AP EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) ब्लॉक को वेज के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,नत समतल (inclined plane) के अनुदिश ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
$1$. वेज के फ्रेम में ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों को वियोजित करें:
- नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$।
- वेज के त्वरण की विपरीत दिशा में क्षैतिज रूप से कार्य करने वाला छद्म बल (pseudo force) $ma$।
- नत सतह के लंबवत वेज द्वारा लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$।
$2$. ब्लॉक के न फिसलने के लिए,समतल के नीचे की ओर $mg$ का घटक,समतल के ऊपर की ओर $ma$ के घटक द्वारा संतुलित होना चाहिए:
$mg \sin \theta = ma \cos \theta$
$a = g \tan \theta$
$3$. अभिलंब बल $R$,नत सतह के लंबवत $mg$ और $ma$ के घटकों को संतुलित करता है:
$R = mg \cos \theta + ma \sin \theta$
$a = g \tan \theta = g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ रखने पर:
$R = mg \cos \theta + m(g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}) \sin \theta$
$R = mg \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos \theta}$
$R = \frac{mg}{\cos \theta}$

(C) कण एक चिकनी मेज पर क्षैतिज वृत्ताकार पथ में गति कर रहा है।
इस गति में,कण पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $T$ है,जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है।
चूंकि कण एकसमान वृत्तीय गति कर रहा है,इसलिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{l}$ है।
यह अभिकेंद्र बल पूरी तरह से डोरी में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
अतः,केंद्र की ओर निर्देशित कण पर कार्य करने वाला कुल बल तनाव $T$ के बराबर होगा।

(D) बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n_{c} = \frac{v}{4L}$ है।
खुली पाइप की मूल आवृत्ति $n_{o} = \frac{v}{2L}$ है।
दिया गया है कि वे प्रति सेकंड $2$ विस्पंद उत्पन्न करती हैं:
$n_{o} - n_{c} = 2$
$\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L} = 2$
$\frac{v}{4L} = 2 \implies \frac{v}{L} = 8$.
जब खुली पाइप की लंबाई आधी कर दी जाती है,तो नई आवृत्ति:
$n_{o}' = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 8 \text{ Hz}$.
जब बंद पाइप की लंबाई दोगुनी कर दी जाती है,तो नई आवृत्ति:
$n_{c}' = \frac{v}{4(2L)} = \frac{v}{8L} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{v}{L}\right) = \frac{1}{8} \times 8 = 1 \text{ Hz}$.
नई विस्पंद आवृत्ति $= n_{o}' - n_{c}' = 8 - 1 = 7 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$.

(C) दी गई स्थिति चित्र में दिखाई गई है जहाँ $A, B, C, D$ चार गोलों के केंद्र हैं जो $a = 20 \,cm$ भुजा वाला एक वर्ग बनाते हैं।
चूंकि चारों गोले समान हैं और उनका द्रव्यमान बराबर है, इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र उनके केंद्रों द्वारा निर्मित वर्ग के ज्यामितीय केंद्र के साथ संपाती होगा, जिसे बिंदु $O$ द्वारा दर्शाया गया है।
किसी भी गोले के केंद्र (जैसे, केंद्र $A$) से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $AO$ है।
$a = 20 \,cm$ भुजा वाले वर्ग में, विकर्ण $AC$ की लंबाई $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \,cm$ होती है।
वर्ग के केंद्र से किसी भी शीर्ष तक की दूरी विकर्ण की लंबाई की आधी होती है:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \,cm$.

(A) माना वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $M$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। डिस्क का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
माना मूल बिंदु $(0,0)$ डिस्क का केंद्र है।
इसमें से $d = r$ विकर्ण वाला एक वर्ग काटा जाता है। वर्ग की भुजा $a = d / \sqrt{2} = r / \sqrt{2}$ होगी।
वर्ग का क्षेत्रफल $A_s = a^2 = r^2 / 2$ है।
वर्गाकार भाग का द्रव्यमान $m = M \times (A_s / A) = M \times (r^2 / 2) / (\pi r^2) = M / (2 \pi)$ है।
वर्ग का द्रव्यमान केंद्र डिस्क के केंद्र से $d_s = r/2$ की दूरी पर है।
शेष भाग के द्रव्यमान केंद्र के लिए सूत्र: $X_{cm} = (M_1 X_1 - M_2 X_2) / (M_1 - M_2)$.
यहाँ,$M_1 = M$,$X_1 = 0$,$M_2 = m = M / (2 \pi)$,और $X_2 = r/2$.
$X_{cm} = (M \times 0 - (M / 2 \pi) \times (r / 2)) / (M - M / 2 \pi)$.
$X_{cm} = (-Mr / 4 \pi) / (M(1 - 1 / 2 \pi)) = (-r / 4 \pi) / ((2 \pi - 1) / 2 \pi) = -r / (2(2 \pi - 1)) = r / (2 - 4 \pi)$.

(C) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले और $r_1$ तथा $r_2$ स्थितियों पर स्थित दो कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(R_{CM})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R_{CM} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$
चूंकि दोनों परमाणु ऑक्सीजन के हैं,इसलिए उनके द्रव्यमान समान हैं,अर्थात $m_1 = m_2 = m$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$R_{CM} = \frac{m r_1 + m r_2}{m + m}$
$R_{CM} = \frac{m(r_1 + r_2)}{2m}$
$R_{CM} = \frac{r_1 + r_2}{2}$
अतः,द्रव्यमान केंद्र दोनों परमाणुओं को जोड़ने वाली रेखा के मध्य बिंदु पर स्थित है।

(C) प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय की कुल गतिज ऊर्जा और कुल रैखिक संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।
इसके अतिरिक्त,सभी प्रकार की टक्करों में निकाय की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(B) जब एक गोली लकड़ी के गुटके से टकराती है और उसमें धंस जाती है,तो टक्कर के बाद दोनों वस्तुएं एक समान वेग से एक साथ गति करती हैं।
इस प्रकार की टक्कर,जिसमें वस्तुएं टकराने के बाद एक साथ जुड़ जाती हैं,उसे पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस प्रक्रिया में,गतिज ऊर्जा का ह्रास अधिकतम होता है।

(C) दिया गया है: $m_1 = 2 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$,$u_1 = 10 \ ms^{-1}$,$u_2 = -10 \ ms^{-1}$।
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$2(10) + 4(-10) = 2v_1 + 4v_2$
$20 - 40 = 2v_1 + 4v_2$
$-20 = 2v_1 + 4v_2 \Rightarrow v_1 + 2v_2 = -10 \quad \dots (i)$
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है,इसलिए पृथक्करण का वेग,दृष्टिकोण के वेग (velocity of approach) के बराबर होता है:
$v_2 - v_1 = u_1 - u_2$
$v_2 - v_1 = 10 - (-10) = 20 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(v_1 + 2v_2) + (v_2 - v_1) = -10 + 20$
$3v_2 = 10 \Rightarrow v_2 = \frac{10}{3} \ ms^{-1}$
$v_2$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{10}{3} - v_1 = 20$
$v_1 = \frac{10}{3} - 20 = \frac{10 - 60}{3} = -\frac{50}{3} \ ms^{-1}$
अतः,अंतिम वेग $v_1 = -\frac{50}{3} \ ms^{-1}$ और $v_2 = \frac{10}{3} \ ms^{-1}$ हैं।

(A) माना गतिशील पिंड का द्रव्यमान $m_1$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u$ है। स्थिर पिंड का द्रव्यमान $M_2 = n m_1$ है और उसका प्रारंभिक वेग $0$ है।
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,संवेग संरक्षण के नियम से:
$m_1 u = m_1 v_1 + M_2 v_2$
$m_1 u = m_1 v_1 + n m_1 v_2$
$u = v_1 + n v_2$ ... $(i)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है,इसलिए:
$v_2 - v_1 = u - 0$
$v_1 = v_2 - u$ ... (ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$u = (v_2 - u) + n v_2$
$2u = (n + 1) v_2$
$v_2 = \frac{2u}{n + 1}$
गतिशील पिंड की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2} m_1 u^2$ है।
स्थिर पिंड में स्थानांतरित गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2} M_2 v_2^2$ है।
$K_2 = \frac{1}{2} (n m_1) \left( \frac{2u}{n + 1} \right)^2 = \frac{1}{2} n m_1 \frac{4 u^2}{(n + 1)^2} = \left( \frac{1}{2} m_1 u^2 \right) \frac{4n}{(n + 1)^2}$.
स्थानांतरित गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{K_2}{K_1} = \frac{4n}{(n + 1)^2}$ है।

(B) दिया गया है:
गोली का द्रव्यमान,$m = 0.01 \,kg$
गोली की प्रारंभिक गति,$u = 500 \,ms^{-1}$
ब्लॉक का द्रव्यमान,$M = 2 \,kg$
ब्लॉक की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई,$h = 0.1 \,m$
मान लीजिए कि ब्लॉक से बाहर निकलने के बाद गोली की गति $v_b$ है और टक्कर के तुरंत बाद ब्लॉक का वेग $V$ है।
टक्कर के बाद ब्लॉक पर ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2} M V^2 = Mgh$
$V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4 \,ms^{-1}$
टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m u = m v_b + M V$
$0.01 \times 500 = (0.01 \times v_b) + (2 \times 1.4)$
$5 = 0.01 v_b + 2.8$
$0.01 v_b = 5 - 2.8 = 2.2$
$v_b = \frac{2.2}{0.01} = 220 \,ms^{-1}$
अतः,ब्लॉक से बाहर निकलने के बाद गोली की गति $220 \,ms^{-1}$ है।

(D) गोली का द्रव्यमान $= m$. गोली की गति $= v$.
प्रश्न के अनुसार,गोली बोरी में धंस जाती है,इसलिए वे एक सामान्य वेग $v_1$ के साथ आगे बढ़ेंगे।
यह पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर का मामला है।
गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,$K_i = \frac{1}{2} m v^2$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m v = (M + m) v_1 \Rightarrow v_1 = \frac{m v}{M + m}$.
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा,$K_f = \frac{1}{2} (M + m) v_1^2 = \frac{1}{2} (M + m) \left( \frac{m v}{M + m} \right)^2 = \frac{m^2 v^2}{2(M + m)}$.
गतिज ऊर्जा में हानि $= K_i - K_f = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{m^2 v^2}{2(M + m)}$.
$= \frac{1}{2} m v^2 \left( 1 - \frac{m}{M + m} \right) = \frac{1}{2} m v^2 \left( \frac{M + m - m}{M + m} \right) = \frac{m M v^2}{2(M + m)}$.

(A) माना कि पहली गेंद की त्रिज्या $r_1 = 2 \,cm$ और दूसरी गेंद की त्रिज्या $r_2 = 4 \,cm$ है।
यह मानते हुए कि दोनों गेंदें समान घनत्व $\rho$ वाले पदार्थ से बनी हैं, द्रव्यमान $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{2}{4}\right)^3 = \frac{1}{8}$ है, जिसका अर्थ है $m_2 = 8m_1$।
एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, पहली गेंद (जो शुरू में स्थिर है) का अंतिम वेग $v_1$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_1 = \left(\frac{2m_2}{m_1 + m_2}\right) u_2$, जहाँ $u_2 = 81 \,cm \,s^{-1}$ दूसरी गेंद का प्रारंभिक वेग है।
मान रखने पर:
$v_1 = \left(\frac{2(8m_1)}{m_1 + 8m_1}\right) \times 81$
$v_1 = \left(\frac{16m_1}{9m_1}\right) \times 81$
$v_1 = \frac{16}{9} \times 81 = 16 \times 9 = 144 \,cm \,s^{-1}$।

(C) माना पिंड का द्रव्यमान $2m$ है। यह $m$ द्रव्यमान के दो समान टुकड़ों में विस्फोटित होता है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, प्रारंभिक संवेग शून्य है, इसलिए अंतिम संवेग समान और विपरीत होने चाहिए। यदि एक टुकड़े का वेग $\vec{v}_1 = -10 \hat{i} - gt \hat{j}$ है, तो दूसरे का वेग $\vec{v}_2 = 10 \hat{i} - gt \hat{j}$ होना चाहिए।
समय $t$ पर विस्फोट के बिंदु के सापेक्ष टुकड़ों के स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = -10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}$ और $\vec{r}_2 = 10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}$ हैं।
स्थिति सदिशों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है, इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0$
$(-10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}) \cdot (10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}) = 0$
$-100t^2 + \frac{1}{4}g^2t^4 = 0$
चूंकि $t \neq 0$, $t^2$ से भाग देने पर:
$-100 + \frac{1}{4}g^2t^2 = 0$
$\frac{1}{4}g^2t^2 = 100$
$g^2t^2 = 400$
$g = 10 \,ms^{-2}$ लेने पर:
$100t^2 = 400$
$t^2 = 4$
$t = 2 \,s$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले और बाद में निकाय का कुल संवेग शून्य होना चाहिए,क्योंकि बम शुरू में विराम अवस्था में था।
मान लीजिए कि तीसरे भाग का संवेग $\vec{p}_3$ है।
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$
दिया गया है कि $\vec{p}_1 = -2p \hat{i}$ और $\vec{p}_2 = p \hat{j}$ है।
$-2p \hat{i} + p \hat{j} + \vec{p}_3 = 0$
$\vec{p}_3 = 2p \hat{i} - p \hat{j}$
तीसरे भाग के संवेग का परिमाण इस प्रकार है:
$|\vec{p}_3| = \sqrt{(2p)^2 + (-p)^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{4p^2 + p^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{5p^2} = \sqrt{5} p$

(A) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mK}$।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 4K$ है।
प्रारंभिक संवेग $p_1 = \sqrt{2mK_1} = \sqrt{2mK}$ है।
अंतिम संवेग $p_2 = \sqrt{2mK_2} = \sqrt{2m(4K)} = 2\sqrt{2mK}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $p_2 = 2p_1$ प्राप्त होता है।
अतः,संवेग $2$ गुना बढ़ जाएगा।

(C) दिया गया है,बम का द्रव्यमान,$M = 9 \text{ kg}$।
प्रारंभ में,बम स्थिर है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0 \text{ m/s}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए:
$M \times u = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$9 \times 0 = 3 \times 16 + 6 \times v_2$
$0 = 48 + 6 v_2$
$6 v_2 = -48$
$v_2 = -8 \text{ m/s}$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि $6 \text{ kg}$ का टुकड़ा $3 \text{ kg}$ के टुकड़े की विपरीत दिशा में गति करता है।
अब,$6 \text{ kg}$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $K$ इस प्रकार है:
$K = \frac{1}{2} m_2 v_2^2$
$K = \frac{1}{2} \times 6 \times (-8)^2$
$K = 3 \times 64 = 192 \text{ J}$।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड का $v$ वेग के साथ संवेग $p = mv$ के रूप में परिभाषित होता है।
चूंकि पिंड का द्रव्यमान $m$ एक नियत अदिश राशि है,यदि संवेग $p$ नियत है,तो वेग $v$ भी नियत होना चाहिए।
अतः,नियत संवेग वाले पिंड के लिए उसका वेग नियत रहता है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{p^2}{2m}$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_1 = K_2$ है।
अतः,$\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}$ होगा।
संवेग का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $p_1: p_2$ का मान $\sqrt{m_1}: \sqrt{m_2}$ है।

(B) प्रारंभिक द्रव्यमान $M = 8 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 2 \ m/s$ है। प्रारंभिक संवेग $P_i = M \cdot u = 8 \times 2 = 16 \ kg \cdot m/s$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} M u^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times 2^2 = 16 \ J$ है। विस्फोट के बाद,पिंड $m = 4 \ kg$ के दो समान भागों में विभाजित हो जाता है। मान लीजिए उनके वेग $v_1$ और $v_2$ हैं। संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_1 + m v_2 = P_i \implies 4(v_1 + v_2) = 16 \implies v_1 + v_2 = 4$। अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i + \Delta E = 16 + 16 = 32 \ J$ है। साथ ही,$K_f = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times (v_1^2 + v_2^2) = 2(v_1^2 + v_2^2) = 32 \implies v_1^2 + v_2^2 = 16$। $v_1 + v_2 = 4$ और $v_1^2 + v_2^2 = 16$ को हल करने पर: $(v_1 + v_2)^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2 v_1 v_2 \implies 16 = 16 + 2 v_1 v_2 \implies v_1 v_2 = 0$। इसका अर्थ है कि या तो $v_1 = 0$ या $v_2 = 0$ है। यदि $v_1 = 0$ है,तो $v_2 = 4 \ m/s$ होगा। अतः,एक भाग स्थिर हो जाता है और दूसरा भाग मूल पिंड की दिशा में गति करता है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $M$ द्रव्यमान के वेज (wedge) से बने निकाय पर विचार करें।
चूंकि क्षैतिज तल चिकना है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,यदि किसी निकाय पर एक विशेष दिशा में कुल बाहरी बल शून्य है,तो उस दिशा में द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य होता है।
चूंकि निकाय का प्रारंभिक वेग शून्य है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र क्षैतिज दिशा में गति नहीं करेगा।
हालाँकि,ऊर्ध्वाधर दिशा में निकाय पर गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है,जो एक बाहरी बल है।
जैसे-जैसे द्रव्यमान $m$ नत समतल पर नीचे की ओर फिसलता है,निकाय के द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर स्थिति बदलती है (यह नीचे की ओर गति करता है)।
अतः,द्रव्यमान केंद्र ऊर्ध्वाधर दिशा में नीचे की ओर गति करेगा और क्षैतिज दिशा में अपरिवर्तित रहेगा।

(D) ईंधन के निष्कासन के कारण रॉकेट पर लगने वाला बल थ्रस्ट सूत्र $F = v \frac{dm}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, ईंधन की खपत की दर $\frac{dm}{dt} = 1 \,kg/s$ है।
निकाले गए ईंधन का वेग $v = 60 \,km/s = 60000 \,m/s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 60000 \,m/s \times 1 \,kg/s = 60000 \,N$.
अतः, रॉकेट पर लगाया गया बल $60000 \,N$ है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$g' = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$
$h \ll R_e$ के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम इसे इस प्रकार अनुमानित कर सकते हैं:
$g' \approx g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right)$
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे ऊंचाई $h$ बढ़ती है,पद $\frac{2h}{R_e}$ बढ़ता है,जिसके कारण $g'$ का मान घट जाता है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण ऊंचाई के साथ घटता है।

(B) मान लीजिए कि $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g_h = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R_e})^2}$
प्रश्न के अनुसार, $g_h = \frac{g}{2}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{g}{2} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R_e})^2}$
$(1 + \frac{h}{R_e})^2 = 2$
$1 + \frac{h}{R_e} = \sqrt{2}$
$h = (\sqrt{2} - 1) R_e$
$R_e \approx 6400 \,km$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर:
$h = (1.414 - 1) \times 6400 \,km$
$h = 0.414 \times 6400 \,km$
$h = 2649.6 \,km$
दिए गए विकल्पों के अनुसार, ऊँचाई लगभग $2625 \,km$ है।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R_e})$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$g_h = g_d$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$g(1 - \frac{2h}{R_e}) = g(1 - \frac{d}{R_e})$
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने पर:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$-\frac{2h}{R_e} = -\frac{d}{R_e}$
$-R_e$ से गुणा करने पर:
$2h = d$ या $d = 2h$।

(A) पृथ्वी की सतह पर अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$g^{\prime} = g - \omega^2 R_e \cos^2 \lambda$
जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है,और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
ध्रुवों पर,अक्षांश $\lambda = 90^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$g^{\prime} = g - \omega^2 R_e (0)^2 = g$
भूमध्य रेखा पर,$\lambda = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$,जिससे $g^{\prime} = g - \omega^2 R_e$ प्राप्त होता है,जो कि न्यूनतम मान है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण का मान ध्रुवों पर अधिकतम होता है।

(C) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ गहराई $d = \frac{R}{2}$ दी गई है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g_d = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
चूँकि भार $w = mg$ होता है,इसलिए $d$ गहराई पर नया भार $w' = m g_d = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2} = \frac{w}{2}$ होगा।
अतः,पृथ्वी के केंद्र तक की आधी गहराई पर पिंड का भार $\frac{w}{2}$ होगा।

(A) मूलभूत बलों की सापेक्ष शक्ति की तुलना $10^{-15} \ m$ की दूरी पर स्थित दो प्रोटॉन के बीच की परस्पर क्रिया पर विचार करके की जाती है।
गुरुत्वाकर्षण बल $(F_G)$,प्रबल नाभिकीय बल $(F_S)$ की तुलना में लगभग $10^{-36} \ N$ से $10^{-39} \ N$ होता है।
विशेष रूप से,गुरुत्वाकर्षण बल और प्रबल नाभिकीय बल का अनुपात लगभग $10^{-39}$ है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल,प्रबल नाभिकीय बल का $10^{-39}$ गुना है।

(A) पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ शून्य होता है।
चूंकि किसी वस्तु का भार $w$ उसके द्रव्यमान $m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ का गुणनफल होता है, इसलिए $w = m \times g$।
दिए गए मानों को रखने पर, $w = 10 \,kg \times 0 \,m/s^2 = 0 \,N$।
अतः, पृथ्वी के केंद्र पर बिंदु द्रव्यमान का भार शून्य होता है।

(C) दिया गया है:
ग्रह की त्रिज्या,$R = 1.7 \times 10^6 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 1.7 \ m s^{-2}$
ग्रह की सतह पर पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ है।
मान रखने पर:
$v_e = \sqrt{2 \times 1.7 \times (1.7 \times 10^6)}$
$v_e = \sqrt{2 \times (1.7)^2 \times 10^6}$
$v_e = 1.7 \times \sqrt{2} \times 10^3 \ m s^{-1}$
चूंकि $10^3 \ m s^{-1} = 1 \ km s^{-1}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$v_e = 1.7 \sqrt{2} \ km s^{-1}$.

(A) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
चूँकि $E_i = E_f$,इसलिए $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $v^2 = \frac{GM}{2R}$।
$v^2$ का मान ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \Rightarrow 3(R+h) = 4R \Rightarrow 3R + 3h = 4R \Rightarrow 3h = R \Rightarrow h = \frac{R}{3}$

(B) जब किसी पिंड का वेग $(v)$,कक्षीय वेग $(v_o)$ से अधिक लेकिन पलायन वेग $(v_e)$ से कम होता है,अर्थात $v_o < v < v_e$,तो पिंड की कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है।
केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में ऋणात्मक कुल ऊर्जा के लिए,पिंड का प्रक्षेप पथ एक दीर्घवृत्त (ellipse) होता है,जिसमें पृथ्वी का केंद्र एक फोकस पर स्थित होता है।
यदि $v = v_e$ है,तो कुल ऊर्जा शून्य होती है और पथ परवलयाकार हो जाता है।
यदि $v > v_e$ है,तो कुल ऊर्जा धनात्मक होती है और पथ अतिपरवलयाकार हो जाता है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$h = 3R$ की ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + 3R = 4R$ है।
इस ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -\frac{GMm}{4R}$ है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1$ है।
$\Delta U = -\frac{GMm}{4R} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$।
संबंध $g = \frac{GM}{R^2}$ का उपयोग करते हुए,हमें $GM = gR^2$ प्राप्त होता है।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में रखने पर:
$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$।

(C) केप्लर के ग्रहों की गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी ग्रह को सूर्य से जोड़ने वाला त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।
अर्थात,$\frac{dA}{dt} = \text{नियतांक}$.
चित्र में दिखाए अनुसार,मान लीजिए $r$ सूर्य के सापेक्ष ग्रह का स्थिति सदिश है और $F$ सूर्य के कारण ग्रह पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है।
इस बल द्वारा सूर्य के परितः ग्रह पर लगने वाला बल आघूर्ण (टॉर्क) $\tau$ है:
$\tau = r \times F = 0$
(चूंकि $r$ और $F$ एक ही रेखा पर स्थित हैं)।
हम जानते हैं कि टॉर्क कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है:
$\tau = \frac{dL}{dt}$
चूंकि $\tau = 0$,इसलिए $\frac{dL}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है कि $L = \text{नियतांक}$।
अतः,केप्लर का दूसरा नियम कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(C) मान लीजिए कि $T_A$ और $T_B$ क्रमशः सूर्य के चारों ओर ग्रह $A$ और $B$ के परिक्रमण काल हैं। दिया गया है कि $T_A = 8 T_B$ है।
केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग सूर्य से दूरी के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$ है।
इसलिए,$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{8 T_B}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$8^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,सूर्य से ग्रह $A$ की दूरी,सूर्य से ग्रह $B$ की दूरी की $4$ गुनी है।

(A) दिया गया है: $G=6.67 \times 10^{-11} \text{ N-m}^2 \text{ kg}^{-2}$,$M=5.98 \times 10^{24} \text{ kg}$,$R=6.4 \times 10^6 \text{ m}$.
संचार उपग्रह के लिए,आवर्तकाल $T = 24 \text{ h} = 24 \times 3600 \text{ s} = 8.64 \times 10^4 \text{ s}$.
कक्षीय त्रिज्या $r = R+h$ केप्लर के तीसरे नियम द्वारा आवर्तकाल से संबंधित है: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$.
$r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $r = \left( \frac{T^2 GM}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$.
मान रखने पर:
$r = \left( \frac{(8.64 \times 10^4)^2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{4 \times (3.14)^2} \right)^{1/3}$.
$r \approx 42.25 \times 10^6 \text{ m}$.
चूंकि $h = r - R$,इसलिए $h = 42.25 \times 10^6 \text{ m} - 6.4 \times 10^6 \text{ m} = 35.85 \times 10^6 \text{ m}$.
किलोमीटर में बदलने पर: $h = 35850 \text{ km}$.

(A) जब $120 \ km$ की ऊँचाई पर पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष यान से एक गेंद गिराई जाती है,तो छोड़ने के क्षण में गेंद का कक्षीय वेग अंतरिक्ष यान के समान ही होता है।
चूंकि अंतरिक्ष के निर्वात में इसकी गति की स्थिति को बदलने के लिए कोई बाहरी बल (जैसे वायु प्रतिरोध) नहीं होता है,इसलिए गेंद अंतरिक्ष यान की समान गति और दिशा में चलना जारी रखेगी।
अतः,यह अंतरिक्ष यान की मूल कक्षा में ही गति करना जारी रखेगी।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
मान लीजिए प्रारंभिक कक्षा की त्रिज्या $r_1$ है और प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ है (क्योंकि यह एक भूस्थिर उपग्रह है)।
मान लीजिए नई कक्षा की त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ है।
हमें नया आवर्तकाल $T_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
मान रखने पर: $\frac{T_2^2}{24^2} = \left( \frac{2r_1}{r_1} \right)^3 = 2^3 = 8$.
$T_2^2 = 8 \times 24^2$.
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर: $T_2 = \sqrt{8} \times 24 = 2\sqrt{2} \times 24 = 48\sqrt{2} \text{ घंटे}$.

(D) मान लीजिए कि एक इकाई द्रव्यमान $m$ पृथ्वी से $x$ दूरी पर स्थित है,जहाँ कुल गुरुत्वाकर्षण बल शून्य है।
इस बिंदु पर,पृथ्वी द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण खिंचाव चंद्रमा द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के परिमाण में बराबर होना चाहिए।
$\frac{G m M_e}{x^2} = \frac{G m M_m}{(D-x)^2}$ ... $(i)$
जहाँ $M_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $M_m$ चंद्रमा का द्रव्यमान है।
दिया गया है कि $M_e = 81 M_m$ है।
समीकरण $(i)$ में यह मान रखने पर:
$\frac{G m (81 M_m)}{x^2} = \frac{G m M_m}{(D-x)^2}$
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(D-x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{D-x}$
$9(D - x) = x$
$9D - 9x = x$
$9D = 10x$
$x = \frac{9D}{10}$
अतः,पृथ्वी के केंद्र से $\frac{9D}{10}$ की दूरी पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होगा।

(A) हम जानते हैं कि विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ के रूप में परिभाषित होता है।
आदर्श गैस के लिए,नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2}R$ होती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = \frac{f+2}{2}R$ होती है।
इन मानों को $\gamma$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{\frac{f+2}{2}R}{\frac{f}{2}R} = \frac{f+2}{f}$.
$f$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\gamma f = f + 2$
$\gamma f - f = 2$
$f(\gamma - 1) = 2$
$f = \frac{2}{\gamma - 1}$.

(C) एक त्रि-परमाणुक अ-रेखीय गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f = 6$ है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f R}{2} = \frac{6 R}{2} = 3 R$ है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_V + R = 3 R + R = 4 R$ है।
रुद्धोष्म प्रत्यास्थता और समतापीय प्रत्यास्थता का अनुपात रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ के बराबर होता है।
$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{4 R}{3 R} = \frac{4}{3}$.
अतः,अनुपात $4: 3$ है।

(B) मशीन की शक्ति $P = 10 \,kW = 10,000 \,W$.
समय $t = 3 \,minutes = 3 \times 60 = 180 \,s$.
उत्पन्न कुल ऊर्जा $E = P \times t = 10,000 \times 180 = 1,800,000 \,J$.
ब्लॉक द्वारा अवशोषित ऊष्मा $Q = E \text{ का } 50 \% = 0.5 \times 1,800,000 = 900,000 \,J$.
सूत्र $Q = mc\Delta T$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $m = 25 \,kg$ और $c = 900 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$:
$900,000 = 25 \times 900 \times \Delta T$.
$900,000 = 22,500 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{900,000}{22,500} = 40^{\circ} C$.
अतः, तापमान में वृद्धि $40^{\circ} C$ है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = 251 \,cm^3$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 20^{\circ} C = 273 + 20 = 293 \,K$,प्रारंभिक दाब $p_1 = 78 \,cm$ $Hg$।
$NTP$ पर,मानक स्थितियाँ हैं: तापमान $T_2 = 273 \,K$ और दाब $p_2 = 76 \,cm$ $Hg$।
संयुक्त गैस नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$।
$V_2$ के लिए सूत्र: $V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}$।
मान रखने पर: $V_2 = \frac{78 \times 251 \times 273}{76 \times 293} \approx 240 \,cm^3$।
नोट: यदि गणना में $T_2 = 293 \,K$ का उपयोग किया जाता है,तो उत्तर $263.8 \,cm^3$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(B) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT = \frac{N}{N_A} RT$,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
अतः,$N = \frac{PVN_A}{RT}$.
पात्र $A$ के लिए: $N_A = \frac{p_A V_A N_A}{R T_A}$.
पात्र $B$ के लिए: $N_B = \frac{p_B V_B N_A}{R T_B}$.
दिया गया है: $V_B = 2V_A$,$p_B = 3p_A$,और $T_B = \frac{T_A}{2}$.
अनुपात $\frac{N_A}{N_B}$ लेने पर:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{p_A V_A}{R T_A} \cdot \frac{R T_B}{p_B V_B} = \frac{p_A V_A}{T_A} \cdot \frac{T_A / 2}{3p_A \cdot 2V_A} = \frac{1}{T_A} \cdot \frac{T_A}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{1}{12}$.
अतः,अनुपात $N_A : N_B = 1:12$ है।

(B) दिया गया है:
$T_1 = (273 + 20) \ K = 293 \ K$
$p_1 = 90 \ cm \ Hg$
$p_2 = 75 \ cm \ Hg$
चूंकि गैस का आयतन स्थिर है,गे-लुसाक के नियम के अनुसार:
$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$
$\Rightarrow T_2 = \frac{T_1 \times p_2}{p_1}$
मान रखने पर:
$T_2 = \frac{293 \times 75}{90} \ K$
$T_2 = 244.16 \ K$
तापमान को सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^{\circ}C) = 244.16 - 273 = -28.84^{\circ} C \approx -28.8^{\circ} C$

(B) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब और गैस की निश्चित मात्रा के लिए,आयतन परम तापमान के सीधे समानुपाती होता है: $V \propto T$ या $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$।
दिया गया है:
$V_1 = 2 \ L$
$T_1 = 273 \ K$ ($STP$ पर)
$V_2 = 2 \times V_1 = 4 \ L$
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{2 \ L}{273 \ K} = \frac{4 \ L}{T_2}$
$T_2 = \frac{4 \times 273}{2} \ K$
$T_2 = 546 \ K$.

(D) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ परम तापमान है।
चूंकि गैसें तापीय संतुलन में हैं,इसलिए उनके तापमान समान हैं,अतः $T_{A} = T_{B} = T$ है।
दोनों कंटेनरों में एक ही गैस का समान द्रव्यमान है,इसलिए मोलों की संख्या $n$ दोनों के लिए समान है,अर्थात $n_{A} = n_{B} = n$ है।
दोनों कंटेनरों के लिए आदर्श गैस समीकरण लागू करने पर:
कंटेनर $A$ के लिए: $P_{A} V_{A} = nRT$
कंटेनर $B$ के लिए: $P_{B} V_{B} = nRT$
चूंकि दाहिने पक्ष समान हैं $(nRT = nRT)$,इसलिए हमारे पास $P_{A} V_{A} = P_{B} V_{B}$ होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ का सूत्र $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि औसत गतिज ऊर्जा केवल परम तापमान $T$ पर निर्भर करती है और गैस के अणु के द्रव्यमान या प्रकृति से स्वतंत्र होती है।
चूंकि $300 \ K$ पर $H_2$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $E$ दी गई है,और $O_2$ अणुओं के लिए भी तापमान $300 \ K$ ही है,इसलिए $O_2$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा भी $E$ ही होगी।

(A) एक आदर्श गैस के प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $\bar{E} = \frac{3}{2} K_B T$ है,जहाँ $K_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
चूंकि गैसें एक ही पात्र में हैं,वे तापीय साम्यावस्था में हैं,जिसका अर्थ है कि उनका तापमान $T$ समान है।
चूंकि औसत गतिज ऊर्जा $\bar{E}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है और गैस के अणुओं के द्रव्यमान या प्रकृति से स्वतंत्र है,इसलिए हाइड्रोजन और ऑक्सीजन की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $1: 1$ होगा।

(C) गतिमान पात्र में स्थित गैस की जमीन के सापेक्ष कुल गतिज ऊर्जा,द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा और गैस के अणुओं की आंतरिक गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$1$. जमीन के सापेक्ष गैस के द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा $K_{cm} = \frac{1}{2} M v^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M$ गैस का कुल द्रव्यमान है और $v$ पात्र का वेग है।
$2$. द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष द्विपरमाणुक गैस (जिसकी स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है) की आंतरिक गतिज ऊर्जा $U = n \frac{f}{2} R T$ होती है।
$3$. $f = 5$ रखने पर,हमें $U = \frac{5}{2} n R T$ प्राप्त होता है।
$4$. अतः,जमीन के सापेक्ष कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{cm} + U = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{5}{2} n R T$ होगी।

(D) निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति मुक्त स्थान की पारगम्यता $(\mu_0)$ और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $(\varepsilon_0)$ से मैक्सवेल के संबंध द्वारा संबंधित है:
प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ है।
दिए गए मान $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ और $\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/(\text{N m}^2)$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।

(B) एक श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$ प्रतिरोधक,प्रेरक और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज के फेजर योग द्वारा प्राप्त होता है।
वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण $\phi$,$\phi = \tan^{-1} \left( \frac{X_L - X_C}{R} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $X_L > X_C$ है,तो $\phi$ धनात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि वोल्टेज धारा से आगे (leads) है।
यदि $X_L < X_C$ है,तो $\phi$ ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि धारा वोल्टेज से आगे है।
अतः,जब $X_L > X_C$ होता है तो वोल्टेज धारा से आगे होता है।

(C) $L-C-R$ परिपथ में,अनुनादी आवृत्ति $f_0$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
अनुनादी आवृत्ति समान रहने के लिए,$LC$ का गुणनफल स्थिर रहना चाहिए।
मान लीजिए कि नया प्रेरकत्व $L^{\prime}$ है और नई धारिता $C^{\prime} = 4C$ है।
चूंकि $f_0 = f_0^{\prime}$ है,इसलिए हमारे पास है:
$L C = L^{\prime} C^{\prime}$
समीकरण में $C^{\prime} = 4C$ रखने पर:
$L C = L^{\prime} (4 C)$
दोनों पक्षों को $4C$ से विभाजित करने पर:
$L^{\prime} = \frac{L}{4}$
अतः,प्रेरकत्व को $L$ से बदलकर $\frac{L}{4}$ किया जाना चाहिए।

(B) $AC$ का $rms$ मान $V_{rms} = 220 \ V$ दिया गया है।
$AC$ का पीक मान $(V_0)$ इस प्रकार परिकलित किया जाता है: $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms} = 1.414 \times 220 \approx 311 \ V$।
$DC$ के लिए,वोल्टेज $220 \ V$ पर स्थिर रहता है।
चूंकि $220 \ V$ $AC$ का पीक वोल्टेज $311 \ V$ है,जो $DC$ के स्थिर $220 \ V$ से काफी अधिक है,इसलिए $220 \ V$ $AC$,$220 \ V$ $DC$ की तुलना में अधिक खतरनाक है।

(D) एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में,प्रत्यावर्ती वोल्टेज $V = V_m \sin(\omega t)$ और प्रत्यावर्ती धारा $I = I_m \sin(\omega t)$ दोनों समान कला में होते हैं।
चूंकि दोनों एक ही समय पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं,इसलिए वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर $0^{\circ}$ होता है।

(D) दिया गया है:
$I = 5 \sin \left(100 t - \frac{\pi}{2}\right) A$
$e = 200 \sin (100 t) V$
इन समीकरणों की तुलना मानक समीकरणों $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ और $e = E_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ से करने पर,हमें धारा की कला $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ और वोल्टेज की कला $\phi_2 = 0$ प्राप्त होती है।
कलांतर $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ है।
$AC$ परिपथ में औसत शक्ति उपभोग का सूत्र $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos(\phi)$ है।
चूंकि $\phi = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos(\phi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होगा।
अतः,$P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \times 0 = 0 W$.

(C) एक $L-C-R$ परिपथ में,हमें दिया गया है:
$X_L = 2R$ और $X_C = \frac{X_L}{3}$।
$X_L = 2R$ को $X_C$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $X_C = \frac{2R}{3}$ प्राप्त होता है।
$L-C-R$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का सूत्र है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$।
$X_L$ और $X_C$ के मान रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (2R - \frac{2R}{3})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{4R}{3})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{16R^2}{9}} = \sqrt{\frac{25R^2}{9}} = \frac{5R}{3}$।
शक्ति गुणांक को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Z$ का मान रखने पर:
$\cos \phi = \frac{R}{5R/3} = \frac{3}{5} = 0.6$।

(B) $LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
परिपथ $A$ के लिए,घटक श्रेणीक्रम में $R$,$L$ और $C$ हैं। सामान्यतः ऐसे प्रश्नों में,परिपथ $A$ एक श्रेणी $RL$ परिपथ होता है जहाँ $R$ और $X_L = \sqrt{3}R$ होते हैं,जिससे $\cos \phi_A = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\sqrt{3}R)^2}} = \frac{R}{2R} = 0.5$ प्राप्त होता है।
परिपथ $B$ के लिए,यदि यह एक श्रेणी $RC$ परिपथ है जहाँ $R$ और $X_C = R$ हैं,तो $\cos \phi_B = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,परिपथ $B$ और $A$ के शक्ति गुणांक का अनुपात $\sqrt{2}: 1$ है।

(C) दिए गए ट्रांसफार्मर के लिए,प्राथमिक वोल्टेज $V_P = 230 \ V$,द्वितीयक वोल्टेज $V_S = 23 \ V$ और द्वितीयक प्रतिरोध $R_S = 115 \ \Omega$ है।
सबसे पहले,द्वितीयक कुंडली में धारा $(I_S)$ की गणना करें:
$I_S = \frac{V_S}{R_S} = \frac{23 \ V}{115 \ \Omega} = 0.2 \ A$।
एक आदर्श ट्रांसफार्मर में,इनपुट पावर आउटपुट पावर के बराबर होती है $(V_P I_P = V_S I_S)$।
इसलिए,प्राथमिक कुंडली में धारा $(I_P)$ इस प्रकार है:
$I_P = \frac{V_S I_S}{V_P} = \frac{23 \ V \times 0.2 \ A}{230 \ V} = 0.02 \ A$।

(C) एक स्टेप-डाउन ट्रांसफार्मर के लिए, प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या $N_P$, द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या $N_S$ से अधिक होती है। दिया गया है: $N_P = 5000$, $N_S = 500$, $I_P = 4 \,A$, और $V_P = 2200 \,V$.
ट्रांसफार्मर अनुपात के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{N_S}{N_P} = \frac{V_S}{V_P} = \frac{I_P}{I_S}$.
सबसे पहले, द्वितीयक वोल्टेज $V_S$ की गणना करें:
$V_S = V_P \times \frac{N_S}{N_P} = 2200 \times \frac{500}{5000} = 220 \,V$.
इसके बाद, $\frac{V_S}{V_P} = \frac{I_P}{I_S}$ संबंध का उपयोग करके द्वितीयक धारा $I_S$ की गणना करें:
$I_S = I_P \times \frac{V_P}{V_S} = 4 \times \frac{2200}{220} = 40 \,A$.
अतः, धारा $40 \,A$ है और विभवांतर $220 \,V$ है।

(A) ट्रांसफार्मर के लिए,फेरों की संख्या और वोल्टेज के बीच का संबंध ट्रांसफार्मर समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\frac{N_S}{N_P} = \frac{V_S}{V_P}$.
दी गई मान हैं:
प्राथमिक फेरे,$N_P = 100$
प्राथमिक वोल्टेज,$V_P = 100 \,V$
द्वितीयक वोल्टेज,$V_S = 2000 \,V$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{N_S}{100} = \frac{2000}{100}$
$N_S = \frac{2000 \times 100}{100}$
$N_S = 2000$.
अतः,द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या $2000$ है।

(B) बामर श्रेणी में स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए,$n = 4$ है। दिया गया है $\lambda_2 = 4861 Å$:
$\frac{1}{4861} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right) \implies R = \frac{16}{3 \times 4861} \dots (i)$
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n = 3$ है:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$
समीकरण $(i)$ से $R$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_1} = \left( \frac{16}{3 \times 4861} \right) \times \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{80}{108 \times 4861} = \frac{20}{27 \times 4861}$
$\lambda_1 = \frac{27 \times 4861}{20} = \frac{131247}{20} = 6562.35 Å \approx 6563 Å$.

(B) दो ऊर्जा स्तरों $E_i$ और $E_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए ऊर्जा स्तर आरेख से,$C$ से $A$ का संक्रमण $C$ से $B$ और $B$ से $A$ के संक्रमणों का योग है।
इसलिए,ऊर्जा का अंतर है:
$E_C - E_A = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
ऊर्जा-तरंगदैर्घ्य संबंध $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$

(B) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(H)$ के लिए,$Z = 1$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda} = R (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$।
द्वि-आयनित लिथियम $(Li^{2+})$ के लिए,$Z = 3$ है। मान लीजिए तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है।
तब,$\frac{1}{\lambda'} = R (3)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 9 R \left( \frac{5}{36} \right)$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$\frac{1}{\lambda'} = 9 \left( \frac{1}{\lambda} \right)$,जिसका अर्थ है कि $\lambda' = \frac{\lambda}{9}$।

(C) फ्रैंक-हर्ट्ज़ प्रयोग ने पारे (mercury) की वाष्प पर इलेक्ट्रॉनों की बमबारी करके परमाणुओं में असतत ऊर्जा स्तरों के अस्तित्व को प्रदर्शित किया। जब इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा एक विशिष्ट सीमा तक पहुँच जाती है,तो वे पारे के परमाणुओं को ऊर्जा स्थानांतरित कर देते हैं,जिससे वे उच्च ऊर्जा अवस्थाओं में चले जाते हैं। यह क्वांटम सिद्धांत की इस भविष्यवाणी की पुष्टि करता है कि परमाणु की ऊर्जा अवस्थाएँ क्वांटीकृत होती हैं।

(C) हाइड्रोजन-समान परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है:
$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$
जहाँ $Z$ परमाणु संख्या है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
$2^{nd}$ कक्षा $(n=2)$ के लिए ऊर्जा:
$E_2 = -13.6 \frac{Z^2}{2^2} = -13.6 \frac{Z^2}{4} \ eV$
$3^{rd}$ कक्षा $(n=3)$ के लिए ऊर्जा:
$E_3 = -13.6 \frac{Z^2}{3^2} = -13.6 \frac{Z^2}{9} \ eV$
इलेक्ट्रॉन को $2^{nd}$ से $3^{rd}$ कक्षा में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_2 = 47.2 \ eV$ है।
मान रखने पर:
$47.2 = -13.6 \frac{Z^2}{9} - (-13.6 \frac{Z^2}{4})$
$47.2 = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$
$47.2 = 13.6 Z^2 \left( \frac{5}{36} \right)$
$Z^2 = \frac{47.2 \times 36}{13.6 \times 5}$
$Z^2 \approx 25$
$Z = 5$
अतः,परमाणु की परमाणु संख्या $5$ है।

(B) दिया गया है,इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{K r^2}{2}$ है।
इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{d U}{d r} = -\frac{d}{d r} (\frac{K r^2}{2}) = -K r$ है।
वृत्तीय गति के लिए,अभिकेंद्र बल इस बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $F = \frac{m v^2}{r} = K r$।
अतः,$v^2 = \frac{K r^2}{m}$,जिससे $v = r \sqrt{\frac{K}{m}}$ प्राप्त होता है।
बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $L = m v r = \frac{n h}{2 \pi}$ है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $m r (r \sqrt{\frac{K}{m}}) = \frac{n h}{2 \pi}$।
$r^2 \sqrt{K m} = \frac{n h}{2 \pi} \Rightarrow r^2 = \frac{n h}{2 \pi \sqrt{K m}}$।
कुल ऊर्जा $E_n$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E_n = \frac{1}{2} m v^2 + U = \frac{1}{2} m (r^2 \frac{K}{m}) + \frac{K r^2}{2} = \frac{K r^2}{2} + \frac{K r^2}{2} = K r^2$।
$r^2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $E_n = K (\frac{n h}{2 \pi \sqrt{K m}}) = \frac{n h}{2 \pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$।

(B) न्यूनतम उत्तेजन ऊर्जा मूल अवस्था $(n=1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में संक्रमण के अनुरूप होती है।
हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तरों के सूत्र का उपयोग करते हुए: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$.
मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था की ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$ है।
आवश्यक उत्तेजन ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ है।
अतः,न्यूनतम उत्तेजन विभव $10.2 \ V$ है।

(C) श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए तुल्य धारिता $C$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15+10+6}{30} = \frac{31}{30} \mu F^{-1}$
अतः,$C = \frac{30}{31} \mu F$.
श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ समान होता है:
$q = C \times V = \left(\frac{30}{31} \times 10^{-6} \ F\right) \times 155 \ V = 150 \times 10^{-6} \ C = 150 \mu C$.
प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_i = \frac{q}{C_i}$ है:
$V_1 = \frac{150 \mu C}{2 \mu F} = 75 \ V$
$V_2 = \frac{150 \mu C}{3 \mu F} = 50 \ V$
$V_3 = \frac{150 \mu C}{5 \mu F} = 30 \ V$
वोल्टेज की तुलना करने पर,$V_3 = 30 \ V$ सबसे कम विभवांतर है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया है: धारिता $C = 1 \mu F = 10^{-6} \text{ F}$।
दो गोलों के बीच की दूरी $d = r_2 - r_1 = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$।
गोलीय संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = 4 \pi \varepsilon_0 \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1}$ है।
मान रखने पर,$10^{-6} = \frac{1}{9 \times 10^9} \times \frac{r_1 r_2}{10^{-3}}$।
चूंकि $r_1 = r_2 - 10^{-3}$,हमें $9 \times 10^3 = (r_2 - 10^{-3}) r_2$ प्राप्त होता है।
$r_2^2 - 10^{-3} r_2 - 9 = 0$।
द्विघात सूत्र $r_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$r_2 = \frac{10^{-3} \pm \sqrt{10^{-6} - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{10^{-3} \pm \sqrt{36.000001}}{2} \approx \frac{6}{2} = 3 \text{ m}$।

(C) पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ है।
पृथ्वी को एक गोलीय चालक मानते हुए,इसकी धारिता $C$ का सूत्र $C = 4 \pi \varepsilon_0 R$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,इसलिए $4 \pi \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9} \ F/m$।
मान रखने पर:
$C = \frac{6.4 \times 10^6}{9 \times 10^9} \ F$
$C = 0.711 \times 10^{-3} \ F$
$C = 711 \times 10^{-6} \ F = 711 \ \mu F$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,इसकी धारिता लगभग $700 \ \mu F$ है।

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{Q}{V}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Q$ आवेश है और $V$ विभवांतर है।
जब संधारित्र की प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ रखा जाता है,तो आवेश $Q$ स्थिर रहता है (यदि संधारित्र अलग-थलग है)।
नया विभवांतर $V^{\prime}$ मूल विभवांतर $V$ से $V^{\prime} = \frac{V}{K}$ संबंध द्वारा संबंधित होता है।
यह दिया गया है कि विभवांतर मूल मान का $1/8$ हो जाता है,इसलिए $V^{\prime} = \frac{V}{8}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\frac{V}{K} = \frac{V}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,परावैद्युतांक $K = 8$ है।

(C) परावैद्युतांक $K$ वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के लिए,$C_1 = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ और $C_2 = \frac{4 \epsilon_0 A}{d}$ है।
श्रेणीक्रम में तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{2 \epsilon_0 A} + \frac{d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{2d + d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{3d}{4 \epsilon_0 A}$।
अतः,$C_{eq} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$ प्राप्त होता है।
$A$ क्षेत्रफल और $d'$ दूरी वाले तुल्य वायु संधारित्र $(K=1)$ के लिए,धारिता $C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{d'}$ होती है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{\epsilon_0 A}{d'} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$।
$d'$ के लिए हल करने पर,हमें $d' = \frac{3d}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) जब एक संधारित्र को बैटरी ($DC$ स्रोत) से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र चार्ज होना शुरू हो जाता है।
प्रारंभ में,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर शून्य होता है,इसलिए धारा अधिकतम होती है।
जैसे-जैसे संधारित्र चार्ज होता है,इसके सिरों पर विभवांतर बढ़ता जाता है,जो आवेश के प्रवाह का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप,धारा घातांकीय रूप से (exponentially) घटती है।
एक बार जब संधारित्र पूरी तरह से चार्ज हो जाता है,तो संधारित्र का विभवांतर बैटरी के वोल्टेज के बराबर हो जाता है और धारा शून्य हो जाती है।
इस प्रकार,कुछ समय के लिए एक क्षणिक धारा बहती है और अंततः यह शून्य हो जाती है।

(B) बैटरी का विभवांतर $V = 100 \, V$ है।
$C_1 = 4 \, \mu F$ और $C_2 = 8 \, \mu F$ के श्रेणी संयोजन के लिए तुल्य धारिता $C$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1}{8} = \frac{3}{8} \, \mu F^{-1}$
अतः,$C = \frac{8}{3} \, \mu F = \frac{8}{3} \times 10^{-6} \, F$.
श्रेणी संयोजन में संचित ऊर्जा $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{2} C V^2$
मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times \left( \frac{8}{3} \times 10^{-6} \right) \times (100)^2$
$E = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} \times 10^{-6} \times 10^4$
$E = \frac{4}{3} \times 10^{-2} \, J$
$E \approx 1.33 \times 10^{-2} \, J$

(D) जब $C$ धारिता वाले दो समान संधारित्रों को क्रमशः $V_1$ और $V_2$ विभव पर आवेशित किया जाता है,तो उनका प्रारंभिक आवेश $Q_1 = CV_1$ और $Q_2 = CV_2$ होता है।
जब उन्हें समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q_{net} = Q_1 + Q_2$ संरक्षित रहता है।
संधारित्र एक उभयनिष्ठ विभव $V_{common} = \frac{Q_1 + Q_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ प्राप्त करते हैं।
चूंकि $V_{common} = \frac{V_1 + V_2}{2}$,इसलिए कुल विभवांतर प्रारंभिक विभवांतरों के योग $(V_1 + V_2)$ के बराबर नहीं होता है।
आवेश के पुनर्वितरण के दौरान,जोड़ने वाले तारों के माध्यम से आवेश के प्रवाह के कारण कुछ ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,अंतिम कुल संचित ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}(2C)V_{common}^2$ हमेशा प्रारंभिक कुल ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2 + \frac{1}{2}CV_2^2$ से कम होती है।

(A) टेलीविजन प्रसारण एक ब्रॉडकास्ट संचार प्रणाली है।
टेलीविजन प्रसारण के लिए $VHF$ (वेरी हाई फ्रीक्वेंसी) बैंड का उपयोग किया जाता है।
यह बैंड आमतौर पर $30 MHz$ से $300 MHz$ तक की आवृत्तियों को कवर करता है।
अतः,टेलीविजन प्रसारण के लिए सही आवृत्ति सीमा $30-300 MHz$ है।

(B) $AM$ तरंग की कुल शक्ति का सूत्र है: $P_t = P_c(1 + \frac{m^2}{2})$, जहाँ $P_t$ कुल शक्ति है, $P_c$ वाहक शक्ति है, और $m$ मॉड्यूलेशन इंडेक्स है。
दिया गया है: $P_t = 1800 \,W$ और $m = 1$ ($100 \%$ मॉड्यूलेशन के लिए)।
सूत्र में मान रखने पर:
$1800 = P_c(1 + \frac{1^2}{2})$
$1800 = P_c(1 + 0.5)$
$1800 = 1.5 P_c$
$P_c = \frac{1800}{1.5} = 1200 \,W$.
अतः, वाहक शक्ति $1200 \,W$ है।

(A) वाहक सिग्नल की आवृत्ति,$f_c = 1 MHz = 1000 kHz$।
संदेश (स्पीच) सिग्नल की आवृत्ति,$f_m = 3 kHz = 0.003 MHz$।
आयाम मॉडुलन में,साइड बैंड आवृत्तियाँ $(f_c + f_m)$ और $(f_c - f_m)$ द्वारा दी जाती हैं।
अपर साइड बैंड आवृत्ति $= f_c + f_m = 1 MHz + 0.003 MHz = 1.003 MHz$।
लोअर साइड बैंड आवृत्ति $= f_c - f_m = 1 MHz - 0.003 MHz = 0.997 MHz$।

(A) $h$ ऊँचाई वाले $T$.$V$. टावर की रेंज $d$ का सूत्र $d = \sqrt{2Rh}$ है, जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ $h = 100 \, m$ और $R = 6.37 \times 10^6 \, m$ दिया गया है।
$d = \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 100} = \sqrt{12.74 \times 10^8} \approx 35.7 \times 10^3 \, m = 35.7 \, km$.
टावर द्वारा कवर किया गया क्षेत्रफल $A = \pi d^2 = 3.14 \times (35.7)^2 \approx 3.14 \times 1274.49 \approx 4000 \, km^2$ है।
कवर की गई जनसंख्या = $\text{क्षेत्रफल} \times \text{जनसंख्या घनत्व}$.
जनसंख्या = $4000 \, km^2 \times 1000 \, km^{-2} = 4 \times 10^6$.

(C) प्रतिरोध का मान $22 \Omega \pm 5 \%$ दिया गया है।
इसे $22 \times 10^0 \Omega \pm 5 \%$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक प्रतिरोध कलर कोड तालिका के अनुसार:
- पहला अंक $2$ लाल रंग के लिए है।
- दूसरा अंक $2$ लाल रंग के लिए है।
- गुणक $10^0$ काले रंग के लिए है।
- $5 \%$ की टॉलरेंस (सहनशीलता) सुनहरे रंग के लिए है।
अतः,रंगों का क्रम लाल,लाल,काला,सुनहरा है।

(B) दिया गया है: तांबे के तार की त्रिज्या $r = 0.1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-4} \text{ m}$।
प्रतिरोध $R = 2 \text{ k}\Omega = 2 \times 10^3 \Omega$।
वोल्टेज $V = 40 \text{ V}$।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,तार से प्रवाहित धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R} = \frac{40}{2 \times 10^3} = 2 \times 10^{-2} \text{ A}$।
प्रति सेकंड प्रवाहित आवेश $q$,धारा $I$ के बराबर है (क्योंकि $q = I \times t$ और $t = 1 \text{ s}$):
$q = 2 \times 10^{-2} \text{ C}$।
प्रति सेकंड स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{q}{e}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ प्राथमिक आवेश है:
$n = \frac{2 \times 10^{-2}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^{17} \text{ इलेक्ट्रॉन}$।

(B) माना एमीटर द्वारा मापी गई कुल धारा $I = 5 \, A$ है।
माना प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I_1$ है और वोल्टमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $I_2$ है।
किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार, $I = I_1 + I_2$।
इसलिए, $I_1 = I - I_2 = 5 - I_2$।
चूंकि वोल्टमीटर का प्रतिरोध बहुत अधिक होता है, इसलिए इसमें से बहुत कम धारा $I_2$ प्रवाहित होती है, अतः $I_2 > 0$।
इसका अर्थ है कि $I_1 < 5 \, A$।
प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर $V = 40 \, V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $I_1 = V / R = 40 / R$।
इस मान को असमिका $I_1 < 5$ में रखने पर, हमें $40 / R < 5$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए हल करने पर, हमें $R > 40 / 5$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $R > 8 \, \Omega$।

(C) दिया गया है, संतुलन लंबाई $l_1 = 560 \, cm$ और बाहरी प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$ है।
जब एक बाहरी प्रतिरोध को समानांतर में जोड़ा जाता है, तो संतुलन लंबाई कम हो जाती है। अतः, $l_2 = 560 \, cm - 60 \, cm = 500 \, cm$ है।
विभवमापी का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) R$ है।
मान रखने पर: $r = \left( \frac{560 - 500}{500} \right) \times 10 \, \Omega$.
$r = \left( \frac{60}{500} \right) \times 10 \, \Omega = \frac{6}{5} \, \Omega = 1.2 \, \Omega$.

(C) दिया गया है:
विभवमापी के तार का प्रतिरोध,$R = 4 \ \Omega$
सेल का विद्युत वाहक बल,$E = 2 \ V$
सेल का आंतरिक प्रतिरोध,$r = 1 \ \Omega$
विभवमापी का तार और सेल का आंतरिक प्रतिरोध,emf स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में प्रवाहित कुल धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{E}{R + r}$
मान रखने पर:
$I = \frac{2 \ V}{4 \ \Omega + 1 \ \Omega} = \frac{2}{5} \ A = 0.4 \ A$
अतः,विभवमापी के तार से प्रवाहित होने वाली धारा $0.4 \ A$ है।

(B) जब $R$ प्रतिरोध वाले वोल्टमीटर को $r$ प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{Rr}{R+r}$ होता है।
वोल्टमीटर द्वारा मापा गया विभवांतर $V' = I \times R_{eq} = I \times \frac{Rr}{R+r}$ है,जहाँ $I$ शाखा से प्रवाहित धारा है।
वोल्टमीटर की अनुपस्थिति में $r$ के सिरों के बीच वास्तविक विभवांतर $V = I \times r$ है।
मापे गए विभवांतर $V'$ को वास्तविक विभवांतर $V$ के जितना संभव हो सके उतना करीब लाने के लिए,अनुपात $\frac{V'}{V} = \frac{R}{R+r}$ का मान $1$ के जितना संभव हो सके उतना करीब होना चाहिए।
यह तब होता है जब $R \gg r$ हो (अर्थात $R$,$r$ से बहुत बड़ा हो)।
इसलिए,जब $R > r$ होता है,तो रीडिंग वास्तविक मान के सबसे निकट होती है।

(B) जब $E$ $\operatorname{emf}$ और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले एक सेल को $R$ प्रतिरोध के बाहरी प्रतिरोधक से जोड़ा जाता है,तो परिपथ एक बंद लूप बनाता है।
संपूर्ण परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है।
सेल के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $V$ बाहरी प्रतिरोधक $R$ के सिरों पर विभवांतर है,जो $V = I R$ है।
वैकल्पिक रूप से,आंतरिक गिरावट को ध्यान में रखते हुए,टर्मिनल विभवांतर $\operatorname{emf}$ में से आंतरिक प्रतिरोध पर विभवांतर को घटाने पर प्राप्त होता है: $V = E - I r$.
दोनों व्यंजक सेल के टर्मिनल विभवांतर को दर्शाते हैं।

(C) $t$ तापमान पर तार का प्रतिरोध $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ $0^{\circ} C$ पर प्रतिरोध है और $\alpha$ प्रतिरोध का तापमान गुणांक है।
दिया गया है: $R_{150} = 133 \Omega$ और $\alpha = 0.0045^{\circ} C^{-1}$।
$t = 150^{\circ} C$ के लिए:
$133 = R_0(1 + 150 \times 0.0045) = R_0(1 + 0.675) = 1.675 R_0$
$R_0 = \frac{133}{1.675} \approx 79.403 \Omega$
अब,$t = 500^{\circ} C$ के लिए:
$R_{500} = R_0(1 + 500 \times 0.0045) = R_0(1 + 2.25) = 3.25 R_0$
$R_0$ का मान रखने पर:
$R_{500} = 3.25 \times \frac{133}{1.675} = \frac{432.25}{1.675} \approx 258.06 \Omega$
अतः,$500^{\circ} C$ पर प्रतिरोध लगभग $258 \Omega$ है।

(C) $T_1$ और $T_2$ तापमान पर एक चालक के लिए $V-I$ ग्राफ चित्र में दर्शाया गया है।
हम जानते हैं कि चालक का प्रतिरोध $R$ उसके तापमान $T$ के सीधे समानुपाती होता है (अर्थात $R \propto T$)।
$V-I$ ग्राफ के लिए,ढाल (slope) प्रतिरोध $R = \frac{V}{I}$ को दर्शाता है।
चित्र से,$I$-अक्ष के साथ $T_1$ के लिए रेखा की ढाल $\tan \theta$ है। अतः,$R_1 \propto \tan \theta \Rightarrow R_1 = K \tan \theta$,जहाँ $K$ एक नियतांक है।
इसी प्रकार,$I$-अक्ष के साथ $T_2$ के लिए रेखा की ढाल $\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ है। अतः,$R_2 \propto \cot \theta \Rightarrow R_2 = K \cot \theta$.
इसलिए,$T_2 - T_1 \propto R_2 - R_1 = K(\cot \theta - \tan \theta)$.
$T_2 - T_1 \propto K \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) = K \left( \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2 \theta$ और $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_2 - T_1 \propto K \left( \frac{\cos 2 \theta}{\frac{1}{2} \sin 2 \theta} \right) = 2K \cot 2 \theta$.
अतः,$T_2 - T_1 \propto \cot 2 \theta$.

(A) दिया गया है: लंबाई, $l = 5 \, m$.
बाहरी व्यास, $d_1 = 0.1 \, m$.
बाहरी त्रिज्या, $r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \, m$.
मोटाई, $t = 0.005 \, m$.
आंतरिक त्रिज्या, $r_2 = r_1 - t = 0.05 - 0.005 = 0.045 \, m$.
खोखली नली के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, $A = \pi(r_1^2 - r_2^2)$.
$A = 3.14 \times [(0.05)^2 - (0.045)^2] = 3.14 \times (0.0025 - 0.002025) = 3.14 \times 0.000475 = 1.4915 \times 10^{-3} \, m^2$.
प्रतिरोध, $R = \rho \cdot \frac{l}{A} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{5}{1.4915 \times 10^{-3}}$.
$R \approx 5.7 \times 10^{-5} \, \Omega$.

(A) तार का प्रतिरोध $R = \frac{S l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार श्रेणी क्रम में जुड़े हैं,कुल प्रतिरोध $R$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग है: $R = R_1 + R_2$.
प्रतिरोध के सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{S(l_1 + l_2)}{A} = \frac{S_1 l_1}{A} + \frac{S_2 l_2}{A}$.
चूंकि व्यास समान हैं,इसलिए दोनों तारों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान रहेगा।
दोनों पक्षों से $A$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $S(l_1 + l_2) = S_1 l_1 + S_2 l_2$.
अतः,तुल्य प्रतिरोधकता $S$ का मान है: $S = \frac{S_1 l_1 + S_2 l_2}{l_1 + l_2}$।

(A) एक संतुलित मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति का सूत्र $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ है,जहाँ $R$ अज्ञात प्रतिरोध है,$S$ ज्ञात प्रतिरोध है और $l$ संतुलन लंबाई है।
यहाँ ज्ञात प्रतिरोध $S = 70 \Omega$ है और इसके विपरीत खंड $l = 70 \text{ cm}$ है।
सूत्र के अनुसार: $R = S \times \frac{100-l}{l} = 70 \times \frac{100-70}{70} = 70 \times \frac{30}{70} = 30 \Omega$.
अतः,अज्ञात प्रतिरोध $30 \Omega$ है।

(D) दिए गए परिपथ में बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच तीन समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं।
$1$. बाईं शाखा में $R_A = 2 \Omega$ और $R_D = 6 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_1 = 2 + 6 = 8 \Omega$ है।
$2$. मध्य शाखा में $3 \Omega$ का प्रतिरोध है। अतः, $R_2 = 3 \Omega$।
$3$. दाईं शाखा में $R_B = 4 \Omega$ और $R_C = 12 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_3 = 4 + 12 = 16 \Omega$ है।
चूंकि ये तीनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं, इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{PQ}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{16}$।
$8, 3, 16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $48$ है:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{6 + 16 + 3}{48} = \frac{25}{48} \Omega^{-1}$।
अतः, $R_{PQ} = \frac{48}{25} \Omega = 1.92 \Omega$।
कुल धारा $I = 1.5 \text{ A}$ इस तुल्य प्रतिरोध से होकर बहती है।
विभवांतर $V_{PQ} = I \cdot R_{PQ} = 1.5 \times 1.92 = 2.88 \text{ V}$।

(A) आइंस्टीन के विशेष सापेक्षता के सिद्धांत की दूसरी अभिधारणा के अनुसार,निर्वात में प्रकाश की गति एक सार्वभौमिक स्थिरांक $c$ $(3 \times 10^8 \ m/s)$ है।
यह गति स्रोत की गति या प्रेक्षक की गति से स्वतंत्र है।
इसलिए,स्रोत प्रेक्षक से चाहे किसी भी $v$ वेग से दूर जा रहा हो,प्रेक्षक के सापेक्ष प्रकाश का आपेक्षिक वेग $c$ ही रहता है।

(A) आपतित पराबैंगनी विकिरण की ऊर्जा,$E = 6.2 eV$ है।
एल्युमीनियम सतह का कार्य-फलन,$\phi = 4.2 eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = E - \phi$
$K_{\max} = 6.2 eV - 4.2 eV = 2.0 eV$।
इस ऊर्जा को जूल (Joule) में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारक $1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$ का उपयोग करते हैं:
$K_{\max} = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 3.2 \times 10^{-19} J$।

(A) विकिरण की तीव्रता $I = 0.5 \ Wm^{-2}$ दी गई है।
पूर्ण अवशोषक सतह के लिए,विकिरण दाब $p$ का सूत्र $p = \frac{I}{c}$ है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^8 \ ms^{-1})$।
मान रखने पर:
$p = \frac{0.5}{3 \times 10^8}$
$p = 0.166 \times 10^{-8} \ Nm^{-2}$।

(C) दिया गया है: कार्य फलन $\phi_0 = 1.24 eV$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4.36 \times 10^{-7} m$.
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $hc \approx 1240 eV \cdot nm = 1240 \times 10^{-9} eV \cdot m$.
$E = \frac{1240 \times 10^{-9} eV \cdot m}{4.36 \times 10^{-7} m} \approx 2.844 eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_0$.
$K_{max} = 2.844 eV - 1.24 eV = 1.604 eV$.
चूंकि $K_{max} = eV_0$,इसलिए मंदक विभव $V_0 = 1.604 V \approx 1.60 V$ है।

(B) जब धातु की सतह पर आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य देहली (क्रांतिक) तरंगदैर्ध्य से कम होती है, तब प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $KE_{max} = h\nu - \Phi$, जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
$1$. तापायनिक उत्सर्जन उच्च तापमान पर होता है, न कि प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन।
$2$. प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन तब होता है यदि आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda$, देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ (क्रांतिक मान) से कम हो।
$3$. फोटोइलेक्ट्रॉन की $KE$ आपतित विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करती है, आयाम पर नहीं।
$4$. प्रकाश-विद्युत धारा आपतित विकिरण की तीव्रता के समानुपाती होती है, आवृत्ति के नहीं।
अतः, कथन $2$ सही है।

(A) फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4000 \text{ Å} = 4000 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$ दी गई है।
फोटॉन की ऊर्जा $E$ की गणना सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा की जाती है,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$ (प्लांक नियतांक) और $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ (प्रकाश की गति) है।
मान रखने पर:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}}$
$E = \frac{19.878 \times 10^{-26}}{4 \times 10^{-7}}$
$E = 4.9695 \times 10^{-19} \text{ J}$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $E \approx 4.95 \times 10^{-19} \text{ J}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
चूंकि $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,इसलिए:
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \frac{hc - \lambda\phi}{\lambda}$
$v_{\max}^2 = \frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}$
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}}$