જો ${ }^{12} C_{2 k-1}={ }^{12} C_{k+1}$ હોય,તો $k$ શોધો.

$7$ વ્યંજનો અને $4$ સ્વરોમાંથી,$3$ વ્યંજનો અને $2$ સ્વરો ધરાવતા કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?

$13$ ક્રિકેટ ખેલાડીઓમાંથી $4$ બોલર છે. $11$ ખેલાડીઓની ટીમ એવી રીતે કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય કે જેમાં ઓછામાં ઓછા $2$ બોલર હોય?

એક ટેબલ પર $6$ અલગ-અલગ નવલકથાઓ અને $3$ અલગ-અલગ કવિતાના પુસ્તકો છે. જો $4$ નવલકથાઓ અને $1$ કવિતાનું પુસ્તક પસંદ કરીને એક શેલ્ફ પર એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે કે કવિતાનું પુસ્તક હંમેશા વચ્ચે રહે,તો આવી શક્ય ગોઠવણીઓની સંખ્યા કેટલી છે?

ગણિતની પરીક્ષામાં,સમાન ગુણના $20$ પ્રશ્નો છે. પ્રશ્નપત્રને ત્રણ વિભાગોમાં વહેંચવામાં આવ્યું છે: $A, B$ અને $C$. વિદ્યાર્થીએ કુલ $15$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો લેવાના છે. જો વિભાગ $A$ માં $8$ પ્રશ્નો,વિભાગ $B$ માં $6$ પ્રશ્નો અને વિભાગ $C$ માં $6$ પ્રશ્નો હોય,તો વિદ્યાર્થી $15$ પ્રશ્નો પસંદ કરી શકે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા કેટલી છે?

$6$ વ્યંજનો અને $5$ સ્વરોમાંથી $4$ વ્યંજનો અને $3$ સ્વરો વાળા કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?