AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin(2 \theta)}$.
અહીં,$\theta = \frac{3 \pi}{16}$,તેથી $2 \theta = \frac{3 \pi}{8}$.
આમ,પદાવલિ $\frac{2}{\sin(3 \pi / 8)}$ બને છે.
$\sin(3 \pi / 8) = \cos(\pi / 8) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.
તેથી,$\frac{2}{\sin(3 \pi / 8)} = \frac{4}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = 2 \sqrt{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $|\tan \theta| = \tan \theta + \sec \theta$.
કિસ્સો $1$: જો $\tan \theta \ge 0$ હોય,તો $\tan \theta = \tan \theta + \sec \theta$,જેનો અર્થ છે $\sec \theta = 0$. આનો કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\tan \theta < 0$ હોય,તો $-\tan \theta = \tan \theta + \sec \theta$,જેનો અર્થ છે $2\tan \theta + \sec \theta = 0$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ અને $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ મૂકતા,આપણને $2\sin \theta + 1 = 0$ મળે છે,તેથી $\sin \theta = -\frac{1}{2}$.
$\tan \theta < 0$ હોવાથી,$\theta$ બીજા અથવા ચોથા ચરણમાં હોવો જોઈએ. $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ માટે,$\theta = \frac{7\pi}{6}$ અથવા $\theta = \frac{11\pi}{6}$.
$\tan \theta < 0$ ચકાસતા:
$\theta = \frac{7\pi}{6}$ માટે,$\tan \theta = \tan(\frac{7\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ (અસ્વીકાર્ય).
$\theta = \frac{11\pi}{6}$ માટે,$\tan \theta = \tan(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ (સ્વીકાર્ય).
આમ,ઉકેલ $\theta = \frac{11\pi}{6}$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ છે ...$(i)$
જ્યારે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta) \cos \theta + (X \sin \theta + Y \cos \theta) \sin \theta = p$
$X \cos^2 \theta - Y \sin \theta \cos \theta + X \sin^2 \theta + Y \sin \theta \cos \theta = p$
$X (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = p$
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$X = p$

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $(x, y) = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ થાય.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(1, 0)$,$(a \cos t, a \sin t)$ અને $(b \sin t, -b \cos t)$ છે.
તેથી,$x = \frac{1 + a \cos t + b \sin t}{3} \Rightarrow 3x - 1 = a \cos t + b \sin t$ ...$(i)$
અને $y = \frac{0 + a \sin t - b \cos t}{3} \Rightarrow 3y = a \sin t - b \cos t$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$
$9x^2 - 6x + 1 + 9y^2 = a^2 + b^2$
$9x^2 + 9y^2 - 6x = a^2 + b^2 - 1$
આમ,$k = a^2 + b^2 - 1$.

(B) ધારો કે $(x, y)$ એ જૂની અક્ષોના યામ છે અને $(X, Y)$ એ $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવ્યા પછીની નવી અક્ષોના યામ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
અહીં $x = 4 \sqrt{2}$,$y = -6 \sqrt{2}$,અને $\theta = 45^{\circ}$ છે,તેથી $\cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$4 \sqrt{2} = X \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - Y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \Rightarrow X - Y = 8$
$-6 \sqrt{2} = X \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + Y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \Rightarrow X + Y = -12$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2X = -4 \Rightarrow X = -2$.
બીજામાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા: $2Y = -20 \Rightarrow Y = -10$.
આમ,નવા યામ $(-2, -10)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના પ્રથમ ઘાતના પદોને દૂર કરવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$4(x^2 - 2x) + 9(y^2 + 4y) + 4 = 0$
$4(x^2 - 2x + 1 - 1) + 9(y^2 + 4y + 4 - 4) + 4 = 0$
$4(x - 1)^2 - 4 + 9(y + 2)^2 - 36 + 4 = 0$
$4(x - 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 36$
ધારો કે નવા યામ $X = x - 1$ અને $Y = y + 2$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = X + 1$ અને $y = Y - 2$.
આમ,$x$ અને $y$ ના પદોને દૂર કરવા માટે ઉગમબિંદુને $(1, -2)$ બિંદુ પર ખસેડવું જોઈએ.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P(a, 8)$,$A(2, 5)$ અને $B(4, -1)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,રેખાખંડ $PA$ નો ઢાળ અને રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ સમાન થાય.
$PA$ નો ઢાળ $\frac{8 - 5}{a - 2} = \frac{3}{a - 2}$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $\frac{-1 - 5}{4 - 2} = \frac{-6}{2} = -3$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{3}{a - 2} = -3$.
$3 = -3(a - 2) \Rightarrow 3 = -3a + 6$.
$3a = 6 - 3$ $\Rightarrow 3a = 3$ $\Rightarrow a = 1$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ જેનો $x$-યામ $3$ છે,તે $A(6, 5)$ અને $B(-1, 4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}$
$3 = \frac{\lambda(-1) + 1(6)}{\lambda + 1}$
$3(\lambda + 1) = -\lambda + 6$
$3\lambda + 3 = -\lambda + 6$
$4\lambda = 3$
$\lambda = \frac{3}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $\lambda: 1$ એ $3: 4$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) જ્યારે ઉગમબિંદુને $(h, k) = (2, 3)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે જૂના યામ $(X, Y)$ અને નવા યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $X = x + 2$ અને $Y = y + 3$ છે.
મૂળ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપેલ રૂપાંતરિત સમીકરણમાં $x$ ની જગ્યાએ $(X-2)$ અને $y$ ની જગ્યાએ $(Y-3)$ મૂકતા:
$(X-2)^2 + 3(X-2)(Y-3) - 2(Y-3)^2 + 17(X-2) - 7(Y-3) - 11 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(X^2 - 4X + 4) + 3(XY - 3X - 2Y + 6) - 2(Y^2 - 6Y + 9) + 17X - 34 - 7Y + 21 - 11 = 0$
$X^2 + 3XY - 2Y^2 + 4X - Y - 20 = 0$
આમ,મૂળ સમીકરણ $x^2+3xy-2y^2+4x-y-20=0$ છે.

(C) $A(3,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 3)$ છે,જે $mx - y + (1 - 3m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી આ રેખાનું અંતર $d = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
અંતર મહત્તમ હોવા માટે,રેખા $OA$ ને લંબ હોવી જોઈએ.
$OA$ નો ઢાળ $\frac{1}{3}$ છે.
તેથી રેખાનો ઢાળ $m = -3$ થશે.
રેખાનું સમીકરણ $3x + y = 10$ મળે છે.
$P$ અને $Q$ ના યામ $(\frac{10}{3}, 0)$ અને $(0, 10)$ છે.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10 = \frac{50}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ સમીકરણ $y^2-6y-4x+13=0$ છે.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(y^2-6y+9)-9-4x+13=0$
$(y-3)^2-4x+4=0$
$(y-3)^2-4(x-1)=0$.
ધારો કે નવું ઉગમબિંદુ $(h,k)$ છે. આપણે $y = Y+k$ અને $x = X+h$ મૂકીએ છીએ.
સમીકરણને $Y^2+AX=0$ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $k=3$ અને $h=1$ લઈએ છીએ.
આમ,ઉગમબિંદુને $(1,3)$ પર ખસેડવું જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ $a, b,$ અને $c$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s$ એ $s = \frac{a+b+c}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle IBC, \triangle ICA,$ અને $\triangle IAB$ ના ક્ષેત્રફળોના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $I$ એ અંતઃકેન્દ્ર છે:
$\Delta = \text{Area}(\triangle IBC) + \text{Area}(\triangle ICA) + \text{Area}(\triangle IAB)$
$\Delta = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$
$\Delta = r \left( \frac{a+b+c}{2} \right)$
કારણ કે $s = \frac{a+b+c}{2}$,તેથી $\Delta = rs$.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) ત્રણ રેખાઓ $L_1=0, L_2=0, L_3=0$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $L_1 L_2 + \lambda L_2 L_3 + \mu L_3 L_1 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $L_1: x+y-6=0$,$L_2: 2x+y-4=0$,$L_3: x+2y-5=0$ છે.
વર્તુળ માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ અને $xy$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આ શરતો લાગુ પાડતા,આપણને $\mu = 1$ અને $\lambda = -6/5$ મળે છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x^2+y^2-17x-19y+50=0$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y = 9$ અને $6x + 8y = 15$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$6x + 8y = 18$.
હવે,સમીકરણો $6x + 8y - 18 = 0$ અને $6x + 8y - 15 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 6, B = 8, C_1 = -18, C_2 = -15$.
$d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} \text{ એકમ}$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) $\triangle ABC$ માં,જે વર્તુળ બાજુ $BC$ ને અંદરની તરફ અને બાકીની બે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ને બહારની તરફ સ્પર્શે છે તેને ખૂણા $A$ ની સામેનું બહિરવૃત (Ex-circle) કહેવામાં આવે છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર બહિરકેન્દ્ર $E_A$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(x', y') = (4, -3)$ છે. પરિભ્રમણ કોણ $\theta = 135^{\circ}$ છે.
અક્ષોના પરિભ્રમણ માટેના રૂપાંતરણ સૂત્રો:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
$\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ કિંમતો મૂકતા:
$x = 4 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - (-3) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y = 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + (-3) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{7}{\sqrt{2}}$
આમ,મૂળ યામ $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $x+y=1$,$x=1$,અને $y=1$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ:
$P(1, 1)$,$A(1, 0)$,અને $B(0, 1)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$a = 1$,$b = 1$,$c = \sqrt{2}$.
અંતઃકેન્દ્રનું સૂત્ર વાપરતા,જવાબ $\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}, 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y^2-6y-4x+13=0$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(h, k)$ પર સ્થળાંતરિત થાય છે.
તેથી $y$ એ $y+k$ બને છે અને $x$ એ $x+h$ બને છે.
સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા: $(y+k)^2 - 6(y+k) - 4(x+h) + 13 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $y^2 + 2ky + k^2 - 6y - 6k - 4x - 4h + 13 = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $y^2 + (2k-6)y - 4x + (k^2 - 6k - 4h + 13) = 0$.
સમીકરણમાં $y$ વાળું પદ ન હોય તે માટે,$y$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $2k - 6 = 0 \implies k = 3$.
અચળ પદ ન હોય તે માટે,અચળ ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $k^2 - 6k - 4h + 13 = 0$.
$k = 3$ મૂકતા: $(3)^2 - 6(3) - 4h + 13 = 0$.
$9 - 18 - 4h + 13 = 0$.
$-9 - 4h + 13 = 0$.
$4 - 4h = 0 \implies h = 1$.
આમ,ઉગમબિંદુને $(1, 3)$ પર સ્થળાંતરિત કરવું જોઈએ.

(C) $1$) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેના શિરોબિંદુઓના યામ પર આધાર રાખે છે. અક્ષોના સ્થાનાંતર દરમિયાન ઉગમબિંદુ બદલાય છે પરંતુ અક્ષો સમાંતર રહે છે,તેથી ક્ષેત્રફળ અપરિવર્તિત રહે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$2$) રેખાનો ઢાળ $y$ માં થતા ફેરફાર અને $x$ માં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. સ્થાનાંતર હેઠળ,$x = X + h$ અને $y = Y + k$ હોવાથી,$dx = dX$ અને $dy = dY$ થાય છે. તેથી ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$ અપરિવર્તિત રહે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$3$) વ્યાખ્યા મુજબ,અક્ષોનું સ્થાનાંતર એટલે અક્ષોની દિશા બદલ્યા વિના ઉગમબિંદુને નવા બિંદુ $(h, k)$ પર ખસેડવું. જો અક્ષોની દિશા બદલાય,તો તેને અક્ષોનું પરિભ્રમણ કહેવાય છે. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.
$4$) જો ઉગમબિંદુ $(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે,તો નવા યામ $(X, Y)$ અને જૂના યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = X + h$ અને $y = Y + k$ છે. આ વિધાનમાં આપેલ તર્ક ઉલટો છે. આ વિધાન ખોટું છે.

(C) શિરોબિંદુ $(-1, -1)$ થી રેખા $x+y-6=0$ પરના વેધની લંબાઈ $h = \frac{|(-1) + (-1) - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં વેધ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ હોવાથી,બાજુ $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ મળે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{32}{\sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) ચોરસના શિરોબિંદુઓ $O(0,0), A(1,0), B(1,1)$ અને $C(0,1)$ છે.
વિકર્ણો એ સામસામેના શિરોબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડો છે,જે $OB$ અને $AC$ છે.
$1$. $(0,0)$ અને $(1,1)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણ $OB$ નું સમીકરણ:
ઢાળ $m = \frac{1-0}{1-0} = 1$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - 0 = 1(x - 0) \Rightarrow y = x$.
$2$. $(1,0)$ અને $(0,1)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણ $AC$ નું સમીકરણ:
ઢાળ $m = \frac{1-0}{0-1} = -1$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - 0 = -1(x - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = -x + 1 \Rightarrow x + y = 1$.
આમ,વિકર્ણોના સમીકરણો $y = x$ અને $x + y = 1$ છે.

(B) ચોરસની બાજુઓ વિકર્ણ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આપેલ વિકર્ણ $8x - 15y = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{8}{15}$ છે.
ધારો કે $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી બાજુઓનો ઢાળ $m$ છે. સૂત્ર $\tan(45^{\circ}) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = |\frac{m - 8/15}{1 + 8m/15}|$
$1 = |\frac{15m - 8}{15 + 8m}|$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $15m - 8 = 15 + 8m$ $\Rightarrow 7m = 23$ $\Rightarrow m = \frac{23}{7}$.
બાજુનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{23}{7}(x - 1) \Rightarrow 23x - 7y - 9 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $15m - 8 = -(15 + 8m)$ $\Rightarrow 23m = -7$ $\Rightarrow m = -\frac{7}{23}$.
બાજુનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{7}{23}(x - 1) \Rightarrow 7x + 23y - 53 = 0$ છે.

(A) ધારો કે રેખાનો નમનકોણ $\theta$ છે. તે બિંદુ $A(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી રેખાનું પ્રાચલ સ્વરૂપ $\frac{x-1}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ છે,જ્યાં $r = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(1 + r \cos \theta, 2 + r \sin \theta)$ છે.
બિંદુ $P$ એ રેખા $x+y=4$ પર હોવાથી,$(1 + r \cos \theta) + (2 + r \sin \theta) = 4$.
$3 + r(\cos \theta + \sin \theta) = 4 \Rightarrow r(\cos \theta + \sin \theta) = 1$.
$r = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ મૂકતા,$\pm \frac{\sqrt{6}}{3}(\cos \theta + \sin \theta) = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{6}{9}(\cos \theta + \sin \theta)^2 = 1 \Rightarrow \frac{2}{3}(1 + \sin 2\theta) = 1$.
$1 + \sin 2\theta = \frac{3}{2} \Rightarrow \sin 2\theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$2\theta = 30^{\circ}$ અથવા $150^{\circ}$,જે $\theta = 15^{\circ}$ અથવા $75^{\circ}$ આપે છે.

(D) આપેલ રેખા $2x + y - 7 = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = -2$ છે.
જરૂરી રેખા આપેલ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$m_2 = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.
બિંદુ $(5, 3)$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 3 = \frac{1}{2}(x - 5)$
$2(y - 3) = x - 5$
$2y - 6 = x - 5$
$2y - x - 1 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) $3x - 4y + 1 = 0$ અને $5x + y - 1 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ $(3x - 4y + 1) + \lambda(5x + y - 1) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(3 + 5\lambda)x + (\lambda - 4)y + (1 - \lambda) = 0$ મળે.
રેખા અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે તે માટે,રેખાનો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ.
ઢાળ $m = -\frac{3 + 5\lambda}{\lambda - 4} = -1$ $\Rightarrow 3 + 5\lambda = \lambda - 4$ $\Rightarrow 4\lambda = -7$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{7}{4}$.
$\lambda = -\frac{7}{4}$ મૂકતા,$23x + 23y - 11 = 0$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે રેખાનો $y$-અંતઃખંડ $a$ છે. તો $x$-અંતઃખંડ $2a$ થશે.
રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણ મુજબ,$\frac{x}{2a} + \frac{y}{a} = 1$.
રેખા બિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{2}{2a} + \frac{3}{a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{3}{a} = 1$
$\frac{4}{a} = 1 \Rightarrow a = 4$.
$a=4$ ને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$\frac{x}{8} + \frac{y}{4} = 1$
$8$ વડે ગુણતા,આપણને $x + 2y = 8$ મળે,અથવા $x + 2y - 8 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) રેખાઓ $y=ax$ અને $y=2$ નું છેદબિંદુ $A\left(\frac{2}{a}, 2\right)$ છે.
રેખાઓ $y=ax$ અને $y=6$ નું છેદબિંદુ $B\left(\frac{6}{a}, 6\right)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$AB = \sqrt{\left(\frac{6}{a} - \frac{2}{a}\right)^2 + (6 - 2)^2} < 5$
$\sqrt{\left(\frac{4}{a}\right)^2 + 4^2} < 5$
$\sqrt{\frac{16}{a^2} + 16} < 5$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{16}{a^2} + 16 < 25$
$\frac{16}{a^2} < 9$
$a^2 > \frac{16}{9}$
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|a| > \frac{4}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a < -\frac{4}{3}$ અથવા $a > \frac{4}{3}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે યામ અક્ષો સાથે ત્રિકોણ બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |ab| = 12$ છે,તેથી $|ab| = 24$.
રેખા $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$,જેનો અર્થ છે $2b + 3a = ab$.
કિસ્સો $1$: $ab = 24$. તો $3a + 2b = 24$. $b = \frac{24-3a}{2}$ ને $ab=24$ માં મૂકતા $3a^2 - 24a + 48 = 0$ મળે,જે $a=4, b=6$ આપે છે ($1$ ઉકેલ).
કિસ્સો $2$: $ab = -24$. તો $3a + 2b = -24$. આનાથી $a^2 + 8a - 16 = 0$ સમીકરણ મળે છે,જેના $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $3$: $ab = -24$ અને $3a + 2b = 24$. આનાથી $a^2 - 8a - 16 = 0$ સમીકરણ મળે છે,જેના $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
કુલ $3$ રેખાઓ શક્ય છે.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સંમિત સ્વરૂપમાં સમીકરણ,જો તેનો $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો તે નીચે મુજબ છે:
$\frac{x-x_1}{\cos \theta} = \frac{y-y_1}{\sin \theta} = r$
આપેલ છે કે $(x_1, y_1) = (-1, 3)$ અને $\theta = 120^{\circ}$,તેથી:
$\cos 120^{\circ} = -1/2$ અને $\sin 120^{\circ} = \sqrt{3}/2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x - (-1)}{-1/2} = \frac{y - 3}{\sqrt{3}/2} = r$
$\frac{x+1}{-1/2} = \frac{y-3}{\sqrt{3}/2} = r$

(A) $L_1: 2x - y + 2 = 0$ અને $L_2: x + y + 4 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિ $L_1 + \lambda L_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(2x - y + 2) + \lambda(x + y + 4) = 0$.
આ રેખા $(5, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 5$ અને $y = -2$ મુકતા:
$(2(5) - (-2) + 2) + \lambda(5 - 2 + 4) = 0$.
$14 + 7\lambda = 0$.
$\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ મુકતા:
$(2x - y + 2) - 2(x + y + 4) = 0$.
$-3y - 6 = 0$.
$y + 2 = 0$.

(A) $y$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x = k$ સ્વરૂપમાં હોય છે. તે $(5, -6)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણ $x = 5$ છે.
$x$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $y = k$ સ્વરૂપમાં હોય છે. તે $(5, -6)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણ $y = -6$ છે.
તેથી,માંગેલ સમીકરણો $x = 5$ અને $y = -6$ છે.

(C) આપેલી રેખાઓ $2x + 11y - 7 = 0$ અને $x + 3y + 5 = 0$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{11}$ અને $m_2 = -\frac{1}{3}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left|\frac{-\frac{2}{11} - (-\frac{1}{3})}{1 + (-\frac{2}{11})(-\frac{1}{3})}\right| = \left|\frac{-\frac{6}{33} + \frac{11}{33}}{1 + \frac{2}{33}}\right| = \left|\frac{\frac{5}{33}}{\frac{35}{33}}\right| = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$.

(B) ધારો કે પરાવર્તન બિંદુ $B$ એ $(0, y)$ છે. પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ = પરાવર્તનકોણ.
$B$ પરનો લંબ એ સમક્ષિતિજ રેખા $y = y_B$ છે. રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y-3}{0-2} = \frac{y-3}{-2}$ છે.
રેખા $BC$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{10-y}{5-0} = \frac{10-y}{5}$ છે.
લંબની સાપેક્ષમાં આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોવાથી,ઢાળ એકબીજાના વિરોધી હોવા જોઈએ: $m_1 = -m_2$.
$\frac{y-3}{-2} = -\left(\frac{10-y}{5}\right)$
$\frac{y-3}{-2} = \frac{y-10}{5}$
$5(y-3) = -2(y-10)$
$5y - 15 = -2y + 20$
$7y = 35$
$y = 5$
આમ,$B$ ના યામ $(0, 5)$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: x-y=0$ અને $L_2: y=0$ છે.
$L_1$ ને $y=m_1x+c_1$ સાથે સરખાવતા,$m_1 = 1$ મળે છે.
$L_2$ ને $y=m_2x+c_2$ સાથે સરખાવતા,$m_2 = 0$ મળે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{1 - 0}{1 + (1)(0)} \right| = 1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ રેખાઓ $y=3x+1$ (ઢાળ $m_1=3$) અને $2y=x+3$ એટલે કે $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ (ઢાળ $m_2=\frac{1}{2}$) છે.
ધારો કે ત્રીજી રેખા $y=mx+4$ નો ઢાળ $m$ છે.
રેખાઓ સમાન નતિ ધરાવતી હોવાથી,પ્રથમ અને ત્રીજી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો એ બીજી અને ત્રીજી રેખા વચ્ચેના ખૂણા જેટલો થાય:
$\left|\frac{m_1-m}{1+m_1m}\right| = \left|\frac{m_2-m}{1+m_2m}\right|$
ઢાળની કિંમતો મૂકતા:
$\left|\frac{3-m}{1+3m}\right| = \left|\frac{1-2m}{2+m}\right|$
કિસ્સો $1$: $\frac{3-m}{1+3m} = \frac{1-2m}{2+m} \Rightarrow 5m^2+5=0$ (વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $2$: $\frac{3-m}{1+3m} = -\left(\frac{1-2m}{2+m}\right) \Rightarrow 7m^2-2m-7=0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{2 \pm \sqrt{200}}{14} = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7}$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
જ્યારે $S_1$ નું $S_2$ માં પ્રતિબિંબ લેવામાં આવે,ત્યારે પ્રતિબિંબિત રેખા $S_1'$ અને $S_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ થાય છે.
જ્યારે $S_2$ નું $S_1$ માં પ્રતિબિંબ લેવામાં આવે,ત્યારે પ્રતિબિંબિત રેખા $S_2'$ અને $S_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ થાય છે.
પ્રતિબિંબિત રેખાઓ $S_1'$ અને $S_2'$ સંપાતી થાય તે માટે,રેખાઓ દ્વારા આવરી લેવાયેલ કુલ ખૂણો $\pi$ રેડિયન હોવો જોઈએ.
ખાસ કરીને,$S_1'$ અને $S_2'$ વચ્ચેનો ખૂણો $3\theta = \pi$ થાય છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) શરત $xy > 0$ સૂચવે છે કે બિંદુ $A(x, y)$ કાં તો પ્રથમ ચરણ $(x > 0, y > 0)$ અથવા ત્રીજા ચરણ $(x < 0, y < 0)$ માં હોવું જોઈએ.
શરત $x + y < 1$ એ રેખા $x + y = 1$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
પ્રથમ ચરણમાં,$x > 0, y > 0$ અને $x + y < 1$ નું પાલન કરતો પ્રદેશ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$,$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનો આંતરિક ભાગ છે.
ત્રિકોણ $\triangle OMN$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$M(1, 2)$ અને $N(0, 1)$ છે.
$xy > 0$ અને $x + y < 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશનું અવલોકન કરતા,તે સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ $A$ એ $\triangle OMN$ ની અંદર હોઈ શકે નહીં કારણ કે $\triangle OMN$ નો આંતરિક ભાગ તેના મોટાભાગના વિસ્તાર માટે રેખા $x + y = 1$ ની ઉપર આવેલો છે,અને આપેલી શરતો $A$ ને એવા પ્રદેશ સુધી મર્યાદિત કરે છે જે $\triangle OMN$ ના આંતરિક ભાગ સાથે ઓવરલેપ થતો નથી.

(B) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ રેખા $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta - k = 0$ માટે,$p = \frac{|-k|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta}} = \frac{|k|}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \theta} + \frac{1}{\sin^2 \theta}}} = \frac{|k| \sin \theta \cos \theta}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |k| \sin \theta \cos \theta = \frac{|k|}{2} \sin 2\theta$.
તેથી,$p^2 = \frac{k^2}{4} \sin^2 2\theta$.
બીજી રેખા $x \cos \theta - y \sin \theta - k \cos 2\theta = 0$ માટે,$q = \frac{|-k \cos 2\theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = |k \cos 2\theta|$.
તેથી,$q^2 = k^2 \cos^2 2\theta$.
હવે,$4p^2 + q^2 = 4 \left( \frac{k^2}{4} \sin^2 2\theta \right) + k^2 \cos^2 2\theta = k^2 \sin^2 2\theta + k^2 \cos^2 2\theta = k^2 (\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) = k^2$.
તેથી,$4p^2 + q^2 = k^2$.

(D) ધારો કે પ્રતિબિંબ $P'(h, k)$ છે.
$PP'$ એ આપેલી રેખા $x + 3y = 7$ ને લંબ હોવાથી,$PP'$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k - 8}{h - 3}$ છે.
રેખા $x + 3y = 7$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{3}$ છે.
$PP' \perp \text{રેખા}$ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$ $\Rightarrow \frac{k - 8}{h - 3} \times (-\frac{1}{3}) = -1$ $\Rightarrow k - 8 = 3(h - 3)$ $\Rightarrow 3h - k = 1 \quad \dots(i)$.
$PP'$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{h + 3}{2}, \frac{k + 8}{2})$ છે,જે રેખા $x + 3y = 7$ પર આવેલું છે.
તેથી,$\frac{h + 3}{2} + 3(\frac{k + 8}{2}) = 7$ $\Rightarrow h + 3 + 3k + 24 = 14$ $\Rightarrow h + 3k = -13 \quad \dots(ii)$.
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$k = 3h - 1$.
$(ii)$ માં મૂકતા: $h + 3(3h - 1) = -13$ $\Rightarrow h + 9h - 3 = -13$ $\Rightarrow 10h = -10$ $\Rightarrow h = -1$.
તેથી $k = 3(-1) - 1 = -4$.
આમ,પ્રતિબિંબ $(-1, -4)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $M$ એ $(a, a)$ છે કારણ કે તે $y=x$ રેખા પર આવેલું છે.
$PM + QM$ ના સરવાળાને ન્યૂનતમ કરવા માટે,જ્યાં $P(0,1)$ અને $Q(2,0)$ એ $y=x$ રેખાની એક જ બાજુએ છે,આપણે બિંદુ $P$ નું $y=x$ રેખા પર પ્રતિબિંબ લેતા $P'(1,0)$ મળે છે.
ન્યૂનતમ અંતર $PM + QM$ એ $P'Q$ અંતર જેટલું થાય છે જ્યારે $P', M, Q$ સમરેખ હોય.
$P'(1,0)$ અને $Q(2,0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x$-અક્ષ $(y=0)$ છે.
$M$ એ $y=x$ પર હોવું જોઈએ. $y=x$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $(0,0)$ છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, -2)$ અને રેખા $12x + 5y + 63 = 0$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \left| \frac{12(1) + 5(-2) + 63}{\sqrt{12^2 + 5^2}} \right|$
$d = \left| \frac{12 - 10 + 63}{\sqrt{144 + 25}} \right|$
$d = \left| \frac{65}{\sqrt{169}} \right|$
$d = \left| \frac{65}{13} \right| = 5 \text{ એકમ.}$

(A) ધારો કે બિંદુ $P(6, 5)$ છે અને રેખા $x = 3$ છે.
રેખા શિરોલંબ $(x = k)$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ $P'(x', y')$ નો $y$-યામ મૂળ બિંદુ જેટલો જ રહેશે,તેથી $y' = 5$.
બિંદુ $P$ નું રેખા $x = 3$ થી અંતર $|6 - 3| = 3$ એકમ છે.
પ્રતિબિંબ $P'$ રેખાની બીજી બાજુએ સમાન અંતરે હોવું જોઈએ.
આમ,$x' = 3 - 3 = 0$.
તેથી,રેખા $x = 3$ માં બિંદુ $(6, 5)$ નું પ્રતિબિંબ $(0, 5)$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$3x + 4y - 5 = 0$ ... $(i)$
$2x + 3y - 4 = 0$ ... $(ii)$
$px + 4y - 6 = 0$ ... $(iii)$
રેખાઓ $(i)$ અને $(ii)$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે:
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે અને $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6x + 8y - 10 = 0$ ... $(iv)$
$6x + 9y - 12 = 0$ ... $(v)$
સમીકરણ $(v)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3x + 4(2) - 5 = 0$ $\Rightarrow 3x + 3 = 0$ $\Rightarrow x = -1$
છેદબિંદુ $(-1, 2)$ છે.
ત્રણેય રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(-1, 2)$ સમીકરણ $(iii)$ નું સમાધાન કરશે:
$p(-1) + 4(2) - 6 = 0$
$-p + 2 = 0 \Rightarrow p = 2$

(B) આપેલ સમીકરણ $y^3-6xy^2+11x^2y-6x^3=0$ છે.
ઘન પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(y-x)(y-2x)(y-3x)=0$ મળે છે.
આમ,ત્રણ રેખાઓ $L_1: y=x$,$L_2: y=2x$,અને $L_3: y=3x$ છે.
આ રેખાઓનું $x+y=1$ સાથેનું છેદબિંદુ શોધીએ:
$P$ $(y=x)$ માટે: $x+x=1 \Rightarrow x=1/2, y=1/2$. તેથી $P = (1/2, 1/2)$.
$Q$ $(y=2x)$ માટે: $x+2x=1 \Rightarrow x=1/3, y=2/3$. તેથી $Q = (1/3, 2/3)$.
$R$ $(y=3x)$ માટે: $x+3x=1 \Rightarrow x=1/4, y=3/4$. તેથી $R = (1/4, 3/4)$.
હવે,ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી અંતરના વર્ગની ગણતરી કરીએ:
$(OP)^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2 = 36/72$.
$(OQ)^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 = 1/9 + 4/9 = 5/9 = 40/72$.
$(OR)^2 = (1/4)^2 + (3/4)^2 = 1/16 + 9/16 = 10/16 = 5/8 = 45/72$.
સરવાળો કરતા: $(OP)^2+(OQ)^2+(OR)^2 = 36/72 + 40/72 + 45/72 = 121/72$.

(B) રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ ના $x+y=1$ સાથેના છેદબિંદુઓ $A(\frac{1}{1+m_a}, \frac{m_a}{1+m_a})$,$B(\frac{1}{1+m_b}, \frac{m_b}{1+m_b})$,અને $C(\frac{1}{1+m_c}, \frac{m_c}{1+m_c})$ છે.
$AB=BC$ હોવાથી,$AB^2=BC^2$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AB^2 = \frac{2(m_a-m_b)^2}{(1+m_a)^2(1+m_b)^2}$ અને $BC^2 = \frac{2(m_b-m_c)^2}{(1+m_b)^2(1+m_c)^2}$ મળે.
તેથી,$\frac{(m_a-m_b)^2}{(1+m_a)^2} = \frac{(m_b-m_c)^2}{(1+m_c)^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{m_a-m_b}{1+m_a} = \frac{m_b-m_c}{1+m_c}$.
સાદુરૂપ આપતા,$2(1+m_a)(1+m_c)=(1+m_b)(2+m_a+m_c)$ મળે છે.

(B) ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.
આપેલી રેખાઓ $3x + y - 2 = 0$,$px + 2y - 3 = 0$ અને $2x - y - 3 = 0$ છે.
સંગામી હોવાની શરત:
$\begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ p & 2 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(2(-3) - (-1)(-3)) - 1(p(-3) - 2(-3)) - 2(p(-1) - 2(2)) = 0$
$3(-6 - 3) - 1(-3p + 6) - 2(-p - 4) = 0$
$3(-9) + 3p - 6 + 2p + 8 = 0$
$-27 + 3p - 6 + 2p + 8 = 0$
$5p - 25 = 0$
$5p = 25$
$p = 5$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ: $ax + by + c = 0$.
શરત $3a + 5b + 6c = 0$ પરથી,$c = -\frac{3a + 5b}{6}$ મળે.
આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $ax + by - \frac{3a + 5b}{6} = 0$.
$6$ વડે ગુણતા: $6ax + 6by - 3a - 5b = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $a(6x - 3) + b(6y - 5) = 0$.
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું હોવાથી,$6x - 3 = 0$ અને $6y - 5 = 0$ થાય.
તેથી $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{5}{6}$ મળે.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{6}\right)$ છે.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ છે.
રેખાઓ સંપાતી હોય તે માટેની શરત $h'^2 - ab = 0$ છે.
$4x^2 + hxy + y^2 = 0$ ને $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$2h' = h$,અને $b = 1$ મળે.
સંપાતી હોવાની શરત મુજબ,$(\frac{h}{2})^2 - (4)(1) = 0$.
$\frac{h^2}{4} = 4$.
$h^2 = 16$.
$h = \pm 4$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ બે સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખાઓનું અંતર $d = \frac{|c_i|}{\sqrt{1+m_i^2}}$ દ્વારા મળે છે.
રેખાઓ ઉગમબિંદુથી સમાન અંતરે હોવાથી,$\frac{|c_1|}{\sqrt{1+m_1^2}} = \frac{|c_2|}{\sqrt{1+m_2^2}}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $c_1^2(1+m_2^2) = c_2^2(1+m_1^2)$.
આને સાદું રૂપ આપતા $c_1^2-c_2^2 = c_2^2m_1^2-c_1^2m_2^2$ મળે છે.
રેખાઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$c_1+c_2 = -\frac{2f}{b}$,$c_1c_2 = \frac{c}{b}$,અને $m_1c_2+m_2c_1 = \frac{2g}{b}$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા અને બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$f^2(f^2-bc) = g^2(g^2-ac)$ મળે છે.
તેથી,$f^4-g^4 = c(bf^2-ag^2)$ થાય છે.

(B) ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય તે માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -2 \\ k & 3 & -3 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2[-6 + 6] - 1[-9 + 2k] - 1[9 - 2k] = 0$
$0 = 0$
આમ,'$k$' ની કોઈપણ કિંમત માટે રેખાઓ સંગામી છે,તેથી '$k$' ના મૂલ્યોની સંખ્યા અનંત છે.

(C) ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x + y = t$,તેથી $y = t - x$.
આપણે તેમના વર્ગોનો સરવાળો $S = x^2 + y^2$ ન્યૂનતમ કરવો છે.
$y = t - x$ મૂકતા,આપણને $S(x) = x^2 + (t - x)^2 = x^2 + t^2 - 2tx + x^2 = 2x^2 - 2tx + t^2$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dS}{dx} = 4x - 2t$.
$\frac{dS}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $4x = 2t$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{t}{2}$.
કારણ કે $\frac{d^2S}{dx^2} = 4 > 0$,તેથી વિધેય $x = \frac{t}{2}$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
ત્યારબાદ $y = t - \frac{t}{2} = \frac{t}{2}$.
આમ,બે સંખ્યાઓ $\frac{t}{2}$ અને $\frac{t}{2}$ છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $a$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2a \times \frac{da}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \frac{da}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{da}{dt} = 2 \text{ cm/s}$ અને $a = 20 \text{ cm}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 20 \times 2 = 20 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{s}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર $20 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{s}$ છે.

(B) અંતરાલ $[0, 1]$ પર $f(x) = x^{40} - x^{20}$ નું નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$f'(x) = 40x^{39} - 20x^{19} = 20x^{19}(2x^{20} - 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ અથવા $2x^{20} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^{20} = 1/2$,તેથી $x = (1/2)^{1/20}$.
કારણ કે $(1/2)^{1/20}$ એ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુ અને અંતિમ બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 1$ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ છીએ.
$f(0) = 0^{40} - 0^{20} = 0$.
$f(1) = 1^{40} - 1^{20} = 0$.
$f((1/2)^{1/20}) = ((1/2)^{1/20})^{40} - ((1/2)^{1/20})^{20} = (1/2)^2 - (1/2)^1 = 1/4 - 1/2 = -1/4$.
$0, 0,$ અને $-1/4$ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-1/4$ છે.

(B) કોઈ વિધેય $f(t)$ માટે અંતરાલ $[a, b]$ પર રોલનું પ્રમેય ત્યારે જ સંતોષાય જો $f(a) = f(b)$ હોય.
અહીં $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ અંતરાલ $[1, 3]$ પર આપેલ છે,તેથી $f(1) = f(3)$.
$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + p(1) + q = 1 - 6 + p + q = p + q - 5$.
$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + p(3) + q = 27 - 54 + 3p + q = 3p + q - 27$.
$f(1) = f(3)$ ને સરખાવતા:
$p + q - 5 = 3p + q - 27$.
$2p = 22 \Rightarrow p = 11$.
અહીં $q$ બંને બાજુથી નીકળી જાય છે,તેથી $q$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે $(q \in R)$.
આમ,$p = 11$ અને $q \in R$.

(A) ધારો કે $AB$ એ $H = 5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \text{ m}$ ઊંચાઈનો સ્ટ્રીટ લાઈટ છે. ધારો કે $CD$ એ $h = 2 \text{ m}$ ઊંચાઈનો માણસ છે. ધારો કે $AC = x$ એ માણસનું લાઈટથી અંતર છે અને $CE = y$ એ તેના પડછાયાની લંબાઈ છે।
સમરૂપ ત્રિકોણ $\triangle ABE$ અને $\triangle DCE$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} \Rightarrow \frac{16/3}{2} = \frac{x+y}{y}$
$\frac{8}{3} = \frac{x}{y} + 1$ $\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{3}$ $\Rightarrow y = \frac{3}{5}x$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{5} \frac{dx}{dt}$
આપેલ છે કે માણસ $1 \frac{2}{3} \text{ m/s}$ ની ઝડપે લાઈટ તરફ ચાલે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -\frac{5}{3} \text{ m/s}$ (ઋણ કારણ કે $x$ ઘટી રહ્યું છે)।
તેથી,$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{5} \times (-\frac{5}{3}) = -1 \text{ m/s}$.
પડછાયાની લંબાઈ બદલાવાનો દર $-1 \text{ m/s}$ છે.

(A) આપેલ છે,$I = \int \frac{\cos (13x) - \cos (14x)}{1 + 2 \cos (9x)} dx$.
અંશ અને છેદને $\sin(9x/2)$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{(\cos 13x - \cos 14x) \sin(9x/2)}{(1 + 2 \cos 9x) \sin(9x/2)} dx$.
નિત્યસમ $1 + 2 \cos(9x) = \frac{\sin(27x/2)}{\sin(9x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{(\cos 13x - \cos 14x) \sin(9x/2)}{\sin(27x/2)} dx$.
ગુણાકાર-સરવાળાના સૂત્ર $\cos A - \cos B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{B-A}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 13x - \cos 14x = 2 \sin(\frac{27x}{2}) \sin(x/2)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2 \sin(27x/2) \sin(x/2) \sin(9x/2)}{\sin(27x/2)} dx = \int 2 \sin(9x/2) \sin(x/2) dx$.
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (\cos(4x) - \cos(5x)) dx = \frac{\sin 4x}{4} - \frac{\sin 5x}{5} + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a = 4$ અને $b = 5$ મળે છે.
તેથી,$a^b = 4^5$.

(B) આપેલ છે કે $I_n = \int (\ln x)^n dx$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = (\ln x)^n$ અને $dv = dx$.
તેથી $du = n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે.
$I_n = x(\ln x)^n - \int x \cdot \frac{n(\ln x)^{n-1}}{x} dx + k$.
$I_n = x(\ln x)^n - n \int (\ln x)^{n-1} dx + k$.
કારણ કે $I_{n-1} = \int (\ln x)^{n-1} dx$,તેથી આપણને મળે:
$I_n = x(\ln x)^n - n I_{n-1} + k$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે:
$I_n + n I_{n-1} = x(\ln x)^n + k$.

(B) આપણી પાસે $I = \int \frac{\cos 7x - \cos 8x}{1 + 2 \cos 5x} dx$ છે.
અંશ અને છેદને $\sin \frac{5x}{2}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{2 \sin \frac{15x}{2} \sin \frac{x}{2} \sin \frac{5x}{2}}{(1 + 2 \cos 5x) \sin \frac{5x}{2}} dx$.
$\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \frac{15x}{2} = \sin \frac{5x}{2} (1 + 2 \cos 5x)$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \frac{2 \sin \frac{5x}{2} (1 + 2 \cos 5x) \sin \frac{x}{2}}{(1 + 2 \cos 5x) \sin \frac{5x}{2}} dx = \int 2 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{5x}{2} dx$.
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (\cos 2x - \cos 3x) dx = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{3} \sin 3x + c$.

(A) જો વિધેય $f$ એ $[0, a]$ પર સંકલનીય હોય,તો તેના ચલના સુરેખ રૂપાંતરણ દ્વારા મેળવેલ કોઈપણ વિધેય,જેમ કે $f(a-x)$,પણ $[0, a]$ પર સંકલનીય હોય છે.
આ રીમાન સંકલનીય વિધેયોનો એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે.
ચોક્કસ રીતે,જો $f$ એ $[0, a]$ પર સંકલનીય હોય,તો સંયોજિત વિધેય $f(a-x)$ એ $[0, a]$ પર સંકલનીય છે કારણ કે રૂપાંતરણ $u = a-x$ એ સતત અને એકવિધ (monotonic) છે.
તેથી,$f(a-x)$ એ $[0, a]$ પર સંકલનીય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) સંકલિતનું વિસ્તરણ કરતા: $(\sqrt{k}-\sqrt{t})^2 = k + t - 2\sqrt{k}\sqrt{t}$.
હવે,$t$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $k$ સુધી પદવાર સંકલન કરતા:
$\int_0^k (k + t - 2\sqrt{k}t^{1/2}) \, dt = \left[ kt + \frac{t^2}{2} - 2\sqrt{k} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^k$
$= \left[ kt + \frac{t^2}{2} - \frac{4}{3}\sqrt{k}t^{3/2} \right]_0^k$
સીમાઓ મૂકતા:
$= (k(k) + \frac{k^2}{2} - \frac{4}{3}\sqrt{k}(k^{3/2})) - (0)$
$= k^2 + \frac{k^2}{2} - \frac{4}{3}k^2$
$= \frac{3k^2}{2} - \frac{4k^2}{3} = \frac{9k^2 - 8k^2}{6} = \frac{k^2}{6}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પ્રથમ,$f(x)$ ને સરળ બનાવો:\\ $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}\right) = \tan^{-1}(\cot(x/2)) = \tan^{-1}(\tan(\pi/2 - x/2)) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$.\\ ત્યારબાદ,$g(x)$ ને સરળ બનાવો:\\ $g(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)}\right) = \tan^{-1}(\cot(x/2)) = \tan^{-1}(\tan(\pi/2 - x/2)) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$.\\ હવે,સરવાળો શોધો:\\ $f(x) + g(x) = (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) + (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = \pi - x$.\\ અંતે,સરવાળાનું સંકલન કરો:\\ $\int (\pi - x) \, dx = \pi x - \frac{x^2}{2} + C$.\\ આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{\sin^3(x) + \cos^3(x)}{\sin^2(x) \cos^2(x)} \, dx$
અંશના દરેક પદને છેદ વડે ભાગતા:
$I = \int \left( \frac{\sin^3(x)}{\sin^2(x) \cos^2(x)} + \frac{\cos^3(x)}{\sin^2(x) \cos^2(x)} \right) \, dx$
$I = \int \left( \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \right) \, dx$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (\tan(x) \sec(x) + \cot(x) \operatorname{cosec}(x)) \, dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$\int \sec(x) \tan(x) \, dx = \sec(x)$
$\int \operatorname{cosec}(x) \cot(x) \, dx = -\operatorname{cosec}(x)$
તેથી,$I = \sec(x) - \operatorname{cosec}(x) + C$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપણે સંકલન $I = \int_0^{\pi / 4} \tan^2(x) \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int_0^{\pi / 4} (\sec^2(x) - 1) \, dx$.
હવે,દરેક પદનું અલગથી સંકલન કરતા:
$I = [\tan(x) - x]_0^{\pi / 4}$.
સીમાઓ લાગુ પાડતા:
$I = (\tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4}) - (\tan(0) - 0)$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ અને $\tan(0) = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$I = (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) જો $f$ અને $g$ એ સંવૃત અંતરાલ $[a, b]$ પર સંકલનીય હોય,તો નિશ્ચિત સંકલનના સુરેખતાના ગુણધર્મ મુજબ,તેમનો સરવાળો $f+g$ પણ તે જ અંતરાલ $[a, b]$ પર સંકલનીય થાય છે.
ચોક્કસપણે,કોઈપણ $x_1, x_2 \in [a, b]$ માટે,સંકલન $\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx$ અને $\int_{x_1}^{x_2} g(x) dx$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,સરવાળાનું સંકલન એ સંકલનોનો સરવાળો છે: $\int_{x_1}^{x_2} (f+g)(x) dx = \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx + \int_{x_1}^{x_2} g(x) dx$.
આ ગુણધર્મ તમામ $x_1, x_2 \in [a, b]$ માટે સાચો હોવાથી,$f+g$ એ $[a, b]$ પર સંકલનીય છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin(2x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2$.
તેથી,$\sqrt{1 + \sin(2x)} = \sqrt{(\sin(x) + \cos(x))^2} = |\sin(x) + \cos(x)|$.
આમ,સંકલન $I = \int |\sin(x) + \cos(x)| dx$ બને છે.
આ સંકલન $(\sin(x) + \cos(x))$ ના ચિહ્ન પર આધાર રાખે છે:
જો $\sin(x) + \cos(x) \geq 0$ હોય,તો $I = \int (\sin(x) + \cos(x)) dx = -\cos(x) + \sin(x) + C = \sin(x) - \cos(x) + C$.
જો $\sin(x) + \cos(x) < 0$ હોય,તો $I = \int -(\sin(x) + \cos(x)) dx = -(-\cos(x) + \sin(x)) + C = \cos(x) - \sin(x) + C$.
પરિણામ $x$ ના અંતરાલ પર આધારિત હોવાથી,સાચો જવાબ એ છે કે $x$ ની કિંમત પર આધાર રાખીને તે વિકલ્પ $B$ અથવા $C$ હોઈ શકે છે.

(B) આપણી પાસે $I = \int \frac{2 \tan x}{1+2 \tan^2 x} dx$ છે.
$\sin x$ અને $\cos x$ માં રૂપાંતર કરતા:
$I = \int \frac{2 \frac{\sin x}{\cos x}}{1+2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x + 2 \sin^2 x} dx$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $(1 - \sin^2 x) + 2 \sin^2 x = 1 + \sin^2 x$ બને છે.
તેથી,$I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{1 + \sin^2 x} dx$.
ધારો કે $t = 1 + \sin^2 x$. તો $dt = 2 \sin x \cos x dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + c_1 = \log |1 + \sin^2 x| + c_1$.
કારણ કે $1 = \cos^2 x + \sin^2 x$,તેથી $1 + \sin^2 x = \cos^2 x + 2 \sin^2 x$.
$I = \log |\cos^2 x + 2 \sin^2 x| + c_1 = \log |2(\frac{\cos^2 x}{2} + \sin^2 x)| + c_1$.
$\log(ab) = \log a + \log b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \log 2 + \log |\frac{\cos^2 x}{2} + \sin^2 x| + c_1 = \log |\frac{\cos^2 x}{2} + \sin^2 x| + c$,જ્યાં $c = c_1 + \log 2$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x + \sin x} \, dx$.
નિત્યસમ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{(1 - \sin^2 x) \cos x}{\sin^2 x + \sin x} \, dx$.
$\sin x = t$ આદેશ લેતા,$\cos x \, dx = dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1 - t^2}{t^2 + t} \, dt = \int \frac{(1 - t)(1 + t)}{t(t + 1)} \, dt$.
સામાન્ય પદ $(1 + t)$ ને દૂર કરતા:
$I = \int \frac{1 - t}{t} \, dt = \int \left( \frac{1}{t} - 1 \right) \, dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \log |t| - t + C$.
$t = \sin x$ પાછું મૂકતા:
$I = \log |\sin x| - \sin x + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \left[ \log(\log x) + \frac{1}{(\log x)^2} \right] dx$.
$\log x = t$ આદેશ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
તેથી,$I = \int e^t \left( \log t + \frac{1}{t^2} \right) dt$.
સંકલ્યને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$I = \int e^t \left[ \left( \log t + \frac{1}{t} \right) - \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) \right] dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \log t$ અને $f'(t) = \frac{1}{t}$,આપણને મળે:
$I = e^t \log t - \int e^t \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) dt$.
કારણ કે $\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{t} \right) = -\frac{1}{t^2}$,બીજું સંકલન $\int e^t \left( \frac{1}{t} + \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{t} \right) \right) dt = e^t \left( \frac{1}{t} \right) + C$ થાય.
આમ,$I = e^t \log t - e^t \left( \frac{1}{t} \right) + C$.
$t = \log x$ અને $e^t = x$ પાછા મૂકતા:
$I = x \log(\log x) - \frac{x}{\log x} + C = x \left[ \log(\log x) - \frac{1}{\log x} \right] + C$.

(A) $I = \int \frac{\sqrt{x-1}}{x \sqrt{x+1}} dx = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$
ધારો કે $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = t$. તેથી $\frac{x-1}{x+1} = t^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x-1 = t^2x + t^2 \Rightarrow x(1-t^2) = 1+t^2 \Rightarrow x = \frac{1+t^2}{1-t^2}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $dx = \frac{(1-t^2)(2t) - (1+t^2)(-2t)}{(1-t^2)^2} dt = \frac{4t}{(1-t^2)^2} dt$.
સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \cdot t \cdot \frac{4t}{(1-t^2)^2} dt = \int \frac{4t^2}{(1+t^2)(1-t^2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{4t^2}{(1+t^2)(1-t^2)} = \frac{2}{1-t^2} - \frac{2}{1+t^2}$.
સંકલન કરતા: $I = 2 \int \frac{1}{1-t^2} dt - 2 \int \frac{1}{1+t^2} dt = 2 \left( \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right| \right) - 2 \tan^{-1}(t) + c = \ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right| - 2 \tan^{-1}(t) + c$.
$t = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ મૂકતા: $I = \ln \left| \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}} \right| - 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} + c$.
લઘુગણક પદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\ln \left| \frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2}{(x+1)-(x-1)} \right| = \ln \left| \frac{2x + 2\sqrt{x^2-1}}{2} \right| = \ln \left| x + \sqrt{x^2-1} \right|$.
પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય પદ માટે: $2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = \sec^{-1}(x)$.
આમ,$I = \ln \left| x + \sqrt{x^2-1} \right| - \sec^{-1}(x) + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \sin (\sqrt{k}) \, dk$,જ્યાં $k \in (0, \infty)$.
$k = t^2$ આદેશ લેતા,$dk = 2t \, dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \sin(t) \cdot (2t \, dt) = 2 \int t \sin(t) \, dt$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,જ્યાં $u = t$ અને $dv = \sin(t) \, dt$ લેતા,$du = dt$ અને $v = -\cos(t)$ મળે.
$I = 2 [t(-\cos(t)) - \int (-\cos(t)) \, dt]$
$I = 2 [-t \cos(t) + \int \cos(t) \, dt]$
$I = 2 [-t \cos(t) + \sin(t)] + c$
હવે $t = \sqrt{k}$ પાછું મૂકતા:
$I = 2[\sin(\sqrt{k}) - \sqrt{k} \cos(\sqrt{k})] + c$.

(B) આપેલ છે કે વક્રનું સમીકરણ $y = \int x^3 e^{x^4} dx$ છે.
ધારો કે $t = x^4$,તેથી $dt = 4x^3 dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^3 dx = \frac{1}{4} dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $y = \frac{1}{4} \int e^t dt = \frac{1}{4} e^t + C = \frac{1}{4} e^{x^4} + C$.
વક્ર બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા: $1 = \frac{1}{4} e^0 + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$.
આમ,સમીકરણ $y = \frac{1}{4} e^{x^4} + \frac{3}{4}$ છે.
$x$ માટે ગોઠવતા: $y - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} e^{x^4} \Rightarrow 4y - 3 = e^{x^4}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log_e |4y - 3| = x^4$.
તેથી,$x = (\log_e |4y - 3|)^{1/4}$.
આમ,$f(y) = (\log_e |4y - 3|)^{1/4}$.

(B) ધારો કે $I = \int (1+e^{-x})^{-1} dx = \int \frac{1}{1 + \frac{1}{e^x}} dx$
$I = \int \frac{e^x}{e^x+1} dx$
ધારો કે $u = e^x + 1$,તેથી $du = e^x dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$
$u = e^x + 1$ પાછું મૂકતા:
$I = \log (e^x + 1) + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x-\sin x}{5+\sin 2 x} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x$.
તેથી,$\sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\cos x-\sin x}{5 + (\sin x + \cos x)^2 - 1} d x = \int \frac{\cos x-\sin x}{4 + (\sin x + \cos x)^2} d x$.
ધારો કે $t = \sin x + \cos x$. તો $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
સંકલનમાં $t$ અને $dt$ મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{4 + t^2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) + C$.
છેલ્લે $t = \sin x + \cos x$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{2}\right) + C$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int e^{3 \log x}(x^4+1)^{-1} dx$ છે.
ગુણધર્મ $e^{\log a} = a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $e^{3 \log x} = e^{\log x^3} = x^3$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \frac{x^3}{x^4+1} dx$.
ધારો કે $t = x^4+1$.
તો $dt = 4x^3 dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^3 dx = \frac{1}{4} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int \frac{1}{4t} dt = \frac{1}{4} \log|t| + C$ મળે છે.
$t = x^4+1$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{4} \log(x^4+1) + C$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sin(2x)}{\sin^2(x) + 2\cos^2(x)} dx$.
નિત્યસમ $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $1 - \cos^2(x) + 2\cos^2(x) = 1 + \cos^2(x)$ બને છે.
તેથી,$I = \int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} dx$.
ધારો કે $t = 1 + \cos^2(x)$.
તો $dt = 2\cos(x)(-\sin(x)) dx = -\sin(2x) dx$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin(2x) dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-dt}{t} = -\log |t| + c$.
$t = 1 + \cos^2(x)$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = -\log |1 + \cos^2(x)| + c$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $I = \int e^{x \operatorname{cosec} x} \cdot \operatorname{cosec} x \cdot (1 - x \cot x) \, dx$.
$t = x \operatorname{cosec} x$ આદેશ લો.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dt}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x) + \operatorname{cosec} x \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$\frac{dt}{dx} = x(-\operatorname{cosec} x \cot x) + \operatorname{cosec} x(1)$
$\frac{dt}{dx} = \operatorname{cosec} x(1 - x \cot x)$
તેથી,$dt = \operatorname{cosec} x(1 - x \cot x) \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^t \, dt = e^t + c$
$t = x \operatorname{cosec} x$ પાછું મૂકતા:
$I = e^{x \operatorname{cosec} x} + c$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^{n-1}}{x^{2n} + 4} dx$.
$x^n = t$ આદેશ લેતા.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $n x^{n-1} dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^{n-1} dx = \frac{1}{n} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{n} \int \frac{dt}{t^2 + 2^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{t}{2} \right) + c$.
$t = x^n$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2n} \tan^{-1} \left( \frac{x^n}{2} \right) + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{1 + \tan^{2} x}{1 - \tan^{2} x} dx$.
ચૂંકિ $1 + \tan^{2} x = \sec^{2} x$ હોવાથી,$I = \int \frac{\sec^{2} x}{1 - \tan^{2} x} dx$ મળે.
$\tan x = t$ આદેશ લેતા,$\sec^{2} x \ dx = dt$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{dt}{1 - t^{2}}$ મળે.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a + x}{a - x} \right| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + c$ મળે.
હવે $t$ ની જગ્યાએ $\tan x$ મૂકતા,$I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} \right| + c$ મળે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{\sqrt{2 e^x-1}}$.
$u = \sqrt{2 e^x-1}$ આદેશ લેતા,$u^2 = 2 e^x - 1$,તેથી $2 e^x = u^2 + 1$,અથવા $e^x = \frac{u^2+1}{2}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$x = \ln\left(\frac{u^2+1}{2}\right)$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dx = \frac{1}{\frac{u^2+1}{2}} \cdot \frac{2u}{2} du = \frac{2u}{u^2+1} du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{2u}{u^2+1} du = \int \frac{2}{u^2+1} du$.
સંકલન કરતા,$I = 2 \operatorname{Tan}^{-1}(u) + c$.
$u = \sqrt{2 e^x-1}$ પાછું મૂકતા,$I = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{2 e^x-1}\right) + c$ મળે છે.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{e^x + 4e^{-x}}$ છે.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{e^x dx}{e^{2x} + 4}$.
ધારો કે $u = e^x$,તેથી $du = e^x dx$.
સંકલન $I = \int \frac{du}{u^2 + 2^2}$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{u}{2}) + c$.
$u = e^x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{e^x}{2}) + c$ મળે છે.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{e^x}{2})$ છે.

(A) સંકલન $\int \frac{2 t+1}{t^2+t+1} d t$ ઉકેલવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $u = t^2+t+1$.
તેથી,$t$ ની સાપેક્ષમાં $u$ નું વિકલન $\frac{du}{dt} = 2t+1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $du = (2t+1) dt$.
આ કિંમતોને મૂળ સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $\int \frac{1}{u} du$ મળે છે.
$\frac{1}{u}$ નું સંકલન $\log |u| + c$ થાય છે.
$u = t^2+t+1$ પાછું મૂકતા,આપણને $\log |t^2+t+1| + c$ મળે છે.

(C) આપણે સંકલન $I = \int \sin ^3(x) \cdot \cos ^3(x) \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલનને આ રીતે લખો:
$I = \int \sin ^3(x) \cdot \cos ^2(x) \cdot \cos(x) \, dx$
નિત્યસમ $\cos ^2(x) = 1 - \sin ^2(x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \sin ^3(x) \cdot (1 - \sin ^2(x)) \cdot \cos(x) \, dx$
ધારો કે $t = \sin(x)$,તો $dt = \cos(x) \, dx$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^3(1 - t^2) \, dt = \int (t^3 - t^5) \, dt$
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{t^4}{4} - \frac{t^6}{6} + C$
હવે $t = \sin(x)$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{4} \sin ^4(x) - \frac{1}{6} \sin ^6(x) + C$

(A) આપણે સંકલન $I = \int x \tan^2 x dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int x(\sec^2 x - 1) dx = \int x \sec^2 x dx - \int x dx$.
$\int x \sec^2 x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલન (Integration by Parts) નો ઉપયોગ કરતા ($u = x$ અને $dv = \sec^2 x dx$ લેતા):
$I = [x \tan x - \int 1 \cdot \tan x dx] - \frac{x^2}{2} + C$.
કારણ કે $\int \tan x dx = \log_e(\sec x)$ હોવાથી:
$I = x \tan x - \log_e(\sec x) - \frac{x^2}{2} + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int x^{2020} \left(\frac{\pi}{2}\right) dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int x^{2020} dx$
સંકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{x^{2021}}{2021} + C$
કારણ કે $\frac{\pi}{2} = \tan^{-1} x + \cot^{-1} x$,આપણે લખી શકીએ:
$I = \frac{x^{2021}}{2021} (\tan^{-1} x + \cot^{-1} x) + C$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x^3-1}{x^3+x} dx$.
અંશને છેદ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \left(1 - \frac{x+1}{x^3+x}\right) dx = \int 1 dx - \int \frac{x+1}{x(x^2+1)} dx$.
$\frac{x+1}{x(x^2+1)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
$x+1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + A$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $A=1$,$C=1$,અને $A+B=0 \Rightarrow B=-1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} + \frac{-x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = x - \int \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}\right) dx$.
$I = x - \log |x| + \frac{1}{2} \log (x^2+1) - \tan^{-1}(x) + c$.

(D) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$. આપેલ છે કે $f(0) = 3$,તેથી $c = 3$.
$f(1) = 3$ હોવાથી,$a + b + 3 = 3 \Rightarrow a + b = 0 \Rightarrow b = -a$.
$f(2) = -3$ હોવાથી,$4a + 2b + 3 = -3 \Rightarrow 4a + 2b = -6$.
$b = -a$ મૂકતા,$4a - 2a = -6 \Rightarrow 2a = -6 \Rightarrow a = -3$.
તેથી $b = 3$. આમ $f(x) = -3x^2 + 3x + 3$.
હવે,$\int \frac{-3x^2 + 3x + 3}{x^3 - 1} dx = -3 \int \frac{x^2 - x - 1}{(x-1)(x^2 + x + 1)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,ઉકેલ મેળવતા વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ મળે છે.

(A) આપણી પાસે છે,$I = \int \frac{x^4+x^2+1}{x^2-x+1} dx$.
કારણ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$,
તેથી આપણે સંકલ્યને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$I = \int \frac{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1} dx = \int (x^2+x+1) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{(x+1)^2}{x(x^2+1)} dx$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x^2+1)} dx$.
આપણે અંશને $(x^2+1) + 2x$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આમ,$I = \int \frac{(x^2+1) + 2x}{x(x^2+1)} dx$.
સંકલનને અલગ કરતા,આપણને $I = \int \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} dx + \int \frac{2x}{x(x^2+1)} dx$ મળે છે.
$I = \int \frac{1}{x} dx + 2 \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
સંકલન કરતા,આપણને $I = \log |x| + 2 \tan^{-1}(x) + C$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \left( \frac{2x^3 - 3x + 5}{2x^2} \right) dx$ છે.
અંશના દરેક પદને $2x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \left( \frac{2x^3}{2x^2} - \frac{3x}{2x^2} + \frac{5}{2x^2} \right) dx = \int \left( x - \frac{3}{2x} + \frac{5}{2x^2} \right) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} \ln|x| - \frac{5}{2} \left( -\frac{1}{x} \right) + C = \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} \ln|x| + \frac{5}{2x} + C$.
જોકે,$\ln(x)$ પદ ફક્ત $x > 0$ માટે જ વ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,આ સંકલન $x > 0$ માટે માન્ય છે.
આથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $I_n = \int (\log x)^n \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = (\log x)^n$ અને $dv = dx$.
તેથી $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ અને $v = x$ મળે.
સૂત્ર $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ લાગુ પાડતા:
$I_n = x(\log x)^n - \int x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$I_n = x(\log x)^n - n \int (\log x)^{n-1} \, dx$
કારણ કે $I_{n-1} = \int (\log x)^{n-1} \, dx$,તેથી:
$I_n = x(\log x)^n - n I_{n-1}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$I_n + n I_{n-1} = x(\log x)^n$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય વિધેય $e^x$ માટે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$
આને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \left(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots \infty \right) dx = \int e^x dx$
$e^x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન $e^x + c$ થાય છે,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
તેથી,અંતિમ જવાબ $e^x + c$ છે.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int e^{x / 2} \left( \frac{2 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ છે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ અને $1 + \cos x = 2 \cos^2(x/2)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલ્યને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$\frac{2 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{2}{2 \cos^2(x/2)} + \frac{2 \tan(x/2)}{(1 + \tan^2(x/2)) \cdot 2 \cos^2(x/2)}$
$= \sec^2(x/2) + \tan(x/2)$.
તેથી,$I = \int e^{x/2} (\sec^2(x/2) + \tan(x/2)) dx$.
ધારો કે $u = x/2$,તો $du = dx/2$,એટલે કે $dx = 2du$.
$I = \int e^u (\sec^2 u + \tan u) \cdot 2 du = 2 \int e^u (\tan u + \sec^2 u) du$.
કારણ કે $\frac{d}{du}(\tan u) = \sec^2 u$,સૂત્ર $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = 2 e^u \tan u + c = 2 e^{x/2} \tan(x/2) + c$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $I = \int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx$.
$\log x = t$ આદેશ લેતા,તેથી $x = e^t$ મળે.
હવે,$dx = e^t dt$ થાય.
સંકલનમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) e^t dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર: $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ છે.
અહીં,$f(t) = \frac{1}{t}$ અને $f'(t) = -\frac{1}{t^2}$ છે.
તેથી,$I = e^t \cdot \frac{1}{t} + c$.
હવે $t = \log x$ અને $e^t = x$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{x}{\log x} + c$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\cos^2 x + \sin 2x}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{1 + 2 \tan x}$.
ધારો કે $t = 1 + 2 \tan x$. તો $dt = 2 \sec^2 x dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sec^2 x dx = \frac{dt}{2}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \log |t| + C$.
હવે $t = 1 + 2 \tan x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \log |1 + 2 \tan x| + C$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{1+\cos (4 x)}{\cot x-\tan x} dx$ છે.
નિત્યસમ $1+\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1+\cos(4x) = 2\cos^2(2x)$ મળે.
વળી,$\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\cot(2x)$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2\cos^2(2x)}{2\cot(2x)} dx = \int \frac{\cos^2(2x)}{\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}} dx = \int \cos(2x)\sin(2x) dx$.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)$,તેથી $\sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$.
$I = \int \frac{1}{2}\sin(4x) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos(4x)}{4} \right) + c = -\frac{1}{8}\cos(4x) + c$.
આને $k\cos(4x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = -\frac{1}{8}$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(A) આપણને સંકલન $I = \int \frac{5 \tan x}{\tan x - 2} dx = \int \frac{5 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} dx$ આપેલ છે.
ધારો કે $5 \sin x = \alpha(\sin x - 2 \cos x) + \beta \frac{d}{dx}(\sin x - 2 \cos x)$.
$5 \sin x = \alpha(\sin x - 2 \cos x) + \beta(\cos x + 2 \sin x)$.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\sin x$ માટે: $5 = \alpha + 2\beta$ $(i)$
$\cos x$ માટે: $0 = -2\alpha + \beta \implies \beta = 2\alpha$ (ii)
(ii) ને $(i)$ માં મૂકતા: $5 = \alpha + 2(2\alpha) = 5\alpha \implies \alpha = 1$.
તેથી $\beta = 2(1) = 2$.
આમ,$5 \sin x = 1(\sin x - 2 \cos x) + 2(\cos x + 2 \sin x)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1(\sin x - 2 \cos x) + 2(\cos x + 2 \sin x)}{\sin x - 2 \cos x} dx$
$I = \int 1 dx + 2 \int \frac{\cos x + 2 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} dx$
$I = x + 2 \log |\sin x - 2 \cos x| + \gamma$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\alpha x + \beta \log |\sin x - 2 \cos x| + \gamma$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha - \beta = 1 - 2 = -1$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^1 (1+x) \log (1+x) \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(1+x)$ અને $dv = (1+x) \, dx$ લો.
તેથી $du = \frac{1}{1+x} \, dx$ અને $v = \frac{(1+x)^2}{2}$ મળે.
$I = \left[ \frac{(1+x)^2}{2} \log(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{(1+x)^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x} \, dx$
$I = \left[ \frac{4}{2} \log 2 - 0 \right] - \frac{1}{2} \int_0^1 (1+x) \, dx$
$I = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$I = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right)$
$I = 2 \log 2 - \frac{3}{4} = \frac{-3}{4} + 2 \log 2$.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$.
નિત્યસમ $1 + \cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{x + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^{2} \frac{x}{2}} dx$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{x}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx$
પ્રથમ પદ $\int \frac{x}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = \frac{x}{2}$,$dv = \sec^{2} \frac{x}{2} dx$. તેથી $du = \frac{1}{2} dx$ અને $v = 2 \tan \frac{x}{2}$.
$\int \frac{x}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} dx = \frac{x}{2} (2 \tan \frac{x}{2}) - \int (2 \tan \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} dx = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} dx$.
આ કિંમતને સંકલન $I$ માં મૂકતા:
$I = [x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} dx] + \int \tan \frac{x}{2} dx$
$I = [x \tan \frac{x}{2}]_{0}^{\pi/2}$
$I = \frac{\pi}{2} \tan \frac{\pi}{4} - 0 \cdot \tan 0 = \frac{\pi}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1+\log x)^2}$.
$t = 1 + \log x$ આદેશ લેતા,$dt = \frac{1}{x} dx$ મળે.
જ્યારે $x = 1$ હોય,ત્યારે $t = 1 + \log(1) = 1 + 0 = 1$.
જ્યારે $x = e^2$ હોય,ત્યારે $t = 1 + \log(e^2) = 1 + 2 = 3$.
તેથી,$I = \int_1^3 \frac{dt}{t^2} = \int_1^3 t^{-2} dt$.
સંકલન કરતા,$I = \left[ \frac{t^{-1}}{-1} \right]_1^3 = \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^3$.
સીમાઓ મૂકતા,$I = \left( -\frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^1 \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 \theta d\theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0, \theta = 0$ અને જ્યારે $x = 1, \theta = \frac{\pi}{4}$ થાય.
$0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ માટે $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2\theta \sec^2 \theta d\theta = 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \theta \sec^2 \theta d\theta$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા: $\int u dv = uv - \int v du$,જ્યાં $u = \theta$ અને $dv = \sec^2 \theta d\theta$.
$I = 2 [\theta \tan \theta - \int \tan \theta d\theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = 2 [\theta \tan \theta - \log |\sec \theta|]_0^{\frac{\pi}{4}}$.
$I = 2 [(\frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4} - \log \sec \frac{\pi}{4}) - (0 - \log \sec 0)]$.
$I = 2 [\frac{\pi}{4}(1) - \log \sqrt{2} - 0] = 2 [\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2] = \frac{\pi}{2} - \log 2$.