MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો $x = a t^{2}$ અને $y = 2 a t$ એ પરવલય $y^{2} = 4 a x$ દર્શાવે છે.
જો સ્પર્શક $X$-અક્ષને લંબ હોય,તો તે શિરોલંબ રેખા હોવી જોઈએ.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને લંબ હોય તે માટે,તેનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ,જે $t = 0$ હોય ત્યારે થાય છે.
પ્રચલ સમીકરણોમાં $t = 0$ મૂકતા:
$x = a(0)^{2} = 0$
$y = 2a(0) = 0$
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(0, 0)$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $ax^2 = 2y^2 - b$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2ax = 4y \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2ax}{4y} = \frac{ax}{2y}$.
$(1, -1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$m = \frac{a(1)}{2(-1)} = -\frac{a}{2}$.
આપેલ રેખા $x + y = 0$ છે,જેને $y = -x$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $-1$ છે.
રેખા વક્રને $(1, -1)$ બિંદુએ સ્પર્શતી હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-\frac{a}{2} = -1 \implies a = 2$.
હવે,$a = 2$ અને બિંદુ $(1, -1)$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(1)^2 = 2(-1)^2 - b$
$2 = 2 - b \implies b = 0$.
આમ,$a = 2$ અને $b = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x^{2} = -4y$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x = -4 \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$.
બિંદુ $P(-4, -4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{-4}{2} = 2$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1) = (-4, -4)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 2$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y - (-4) = 2(x - (-4))$ મળે છે.
$y + 4 = 2(x + 4)$.
$y + 4 = 2x + 8$.
$2x - y + 4 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x+y=\frac{\pi}{2}$,તેથી $y=\frac{\pi}{2}-x$ થાય.
આ કિંમતને $\sin x \cdot \sin y$ માં મૂકતા,આપણને મળે:
$\sin x \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \cdot \cos x$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{2 \sin x \cdot \cos x}{2} = \frac{\sin 2x}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$\frac{\sin 2x}{2}$ નો વિસ્તાર $\left[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ થાય.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = a^{2} \cos^{2} x + b^{2} \sin^{2} x$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ અને $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = a^{2} \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + b^{2} \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)$
$f(x) = \frac{a^{2} + a^{2} \cos 2x + b^{2} - b^{2} \cos 2x}{2}$
$f(x) = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + \left( \frac{a^{2} - b^{2}}{2} \right) \cos 2x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \cos 2x \leq 1$,તેથી જ્યારે $\cos 2x = -1$ હોય ત્યારે $f(x)$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે (કારણ કે $a^{2} > b^{2}$ હોવાથી $\frac{a^{2} - b^{2}}{2} > 0$).
$\cos 2x = -1$ મૂકતા:
$f_{\text{min}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + \left( \frac{a^{2} - b^{2}}{2} \right) (-1)$
$f_{\text{min}} = \frac{a^{2} + b^{2} - a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{2b^{2}}{2} = b^{2}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $b^{2}$ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}=12y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}=4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=3$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a=3$ મૂકતા,યામ $L_{1}(6, 3)$ અને $L_{2}(-6, 3)$ મળે છે.
ત્રિકોણ શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$L_{1}(6, 3)$,અને $L_{2}(-6, 3)$ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણનો પાયો $L_{1}L_{2}$ એ નાભિલંબની લંબાઈ છે,જે $4a = 12$ છે.
શિરોબિંદુ $O$ થી રેખા $L_{1}L_{2}$ સુધીની ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ નાભિલંબનો $y$-યામ છે,જે $a = 3$ છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $|3x - 2| \leq \frac{1}{2}$ છે.
માનાંકના ગુણધર્મ મુજબ,જો $|u| \leq a$ હોય,તો $-a \leq u \leq a$.
તેથી,$-\frac{1}{2} \leq 3x - 2 \leq \frac{1}{2}$.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $2$ ઉમેરતા:
$-\frac{1}{2} + 2 \leq 3x \leq \frac{1}{2} + 2$.
$\frac{3}{2} \leq 3x \leq \frac{5}{2}$.
$3$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{6}$.
આમ,$x \in [\frac{1}{2}, \frac{5}{6}]$.

(C) $e^{z}$ નું વિસ્તરણ $e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$z = 2x$ મૂકતા,આપણને $e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{n}}{n!}$ મળે છે.
$x^{6}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $n=6$ વાળું પદ જોઈએ:
$\frac{(2x)^{6}}{6!} = \frac{2^{6} \cdot x^{6}}{720}$.
કિંમત ગણતા: $\frac{64}{720} = \frac{64 \div 16}{720 \div 16} = \frac{4}{45}$.
આમ,$x^{6}$ નો સહગુણક $\frac{4}{45}$ છે.

(B) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^{2}-6x+9) + (y^{2}+4y+4) = 3+9+4$
$(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 16$
$(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 4^{2}$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(h, k) = (3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ મળે છે.
વર્તુળના પ્રાચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = 3 + 4 \cos \theta$ અને $y = -2 + 4 \sin \theta$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+2x-4y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $A$ એ $(-1, 2)$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-8x+6y+17=0$ માટે,કેન્દ્ર $B$ એ $(4, -3)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0$ છે.
$A$ અને $B$ ના યામ મૂકતા:
$(x-(-1))(x-4)+(y-2)(y-(-3))=0$
$(x+1)(x-4)+(y-2)(y+3)=0$
$x^{2}-4x+x-4+y^{2}+3y-2y-6=0$
$x^{2}+y^{2}-3x+y-10=0$.

(C) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ પર $3$ તથા $y$-અક્ષ પર $-5$ અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(0,-5)$ વર્તુળ પર આવેલા છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ વ્યાસ દ્વારા બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$(3,0)$ અને $(0,-5)$ ને જોડતો રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ છે કારણ કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પરનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(0,-5)$ મૂકતા:
$(x-3)(x-0) + (y-0)(y-(-5)) = 0$
$x(x-3) + y(y+5) = 0$
$x^{2} - 3x + y^{2} + 5y = 0$
$x^{2} + y^{2} - 3x + 5y = 0$

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-4x+6y-k=0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$2g = -4 \Rightarrow g = -2$
$2f = 6 \Rightarrow f = 3$
$c = -k$
ત્રિજ્યા $r = 5$ આપેલ હોવાથી:
$5 = \sqrt{(-2)^{2} + (3)^{2} - (-k)}$
$5 = \sqrt{4 + 9 + k}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = 13 + k$
$k = 25 - 13 = 12$

(A) પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-2x+3y-3=0$ નું કેન્દ્ર $C_{1} = (1, -3/2)$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+6x-12y-5=0$ નું કેન્દ્ર $C_{2} = (-3, 6)$ છે.
વ્યાસના અંતિમ બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x-1)(x+3) + (y+3/2)(y-6) = 0$
$x^{2}+2x-3 + y^{2}-9/2y-9 = 0$
$x^{2}+y^{2}+2x-9/2y-12 = 0$
$2$ વડે ગુણતા: $2x^{2}+2y^{2}+4x-9y-24 = 0$.

(A) ધારો કે વર્તુળ $x^{2} + y^{2} - 6x + 2y - 54 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $O(3, -1)$ છે.
ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ છે.
$OM$ એ જીવા $2x - 5y + 18 = 0$ ને લંબ છે,તેથી $OM$ નો ઢાળ રેખાના ઢાળનો વિરોધી વ્યસ્ત થાય.
રેખા $2x - 5y + 18 = 0$ નો ઢાળ $m = \frac{2}{5}$ છે.
તેથી,$OM$ નો ઢાળ $-\frac{5}{2}$ થાય.
$OM$ નો ઢાળ $\frac{k + 1}{h - 3}$ પણ થાય.
સરખાવતા: $\frac{k + 1}{h - 3} = -\frac{5}{2} \Rightarrow 5h + 2k = 13$.
$M(h, k)$ રેખા પર હોવાથી,$2h - 5k = -18$.
સમીકરણો ઉકેલતા $h = 1$ અને $k = 4$ મળે છે.
આમ,મધ્યબિંદુ $(1, 4)$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $A(5,7)$,$B(2,-2)$ અને $C(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
કેન્દ્રથી દરેક બિંદુનું અંતર $r$ હોવાથી,$r^2 = (h-2)^2 + (k+2)^2 = (h+2)^2 + k^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $h^2 - 4h + 4 + k^2 + 4k + 4 = h^2 + 4h + 4 + k^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$-8h + 4k = -4$,એટલે કે $2h - k = 1$ $(1)$.
તે જ રીતે,$(h-5)^2 + (k-7)^2 = (h+2)^2 + k^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $h^2 - 10h + 25 + k^2 - 14k + 49 = h^2 + 4h + 4 + k^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$-14h - 14k = -70$,એટલે કે $h + k = 5$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$3h = 6$,તેથી $h = 2$. $h=2$ ને $(2)$ માં મૂકતા,$k = 3$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(2, 3)$ થી $(-2, 0)$ સુધીનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ એકમ.

(A) આપેલ સમીકરણો $x = 6 \cos \theta$ અને $y = 6 \sin \theta$ છે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા,આપણને $x^{2} = 36 \cos^{2} \theta$ અને $y^{2} = 36 \sin^{2} \theta$ મળે છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$x^{2} + y^{2} = 36 \cos^{2} \theta + 36 \sin^{2} \theta$
$x^{2} + y^{2} = 36(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
કારણ કે $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,તેથી:
$x^{2} + y^{2} = 36$.

(B) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો $x = 4a \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)$ અને $y = \frac{8at}{1+t^2}$ છે.
ધારો કે $t = \tan \theta$. તો $\cos 2\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ અને $\sin 2\theta = \frac{2t}{1+t^2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$x = 4a \cos 2\theta$ અને $y = 4a \sin 2\theta$ મળે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = (4a \cos 2\theta)^2 + (4a \sin 2\theta)^2$
$x^2 + y^2 = 16a^2 (\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta)$
$x^2 + y^2 = (4a)^2$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $4a$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x=3+5 \cos \theta$ અને $y=2+5 \sin \theta$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{x-3}{5} = \cos \theta$ અને $\frac{y-2}{5} = \sin \theta$ મળે છે.
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદોને મૂકતા:
$(\frac{x-3}{5})^{2} + (\frac{y-2}{5})^{2} = 1$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{x^{2}-6x+9}{25} + \frac{y^{2}-4y+4}{25} = 1$.
$25$ વડે ગુણતા: $x^{2}-6x+9 + y^{2}-4y+4 = 25$.
સરળ બનાવતા: $x^{2}+y^{2}-6x-4y+13 = 25$.
આમ,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-6x-4y-12 = 0$ છે.

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા:
$\frac{9x^{2}}{144} + \frac{16y^{2}}{144} = 1$
$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 9$ મળે છે.
અહીં $a^{2} > b^{2}$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $16x^{2} + 9y^{2} = 144$.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા: $\frac{16x^{2}}{144} + \frac{9y^{2}}{144} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 9$ અને $b^{2} = 16$ મળે છે.
અહીં $b^{2} > a^{2}$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
અહીં $a = 3$ અને $b = 4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિના યામ $(0, \pm be) = (0, \pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}) = (0, \pm \sqrt{7})$ થાય.

(D) આપેલ અતિવલય $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{81}=\frac{1}{25}$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $\frac{x^{2}}{144/25} - \frac{y^{2}}{81/25} = 1$.
અહીં,$a^{2} = \frac{144}{25}$ અને $b^{2} = \frac{81}{25}$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
અતિવલયના નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે,$a^{2} = 16$. ધારો કે તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ છે.
ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm 4e', 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$4e' = 3 \Rightarrow e' = \frac{3}{4}$.
ઉપવલય માટે $e'^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{3}{4})^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{16} \Rightarrow \frac{9}{16} = 1 - \frac{b^{2}}{16}$.
$\frac{b^{2}}{16} = \frac{7}{16} \Rightarrow b^{2} = 7$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $y^{2}+4x^{2}-12x+6y+14=0$.
પદોને ગોઠવતા: $4(x^{2}-3x) + (y^{2}+6y) = -14$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$4(x^{2}-3x+\frac{9}{4}) + (y^{2}+6y+9) = -14 + 9 + 9$.
$4(x-\frac{3}{2})^{2} + (y+3)^{2} = 4$.
$4$ વડે ભાગતા,પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{(x-\frac{3}{2})^{2}}{1} + \frac{(y+3)^{2}}{4} = 1$.
અહીં,$a^{2}=1$ અને $b^{2}=4$. $b^{2} > a^{2}$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}}$ છે.
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
નાભિઓના યામ $S(-ae, 0)$ અને $S^{\prime}(ae, 0)$ છે.
ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
$\Delta SBS^{\prime}$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta SOB$ માં ખૂણો $\angle BSO = 60^{\circ}$ થાય.
$\Delta SOB$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae}$.
તેથી,$\sqrt{3} = \frac{b}{ae}$,જેનો અર્થ છે કે $b^{2} = 3a^{2}e^{2}$.
સંબંધ $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^{2}(1 - e^{2}) = 3a^{2}e^{2}$.
$1 - e^{2} = 3e^{2} \implies 4e^{2} = 1 \implies e^{2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$e = \frac{1}{2}$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (જ્યાં $a > b$) માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1}$ એ $e_{1}^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_{2}$ એ $e_{2}^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = (1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}) + (1 + \frac{b^{2}}{a^{2}})$.
તેથી,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 1 + 1 = 2$.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
$CD$ એ અર્ધ-અનુબદ્ધ વ્યાસ હોવાથી,$D$ ના યામ $(a \cos(\theta + \frac{\pi}{2}), b \sin(\theta + \frac{\pi}{2})) = (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ થશે.
હવે,$CP^{2} = a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta$.
અને $CD^{2} = (-a \sin \theta)^{2} + (b \cos \theta)^{2} = a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$CP^{2} + CD^{2} = a^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + b^{2}(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)$.
કારણ કે $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,તેથી $CP^{2} + CD^{2} = a^{2} + b^{2}$.

(B) આપેલ સંબંધ $R = \{(a, b) : b = a - 1, a \in \mathbb{Z}, 5 < a < 9\}$ છે.
અહીં $a$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જ્યાં $5 < a < 9$,તેથી $a$ ની શક્ય કિંમતો $a \in \{6, 7, 8\}$ છે.
જ્યારે $a = 6$,ત્યારે $b = 6 - 1 = 5$.
જ્યારે $a = 7$,ત્યારે $b = 7 - 1 = 6$.
જ્યારે $a = 8$,ત્યારે $b = 8 - 1 = 7$.
આમ,સંબંધ $R = \{(6, 5), (7, 6), (8, 7)\}$ મળે છે.
$R$ નો વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડીના બીજા ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{5, 6, 7\}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
બંને બાજુ $\cos x$ વડે ગુણતા (જ્યાં $\cos x \neq 0$): $\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
નિત્યસમ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
પદોને ગોઠવતા: $2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
આનાથી બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = -1$
કિસ્સો $1$: જો $\sin x = -1$,તો $x = \frac{3 \pi}{2}$. $x = \frac{3 \pi}{2}$ પર $\cos x = 0$ થાય છે,જે $\tan x$ અને $\sec x$ ને અવ્યાખ્યાયિત બનાવે છે. તેથી,આ ઉકેલ માન્ય નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\sin x = \frac{1}{2}$,તો $x = \frac{\pi}{6}$ અથવા $x = \frac{5 \pi}{6}$. બંને કિંમતો અંતરાલ $[0, 2 \pi]$ માં છે અને આ બિંદુઓ પર $\cos x \neq 0$ છે.
તેથી,કુલ $2$ માન્ય ઉકેલો છે.

(C) આપેલ અતિવલય $16x^{2}-9y^{2}=144$ છે. $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ મળે છે.
અહીં,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $b^{2}=a^{2}(e^{2}-1)$ દ્વારા મળે છે,તેથી $16=9(e^{2}-1)$,જે $e^{2}-1=\frac{16}{9}$ આપે છે,તેથી $e^{2}=\frac{25}{9}$,$e=\frac{5}{3}$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની નિયામિકાઓ $x=\pm \frac{a}{e}$ છે.
અહીં,$a=3$ અને $e=\frac{5}{3}$ છે,તેથી $x=\pm \frac{3}{5/3} = \pm \frac{9}{5}$.
આમ,$5x-9=0$ અને $5x+9=0$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(5x-9)(5x+9)=0$ છે,જે $25x^{2}-81=0$ થાય છે.
આને $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=25, h=0, b=0, g=0, f=0, c=-81$ મળે છે.
તેથી,$g+f-c = 0+0-(-81) = 81$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $16x^{2} - 3y^{2} - 32x - 12y - 44 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $16(x^{2} - 2x) - 3(y^{2} + 4y) = 44$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $16(x^{2} - 2x + 1) - 3(y^{2} + 4y + 4) = 44 + 16 - 12$
$16(x - 1)^{2} - 3(y + 2)^{2} = 48$
$48$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^{2}}{3} - \frac{(y + 2)^{2}}{16} = 1$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 3$ અને $b^{2} = 16$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 + \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{3 + 16}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}}$.

(B) અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ પરના બિંદુ $P$ ના પ્રચલ યામ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ છે.
નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે,જ્યાં ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ એટલે કે $a^{2}e^{2} = a^{2} + b^{2}$.
અંતર સૂત્ર મુજબ $SP = |ae \sec \theta - a|$ અને $S^{\prime}P = |ae \sec \theta + a|$.
તેથી,$SP \cdot S^{\prime}P = |a^{2}e^{2} \sec ^{2} \theta - a^{2}|$.
$a^{2}e^{2} = a^{2} + b^{2}$ મૂકતા,$SP \cdot S^{\prime}P = |(a^{2} + b^{2}) \sec ^{2} \theta - a^{2}| = |a^{2}(\sec ^{2} \theta - 1) + b^{2} \sec ^{2} \theta| = a^{2} \tan ^{2} \theta + b^{2} \sec ^{2} \theta$.

(D) લંબકોણીય અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - y^2 = a^2$ છે,જેને $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a$ અને અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2a$ સમાન છે.
તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $9x^{2} - 36x - 16y^{2} + 96y - 252 = 0$
$x$ અને $y$ પદોને જૂથમાં લેતા: $9(x^{2} - 4x) - 16(y^{2} - 6y) = 252$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$9(x^{2} - 4x + 4) - 16(y^{2} - 6y + 9) = 252 + 36 - 144$
$9(x - 2)^{2} - 16(y - 3)^{2} = 144$
$144$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 2)^{2}}{16} - \frac{(y - 3)^{2}}{9} = 1$
અતિવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્ર છે.
સરખામણી કરતા,કેન્દ્ર $(2, 3)$ મળે છે.

(D) વિધાન $p \vee (q \rightarrow \sim r)$ નો નિષેધ શોધવા માટે,આપણે ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sim(p \vee (q$ $\rightarrow \sim r)) \equiv \sim p \wedge \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$.
તાર્કિક સમાનતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sim(q \rightarrow \sim r) \equiv q \wedge \sim(\sim r)$ મળે છે.
કારણ કે $\sim(\sim r) \equiv r$,તેથી પદ $q \wedge r$ માં સરળ બને છે.
તેથી,અંતિમ નિષેધ $\sim p \wedge (q \wedge r)$ છે.

(D) જો કોઈ વિધાન રચનાના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે તેનું સત્ય મૂલ્ય $T$ હોય,તો તેને નિત્યસત્ય કહેવાય છે.
આપેલ સત્યતા કોષ્ટક મુજબ:
સ્તંભ $9$ એ $S_{1} \equiv \sim p \rightarrow (q \leftrightarrow p)$ દર્શાવે છે. તેના મૂલ્યો $T, T, F, T$ છે. આ નિત્યસત્ય નથી.
સ્તંભ $10$ એ $S_{2} \equiv \sim p \vee \sim q$ દર્શાવે છે. તેના મૂલ્યો $F, T, T, T$ છે. આ નિત્યસત્ય નથી.
સ્તંભ $11$ એ $S_{3} \equiv (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow p)$ દર્શાવે છે. તેના મૂલ્યો $T, F, F, T$ છે. આ નિત્યસત્ય નથી.
સ્તંભ $12$ એ $S_{4} \equiv (q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$ દર્શાવે છે. તેના મૂલ્યો $T, T, T, T$ છે.
સ્તંભ $12$ માં તમામ મૂલ્યો $T$ હોવાથી,$S_{4}$ એ નિત્યસત્ય છે.

(A) વિધાન પેટર્નનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \vee q$ | $(p \vee q) \wedge \sim p$ | $[(p \vee q) \wedge \sim p] \wedge \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
છેલ્લી કોલમમાં બધી એન્ટ્રીઓ $F$ (ખોટી) હોવાથી,આ વિધાન પેટર્ન એક વિરોધાભાસ છે.

(A) જો કોઈ વિધાન રચનાનું સત્યતા મૂલ્ય તેના તમામ ઘટકોના શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે $F$ હોય,તો તેને વિરોધાભાસ કહેવાય છે.
આપણે $S_{1} \equiv (p \rightarrow q) \wedge (p \wedge \sim q)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
તાર્કિક નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{1} \equiv (\sim p \vee q) \wedge (p \wedge \sim q)$
$S_{1} \equiv [(\sim p \vee q) \wedge p] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv [(\sim p \wedge p) \vee (q \wedge p)] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv [F \vee (p \wedge q)] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv (p \wedge q) \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv p \wedge (q \wedge \sim q)$
$S_{1} \equiv p \wedge F$
$S_{1} \equiv F$
આમ,સત્યતા મૂલ્ય હંમેશા $F$ હોવાથી,$S_{1}$ એ વિરોધાભાસ છે.

(B) નિષેધ શોધવા માટે આપણે નીચેના નિયમોનું પાલન કરીએ છીએ:
$1$. અસ્તિત્વવાચક કારક $\exists$ (કોઈક) ને સાર્વત્રિક કારક $\forall$ (દરેક) સાથે બદલો.
$2$. અસમતા ચિહ્ન $>$ ને તેના નિષેધ $\leq$ સાથે બદલો.
તેથી,$\exists x \in A$ એવું છે કે જેથી $x+5 > 8$ નું નિષેધ $\forall x \in A, \quad x+5 \leq 8$ થાય.

(D) કઈ વિધાન રચના સ્વતઃ સત્ય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિધાન માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ.
જો કોઈ વિધાન તેના ઘટક વિધાનોના તમામ શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે $T$ હોય,તો તે સ્વતઃ સત્ય છે.
$S_2 \equiv [p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$ માટે:
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $p \wedge (p \rightarrow q)$ | $[p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
કારણ કે $S_2$ માટે અંતિમ સ્તંભની તમામ કિંમતો $T$ છે,તેથી $S_2$ એ સ્વતઃ સત્ય છે.

(C) વિધાન પેટર્નનો દ્વૈત શોધવા માટે,આપણે $\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$t$ ને $c$ સાથે અને $c$ ને $t$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ વિધાન પેટર્ન: $\sim p \wedge (q \vee t)$.
$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$\vee$ ને $\wedge$ સાથે અને $t$ ને $c$ સાથે બદલતા:
દ્વૈત $\sim p \vee (q \wedge c)$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sim(p \vee q) \vee(\sim p \wedge q)$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$.
તેથી,પદાવલિ $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim p$ ને સામાન્ય લેતા:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$.
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (નિત્યસત્ય),પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(A) પરિપથ બે મુખ્ય સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
શાખા $1$ માં શ્રેણીમાં સ્વીચો $s_{1}$ અને $s_{2}$ છે,જે $(p \wedge q)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
શાખા $2$ માં સ્વીચ $s_{1}'$ (જે $\sim p$ છે) એ $s_{2}'$ $(\sim q)$,$s_{1}$ $(p)$,અને $s_{3}$ $(r)$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
આ સમાંતર જોડાણ $(\sim q \vee p \vee r)$ છે.
આમ,સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \wedge q) \vee [\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r)] \equiv \ell$ છે.

(B) ધારો કે $p$: રાજુ બહાદુર છે,અને $q$: રાજુ ભારતીય સેનામાં જોડાશે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન (contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે 'રાજુ ભારતીય સેનામાં જોડાતો નથી' અને $\sim p$ એટલે 'રાજુ બહાદુર નથી'.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: 'જો રાજુ ભારતીય સેનામાં જોડાતો નથી,તો તે બહાદુર નથી'.

(D) આપેલ પદાવલિ: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
ક્રમનો અને જૂથનો નિયમ વાપરતા:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge (\sim q \wedge \sim r)]$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim q \wedge \sim r \equiv \sim (q \vee r)$:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (q \vee r)]$
વિભાજનનો નિયમ $p \wedge (A \vee \sim A) = p \wedge T$ વાપરતા:
$p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$
કારણ કે $(q \vee r) \vee \sim (q \vee r) \equiv T$ (નિત્યસત્ય):
$p \wedge T = p$

(A) આપેલ પદાવલિ $[\sim p \vee (p \wedge \sim q)] \vee q$ છે.
વિભાજનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$= [(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)] \vee q$
$= [T \wedge (\sim p \vee \sim q)] \vee q$
$= (\sim p \vee \sim q) \vee q$
$= \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$= \sim p \vee T$
$= T$
પરિણામ $T$ (tautology) હોવાથી,સ્વિચની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના પ્રવાહ વહે છે.

(A) શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
આપેલ છે કે $(\sim p \wedge q) \rightarrow r$ અસત્ય છે,તેથી $(\sim p \wedge q) = T$ અને $r = F$ હોવું જોઈએ.
સંયોજન $A \wedge B$ ત્યારે જ સત્ય હોય જ્યારે $A$ અને $B$ બંને સત્ય હોય.
તેથી,$\sim p = T$ અને $q = T$.
જો $\sim p = T$ હોય,તો $p = F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = F, q = T, r = F$ છે.

(B) 'સંદીપને ચા કે કોફી ગમતી નથી' વિધાનનો અર્થ છે 'સંદીપને ચા ગમતી નથી અને સંદીપને કોફી ગમતી નથી',જે $(\sim p \wedge \sim q)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
'પણ તે સોફ્ટ ડ્રિંકનો આનંદ માણે છે' શબ્દસમૂહ 'અને સંદીપ સોફ્ટ ડ્રિંકનો આનંદ માણે છે' શરત ઉમેરે છે,જે $\wedge r$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ બંનેને જોડતા,સાંકેતિક સ્વરૂપ $(\sim p \wedge \sim q) \wedge r$ થાય છે.

(B) ધારો કે $p:$ ઘાસ લીલું છે.
ધારો કે $q:$ જુલાઈમાં વરસાદ પડે છે.
આપેલ વિધાનનું તાર્કિક સ્વરૂપ $p \rightarrow q$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ થાય.
તેથી,આ વિધાન 'ઘાસ લીલું નથી અથવા જુલાઈમાં વરસાદ પડે છે' ને સમાન છે.

(C) $\sim(p \wedge q)$ માટેના સત્યતા મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે નીચે મુજબ સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$\sim(p \wedge q)$
$T$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$

છેલ્લા સ્તંભમાં રહેલી એન્ટ્રીઓ $F, T, T, T$ છે.

(D) નિત્યસત્ય (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે સત્ય હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવતા:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $\sim p \vee \sim q$ | $p \vee \sim q$ | $(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
છેલ્લી કોલમમાં જોયા મુજબ,વિધાન $(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ એ $p$ અને $q$ ના તમામ સંયોજનો માટે સત્ય છે.
તેથી,તે એક નિત્યસત્ય છે.

(A) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે કે સ્વીચ $S_{1}$ બંધ છે.
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે કે સ્વીચ $S_{2}$ બંધ છે.
તેથી $\sim p$ એ સ્વીચ $S_{1}'$ બંધ હોવાનું દર્શાવે છે,અને $\sim q$ એ સ્વીચ $S_{2}'$ બંધ હોવાનું દર્શાવે છે.
આપેલ પરિપથમાં:
$1$. ઉપરની શાખામાં સ્વીચ $S_{1}$ અને $S_{2}$ સમાંતર છે,જે $(p \vee q)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. નીચેની શાખામાં સ્વીચ $S_{1}'$ અને $S_{2}'$ શ્રેણીમાં છે,જે $(\sim p \wedge \sim q)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. આ બંને શાખાઓ એકબીજા સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
તેથી,પરિપથનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \vee q) \vee (\sim p \wedge \sim q) \equiv l$ છે.

(D) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો: $x=4 \sec \theta$ અને $y=4 \tan^2 \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 4 \sec \theta \tan \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = 8 \tan \theta \sec^2 \theta$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{8 \tan \theta \sec^2 \theta}{4 \sec \theta \tan \theta} = 2 \sec \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $2 \sec(\frac{\pi}{4}) = 2 \sqrt{2}$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $= -\frac{1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ,બિંદુ $(x, y) = (4 \sec \frac{\pi}{4}, 4 \tan^2 \frac{\pi}{4}) = (4 \sqrt{2}, 4)$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 4 = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}(x - 4 \sqrt{2})$.
$2 \sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$2 \sqrt{2} y - 8 \sqrt{2} = -x + 4 \sqrt{2}$.
તેથી,$x + 2 \sqrt{2} y = 12 \sqrt{2}$ મળે.

(C) રેખા $6x - y - 4 = 0$ નો ઢાળ $6$ છે. આ રેખા વક્ર $y^{2} = ax^{3} + b$ ને બિંદુ $(1, 2)$ આગળ સ્પર્શક હોવાથી,આ બિંદુએ વિકલિતનું મૂલ્ય રેખાના ઢાળ જેટલું થાય.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^{2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3ax^{2}}{2y}$.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)} = \frac{3a(1)^{2}}{2(2)} = \frac{3a}{4}$ થાય.
ઢાળને $6$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{3a}{4} = 6 \Rightarrow 3a = 24 \Rightarrow a = 8$.
બિંદુ $(1, 2)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(2)^{2} = a(1)^{3} + b \Rightarrow 4 = 8(1) + b \Rightarrow b = 4 - 8 = -4$.
તેથી,$a + b = 8 + (-4) = 4$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $2x^{2} + 3y^{2} - 5 = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$4x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{6y} = -\frac{2x}{3y}$.
બિંદુ $P(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_{t})$:
$m_{t} = -\frac{2(1)}{3(1)} = -\frac{2}{3}$.
અભિલંબનો ઢાળ $(m_{n})$ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે:
$m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)$
$2(y - 1) = 3(x - 1)$
$2y - 2 = 3x - 3$
$3x - 2y - 1 = 0$.

(D) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x=t^{2}-1$ અને $y=t^{2}-t$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{dt} = 2t$ અને $\frac{dy}{dt} = 2t-1$.
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t-1}{2t}$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{2t-1}{2t} = 0$.
આથી $2t-1 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ વક્ર $y = \sin \left(\frac{\pi x}{4}\right)$ છે.
પ્રથમ,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{\pi x}{4}\right)$.
બિંદુ $(2, 1)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t$ નીચે મુજબ છે:
$m_t = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1)} = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{2\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \times 0 = 0$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ હોવાથી,સ્પર્શક એ $X$-અક્ષને સમાંતર આડી રેખા છે.
તેથી,અભિલંબ,જે સ્પર્શકને લંબ છે,તે શિરોલંબ રેખા હોવી જોઈએ.
બિંદુ $(2, 1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાનું સમીકરણ $x = 2$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $2x^{2} + y^{2} = 12$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{t} = -\frac{2(2)}{2} = -2$ છે.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ છે.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_{1} = m_{n}(x - x_{1})$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 2)$.
$2$ વડે ગુણતા,$2y - 4 = x - 2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$x - 2y + 2 = 0$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) રેખા $y=4x-5$ નો ઢાળ $4$ છે.
રેખા વક્રને $(2,3)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી આ બિંદુએ વક્રનું વિકલન રેખાના ઢાળ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $y^{2}=ax^{3}+b$,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^{2}$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^{2}}{2y}$.
બિંદુ $(2,3)$ આગળ,ઢાળ $\frac{3a(2)^{2}}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ થાય.
આને રેખાના ઢાળ સાથે સરખાવતા,$2a = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
બિંદુ $(2,3)$ એ વક્ર $y^{2}=ax^{3}+b$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x=2, y=3$ અને $a=2$ મૂકીએ:
$3^{2} = 2(2)^{3} + b$
$9 = 2(8) + b$
$9 = 16 + b$
$b = 9 - 16 = -7$.
આમ,$a=2$ અને $b=-7$ મળે છે.

(B) સ્થાનાંતર $s = t^{3} - 4t^{2} - 5t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{3} - 4t^{2} - 5t) = 3t^{2} - 8t - 5$.
$t = 2 \text{ sec}$ પર વેગ શોધવા માટે,$v$ ના સમીકરણમાં $t = 2$ મૂકતા:
$v = 3(2)^{2} - 8(2) - 5$.
$v = 3(4) - 16 - 5$.
$v = 12 - 16 - 5$.
$v = -9 \text{ એકમ/સેકન્ડ}$.

(B) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ છે.
$1 \text{ decimeter} = 10 \text{ cm}$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 5 \text{ decimeters} = 50 \text{ cm}$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
કિંમતો $r = 50 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 50 \times 2 = 200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \cot^{-1}(x)$. તેનું વિકલન $f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ છે.
આપણે રેખીય અંદાજનું સૂત્ર વાપરીએ: $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$.
અહીં,$a = 1$ અને $h = 0.001$ લો.
$f(a) = \cot^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ ની ગણતરી કરો.
$f'(a) = -\frac{1}{1+1^2} = -\frac{1}{2}$ ની ગણતરી કરો.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(1.001) \approx \frac{\pi}{4} + (0.001) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$.
$f(1.001) \approx \frac{\pi}{4} - 0.0005$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $s = t^{3} - 6t^{2} + 9t + 25$ ....$(1)$
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે:
$v = \frac{ds}{dt} = 3t^{2} - 12t + 9$
આપેલ છે કે વેગ શૂન્ય છે:
$3t^{2} - 12t + 9 = 0$
$t^{2} - 4t + 3 = 0$
$(t - 1)(t - 3) = 0$
તેથી,$t = 1$ અથવા $t = 3$.
$t = 1$ માટે સ્થાનાંતર: $s(1) = 1 - 6 + 9 + 25 = 29 \text{ એકમ}$.
$t = 3$ માટે સ્થાનાંતર: $s(3) = 27 - 54 + 27 + 25 = 25 \text{ એકમ}$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $27$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \log _{10} x = \frac{\log _{e} x}{\log _{e} 10}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{1}{x \log_{e} 10} = \frac{1}{x} \log_{10} e$.
ધારો કે $a = 100$ અને $h = -1$,જેથી $a + h = 99$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે આશરે કિંમત શોધવાનું સૂત્ર $f(a + h) \approx f(a) + h f'(a)$ છે.
અહીં,$f(a) = \log_{10} 100 = 2$.
$f'(a) = \frac{1}{100} \log_{10} e = \frac{0.4343}{100} = 0.004343$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(99) \approx 2 + (-1)(0.004343) = 2 - 0.004343 = 1.995657$.
દશાંશના ચાર અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1.9957$ મળે છે.

(D) આપેલ સ્થાનાંતર વિધેય $s = 3t^{2} - 12t + 14$ છે।
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે, જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા મળે છે।
$v = \frac{d}{dt}(3t^{2} - 12t + 14) = 6t - 12$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય થાય, ત્યારે આપણે $v = 0$ લઈએ છીએ:
$6t - 12 = 0 \implies 6t = 12 \implies t = 2 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે, તે ક્ષણે સ્થાનાંતર શોધવા માટે $t = 2$ ને સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$s = 3(2)^{2} - 12(2) + 14$
$s = 3(4) - 24 + 14$
$s = 12 - 24 + 14 = 2 \text{ એકમ}$.
આમ, જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે કણનું સ્થાનાંતર $2 \text{ એકમ}$ છે।

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{3} + 5x^{2} - 7x + 10$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત મેળવો $f'(x) = 3x^{2} + 10x - 7$.
ધારો કે $a = 1$ અને $h = 0.1$,તેથી $x = a + h = 1.1$.
$f(a) = f(1) = (1)^{3} + 5(1)^{2} - 7(1) + 10 = 1 + 5 - 7 + 10 = 9$ ગણો.
$f'(a) = f'(1) = 3(1)^{2} + 10(1) - 7 = 3 + 10 - 7 = 6$ ગણો.
રેખીય આસન્ન કિંમતનું સૂત્ર $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(1.1) \approx 9 + (0.1)(6) = 9 + 0.6 = 9.6$.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = x^{3} - 3x + 5$.
આપણે $x = 1.99$ આગળ આશરે મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ધારો કે $x = a + h$,જ્યાં $a = 2$ અને $h = -0.01$.
રેખીય અંદાજ માટેનું સૂત્ર $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ છે.
પ્રથમ,$f(a) = f(2) = 2^{3} - 3(2) + 5 = 8 - 6 + 5 = 7$ શોધો.
ત્યારબાદ,વિકલિત $f'(x) = 3x^{2} - 3$ મેળવો.
$f'(a) = f'(2) = 3(2)^{2} - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$ ગણો.
હવે,આ કિંમતોને અંદાજિત સૂત્રમાં મૂકો:
$f(1.99) \approx f(2) + (-0.01) \cdot f'(2) = 7 + (-0.01)(9) = 7 - 0.09 = 6.91$.
આમ,આશરે મૂલ્ય $6.91$ છે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુ $x$ છે. ક્ષેત્રફળ $A = x^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{dA}{dt} = 0.5 \text{ cm}^2/\text{sec}$ અને $x = 10 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.5 = 2(10) \frac{dx}{dt} \Rightarrow 0.5 = 20 \frac{dx}{dt}$.
તેથી,$\frac{dx}{dt} = \frac{0.5}{20} = 0.025 \text{ cm/sec}$.
ચોરસની પરિમિતિ $P = 4x$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dP}{dt} = 4 \frac{dx}{dt}$ મળે.
$\frac{dx}{dt} = 0.025$ મૂકતા,$\frac{dP}{dt} = 4(0.025) = 0.1 \text{ cm/sec}$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $f(x)=3x^{2}+5x+3$.
આપણે $x=3.02$ પર આશરે કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = a + h$,જ્યાં $a=3$ અને $h=0.02$.
રેખીય અંદાજ માટેનું સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f^{\prime}(a)$ છે.
પ્રથમ,$f(a) = f(3) = 3(3)^{2} + 5(3) + 3 = 27 + 15 + 3 = 45$ શોધો.
ત્યારબાદ,વિકલન $f^{\prime}(x) = 6x + 5$ મેળવો.
પછી,$f^{\prime}(a) = f^{\prime}(3) = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$f(3.02) \approx 45 + (0.02)(23) = 45 + 0.46 = 45.46$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$. આપણે $f(66)$ ની આશરે કિંમત શોધવી છે.
ધારો કે $x = 64$ અને $\Delta x = 2$,જેથી $x + \Delta x = 66$ થાય.
રેખીય અંદાજ માટેનું સૂત્ર $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ છે.
અહીં,$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$,તેથી $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$.
$x = 64$ માટે,$f(64) = (64)^{\frac{1}{3}} = 4$.
અને $f'(64) = \frac{1}{3(64)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(4^2)} = \frac{1}{3(16)} = \frac{1}{48}$.
હવે,$f(66) \approx f(64) + f'(64) \Delta x$.
$f(66) \approx 4 + \left(\frac{1}{48}\right)(2) = 4 + \frac{1}{24}$.
કારણ કે $\frac{1}{24} \approx 0.04166...$,તેથી $f(66) \approx 4 + 0.04166... = 4.04166...$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $4.0417$ મળે છે,જે $4.0416$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \log x - \frac{2x}{x+2}$.
વિધેયનો પ્રદેશ $x > 0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{(x+2)(2) - 2x(1)}{(x+2)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{(x+2)^2}$
$f'(x) = \frac{(x+2)^2 - 4x}{x(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 4 - 4x}{x(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4}{x(x+2)^2}$
અહીં $x^2 + 4 > 0$ અને $(x+2)^2 > 0$ હોવાથી,પ્રદેશના તમામ $x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
તેથી,વિધેય $x \in (0, \infty)$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{a^x} = a^{-x}$ છે,જ્યાં $a > 0$.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(a^{-x}) = -a^{-x} \cdot \ln(a)$.
બધા $x$ માટે $a^x > 0$ અને $a > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $a$ ની કિંમત પર આધાર રાખે છે:
$1$. જો $a > 1$ હોય,તો $\ln(a) > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) < 0$,તેથી વિધેય ઘટતું વિધેય છે.
$2$. જો $0 < a < 1$ હોય,તો $\ln(a) < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) > 0$,તેથી વિધેય વધતું વિધેય છે.
$3$. જો $a = 1$ હોય,તો $f(x) = 1$ થાય,જે અચળ વિધેય છે.
સામાન્ય રીતે પાઠ્યપુસ્તકના સંદર્ભમાં જ્યાં $a > 1$ લેવામાં આવે છે,ત્યારે વિધેય ઘટતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x)=3x^{4}+16x^{3}-30x^{2}+10$
વિકલન મેળવતા: $f'(x)=12x^{3}+48x^{2}-60x$
વિધેય વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ:
$12x^{3}+48x^{2}-60x > 0$
$12x$ સામાન્ય લેતા:
$12x(x^{2}+4x-5) > 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$12x(x+5)(x-1) > 0$
અંતરાલ નક્કી કરવા માટે,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = -5, 0, 1$ છે.
અંતરાલ તપાસતા:
$x \in (-\infty, -5)$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x \in (-5, 0)$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x \in (0, 1)$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x \in (1, \infty)$ માટે,$f'(x) > 0$.
આમ,વિધેય $x \in (-5, 0) \cup (1, \infty)$ માટે વધતું વિધેય છે.

(C) ધારો કે $a, b, c$ એ ત્રિકોણની બાજુઓ છે. ત્રિકોણની પરિમિતિ $a+b+c = 10 \text{ cm}$ છે.
આપેલ છે કે $a = 4 \text{ cm}$,તેથી $b+c = 6 \text{ cm}$,જેનો અર્થ છે કે $c = 6-b$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5(5-4)(5-b)(5-c)} = \sqrt{5(1)(5-b)(5-(6-b))} = \sqrt{5(5-b)(b-1)}$.
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $f(b) = 5(5-b)(b-1) = 5(-b^2 + 6b - 5)$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
$b$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(b) = 5(-2b + 6)$.
$f'(b) = 0$ લેતા $b = 3$ મળે છે.
કારણ કે $f''(b) = -10 < 0$,તેથી $b = 3 \text{ cm}$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
ત્યારબાદ $c = 6 - 3 = 3 \text{ cm}$.
આમ,બાકીની બાજુઓ $3 \text{ cm}$ અને $3 \text{ cm}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ:
$f''(x) = \frac{x^2 \cdot (-\frac{1}{x}) - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ આગળ,$f''(e) = \frac{2 \log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
કારણ કે $f''(e) < 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = e$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $x$ અને $y$ છે.
પરિમિતિ $108 \ m$ આપેલ હોવાથી,$2x + 2y = 108$,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 54$ અથવા $y = 54 - x$ થાય છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x \times y$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,$A = x(54 - x) = 54x - x^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dA}{dx} = 54 - 2x$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,$54 - 2x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 27$.
અહીં $\frac{d^2A}{dx^2} = -2 < 0$ હોવાથી,$x = 27$ આગળ ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
તેથી $y = 54 - 27 = 27$.
આમ,પરિમાણો $27 \ m$ અને $27 \ m$ છે.

(C) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\ell$ એ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વર્તુળાકાર સેક્ટરની ચાપની લંબાઈ છે. સેક્ટરની પરિમિતિ $P = 2r + \ell = 20 \ m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$\ell = 20 - 2r$.
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \ell r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\ell$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \frac{1}{2}(20 - 2r)r = 10r - r^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ લેતા,આપણને $10 - 2r = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 5 \ m$.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ છીએ: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$.
કારણ કે $\frac{d^2A}{dr^2} < 0$ છે,તેથી $r = 5 \ m$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(D) ધારો કે $ABCD$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસ છે.
લંબચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,તેનો વિકર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$\Rightarrow AC = BD = 2r = \text{વ્યાસ}$.
ધારો કે $x$ અને $y$ એ લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^{2} + y^{2} = (2r)^{2} = 4r^{2}$.
$\Rightarrow y = \sqrt{4r^{2} - x^{2}}$.
હવે,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = xy = x\sqrt{4r^{2} - x^{2}}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dx} = \sqrt{4r^{2} - x^{2}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{4r^{2} - x^{2}}} \cdot (-2x) = \sqrt{4r^{2} - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4r^{2} - x^{2}}} = \frac{4r^{2} - 2x^{2}}{\sqrt{4r^{2} - x^{2}}}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે,$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા:
$4r^{2} - 2x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 2r^{2} \Rightarrow x = \sqrt{2}r$.
$y$ ના સૂત્રમાં $x = \sqrt{2}r$ મૂકતા:
$y = \sqrt{4r^{2} - (\sqrt{2}r)^{2}} = \sqrt{4r^{2} - 2r^{2}} = \sqrt{2r^{2}} = \sqrt{2}r$.
આમ,લંબચોરસના પરિમાણો $\sqrt{2}r$ એકમ અને $\sqrt{2}r$ એકમ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = (x + 2) e^{-x}$.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = (x + 2) \frac{d}{dx}(e^{-x}) + e^{-x} \frac{d}{dx}(x + 2)$
$f'(x) = (x + 2)(-e^{-x}) + e^{-x}(1)$
$f'(x) = e^{-x} [-(x + 2) + 1] = e^{-x}(-x - 1) = -e^{-x}(x + 1)$.
કારણ કે $e^{-x} > 0$ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે,$f'(x)$ ની નિશાની $-(x + 1)$ પર આધાર રાખે છે.
વિધેય વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0 \Rightarrow -(x + 1) > 0 \Rightarrow x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1$.
આમ,$f(x)$ એ $(-\infty, -1)$ માં વધતું વિધેય છે.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,$f'(x) < 0 \Rightarrow -(x + 1) < 0 \Rightarrow x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
આમ,$f(x)$ એ $(-1, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે. આપેલ છે કે $r + h = 6$, તેથી $h = 6 - r$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $V(r) = \pi r^2 (6 - r) = \pi (6r^2 - r^3)$ મળે છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે, આપણે $V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dV}{dr} = \pi (12r - 3r^2) = 0$.
$3r(4 - r) = 0$, જેમાંથી $r = 0$ (શક્ય નથી) અથવા $r = 4$ મળે છે.
જ્યારે $r = 4$ હોય, ત્યારે $h = 6 - 4 = 2$ થાય.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (12 - 6r)$. $r = 4$ માટે, $\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (12 - 24) = -12\pi < 0$, તેથી $r = 4$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.
મહત્તમ ઘનફળ $V = \pi (4)^2 (2) = 32\pi \text{ m}^3$ થાય.

(C) ધારો કે $d(AP) = x$. તો $d(BP) = 12 - x$ થાય.
વિધેય $f(x) = AP^{2} + BP^{2} = x^{2} + (12 - x)^{2}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $f(x) = x^{2} + 144 - 24x + x^{2} = 2x^{2} - 24x + 144$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ: $f'(x) = 4x - 24$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $4x = 24$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 6$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા,$f''(x) = 4$. કારણ કે $f''(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય $f(x)$ એ $x = 6$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
કારણ કે $x = 6$ એ કુલ લંબાઈ $12 \text{ cm}$ ના બરાબર અડધા છે,તેથી $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(A) કોઈ વિધેય $f(x)$ માટે $[a, b]$ અંતરાલમાં રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે ત્રણ શરતોનું પાલન થવું જરૂરી છે:
$1$. $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
$2$. $f(x)$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$3$. $f(a) = f(b)$ હોવું જોઈએ.
અહીં $f(x) = |x-2|$ એ $[0, 4]$ પર આપેલ છે:
$f(0) = |0-2| = 2$ અને $f(4) = |4-2| = 2$ મળે છે,તેથી $f(0) = f(4)$ થાય છે.
પરંતુ,વિકલનીયતા તપાસતા: $f(x) = |x-2|$ એ $x = 2$ આગળ વિકલનીય નથી,જે અંતરાલ $(0, 4)$ ની અંદર આવે છે.
આમ,વિધેય $x = 2$ આગળ વિકલનીય ન હોવાથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાતું નથી.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{x}$ અંતરાલ $[1, 3]$ પર છે.
લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,કોઈક $c \in (1, 3)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ થાય.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$,તેથી $f'(c) = 1 - \frac{1}{c^2}$.
હવે,અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો મેળવો: $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ અને $f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
આ કિંમતોને $LMVT$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{10}{3} - 2}{3 - 1}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$.
$c^2$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{c^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $c^2 = 3$.
કારણ કે $c \in (1, 3)$,તેથી આપણે ધન કિંમત લઈશું: $c = \sqrt{3}$.

(A) લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (a, b)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં $f(x) = \log(\sin x)$ અંતરાલ $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ પર આપેલ છે,તેથી $a = \frac{\pi}{6}$ અને $b = \frac{5\pi}{6}$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.
તેથી,$f'(c) = \cot c$.
હવે,$f(a)$ અને $f(b)$ ની કિંમત શોધો:
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \log(\sin(\frac{\pi}{6})) = \log(\frac{1}{2})$
$f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \log(\sin(\frac{5\pi}{6})) = \log(\frac{1}{2})$
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f'(c) = \frac{\log(\frac{1}{2}) - \log(\frac{1}{2})}{\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}} = \frac{0}{\frac{4\pi}{6}} = 0$.
તેથી,$\cot c = 0$,જેનો અર્થ છે કે $c = \frac{\pi}{2}$.

(B) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એક એવો બિંદુ $c \in (1, 3)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
આપેલ છે કે $f(x) = x + \frac{1}{x}$,તેથી $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો ગણતા:
$f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$
$f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(c) = \frac{\frac{10}{3} - 2}{3 - 1} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$.
હવે,$f'(c)$ ને $\frac{2}{3}$ સાથે સરખાવતા:
$1 - \frac{1}{c^2} = \frac{2}{3}$
$\frac{1}{c^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$c^2 = 3$
કારણ કે $c \in (1, 3)$,આપણે ધન મૂળ લઈશું: $c = \sqrt{3}$.

(D) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ એ $x=1$ થી $x=4$ સુધીના વિધેય $y=x^{3}$ ના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{4} x^{3} dx$
સંકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$,આપણને મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{4}$
હવે,સીમાઓ લાગુ કરતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{4} [4^{4} - 1^{4}]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{4} [256 - 1]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{255}{4} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) પરવલય $x^2 = 4y$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $x = \pm 2\sqrt{y}$.
ક્ષેત્રફળ $Y$-અક્ષ અને પ્રથમ ચરણમાં પરવલય દ્વારા ઘેરાયેલું હોવાથી,આપણે $x = 2\sqrt{y}$ લઈશું.
વક્ર $x = f(y)$,$Y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 2$ તથા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = 2 \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$
$A = \frac{4}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}]$
$A = \frac{4}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{4}{3}(8 - 2\sqrt{2})$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=4x-x^{2}$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=0$ લેતા:
$x(4-x)=0 \Rightarrow x=0$ અથવા $x=4$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=4$ સુધીનું વિધેયનું સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{4} (4x-x^{2}) dx$
$A = \left[ \frac{4x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left[ 2x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left( 2(4)^{2} - \frac{(4)^{3}}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \left( 2(16) - \frac{64}{3} \right) = 32 - \frac{64}{3}$
$A = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}=16y$ છે,જે પ્રથમ ચરણ માટે $x=4\sqrt{y}$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ વક્ર $x=4\sqrt{y}$,$Y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y=1$ તથા $y=4$ દ્વારા આવૃત છે.
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} 4\sqrt{y} \, dy$
$A = 4 \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = 4 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{8}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]$
$A = \frac{8}{3} [8 - 1]$
$A = \frac{8}{3} \times 7 = \frac{56}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેયના માનાંકના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-\pi}^{\frac{3\pi}{2}} |\sin x| dx$
આપણે $\sin x$ ની નિશાનીના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{-\pi}^{0} |\sin x| dx + \int_{0}^{\pi} |\sin x| dx + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} |\sin x| dx$
કારણ કે $x \in [-\pi, 0]$ અને $x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$ માટે $\sin x \le 0$ છે,અને $x \in [0, \pi]$ માટે $\sin x \ge 0$ છે:
$A = \int_{-\pi}^{0} (-\sin x) dx + \int_{0}^{\pi} (\sin x) dx + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} (-\sin x) dx$
$A = [\cos x]_{-\pi}^{0} + [-\cos x]_{0}^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = (\cos 0 - \cos(-\pi)) + (-\cos \pi + \cos 0) + (\cos(\frac{3\pi}{2}) - \cos \pi)$
$A = (1 - (-1)) + (-(-1) + 1) + (0 - (-1))$
$A = (1 + 1) + (1 + 1) + (0 + 1) = 2 + 2 + 1 = 5 \text{ (unit)}^2$

(C) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેય $y = \sin^{2} x$ નું $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{2}$ સુધીનું નિશ્ચિત સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$
$A = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2} \right) - (0 - 0) \right]$
$A = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ પરવલય $y^{2}=8x$ છે. તેને $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=8$ મળે છે,તેથી $a=2$.
નાભિલંબ એ રેખા $x=a$ છે,જે $x=2$ છે.
પરવલય અને નાભિલંબના છેદબિંદુઓ $(2, 4)$ અને $(2, -4)$ છે.
પરવલય અને નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
$A = 2 \int_{0}^{2} y \, dx = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{8x} \, dx$
$A = 2 \times 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2}$
$A = 4\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{8 \times 2 \times 2}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=16$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,રેખાઓ $x=0$ અને $x=2$ દ્વારા આવૃત કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં રહેલા પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_{0}^{2} y \, dx = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{16-x^{2}} \, dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{4}\right) \right]_{0}^{2}$
$= 2 \left[ \left( \frac{2}{2} \sqrt{16-4} + 8 \sin^{-1} \left(\frac{2}{4}\right) \right) - (0 + 8 \sin^{-1}(0)) \right]$
$= 2 \left[ \sqrt{12} + 8 \sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) \right]$
$= 2 \left[ 2\sqrt{3} + 8 \left(\frac{\pi}{6}\right) \right]$
$= 4\sqrt{3} + 8 \left(\frac{\pi}{3}\right) = 4\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) આપેલ પરવલય $y^{2}=16x$ છે. તેને $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=4$.
નાભિલંબ એ રેખા $x=a$ છે,તેથી $x=4$.
પરવલય અને નાભિલંબના છેદબિંદુઓ $(4, 8)$ અને $(4, -8)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં,ક્ષેત્રફળ વક્ર $y=\sqrt{16x}=4\sqrt{x}$,$x$-અક્ષ અને રેખા $x=4$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} 4\sqrt{x} \, dx$
$= 4 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} \, dx$
$= 4 \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}$
$= 4 \times \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{8}{3} \left[ 4^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}} \right]$
$= \frac{8}{3} \times 8 = \frac{64}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) વક્ર $y=f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ તથા $x=b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે: $A = \int_{a}^{b} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = x^{2}+1$,$a=1$,અને $b=2$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{1}^{2} (x^{2}+1) dx$
$A = \left[ \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{1}^{2}$
$A = \left( \frac{2^{3}}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1^{3}}{3} + 1 \right)$
$A = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right)$
$A = \left( \frac{8+6}{3} \right) - \left( \frac{1+3}{3} \right)$
$A = \frac{14}{3} - \frac{4}{3}$
$A = \frac{10}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ એ $x=1$ થી $x=5$ સુધીના વિધેય $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં નિશ્ચિત સંકલન છે. અંતરાલ $[1, 5]$ માં વક્ર $x$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{5} (4x^{3}-6x^{2}+4x+1) dx$
$= \left[\frac{4x^{4}}{4} - \frac{6x^{3}}{3} + \frac{4x^{2}}{2} + x\right]_{1}^{5}$
$= \left[x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} + x\right]_{1}^{5}$
$= [5^{4} - 2(5)^{3} + 2(5)^{2} + 5] - [1^{4} - 2(1)^{3} + 2(1)^{2} + 1]$
$= [625 - 250 + 50 + 5] - [1 - 2 + 2 + 1]$
$= 430 - 2 = 428 \text{ ચોરસ એકમ}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ પરવલયો $y^{2} = 5x$ અને $x^{2} = 5y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,પ્રથમ સમીકરણમાં $y = \frac{x^{2}}{5}$ મૂકતા:
$(\frac{x^{2}}{5})^{2} = 5x \Rightarrow \frac{x^{4}}{25} = 5x \Rightarrow x^{4} = 125x \Rightarrow x(x^{3} - 125) = 0$.
આમ,$x = 0$ અથવા $x = 5$. છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(5, 5)$ છે.
બંને વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{5} (\sqrt{5x} - \frac{x^{2}}{5}) dx$
$A = \sqrt{5} \int_{0}^{5} x^{1/2} dx - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} x^{2} dx$
$A = \sqrt{5} [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_{0}^{5} - \frac{1}{5} [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}$
$A = \sqrt{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot (5)^{3/2} - \frac{1}{15} \cdot (5)^{3}$
$A = \frac{2}{3} \cdot 5 \cdot 5 - \frac{125}{15} = \frac{50}{3} - \frac{25}{3} = \frac{25}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $y^{2}=x$ અને $x+y=2$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે $y=2-x$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2-x)^{2}=x$
$4-4x+x^{2}=x$
$x^{2}-5x+4=0$
$(x-4)(x-1)=0$
$x=1$ અથવા $x=4$.
આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધી રહ્યા છીએ,તેથી $x=1$ લઈશું. $x=1$ ને $y^{2}=x$ માં મૂકતા,આપણને $y=1$ મળે છે (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $y>0$ હોય છે).
આમ,છેદબિંદુ $(1,1)$ છે.
રેખા $x+y=2$ એ $X$-અક્ષને $(2,0)$ પર છેદે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી પરવલયની નીચેનો વિસ્તાર અને $x=1$ થી $x=2$ સુધી રેખાની નીચેનો વિસ્તારનો સરવાળો છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + \int_{1}^{2} (2-x) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} + \left[ 2x - \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{2}$
$= \frac{2}{3}(1) + \left( (4-2) - (2-0.5) \right)$
$= \frac{2}{3} + (2 - 1.5) = \frac{2}{3} + 0.5 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}$ ચોરસ એકમ.

(B) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=1$ થી $x=e$ સુધીના વિધેય $y = \log x$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{1}^{e} \log x \, dx$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,જ્યાં $u = \log x$ અને $dv = dx$:
$A = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$A = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 \, dx$
$A = [x \log x - x]_{1}^{e}$
સીમાઓ મૂકતા:
$A = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1)$
કારણ કે $\log e = 1$ અને $\log 1 = 0$:
$A = (e(1) - e) - (0 - 1)$
$A = (e - e) - (-1)$
$A = 0 + 1 = 1 \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) વર્તુળના વ્યાસ દ્વારા વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે. તેથી,$\angle APB = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $AP \perp PB$.
$AP$ ના દિકગુણોત્તર $(5-3, 6-(-2), -1-2) = (2, 8, -3)$ છે.
$PB$ ના દિકગુણોત્તર $(2-5, \lambda+1-6, 5-(-1)) = (-3, \lambda-5, 6)$ છે.
$AP \perp PB$ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(2)(-3) + (8)(\lambda-5) + (-3)(6) = 0$
$-6 + 8\lambda - 40 - 18 = 0$
$8\lambda - 64 = 0$
$8\lambda = 64$
$\lambda = 8$.

(B) વિધેય $f(x)$ એ સતત યાદચ્છિક ચલ $X$ નું $p.d.f.$ છે જો તે બે શરતોનું પાલન કરે:
$1$. તમામ $x$ માટે $f(x) \ge 0$.
$2$. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$.
દરેક વિધેય તપાસીએ:
$F_{1}(x) = e^{-x}$ માટે $0 < x < \infty$:
$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$. આ $p.d.f.$ છે.
$F_{2}(x) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{\sqrt{x}}$ માટે $0 < x < 4$:
$\int_{0}^{4} \frac{1}{4\sqrt{x}} \, dx = \frac{1}{4} [2\sqrt{x}]_{0}^{4} = \frac{1}{4} (2 \times 2 - 0) = 1$. આ $p.d.f.$ છે.
$F_{3}(x) = 6x(1-x)$ માટે $0 < x < 1$:
$\int_{0}^{1} 6(x - x^2) \, dx = 6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 6 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{6}) = 1$. આ $p.d.f.$ છે.
$F_{4}(x) = \frac{x}{2}$ માટે $-2 < x < 2$:
અહીં,$x \in (-2, 0)$ માટે $f(x) = \frac{x}{2}$ ઋણ છે.
કારણ કે $p.d.f.$ તમામ $x$ માટે અ-ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $F_{4}$ એ $p.d.f.$ નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $f(x)$ એ $x = -2$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવા જોઈએ.
$\lim_{x \rightarrow -2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2^{-}} (6 \beta - 3 \alpha x) = 6 \beta - 3 \alpha (-2) = 6 \beta + 6 \alpha$.
$\lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2^{+}} (4x + 1) = 4(-2) + 1 = -8 + 1 = -7$.
$f(x)$ સતત હોવાથી,$6 \beta + 6 \alpha = -7$.
બંને બાજુ $6$ વડે ભાગતા,આપણને $\alpha + \beta = \frac{-7}{6}$ મળે છે.