MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n - 3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $54$ છે,તેથી:
$\frac{n(n - 3)}{2} = 54$
$n(n - 3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 12$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $3x^2 - y^2 = 8$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$6x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{3x}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે,એટલે કે $-\frac{y}{3x}$.
અભિલંબ રેખા $x + 3y = 10$ ને સમાંતર છે,જેનો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $-\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow y = x$.
$y = x$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $3x^2 - x^2 = 8 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
આમ,બિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, -2)$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 2)$ માટે,અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 2 \Rightarrow x + 3y - 8 = 0$.
બિંદુ $(-2, -2)$ માટે,અભિલંબનું સમીકરણ $y + 2 = -\frac{1}{3}(x + 2) \Rightarrow 3y + 6 = -x - 2 \Rightarrow x + 3y + 8 = 0$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x + 3y + 8 = 0$ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે $a$ અને $b$ એ ત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$a+b=x$ અને $ab=y$.
આપેલ છે કે $x^2-c^2=y$,તેથી $x=a+b$ મૂકતા:
$(a+b)^2-c^2=ab$
$a^2+b^2+2ab-c^2=ab$
$a^2+b^2-c^2=-ab$
$2ab$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = -\frac{1}{2}$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
તેથી,$\cos C = -\frac{1}{2}$.
ત્રિકોણનો ખૂણો $C$ હોવાથી,$C = 120^\circ$ અથવા $\frac{2\pi}{3}$ રેડિયન.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{c}{2\sin C}$ દ્વારા મળે છે.
$R = \frac{c}{2\sin(120^\circ)} = \frac{c}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{c}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 5 - |x - 2|$. કારણ કે $|x - 2| \geq 0$,તેથી $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $5$ છે,જે $|x - 2| = 0$ એટલે કે $x = 2$ પર મળે છે. આમ,$\alpha = 2$.
આપેલ છે કે $g(x) = |x + 1|$. કારણ કે $|x + 1| \geq 0$,તેથી $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે,જે $|x + 1| = 0$ એટલે કે $x = -1$ પર મળે છે. આમ,$\beta = -1$.
આપણે $\lim _{x \rightarrow -\alpha \beta} \frac{(x - 1)(x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 6x + 8}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં $-\alpha \beta = -(2)(-1) = 2$,તેથી લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x - 4)}$ થશે.
સામાન્ય અવયવ $(x - 2)$ ને દૂર કરતા,આપણને $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 4}$ મળે.
$x = 2$ મૂકતા,$\frac{(2 - 1)(2 - 3)}{2 - 4} = \frac{(1)(-1)}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) આપણને આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{g(x) f(a)-g(a) f(x)}{x-a}$.
અહીં $f(a)=2, f^{\prime}(a)=1, g(a)=-1, g^{\prime}(a)=2$ આપેલ છે. $x=a$ મુકતા $\frac{g(a)f(a)-g(a)f(a)}{a-a} = \frac{0}{0}$ મળે છે,જે અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{\frac{d}{dx}[g(x) f(a)-g(a) f(x)]}{\frac{d}{dx}[x-a]}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{g^{\prime}(x) f(a)-g(a) f^{\prime}(x)}{1}$
$= g^{\prime}(a) f(a)-g(a) f^{\prime}(a)$
$= (2)(2)-(-1)(1)$
$= 4+1 = 5$.

(D) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $A = P(1 + r)^n$ છે, જ્યાં $r$ એ પ્રતિ સમયગાળાનો વ્યાજ દર છે。
આપેલ છે $P = 200$, $A = 400$, અને $n = 6$ વર્ષ:
$400 = 200(1 + r)^6$
$(1 + r)^6 = 2$
$(1 + r) = 2^{\frac{1}{6}}$
હવે, $n = 33$ વર્ષ પછીની રકમ $A$ શોધવી છે:
$A = 200(1 + r)^{33}$
$A = 200(2^{\frac{1}{6}})^{33}$
$A = 200(2^{\frac{33}{6}})$
$A = 200(2^{\frac{11}{2}})$
$A = 200(2^5 \cdot 2^{\frac{1}{2}})$
$A = 200(32 \sqrt{2})$
$A = 6400 \sqrt{2}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log _2 x + \log _4 x + \log _8 x + \log _{16} x = \frac{25}{36}$
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _a b = \frac{\log b}{\log a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{\log 4} + \frac{\log x}{\log 8} + \frac{\log x}{\log 16} = \frac{25}{36}$
$\log 4 = 2 \log 2$,$\log 8 = 3 \log 2$,અને $\log 16 = 4 \log 2$ હોવાથી:
$\frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{2 \log 2} + \frac{\log x}{3 \log 2} + \frac{\log x}{4 \log 2} = \frac{25}{36}$
$\frac{\log x}{\log 2}$ સામાન્ય લેતા:
$\log _2 x \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{25}{36}$
કૌંસનો સરવાળો: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12}$
તેથી,$\log _2 x \left( \frac{25}{12} \right) = \frac{25}{36}$
$\log _2 x = \frac{1}{3}$
$x = 2^k$ હોવાથી,$\log _2 x = k$ થાય.
તેથી,$k = \frac{1}{3}$.

(A) ${}^{n}C_{r}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય જો $n$ બેકી હોય તો $r = \frac{n}{2}$ પર મળે છે,અને જો $n$ એકી હોય તો $r = \frac{n-1}{2}$ અથવા $r = \frac{n+1}{2}$ પર મળે છે.
${}^{10}C_{r}$ માટે,$n=10$ (બેકી),તેથી મહત્તમ મૂલ્ય $r = \frac{10}{2} = 5$ પર મળે છે.
${}^{11}C_{r}$ માટે,$n=11$ (એકી),તેથી મહત્તમ મૂલ્યો $r = 5$ અને $r = 6$ પર મળે છે.
બંને માટે $r=5$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{{}^{10}C_{5}}{{}^{11}C_{5}} = \frac{\frac{10!}{5!5!}}{\frac{11!}{5!6!}} = \frac{10!}{5!5!} \times \frac{5!6!}{11!} = \frac{10!}{11!} \times \frac{6!}{5!} = \frac{1}{11} \times 6 = \frac{6}{11}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ છે.
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2+2x+1) + (y^2-4y+4) - 4 - 1 - 4 = 0$
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 3^2$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $(h, k) = (-1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ મળે છે.
પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = -1 + 3 \cos \theta$ અને $y = 2 + 3 \sin \theta$ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, y)$ છે.
વર્તુળ $(4, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્રથી આ બિંદુઓનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
$\sqrt{(4-0)^2 + (0-y)^2} = \sqrt{(0-0)^2 + (2-y)^2}$
$16 + y^2 = (2-y)^2$
$16 + y^2 = 4 - 4y + y^2$
$16 = 4 - 4y$
$4y = -12$
$y = -3$
આમ,કેન્દ્ર $(0, -3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(0, -3)$ થી $(0, 2)$ સુધીનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(0-0)^2 + (2 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.
હવે,$r^2 - r + 1$ ની કિંમત:
$r^2 - r + 1 = 5^2 - 5 + 1 = 25 - 5 + 1 = 21$.

(B) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2x+2y-3=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $(x+1)^2+(y+1)^2=5$ મળે છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્ર $C(-1, -1)$ થી રેખા $2x+y+13=0$ નું અંતર $d = \frac{|2(-1) + (-1) + 13|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-2-1+13|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ છે.
વર્તુળ પરના બિંદુનું રેખાથી મહત્તમ અંતર $d + r$ થાય.
તેથી,$\lambda_{max} = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

(D) લંબચોરસ $x=-2, x=4, y=-2, y=5$ દ્વારા બંધાયેલ છે. શિરોબિંદુઓ $A(-2, -2), D(4, -2), B(4, 5), C(-2, 5)$ છે.
લંબચોરસનું કેન્દ્ર વિકર્ણોનું છેદબિંદુ છે,જે $AC$ અથવા $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
કેન્દ્ર $P = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{-2+5}{2}\right) = \left(1, \frac{3}{2}\right)$.
લંબચોરસની પહોળાઈ $4 - (-2) = 6$ એકમ છે,તેથી ઊભી બાજુઓને સ્પર્શવા માટેની ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ એકમ છે.
લંબચોરસની ઊંચાઈ $5 - (-2) = 7$ એકમ છે,તેથી આડી બાજુઓને સ્પર્શવા માટેની ત્રિજ્યા $r_2 = 3.5 = \frac{7}{2}$ એકમ છે.
કિસ્સો $1$: ત્રિજ્યા $r = 3$. સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-1.5)^2 = 3^2 \implies x^2 + y^2 - 2x - 3y - 5.75 = 0$.
કિસ્સો $2$: ત્રિજ્યા $r = 3.5$. સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-1.5)^2 = (3.5)^2 \implies x^2 + y^2 - 2x - 3y - 9 = 0$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x^2+y^2-2x-3y-9=0$ વિકલ્પમાં છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $A \equiv (x_1, y_1)$ અને $B \equiv (x_2, y_2)$.
આપેલ શરત મુજબ,$x^2+2ax-b^2=0$ ના બીજ $x_1, x_2$ છે,તેથી $x_1+x_2 = -2a$ અને $x_1x_2 = -b^2$.
તે જ રીતે,$y^2+2py-q^2=0$ ના બીજ $y_1, y_2$ છે,તેથી $y_1+y_2 = -2p$ અને $y_1y_2 = -q^2$.
$A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ ને વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - x(x_1+x_2) + x_1x_2 + y^2 - y(y_1+y_2) + y_1y_2 = 0$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - x(-2a) - b^2 + y^2 - y(-2p) - q^2 = 0$ મળે.
તેથી,સમીકરણ $x^2+y^2+2ax+2py-(b^2+q^2) = 0$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 - 2x + y^2 - 4y = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{5}$ છે.
રેખા $x - 2y - m = 0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,કેન્દ્ર $(1, 2)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|1 - 2(2) - m|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3 - m|}{\sqrt{5}} = \frac{|m + 3|}{\sqrt{5}}$.
$d < r$ લેતા,$\frac{|m + 3|}{\sqrt{5}} < \sqrt{5}$.
$|m + 3| < 5$.
$-5 < m + 3 < 5$.
$-8 < m < 2$.
$m \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$m$ ના શક્ય મૂલ્યો $\{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ છે.
આમ,કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા $9$ છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2=2^2$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
અંતર $OP = \sqrt{(-4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PBO$ માં,સ્પર્શકની લંબાઈ $PB = \sqrt{OP^2 - OB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ છે.
ચતુષ્કોણ $PAOB$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle PBO$ અને $\triangle PAO$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\triangle PBO \cong \triangle PAO$ હોવાથી,$PAOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle PBO)$ થાય.
$\triangle PBO$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times PB \times OB = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3}$ છે.
તેથી,ચતુષ્કોણ $PAOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=9$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2\alpha x+2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-\alpha, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{\alpha^2+1-1} = |\alpha|$ છે.
વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોવાથી,$C_1C_2 = |r_1 - r_2|$.
$C_1C_2 = \sqrt{\alpha^2 + 1}$.
તેથી,$\sqrt{\alpha^2 + 1} = |3 - |\alpha||$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\alpha^2 + 1 = 9 + \alpha^2 - 6|\alpha|$.
$6|\alpha| = 8 \Rightarrow |\alpha| = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\alpha^3 = \frac{64}{27}$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2ax+c=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{a^2-c}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2by+c=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, -b)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{b^2-c}$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$d(C_1, C_2) = r_1 + r_2$
$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2-c} + \sqrt{b^2-c}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$a^2+b^2 = a^2-c + b^2-c + 2\sqrt{(a^2-c)(b^2-c)}$
$2c = 2\sqrt{(a^2-c)(b^2-c)}$
$c^2 = (a^2-c)(b^2-c)$
$c^2 = a^2b^2 - a^2c - b^2c + c^2$
$a^2b^2 = c(a^2+b^2)$
બંને બાજુ $a^2b^2c$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{c}$

(C) વર્તુળ $x^2+y^2-6x-14y+48=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ એ $(3, 7)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2+7^2-48} = \sqrt{10}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2$ એ $(3, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-3)^2+(7-0)^2} = 7$ છે.
અહીં $r_1 + r_2 = \sqrt{10} + 3 \approx 6.16$ છે.
તેથી $d > r_1 + r_2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાથી અલગ છે.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{2^2+3^2-(-12)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
વર્તુળો બિંદુ $P(-1, -1)$ આગળ અંતઃસ્પર્શતા હોવાથી,$P$ એ $C_1C_2$ નું $R:r = 5:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.
વિભાજનના સૂત્ર મુજબ:
$-1 = \frac{5h - 3(2)}{5-3} \implies -2 = 5h - 6 \implies h = \frac{4}{5}$
$-1 = \frac{5k - 3(3)}{5-3} \implies -2 = 5k - 9 \implies k = \frac{7}{5}$
આમ,કેન્દ્ર $\left(\frac{4}{5}, \frac{7}{5}\right)$ છે.

(B) આપેલ છે $Z_1 = 4i^{40} - 5i^{35} + 6i^{17} + 2$.
$i^4 = 1$ હોવાથી,$i^{40} = (i^4)^{10} = 1$.
$i^{35} = i^{32} \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$.
$i^{17} = i^{16} \times i = 1 \times i = i$.
આ કિંમતો મૂકતા: $Z_1 = 4(1) - 5(-i) + 6(i) + 2 = 4 + 5i + 6i + 2 = 6 + 11i$.
આપેલ છે $Z_2 = -1 + i$.
$Z_1 + Z_2 = (6 + 11i) + (-1 + i) = (6 - 1) + (11i + i) = 5 + 12i$.
માનાંક $|Z_1 + Z_2| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{i^{248}+i^{246}+i^{244}+i^{242}+i^{240}}{i^{249}+i^{247}+i^{245}+i^{243}+i^{241}}$
અંશમાંથી $i^{240}$ અને છેદમાંથી $i^{241}$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{i^{240}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}{i^{241}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}$
સામાન્ય પદ $(i^8+i^6+i^4+i^2+1)$ ને દૂર કરતા:
$= \frac{i^{240}}{i^{241}}$
$= \frac{1}{i}$
અંશ અને છેદને $i$ વડે ગુણતા:
$= \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$

(A) આપેલ છે $x = \frac{5}{1-2i}$. અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1+2i)$ વડે ગુણતા:
$x = \frac{5(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{5(1+2i)}{1+4} = \frac{5(1+2i)}{5} = 1+2i$.
હવે,$x^2$ ની ગણતરી કરતા:
$x^2 = (1+2i)^2 = 1^2 + (2i)^2 + 2(1)(2i) = 1 - 4 + 4i = -3 + 4i$.
હવે,$x^3$ ની ગણતરી કરતા:
$x^3 = x^2 \cdot x = (-3+4i)(1+2i) = -3 - 6i + 4i + 8i^2 = -3 - 2i - 8 = -11 - 2i$.
આ કિંમતોને $x^3 + x^2 - x + 22$ માં મૂકતા:
$(-11 - 2i) + (-3 + 4i) - (1 + 2i) + 22$
$= (-11 - 3 - 1 + 22) + (-2i + 4i - 2i)$
$= 7 + 0i = 7$.

(B) આપેલ છે $z = \frac{(1+i)^2}{a+i} = \frac{1+i^2+2i}{a+i} = \frac{2i}{a+i}$.
માન $|z| = \left| \frac{2i}{a+i} \right| = \frac{|2i|}{|a+i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2+1}}$.
$|z| = \frac{2}{\sqrt{5}}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow a^2+1 = 5$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 2$.
$z$ માં $a = 2$ મૂકતા,$z = \frac{2i}{2+i} = \frac{2i(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4i - 2i^2}{4+1} = \frac{2+4i}{5} = \frac{2}{5} + \frac{4}{5}i$.
તેથી,$\bar{z} = \frac{2}{5} - \frac{4}{5}i$.

(B) આપેલ છે $\operatorname{Im}(z)=10$, ધારો કે $z=x+10i$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{2z-n}{2z+n}=2i-1$ છે.
$z=x+10i$ મૂકતા:
$\frac{2(x+10i)-n}{2(x+10i)+n}=2i-1$
$(2x-n)+20i=(2i-1)(2x+n+20i)$
$(2x-n)+20i = 4xi + 2ni - 40 - 2x - n - 20i$
$(2x-n)+20i = (-2x-n-40) + (4x+2n-20)i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $2x-n = -2x-n-40$ $\Rightarrow 4x = -40$ $\Rightarrow x = -10$.
કાલ્પનિક ભાગ: $20 = 4x+2n-20$.
$x=-10$ મૂકતા: $20 = 4(-10)+2n-20$ $\Rightarrow 20 = -40+2n-20$ $\Rightarrow 2n = 80$ $\Rightarrow n = 40$.
આમ, $n=40$ અને $\operatorname{Re}(z)=x=-10$.

(B) આપેલ છે $Z_1=2+i$ અને $Z_2=3-4i$.
તેમના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યાઓ $\overline{Z_1}=2-i$ અને $\overline{Z_2}=3+4i$ છે.
આપણે $\frac{\overline{Z_1}}{\overline{Z_2}} = \frac{2-i}{3+4i}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(3-4i)$ વડે ગુણતા:
$\frac{2-i}{3+4i} \times \frac{3-4i}{3-4i} = \frac{6-8i-3i+4i^2}{3^2-(4i)^2}$.
કારણ કે $i^2=-1$,તેથી $\frac{6-11i-4}{9+16} = \frac{2-11i}{25} = \frac{2}{25} - \frac{11}{25}i$.
આને $a+bi$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=\frac{2}{25}$ અને $b=\frac{-11}{25}$ મળે છે.
હવે,$-7a+b = -7(\frac{2}{25}) - \frac{11}{25} = \frac{-14-11}{25} = \frac{-25}{25} = -1$.

(C) ધારો કે $z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(\sqrt{3}-i)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(1+i \sqrt{3})(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}$
$z = \frac{\sqrt{3} - i + 3i - i^2 \sqrt{3}}{3 - i^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{\sqrt{3} + 2i + \sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{2\sqrt{3} + 2i}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
$z = a + bi$ નો કોણાંક $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.

(B) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a+bi$ અને $z_2 = c+di$ એકબીજાના અનુબદ્ધ હોય જો $a=c$ અને $b=-d$ થાય.
આપેલ છે કે $z_1 = (3x+2) - (5y-3)i$ અને $z_2 = (6x+3) + (2y-4)i$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા: $3x+2 = 6x+3$ $\Rightarrow 3x = -1$ $\Rightarrow x = -\frac{1}{3}$.
કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $-(5y-3) = -(2y-4)$ $\Rightarrow 5y-3 = 2y-4$ $\Rightarrow 3y = -1$ $\Rightarrow y = -\frac{1}{3}$.
હવે,$\frac{x-y}{x+y} = \frac{-\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})}{-\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3})} = \frac{0}{-\frac{2}{3}} = 0$.

(A) આપેલ છે $z = \frac{(1+i)^2}{a-i} = \frac{1 + 2i + i^2}{a-i} = \frac{2i}{a-i}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા: $|z| = \left| \frac{2i}{a-i} \right| = \frac{|2i|}{|a-i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
આપેલ છે $|z| = \frac{2}{\sqrt{5}}$,તેથી $\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
આમ,$a^2 + 1 = 5$,જેનો અર્થ છે $a^2 = 4$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 2$ મળે.
$a = 2$ ને $z$ માં મૂકતા: $z = \frac{2i}{2-i} = \frac{2i(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{4i + 2i^2}{4+1} = \frac{-2 + 4i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{4}{5}i$.
તેથી,અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = -\frac{2}{5} - \frac{4}{5}i$ થાય.

(B) $z^{1/3} = p+iq$
$\Rightarrow z = (p+iq)^3$
$\Rightarrow x+iy = p^3 + 3p^2(iq) + 3p(iq)^2 + (iq)^3$
$\Rightarrow x+iy = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$
$\Rightarrow x = p^3 - 3pq^2$ અને $y = 3p^2q - q^3$
$\Rightarrow \frac{x}{p} = p^2 - 3q^2$ અને $\frac{y}{q} = 3p^2 - q^2$
$\therefore \left(\frac{x}{p} + \frac{y}{q}\right) = (p^2 - 3q^2) + (3p^2 - q^2) = 4p^2 - 4q^2 = 4(p^2 - q^2)$

(B) આપેલ છે $w = \frac{z}{z - \frac{1}{3}i}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ગુણતા,$w = \frac{3z}{3z - i}$ મળે.
$|w| = 1$ હોવાથી,$|\frac{3z}{3z - i}| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3|z| = |3z - i|$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $3|x + iy| = |3x + i(3y - 1)|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9(x^2 + y^2) = (3x)^2 + (3y - 1)^2$.
$9x^2 + 9y^2 = 9x^2 + 9y^2 - 6y + 1$.
$6y - 1 = 0$,જે એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(C) આપેલ અસમતા $|z-(2-i)| \leq 2$ એ સંકર સમતલમાં $2-i$ કેન્દ્ર અને $r=2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
ધારો કે $z_0 = 2-i$. ઉગમબિંદુથી કેન્દ્રનું અંતર $|z_0| = |2-i| = \sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{5}$ છે.
$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $|z_0| + r = \sqrt{5} + 2$ છે.
$|z|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $|z_0| - r = \sqrt{5} - 2$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત $(\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{5} - 2) = 4$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2+ax+by=0$.
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2+ax+\frac{a^2}{4}) + (y^2+by+\frac{b^2}{4}) = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$.
આનું સાદું રૂપ: $(x+\frac{a}{2})^2 + (y+\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$.
આને વર્તુળના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $(h, k) = (-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળ માટે પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = -\frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \cos \theta$ અને $y = -\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \sin \theta$ મળે છે.

(C) આપણને સરવાળો $p = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{1}{2 r^2}$ આપેલ છે.
$\tan^{-1}$ ની અંદરના અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $\tan ^{-1} \frac{2}{4 r^2}$ મળે છે.
આ પદને આપણે $\tan ^{-1} \left[ \frac{(2r+1) - (2r-1)}{1 + (2r+1)(2r-1)} \right]$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ નો ઉપયોગ કરતા,આ $\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)$ બને છે.
હવે,આ સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$p = \sum_{r=1}^{50} [\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)]$
$p = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1} 101 - \tan^{-1} 99)$
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,તેથી $p = \tan^{-1} 101 - \tan^{-1} 1$ બાકી રહે છે.
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$p = \tan^{-1} \left( \frac{101 - 1}{1 + 101 \times 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{100}{102} \right)$.
તેથી,$\tan p = \frac{100}{102} = \frac{50}{51}$.

(A) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x) \sin 5 x}{x^2 \sin 3 x}$.
નિત્યસમ $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને ફરીથી લખીએ:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 x \cdot \sin 5 x}{x^2 \sin 3 x}$.
$= 2 \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{\sin 5 x}{x} \cdot \frac{x}{\sin 3 x}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરવા માટે $5$ અને $3$ વડે ગુણી અને ભાગીએ:
$= 2 \cdot \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot 5 \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x}{5 x} \right) \cdot \frac{1}{3} \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{\sin 3 x} \right)$.
$= 2 \cdot (1)^2 \cdot 5 \cdot (1) \cdot \frac{1}{3} \cdot (1) = \frac{10}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 3x^{10} - 7x^8 + 5x^6 - 21x^3 + 3x^2 - 7$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = 30x^9 - 56x^7 + 30x^5 - 63x^2 + 6x$.
$x = 1$ આગળ કિંમત મૂકતા,$f'(1) = 30 - 56 + 30 - 63 + 6 = -53$.
હવે,લક્ષ $L = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{f(1-\alpha) - f(1)}{\alpha^3 + 3\alpha}$ ધ્યાનમાં લો.
પદાવલિને $L = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \left( \frac{f(1-\alpha) - f(1)}{-\alpha} \right) \times \left( \frac{-\alpha}{\alpha^3 + 3\alpha} \right)$ તરીકે ફરીથી લખો.
કારણ કે $\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{f(1-\alpha) - f(1)}{-\alpha} = f'(1) = -53$ અને $\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{-\alpha}{\alpha(\alpha^2 + 3)} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{-1}{\alpha^2 + 3} = -\frac{1}{3}$.
તેથી,$L = (-53) \times (-1/3) = \frac{53}{3}$.

(C) આપણે $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x}}$ લક્ષની કિંમત અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરીને મેળવીશું.
અનુબદ્ધ પદો વડે ગુણતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow a} \frac{(\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x})(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{(\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x})(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ નો ઉપયોગ કરીને સાદું રૂપ આપતા:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{(a+2 x-3 x)(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{(3 a+x-4 x)(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{(a-x)(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{3(a-x)(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
સામાન્ય અવયવ $(a-x)$ ને દૂર કરતા:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x}}{3(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$x = a$ મુકતા:
$\frac{\sqrt{4a} + 2\sqrt{a}}{3(\sqrt{3a} + \sqrt{3a})} = \frac{2\sqrt{a} + 2\sqrt{a}}{3(2\sqrt{3a})} = \frac{4\sqrt{a}}{6\sqrt{3a}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}$

(C) આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x}}$
અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow a} \frac{(\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x})(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{(\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x})(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{(a+2 x-3 x)(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{(3 a+x-4 x)(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{(a-x)(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{3(a-x)(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})}$
$(a-x)$ ને છેદતા અને $x = a$ મુકતા:
$= \frac{\sqrt{3 a+a}+2 \sqrt{a}}{3(\sqrt{a+2 a}+\sqrt{3 a})}$
$= \frac{2 \sqrt{a}+2 \sqrt{a}}{3(\sqrt{3 a}+\sqrt{3 a})}$
$= \frac{4 \sqrt{a}}{3(2 \sqrt{3 a})} = \frac{4 \sqrt{a}}{6 \sqrt{3} \sqrt{a}} = \frac{2}{3 \sqrt{3}}$

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x^3-3 x^2 2 x}\right]$
પ્રથમ,બીજા પદના છેદના અવયવ પાડો: $x^3-3x^2 2x = x(x-2)(x-1)$
હવે,લક્ષમાં કિંમત મૂકતા: $\lim _{x \rightarrow2}\left[\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x(x-2)(x-1)}\right]$
સામાન્ય છેદ લેતા: $\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{x(x-1)-2}{x(x-2)(x-1)}\right]$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $x^2-x-2 = (x-2)(x 1)$
તેથી: $\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{(x-2)(x 1)}{x(x-2)(x-1)}\right]$
સામાન્ય અવયવ $(x-2)$ દૂર કરતા: $\lim _{x \rightarrow 2}\frac{x 1}{x(x-1)}$
$x=2$ મૂકતા: $\frac{2 1}{2(2-1)} = \frac{3}{2}$

(B) ધારો કે $I = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cot x-\cos x}{(\pi-2 x)^3}$
$= \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x(1-\sin x)}{\sin x(\pi-2 x)^3}$
$x = \frac{\pi}{2}-h$ આદેશ લેતા,$\pi-2x = 2h$. જ્યારે $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $h \rightarrow 0$.
$I = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-h)(1-\sin(\frac{\pi}{2}-h))}{\sin(\frac{\pi}{2}-h)(2h)^3}$
$= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h(1-\cos h)}{\cos h \cdot 8h^3}$
$1-\cos h = 2\sin^2(\frac{h}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,
$I = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h \cdot 2\sin^2(\frac{h}{2})}{\cos h \cdot 8h^3} = \frac{2}{8} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin^2(\frac{h}{2})}{(\frac{h}{2})^2 \cdot 4} \cdot \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{\cos h}$
$= \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{16}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $x^{\circ} = \frac{\pi}{180} x \text{ રેડિયન}$.
તેથી,લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(\frac{7 \pi}{180} x\right)-\cos \left(\frac{2 \pi}{180} x\right)}{x^2}$ બને છે.
પ્રમાણિત લક્ષ સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x^2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{7\pi}{180}$ અને $b = \frac{2\pi}{180}$:
$= \frac{(\frac{2\pi}{180})^2 - (\frac{7\pi}{180})^2}{2}$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{180^2} (4 - 49)$
$= \frac{-45 \pi^2}{64800} = \frac{-\pi^2}{1440}$.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cot 4x}{\sin ^2 x \cot ^2(2x)}$ છે.
નિત્યસમ $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને ફરીથી લખીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan ^2(2x)}{\sin ^2 x \tan 4x}$.
હવે,આપણે પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ અને $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{x \cdot (\tan 2x)^2}{(\sin x)^2 \cdot \tan 4x} \right] = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{x \cdot \frac{(\tan 2x)^2}{(2x)^2} \cdot (2x)^2}{\frac{(\sin x)^2}{x^2} \cdot x^2 \cdot \frac{\tan 4x}{4x} \cdot 4x} \right]$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{x \cdot 1^2 \cdot 4x^2}{1^2 \cdot x^2 \cdot 1 \cdot 4x} \right] = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x^3}{4x^3} = 1$.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{\tan ^2 \frac{x}{2}}$.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x \sin x) - \cos x}{\tan ^2 \frac{x}{2} (\sqrt{1+x \sin x} + \sqrt{\cos x})}$.
નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin ^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{x \sin x + 2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{\tan ^2 \frac{x}{2} (\sqrt{1+x \sin x} + \sqrt{\cos x})}$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\frac{\sin x}{x} + 2 \left( \frac{\sin (x/2)}{x} \right)^2}{\left( \frac{\tan (x/2)}{x} \right)^2 (\sqrt{1+x \sin x} + \sqrt{\cos x})}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x/2)}{x} = \frac{1}{2}$,અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x/2)}{x} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$L = \frac{1 + 2(1/2)^2}{(1/2)^2 (\sqrt{1+0} + \sqrt{1})} = \frac{1 + 1/2}{(1/4)(2)} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

(B) અમે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \left(\sqrt{x^2+\sqrt{1+x^4}}-x \sqrt{2}\right)$
પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3 \left(x^2+\sqrt{1+x^4}-2 x^2\right)}{\sqrt{x^2+\sqrt{1+x^4}}+x \sqrt{2}} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3 \left(\sqrt{1+x^4}-x^2\right)}{\sqrt{x^2+\sqrt{1+x^4}}+x \sqrt{2}}$
અંશનું ફરીથી સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3 \left(1+x^4-x^4\right)}{\left(\sqrt{x^2+\sqrt{1+x^4}}+x \sqrt{2}\right) \left(\sqrt{1+x^4}+x^2\right)}$
છેદમાં $x^3$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3}{x \left(\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}}+\sqrt{2}\right) \cdot x^2 \left(\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}+1\right)}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}}+\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}+1\right)}$
$x \rightarrow \infty$ મુકતા:
$= \frac{1}{(\sqrt{1+1}+\sqrt{2})(1+1)} = \frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{2})(2)} = \frac{1}{2 \sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{4 \sqrt{2}}$

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{x}{|x| + x^2}$.
ડાબી બાજુની લક્ષ (left-hand limit) માટે જ્યારે $x \rightarrow 0^-$,ત્યારે $|x| = -x$:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{-x + x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{-1 + x} = -1$.
જમણી બાજુની લક્ષ (right-hand limit) માટે જ્યારે $x \rightarrow 0^+$,ત્યારે $|x| = x$:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x + x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{1 + x} = 1$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(A) ધારો કે $p$ એ સ્વીચ $S_1$ છે અને $q$ એ સ્વીચ $S_2$ છે. આપેલ સર્કિટનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q)$ છે.
પદાવલિનું સરળીકરણ:
$= (p \wedge \sim q) \vee [\sim p \wedge (q \vee \sim q)]$
$= (p \wedge \sim q) \vee [\sim p \wedge t]$
$= (p \wedge \sim q) \vee \sim p$
$= \sim p \vee (p \wedge \sim q)$
$= (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$= t \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$= \sim p \vee \sim q$
પદાવલિ $\sim p \vee \sim q$ એ સમાંતરમાં જોડાયેલ બે સ્વીચો $S_1'$ અને $S_2'$ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે $p$ : ચુકવણી કરવામાં આવશે.
ધારો કે $q$ : કામ સમયસર પૂરું થાય છે.
આપેલ વિધાન $p \leftrightarrow q$ છે,જે $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ ને સમાન છે.
આ વિધાનનું નકાર $\sim(p \leftrightarrow q)$ છે,જે $(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ ને સમાન છે.
આનો અર્થ એ થાય કે: "ચુકવણી કરવામાં આવે છે અને કામ સમયસર પૂરું થતું નથી,અથવા કામ સમયસર પૂરું થાય છે અને ચુકવણી કરવામાં આવતી નથી."
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow (\sim p \vee r)$ નો નિષેધ શોધવા માટે,આપણે તાર્કિક સમાનતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $A = (p \wedge q)$ અને $B = (\sim p \vee r)$.
તેથી,$\sim(A \rightarrow B) \equiv (p \wedge q) \wedge \sim(\sim p \vee r)$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(\sim p \vee r) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim r \equiv p \wedge \sim r$.
આમ,પદ $(p \wedge q) \wedge (p \wedge \sim r)$ બને છે.
એસોસિએટિવ અને આઈડેમપોટન્ટ નિયમો દ્વારા,$(p \wedge q) \wedge p \wedge \sim r \equiv p \wedge q \wedge \sim r$.

(B) આપેલ છે: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a: \sim(p \wedge \sim r) \vee(\sim q \vee s)$
$\equiv \sim(T \wedge \sim F) \vee(\sim T \vee F)$
$\equiv \sim(T \wedge T) \vee(F \vee F)$
$\equiv \sim(T) \vee(F)$
$\equiv F \vee F \equiv F$
$b: (\sim q \wedge \sim r) \leftrightarrow(p \vee s)$
$\equiv (\sim T \wedge \sim F) \leftrightarrow(T \vee F)$
$\equiv (F \wedge T) \leftrightarrow(T)$
$\equiv F \leftrightarrow T \equiv F$
$c: (\sim p \vee q) \rightarrow(r \wedge \sim s)$
$\equiv (\sim T \vee T) \rightarrow(F \wedge \sim F)$
$\equiv (F \vee T) \rightarrow(F \wedge T)$
$\equiv T \rightarrow F \equiv F$
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $F, F, F$ છે.

(C) આપેલ વિધાનનું વિશ્લેષણ કરીએ: $[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)] \leftrightarrow [(p \wedge q)$ $\rightarrow r]$.
પ્રથમ,ડાબી બાજુ ધ્યાનમાં લો: $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)$.
ગર્ભિત નિયમ $A \rightarrow B \equiv \neg A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r) \equiv \neg p \vee (\neg q \vee r)$.
જૂથના નિયમ (associative law) મુજબ,આ $(\neg p \vee \neg q) \vee r$ ને સમતુલ્ય છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\neg p \vee \neg q \equiv \neg (p \wedge q)$.
આમ,$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r) \equiv \neg (p \wedge q) \vee r$.
ફરીથી,ગર્ભિત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\neg (p \wedge q) \vee r \equiv (p \wedge q) \rightarrow r$.
દ્વિ-શરતી વિધાનની બંને બાજુઓ તાર્કિક રીતે સમાન હોવાથી,$[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)] \leftrightarrow [(p \wedge q)$ $\rightarrow r]$ હંમેશા સત્ય છે.
તેથી,તે એક નિત્યસત્ય (tautology) છે.

(A) આપણે વિધાન $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ નું નિષેધ શોધવાની જરૂર છે.
નિષેધ ઓપરેટર લાગુ કરતા:
$\sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$:
$\equiv s \wedge \sim (\sim r \wedge s)$
ફરીથી ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$:
$\equiv s \wedge (r \vee \sim s)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$:
$\equiv (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$
પૂરક નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$s \wedge \sim s \equiv F$:
$\equiv (s \wedge r) \vee F$
તદર્થ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$p \vee F \equiv p$:
$\equiv s \wedge r$

(A) ધારો કે બે રેખાઓ પરના બિંદુઓ $P_1 = (\lambda + 3, 3\lambda - 1, -\lambda + 6)$ અને $P_2 = (7\alpha - 5, -6\alpha + 2, 4\alpha + 3)$ છે.
રેખાઓ બિંદુ $R$ પર છેદે છે,તેથી યામોને સરખાવતા:
$\lambda + 3 = 7\alpha - 5 \Rightarrow \lambda - 7\alpha = -8$ (સમીકરણ $1$)
$3\lambda - 1 = -6\alpha + 2 \Rightarrow 3\lambda + 6\alpha = 3 \Rightarrow \lambda + 2\alpha = 1$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા $9\alpha = 9$ મળે,તેથી $\alpha = 1$.
$\alpha = 1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા,$\lambda + 2(1) = 1$ મળે,તેથી $\lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને પ્રથમ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,$R = (-1 + 3, 3(-1) - 1, -(-1) + 6) = (2, -4, 7)$ મળે.
$xy$-સમતલમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, y, -z)$ થાય છે.
તેથી,$xy$-સમતલમાં $R(2, -4, 7)$ નું પ્રતિબિંબ $(2, -4, -7)$ છે.

(B) આપેલ છે કે તમામ $x \in R$ માટે $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\ln|f(x)| = x + C$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = Ae^x$.
શરત $f(1) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા,$Ae^1 = 2$,તેથી $A = 2e^{-1}$.
આમ,$f(x) = 2e^{-1} \cdot e^x = 2e^{x-1}$.
પરિણામે,$f'(x) = 2e^{x-1}$.
આપેલ છે કે $h(x) = f(f(x))$,સાંકળના નિયમ (chain rule) મુજબ,$h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$x = 1$ આગળ,$h'(1) = f'(f(1)) \cdot f'(1)$.
કારણ કે $f(1) = 2$,તેથી $h'(1) = f'(2) \cdot f'(1)$.
કિંમતો મૂકતા,$f'(2) = 2e^{2-1} = 2e$ અને $f'(1) = 2e^{1-1} = 2$.
તેથી,$h'(1) = (2e) \cdot (2) = 4e$.

(D) આપણે $f(3) - f(1) = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $\sqrt{x} = t$,તેથી $x = t^2$ અને $dx = 2t dt$.
જ્યારે $x=1$,ત્યારે $t=1$. જ્યારે $x=3$,ત્યારે $t=\sqrt{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(3) - f(1) = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t \cdot 2t}{(1+t^2)^2} dt = 2 \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = t$ અને $dv = \frac{t}{(1+t^2)^2} dt$ લેતા,$du = dt$ અને $v = -\frac{1}{2(1+t^2)}$ મળે.
$2 \int \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt = 2 \left[ -\frac{t}{2(1+t^2)} + \int \frac{1}{2(1+t^2)} dt \right] = -\frac{t}{1+t^2} + \tan^{-1}(t)$.
$1$ થી $\sqrt{3}$ ની સીમાઓ માટે ગણતરી કરતા:
$f(3) - f(1) = \left[ -\frac{\sqrt{3}}{1+3} + \tan^{-1}(\sqrt{3}) \right] - \left[ -\frac{1}{1+1} + \tan^{-1}(1) \right]$.
$= \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{12}$.

(A) ધારો કે $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\vec{v} = \overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
પ્રથમ,માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AD} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{AD}| |\vec{AB}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (-1)(2) + (2)(10) + (2)(11) = -2 + 20 + 22 = 40$.
તેથી,$\cos \alpha = \frac{40}{3 \times 15} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.

(A) આપેલ વક્ર $xy + ax + by = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ વક્ર પર હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1(1) + a(1) + b(1) = 0 \implies a + b = -1$ ... $(i)$
હવે,સમીકરણ $xy + ax + by = 0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y + a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$(x + b) \frac{dy}{dx} = -(y + a)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x + b}$
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ ઢાળ $2$ આપેલ છે:
$2 = -\frac{1 + a}{1 + b}$
$2(1 + b) = -(1 + a)$
$2 + 2b = -1 - a$
$a + 2b = -3$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1)$
$b = -2$
$b = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a - 2 = -1 \implies a = 1$
તેથી,$a - b = 1 - (-2) = 3$.

(D) આપેલ વક્ર $y=\sqrt{9-2x^2}$ છે.
જો કોટિ અને ભુજ સમાન હોય,તો $y=x$ થાય.
વક્રના સમીકરણમાં $y=x$ મૂકતા: $x^2 = 9 - 2x^2 \Rightarrow 3x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$.
અહીં $y = \sqrt{9-2x^2}$ હોવાથી $y$ ધન હોવો જોઈએ. તેથી $x = \sqrt{3}$ લેતા $y = \sqrt{3}$ મળે,જે શરત સંતોષે છે.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ છે.
$y^2 = 9 - 2x^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = -4x \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$.
બિંદુ $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ આગળ ઢાળ $m = -\frac{2(\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = -2$ મળે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - \sqrt{3} = -2(x - \sqrt{3})$.
$y - \sqrt{3} = -2x + 2\sqrt{3} \Rightarrow 2x + y - 3\sqrt{3} = 0$.

(C) આપેલ છે કે વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x+1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે:
$y = \int (2x+1) dx = x^2 + x + c$
વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=2$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = (1)^2 + 1 + c$
$2 = 1 + 1 + c$
$2 = 2 + c \Rightarrow c = 0$
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + x$ છે.
વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખા $x=1$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીનું સંકલન છે (કારણ કે વક્ર $X$-અક્ષને $x^2+x=0$ એટલે કે $x(x+1)=0$ પર છેદે છે,જે $x=0$ અને $x=-1$ આપે છે):
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 (x^2+x) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$= \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right) - (0)$
$= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ વક્રો $y=2x^2$ અને $x=2y^2$ છે.
વક્ર $y=2x^2$ માટે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 4x$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ,ઢાળ $m_1 = 4(1) = 4$ છે.
વક્ર $x=2y^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1 = 4y \frac{dy}{dx}$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y}$ થાય.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ,ઢાળ $m_2 = \frac{1}{4(1)} = \frac{1}{4}$ છે.
ધારો કે બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{4 - 1/4}{1 + 4(1/4)} \right| = \left| \frac{15/4}{1 + 1} \right| = \frac{15/4}{2} = \frac{15}{8}$ મળે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right)$.

(C) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો $x = \sqrt{t}$ અને $y = t - \frac{1}{\sqrt{t}}$ છે.
પ્રથમ,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{t}}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t - t^{-1/2}) = 1 - (-\frac{1}{2})t^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2t^{3/2}}$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{1}{2t^{3/2}}}{\frac{1}{2\sqrt{t}}} = (1 + \frac{1}{2t^{3/2}}) \times (2\sqrt{t}) = 2\sqrt{t} + \frac{1}{t} = \frac{2t\sqrt{t} + 1}{t}$
$t=4$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=4} = \frac{2(4)\sqrt{4} + 1}{4} = \frac{16+1}{4} = \frac{17}{4}$
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે:
$\text{અભિલંબનો ઢાળ} = -\frac{1}{(\frac{dy}{dx})_{t=4}} = -\frac{1}{17/4} = -\frac{4}{17}$

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $xy + ax + by = 0$.
બિંદુ $(1, 1)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1(1) + a(1) + b(1) = 0 \implies 1 + a + b = 0 \implies a + b = -1$ ... $(i)$
હવે,સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y + x \frac{dy}{dx} + a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(x + b) = -(y + a)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x + b}$
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ ઢાળ $2$ આપેલ છે:
$2 = -\frac{1 + a}{1 + b}$
$2(1 + b) = -(1 + a)$
$2 + 2b = -1 - a$
$a + 2b = -3$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1)$
$b = -2$
$b = -2$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$a - 2 = -1 \implies a = 1$
છેલ્લે,$3a + b$ ની કિંમત:
$3(1) + (-2) = 3 - 2 = 1$.

(B) $y = 2 e^x \sin \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$
નિત્યસમ $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = e^x \sin \left(2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) = e^x \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = e^x \cos x$
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x (\cos x - \sin x)$
ધારો કે $T(x) = e^x (\cos x - \sin x)$. ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\frac{dT}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dT}{dx} = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = e^x (\cos x - \sin x - \sin x - \cos x) = -2 e^x \sin x$
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $\frac{dT}{dx} = 0$ લેતા:
$-2 e^x \sin x = 0 \implies \sin x = 0$
અંતરાલ $0 \leq x \leq 2 \pi$ માં,$x = 0, \pi, 2 \pi$ મળે છે.
આ બિંદુઓ પર $T(x)$ ની કિંમત તપાસતા:
$T(0) = e^0 (\cos 0 - \sin 0) = 1$
$T(\pi) = e^\pi (\cos \pi - \sin \pi) = -e^\pi$
$T(2 \pi) = e^{2 \pi} (\cos 2 \pi - \sin 2 \pi) = e^{2 \pi}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-e^\pi$ એ $x = \pi$ પર મળે છે.

(B) જીવા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-3)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ છે.
સ્પર્શક જીવા $AB$ ને સમાંતર હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ પણ $2$ થવો જોઈએ.
આપેલ વક્ર $y = x - \frac{4}{x}$ માટે,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{4}{x^2}$ મળે છે.
વિકલનને જીવાના ઢાળ સાથે સરખાવતા: $1 + \frac{4}{x^2} = 2$.
આથી $\frac{4}{x^2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 4$,તેથી $x = \pm 2$.
જ્યારે $x = 2$ હોય,ત્યારે $y = 2 - \frac{4}{2} = 0$.
જ્યારે $x = -2$ હોય,ત્યારે $y = -2 - \frac{4}{-2} = -2 + 2 = 0$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(2, 0)$ અને $(-2, 0)$ છે.

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x=2(\cos t+t \sin t)$ અને $y=2(\sin t-t \cos t)$ છે.
પ્રથમ,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શોધીએ:
$\frac{dx}{dt} = 2(-\sin t + \sin t + t \cos t) = 2t \cos t$
$\frac{dy}{dt} = 2(\cos t - \cos t + t \sin t) = 2t \sin t$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t \sin t}{2t \cos t} = \tan t$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{\tan t} = -\frac{\cos t}{\sin t}$ છે.
બિંદુ '$t$' પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે:
$y - 2(\sin t - t \cos t) = -\frac{\cos t}{\sin t} [x - 2(\cos t + t \sin t)]$
$\sin t$ વડે ગુણતા:
$y \sin t - 2 \sin^2 t + 2t \sin t \cos t = -x \cos t + 2 \cos^2 t + 2t \sin t \cos t$
$x \cos t + y \sin t = 2(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$x \cos t + y \sin t = 2$
રેખા $Ax + By + C = 0$ નું ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી અંતર $\frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = \cos t$,$B = \sin t$,અને $C = -2$ છે.
અંતર $= \frac{|-2|}{\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}} = \frac{2}{1} = 2$ એકમ.

(C) $y^2=px^3+q$ ... $(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 3px^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$
બિંદુ $(2,3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = \frac{12p}{6} = 2p$
રેખા $y=4x-5$ નો ઢાળ $4$ છે.
કારણ કે રેખા વક્રને સ્પર્શે છે,તેથી તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$2p = 4 \Rightarrow p = 2$
બિંદુ $(2,3)$ એ વક્ર $y^2=px^3+q$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$3^2 = p(2)^3 + q$
$9 = 8p + q$
$p=2$ મૂકતા:
$9 = 8(2) + q$
$9 = 16 + q \Rightarrow q = -7$
તેથી,$p-q = 2 - (-7) = 2 + 7 = 9$.

(C) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -y + e^{-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = e^{-x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y e^x = \int e^{-x} \cdot e^x dx + C$.
$y e^x = \int 1 dx + C$.
$y e^x = x + C$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે $x=0$ અને $y=0$ મૂકીએ:
$0 \cdot e^0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y e^x = x$ છે,જેને $y e^x - x = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
આપેલ છે કે $y$-યામ $3 \text{ units/sec}$ ના દરે ઘટે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -3 \text{ units/sec}$.
બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ પર,$x = \frac{1}{2}$,$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$,અને $\frac{dy}{dt} = -3$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(-3) = 0$
$\frac{1}{2} \frac{dx}{dt} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\frac{dx}{dt} = 3\sqrt{3} \text{ units/sec}$.
આમ,$x$-યામ $3\sqrt{3} \text{ units/sec}$ ના દરે વધી રહ્યો છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \log_{10} x = \frac{\log_e x}{\log_e 10} = (\log_{10} e)(\log_e x) = 0.4343(\log_e x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = \frac{0.4343}{x}$ મળે છે.
ધારો કે $x = 998 = 1000 - 2 = a + h$.
અહીં,$a = 1000$ અને $h = -2$.
$f(a) = f(1000) = \log_{10}(1000) = 3 \log_{10} 10 = 3$.
વળી,$f'(a) = f'(1000) = \frac{0.4343}{1000} = 0.0004343$.
આશરે કિંમત શોધવાના સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + hf'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{10}(998) \approx 3 + (-2)(0.0004343) = 3 - 0.0008686 = 2.9991314$.

(B) ધારો કે $P$ એ પતંગનું સ્થાન છે અને $PR$ એ દોરી છે. ધારો કે $PQ = 120 \ m$ એ અચળ ઊંચાઈ છે.
ધારો કે $QR = x$ અને $PR = y$.
$\triangle PQR$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$y^2 = (120)^2 + x^2 \dots (i)$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2y \frac{dy}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$
$y \frac{dy}{dt} = x \frac{dx}{dt} \dots (ii)$
આપેલ છે કે પતંગ $39 \ m/sec$ ના દરે સમક્ષિતિજ રીતે દૂર જઈ રહી છે,એટલે કે $\frac{dx}{dt} = 39 \ m/sec$.
$(i)$ પરથી,જ્યારે $y = 130 \ m$ હોય:
$(130)^2 = (120)^2 + x^2$
$x^2 = 16900 - 14400 = 2500$
$x = 50 \ m$
આ કિંમતોને $(ii)$ માં મૂકતા:
$130 \frac{dy}{dt} = 50 \times 39$
$\frac{dy}{dt} = \frac{50 \times 39}{130} = \frac{1950}{130} = 15 \ m/sec$.
આમ,જે દરે દોરી બહાર નીકળી રહી છે તે દર $15 \ m/sec$ છે.

(B) ધારો કે નિસરણી $AC = 17 \,m$ છે. દીવાલની ઊંચાઈ $AB = x$ અને જમીન પરનું અંતર $BC = y$ છે.
$\triangle ABC$ માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^2 + y^2 = 17^2 = 289$
આપેલ છે કે નીચેનો છેડો $\frac{dy}{dt} = 1 \,m/sec$ ના દરે સરકે છે.
જ્યારે $y = 8 \,m$ હોય, ત્યારે $x^2 + 8^2 = 289 \Rightarrow x^2 = 289 - 64 = 225 \Rightarrow x = 15 \,m$.
$x^2 + y^2 = 289$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
કિંમતો $x = 15$, $y = 8$, અને $\frac{dy}{dt} = 1$ મૂકતા:
$15 \frac{dx}{dt} + 8(1) = 0$
$15 \frac{dx}{dt} = -8$
$\frac{dx}{dt} = -\frac{8}{15} \,m/sec$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઊંચાઈ $x$ ઘટી રહી છે. તેથી, ઉપરનો છેડો $\frac{8}{15} \,m/sec$ ના દરે નીચે આવે છે.

(D) ધારો કે $t$ સેકન્ડ સમયે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A$, પરિમિતિ $P$ અને બાજુની લંબાઈ $X$ છે।
તેથી, $A = X^2$ અને $P = 4X$.
આના પરથી, $P = 4 \sqrt{A}$ મળે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dt} = 4 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt} = \frac{2}{\sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt}$.
ક્ષેત્રફળ $A = X^2$ હોવાથી, $\sqrt{A} = X$ થાય. તેથી, $\frac{dP}{dt} = \frac{2}{X} \cdot \frac{dA}{dt}$.
અહીં ક્ષેત્રફળ $4 \,cm^2 / sec$ ના દરે ઘટી રહ્યું છે, તેથી $\frac{dA}{dt} = -4 \,cm^2 / sec$.
$X = 20 \,cm$ માટે:
$\frac{dP}{dt} = \frac{2}{20} \times (-4) = -\frac{8}{20} = -\frac{2}{5} \,cm / sec$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પરિમિતિ $\frac{2}{5} \,cm / sec$ ના દરે ઘટી રહી છે.

(B) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dS}{dt} = 2 \text{ cm}^2/\text{sec}$ અને $r = 6 \text{ cm}$,તેથી $2 = 8 \pi (6) \frac{dr}{dt}$.
આમ,$\frac{dr}{dt} = \frac{2}{48 \pi} = \frac{1}{24 \pi} \text{ cm/sec}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (6)^2 \times \frac{1}{24 \pi} = 4 \pi \times 36 \times \frac{1}{24 \pi} = \frac{144 \pi}{24 \pi} = 6 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(B) ધારો કે સમય $t$ પર પાણીની ઊંડાઈ $x$ છે. આપેલ છે કે વહેવાનો દર ઊંડાઈના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -k\sqrt{x}$,જ્યાં $k > 0$ એક અચળાંક છે (ઋણ ચિહ્ન ઊંડાઈમાં ઘટાડો સૂચવે છે).
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = -k dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int x^{-1/2} dx = \int -k dt$,જે $2\sqrt{x} = -kt + C$ આપે છે.
$t = 0$ સમયે,પ્રારંભિક ઊંડાઈ $x = 16 \ m$ છે. આ કિંમતો મૂકતા,$2\sqrt{16} = -k(0) + C \Rightarrow C = 8$.
તેથી,સમીકરણ $2\sqrt{x} = -kt + 8$ બને છે.
$t = 2 \ \text{કલાક}$ સમયે,ઊંડાઈ $x = 4 \ m$ છે. આ કિંમતો મૂકતા,$2\sqrt{4} = -k(2) + 8 \Rightarrow 4 = -2k + 8 \Rightarrow 2k = 4 \Rightarrow k = 2$.
આમ,સમીકરણ $2\sqrt{x} = -2t + 8$ અથવા $\sqrt{x} = 4 - t$ છે.
$t = 3.5 \ \text{કલાક}$ માટે,$\sqrt{x} = 4 - 3.5 = 0.5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x = (0.5)^2 = 0.25 \ m$ મળે છે.

(B) ધારો કે ટાંકીની લંબાઈ $x \ m$ અને પહોળાઈ $y \ m$ છે. ટાંકીની ઊંચાઈ $h = 4 \ m$ છે.
ટાંકીનું ઘનફળ $V = x \times y \times h = 36 \ m^3$ છે.
$h = 4$ મૂકતા,$4xy = 36$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $xy = 9$,તેથી $y = \frac{9}{x}$.
ખર્ચ વિધેય $C$ એ પાયાનો ખર્ચ અને ચાર બાજુઓનો ખર્ચનો સરવાળો છે:
$C = 100(xy) + 50(2xh + 2yh)$
$xy = 9$,$h = 4$,અને $y = \frac{9}{x}$ મૂકતા:
$C(x) = 100(9) + 50(2x(4) + 2(\frac{9}{x})(4))$
$C(x) = 900 + 50(8x + \frac{72}{x}) = 900 + 400x + \frac{3600}{x}$
ન્યૂનતમ ખર્ચ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $C'(x)$ શોધીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$C'(x) = 400 - \frac{3600}{x^2} = 0$
$400 = \frac{3600}{x^2} \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \ m$.
કારણ કે $x = 3$,તેથી $y = \frac{9}{3} = 3 \ m$.
ન્યૂનતમ ખર્ચ $C(3) = 900 + 400(3) + \frac{3600}{3} = 900 + 1200 + 1200 = ₹ 3300$ થાય.

(B) ધારો કે કાગળની ઊંચાઈ $y \ m$ અને પહોળાઈ $x \ m$ છે.
આપેલ છે કે કાગળનું ક્ષેત્રફળ $18 \ m^2$ છે,તેથી $x y = 18$.
માર્જિનને મીટરમાં ફેરવતા: ઉપર/નીચેના માર્જિન દરેક $0.75 \ m$ અને બાજુના માર્જિન દરેક $0.5 \ m$ છે.
છાપવા માટેના વિસ્તારના પરિમાણો $(y - 1.5) \ m$ અને $(x - 1) \ m$ છે.
છાપવા માટે ઉપલબ્ધ ક્ષેત્રફળ $A = (y - 1.5)(x - 1)$ છે.
$y = \frac{18}{x}$ હોવાથી,$A = (\frac{18}{x} - 1.5)(x - 1) = 18 - \frac{18}{x} - 1.5x + 1.5 = 19.5 - \frac{18}{x} - 1.5x$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dx} = \frac{18}{x^2} - 1.5$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,$\frac{18}{x^2} = 1.5 \Rightarrow x^2 = \frac{18}{1.5} = 12$.
તેથી,$x = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \ m$.
પછી $y = \frac{18}{2 \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \ m$.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2A}{dx^2} = -\frac{36}{x^3}$,જે $x = 2 \sqrt{3}$ પર ઋણ છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
તેથી,ઊંચાઈ $3 \sqrt{3} \ m$ અને પહોળાઈ $2 \sqrt{3} \ m$ છે.

(B) શંકુ આકારના પાત્ર માટે, ઊંચાઈ $H = 9 \text{ cm}$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $R = 5 \text{ cm}$ છે.
પાત્રનું કુલ ઘનફળ $V_{total} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (25)(9) = 75\pi \text{ cm}^3$ છે.
ધારો કે $t$ સમયે પાણીની ઊંચાઈ $h$ છે અને પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણની શરત મુજબ, $\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{5}{9}$, તેથી $r = \frac{5h}{9}$.
પાણીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{5h}{9}\right)^2 = \frac{25\pi h^2}{81}$ થાય.
આપેલ શરત મુજબ પાણીની સપાટી વધવાનો દર $\frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{A} = \frac{\pi}{\frac{25\pi h^2}{81}} = \frac{81}{25h^2}$ છે.
ચલને અલગ કરતા, $h^2 \, dh = \frac{81}{25} \, dt$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\int h^2 \, dh = \int \frac{81}{25} \, dt \implies \frac{h^3}{3} = \frac{81}{25}t + C$.
જ્યારે $t=0$ ત્યારે $h=0$ હોવાથી, $C=0$ મળે, તેથી $h^3 = \frac{243}{25}t$.
પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{25h^2}{81}\right) h = \frac{25\pi h^3}{243}$ થાય.
$h^3 = \frac{243}{25}t$ કિંમત મૂકતા, $V = \frac{25\pi}{243} \left(\frac{243}{25}t\right) = \pi t$ મળે.
શંકુ સંપૂર્ણ ભરાય ત્યારે $V = V_{total} = 75\pi$ થાય.
તેથી, $\pi t = 75\pi \implies t = 75 \text{ સેકન્ડ}$.

(C) અર્ધગોળાકાર વાટકાની ત્રિજ્યા $R = 180 \text{ cm}$ છે.
પાણીના પ્રવાહનો દર $\frac{dV}{dt} = 108 \text{ dm}^3/\text{min}$ છે.
$1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}$ હોવાથી,$1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ થાય.
તેથી,$\frac{dV}{dt} = 108 \times 1000 \text{ cm}^3 / 60 \text{ sec} = 1800 \text{ cm}^3/\text{sec}$.
ધારો કે પાણીની ઊંડાઈ $x$ છે. અર્ધગોળાકાર વાટકામાં પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{\pi}{3} x^2(3R - x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R = 180$ મૂકતા,$V = \frac{\pi}{3} x^2(540 - x) = 180 \pi x^2 - \frac{\pi}{3} x^3$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = (360 \pi x - \pi x^2) \frac{dx}{dt}$ મળે.
$x = 120 \text{ cm}$ માટે,$1800 = (360 \pi(120) - \pi(120)^2) \frac{dx}{dt}$.
$1800 = (43200 \pi - 14400 \pi) \frac{dx}{dt} = 28800 \pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{1800}{28800 \pi} = \frac{1}{16 \pi} \text{ cm/sec}$.

(A) ધારો કે $A = (h, 2h)$.
અંતર $OA = \sqrt{h^2 + (2h)^2} = \sqrt{5}h$.
આપેલ છે કે બિંદુ $A$ એ $2 \text{ units/sec}$ ના દરે ગતિ કરે છે,તેથી $\frac{d(OA)}{dt} = 2$.
આમ,$\sqrt{5} \frac{dh}{dt} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
શિરોબિંદુઓ $A(h, 2h)$,$B(0, 3)$,અને $C(4, 0)$ ધરાવતા $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\alpha$ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\alpha = \frac{1}{2} |h(3-0) + 0(0-2h) + 4(2h-3)| = \frac{1}{2} |3h + 8h - 12| = \frac{1}{2} |11h - 12|$.
ક્ષેત્રફળ વધતું હોવાથી,આપણે $\alpha = \frac{11h - 12}{2}$ લઈએ.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d\alpha}{dt} = \frac{11}{2} \frac{dh}{dt}$.
$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ મૂકતા,આપણને $\frac{d\alpha}{dt} = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{11}{\sqrt{5}} \text{ (units)}^2/\text{sec}$ મળે છે.

(B) $x=2$ ની આસપાસ $P(x)$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$P(x) = P(2) + P^{\prime}(2)(x-2) + \frac{P^{\prime \prime}(2)}{2!}(x-2)^2$
આપેલ છે કે $P(2)=-1, P^{\prime}(2)=0, P^{\prime \prime}(2)=2$:
$P(x) = -1 + 0(x-2) + \frac{2}{2}(x-2)^2$
$P(x) = -1 + (x-2)^2$
હવે,$x=1.001$ મુકતા:
$P(1.001) = -1 + (1.001-2)^2$
$P(1.001) = -1 + (-0.999)^2$
$P(1.001) = -1 + 0.998001$
$P(1.001) = -0.001999$
આપેલ વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $-0.002$ મળે છે.

(B) ધારો કે $x$ એ ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ છે અને $A$ એ તેનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણના બદલાવાનો દર $\frac{dx}{dt} = 0.5 \text{ cm/sec}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેના વિકર્ણ $x$ ના સ્વરૂપમાં $A = \frac{x^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{x^2}{2} \right) = \frac{2x}{2} \cdot \frac{dx}{dt} = x \cdot \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $A = 400 \text{ cm}^2$,તેથી $A = \frac{x^2}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિકર્ણ $x$ શોધીએ:
$400 = \frac{x^2}{2} \implies x^2 = 800 \implies x = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \text{ cm}$.
હવે,$\frac{dA}{dt}$ ના સમીકરણમાં $x = 20\sqrt{2}$ અને $\frac{dx}{dt} = 0.5$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = (20\sqrt{2}) \cdot (0.5) = 10\sqrt{2} \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x e^{x(1-x)}$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = x \cdot e^{x(1-x)} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) + e^{x(1-x)} \cdot 1$.
$f'(x) = x e^{x(1-x)}(1-2x) + e^{x(1-x)}$.
$f'(x) = e^{x(1-x)} [x(1-2x) + 1] = e^{x(1-x)} (x - 2x^2 + 1)$.
$f'(x) = e^{x(1-x)} (-2x^2 + x + 1) = -e^{x(1-x)} (2x^2 - x - 1)$.
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x+1)(x-1) = e^{x(1-x)} (2x+1)(1-x)$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $e^{x(1-x)} > 0$ તમામ $x \in R$ માટે,આપણે $(2x+1)(1-x) \geq 0$ ની જરૂર છે.
આ અસમતા $x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ માટે સાચી છે.
તેથી,$f(x)$ એ $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ માં વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
આપણે તેને $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$ તરીકે લખી શકીએ.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = -2\sin 2x \cos 2x = -\sin 4x$ મળે.
વિધેય $f(x)$ વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $-\sin 4x > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sin 4x < 0$.
સાઇન વિધેય ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણ હોય છે,તેથી $\pi < 4x < 2\pi$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$ મળે છે.
$f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય તે માટે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
દ્વિઘાત પદાવલિ $3x^2 + 2bx + c$ હંમેશા ધન હોય જો તેનો વિવેચક $D < 0$ હોય અને $x^2$ નો સહગુણક ધન હોય.
અહીં,$D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c = 4(b^2 - 3c)$.
$0 < b^2 < c$ હોવાથી,$b^2 - 3c < c - 3c = -2c < 0$ થાય (જ્યાં $c > 0$ છે).
આમ,$D < 0$ હોવાથી,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
તેથી,$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{x^2-3x+2}{x^4+1} \, dx$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,વિકલિત $f'(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^4+1}$ થાય.
વિધેય $f(x)$ ઘટતું વિધેય હોય તે માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $x^4+1 > 0$ હોવાથી,$f'(x) < 0$ ની શરત $x^2-3x+2 < 0$ ને સમતુલ્ય છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(x-1)(x-2) < 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $x=1$ અને $x=2$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,પદાવલિ $(x-1)(x-2)$ એ $x \in (1, 2)$ માટે ઋણ છે.
તેથી,વિધેય અંતરાલ $(1, 2)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(D) આપેલ શરત $x+2y=8$ છે.
આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં $2y = 8-x$ તરીકે દર્શાવી શકીએ,જે આપણને $y = \frac{8-x}{2}$ આપે છે.
ધારો કે મહત્તમ કરવા માટેનું વિધેય $f(x) = xy$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f(x) = x \cdot \frac{8-x}{2} = 4x - \frac{x^2}{2}$ મળે છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(4x - \frac{x^2}{2}) = 4 - x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$4 - x = 0 \implies x = 4$.
તે મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ:
$f''(x) = -1$.
$f''(4) = -1 < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 4$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = 4$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{8-4}{2} = 2$.
તેથી $xy$ ની મહત્તમ કિંમત $4 \times 2 = 8$ થાય છે.

(C) અંતરાલ $[0, 2]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય (Lagrange's Mean Value Theorem) લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે કે ઓછામાં ઓછું એક $c \in (0, 2)$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = f^{\prime}(c)$
$\therefore f(2) - f(0) = 2 f^{\prime}(c)$
$\therefore f(2) = f(0) + 2 f^{\prime}(c)$
આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) \leq 5$ તમામ $x$ માટે,તેથી $f^{\prime}(c) \leq 5$.
આથી,$f(2) - f(0) \leq 2(5) = 10$.
જો આપણે $f(0) = -3$ લઈએ,તો $f(2) \leq -3 + 10 = 7$.
તેથી,$f(2)$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત $7$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,અસમતા $x^2 + 30 \leq 11x$ ઉકેલીને ગણ $S$ નક્કી કરીએ.
$x^2 - 11x + 30 \leq 0$
$(x - 5)(x - 6) \leq 0$
તેથી,$x \in [5, 6]$.
હવે,વિધેય $f(x) = 3x^3 - 18x^2 + 27x - 40$ ધ્યાનમાં લો.
વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 9x^2 - 36x + 27 = 9(x^2 - 4x + 3) = 9(x - 1)(x - 3)$.
$x \in [5, 6]$ માટે,$(x - 1)$ અને $(x - 3)$ બંને ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
કારણ કે $x \in [5, 6]$ માટે $f'(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[5, 6]$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
મહત્તમ કિંમત અંતરાલના જમણા અંત્યબિંદુ $x = 6$ પર મળે છે.
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40$
$f(6) = 3(216) - 18(36) + 162 - 40$
$f(6) = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = x^3 + 6x^2 - 36x + 7$
વિકલન મેળવતા: $f'(x) = 3x^2 + 12x - 36$
અવયવ પાડતા: $f'(x) = 3(x^2 + 4x - 12) = 3(x + 6)(x - 2)$
વિધેય વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ:
$3(x + 6)(x - 2) > 0$
$(x + 6)(x - 2) > 0$
દ્વિઘાત અસમતાના ચિહ્ન પદ્ધતિ મુજબ,આ પદ $x < -6$ અથવા $x > 2$ માટે ધન છે.
આમ,$x$ ની કિંમતોનો વિસ્તાર $x \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $f(x) = x^3+x-1 = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે વિધેય $f(x)$ ના વિકલિતનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
વિકલિત $f'(x) = 3x^2 + 1$ છે.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^2 \geq 0$ હોવાથી,$3x^2 + 1 \geq 1 > 0$ થાય છે.
કારણ કે $f'(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય $f(x)$ સમગ્ર વાસ્તવિક રેખા પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય $x$-અક્ષને વધુમાં વધુ એક વાર છેદી શકે છે.
આપણે ચોક્કસ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમતો જોઈએ:
$f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1$
$f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1$
અહીં $f(0) < 0$ અને $f(1) > 0$ હોવાથી,'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે $f(x) = 0$ થાય.
વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું હોવાથી,આ બીજ અનન્ય છે.
તેથી,સમીકરણને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ છે.

(B) ધારો કે ચોરસ પાયાની બાજુ $x \,m$ અને ટાંકીની ઊંચાઈ $y \,m$ છે.
ઘનફળ $V = x^2 y = 500$.
તેથી,$y = \frac{500}{x^2}$.
ખુલ્લી ટાંકીનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S = x^2 + 4xy$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,$S = x^2 + 4x \left(\frac{500}{x^2}\right) = x^2 + \frac{2000}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dx} = 2x - \frac{2000}{x^2}$.
$\frac{dS}{dx} = 0$ લેતા,$2x = \frac{2000}{x^2} \Rightarrow x^3 = 1000 \Rightarrow x = 10 \,m$.
દ્વિતીય વિકલિત $\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + \frac{4000}{x^3}$. $x = 10$ માટે,$\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + 4 = 6 > 0$,તેથી ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ છે.
ઊંચાઈ $y = \frac{500}{10^2} = 5 \,m$.
આમ,પરિમાણો $10 \,m, 10 \,m, 5 \,m$ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \alpha \log x + \beta x^2 + x$.
કારણ કે $x=1$ અને $x=2$ એ અંતિમ બિંદુઓ છે,તેથી આ બિંદુઓ પર વિકલન $f'(x)$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \frac{\alpha}{x} + 2\beta x + 1$.
$x=1$ માટે,$f'(1) = \frac{\alpha}{1} + 2\beta(1) + 1 = 0 \implies \alpha + 2\beta = -1$ (સમીકરણ $1$).
$x=2$ માટે,$f'(2) = \frac{\alpha}{2} + 2\beta(2) + 1 = 0 \implies \frac{\alpha}{2} + 4\beta = -1 \implies \alpha + 8\beta = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(\alpha + 8\beta) - (\alpha + 2\beta) = -2 - (-1) \implies 6\beta = -1 \implies \beta = -\frac{1}{6}$.
$\beta = -\frac{1}{6}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $\alpha + 2(-\frac{1}{6}) = -1 \implies \alpha - \frac{1}{3} = -1 \implies \alpha = -\frac{2}{3}$.
હવે,$\alpha^2 + 2\beta$ ની ગણતરી કરતા: $(-\frac{2}{3})^2 + 2(-\frac{1}{6}) = \frac{4}{9} - \frac{1}{3} = \frac{4-3}{9} = \frac{1}{9}$.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$
સૌ પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$3(x^2 - 4x + 3) = 0$
$3(x - 1)(x - 3) = 0$
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1$ અને $x = 3$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = 6x - 12$
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરીને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર વિધેયનો પ્રકાર તપાસો:
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 6(1) - 12 = -6$. કારણ કે $f''(1) < 0$,વિધેય $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = 3$ માટે: $f''(3) = 6(3) - 12 = 6$. કારણ કે $f''(3) > 0$,વિધેય $x = 3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી,વિધેયની મહત્તમ કિંમત $x = 1$ હોય ત્યારે મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{25-x^2}$.
પ્રથમ,આપણે વિકલિત શોધીએ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{25-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}$.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c \in (1, 5)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}$ થાય.
અહીં $f(5) = \sqrt{25 - 25} = 0$ અને $f(1) = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ છે.
તેથી,$f'(c) = \frac{0 - \sqrt{24}}{5 - 1} = \frac{-\sqrt{24}}{4} = \frac{-2\sqrt{6}}{4} = \frac{-\sqrt{6}}{2}$.
વિકલિતને સરખાવતા: $\frac{-c}{\sqrt{25-c^2}} = \frac{-\sqrt{6}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{c^2}{25-c^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$2c^2 = 3(25 - c^2) \implies 2c^2 = 75 - 3c^2 \implies 5c^2 = 75 \implies c^2 = 15$.
કારણ કે $c \in (1, 5)$,તેથી $c = \sqrt{15}$ મળે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = x \sqrt{x+6}$ અંતરાલ $[-6, 0]$ પર.
પ્રથમ,રોલના પ્રમેયની શરતો તપાસો:
$1$. $f(x)$ એ $[-6, 0]$ પર સતત છે.
$2$. $f(x)$ એ $(-6, 0)$ પર વિકલનીય છે.
$3$. $f(-6) = -6 \sqrt{-6+6} = 0$ અને $f(0) = 0 \sqrt{0+6} = 0$. કારણ કે $f(-6) = f(0)$,બધી શરતો સંતોષાય છે.
હવે,$f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+6}} + \sqrt{x+6} \cdot 1 = \frac{x + 2(x+6)}{2\sqrt{x+6}} = \frac{3x + 12}{2\sqrt{x+6}}$.
રોલના પ્રમેય મુજબ,એવું $c \in (-6, 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
$\frac{3c + 12}{2\sqrt{c+6}} = 0$
$3c + 12 = 0$
$3c = -12$
$c = -4$.
કારણ કે $-4 \in (-6, 0)$,તેથી $c$ નું મૂલ્ય $-4$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x)=x^3-3(a-2)x^2+3ax+7$.
જેহেতু $f(x)$ એ $(0,1]$ માં વધતું અને $[1,5)$ માં ઘટતું વિધેય છે,તેથી $x=1$ આગળ $f(x)$ ને સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
તેથી,$f'(1)=0$.
$f'(x)=3x^2-6(a-2)x+3a$.
$x=1$ મૂકતા: $3(1)^2-6(a-2)(1)+3a=0$.
$3-6a+12+3a=0 \Rightarrow -3a+15=0 \Rightarrow a=5$.
હવે,$f(x)$ માં $a=5$ મૂકતા: $f(x)=x^3-3(5-2)x^2+3(5)x+7 = x^3-9x^2+15x+7$.
આપણે $\frac{f(x)-14}{(x-1)^2}=0$ ઉકેલવાનું છે.
$f(x)-14 = x^3-9x^2+15x+7-14 = x^3-9x^2+15x-7$.
બહુપદીના ભાગાકાર દ્વારા,$x^3-9x^2+15x-7 = (x-1)^2(x-7)$.
તેથી,$\frac{(x-1)^2(x-7)}{(x-1)^2} = 0 \Rightarrow x-7=0 \Rightarrow x=7$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin x + \cos x + 6$ અંતરાલ $[0, 2\pi]$ પર છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (0, 2\pi)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
પ્રથમ,આપણે વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = \cos x - \sin x$.
$f'(c) = 0$ લેતા,આપણને $\cos c - \sin c = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos c = \sin c$,જેનું સાદું રૂપ $\tan c = 1$ થાય છે.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\tan c = 1$ માટે $c$ ની કિંમતો $c = \frac{\pi}{4}$ અને $c = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ છે.
આમ,$c$ ની કિંમતો $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ છે.

(C) કારણ કે $f(x)$ એ $[1,3]$ પર રોલનું પ્રમેયનું પાલન કરે છે,તેથી $f(1)=f(3)$.
$1+b+a+5 = 27+9b+3a+5$
$a+b+6 = 3a+9b+32$
$2a+8b = -26 \Rightarrow a+4b = -13$ ... $(i)$
આપેલ છે $f(x) = x^3+bx^2+ax+5$,તેથી વિકલન $f'(x) = 3x^2+2bx+a$ થાય.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$c = 2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $f'(c) = 0$ થાય.
$3(2+\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$
$3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$a + 4b + 13 + \frac{12+2b}{\sqrt{3}} = 0$
સમીકરણ $(i)$ મુજબ $a+4b = -13$ હોવાથી:
$-13 + 13 + \frac{12+2b}{\sqrt{3}} = 0$
$\frac{12+2b}{\sqrt{3}} = 0 \Rightarrow 2b = -12 \Rightarrow b = -6$.
$b = -6$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $a + 4(-6) = -13 \Rightarrow a - 24 = -13 \Rightarrow a = 11$.
આમ,$a=11$ અને $b=-6$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = x|x|$ છે.
ક્ષેત્રફળ હંમેશા ધન હોય છે,તેથી માંગેલ ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{1} |x|x|| dx = \int_{-1}^{1} x^2 dx$ થશે.
$\text{Area} = \int_{-1}^{1} x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$.
$= 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
$= 2 \times \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2}{3} \text{ sq. units}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = \sqrt{49 - x^2}$ છે,જેનો અર્થ છે $y^2 = 49 - x^2$ અથવા $x^2 + y^2 = 7^2$. આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્રિત અને $r = 7$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે. કારણ કે $y = \sqrt{49 - x^2}$ હંમેશા અ-ઋણ છે,તે ઉપરનું અર્ધવર્તુળ દર્શાવે છે.
વક્ર અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-7}^{7} \sqrt{49 - x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{7} \sqrt{49 - x^2} \, dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{49 - x^2} + \frac{49}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{7} \right) \right]_{0}^{7}$
$= 2 \left[ \left( \frac{7}{2} \sqrt{49 - 49} + \frac{49}{2} \sin^{-1} (1) \right) - (0 + 0) \right]$
$= 2 \left[ 0 + \frac{49}{2} \times \frac{\pi}{2} \right] = \frac{49 \pi}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) $X$-અક્ષ માટે,$y=0$.
તેથી,$x(x-2)(x+1)=0$,જે $x=0, x=2, x=-1$ આપે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $-1$ થી $2$ સુધી $x$ ની સાપેક્ષમાં $|y|$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^0 y \, dx + \left| \int_0^2 y \, dx \right|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^0 (x^3-x^2-2x) \, dx + \left| \int_0^2 (x^3-x^2-2x) \, dx \right|$
સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int (x^3-x^2-2x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2$
$[-1, 0]$ અંતરાલ માટે:
$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^0 = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{-1}{3} - 1 \right) = - \left( \frac{3+4-12}{12} \right) = - \left( \frac{-5}{12} \right) = \frac{5}{12}$
$[0, 2]$ અંતરાલ માટે:
$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_0^2 = \left( \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$
માનાંક લેતા,આપણને $|-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$ મળે છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5+32}{12} = \frac{37}{12}$ ચોરસ એકમ.

(C) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_{1}^{3} |x-2| dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે વિધેય $|x-2|$ એ $x=2$ આગળ તેની વ્યાખ્યા બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{2} -(x-2) dx + \int_{2}^{3} (x-2) dx$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\int_{1}^{2} (2-x) dx = [2x - \frac{x^2}{2}]_{1}^{2} = (4 - 2) - (2 - 0.5) = 2 - 1.5 = 0.5$.
બીજા ભાગની ગણતરી: $\int_{2}^{3} (x-2) dx = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^{3} = (4.5 - 6) - (2 - 4) = -1.5 - (-2) = 0.5$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $0.5 + 0.5 = 1 \text{ ચોરસ એકમ}$.