AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ: $f(x, y) = 3x^2 - 11xy + 10y^2 - 7x + 13y + 4 = 0$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે આંશિક વિકલન $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ઉકેલીએ છીએ.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 6x - 11y - 7 = 0$
$\frac{\partial f}{\partial y} = -11x + 20y + 13 = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને:
$\frac{x}{-143 + 140} = \frac{-y}{78 - 77} = \frac{1}{120 - 121}$
$\frac{x}{-3} = \frac{-y}{1} = \frac{1}{-1}$
$x = 3$ અને $y = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(3, 1)$ છે.

(A) બિંદુઓ $A(3,4)$ અને $B(-1,2)$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક $AB$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે.
પ્રથમ,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો:
$M = \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = (1, 3)$.
હવે,રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ શોધો:
$m_{AB} = \frac{2 - 4}{-1 - 3} = \frac{1}{2}$.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $(m_{\perp})$ એ $m_{AB}$ નો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે:
$m_{\perp} = -2$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - 3 = -2(x - 1)$
$y - 3 = -2x + 2$
$2x + y - 5 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C = (h, k)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A = (2, -3)$ અને $B = (-2, 1)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{2 - 2 + h}{3}, \frac{-3 + 1 + k}{3}\right) = \left(\frac{h}{3}, \frac{k - 2}{3}\right)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ રેખા $2x + 3y = 1$ પર આવેલું હોવાથી,$2\left(\frac{h}{3}\right) + 3\left(\frac{k - 2}{3}\right) = 1$.
સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,$2h + 3(k - 2) = 3$.
$2h + 3k - 6 = 3$,તેથી $2h + 3k = 9$.
આમ,શિરોબિંદુ $C$ નો બિંદુપથ $2x + 3y = 9$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{x^2+y^2}$ છે.
$A(-2, -3)$ થી અંતર $\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{OP}{AP} = \frac{5}{7}$ હોવાથી,$\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}} = \frac{5}{7}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{x^2+y^2}{(x+2)^2+(y+3)^2} = \frac{25}{49}$.
$49(x^2+y^2) = 25(x^2+4x+4+y^2+6y+9)$.
$49(x^2+y^2) = 25(x^2+y^2+4x+6y+13)$.
$49(x^2+y^2) - 25(x^2+y^2) - 100x - 150y - 325 = 0$.
$24(x^2+y^2) - 100x - 150y - 325 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) બિંદુ $P(x, y)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $|y|$ અને $y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
આ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $x^2 + y^2$ છે.
રેખા $x-y-1=0$ થી બિંદુ $P(x, y)$ નું અંતર $d = \frac{|x-y-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|x-y-1|}{\sqrt{2}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અક્ષોથી અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો એ રેખાથી અંતરના વર્ગ જેટલો છે:
$x^2 + y^2 = \left( \frac{|x-y-1|}{\sqrt{2}} \right)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{(x-y-1)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y$
$2x^2 + 2y^2 = x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y$
$x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y - 1 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{(x-2)^2+y^2}+\sqrt{(x+2)^2+y^2}=4$.
ધારો કે $P = (x, y)$,$A = (2, 0)$,અને $B = (-2, 0)$.
આ સમીકરણ બિંદુ $P$ થી બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના અંતરનો સરવાળો દર્શાવે છે,જે $PA + PB = 4$ છે.
બિંદુ $A(2, 0)$ અને $B(-2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ છે.
કારણ કે $PA + PB = AB$,બિંદુ $P$ એ $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોવું જોઈએ.
શરત $-2 < x < 2$ અને $y=0$ આપેલ હોવાથી,આ $x$-અક્ષ પર $x = -2$ અને $x = 2$ ની વચ્ચેનો રેખાખંડ દર્શાવે છે.
આમ,સમીકરણ એક રેખાખંડ દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ છે. ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે અને $Y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $1$ છે.
તેથી,$|x| + |y| = 1$.
આ સમીકરણ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. $A(1, 1)$ અને $B(-2, 3)$ આપેલ છે.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 9 \text{ ચોરસ એકમ}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(1 - 3) + 1(3 - y) + (-2)(y - 1)| = 9$.
$|-2x - 3y + 5| = 18$.
તેથી,$-2x - 3y + 5 = 18$ અથવા $-2x - 3y + 5 = -18$.
કિસ્સો $1$: $2x + 3y + 13 = 0$.
કિસ્સો $2$: $2x + 3y - 23 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $2x + 3y + 13 = 0$ અને $2x + 3y - 23 = 0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{k_1}{k_2} = \lambda$ (ધારો).
આનો અર્થ એ છે કે $a_1 = \lambda a_2$,$b_1 = \lambda b_2$,અને $k_1 = \lambda k_2$.
આમ,સમીકરણ $p = 0$ ને $\lambda a_2 x + \lambda b_2 y + \lambda k_2 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જેનું સાદું રૂપ $\lambda(a_2 x + b_2 y + k_2) = 0$ એટલે કે $\lambda q = 0$ થાય છે.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,આનો અર્થ એ છે કે $p = 0$ અને $q = 0$ એક જ સીધી રેખા દર્શાવે છે.
વક્રનું સમીકરણ $p + c q = 0$ છે.
$p = \lambda q$ મૂકતા,આપણને $\lambda q + c q = 0$ મળે છે,જે $(\lambda + c) q = 0$ છે.
આ કોઈપણ અચળાંક $c$ માટે (જ્યાં $\lambda + c \neq 0$) $q = 0$ (અથવા $p = 0$) જેવી જ સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(-2, 5)$ અને $P(x, y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
કિંમતો મૂકતા: $8 = \frac{1}{2} |1(5 - y) + (-2)(y - 2) + x(2 - 5)|$.
$16 = |5 - y - 2y + 4 - 3x| = |9 - 3y - 3x|$.
$16 = |9 - 3(x + y)|$.
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $9 - 3(x + y) = 16 \implies 3x + 3y + 7 = 0$.
કિસ્સો $2$: $9 - 3(x + y) = -16 \implies 3x + 3y - 25 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $3x + 3y + 7 = 0$ અને $3x + 3y - 25 = 0$ છે.

(B) $x$ અને $y$ માં દ્વિઘાત સમપરિમાણીય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $h^2 \geq ab$ હોય,તો આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓની જોડ દર્શાવે છે.

(A) $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ રેખાઓની જોડી ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આ રેખાઓ રેખા $a x+b y+c=0$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તે માટે,રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{3}$ રેડિયન હોવો જોઈએ.
$A x^2+2 H x y+B y^2=0$ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ લેતા,આપણને $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3 = \frac{4(H^2-A B)}{(A+B)^2}$.
$3(A+B)^2 = 4(H^2-A B)$.
$3(A^2+2 A B+B^2) = 4 H^2-4 A B$.
$3 A^2+6 A B+3 B^2 = 4 H^2-4 A B$.
$3 A^2+10 A B+3 B^2 = 4 H^2$.
ડાબી બાજુના અવયવ પાડતા: $3 A^2+9 A B+A B+3 B^2 = 4 H^2$.
$3 A(A+3 B)+B(A+3 B) = 4 H^2$.
$(A+3 B)(3 A+B) = 4 H^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે રેખાઓ $2x^2 - xy + by^2 = 0$ પૈકીની એક રેખા $(-4, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણમાં $(-4, -2)$ બિંદુ મૂકતા:
$2(-4)^2 - (-4)(-2) + b(-2)^2 = 0$
$2(16) - (8) + b(4) = 0$
$32 - 8 + 4b = 0$
$24 + 4b = 0$
$4b = -24$
$b = -6$
તેથી,$b^2 = (-6)^2 = 36$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-7xy+12y^2=0$ છે. તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$2h=-7$,અને $b=12$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - 1 \cdot 12}}{1+12} \right| = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 12}}{13} \right| = \left| \frac{2\sqrt{1/4}}{13} \right| = \frac{2 \cdot (1/2)}{13} = \frac{1}{13}$.
$\tan \theta = \frac{1}{13}$ હોવાથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $1$ અને પાસેની બાજુ $13$ છે. કર્ણ $\sqrt{1^2+13^2} = \sqrt{170}$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1}{\sqrt{170}}$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 6x + 7y + 4 = 0$ છે.
આને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h = 5 \Rightarrow h = \frac{5}{2}$,અને $b = 3$ મળે છે.
સીધી રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4} - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{5} \right| = \left| \frac{2 \times \frac{1}{2}}{5} \right| = \frac{1}{5}$.
ખૂણો $\tan^{-1}(k)$ હોવાથી,$\tan \theta = k$ થાય.
તેથી,$k = \pm \frac{1}{5}$.

(D) $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ છે.
પ્રથમ જોડી $x^2-2 p x y-y^2=0$ માટે,$a=1, b=-1, h=-p$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ એટલે કે $x^2-y^2+\frac{2 x y}{p}=0$ થાય છે.
આપેલ છે કે આ દ્વિભાજકોની જોડી બીજી જોડી $x^2-2 q x y-y^2=0$ જેવી જ છે,તેથી સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2}{p} = -2 q$.
તેથી,$p q = -1$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $6x^2 - 5xy + y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે:
$\left(\frac{y}{x}\right)^2 - 5\left(\frac{y}{x}\right) + 6 = 0$.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$,તો $m^2 - 5m + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$(m - 3)(m - 2) = 0$.
આમ,રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha = 3$ અને $m_2 = \tan \beta = 2$ છે.
બે ખૂણાઓના તફાવત માટેના ટેન્જન્ટનું સૂત્ર વાપરતા:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{3 - 2}{1 + (3)(2)} = \frac{1}{1 + 6} = \frac{1}{7}$.

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ સીધી રેખાઓની જોડી લંબ હોવાની શરત એ છે કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $a + b = 0$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $2 x^2 = y(x + 2 y)$
$\Rightarrow 2 x^2 - xy - 2 y^2 = 0$
અહીં,$a = 2$ અને $b = -2$.
સહગુણકોનો સરવાળો: $a + b = 2 + (-2) = 0$.
આમ,શરત $a + b = 0$ સંતોષાય છે,તેથી આ રેખાઓ લંબ છે.

(B) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
જ્યારે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય,ત્યારે $\theta = 90^{\circ}$ થાય.
$\tan 90^{\circ}$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$a + b = 0$.

(A) $ax^2+2hxy+by^2=0$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $(\theta)$ નીચે મુજબ છે:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$
જો રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય,તો $\theta = 90^\circ$ થાય.
$\tan 90^\circ$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$a+b=0$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+4xy+y^2=0$ છે.
તેને સામાન્ય સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$2h=4 \Rightarrow h=2$,અને $b=1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right|$.
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{4-1}}{2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = 60^{\circ}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3dx^2 - 5xy + (d^2 - 2)y^2 = 0$ છે.
રેખાઓની જોડી $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ માટે,જો રેખાઓ લંબ હોય તો $A + B = 0$ થાય.
અહીં,$A = 3d$ અને $B = d^2 - 2$ છે.
તેથી,$3d + d^2 - 2 = 0$ અથવા $d^2 + 3d - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$d = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.
આમ,$d$ ની $2$ શક્ય કિંમતો મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) રેખાઓની જોડી $ax^2+2hxy+by^2=0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખાઓની જોડી $x^2-2pxy-y^2=0$ માટે,આપણી પાસે $a=1, h=-p, b=-1$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$ અથવા $x^2 + \frac{2}{p}xy - y^2 = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે આ દ્વિભાજકોની જોડી એ રેખાઓની જોડી $x^2-2qxy-y^2=0$ જેવી જ છે.
$xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{2}{p} = -2q$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $pq = -1$,અથવા $pq+1=0$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે બે નિશ્ચિત રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ બિંદુ $P$ પર છેદે છે.
બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા $L$ જે $L_1$ અને $L_2$ સાથે સમાન નમેલી હોય,તે $L_1$ અને $L_2$ દ્વારા બનતા ખૂણાનો દ્વિભાજક હોવો જોઈએ.
આવા બે ખૂણાના દ્વિભાજકો (આંતરિક અને બાહ્ય) હોય છે,જે હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિધાન $-I$ માં વર્ણવેલ બે રેખાઓ આ બે ખૂણાના દ્વિભાજકો હોવાથી,તેઓ એકબીજાને લંબ હોવા જોઈએ.
આમ,વિધાન $-I$ સાચું છે,વિધાન $-II$ સાચું છે,અને વિધાન $-II$ એ વિધાન $-I$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $a+b=0$.
આપેલ છે કે $l+(-2)=0$,તેથી $l=2$.
હવે સમીકરણ $2x^2+3xy-2y^2-5x+5y+k=0$ બને છે.
આ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટે,શરત $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં $a=2, b=-2, c=k, h=\frac{3}{2}, g=-\frac{5}{2}, f=\frac{5}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $(2)(-2)(k) + 2(\frac{5}{2})(-\frac{5}{2})(\frac{3}{2}) - 2(\frac{5}{2})^2 - (-2)(-\frac{5}{2})^2 - k(\frac{3}{2})^2 = 0$.
$-4k - \frac{75}{4} - \frac{50}{4} + \frac{50}{4} - \frac{9k}{4} = 0$.
$-4k - \frac{9k}{4} - \frac{75}{4} = 0$.
$-\frac{25k}{4} = \frac{75}{4}$.
$k = -3$.

(B) રેખાઓની જોડી $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ વચ્ચેના ખૂણાના દુભાજકોની જોડીનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોડી $x^2-2 p x y-y^2=0$ માટે,$a=1, b=-1, h=-p$ છે.
દુભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $-p(x^2-y^2)=2xy$,અથવા $p x^2+2 x y-p y^2=0$.
$p$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે આ જોડી $x^2-2 q x y-y^2=0$ છે.
$xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$-2 q = \frac{2}{p}$ મળે છે.
તેથી,$-p q = 1$,જેનો અર્થ છે કે $p q = -1$.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ રેખાયુગ્મનું સમીકરણ: $x^2+4xy-y^2=0$.
તેને $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$b=-1$,અને $h=2$ મળે છે.
દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{2} \Rightarrow x^2-xy-y^2=0$.
$y=mx$ એ દ્વિભાજક હોવાથી,$x^2-x(mx)-(mx)^2=0$ મળે.
આમ,$m^2+m-1=0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
તેથી,$2m = -1 \pm \sqrt{5}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 6xy + y^2 + 18x - 6y + 8 = 0$ છે.
આપણે દ્વિઘાત ભાગને $(3x - y)^2 + 6(3x - y) + 8 = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $t = 3x - y$,તો સમીકરણ $t^2 + 6t + 8 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(t + 4)(t + 2) = 0$ મળે છે.
આમ,બે સમાંતર રેખાઓ $3x - y + 4 = 0$ અને $3x - y + 2 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = -1$,$c_1 = 4$,અને $c_2 = 2$ છે.
$d = \frac{|4 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2 \sqrt{2} xy + 2y^2 + 4x + 4 \sqrt{2}y + 1 = 0$ છે.
આને $(x + \sqrt{2}y)^2 + 4(x + \sqrt{2}y) + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $t = x + \sqrt{2}y$,તો સમીકરણ $t^2 + 4t + 1 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $t = -2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
આમ,બે સમાંતર રેખાઓ $x + \sqrt{2}y + 2 - \sqrt{3} = 0$ અને $x + \sqrt{2}y + 2 + \sqrt{3} = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં $A = 1$,$B = \sqrt{2}$,$C_1 = 2 - \sqrt{3}$,અને $C_2 = 2 + \sqrt{3}$ છે.
$d = \frac{|(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}} = \frac{|-2 \sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 2$ એકમ.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 6xy + y^2 + 18x - 6y + 8 = 0$ છે.
આને $(3x - y)^2 + 6(3x - y) + 8 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $t = 3x - y$. તો સમીકરણ $t^2 + 6t + 8 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(t + 4)(t + 2) = 0$ મળે.
તેથી,$t = -4$ અથવા $t = -2$.
આમ બે સમાંતર રેખાઓ મળે છે: $3x - y + 4 = 0$ અને $3x - y + 2 = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$a = 3$,$b = -1$,$c_1 = 4$,અને $c_2 = 2$.
$d = \frac{|4 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2(\sec^2 \theta - \sin^2 \theta) - 2xy \tan \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ છે.
સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = \sec^2 \theta - \sin^2 \theta$,$h = -\tan \theta$,અને $b = \sin^2 \theta$ મળે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તો $m_1 + m_2 = \frac{2 \tan \theta}{\sin^2 \theta}$ અને $m_1 m_2 = \frac{\sec^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta}$.
ઢાળના તફાવતનો વર્ગ $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ થાય.
ગણતરી કરતા,$(m_1 - m_2)^2 = 4$ મળે છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2-4xy-y^2+6x+2y+k=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=1, h=-2, b=-1, g=3, f=1, c=k$.
રેખાયુગ્મ દર્શાવવા માટેની શરત $\Delta = abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(1)(-1)(k) + 2(1)(3)(-2) - 1(1)^2 - (-1)(3)^2 - k(-2)^2 = 0$
$-k - 12 - 1 + 9 - 4k = 0$
$-5k - 4 = 0$
$5k = -4$
$k = -\frac{4}{5}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પ્રથમ રેખાઓની જોડી $xy+x+y+1=0$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. આના અવયવ પાડતા,આપણને $x(y+1)+1(y+1)=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $(x+1)(y+1)=0$. આમ,રેખાઓ $x=-1$ અને $y=-1$ છે.
બીજી રેખાઓની જોડી $xy+3x+3y+9=0$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. આના અવયવ પાડતા,આપણને $x(y+3)+3(y+3)=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $(x+3)(y+3)=0$. આમ,રેખાઓ $x=-3$ અને $y=-3$ છે.
ચતુષ્કોણ બનાવતી ચાર રેખાઓ $x=-1, x=-3, y=-1$ અને $y=-3$ છે.
શિરોલંબ રેખાઓ $x=-1$ અને $x=-3$ વચ્ચેનું અંતર $|-1 - (-3)| = 2$ છે.
આડી રેખાઓ $y=-1$ અને $y=-3$ વચ્ચેનું અંતર $|-1 - (-3)| = 2$ છે.
જેથી સામસામેની બાજુઓ સમાંતર છે અને શિરોલંબ રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર આડી રેખાઓ વચ્ચેના અંતર જેટલું જ હોવાથી,આ ચતુષ્કોણ એક ચોરસ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m_1 = \frac{2}{3}$ તથા $m_2 = -\frac{2}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓના સમીકરણો $y = m_1 x$ અને $y = m_2 x$ છે.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા,આપણને $y = \frac{2}{3}x \Rightarrow 2x - 3y = 0$ અને $y = -\frac{2}{3}x \Rightarrow 2x + 3y = 0$ મળે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ આ બે રેખીય સમીકરણોનો ગુણાકાર છે:
$(2x - 3y)(2x + 3y) = 0$.
નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(2x)^2 - (3y)^2 = 0$.
તેથી,$4x^2 - 9y^2 = 0$.

(D) રેખાઓની જોડી $f(x, y) = x^2+xy+2y^2-3x+2y+4=0$ નું છેદબિંદુ $f(x, y)$ ના $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરીને મેળવી શકાય છે.
$x$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન લેતા:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 3 = 0 \quad \dots (i)$
$y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન લેતા:
$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 4y + 2 = 0 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$y = 3 - 2x$.
તેને $(ii)$ માં મૂકતા: $x + 4(3 - 2x) + 2 = 0$
$x + 12 - 8x + 2 = 0$
$-7x + 14 = 0 \implies x = 2$
$x = 2$ ને $y = 3 - 2x$ માં મૂકતા:
$y = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$
આમ,છેદબિંદુ $(2, -1)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) સમીકરણ $x^2+4xy+y^2=0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
સમીકરણ $x-y=4$ એ ત્રીજી રેખા દર્શાવે છે.
આ ત્રણ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની બાજુઓના ઢાળ અને ખૂણાઓ તપાસતા,તે $60^\circ$ ના ખૂણા બનાવે છે,તેથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ અનુક્રમે $m$ અને $3m$ છે,જે સમીકરણ $ax^2+4xy+y^2=0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=a$,$2H=4 \Rightarrow H=2$,અને $B=1$ મળે છે.
ઢાળનો સરવાળો $m+3m = -\frac{2H}{B} = -\frac{4}{1} = -4$ થાય છે.
$4m = -4 \Rightarrow m = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m(3m) = \frac{A}{B} = \frac{a}{1} = a$ થાય છે.
$3m^2 = a$.
$m = -1$ મૂકતા,આપણને $3(-1)^2 = a \Rightarrow a = 3$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $4x^2 + 2\lambda xy - 7y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$2h = 2\lambda$,અને $b = -7$ મળે છે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b} = \frac{-2\lambda}{-7} = \frac{2\lambda}{7}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$ છે.
આપેલ છે કે ઢાળનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર જેટલો છે:
$\frac{2\lambda}{7} = -\frac{4}{7}$.
બંને બાજુ $7$ વડે ગુણતા,આપણને $2\lambda = -4$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = -2$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$4x^2 - 24xy + 11y^2 = 0$ ને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$2h = -24$ (તેથી $h = -12$),અને $b = 11$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ માટે વિવેચક $h^2 - ab = (-12)^2 - (4)(11) = 144 - 44 = 100$ છે.
અહીં $h^2 - ab > 0$ હોવાથી,આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે ભિન્ન વાસ્તવિક રેખાઓ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. આપેલ છે કે પરિઘ $10 \pi$ છે.
$2 \pi r = 10 \pi$
$\Rightarrow r = 5$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, -3)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5^2$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25$
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g=-4 \Rightarrow g=-2$ અને $2f=-6 \Rightarrow f=-3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 3)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{h+3}{2} = 2$ $\Rightarrow h+3 = 4$ $\Rightarrow h = 1$
$\frac{k+4}{2} = 3$ $\Rightarrow k+4 = 6$ $\Rightarrow k = 2$
આમ,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(1, 2)$ છે.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (5, 4)$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $x$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે.
આમ,$r = |5| = 5$.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-5)^2 + (y-4)^2 = 5^2$.
વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 8y + 16) = 25$.
સાદું રૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 10x - 8y + 41 = 25$.
તેથી,$x^2 + y^2 - 10x - 8y + 16 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x+2ky+25=0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=3$,$f=k$,અને $c=25$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-3, -k)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+k^2-25} = \sqrt{k^2-16}$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા એ કેન્દ્રના $x$-યામના માનાંક જેટલી હોય,એટલે કે $r = |-g| = |-3| = 3$.
ત્રિજ્યા માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\sqrt{k^2-16} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $k^2-16 = 9$.
$k^2 = 25$,તેથી $k = \pm 5$.

(D) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$ તથા $y$ અક્ષ પર અનુક્રમે $a$ અને $b$ અંતઃખંડ બનાવે છે.
તેથી,વર્તુળ $(a,0)$ અને $(0,b)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
યામ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$(a,0)$ અને $(0,b)$ ને જોડતો રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x_1, y_1) = (a,0)$ અને $(x_2, y_2) = (0,b)$ મૂકતા:
$(x-a)(x-0) + (y-0)(y-b) = 0$
$x(x-a) + y(y-b) = 0$
$x^2 - ax + y^2 - by = 0$
$x^2 + y^2 - ax - by = 0$

(B) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-6x-8y=0$ છે.
આને સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-3$,$f=-4$,અને $c=0$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ સૂત્ર $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{(-3)^2+(-4)^2-0} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ એકમ}$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 5 = 10 \text{ એકમ}$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2=9$ અને રેખા $x+y=1$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોની સંહતિ $(x^2+y^2-9) + \lambda(x+y-1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2+y^2+\lambda x+\lambda y - (\lambda+9) = 0$ થાય છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2})$ છે.
સૌથી નાના વર્તુળ માટે,રેખા $x+y=1$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવો જોઈએ.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} = 1$,જે $-\lambda = 1$ આપે છે,તેથી $\lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને સંહતિના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(x^2+y^2-9) - (x+y-1) = 0$ મળે છે.

(D) રેખા $y-x=0$ પર $(m, n)$ નું પ્રતિબિંબ બિંદુ $(n, m)$ છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(n, m)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-n)^2 + (y-m)^2 = r^2$ ... $(i)$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલી થાય,તેથી $r = |m|$.
આમ,$r^2 = m^2$.
સમીકરણ $(i)$ માં $r^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$(x-n)^2 + (y-m)^2 = m^2$
$x^2 - 2nx + n^2 + y^2 - 2my + m^2 = m^2$
$x^2 + y^2 - 2nx - 2my + n^2 = 0$.

(D) કેન્દ્ર $C = (2,3)$.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(2,3)$ થી રેખા $3x-4y+1=0$ નું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(2)-4(3)+1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-12+1|}{\sqrt{9+16}} = \frac{|-5|}{5} = 1$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2$ છે.
$(x-2)^2+(y-3)^2 = 1^2$.
$x^2-4x+4+y^2-6y+9 = 1$.
$x^2+y^2-4x-6y+12 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) વર્તુળના અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાં છેદે છે. આપેલ અભિલંબ $(x-1)(y-2)=0$ પરથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
જેহেতু $3x+4y=6$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, 2)$ થી રેખા $3x+4y-6=0$ નું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(1) + 4(2) - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 6|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{5} = 1$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1^2$,જેનું સાદું રૂપ $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 \theta d\theta$.
જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $\theta = 0$,અને જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી $I = 8 \int_0^{\pi/4} \frac{\log(1+\tan \theta)}{1+\tan^2 \theta} \sec^2 \theta d\theta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+\tan \theta) d\theta$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(\theta) d\theta = \int_0^a f(a-\theta) d\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)) d\theta$.
$\tan(\frac{\pi}{4}-\theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ હોવાથી:
$I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}) d\theta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(\frac{2}{1+\tan \theta}) d\theta$.
$I = 8 \int_0^{\pi/4} (\log 2 - \log(1+\tan \theta)) d\theta = 8 \int_0^{\pi/4} \log 2 d\theta - I$.
$2I = 8 \log 2 [\theta]_0^{\pi/4} = 8 \log 2 (\frac{\pi}{4}) = 2\pi \log 2$.
તેથી,$I = \pi \log 2$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} e^{\sin x} \cos x \, dx$.
$\sin x = t$ આદેશ લેતા,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $\cos x \, dx = dt$ મળે.
હવે,સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $t = \sin(0) = 0$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$ હોય,ત્યારે $t = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^1 e^t \, dt$.
$e^t$ નું સંકલન $e^t$ થાય છે.
$I = [e^t]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi/4} (\tan^2 x - \tan^4 x) dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે અવયવ પાડી શકીએ:
$\tan^2 x - \tan^4 x = \tan^2 x (1 - \tan^2 x)$.
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi/4} (\sec^2 x - 1)(1 - (\sec^2 x - 1)) dx = \int_0^{\pi/4} (\sec^2 x - 1)(2 - \sec^2 x) dx$.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int_0^{\pi/4} (2\sec^2 x - \sec^4 x - 2 + \sec^2 x) dx = \int_0^{\pi/4} (3\sec^2 x - \sec^4 x - 2) dx$.
$\sec^4 x = \sec^2 x (1 + \tan^2 x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi/4} (3\sec^2 x - \sec^2 x(1 + \tan^2 x) - 2) dx = \int_0^{\pi/4} (2\sec^2 x - \sec^2 x \tan^2 x - 2) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = [2\tan x - \frac{\tan^3 x}{3} - 2x]_0^{\pi/4}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = (2(1) - \frac{1^3}{3} - 2(\frac{\pi}{4})) - (0) = 2 - \frac{1}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{5}{3} - \frac{\pi}{2}$.

(D) $(i)$ ધારો કે $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos x d x$.
$\sin x = t$ આદેશ લેતા,$\cos x d x = d t$ મળે.
જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = \pi / 2, t = 1$.
$I_1 = \int_0^1 t^m d t = \left[ \frac{t^{m+1}}{m+1} \right]_0^1 = \frac{1}{m+1} (1^{m+1} - 0^{m+1}) = \frac{1}{m+1}$.
આમ,વિધાન $(i)$ સાચું છે.
(ii) ધારો કે $I_2 = \int_0^{\pi / 2} \sin x \cos ^n x d x$.
$\cos x = t$ આદેશ લેતા,$-\sin x d x = d t$,એટલે કે $\sin x d x = -d t$ મળે.
જ્યારે $x = 0, t = 1$ અને જ્યારે $x = \pi / 2, t = 0$.
$I_2 = \int_1^0 t^n (-d t) = \int_0^1 t^n d t = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} (1^{n+1} - 0^{n+1}) = \frac{1}{n+1}$.
આમ,વિધાન (ii) સાચું છે.
તેથી,$(i)$ અને (ii) બંને સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે,$I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ અને $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$.
$I_2$ માટે,ધારો કે $\tan^{-1} x = t$,તેથી $x = \tan t$ અને $dx = \sec^2 t dt$.
જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $t = 0$ અને જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $t = \pi / 4$.
આ કિંમતો $I_2$ માં મૂકતા:
$I_2 = \int_0^{\pi / 4} \frac{t}{\tan t} \sec^2 t dt = \int_0^{\pi / 4} \frac{t \cos t}{\sin t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t} dt = \int_0^{\pi / 4} \frac{t}{\sin t \cos t} dt$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$I_2 = \int_0^{\pi / 4} \frac{2t}{\sin 2t} dt$.
ધારો કે $2t = u$,તેથી $2dt = du$ અથવા $dt = du / 2$.
જ્યારે $t = 0$ ત્યારે $u = 0$ અને જ્યારે $t = \pi / 4$ ત્યારે $u = \pi / 2$.
$I_2 = \int_0^{\pi / 2} \frac{u}{\sin u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} \frac{u}{\sin u} du = \frac{1}{2} I_1$.
તેથી,$I_1 / I_2 = 2 / 1$,એટલે કે $I_1 : I_2 = 2 : 1$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{(1+x) e^x}{\cot \left(x e^x\right)} d x$.
$t = x e^x$ આદેશ લેતા.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{dt}{\cot t} = \int \tan t dt$ મળે.
$\tan t$ નું સંકલન $\log |\sec t| + c$ થાય છે.
તેથી,$I = \log |\sec(x e^x)| + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પ્રથમ,$A$ ની કિંમત શોધો: $A = \int_{1}^{\sin \theta} \frac{t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} [\ln(1+t^2)]_{1}^{\sin \theta} = \frac{1}{2} \ln(1+\sin^2 \theta) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 \theta}{2})$.
ત્યારબાદ,$B$ ની કિંમત શોધો: $B = \int_{1}^{\operatorname{cosec} \theta} \frac{1}{t(1+t^2)} dt$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$.
તેથી,$B = [\ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)]_{1}^{\operatorname{cosec} \theta} = [\ln(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}})]_{1}^{\operatorname{cosec} \theta}$.
કારણ કે $\frac{t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{\sqrt{1+\operatorname{cosec}^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \theta + 1}}$,તેથી $B = \ln(\frac{1}{\sqrt{1+\sin^2 \theta}}) - \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \ln(\sqrt{\frac{2}{1+\sin^2 \theta}}) = -\frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 \theta}{2}) = -A$.
આમ,$A+B = 0$,જેનો અર્થ છે કે $e^{A+B} = e^0 = 1$.
નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & -A \\ 1 & (-A)^2 & -1 \\ 1 & A^2+(-A)^2 & -1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & -A \\ 1 & A^2 & -1 \\ 1 & 2A^2 & -1 \end{array} \right|$ બને છે.
પ્રથમ અને ત્રીજી સ્તંભ પ્રમાણસર હોવાથી (ત્રીજી સ્તંભ એ પ્રથમ સ્તંભ કરતા $-1$ ગણી છે),નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2 \sin x$.
$f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસો:
$f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = x^2 (-\sin x) = -x^2 \sin x = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x) = x^2 \sin x$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x \, dx = 0$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin^4(x) dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિશ્ચિત સંકલન માટે,જો $f(x)$ એક અયુગ્મ વિધેય હોય,એટલે કે $f(-x) = -f(x)$ હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ થાય.
અહીં,$f(x) = x^3 \sin^4(x)$.
$f(-x)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(-x) = (-x)^3 \sin^4(-x) = -x^3 (\sin(x))^4 = -x^3 \sin^4(x) = -f(x)$.
કારણ કે $f(x)$ એક અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી સંમિત અંતરાલ $[-\pi/4, \pi/4]$ પર તેનું સંકલન $0$ થશે.
તેથી,$I = 0$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2 x}}$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{4 \sin x \cos x}} = \int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{2 \cos ^4 x \sqrt{\tan x}}$.
$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x (1 + \tan^2 x)}{\sqrt{\tan x}} d x$.
ધારો કે $\tan x = t^2$,તેથી $\sec^2 x d x = 2t dt$.
જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}, t = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{(1 + t^4) \cdot 2t dt}{t} = \int_0^1 (1 + t^4) dt$.
$I = [t + \frac{t^5}{5}]_0^1 = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેય $|x|$ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત છે:
$|x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases}$
તેથી,સંકલનને $x = 0$ આગળ વિભાજિત કરી શકાય:
$I = \int_{-1}^2 |x| \, dx = \int_{-1}^0 (-x) \, dx + \int_0^2 (x) \, dx$
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્યાંકન:
$\int_{-1}^0 (-x) \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^0 = 0 - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$
બીજા ભાગનું મૂલ્યાંકન:
$\int_0^2 (x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{2^2}{2} - 0 = \frac{4}{2} = 2$
બંને ભાગનો સરવાળો:
$I = \frac{1}{2} + 2 = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2}$

(A) ધારો કે $I = \int_0^{b-c} f(x+c) dx$.
$x+c = t$ આદેશ લેતા,$dx = dt$ મળે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $t = c$.
જ્યારે $x = b-c$ હોય,ત્યારે $t = b$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_c^b f(t) dt$.
સંકલનનો ચલ ગમે તે હોઈ શકે,તેથી $\int_c^b f(t) dt = \int_c^b f(x) dx$ લખી શકાય.
આમ,$\int_0^{b-c} f(x+c) dx = 1 \cdot \int_c^b f(x) dx$.
આપેલ સમીકરણ $\int_0^{b-c} f(x+c) dx = k \int_c^b f(x) dx$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+\tan ^{2020} x} d x$.
કારણ કે $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,આપણે લખી શકીએ $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2020} x}{\cos ^{2020} x+\sin ^{2020} x} d x$ $(i)$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^{2020} x}{\sin ^{2020} x+\cos ^{2020} x} d x$ (ii).
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે $2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2020} x + \sin ^{2020} x}{\cos ^{2020} x + \sin ^{2020} x} d x = \int_0^{\pi / 2} 1 d x$.
આમ,$2I = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $I = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (2 \sin |x| + \cos |x|) dx$.
અહીં $f(x) = 2 \sin |x| + \cos |x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = 2 \sin |-x| + \cos |-x| = 2 \sin |x| + \cos |x| = f(x)$,તેથી આપણે ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} (2 \sin x + \cos x) dx$.
પદોનું સંકલન કરતા,આપણને $I = 2 [-2 \cos x + \sin x]_{0}^{\pi / 2}$ મળે છે.
સીમાઓ મૂકતા,$I = 2 [(-2 \cos(\pi / 2) + \sin(\pi / 2)) - (-2 \cos(0) + \sin(0))]$.
$I = 2 [(-2 \times 0 + 1) - (-2 \times 1 + 0)]$.
$I = 2 [1 - (-2)] = 2 [1 + 2] = 2 \times 3 = 6$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{2 \pi} \frac{x \cos x}{1+\cos x} d x$ ... $(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \cos(2 \pi - x)}{1 + \cos(2 \pi - x)} d x$
કારણ કે $\cos(2 \pi - x) = \cos x$,તેથી:
$I = \int_0^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \cos x}{1 + \cos x} d x$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{2 \pi} \frac{2 \pi \cos x}{1 + \cos x} d x = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x$
$I = \pi \int_0^{2 \pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x = 2 \pi \int_0^{\pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x$
$I = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{1 + \cos x}) d x = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{2 \cos^2(x/2)}) d x$
$I = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{2} \sec^2(x/2)) d x$
$I = 2 \pi [x - \tan(x/2)]_0^{\pi}$
સીમાઓ મૂકતા: $I = 2 \pi [(\pi - \tan(\pi/2)) - (0 - \tan(0))]$. $\tan(\pi/2)$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,સંકલન અનંત તરફ જાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x$.
આપણે સંકલિતને $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$ $(i)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,આપણને મળે છે:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} d x = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} d x$ (ii).
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \left( \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \right) d x = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} 1 d x$.
$2I = [x]_{\pi / 6}^{\pi / 3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{12}$.

(A) આપણે નિશ્ચિત સંકલનનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ સંકલન $I = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}(x) \cdot \sin^{2}(x) dx$ માટે કરતા,આપણે $x$ ની જગ્યાએ $(\frac{\pi}{2} - x)$ મૂકીશું.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$ અને $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$,તેથી સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx$.
આપેલ છે કે $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx = \frac{\pi}{32}$,તેથી $I = \frac{\pi}{32}$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -a$ અને $b = a$,આપણને $f(x) \rightarrow f(-a + a - x) = f(-x)$ મળે છે.
$I = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - (-x)}{a + (-x)}} dx = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a + x}{a - x}} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-a}^{a} \left( \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} + \sqrt{\frac{a + x}{a - x}} \right) dx$.
$2I = \int_{-a}^{a} \frac{(a - x) + (a + x)}{\sqrt{(a + x)(a - x)}} dx = \int_{-a}^{a} \frac{2a}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$2I = 2 \int_{0}^{a} \frac{2a}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$.
$I = 2a \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$.
$I = 2a [\sin^{-1}(\frac{x}{a})]_{0}^{a}$.
$I = 2a (\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0)) = 2a (\frac{\pi}{2} - 0) = a \pi$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (x)+3 \cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)} d x$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (\pi/2-x)+3 \cos (\pi/2-x)}{\sin (\pi/2-x)+\cos (\pi/2-x)} d x = \int_0^{\pi / 2} \frac{2 \cos (x)+3 \sin (x)}{\cos (x)+\sin (x)} d x$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(2 \sin x + 3 \cos x) + (2 \cos x + 3 \sin x)}{\sin x + \cos x} d x$.
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{5 \sin x + 5 \cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int_0^{\pi / 2} 5 d x$.
$2I = [5x]_0^{\pi / 2} = 5(\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{5\pi}{2}$.
તેથી,$I = \frac{5\pi}{4}$.

(A) અમને આપેલ પદાવલિ છે: $I = \int_0^{2a} f(x) dx - \int_a^{2a} f(x) dx$.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_a^{2a} f(x) dx$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $I = (\int_0^a f(x) dx + \int_a^{2a} f(x) dx) - \int_a^{2a} f(x) dx$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,$\int_a^{2a} f(x) dx$ પદ ઉડી જાય છે.
તેથી,$I = \int_0^a f(x) dx$.

(D) આપણને સંકલન સમીકરણ $\int_{\sqrt{2}}^x \frac{dt}{|t| \sqrt{t^2-1}} = \frac{\pi}{12}$ આપેલ છે.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dt}{|t| \sqrt{t^2-1}} = \sec^{-1}(t) + C$ યાદ કરો.
સંકલનની સીમાઓ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\left[ \sec^{-1}(t) \right]_{\sqrt{2}}^x = \frac{\pi}{12}$.
સીમાઓ મૂકતા,$\sec^{-1}(x) - \sec^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{12}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$,તેથી સમીકરણ $\sec^{-1}(x) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$ બને છે.
બંને બાજુ $\frac{\pi}{4}$ ઉમેરતા,$\sec^{-1}(x) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi + 3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$ મળે.
તેથી,$x = \sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^{x^2} x f(t) dt = x^5 - x^3$.
અહીં $x$ એ $t$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,આપણે તેને $x \int_0^{x^2} f(t) dt = x^5 - x^3$ તરીકે લખી શકીએ.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે $\int_0^{x^2} f(t) dt = x^4 - x^2$.
લેબનિઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(x^4 - x^2)$.
$f(x^2) \cdot (2x) = 4x^3 - 2x$.
$f(x^2) = \frac{4x^3 - 2x}{2x} = 2x^2 - 1$.
$f(1)$ શોધવા માટે,આપણે $x^2 = 1$ લઈએ,જેનો અર્થ છે $x = 1$.
$f(x^2)$ ના સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$f(1) = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$.
આમ,$f(1)$ ની કિંમત $1$ છે.

(B) આપણને આપેલ છે કે $I_n = \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = \sin^{n-1}(x)$ અને $dv = \sin(x) dx$.
તેથી $du = (n-1) \sin^{n-2}(x) \cos(x) dx$ અને $v = -\cos(x)$.
$I_n = [-\sin^{n-1}(x) \cos(x)]_0^{\pi / 2} + \int_0^{\pi / 2} (n-1) \sin^{n-2}(x) \cos^2(x) dx$.
ચોક્કસ સીમાઓ $\cos(\pi/2) = 0$ અને $\sin(0) = 0$ હોવાથી,સીમા પદ $0$ થશે.
$I_n = (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^{n-2}(x) (1 - \sin^2(x)) dx$.
$I_n = (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^{n-2}(x) dx - (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$.
$I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$.
$I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}$.
$n I_n = (n-1) I_{n-2}$.
$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$.
આને $I_n = k I_{n-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \frac{n-1}{n}$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} |\sin t - \cos t| \, dt$.
કારણ કે $t \in [0, \pi / 4]$ માટે $\sin t - \cos t \le 0$ અને $t \in [\pi / 4, \pi / 2]$ માટે $\sin t - \cos t \ge 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_0^{\pi / 4} (\cos t - \sin t) \, dt + \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} (\sin t - \cos t) \, dt$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $[\sin t + \cos t]_0^{\pi / 4} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $[-\cos t - \sin t]_{\pi / 4}^{\pi / 2} = (0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $I = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ વક્રો $x^2 = 2 - y$ (જે $y = 2 - x^2$ છે) અને $x^2 = y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$2 - x^2 = x^2$ લો.
$2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -1$ થી $x = 1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
$A = \int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) dx$.
$A = 4 \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx = 4 [x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$.
$A = 4 (1 - \frac{1}{3}) = 4 (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y=(c_1+c_2) \sin (x+c_3)+c_4 e^{x+c_5}$ છે.
અચળાંકોને બદલીને આપણે પદાવલિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
ધારો કે $A = c_1+c_2$ અને $B = c_4 e^{c_5}$.
તેથી સમીકરણ $y = A \sin (x+c_3) + B e^x$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin (x+c_3) = \sin x \cos c_3 + \cos x \sin c_3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = A (\sin x \cos c_3 + \cos x \sin c_3) + B e^x$
$y = (A \cos c_3) \sin x + (A \sin c_3) \cos x + B e^x$.
ધારો કે $K_1 = A \cos c_3$,$K_2 = A \sin c_3$,અને $K_3 = B$.
આમ,$y = K_1 \sin x + K_2 \cos x + K_3 e^x$.
અહીં $3$ આવશ્યક સ્વૈર અચળાંકો $(K_1, K_2, K_3)$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા આવશ્યક સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3=y^3$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એટલે તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ઘાત. અહીં,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ નો ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ $2$ છે.
પરિમાણ અને કક્ષાનો ગુણાકાર $2 \times 2 = 4$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y = x(\frac{dy}{dx})^3 + \frac{d^2y}{dx^2}$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એટલે તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ઘાતાંક. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ નો ઘાતાંક $1$ છે.
આમ,કક્ષા $2$ છે અને ઘાત $1$ છે.
કક્ષા અને ઘાતનો સરવાળો $2 + 1 = 3$ થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y_3^{2/3} + 2 + 3y_2 + y_1 = 0$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતના અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દૂર કરવો પડશે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y_3^{2/3} = -(2 + 3y_2 + y_1)$ મળે છે.
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $(y_3^{2/3})^3 = (-(2 + 3y_2 + y_1))^3$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y_3^2 = -(2 + 3y_2 + y_1)^3$ થાય છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $y_3$ (ત્રીજું વિકલિત) છે અને સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી તેની ઘાત $2$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $2$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓના સમૂહનું સમીકરણ $y = mx$ છે,જ્યાં $m$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = m$
હવે,$m = \frac{y}{x}$ ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$y = x \frac{dy}{dx}$

(A) આપેલ સંબંધ: $y = a \log x + b$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{d}{dx}(a \log x + b) = \frac{a}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$x y_1 = a$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x y_1) = \frac{d}{dx}(a)$
$x y_2 + y_1(1) = 0$
$x y_2 + y_1 = 0$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\frac{d y}{d x} = a$ મળે છે,જ્યાં $a$ એક સ્વૈર અચળાંક છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $y = ax + b$ મળે છે,જ્યાં $b$ બીજો એક સ્વૈર અચળાંક છે.
આ સમીકરણ $y = ax + b$ એ સીધી રેખાના સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \sec y$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\cos y \, dy = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cos y \, dy = \int dx$.
આથી: $\sin y = x + c$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા: $\sin(0) = 0 + c$,જેનો અર્થ છે કે $c = 0$.
$c = 0$ ને સામાન્ય ઉકેલમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\sin y = x$,અથવા $x = \sin y$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y(1+x)}{-x(1+y)}$.
ચલ $x$ અને $y$ ને અલગ કરતા:
$\frac{1+y}{y} dy = -\frac{1+x}{x} dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$(\frac{1}{y} + 1) dy = -(\frac{1}{x} + 1) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (\frac{1}{y} + 1) dy = -\int (\frac{1}{x} + 1) dx$.
$\log|y| + y = -(\log|x| + x) + C$.
$\log|y| + y = -\log|x| - x + C$.
પદોને ગોઠવતા:
$x + y + \log|x| + \log|y| = C$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$x + y + \log|xy| = C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\{x \cos (y/x) + y \sin (y/x)\} y dx = \{y \sin (y/x) - x \cos (y/x)\} x dy$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \{x \cos (y/x) + y \sin (y/x)\}}{x \{y \sin (y/x) - x \cos (y/x)\}} = \frac{(y/x) \cos (y/x) + (y/x)^2 \sin (y/x)}{(y/x) \sin (y/x) - \cos (y/x)}$.
ધારો કે $v = y/x$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v(v \sin v - \cos v)}{v \sin v - \cos v} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v^2 \sin v + v \cos v}{v \sin v - \cos v} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} dv = 2 \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\tan v - \frac{1}{v}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$.
$-\ln |\cos v| - \ln |v| = 2 \ln |x| + C$.
$-\ln |v \cos v| = \ln |x^2| + C$.
$-\ln |(y/x) \cos (y/x)| = \ln |x^2| + C$.
$\ln |(y/x) \cos (y/x)| + \ln |x^2| = -C$.
$\ln |xy \cos (y/x)| = -C$.
$xy \cos (y/x) = \pm e^{-C}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos(x+y) dy = dx$ છે,જેને $\frac{dy}{dx} = \sec(x+y)$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $x+y = t$. તેથી $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dt}{dx} - 1 = \sec(t) \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 1 + \sec(t) = \frac{1+\cos(t)}{\cos(t)}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{\cos(t)}{1+\cos(t)} dt = \int dx$.
નિત્યસમ $1+\cos(t) = 2\cos^2(t/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\int \frac{\cos(t)}{2\cos^2(t/2)} dt = \int dx$.
કારણ કે $\cos(t) = 2\cos^2(t/2) - 1$,સંકલન $\int \frac{2\cos^2(t/2)-1}{2\cos^2(t/2)} dt = \int dx$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $\int (1 - \frac{1}{2}\sec^2(t/2)) dt = \int dx$ થાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $t - \tan(t/2) = x + C$.
$t = x+y$ મૂકતા: $(x+y) - \tan((x+y)/2) = x + C \Rightarrow y - \tan((x+y)/2) = C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 - \tan(0/2) = C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,ઉકેલ $y = \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{d y}{d x} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ મળે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = v x$,તેથી $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{d v}{d x} = v(\log v + 1)$
$v + x \frac{d v}{d x} = v \log v + v$
$x \frac{d v}{d x} = v \log v$
ચલ અલગ કરતા: $\frac{d v}{v \log v} = \frac{d x}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{v \log v} d v = \int \frac{1}{x} d x$.
ધારો કે $\log v = t$,તેથી $\frac{1}{v} d v = d t$.
$\int \frac{1}{t} d t = \int \frac{1}{x} d x \implies \log t = \log x + \log c$.
$\log(\log v) = \log(c x) \implies \log v = c x$.
કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $\log(\frac{y}{x}) = c x \implies \frac{y}{x} = e^{c x} \implies y = x e^{c x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{x dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$
ચલને અલગ કરતા:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|cx|$
$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$
$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$
અથવા $x^2 = C[y + \sqrt{x^2 + y^2}]$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(e^{y-x}) dy = (e^x - e^y) dx$
બંને બાજુ $e^x$ વડે ગુણતા: $e^y dy = (e^{2x} - e^x e^y) dx$
પદોને ગોઠવતા: $e^y \frac{dy}{dx} + e^x e^y = e^{2x}$
ધારો કે $z = e^y$,તેથી $\frac{dz}{dx} = e^y \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{dz}{dx} + e^x z = e^{2x}$.
આ $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = e^x$ અને $Q(x) = e^{2x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int e^x dx} = e^{e^x}$.
ઉકેલ $z \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$z \cdot e^{e^x} = \int e^{2x} \cdot e^{e^x} dx + c$.
ધારો કે $u = e^x$,તેથી $du = e^x dx$.
$z \cdot e^{e^x} = \int u \cdot e^u du + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u e^u du = u e^u - e^u + c$.
$z = e^y$ અને $u = e^x$ પાછા મૂકતા: $e^y e^{e^x} = e^x e^{e^x} - e^{e^x} + c$.

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x} y = x$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સાથે સરખાવતા,$P = \frac{3}{x}$ મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $IF = e^{\int P dx}$ છે.
$IF = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = e^{\ln x^3} = x^3$.
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $x^3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + g'(x)y = g(x)g'(x)$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = g'(x)$ અને $Q(x) = g(x)g'(x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int g'(x) dx} = e^{g(x)}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y e^{g(x)} = \int g(x)g'(x) e^{g(x)} dx + C$ મળે.
ધારો કે $g(x) = t$,તો $g'(x) dx = dt$ થાય.
તેથી,$y e^{g(x)} = \int t e^t dt + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int t e^t dt = t e^t - e^t + C = e^t(t - 1) + C$ મળે.
આમ,$y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + C$.
પદોને ગોઠવતા,$y e^{g(x)} - e^{g(x)}(g(x) - 1) = C$.
$e^{g(x)}(y - g(x) + 1) = C$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log(e^{g(x)}) + \log|y - g(x) + 1| = \log(C)$.
$g(x) + \log|y - g(x) + 1| = C'$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\tan(y) dx + \sec^2(y) \tan(x) dy = 0$ છે.
ચલને અલગ પાડતા:
$\sec^2(y) \tan(x) dy = -\tan(y) dx$
$\frac{\sec^2(y)}{\tan(y)} dy = -\frac{1}{\tan(x)} dx$
$\frac{\sec^2(y)}{\tan(y)} dy = -\cot(x) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sec^2(y)}{\tan(y)} dy = -\int \cot(x) dx$
ધારો કે $u = \tan(y)$,તો $du = \sec^2(y) dy$.
$\int \frac{1}{u} du = -\ln|\sin(x)| + C$
$\ln|\tan(y)| = -\ln|\sin(x)| + C$
$\ln|\tan(y)| + \ln|\sin(x)| = C$
$\ln|\sin(x) \tan(y)| = C$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને $\sin(x) \tan(y) = e^C = c$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} + \csc^2 (x) \cdot y = \csc^2 (x) \cdot \cot x . . . . . . . . . . (1)$
આ સમીકરણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સાથે સરખાવતા:
$P = \csc^2 x$
$Q = \csc^2 x \cdot \cot x$
હવે,સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P \ dx} = e^{\int \csc^2 x \ dx} = e^{- \cot x}$
વ્યાપક ઉકેલ નીચે મુજબ છે:
$y \cdot IF = \int Q \cdot IF \ dx + C$
$y \cdot e^{- \cot x} = \int \csc^2 x \cdot \cot x \cdot e^{- \cot x} \ dx + C$
ધારો કે $t = \cot x$,તેથી $dt = - \csc^2 x \ dx$,એટલે કે $\csc^2 x \ dx = - dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$y \cdot e^{- \cot x} = \int t \cdot e^{- t} (- dt) = - \int t e^{- t} \ dt$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int u \ dv = uv - \int v \ du$,જ્યાં $u = t$ અને $dv = e^{- t} \ dt$:
$- \int t e^{- t} \ dt = - [t (- e^{- t}) - \int (- e^{- t}) \ dt] = - [- t e^{- t} - e^{- t}] + C = t e^{- t} + e^{- t} + C$
$t = \cot x$ પાછું મૂકતા:
$y \cdot e^{- \cot x} = e^{- \cot x} (\cot x + 1) + C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y+3}{2(x-y)+5}$.
ધારો કે $x-y = u$. તેથી $1 - \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{du}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 - \frac{du}{dx} = \frac{u+3}{2u+5}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{du}{dx} = 1 - \frac{u+3}{2u+5} = \frac{2u+5-u-3}{2u+5} = \frac{u+2}{2u+5}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{2u+5}{u+2} du = \int dx$.
ભાગાકાર કરતા: $\int (2 + \frac{1}{u+2}) du = x + C$.
સંકલન કરતા: $2u + \log|u+2| = x + C$.
$u = x-y$ પાછું મૂકતા: $2(x-y) + \log|x-y+2| + C = x$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $x = 2(x-y) + \log(t) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $t = x-y+2$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = ax + by$ છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = e^{ax + by} = e^{ax} \cdot e^{by}$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$e^{-by} dy = e^{ax} dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{-by} dy = \int e^{ax} dx$ મળે છે.
આના પરિણામે $-\frac{1}{b} e^{-by} = \frac{1}{a} e^{ax} + C_1$ મળે છે.
$ab$ વડે ગુણતા,$-a e^{-by} = b e^{ax} + ab C_1$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$b e^{ax} + a e^{-by} = c$ મળે છે,જ્યાં $c = -ab C_1$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{\tan^{-1} y - x}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ મળે,જે $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
અહીં,$P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + c$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} y$,તો $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
સંકલન $\int t e^t dt + c$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + c = e^t(t - 1) + c$.
$t = \tan^{-1} y$ પાછું મૂકતા,$x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y}(\tan^{-1} y - 1) + c$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r \text{ cm}$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A \text{ cm}^2$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm s}^{-1}$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $r = 5 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm s}^{-1}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (5) (0.1) = 10 \pi (0.1) = \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર $\pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$ છે.

(B) આપેલ માહિતી મુજબ,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $2y \, dy = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int 2y \, dy = \int dx$,જે $y^2 = x + c$ આપે છે.
વક્ર બિંદુ $(3, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 3$ અને $y = 4$ મૂકીએ છીએ: $4^2 = 3 + c$,જેનો અર્થ છે $16 = 3 + c$,તેથી $c = 13$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y^2 = x + 13$ છે.
આ સમીકરણ $y^2 = 4a(x - h)$ સ્વરૂપનું છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $x$ છે.
આપેલ છે કે બાજુમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $6 \%$ છે,તેથી $\frac{dx}{x} \times 100 = 6 \%$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dx} = 2x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dA = 2x \, dx$.
બંને બાજુ $A = x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dA}{A} = \frac{2x \, dx}{x^2} = 2 \frac{dx}{x}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times \left( \frac{dx}{x} \times 100 \right)$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,આપણને $\text{ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર} = 2 \times 6 \% = 12 \%$ મળે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં આશરે $12 \%$ નો વધારો થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
તેમજ,$(||u|-|v||)^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
સમાનતા $|u-v| = ||u|-|v||$ સાચી ઠરવા માટે,તેમના વર્ગો સમાન હોવા જોઈએ:
$|u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v|$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v| \cos \theta$,તેથી $|u||v| \cos \theta = |u||v|$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$.
તેથી,$u$ અને $v$ સમાન દિશામાં હોવા જોઈએ.