AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना $P(k) = \frac{k^5}{5} + \frac{k^3}{3} + \frac{7k}{15}$ जहाँ $k \in N$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$P(k) = \frac{3k^5 + 5k^3 + 7k}{15} = \frac{3k^5 + 5k^3 - 8k + 15k}{15} = \frac{3(k^5 - k) + 5(k^3 - k) + 15k}{15}$
$P(k) = \frac{1}{5}(k^5 - k) + \frac{1}{3}(k^3 - k) + k$
चूँकि $(k^5 - k)$,$5$ से विभाज्य है और $(k^3 - k)$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए यह व्यंजक हमेशा एक पूर्णांक परिणाम देता है।
चूँकि $k \in N$ है,इसलिए यह योग हमेशा एक प्राकृतिक संख्या है।

(B) $10$ से $95$ तक $5$ के गुणज एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जहाँ प्रथम पद $a = 10$,अंतिम पद $l = 95$ और सार्व अंतर $d = 5$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र उपयोग करने पर: $l = a + (n - 1)d$.
मान रखने पर: $95 = 10 + (n - 1)5$.
$85 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 17$.
$n = 18$.
अतः,दी गई सीमा में $5$ के कुल $18$ गुणज हैं।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी $n \ge 10$ के लिए,$n!$ के अंतिम दो अंक $00$ होते हैं।
अतः,$10!, 12!, 13!, 15!, 16!, \text{ और } 17!$ सभी के अंतिम दो अंक $00$ हैं।
इसलिए,दिए गए योग $1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!$ का दहाई का अंक $1! + 4! + 7!$ के दहाई के अंक के समान है।
योग की गणना करने पर: $1! + 4! + 7! = 1 + 24 + 5040 = 5065$।
$5065$ में दहाई का अंक $6$ है।
चूंकि $3! = 6$,इसलिए दहाई का अंक $3!$ से विभाज्य है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है,$\frac{x^2+5x+7}{(x-3)^3} = \frac{A}{(x-3)} + \frac{B}{(x-3)^2} + \frac{C}{(x-3)^3}$
दोनों पक्षों को $(x-3)^3$ से गुणा करने पर:
$x^2+5x+7 = A(x-3)^2 + B(x-3) + C$
मान लीजिए $u = x-3$,तो $x = u+3$ होगा।
समीकरण में $x = u+3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(u+3)^2 + 5(u+3) + 7 = Au^2 + Bu + C$
$(u^2+6u+9) + 5u + 15 + 7 = Au^2 + Bu + C$
$u^2 + 11u + 31 = Au^2 + Bu + C$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 1, B = 11, C = 31$
अब $9A - 3B + C$ का मान ज्ञात करने पर:
$9(1) - 3(11) + 31 = 9 - 33 + 31 = 7$

(B) व्यंजक $\frac{x^2}{(x-a)(x-b)}$ पर विचार करें।
हर का विस्तार करने पर,हमें $\frac{x^2}{x^2 - (a+b)x + ab}$ प्राप्त होता है।
अंश की घात $2$ है और हर की घात भी $2$ है।
एक परिमेय फलन $\frac{P(x)}{Q(x)}$ को अनुचित भिन्न कहा जाता है यदि $P(x)$ की घात $Q(x)$ की घात से बड़ी या उसके बराबर हो।
चूंकि घातें समान हैं,इसलिए दिया गया भिन्न हमेशा एक अनुचित आंशिक भिन्न है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x+1}{(2x-1)(3x+1)}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{3x+1}$
दोनों पक्षों को $(2x-1)(3x+1)$ से गुणा करने पर: $x+1=A(3x+1)+B(2x-1)$
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=\frac{1}{2}$ रखने पर: $\frac{1}{2}+1=A(3(\frac{1}{2})+1)+B(0)$ $\Rightarrow \frac{3}{2}=A(\frac{5}{2})$ $\Rightarrow A=\frac{3}{5}$
$B$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=-\frac{1}{3}$ रखने पर: $-\frac{1}{3}+1=A(0)+B(2(-\frac{1}{3})-1)$ $\Rightarrow \frac{2}{3}=B(-\frac{5}{3})$ $\Rightarrow B=-\frac{2}{5}$
अब,$16A+9B$ की गणना करने पर: $16(\frac{3}{5})+9(-\frac{2}{5}) = \frac{48}{5}-\frac{18}{5} = \frac{30}{5} = 6$
अतः,मान $6$ है।

(D) दिया गया है,$|x^2-x-6|=x+2$.
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है:
स्थिति $1$: $x^2-x-6 = x+2$
$\Rightarrow x^2-2x-8 = 0$
$\Rightarrow (x-4)(x+2) = 0$
$\Rightarrow x = 4, -2$.
स्थिति $2$: $x^2-x-6 = -(x+2)$
$\Rightarrow x^2-x-6 = -x-2$
$\Rightarrow x^2-4 = 0$
$\Rightarrow x^2 = 4$
$\Rightarrow x = 2, -2$.
दोनों स्थितियों के परिणामों को मिलाने पर,मूलों का समुच्चय $\{-2, 2, 4\}$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + ax + c = 0$ है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{a}{a} = -1$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
मूलों का अनुपात $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}$ दिया गया है।
हमें $\sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ ज्ञात करना है।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha \beta}}$.
मान रखने पर:
$\frac{-1}{\sqrt{\frac{c}{a}}} = -\sqrt{\frac{a}{c}}$.
विकल्पों के अनुसार धनात्मक मान लेने पर,उत्तर $\sqrt{\frac{a}{c}}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। यह दिया गया है कि $\alpha+\beta=1$ और $\alpha^2+\beta^2=13$ है।
हम जानते हैं कि $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1^2 = 13 + 2\alpha\beta$।
$1 = 13 + 2\alpha\beta$ $\Rightarrow 2\alpha\beta = -12$ $\Rightarrow \alpha\beta = -6$।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x^2 - (1)x + (-6) = 0 \Rightarrow x^2-x-6=0$।

(C) दिया गया समीकरण $x^2+x+1=0$ है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,हम जानते हैं कि $\alpha$ और $\beta$ इकाई के अवास्तविक घनमूल हैं,अर्थात $\omega$ और $\omega^2$।
अतः,$\alpha^3 = 1$ और $\beta^3 = 1$।
समीकरण से,$\alpha + \beta = -1$ और $\alpha \beta = 1$।
हमें $\alpha^4 + \beta^4$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha^3 = 1$,इसलिए $\alpha^4 = \alpha^3 \cdot \alpha = 1 \cdot \alpha = \alpha$।
इसी प्रकार,$\beta^4 = \beta^3 \cdot \beta = 1 \cdot \beta = \beta$।
इसलिए,$\alpha^4 + \beta^4 = \alpha + \beta$।
$\alpha + \beta$ का मान रखने पर,हमें $\alpha^4 + \beta^4 = -1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
द्विघात समीकरण $ax^2 - 2bx + c = 0$ में मान रखने पर:
$ax^2 - (a + c)x + c = 0$
$ax^2 - ax - cx + c = 0$
$ax(x - 1) - c(x - 1) = 0$
$(x - 1)(ax - c) = 0$
अतः,मूल $x = 1$ और $x = \frac{c}{a}$ हैं।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$.
ध्रुवीय रूप में बदलने पर:
$x = 2 \left( \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} \pm i \sin \frac{\pi}{3} \right)$.
माना $\alpha = 2 e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2 e^{-i\pi/3}$ है।
तब $\alpha^n + \beta^n = (2 e^{i\pi/3})^n + (2 e^{-i\pi/3})^n = 2^n (e^{in\pi/3} + e^{-in\pi/3})$.
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha^n + \beta^n = 2^n (2 \cos \frac{n\pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $(\cos p-1) x^2+(\cos p) x+\sin p=0$.
चूंकि मूल वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $\Delta \geq 0$.
$\Delta = b^2 - 4ac = (\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \geq 0$.
$\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \geq 0$.
द्विघात समीकरण के अस्तित्व के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए: $\cos p - 1 \neq 0 \Rightarrow \cos p \neq 1$.
सभी $p \neq 2n\pi$ के लिए $\cos^2 p \geq 0$ और $(\cos p - 1) < 0$ होने के कारण,$\Delta \geq 0$ की शर्त तब पूरी होती है जब $\sin p > 0$ हो।
अतः,$p \in (0, \pi)$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है.

(B) माना बहुपद $f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
वह समीकरण जिसके मूल $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ हैं,प्राप्त करने के लिए मूल समीकरण $f(x) = 0$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$\left(\frac{1}{x}\right)^3 - 9\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 26\left(\frac{1}{x}\right) - 24 = 0$.
पूरे समीकरण को $-x^3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-1 + 9x - 26x^2 + 24x^3 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $24x^3 - 26x^2 + 9x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $p x^2 + q x + r = 0$ के मूल हैं। चूंकि $p, q, r$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2q = p + r$ है।
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$ से,हमें $\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = 4$ प्राप्त होता है।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha \beta = \frac{r}{p}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{-q/p}{r/p} = -\frac{q}{r} = 4$,जिससे $q = -4r$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + r = 2q$ है,इसलिए $p + r = 2(-4r) = -8r$,जिसका अर्थ है $p = -9r$।
अब,$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{D}}{|p|} = \frac{\sqrt{q^2 - 4pr}}{|p|}$।
$q = -4r$ और $p = -9r$ रखने पर:
$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{(-4r)^2 - 4(-9r)(r)}}{|-9r|} = \frac{\sqrt{16r^2 + 36r^2}}{9|r|} = \frac{\sqrt{52r^2}}{9|r|} = \frac{2|r|\sqrt{13}}{9|r|} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है कि $f(z) = z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8$ का एक मूल $2i$ है। चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका सम्मिश्र संयुग्मी $-2i$ भी एक मूल होगा।
अतः,$(z - 2i)(z + 2i) = (z^2 + 4)$,$f(z)$ का एक गुणनखंड है।
$f(z)$ को $(z^2 + 4)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(z) = (z^2 + 4)(z^2 + z - 2)$.
द्विघात पद का गुणनखंड करने पर:
$z^2 + z - 2 = (z + 2)(z - 1)$.
इस प्रकार,$f(z) = 0$ के मूल $2i, -2i, -2$ और $1$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$2$,$f(z) = 0$ का मूल नहीं है।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+p x+q=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = -p$ और $\alpha \beta = q$ है।
$\alpha^3+\beta^3$ के लिए:
$\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha \beta+\beta^2) = (\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3 \alpha \beta] = (-p)[(-p)^2-3 q] = -p(p^2-3 q) = 3 p q-p^3$.
$\alpha^4+\alpha^2 \beta^2+\beta^4$ के लिए:
$\alpha^4+\alpha^2 \beta^2+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - \alpha^2 \beta^2 = [(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta]^2 - (\alpha \beta)^2 = [(-p)^2-2 q]^2 - q^2 = (p^2-2 q)^2 - q^2$.
सर्वसमिका $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,$(p^2-2 q-q)(p^2-2 q+q) = (p^2-3 q)(p^2-q)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^2-5|x|+6=0$
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$|x|^2-5|x|+6=0$
माना $|x| = t$,तो समीकरण $t^2-5t+6=0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t-3)(t-2)=0$
अतः,$|x|=3$ या $|x|=2$
यदि $|x|=3$,तो $x = 3$ या $x = -3$
यदि $|x|=2$,तो $x = 2$ या $x = -2$
इस प्रकार,हल $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$ हैं।
अतः,कुल $4$ हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण $x^4+3x^3-6x^2+2x-4=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ और $\frac{1}{\delta}$ मूलों वाला समीकरण प्राप्त करने के लिए,मूल समीकरण में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{1}{x})^4 + 3(\frac{1}{x})^3 - 6(\frac{1}{x})^2 + 2(\frac{1}{x}) - 4 = 0$
पूरे समीकरण को $x^4$ से गुणा करने पर:
$1 + 3x - 6x^2 + 2x^3 - 4x^4 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$-4x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 3x - 1 = 0$

(B) दिया गया समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
माना $y = x^2$,तो $x = \sqrt{y}$।
मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\sqrt{y})^3 - 6(\sqrt{y})^2 + 11\sqrt{y} - 6 = 0$।
$y\sqrt{y} - 6y + 11\sqrt{y} - 6 = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{y}(y+11) = 6(y+1)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y(y+11)^2 = 36(y+1)^2$।
$y(y^2 + 22y + 121) = 36(y^2 + 2y + 1)$।
$y^3 + 22y^2 + 121y = 36y^2 + 72y + 36$।
$y^3 - 14y^2 + 49y - 36 = 0$।
$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $x^3-14x^2+49x-36=0$ है।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $3x^3 - 9x^2 + 5x - 7 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = -9$,$c = 5$ और $d = -7$ प्राप्त होता है।
त्रिघात समीकरण के लिए मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ होता है।
मान रखने पर,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{-9}{3} = \frac{9}{3} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma$ का मान $3$ है।

(A) माना मूल $a-d, a, a+d$ हैं।
चूँकि मूल $AP$ में हैं,उनका योग $x^2$ के गुणांक द्वारा दिया जाता है:
$(a-d) + a + (a+d) = p$
$3a = p \implies a = \frac{p}{3}$।
चूँकि $a$,समीकरण $x^3-p x^2+q x-r=0$ का एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(\frac{p}{3})^3 - p(\frac{p}{3})^2 + q(\frac{p}{3}) - r = 0$
$\frac{p^3}{27} - \frac{p^3}{9} + \frac{pq}{3} - r = 0$
पूरे समीकरण को $27$ से गुणा करने पर:
$p^3 - 3p^3 + 9pq - 27r = 0$
$-2p^3 + 9pq - 27r = 0$
$2p^3 - 9pq + 27r = 0$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + 5x + k = 0$ है।
द्विघात समीकरण के मूल परिमेय होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
यहाँ,$a = 2$,$b = 5$,और $c = k$ है।
$D = (5)^2 - 4(2)(k) = 25 - 8k$.
$D$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
यदि $k = \frac{25}{8}$ है,तो $D = 25 - 8(\frac{25}{8}) = 25 - 25 = 0$.
चूँकि $0$ एक पूर्ण वर्ग है $(0^2 = 0)$,इसलिए मूल परिमेय हैं।
अतः,$k = \frac{25}{8}$ सही मान है।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $\frac{p}{r}, p, pr$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1) \frac{p}{r} + p + pr = a \Rightarrow p(\frac{1}{r} + 1 + r) = a$
$2) \frac{p}{r} \cdot p + p \cdot pr + pr \cdot \frac{p}{r} = b \Rightarrow p^2(\frac{1}{r} + r + 1) = b$
$3) \frac{p}{r} \cdot p \cdot pr = p^3 = c$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{p^2(\frac{1}{r} + r + 1)}{p(\frac{1}{r} + r + 1)} = \frac{b}{a} \Rightarrow p = \frac{b}{a}$
$p = \frac{b}{a}$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$(\frac{b}{a})^3 = c \Rightarrow \frac{b^3}{a^3} = c$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(A) दिया गया समीकरण $f(x)=x^4+2x^3-16x^2-22x+7=0$ है।
चूंकि गुणांक परिमेय हैं,यदि $2+\sqrt{3}$ एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $2-\sqrt{3}$ भी एक मूल होगा।
माना चार मूल $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, \alpha, \beta$ हैं।
मूलों का योग: $(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})+\alpha+\beta = -2 \implies 4+\alpha+\beta = -2 \implies \alpha+\beta = -6$.
मूलों का गुणनफल: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \alpha \beta = 7 \implies (4-3) \alpha \beta = 7 \implies \alpha \beta = 7$.
$\alpha$ और $\beta$ के लिए द्विघात समीकरण: $t^2+6t+7=0$ है।
हल करने पर: $t = -3 \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, -3+\sqrt{2}, -3-\sqrt{2}$ हैं।
विकल्पों की तुलना करने पर,$3-\sqrt{2}$ मूल नहीं है।

(B) माना दिए गए समीकरण $f(x) = x^3+x^2-2x-2=0$ और $g(x) = x^3-x^2-2x+2=0$ हैं।
$f(x)$ का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x+1) - 2(x+1) = 0 \Rightarrow (x^2-2)(x+1) = 0$।
मूल $x = -1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ हैं।
$g(x)$ का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x-1) - 2(x-1) = 0 \Rightarrow (x^2-2)(x-1) = 0$।
मूल $x = 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ हैं।
उभयनिष्ठ मूल $x = \sqrt{2}$ और $x = -\sqrt{2}$ हैं।
अतः,उभयनिष्ठ मूलों की संख्या $2$ है।

(C) मान लीजिए $\alpha$ दिए गए समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल है:
$\alpha^2 - 8\alpha + 7 = 0$ $(i)$
$\alpha^2 - 2a\alpha + 49 = 0$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$(\alpha^2 - 8\alpha + 7) - (\alpha^2 - 2a\alpha + 49) = 0$
$(2a - 8)\alpha - 42 = 0$
$2(a - 4)\alpha = 42$
$\alpha = \frac{21}{a - 4}$
$\alpha$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$(\frac{21}{a - 4})^2 - 8(\frac{21}{a - 4}) + 7 = 0$
$(a - 4)^2$ से गुणा करने पर:
$441 - 168(a - 4) + 7(a - 4)^2 = 0$
$441 - 168a + 672 + 7(a^2 - 8a + 16) = 0$
$7a^2 - 224a + 1225 = 0$
$7$ से भाग देने पर:
$a^2 - 32a + 175 = 0$
$(a - 7)(a - 25) = 0$
अतः,$a = 7$ या $a = 25$ है।
$a$ के $2$ संभावित मान हैं।

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $2ax^2 - 3bx + 4c = 0$ और $3x^2 - 4x + 5 = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$2a\alpha^2 - 3b\alpha + 4c = 0$ और $3\alpha^2 - 4\alpha + 5 = 0$.
गुणांकों के अनुपात की तुलना करने पर,$\frac{2a}{3} = \frac{-3b}{-4} = \frac{4c}{5} = k$.
इससे $2a = 3k$,$3b = 4k$,और $4c = 5k$ प्राप्त होता है।
अतः $a = \frac{3k}{2}$,$b = \frac{4k}{3}$,और $c = \frac{5k}{4}$.
अब,$\frac{a+b}{b+c} = \frac{\frac{3k}{2} + \frac{4k}{3}}{\frac{4k}{3} + \frac{5k}{4}} = \frac{\frac{17k}{6}}{\frac{31k}{12}} = \frac{34}{31}$.

(B) दी गई असमिका: $(8-t)^2 < t^2-3t-10$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $64-16t+t^2 < t^2-3t-10$
दोनों पक्षों से $t^2$ घटाने पर: $64-16t < -3t-10$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $64+10 < 16t-3t$
$74 < 13t$
$t > \frac{74}{13}$
अतः,हल समुच्चय $t \in (\frac{74}{13}, \infty)$ है।

(B) एक परिमेय व्यंजक $\frac{P(x)}{Q(x)}$ को अनुचित भिन्न कहा जाता है यदि अंश $P(x)$ की घात हर $Q(x)$ की घात से बड़ी या उसके बराबर हो।
यहाँ,अंश $x^4$ की घात $4$ है और हर $x^3-3x+2$ की घात $3$ है।
चूंकि $4 \geq 3$,इसलिए यह व्यंजक एक अनुचित भिन्न है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{x+1}-|\sqrt{x-1}|=\sqrt{4x-1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
सरल करने पर $x = \frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) परिमेय गुणांकों वाले बहुपद $f(x)$ के लिए,यदि $a + \sqrt{b}$ के रूप की कोई अपरिमेय संख्या एक मूल है,तो उसका संयुग्मी $a - \sqrt{b}$ भी एक मूल होना चाहिए।
चूंकि सभी मूल अपरिमेय हैं और संयुग्मी जोड़ों में आते हैं,इसलिए मूलों की कुल संख्या सम होनी चाहिए।
अतः,$f(x)$ की घात एक सम संख्या होनी चाहिए।

(A) दिया गया समीकरण $x^3-3x^2+3x-9=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$x^2(x-3) + 3(x-3) = 0$.
$(x-3)(x^2+3) = 0$.
अतः,एक मूल $x = 3$ है।
अन्य मूलों के लिए,$x^2+3=0$ को हल करने पर,$x^2 = -3$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\omega^2+\omega+1=0$,इसलिए $\omega^2+\omega = -1$।
$x = 1+2\omega$ की जाँच करने पर: $(1+2\omega)^2 + 3 = 1 + 4\omega + 4\omega^2 + 3 = 4(1+\omega+\omega^2) = 0$।
इसी प्रकार,$x = 1+2\omega^2$ भी समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,मूल $3, 1+2\omega$ और $1+2\omega^2$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1} = A + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$
दोनों पक्षों को $(x+1)^2$ से गुणा करने पर:
$x^2+x+1 = A(x+1)^2 + B(x+1) + C$
$x^2+x+1 = A(x^2+2x+1) + Bx + B + C$
$x^2+x+1 = Ax^2 + (2A+B)x + (A+B+C)$
$x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 1$
$2A+B = 1$ $\Rightarrow 2(1)+B = 1$ $\Rightarrow B = -1$
$A+B+C = 1$ $\Rightarrow 1-1+C = 1$ $\Rightarrow C = 1$
अब,$A-B$ का मान ज्ञात करने पर:
$A-B = 1 - (-1) = 2$
चूँकि $C = 1$,इसलिए $2 = 2C$।
अतः,$A-B = 2C$।

(C) दिया गया समीकरण $x^3-x^2-x-2=0$ है।
$x=2$ रखने पर,$8-4-2-2=0$ प्राप्त होता है,अतः $(x-2)$ एक गुणनखंड है।
$(x-2)$ से विभाजित करने पर,$(x-2)(x^2+x+1)=0$ प्राप्त होता है।
अवास्तविक मूल $\alpha$ और $\beta$,$x^2+x+1=0$ के मूल हैं।
ये इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega^3=1$ और $1+\omega+\omega^2=0$ है।
हमें $\alpha^{2020}+\beta^{2020}+\alpha^{2020} \cdot \beta^{2020}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha=\omega$ और $\beta=\omega^2$ होने पर,$\alpha^{2020}=\omega^{2020}=\omega$ और $\beta^{2020}=\omega^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^{2020}+\beta^{2020}+\alpha^{2020} \cdot \beta^{2020} = \omega + \omega^2 + \omega^3 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$।
विकल्पों को देखने पर,$1+\alpha+\beta = 1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।

(B) मान लीजिए कि $\alpha$ समीकरण $x^3-x^2+x-4=0$ का एक मूल है।
वह समीकरण ज्ञात करने के लिए जिसके मूल दिए गए समीकरण के मूलों के ऋणात्मक हैं,हम $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
मूल समीकरण में $x$ के स्थान पर $-x$ रखने पर:
$(-x)^3 - (-x)^2 + (-x) - 4 = 0$
$-x^3 - x^2 - x - 4 = 0$
पूरे समीकरण को $-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^3 + x^2 + x + 4 = 0$
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3 + x^2 + x + 4 = 0$ है।

(C) मान लीजिए $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + r(x)$.
चूँकि भाजक $2$ घात का है,शेषफल $r(x)$ की घात अधिकतम $1$ होगी। मान लीजिए $r(x) = \alpha x + \beta$.
अतः $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + \alpha x + \beta$.
$x = a$ और $x = b$ रखने पर:
$f(a) = \alpha a + \beta$ $(i)$
$f(b) = \alpha b + \beta$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$f(a) - f(b) = \alpha(a - b) \implies \alpha = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
$\alpha$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$\beta = f(a) - \alpha a = \frac{b f(a) - a f(b)}{b - a}$.
इस प्रकार,$r(x) = \alpha x + \beta = \frac{(x - a) f(b) - (x - b) f(a)}{b - a}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) भागफल ज्ञात करने के लिए,हम $x^3-5x^2+2x+7$ को $(x-1)$ से बहुपद विभाजन करते हैं:
$1$. पहले पद $x^3$ को $x$ से विभाजित करने पर $x^2$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^2$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $x^3-x^2$ प्राप्त होता है। इसे मूल बहुपद से घटाने पर $-4x^2+2x+7$ प्राप्त होता है।
$3$. $-4x^2$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4x$ प्राप्त होता है।
$4$. $-4x$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $-4x^2+4x$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान शेषफल से घटाने पर $-2x+7$ प्राप्त होता है।
$5$. $-2x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-2$ प्राप्त होता है।
$6$. $-2$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $-2x+2$ प्राप्त होता है। इसे $-2x+7$ से घटाने पर शेषफल $5$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^2-4x-2$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) $f(x) = x^3 - 11x^2 + 36x - 36 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद का गुणनखंड करते हैं:
$x^3 - 2x^2 - 9x^2 + 18x + 18x - 36 = 0$
$x^2(x - 2) - 9x(x - 2) + 18(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x^2 - 9x + 18) = 0$
$(x - 2)(x - 3)(x - 6) = 0$
अतः मूल $x = 2, 3, 6$ हैं।
इसलिए,$x = 4$ दिए गए बहुपद का मूल नहीं है।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-2x^2+3x-4=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = 4$
हमें $\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = \alpha\beta(\alpha+\beta) + \beta\gamma(\beta+\gamma) + \gamma\alpha(\gamma+\alpha)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = 2$,इसलिए $\alpha+\beta = 2-\gamma$,$\beta+\gamma = 2-\alpha$,और $\gamma+\alpha = 2-\beta$ है।
मान रखने पर:
$\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = \alpha\beta(2-\gamma) + \beta\gamma(2-\alpha) + \gamma\alpha(2-\beta)$
$= 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3(\alpha\beta\gamma)$
$= 2(3) - 3(4)$
$= 6 - 12 = -6$.

(A) माना $P(x) = x^4-11x^3+44x^2-76x+48$ और $D(x) = x^2-7x+12$ है।
सबसे पहले,भाजक का गुणनखंड करें: $D(x) = (x-3)(x-4)$।
विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$,जहाँ $R(x) = ax+b$ शेषफल है।
अतः,$P(x) = (x-3)(x-4)Q(x) + ax+b$।
$x=3$ के लिए: $P(3) = 3^4 - 11(3^3) + 44(3^2) - 76(3) + 48 = 0$।
अतः,$3a+b = 0$।
$x=4$ के लिए: $P(4) = 4^4 - 11(4^3) + 44(4^2) - 76(4) + 48 = 0$।
अतः,$4a+b = 0$।
समीकरणों $3a+b=0$ और $4a+b=0$ को हल करने पर $a=0$ और $b=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,शेषफल $0$ है।

(B) माना $z_1 = -i+\sqrt{3}$ और $z_2 = -i-\sqrt{3}$ है।
हम $z_1 = -i(1+i\sqrt{3})$ और $z_2 = i(1-i\sqrt{3})$ लिख सकते हैं।
वैकल्पिक रूप से,$z_1 = -2i(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2i e^{i\pi/3}$ पर ध्यान दें।
$z_1^{300} = (-2i)^{300} (e^{i\pi/3})^{300} = 2^{300} (i)^{300} e^{i100\pi} = 2^{300} (1) (1) = 2^{300}$।
इसी प्रकार,$z_2 = -2i(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2i e^{-i\pi/3}$ है।
$z_2^{300} = (-2i)^{300} (e^{-i\pi/3})^{300} = 2^{300} (i)^{300} e^{-i100\pi} = 2^{300} (1) (1) = 2^{300}$।
अतः,$z_1^{300} + z_2^{300} = 2^{300} + 2^{300} = 2 \times 2^{300} = 2^{301}$।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=1$ है।
सबसे पहले,$\frac{1+i}{1-i}$ को सरल करने पर:
$\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1-(-1)} = \frac{2i}{2} = i$.
अतः,समीकरण $i^n = 1$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $i^n = 1$ तभी होता है जब $n$,$4$ का गुणज हो।
हमें $1 \leq n \leq 2021$ के बीच $4$ के गुणजों की संख्या ज्ञात करनी है।
गुणज $4, 8, 12, \ldots, 2020$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 4$,$d = 4$,और $l = 2020$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$2020 = 4 + (n-1)4$ $\Rightarrow 2016 = (n-1)4$ $\Rightarrow n-1 = 504$ $\Rightarrow n = 505$.
अतः,ऐसी $505$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

(D) दिया गया है $2 \alpha = -1 - i \sqrt{3}$ और $2 \beta = -1 + i \sqrt{3}$।
यहाँ $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अतः,$\alpha + \beta = -1$ और $\alpha \beta = 1$ है।
हमें $5 \alpha^4 + 5 \beta^4 + \frac{7}{\alpha \beta}$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\alpha^3 = 1$ और $\beta^3 = 1$,इसलिए $\alpha^4 = \alpha$ और $\beta^4 = \beta$ होगा।
अतः,$5 \alpha^4 + 5 \beta^4 + \frac{7}{\alpha \beta} = 5(\alpha + \beta) + 7 = 5(-1) + 7 = 2$।

(D) दिया है,$a+bi = \frac{i}{1-i}$
हर के संयुग्मी $(1+i)$ से अंश और हर को गुणा करने पर:
$a+bi = \frac{i(1+i)}{(1-i)(1+i)}$
$a+bi = \frac{i+i^2}{1^2-i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$:
$a+bi = \frac{i-1}{1-(-1)} = \frac{-1+i}{2}$
$a+bi = \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $a = \frac{-1}{2}$ और $b = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है
अतः,$(a, b) = (\frac{-1}{2}, \frac{1}{2})$

(C) माना $y = \frac{x^2+34x-71}{x^2+2x-7}$.
तब,$x^2+34x-71 = y(x^2+2x-7)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2(y-1) + x(2y-34) + (71-7y) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ एक सम्मिश्र संख्या है,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए।
$D = (2y-34)^2 - 4(y-1)(71-7y) \leq 0$.
इसका विस्तार करने पर,$4(y-17)^2 - 4(-7y^2 + 78y - 71) \leq 0$.
$4$ से भाग देने पर,$(y^2 - 34y + 289) + 7y^2 - 78y + 71 \leq 0$.
$8y^2 - 112y + 360 \leq 0$.
$8$ से भाग देने पर,$y^2 - 14y + 45 \leq 0$.
गुणनखंड करने पर,$(y-5)(y-9) \leq 0$.
अतः,$5 \leq y \leq 9$.
इसलिए,$a=5$ और $b=9$ प्राप्त होता है।

(C) दिया है,$z = x+iy = \frac{(3+2i)(4-7i)(12+13i)}{(13-12i)(2-3i)(11+3i)}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z| = |x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$.
गुणधर्म $|\frac{z_1 z_2 z_3}{z_4 z_5 z_6}| = \frac{|z_1| |z_2| |z_3|}{|z_4| |z_5| |z_6|}$ का उपयोग करने पर:
$|z| = \frac{|3+2i| \cdot |4-7i| \cdot |12+13i|}{|13-12i| \cdot |2-3i| \cdot |11+3i|}$.
यहाँ $|3+2i| = |2-3i| = \sqrt{13}$ और $|12+13i| = |13-12i| = \sqrt{313}$ है।
अतः,$|z| = \frac{\sqrt{13} \cdot |4-7i| \cdot \sqrt{313}}{\sqrt{313} \cdot \sqrt{13} \cdot |11+3i|} = \frac{|4-7i|}{|11+3i|}$.
$|z| = \frac{\sqrt{4^2+(-7)^2}}{\sqrt{11^2+3^2}} = \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{130}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $x^2+y^2 = \frac{1}{2}$.

(C) चूँकि बिंदु $\alpha$ वृत्त $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2$ पर स्थित है,इसलिए $|\alpha-z_0|^2=r^2$,जहाँ $z_0=x_0+iy_0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\alpha|^2+|z_0|^2-(\alpha\bar{z}_0+\bar{\alpha}z_0)=r^2 \quad \ldots (i)$
चूँकि $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ वृत्त $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=4r^2$ पर स्थित है,इसलिए $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{|\alpha|^2}+|z_0|^2-(\frac{\alpha\bar{z}_0}{|\alpha|^2}+\frac{\bar{\alpha}z_0}{|\alpha|^2})=4r^2$।
$|\alpha|^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $1+|z_0|^2|\alpha|^2-(\alpha\bar{z}_0+\bar{\alpha}z_0)=4r^2|\alpha|^2 \quad \ldots (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $(|\alpha|^2-1)|z_0|^2 - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$।
$(|\alpha|^2-1)(|z_0|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$।
दिया गया है कि $2|z_0|^2=r^2+2$,इसलिए $|z_0|^2-1 = \frac{r^2}{2}$ है।
यह मान रखने पर,$(|\alpha|^2-1)\frac{r^2}{2} = r^2(4|\alpha|^2-1)$।
$r^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{|\alpha|^2-1}{2} = 4|\alpha|^2-1$।
$|\alpha|^2-1 = 8|\alpha|^2-2$।
$7|\alpha|^2=1 \Rightarrow |\alpha|=\frac{1}{\sqrt{7}}$।

(C) दिया गया समीकरण $\bar{z}z^3+z(\bar{z})^3=700$ है।
चूंकि $z=x+iy$,इसलिए $\bar{z}=x-iy$ और $z\bar{z}=x^2+y^2$ है।
समीकरण को $\bar{z}z(z^2+(\bar{z})^2)=700$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर,$(x^2+y^2)(2(x^2-y^2))=700$ प्राप्त होता है।
अतः $(x^2+y^2)(x^2-y^2)=350$।
$x^2+y^2=25$ और $x^2-y^2=7$ लेने पर,$2x^2=32$ $\Rightarrow x^2=16$ $\Rightarrow x=\pm 4$ और $2y^2=18$ $\Rightarrow y^2=9$ $\Rightarrow y=\pm 3$।
शीर्ष $(\pm 4, \pm 3)$ हैं।
आयत की लंबाई $8$ और चौड़ाई $6$ है।
क्षेत्रफल $= 8 \times 6 = 48$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया है कि $2+4i$,$x^2+bx+c=0$ समीकरण का एक मूल है,जहाँ $b, c \in R$ है। चूँकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। अतः,दूसरा मूल $2-4i$ होगा।
मूलों का योग $= -b = (2+4i) + (2-4i) = 4$. अतः,$b = -4$.
मूलों का गुणनफल $= c = (2+4i)(2-4i) = 2^2 - (4i)^2 = 4 + 16 = 20$. अतः,$c = 20$.
इसलिए,$(b, c) = (-4, 20)$.
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) दिया गया व्यंजक $x = e^{(y+e)^{(y+e)^{(y+\ldots \infty)}}}$,है,हम देख सकते हैं कि घातांक पहले $(y+e)$ से शुरू होने वाली एक पुनरावर्ती संरचना है।
चूंकि पूरा व्यंजक $x$ के बराबर है,हम समीकरण को $x = e^{y+x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $\ln(x) = y + x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{d}{dx}(y + x)$
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} + 1$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{x}$.

(B) माना शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\vec{d} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$।
$L$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,अतः $\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$।
$M$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,अतः $\vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{c} + (\vec{a} + \vec{c} - \vec{b})}{2} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b}}{2}$।
अब,$\vec{AL} = \vec{l} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$।
और $\vec{AM} = \vec{m} - \vec{a} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b}}{2} - \vec{a} = \frac{2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2}$।
इनका योग करने पर,$\vec{AL} + \vec{AM} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2} = \frac{3\vec{c} - 3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{3}{2} \vec{AC}$।
अतः,$AL + AM = \frac{3}{2} AC$।

(B) माना $f(x) = x^5 - 5x^3 + 5x^2 - 1$.
समान मूल ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ और इसके अवकलज $f'(x) = 5x^4 - 15x^2 + 10x$ के बीच उभयनिष्ठ मूलों की जाँच करते हैं।
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$5x(x^3 - 3x + 2) = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x=1$,$f'(x)$ का एक मूल है क्योंकि $1-3+2=0$.
$f(1) = 1 - 5 + 5 - 1 = 0$ की जाँच करने पर।
चूँकि $f(1) = 0$ और $f'(1) = 0$,$x=1$ एक पुनरावृत्त मूल है।
$f(x)$ को $(x-1)^2$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = (x-1)^2(x^3 + 2x^2 - 2x - 1)$.
$g(x) = x^3 + 2x^2 - 2x - 1$ के अवकलज की जाँच करने पर:
$g'(x) = 3x^2 + 4x - 2$.
$g(1) = 1 + 2 - 2 - 1 = 0$.
चूँकि $g(1) = 0$ और $g'(1) = 3+4-2 = 5 \neq 0$,$x=1$ तीन की घात वाला मूल है।
अतः,समीकरण के $3$ समान मूल हैं।

(B) दिया गया है,$f^{\prime}(x)=a \sin x+b \cos x$ और $f^{\prime}(0)=4$.
अवकलज में $x=0$ रखने पर: $f^{\prime}(0)=a \sin(0)+b \cos(0) = b = 4$.
अब,$f(x)$ ज्ञात करने के लिए $f^{\prime}(x)$ का समाकलन करने पर:
$f(x) = \int (a \sin x + 4 \cos x) dx = -a \cos x + 4 \sin x + C$.
$f(0)=3$ का उपयोग करने पर: $f(0) = -a \cos(0) + 4 \sin(0) + C = -a + C = 3 \Rightarrow C = a+3$.
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=5$ का उपयोग करने पर: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 0 + 4(1) + C = 4+C = 5 \Rightarrow C = 1$.
$C=1$ को $C=a+3$ में रखने पर: $1 = a+3 \Rightarrow a = -2$.
अतः,$f(x) = -(-2) \cos x + 4 \sin x + 1 = 2 \cos x + 4 \sin x + 1$.

(A) माना $I = \int \frac{3^x}{\sqrt{1-9^x}} d x$.
हर को $9^x = (3^x)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए $I = \int \frac{3^x}{\sqrt{1-(3^x)^2}} d x$.
$t = 3^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $dt = 3^x \log 3 \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3^x \, dx = \frac{1}{\log 3} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{1}{\log 3} dt$.
चूंकि $\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \sin^{-1}(t) + c$,इसलिए $I = \frac{1}{\log 3} \sin^{-1}(t) + c$.
अंत में,$t = 3^x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{\log 3} \sin^{-1}(3^x) + c$ या $\sin^{-1}(3^x) \cdot (\log 3)^{-1} + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)+f(y)$,जिसका हल $f(x)=cx$ के रूप में होता है।
$f(1)=7$ दिया गया है,इसलिए $c(1)=7$,जिससे $c=7$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)=7x$.
हमें $\sum_{t=1}^{39} f(t) = \sum_{t=1}^{39} 7t$ की गणना करनी है।
यह $7 \times \sum_{t=1}^{39} t$ के बराबर है।
योग सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{t=1}^{39} t = \frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$.
इसलिए,$\sum_{t=1}^{39} f(t) = 7 \times 780 = 5460$.

(C) $a = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$.
$b = 1 + 3 + 9 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{3^n - 1}{2} \Rightarrow 2b = 3^n - 1$.
$c = 1 + 5 + 25 + \cdots + 5^{n-1} = \frac{5^n - 1}{4} \Rightarrow 4c = 5^n - 1$.
सारणिक में मान रखने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2^n - 1 & 3^n - 1 & 5^n - 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right|$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके पहली पंक्ति को अलग करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2^n & 3^n & 5^n \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right| - \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right|$.
पहले सारणिक में पंक्ति $1$ और पंक्ति $3$ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में पंक्ति $2$,पंक्ति $1$ का $2$ गुना है,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 0 - 0 = 0$.

(C) माना $P = (x, y, z)$ है। दिया गया है $A = (2, 3, 4)$ और $B = (-2, 3, 4)$।
$PA + PB = 4$। चूँकि दूरी $AB = \sqrt{(-2-2)^2 + (3-3)^2 + (4-4)^2} = 4$ है,इसलिए $PA + PB = AB$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित है।
रेखाखंड $AB$ पर किसी भी बिंदु के लिए,$y=3$ और $z=4$ होता है।
अतः,बिंदुपथ $(y-3)^2 + (z-4)^2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $y^2+z^2-6y-8z+25=0$ है।

(B) मान लीजिए कि आयत की आसन्न भुजाओं की लंबाई $x \ cm$ और $y \ cm$ है।
आयत की परिधि $p = 2(x + y)$ है,जिसका अर्थ है $y = \frac{p}{2} - x$।
आयत का क्षेत्रफल $A = x y$ है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = x(\frac{p}{2} - x) = \frac{px}{2} - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dA}{dx} = \frac{p}{2} - 2x = 0$।
इससे $x = \frac{p}{4} \ cm$ प्राप्त होता है।
परिणामस्वरूप,$y = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{p}{4} \ cm$।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $A = \frac{p}{4} \times \frac{p}{4} = \frac{p^2}{16} \ cm^2$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है कि चतुर्भुज $ABCD$ के लिए,$AB=a$,$BC=b$,$AD=b-a$ है।
चूंकि $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BM = \frac{b}{2}$ है।
$DM$ पर बिंदु $N$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर जहाँ $DN = \frac{4}{5} DM$ है,हमें $DN:NM = 4:1$ प्राप्त होता है।
सदिश निरूपण का उपयोग करने पर,$N$ का स्थिति सदिश $\vec{N} = \frac{1 \cdot \vec{D} + 4 \cdot \vec{M}}{5}$ है।
$5$ से गुणा करने पर,$5\vec{N} = \vec{D} + 4\vec{M}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{M} = \vec{B} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{B} + \frac{b}{2}$ और $\vec{D} = \vec{A} + (b-a)$ है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।
$5\vec{AN} = 4\vec{AM} + \vec{AD} = 4(a + \frac{b}{2}) + (b-a) = 4a + 2b + b - a = 3(a+b) = 3AC$ है।
अतः,$5 AN = 3 AC$।

(A) माना शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
माना $P, Q, R, S$ भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य बिंदु हैं।
तब $P = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$,$Q = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$,$R = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$,$S = \frac{\vec{d}+\vec{a}}{2}$ है।
$PR$ का मध्य बिंदु $\frac{P+R}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ है।
$SQ$ का मध्य बिंदु $\frac{S+Q}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ है।
चूंकि दोनों मध्य बिंदु समान हैं,अतः यह बिंदु $E$ है।
अतः $E$ का स्थिति सदिश $\vec{e} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ है।
इससे $4\vec{e} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}$ प्राप्त होता है।
किसी भी बिंदु $O$ के लिए,$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 4\vec{OE}$ प्राप्त होता है।
अतः $x = 4$।

(C) बिंदुओं $(k, 3, 4)$ और $(4, 7, 8)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(4-k, 4, 4)$ हैं।
बिंदुओं $(-1, -2, 1)$ और $(1, 2, l)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(2, 4, l-1)$ हैं।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होंगे:
$\frac{4-k}{2} = \frac{4}{4} = \frac{4}{l-1}$.
$\frac{4-k}{2} = 1$ से,हमें $4-k = 2$ प्राप्त होता है,अतः $k = 2$.
$1 = \frac{4}{l-1}$ से,हमें $l-1 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $l = 5$.
इसलिए,$k + l = 2 + 5 = 7$.

(A) बिंदुओं $B(4, 7, 1)$ और $C(3, 5, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-1}{2} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $P(-\lambda+4, -2\lambda+7, 2\lambda+1)$ है।
चूंकि $AP$ रेखा पर लंब है,इसलिए $\vec{AP} \cdot \vec{v} = 0$,जहाँ $\vec{v} = (-1, -2, 2)$ है।
हल करने पर $\lambda = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $P$ के निर्देशांक $\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3}\right)$ हैं।

(C) दिए गए बिंदु $A(2, 3, 4)$ और $B(-2, 3, 4)$ हैं।
दूरी $AB = 4$ है।
चूँकि $PA + PB = 4$ और $AB = 4$ है,इसलिए बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित है।
अतः,$y = 3$ और $z = 4$ होगा।
इससे $(y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $y^2 + z^2 - 6y - 8z + 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2=16ax$ है और रेखा का समीकरण $y=4mx$ है।
रेखा के समीकरण $y=4mx$ में $x = \frac{y^2}{16a}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = 4m(\frac{y^2}{16a}) = \frac{my^2}{4a}$ प्राप्त होता है।
इससे $y^2 = \frac{4ay}{m}$ प्राप्त होता है,अतः $y(y - \frac{4a}{m}) = 0$। इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $y=0$ और $y=\frac{4a}{m}$ हैं।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल निम्न है:
$\int_0^{\frac{4a}{m}} (\frac{y}{4m} - \frac{y^2}{16a}) dy = \frac{a^2}{12}$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$[\frac{y^2}{8m} - \frac{y^3}{48a}]_0^{\frac{4a}{m}} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{(4a/m)^2}{8m} - \frac{(4a/m)^3}{48a} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{16a^2}{8m^3} - \frac{64a^3}{48am^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2a^2}{m^3} - \frac{4a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{6a^2 - 4a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2}{3m^3} = \frac{1}{12}$
$m^3 = \frac{2 \times 12}{3} = 8$
$m = 2$
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) हम जानते हैं कि द्विपद बंटन का माध्य $\mu = np = 9$ है।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq} = \frac{3}{2}$ है।
मानक विचलन का वर्ग करने पर,$npq = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
$np = 9$ को $npq = \frac{9}{4}$ में रखने पर,$9q = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{4}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
अब,$np = 9 \implies n \times \frac{3}{4} = 9 \implies n = 12$।
अतः,द्विपद बंटन $(p + q)^n = \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)^{12}$ है।

(C) दिया गया है,$a=3, b=4$ और $A=\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
दी गई जानकारी से,$\sin A = \frac{3}{4}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{3}{3/4} = \frac{4}{\sin B}$.
$\Rightarrow 4 = \frac{4}{\sin B}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
अतः,$B = \sin^{-1}(1) = 90^{\circ}$.

(C) त्रिभुज $ABC$ में,मान लीजिए शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
दिया गया है $\vec{u} = \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ और $\vec{v} = \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ है।
अतः,$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} - \vec{a} + \vec{c} - \vec{a}}{2} = \frac{\vec{u} + \vec{v}}{2}$।

(C) आव्यूह $A$ का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) & (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (-\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) & (-\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
चूंकि $A^2 = O$ (शून्य आव्यूह),इसलिए आव्यूह $A$ एक शून्यंभावी (nilpotent) आव्यूह है।

(A) दिया गया है कि $P^{2006} = O$ और $PQ = P + Q$.
समीकरण $PQ = P + Q$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $PQ - P - Q = O$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $I$ जोड़ने पर,$(P - I)(Q - I) = I$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $(P - I)$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
चूंकि $P^{2006} = O$,$P$ एक शून्यंभावी (nilpotent) आव्यूह है,इसलिए इसके सभी आइगेन मान $0$ हैं।
अतः,$\det(P) = 0$ है।
समीकरण $PQ = P + Q$ से,हम $Q(P - I) = P$ या $Q = P(P - I)^{-1}$ लिख सकते हैं।
इसलिए,$\det(Q) = \det(P) \cdot \det((P - I)^{-1}) = 0 \cdot \det((P - I)^{-1}) = 0$।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1)+(0)(1) & (1)(0)+(0)(2) \\ (1)(1)+(2)(1) & (1)(0)+(2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$।
अब,$2I$ की गणना करें:
$2I = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
अंत में,$A^2$ और $2I$ को जोड़ें:
$A^2 + 2I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$।
चूंकि $3A = 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A^2 + 2I = 3A$।

(A) $\lambda$ ज्ञात करने के लिए,हम तीसरी पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करते हैं:
$D = -3 \begin{vmatrix} -x & 3x+\lambda \\ 3x & x-4 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} x^3-14x^2 & 3x+\lambda \\ 4x+1 & x-4 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} x^3-14x^2 & -x \\ 4x+1 & 3x \end{vmatrix}$
$= -3[-x(x-4) - 3x(3x+\lambda)] - 4[(x^3-14x^2)(x-4) - (4x+1)(3x+\lambda)]$
$= -3[-x^2+4x - 9x^2 - 3x\lambda] - 4[x^4-4x^3-14x^3+56x^2 - (12x^2+4x\lambda+3x+\lambda)]$
$= -3[-10x^2+4x-3x\lambda] - 4[x^4-18x^3+44x^2-4x\lambda-3x-\lambda]$
$= 30x^2-12x+9x\lambda - 4x^4+72x^3-176x^2+16x\lambda+12x+4\lambda$
$= -4x^4+72x^3-146x^2+(25\lambda)x+4\lambda$
इसे $ax^4+bx^3+cx^2+50x+d$ के साथ तुलना करने पर,हम $x$ के गुणांकों की तुलना करते हैं:
$25\lambda = 50$
$\lambda = 2$.

(D) यदि $P$ और $Q$ ऐसे शून्येतर वर्ग आव्यूह हैं कि $PQ = 0$ है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $P$ या $Q$ में से किसी एक का व्युत्क्रमणीय (singular) होना अनिवार्य है।
उदाहरण के लिए,$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ लें।
यहाँ,$P \neq 0$ और $Q \neq 0$,लेकिन $PQ = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$ है।
इस स्थिति में,दोनों आव्यूह व्युत्क्रमणीय हैं क्योंकि उनके सारणिक का मान $0$ है।
हालाँकि,दो आव्यूहों का गुणनफल शून्य होना संभव है,लेकिन दिए गए विकल्पों में से कोई भी विकल्प अनिवार्य रूप से सत्य नहीं है।

(D) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ और $N = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$ है।
तब,$MN = \begin{bmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{bmatrix}$ और $NM = \begin{bmatrix} ap+qc & pb+qd \\ ar+cs & br+ds \end{bmatrix}$ है।
$MN = NM$ के लिए,हमारे पास $br = qc$,$aq+bs = pb+qd$,$cp+dr = ar+cs$,और $cq+ds = br+ds$ होना चाहिए।
ये शर्तें सभी आव्यूहों $M$ और $N$ के लिए सत्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए,यदि $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $N = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है,तो $MN = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ जबकि $NM = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,इसलिए $MN \neq NM$ है।
चूंकि कोई भी विशिष्ट शर्त $(A)$,$(B)$,या $(C)$ किसी भी मनमाने आव्यूह $M$ और $N$ के लिए $MN = NM$ होने के लिए आवश्यक या पर्याप्त नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(B) दिया गया है $M = \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right]$.
सबसे पहले,$M^2 = M \times M = \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}9-4 & -12+4 \\ 3-1 & -4+1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}5 & -8 \\ 2 & -3\end{array}\right]$ की गणना करें।
अब,व्यंजक $M^{n+1}-M^n = M^n(M-I)$ पर विचार करें।
$n=1$ के लिए,$M^2-M = \left[\begin{array}{ll}5 & -8 \\ 2 & -3\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
ध्यान दें कि $M^2 - M = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
चूंकि अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$ है,इसलिए $M^2 = 2M - I$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $M^2 - M = M - I$.
अतः,सभी $n \in N$ के लिए $M^{n+1}-M^n = M^2-M = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$ होगा।

(D) घूर्णन आव्यूह $R_{\theta}$ को $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ द्वारा दिया जाता है।
आव्यूह $A$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{4}$ है। अतः,$A^n = \left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{n\pi}{4} & \sin \frac{n\pi}{4} & 0 \\ -\sin \frac{n\pi}{4} & \cos \frac{n\pi}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
$A^{2020}$ के लिए,$n=2020$,अतः $\frac{2020\pi}{4} = 505\pi$ है। चूँकि $\cos(505\pi) = -1$ और $\sin(505\pi) = 0$ है,इसलिए $A^{2020} \neq I$ है।
आव्यूह $D$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$ है। अतः,$D^n = \left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{n\pi}{2} & \sin \frac{n\pi}{2} & 0 \\ -\sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
$D^{2019}$ के लिए,$n=2019$,$\frac{2019\pi}{2} = 1009.5\pi$ है,इसलिए $D^{2019} \neq I$ है।
आव्यूह $B$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है। अतः,$B^n = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \frac{n\pi}{3} & \sin \frac{n\pi}{3} \\ 0 & -\sin \frac{n\pi}{3} & \cos \frac{n\pi}{3}\end{array}\right]$ है।
$B^{2022}$ के लिए,$n=2022$,$\frac{2022\pi}{3} = 674\pi$ है। चूँकि $\cos(674\pi) = 1$ और $\sin(674\pi) = 0$ है,इसलिए $B^{2022} = I$ है।

(C) मान लीजिए $2$ कोटि के वास्तविक आव्यूह $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ और $N = \begin{bmatrix} n_1 & 0 \\ 0 & n_2 \end{bmatrix}$ हैं।
चूँकि $M$ व्युत्क्रमणीय है,$M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होगा।
अतः,$M N M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 & 0 \\ 0 & n_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
गुणा करने पर:
$M N M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 d & -n_1 b \\ -n_2 c & n_2 a \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} an_1d - bn_2c & -an_1b + bn_2a \\ cn_1d - dn_2c & -cn_1b + dn_2a \end{bmatrix}$.
$M N M^{-1}$ के विकर्ण आव्यूह होने के लिए,विकर्ण के अलावा अन्य अवयव शून्य होने चाहिए:
$ab(n_2 - n_1) = 0$ और $cd(n_1 - n_2) = 0$.
यदि $M$ एक विकर्ण आव्यूह है,तो $b = 0$ और $c = 0$ होगा,जो इन समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः,सभी विकर्ण आव्यूहों $M$ के लिए $M N M^{-1}$ एक विकर्ण आव्यूह है।

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि रोटेशन मैट्रिक्स $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ के लिए,गुणधर्म $R(\theta)^n = R(n\theta)$ सत्य है।
अतः,$A^3 = \begin{bmatrix} \cos 3 \theta & \sin 3 \theta \\ -\sin 3 \theta & \cos 3 \theta \end{bmatrix}$ होगा।
इसकी तुलना दिए गए मैट्रिक्स $A^3 = \begin{bmatrix} \cos 3 \theta & m \\ n & \cos 3 \theta \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $m = \sin 3 \theta$ और $n = -\sin 3 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) कथन $1$: किसी भी विषम-सममित आव्यूह $A$ के विषम क्रम $n$ के लिए,सारणिक $|A| = 0$ होता है। चूंकि क्रम $5 \times 5$ है,$|A| = 0$,जिसका अर्थ है कि $\text{rank}(A) < 5$। यह कथन सत्य है।
कथन $2$: यदि $P$ एक $m \times 1$ शून्येतर स्तंभ आव्यूह है और $Q$ एक $1 \times n$ शून्येतर पंक्ति आव्यूह है,तो $PQ$ एक $m \times n$ आव्यूह है जिसकी कोटि $1$ होती है। यह कथन सत्य है।
कथन $3$: मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = 1(21-24) - 2(14-20) + 3(12-15) = -3 + 12 - 9 = 0$। चूंकि कम से कम एक $2 \times 2$ उपसारणिक शून्येतर है (जैसे,$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$),इसलिए कोटि $2$ है। यह कथन सत्य है।
कथन $4$: यदि तीन भिन्न रेखाएं $a_r x + b_r y + c_r = 0$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो आव्यूह की पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित होती हैं,जिसका अर्थ है कि सारणिक $0$ है। अतः,कोटि $3$ से कम होनी चाहिए। यह कथन कि कोटि $3$ है,असत्य है।

(D) दिया गया है कि $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = -A$।
$A^{2n}$ के लिए:
$(A^{2n})^T = (A^T)^{2n} = (-A)^{2n} = (-1)^{2n} A^{2n} = A^{2n}$।
चूँकि $(A^{2n})^T = A^{2n}$,इसलिए $A^{2n}$ एक सममित आव्यूह है। अतः,कथन $1$ असत्य है।
$A^{2n+1}$ के लिए:
$(A^{2n+1})^T = (A^T)^{2n+1} = (-A)^{2n+1} = (-1)^{2n+1} A^{2n+1} = -A^{2n+1}$।
चूँकि $(A^{2n+1})^T = -A^{2n+1}$,इसलिए $A^{2n+1}$ एक विषम-सममित आव्यूह है। अतः,कथन $2$ सत्य है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(A) माना $A$ कोटि $n$ का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A^T| = |-A|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A^T| = |A|$ और $|-A| = (-1)^n |A|$,इसलिए $|A| = (-1)^n |A|$।
विषम कोटि के आव्यूह के लिए,$n = 3$,अतः $|A| = (-1)^3 |A| = -|A|$।
इसका अर्थ है कि $2|A| = 0$,जिसका तात्पर्य है कि $|A| = 0$।
अतः,विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा $0$ होता है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} \omega^{1+1} & \omega^{1+2} \\ \omega^{2+1} & \omega^{2+2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & \omega^3 \\ \omega^3 & \omega^4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix}$.
$P^2$ की गणना करने पर: $P^2 = \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^4+1 & \omega^2+\omega \\ \omega^2+\omega & 1+\omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega+1 & -1 \\ -1 & -\omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\omega^2 & -1 \\ -1 & -\omega \end{bmatrix} = -P$.
अतः $P^2 = -P$,जिसका अर्थ है कि $P^3 = P^2 \cdot P = (-P) \cdot P = -P^2 = -(-P) = P$.
इस प्रकार,$P^3 = P$ है। $P^k = P$ के लिए,$k$ को $3$ या उससे बड़ी विषम संख्या होनी चाहिए। विकल्पों की जाँच करने पर,$57$ ही एकमात्र विषम संख्या है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = (a+ib)(a-ib) - (c+id)(-c+id) = (a^2+b^2) - (-(c^2+d^2)) = a^2+b^2+c^2+d^2$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
$A$ का सहखंडज (adjoint) विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2} \begin{bmatrix} a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib \end{bmatrix}$.
इसकी तुलना दिए गए $A^{-1} = \begin{bmatrix} a+ib & -c-id \\ -c+id & a-ib \end{bmatrix}$ से करने पर,हम देखते हैं कि समानता बनाए रखने के लिए सारणिक $|A|$ का मान $1$ होना चाहिए।
इसलिए,$a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$.

(D) दिया गया है $Q = A^{-1}$।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें:
$|A| = 1(1 - (-3)) - (-1)(2 - (-3)) + 1(2 - 1)$
$|A| = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$.
अब,सहखंडज (cofactor) आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = +(1+3) = 4, C_{12} = -(2+3) = -5, C_{13} = +(2-1) = 1$
$C_{21} = -(-1-1) = 2, C_{22} = +(1-1) = 0, C_{23} = -(1+1) = -2$
$C_{31} = +(3-1) = 2, C_{32} = -(-3-2) = 5, C_{33} = +(1+2) = 3$
अतः,$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
चूँकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$,हमारे पास है:
$Q = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
$10$ से गुणा करने पर,$10Q = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
दिए गए $10Q = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & x \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ से तुलना करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम तब संभव नहीं होता जब उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$।
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$-x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है क्योंकि $1^3 + 1 - 2 = 0$।
$x^3 + x - 2$ को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - 1)(x^2 + x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2 + x + 2 = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$ है।
चूंकि $D < 0$,द्विघात समीकरण के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,$x$ का एकमात्र वास्तविक मान $x = 1$ है।

(C) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
एक विकर्ण आव्यूह के लिए,$A^n = \begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & 5^n & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \end{bmatrix}$ होता है।
इसलिए,$B = A^3 = \begin{bmatrix} 3^3 & 0 & 0 \\ 0 & 5^3 & 0 \\ 0 & 0 & 4^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 0 & 0 \\ 0 & 125 & 0 \\ 0 & 0 & 64 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
एक विकर्ण आव्यूह $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$ का व्युत्क्रम $D^{-1} = \text{diag}(\frac{1}{d_1}, \frac{1}{d_2}, \frac{1}{d_3})$ होता है।
अतः,$B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{27} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{125} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{64} \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) हमें आव्यूह $A, B, C$ दिए गए हैं। हमें व्यंजक $X = \left(\left(\left((A B C)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूह के परिवर्त (transpose) और व्युत्क्रम (inverse) के गुणों का उपयोग करते हुए: $(P Q)^{-1} = Q^{-1} P^{-1}$,$(P^T)^{-1} = (P^{-1})^T$,और $(P^T)^T = P$.
सबसे पहले,$(A B C)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}$.
फिर,$((A B C)^{-1})^T = (C^{-1} B^{-1} A^{-1})^T = (A^{-1})^T (B^{-1})^T (C^{-1})^T = (A^T)^{-1} (B^T)^{-1} (C^T)^{-1}$.
आगे,$(((A B C)^{-1})^T)^{-1} = ((A^T)^{-1} (B^T)^{-1} (C^T)^{-1})^{-1} = ((C^T)^{-1})^{-1} ((B^T)^{-1})^{-1} ((A^T)^{-1})^{-1} = C^T B^T A^T$.
अंत में,$X = (C^T B^T A^T)^T = (A^T)^T (B^T)^T (C^T)^T = A B C$.
अब,$AB$ की गणना करें:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 18 \\ 4 & 2 & 7 \\ 4 & 0 & 1\end{array}\right]$.
अब,$(AB)C$ की गणना करें:
$(AB)C = \left[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 18 \\ 4 & 2 & 7 \\ 4 & 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}64 & 39 & 28 \\ 29 & 16 & 11 \\ 11 & 2 & 5\end{array}\right]$.

(B) $n$ क्रम के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
$1$. $A$ व्युत्क्रमणीय है।
$2$. एक आव्यूह $B$ मौजूद है जैसे कि $AB = I_n$।
$3$. एक आव्यूह $C$ मौजूद है जैसे कि $CA = I_n$।
यदि $AB = I_3$ है,तो दाईं ओर $A^{-1}$ से गुणा करने पर $A = I_3 B^{-1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = A^{-1}$।
इसी प्रकार,यदि $CA = I_3$ है,तो $C = A^{-1}$।
अतः,$B = C = A^{-1}$।
चूंकि तीनों कथन समतुल्य हैं,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$M^2 = M \times M$ की गणना करें:
$M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+4+4 & 2+2+4 & 2+4+2 \\ 2+2+4 & 4+1+4 & 4+2+2 \\ 2+4+2 & 4+2+2 & 4+4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
अब,$4M = 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix}$ की गणना करें.
अंत में,$M^2 - 4M = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 5I$.

(B) माना $A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right]$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow 2R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right]$.
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$.
चूंकि पंक्ति-सोपान रूप (row-echelon form) में $2$ अशून्य पंक्तियाँ हैं,इसलिए $A$ की कोटि (Rank) $2$ है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $a, b \in R-\{0\}$,हम ब्लॉक आव्यूह पर पंक्ति संक्रियाएं कर सकते हैं।
पहली ब्लॉक पंक्ति को दूसरी ब्लॉक पंक्ति से घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$M \sim \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 - a I_2 & b I_2 - b I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
आव्यूह की कोटि (rank) रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या होती है।
यहाँ,पहली ब्लॉक पंक्ति $\begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ है,जो शून्य नहीं है क्योंकि $a \neq 0$ है।
दूसरी ब्लॉक पंक्ति शून्य आव्यूह है।
अतः,आव्यूह की कोटि $a I_2$ की कोटि के बराबर है,जो $2$ है।

(C) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
$A$ एक $3 \times 3$ क्रम का वर्ग आव्यूह है।
कोटि (rank) ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का सारणिक (determinant) निकालते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 1(3 \times 2 - 0 \times 1) - 4(2 \times 2 - 0 \times 0) + (-1)(2 \times 1 - 3 \times 0)$
$|A| = 1(6 - 0) - 4(4 - 0) - 1(2 - 0)$
$|A| = 6 - 16 - 2 = -12$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
$n$ क्रम के वर्ग आव्यूह के लिए,यदि सारणिक शून्य नहीं है,तो आव्यूह की कोटि $n$ होती है।
अतः,दिए गए आव्यूह की कोटि $3$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x-3 & 2(x^2-9) & 3(x^3-27) \\ x-5 & 2(x^2-25) & 4(x^3-125) \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right|$.
हम पहली पंक्ति से $(x-3)$ और दूसरी पंक्ति से $(x-5)$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$f(x) = (x-3)(x-5) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2(x+3) & 3(x^2+3x+9) \\ 1 & 2(x+5) & 4(x^2+5x+25) \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right|$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $f(3) = 0$ और $f(5) = 0$ है।
इन मानों को व्यंजक $f(1)f(3) + f(3)f(5) + f(5)f(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(1)(0) + (0)(0) + (0)f(1) = 0$.
चूंकि $f(3) = 0$ है,इसलिए व्यंजक का मान $f(3)$ है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ k-4 & 2k-9 & 3k-16 \\ k-8 & 2k-27 & 3k-64 \end{array}\right|=0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ -2 & -6 & -12 \\ -6 & -24 & -60 \end{array}\right|=0$.
$R_2$ से $-2$ और $R_3$ से $-6$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(-2) \times (-6) \left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ 1 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 10 \end{array}\right|=0$.
$12 \left|\begin{array}{ccc} k-2 & 2k-3 & 3k-4 \\ 1 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 10 \end{array}\right|=0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(k-2)(30-24) - (2k-3)(10-6) + (3k-4)(4-3) = 0$.
$(k-2)(6) - (2k-3)(4) + (3k-4)(1) = 0$.
$6k - 12 - 8k + 12 + 3k - 4 = 0$.
$k - 4 = 0 \implies k = 4$.

(C) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है। हम जानते हैं कि $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ होता है।
संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,पहला स्तंभ इस प्रकार हो जाता है:
$C_1(1) = (\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta)^2 - (\sin \theta - \operatorname{cosec} \theta)^2 = 4(\sin \theta)(\operatorname{cosec} \theta) = 4(1) = 4$.
$C_1(2) = (\cos \theta + \sec \theta)^2 - (\cos \theta - \sec \theta)^2 = 4(\cos \theta)(\sec \theta) = 4(1) = 4$.
$C_1(3) = (\tan \theta + \cot \theta)^2 - (\tan \theta - \cot \theta)^2 = 4(\tan \theta)(\cot \theta) = 4(1) = 4$.
अब,सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 4 & (\sin \theta-\operatorname{cosec} \theta)^2 & 2020 \\ 4 & (\cos \theta-\sec \theta)^2 & 2020 \\ 4 & (\tan \theta-\cot \theta)^2 & 2020 \end{array}\right|$ है।
चूंकि पहला स्तंभ $C_1$ और तीसरा स्तंभ $C_3$ समानुपाती हैं (विशेष रूप से,$C_3 = 505 \times C_1$),इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) माना दिया गया व्यंजक $E = D_1 \times D_2$ है।
सबसे पहले,$D_1 = \left|\begin{array}{cc}\log _5 729 & \log _3 5 \\ \log _5 27 & \log _9 25\end{array}\right|$ को सरल करें।
$\log_a b^n = n \log_a b$ और $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करते हुए:
$D_1 = \left|\begin{array}{cc}6 \log _5 3 & \log _3 5 \\ 3 \log _5 3 & \log _3 5\end{array}\right| = (\log _5 3)(\log _3 5) \left|\begin{array}{cc}6 & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right| = 1 \times (6 - 3) = 3$.
अब,$D_2 = \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \log _{27} 5 \\ \log _5 9 & \log _5 9\end{array}\right|$ को सरल करें।
$D_2 = \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \frac{1}{3} \log _3 5 \\ 2 \log _5 3 & 2 \log _5 3\end{array}\right| = (\log _3 5)(\log _5 3) \left|\begin{array}{cc}1 & 1/3 \\ 2 & 2\end{array}\right| = 1 \times (2 - 2/3) = 4/3$.
अतः,$E = 3 \times \frac{4}{3} = 4$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(d)$ है $(\log _3 5) \times (\log _5 81) = (\log _3 5) \times (4 \log _5 3) = 4 \times 1 = 4$।
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}bc & b+c & 1 \\ ca & c+a & 1 \\ ab & a+b & 1\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ c(a-b) & a-b & 0 \\ b(a-c) & a-c & 0\end{array}\right|$.
$R_2$ से $(a-b)$ और $R_3$ से $(a-c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a-b)(a-c) \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ c & 1 & 0 \\ b & 1 & 0\end{array}\right|$.
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = (a-b)(a-c) \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ c & 1 & 0 \\ b-c & 0 & 0\end{array}\right|$.
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a-b)(a-c) \cdot 1 \cdot [0 - (b-c)] = (a-b)(a-c)(-(b-c)) = (a-b)(b-c)(c-a)$.
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) दिया गया सारणिक $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) & \sin(x+b+c) & 10 \\ \cos(x+c+a) & \sin(x+c+a) & 10 \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) - \cos(x+a+b) & \sin(x+b+c) - \sin(x+a+b) & 0 \\ \cos(x+c+a) - \cos(x+a+b) & \sin(x+c+a) - \sin(x+a+b) & 0 \end{array} \right|$.
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 10 \cdot [(\cos(x+b+c) - \cos(x+a+b))(\sin(x+c+a) - \sin(x+a+b)) - (\sin(x+b+c) - \sin(x+a+b))(\cos(x+c+a) - \cos(x+a+b))]$.
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,कोष्ठक के अंदर का व्यंजक $\sin((x+c+a) - (x+b+c)) = \sin(a-b)$ में सरल हो जाता है।
अतः,$f(x) = 10 \sin(a-b)$,जो $x$ से स्वतंत्र एक अचर है।
चूंकि $f(x)$ एक अचर है,इसलिए $f(2019) = f(2020) = k$ होगा।
अतः,$f(2019)^{f(2020)} - f(2020)^{f(2019)} = k^k - k^k = 0$।

(A) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$M$ की घातों की गणना करने पर:
$M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$M^3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
गणितीय आगमन द्वारा,$M^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$। अतः,$M^{10} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
दिया गया है $N = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|N| = (1 \times 2) - (0 \times 0) = 2$।
व्युत्क्रम आव्यूह $N^{-1} = \frac{1}{|N|} \text{adj}(N) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$।
अब,$N M^{10} N^{-1}$ की गणना करने पर:
$N M^{10} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
$(N M^{10}) N^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,हम सारणिक $D$ की गणना करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ -4 & b & 6 \\ 0 & -3 & -b \end{vmatrix} = 0$
$2(-b^2 + 18) - 5(4b - 0) + 1(12 - 0) = 0$
$-2b^2 + 36 - 20b + 12 = 0$
$-2b^2 - 20b + 48 = 0$
$b^2 + 10b - 24 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(b + 12)(b - 2) = 0$. अतः $b = -12$ और $b = 2$ प्राप्त होते हैं।
$b = 2$ के लिए जाँच करने पर: निकाय असंगत है (कोई हल नहीं)।
$b = -12$ के लिए जाँच करने पर: निकाय असंगत है (कोई हल नहीं)।
इन वास्तविक मानों का गुणनफल $(-12) \times (2) = -24$ है।