AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણને તેની ત્રણ બાજુઓ દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી કરી શકાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે બાજુની લંબાઈ $a = 2$ અને તેની સામેનો ખૂણો $A = \frac{\pi}{3}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{\sin(\frac{\pi}{3})} = 2R$
$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$
$\frac{4}{\sqrt{3}} = 2R$
$R = \frac{2}{\sqrt{3}}$
આમ,ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.

(C) આપેલ છે: ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ $a = 15$,$b = 20$,અને $c = 25$ એકમ છે.
પ્રથમ,નોંધો કે $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$.
$a^2 + b^2 = c^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $c = 25$ એકમ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની અડધી હોય છે.
$R = \frac{c}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ એકમ.

(D) અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21 \text{ cm}$ છે.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84 \text{ cm}^2$ છે.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{65}{8} \text{ cm}$.

(C) કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આપેલ છે કે $\angle C = 60^{\circ}$,તેથી $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આના પરથી $ab = a^2+b^2-c^2$ અથવા $a^2+b^2 = ab+c^2$ મળે છે.
હવે,આપેલ પદાવલિમાં $a^2+b^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{c(a+b)+(a^2+b^2)}{(b+c)(c+a)} = \frac{ca+cb+ab+c^2}{bc+ab+c^2+ac}$.
અંશ અને છેદ સમાન હોવાથી,તેની કિંમત $1$ થાય છે.

(C) આપણને આપેલ છે કે $\Sigma(q+r) \cos P = (q+r) \cos P + (r+p) \cos Q + (p+q) \cos R$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$(q \cos P + r \cos P) + (r \cos Q + p \cos Q) + (p \cos R + q \cos R)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$(q \cos P + p \cos Q) + (r \cos P + p \cos R) + (r \cos Q + q \cos R)$
પ્રોજેક્શન લો (પ્રક્ષેપણના નિયમ) મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $r = q \cos P + p \cos Q$,$q = r \cos P + p \cos R$,અને $p = r \cos Q + q \cos R$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$r + q + p = p + q + r$
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{p+q+r}{2}$ હોવાથી,$p+q+r = 2s$ થાય.
તેથી,$\Sigma(q+r) \cos P = 2s$.

(A) $\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આપેલ છે કે $\angle C = 60^{\circ}$,તેથી $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આથી $ab = a^2+b^2-c^2$,અથવા $c^2 = a^2+b^2-ab$.
હવે,પદાવલિ $E = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} = \frac{a(c+a) + b(b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{ac+a^2+b^2+bc}{bc+ab+c^2+ac}$.
અંશમાં $a^2+b^2 = c^2+ab$ મુકતા:
$E = \frac{ac + (c^2+ab) + bc}{bc+ab+c^2+ac} = \frac{ac+c^2+ab+bc}{ac+ab+c^2+bc} = 1$.

(A) ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $(r)$ નું સૂત્ર $r = \frac{\Delta}{s}$ છે,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
આપેલ છે,પરિમિતિ $P = 36 \text{ cm}$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}$.
આપેલ છે,અંતઃત્રિજ્યા $r = 8 \text{ cm}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\Delta = r \times s = 8 \times 18 = 144 \text{ cm}^2$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 6$,$b = 5$ અને $c = 9$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+5+9}{2} = \frac{20}{2} = 10$ છે.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ મળે છે.
$\Delta = \sqrt{10(10-6)(10-5)(10-9)} = \sqrt{10 \times 4 \times 5 \times 1} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2}$.

(A) $\triangle ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle B = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 60^{\circ}) = 45^{\circ}$.
$\triangle BAD$ અને $\triangle BCD$ માટે શિરોબિંદુ $B$ થી પાયા $AC$ પરનો વેધ સમાન હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમના પાયાના ગુણોત્તર જેટલો થાય: $\frac{\text{Area}(\triangle BAD)}{\text{Area}(\triangle BCD)} = \frac{AD}{CD} = \sqrt{3}$.
ધારો કે $\angle ABD = \alpha$,તો $\angle DBC = 45^{\circ} - \alpha$.
$\triangle BAD$ અને $\triangle BCD$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{AD}{\sin \alpha} = \frac{BD}{\sin 75^{\circ}}$ અને $\frac{CD}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} = \frac{BD}{\sin 60^{\circ}}$.
આ સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા $\frac{AD}{CD} = \frac{\sin \alpha}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} \cdot \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} = \sqrt{3}$.
$\frac{\sin \alpha}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $\cot \alpha = \sqrt{3}$ મળે,તેથી $\alpha = 30^{\circ}$.

(C) $\triangle ABC$ માં,$\angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,બાજુ $BC$ એ પરિવર્તુળનો વ્યાસ બનશે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $B(2, -4)$ અને $C(1, 5)$ આપેલા છે,તેથી વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા:
$(x - 2)(x - 1) + (y - (-4))(y - 5) = 0$
$(x^2 - x - 2x + 2) + (y^2 - 5y + 4y - 20) = 0$
$x^2 + y^2 - 3x - y - 18 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $A = 30^{\circ} + C$ અને $R = (\sqrt{3} + 1)r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r = 4R \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$.
$r = \frac{R}{\sqrt{3} + 1}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ મળે છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$\frac{\sqrt{3} - 1}{2} = 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$,તેથી $\sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{8}$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા,$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 2C) = 150^{\circ} - 2C$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકીને ખૂણાઓ શોધતા,આપણને $\angle A = 75^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 45^{\circ}$ મળે છે.
આ ત્રણેય ખૂણા લઘુકોણ હોવાથી,$ABC$ લઘુકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે બાજુઓ $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2b = a + c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1, r_2, r_3$ એ $H$.$P$. માં છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ એ $A$.$P$. માં છે કે નહીં.
$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}$,$\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$.
જેમ કે $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે,$s-a, s-b, s-c$ પણ $A$.$P$. માં છે કારણ કે $s-a + s-c = 2s - (a+c) = 2s - 2b = 2(s-b)$.
આમ,$\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ એ $A$.$P$. માં છે,જેનો અર્થ છે કે $r_1, r_2, r_3$ એ $H$.$P$. માં છે.

(A) ત્રણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a, b, c$ સાથે બનેલો ગણ જેમાં ઘટકોનો ક્રમ નિશ્ચિત અથવા અગાઉથી નક્કી કરેલ હોય તેને ક્રમિત ત્રિપુટી કહેવામાં આવે છે,જેને $(a, b, c)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત હોવા માટે,ત્રણેય રેખાઓ એક જ બિંદુએ છેદવી જોઈએ અથવા સંગામી હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,પ્રથમ બે સમીકરણો ઉકેલો:
$2x + y = 5$ $(1)$
$x - 2y = -1$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4x + 2y = 10$ $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$5x = 9 \implies x = \frac{9}{5}$
$x$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$2(\frac{9}{5}) + y = 5 \implies y = 5 - \frac{18}{5} = \frac{7}{5}$
સિસ્ટમ સુસંગત હોવાથી,બિંદુ $(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})$ એ ત્રીજા સમીકરણ $2x - 14y - a = 0$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ:
$2(\frac{9}{5}) - 14(\frac{7}{5}) - a = 0$
$\frac{18}{5} - \frac{98}{5} = a$
$a = -\frac{80}{5} = -16$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્વર્સ હાઇપરબોલિક ટેન્જન્ટ અને ઇન્વર્સ ટ્રિગોનોમેટ્રિક ટેન્જન્ટ વિધેય વચ્ચેનો સંબંધ: $\tanh^{-1}(z) = \frac{1}{i} \tan^{-1}(iz)$ છે.
$\tanh^{-1}(iy)$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $z = iy$ મૂકીએ છીએ:
$\tanh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} \tan^{-1}(i(iy))$
કારણ કે $i^2 = -1$,આનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
$\tanh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} \tan^{-1}(-y)$
ગુણધર્મ $\tan^{-1}(-y) = -\tan^{-1}(y)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\tanh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} (-\tan^{-1}(y)) = -\frac{1}{i} \tan^{-1}(y)$
કારણ કે $\frac{1}{i} = -i$,તેથી $-\frac{1}{i} = i$ થાય.
આમ,$\tanh^{-1}(iy) = i \tan^{-1}(y)$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sin x - \cos x$ યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-x) = \sin(-x) - \cos(-x)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(-x) = -\sin x$ અને $\cos(-x) = \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = -\sin x - \cos x$
$f(-x) = -(\sin x + \cos x)$
અહીં $f(-x) \neq f(x)$ અને $f(-x) \neq -f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય યુગ્મ પણ નથી અને અયુગ્મ પણ નથી.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) વિધેય $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$ આવર્ત હોય જો $f_1(x)$ અને $f_2(x)$ બંને આવર્ત હોય અને તેમના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર સંમેય સંખ્યા હોય.
અહીં,$f_1(x) = \cos(ax)$ નો આવર્તકાળ $T_1 = \frac{2\pi}{|a|}$ છે અને $f_2(x) = \sin(x)$ નો આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi$ છે.
$f(x)$ આવર્ત હોવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi/|a|}{2\pi} = \frac{1}{|a|}$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
જો $\frac{1}{|a|}$ સંમેય સંખ્યા હોય,તો $|a|$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$a$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) યોગ્ય અપૂર્ણાંક એ સંમેય પદાવલિ $\frac{f(x)}{g(x)}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યાં અંશ $f(x)$ ની ઘાત એ છેદ $g(x)$ ની ઘાત કરતા ઓછી હોય છે.
આ અપૂર્ણાંકને આંશિક અપૂર્ણાંકોમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે છેદ $g(x)$ ને સુરેખ અથવા અવિભાજ્ય દ્વિઘાત અવયવોમાં અવયવીકરણ કરવું પડે છે.
આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટનનું સ્વરૂપ સંપૂર્ણપણે $g(x)$ ના અવયવોના પ્રકાર પર આધારિત છે.
તેથી,આ ઘટાડો માત્ર $g(x)$ ના અવયવીકરણ પર આધાર રાખે છે.

(D) આપેલ છે,$R=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1}$ અને $f=R-[R]=\{R\}$.
જો $I$ એ $R$ નો પૂર્ણાંક ભાગ હોય,તો $R=I+f=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1} \dots (i)$,જ્યાં $0 < f < 1$.
$f_1=(5 \sqrt{5}-11)^{2 n+1}$ લો. $5 \sqrt{5} = \sqrt{125} \approx 11.18$ હોવાથી,$0 < 5 \sqrt{5}-11 < 1$,તેથી $0 < f_1 < 1$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $R$ અને $f_1$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$R = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} (5 \sqrt{5})^{2n+1-k} (11)^k$
$f_1 = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} (5 \sqrt{5})^{2n+1-k} (-11)^k$
$R$ અને $f_1$ નો સરવાળો કરતા:
$R+f_1 = 2 \sum_{k \text{ even}} \binom{2n+1}{k} (5 \sqrt{5})^{2n+1-k} (11)^k = \text{બેકી પૂર્ણાંક } (2K)$.
$R = I+f$ હોવાથી,$I+f+f_1 = 2K$,જે સૂચવે છે કે $f+f_1 = 2K-I = \text{પૂર્ણાંક}$.
$0 < f < 1$ અને $0 < f_1 < 1$ હોવાથી,$0 < f+f_1 < 2$,તેથી $f+f_1=1$,એટલે કે $f_1 = 1-f$.
અહીં $(5 \sqrt{5})^2 - 11^2 = 125 - 121 = 4$.
તેથી $R \cdot f_1 = (125-121)^{2n+1} = 4^{2n+1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $4^{2n+1}$ છે.

(D) ધારો કે $x = (2+\sqrt{3})^5$ અને $y = (2-\sqrt{3})^5$. કારણ કે $0 < 2-\sqrt{3} < 1$,તેથી $0 < y < 1$ મળે.
પદાવલિ $S = (2+\sqrt{3})^5 + (2-\sqrt{3})^5$ ધ્યાનમાં લો.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,અસંમેય પદો દૂર થાય છે અને $S$ એક બેકી પૂર્ણાંક મળે છે.
$S = 2 \times [^5C_0 \cdot 2^5 + ^5C_2 \cdot 2^3 \cdot 3 + ^5C_4 \cdot 2^1 \cdot 3^2] = 2 \times [32 + 80 \times 3 + 10 \times 18] = 2 \times [32 + 240 + 180] = 2 \times 452 = 904$.
કારણ કે $S = x + y = 904$ અને $0 < y < 1$,તેથી $x = 904 - y$ મળે.
આમ,$[x] = 904 - 1 = 903$.
હવે,$903$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$903 = 3 \times 301 = 3 \times 7 \times 43$.
$903 = 3^1 \times 7^1 \times 43^1$ ના ધન પૂર્ણાંક ભાજકોની સંખ્યા $(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \times 2 \times 2 = 8$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $3^{x^2-x} = 25 - 4^{x^2-x}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $4^{x^2-x} + 3^{x^2-x} = 25$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $25 = 16 + 9 = 4^2 + 3^2$.
તેથી,સમીકરણ $4^{x^2-x} + 3^{x^2-x} = 4^2 + 3^2$ બને છે.
ઘાતની સરખામણી કરતા,આપણને $x^2 - x = 2$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 2 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x - 2)(x + 1) = 0$ મળે છે.
આમ,ઉકેલો $x = 2$ અને $x = -1$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) બહુપદી $f(x) = x^2-6x+12$ એ $\mathbb{Q}$ પર વિભાજ્ય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને તેના બીજ શોધીએ.
અહીં,$a=1, b=-6, c=12$ છે.
વિવેચક $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12$ છે.
જેથી વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,બીજ સંકર સંખ્યાઓ છે: $x = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{2} = 3 \pm i\sqrt{3}$.
બીજ $\mathbb{Q}$ માં ન હોવાથી,બહુપદીને $\mathbb{Q}$ પર સુરેખ અવયવોમાં વિભાજિત કરી શકાતી નથી.
તેથી,તે $\mathbb{Q}$ પર અવિભાજ્ય છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $ax + (3 - a)y + 7 = 0$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખા $Ax + By + C = 0$ નો ઢાળ $m = -\frac{A}{B}$ થાય.
અહીં,$A = a$ અને $B = (3 - a)$ છે.
ઢાળ $m = 7$ આપેલ હોવાથી:
$-\frac{a}{3 - a} = 7$
$\frac{a}{a - 3} = 7$
$a = 7(a - 3)$
$a = 7a - 21$
$6a = 21$
$a = \frac{21}{6} = 3.5$.
'$a$' નો પૂર્ણાંક ભાગ,જેને $[a]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $a$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
$[3.5] = 3$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ વક્ર $x=3 \cos \theta$ અને $y=2 \sin \theta$ છે.
આ એક ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ દર્શાવે છે.
જ્યારે સ્પર્શકનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત હોય ત્યારે સ્પર્શક $X$-અક્ષને લંબ હોય છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\frac{dx}{d\theta} = 0$ અને $\frac{dy}{d\theta} \neq 0$ હોય.
વિકલન કરતા: $\frac{dx}{d\theta} = -3 \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta$.
$\frac{dx}{d\theta} = 0$ લેતા,$-3 \sin \theta = 0$ મળે,તેથી $\sin \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$ અથવા $\theta = \pi$.
$\theta = 0$ માટે,$x = 3 \cos(0) = 3$ અને $y = 2 \sin(0) = 0$.
$\theta = \pi$ માટે,$x = 3 \cos(\pi) = -3$ અને $y = 2 \sin(\pi) = 0$.
આમ,બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(-3, 0)$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(3, 0)$ એ સાચું બિંદુ છે.

(B) આપેલ છે,$x=35 \sec \theta$ અને $y=35 \tan \theta$.
બિંદુ $P = (35 \sec \theta, 35 \tan \theta)$.
$\theta$ ની સાપેક્ષે $x$ અને $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 35 \sec \theta \tan \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 35 \sec^2 \theta$
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{35 \sec^2 \theta}{35 \sec \theta \tan \theta} = \frac{\sec \theta}{\tan \theta} = \frac{1}{\sin \theta}$.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે:
$y - 35 \tan \theta = \frac{1}{\sin \theta} (x - 35 \sec \theta)$
$y \sin \theta - 35 \tan \theta \sin \theta = x - 35 \sec \theta$
$y \sin \theta - 35 \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = x - \frac{35}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + 35 \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} - \frac{35}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + \frac{35(\sin^2 \theta - 1)}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + \frac{35(-\cos^2 \theta)}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x - 35 \cos \theta$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1$,$f=0$,અને $c=0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 0)$ છે.
વર્તુળનો કોઈપણ અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
અભિલંબ એ રેખા $x+2y-3=0$ ને સમાંતર છે.
રેખા $x+2y-3=0$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
અભિલંબ આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ પણ $m = -\frac{1}{2}$ થશે.
બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1)$.
$2y = -x + 1$,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y - 1 = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt[3]{x^2+64}-\sqrt[3]{x^2+27}$
આને આ રીતે લખી શકાય: $4(1+\frac{x^2}{64})^{1/3} - 3(1+\frac{x^2}{27})^{1/3}$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n \approx 1+nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 4[1 + \frac{1}{3}(\frac{x^2}{64})] - 3[1 + \frac{1}{3}(\frac{x^2}{27})] + \dots$
$= 4[1 + \frac{x^2}{192}] - 3[1 + \frac{x^2}{81}] + \dots$
$= 4 + \frac{4x^2}{192} - 3 - \frac{3x^2}{81} + \dots$
$= 1 + \frac{x^2}{48} - \frac{x^2}{27} + \dots$
$= 1 + x^2(\frac{9-16}{432}) = 1 - \frac{7}{432}x^2$
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+ax^2+bx+c=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = -a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
આપણે $\sum \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ શોધવાનું છે.
લસાઅ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$.
વિયેટાના સૂત્રોની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 12y$ છે. આને $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,તેથી $a = 3$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ છે,જે $(6, 3)$ અને $(-6, 3)$ થાય છે.
ત્રિકોણ $(0, 0)$,$(6, 3)$ અને $(-6, 3)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણનો પાયો નાભિલંબની લંબાઈ છે,જે $4a = 12$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ શિરોબિંદુથી નાભિલંબ સુધીનું અંતર છે,જે $a = 3$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18$ ચોરસ એકમ છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ધારો કે બાજુઓ $a = 2 \sqrt{2}$,$b = 5$ છે અને ત્રીજી બાજુ $p$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $p$ કર્ણ હોય,તો પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$p^2 = a^2 + b^2$.
$p^2 = (2 \sqrt{2})^2 + 5^2 = 8 + 25 = 33$.
તેથી,$p = \sqrt{33}$.
કિસ્સો $2$: જો $5$ કર્ણ હોય,તો $p^2 + a^2 = 5^2$.
$p^2 + 8 = 25 \Rightarrow p^2 = 17$.
તેથી,$p = \sqrt{17}$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $\sqrt{17}$ હોવાથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(A) બિંદુઓ $u(1, -2)$ અને $v(-3, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $\frac{x - 1}{-3 - 1} = \frac{y - (-2)}{5 - (-2)} \Rightarrow \frac{x - 1}{-4} = \frac{y + 2}{7} \Rightarrow 7x - 7 = -4y - 8 \Rightarrow 7x + 4y + 1 = 0$ છે.
બિંદુ $P(-\frac{1}{7}, 0)$ માટે: $7(-\frac{1}{7}) + 4(0) + 1 = -1 + 0 + 1 = 0$. તેથી,$P$ રેખા પર છે.
બિંદુ $Q(0, -\frac{1}{4})$ માટે: $7(0) + 4(-\frac{1}{4}) + 1 = 0 - 1 + 1 = 0$. તેથી,$Q$ રેખા પર છે.
બિંદુ $R(-2, 3)$ માટે: $7(-2) + 4(3) + 1 = -14 + 12 + 1 = -1 \neq 0$. તેથી,$R$ રેખા પર નથી.
આમ,માત્ર બિંદુઓ $P$ અને $Q$ રેખા પર આવેલા છે.

(B) $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$,અને $C(3, -4, -4)$ છે.
પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-3 - (-1))^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.
$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (-4 - (-3))^2 + (-4 - (-5))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$CA = \sqrt{(2-3)^2 + (-1 - (-4))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
હવે,પાયથાગોરસના પ્રમેય માટે તપાસીએ:
$BC^2 + CA^2 = 6 + 35 = 41 = AB^2$.
કારણ કે $AB^2 = BC^2 + CA^2$,તેથી આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણની શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z)$ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}$,$y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$,$z = \frac{z_1+z_2+z_3}{3}$
અહીં ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ મધ્યકેન્દ્ર છે,તેથી:
$0 = \frac{2a - 4 + 8}{3} \Rightarrow 2a + 4 = 0 \Rightarrow a = -2$
$0 = \frac{2 + 3b + 14}{3} \Rightarrow 3b + 16 = 0 \Rightarrow b = -\frac{16}{3}$
$0 = \frac{6 - 10 + 2c}{3} \Rightarrow 2c - 4 = 0 \Rightarrow c = 2$
આમ,$a = -2, b = -\frac{16}{3}, c = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(5, -4, 5)$,$B(-3, -3, 2)$ અને $C(-1, -6, 8)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ.
$AB = \sqrt{(-3-5)^2 + (-3-(-4))^2 + (2-5)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 1 + 9} = \sqrt{74}$.
$BC = \sqrt{(-1-(-3))^2 + (-6-(-3))^2 + (8-2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$CA = \sqrt{(5-(-1))^2 + (-4-(-6))^2 + (5-8)^2} = \sqrt{(6)^2 + (2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
અહીં $BC = CA = 7$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,આ બિંદુઓ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(D) ધારો કે $A = (3, -2, 2)$ અને $B = (6, -17, -4)$. ધારો કે $P = (2, 3, 4)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left(\frac{6m + 3n}{m+n}, \frac{-17m - 2n}{m+n}, \frac{-4m + 2n}{m+n}\right) = (2, 3, 4)$.
$x$-યામને સરખાવતા: $\frac{6m + 3n}{m+n} = 2 \implies 6m + 3n = 2m + 2n \implies 4m = -n \implies \frac{m}{n} = -\frac{1}{4}$.
આમ,$P$ એ $AB$ ને $1:4$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજિત કરે છે.
$P$ નો $A$ અને $B$ ના સંદર્ભમાં હાર્મોનિક કોન્જુગેટ એ રેખાખંડ $AB$ ને $1:4$ ના ગુણોત્તરમાં અંદરની તરફ વિભાજિત કરશે.
અંતઃવિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q = \left(\frac{1(6) + 4(3)}{1+4}, \frac{1(-17) + 4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4) + 4(2)}{1+4}\right) = \left(\frac{6+12}{5}, \frac{-17-8}{5}, \frac{-4+8}{5}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $R$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા ($x$-યામ માટે):
$x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}$
$-5 = \frac{\lambda(-9) + 1(-3)}{\lambda + 1}$
$-5(\lambda + 1) = -9\lambda - 3$
$-5\lambda - 5 = -9\lambda - 3$
$-5\lambda + 9\lambda = 5 - 3$
$4\lambda = 2$
$\lambda = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $\lambda : 1$ એ $\frac{1}{2} : 1$ એટલે કે $1 : 2$ થાય છે.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $3 + 5 + 8 = 16$.
વાદળી દડાઓની સંખ્યા = $5$.
વાદળી દડો મળવાની સંભાવના,$P(B) = \frac{5}{16}$.
વાદળી દડો ન મળે તેની સંભાવના,$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,તેમના યોગની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.9$ અને $P(B) = 0.8$,તેથી $P(A \cup B) = 1.7 - P(A \cap B)$.
કારણ કે $P(A \cap B) \geq 0.7$,તેથી $P(A \cup B) \leq 1.7 - 0.7 = 1.0$.
કોઈપણ સંભાવના માટે $P(A \cup B) \leq 1$ હોવું જરૂરી છે,તેથી આ સ્થિતિ હંમેશા સાચી છે.

(B) મશીનોની કુલ સંખ્યા $= 4 + 6 = 10$.
પ્રથમ પસંદ કરેલ મશીન સારું હોય તેની સંભાવના $= \frac{6}{10}$.
પસંદગી બદલ્યા વગર (without replacement) કરવામાં આવતી હોવાથી,બાકી રહેલા સારા મશીનોની સંખ્યા $5$ છે અને બાકી રહેલા કુલ મશીનોની સંખ્યા $9$ છે.
બીજું મશીન સારું હોય તેની સંભાવના $= \frac{5}{9}$.
બંને મશીનો સારા હોય તેની સંભાવના $= \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$.

(C) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 1000$ છે.
$A$ એ $S$ માં પૂર્ણ ઘન સંખ્યાઓનો ગણ છે. $10^3 = 1000$ હોવાથી,$A = \{1^3, 2^3, \ldots, 10^3\}$,તેથી $n(A) = 10$.
$B$ એ એકી સંખ્યામાં ભાજકો ધરાવતી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. કોઈ સંખ્યાના ભાજકોની સંખ્યા એકી ત્યારે જ હોય જો તે પૂર્ણ વર્ગ હોય. $1000$ થી નાની સૌથી મોટી પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $31^2 = 961$ છે. તેથી,$B = \{1^2, 2^2, \ldots, 31^2\}$,તેથી $n(B) = 31$.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવી સંખ્યાઓ છે જે પૂર્ણ ઘન અને પૂર્ણ વર્ગ બંને છે,એટલે કે પૂર્ણ છઠ્ઠી ઘાત. આ સંખ્યાઓ $1^6 = 1$,$2^6 = 64$,અને $3^6 = 729$ છે. તેથી,$n(A \cap B) = 3$.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$n(A \cup B) = 10 + 31 - 3 = 38$.
સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{38}{1000} = \frac{19}{500}$ થાય.

(D) $64$ માંથી $3$ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{64}C_3$ છે.
એક રંગના $2$ ચોરસ અને બીજા રંગનો $1$ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $(2 \text{ સફેદ, } 1 \text{ કાળો})$ અથવા $(1 \text{ સફેદ, } 2 \text{ કાળો})$ છે.
આ $^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1 + ^{32}C_1 \cdot ^{32}C_2 = 2 \cdot ^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1$ જેટલું છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{2 \cdot ^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1}{^{64}C_3} = \frac{2 \cdot \frac{32 \times 31}{2} \times 32}{\frac{64 \times 63 \times 62}{6}} = \frac{16}{21}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ત્રણ નિષ્પક્ષ પાસા ફેંકતા અલગ-અલગ અંક મળે તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
ત્રણ અલગ-અલગ અંકોનો સરવાળો $8$ થાય તેવી શક્યતાઓ $(1, 2, 5)$ અને $(1, 3, 4)$ છે.
આવી $2$ શક્યતાઓ છે.
દરેક શક્યતાને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2 \times 6 = 12$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{12}{120} = \frac{1}{10}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે.
$365 = 52 \times 7 + 1$.
આનો અર્થ એ છે કે બિન-લીપ વર્ષમાં $52$ સંપૂર્ણ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ હોય છે.
આ વધારાના દિવસ માટે નિદર્શાવકાશ $S = \{\text{સોમવાર, મંગળવાર, બુધવાર, ગુરુવાર, શુક્રવાર, શનિવાર, રવિવાર}\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 7$.
વર્ષમાં $53$ સોમવાર હોવા માટે,વધારાનો દિવસ સોમવાર હોવો જોઈએ.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 1$.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{7}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) કુલ પેનની સંખ્યા $= 10$.
લાલ પેનની સંખ્યા $= 4$.
વાદળી પેનની સંખ્યા $= 6$.
$10$ માંથી $3$ પેન પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
$6$ માંથી $3$ વાદળી પેન પસંદ કરવાની રીતો ${}^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{{}^{6}C_3}{{}^{10}C_3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા = $5 + x$.
$(5 + x)$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^{5+x}C_2 = \frac{(5+x)(4+x)}{2}$.
$5$ વાદળી દડામાંથી $2$ વાદળી દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
$2$ વાદળી દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P = \frac{^5C_2}{^{5+x}C_2} = \frac{20}{(5+x)(4+x)}$.
આપેલ છે કે $P = \frac{5}{14}$,તેથી $\frac{20}{(5+x)(4+x)} = \frac{5}{14}$.
$\Rightarrow (5+x)(4+x) = 56$.
$\Rightarrow x^2 + 9x - 36 = 0$.
$\Rightarrow (x+12)(x-3) = 0$.
$x$ ધન હોવાથી,$x = 3$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $6$ આવે છે.
પૂરક ઘટના $E'$ ની સંભાવના ગણવી સરળ છે,જે એવી ઘટના છે કે જેમાં કોઈ પણ પાસા પર $6$ ન આવે.
જો કોઈ પાસા પર $6$ ન આવે,તો દરેક પાસો $1$ થી $5$ સુધીની કોઈપણ સંખ્યા દર્શાવી શકે છે.
આમ,$E'$ માટેના પરિણામોની સંખ્યા $5 \times 5 = 25$ છે.
$E'$ ની સંભાવના $P(E') = \frac{25}{36}$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આ સમીકરણની આપેલ સમીકરણ સાથે સરખામણી કરતા:
$P(A \cup B) = a P(A \cap B) + b P(A) + c P(B)$
આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = -1, b = 1, c = 1$
હવે,આ કિંમતોને $3a + 2b + 5c$ માં મૂકતા:
$3(-1) + 2(1) + 5(1) = -3 + 2 + 5 = 4$
આમ,જવાબ $4$ છે.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ $A$ પરીક્ષામાં નાપાસ થાય તેની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ $B$ પરીક્ષામાં નાપાસ થાય તેની સંભાવના છે.
આપણને $P(A) = 0.2$ અને $P(B) = 0.3$ આપેલ છે.
$A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ એક નાપાસ થાય તેની સંભાવના એ બંને ઘટનાઓનો યોગગણ $P(A \cup B)$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કારણ કે $P(A \cap B) \geq 0$ છે,તેથી $P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)$ થાય.
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B) \leq 0.2 + 0.3$.
$P(A \cup B) \leq 0.5$.
તેથી,$A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ એક નાપાસ થાય તેની સંભાવના $\leq 0.5$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(D) આપેલ માહિતી મુજબ:
$P(A \text{ fails}) = 0.2$
$P(A \cap B \text{ fail}) = 0.15$
$A$ એકલું નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના શોધવા માટે, આપણે $A$ ની કુલ નિષ્ફળતામાંથી $A$ અને $B$ બંને નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવનાને બાદ કરવી પડશે.
$P(A \text{ fails alone}) = P(A \text{ fails}) - P(A \cap B \text{ fail})$
$P(A \text{ fails alone}) = 0.2 - 0.15 = 0.05$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.