^2}{49} - \frac{y^2}{7} = 1$.
આને અતિવલયના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a^2 = 49$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 7$.
અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,શિરોબિંદુઓ $(\pm 7, 0)$ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે,નાભિ $(S) = (1, 2)$,ઉત્કેન્દ્રિયતા $(e) = \sqrt{3}$ અને નિયામિકા $2x + y - 1 = 0$.
શંકુના વ્યાખ્યા મુજબ,$SP = e \cdot PM$,જ્યાં $P(x, y)$ એ અતિવલય પરનું બિંદુ છે.
$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3 \cdot \frac{(2x + y - 1)^2}{2^2 + 1^2}$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = \frac{3}{5}(4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 4x - 2y)$
$5(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5) = 3(4x^2 + y^2 + 4xy - 4x - 2y + 1)$
$5x^2 + 5y^2 - 10x - 20y + 25 = 12x^2 + 3y^2 + 12xy - 12x - 6y + 3$
પદોને ગોઠવતા:
$7x^2 - 2y^2 + 12xy - 2x + 14y - 22 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$2y^2 - 12xy - 7x^2 + 2x - 14y + 22 = 0$.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ લો.
શિરોબિંદુ $A^{\prime}$ ના યામ $(-a, 0)$ છે.
નાભિ $S$ એ $(ae, 0)$ છે અને નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $L$ અને $L^{\prime}$ એ $(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
બાજુ $LL^{\prime}$ ની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે.
$\triangle A^{\prime}LL^{\prime}$ સમબાજુ હોવાથી,$A^{\prime}$ થી $LL^{\prime}$ પરનો વેધ $\frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{બાજુની લંબાઈ} = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}$ થાય.
$A^{\prime}(-a, 0)$ થી રેખા $x = ae$ નું અંતર $a(e+1)$ છે.
તેથી,$a(e+1) = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}$.
$b^2 = a^2(e^2-1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$a(e+1) = \sqrt{3}a(e-1)(e+1)$ મળે.
$a(e+1)$ વડે ભાગતા,$1 = \sqrt{3}(e-1)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $e = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ વક્ર $x=a \cosh(t)$ અને $y=b \sinh(t)$ છે,જે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ દર્શાવે છે.
બિંદુ $t$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{b \cosh(t)}{a \sinh(t)}$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{a \sinh(t)}{b \cosh(t)}$ થશે.
બિંદુ $(a \cosh(t), b \sinh(t))$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - b \sinh(t) = -\frac{a \sinh(t)}{b \cosh(t)} (x - a \cosh(t))$.
સાદું રૂપ આપતા:
$ax \operatorname{sech}(t) + by \operatorname{cosech}(t) = a^2+b^2$ મળે છે.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ નિયામક વર્તુળ છે,જેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ છે.
આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ માટે,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 2$ છે.
આ કિંમતો નિયામક વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 4 - 2 = 2$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $x^2 + y^2 = 2$ વર્તુળ પર આવેલું છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) અતિવલય $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y-4=0$ ના અનંતસ્પર્શકોનું સમીકરણ $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y+\lambda=0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ સમીકરણ રેખાયુગ્મ દર્શાવતું હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$.
અહીં $a=2, b=2, c=\lambda, h=\frac{5}{2}, g=-\frac{11}{2}, f=-\frac{7}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4\lambda + \frac{385}{4} - \frac{49}{2} - \frac{121}{2} - \frac{25\lambda}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા:
$16\lambda + 385 - 98 - 242 - 25\lambda = 0$.
$-9\lambda + 45 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$.
તેથી,સમીકરણ $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y+5=0$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x) = x^n$ માટે જ્યારે $x$ એ $a$ ને અનુલક્ષે ત્યારે લક્ષની કિંમત એ $x = a$ આગળ વિધેયની કિંમત જેટલી થાય છે.
કારણ કે $f(x) = x^n$ એ $x > 0$ માટે સતત છે,તેથી:
$\lim_{x \rightarrow a} x^n = a^n$

(D) અમને લક્ષ આપેલ છે: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n !}{(n+1) !-n !}$
પ્રથમ,છેદમાં $n!$ સામાન્ય કાઢીને સાદું રૂપ આપો:
$(n+1)! - n! = n!(n+1) - n!(1) = n!(n+1-1) = n!(n)$
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં પાછી મૂકો:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n!(n)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}$
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{1}{n}$ ની કિંમત $0$ ની નજીક જાય છે.
તેથી,લક્ષ $0$ છે.

(D) આપેલ છે,$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^n - 3^n}{x - 3} = 108$.
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n \cdot a^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$a = 3$ છે,તેથી $n \cdot 3^{n-1} = 108$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા:
$n \cdot 3^n = 108 \times 3 = 324$.
$324$ ને $4 \times 81 = 4 \times 3^4$ તરીકે લખી શકાય.
$n \cdot 3^n = 4 \times 3^4$ ની સરખામણી કરતા,$n = 4$ મળે છે.
આમ,$n$ ની કિંમત $4$ છે.

(C) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{x}{2}\right)^{5 / 7}-1}{x}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપમાં છે.
આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને એલ-હોસ્પિટલનો નિયમ લાગુ કરી શકીએ છીએ:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}\left(\left(1+\frac{x}{2}\right)^{5 / 7}-1\right)}{\frac{d}{dx}(x)}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\frac{5}{7}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{5 / 7 - 1} \cdot \frac{d}{dx}\left(1+\frac{x}{2}\right)}{1}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{5}{7}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-2 / 7} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{5}{7} \cdot (1+0)^{-2 / 7} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{5}{14}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x = 2$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2} (4x - 5) = 4(2) - 5 = 3$.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2} (x - k) = 2 - k$.
$LHL$ અને $RHL$ ને સરખાવતા:
$3 = 2 - k$
$k = 2 - 3$
$k = -1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપણને લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{\sin x}$ આપેલ છે.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{a^x-1}{x}}{\frac{\sin x}{x}}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log _e a$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\log _e a}{1} = \log _e a$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1}(1-x) \tan \left(\frac{\pi x}{2}\right)$.
આ $0 \times \infty$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે લક્ષને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{\cot \left(\frac{\pi x}{2}\right)}$.
અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$'Hospital નો નિયમ લાગુ પાડતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}(1-x)}{\frac{d}{dx}(\cot \left(\frac{\pi x}{2}\right))}$
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-1}{-\csc^2 \left(\frac{\pi x}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{2}}$
$L = \frac{1}{\frac{\pi}{2} \csc^2 \left(\frac{\pi}{2}\right)}$
કારણ કે $\csc \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,તેથી:
$L = \frac{1}{\frac{\pi}{2} \cdot 1^2} = \frac{2}{\pi}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{n-\sqrt{n^2-4 n}\right\}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અનુબદ્ધ પદ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n-\sqrt{n^2-4 n})(n+\sqrt{n^2-4 n})}{n+\sqrt{n^2-4 n}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2-(n^2-4 n)}{n+\sqrt{n^2-4 n}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n}{n+\sqrt{n^2-4 n}}$
અંશ અને છેદને $n$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4}{1+\sqrt{1-\frac{4}{n}}}$
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{4}{n} \rightarrow 0$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$= \frac{4}{1+\sqrt{1-0}} = \frac{4}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$.

(C) ધારો કે $x = \pi + h$. જેમ $x \rightarrow \pi$,તેમ $h \rightarrow 0$.
પદાવલિ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-\sin (\frac{\pi+h}{2})}{\cos (\frac{\pi+h}{2}) (\cos (\frac{\pi+h}{4})-\sin (\frac{\pi+h}{4}))}$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin (\frac{\pi}{2} + \frac{h}{2}) = \cos (\frac{h}{2})$ અને $\cos (\frac{\pi}{2} + \frac{h}{2}) = -\sin (\frac{h}{2})$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-\cos (h/2)}{-\sin (h/2) (\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{h}{4}) - \sin (\frac{\pi}{4} + \frac{h}{4}))}$ થાય છે.
કારણ કે $\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{h}{4}) - \sin (\frac{\pi}{4} + \frac{h}{4}) = -\sqrt{2} \sin (h/4)$.
આ કિંમત મૂકતા: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 (h/4)}{-\sin (h/2) \cdot (-\sqrt{2} \sin (h/4))} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin (h/4)}{\sqrt{2} \sin (h/2)}$.
$\sin (h/2) = 2 \sin (h/4) \cos (h/4)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin (h/4)}{\sqrt{2} \cdot 2 \sin (h/4) \cos (h/4)} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2} \cos (h/4)} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) આપણને લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x^m)}{(\sin x)^n}$ આપેલ છે જ્યાં $n < m$.
અંશને $x^m$ વડે અને છેદને $x^n$ વડે ભાગતા અને ગુણતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin (x^m)}{x^m} \cdot x^m \right) / \left( \frac{\sin x}{x} \cdot x \right)^n$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin (x^m)}{x^m} \right) \cdot \left( \frac{x}{\sin x} \right)^n \cdot x^{m-n}$
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x^m)}{x^m} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી:
$L = 1 \cdot (1)^n \cdot \lim _{x \rightarrow 0} x^{m-n}$
$n < m$ હોવાથી,$m - n > 0$ થાય.
તેથી,$L = 0^{m-n} = 0$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}$
$= 2 \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(\frac{x}{2})}{x} \right)^2$
$= 2 \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(\frac{x}{2})}{2 \cdot \frac{x}{2}} \right)^2$
$= 2 \cdot \frac{1}{4} \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} \right)^2$
કારણ કે $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (1)^2 = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે,$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{p}{x}\right)^{q x}=e^9$.
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow \infty}(1+\frac{a}{x})^x = e^a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{p}{x}\right)^{q x} = \left[ \lim _{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{p}{x}\right)^{x} \right]^{q} = (e^p)^q = e^{pq}$.
આને આપેલ પદ $e^9$ સાથે સરખાવતા,આપણને $pq = 9$ મળે છે.
કારણ કે $p, q \in \mathbb{N}$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) છે,તેથી શક્ય જોડીઓ $(p, q)$ એ $(1, 9), (3, 3), (9, 1)$ છે.
આ કિસ્સાઓમાં,$p+q$ ની કિંમત $1+9=10$ અથવા $3+3=6$ હોઈ શકે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $6$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત લક્ષનું સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow 0}(1+ax)^{\frac{1}{ax}} = e$ છે,જ્યાં $a \neq 0$.
આપેલ પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 0}(1+3x)^{\frac{2}{x}}$ છે.
આપણે ઘાતાંકને $\frac{2}{x} = 6 \times \frac{1}{3x}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આને લક્ષમાં મૂકતા,આપણને $\lim _{x \rightarrow 0}(1+3x)^{\frac{2}{x}} = \lim _{x \rightarrow 0} \left((1+3x)^{\frac{1}{3x}}\right)^6$ મળે છે.
પ્રમાણિત લક્ષના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આ પદાવલિનું મૂલ્ય $e^6$ થાય છે.

(A) અમે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x})^{bx} = e^{ab}$.
આપેલ પદાવલિ: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{2}{x})^{3x}$.
અહીં,$a = 2$ અને $b = 3$ છે.
સૂત્ર લાગુ કરતા: $e^{2 \times 3} = e^6$.

(B) ધારો કે પદાવલિ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{8}{\sin ^8 x} \left\{1-\cos \left(\frac{x^2}{2}\right)-\cos \left(\frac{x^2}{4}\right)+\cos \left(\frac{x^2}{2}\right) \cos \left(\frac{x^2}{4}\right)\right\}$ છે.
કૌંસની અંદરની પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$1-\cos \left(\frac{x^2}{2}\right)-\cos \left(\frac{x^2}{4}\right)+\cos \left(\frac{x^2}{2}\right) \cos \left(\frac{x^2}{4}\right) = \left(1-\cos \left(\frac{x^2}{2}\right)\right) \left(1-\cos \left(\frac{x^2}{4}\right)\right)$.
નિત્યસમ $1-\cos \theta = 2 \sin ^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{32 \sin ^2 \left(\frac{x^2}{4}\right) \sin ^2 \left(\frac{x^2}{8}\right)}{\sin ^8 x}$.
લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = 32 \cdot \frac{1}{16 \cdot 64} = \frac{32}{1024} = \frac{1}{32}$.

(C) કુલ આવૃત્તિ $120$ આપેલ છે. તેથી,$17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 120$.
$f_1 + f_2 + 68 = 120 \implies f_1 + f_2 = 52$ (સમીકરણ $1$).
વર્ગ મધ્યક $(x_i)$ $10, 30, 50, 70, 90$ છે.
મધ્યક $\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 50$ છે.
$\frac{17(10) + f_1(30) + 32(50) + f_2(70) + 19(90)}{120} = 50$.
$170 + 30f_1 + 1600 + 70f_2 + 1710 = 6000$.
$30f_1 + 70f_2 + 3480 = 6000$.
$30f_1 + 70f_2 = 2520 \implies 3f_1 + 7f_2 = 252$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$f_1 = 52 - f_2$. સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$3(52 - f_2) + 7f_2 = 252$.
$156 - 3f_2 + 7f_2 = 252$.
$4f_2 = 96 \implies f_2 = 24$.
તેથી $f_1 = 52 - 24 = 28$.

(B) $n$ અવલોકનોના મધ્યકનું સૂત્ર $\text{Mean} = \frac{\sum x_i}{n}$ છે.
અહીં અવલોકનો $8, 6, 7, 5, x, 4$ છે અને મધ્યક $7$ છે.
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 6$.
$\frac{8 + 6 + 7 + 5 + x + 4}{6} = 7$
$\frac{30 + x}{6} = 7$
$30 + x = 42$
$x = 42 - 30$
$x = 12$
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે વર્ગમાં છોકરાઓની સંખ્યા $m$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $n$ છે. આપેલી માહિતી મુજબ:
છોકરાઓના કુલ ગુણ $= 40m$
છોકરીઓના કુલ ગુણ $= 45n$
છોકરાઓ અને છોકરીઓના સંયુક્ત કુલ ગુણ $= 42(m + n)$
કુલ ગુણને સરખાવતા:
$40m + 45n = 42(m + n)$
$40m + 45n = 42m + 42n$
$3n = 2m$
$\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$
વર્ગમાં છોકરાઓની ટકાવારી:
$\frac{m}{m + n} \times 100 = \frac{3}{3 + 2} \times 100$
$= \frac{3}{5} \times 100 = 60 \%$
તેથી,છોકરાઓની ટકાવારી $60 \%$ છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) માહિતીનો મધ્યક અને મધ્યસ્થ એ મધ્યવર્તી સ્થિતિના માપ છે.
તેઓ તમામ માહિતી માટે સમાન હોવા જરૂરી નથી.
જોકે,અમુક સંમિત વિતરણો અથવા ચોક્કસ માહિતી માટે તેઓ સમાન હોઈ શકે છે.
તેથી,તેઓ ક્યારેક સમાન હોય છે.
આથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A, B) આપેલ સંખ્યાઓ $2, 3, 2x, 11$ છે. મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+3+2x+11}{4} = 4 + \frac{x}{2}$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 3.5 = \frac{7}{2}$ છે,તેથી $\sigma^2 = \frac{49}{4}$.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ છે.
$\frac{49}{4} = \frac{4 + 9 + 4x^2 + 121}{4} - (4 + \frac{x}{2})^2$.
સાદુરૂપ આપતા $3x^2 - 16x + 21 = 0$ મળે છે.
તેથી,$x = \frac{7}{3}$ અથવા $x = 3$.

(D) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+2+\ldots+n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $n$ એ બેકી સંખ્યા છે,તેથી મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |i - \frac{n+1}{2}|$.
જ્યારે $n$ બેકી હોય,ત્યારે આ સરવાળો બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{1}{n} \left[ \sum_{i=1}^{n/2} (\frac{n+1}{2} - i) + \sum_{i=n/2+1}^{n} (i - \frac{n+1}{2}) \right]$.
આ સરવાળાની ગણતરી કરતા,આપણને $M.D.(\bar{x}) = \frac{n^2-1}{4n}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $\bar{x} = 50$,$n = 100$,અને $\sigma = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n}$,તેથી $\Sigma x_i = n \cdot \bar{x} = 100 \cdot 50 = 5000$.
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - (50)^2$.
$25 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - 2500$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{100} = 2525$.
$\Sigma x_i^2 = 252500$.

(C) માહિતીનો વિસ્તાર એ મહત્તમ કિંમત અને ન્યૂનતમ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ માહિતી: $15, 14, k, 25, 30, 35$.
વિસ્તાર $= 23$.
કિસ્સો $1$: જો $35$ એ મહત્તમ કિંમત હોય,તો ન્યૂનતમ કિંમત $35 - 23 = 12$ હોવી જોઈએ.
જો $k = 12$ હોય,તો માહિતી $12, 14, 15, 25, 30, 35$ બને છે. વિસ્તાર $35 - 12 = 23$ થાય છે. આ એક માન્ય કિસ્સો છે.
કિસ્સો $2$: જો $k$ એ મહત્તમ કિંમત હોય,તો $k - 14 = 23$,જે $k = 37$ આપે છે.
આપણે $k$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત શોધી રહ્યા છીએ,તેથી $12$ અને $37$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ ધન કિંમત $12$ મળે છે.

(B) આપેલ અવલોકનો $20, 28, 40, 12, 30, 15, 50$ છે.
વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે માહિતીના સમૂહમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો ઓળખીએ છીએ.
મહત્તમ મૂલ્ય $= 50$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $= 12$.
વિસ્તાર $= \text{મહત્તમ મૂલ્ય} - \text{ન્યૂનતમ મૂલ્ય}$.
વિસ્તાર $= 50 - 12 = 38$.

(D) વિચલનાંક $(CV)$ એ મધ્યકની આસપાસ ડેટા શ્રેણીના ડેટા પોઈન્ટ્સના વિખેરણનું આંકડાકીય માપ છે.
તે પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ અને મધ્યક $\bar{x}$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જેને ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$
જ્યાં $\bar{x} \neq 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે. મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5} = 15$,તેથી $\sum x_i = 75$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\bar{x})^2 = 9$.
$\Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{5} - 225 = 9$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 5(234) = 1170$.
હવે,બે નવા અવલોકનો $-5$ અને $13$ ઉમેરવામાં આવે છે. અવલોકનોનો નવો સરવાળો $75 - 5 + 13 = 83$ છે.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $1170 + (-5)^2 + (13)^2 = 1170 + 25 + 169 = 1364$ છે.
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \frac{83}{7}$ છે.
નવું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i^2 + 25 + 169}{7} - (\bar{x}')^2 = \frac{1364}{7} - (\frac{83}{7})^2$.
$\sigma'^2 = \frac{1364 \times 7 - 6889}{49} = \frac{9548 - 6889}{49} = \frac{2659}{49}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $2n+1$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે: $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$.
શ્રેણીનો મધ્યક $m$ એ વચ્ચેનું પદ છે: $m = a + nd$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{2n+1} \sum_{i=0}^{2n} |x_i - m|$ દ્વારા મળે છે.
પદો મુકતા:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(a+kd) - (a+nd)| = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(k-n)d|$.
આ સરવાળો $\frac{d}{2n+1} [| -n | + | -(n-1) | + \ldots + | 0 | + \ldots + | n |]$ છે.
કૌંસની અંદરનો સરવાળો $2 \times (1 + 2 + \ldots + n) = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ થાય છે.
આમ,સરેરાશ વિચલન $\frac{n(n+1)d}{2n+1}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $9$ છે,તેથી $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = 9$,જેનો અર્થ છે કે $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 45$.
પ્રમાણિત વિચલન $0$ હોવાથી,બધા અવલોકનો મધ્યક જેટલા જ હોવા જોઈએ. તેથી,$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 9$.
હવે,એક અવલોકન $x_5$ ને $y$ માં બદલવામાં આવે છે જેથી નવો મધ્યક $10$ થાય.
તેથી,$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+y}{5} = 10$,જેનો અર્થ છે કે $x_1+x_2+x_3+x_4+y = 50$.
$x_1+x_2+x_3+x_4 = 36$ મૂકતા (કારણ કે $x_1=x_2=x_3=x_4=9$),આપણને $36+y = 50$ મળે છે,તેથી $y = 14$.
અવલોકનોનો નવો સમૂહ ${9, 9, 9, 9, 14}$ છે.
નવો મધ્યક $10$ છે.
નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{(9-10)^2 + (9-10)^2 + (9-10)^2 + (9-10)^2 + (14-10)^2}{5}}$.
$= \sqrt{\frac{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (4)^2}{5}} = \sqrt{\frac{1+1+1+1+16}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$.

(A) આપેલ છે કે અવલોકનોની સંખ્યા $n = 60$,$\Sigma x_i = 960$,અને $\Sigma x_i^2 = 18000$ છે.
વિચરણ $\sigma^2$ માટેનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - \left(\frac{\Sigma x_i}{n}\right)^2$ છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{18000}{60} - \left(\frac{960}{60}\right)^2$.
$\sigma^2 = 300 - (16)^2$.
$\sigma^2 = 300 - 256$.
$\sigma^2 = 44$.

(D) આપેલ છે: $n_1 = 20, \bar{x}_1 = 25, \sigma_1^2 = 9$ અને $n_2 = 30, \bar{x}_2 = 10, \sigma_2^2 = 16$.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{20 \times 25 + 30 \times 10}{20 + 30} = \frac{500 + 300}{50} = \frac{800}{50} = 16$.
ધારો કે $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 25 - 16 = 9$ અને $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 10 - 16 = -6$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$.
$\sigma^2 = \frac{20(9 + 9^2) + 30(16 + (-6)^2)}{20 + 30} = \frac{20(9 + 81) + 30(16 + 36)}{50} = \frac{20(90) + 30(52)}{50} = \frac{1800 + 1560}{50} = \frac{3360}{50} = 67.2$.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપેલ છે કે $\frac{\tan A}{2} = \frac{\tan B}{3} = \frac{\tan C}{4} = k$.
તેથી,$\tan A = 2k$,$\tan B = 3k$,અને $\tan C = 4k$.
કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
કિંમતો મૂકતા,$2k + 3k + 4k = (2k)(3k)(4k)$,એટલે કે $9k = 24k^3$.
$k \neq 0$ હોવાથી,$k^2 = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.
આપણે $\sec^2 A + \sec^2 B + \sec^2 C = 3 + \tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા,$3 + (2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2 = 3 + k^2(4 + 9 + 16) = 3 + 29k^2$.
$k^2 = \frac{3}{8}$ મૂકતા,$3 + 29 \times \frac{3}{8} = 3 + \frac{87}{8} = \frac{24 + 87}{8} = \frac{111}{8}$.

(D) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,ખૂણાઓ $A, B, C$ એ $AP$ માં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,આપણને $\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $C = 45^{\circ}$.
અંતે,$\angle A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે $A+B+C=0$,તેથી $A+B = -C$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા,$\sin(A+B) = \sin(-C) = -\sin(C)$.
હવે,પદાવલિ $\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C)$ ધ્યાનમાં લો:
$\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C) = 2 \sin(A+B) \cos(A-B) + 2 \sin(C) \cos(C)$
કારણ કે $A+B = -C$,તેથી $\cos(A+B) = \cos(-C) = \cos(C)$.
$\sin(A+B) = -\sin(C)$ અને $\cos(C) = \cos(A+B)$ મૂકતા:
$= 2(-\sin(C)) \cos(A-B) + 2 \sin(C) \cos(A+B)$
$= -2 \sin(C) [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
નિત્યસમ $\cos(x-y) - \cos(x+y) = 2 \sin(x) \sin(y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -2 \sin(C) [2 \sin(A) \sin(B)]$
$= -4 \sin(A) \sin(B) \sin(C)$.

(C) $\triangle ABC$ માં,આપેલ છે કે $a=1$,$b=\sqrt{3}$ અને $\angle C=\frac{\pi}{6}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{1^2 + (\sqrt{3})^2 - c^2}{2(1)(\sqrt{3})}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 3 - c^2}{2\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 - c^2}{2\sqrt{3}}$
બંને બાજુ $2\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$3 = 4 - c^2$
$c^2 = 4 - 3 = 1$
કારણ કે $c$ એ બાજુની લંબાઈ દર્શાવે છે,તેથી $c = 1$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.