MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $25x^2 + 16y^2 - 150x = 175$.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $25(x^2 - 6x) + 16y^2 = 175$.
$25(x^2 - 6x + 9) + 16y^2 = 175 + 225$.
$25(x - 3)^2 + 16y^2 = 400$.
$400$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$.
આ એક ઉપવલય છે જેનું કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 0)$,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ છે.
અહીં $a^2 > b^2$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
નાભિઓ $(h, k \pm ae) = (3, 0 \pm 5 \times \frac{3}{5}) = (3, \pm 3)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $x = 3(\cos t + \sin t)$ અને $y = 4(\cos t - \sin t)$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$x^2 = 9(1 + \sin 2t)$
$y^2 = 16(1 - \sin 2t)$
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\sin 2t = \frac{x^2}{9} - 1$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 16(1 - (\frac{x^2}{9} - 1)) = 32 - \frac{16x^2}{9}$.
તેથી,$\frac{16x^2}{9} + y^2 = 32$,એટલે કે $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$.
આ એક ઉપવલય (ellipse) છે જ્યાં $a^2 = 32$ અને $b^2 = 18$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{18}{32}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,તેના પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $\theta$ એ ઉત્કેન્દ્રિય કોણ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{48} + \frac{y^2}{16} = 1$ પરથી,$a^2 = 48$ અને $b^2 = 16$ મળે.
તેથી,$a = 4\sqrt{3}$ અને $b = 4$.
બિંદુ $P(-6, 2)$ માટે: $a \cos \theta = -6 \implies 4\sqrt{3} \cos \theta = -6 \implies \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
અને $b \sin \theta = 2 \implies 4 \sin \theta = 2 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta$ બીજા ચરણમાં છે.
તેથી,$\theta = 150^{\circ}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 288$ છે. $288$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{18} = 1$ મળે. અહીં $a^2 = 32$ અને $b^2 = 18$ છે.
$m$ ઢાળવાળી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
સ્પર્શક અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = -1$ થાય. તેથી સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + y = c$ થાય.
સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે. કિંમતો મૂકતા:
$c^2 = 32(-1)^2 + 18 = 32 + 18 = 50$.
તેથી,$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |c| |c| = \frac{1}{2} c^2 = \frac{1}{2} (50) = 25$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) ક્રમચય ${}^{n}P_{r}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$n \ge r \ge 0$ હોવું જોઈએ અને $n, r$ અઋણ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ.
અહીં,$n = 7-x$ અને $r = x-1$.
શરત $1$: $n \ge r \implies 7-x \ge x-1 \implies 8 \ge 2x \implies x \le 4$.
શરત $2$: $r \ge 0 \implies x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
શરત $3$: $n \ge 0 \implies 7-x \ge 0 \implies x \le 7$.
આ શરતોને જોડતા,આપણને $1 \le x \le 4$ મળે છે.
ક્રમચય સંકેત માટે $x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી પ્રદેશ $\{1, 2, 3, 4\}$ છે.

(D) ધારો કે આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{99} \left[\frac{1}{2} + \frac{k}{100}\right]$ છે.
દરેક પદ $\left[\frac{1}{2} + \frac{k}{100}\right]$ ની કિંમત તપાસતા:
$0 \le k \le 49$ માટે,$\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \le 0.99$ થાય છે. તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક ભાગ $0$ છે. આવા $50$ પદો છે.
$50 \le k \le 99$ માટે,$1 \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \le 1.49$ થાય છે. તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક ભાગ $1$ છે. આવા $50$ પદો છે.
આમ,$S = (50 \times 0) + (50 \times 1) = 50$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = bx^2 + cx + d$.
તેથી $f(x+1) = b(x+1)^2 + c(x+1) + d = b(x^2 + 2x + 1) + cx + c + d = bx^2 + 2bx + b + cx + c + d$.
હવે,$f(x+1) - f(x) = (bx^2 + 2bx + b + cx + c + d) - (bx^2 + cx + d) = 2bx + b + c$.
આપણને નિત્યસમ $f(x+1) - f(x) = 8x + 3$ આપેલ છે.
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$2b = 8 \implies b = 4$.
$b + c = 3 \implies 4 + c = 3 \implies c = -1$.
આમ,કિંમતો $b = 4$ અને $c = -1$ છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(3,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{3^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 9$.
હવે,સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(3\sqrt{2}, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\frac{(3\sqrt{2})^2}{9} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$\frac{18}{9} - \frac{4}{b^2} = 1$
$2 - \frac{4}{b^2} = 1$
$1 = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$e = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$ છે. અહીં $a^2=20$ અને $b^2=5$ છે.
રેખા $4x+3y=7$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{4}{3}$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ થાય.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{20(\frac{9}{16})-5} = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{\frac{45}{4}-5} = \frac{3}{4}x \pm \frac{5}{2}$.
કિસ્સો $1$: $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2} \implies \frac{3}{4}x - y = -\frac{5}{2} \implies \frac{x}{-10/3} + \frac{y}{5/2} = 1$. અંત:ખંડો $-\frac{10}{3}, \frac{5}{2}$ છે.
કિસ્સો $2$: $y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{2} \implies \frac{3}{4}x - y = \frac{5}{2} \implies \frac{x}{10/3} + \frac{y}{-5/2} = 1$. અંત:ખંડો $\frac{10}{3}, -\frac{5}{2}$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ બીજા કિસ્સા સાથે મેળ ખાય છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a=2$ અને $b=3$ મળે.
બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ છે.
$a=2$ અને $b=3$ મૂકતા,સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{2} - \frac{y \tan \theta}{3} = 1$ મળે.
આને $y = \left( \frac{3 \sec \theta}{2 \tan \theta} \right) x - \frac{3}{\tan \theta}$ તરીકે લખી શકાય.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{3 \sec \theta}{2 \tan \theta} = \frac{3}{2 \sin \theta}$ છે.
આપેલ રેખા $3x-y+4=0$ છે,જેને $y=3x+4$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = 3$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,$m_1 = m_2$.
$\frac{3}{2 \sin \theta} = 3 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(A) આપણને $\tan A = \frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}}$ અને $\tan B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}$ આપેલ છે.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(A+B) = \frac{\frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}}$
$= \frac{\frac{1 + x}{\sqrt{x(x^2+x+1)}}}{1 - \frac{1}{x^2+x+1}} = \frac{\frac{1+x}{\sqrt{x(x^2+x+1)}}}{\frac{x^2+x}{x^2+x+1}} = \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}$.
અહીં $\tan C = \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^3}} = \frac{1}{x}\sqrt{x^2+x+1}$.
ગણતરી કરતા $A+B=C$ મળે છે.

(B) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{|x|+x^2}$ શોધવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ તપાસીએ.
ડાબી બાજુના લક્ષ $(x \rightarrow 0^-)$ માટે,$|x| = -x$ થાય. તેથી,પદ $\frac{-x}{-x+x^2} = \frac{-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x-1}$ બને છે. જ્યારે $x \rightarrow 0^-$,ત્યારે તે $\frac{-1}{0-1} = 1$ ને અભિસરણ કરે છે.
જમણી બાજુના લક્ષ $(x \rightarrow 0^+)$ માટે,$|x| = x$ થાય. તેથી,પદ $\frac{x}{x+x^2} = \frac{x}{x(1+x)} = \frac{1}{1+x}$ બને છે. જ્યારે $x \rightarrow 0^+$,ત્યારે તે $\frac{1}{1+0} = 1$ ને અભિસરણ કરે છે.
ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $1$ છે.

(B) સીમા $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,ડાબી બાજુની સીમા $(LHL)$ એ જમણી બાજુની સીમા $(RHL)$ ની બરાબર હોવી જોઈએ.
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^-} (b - ax) = b - 2a$.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^+} (a + 2bx) = a + 4b$.
સીમા અસ્તિત્વ ધરાવતી હોવાથી,$b - 2a = a + 4b$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $-2a - a = 4b - b$,જેનું સાદું રૂપ $-3a = 3b$ થાય છે.
બંને બાજુને $3b$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $b \neq 0$),આપણને $\frac{a}{b} = -1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{(84-x)^{\frac{1}{4}}-3}{x-3}$.
જ્યારે $x \rightarrow 3$,ત્યારે અંશ $(84-3)^{\frac{1}{4}}-3 = 81^{\frac{1}{4}}-3 = 3-3 = 0$ થાય છે અને છેદ $3-3 = 0$ થાય છે.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
$L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx} ((84-x)^{\frac{1}{4}}-3) = \frac{1}{4}(84-x)^{-\frac{3}{4}} \times (-1) = -\frac{1}{4}(84-x)^{-\frac{3}{4}}$.
$\frac{d}{dx} (x-3) = 1$.
હવે,$x \rightarrow 3$ માટે લક્ષની કિંમત મેળવતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 3} \frac{-\frac{1}{4}(84-x)^{-\frac{3}{4}}}{1} = -\frac{1}{4}(84-3)^{-\frac{3}{4}} = -\frac{1}{4}(81)^{-\frac{3}{4}}$.
કારણ કે $81 = 3^4$,તેથી $81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.
તેથી,લક્ષની કિંમત $-\frac{1}{4} \times \frac{1}{27} = -\frac{1}{108}$ છે.

(A) અમને લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\tan x}-e^x}{\tan x-x}$ આપેલ છે.
સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે ટેલર શ્રેણી $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \dots$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
$e^{\tan x} = 1 + \tan x + \frac{\tan^2 x}{2} + \dots$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots$
અંશમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$e^{\tan x} - e^x = (\tan x - x) + \frac{1}{2}(\tan^2 x - x^2) + \dots$
હવે,લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\tan x - x) + \frac{1}{2}(\tan^2 x - x^2)}{\tan x - x} = \lim _{x \rightarrow 0} [1 + \frac{1}{2} \frac{\tan^2 x - x^2}{\tan x - x}]$ બને છે.
$\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan^2 x - x^2 \approx (x + \frac{x^3}{3})^2 - x^2 \approx x^2 + \frac{2x^4}{3} - x^2 = \frac{2x^4}{3}$.
વળી,$\tan x - x \approx \frac{x^3}{3}$.
આમ,$\frac{\tan^2 x - x^2}{\tan x - x} \approx \frac{2x^4/3}{x^3/3} = 2x$.
જેમ $x \rightarrow 0$,આ પદ $0$ ને અનુલક્ષે છે.
તેથી,લક્ષ $1 + 0 = 1$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{7^x-1}{x} = \log 7$,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(x/k)}{x/k} = 1$,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^2/3)}{x^2/3} = 1$,અને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1$.
લક્ષને ફરીથી લખતા:
$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\frac{7^x-1}{x})^4 \cdot x^4}{(\frac{\tan(x/k)}{x/k} \cdot \frac{x}{k}) \cdot (\frac{\log(1+x^2/3)}{x^2/3} \cdot \frac{x^2}{3}) \cdot (\frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4x)} = 3(\log 7)^3$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\log 7)^4 \cdot x^4}{1 \cdot \frac{x}{k} \cdot 1 \cdot \frac{x^2}{3} \cdot 1 \cdot 4x} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{(\log 7)^4 \cdot x^4}{\frac{4x^4}{3k}} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{3k(\log 7)^4}{4} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{k \log 7}{4} = 1$.
$k = \frac{4}{\log 7} = 4(\log 7)^{-1}$.

(A) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x^4}-1}{e^{x^4}+1}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $e^{x^4}$ વડે ભાગીએ છીએ.
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x^4}(1 - \frac{1}{e^{x^4}})}{e^{x^4}(1 + \frac{1}{e^{x^4}})} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1 - \frac{1}{e^{x^4}}}{1 + \frac{1}{e^{x^4}}}$.
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $x^4 \rightarrow \infty$,તેથી $e^{x^4} \rightarrow \infty$.
તેથી,$\frac{1}{e^{x^4}} \rightarrow 0$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x + 3x^2 + 5x^3 + 7x^4 - 166$.
પ્રથમ,$f(2)$ ની કિંમત તપાસો:
$f(2) = 2 + 3(2^2) + 5(2^3) + 7(2^4) - 166 = 2 + 12 + 40 + 112 - 166 = 166 - 166 = 0$.
સીમા $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f'(x)}{1} = f'(2)$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + 3x^2 + 5x^3 + 7x^4 - 166) = 1 + 6x + 15x^2 + 28x^3$.
હવે,$f'(2)$ ની કિંમત શોધો:
$f'(2) = 1 + 6(2) + 15(2^2) + 28(2^3) = 1 + 12 + 15(4) + 28(8) = 1 + 12 + 60 + 224 = 297$.
આમ,સીમા $297$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$.
તેથી,$2 - 2 \cos \theta = 4 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$.
$\theta = x^2 - 12x + 35 = (x-5)(x-7)$ મૂકતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\lim _{x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{4 \sin^2 \left(\frac{(x-5)(x-7)}{2}\right)}}{x-5} = \lim _{x \rightarrow 5} \frac{2 |\sin \left(\frac{(x-5)(x-7)}{2}\right)|}{x-5}$.
જ્યારે $x \rightarrow 5$,ત્યારે $h = x-5$ લો,તેથી $h \rightarrow 0$. લક્ષ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 |\sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right)|}{h}$ બને છે.
$h > 0$ (એટલે કે $x > 5$) માટે,$\frac{h(h-2)}{2}$ ઋણ છે અને $0$ ની નજીક છે,તેથી $\sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right) < 0$. આમ,$|\sin \theta| = -\sin \theta$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $= \lim _{h \rightarrow 0^+} \frac{-2 \sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right)}{h} = \lim _{h \rightarrow 0^+} -2 \cdot \frac{\sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right)}{\frac{h(h-2)}{2}} \cdot \frac{h-2}{2} = -2 \cdot 1 \cdot (-1) = 2$.
$h < 0$ (એટલે કે $x < 5$) માટે,$\frac{h(h-2)}{2}$ ધન છે અને $0$ ની નજીક છે,તેથી $\sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right) > 0$. આમ,$|\sin \theta| = \sin \theta$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $= \lim _{h \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right)}{h} = \lim _{h \rightarrow 0^-} 2 \cdot \frac{\sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right)}{\frac{h(h-2)}{2}} \cdot \frac{h-2}{2} = 2 \cdot 1 \cdot (-1) = -2$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(-2)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(2)$ સમાન ન હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી. જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$-2$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{63^x-9^x-7^x+1}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}$.
અંશના અવયવ પાડતા: $63^x-9^x-7^x+1 = (9^x-1)(7^x-1)$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x} = 2\sqrt{2}\sin^2(x/4)$.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(9^x-1)(7^x-1)}{2\sqrt{2}\sin^2(x/4)}$.
પ્રમાણિત લક્ષનો ઉપયોગ કરતા,$L = 4\sqrt{2} \ln 9 \ln 7$ મળે છે.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{100} (2x+k)^{50}}{(2x)^{50} + 10^{50}}$ છે.
અંશ અને છેદને $(2x)^{50}$ વડે ભાગતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{100} \left(\frac{2x+k}{2x}\right)^{50}}{1 + \frac{10^{50}}{(2x)^{50}}}$.
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ દરેક $k \in \{1, 2, \dots, 100\}$ માટે $\frac{k}{2x} \rightarrow 0$ થાય.
તેથી,$\left(1 + \frac{k}{2x}\right)^{50} \rightarrow 1^{50} = 1$.
અંશ $\sum_{k=1}^{100} 1 = 100$ થશે.
છેદ $1 + 0 = 1$ થશે.
તેથી,$L = \frac{100}{1} = 100$.

(C) અમે $x \rightarrow 0$ માટે પ્રમાણિત શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને લક્ષની કિંમત શોધીએ છીએ:
$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \dots$
$\cos 3x = 1 - \frac{(3x)^2}{2} + \dots = 1 - \frac{9x^2}{2} + \dots$
$\sin x = x + \dots$
$\log(1+2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + \dots = 2x - 2x^2 + \dots$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x^2 + \dots) - (1 - \frac{9x^2}{2} + \dots)}{(x + \dots)(2x - \dots)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 + \frac{9x^2}{2}}{2x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{11x^2}{2}}{2x^2} = \frac{11}{4}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$.
આપેલ પદાવલિ $L = \lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+8}{x+1})^{x+5}$ છે.
આધારને ફરીથી લખતા: $\frac{x+8}{x+1} = \frac{x+1+7}{x+1} = 1 + \frac{7}{x+1}$.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{7}{x+1})^{x+5}$.
ધારો કે $u = x+1$,તો જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $u \rightarrow \infty$ અને $x = u-1$.
$L = \lim _{u \rightarrow \infty} (1 + \frac{7}{u})^{u-1+5} = \lim _{u \rightarrow \infty} (1 + \frac{7}{u})^{u+4}$.
$L = \lim _{u \rightarrow \infty} (1 + \frac{7}{u})^u \cdot \lim _{u \rightarrow \infty} (1 + \frac{7}{u})^4$.
$L = e^7 \cdot (1 + 0)^4 = e^7 \cdot 1 = e^7$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} (\log _3 3x)^{\log _x 8}$.
આ $1^{\infty}$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow a} g(x)(f(x)-1)}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$f(x) = \log _3 3x = \log _3 3 + \log _3 x = 1 + \log _3 x$ અને $g(x) = \log _x 8$.
તેથી,$L = \exp(\lim _{x \rightarrow 1} \log _x 8 (1 + \log _3 x - 1)) = \exp(\lim _{x \rightarrow 1} \log _x 8 \cdot \log _3 x)$.
બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log _x 8 = \frac{\ln 8}{\ln x}$ અને $\log _3 x = \frac{\ln x}{\ln 3}$.
આમ,$L = \exp(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln 8}{\ln x} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3}) = \exp(\frac{\ln 8}{\ln 3}) = \exp(\log _3 8) = 8$.

(C) આપેલ છે કે $A = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left(1 + \tan^2 \sqrt{x}\right)^{\frac{1}{2x}}$.
આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપમાં છે.
સૂત્ર $\lim_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow a} (f(x)-1)g(x)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\log_{e} A = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left(1 + \tan^2 \sqrt{x} - 1\right) \cdot \frac{1}{2x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\tan^2 \sqrt{x}}{2x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{2} \left(\frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)^2$
કારણ કે $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$,તેથી:
$\log_{e} A = \frac{1}{2} \cdot (1)^2 = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{1-n^4}$ છે.
છેદ $(1-n^4)$ એ સરવાળાના ઇન્ડેક્સ $k$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$S_n = \frac{1}{1-n^4} \sum_{k=1}^{n} k^3$.
ઘનનો સરવાળો કરવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
તેથી,$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4(1-n^4)}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $S_n = \frac{n^2(n^2+2n+1)}{4(1-n^4)} = \frac{n^4+2n^3+n^2}{4-4n^4}$.
હવે,$n \rightarrow \infty$ લેતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^4+2n^3+n^2}{4-4n^4}$.
અંશ અને છેદને $n^4$ વડે ભાગતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{4}{n^4}-4} = \frac{1+0+0}{0-4} = -\frac{1}{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3+1}$ છે.
અહીં છેદ $n^3+1$ એ $k$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,$S_n = \frac{1}{n^3+1} \sum_{k=1}^{n} k^2$ લખી શકાય.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
તેથી,$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+1)}$.
$n \rightarrow \infty$ માટે લક્ષ શોધતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3+6}$ મળે.
અંશ અને છેદને $n^3$ વડે ભાગતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6 + \frac{6}{n^3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ મળે.

(B) આપેલ અસમતાઓ $|x-y| \leqslant 1$ અને $x, y \geqslant 0$ છે.
અસમતા $|x-y| \leqslant 1$ ને $-1 \leqslant x-y \leqslant 1$ તરીકે લખી શકાય,જે બે અસમતાઓમાં વિભાજિત થાય છે: $y \leqslant x+1$ અને $y \geqslant x-1$.
આને $x \geqslant 0$ અને $y \geqslant 0$ સાથે જોડતા,આપણે પ્રથમ ચરણમાં પ્રદેશ જોઈએ છીએ.
કોઈપણ $x \geqslant 0$ માટે,આપણે $y$ ને એવી રીતે પસંદ કરી શકીએ કે $x-1 \leqslant y \leqslant x+1$ થાય.
જેમ જેમ $x$ અનંત સુધી વધે છે,તેમ $y$ પણ અનંત સુધી વધી શકે છે (દા.ત.,$y=x$ પસંદ કરીને).
આથી,આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં અનંત સુધી વિસ્તરેલો હોવાથી,ઉકેલ ગણ એક અનંત ગણ (unbounded set) છે.

(C) $1$. વિધાન $p$ નું વિશ્લેષણ: $n=1$ માટે,$10(1)-3 = 7$ (અવિભાજ્ય). $n=8$ માટે,$10(8)-3 = 77 = 7 \times 11$ (અવિભાજ્ય નથી). તેથી,$p$ અસત્ય $(F)$ છે.
$2$. વિધાન $q$ નું વિશ્લેષણ: દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ. અહીં,$(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{3}})^2 = 3 \neq 1$. તેથી,$q$ અસત્ય $(F)$ છે.
$3$. વિધાન $r$ નું વિશ્લેષણ: $\sin x$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં વધતું વિધેય છે. તેથી,$r$ સત્ય $(T)$ છે.
$4$. વિકલ્પો તપાસતા: વિકલ્પ $C$ માં,$(\sim F \vee F) \wedge T$ $\Rightarrow (T \vee F) \wedge T$ $\Rightarrow T \wedge T$ $\Rightarrow T$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) વિધાન પેટર્ન $[(p$ $\rightarrow q) \wedge \sim q]$ $\rightarrow r$ ક્યારે નિત્યસત્ય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા પૂર્વગ $[(p \rightarrow q) \wedge \sim q]$ ને સરળ બનાવીએ.
ગર્ભિત નિયમ $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$[(\sim p \vee q) \wedge \sim q] \rightarrow r$
વિભાજનના નિયમ દ્વારા,આ $[(\sim p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q)] \rightarrow r$ બને છે.
કારણ કે $q \wedge \sim q \equiv F$ (વિરોધાભાસ),આપણી પાસે છે:
$[(\sim p \wedge \sim q) \vee F]$ $\rightarrow r \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ $\rightarrow r$.
આ નિત્યસત્ય બને તે માટે,$p$ અને $q$ ના તમામ સત્ય મૂલ્યો માટે અભિવ્યક્તિ સાચી હોવી જોઈએ.
જો $r = \sim p$ હોય,તો અભિવ્યક્તિ $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow \sim p$ બને છે.
કારણ કે $(\sim p \wedge \sim q)$ એ $\sim p$ સૂચવે છે,તેથી આ ગર્ભિતાર્થ હંમેશા સાચું છે.
આમ,જ્યારે $r = \sim p$ હોય ત્યારે વિધાન નિત્યસત્ય છે.

(D) અમે સર્કિટને બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવીએ છીએ,જ્યાં બંધ સ્વીચ $1$ છે અને ખુલ્લી સ્વીચ $0$ છે. જો સર્કિટ બંધ હોય તો લેમ્પ $L$ પ્રકાશિત થાય છે.
$(A)$ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: $(S_1 \land S_2)$ અને $(S_1 \land S_3)$. અભિવ્યક્તિ $(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) = S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ છે.
$(B)$ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: $S_1$ અને $(S_2 \land S_3)$. અભિવ્યક્તિ $S_1 \lor (S_2 \land S_3)$ છે.
$(C)$ સર્કિટમાં $S_1$ એ $S_2$ અને $S_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે. અભિવ્યક્તિ $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ છે.
$(D)$ સર્કિટમાં $S_1, S_2, S_3$ શ્રેણીમાં છે. અભિવ્યક્તિ $S_1 \land S_2 \land S_3$ છે.
$(E)$ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: $(S_1 \land S_2)$ અને $S_3$. અભિવ્યક્તિ $(S_1 \land S_2) \lor S_3$ છે.
અભિવ્યક્તિઓની તુલના કરતા,સર્કિટ $(A)$ અને સર્કિટ $(C)$ સમાન બુલિયન અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે: $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ સમાન સર્કિટ છે.

(C) ચાલો આપેલ વિધાન પેટર્ન માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
$1$. $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $(q \wedge \sim p)$ | $p \rightarrow (q \wedge \sim p)$ | $(p \vee \sim q)$ | $(p \vee \sim q) \wedge p$ | $[p \rightarrow (q \wedge \sim p)] \vee [(p \vee \sim q) \wedge p]$
$2$. $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
$3$. $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
$4$. $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$
$5$. $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$
આમ,છેલ્લી કોલમના મૂલ્યો $T, T, T, T$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q) \vee (p \wedge \sim q)$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $(\sim p \wedge (q \vee \sim q)) \vee (p \wedge \sim q)$
કારણ કે $(q \vee \sim q) \equiv T$ (નિત્યસત્ય),પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $(\sim p \wedge T) \vee (p \wedge \sim q)$
આનું સાદું રૂપ: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q)$
ફરીથી વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
કારણ કે $(\sim p \vee p) \equiv T$,પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$
તેથી,અંતિમ સમાન વિધાન છે: $(\sim p) \vee (\sim q)$

(D) આપેલ છે કે $q$ નું સત્યતા મૂલ્ય $False$ છે અને $(p \wedge q) \leftrightarrow r$ નું સત્યતા મૂલ્ય $True$ છે.
$q$ એ $False$ હોવાથી,$(p \wedge q)$ હંમેશા $False$ થશે,ભલે $p$ નું સત્યતા મૂલ્ય ગમે તે હોય.
આને દ્વિ-શરતી વિધાનમાં મૂકતા: $False \leftrightarrow r$ એ $True$ છે.
દ્વિ-શરતી વિધાન $True$ હોવા માટે,બંને બાજુ સમાન સત્યતા મૂલ્ય હોવું જોઈએ. તેથી,$r$ એ $False$ હોવું જોઈએ.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$A) p \wedge q = p \wedge False = False$.
$B) p \vee r = p \vee False = p$. આ $p$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે હંમેશા $True$ નથી.
$C) p \wedge r = p \wedge False = False$.
$D) (p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) = (p \wedge False)$ $\rightarrow (p \vee False) = False$ $\rightarrow p$.
$False \rightarrow p$ એ $p$ ના કોઈપણ સત્યતા મૂલ્ય માટે હંમેશા $True$ હોવાથી,વિકલ્પ $D$ $True$ છે.

(D) ધારો કે $P$ એ વિધાન છે: "ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓ એકમના ઘનમૂળ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે".
ધારો કે $Q$ એ વિધાન છે: "ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે".
આપેલ વિધાન $P \implies Q$ સ્વરૂપમાં છે.
શરતી વિધાન $P \implies Q$ નું પ્રતિ-ધન વિધાન (contrapositive) $\neg Q \implies \neg P$ છે,જે મૂળ વિધાનને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
અહીં,$\neg Q$ એ છે: "ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ નથી".
અહીં,$\neg P$ એ છે: "ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓ એકમના ઘનમૂળ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા નથી".
તેથી,સમાન વિધાન $\neg Q \implies \neg P$ છે,જે છે: "જો ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ ન હોય,તો ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓ એકમના ઘનમૂળ દ્વારા દર્શાવી શકાય નહીં".
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $S$ એ વિધાન $(p \wedge \sim q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ છે.
યાદ રાખો કે ગર્ભિત વિધાન $A \rightarrow B$ નું નિષેધ $A \wedge \sim B$ છે.
અહીં,$A = (p \wedge \sim q)$ અને $B = (p \vee \sim q)$ છે.
તેથી,નિષેધ $(p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \vee \sim q)$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$ મળે.
આમ,નિષેધ $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$ છે.
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમો દ્વારા,આ $(p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$ થાય છે.
જેમ કે $p \wedge \sim p$ એ વિરોધાભાસ $(F)$ છે અને $\sim q \wedge q$ એ વિરોધાભાસ $(F)$ છે,તેથી આ પદ $F \wedge F$ બને છે,જે $F$ છે.
જે વિધાન હંમેશા ખોટું હોય તેને વિરોધાભાસ કહેવામાં આવે છે.

(D) શરતી વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow (r \vee \sim s)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $(p \wedge q)$ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ $(r \vee \sim s)$ અસત્ય હોય.
$(p \wedge q)$ સત્ય હોવા માટે,$p$ અને $q$ બંને સત્ય $(T)$ હોવા જોઈએ.
$(r \vee \sim s)$ અસત્ય હોવા માટે,$r$ અને $\sim s$ બંને અસત્ય $(F)$ હોવા જોઈએ.
કારણ કે $\sim s$ અસત્ય છે,તેથી $s$ સત્ય $(T)$ હોવું જોઈએ.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = T, r = F, s = T$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $[\sim(\sim p \vee q) \vee (p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r)]$.
પ્રથમ ભાગમાં ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા: $\sim(\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim q)$.
હવે પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $[(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r))]$.
જૂથના અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા: $(p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge (r \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge r$.
આને પાછું મૂકતા: $(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge \sim q) \wedge r)$.
શોષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $A \vee (A \wedge B) \equiv A$,જ્યાં $A = (p \wedge \sim q)$ અને $B = r$.
તેથી,પદાવલિ $(p \wedge \sim q)$ માં સરળ બને છે.

(B) ધારો કે આપેલ તાર્કિક વિધાન $L = [\{q \wedge (\sim q \vee r)\} \wedge \{\sim p \vee (p \wedge \sim r)\}] \vee (p \wedge r)$ છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\{q \wedge (\sim q \vee r)\} = (q \wedge \sim q) \vee (q \wedge r) = F \vee (q \wedge r) = (q \wedge r)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\{\sim p \vee (p \wedge \sim r)\} = (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim r) = T \wedge (\sim p \vee \sim r) = (\sim p \vee \sim r)$.
આ કિંમતો $L$ માં મૂકતા,આપણને $L = [(q \wedge r) \wedge (\sim p \vee \sim r)] \vee (p \wedge r)$ મળે છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(q \wedge r) \wedge (\sim p \vee \sim r) = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee (q \wedge r \wedge \sim r) = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee F = (q \wedge r \wedge \sim p)$.
હવે,$L = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee (p \wedge r) = r \wedge [(q \wedge \sim p) \vee p]$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(q \wedge \sim p) \vee p = (q \vee p) \wedge (\sim p \vee p) = (q \vee p) \wedge T = (q \vee p)$.
આમ,$L = r \wedge (p \vee q)$.
સ્વીચના સંદર્ભમાં,$r$ એ $S_3$ છે,$p$ એ $S_1$ છે,અને $q$ એ $S_2$ છે.
તેથી,$L = S_3 \wedge (S_1 \vee S_2)$.
આ સ્વીચ $S_3$ ને સ્વીચ $S_1$ અને $S_2$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં દર્શાવે છે.

(D) શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ એ $False$ હોય જો અને માત્ર જો $A$ એ $True$ હોય અને $B$ એ $False$ હોય.
અહીં,$A = \{(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r)\}$ અને $B = (\sim p \vee q)$.
$B = (\sim p \vee q)$ ને $False$ થવા માટે,$\sim p$ અને $q$ બંને $False$ હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $p = True$ અને $q = False$.
હવે,આ કિંમતોને $A$ માં મૂકો:
$A = \{(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r)\} = \{(T \wedge T) \wedge (T \wedge r)\} = \{T \wedge (T \wedge r)\} = (T \wedge r)$.
$A$ ને $True$ થવા માટે,$r$ એ $True$ હોવું જોઈએ.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = True, q = False, r = True$ છે.

(D) દરેક વિધાનનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$A$: એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ છે. તેઓ સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega$ સાથે સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે. તેમનો સરવાળો $1+\omega+\omega^2 = 0$ છે. વિધાન કહે છે કે સરવાળો $1$ છે,જે ખોટું છે. તેથી,$A$ એ $F$ છે.
$B$: $4+7 > 10$ એ $11 > 10$ $(T)$ છે. $2+8 < 10$ એ $10 < 10$ $(F)$ છે. $T \iff F$ એ $F$ છે. તેથી,$B$ એ $F$ છે.
$C$: $\exists x \in N$ જેથી $x^2-3x+2=0$. ઉકેલ $x=1$ અને $x=2$ છે,જે બંને $N$ માં છે. આ ભાગ $T$ છે. $\exists n \in N$ જેથી $n$ એકી સંખ્યા છે તે $T$ છે. $T \land T$ એ $T$ છે. તેથી,$C$ એ $T$ છે.
$D$: $3+i$ એક સંકર સંખ્યા છે $(T)$. $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ ખોટું છે $(F)$. $T \lor F$ એ $T$ છે. તેથી,$D$ એ $T$ છે.
આમ,$C$ અને $D$ બંનેનું સત્યતા મૂલ્ય $T$ છે.

(D) આપેલ વિધાન પેટર્ન $[p \wedge \sim r] \rightarrow [\sim r \wedge q]$ છે અને તેનું સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ $F$ હોય જ્યારે $A = T$ અને $B = F$ હોય.
તેથી,$[p \wedge \sim r] = T$ અને $[\sim r \wedge q] = F$.
$[p \wedge \sim r] = T$ પરથી,આપણને $p = T$ અને $\sim r = T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = F$.
$r = F$ હોવાથી,$\sim r = T$.
$\sim r = T$ ને $[\sim r \wedge q] = F$ માં મૂકતા,આપણને $[T \wedge q] = F$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = F$ છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
$D$: $\sim(r \vee q)$ $\rightarrow \sim p \implies \sim(F \vee F)$ $\rightarrow F \implies \sim F$ $\rightarrow F \implies T$ $\rightarrow F = F$.
તેથી,અસત્ય સત્યતા મૂલ્ય ધરાવતું વિધાન $\sim(r \vee q) \rightarrow \sim p$ છે.

(D) આ સર્કિટ લેમ્પ $L$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે.
શાખા $1$ માં સ્વિચ $S_1$ અને તેની સાથે $S_2$ અને $S_3$ નું સમાંતર જોડાણ શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $p \wedge (q \vee r)$ છે.
શાખા $2$ માં સ્વિચ $S_3$,$S_2$,અને $S_1$ ત્રણેય શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $r \wedge q \wedge p$ છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \wedge (q \vee r)) \vee (r \wedge q \wedge p)$ થશે.

(C) શરતી વિધાન $P \implies Q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\neg Q \implies \neg P$ છે.
વિધાન $p$ માટે: $P$ એ '$7$ એક એકી સંખ્યા છે' (સત્ય),$Q$ એ '$7$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે' (અસત્ય). પ્રતિ-વિધાન 'જો $7$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી,તો $7$ એ એકી સંખ્યા નથી' છે. $7$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી (સત્ય) અને $7$ એ એકી સંખ્યા છે (સત્ય),તેથી 'જો સત્ય,તો અસત્ય' એ અસત્ય છે. આમ,$V_1 = F$.
વિધાન $q$ માટે: $P$ એ '$7$ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે' (સત્ય),$Q$ એ '$7$ એક એકી સંખ્યા છે' (સત્ય). પ્રતિ-વિધાન 'જો $7$ એકી સંખ્યા નથી,તો $7$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી' છે. $7$ એકી સંખ્યા છે (સત્ય),તેથી પૂર્વગ 'જો $7$ એકી સંખ્યા નથી' એ અસત્ય છે. અસત્ય પૂર્વગ ધરાવતું શરતી વિધાન હંમેશા સત્ય હોય છે. આમ,$V_2 = T$.
તેથી,$(V_1, V_2) = (F, T)$.

(D) આપેલ વિધાન $S = \sim p \vee (q \wedge \sim r)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રેરણ (implication) $A \rightarrow B$ એ $\sim A \vee B$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
તેથી,વિધાન $S$ ને $p \rightarrow (q \wedge \sim r)$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રેરણ $p \rightarrow Q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim Q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$Q = (q \wedge \sim r)$ છે.
તેથી,$\sim Q = \sim (q \wedge \sim r) = \sim q \vee \sim (\sim r) = \sim q \vee r$ થાય.
આમ,પ્રતિ-વિધાન $(\sim q \vee r) \rightarrow \sim p$ છે.

(C) આપેલ વિધાન $\forall M > 0, \exists x \in S$ એવા સ્વરૂપમાં છે કે જેથી $P(x, M)$,જ્યાં $P(x, M)$ એ $x \geqslant M$ છે.
ક્વોન્ટિફાયર ધરાવતા વિધાનનો નિષેધ શોધવા માટે,આપણે $\forall$ ને $\exists$ સાથે અને $\exists$ ને $\forall$ સાથે બદલીએ છીએ,અને વિધાનનું નિષેધ કરીએ છીએ.
$\forall M > 0, \exists x \in S, (x \geqslant M)$ નો નિષેધ $\exists M > 0, \forall x \in S, \neg(x \geqslant M)$ છે.
કારણ કે $x \geqslant M$ નો નિષેધ $x < M$ છે,તેથી નિષેધિત વિધાન $\exists M > 0$ એવું છે કે જેથી દરેક $x \in S$ માટે $x < M$ થાય.

(B) આપેલ પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે બેટરી અને લેમ્પ $L$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
ધારો કે સ્વીચો $S_1, S_2, S_3$ છે. પ્રથમ શાખા $S_1 \land (S_2' \lor S_3')$ છે.
બીજી શાખા $S_2 \land S_3 \land S_1$ છે.
કુલ પરિપથનું સમીકરણ $P = [S_1 \land (S_2' \lor S_3')] \lor (S_2 \land S_3 \land S_1)$ છે.
વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $S_1$ ને સામાન્ય લઈ શકીએ:
$P = S_1 \land [(S_2' \lor S_3') \lor (S_2 \land S_3)]$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$(S_2' \lor S_3')$ એ $(S_2 \land S_3)'$ ને સમકક્ષ છે.
તેથી,$P = S_1 \land [(S_2 \land S_3)' \lor (S_2 \land S_3)]$.
કારણ કે $(X' \lor X)$ હંમેશા સત્ય (tautology) હોય છે,તેથી સમીકરણ $P = S_1 \land T = S_1$ માં સરળ બને છે.
આમ,સમકક્ષ પરિપથ એ લેમ્પ સાથે શ્રેણીમાં માત્ર એક સ્વીચ $S_1$ છે.
સમકક્ષ પરિપથમાં સ્વીચોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) તર્કમાં,શરતી વિધાન $P \implies Q$ સાચું હોય છે જો $P$ ખોટું હોય,પછી ભલે $Q$ ની સત્યતાનું મૂલ્ય ગમે તે હોય.
$(A)$ $4+3=8$ ખોટું છે. પૂર્વવર્તી ખોટું હોવાથી,ગર્ભિતાર્થ $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $6+4=10$ સાચું છે,પરંતુ પરિણામી વિધાન 'ચંદ્ર સપાટ છે' ખોટું છે. સાચું પૂર્વવર્તી ખોટા પરિણામી વિધાન તરફ દોરી જાય છે,તેથી $(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ પૂર્વવર્તી વિધાન છે '$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે'. $(B)$ ખોટું હોવાથી,સંયોજન '$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે' ખોટું છે. ખોટા પૂર્વવર્તી વાળું શરતી વિધાન સાચું હોય છે. આમ,$(C)$ સાચું છે.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ સાચા છે,જ્યારે $(B)$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે $p$ એ વિધાન "ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે" છે.
ધારો કે $q$ એ વિધાન "ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે" છે.
ધારો કે $r$ એ વિધાન "ત્રિકોણ કાટકોણ છે" છે.
આપેલ વિધાન $(p \lor q) \land (\neg q \land r)$ છે.
આપણે નિષેધ શોધવાની જરૂર છે: $\neg((p \lor q) \land (\neg q \land r))$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$,આપણને મળે છે:
$\neg(p \lor q) \lor \neg(\neg q \land r)$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$(\neg p \land \neg q) \lor (q \lor \neg r)$.
આનો અર્થ એ થાય છે: "ત્રિકોણ સમબાજુ નથી અને સમદ્વિબાજુ નથી,અથવા ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે અથવા તે કાટકોણ નથી".

(A) આપેલ છે કે $p = T$,$q = F$,અને $r = T$.
પ્રથમ,વિધાન પ્રતિકૃતિ $S = [\sim q \wedge (p \vee \sim q) \wedge \sim r] \vee p$ ની ગણતરી કરો.
કિંમતો મૂકતા:
$S = [\sim F \wedge (T \vee \sim F) \wedge \sim T] \vee T$
$S = [T \wedge (T \vee T) \wedge F] \vee T$
$S = [T \wedge T \wedge F] \vee T$
$S = F \vee T = T$.
હવે,દ્વૈત વિધાન $S^*$ શોધો. દ્વૈત મેળવવા માટે,$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલો.
દ્વૈત વિધાન $S^* = [\sim q \vee (p \wedge \sim q) \vee \sim r] \wedge p$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S^* = [\sim F \vee (T \wedge \sim F) \vee \sim T] \wedge T$
$S^* = [T \vee (T \wedge T) \vee F] \wedge T$
$S^* = [T \vee T \vee F] \wedge T$
$S^* = T \wedge T = T$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $T$ અને $T$ છે.

(C) રોલના પ્રમેયનું પાલન કરવા માટે,આપણી પાસે $f(-3) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
$f(-3) = (-3)(-3+3) e^{3/2} = 0$.
$f(0) = (0)(0+3) e^{0} = 0$.
કારણ કે $f(-3) = f(0) = 0$,તેથી રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
આપણે $c \in (-3, 0)$ શોધવાની જરૂર છે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $f(x) = (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}}$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = (2x + 3) e^{-\frac{x}{2}} + (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}} \left(-\frac{1}{2}\right)$.
$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( 2x + 3 - \frac{x^2}{2} - \frac{3x}{2} \right)$.
$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 \right)$.
$f'(c) = 0$ લેતા,$-\frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 0$.
$-2$ વડે ગુણતા,આપણને $c^2 - c - 6 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(c - 3)(c + 2) = 0$.
આમ,$c = 3$ અથવા $c = -2$.
કારણ કે $c$ એ અંતરાલ $(-3, 0)$ માં હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $c = -2$ પસંદ કરીએ છીએ.

(C) અંતરાલ $[a, b] = [-2, 2]$ પર વિધેય $f(x) = x^3$ આપેલ છે.
મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,અંતરાલ $(-2, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
પ્રથમ,છેદિકા રેખાનો ઢાળ શોધો:
$f(2) = 2^3 = 8$
$f(-2) = (-2)^3 = -8$
ઢાળ $= \frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{8 - (-8)}{2 + 2} = \frac{16}{4} = 4$.
હવે,વિધેયનું વિકલન શોધો:
$f'(x) = 3x^2$.
વિકલનને છેદિકા રેખાના ઢાળ સાથે સરખાવો:
$3c^2 = 4$
$c^2 = \frac{4}{3}$
$c = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,અભિસંધાન $\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $[1, 5]$ પર સતત છે અને $(1, 5)$ પર વિકલનીય છે.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય (Lagrange's Mean Value Theorem) મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (1, 5)$ એવું મળે કે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે તમામ $x \in [1, 5]$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$,તેથી $f^{\prime}(c) \leq 5$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{f(5) - 1}{4} \leq 5$.
$f(5) - 1 \leq 20$.
$f(5) \leq 21$.
તેથી,$f(5)$ ની મહત્તમ કિંમત $21$ છે.

(D) રોલના પ્રમેય મુજબ $[1, 2]$ પર $f(1) = f(2)$ હોવું જોઈએ.
$f(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) = 1 + a + b$.
$f(2) = 2^3 + a(2)^2 + b(2) = 8 + 4a + 2b$.
$f(1) = f(2)$ લેતા,$1 + a + b = 8 + 4a + 2b$,જેનું સાદું રૂપ $3a + b = -7$ મળે છે (સમીકરણ $1$).
વળી,રોલના પ્રમેય મુજબ $f'(c) = 0$ થાય,જ્યાં $c = \frac{4}{3}$.
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
$f'(\frac{4}{3}) = 3(\frac{4}{3})^2 + 2a(\frac{4}{3}) + b = 3(\frac{16}{9}) + \frac{8a}{3} + b = \frac{16}{3} + \frac{8a}{3} + b = 0$.
$3$ વડે ગુણતા,$16 + 8a + 3b = 0$,અથવા $8a + 3b = -16$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણ $1$ પરથી,$b = -7 - 3a$.
સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $8a + 3(-7 - 3a) = -16$.
$8a - 21 - 9a = -16$.
$-a = 5$,તેથી $a = -5$.
હવે $b = -7 - 3(-5) = -7 + 15 = 8$.
આમ,$a = -5$ અને $b = 8$.

(A) $[1, 3]$ પર રોલના પ્રમેય માટે,વિધેય $f(1) = f(3)$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = 1 - 6 + a + b = a + b - 5$.
$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27$.
$f(1) = f(3)$ સરખાવતા:
$a + b - 5 = 3a + b - 27$
$2a = 22 \implies a = 11$.
વધુમાં,રોલના પ્રમેય મુજબ $(1, 3)$ માં કોઈ $c$ માટે $f'(c) = 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = 3x^2 - 12x + a = 3x^2 - 12x + 11$.
$f'(c) = 0$ લેતા:
$3c^2 - 12c + 11 = 0$.
તેના ઉકેલ $c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ મળે છે.
$2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.423$ જે $(1, 3)$ માં છે,તેથી $a = 11$ માટે શરત સંતોષાય છે. વિકલ્પો જોતા,$a=11$ વાળો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $A_1$ એ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{3}$ સુધી $y = \cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
$A_1 = \int_{0}^{\pi/3} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ધારો કે $A_2$ એ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{3}$ સુધી $y = \cos 2x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
$A_2 = \int_{0}^{\pi/3} \cos 2x \, dx = [\frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi/3} = \frac{1}{2} (\sin(\frac{2\pi}{3}) - \sin(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/4} = \frac{4}{2} = 2: 1$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = 4a$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = 2 \int_{a}^{4a} y \, dx$
અહીં $y^2 = 4ax$ હોવાથી,$y = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ મળે (સંમિતિ માટે $x$-અક્ષની ઉપરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ લઈને તેને $2$ વડે ગુણતા).
$A = 2 \int_{a}^{4a} 2\sqrt{a} \sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{a} \int_{a}^{4a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{a}^{4a} = 4\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{a}^{4a}$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ (4a)^{3/2} - a^{3/2} \right]$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ 8a\sqrt{a} - a\sqrt{a} \right]$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ 7a\sqrt{a} \right] = \frac{56a^2}{3}$ ચો. એકમ.

(A) આપેલ વક્ર $y = |x - 2|$ છે.
આપણે $y = |x - 2|$,$x = 1$,$x = 3$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
વિધેય $y = |x - 2|$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$y = \begin{cases} -(x - 2) & \text{જો } x < 2 \\ x - 2 & \text{જો } x \ge 2 \end{cases}$
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{3} |x - 2| \, dx$
$x = 2$ આગળ સંકલનને વિભાજિત કરતા:
$A = \int_{1}^{2} -(x - 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$A = \left[ -\frac{(x - 2)^2}{2} \right]_{1}^{2} + \left[ \frac{(x - 2)^2}{2} \right]_{2}^{3}$
$A = \left( 0 - (-\frac{(1 - 2)^2}{2}) \right) + \left( \frac{(3 - 2)^2}{2} - 0 \right)$
$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વક્ર $x = 2 - y - y^2$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. $Y$-અક્ષ એ રેખા $x = 0$ છે.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકો:
$2 - y - y^2 = 0 \implies y^2 + y - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y + 2)(y - 1) = 0$,તેથી $y = -2$ અને $y = 1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-2}^{1} |x| dy = \int_{-2}^{1} (2 - y - y^2) dy$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [2y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}]_{-2}^{1}$.
$y = 1$ માટે: $2(1) - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 2 - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$.
$y = -2$ માટે: $2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}$.
$A = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વક્ર $y = a\sqrt{x} + bx$ એ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = a(1) + b(1)$,એટલે કે $a + b = 2$.
વક્ર,$x=4$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{4} (a\sqrt{x} + bx) dx = 8$ છે.
સંકલન કરતા: $[a \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + b \cdot \frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = 8$.
$x=4$ મુકતા: $a \cdot \frac{2}{3}(8) + b \cdot \frac{16}{2} = 8$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{16}{3}a + 8b = 8$ થાય છે.
$8$ વડે ભાગતા: $\frac{2}{3}a + b = 1$.
હવે આપણી પાસે સમીકરણો છે:
$1) a + b = 2$
$2) \frac{2}{3}a + b = 1$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(a - \frac{2}{3}a) = 2 - 1$,તેથી $\frac{1}{3}a = 1$,જેનો અર્થ $a = 3$.
$a=3$ ને $a+b=2$ માં મુકતા: $3 + b = 2$,તેથી $b = -1$.
આમ,$a - b = 3 - (-1) = 4$.

(A) આપેલ વક્ર $y = 4x - x^2$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $y = 0$ લઈએ:
$4x - x^2 = 0$
$x(4 - x) = 0$
તેથી,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 4$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx$
$A = [2x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}$
$A = (2(4)^2 - \frac{4^3}{3}) - (0)$
$A = (2 \times 16 - \frac{64}{3})$
$A = 32 - \frac{64}{3}$
$A = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=2^2$ છે,જેની ત્રિજ્યા $r=2$ અને કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
રેખા $x=1$ છે. વર્તુળ અને રેખાના છેદબિંદુઓ $x=1$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા મળે છે: $1^2+y^2=4 \implies y^2=3 \implies y=\pm\sqrt{3}$.
નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ $x=1$ થી $x=2$ સુધી વર્તુળ અને રેખા દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{1}^{2} y \, dx = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} \, dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = 2 [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{1}^{2}$.
$A = 2 [(\frac{2}{2}\sqrt{4-4} + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{4-1} + 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}))]$.
$A = 2 [(0 + 2(\frac{\pi}{2})) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2(\frac{\pi}{6}))]$.
$A = 2 [\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}] = 2 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

(D) વક્ર $y = \frac{x^2}{4}$,$X$-અક્ષ અને રેખા $x=4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} \frac{x^2}{4} dx = \left[ \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$.
રેખા $x=\alpha$ આ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગમાં વહેંચે છે,તેથી $x=0$ થી $x=\alpha$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોવું જોઈએ:
$\int_{0}^{\alpha} \frac{x^2}{4} dx = \frac{1}{2} \times \frac{16}{3} = \frac{8}{3}$.
સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{\alpha} = \frac{\alpha^3}{12} = \frac{8}{3}$.
$\alpha^3 = \frac{8 \times 12}{3} = 32$.
તેથી,$\alpha = (32)^{1/3}$.

(A) આપેલ વક્રો $y = |x - 4|$,$x = 3$,$x = 5$ અને $X$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $x \ge 4$ હોય તો $|x - 4| = x - 4$ અને જો $x < 4$ હોય તો $-(x - 4)$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$x = 4$ આગળ સંકલનનું વિભાજન કરતા:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$
$A = \int_{3}^{4} (4 - x) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[4x - \frac{x^2}{2}]_{3}^{4} = (16 - 8) - (12 - 4.5) = 8 - 7.5 = 0.5$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $[\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 0.5 + 0.5 = 1$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 27x$ છે.
પ્રદેશ પરવલય અને રેખા $x = 1$ દ્વારા આવૃત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે.
$y^2 = 27x$ હોવાથી,આપણને $y = \sqrt{27x} = 3\sqrt{3}\sqrt{x}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times \int_{0}^{1} y \, dx$ થશે.
$A = 2 \int_{0}^{1} 3\sqrt{3} \sqrt{x} \, dx = 6\sqrt{3} \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$.
$A = 6\sqrt{3} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = 6\sqrt{3} \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$.
$A = 4\sqrt{3} (1 - 0) = 4\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્રો $y^2 = 4x$ (જમણી તરફ ખુલતો પરવલય) અને $y = |x|$ ($V$-આકારનો આલેખ) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $y^2 = x^2$ લઈએ છીએ (કારણ કે $y = |x| \implies y^2 = x^2$).
$y^2 = 4x$ ને $x^2 = y^2$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 = 4x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^2 - 4x = 0$,તેથી $x(x - 4) = 0$.
છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 4$ છે.
$x \in [0, 4]$ માટે,પરવલય $y = 2\sqrt{x}$ એ રેખા $y = x$ ની ઉપર આવેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4}$
$A = [\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4}$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{16}{2}) - (0 - 0)$
$A = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32 - 24}{3} = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણો ઉપવલય $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ અને રેખા $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ છે.
ધારો કે $x = 3 \cos \theta$ અને $y = 2 \sin \theta$.
રેખાનું સમીકરણ $\cos \theta + \sin \theta = 1$ બને છે.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta = 0$ અથવા $\theta = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
ઉપવલય અને રેખા દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ઉપવલયના સેક્ટરના ક્ષેત્રફળમાંથી રેખા અને અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $\pi ab = \pi(3)(2) = 6\pi$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4}(6\pi) = \frac{3\pi}{2}$ છે.
રેખા $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ દ્વારા અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ છે.
આમ,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\frac{3\pi}{2} - 3 = \frac{3}{2}(\pi - 2)$ ચોરસ એકમ છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ છે।
અહીં,$a=5$ અને $b=3$ છે।
ધન ચરણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4} \times \pi ab = \frac{1}{4} \times \pi \times 5 \times 3 = \frac{15\pi}{4}$ છે।
શિરોબિંદુઓ $(0,0), (5,0), (0,3)$ ધરાવતા ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2}$ છે।
ચાપ $AB$ અને જીવા $AB$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ એ ચરણના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે।
ક્ષેત્રફળ $= \frac{15\pi}{4} - \frac{15}{2} = \frac{15}{4}(\pi - 2)$ ચોરસ એકમ।

(C) આપેલ સમીકરણો $x^2 = 8y$ $(1)$ અને $x - 8y + 2 = 0$ $(2)$ છે.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$8y = x + 2$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,$x^2 = x + 2$ મળે,જેનો અર્થ છે $x^2 - x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x + 1) = 0$,તેથી છેદબિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
$A = \int_{-1}^{2} (\frac{x+2}{8} - \frac{x^2}{8}) dx = \frac{1}{8} \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx$.
$A = \frac{1}{8} [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$.
સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા: $A = \frac{1}{8} [(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})]$.
$A = \frac{1}{8} [(2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})] = \frac{1}{8} [\frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})] = \frac{1}{8} [\frac{20+7}{6}] = \frac{1}{8} \times \frac{27}{6} = \frac{9}{16}$ ચોરસ એકમ.

(C) વક્રો $y=f(x)$ અને $y=g(x)$ દ્વારા $x=a$ અને $x=b$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,વક્રો $y = x^2 + 3$ અને $y = x$ છે.
આ પ્રદેશ $y$-અક્ષ $(x=0)$ અને રેખા $x=3$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$x \in [0, 3]$ માટે $x^2 + 3 > x$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{0}^{3} (x^2 + 3 - x) \, dx$
$A = [\frac{x^3}{3} + 3x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{3}$
$A = (\frac{27}{3} + 3(3) - \frac{9}{2}) - (0)$
$A = 9 + 9 - 4.5 = 18 - 4.5 = 13.5$
$A = \frac{27}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રો $y = 9x^2$ (અથવા $x^2 = \frac{y}{9}$) અને $y = \frac{x^2}{16}$ (અથવા $x^2 = 16y$) છે.
પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી, આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
$y = 9x^2$ માટે, $x = \frac{\sqrt{y}}{3}$.
$y = \frac{x^2}{16}$ માટે, $x = 4\sqrt{y}$.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{1} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{1} (4\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{3}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{1} (4 - \frac{1}{3}) \sqrt{y} dy = 2 \times \frac{11}{3} \int_{0}^{1} y^{1/2} dy$.
$A = \frac{22}{3} [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{0}^{1} = \frac{22}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{44}{9}$ ચોરસ એકમ.

(B) $f(x)$ એ $x=0$ પર સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = \frac{2}{\log 2}$ હોવું જોઈએ.
પગલું $1$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{3 \sin x + 5 \tan x}{a^x - 1}$ ની ગણતરી કરો.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\lim_{x \to 0^-} \frac{3(\frac{\sin x}{x}) + 5(\frac{\tan x}{x})}{\frac{a^x - 1}{x}} = \frac{3(1) + 5(1)}{\ln a} = \frac{8}{\ln a}$.
$f(0)$ સાથે સરખાવતા: $\frac{8}{\ln a} = \frac{2}{\ln 2} \implies \ln a = 4 \ln 2 = \ln(2^4) = \ln 16 \implies a = 16$.
પગલું $2$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{8x + 2x \cos x}{b^x - 1}$ ની ગણતરી કરો.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\lim_{x \to 0^+} \frac{8 + 2 \cos x}{\frac{b^x - 1}{x}} = \frac{8 + 2(1)}{\ln b} = \frac{10}{\ln b}$.
$f(0)$ સાથે સરખાવતા: $\frac{10}{\ln b} = \frac{2}{\ln 2} \implies \ln b = 5 \ln 2 = \ln(2^5) = \ln 32 \implies b = 32$.
આમ,$a=16$ અને $b=32$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધો:
$f(\frac{\pi}{2}) = m(\frac{\pi}{2}) + 1$
$2$. $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ $LHL$ શોધો:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (mx + 1) = m(\frac{\pi}{2}) + 1$
$3$. $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ $RHL$ શોધો:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\sin x + n) = \sin(\frac{\pi}{2}) + n = 1 + n$
$4$. $LHL$ અને $RHL$ ને સરખાવો:
$m(\frac{\pi}{2}) + 1 = 1 + n$
$m(\frac{\pi}{2}) = n$
આમ,સાતત્ય માટેની શરત $n = \frac{m \pi}{2}$ છે.

(D) $f(x)$ એ $x = 3$ આગળ સતત હોય તે માટે,$\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = k$ હોવું જરૂરી છે.
સૌ પ્રથમ,લક્ષ $\lim_{x \to 3} ([x^2] - [-x^2])$ ની ગણતરી કરો.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયનો ગુણધર્મ યાદ કરો: જો $y \in \mathbb{Z}$ હોય તો $[y] + [-y] = 0$,અને જો $y \notin \mathbb{Z}$ હોય તો $[y] + [-y] = -1$.
જેમ $x \to 3$,તેમ $x^2 \to 9$.
$9$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(x \to 3^-)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(x \to 3^+)$ ચકાસીએ.
$x \to 3^-$ માટે,$x^2 < 9$,તેથી $x^2 = 9 - h$ જ્યાં $h > 0$ ખૂબ નાની સંખ્યા છે. તેથી $[x^2] = 8$ અને $[-x^2] = [-9 + h] = -9$.
આમ,$\lim_{x \to 3^-} ([x^2] - [-x^2]) = 8 - (-9) = 17$.
$x \to 3^+$ માટે,$x^2 > 9$,તેથી $x^2 = 9 + h$ જ્યાં $h > 0$ ખૂબ નાની સંખ્યા છે. તેથી $[x^2] = 9$ અને $[-x^2] = [-9 - h] = -10$.
આમ,$\lim_{x \to 3^+} ([x^2] - [-x^2]) = 9 - (-10) = 19$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(17)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(19)$ જેટલું ન હોવાથી,લક્ષ $\lim_{x \to 3} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
તેથી,$k$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે વિધેયને $x = 3$ આગળ સતત બનાવે.

(A) $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(RHL)$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$.
$f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે,$LHL$ એ $RHL$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \implies a = -2b$.
$a = -2b$ ને $a - b = \frac{\pi}{4}$ માં મૂકતા:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$.
તેથી $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$a - b = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{2\pi + \pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x - |x - x^2|$ છે.
કારણ કે $f(x)$ એ બહુપદી વિધેય $(2x)$ અને બહુપદી વિધેયના માનાંક $(|x - x^2|)$ નું સંયોજન છે,જે બંને $\mathbb{R}$ પર દરેક જગ્યાએ સતત છે,તેથી તેમનો તફાવત $f(x)$ પણ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત છે.
ખાસ કરીને,$x = 1$ આગળ:
$f(1) = 2(1) - |1 - 1^2| = 2 - 0 = 2$.
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (2x - |x - x^2|) = 2(1) - |1 - 1| = 2$.
કારણ કે $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$,તેથી વિધેય $x = 1$ આગળ સતત છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^4-5x^2+4}{|(x-1)(x-2)|} = \frac{(x^2-1)(x^2-4)}{|(x-1)(x-2)|} = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{|(x-1)(x-2)|}$.
$x \neq 1, 2$ માટે,$f(x) = \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{|(x-1)(x-2)|} = \text{sgn}((x-1)(x-2)) \cdot (x+1)(x+2)$.
$x=1$ આગળ: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{-(x-1)(x-2)} = -(1+1)(1+2) = -6$. $f(1) = 6$ હોવાથી,તે $x=1$ આગળ અસતત છે.
$x=2$ આગળ: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)} = (2+1)(2+2) = 12$. $f(2) = 12$ હોવાથી,જમણી બાજુનું લક્ષ $f(2)$ સાથે મળે છે.
જોકે,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{-(x-1)(x-2)} = -(2+1)(2+2) = -12$. $-12 \neq 12$ હોવાથી,તે $x=2$ આગળ અસતત છે.
આમ,$f(x)$ એ $R - \{1, 2\}$ પર સતત છે.

(D) $f(x)$ એ $x = -\frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવું જોઈએ:
$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (a \sin x + b)$
$-2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = a \sin(-\frac{\pi}{2}) + b$
$-2(-1) = a(-1) + b \implies 2 = -a + b \quad (1)$
$f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (a \sin x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\cos x)$
$a \sin(\frac{\pi}{2}) + b = \cos(\frac{\pi}{2})$
$a(1) + b = 0 \implies a + b = 0 \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(-a + b) + (a + b) = 2 + 0
2b = 2 \implies b = 1$
સમીકરણ $(2)$ માં $b = 1$ મુકતા:
$a + 1 = 0 \implies a = -1$
હવે,$2a + b$ ની કિંમત:
$2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$
આમ,જવાબ $-1$ છે.

(B) સંકલન $I = \int_0^1 \tan^{-1} x \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = \tan^{-1} x$ અને $dv = dx$.
તેથી $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$ અને $v = x$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = [x \tan^{-1} x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી કરતા: $(1 \cdot \tan^{-1} 1) - (0 \cdot \tan^{-1} 0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $t = 1+x^2$,તેથી $dt = 2x \, dx$ અથવા $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.
જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=1, t=2$.
$\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2 = \log 2^{1/2} = \log \sqrt{2}$.
આમ,$I = \frac{\pi}{4} - \log \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (2+3x^2) \cos 3x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા,$u = 2+3x^2$ અને $dv = \cos 3x \, dx$ લો.
તેથી $du = 6x \, dx$ અને $v = \frac{\sin 3x}{3}$ મળે.
$I = \left[ (2+3x^2) \frac{\sin 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin 3x}{3} (6x) \, dx$.
$I = \left[ (2+3(\frac{\pi^2}{36})) \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{3} - 0 \right] - 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} x \sin 3x \, dx$.
$I = \frac{1}{3} (2 + \frac{\pi^2}{12}) - 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} x \sin 3x \, dx$.
બીજા સંકલન માટે ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $u = x, dv = \sin 3x \, dx \implies du = dx, v = -\frac{\cos 3x}{3}$.
$\int_0^{\frac{\pi}{6}} x \sin 3x \, dx = \left[ -\frac{x \cos 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} -\frac{\cos 3x}{3} \, dx$.
$= (0 - 0) + \frac{1}{3} \left[ \frac{\sin 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{9} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{9}$.
કિંમત મૂકતા: $I = \frac{2}{3} + \frac{\pi^2}{36} - 2(\frac{1}{9}) = \frac{2}{3} - \frac{2}{9} + \frac{\pi^2}{36} = \frac{6-2}{9} + \frac{\pi^2}{36} = \frac{4}{9} + \frac{\pi^2}{36}$.

(A) સંકલન $I = \int_0^1 \log(x+1) \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $u = \log(x+1)$ અને $dv = dx$.
તેથી $du = \frac{1}{x+1} \, dx$ અને $v = x$ મળે.
સૂત્ર $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = [x \log(x+1)]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{x+1} \, dx$
$I = [1 \cdot \log(2) - 0 \cdot \log(1)] - \int_0^1 \frac{x+1-1}{x+1} \, dx$
$I = \log 2 - \int_0^1 (1 - \frac{1}{x+1}) \, dx$
$I = \log 2 - [x - \log(x+1)]_0^1$
$I = \log 2 - [(1 - \log 2) - (0 - \log 1)]$
$I = \log 2 - 1 + \log 2$
$I = 2 \log 2 - 1$.

(A) ધારો કે $I = \int_1^{e} \frac{e^x}{x}(1+x \log x) d x$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int_1^{e} (\frac{e^x}{x} + e^x \log x) d x$.
ધારો કે $f(x) = e^x \log x$.
તો $f'(x) = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x (\log x + \frac{1}{x})$.
આ સંકલ્ય સાથે બરાબર મેળ ખાય છે.
તેથી,$\int (f(x) + f'(x)) d x = f(x) + C$.
તેથી,$I = [e^x \log x]_1^e$.
સીમાઓનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$I = (e^e \log e) - (e^1 \log 1)$.
કારણ કે $\log e = 1$ અને $\log 1 = 0$,
$I = (e^e \cdot 1) - (e \cdot 0) = e^e$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 (x - x^3)^{\frac{1}{3}} dx$.
આપણે સંકલ્યને $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 [x^3(\frac{1}{x^2} - 1)]^{\frac{1}{3}} dx = \int_{\frac{1}{3}}^1 x(\frac{1}{x^2} - 1)^{\frac{1}{3}} dx$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $u = \frac{1}{x^2} - 1$,તેથી $du = -\frac{2}{x^3} dx$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,આ સંકલનનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{1}{2+\sqrt{x}} \, dx$.
$\sqrt{x} = t$ આદેશ લેતા,$x = t^2$ અને $dx = 2t \, dt$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$ અને જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 1$.
તેથી,$I = \int_0^1 \frac{2t}{2+t} \, dt$.
$I = 2 \int_0^1 \frac{t+2-2}{t+2} \, dt = 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{2}{t+2}\right) \, dt$.
$I = 2 [t - 2 \log |t+2|]_0^1$.
$I = 2 [(1 - 2 \log 3) - (0 - 2 \log 2)]$.
$I = 2 [1 - 2 \log 3 + 2 \log 2] = 2 [1 + 2 \log(2/3)]$.
$I = 2 [\log e + \log(4/9)] = 2 \log(4e/9)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણે સંકલન $I = \int_1^4 \log [x] dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,આપણે સંકલનને પૂર્ણાંક બિંદુઓ $x=2$ અને $x=3$ પર વિભાજિત કરીશું:
$I = \int_1^2 \log [x] dx + \int_2^3 \log [x] dx + \int_3^4 \log [x] dx$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $\log [x] = \log 1 = 0$.
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$,તેથી $\log [x] = \log 2$.
$x \in [3, 4)$ માટે,$[x] = 3$,તેથી $\log [x] = \log 3$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int_1^2 0 dx + \int_2^3 \log 2 dx + \int_3^4 \log 3 dx$.
$I = 0 + [x \log 2]_2^3 + [x \log 3]_3^4$.
$I = (3-2) \log 2 + (4-3) \log 3$.
$I = 1 \cdot \log 2 + 1 \cdot \log 3 = \log 2 + \log 3$.
ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I = \log(2 \times 3) = \log 6$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin^7 x \cos^{16} x$.
આપણે $f(-x)$ ની ગણતરી કરીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસીએ.
$f(-x) = \sin^7(-x) \cos^{16}(-x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(-x) = -\sin x$ અને $\cos(-x) = \cos x$,તેથી:
$f(-x) = (-\sin x)^7 (\cos x)^{16} = -\sin^7 x \cos^{16} x = -f(x)$.
જેથી $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^a f(x) \,dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-3}^3 \sin^7 x \cos^{16} x \,dx = 0$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}\right) dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $a+b = -1+1 = 0$ છે.
તેથી,$I = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+(-x)+(-x)^2} - \sqrt{1-(-x)+(-x)^2}\right) dx$.
$I = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x+x^2} - \sqrt{1+x+x^2}\right) dx$.
$I = - \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}\right) dx$.
$I = -I$.
$2I = 0$,જેનો અર્થ છે કે $I = 0$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્યની અંદરના દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડીએ: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.
શૂન્યો $x = -1$ અને $x = 2$ છે.
આપણે $[-2, 2]$ અંતરાલ પર $f(x) = x^2 - x - 2$ ની નિશાની તપાસીએ:
$x \in [-2, -1]$ માટે,$f(x) \ge 0$.
$x \in [-1, 2]$ માટે,$f(x) \le 0$,તેથી $|x^2 - x - 2| = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2$.
આમ,સંકલન $\int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx + \int_{-1}^2 (-x^2 + x + 2) dx$ થશે.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (-\frac{8}{3} - 2 + 4) = \frac{7}{6} - (-\frac{2}{3}) = \frac{11}{6}$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x]_{-1}^2 = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.
કુલ સરવાળો: $\frac{11}{6} + \frac{27}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+(\cot x)^{101}}$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+(\cot(\frac{\pi}{2}-x))^{101}}$
કારણ કે $\cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan x$,તેથી:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+(\tan x)^{101}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\frac{1}{(\cot x)^{101}}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cot x)^{101}}{1+(\cot x)^{101}} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+(\cot x)^{101}}{1+(\cot x)^{101}} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપણે સંકલન $I = \int_0^2 [x^2] dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કારણ કે વિધેય $[x^2]$ એવા બિંદુઓ પર તેનું મૂલ્ય બદલે છે જ્યાં $x^2$ પૂર્ણાંક હોય,તેથી આપણે અંતરાલ $[0, 2]$ માં આ બિંદુઓ શોધીએ.
$x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ માટે $x^2$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $1, 2, 3, 4$ થાય છે.
આપણે સંકલનને પેટા-અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીએ:
$I = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx$.
અંતરાલ $[0, 1)$ માં,$0 \le x^2 < 1$ હોવાથી $[x^2] = 0$ થાય.
અંતરાલ $[1, \sqrt{2})$ માં,$1 \le x^2 < 2$ હોવાથી $[x^2] = 1$ થાય.
અંતરાલ $[\sqrt{2}, \sqrt{3})$ માં,$2 \le x^2 < 3$ હોવાથી $[x^2] = 2$ થાય.
અંતરાલ $[\sqrt{3}, 2)$ માં,$3 \le x^2 < 4$ હોવાથી $[x^2] = 3$ થાય.
તેથી,$I = \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx$.
$I = 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$.
$I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$.
$I = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

(A) ધારો કે $I = \int_2^4 \frac{\log x^2}{\log x^2 + \log (36-12x+x^2)} dx$.
અહીં $36-12x+x^2 = (6-x)^2$ છે.
તેથી,$I = \int_2^4 \frac{\log x^2}{\log x^2 + \log (6-x)^2} dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = 2+4 = 6$.
$x$ ને $6-x$ વડે બદલતા:
$I = \int_2^4 \frac{\log (6-x)^2}{\log (6-x)^2 + \log (6-(6-x))^2} dx = \int_2^4 \frac{\log (6-x)^2}{\log (6-x)^2 + \log x^2} dx$.
$I$ ના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_2^4 \frac{\log x^2 + \log (6-x)^2}{\log x^2 + \log (6-x)^2} dx = \int_2^4 1 dx$.
$2I = [x]_2^4 = 4-2 = 2$.
તેથી,$I = 1$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x \sin^2 x}{(\cos^3 x + \sin^3 x)^2} \, dx$.
અંશ અને છેદને $\cos^6 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(1 + \tan^3 x)^2} \, dx$.
ધારો કે $u = \tan^3 x$,તેથી $du = 3 \tan^2 x \sec^2 x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 x \sec^2 x \, dx = \frac{du}{3}$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $u = 0$. જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $u = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^1 \frac{1}{3(1 + u)^2} \, du = \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{1 + u} \right]_0^1$.
$I = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^3 \left(\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx$.
ગુણધર્મ $\tan^{-1}(u) + \tan^{-1}(1/u) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યારે $u > 0$ હોય ત્યારે સંકલનનું મૂલ્ય $\frac{\pi}{2}$ થાય છે.
જોકે,$x < 0$ માટે,$u = x/(x^2+1) < 0$ થાય છે.
$u < 0$ માટે $\tan^{-1}(u) + \tan^{-1}(1/u) = -\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_{-1}^0 (-\frac{\pi}{2}) dx + \int_0^3 (\frac{\pi}{2}) dx$.
$I = -\frac{\pi}{2} [x]_{-1}^0 + \frac{\pi}{2} [x]_0^3$.
$I = -\frac{\pi}{2} (0 - (-1)) + \frac{\pi}{2} (3 - 0)$.
$I = -\frac{\pi}{2} (1) + \frac{\pi}{2} (3) = -\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int_0^2 \frac{3x+1}{x^2+4} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$I = \int_0^2 \frac{3x}{x^2+4} dx + \int_0^2 \frac{1}{x^2+4} dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^2+4$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{du}{2}$.
$\int_0^2 \frac{3x}{x^2+4} dx = \frac{3}{2} \int_4^8 \frac{du}{u} = \frac{3}{2} [\log |u|]_4^8 = \frac{3}{2} (\log 8 - \log 4) = \frac{3}{2} \log(\frac{8}{4}) = \frac{3}{2} \log 2$.
બીજા ભાગ માટે,પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરો.
$\int_0^2 \frac{1}{x^2+2^2} dx = [\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2})]_0^2 = \frac{1}{2} \tan^{-1}(1) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(0) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) - 0 = \frac{\pi}{8}$.
બંને ભાગોને જોડતા,$I = \frac{3}{2} \log 2 + \frac{\pi}{8}$.

(B)
ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{x}{1+\sin x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં  
$a+b = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi$:
$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\pi - x}{1+\sin(\pi - x)} dx
= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\pi - x}{1+\sin x} dx$
$I$ ના બંને રૂપો ઉમેરતા:
$2I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{x + (\pi - x)}{1+\sin x} dx$
$2I = \pi \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{1+\sin x} dx$
અંશ અને છેદને $(1-\sin x)$ વડે ગુણતા:
$2I = \pi \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} dx$
$2I = \pi \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} (\sec^2 x - \sec x \tan x)\,dx$
સંકલન કરતા:
$2I = \pi [\tan x - \sec x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}$
સીમાઓ મૂક્તા:
$2I = \pi \Big[(-\sqrt{3} - (-2)) - (\sqrt{3} - 2)\Big]$
$2I = \pi [2 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 2] = \pi [4 - 2\sqrt{3}]$
$I = \pi (2 - \sqrt{3})$

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}} + \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}} \right) d x$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} d x$
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} d x$
નિત્યસમ $\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} d x$
ધારો કે $u = \sin x - \cos x$,તો $du = (\cos x + \sin x) d x$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $u = -1$. જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $u = 0$.
$I = \sqrt{2} \int_{-1}^0 \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \sqrt{2} [\arcsin u]_{-1}^0$
$I = \sqrt{2} (\arcsin 0 - \arcsin(-1)) = \sqrt{2} (0 - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\sqrt{2} \pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{8-x}+\sqrt{x}} \, dx$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{3+5-x}}{\sqrt{8-(3+5-x)}+\sqrt{3+5-x}} \, dx$
$I = \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{8-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{8-x}} \, dx$
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{8-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{8-x}} \, dx$
$2I = \int_{3}^{5} 1 \, dx$
$2I = [x]_{3}^{5} = 5 - 3 = 2$
$I = 1$

(A) ધારો કે $I = \int_0^1 \tan^{-1}(1-x+x^2) dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^1 \tan^{-1}(1-(1-x)+(1-x)^2) dx$
$I = \int_0^1 \tan^{-1}(x^2-x+1) dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(1-x+x^2) = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(1-x)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$I = \int_0^1 \tan^{-1}(x) dx + \int_0^1 \tan^{-1}(1-x) dx$.
કારણ કે $\int_0^1 \tan^{-1}(x) dx = \int_0^1 \tan^{-1}(1-x) dx$,તેથી:
$I = 2 \int_0^1 \tan^{-1}(x) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int \tan^{-1}(x) dx = x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \log(1+x^2)$.
$0$ થી $1$ ની સીમાઓ મૂકતા:
$I = 2 [x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \log(1+x^2)]_0^1$
$I = 2 [ (1 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2) - 0 ] = \frac{\pi}{2} - \log 2$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^1 \log \left(\frac{1-x}{x}\right) dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^1 \log \left(\frac{1-(1-x)}{1-x}\right) dx = \int_0^1 \log \left(\frac{x}{1-x}\right) dx$.
$I = \int_0^1 \log \left(\left(\frac{1-x}{x}\right)^{-1}\right) dx = -\int_0^1 \log \left(\frac{1-x}{x}\right) dx$.
$I = -I$.
$2I = 0$,જેનો અર્થ છે કે $I = 0$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx$.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x dx$.
ધારો કે $f(x) = \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x$.
તો $f(-x) = \log \left(\frac{\pi-(-x)}{\pi+(-x)}\right) \cdot \cos(-x) = \log \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cdot \cos x = \log \left(\left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right)^{-1}\right) \cdot \cos x = -\log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x = -f(x)$.
જેથી $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = 0$.
આમ,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \cdot \frac{(\pi/2)^3}{3} = 2 \cdot \frac{\pi^3}{8 \cdot 3} = \frac{\pi^3}{12}$.