MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ વક્રો $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{16} = 1$ અને $y^3 = 16x$ છે.
પ્રથમ વક્ર માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{16} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{a^2y} \quad (1)$
બીજા વક્ર માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2} \quad (2)$
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(-\frac{16x}{a^2y}\right) \left(\frac{16}{3y^2}\right) = -1$
$\frac{256x}{3a^2y^3} = 1$
$y^3 = 16x$ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$\frac{256x}{3a^2(16x)} = 1$
$\frac{16}{3a^2} = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{16}{3}$
પ્રશ્નમાં આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 4$ મુજબ ગણતરી કરતા $a^2 = \frac{4}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ વક્ર $y^2=2(x-3)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{1}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -y$ થાય.
આપેલ રેખા $y - 2x + 1 = 0$ છે,જેને $y = 2x - 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $2$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $-y = 2$,જે $y = -2$ આપે છે.
$y = -2$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-2)^2 = 2(x - 3) \Rightarrow 4 = 2(x - 3) \Rightarrow 2 = x - 3 \Rightarrow x = 5$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $(5, -2)$ છે.

(C) ધારો કે લંબગોળ પરનું બિંદુ $P$ પ્રથમ ચરણમાં $(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ છે.
લંબચોરસ બંને અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,તેના શિરોબિંદુઓ $(\pm 5 \cos \theta, \pm 4 \sin \theta)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $L = 2(5 \cos \theta) = 10 \cos \theta$ છે.
લંબચોરસની પહોળાઈ $B = 2(4 \sin \theta) = 8 \sin \theta$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times B = (10 \cos \theta)(8 \sin \theta) = 80 \sin \theta \cos \theta = 40 \sin(2 \theta)$ છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin(2 \theta)$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\sin(2 \theta) = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
લંબાઈ અને પહોળાઈના સૂત્રોમાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$L = 10 \cos(\frac{\pi}{4}) = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$.
$B = 8 \sin(\frac{\pi}{4}) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.
આમ,લંબચોરસના પરિમાણો $5 \sqrt{2}$ અને $4 \sqrt{2}$ છે.

(D) ${}^6C_r$ ની મહત્તમ કિંમત $r = \frac{6}{2} = 3$ પર મળે છે.
કિંમત ${}^6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
આપેલ છે કે ${}^6C_r$ ની મહત્તમ કિંમત અને ${}^nC_3$ વચ્ચેનો તફાવત $16$ છે,તેથી $|20 - {}^nC_3| = 16$.
આ સૂચવે છે કે ${}^nC_3 = 20 + 16 = 36$ અથવા ${}^nC_3 = 20 - 16 = 4$.
કિસ્સો $1$: ${}^nC_3 = 36$ $\Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 36$ $\Rightarrow n(n-1)(n-2) = 216$. આ માટે કોઈ પૂર્ણાંક $n$ શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: ${}^nC_3 = 4$ $\Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 4$ $\Rightarrow n(n-1)(n-2) = 24$.
કિંમતો તપાસતા,$n=4$ માટે,$4 \times 3 \times 2 = 24$.
આમ,$n = 4$.

(C) અમે પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}$.
આપેલ પદાવલિ: ${ }^{11} C_4+{ }^{11} C_5+{ }^{12} C_6+{ }^{13} C_7={ }^{14} C_{r}$.
પ્રથમ બે પદો પર નિત્યસમ લાગુ કરતા: ${ }^{11} C_4+{ }^{11} C_5 = { }^{12} C_5$.
હવે પદાવલિ આ મુજબ બને છે: ${ }^{12} C_5+{ }^{12} C_6+{ }^{13} C_7$.
ફરીથી નિત્યસમ લાગુ કરતા: ${ }^{12} C_5+{ }^{12} C_6 = { }^{13} C_6$.
હવે પદાવલિ આ મુજબ બને છે: ${ }^{13} C_6+{ }^{13} C_7$.
છેલ્લી વાર નિત્યસમ લાગુ કરતા: ${ }^{13} C_6+{ }^{13} C_7 = { }^{14} C_7$.
આને ${ }^{14} C_{r}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $r = 7$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. તે રેખા $x-4y=1$ પર હોવાથી,$h = 1+4k$. તેથી,કેન્દ્ર $(4k+1, k)$ છે.
વર્તુળ બિંદુઓ $(3,7)$ અને $(5,5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્રથી આ બિંદુઓનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) છે:
$(4k+1-3)^2 + (k-7)^2 = (4k+1-5)^2 + (k-5)^2$
$(4k-2)^2 + (k-7)^2 = (4k-4)^2 + (k-5)^2$
$16k^2 - 16k + 4 + k^2 - 14k + 49 = 16k^2 - 32k + 16 + k^2 - 10k + 25$
$17k^2 - 30k + 53 = 17k^2 - 42k + 41$
$12k = -12 \Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ ને $h = 1+4k$ માં મૂકતા,$h = 1+4(-1) = -3$ મળે. તેથી,કેન્દ્ર $(-3, -1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(-3, -1)$ અને $(5, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r^2 = (5 - (-3))^2 + (5 - (-1))^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે:
$(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 100$
$x^2 + 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 100$
$x^2 + y^2 + 6x + 2y - 90 = 0$.

(A) આપેલ છે કે વર્તુળનો પરિઘ $10 \pi$ એકમ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પરિઘ $C = 2 \pi r$,તેથી $2 \pi r = 10 \pi$,જે $r = 5$ આપે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, -3)$ છે.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2$.
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$.
વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 25$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 25$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

(C) વર્તુળનું વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c=0$ મળે.
વર્તુળ $X$-અક્ષ પર $-2$ નો અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી તે $(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + 0 = 0$ $\Rightarrow 4 - 4g = 0$ $\Rightarrow g = 1$.
વર્તુળ $Y$-અક્ષ પર $3$ નો અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી તે $(0,3)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $0^2 + 3^2 + 2g(0) + 2f(3) + 0 = 0$ $\Rightarrow 9 + 6f = 0$ $\Rightarrow f = -\frac{3}{2}$.
$g=1$ અને $f=-\frac{3}{2}$ ની કિંમત વ્યાપક સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2+2(1)x+2(-\frac{3}{2})y+0=0$.
આથી સાદું રૂપ આપતા $x^2+y^2+2x-3y=0$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x - 4y + 4 = 0$ અને $L_2: 6x - 8y - 7 = 0$ છે.
$L_2$ ને $3x - 4y - \frac{7}{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાઓ સમાંતર છે અને વર્તુળના સ્પર્શકો છે,તેથી તેમની વચ્ચેનું અંતર વર્તુળના વ્યાસ $D$ જેટલું થાય.
$D = \frac{|4 - (-7/2)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|4 + 3.5|}{5} = \frac{7.5}{5} = 1.5$.
વ્યાસ $D = 1.5$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$ એકમ થાય.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=(8)^2$ ની ત્રિજ્યા $r=8$ અને કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
બિંદુ $P$ ના યામ $\theta = \frac{2\pi}{3}$ માટે:
$P \equiv (8 \cos \frac{2\pi}{3}, 8 \sin \frac{2\pi}{3}) = (-4, 4\sqrt{3})$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-4x + 4\sqrt{3}y = 64$.
$-4$ વડે ભાગતા: $x - \sqrt{3}y + 16 = 0$ મળે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-10y+25=0$ છે.
આને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $C = (2, 5)$ મળે છે.
ધારો કે $M(1, 2)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
જીવા એ બિંદુ $M$ પર ત્રિજ્યા $CM$ ને લંબ હોય છે.
$CM$ નો ઢાળ $m_{CM} = \frac{2-5}{1-2} = \frac{-3}{-1} = 3$ છે.
જીવા $AB$ એ $CM$ ને લંબ હોવાથી,જીવા $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = -\frac{1}{m_{CM}} = -\frac{1}{3}$ થાય.
બિંદુ $M(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ:
$y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 1)$
$3(y - 2) = -(x - 1)$
$3y - 6 = -x + 1$
$x + 3y = 7$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, -5)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2^2 + (-5)^2 - 20} = 3$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 - (-24)} = 7$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = 10$ છે.
અહીં $d = r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-4x+10y+20) - (x^2+y^2+8x-6y-24) = 0$.
$-12x + 16y + 44 = 0$.
$-4$ વડે ભાગતા,$3x - 4y - 11 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: (x-2)^2 + (y-3)^2 = r^2$
$S_2: (x-4)^2 + (y-5)^2 = r^2$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 - [(x-4)^2 + (y-5)^2] = r^2 - r^2$
$(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) - (x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25) = 0$
$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13 - x^2 + 8x - y^2 + 10y - 41 = 0$
$4x + 4y - 28 = 0$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y - 7 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-10x=0$ છે.
$y=2x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+(2x)^2-10x=0$
$x^2+4x^2-10x=0$
$5x^2-10x=0$
$5x(x-2)=0$
તેથી,$x=0$ અથવા $x=2$.
જો $x=0$,તો $y=2(0)=0$. જો $x=2$,તો $y=2(2)=4$.
જીવાના અંત્યબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(2,4)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ છે.
બિંદુઓ $(0,0)$ અને $(2,4)$ મૂકતા:
$(x-0)(x-2)+(y-0)(y-4)=0$
$x(x-2)+y(y-4)=0$
$x^2-2x+y^2-4y=0$
$x^2+y^2-2x-4y=0$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ બિંદુઓ $(0,0), (x,0)$ અને $(0,y)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્રથી દરેક બિંદુનું અંતર ત્રિજ્યા $R$ જેટલું થાય.
$h^2 + k^2 = (h-x)^2 + k^2 = h^2 + (k-y)^2$
$h^2 + k^2 = (h-x)^2 + k^2$ પરથી,$h^2 = h^2 - 2hx + x^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2hx = x^2$,તેથી $h = \frac{x}{2}$.
$h^2 + k^2 = h^2 + (k-y)^2$ પરથી,$k^2 = k^2 - 2ky + y^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2ky = y^2$,તેથી $k = \frac{y}{2}$.
આમ,કેન્દ્રના યામ $\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(1+i)^5(1-i)^7$
$= (1+i)^5(1-i)^5(1-i)^2$
$= [(1+i)(1-i)]^5(1-2i+i^2)$
$= (1-i^2)^5(1-2i-1)$
$= (1-(-1))^5(-2i)$
$= (2)^5(-2i)$
$= 32(-2i) = -64i$

(A) આપેલ છે $z(2-i) = 3+i$.
$z = \frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6+3i+2i+i^2}{4+1} = \frac{6+5i-1}{5} = \frac{5+5i}{5} = 1+i$.
હવે,$z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો: $z = 1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{38} = (\sqrt{2})^{38} \left( \cos \frac{38\pi}{4} + i \sin \frac{38\pi}{4} \right)$.
$z^{38} = 2^{19} \left( \cos \frac{19\pi}{2} + i \sin \frac{19\pi}{2} \right)$.
કારણ કે $\frac{19\pi}{2} = 9\pi + \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos \frac{19\pi}{2} = 0$ અને $\sin \frac{19\pi}{2} = -1$.
$z^{38} = 2^{19} (0 + i(-1)) = -2^{19} i$.

(B) આપેલ છે $x = 1 + 2i$,તેથી $x - 1 = 2i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 1)^2 = (2i)^2$,જેનો અર્થ થાય છે $x^2 - 2x + 1 = -4$,અથવા $x^2 - 2x + 5 = 0$.
હવે,$x^3 + 7x^2 - x + 16$ ને $x^2 - 2x + 5$ વડે ભાગતા:
$x^3 + 7x^2 - x + 16 = (x^2 - 2x + 5)(x + 9) + (12x - 29)$.
કારણ કે $x^2 - 2x + 5 = 0$ છે,તેથી પદાવલિ $12x - 29$ માં પરિણમે છે.
$x = 1 + 2i$ મૂકતા:
$12(1 + 2i) - 29 = 12 + 24i - 29 = -17 + 24i$.

(A) ધારો કે $\sqrt{-5-12i} = a+ib$,જ્યાં $a, b \in \mathbb{R}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a+ib)^2 = -5-12i$.
$(a^2-b^2) + i(2ab) = -5-12i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $a^2-b^2 = -5$ અને $2ab = -12$,એટલે કે $ab = -6$.
$b = -6/a$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,$a^2 - (-6/a)^2 = -5$.
$a^2 - 36/a^2 = -5 \implies a^4 + 5a^2 - 36 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(a^2+9)(a^2-4) = 0$.
$a \in \mathbb{R}$ હોવાથી,$a^2 = 4$,તેથી $a = \pm 2$.
જો $a = 2$,તો $b = -6/2 = -3$. જો $a = -2$,તો $b = -6/(-2) = 3$.
આમ,વર્ગમૂળ $\pm(2-3i)$ છે.

(C) આપેલ છે: $\frac{3+2i}{1+i} = \frac{1}{2}(x+iy)$
$\therefore x+iy = \frac{2(3+2i)}{1+i} \times \frac{1-i}{1-i}$
$= \frac{2(3 - 3i + 2i - 2i^2)}{1 - i^2}$
$= \frac{2(3 - i + 2)}{1 + 1} = \frac{2(5 - i)}{2} = 5 - i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 5$ અને $y = -1$ મળે છે.
તેથી,$x - y = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$.

(D) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુથી અંતર $r = 2$ અને કોણાંક $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$z = 2 \left( \cos \frac{5 \pi}{6} + i \sin \frac{5 \pi}{6} \right)$ મળે.
કારણ કે $\cos \frac{5 \pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \frac{5 \pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$z = 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} + i$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^2=0$,તેથી $1+\omega=-\omega^2$.
આપેલ પદમાં આ કિંમત મૂકતા:
$(1+\omega)^7 = (-\omega^2)^7$
$= (-1)^7 \times (\omega^2)^7$
$= -1 \times \omega^{14}$
$\omega^3=1$ હોવાથી,$\omega^{14} = \omega^{12} \times \omega^2 = (\omega^3)^4 \times \omega^2 = 1^4 \times \omega^2 = \omega^2$ થાય.
આમ,$(1+\omega)^7 = -\omega^2$.
$1+\omega+\omega^2=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\omega^2 = 1+\omega$ મળે.
$1+\omega$ ની સરખામણી $A+B\omega$ સાથે કરતા,$A=1$ અને $B=1$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1+\omega^2 = -\omega$ અને $\omega^3 = 1$.
આપેલ પદાવલિ: $E = (3+5\omega+3\omega^2)^2 + (3+3\omega+5\omega^2)^2$
$3(1+\omega+\omega^2) = 0$ નો ઉપયોગ કરીને પદોને ગોઠવતા:
$E = (3(1+\omega+\omega^2) + 2\omega)^2 + (3(1+\omega+\omega^2) + 2\omega^2)^2$
$E = (0 + 2\omega)^2 + (0 + 2\omega^2)^2$
$E = 4\omega^2 + 4\omega^4$
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^4 = \omega$ થાય.
$E = 4\omega^2 + 4\omega = 4(\omega^2 + \omega)$
$1+\omega+\omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega^2 + \omega = -1$ થાય.
$E = 4(-1) = -4$.

(B) આપેલ છે કે $z=x+iy$ અને $|z+1|=1$.
$z=x+iy$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$|(x+1)+iy|=1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(x+1)^2+y^2=1^2$.
આ વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h,k)=(-1,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $(z-2-3i)$ નો કંપવિસ્તાર $\frac{3\pi}{4}$ છે અને $z=x+iy$ છે.
$z$ ની કિંમત મૂકતા,$(x-2) + i(y-3)$ મળે.
$\text{arg}((x-2) + i(y-3)) = \frac{3\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{3\pi}{4}$ થાય.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$.
આથી $y-3 = -(x-2)$,જેનું સાદું રૂપ $y-3 = -x+2$ થાય છે.
તેથી,$x+y=5$.

(A) અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ $5$ વર્ષ છે.
પ્રારંભિક જથ્થો $(N_0)$ $64$ gms છે.
કુલ સમય $(t)$ $15$ વર્ષ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલો જથ્થો $(N)$ સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = 64 \times (\frac{1}{2})^3 = 64 \times \frac{1}{8} = 8$ gms.
તેથી,$15$ વર્ષ પછી બાકી રહેલો જથ્થો $8$ gms છે.

(C) $\lim _{x \rightarrow \infty} (\sqrt{x^2+5x-7}-x)$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{x^2+5x-7}-x)(\sqrt{x^2+5x-7}+x)}{\sqrt{x^2+5x-7}+x}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+5x-7-x^2}{\sqrt{x^2+5x-7}+x}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5x-7}{\sqrt{x^2+5x-7}+x}$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5-\frac{7}{x}}{\sqrt{1+\frac{5}{x}-\frac{7}{x^2}}+1}$
જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $\frac{1}{x} \rightarrow 0$ અને $\frac{1}{x^2} \rightarrow 0$:
$= \frac{5-0}{\sqrt{1+0-0}+1} = \frac{5}{1+1} = \frac{5}{2}$

(C) આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{2 x^2+x-3}$
પ્રથમ,છેદના અવયવ પાડો: $2x^2+x-3 = (x-1)(2x+3)$
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{(x-1)(2 x+3)}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x-1) = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$,તેથી: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(2 x+3)}$
સામાન્ય પદ $(\sqrt{x}-1)$ ને દૂર કરતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x-3}{(\sqrt{x}+1)(2 x+3)}$
હવે,$x=1$ મૂકતા: $\frac{2(1)-3}{(\sqrt{1}+1)(2(1)+3)} = \frac{-1}{(2)(5)} = \frac{-1}{10}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત લક્ષનું સૂત્ર: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = n a^{n-1}$ છે.
આપેલ પદાવલિ: $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^k-5^k}{x-5} = 500$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $k(5)^{k-1} = 500$.
આપણે $500$ ને $4 \times 125 = 4 \times 5^3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$k(5)^{k-1}$ ની સરખામણી $4(5)^3$ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $k = 4$ અને $k-1 = 3$,જે સુસંગત છે.
તેથી,$k$ ની કિંમત $4$ છે.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 2}(x-1)^{\frac{1}{3x-6}}$.
અહીં સ્વરૂપ $1^{\infty}$ હોવાથી,આપણે $\lim _{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow a} g(x)(f(x)-1)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$f(x) = x-1$ અને $g(x) = \frac{1}{3x-6}$.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{3(x-2)} (x-1-1)}$.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{3(x-2)}}$.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{3}} = e^{\frac{1}{3}}$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{a b^x - a^x b}{x^2 - 1}$.
$x = 1$ આગળ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$' Hospital નો નિયમ વાપરીશું:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}(a b^x - a^x b)}{\frac{d}{dx}(x^2 - 1)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{a b^x \ln b - b a^x \ln a}{2x}$
$x = 1$ મૂકતા:
$L = \frac{a b^1 \ln b - b a^1 \ln a}{2(1)}$
$L = \frac{ab \ln b - ab \ln a}{2}$
$L = \frac{ab}{2} (\ln b - \ln a)$
$L = \frac{ab}{2} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$

(A) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 1} \left[\frac{\sqrt{x}-1}{\log x}\right]$
જ્યારે $x \rightarrow 1$ હોય ત્યારે આ સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L'\text{Hospital's rule}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x}-1)}{\frac{d}{dx}(\log x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{x}}$
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x}{2\sqrt{x}} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{2}$
$= \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (m x)-\cos (n x)}{x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin \frac{(m+n) x}{2} \sin \frac{(m-n) x}{2}}{x^2}$
$= -2 \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin \frac{(m+n)x}{2}}{x} \right) \left( \frac{\sin \frac{(m-n)x}{2}}{x} \right)$
અંશ અને છેદને અનુક્રમે $\frac{m+n}{2}$ અને $\frac{m-n}{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= -2 \left( \frac{m+n}{2} \right) \left( \frac{m-n}{2} \right) \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin \frac{(m+n)x}{2}}{\frac{(m+n)x}{2}} \right) \left( \frac{\sin \frac{(m-n)x}{2}}{\frac{(m-n)x}{2}} \right)$
$= -2 \left( \frac{m^2-n^2}{4} \right) (1)(1) = \frac{n^2-m^2}{2}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$.
અંશ અને છેદમાં આ સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2 \sin^2(x^2/2)}}{2 \sin^2(x/2)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2} |\sin(x^2/2)|}{2 \sin^2(x/2)}$.
જેમ કે $x \rightarrow 0$,$\sin(x^2/2) > 0$,તેથી આપણે માનાંક દૂર કરી શકીએ છીએ.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2} \sin(x^2/2)}{2 \sin^2(x/2)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x^2/2)}{x^2/2} \cdot \frac{x^2/2}{\sin^2(x/2)}$.
$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2/2}{(\sin(x/2))^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{x/2}{\sin(x/2)} \right)^2 \cdot 4 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(B) પ્રથમ,આપણે $a$ ની કિંમત શોધીએ:
$a = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+n}{2n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}$.
ત્યારબાદ,આપણે $b$ ની કિંમત શોધીએ:
$b = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$a = \frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{3}$.
તેથી,$2a = 2(\frac{1}{2}) = 1$ અને $3b = 3(\frac{1}{3}) = 1$.
આમ,$2a = 3b$.

(A) સુરેખ અસમતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1) x+y \geq 1$
$2) 7x+9y \leq 63$
$3) y \leq 5$
$4) x \leq 6$
$5) x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે સીમાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
- રેખા $x+y=1$ એ $(1,0)$ અને $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ $x+y \geq 1$ એ ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
- રેખા $7x+9y=63$ એ $(9,0)$ અને $(0,7)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ $7x+9y \leq 63$ એ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
- રેખાઓ $x=6$ અને $y=5$ અનુક્રમે શિરોલંબ અને આડી રેખાઓ છે,જે પ્રદેશને મર્યાદિત કરે છે.
- શરતો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
આ રેખાઓ દોરીને અને અસમતાઓને ધ્યાનમાં લેતા,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો બંધ બહુકોણ છે જે તમામ શરતોને સંતોષે છે. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,ઉકેલની આકૃતિ (જે વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે) આ તમામ અર્ધ-તલોના છેદને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) છાયાંકિત પ્રદેશ માટે સાચી સુરેખ અસમતાઓ નક્કી કરવા માટે,આપણે સીમા રેખાઓ અને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ની સાપેક્ષમાં છાયાંકિત વિસ્તારની દિશાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$2$. રેખા $3x + 4y = 18$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $3(0) + 4(0) = 0 < 18$ નું પાલન કરે છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉગમબિંદુ તરફની બાજુએ છે,તેથી અસમતા $3x + 4y \leq 18$ છે.
$3$. રેખા $x - 6y = 3$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $0 - 0 = 0 < 3$ નું પાલન કરે છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુની બાજુએ છે,તેથી અસમતા $x - 6y \leq 3$ છે.
$4$. રેખા $2x + 3y = 3$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $2(0) + 3(0) = 0 < 3$ નું પાલન કરે છે. જોકે,છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુએ છે,તેથી અસમતા $2x + 3y \geq 3$ છે.
$5$. રેખા $-7x + 14y = 14$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $-7(0) + 14(0) = 0 < 14$ નું પાલન કરે છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુની બાજુએ છે,તેથી અસમતા $-7x + 14y \leq 14$ છે.
આ શરતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ તમામ શરતોને સંતોષે છે.

(D) સામાન્ય પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x+y \geq 5$: આ રેખા $x+y=5$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે. કારણ કે $(0,0)$ આનું સમાધાન કરતું નથી ($0 \geq 5$ ખોટું છે),તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુએ છે.
$2$. $y \leq 4$: આ રેખા $y=4$ પર અથવા તેની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$3$. $x \geq 2$: આ રેખા $x=2$ પર અથવા તેની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$4$. $x, y \geq 0$: આ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
આ રેખાઓ દોરવાથી,આપણે આકૃતિમાં છાયાંકિત પ્રદેશ જોઈએ છીએ. આ પ્રદેશ રેખાઓ $x=2$,$y=4$,અને $x+y=5$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. આ પ્રદેશ આ રેખાઓ દ્વારા બંધ હોવાથી,તે એક સીમિત પ્રદેશ છે. વધુમાં,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છાયાંકિત પ્રદેશમાં આવતું નથી,તેથી તે ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુએ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સામાન્ય પ્રદેશ નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $x+2y \geq 4$: સીમા રેખા $x+2y=4$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા,આપણને $0+0 \geq 4$ મળે છે,જે ખોટું છે. તેથી,પ્રદેશ રેખાની ઉગમબિંદુથી વિરુદ્ધ તરફ છે.
$2$. $2x-y \leq 6$: સીમા રેખા $2x-y=6$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા,આપણને $0-0 \leq 6$ મળે છે,જે સાચું છે. તેથી,પ્રદેશ રેખાની ઉગમબિંદુ તરફ છે.
$3$. $x, y > 0$: આ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
આ પ્રદેશોના છેદને જોતા,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ કોઈ સીમિત સીમા દ્વારા બંધાયેલો નથી,એટલે કે તે અસીમિત છે. કારણ કે આ પ્રદેશમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થતો નથી અને તે પ્રથમ ચરણમાં આ અર્ધ-તલોના છેદ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તે ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ તરફનો અસીમિત પ્રદેશ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પ્રદેશના સ્વરૂપને નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x \geq 6$: આ શિરોલંબ રેખા $x = 6$ ની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$2$. $y \geq 3$: આ આડી રેખા $y = 3$ ની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$3$. $2x + y \geq 10$: આ રેખા $2x + y = 10$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$4$. $x \geq 0, y \geq 0$: આ પ્રથમ ચરણ દર્શાવે છે.
આ રેખાઓને આલેખપત્ર પર દોરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પ્રદેશોનો છેદબિંદુ $(6, 3)$ બિંદુથી શરૂ થાય છે અને ધન $x$ અને $y$ દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે.
કારણ કે આ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મર્યાદિત નથી અને તે અનંત સુધી વિસ્તરે છે,તેથી તે એક અસીમિત (unbounded) પ્રદેશ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે તાર્કિક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ:
$(p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv ((p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)) \vee (\sim p \wedge q)$
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (પૂરક નિયમ):
$\equiv ((p \vee q) \wedge T) \vee (\sim p \wedge q)$
$\equiv (p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$
ફરીથી વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv (p \vee q \vee \sim p) \wedge (p \vee q \vee q)$
કારણ કે $(p \vee \sim p) \equiv T$ અને $(q \vee q) \equiv q$ (સ્વયંઘાતી નિયમ):
$\equiv (T \vee q) \wedge (p \vee q)$
કારણ કે $(T \vee q) \equiv T$:
$\equiv T \wedge (p \vee q)$
$\equiv p \vee q$
તેથી,આ પદાવલિ $p \vee q$ ને સમકક્ષ છે.

(D) તાર્કિક પદાવલિ $p \wedge (\sim p \vee \sim q)$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે તર્કશાસ્ત્રના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$p \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge \sim p) \vee (p \wedge \sim q)$.
કારણ કે $(p \wedge \sim p)$ એ વિરોધાભાસ છે,તેથી તે $F$ (અસત્ય) ને સમાન છે.
તેથી,પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$F \vee (p \wedge \sim q) \equiv p \wedge \sim q$.
આમ,સાચી પદાવલિ $p \wedge \sim q$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન '$x \in A \cap B$' છે અને $q$ એ વિધાન '$x \in A \text{ and } x \in B$' છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ સ્વરૂપમાં છે.
શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નો નિષેધ $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$p$ એ '$x \in A \cap B$' છે અને $\sim q$ એ '$x \in A \text{ and } x \in B$' નો નિષેધ છે,જે ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ '$x \notin A \text{ or } x \notin B$' થાય છે.
તેથી,નિષેધ '$x \in A \cap B \text{ and } (x \notin A \text{ or } x \notin B)$' છે.

(C) આપેલ વિધાનો:
$p$: આજે વરસાદ પડે છે
$q$: હું શાળાએ જાઉં છું
$r$: હું મારા મિત્રને મળીશ
$s$: હું ફિલ્મ જોવા જઈશ
વિધાન છે: "જો (આજે વરસાદ નહીં પડે અથવા હું શાળાએ નહીં જાઉં),તો (હું મારા મિત્રને મળીશ અને હું ફિલ્મ જોવા જઈશ)."
સાંકેતિક રીતે:
"આજે વરસાદ નહીં પડે" એટલે $\sim p$.
"હું શાળાએ નહીં જાઉં" એટલે $\sim q$.
"હું મારા મિત્રને મળીશ" એટલે $r$.
"હું ફિલ્મ જોવા જઈશ" એટલે $s$.
તાર્કિક જોડાણોનો ઉપયોગ કરીને:
$(\sim p \vee \sim q) \rightarrow (r \wedge s)$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim p \vee \sim q \equiv \sim(p \wedge q)$.
તેથી,સાંકેતિક સ્વરૂપ $\sim(p \wedge q) \rightarrow (r \wedge s)$ છે.

(D) તાર્કિક સમતુલ્યતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરીને,
$(p \wedge q) \rightarrow (\sim p \vee r)$ નું નિષેધ $(p \wedge q) \wedge \sim(\sim p \vee r)$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(\sim p \vee r) \equiv p \wedge \sim r$.
તેથી,$(p \wedge q) \wedge (p \wedge \sim r) \equiv p \wedge q \wedge (\sim r)$.

(C) આપેલ છે: $p = T, q = T, r = F$.
દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$(A)$ $(p \vee q) \vee r \equiv (T \vee T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$.
$(B)$ $(p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (T \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(C)$ $(p$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow q \equiv (T$ $\rightarrow F)$ $\rightarrow T \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$.
$(D)$ $(p \leftrightarrow q)$ $\rightarrow r \equiv (T \leftrightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે કયું વિધાન સાચું છે,અને વિકલ્પ $(C)$ નું મૂલ્ય $T$ મળે છે,તેથી વિકલ્પ $(C)$ સાચું વિધાન છે.

(C) સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફાયર વિધાન $\forall x \in S, P(x)$ નું નકારાત્મક વિધાન $\exists x \in S$ એવું છે કે $\neg P(x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિધાન $\forall x \in \mathbb{R}, x^2+1=0$ છે.
નિયમ લાગુ કરતાં,તેનું નકારાત્મક વિધાન $\exists x \in \mathbb{R}$ એવું છે કે $x^2+1 \neq 0$ થાય.

(A) આપેલ તાર્કિક વિધાન: $(p$ $\rightarrow q) \wedge (p$ $\rightarrow \sim p)$
ગર્ભિત નિયમ $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(p \rightarrow q) \equiv \sim p \vee q$
$(p \rightarrow \sim p) \equiv \sim p \vee \sim p \equiv \sim p$
હવે,પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $(\sim p \vee q) \wedge (\sim p)$
શોષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $A \wedge (A \vee B) \equiv A$
અહીં,$A = \sim p$ અને $B = q$ લો.
તેથી,$(\sim p) \wedge (\sim p \vee q) \equiv \sim p$
આમ,આ વિધાન $\sim p$ ને સમકક્ષ છે.

(B) આપેલ છે: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
પ્રથમ પદાવલિ $\sim(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \wedge s)$ માટે:
$\sim(T \rightarrow T) \leftrightarrow (T \wedge F)$
$= \sim(T) \leftrightarrow (F)$
$= F \leftrightarrow F = T$.
બીજી પદાવલિ $(\sim p \rightarrow q) \wedge (r \leftrightarrow s)$ માટે:
$(\sim T \rightarrow T) \wedge (F \leftrightarrow F)$
$= (F \rightarrow T) \wedge (T)$
$= T \wedge T = T$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $T, T$ છે.

(C) આપેલ છે કે $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a : \sim (p \wedge \sim r) \vee (\sim q \vee s)$ માટે:
$a \equiv \sim (T \wedge \sim F) \vee (\sim T \vee F)$
$a \equiv \sim (T \wedge T) \vee (F \vee F)$
$a \equiv \sim T \vee F$
$a \equiv F \vee F$
$a \equiv F$.
$b : (p \vee s) \leftrightarrow (q \wedge r)$ માટે:
$b \equiv (T \vee F) \leftrightarrow (T \wedge F)$
$b \equiv T \leftrightarrow F$
$b \equiv F$.
આમ,$a$ અને $b$ ના સત્ય મૂલ્યો અનુક્રમે $F$ અને $F$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = 4xe^{x}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 4(e^{x} + xe^{x}) = 4e^{x}(1 + x)$.
હવે,બિંદુ $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ આગળ ઢાળની કિંમત શોધીએ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=-1} = 4e^{-1}(1 + (-1)) = 4e^{-1}(0) = 0$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ હોવાથી,સ્પર્શક એ $X$-અક્ષને સમાંતર સમક્ષિતિજ રેખા છે.
બિંદુ $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ માંથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ રેખાનું સમીકરણ $y = y_{1}$ થાય,એટલે કે $y = -\frac{4}{e}$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=x^3-3x^2-9x+5$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-6x-9$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0
\Rightarrow 3x^2-6x-9 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$x^2-2x-3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-3)(x+1) = 0$.
આમ,$x$ ની કિંમતો $x=3$ અને $x=-1$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર: $y = \sqrt{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.
પ્રથમ,વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવો:
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot 2 = 2\sqrt{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,ઢાળ $m$:
$m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2} \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -2$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ $y$-યામ મેળવો:
$y = \sqrt{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1$.
સ્પર્શક બિંદુ $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$:
$(y - 1) = -2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
$y - 1 = -2x + \frac{\pi}{2}$
$2x + y - \frac{\pi}{2} - 1 = 0$.

(D) આપેલ વક્ર $y=ax^3+bx^2+cx+5$ છે. તે $X$-અક્ષને $P(-2,0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $(-2,0)$ બિંદુ વક્ર પર છે અને આ બિંદુએ ઢાળ $0$ છે.
$P(-2,0)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = a(-8) + b(4) + c(-2) + 5 \Rightarrow -8a + 4b - 2c = -5 \Rightarrow 8a - 4b + 2c = 5 \quad (1)$.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ છે. $P(-2,0)$ પર,$\frac{dy}{dx} = 0$: $3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \quad (2)$.
વક્ર $Y$-અક્ષને $Q(0,k)$ પર છેદે છે. $Q$ પર,$x=0$ અને ઢાળ $3$ છે: $\frac{dy}{dx}|_{x=0} = 3(a)(0)^2 + 2(b)(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3$.
$c=3$ ને $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$(1): 8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1 \quad (3)$.
$(2): 12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3 \quad (4)$.
$(4)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $(12a - 8a) = -3 - (-1) \Rightarrow 4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ ને $(3)$ માં મૂકતા: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 \Rightarrow -4 - 4b = -1 \Rightarrow -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
આમ,$a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{4}, c = 3$.

(B) આપેલ છે કે ઘનફળમાં થતો ફેરફાર $\frac{dV}{dt} = 36 \ m^3/min$ છે અને પાયાની ત્રિજ્યા $r = 3 \ m$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ મળે છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા,$36 = \pi \times (3)^2 \times \frac{dh}{dt}$.
$36 = 9 \pi \times \frac{dh}{dt}$.
તેથી,$\frac{dh}{dt} = \frac{36}{9 \pi} = \frac{4}{\pi} \ m/min$.

(A) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 10 \text{ cm}$ હોય તે ક્ષણે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 10 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi \times 10 \times 2 = 40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$.
આમ, ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર $40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$ છે.

(D) કણનું સ્થાન $S(t) = at^2 + bt + 6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,પ્રારંભિક સ્થાન $S(0) = 6 \text{ m}$ છે.
$t$ સમયે શરૂઆતના બિંદુથી સ્થાનાંતર $S(t) - S(0) = at^2 + bt$ છે.
આપેલ છે કે $t = 4 \text{ s}$ પર,સ્થાનાંતર $16 \text{ m}$ છે,તેથી $a(4)^2 + b(4) = 16 \Rightarrow 16a + 4b = 16 \Rightarrow 4a + b = 4$ (સમીકરણ $1$).
વેગ $v(t) = \frac{dS}{dt} = 2at + b$ છે.
કણ $t = 4 \text{ s}$ પર સ્થિર થાય છે,તેથી $v(4) = 0 \Rightarrow 2a(4) + b = 0 \Rightarrow 8a + b = 0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(8a + b) - (4a + b) = 0 - 4 \Rightarrow 4a = -4 \Rightarrow a = -1$.
$a = -1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $8(-1) + b = 0 \Rightarrow b = 8$.
પ્રવેગ $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a = 2(-1) = -2 \text{ m/s}^2$.
જો પ્રશ્ન મુજબ $S(4) = 16$ લેવામાં આવે,તો $16a + 4b + 6 = 16 \Rightarrow 16a + 4b = 10 \Rightarrow 8a + 2b = 5$. $8a + 2b = 5$ અને $8a + b = 0$ ઉકેલતા $b = 5$ અને $a = -5/8$ મળે છે. તેથી,$a_{acc} = 2a = -5/4 \text{ m/s}^2$. જે વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(D) આપેલ છે કે પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dA}{dt} = 2 \text{ cm}^2/\text{sec}$ છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 = 8\pi(6) \frac{dr}{dt} \implies 2 = 48\pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi} \text{ cm/sec}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
$r = 6$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi}$ મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(6)^2 \left(\frac{1}{24\pi}\right) = 4\pi(36) \left(\frac{1}{24\pi}\right) = \frac{144\pi}{24\pi} = 6 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(D) ગોળાકાર બરફના ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 8 \text{ cm}^3/\text{sec}$ અને $r = 2 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$8 = 4 \pi (2)^2 \frac{dr}{dt}$.
$8 = 16 \pi \frac{dr}{dt}$.
તેથી,$\frac{dr}{dt} = \frac{8}{16\pi} = \frac{1}{2\pi} \text{ cm/sec}$.

(C) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે અને $S$ એ ગોળાકાર વરસાદના ટીપાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે. આપણને આપેલ છે કે બાષ્પીભવનનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dV}{dt} = -kS$,જ્યાં $k > 0$ એક અચળાંક છે.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને દરના સમીકરણમાં મૂકતા: $4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k(4\pi r^2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dr}{dt} = -k$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $r = -kt + c$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$r = 3$,તેથી $3 = -k(0) + c \Rightarrow c = 3$.
આમ,$r = -kt + 3$.
$t = 1$ સમયે,$r = 2$,તેથી $2 = -k(1) + 3 \Rightarrow k = 1$.
$k=1$ અને $c=3$ ને $r$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $r = -t + 3$ અથવા $r = 3 - t$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ છે.
વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dA}{dt} = \pi (2r) \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 12 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ ના દરે વધે છે.

(C) કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = 2 + 27t - t^3$ છે.
કણ ક્યારે અટકે છે તે જાણવા માટે,આપણે તે સમય $t$ શોધવો પડશે જ્યારે તેનો વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ શૂન્ય હોય.
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2 + 27t - t^3) = 27 - 3t^2$.
વેગને શૂન્ય લેતા: $27 - 3t^2 = 0$.
$3t^2 = 27 \Rightarrow t^2 = 9$.
સમય $t > 0$ હોવાથી,$t = 3 \text{ સેકન્ડ}$ મળે છે.
હવે,$t = 3 \text{ સેકન્ડ}$ પર કાપેલું અંતર શોધીએ:
$s(3) = 2 + 27(3) - (3)^3$.
$s(3) = 2 + 81 - 27$.
$s(3) = 56 \text{ મીટર}$.
આમ,કણ $56 \text{ મીટર}$ અંતર કાપ્યા પછી અટકી જશે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \cot^{-1} x + x$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) + \frac{d}{dx}(x) = -\frac{1}{1+x^2} + 1$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $f'(x) = \frac{-1 + (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^2 \geq 0$ અને $1+x^2 > 0$ હોવાથી,$f'(x) \geq 0$ થાય છે.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ સમગ્ર વાસ્તવિક રેખા $(-\infty, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$ છે.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
અંશ $= (2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x)$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
અંશ $= 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x$.
અંશ $= 3\lambda(\sin^2 x + \cos^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x) = 3\lambda - 12$.
છેદ $(2 \sin x + 3 \cos x)^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) \geq 0$ નો અર્થ છે કે $3\lambda - 12 \geq 0$.
તેથી,$3\lambda \geq 12$,જે આપણને $\lambda \geq 4$ આપે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \log |\sin x|$ છે,જ્યાં $x \in (0, \pi)$.
અહીં $x \in (0, \pi)$ હોવાથી,$\sin x$ હંમેશા ધન છે,તેથી આપણે $f(x) = \log(\sin x)$ લખી શકીએ.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\cot x > 0$.
અંતરાલ $(0, \pi)$ માં,$\cot x$ એ $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે ધન છે.
આમ,વિધેય $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{-1/x}$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-1/x}) = e^{-1/x} \cdot \frac{d}{dx}(-x^{-1}) = e^{-1/x} \cdot (x^{-2}) = \frac{1}{x^2 e^{1/x}}$.
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $x^2 > 0$ એ તમામ $x \neq 0$ માટે સત્ય છે અને $e^{1/x} > 0$ એ પણ તમામ $x \neq 0$ માટે સત્ય છે,તેથી વિકલન $f'(x) = \frac{1}{x^2 e^{1/x}}$ એ તેના પ્રદેશમાં હંમેશા ધન છે.
વિધેય $f(x) = e^{-1/x}$ નો પ્રદેશ $x = 0$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
તેથી,વિધેય તમામ $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(B) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x + y = 20$,તેથી $y = 20 - x$ થાય.
ધારો કે વિધેય $f(x) = x(20 - x)^3$ છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = (20 - x)^3 + x \cdot 3(20 - x)^2(-1)$
$f'(x) = (20 - x)^2 [20 - x - 3x] = (20 - x)^2 (20 - 4x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 20$ અથવા $x = 5$ મળે છે.
કારણ કે $x=20$ માટે $f(x)=0$ (ન્યૂનતમ) મળે છે,તેથી આપણે $x = 5$ ચકાસીએ.
$x = 5$ માટે,$y = 20 - 5 = 15$ થાય.
આમ,બંને ભાગોનો ગુણાકાર $xy = 5 \times 15 = 75$ થાય.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=2x^3-15x^2-144x-7$ છે.
$f(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય હોય તે માટે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3-15x^2-144x-7) = 6x^2-30x-144$.
$f(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય હોવા માટે,$f'(x) < 0$ થવું જોઈએ:
$6x^2-30x-144 < 0$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2-5x-24 < 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(x-8)(x+3) < 0$.
અહીં શૂન્યો $x=8$ અને $x=-3$ છે.
આ અસમતા $x$ ની કિંમત $(-3, 8)$ અંતરાલમાં હોય ત્યારે સાચી ઠરે છે.
આમ,$f(x)$ એ $(-3, 8)$ અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.

(D) શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તિર્યક ઊંચાઈ $\ell = 3 \text{ cm}$ આપેલ છે,તેથી $\ell^2 = r^2 + h^2$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = 9 - h^2$.
$r^2$ ની કિંમત ઘનફળના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \pi (9 - h^2) h = 3 \pi h - \frac{\pi}{3} h^3$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dV}{dh} = 3 \pi - \pi h^2$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $3 \pi = \pi h^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h^2 = 3$,તેથી $h = \sqrt{3} \text{ cm}$ (કારણ કે ઊંચાઈ ધન હોવી જોઈએ).
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $\frac{d^2V}{dh^2} = -2 \pi h$.
$h = \sqrt{3}$ આગળ,$\frac{d^2V}{dh^2} = -2 \sqrt{3} \pi < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,જ્યારે $h = \sqrt{3} \text{ cm}$ હોય ત્યારે ઘનફળ મહત્તમ થાય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 + ax + b$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ: $f'(x) = 2x + a$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = -a/2$ મળે છે.
બીજું વિકલન $f''(x) = 2 > 0$ હોવાથી,વિધેયને $x = -a/2$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ન્યૂનતમ કિંમત $x = 3$ આગળ મળે છે.
તેથી,$-a/2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a = -6$.
આપેલ છે કે $x = 3$ આગળ વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે,તેથી આપણે આ કિંમતોને મૂળ વિધેયમાં મૂકીએ:
$f(3) = (3)^2 + a(3) + b = 5$.
$a = -6$ મૂકતા:
$9 + (-6)(3) + b = 5$.
$9 - 18 + b = 5$.
$-9 + b = 5$.
$b = 14$.
આમ,$a = -6$ અને $b = 14$ મળે છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં અંતર્ગત છે. શિરોબિંદુ $B$ ના યામ $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ છે.
તેથી,લંબાઈ $AB = 2r \cos \theta$ અને પહોળાઈ $BC = 2r \sin \theta$ થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A(\theta) = AB \times BC = (2r \cos \theta)(2r \sin \theta) = 2r^2 \sin 2\theta$ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A(\theta)$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$A'(\theta) = 4r^2 \cos 2\theta$.
$A'(\theta) = 0$ લેતા,આપણને $\cos 2\theta = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $A''(\theta) = -8r^2 \sin 2\theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$A''(\frac{\pi}{4}) = -8r^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -8r^2 < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ ને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $= 2r^2 \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) = 2r^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2r^2(1) = 2r^2$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વિધેય $y=x^3-\alpha x^2-\beta x+5$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2\alpha x - \beta$.
$x=-2$ અને $x=4$ એ અંતિમ બિંદુઓ હોવાથી,આ કિંમતો પર વિકલન શૂન્ય થાય.
$x=-2$ માટે:
$3(-2)^2 - 2\alpha(-2) - \beta = 0 \implies 12 + 4\alpha - \beta = 0 \implies 4\alpha - \beta = -12$ (સમીકરણ $1$).
$x=4$ માટે:
$3(4)^2 - 2\alpha(4) - \beta = 0 \implies 48 - 8\alpha - \beta = 0 \implies 8\alpha + \beta = 48$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(4\alpha - \beta) + (8\alpha + \beta) = -12 + 48 \implies 12\alpha = 36 \implies \alpha = 3$.
$\alpha = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$4(3) - \beta = -12 \implies 12 - \beta = -12 \implies \beta = 24$.
આમ,$\alpha=3$ અને $\beta=24$ મળે છે.

(A) ધારો કે $10$ ના બે ભાગ $x$ અને $(10-x)$ છે.
વિધેય $f(x) = 2x + (10-x)^2$ લો.
વિધેયનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = 2x + 100 - 20x + x^2 = x^2 - 18x + 100$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,પ્રથમ વિકલન મેળવો: $f'(x) = 2x - 18$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા: $2x - 18 = 0 \implies x = 9$.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = 2$.
અહીં $f''(9) = 2 > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 9$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
પ્રથમ ભાગ $x = 9$ છે અને બીજો ભાગ $10 - 9 = 1$ છે.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $9$ અને $1$ છે.

(A) આપણી પાસે $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f^{\prime}(x)$ શોધીએ છીએ:
$f^{\prime}(x)=\frac{(1+x+x^2)(2x-1)-(1-x+x^2)(2x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$f^{\prime}(x)=\frac{(2x-1+2x^2-x+2x^3-x^2)-(2x+1-2x^2-x+2x^3+x^2)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=\frac{(2x^3+x^2+x-1)-(2x^3-x^2+x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=\frac{2x^2-2}{(1+x+x^2)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=0$ લેતા,આપણને $x^2-1=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=1$ અથવા $x=-1$.
આ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત શોધતા:
$x=1$ માટે,$f(1)=\frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x=-1$ માટે,$f(-1)=\frac{1-(-1)+(-1)^2}{1+(-1)+(-1)^2} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x \log x$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x = 1 + \log x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$1 + \log x = 0 \implies \log x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + \log x) = \frac{1}{x}$.
$x = \frac{1}{e}$ પર $f''(x)$ ની કિંમત તપાસતા:
$f''(\frac{1}{e}) = \frac{1}{1/e} = e$.
કારણ કે $e > 0$,વિધેય $x = \frac{1}{e}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(e^{-1}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$ છે.

(C) જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ અંતરાલો પરના સંકલનોના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો છે જ્યાં વિધેય ઋણ અને ધન હોય છે.
$A = \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$
કારણ કે $x \in [-1, 0]$ માટે $x < 0$ અને $x \in [0, 2]$ માટે $x > 0$ છે,તેથી:
$A = \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} (x) dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$A = (0 - (-\frac{(-1)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - 0)$
$A = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) વક્ર $y=2x-x^2$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y=0$ લઈને $x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$2x-x^2=0 \Rightarrow x(2-x)=0$,જે $x=0$ અને $x=2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^2 (2x-x^2) dx$
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) પરવલય $y=x^2$ અને રેખા $y=x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણોને સરખાવીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^2 = x$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
આનાથી આપણને $x = 0$ અને $x = 1$ મળે છે. છેદબિંદુઓ $O(0, 0)$ અને $P(1, 1)$ છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,રેખા $y = x$ એ પરવલય $y = x^2$ ની ઉપર આવેલી છે.
માગેલ ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^1 (x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) વક્ર $y^2=4x$ અને રેખા $y=x$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $y=x$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^2 = 4x$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x-4) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=4$ છે.
$x=0$ માટે,$y=0$,તેથી ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ એક બિંદુ છે.
$x=4$ માટે,$y=4$,તેથી બિંદુ $P(4,4)$ બીજું બિંદુ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^4 (\sqrt{4x} - x) dx$
$A = 2 \int_0^4 x^{1/2} dx - \int_0^4 x dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^4 - \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4$
$A = 2 \cdot \frac{2}{3} [x^{3/2}]_0^4 - \left[ \frac{16}{2} - 0 \right]$
$A = \frac{4}{3} (4^{3/2}) - 8$
$A = \frac{4}{3} (8) - 8$
$A = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32-24}{3} = \frac{8}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) આ પ્રદેશ પરવલય $y^2=x$,રેખા $y=4$ અને $Y$-અક્ષ $(x=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y=0$ થી $y=4$ સુધી $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું.
પરવલયનું સમીકરણ $x=y^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} x \, dy$
$A = \int_{0}^{4} y^2 \, dy$
$A = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3}$
$A = \frac{64}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) વક્ર $x^2=y$ અને રેખા $y=4x$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીશું.
$x^2 = 4x$ લેતા,આપણને $x^2 - 4x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x(x-4) = 0$. આમ,$x=0$ અને $x=4$ મળે છે.
$x=0$ માટે $y=0$ અને $x=4$ માટે $y=16$ મળે છે. તેથી છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,16)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{4x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \left( 32 - \frac{64}{3} \right)$
$A = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) પ્રથમ ચરણમાં પરવલય $y^2=x$ અને રેખા $x+y=2$ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y = 2-x$ ને $y^2=x$ માં મૂકતા,આપણને $(2-x)^2 = x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 4x + 4 = x$ અથવા $x^2 - 5x + 4 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(x-4)(x-1) = 0$ મળે છે,તેથી $x=1$ અથવા $x=4$.
પ્રથમ ચરણમાં,છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
રેખા $x+y=2$ એ $x$-અક્ષને $(2, 0)$ પર છેદે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી પરવલયનું સંકલન અને $x=1$ થી $x=2$ સુધી રેખાનું સંકલન છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 \sqrt{x} \, dx + \int_1^2 (2-x) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2$
$= \left( \frac{2}{3} - 0 \right) + \left( (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) \right)$
$= \frac{2}{3} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ પરવલયો $y^2=8x$ અને $x^2=8y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = \frac{x^2}{8}$ ને $y^2=8x$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{x^2}{8}\right)^2 = 8x \Rightarrow \frac{x^4}{64} = 8x \Rightarrow x^4 = 512x \Rightarrow x(x^3 - 512) = 0$.
આમ,$x=0$ અથવા $x=8$. છેદબિંદુઓ $O(0,0)$ અને $P(8,8)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=8$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_0^8 (\sqrt{8x} - \frac{x^2}{8}) dx = \int_0^8 (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \frac{x^2}{8}) dx$.
$A = [2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^8 - [\frac{x^3}{24}]_0^8$.
$A = [\frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot x^{3/2}]_0^8 - \frac{512}{24}$.
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (8\sqrt{8}) - \frac{64}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (16\sqrt{2}) - \frac{64}{3} = \frac{128}{3} - \frac{64}{3} = \frac{64}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) પરવલય $y^2=4ax$ છે. નાભિલંબ એ રેખા $x=a$ છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x=0$ થી $x=a$ સુધી સંકલન કરીશું.
પરવલય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું થશે.
$A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \, dx$
$A = 2 \int_{0}^{a} 2\sqrt{a} \sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a} = 4\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \cdot a^{3/2}$
$A = \frac{8}{3} \sqrt{a} \cdot a \sqrt{a} = \frac{8}{3} a^2 \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) કારણ કે $f(x)$ એ $x = \pi$ આગળ સતત છે,તેથી $f(\pi) = \lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$.
ધારો કે $x - \pi = h$. જેમ $x \rightarrow \pi$,તેમ $h \rightarrow 0$.
તેથી $f(\pi) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{4^h + 4^{-h} - 2}{h^2}$.
અંશને $(2^{h/2} - 2^{-h/2})^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી $f(\pi) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{2^{h/2} - 2^{-h/2}}{h} \right)^2$.
આ લક્ષનું મૂલ્ય $\left( \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 2 \right)^2 = (\ln 2)^2$ થાય છે.

(D) $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવું જોઈએ:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (1 + \sin \frac{\pi x}{2}) = 1 + \sin \frac{\pi}{2} = 1 + 1 = 2$.
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} (ax + b) = a(1) + b = a + b$.
તેથી,$a + b = 2$ --- $(1)$
$f(x)$ એ $x = 3$ આગળ સતત હોવા માટે:
$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} (ax + b) = 3a + b$.
$\lim_{x \rightarrow 3^{+}} (6 \tan \frac{x \pi}{12}) = 6 \tan \frac{3 \pi}{12} = 6 \tan \frac{\pi}{4} = 6(1) = 6$.
તેથી,$3a + b = 6$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(3a + b) - (a + b) = 6 - 2$
$2a = 4 \implies a = 2$.
$a = 2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2 + b = 2 \implies b = 0$.
આમ,$a = 2$ અને $b = 0$ મળે છે.

(C) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવું જોઈએ,એટલે કે $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ શોધીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{1+px}-\sqrt{1-px}}{x}$
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ કરણી $\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px}$ વડે ગુણતા:
$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(\sqrt{1+px}-\sqrt{1-px})(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(1+px)-(1-px)}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2p}{\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px}} = \frac{2p}{1+1} = p$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ શોધીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = \frac{-1}{2}$.
બંને લક્ષને સરખાવતા,આપણને $p = \frac{-1}{2}$ મળે છે.

(B) $x \leq -3$ માટે,$f(x) = |x| + 3 = -x + 3$.
$x = -3$ આગળ:
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to -3^-} f(x) = -(-3) + 3 = 6$.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to -3^+} f(x) = -2(-3) = 6$.
વિધેયનું મૂલ્ય: $f(-3) = -(-3) + 3 = 6$.
અહીં $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = -3$ આગળ સતત છે.
$x = 3$ આગળ:
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -2(3) = -6$.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 6(3) + 2 = 20$.
અહીં $\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 3$ આગળ અસતત છે.

(A) $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{4}$ પર સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન હોવી જોઈએ:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} + a$
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b) = 2\left(\frac{\pi}{4}\right) \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) + b = \frac{\pi}{2} + b$
તેમને સરખાવતા: $\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4} \quad \dots(1)$
$f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ પર સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન હોવી જોઈએ:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = 2\left(\frac{\pi}{2}\right) \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} \cot x + b = \pi(0) + b = b$
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x) = a \cos(\pi) - b \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a - b$
તેમને સરખાવતા: $b = -a - b \implies a + 2b = 0 \implies a = -2b \quad \dots(2)$
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$
તેથી $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.

(D) વિધેય $x = 1$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને વિધેયની કિંમત $x = 1$ આગળ સમાન હોવા જોઈએ.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3ax + b) = 3a + b$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (5ax - 2b) = 5a - 2b$
આપેલ છે કે $f(1) = 11$,તેથી:
$3a + b = 11$ (સમીકરણ $1$)
$5a - 2b = 11$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$b = 11 - 3a$. આ કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$5a - 2(11 - 3a) = 11$
$5a - 22 + 6a = 11$
$11a = 33 \implies a = 3$
$a = 3$ ની કિંમત $b = 11 - 3a$ માં મૂકતા:
$b = 11 - 3(3) = 11 - 9 = 2$
આમ,$a = 3$ અને $b = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{(1 + \cos x) - \sin x}{(1 + \cos x) + \sin x}$.
$f(x)$ એ $x = \pi$ આગળ સતત હોવાથી,$f(\pi) = \lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$ થાય.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow \pi} f(x) = \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$
$= \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}$
$= \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$= \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}} = \lim_{x \rightarrow \pi} \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)$
$= \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} \right) = \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$.

(C) $f(x)$ એ $[-\pi, \pi]$ માં સતત હોવા માટે,તે $x = -\pi/2$ અને $x = \pi/2$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$x = -\pi/2$ આગળ:
$\lim_{x \to -\pi/2^-} f(x) = -2 \sin(-\pi/2) = -2(-1) = 2$.
$\lim_{x \to -\pi/2^+} f(x) = a \sin(-\pi/2) + b = -a + b$.
તે સતત હોવાથી,$-a + b = 2$ (સમીકરણ $1$).
$x = \pi/2$ આગળ:
$\lim_{x \to \pi/2^-} f(x) = a \sin(\pi/2) + b = a + b$.
$\lim_{x \to \pi/2^+} f(x) = \cos(\pi/2) = 0$.
તે સતત હોવાથી,$a + b = 0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(-a + b) + (a + b) = 2 + 0 \implies 2b = 2 \implies b = 1$.
સમીકરણ $2$ માં $b = 1$ મુકતા: $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
હવે,$(3a + 2b)^3$ ની કિંમત શોધીએ:
$(3(-1) + 2(1))^3 = (-3 + 2)^3 = (-1)^3 = -1$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} x, & x \le 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$.
$x = 0$ આગળ સાતત્ય માટે:
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 0 = 0$.
વિધેયનું મૂલ્ય $f(0) = 0$.
અહીં $LHL$ = $RHL$ = $f(0)$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ સતત છે.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા માટે:
ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(0-h) - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{-h} = 1$.
જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{0 - 0}{h} = 0$.
અહીં $LHD$ $\neq$ $RHD$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.

(B) ધારો કે $I=\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{5+4 \sin x}$.
$\tan \frac{x}{2}=t$ આદેશ લેતા,$\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = dt$,તેથી $dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ અને $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ મળે.
જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=1$.
$I = \int_0^1 \frac{1}{5+4(\frac{2t}{1+t^2})} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2} = 2 \int_0^1 \frac{dt}{5+5t^2+8t} = \frac{2}{5} \int_0^1 \frac{dt}{t^2+\frac{8}{5}t+1}$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $t^2+\frac{8}{5}t+1 = (t+\frac{4}{5})^2 + (1-\frac{16}{25}) = (t+\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2$.
$I = \frac{2}{5} \int_0^1 \frac{dt}{(t+\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3/5} [\tan^{-1}(\frac{t+4/5}{3/5})]_0^1 = \frac{2}{3} [\tan^{-1}(\frac{5t+4}{3})]_0^1$.
$I = \frac{2}{3} [\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(\frac{4}{3})] = \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{3-4/3}{1+3(4/3)}) = \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{5/3}{5}) = \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{1}{3})$.
$A \tan^{-1} B$ સાથે સરખાવતા,$A=\frac{2}{3}$ અને $B=\frac{1}{3}$ મળે.
તેથી,$A+B = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int_2^{e}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{1}{(\log x)^2}\right] dx$ છે.
ધારો કે $\log x = t$,તેથી $x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ થાય.
જ્યારે $x = 2$,ત્યારે $t = \log 2$ અને જ્યારે $x = e$,ત્યારે $t = 1$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{\log 2}^{1} \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}\right) e^t dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$.
અહીં,$f(t) = \frac{1}{t}$ અને $f'(t) = -\frac{1}{t^2}$ છે.
તેથી,$I = \left[ e^t \cdot \frac{1}{t} \right]_{\log 2}^{1}$ થાય.
$I = \left( e^1 \cdot \frac{1}{1} \right) - \left( e^{\log 2} \cdot \frac{1}{\log 2} \right)$.
$I = e - \frac{2}{\log 2}$.
આને $a + \frac{b}{\log 2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = e$ અને $b = -2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx$.
$x = a \sin^2 \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 2a \sin \theta \cos \theta d\theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = a$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{a - a \sin^2 \theta}{a \sin^2 \theta}} (2a \sin \theta \cos \theta) d\theta$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (2a \sin \theta \cos \theta) d\theta$
$I = 2a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = a \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) d\theta$
$I = a \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = a \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right) = \frac{a\pi}{2}$.
આપેલ છે કે $\int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx = \frac{k}{2}$,તેથી $\frac{a\pi}{2} = \frac{k}{2}$.
આમ,$k = \pi a$.

(D) એક સિક્કાને $4$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. કુલ શક્ય પરિણામો $n(S) = 2^4 = 16$ છે.
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4$ છે.
આપણે $P[X < 3] = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાની જરૂર છે.
$n$ વખત ઉછાળતા $r$ છાપ મેળવવાની રીતો $\binom{n}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X=0$ માટે: $\binom{4}{0} = 1$ રીત.
$X=1$ માટે: $\binom{4}{1} = 4$ રીત.
$X=2$ માટે: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ રીત.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $1 + 4 + 6 = 11$.
તેથી,$P[X < 3] = \frac{11}{16}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{1}{4+3 \cos x} dx$.
$t = \tan(\frac{x}{2})$ આદેશ લેતા,આપણને $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ અને $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$ મળે છે.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $t=0$,અને જ્યારે $x=\pi$,ત્યારે $t \to \infty$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^{\infty} \frac{1}{4+3(\frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$
$I = \int_0^{\infty} \frac{2}{4(1+t^2) + 3(1-t^2)} dt$
$I = \int_0^{\infty} \frac{2}{4+4t^2+3-3t^2} dt = \int_0^{\infty} \frac{2}{7+t^2} dt$
$I = 2 \int_0^{\infty} \frac{1}{(\sqrt{7})^2 + t^2} dt$
સૂત્ર $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{7}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{7}}) \right]_0^{\infty}$
$I = \frac{2}{\sqrt{7}} [\tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(0)] = \frac{2}{\sqrt{7}} [\frac{\pi}{2} - 0] = \frac{\pi}{\sqrt{7}}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 4} \log \left[1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right] d x$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-\tan x}{1+\tan x}$,તેથી સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_0^{\pi / 4} \log \left[1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right] d x = \int_0^{\pi / 4} \log \left(\frac{1+\tan x + 1 - \tan x}{1+\tan x}\right) d x$.
$I = \int_0^{\pi / 4} \log \left(\frac{2}{1+\tan x}\right) d x$.
ગુણધર્મ $\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 4} \log 2 d x - \int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$.
$I = \int_0^{\pi / 4} \log 2 d x - I$.
$2I = \log 2 \int_0^{\pi / 4} d x = \log 2 [x]_0^{\pi / 4} = \frac{\pi}{4} \log 2$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(D) આપણે સંકલન $I = \int_1^4 (|x-1|+|x-2|+|x-3|) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
માનાંક વિધેયો $x=1, 2, 3$ આગળ તેમની વર્તણૂક બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_1^2 ((x-1) + (2-x) + (3-x)) dx + \int_2^3 ((x-1) + (x-2) + (3-x)) dx + \int_3^4 ((x-1) + (x-2) + (x-3)) dx$
સંકલિતોનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \int_1^2 (4-x) dx + \int_2^3 x dx + \int_3^4 (3x-6) dx$
હવે,દરેક ભાગનું સંકલન કરતા:
$\int_1^2 (4-x) dx = [4x - \frac{x^2}{2}]_1^2 = (8-2) - (4-0.5) = 6 - 3.5 = 2.5$
$\int_2^3 x dx = [\frac{x^2}{2}]_2^3 = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = 4.5 - 2 = 2.5$
$\int_3^4 (3x-6) dx = [\frac{3x^2}{2} - 6x]_3^4 = (24-24) - (13.5-18) = 0 - (-4.5) = 4.5$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $I = 2.5 + 2.5 + 4.5 = 9.5 = \frac{19}{2}$.