AP EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) બ્લોકને વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે,ઢળતી સપાટી પર બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$1$. વેજના ફ્રેમમાં બ્લોક પર લાગતા બળોના ઘટકો પાડો:
- નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$.
- વેજના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સમક્ષિતિજ રીતે લાગતું સ્યુડો બળ $ma$.
- વેજ દ્વારા ઢળતી સપાટીને લંબ રૂપે લાગતું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$.
$2$. બ્લોક સરકે નહીં તે માટે,ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું $mg$ નું ઘટક,ઉપરની તરફ લાગતા સ્યુડો બળ $ma$ ના ઘટક દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ:
$mg \sin \theta = ma \cos \theta$
$a = g \tan \theta$
$3$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ એ ઢળતી સપાટીને લંબ રૂપે લાગતા $mg$ અને $ma$ ના ઘટકોને સંતુલિત કરે છે:
$R = mg \cos \theta + ma \sin \theta$
$a = g \tan \theta = g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ કિંમત મૂકતા:
$R = mg \cos \theta + m(g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}) \sin \theta$
$R = mg \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos \theta}$
$R = \frac{mg}{\cos \theta}$

(C) કણ લીસી ટેબલ પર સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
આ ગતિમાં,કણ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ છે,જે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
કણ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતો હોવાથી,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{l}$ છે.
આ કેન્દ્રગામી બળ સંપૂર્ણપણે દોરીમાં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
તેથી,કણ પર કેન્દ્ર તરફ લાગતું પરિણામી બળ તણાવ $T$ જેટલું જ હશે.

(D) બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{c} = \frac{v}{4L}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{o} = \frac{v}{2L}$ છે.
આપેલ છે કે તેઓ પ્રતિ સેકન્ડ $2$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે:
$n_{o} - n_{c} = 2$
$\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L} = 2$
$\frac{v}{4L} = 2 \implies \frac{v}{L} = 8$.
જ્યારે ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ:
$n_{o}' = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 8 \text{ Hz}$.
જ્યારે બંધ પાઇપની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ:
$n_{c}' = \frac{v}{4(2L)} = \frac{v}{8L} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{v}{L}\right) = \frac{1}{8} \times 8 = 1 \text{ Hz}$.
નવી બીટ આવૃત્તિ $= n_{o}' - n_{c}' = 8 - 1 = 7 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે જ્યાં $A, B, C, D$ એ ચાર ગોળાઓના કેન્દ્રો છે જે $a = 20 \,cm$ બાજુવાળો ચોરસ બનાવે છે.
તમામ ચાર ગોળાઓ સમાન હોવાથી અને સમાન દળ ધરાવતા હોવાથી, તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેમના કેન્દ્રો દ્વારા બનતા ચોરસના ભૌમિતિક કેન્દ્ર સાથે સંપાતી થશે, જેને બિંદુ $O$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈપણ ગોળાના કેન્દ્ર (દા.ત., કેન્દ્ર $A$) થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર એ $AO$ અંતર છે.
$a = 20 \,cm$ બાજુવાળા ચોરસમાં, વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \,cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસના કેન્દ્રથી કોઈપણ શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર એ વિકર્ણની લંબાઈનું અડધું હોય છે:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \,cm$.

(A) ધારો કે વર્તુળાકાર ડિસ્કનું દળ $M$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. ડિસ્કનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ ડિસ્કનું કેન્દ્ર છે.
તેમાંથી $d = r$ વિકર્ણ ધરાવતો ચોરસ કાપવામાં આવે છે. ચોરસની બાજુ $a = d / \sqrt{2} = r / \sqrt{2}$ થશે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2 = r^2 / 2$ છે.
ચોરસ ભાગનું દળ $m = M \times (A_s / A) = M \times (r^2 / 2) / (\pi r^2) = M / (2 \pi)$ છે.
ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ડિસ્કના કેન્દ્રથી $d_s = r/2$ અંતરે છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટેનું સૂત્ર: $X_{cm} = (M_1 X_1 - M_2 X_2) / (M_1 - M_2)$.
અહીં,$M_1 = M$,$X_1 = 0$,$M_2 = m = M / (2 \pi)$,અને $X_2 = r/2$.
$X_{cm} = (M \times 0 - (M / 2 \pi) \times (r / 2)) / (M - M / 2 \pi)$.
$X_{cm} = (-Mr / 4 \pi) / (M(1 - 1 / 2 \pi)) = (-r / 4 \pi) / ((2 \pi - 1) / 2 \pi) = -r / (2(2 \pi - 1)) = r / (2 - 4 \pi)$.

(C) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા અને $r_1$ તથા $r_2$ સ્થાન પર રહેલા બે કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(R_{CM})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R_{CM} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$
બંને પરમાણુઓ ઓક્સિજનના હોવાથી,તેમના દળ સમાન છે,એટલે કે $m_1 = m_2 = m$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$R_{CM} = \frac{m r_1 + m r_2}{m + m}$
$R_{CM} = \frac{m(r_1 + r_2)}{2m}$
$R_{CM} = \frac{r_1 + r_2}{2}$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બંને પરમાણુઓને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ પર છે.

(C) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા અને કુલ રેખીય વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
વધુમાં,તમામ પ્રકારની અથડામણોમાં તંત્રની કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(B) જ્યારે એક ગોળી લાકડાના બ્લોક સાથે અથડાય છે અને તેમાં ખૂંપી જાય છે,ત્યારે અથડામણ પછી બંને પદાર્થો સમાન વેગથી સાથે ગતિ કરે છે.
આ પ્રકારની અથડામણ,જેમાં પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે,તેને સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,ગતિ ઊર્જાનો વ્યય મહત્તમ હોય છે.

(C) આપેલ છે: $m_1 = 2 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$,$u_1 = 10 \ ms^{-1}$,$u_2 = -10 \ ms^{-1}$.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$2(10) + 4(-10) = 2v_1 + 4v_2$
$20 - 40 = 2v_1 + 4v_2$
$-20 = 2v_1 + 4v_2 \Rightarrow v_1 + 2v_2 = -10 \quad \dots (i)$
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e = 1$ હોય છે,તેથી અલગ થવાનો વેગ એ અભિગમ વેગ (velocity of approach) જેટલો હોય છે:
$v_2 - v_1 = u_1 - u_2$
$v_2 - v_1 = 10 - (-10) = 20 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(v_1 + 2v_2) + (v_2 - v_1) = -10 + 20$
$3v_2 = 10 \Rightarrow v_2 = \frac{10}{3} \ ms^{-1}$
$v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{10}{3} - v_1 = 20$
$v_1 = \frac{10}{3} - 20 = \frac{10 - 60}{3} = -\frac{50}{3} \ ms^{-1}$
આમ,અંતિમ વેગ $v_1 = -\frac{50}{3} \ ms^{-1}$ અને $v_2 = \frac{10}{3} \ ms^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે ગતિશીલ પદાર્થનું દળ $m_1$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. સ્થિર પદાર્થનું દળ $M_2 = n m_1$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u = m_1 v_1 + M_2 v_2$
$m_1 u = m_1 v_1 + n m_1 v_2$
$u = v_1 + n v_2$ ... $(i)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ હોવાથી:
$v_2 - v_1 = u - 0$
$v_1 = v_2 - u$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ માં મૂકતા:
$u = (v_2 - u) + n v_2$
$2u = (n + 1) v_2$
$v_2 = \frac{2u}{n + 1}$
ગતિશીલ પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2} m_1 u^2$ છે.
સ્થિર પદાર્થમાં સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2} M_2 v_2^2$ છે.
$K_2 = \frac{1}{2} (n m_1) \left( \frac{2u}{n + 1} \right)^2 = \frac{1}{2} n m_1 \frac{4 u^2}{(n + 1)^2} = \left( \frac{1}{2} m_1 u^2 \right) \frac{4n}{(n + 1)^2}$.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનો અંશ $\frac{K_2}{K_1} = \frac{4n}{(n + 1)^2}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે:
ગોળીનું દળ,$m = 0.01 \,kg$
ગોળીની પ્રારંભિક ઝડપ,$u = 500 \,ms^{-1}$
બ્લોકનું દળ,$M = 2 \,kg$
બ્લોકની શિરોલંબ ઊંચાઈ,$h = 0.1 \,m$
ધારો કે બ્લોકમાંથી બહાર નીકળ્યા પછી ગોળીની ઝડપ $v_b$ છે અને અથડામણ પછી તરત જ બ્લોકનો વેગ $V$ છે.
અથડામણ પછી બ્લોક માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{2} M V^2 = Mgh$
$V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4 \,ms^{-1}$
અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m u = m v_b + M V$
$0.01 \times 500 = (0.01 \times v_b) + (2 \times 1.4)$
$5 = 0.01 v_b + 2.8$
$0.01 v_b = 5 - 2.8 = 2.2$
$v_b = \frac{2.2}{0.01} = 220 \,ms^{-1}$
આમ,બ્લોકમાંથી બહાર નીકળ્યા પછી ગોળીની ઝડપ $220 \,ms^{-1}$ છે.

(D) ગોળીનું દળ $= m$. ગોળીની ઝડપ $= v$.
પ્રશ્ન મુજબ,ગોળી થેલીમાં ખૂંપી જાય છે,તેથી તેઓ સામાન્ય વેગ $v_1$ સાથે ગતિ કરશે.
આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણનો કિસ્સો છે.
ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા,$K_i = \frac{1}{2} m v^2$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v = (M + m) v_1 \Rightarrow v_1 = \frac{m v}{M + m}$.
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા,$K_f = \frac{1}{2} (M + m) v_1^2 = \frac{1}{2} (M + m) \left( \frac{m v}{M + m} \right)^2 = \frac{m^2 v^2}{2(M + m)}$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $= K_i - K_f = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{m^2 v^2}{2(M + m)}$.
$= \frac{1}{2} m v^2 \left( 1 - \frac{m}{M + m} \right) = \frac{1}{2} m v^2 \left( \frac{M + m - m}{M + m} \right) = \frac{m M v^2}{2(M + m)}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ દડાની ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \,cm$ અને બીજા દડાની ત્રિજ્યા $r_2 = 4 \,cm$ છે.
ધારી લો કે બંને દડા સમાન ઘનતા $\rho$ ધરાવતા પદાર્થમાંથી બનેલા છે, તેથી દળ $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ દ્વારા મળે છે.
આમ, દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{2}{4}\right)^3 = \frac{1}{8}$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $m_2 = 8m_1$.
એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે, પ્રથમ દડાનો (જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે) અંતિમ વેગ $v_1$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_1 = \left(\frac{2m_2}{m_1 + m_2}\right) u_2$, જ્યાં $u_2 = 81 \,cm \,s^{-1}$ એ બીજા દડાનો પ્રારંભિક વેગ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v_1 = \left(\frac{2(8m_1)}{m_1 + 8m_1}\right) \times 81$
$v_1 = \left(\frac{16m_1}{9m_1}\right) \times 81$
$v_1 = \frac{16}{9} \times 81 = 16 \times 9 = 144 \,cm \,s^{-1}$.

(C) ધારો કે પદાર્થનું દળ $2m$ છે. તે $m$ દળના બે સમાન ટુકડાઓમાં વિસ્ફોટ પામે છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે, તેથી અંતિમ વેગમાન સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ. જો એક ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_1 = -10 \hat{i} - gt \hat{j}$ હોય, તો બીજાનો વેગ $\vec{v}_2 = 10 \hat{i} - gt \hat{j}$ હોવો જોઈએ.
સમય $t$ પર વિસ્ફોટના બિંદુની સાપેક્ષમાં ટુકડાઓના સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1 = -10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}$ અને $\vec{r}_2 = 10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}$ છે.
સ્થાન સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે, તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0$
$(-10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}) \cdot (10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}) = 0$
$-100t^2 + \frac{1}{4}g^2t^4 = 0$
$t \neq 0$ હોવાથી, $t^2$ વડે ભાગતા:
$-100 + \frac{1}{4}g^2t^2 = 0$
$\frac{1}{4}g^2t^2 = 100$
$g^2t^2 = 400$
$g = 10 \,ms^{-2}$ લેતા:
$100t^2 = 400$
$t^2 = 4$
$t = 2 \,s$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલા અને પછી તંત્રનું કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ,કારણ કે બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હતો.
ધારો કે ત્રીજા ભાગનું વેગમાન $\vec{p}_3$ છે.
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$
આપેલ છે કે $\vec{p}_1 = -2p \hat{i}$ અને $\vec{p}_2 = p \hat{j}$.
$-2p \hat{i} + p \hat{j} + \vec{p}_3 = 0$
$\vec{p}_3 = 2p \hat{i} - p \hat{j}$
ત્રીજા ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{p}_3| = \sqrt{(2p)^2 + (-p)^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{4p^2 + p^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{5p^2} = \sqrt{5} p$

(A) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mK}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = 4K$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = \sqrt{2mK_1} = \sqrt{2mK}$ છે.
અંતિમ વેગમાન $p_2 = \sqrt{2mK_2} = \sqrt{2m(4K)} = 2\sqrt{2mK}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $p_2 = 2p_1$ મળે છે.
તેથી,વેગમાન $2$ ગણું વધશે.

(C) આપેલ છે,બોમ્બનું દળ,$M = 9 \text{ kg}$.
શરૂઆતમાં,બોમ્બ સ્થિર છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \text{ m/s}$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ:
$M \times u = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$9 \times 0 = 3 \times 16 + 6 \times v_2$
$0 = 48 + 6 v_2$
$6 v_2 = -48$
$v_2 = -8 \text{ m/s}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે $6 \text{ kg}$ નો ટુકડો $3 \text{ kg}$ ના ટુકડાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
હવે,$6 \text{ kg}$ દળની ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ મળે:
$K = \frac{1}{2} m_2 v_2^2$
$K = \frac{1}{2} \times 6 \times (-8)^2$
$K = 3 \times 64 = 192 \text{ J}$.

(C) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનું $v$ વેગ સાથેનું વેગમાન $p = mv$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પદાર્થનું દળ $m$ એ અચળ અદિશ રાશિ હોવાથી,જો વેગમાન $p$ અચળ હોય,તો તેનો વેગ $v$ પણ અચળ હોવો જોઈએ.
તેથી,અચળ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થ માટે તેનો વેગ અચળ રહે છે.

(C) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતી વસ્તુની ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{p^2}{2m}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા સમાન છે,તેથી $K_1 = K_2$.
તેથી,$\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}$.
વેગમાનનો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $p_1: p_2$ એ $\sqrt{m_1}: \sqrt{m_2}$ છે.

(B) પ્રારંભિક દળ $M = 8 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \ m/s$. પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = M \cdot u = 8 \times 2 = 16 \ kg \cdot m/s$. પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} M u^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times 2^2 = 16 \ J$. વિસ્ફોટ પછી,પદાર્થ $m = 4 \ kg$ ના બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે. ધારો કે તેમના વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_1 + m v_2 = P_i \implies 4(v_1 + v_2) = 16 \implies v_1 + v_2 = 4$. અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = K_i + \Delta E = 16 + 16 = 32 \ J$. વળી,$K_f = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times (v_1^2 + v_2^2) = 2(v_1^2 + v_2^2) = 32 \implies v_1^2 + v_2^2 = 16$. $v_1 + v_2 = 4$ અને $v_1^2 + v_2^2 = 16$ ને ઉકેલતા: $(v_1 + v_2)^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2 v_1 v_2 \implies 16 = 16 + 2 v_1 v_2 \implies v_1 v_2 = 0$. આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $v_1 = 0$ અથવા $v_2 = 0$. જો $v_1 = 0$ હોય,તો $v_2 = 4 \ m/s$. આમ,એક ભાગ સ્થિર થઈ જાય છે અને બીજો ભાગ મૂળ પદાર્થની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(D) $m$ દળ અને $M$ દળના વેજ (wedge) થી બનેલા તંત્રનો વિચાર કરો.
સમક્ષિતિજ સમતલ લીસું હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,જો કોઈ ચોક્કસ દિશામાં તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તે દિશામાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
તંત્રનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરશે નહીં.
જોકે,શિરોલંબ દિશામાં તંત્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે,જે બાહ્ય બળ છે.
જેમ $m$ દળનો પદાર્થ ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકે છે,તેમ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું શિરોલંબ સ્થાન બદલાય છે (તે નીચે તરફ ગતિ કરે છે).
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શિરોલંબ દિશામાં નીચે તરફ ગતિ કરશે અને સમક્ષિતિજ દિશામાં અપરિવર્તિત રહેશે.

(D) બળતણ બહાર ફેંકવાને કારણે રોકેટ પર લાગતું બળ થ્રસ્ટના સૂત્ર $F = v \frac{dm}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે, બળતણ વપરાશનો દર $\frac{dm}{dt} = 1 \,kg/s$ છે.
બહાર ફેંકાયેલા બળતણનો વેગ $v = 60 \,km/s = 60000 \,m/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 60000 \,m/s \times 1 \,kg/s = 60000 \,N$.
તેથી, રોકેટ પર લાગતું બળ $60000 \,N$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$g' = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$
$h \ll R_e$ માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને આ રીતે અંદાજિત કરી શકીએ છીએ:
$g' \approx g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right)$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જેમ ઊંચાઈ $h$ વધે છે,તેમ $\frac{2h}{R_e}$ પદ વધે છે,જેના કારણે $g'$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ઊંચાઈ સાથે ઘટે છે.

(B) ધારો કે $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે。
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g_h = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R_e})^2}$
પ્રશ્ન મુજબ, $g_h = \frac{g}{2}$ છે。
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{g}{2} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R_e})^2}$
$(1 + \frac{h}{R_e})^2 = 2$
$1 + \frac{h}{R_e} = \sqrt{2}$
$h = (\sqrt{2} - 1) R_e$
$R_e \approx 6400 \,km$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા:
$h = (1.414 - 1) \times 6400 \,km$
$h = 0.414 \times 6400 \,km$
$h = 2649.6 \,km$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, ઊંચાઈ આશરે $2625 \,km$ છે。

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R_e})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_h = g_d$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$g(1 - \frac{2h}{R_e}) = g(1 - \frac{d}{R_e})$
બંને બાજુથી $g$ દૂર કરતા:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$-\frac{2h}{R_e} = -\frac{d}{R_e}$
$-R_e$ વડે ગુણતા:
$2h = d$ અથવા $d = 2h$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g^{\prime}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$g^{\prime} = g - \omega^2 R_e \cos^2 \lambda$
જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ધ્રુવો પર,અક્ષાંશ $\lambda = 90^{\circ}$ હોય છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$g^{\prime} = g - \omega^2 R_e (0)^2 = g$
વિષુવવૃત્ત પર,$\lambda = 0^{\circ}$ હોય છે,તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$,જે $g^{\prime} = g - \omega^2 R_e$ આપે છે,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય ધ્રુવો પર મહત્તમ હોય છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં ઊંડાઈ $d = \frac{R}{2}$ આપેલી છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g_d = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
વજન $w = mg$ હોવાથી,$d$ ઊંડાઈએ નવું વજન $w' = m g_d = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2} = \frac{w}{2}$ થાય.
આમ,પૃથ્વીના કેન્દ્ર સુધીના અડધા અંતરે પદાર્થનું વજન $\frac{w}{2}$ હશે.

(A) મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ પ્રબળતાની સરખામણી $10^{-15} \ m$ ના અંતરે રહેલા બે પ્રોટોન વચ્ચેની આંતરક્રિયાને ધ્યાનમાં લઈને કરવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_G)$ એ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $(F_S)$ ની સાપેક્ષમાં આશરે $10^{-36} \ N$ થી $10^{-39} \ N$ જેટલું હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળનો ગુણોત્તર આશરે $10^{-39}$ છે.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ કરતાં $10^{-39}$ ગણું છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગ $g$ શૂન્ય હોય છે.
વજન $w$ એ પદાર્થના દળ $m$ અને ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગ $g$ નો ગુણાકાર છે, તેથી $w = m \times g$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા, $w = 10 \,kg \times 0 \,m/s^2 = 0 \,N$.
આમ, પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર બિંદુવત દળનું વજન શૂન્ય થાય છે.

(C) આપેલ છે:
ગ્રહની ત્રિજ્યા,$R = 1.7 \times 10^6 \ m$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 1.7 \ m s^{-2}$
ગ્રહની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v_e = \sqrt{2 \times 1.7 \times (1.7 \times 10^6)}$
$v_e = \sqrt{2 \times (1.7)^2 \times 10^6}$
$v_e = 1.7 \times \sqrt{2} \times 10^3 \ m s^{-1}$
કારણ કે $10^3 \ m s^{-1} = 1 \ km s^{-1}$,તેથી આપણને મળે છે:
$v_e = 1.7 \sqrt{2} \ km s^{-1}$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
કારણ કે $E_i = E_f$,તેથી $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
આપેલ છે કે $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $v^2 = \frac{GM}{2R}$.
$v^2$ ની કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \Rightarrow 3(R+h) = 4R \Rightarrow 3R + 3h = 4R \Rightarrow 3h = R \Rightarrow h = \frac{R}{3}$

(B) જ્યારે પદાર્થનો વેગ $(v)$ એ કક્ષીય વેગ $(v_o)$ કરતા વધારે હોય પરંતુ નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ કરતા ઓછો હોય,એટલે કે $v_o < v < v_e$,ત્યારે પદાર્થની કુલ ઉર્જા ઋણ હોય છે.
કેન્દ્રીય ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં ઋણ કુલ ઉર્જા માટે,પદાર્થનો માર્ગ એક લંબગોળ (ellipse) હોય છે,જેમાં પૃથ્વીનું કેન્દ્ર એક નાભિ (focus) પર હોય છે.
જો $v = v_e$ હોય,તો કુલ ઉર્જા શૂન્ય થાય છે અને માર્ગ પરવલયાકાર બને છે.
જો $v > v_e$ હોય,તો કુલ ઉર્જા ધન હોય છે અને માર્ગ અતિવલયાકાર બને છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_1 = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$h = 3R$ ઊંચાઈ પર,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + 3R = 4R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_2 = -\frac{GMm}{4R}$ છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_2 - U_1$ છે.
$\Delta U = -\frac{GMm}{4R} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$.
સંબંધ $g = \frac{GM}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $GM = gR^2$ મળે છે.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહને સૂર્ય સાથે જોડતો ત્રિજ્યા સદિશ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.
એટલે કે,$\frac{dA}{dt} = \text{અચળ}$.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ધારો કે $r$ એ સૂર્યની સાપેક્ષમાં ગ્રહનો સ્થાન સદિશ છે અને $F$ એ સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
આ બળ દ્વારા સૂર્યની આસપાસ ગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ છે:
$\tau = r \times F = 0$
(કારણ કે $r$ અને $F$ એક જ રેખા પર છે).
આપણે જાણીએ છીએ કે ટોર્ક એ કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર છે:
$\tau = \frac{dL}{dt}$
અહીં $\tau = 0$ હોવાથી,$\frac{dL}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $L = \text{અચળ}$.
આમ,કેપ્લરનો બીજો નિયમ એ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(C) ધારો કે $T_A$ અને $T_B$ એ અનુક્રમે સૂર્યની આસપાસ ગ્રહ $A$ અને $B$ ના પરિભ્રમણ સમયગાળા છે. આપેલ છે કે $T_A = 8 T_B$.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળાનો વર્ગ એ સૂર્યથી અંતરના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
તેથી,$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{8 T_B}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$8^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$.
આમ,સૂર્યથી ગ્રહ $A$ નું અંતર એ સૂર્યથી ગ્રહ $B$ ના અંતર કરતા $4$ ગણું છે.

(A) આપેલ છે: $G=6.67 \times 10^{-11} \text{ N-m}^2 \text{ kg}^{-2}$,$M=5.98 \times 10^{24} \text{ kg}$,$R=6.4 \times 10^6 \text{ m}$.
સંચાર ઉપગ્રહ માટે,સમયગાળો $T = 24 \text{ h} = 24 \times 3600 \text{ s} = 8.64 \times 10^4 \text{ s}$.
કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R+h$ એ કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ દ્વારા સમયગાળા સાથે સંબંધિત છે: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$.
$r$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $r = \left( \frac{T^2 GM}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$.
કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{(8.64 \times 10^4)^2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{4 \times (3.14)^2} \right)^{1/3}$.
$r \approx 42.25 \times 10^6 \text{ m}$.
કારણ કે $h = r - R$,તેથી $h = 42.25 \times 10^6 \text{ m} - 6.4 \times 10^6 \text{ m} = 35.85 \times 10^6 \text{ m}$.
કિલોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $h = 35850 \text{ km}$.

(A) જ્યારે $120 \ km$ ની ઊંચાઈએ પૃથ્વીની આસપાસ ફરતા અવકાશયાનમાંથી દડો છોડવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્તિના સમયે દડા પાસે અવકાશયાન જેટલો જ કક્ષીય વેગ હોય છે.
અવકાશના શૂન્યાવકાશમાં તેની ગતિની સ્થિતિ બદલવા માટે કોઈ બાહ્ય બળ (જેમ કે હવાનો અવરોધ) ન હોવાથી,દડો અવકાશયાનની સમાન ઝડપ અને દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
તેથી,તે અવકાશયાનની મૂળ ભ્રમણકક્ષામાં જ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
ધારો કે પ્રારંભિક ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ છે (કારણ કે તે ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ છે).
ધારો કે નવી ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ છે.
આપણે નવો આવર્તકાળ $T_2$ શોધવાનો છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2^2}{24^2} = \left( \frac{2r_1}{r_1} \right)^3 = 2^3 = 8$.
$T_2^2 = 8 \times 24^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $T_2 = \sqrt{8} \times 24 = 2\sqrt{2} \times 24 = 48\sqrt{2} \text{ કલાક}$.

(D) ધારો કે એક એકમ દળ $m$ પૃથ્વીથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યું છે,જ્યાં ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે.
આ બિંદુએ,પૃથ્વી દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ચંદ્ર દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મૂલ્યમાં સમાન હોવા જોઈએ.
$\frac{G m M_e}{x^2} = \frac{G m M_m}{(D-x)^2}$ ... $(i)$
જ્યાં $M_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $M_m$ એ ચંદ્રનું દળ છે.
આપેલ છે કે $M_e = 81 M_m$.
સમીકરણ $(i)$ માં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{G m (81 M_m)}{x^2} = \frac{G m M_m}{(D-x)^2}$
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(D-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{D-x}$
$9(D - x) = x$
$9D - 9x = x$
$9D = 10x$
$x = \frac{9D}{10}$
આમ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $\frac{9D}{10}$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થશે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2}R$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશ (degree of freedom) છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = \frac{f+2}{2}R$ થાય છે.
આ કિંમતોને $\gamma$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{\frac{f+2}{2}R}{\frac{f}{2}R} = \frac{f+2}{f}$.
$f$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\gamma f = f + 2$
$\gamma f - f = 2$
$f(\gamma - 1) = 2$
$f = \frac{2}{\gamma - 1}$.

(C) ત્રિ-પરમાણ્વીય અ-રેખીય વાયુ માટે મુક્તિના અંશો (degree of freedom) $f = 6$ છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f R}{2} = \frac{6 R}{2} = 3 R$ થાય.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_V + R = 3 R + R = 4 R$ થાય.
એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા અને આઇસોથર્મલ સ્થિતિસ્થાપકતાનો ગુણોત્તર એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ જેટલો હોય છે.
$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{4 R}{3 R} = \frac{4}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 3$ છે.

(B) મશીનનો પાવર $P = 10 \,kW = 10,000 \,W$.
સમય $t = 3 \,minutes = 3 \times 60 = 180 \,s$.
ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉર્જા $E = P \times t = 10,000 \times 180 = 1,800,000 \,J$.
બ્લોક દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = E \text{ ના } 50 \% = 0.5 \times 1,800,000 = 900,000 \,J$.
સૂત્ર $Q = mc\Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $m = 25 \,kg$ અને $c = 900 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$:
$900,000 = 25 \times 900 \times \Delta T$.
$900,000 = 22,500 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{900,000}{22,500} = 40^{\circ} C$.
આમ, તાપમાનમાં થતો વધારો $40^{\circ} C$ છે।

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1 = 251 \,cm^3$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 20^{\circ} C = 273 + 20 = 293 \,K$,પ્રારંભિક દબાણ $p_1 = 78 \,cm$ $Hg$.
$NTP$ પર,પ્રમાણિત શરતો છે: તાપમાન $T_2 = 273 \,K$ અને દબાણ $p_2 = 76 \,cm$ $Hg$.
સંયુક્ત વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$.
$V_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $V_2 = \frac{78 \times 251 \times 273}{76 \times 293} \approx 240 \,cm^3$.
નોંધ: જો ગણતરીમાં $T_2 = 293 \,K$ લેવામાં આવે તો જવાબ $263.8 \,cm^3$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = \frac{N}{N_A} RT$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
તેથી,$N = \frac{PVN_A}{RT}$.
પાત્ર $A$ માટે: $N_A = \frac{p_A V_A N_A}{R T_A}$.
પાત્ર $B$ માટે: $N_B = \frac{p_B V_B N_A}{R T_B}$.
આપેલ છે: $V_B = 2V_A$,$p_B = 3p_A$,અને $T_B = \frac{T_A}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B}$ લેતા:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{p_A V_A}{R T_A} \cdot \frac{R T_B}{p_B V_B} = \frac{p_A V_A}{T_A} \cdot \frac{T_A / 2}{3p_A \cdot 2V_A} = \frac{1}{T_A} \cdot \frac{T_A}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{1}{12}$.
તેથી,ગુણોત્તર $N_A : N_B = 1:12$ છે.

(B) આપેલ છે:
$T_1 = (273 + 20) \ K = 293 \ K$
$p_1 = 90 \ cm \ Hg$
$p_2 = 75 \ cm \ Hg$
વાયુનું કદ અચળ હોવાથી,ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ:
$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$
$\Rightarrow T_2 = \frac{T_1 \times p_2}{p_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$T_2 = \frac{293 \times 75}{90} \ K$
$T_2 = 244.16 \ K$
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T(^{\circ}C) = 244.16 - 273 = -28.84^{\circ} C \approx -28.8^{\circ} C$

(B) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે અને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,કદ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$ અથવા $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
$V_1 = 2 \ L$
$T_1 = 273 \ K$ ($STP$ પર)
$V_2 = 2 \times V_1 = 4 \ L$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \ L}{273 \ K} = \frac{4 \ L}{T_2}$
$T_2 = \frac{4 \times 273}{2} \ K$
$T_2 = 546 \ K$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
વાયુઓ થર્મલ સંતુલનમાં હોવાથી,તેમના તાપમાન સમાન છે,તેથી $T_{A} = T_{B} = T$.
બંને કન્ટેનરમાં સમાન વાયુનું સમાન દળ છે,તેથી મોલની સંખ્યા $n$ બંને માટે સમાન છે,એટલે કે $n_{A} = n_{B} = n$.
બંને કન્ટેનર માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ લાગુ પાડતા:
કન્ટેનર $A$ માટે: $P_{A} V_{A} = nRT$
કન્ટેનર $B$ માટે: $P_{B} V_{B} = nRT$
જમણી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(nRT = nRT)$,આપણને $P_{A} V_{A} = P_{B} V_{B}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K_{avg})$ નું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના અણુના દળ કે પ્રકાર પર આધાર રાખતી નથી.
આપેલ છે કે $300 \ K$ તાપમાને $H_2$ અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E$ છે,અને $O_2$ અણુઓ માટે પણ તાપમાન $300 \ K$ હોવાથી,$O_2$ અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા પણ $E$ જ રહેશે.

(A) આદર્શ વાયુના અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $\bar{E} = \frac{3}{2} K_B T$ છે,જ્યાં $K_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં હોવાથી,તેઓ તાપીય સંતુલનમાં છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનું તાપમાન $T$ સમાન છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા $\bar{E}$ માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના અણુઓના દળ કે પ્રકાર પર આધાર રાખતી નથી,તેથી હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1: 1$ થશે.

(C) ગતિમાન પાત્રમાં રહેલા વાયુની જમીનની સાપેક્ષે કુલ ગતિઊર્જા એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જા અને વાયુના અણુઓની આંતરિક ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$1$. જમીનની સાપેક્ષે વાયુના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જા $K_{cm} = \frac{1}{2} M v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું કુલ દળ છે અને $v$ એ પાત્રનો વેગ છે.
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ (જેની મુક્તિની માત્રા $f = 5$ છે) ની આંતરિક ગતિઊર્જા $U = n \frac{f}{2} R T$ છે.
$3$. $f = 5$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{5}{2} n R T$ મળે છે.
$4$. તેથી,જમીનની સાપેક્ષે કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_{cm} + U = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{5}{2} n R T$ થાય છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ એ મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી $(\mu_0)$ અને મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી $(\varepsilon_0)$ સાથે મેક્સવેલના સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે:
પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
આપેલ મૂલ્યો $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ અને $\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/(\text{N m}^2)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ મળે છે.

(B) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ અવરોધક,ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા મળે છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{X_L - X_C}{R} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $X_L > X_C$ હોય,તો $\phi$ ધન મળે છે,જેનો અર્થ છે કે વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ (leads) છે.
જો $X_L < X_C$ હોય,તો $\phi$ ઋણ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ છે.
તેથી,જ્યારે $X_L > X_C$ હોય ત્યારે વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ હોય છે.

(C) $L-C-R$ સર્કિટમાં,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_0$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી સમાન રહે તે માટે,$LC$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ.
ધારો કે નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L^{\prime}$ છે અને નવું કેપેસીટન્સ $C^{\prime} = 4C$ છે.
$f_0 = f_0^{\prime}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$L C = L^{\prime} C^{\prime}$
સમીકરણમાં $C^{\prime} = 4C$ મૂકતા:
$L C = L^{\prime} (4 C)$
બંને બાજુ $4C$ વડે ભાગતા:
$L^{\prime} = \frac{L}{4}$
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સને $L$ થી બદલીને $\frac{L}{4}$ કરવું જોઈએ.

(B) $AC$ નું $rms$ મૂલ્ય $V_{rms} = 220 \ V$ આપેલ છે.
$AC$ નું પીક મૂલ્ય $(V_0)$ આ મુજબ ગણવામાં આવે છે: $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms} = 1.414 \times 220 \approx 311 \ V$.
$DC$ માટે,વોલ્ટેજ $220 \ V$ પર અચળ રહે છે.
કારણ કે $220 \ V$ $AC$ નો પીક વોલ્ટેજ $311 \ V$ છે,જે $DC$ ના અચળ $220 \ V$ કરતા ઘણો વધારે છે,તેથી $220 \ V$ $AC$ એ $220 \ V$ $DC$ કરતા વધુ જોખમી છે.

(D) શુદ્ધ અવરોધક પરિપથમાં,એસી વોલ્ટેજ $V = V_m \sin(\omega t)$ અને એસી પ્રવાહ $I = I_m \sin(\omega t)$ બંને સમાન કળામાં હોય છે.
કારણ કે બંને એક જ સમયે તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે,તેથી વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $0^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે:
$I = 5 \sin \left(100 t - \frac{\pi}{2}\right) A$
$e = 200 \sin (100 t) V$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સમીકરણો $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $e = E_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રવાહનો કળા તફાવત $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ અને વોલ્ટેજનો કળા તફાવત $\phi_2 = 0$ મળે છે.
કળા તફાવત $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
$AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વપરાશનું સૂત્ર $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos(\phi)$ છે.
અહીં $\phi = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\cos(\phi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય.
તેથી,$P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \times 0 = 0 W$.

(C) $L-C-R$ સર્કિટમાં,આપણને આપેલ છે:
$X_L = 2R$ અને $X_C = \frac{X_L}{3}$.
$X_L = 2R$ ને $X_C$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $X_C = \frac{2R}{3}$ મળે છે.
$L-C-R$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
$X_L$ અને $X_C$ ની કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (2R - \frac{2R}{3})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{4R}{3})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{16R^2}{9}} = \sqrt{\frac{25R^2}{9}} = \frac{5R}{3}$.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$Z$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos \phi = \frac{R}{5R/3} = \frac{3}{5} = 0.6$.

(B) $LCR$ પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
પરિપથ $A$ માટે,ઘટકો શ્રેણીમાં $R$,$L$ અને $C$ છે. સામાન્ય રીતે આવા પ્રશ્નોમાં,પરિપથ $A$ એ શ્રેણી $RL$ પરિપથ છે જ્યાં $R$ અને $X_L = \sqrt{3}R$ છે,તેથી $\cos \phi_A = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\sqrt{3}R)^2}} = \frac{R}{2R} = 0.5$ મળે છે.
પરિપથ $B$ માટે,જો તે શ્રેણી $RC$ પરિપથ હોય જ્યાં $R$ અને $X_C = R$ હોય,તો $\cos \phi_B = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોના આધારે,પરિપથ $B$ અને $A$ ના પાવર ફેક્ટરનો ગુણોત્તર $\sqrt{2}: 1$ થાય છે.

(C) આપેલ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,પ્રાયમરી વોલ્ટેજ $V_P = 230 \ V$,સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_S = 23 \ V$ અને સેકન્ડરી અવરોધ $R_S = 115 \ \Omega$ છે.
સૌ પ્રથમ,સેકન્ડરી કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ $(I_S)$ ગણો:
$I_S = \frac{V_S}{R_S} = \frac{23 \ V}{115 \ \Omega} = 0.2 \ A$.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મરમાં,ઇનપુટ પાવર એ આઉટપુટ પાવર જેટલો હોય છે $(V_P I_P = V_S I_S)$.
તેથી,પ્રાયમરી કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ $(I_P)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_P = \frac{V_S I_S}{V_P} = \frac{23 \ V \times 0.2 \ A}{230 \ V} = 0.02 \ A$.

(C) સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મર માટે, પ્રાથમિક ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા $N_P$ એ ગૌણ ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા $N_S$ કરતા વધારે હોય છે. આપેલ છે: $N_P = 5000$, $N_S = 500$, $I_P = 4 \,A$, અને $V_P = 2200 \,V$.
ટ્રાન્સફોર્મર ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{N_S}{N_P} = \frac{V_S}{V_P} = \frac{I_P}{I_S}$.
પ્રથમ, ગૌણ વોલ્ટેજ $V_S$ ની ગણતરી કરો:
$V_S = V_P \times \frac{N_S}{N_P} = 2200 \times \frac{500}{5000} = 220 \,V$.
ત્યારબાદ, $\frac{V_S}{V_P} = \frac{I_P}{I_S}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ગૌણ પ્રવાહ $I_S$ ની ગણતરી કરો:
$I_S = I_P \times \frac{V_P}{V_S} = 4 \times \frac{2200}{220} = 40 \,A$.
આમ, પ્રવાહ $40 \,A$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $220 \,V$ છે.

(A) ટ્રાન્સફોર્મર માટે,આંટાની સંખ્યા અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો સંબંધ ટ્રાન્સફોર્મરના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{N_S}{N_P} = \frac{V_S}{V_P}$.
આપેલ કિંમતો છે:
પ્રાઈમરી આંટા,$N_P = 100$
પ્રાઈમરી વોલ્ટેજ,$V_P = 100 \,V$
સેકન્ડરી વોલ્ટેજ,$V_S = 2000 \,V$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{N_S}{100} = \frac{2000}{100}$
$N_S = \frac{2000 \times 100}{100}$
$N_S = 2000$.
તેથી,સેકન્ડરી ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા $2000$ છે.

(B) બામર શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે,$n = 4$. આપેલ છે $\lambda_2 = 4861 Å$:
$\frac{1}{4861} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right) \implies R = \frac{16}{3 \times 4861} \dots (i)$
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_1} = \left( \frac{16}{3 \times 4861} \right) \times \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{80}{108 \times 4861} = \frac{20}{27 \times 4861}$
$\lambda_1 = \frac{27 \times 4861}{20} = \frac{131247}{20} = 6562.35 Å \approx 6563 Å$.

(B) બે ઉર્જા સ્તરો $E_i$ અને $E_f$ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઉર્જા સ્તરની આકૃતિ પરથી,$C$ થી $A$ નું સંક્રમણ એ $C$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ ના સંક્રમણોનો સરવાળો છે.
તેથી,ઉર્જાનો તફાવત છે:
$E_C - E_A = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
ઉર્જા-તરંગલંબાઇ સંબંધ $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે:
$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$

(B) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ માટે,$Z = 1$. તેથી,$\frac{1}{\lambda} = R (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
ડબલ આયનાઇઝ્ડ લિથિયમ $(Li^{2+})$ માટે,$Z = 3$. ધારો કે તરંગલંબાઇ $\lambda'$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda'} = R (3)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 9 R \left( \frac{5}{36} \right)$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$\frac{1}{\lambda'} = 9 \left( \frac{1}{\lambda} \right)$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda' = \frac{\lambda}{9}$.

(C) ફ્રેન્ક-હર્ટ્ઝના પ્રયોગે મર્ક્યુરીના પરમાણુઓ પર ઇલેક્ટ્રોનનો મારો ચલાવીને પરમાણુઓમાં અલગ-અલગ ઉર્જા સ્તરોનું અસ્તિત્વ દર્શાવ્યું હતું. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા એક ચોક્કસ મર્યાદા સુધી પહોંચે છે,ત્યારે તેઓ મર્ક્યુરીના પરમાણુઓને ઉર્જા આપે છે,જેના કારણે તેઓ ઉચ્ચ ઉર્જા અવસ્થાઓમાં સંક્રમણ કરે છે. આ ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતની આગાહીની પુષ્ટિ કરે છે કે પરમાણુની ઉર્જા અવસ્થાઓ ક્વોન્ટાઇઝ્ડ હોય છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$
જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર છે.
$2^{nd}$ કક્ષા $(n=2)$ માટે ઉર્જા:
$E_2 = -13.6 \frac{Z^2}{2^2} = -13.6 \frac{Z^2}{4} \ eV$
$3^{rd}$ કક્ષા $(n=3)$ માટે ઉર્જા:
$E_3 = -13.6 \frac{Z^2}{3^2} = -13.6 \frac{Z^2}{9} \ eV$
ઇલેક્ટ્રોનને $2^{nd}$ થી $3^{rd}$ કક્ષામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_3 - E_2 = 47.2 \ eV$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$47.2 = -13.6 \frac{Z^2}{9} - (-13.6 \frac{Z^2}{4})$
$47.2 = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$
$47.2 = 13.6 Z^2 \left( \frac{5}{36} \right)$
$Z^2 = \frac{47.2 \times 36}{13.6 \times 5}$
$Z^2 \approx 25$
$Z = 5$
તેથી,પરમાણુનો પરમાણુ ક્રમાંક $5$ છે.

(B) આપેલ છે,ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{K r^2}{2}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = -\frac{d U}{d r} = -\frac{d}{d r} (\frac{K r^2}{2}) = -K r$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે,કેન્દ્રગામી બળ આ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $F = \frac{m v^2}{r} = K r$.
આમ,$v^2 = \frac{K r^2}{m}$,જે આપે છે $v = r \sqrt{\frac{K}{m}}$.
બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = m v r = \frac{n h}{2 \pi}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $m r (r \sqrt{\frac{K}{m}}) = \frac{n h}{2 \pi}$.
$r^2 \sqrt{K m} = \frac{n h}{2 \pi} \Rightarrow r^2 = \frac{n h}{2 \pi \sqrt{K m}}$.
કુલ ઊર્જા $E_n$ એ ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E_n = \frac{1}{2} m v^2 + U = \frac{1}{2} m (r^2 \frac{K}{m}) + \frac{K r^2}{2} = \frac{K r^2}{2} + \frac{K r^2}{2} = K r^2$.
$r^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $E_n = K (\frac{n h}{2 \pi \sqrt{K m}}) = \frac{n h}{2 \pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$.

(B) લઘુત્તમ ઉત્તેજન ઉર્જા એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઉર્જા સ્તરો માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$ છે.
જરૂરી ઉત્તેજન ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ ઉત્તેજન પોટેન્શિયલ $10.2 \ V$ છે.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસિટર માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15+10+6}{30} = \frac{31}{30} \mu F^{-1}$
તેથી,$C = \frac{30}{31} \mu F$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે:
$q = C \times V = \left(\frac{30}{31} \times 10^{-6} \ F\right) \times 155 \ V = 150 \times 10^{-6} \ C = 150 \mu C$.
દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_i = \frac{q}{C_i}$ છે:
$V_1 = \frac{150 \mu C}{2 \mu F} = 75 \ V$
$V_2 = \frac{150 \mu C}{3 \mu F} = 50 \ V$
$V_3 = \frac{150 \mu C}{5 \mu F} = 30 \ V$
વોલ્ટેજની સરખામણી કરતા,$V_3 = 30 \ V$ એ સૌથી ઓછો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 1 \mu F = 10^{-6} \text{ F}$.
બે ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = r_2 - r_1 = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$.
ગોલીય કેપેસિટરના કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = 4 \pi \varepsilon_0 \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$10^{-6} = \frac{1}{9 \times 10^9} \times \frac{r_1 r_2}{10^{-3}}$.
$r_1 = r_2 - 10^{-3}$ હોવાથી,આપણને $9 \times 10^3 = (r_2 - 10^{-3}) r_2$ મળે છે.
$r_2^2 - 10^{-3} r_2 - 9 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $r_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$r_2 = \frac{10^{-3} \pm \sqrt{10^{-6} - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{10^{-3} \pm \sqrt{36.000001}}{2} \approx \frac{6}{2} = 3 \text{ m}$.

(C) પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ છે.
પૃથ્વીને ગોળાકાર વાહક ગણતા,તેનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $C = 4 \pi \varepsilon_0 R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,તેથી $4 \pi \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9} \ F/m$.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{6.4 \times 10^6}{9 \times 10^9} \ F$
$C = 0.711 \times 10^{-3} \ F$
$C = 711 \times 10^{-6} \ F = 711 \ \mu F$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,તેની કેપેસિટન્સ આશરે $700 \ \mu F$ થાય છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{Q}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું દ્રવ્ય મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે (જો કેપેસિટર અલગ કરેલું હોય).
નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V^{\prime}$ એ મૂળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ સાથે $V^{\prime} = \frac{V}{K}$ સંબંધ ધરાવે છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મૂળ મૂલ્યના $1/8$ જેટલો ઘટે છે,તેથી $V^{\prime} = \frac{V}{8}$.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{V}{K} = \frac{V}{8}$ મળે છે.
તેથી,ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 8$ થાય છે.

(C) ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર માટે,$C_1 = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ અને $C_2 = \frac{4 \epsilon_0 A}{d}$ થાય.
શ્રેણી જોડાણ માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{2 \epsilon_0 A} + \frac{d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{2d + d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{3d}{4 \epsilon_0 A}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$ મળે.
$A$ ક્ષેત્રફળ અને $d'$ અંતર ધરાવતા સમતુલ્ય હવાના કેપેસિટર $(K=1)$ માટે,કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{d'}$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\epsilon_0 A}{d'} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$.
$d'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $d' = \frac{3d}{4}$ મળે છે.

(C) જ્યારે કેપેસિટરને બેટરી ($DC$ સ્ત્રોત) સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ચાર્જ થવાનું શરૂ કરે છે.
શરૂઆતમાં,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે,તેથી પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
જેમ જેમ કેપેસિટર ચાર્જ થાય છે,તેમ તેના પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધે છે,જે વિદ્યુતભારના પ્રવાહનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,પ્રવાહ ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
એકવાર કેપેસિટર સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થઈ જાય,પછી કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો થઈ જાય છે અને પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આમ,થોડા સમય માટે ક્ષણિક પ્રવાહ વહે છે અને અંતે તે શૂન્ય થઈ જાય છે.

(B) બેટરીનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V = 100 \, V$ છે.
$C_1 = 4 \, \mu F$ અને $C_2 = 8 \, \mu F$ ના શ્રેણી જોડાણ માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1}{8} = \frac{3}{8} \, \mu F^{-1}$
તેથી,$C = \frac{8}{3} \, \mu F = \frac{8}{3} \times 10^{-6} \, F$.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર:
$E = \frac{1}{2} C V^2$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times \left( \frac{8}{3} \times 10^{-6} \right) \times (100)^2$
$E = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} \times 10^{-6} \times 10^4$
$E = \frac{4}{3} \times 10^{-2} \, J$
$E \approx 1.33 \times 10^{-2} \, J$

(D) જ્યારે $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે સમાન કેપેસિટરોને અનુક્રમે $V_1$ અને $V_2$ પોટેન્શિયલ પર ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_1 = CV_1$ અને $Q_2 = CV_2$ હોય છે.
જ્યારે તેમને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ચાર્જ $Q_{net} = Q_1 + Q_2$ સંરક્ષિત રહે છે.
કેપેસિટરો સમાન પોટેન્શિયલ $V_{common} = \frac{Q_1 + Q_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ પ્રાપ્ત કરે છે.
કારણ કે $V_{common} = \frac{V_1 + V_2}{2}$,તેથી કુલ પોટેન્શિયલ તફાવત એ પ્રારંભિક પોટેન્શિયલ તફાવતોના સરવાળા $(V_1 + V_2)$ જેટલો હોતો નથી.
ચાર્જના પુનઃવિતરણ દરમિયાન,વાયર દ્વારા ચાર્જના પ્રવાહને કારણે કેટલીક ઉર્જા ગરમી સ્વરૂપે વ્યય થાય છે.
તેથી,અંતિમ કુલ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}(2C)V_{common}^2$ એ હંમેશા પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2 + \frac{1}{2}CV_2^2$ કરતા ઓછી હોય છે.

(A) ટેલિવિઝન પ્રસારણ એ એક બ્રોડકાસ્ટ કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ છે.
ટેલિવિઝન પ્રસારણ માટે $VHF$ (વેરી હાઈ ફ્રીક્વન્સી) બેન્ડનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
આ બેન્ડ સામાન્ય રીતે $30 MHz$ થી $300 MHz$ સુધીની આવૃત્તિઓ આવરી લે છે.
તેથી,ટેલિવિઝન પ્રસારણ માટેની સાચી આવૃત્તિ શ્રેણી $30-300 MHz$ છે.

(B) $AM$ તરંગનો કુલ પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_t = P_c(1 + \frac{m^2}{2})$, જ્યાં $P_t$ એ કુલ પાવર છે, $P_c$ એ કેરિયર પાવર છે, અને $m$ એ મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ છે。
આપેલ છે: $P_t = 1800 \,W$ અને $m = 1$ ($100 \%$ મોડ્યુલેશન માટે).
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1800 = P_c(1 + \frac{1^2}{2})$
$1800 = P_c(1 + 0.5)$
$1800 = 1.5 P_c$
$P_c = \frac{1800}{1.5} = 1200 \,W$.
તેથી, કેરિયર પાવર $1200 \,W$ છે。

(A) કેરિયર સિગ્નલની આવૃત્તિ,$f_c = 1 MHz = 1000 kHz$.
મેસેજ (સ્પીચ) સિગ્નલની આવૃત્તિ,$f_m = 3 kHz = 0.003 MHz$.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,સાઇડ બેન્ડની આવૃત્તિઓ $(f_c + f_m)$ અને $(f_c - f_m)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અપર સાઇડ બેન્ડ આવૃત્તિ $= f_c + f_m = 1 MHz + 0.003 MHz = 1.003 MHz$.
લોઅર સાઇડ બેન્ડ આવૃત્તિ $= f_c - f_m = 1 MHz - 0.003 MHz = 0.997 MHz$.

(A) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા $T$.$V$. ટાવરની રેન્જ $d$ નું સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh}$ છે, જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $h = 100 \, m$ અને $R = 6.37 \times 10^6 \, m$ આપેલ છે.
$d = \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 100} = \sqrt{12.74 \times 10^8} \approx 35.7 \times 10^3 \, m = 35.7 \, km$.
ટાવર દ્વારા આવરી લેવાયેલ વિસ્તાર $A = \pi d^2 = 3.14 \times (35.7)^2 \approx 3.14 \times 1274.49 \approx 4000 \, km^2$ છે.
આવરી લેવાયેલી વસ્તી = $\text{વિસ્તાર} \times \text{વસ્તી ગીચતા}$.
વસ્તી = $4000 \, km^2 \times 1000 \, km^{-2} = 4 \times 10^6$.

(C) અવરોધનું મૂલ્ય $22 \Omega \pm 5 \%$ આપેલું છે.
આને $22 \times 10^0 \Omega \pm 5 \%$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રમાણિત અવરોધ કલર કોડ ટેબલ મુજબ:
- પ્રથમ અંક $2$ એ લાલ રંગ સૂચવે છે.
- બીજો અંક $2$ એ લાલ રંગ સૂચવે છે.
- ગુણક $10^0$ એ કાળા રંગને અનુરૂપ છે.
- $5 \%$ ની ટોલરન્સ (સહનશીલતા) સોનેરી રંગને અનુરૂપ છે.
તેથી,રંગોનો ક્રમ લાલ,લાલ,કાળો,સોનેરી છે.

(B) આપેલ છે: તાંબાના તારની ત્રિજ્યા $r = 0.1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-4} \text{ m}$.
અવરોધ $R = 2 \text{ k}\Omega = 2 \times 10^3 \Omega$.
વોલ્ટેજ $V = 40 \text{ V}$.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R} = \frac{40}{2 \times 10^3} = 2 \times 10^{-2} \text{ A}$.
પ્રતિ સેકન્ડ વહેતો વિદ્યુતભાર $q$ એ પ્રવાહ $I$ જેટલો જ હોય છે (કારણ કે $q = I \times t$ અને $t = 1 \text{ s}$):
$q = 2 \times 10^{-2} \text{ C}$.
પ્રતિ સેકન્ડ સ્થાનાંતરિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{q}{e}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે:
$n = \frac{2 \times 10^{-2}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^{17} \text{ ઇલેક્ટ્રોન}$.

(B) ધારો કે એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = 5 \, A$ છે।
ધારો કે અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે અને વોલ્ટમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$ છે।
કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ, $I = I_1 + I_2$.
તેથી, $I_1 = I - I_2 = 5 - I_2$.
વોલ્ટમીટરનો અવરોધ ખૂબ જ વધારે હોવાથી, તેમાંથી ખૂબ ઓછો પ્રવાહ $I_2$ વહે છે, તેથી $I_2 > 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $I_1 < 5 \, A$.
અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ $V = 40 \, V$ છે।
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $I_1 = V / R = 40 / R$.
આ કિંમતને અસમતા $I_1 < 5$ માં મૂકતા, આપણને $40 / R < 5$ મળે છે।
$R$ માટે ઉકેલતા, આપણને $R > 40 / 5$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $R > 8 \, \Omega$.

(C) આપેલ છે, સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 560 \, cm$ અને બાહ્ય અવરોધ $R = 10 \, \Omega$.
જ્યારે બાહ્ય અવરોધ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સંતુલન લંબાઈ ઘટે છે. તેથી, $l_2 = 560 \, cm - 60 \, cm = 500 \, cm$.
પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષના આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર $r = \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \left( \frac{560 - 500}{500} \right) \times 10 \, \Omega$.
$r = \left( \frac{60}{500} \right) \times 10 \, \Omega = \frac{6}{5} \, \Omega = 1.2 \, \Omega$.

(C) આપેલ છે:
પોટેન્શિયોમીટરના તારનો અવરોધ,$R = 4 \ \Omega$
કોષનું emf,$E = 2 \ V$
કોષનો આંતરિક અવરોધ,$r = 1 \ \Omega$
પોટેન્શિયોમીટરનો તાર અને કોષનો આંતરિક અવરોધ emf સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{E}{R + r}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{2 \ V}{4 \ \Omega + 1 \ \Omega} = \frac{2}{5} \ A = 0.4 \ A$
તેથી,પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $0.4 \ A$ છે.

(B) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા વોલ્ટમીટરને $r$ અવરોધ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે સંયોજનનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{Rr}{R+r}$ થાય છે.
વોલ્ટમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = I \times R_{eq} = I \times \frac{Rr}{R+r}$ છે,જ્યાં $I$ એ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
વોલ્ટમીટરની ગેરહાજરીમાં $r$ અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વાસ્તવિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I \times r$ છે.
માપવામાં આવેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ એ વાસ્તવિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ની શક્ય તેટલી નજીક લાવવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{V'}{V} = \frac{R}{R+r}$ નું મૂલ્ય $1$ ની શક્ય તેટલું નજીક હોવું જોઈએ.
આ સ્થિતિ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $R \gg r$ હોય (એટલે કે $R$ એ $r$ કરતા ઘણો મોટો હોય).
તેથી,જ્યારે $R > r$ હોય ત્યારે વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ વાસ્તવિક મૂલ્યની સૌથી નજીક હોય છે.

(B) જ્યારે $E$ જેટલું $\operatorname{emf}$ અને $r$ જેટલો આંતરિક અવરોધ ધરાવતો કોષ $R$ અવરોધ ધરાવતા બાહ્ય અવરોધક સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ એક બંધ લૂપ બનાવે છે.
આખા પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોષની આસપાસનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ બાહ્ય અવરોધક $R$ ની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત છે,જે $V = I R$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આંતરિક ડ્રોપને ધ્યાનમાં લેતા,ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત એ $\operatorname{emf}$ માંથી આંતરિક અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ બાદ કરવાથી મળે છે: $V = E - I r$.
બંને સમીકરણો કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવતને દર્શાવે છે.

(C) $t$ તાપમાને વાયરનો અવરોધ $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ $0^{\circ} C$ તાપમાને અવરોધ છે અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
આપેલ છે: $R_{150} = 133 \Omega$ અને $\alpha = 0.0045^{\circ} C^{-1}$.
$t = 150^{\circ} C$ માટે:
$133 = R_0(1 + 150 \times 0.0045) = R_0(1 + 0.675) = 1.675 R_0$
$R_0 = \frac{133}{1.675} \approx 79.403 \Omega$
હવે,$t = 500^{\circ} C$ માટે:
$R_{500} = R_0(1 + 500 \times 0.0045) = R_0(1 + 2.25) = 3.25 R_0$
$R_0$ ની કિંમત મૂકતા:
$R_{500} = 3.25 \times \frac{133}{1.675} = \frac{432.25}{1.675} \approx 258.06 \Omega$
આમ,$500^{\circ} C$ તાપમાને અવરોધ આશરે $258 \Omega$ છે.

(C) $T_1$ અને $T_2$ તાપમાને વાહક માટેનો $V-I$ આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વાહકનો અવરોધ $R$ તેના તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $R \propto T$).
$V-I$ આલેખ માટે,ઢાળ અવરોધ $R = \frac{V}{I}$ દર્શાવે છે.
આકૃતિ પરથી,$I$-અક્ષ સાથે $T_1$ માટેની રેખાનો ઢાળ $\tan \theta$ છે. તેથી,$R_1 \propto \tan \theta \Rightarrow R_1 = K \tan \theta$,જ્યાં $K$ અચળાંક છે.
તે જ રીતે,$I$-અક્ષ સાથે $T_2$ માટેની રેખાનો ઢાળ $\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ છે. તેથી,$R_2 \propto \cot \theta \Rightarrow R_2 = K \cot \theta$.
તેથી,$T_2 - T_1 \propto R_2 - R_1 = K(\cot \theta - \tan \theta)$.
$T_2 - T_1 \propto K \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) = K \left( \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2 \theta$ અને $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T_2 - T_1 \propto K \left( \frac{\cos 2 \theta}{\frac{1}{2} \sin 2 \theta} \right) = 2K \cot 2 \theta$.
આમ,$T_2 - T_1 \propto \cot 2 \theta$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ, $l = 5 \, m$.
બહારનો વ્યાસ, $d_1 = 0.1 \, m$.
બહારની ત્રિજ્યા, $r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \, m$.
જાડાઈ, $t = 0.005 \, m$.
અંદરની ત્રિજ્યા, $r_2 = r_1 - t = 0.05 - 0.005 = 0.045 \, m$.
પોલી નળીના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ, $A = \pi(r_1^2 - r_2^2)$.
$A = 3.14 \times [(0.05)^2 - (0.045)^2] = 3.14 \times (0.0025 - 0.002025) = 3.14 \times 0.000475 = 1.4915 \times 10^{-3} \, m^2$.
અવરોધ, $R = \rho \cdot \frac{l}{A} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{5}{1.4915 \times 10^{-3}}$.
$R \approx 5.7 \times 10^{-5} \, \Omega$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \frac{S l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ અવરોધકતા છે,$l$ લંબાઈ છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ અવરોધ $R$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે: $R = R_1 + R_2$.
અવરોધના સૂત્રને મૂકતા: $\frac{S(l_1 + l_2)}{A} = \frac{S_1 l_1}{A} + \frac{S_2 l_2}{A}$.
વ્યાસ સમાન હોવાથી,બંને તાર માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહેશે.
બંને બાજુથી $A$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે: $S(l_1 + l_2) = S_1 l_1 + S_2 l_2$.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધકતા $S$ એ: $S = \frac{S_1 l_1 + S_2 l_2}{l_1 + l_2}$ થાય.

(A) સંતુલિત મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન માટેની શરત $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ છે,જ્યાં $R$ એ અજ્ઞાત અવરોધ છે,$S$ એ જાણીતો અવરોધ છે અને $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે.
અહીં જાણીતો અવરોધ $S = 70 \Omega$ છે અને તેની સામેનો ભાગ $l = 70 \text{ cm}$ છે.
સૂત્ર મુજબ: $R = S \times \frac{100-l}{l} = 70 \times \frac{100-70}{70} = 70 \times \frac{30}{70} = 30 \Omega$.
તેથી,અજ્ઞાત અવરોધ $30 \Omega$ છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે।
$1$. ડાબી શાખામાં $R_A = 2 \Omega$ અને $R_D = 6 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે। આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_1 = 2 + 6 = 8 \Omega$ છે।
$2$. વચ્ચેની શાખામાં $3 \Omega$ નો અવરોધ છે। તેથી, $R_2 = 3 \Omega$.
$3$. જમણી શાખામાં $R_B = 4 \Omega$ અને $R_C = 12 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે। આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_3 = 4 + 12 = 16 \Omega$ છે।
આ ત્રણેય શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી, સમતુલ્ય અવરોધ $R_{PQ}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{16}$.
$8, 3, 16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $48$ છે:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{6 + 16 + 3}{48} = \frac{25}{48} \Omega^{-1}$.
તેથી, $R_{PQ} = \frac{48}{25} \Omega = 1.92 \Omega$.
કુલ પ્રવાહ $I = 1.5 \text{ A}$ આ સમતુલ્ય અવરોધમાંથી વહે છે।
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PQ} = I \cdot R_{PQ} = 1.5 \times 1.92 = 2.88 \text{ V}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાવાદના સિદ્ધાંતની બીજી પૂર્વધારણા મુજબ,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એક સાર્વત્રિક અચળાંક $c$ $(3 \times 10^8 \ m/s)$ છે.
આ ઝડપ સ્ત્રોતની ગતિ અથવા અવલોકનકારની ગતિ પર આધારિત નથી.
તેથી,સ્ત્રોત અવલોકનકારથી ગમે તેટલા $v$ વેગથી દૂર જતો હોય,તો પણ અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં પ્રકાશનો સાપેક્ષ વેગ $c$ જ રહે છે.

(A) આપાત અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણની ઊર્જા,$E = 6.2 eV$.
એલ્યુમિનિયમ સપાટીનું વર્ક-ફંક્શન,$\phi = 4.2 eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = E - \phi$
$K_{\max} = 6.2 eV - 4.2 eV = 2.0 eV$.
આ ઊર્જાને જૂલ (Joule) માં ફેરવવા માટે,આપણે $1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$K_{\max} = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 3.2 \times 10^{-19} J$.

(A) વિકિરણની તીવ્રતા $I = 0.5 \ Wm^{-2}$ આપેલ છે.
સંપૂર્ણ શોષક સપાટી માટે,વિકિરણ દબાણ $p$ નું સૂત્ર $p = \frac{I}{c}$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \ ms^{-1})$.
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{0.5}{3 \times 10^8}$
$p = 0.166 \times 10^{-8} \ Nm^{-2}$.

(C) આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $\phi_0 = 1.24 eV$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 4.36 \times 10^{-7} m$.
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $hc \approx 1240 eV \cdot nm = 1240 \times 10^{-9} eV \cdot m$.
$E = \frac{1240 \times 10^{-9} eV \cdot m}{4.36 \times 10^{-7} m} \approx 2.844 eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi_0$.
$K_{max} = 2.844 eV - 1.24 eV = 1.604 eV$.
કારણ કે $K_{max} = eV_0$,તેથી રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 1.604 V \approx 1.60 V$ થાય.

(B) જ્યારે ધાતુની સપાટી પર આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ થ્રેશોલ્ડ (નિર્ણાયક) તરંગલંબાઈ કરતા ઓછી હોય, ત્યારે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $KE_{max} = h\nu - \Phi$, જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$1$. થર્મોનિક ઉત્સર્જન ઊંચા તાપમાને થાય છે, ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન નહીં.
$2$. ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે થાય છે જો આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ (નિર્ણાયક મૂલ્ય) કરતા ઓછી હોય.
$3$. ફોટોઈલેક્ટ્રોનની $KE$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે, કંપવિસ્તાર પર નહીં.
$4$. ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ એ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં હોય છે, આવૃત્તિના નહીં.
તેથી, વિધાન $2$ સાચું છે.

(A) ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda = 4000 \text{ Å} = 4000 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$ આપેલ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $E$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ (પ્રકાશની ગતિ) છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}}$
$E = \frac{19.878 \times 10^{-26}}{4 \times 10^{-7}}$
$E = 4.9695 \times 10^{-19} \text{ J}$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $E \approx 4.95 \times 10^{-19} \text{ J}$ મળે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,તેથી:
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \frac{hc - \lambda\phi}{\lambda}$
$v_{\max}^2 = \frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}$
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}}$