જો $\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત ન હોય,તો $x$ ની વાસ્તવિક કિંમત શોધો.

જો તમામ $a, b, c \in R$ માટે ${a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca \leq 0$ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{(a + b + c)}^2} & {{a^2} + {b^2}} & 1 \\ 1 & {{(b + c + 2)}^2} & {{b^2} + {c^2}} \\ {{c^2} + {a^2}} & 1 & {{(c + a + 2)}^2} \end{array}} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $35$ $sq$ $units$ હોય અને તેના શિરોબિંદુઓ $(2,-6), (5,4)$ અને $(k, 4)$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a+b & a+b+c \\ 3a & 4a+3b & 5a+4b+3c \\ 6a & 9a+6b & 11a+9b+6c \end{array} \right|$ જ્યાં $a = i, b = \omega, c = \omega^2$ હોય,તો $\Delta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ છે. તો $\mathbb{R}$ માં $y \ne 0$ માટે,નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} y + 1 & \alpha & \beta \\ \alpha & y + \beta & 1 \\ \beta & 1 & y + \alpha \end{array} \right|$ ની કિંમત શોધો.

જે સમીકરણના બીજ એ $\left|\begin{array}{ccc}1 & -3 & 1 \\ 1 & 6 & 4 \\ 1 & 3x & x^2\end{array}\right|=0$ સમીકરણના બીજ સમાન હોય તે સમીકરણ કયું છે?