MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ વક્રો $C_1: x^2-4y^2=2$ અને $C_2: 8x^2+my^2=40$ છે.
$C_1$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x - 8y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4y} = m_1$.
$C_2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $16x + 2my \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{my} = m_2$.
વક્રો લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$(\frac{x}{4y}) \times (-\frac{8x}{my}) = -1 \implies \frac{8x^2}{4my^2} = 1 \implies 2x^2 = my^2$.
$C_1$ પરથી,$x^2 = 2 + 4y^2$. આ કિંમત શરતમાં મૂકતા: $2(2 + 4y^2) = my^2 \implies 4 + 8y^2 = my^2 \implies (m-8)y^2 = 4$.
વક્રો બિંદુ $(x, y)$ પર છેદે છે,તેથી સમીકરણો ઉકેલતા: $x^2 - 4y^2 = 2$ અને $8x^2 + my^2 = 40$.
પ્રથમ સમીકરણને $8$ વડે ગુણતા: $8x^2 - 32y^2 = 16$.
બીજામાંથી બાદ કરતા: $(m+32)y^2 = 24 \implies y^2 = \frac{24}{m+32}$.
$y^2$ ની કિંમત $x^2 = 2 + 4y^2$ માં મૂકતા: $x^2 = 2 + \frac{96}{m+32} = \frac{2m+160}{m+32}$.
$2x^2 = my^2$ માં મૂકતા: $2(\frac{2m+160}{m+32}) = m(\frac{24}{m+32}) \implies 4m + 320 = 24m \implies 20m = 320 \implies m = 16$.

(B) આપેલ વક્ર $x^2 = y - 6$ છે,જેને $y = x^2 + 6$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(1, 7)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dy}{dx} = 2x$.
બિંદુ $(1, 7)$ આગળ,ઢાળ $m = 2(1) = 2$ થાય.
બિંદુ $(1, 7)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 7 = 2(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y + 5 = 0$ થાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 16x + 12y + C = 0$ ને સ્પર્શે છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-8, -6)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2 - C} = \sqrt{64 + 36 - C} = \sqrt{100 - C}$ છે.
કેન્દ્ર $(-8, -6)$ થી રેખા $2x - y + 5 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$r = \frac{|2(-8) - (-6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-16 + 6 + 5|}{\sqrt{5}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $r^2 = 5$ મળે,તેથી $100 - C = 5$,જેનો અર્થ છે કે $C = 95$.

(D) ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
વક્ર $y^2 = 6x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 6$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{y_1}$ મળે. ધારો કે $m_1 = \frac{3}{y_1}$.
વક્ર $9x^2 + by^2 = 16$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{9x_1}{by_1}$ મળે. ધારો કે $m_2 = -\frac{9x_1}{by_1}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $(\frac{3}{y_1}) \times (-\frac{9x_1}{by_1}) = -1$,તેથી $\frac{27x_1}{by_1^2} = 1$. $y_1^2 = 6x_1$ હોવાથી,$\frac{27x_1}{b(6x_1)} = 1$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{27}{6b} = 1$,તેથી $b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ મળે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $4y^2 - 4y + 2x - 1 = 0$ છે.
જ્યારે સ્પર્શક $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય,ત્યારે $\frac{dx}{dy} = 0$ થાય.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dy}(4y^2 - 4y + 2x - 1) = 0$
$8y - 4 + 2\frac{dx}{dy} = 0$
$2\frac{dx}{dy} = 4 - 8y$
$\frac{dx}{dy} = 2 - 4y$
$\frac{dx}{dy} = 0$ લેતા,$2 - 4y = 0 \implies y = \frac{1}{2}$.
હવે,$y = \frac{1}{2}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 2x - 1 = 0$
$1 - 2 + 2x - 1 = 0$
$2x - 2 = 0 \implies x = 1$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(1, \frac{1}{2})$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $xy = 100$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે.
બિંદુ $(5, 20)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{20}{5} = -4$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 20 = -4(x - 5) \implies y - 20 = -4x + 20 \implies 4x + y - 40 = 0$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{1}{4}$ થાય.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 20 = \frac{1}{4}(x - 5) \implies 4y - 80 = x - 5 \implies x - 4y + 75 = 0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(4x + y - 40)(x - 4y + 75) = 0$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા: $4x^2 - 16xy + 300x + xy - 4y^2 + 75y - 40x + 160y - 3000 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા: $4x^2 - 15xy - 4y^2 + 260x + 235y - 3000 = 0$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ સાચો નથી.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
તેથી $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$,જે સૂચવે છે કે $(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
કારણ કે $x$ વાસ્તવિક છે,વિવેચક $D \ge 0$ થાય.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1)^2 - [2(y-1)]^2 \ge 0$.
$(y+1-2y+2)(y+1+2y-2) \ge 0$.
$(3-y)(3y-1) \ge 0$.
$(y-3)(3y-1) \le 0$.
આમ,$\frac{1}{3} \le y \le 3$.
મહત્તમ કિંમત $3$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.
તેમનો તફાવત $3 - \frac{1}{3} = \frac{9-1}{3} = \frac{8}{3}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ:
$x+\log_{15}(5+3^x)=x\log_{15}5+\log_{15}24$
$x$ ને $\log_{15}(15^x)$ તરીકે લખતા:
$\log_{15}(15^x)+\log_{15}(5+3^x)=\log_{15}(5^x)+\log_{15}24$
$\log(a)+\log(b)=\log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{15}(15^x(5+3^x))=\log_{15}(24 \cdot 5^x)$
બંને બાજુના પદોને સરખાવતા:
$15^x(5+3^x)=24 \cdot 5^x$
$15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x$ હોવાથી:
$3^x \cdot 5^x(5+3^x)=24 \cdot 5^x$
બંને બાજુ $5^x$ વડે ભાગતા $(5^x \neq 0)$:
$3^x(5+3^x)=24$
ધારો કે $t=3^x$. તો:
$t(5+t)=24$
$t^2+5t-24=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t+8)(t-3)=0$
$t=3^x > 0$ હોવાથી,$t=3$ મળે:
$3^x=3^1$
$x=1$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{\log_3 x^{16}} + 9\log_{27}\sqrt[3]{\frac{3}{x}} = 5$.
પ્રથમ પદનું સાદુંરૂપ:
$\sqrt{\log_3 x^{16}} = \sqrt{16\log_3 x} = 4\sqrt{\log_3 x}$.
બીજા પદનું સાદુંરૂપ:
$9\log_{27}\sqrt[3]{\frac{3}{x}} = 9 \cdot \log_{3^3} (\frac{3}{x})^{1/3} = 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \log_3(\frac{3}{x}) = 1 \cdot (\log_3 3 - \log_3 x) = 1 - \log_3 x$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$4\sqrt{\log_3 x} + 1 - \log_3 x = 5$.
સમીકરણને ગોઠવતા:
$4\sqrt{\log_3 x} - \log_3 x = 4$.
ધારો કે $t = \sqrt{\log_3 x}$,તો $t^2 = \log_3 x$:
$4t - t^2 = 4 \Rightarrow t^2 - 4t + 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t - 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$.
કારણ કે $t = \sqrt{\log_3 x} = 2$,તેથી $\log_3 x = 4$.
તેથી,$x = 3^4 = 81$.

(D) આપેલ છે:
$p^3 = q^4 = r^6 = t^7 = s^2 = k$
દરેક ચલને $k$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$p = k^{1/3}, q = k^{1/4}, r = k^{1/6}, s = k^{1/2}, t = k^{1/7}$
ગુણાકાર $pqrs$ શોધો:
$pqrs = k^{1/3} \times k^{1/4} \times k^{1/6} \times k^{1/2} = k^{(1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/2)}$
ઘાતાંકોનો સરવાળો ગણો:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{4 + 3 + 2 + 6}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$
તેથી,$pqrs = k^{5/4}$
હવે લઘુગણકનું મૂલ્ય શોધો:
$\log_t(pqrs) = \log_{k^{1/7}}(k^{5/4})$
ગુણધર્મ $\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n} \log_a(b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{k^{1/7}}(k^{5/4}) = \frac{5/4}{1/7} = \frac{5}{4} \times 7 = \frac{35}{4}$

(A) છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાઓ $x-y=0$ અને $x+y=0$ દ્વારા સીમિત છે.
રેખા $x-y=0$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશમાં એક બિંદુ,જેમ કે $(1, 0)$ લેતા,$1-0=1 > 0$ મળે છે. જોકે,પ્રદેશમાં રેખાનો પણ સમાવેશ થાય છે,તેથી આપણે $y=x$ રેખાની નીચેના પ્રદેશ માટે $x-y \leq 0$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
આલેખ જોતા,છાયાંકિત પ્રદેશ $y=x$ રેખાની નીચે (એટલે કે $y \geq x$ અથવા $x-y \leq 0$) અને $y=-x$ રેખાની ઉપર (એટલે કે $y \geq -x$ અથવા $x+y \geq 0$) આવેલો છે.
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશ દર્શાવતી અસમતાઓ $x-y \leq 0$ અને $x+y \geq 0$ છે.

(D) આપણે નિત્યસમ ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,પ્રથમ બે પદો લો: ${ }^{15} C_4+{ }^{15} C_5 = { }^{16} C_5$.
હવે,પદાવલિ ${ }^{16} C_5+{ }^{16} C_6+{ }^{17} C_7+{ }^{18} C_8$ બને છે.
આગળ,${ }^{16} C_5+{ }^{16} C_6 = { }^{17} C_6$.
હવે,પદાવલિ ${ }^{17} C_6+{ }^{17} C_7+{ }^{18} C_8$ બને છે.
આગળ,${ }^{17} C_6+{ }^{17} C_7 = { }^{18} C_7$.
હવે,પદાવલિ ${ }^{18} C_7+{ }^{18} C_8$ બને છે.
અંતે,${ }^{18} C_7+{ }^{18} C_8 = { }^{19} C_8$.
આપેલ છે કે ${ }^{19} C_8 = { }^{19} C_{r}$,આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^{n} C_{x} = { }^{n} C_{y}$ નો અર્થ $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય છે.
અહીં,$r = 8$ અથવા $r = 19 - 8 = 11$.

(A) આપણે નિત્યસમ ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = {}^{47}C_4 + ({}^{51}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{49}C_3 + {}^{48}C_3 + {}^{47}C_3)$.
પદોને ગોઠવતા:
$S = ({}^{47}C_4 + {}^{47}C_3) + {}^{48}C_3 + {}^{49}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
નિત્યસમ ${}^{47}C_4 + {}^{47}C_3 = {}^{48}C_4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = ({}^{48}C_4 + {}^{48}C_3) + {}^{49}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
નિત્યસમ ${}^{48}C_4 + {}^{48}C_3 = {}^{49}C_4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = ({}^{49}C_4 + {}^{49}C_3) + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા:
$S = ({}^{50}C_4 + {}^{50}C_3) + {}^{51}C_3 = {}^{51}C_4 + {}^{51}C_3 = {}^{52}C_4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{k+1}{ }^{n} C_k = \frac{1}{n+1}{ }^{n+1} C_{k+1}$.
આપેલ સરવાળામાં આ કિંમત મૂકતા:
$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1}{ }^{n} C_k = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1}{ }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} { }^{n+1} C_{k+1}$.
ધારો કે $j = k+1$,તો સરવાળો $\frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} { }^{n+1} C_j$ થાય.
કારણ કે $\sum_{j=0}^{n+1} { }^{n+1} C_j = 2^{n+1}$,તેથી $\sum_{j=1}^{n+1} { }^{n+1} C_j = 2^{n+1} - { }^{n+1} C_0 = 2^{n+1} - 1$.
આમ,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$.
છેદની સરખામણી કરતા,$n+1 = 10 \implies n = 9$.
અંશ તપાસતા: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$.
તેથી,$n = 9$.

(C) રેખાઓની જોડ $x^2 - y^2 - 2x + 4y - 3 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $(x - 1)^2 - (y - 2)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આથી રેખાઓ $x - y + 1 = 0$ અને $x + y - 3 = 0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ છે: $h - k = -1$ અને $h + k = 3$.
ઉકેલતા $h = 1$ અને $k = 2$ મળે છે.
વર્તુળ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 1$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+kx+(1-k)y+5=0$ છે.
વર્તુળના સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=k/2$ અને $f=(1-k)/2$ મળે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{(1-k)^2}{4} - 5}$.
વર્તુળ માટે $r^2 > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $2k^2 - 2k - 19 > 0$.
$r \le 5$ માટે $r^2 \le 25$,તેથી $2k^2 - 2k - 119 \le 0$.
ઉકેલતા $k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $12$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને તે $A(2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ એ ઉગમબિંદુથી $A$ સુધીનું અંતર છે:
$R = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ હોય છે.
મધ્યકેન્દ્રથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર એ પરિત્રિજ્યા $R$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તેની કુલ લંબાઈ $L = \frac{3}{2}R$ છે.
$R = 2\sqrt{5}$ મૂકતા:
$L = \frac{3}{2} \times 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ એકમ.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-2$,$f=3$,અને $c=-12$ મળે છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_1 = (-g, -f) = (2, -3)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9+12} = 5$ છે.
વર્તુળ $S$ માટે જીવાની લંબાઈ $2r_1 = 10$ છે.
વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $C_2 = (-3, 2)$ છે. $C_2$ થી જીવા પરના લંબનું અંતર $d = \sqrt{(-3-2)^2 + (2-(-3))^2} = \sqrt{25+25} = 5\sqrt{2}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$R^2 = d^2 + (\text{જીવાની અડધી લંબાઈ})^2 = (5\sqrt{2})^2 + 5^2 = 50 + 25 = 75$.
તેથી,$R = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-14x-10y-151=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-7$,$f=-5$,અને $c=-151$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (7, 5)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-7)^2+(-5)^2-(-151)} = \sqrt{49+25+151} = \sqrt{225} = 15$ છે.
બિંદુ $P(2, -7)$ અને કેન્દ્ર $C(7, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(7-2)^2 + (5-(-7))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
અંતર $d=13$ એ ત્રિજ્યા $r=15$ કરતા ઓછું હોવાથી,બિંદુ $P$ વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
વર્તુળની અંદરના બિંદુ માટે,વર્તુળથી લઘુત્તમ અંતર $r-d = 15-13 = 2$ અને મહત્તમ અંતર $r+d = 15+13 = 28$ થાય છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ છે.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -2$,$f = -1$,અને $c = -20$ મળે છે.
કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (2, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$.
અંતર $AC = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
લઘુત્તમ અંતર $AM = AC - r = 10 - 5 = 5$.
$MM'$ એ વ્યાસ હોવાથી,$M'$ એ $A$ થી સૌથી દૂરનું બિંદુ છે.
મહત્તમ અંતર $AM' = AC + r = 10 + 5 = 15$.
આમ,લંબાઈ $5$ અને $15$ એકમ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે. બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ વર્તુળ પર છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1+yy_1=r^2$ છે,જે $\sqrt{3}x+y=4$ મળે છે.
સ્પર્શક માટે,$y=0$ લેતા $X$-અંતઃખંડ $x = \frac{4}{\sqrt{3}}$ મળે. તેથી બિંદુ $A(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુ આગળનો અભિલંબ કેન્દ્ર $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $(0, 0)$ અને $(\sqrt{3}, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અથવા $x - \sqrt{3}y = 0$ છે.
અભિલંબનો $X$-અંતઃખંડ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ અને $P(\sqrt{3}, 1)$ છે.
$X$-અક્ષ પરનો પાયો $OA = \frac{4}{\sqrt{3}}$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=36$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=6$ છે.
આપેલ રેખા $5x+y=2$ છે,જેને $y=-5x+2$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1=-5$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times (-5) = -1$ શરતનું પાલન કરે છે,જે $m = \frac{1}{5}$ આપે છે.
$m$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ અથવા $mx - y + c = 0$ છે. અહીં,$\frac{1}{5}x - y + c = 0$,જે $x - 5y + 5c = 0$ માં પરિણમે છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી સ્પર્શક રેખા $x - 5y + 5c = 0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r=6$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$6 = \frac{|0 - 0 + 5c|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}$.
$6 = \frac{|5c|}{\sqrt{26}} \implies |5c| = 6\sqrt{26} \implies 5c = \pm 6\sqrt{26}$.
$5c$ ની કિંમત $x - 5y + 5c = 0$ માં મૂકતા,આપણને $x - 5y \pm 6\sqrt{26} = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=36$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=6$ અને કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
રેખા $5x+y-2=0$ ને લંબ રેખાનું સ્વરૂપ $x-5y+k=0$ થશે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી સ્પર્શક $x-5y+k=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r=6$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$6 = \frac{|1(0)-5(0)+k|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}$.
$6 = \frac{|k|}{\sqrt{26}}$,જેનો અર્થ છે કે $|k| = 6\sqrt{26}$.
આમ,$k = \pm 6\sqrt{26}$.
તેથી સ્પર્શકોના સમીકરણો $x-5y \pm 6\sqrt{26}=0$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ છે.
કેન્દ્ર $C(-3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
બિંદુ $P(-4, -5)$ થી કેન્દ્ર $C$ નું અંતર $d = \sqrt{1^2 + 7^2} = 5\sqrt{2}$ છે.
સ્પર્શક અને કેન્દ્રને જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $25$ છે અને બે વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{25\pi}{4}$ છે.
માગેલ ક્ષેત્રફળ $25 - \frac{25\pi}{4} = 25\left(\frac{4-\pi}{4}\right)$ ચોરસ એકમ છે.

(A) સ્પર્શબિંદુ એ કેન્દ્ર $(-1, 1)$ માંથી રેખા $x + 2y + 4 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ છે.
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $2$ છે (કારણ કે $x + 2y + 4 = 0$ નો ઢાળ $-1/2$ છે).
આ લંબ રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = 2(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 2x + 3$ થાય છે.
$y = 2x + 3$ ને આપેલ રેખાના સમીકરણ $x + 2(2x + 3) + 4 = 0$ માં મૂકતા:
$x + 4x + 6 + 4 = 0$
$5x + 10 = 0$
$x = -2$.
$x = -2$ ને $y = 2x + 3$ માં મૂકતા:
$y = 2(-2) + 3 = -1$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(-2, -1)$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=2^2$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=2$ અને કેન્દ્ર $O=(0,0)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $(-4,0)$ છે. અંતર $OP = 4$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં (જ્યાં $\angle OAP = 90^\circ$ કારણ કે $PA$ સ્પર્શક છે),
$OA = r = 2$ અને $OP = 4$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AP = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
$\triangle OAP$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.
ચતુષ્કોણ $PAOB$ એ બે એકરૂપ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ અને $\triangle OBP$ થી બનેલો હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-7)^2+(y+1)^2=25$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(7, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી કેન્દ્ર $C(7, -1)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sin(\alpha) = \frac{r}{d}$ છે.
આમ,$\sin(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{50}}$.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{50}}\right)$ છે.

(A) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે,જ્યાં $a = 1$. તેથી,$y = mx + \frac{1}{m}$.
આને $mx - y + \frac{1}{m} = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $(x-3)^2 + y^2 = 9$ નો પણ સ્પર્શક છે,જેનું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખા $mx - y + \frac{1}{m} = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(3) - 0 + \frac{1}{m}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 3$
$|3m + \frac{1}{m}| = 3\sqrt{m^2 + 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3m + \frac{1}{m})^2 = 9(m^2 + 1)$
$9m^2 + 6 + \frac{1}{m^2} = 9m^2 + 9$
$\frac{1}{m^2} = 3 \implies m^2 = \frac{1}{3} \implies m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,આપણે ધન ઢાળ $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ લઈશું.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મૂકતા: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$,એટલે કે $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=16$ છે,જેની ત્રિજ્યા $r=4$ અને કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
ધારો કે $P(h,k)$ એ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી કેન્દ્ર અને $P$ ને જોડતી રેખા અને સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ થાય.
કેન્દ્ર,સ્પર્શબિંદુ અને $P$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\sin(30^{\circ}) = \frac{r}{OP}$ મળે.
$\frac{1}{2} = \frac{4}{\sqrt{h^2+k^2}}$.
$\sqrt{h^2+k^2} = 8$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^2+k^2=64$ મળે.
$(h,k)$ ને $(x,y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2+y^2=64$ થાય.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2-6x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2+0^2-0} = 3$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+6x+2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-3, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-3)^2+(-1)^2-1} = \sqrt{9+1-1} = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$ છે.
અહીં $r_1 + r_2 = 3 + 3 = 6$ અને $\sqrt{36} < \sqrt{37}$ હોવાથી,$d > r_1 + r_2$ મળે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાની બહાર છે અને એકબીજાને સ્પર્શતા નથી.
તેથી,દોરી શકાય તેવા સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $4$ છે.

(D) આપેલ છે $\frac{2z-n}{2z+n} = 2i-1$.
ધારો કે $2z = x+iy$. કારણ કે $\operatorname{Im}(z)=10$, તેથી $\operatorname{Im}(2z) = 20$. એટલે કે $2z = x+20i$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x+20i-n}{x+20i+n} = 2i-1$.
$(x-n)+20i = (2i-1)(x+n+20i)$.
$(x-n)+20i = 2i(x+n) + 40i^2 - (x+n) - 20i$.
$(x-n)+20i = 2i(x+n) - 40 - (x+n) - 20i$.
$(x-n)+20i = -(x+n+40) + i(2x+2n-20)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $x-n = -(x+n+40) \implies x-n = -x-n-40 \implies 2x = -40 \implies x = -20$.
તેથી $2z = -20+20i$, એટલે કે $z = -10+10i$. આમ $\operatorname{Re}(z) = -10$.
કાલ્પનિક ભાગ: $20 = 2x+2n-20$.
$x=-20$ મૂકતા: $20 = 2(-20)+2n-20 \implies 20 = -40+2n-20 \implies 20 = 2n-60 \implies 2n = 80 \implies n = 40$.
તેથી, $n=40$ અને $\operatorname{Re}(z)=-10$.

(C) ધારો કે $z = 6+8i$. આપણે $\sqrt{z}$ નો માનાંક શોધવો છે.
સંકર સંખ્યાના માનાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|}$.
પ્રથમ,$z = 6+8i$ નો માનાંક શોધો:
$|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
તેથી,વર્ગમૂળનો માનાંક $\sqrt{|z|} = \sqrt{10}$ થાય.

(D) ધારો કે $z = -7 + 24i$,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$.
$z$ નો અનુબદ્ધ $\bar{z} = -7 - 24i$ છે.
આપણે $\bar{z}$ ના વર્ગમૂળનું માન શોધવાનું છે,જે $|\sqrt{\bar{z}}|$ છે.
માનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|\sqrt{\bar{z}}| = \sqrt{|\bar{z}|}$.
$\bar{z}$ નું માન $|\bar{z}| = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ છે.
તેથી,$|\sqrt{\bar{z}}| = \sqrt{25} = 5$.

(D) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ એકબીજાની અનુબદ્ધ હોય જો $z_1 = \overline{z_2}$ થાય.
અહીં $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ અને $z_2 = \cos x - i \sin 2x$ છે.
$z_2$ ની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\overline{z_2} = \cos x + i \sin 2x$ થાય.
$z_1 = \overline{z_2}$ માટે,$\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$ હોવું જોઈએ.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1$) $\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
$2$) $\cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies 2x = m\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$.
$x$ ની આ બંને શરતોની સરખામણી કરતા,એવી કોઈ કિંમત નથી જે બંને સમીકરણોને એકસાથે સંતોષે.
તેથી,$x$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જેના માટે આપેલી સંકર સંખ્યાઓ એકબીજાની અનુબદ્ધ હોય.

(B) કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય ત્યારે તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય થાય,એટલે કે $\text{Re}(z) = 0$.
આપેલ $z = \frac{3 + 2i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1 + 2i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3 + 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 8i \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,$\text{Re}(z) = 0$:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \implies \sin^2 \theta = \frac{3}{4} = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)$
તેથી,$\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $n \in Z$.

(A) $z = \frac{13-5i}{4-9i}$ ને સાદું રૂપ આપતા,છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(4+9i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(13-5i)(4+9i)}{(4-9i)(4+9i)} = \frac{52 + 117i - 20i - 45i^2}{16 - 81i^2}$
$i^2 = -1$ લેતા:
$z = \frac{52 + 97i + 45}{16 + 81} = \frac{97 + 97i}{97} = 1 + i$
અહીં $x = 1$ અને $y = 1$ છે.
કોણાંક $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
આપેલ છે કે $|z| + z = 3 + i$.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને મળે $\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1) \sqrt{x^2 + y^2} + x = 3$
$2) y = 1$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y = 1$ મૂકતા:
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + 1 = (3 - x)^2$
$x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2$
$6x = 8 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
હવે,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 3 - x = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9 - 4}{3} = \frac{5}{3}$.
આમ,$|z| = \frac{5}{3}$.

(D) કોઈ સંકર સંખ્યા $z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય તે માટે તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આપેલ $z = \frac{4 + 3i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1 + 2i \sin \theta)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(4 + 3i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$z = \frac{4 + 8i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{4 - 6 \sin^2 \theta + i(11 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\frac{11 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
આનો અર્થ છે કે $11 \sin \theta = 0$,તેથી $\sin \theta = 0$.
$\sin \theta = 0$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n \pi$ છે,જ્યાં $n \in Z$.

(B) ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(\cos \theta + i \sin \theta) = e^{i\theta}$.
તેથી,$f(x) = e^{ix} \cdot e^{i3x} \cdot e^{i5x} \cdots e^{i(2n-1)x}$.
$f(x) = e^{i(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1))x}$.
પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ છે,તેથી $f(x) = e^{i(n^2)x}$.
હવે,પ્રથમ વિકલન મેળવો: $f'(x) = i n^2 e^{i(n^2)x} = i n^2 f(x)$.
બીજું વિકલન મેળવો: $f''(x) = i n^2 f'(x) = i n^2 (i n^2 f(x)) = i^2 n^4 f(x)$.
કારણ કે $i^2 = -1$,આપણને $f''(x) = -n^4 f(x)$ મળે છે.

(D) આપેલ પદ: $E = \frac{(\cos \theta + i \sin \theta)^4}{(\sin \theta + i \cos \theta)^5}$
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અંશ $(\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos 4 \theta + i \sin 4 \theta$ થાય.
છેદ માટે,$\sin \theta + i \cos \theta$ ને $i(\cos \theta - i \sin \theta) = i(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta))$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$(\sin \theta + i \cos \theta)^5 = i^5 (\cos(-5 \theta) + i \sin(-5 \theta)) = i(\cos 5 \theta - i \sin 5 \theta)$.
આમ,$E = \frac{\cos 4 \theta + i \sin 4 \theta}{i(\cos 5 \theta - i \sin 5 \theta)} = \frac{1}{i} \cdot \frac{\cos 4 \theta + i \sin 4 \theta}{\cos 5 \theta - i \sin 5 \theta}$.
ગુણધર્મ $\frac{\cos \alpha + i \sin \alpha}{\cos \beta + i \sin \beta} = \cos(\alpha - \beta) + i \sin(\alpha - \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = -i \cdot \frac{\cos 4 \theta + i \sin 4 \theta}{\cos(-5 \theta) + i \sin(-5 \theta)} = -i (\cos(4 \theta - (-5 \theta)) + i \sin(4 \theta - (-5 \theta)))$
$E = -i (\cos 9 \theta + i \sin 9 \theta) = -i \cos 9 \theta - i^2 \sin 9 \theta = \sin 9 \theta - i \cos 9 \theta$.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $z_1 = i$,$z_2 = \omega$,અને $z_3 = \omega^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં $z_1, z_2, z_3$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\text{Im}(\bar{z_1}z_2 + \bar{z_2}z_3 + \bar{z_3}z_1)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$z_1 = 0 + i$,$z_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$,$z_3 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\bar{z_1}z_2 = (-i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
$\bar{z_2}z_3 = (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\bar{z_3}z_1 = (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(i) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.
સરવાળો $= (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
કાલ્પનિક ભાગ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $z = x + iy$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $|(x+1) + i(y-1)| = |(x-1) + i(y+1)|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x+1)^2 + (y-1)^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$.
સાદુરૂપ આપતા: $2x - 2y = -2x + 2y$.
$4x = 4y$,જેનો અર્થ છે $y = x$.
સમીકરણ $y = x$ એ ઉગમબિંદુ અને પ્રથમ તથા ત્રીજા ચરણમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $|z+3|-|z-3|=6$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. બિંદુઓ $z_1 = -3$ અને $z_2 = 3$ એ અતિવલયના નાભિઓ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2c = |3 - (-3)| = 6$ છે.
અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ $| |z - z_1| - |z - z_2| | = 2a$.
અહીં,$2a = 6$,તેથી $a = 3$.
$2a = 2c$ હોવાથી,અતિવલય નાભિઓને જોડતા રેખાખંડમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ચોક્કસ રીતે,$|z+3|-|z-3|=6$ માટે,શરત $|z+3| = |z-3| + 6$ સૂચવે છે કે $z$ એ $x$-અક્ષ પર $3$ ની જમણી બાજુએ હોવું જોઈએ (એટલે કે $x \ge 3$).
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$|z+3|-|z-3|=6$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બિંદુપથ માટે સૌથી યોગ્ય વર્ણન $x$-અક્ષ પરનું કિરણ છે.

(A) આપેલ છે $\left|\frac{z+i}{z-i}\right| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{|z+i|^2}{|z-i|^2} = 3$ મળે.
$z = x + iy$ મૂકતા,$|x + i(y+1)|^2 = 3|x + i(y-1)|^2$ મળે.
આનું સાદુંરૂપ $x^2 + (y+1)^2 = 3(x^2 + (y-1)^2)$ થાય.
$x^2 + y^2 + 2y + 1 = 3(x^2 + y^2 - 2y + 1)$.
$x^2 + y^2 + 2y + 1 = 3x^2 + 3y^2 - 6y + 3$.
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 2 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - 4y + 1 = 0$ મળે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 + (y-2)^2 - 4 + 1 = 0$.
$x^2 + (y-2)^2 = 3$.
આ કેન્દ્ર $(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ વાળું વર્તુળ છે.

(B) ધારો કે $w = \frac{z-1}{2z+1}$. $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવાથી $w + \overline{w} = 0$.
સાદુરૂપ આપતા,$4z\overline{z} - z - \overline{z} - 2 = 0$.
$z\overline{z} - \frac{1}{4}z - \frac{1}{4}\overline{z} = \frac{1}{2}$.
$(z - \frac{1}{4})(\overline{z} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16}$.
$|z - \frac{1}{4}|^2 = (\frac{3}{4})^2$.
આમ,ત્રિજ્યા $\frac{3}{4}$ એકમ છે.

(C) પ્રારંભિક સ્થાન $Z_0 = 1 + 2i$ છે.
ઉગમબિંદુથી દૂર આડા $5$ એકમ ખસતા: $Z_{temp} = (1 + 5) + 2i = 6 + 2i$.
ધન $y$-અક્ષને સમાંતર $3$ એકમ ઊભી દિશામાં ખસતા: $Z_1 = 6 + (2 + 3)i = 6 + 5i$.
$Z_1$ થી,કણ $\hat{i} + \hat{j}$ ની દિશામાં $\sqrt{2}$ એકમ ખસે છે. આ દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$ છે. તેથી,સ્થાનાંતર $\sqrt{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) = 1 + i$ છે.
નવું સ્થાન $Z_{1.5} = (6 + 5i) + (1 + i) = 7 + 6i$ છે.
છેલ્લે,ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળ પર ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં $\frac{\pi}{2}$ ખૂણે ફરવું એટલે $e^{i\pi/2} = i$ વડે ગુણવું.
$Z_2 = (7 + 6i) \times i = 7i + 6i^2 = 7i - 6 = -6 + 7i$.

(A) ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 0 & 3b-2a & b-a \\ 0 & 4c-2a & c-a \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(3b-2a)(c-a) - (b-a)(4c-2a) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - (4bc - 2ab - 4ac + 2a^2) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - 4bc + 2ab + 4ac - 2a^2 = 0$
$-bc - ab + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ સૂચવે છે કે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c$ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓના યામ $S = (ae, 0)$ અને $S^{\prime} = (-ae, 0)$ છે.
અર્ધ-ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
$\angle SBS^{\prime} = 90^{\circ}$ હોવાથી,$SB$ અને $S^{\prime}B$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$SB$ નો ઢાળ $= -\frac{b}{ae}$.
$S^{\prime}B$ નો ઢાળ $= \frac{b}{ae}$.
તેથી,$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2e^2} = 1 \implies b^2 = a^2e^2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = 1 - e^2 \implies 2e^2 = 1 \implies e^2 = \frac{1}{2}$.
આમ,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9x^2 + 5(y^2 - 6y) = 0$.
$9x^2 + 5(y^2 - 6y + 9) = 45$.
$9x^2 + 5(y - 3)^2 = 45$.
$45$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{5} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.

(D) પ્રથમ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ માટે,$a_1^2=4$ અને $b_1^2=2$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
બીજા ઉપવલય $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,$a_2^2=36$ અને $b_2^2=b^2$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{36}}$.
આપેલ છે કે $e_1 \times e_2 = \frac{\sqrt{2}}{3}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{1 - \frac{b^2}{36}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{2} (1 - \frac{b^2}{36}) = \frac{2}{9} \implies 1 - \frac{b^2}{36} = \frac{4}{9} \implies \frac{b^2}{36} = \frac{5}{9}$.
તેથી,$b^2 = 20$,એટલે કે $b = 2\sqrt{5}$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a_2 = 12$ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 4\sqrt{5}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $12 \times 4\sqrt{5} = 48\sqrt{5}$ થાય.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ છે.
તેથી,નાભિઓ $(\pm 4, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,$ae_h = 4$ અને $e_h = 2$ હોવાથી,$a = 2$ મળે.
અતિવલય માટે $b^2 = a^2(e_h^2 - 1) = 4(4 - 1) = 12$ મળે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ થાય.

(A) આપેલ વક્રો $xy=6$ $(1)$ અને $x^2y=12$ $(2)$ છે.
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2y}{xy} = \frac{12}{6}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=2$.
$x=2$ ને $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $2y=6$ મળે છે,તેથી $y=3$. છેદબિંદુ $(2, 3)$ છે.
વક્ર $(1)$ માટે,$y = \frac{6}{x}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{x^2}$. $(2, 3)$ બિંદુએ,$m_1 = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
વક્ર $(2)$ માટે,$y = \frac{12}{x^2}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{24}{x^3}$. $(2, 3)$ બિંદુએ,$m_2 = -\frac{24}{8} = -3$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = |\frac{-1.5 - (-3)}{1 + (-1.5)(-3)}| = |\frac{1.5}{1 + 4.5}| = |\frac{1.5}{5.5}| = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{11}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = \cos(x + y)$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx}(1 + \sin(x + y)) = -\sin(x + y)$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)}$.
સ્પર્શક રેખા $x + 2y = 0$ ને સમાંતર છે,જેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ લેતા,$\frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)} = -\frac{1}{2} \implies 2\sin(x + y) = 1 + \sin(x + y) \implies \sin(x + y) = 1$.
$\sin(x + y) = 1$ હોવાથી,$x + y = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
મૂળ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $y = \cos(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$.
તેથી,$x + 0 = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$x \in [-2\pi, 2\pi]$ માટે,શક્ય કિંમતો $x = \frac{\pi}{2}$ અને $x = -\frac{3\pi}{2}$ છે.
$x = \frac{\pi}{2}, y = 0$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \implies 2y = -x + \frac{\pi}{2} \implies 2x + 4y - \pi = 0$ મળે.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{dx}{dy}$ થાય.
અભિલંબનું સમીકરણ $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ છે.
$X$-અક્ષ પર $Y=0$ મૂકતા,$Q$ ના યામ $(x + y \frac{dy}{dx}, 0)$ મળે.
લંબાઈ $PQ^2 = (y \frac{dy}{dx})^2 + y^2 = k^2$.
આથી $y^2 ((\frac{dy}{dx})^2 + 1) = k^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{k^2 - y^2}}{y}$.
સંકલન કરતા,$\int \frac{y}{\sqrt{k^2 - y^2}} dy = \int dx \implies -\sqrt{k^2 - y^2} = x + C$.
બિંદુ $(0, k)$ માટે $C=0$ મળે,તેથી $x^2 + y^2 = k^2$ એ માંગેલ વક્ર છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = ax^2 - 6x + b$ છે.
વક્ર $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4 = a(0)^2 - 6(0) + b \implies b = 4$.
હવે,વક્રનું વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2ax - 6$ થાય.
સ્પર્શક $x=\frac{3}{2}$ આગળ $x$-અક્ષને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{3}{2}$ આગળ $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.
$2a(\frac{3}{2}) - 6 = 0 \implies 3a - 6 = 0 \implies 3a = 6 \implies a = 2$.
આમ,$a = 2$ અને $b = 4$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો: $x = 9(1 + \cos \theta)$ અને $y = 9 \sin \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = -9 \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 9 \cos \theta$
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{9 \cos \theta}{-9 \sin \theta} = -\cot \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી થાય: $m_n = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
બિંદુ $(9(1 + \cos \theta), 9 \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 9 \sin \theta = \tan \theta (x - 9(1 + \cos \theta))$
$y - 9 \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - 9 - 9 \cos \theta)$
$y \cos \theta - 9 \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - 9 \sin \theta - 9 \sin \theta \cos \theta$
$y \cos \theta = x \sin \theta - 9 \sin \theta$
$y \cos \theta = \sin \theta (x - 9)$
જો આપણે બિંદુ $(9, 0)$ ચકાસીએ:
$0 \cdot \cos \theta = \sin \theta (9 - 9) \implies 0 = 0$.
આમ,અભિલંબ હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(9, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = \frac{2x^3 - 1}{3}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $y$-યામના બદલાવાનો દર એ $x$-યામના બદલાવાના દર કરતા $18$ ગણો છે,એટલે કે $\frac{dy}{dt} = 18 \frac{dx}{dt}$.
બંને બાજુ $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = 18$ મળે છે.
હવે,વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{2x^3 - 1}{3}) = \frac{1}{3} \cdot 6x^2 = 2x^2$.
વિકલનને $18$ સાથે સરખાવતા:
$2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
જ્યારે $x = 3$ હોય,ત્યારે $y = \frac{2(3)^3 - 1}{3} = \frac{54 - 1}{3} = \frac{53}{3}$.
જ્યારે $x = -3$ હોય,ત્યારે $y = \frac{2(-3)^3 - 1}{3} = \frac{-54 - 1}{3} = -\frac{55}{3}$.
આમ,બિંદુઓ $(3, \frac{53}{3})$ અને $(-3, -\frac{55}{3})$ છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વક્રનું સમીકરણ $xy = 1$ છે,જેને $y = \frac{1}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ મળે છે.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{x_1^2}$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = x_1^2$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે,જેને $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $-\frac{a}{b}$ છે.
રેખા વક્રને અભિલંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ અભિલંબના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ: $-\frac{a}{b} = x_1^2$.
બધા $x_1 \neq 0$ માટે $x_1^2 > 0$ હોવાથી,$-\frac{a}{b} > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a}{b} < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $b$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
વિકલ્પો જોતા,જો $a > 0$ હોય,તો $b < 0$ થાય (વિકલ્પ $B$).

(D) વક્રો $y_1 = 3^x$ અને $y_2 = 7^x$ છે.
તેઓ $3^x = 7^x$ હોય ત્યાં છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=0$.
$x=0$ પર,$y=3^0=1$. તેથી છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1 = \frac{dy_1}{dx} = 3^x \ln 3$ અને $m_2 = \frac{dy_2}{dx} = 7^x \ln 7$ છે.
$(0, 1)$ પર,$m_1 = \ln 3$ અને $m_2 = \ln 7$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = |\frac{\ln 7 - \ln 3}{1 + (\ln 3)(\ln 7)}| = \frac{\ln(7/3)}{1 + (\ln 3)(\ln 7)}$.
જો આધાર સમાન હોય,તો આ અભિવ્યક્તિ $\frac{\log(7/3)}{1 + (\log 3)(\log 7)}$ ને સમાન છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^2+2xy-3y^2=0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} - 6y\frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ: $2(2) + 2(2) + 2(2)\frac{dy}{dx} - 6(2)\frac{dy}{dx} = 0$.
$4 + 4 + 4\frac{dy}{dx} - 12\frac{dy}{dx} = 0 \implies 8 - 8\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -1$ થશે.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -1(x - 2) \implies y - 2 = -x + 2 \implies x + y - 4 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $x + y - 4 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|1(0) + 1(0) - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ એકમ.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $(1+x^2)y = 2-x$.
વક્ર $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,$y=0$ લો:
$(1+x^2)(0) = 2-x \implies 2-x = 0 \implies x=2$.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(2, 0)$ છે.
હવે,સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y(2x) = -1$.
ઢાળ $m$ શોધવા માટે $x=2$ અને $y=0$ મૂકતા:
$(1+2^2) \frac{dy}{dx} + 0(2 \times 2) = -1
(5) \frac{dy}{dx} = -1
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5}$.
બિંદુ $(2, 0)$ આગળ અને ઢાળ $m = -\frac{1}{5}$ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - 0 = -\frac{1}{5}(x - 2)
5y = -x + 2
x + 5y = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = b e^{-x / a}$ છે.
વક્ર $Y$ અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ છીએ.
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $y = b e^0 = b$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શ બિંદુ $(0, b)$ છે.
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x / a} \cdot (-1 / a) = -\frac{b}{a} e^{-x / a}$.
બિંદુ $(0, b)$ પર,ઢાળ $m$ છે:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^0 = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (0, b)$ માંથી પસાર થતા અને $m = -\frac{b}{a}$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$.
$y - b = -\frac{b}{a}x$.
બંને બાજુને $b$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{y}{b} - 1 = -\frac{x}{a}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = \frac{x^3}{9}$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{9} = \frac{x^2}{3}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{6y_1}{x_1^2}(x - x_1)$ છે.
અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ. ભૂમિતિ મુજબ,ઢાળ $-1$ છે.
તેથી,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$.
$y_1^2 = \frac{x_1^3}{9}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $y_1 = \frac{x_1^2}{6} \implies y_1^2 = \frac{x_1^4}{36}$.
$y_1^2$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{x_1^3}{9} = \frac{x_1^4}{36} \implies 4x_1^3 = x_1^4 \implies x_1 = 4$ (કારણ કે $x_1 \neq 0$).
જો $x_1 = 4$,તો $y_1^2 = \frac{64}{9} \implies y_1 = \pm \frac{8}{3}$.
આમ,બિંદુઓ $(4, \pm \frac{8}{3})$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $xy = a^2$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{y_1}{x_1}$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}(x - x_1)$ છે.
$x_1$ વડે ગુણતા,$x_1 y - x_1 y_1 = -y_1 x + x_1 y_1$,જેનું સાદું રૂપ $x_1 y + y_1 x = 2x_1 y_1$ થાય.
કારણ કે $x_1 y_1 = a^2$,સમીકરણ $x_1 y + y_1 x = 2a^2$ બને છે.
$2a^2$ વડે ભાગતા,$\frac{x}{2a^2/y_1} + \frac{y}{2a^2/x_1} = 1$ મળે.
આ રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} = 1$ છે,જ્યાં x-અંતઃખંડ $A = \frac{2a^2}{y_1}$ અને y-અંતઃખંડ $B = \frac{2a^2}{x_1}$ છે.
અક્ષો અને સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |A| \times |B| = \frac{1}{2} \times \frac{2a^2}{y_1} \times \frac{2a^2}{x_1} = \frac{2a^4}{x_1 y_1}$ છે.
$x_1 y_1 = a^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{2a^4}{a^2} = 2a^2$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) ધારો કે $r$ એ વર્તુળાકાર તરંગની ત્રિજ્યા છે અને $A$ એ વર્તુળાકાર પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 2.1 \text{ cm/sec}$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
અહીં $r = 10 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 2.1 \text{ cm/sec}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times 2.1$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times \frac{21}{10}$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 22 \times 3 = 132 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(A) આપેલ સ્થાનના યામ: $x = a + bt - ct^2$ અને $y = at + bt^2$.
પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને વેગના ઘટકો શોધીએ છીએ:
$v_x = \frac{dx}{dt} = b - 2ct$
$v_y = \frac{dy}{dt} = a + 2bt$
હવે,વેગનું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને પ્રવેગના ઘટકો શોધીએ છીએ:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = -2c$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = 2b$
પરિણામી પ્રવેગ $a$ એ પ્રવેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(-2c)^2 + (2b)^2}$
$a = \sqrt{4c^2 + 4b^2} = 2 \sqrt{c^2 + b^2} \text{ unit/s}^2$.

(A) ધારો કે $f(x) = \cos x$. આપણે $\cos(59^{\circ} 30^{\prime})$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
આપણે $59^{\circ} 30^{\prime}$ ને $60^{\circ} - 30^{\prime} = 60^{\circ} - 0.5^{\circ}$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $x = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન અને $\Delta x = -0.5^{\circ} = -0.5 \times 0.0175^{c} = -0.00875^{c}$.
વિકલનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
અહીં,$f(x) = \cos x$,તેથી $f'(x) = -\sin x$.
$f(60^{\circ} - 0.5^{\circ}) \approx \cos(60^{\circ}) - \sin(60^{\circ}) \times \Delta x$.
આપેલ છે કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$ અને $\sin(60^{\circ}) = 0.8660$.
$f(59.5^{\circ}) \approx 0.5 - (0.8660) \times (-0.00875)$.
$f(59.5^{\circ}) \approx 0.5 + 0.0075775 = 0.5075775$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.5076$ મળે છે.

(D) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે. તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
આપેલ છે: $\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ અને $\frac{dh}{dt} = -4 \text{ cm/min}$.
શંકુની પાર્શ્વ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = \pi rl = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
જ્યારે $r = 7$ અને $h = 24$,ત્યારે $l = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25 \text{ cm}$.
$S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( \frac{dr}{dt} \sqrt{r^2 + h^2} + r \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 + h^2}} \cdot (2r \frac{dr}{dt} + 2h \frac{dh}{dt}) \right)$.
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( 3 \cdot 25 + 7 \cdot \frac{1}{25} \cdot (7 \cdot 3 + 24 \cdot (-4)) \right)$.
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( 75 + \frac{7}{25} \cdot (-75) \right) = \pi (75 - 21) = 54 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$.

(B) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} x^2 \sin \theta$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = x \frac{dx}{dt} \sin \theta + \frac{1}{2} x^2 \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $x = 12$,$\theta = \frac{\pi}{4}$,$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{12}$,$\frac{d\theta}{dt} = \frac{\pi}{180}$.
$\frac{dA}{dt} = (12) \left( \frac{1}{12} \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) + \frac{1}{2} (144) \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \left( \frac{\pi}{180} \right)$.
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{72}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{180} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2\pi}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 + \frac{2\pi}{5} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{\pi}{5} \right)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^{1/3}$. આપણે $f(64.04)$ નું આશરે મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ધારો કે $x = 64$ અને $\Delta x = 0.04$.
તો $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$.
અહીં,$f(x) = x^{1/3}$,તેથી $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3(x^{1/3})^2}$.
$x = 64$ માટે,$f(64) = 64^{1/3} = 4$.
$f'(64) = \frac{1}{3(4)^2} = \frac{1}{3 \cdot 16} = \frac{1}{48}$.
હવે,$f(64.04) \approx 4 + \frac{1}{48} \cdot 0.04$.
$f(64.04) \approx 4 + \frac{0.04}{48} = 4 + \frac{4}{4800} = 4 + \frac{1}{1200}$.
$f(64.04) \approx 4 + 0.000833...$
આમ,આશરે મૂલ્ય $4.00083$ છે.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $s(t) = at^2 + bt + c$.
વેગ $v(t) = \frac{ds}{dt} = 2at + b$.
પ્રવેગ $a_{acc}(t) = \frac{dv}{dt} = 2a$.
આપેલ પ્રવેગ $10 \ m/s^2$ છે,તેથી $2a = 10 \implies a = 5$.
$2 \ s$ પછીનો વેગ $30 \ m/s$ છે: $v(2) = 2a(2) + b = 30 \implies 4a + b = 30$.
$a = 5$ મૂકતા: $4(5) + b = 30 \implies 20 + b = 30 \implies b = 10$.
$1 \ s$ પછીનું સ્થાનાંતર $20 \ m$ છે: $s(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 20 \implies a + b + c = 20$.
$a = 5$ અને $b = 10$ મૂકતા: $5 + 10 + c = 20 \implies 15 + c = 20 \implies c = 5$.
હવે વિકલ્પો તપાસો:
$a + c = 5 + 5 = 10$.
જેથી $b = 10$ હોવાથી,$a + c = b$ સાચું છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $x$ અને પહોળાઈ $y$ છે. આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ cm/min}$ અને $\frac{dy}{dt} = 3 \text{ cm/min}$.
પરિમિતિ $P = 2(x + y)$.
પરિમિતિમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dP}{dt} = 2(\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt}) = 2(-5 + 3) = 2(-2) = -4 \text{ cm/min}$.
ક્ષેત્રફળ $A = xy$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dA}{dt} = x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt}$.
કિંમતો $x = 5$,$y = 2$,$\frac{dx}{dt} = -5$,અને $\frac{dy}{dt} = 3$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = (5)(3) + (2)(-5) = 15 - 10 = 5 \text{ cm}^2\text{/min}$.
આમ,ફેરફારનો દર $-4 \text{ cm/min}$ અને $5 \text{ cm}^2\text{/min}$ છે.

(C) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે અને $S$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ અને $S = 4 \pi r^2$.
ઘનફળમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = kS$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = (4 \pi r^2) \frac{dr}{dt}$ હોવાથી,આપણને $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = k(4 \pi r^2)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dr}{dt} = k$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$r(t) = kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$r = 3$,તેથી $C = 3$.
$t = 2$ સમયે,$r = 9$,તેથી $9 = k(2) + 3$,જે $2k = 6$ આપે છે,એટલે કે $k = 3$.
આમ,ત્રિજ્યાનું વિધેય $r(t) = 3t + 3$ છે.
$t = 4 \ \text{મિનિટ}$ પછી,$r(4) = 3(4) + 3 = 12 + 3 = 15 \ cm$ થાય.

(A) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે સપાટીના ક્ષેત્રફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળના બદલાવાનો દર શોધવાનો છે,જે $\frac{dV}{dS}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr}$.
$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$.
$S$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 8 \pi r$.
તેથી,$\frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 5 \ m$ હોય,ત્યારે બદલાવાનો દર $\frac{5}{2} \ m$ થાય.

(C) ધારો કે $A_1$ એ પ્રથમ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_2$ એ બીજા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ચોરસની બાજુ $x$ છે,તેથી $A_1 = x^2$.
આપેલ છે કે બીજા ચોરસની બાજુ $y = x - x^2$ છે,તેથી $A_2 = y^2 = (x - x^2)^2$.
આપણે $A_1$ ની સાપેક્ષમાં $A_2$ ના ફેરફારનો દર શોધવાનો છે,જે $\frac{dA_2}{dA_1}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dA_2}{dA_1} = \frac{dA_2/dx}{dA_1/dx}$.
પ્રથમ,$\frac{dA_1}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\frac{dA_2}{dx} = \frac{d}{dx}((x - x^2)^2) = 2(x - x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x - x^2) = 2(x - x^2)(1 - 2x)$ શોધો.
હવે,આ કિંમતોને ચેઈન રૂલના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dA_2}{dA_1} = \frac{2(x - x^2)(1 - 2x)}{2x} = \frac{2x(1 - x)(1 - 2x)}{2x} = (1 - x)(1 - 2x) = 1 - 2x - x + 2x^2 = 2x^2 - 3x + 1$.

(B) ધારો કે $S$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $r$ એ ગોળાકાર દડાની ત્રિજ્યા છે. સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે કે $\frac{dS}{dt} = 4 \pi \,cm^2/s$.
$S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે।
જ્યારે $S = 16 \pi \,cm^2$ હોય,ત્યારે $4 \pi r^2 = 16 \pi$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = 4$,તેથી $r = 2 \,cm$.
કિંમતોને વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા: $4 \pi = 8 \pi (2) \frac{dr}{dt}$.
$4 \pi = 16 \pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{4 \pi}{16 \pi} = 0.25 \,cm/s$.

(D) ગોળાકાર ફુગ્ગાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રારંભિક ઘનફળ $V_0 = 4500 \pi \ m^3$ છે.
ઘનફળમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = -72 \pi \ m^3/\text{min}$ છે.
$t = 49$ મિનિટ પછી,ઘનફળ $V = V_0 + (\frac{dV}{dt}) \times t = 4500 \pi - 72 \pi \times 49$ થશે.
$V = 4500 \pi - 3528 \pi = 972 \pi \ m^3$.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ નો ઉપયોગ કરીને,$t = 49$ સમયે ત્રિજ્યા $r$ શોધીએ:
$972 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \implies r^3 = 972 \times \frac{3}{4} = 729$.
$r = \sqrt[3]{729} = 9 \ m$.
હવે,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $-72 \pi = 4 \pi (9)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-72 \pi = 4 \pi (81) \frac{dr}{dt} \implies -72 \pi = 324 \pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{72}{324} = -\frac{2}{9} \ m/\text{min}$.
તેથી,ત્રિજ્યા ઘટવાનો દર $\frac{2}{9} \ m/\text{min}$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
આપણે $f(2.002)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 2$ અને $\Delta x = 0.002$.
તો $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$.
પ્રથમ,વિકલન શોધો: $f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
$x = 2$ માટે,$f(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$.
અને $f'(2) = -\frac{2}{2^3} = -\frac{2}{8} = -0.25$.
હવે,આ કિંમતોને આશરે કિંમત શોધવાના સૂત્રમાં મૂકો:
$f(2.002) \approx 0.25 + (-0.25) \cdot (0.002)$.
$f(2.002) \approx 0.25 - 0.0005 = 0.2495$.
આમ,આશરે કિંમત $0.2495$ છે.

(A) આપેલ છે કે $2f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 1$ (સમીકરણ $1$).
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા: $2f\left(\frac{1}{x}\right) + 3f(x) = \frac{1}{x^2} + 1$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$4f(x) + 6f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x^2 + 2$
$9f(x) + 6f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x^2} + 3$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદ કરતા: $5f(x) = \frac{3}{x^2} + 3 - 2x^2 - 2 = \frac{3}{x^2} - 2x^2 + 1$.
તેથી $y = 5x^2 f(x) = x^2 \left(\frac{3}{x^2} - 2x^2 + 1\right) = 3 - 2x^4 + x^2$.
$y$ ક્યાં ચુસ્ત વધે છે તે શોધવા માટે,$\frac{dy}{dx} = -8x^3 + 2x = 2x(1 - 4x^2) = 2x(1 - 2x)(1 + 2x)$ મેળવો.
$\frac{dy}{dx} > 0$ લેતા: $2x(1 - 2x)(1 + 2x) > 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$ છે.
અંતરાલ તપાસતા: $(-\infty, -1/2) \implies (-)(-)(-) < 0$; $(-1/2, 0) \implies (-)(-)(+) > 0$; $(0, 1/2) \implies (+)(+)(+) > 0$; $(1/2, \infty) \implies (+)(-)(+) < 0$.
આમ,$y$ એ $(-\infty, -1/2) \cup (0, 1/2)$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(0, 1/2)$ સાચો અંતરાલ છે.

(C) વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
આપેલ છે કે $f(x) = (x + 2) e^{-x}$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = (1) e^{-x} + (x + 2) (-e^{-x})$.
$f'(x) = e^{-x} (1 - x - 2) = e^{-x} (-x - 1) = -(x + 1) e^{-x}$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $-(x + 1) e^{-x} > 0$. કારણ કે $e^{-x} > 0$ બધા $x$ માટે,તેથી $-(x + 1) > 0$ અથવા $x + 1 < 0$,એટલે કે $x < -1$.
આમ,વિધેય $(-\infty, -1)$ માં વધતું વિધેય છે.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $-(x + 1) e^{-x} < 0$. આથી $x + 1 > 0$ અથવા $x > -1$.
આમ,વિધેય $(-1, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોવા માટે,તમામ $x$ માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે $f(x) = \frac{k \sin x + 2 \cos x}{\sin x + \cos x}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{(k \cos x - 2 \sin x)(\sin x + \cos x) - (k \sin x + 2 \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$N = (k \sin x \cos x + k \cos^2 x - 2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x) - (k \sin x \cos x - k \sin^2 x + 2 \cos^2 x - 2 \sin x \cos x)$.
$N = k \cos^2 x - 2 \sin^2 x + k \sin^2 x - 2 \cos^2 x$.
$N = (k - 2) \cos^2 x + (k - 2) \sin^2 x = (k - 2)(\cos^2 x + \sin^2 x) = k - 2$.
આમ,$f'(x) = \frac{k - 2}{(\sin x + \cos x)^2}$.
$f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $(\sin x + \cos x)^2 > 0$ તમામ $x$ માટે જ્યાં વિધેય વ્યાખ્યાયિત છે,તેથી આપણે $k - 2 > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $k > 2$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.
તેથી,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.
દરેક $x \in R$ માટે $e^{x-x^2} > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $(2x+1)(1-x)$ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે $(2x+1)(1-x) > 0$ હોય ત્યારે $f'(x) > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{1}{2} < x < 1$.
આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ માં વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ છે.
આપણે તેને $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ તરીકે લખી શકીએ.
વિધેય ક્યાં વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2\sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -\sin(4x)$.
વિધેય ત્યારે વધે છે જ્યારે $f'(x) > 0$,એટલે કે $-\sin(4x) > 0$,અથવા $\sin(4x) < 0$.
આ સ્થિતિ $\pi < 4x < 2\pi$ માટે થાય છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ છે.
વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોય તેવા અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{x}{2} + 2x^{-1}) = \frac{1}{2} - 2x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.
વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોવા માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જરૂરી છે.
$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} < 0 \implies \frac{x^2 - 4}{2x^2} < 0$.
બધા $x \neq 0$ માટે $2x^2 > 0$ હોવાથી,અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $x^2 - 4 < 0$ હોય.
$(x - 2)(x + 2) < 0$.
આ અસમતા $x \in (-2, 2)$ માટે સાચી છે.
$x \neq 0$ હોવાથી,વિધેય $(-2, 0) \cup (0, 2)$ અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.

(A) $f(x)$ ક્યાં વધતું વિધેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
$f(x)$ નો પ્રદેશ $x > -1$ છે.
$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log(1+x)] - \frac{d}{dx} [\frac{2x}{2+x}]$.
બીજા પદ માટે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx} [\frac{2x}{2+x}] = \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2} = \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{4}{(2+x)^2}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$.
$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+4x+x^2-4-4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે.
કારણ કે $x^2 \ge 0$ અને $(2+x)^2 > 0$ પ્રદેશના તમામ $x$ માટે છે,તેથી $f'(x) > 0$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $1+x > 0$,જેનો અર્થ છે $x > -1$.
આમ,$f(x)$ એ $(-1, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = [x(x-2)]^2 = (x^2 - 2x)^2$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = 2(x^2 - 2x)(2x - 2) = 4x(x-2)(x-1)$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$4x(x-1)(x-2) > 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 0, 1, 2$ માટે વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
- જો $x > 2$ હોય,તો બધા અવયવો $(x), (x-1), (x-2)$ ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
- જો $1 < x < 2$ હોય,તો $(x)$ ધન,$(x-1)$ ધન અને $(x-2)$ ઋણ છે,તેથી $f'(x) < 0$.
- જો $0 < x < 1$ હોય,તો $(x)$ ધન,$(x-1)$ ઋણ અને $(x-2)$ ઋણ છે,તેથી $f'(x) > 0$.
- જો $x < 0$ હોય,તો બધા અવયવો ઋણ છે,તેથી $f'(x) < 0$.
આમ,$f'(x) > 0$ એ $(0, 1) \cup (2, \infty)$ માં મળે છે.
તેથી,વિધેય $(0, 1) \cup (2, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(C) વસ્તીનું મહત્તમ કદ શોધવા માટે,આપણે વિધેય $p(t) = 1000 + \frac{1000t}{100 + t^2}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી પડશે.
ધારો કે $f(t) = \frac{1000t}{100 + t^2}$. નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(t)$ ગણીએ અને તેને $0$ સાથે સરખાવીએ.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(t) = 1000 \times \frac{(100 + t^2)(1) - t(2t)}{(100 + t^2)^2} = 1000 \times \frac{100 - t^2}{(100 + t^2)^2}$.
$f'(t) = 0$ લેતા,$100 - t^2 = 0$ મળે,તેથી $t^2 = 100$,જેનો અર્થ છે કે $t = 10$ (કારણ કે $t \ge 0$).
હવે,આપણે $t = 10$ પર $p(t)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(10) = 1000 + \frac{1000(10)}{100 + (10)^2} = 1000 + \frac{10000}{100 + 100} = 1000 + \frac{10000}{200} = 1000 + 50 = 1050$.
આમ,બેક્ટેરિયલ વસ્તીનું મહત્તમ કદ $1050$ છે.

(C) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $20-x$ છે.
ધારો કે ગુણાકાર $P(x) = x^3(20-x)^2$ છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $P(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$P'(x) = 3x^2(20-x)^2 + x^3 \cdot 2(20-x)(-1)$
$P'(x) = x^2(20-x) [3(20-x) - 2x]$
$P'(x) = x^2(20-x) [60 - 3x - 2x] = x^2(20-x)(60-5x)$.
$P'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x=0$,$x=20$,અથવા $x=12$ મળે છે.
$x$ એ $0$ અને $20$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ,તેથી આપણે $x=12$ ચકાસીએ.
$x=12$ માટે,ભાગો $12$ અને $20-12=8$ છે.
આમ,બે ભાગ $12$ અને $8$ છે.

(A) આપેલ છે,ખર્ચ વિધેય $C(x) = x^2 + 78x + 2500$.
પ્રતિ એકમ કિંમત $p = 600 - 8x$.
આવક વિધેય $R(x) = x \times p = x(600 - 8x) = 600x - 8x^2$.
નફાનું વિધેય $P(x) = R(x) - C(x) = (600x - 8x^2) - (x^2 + 78x + 2500) = -9x^2 + 522x - 2500$.
મહત્તમ નફો શોધવા માટે,વિકલન $P'(x)$ શોધો અને તેને $0$ સાથે સરખાવો:
$P'(x) = -18x + 522 = 0 \implies 18x = 522 \implies x = 29$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસો: $P''(x) = -18 < 0$,તેથી $x = 29$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ નફો $P(29) = -9(29)^2 + 522(29) - 2500 = -9(841) + 15138 - 2500 = -7569 + 15138 - 2500 = 5069$.
આમ,મહત્તમ નફો Rs. $5069$ છે.

(B) સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વિધેય $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$ નું વિકલન કરીએ.
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$.
$5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 0, x = 1, x = 3$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$ શોધીએ.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર $f''(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10$.
$f''(1) < 0$ હોવાથી,વિધેયને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
$x = 3$ માટે: $f''(3) = 90 > 0$,તેથી તે સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
$x = 0$ માટે: $f''(0) = 0$,અને $x=0$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી,તેથી તે નતિબિંદુ છે.
આમ,વિધેયને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.

(D) ધારો કે ચોરસ માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $x$ છે. તો વર્તુળ માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $8-x$ થશે.
ચોરસ માટે,પરિમિતિ $4a = x$ છે,તેથી બાજુ $a = \frac{x}{4}$. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = a^2 = \frac{x^2}{16}$ છે.
વર્તુળ માટે,પરિઘ $2\pi r = 8-x$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{8-x}{2\pi}$. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{8-x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(8-x)^2}{4\pi}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(8-x)^2}{4\pi}$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(8-x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{8-x}{2\pi}$.
$A'(x) = 0$ લેતા: $\frac{x}{8} = \frac{8-x}{2\pi} \implies \pi x = 32 - 4x \implies x(\pi+4) = 32 \implies x = \frac{32}{\pi+4}$.
$x$ ની કિંમત $A(x)$ માં મૂકતા: $A = \frac{1}{16} \left(\frac{32}{\pi+4}\right)^2 + \frac{1}{4\pi} \left(8 - \frac{32}{\pi+4}\right)^2 = \frac{64}{(\pi+4)^2} + \frac{64\pi^2}{4\pi(\pi+4)^2} = \frac{64}{(\pi+4)^2} + \frac{16\pi}{(\pi+4)^2} = \frac{16(4+\pi)}{(\pi+4)^2} = \frac{16}{\pi+4}$.

(A) ધારો કે ચોરસ પાયાની બાજુ $x \ cm$ છે અને ટાંકીની ઊંચાઈ $h \ cm$ છે.
ટાંકીનું ઘનફળ $V = x^2 h = 4000$ છે.
તેથી,$h = \frac{4000}{x^2}$.
ખુલ્લી ટાંકીનું પૃષ્ઠફળ $S = x^2 + 4xh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠફળના સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા: $S = x^2 + 4x(\frac{4000}{x^2}) = x^2 + \frac{16000}{x}$.
ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે,$S$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dx} = 2x - \frac{16000}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{dS}{dx} = 0$ લેતા: $2x = \frac{16000}{x^2} \implies x^3 = 8000 \implies x = 20 \ cm$.
હવે,ઊંચાઈ શોધો: $h = \frac{4000}{20^2} = \frac{4000}{400} = 10 \ cm$.
કારણ કે $\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{x^3} > 0$ એ $x = 20$ પર છે,તેથી પૃષ્ઠફળ $x = 20 \ cm$ અને $h = 10 \ cm$ પર ન્યૂનતમ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{2/3} + (x-2)^{2/3}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}(x-2)^{-1/3} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{x^{1/3}} + \frac{1}{(x-2)^{1/3}} \right)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\frac{1}{x^{1/3}} = -\frac{1}{(x-2)^{1/3}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $(x-2)^{1/3} = -x^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$x-2 = -x$,તેથી $2x = 2$,જે $x = 1$ આપે છે.
$x = 0$ અને $x = 2$ આગળ વિકલન $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર $f(x)$ ની કિંમત તપાસીએ છીએ:
$f(0) = 0^{2/3} + (-2)^{2/3} = 2^{2/3} \approx 1.587$.
$f(2) = 2^{2/3} + 0^{2/3} = 2^{2/3} \approx 1.587$.
$f(1) = 1^{2/3} + (-1)^{2/3} = 1 + 1 = 2$.
આમ,અંતરાલ $[0, 2]$ માટે મહત્તમ કિંમત $2$ છે.

(A) ધારો કે બે શૂન્યેતર સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x + y = 4$,જેનો અર્થ છે કે $y = 4 - x$.
આપણે તેમના વ્યસ્તોના સરવાળા $S = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ને ન્યૂનતમ કરવા માંગીએ છીએ.
$S$ ના સમીકરણમાં $y = 4 - x$ મૂકતા,આપણને $S(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x}$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $S$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $S'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(4 - x)^2}$.
$S'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{(4 - x)^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = (4 - x)^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x^2 = 16 - 8x + x^2$,તેથી $8x = 16$,જે $x = 2$ આપે છે.
જો $x = 2$ હોય,તો $y = 4 - 2 = 2$.
વ્યસ્તોનો સરવાળો $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ થાય છે.
કારણ કે $S''(x) = \frac{2}{x^3} + \frac{2}{(4 - x)^3}$,$x = 2$ આગળ,$S''(2) = \frac{2}{8} + \frac{2}{8} = \frac{1}{2} > 0$,જે ન્યૂનતમ કિંમત દર્શાવે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = \alpha \log x + \beta x^3 - x$ છે.
વિધેયને $x = -1$ અને $x = 1$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો હોવા માટે,વિકલન $\frac{dy}{dx}$ આ બિંદુઓ આગળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{x} + 3\beta x^2 - 1$.
$x = 1$ આગળ: $\frac{dy}{dx} = \alpha + 3\beta - 1 = 0 \implies \alpha + 3\beta = 1$.
$x = -1$ આગળ: $\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{-1} + 3\beta(-1)^2 - 1 = 0 \implies -\alpha + 3\beta = 1$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(\alpha + 3\beta) + (-\alpha + 3\beta) = 1 + 1 \implies 6\beta = 2 \implies \beta = \frac{1}{3}$.
$\beta = \frac{1}{3}$ ને $\alpha + 3\beta = 1$ માં મૂકતા: $\alpha + 3(\frac{1}{3}) = 1 \implies \alpha + 1 = 1 \implies \alpha = 0$.
આમ,$\alpha = 0$ અને $\beta = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $R(x)$ એ આવક વિધેય છે અને $C(x)$ એ ખર્ચ વિધેય છે.
આવક $R(x) = x \times \left(6 - \frac{x}{40}\right) = 6x - \frac{x^2}{40}$.
ખર્ચ $C(x) = \frac{x}{5} + 193$.
નફો $P(x) = R(x) - C(x) = 6x - \frac{x^2}{40} - \frac{x}{5} - 193$.
$P(x) = -\frac{x^2}{40} + \frac{29x}{5} - 193$.
મહત્તમ નફો શોધવા માટે,આપણે વિકલન $P'(x)$ શોધીએ અને તેને $0$ ની બરાબર લઈએ.
$P'(x) = -\frac{2x}{40} + \frac{29}{5} = -\frac{x}{20} + 5.8$.
$P'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\frac{x}{20} = 5.8$ મળે છે,તેથી $x = 116$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $P''(x) = -\frac{1}{20}$ શોધો. કારણ કે $P''(x) < 0$,તેથી $x = 116$ પર નફો મહત્તમ છે.
મહત્તમ નફો $P(116) = -\frac{116^2}{40} + \frac{29(116)}{5} - 193$.
$P(116) = -\frac{13456}{40} + 672.8 - 193 = -336.4 + 672.8 - 193 = 143.4$.

(A) ધારો કે $f(x, y) = ax + by$ અને શરત $xy = c^2$ છે,જ્યાં $x, y > 0$.
$y = \frac{c^2}{x}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $f(x) = ax + \frac{bc^2}{x}$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = a - \frac{bc^2}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $a = \frac{bc^2}{x^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = \frac{bc^2}{a}$,તેથી $x = c\sqrt{\frac{b}{a}}$.
$x, y > 0$ હોવાથી,આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈએ છીએ.
ત્યારબાદ $y = \frac{c^2}{x} = \frac{c^2}{c\sqrt{b/a}} = c\sqrt{\frac{a}{b}}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $f = a(c\sqrt{\frac{b}{a}}) + b(c\sqrt{\frac{a}{b}}) = c\sqrt{ab} + c\sqrt{ab} = 2c\sqrt{ab}$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = (\frac{1}{x})^x = x^{-x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ મળે છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{d}{dx}(-x \ln(x))$
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -[\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}] = -(\ln(x) + 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\ln(x) + 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\ln(x) = -1$,તેથી $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
હવે,આપણે $x = \frac{1}{e}$ ની આસપાસ દ્વિતીય વિકલન અથવા $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ છીએ.
$x < \frac{1}{e}$ માટે,$f'(x) > 0$ અને $x > \frac{1}{e}$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી $x = \frac{1}{e}$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ કિંમત $f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{1/e} = e^{1/e}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x, y) = x^2 y$. આપેલ છે કે $x+y=6$,તેથી $y = 6-x$.
$f$ માં $y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f(x) = x^2(6-x) = 6x^2 - x^3$ મળે છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $f'(x) = 12x - 3x^2$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$3x(4-x) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=0$ અથવા $x=4$.
$x=0$ માટે $f(0)=0$ મળે છે,તેથી આપણે $x=4$ તપાસીએ.
$x=4$ માટે,$y = 6-4 = 2$.
આમ,કિંમત $f(4) = 4^2 \times 2 = 16 \times 2 = 32$ થાય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $32$ છે.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 93$,તેથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$m = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x + 2$.
ઢાળ $m$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $m$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીશું:
$\frac{dm}{dx} = 6x - 6$.
$\frac{dm}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $6x - 6 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
હવે,ન્યૂનતમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલનનો ઉપયોગ કરીએ:
$\frac{d^2m}{dx^2} = 6 > 0$,જે સાબિત કરે છે કે $x = 1$ આગળ ઢાળ ન્યૂનતમ છે.
ઢાળનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $m(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x(x - 1)(x - 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$.
પ્રથમ,$a = 0$ અને $b = \frac{1}{2}$ માટે $f(a)$ અને $f(b)$ શોધો:
$f(0) = 0$.
$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}$.
હવે,ઢાળ $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3/8 - 0}{1/2 - 0} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
વિકલન $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ છે.
$f'(c) = \frac{3}{4}$ લેતા:
$3c^2 - 6c + 2 = \frac{3}{4} \implies 12c^2 - 24c + 5 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $c = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6}$ મળે છે.
$c \in (0, 1/2)$ હોવાથી,$c = 1 - \frac{\sqrt{21}}{6}$ એ સાચો જવાબ છે.