બે ઉપવલયોના સમીકરણો $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ અને $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac{\sqrt{2}}{3}$ હોય,તો બીજા ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો ગુણાકાર $\qquad$ છે.

ઉપવલય $\frac{x^2}{50} + \frac{y^2}{20} = 1$ પરના એવા બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે જ્યાંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ પર પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય?

ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરના બે ભિન્ન બિંદુઓ છે,જેથી $y_1 > 0$ અને $y_2 > 0$ થાય. ધારો કે $C$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ દર્શાવે છે,અને $M$ એ બિંદુ $(3,0)$ છે. ધારો કે રેખા $x=x_1$ એ $C$ ને $R$ માં છેદે છે,અને રેખા $x=x_2$ એ $C$ ને $S$ માં છેદે છે,જેથી $R$ અને $S$ ના $y$-યામ ધન હોય. ધારો કે $\angle ROM = \frac{\pi}{6}$ અને $\angle SOM = \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. ધારો કે $|XY|$ એ રેખાખંડ $XY$ ની લંબાઈ દર્શાવે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું છે?
$(A)$ $P$ અને $Q$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $2x+3y=3(1+\sqrt{3})$ છે
$(B)$ $P$ અને $Q$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $2x+y=3(1+\sqrt{3})$ છે
$(C)$ જો $N_2=(x_2, 0)$ હોય,તો $3|N_2Q|=2|N_2S|$
$(D)$ જો $N_1=(x_1, 0)$ હોય,તો $9|N_1P|=4|N_1R|$

જો સમાન મુખ્ય અક્ષ $2a$ ધરાવતા પરંતુ ચલિત ગૌણ અક્ષ ધરાવતા ઘણા ઉપવલયો દોરવામાં આવે,તો તેમના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકો જે નિશ્ચિત બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે તે કયા છે?

$(0, 3)$ કેન્દ્ર ધરાવતા અને ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ની નાભિઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

એવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો,જેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $20$ છે અને નાભિઓ $(0, \pm 5)$ છે.