MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $x = \tan \theta$,જ્યાં $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
આથી આપેલ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$3 \sin ^{-1}(\sin 2\theta) - 4 \cos ^{-1}(\cos 2\theta) + 2 \tan ^{-1}(\tan 2\theta) = \frac{\pi}{3}$.
જો $x \in (-1, 1)$ હોય,તો $2\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
તેથી,$3(2\theta) - 4(2\theta) + 2(2\theta) = \frac{\pi}{3}$.
$6\theta - 8\theta + 4\theta = \frac{\pi}{3}$.
$2\theta = \frac{\pi}{3} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે $\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{5}$.
સૂત્ર $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$.
હવે,આપણે $\tan \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્ર $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \tan^{-1} \frac{5}{12}$ અને $B = \frac{\pi}{4}$:
$\tan \left( \tan^{-1} \frac{5}{12} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\frac{5}{12} - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \frac{5}{12} \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{5}{12} - 1}{1 + \frac{5}{12}(1)} = \frac{\frac{5-12}{12}}{\frac{12+5}{12}} = \frac{-7}{17}$.

(C) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \cot^{-1}(2n^2)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$.
તેથી,$T_n = \tan^{-1}(\frac{1}{2n^2})$.
આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ: $\frac{1}{2n^2} = \frac{2}{4n^2} = \frac{2}{1 + (2n^2 - 1)} = \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$.
સૂત્ર $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$.
પ્રથમ $N$ પદોનો સરવાળો $S_N = \sum_{n=1}^{N} [\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)]$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_N = (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(3)) + \ldots + (\tan^{-1}(2N+1) - \tan^{-1}(2N-1))$.
$S_N = \tan^{-1}(2N+1) - \tan^{-1}(1)$.
જ્યારે $N \to \infty$,ત્યારે $S_N = \tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુની લક્ષ કિંમત શોધો:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{8^x-4^x-2^x+1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(4^x-1)(2^x-1)}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{4^x-1}{x} \right) \left( \frac{2^x-1}{x} \right) = \log 4 \cdot \log 2$.
હવે,ડાબી બાજુની લક્ષ કિંમત અને $f(0)$ શોધો:
$f(0) = e^0 \sin(0) + 0 + \lambda \log 4 = \lambda \log 4$.
બંને લક્ષ કિંમતોને સરખાવતા:
$\log 4 \cdot \log 2 = \lambda \log 4 \implies \lambda = \log 2$.
હવે,$1000 e^\lambda$ ની કિંમત શોધો:
$1000 e^{\log 2} = 1000 \times 2 = 2000$.

(B) કોઈ વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$,અને વિધેયની કિંમત $f(0)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$LHL = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}{\sqrt{x}}$.
અનુબદ્ધ પદ વડે ગુણતા: $\lim_{x \to 0^+} \frac{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{16+\sqrt{x}-16}{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{16+\sqrt{x}}+4} = \frac{1}{4+4} = \frac{1}{8}$.
અહીં $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$a$ ની કોઈપણ કિંમત માટે વિધેય $x = 0$ આગળ સતત નથી. પ્રશ્નમાં વિરોધાભાસ છે કારણ કે લક્ષ સમાન નથી.

(B) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = -1$ હોવું જોઈએ.
લક્ષની ગણતરી: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos ax - \cos bx}{\cos cx - \cos bx}$.
નાના $\theta$ માટે $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \frac{a^2x^2}{2}) - (1 - \frac{b^2x^2}{2})}{(1 - \frac{c^2x^2}{2}) - (1 - \frac{b^2x^2}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{b^2x^2}{2} - \frac{a^2x^2}{2}}{\frac{b^2x^2}{2} - \frac{c^2x^2}{2}} = \frac{b^2 - a^2}{b^2 - c^2}$.
આને $-1$ ની બરાબર લેતા: $\frac{b^2 - a^2}{b^2 - c^2} = -1$.
$b^2 - a^2 = -(b^2 - c^2) \implies b^2 - a^2 = c^2 - b^2$.
$2b^2 = a^2 + c^2$.
આ શરત સૂચવે છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(C) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે, $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $L = \lim_{x \to 0} \frac{(27-2x)^{1/3}-3}{9-3(243+5x)^{1/5}}$.
અચળાંકો સામાન્ય લેતા: $L = \lim_{x \to 0} \frac{3((1 - \frac{2x}{27})^{1/3} - 1)}{9(1 - (1 + \frac{5x}{243})^{1/5})} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \frac{2x}{27})^{1/3} - 1}{1 - (1 + \frac{5x}{243})^{1/5}}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n \approx 1+nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $(1 - \frac{2x}{27})^{1/3} - 1 \approx 1 - \frac{2x}{81} - 1 = -\frac{2x}{81}$.
છેદ: $1 - (1 + \frac{5x}{243})^{1/5} \approx 1 - (1 + \frac{x}{243}) = -\frac{x}{243}$.
આમ, $L = \frac{1}{3} \cdot \frac{-2x/81}{-x/243} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{81} \cdot 243 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 3 = 2$.

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ: $\lim_{x \to 0^+} \frac{8^x - 4^x - 2^x + 1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(4^x - 1)(2^x - 1)}{x^2} = \log 4 \cdot \log 2$.
ત્યારબાદ,ડાબી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ: $\lim_{x \to 0^-} (e^x \sin x + kx + \lambda \log 4) = \lambda \log 4$.
બંનેને સરખાવતા: $\lambda \log 4 = \log 4 \cdot \log 2 \implies \lambda = \log 2$.
તેથી $e^\lambda = e^{\log 2} = 2$.
આમ,$500 e^\lambda = 500 \times 2 = 1000$.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{10^x + 7^x - 14^x - 5^x}{1 - \cos x}$.
અંશના અવયવ પાડતા: $(2^x - 1)(5^x - 7^x)$.
તેથી,$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(2^x - 1)(5^x - 7^x)}{1 - \cos x}$.
પ્રમાણિત લક્ષનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
$f(0) = \frac{(\ln 2)(\ln 5 - \ln 7)}{1/2} = 2 \ln 2 \ln(5/7) = \ln 4 \ln(5/7)$.

(B) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \frac{\sin(\pi \cos^2 x)}{3x^2}$.
નિત્યસમ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{\sin(\pi(1 - \sin^2 x))}{3x^2} = \frac{\sin(\pi - \pi \sin^2 x)}{3x^2}$.
કારણ કે $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,તેથી:
$f(x) = \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{3x^2}$.
હવે,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{\pi \sin^2 x} \times \frac{\pi \sin^2 x}{3x^2} \right)$.
કારણ કે $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી:
$f(0) = 1 \times \frac{\pi}{3} \times (1)^2 = \frac{\pi}{3}$.

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,લક્ષની કિંમત શોધો: $\lim_{x \to 0} \frac{9^x - 2 \cdot 3^x + 1}{\log(1 + 3x) \cdot \tan 2x}$.
નોંધો કે $9^x - 2 \cdot 3^x + 1 = (3^x - 1)^2$.
તેથી,લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{(3^x - 1)^2}{\log(1 + 3x) \cdot \tan 2x}$ છે.
પ્રમાણિત લક્ષો $\lim_{x \to 0} \frac{3^x - 1}{x} = \log 3$,$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + 3x)}{3x} = 1$,અને $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
લક્ષ $= \frac{(\log 3)^2}{6}$.
આપેલ છે કે $f(0) = a(\log b)^c$,તેથી $a(\log b)^c = \frac{1}{6}(\log 3)^2$.
સરખામણી કરતા,$a = \frac{1}{6}$,$b = 3$,અને $c = 2$.
તેથી,$a + b + c = \frac{1}{6} + 3 + 2 = \frac{31}{6}$.

(D) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી મર્યાદાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $2x + 3y \geqslant 12$: પ્રદેશ રેખા $2x + 3y = 12$ પર અથવા તેની ઉપર છે.
$2$. $-x + y \leqslant 3$: પ્રદેશ રેખા $-x + y = 3$ પર અથવા તેની નીચે છે.
$3$. $x \leqslant 4$: પ્રદેશ રેખા $x = 4$ ની ડાબી બાજુએ છે.
$4$. $y \geqslant 3$: પ્રદેશ રેખા $y = 3$ પર અથવા તેની ઉપર છે.
આલેખનું અવલોકન કરીને અને મર્યાદાઓ ચકાસીને:
- પ્રદેશ $S_4$ એ $y=3$,$x=4$,$-x+y=3$ અને $2x+3y=12$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. $S_4$ માં એક બિંદુ $(1, 4)$ ચકાસતા:
- $2(1) + 3(4) = 14 \geqslant 12$ (સાચું)
- $-(1) + 4 = 3 \leqslant 3$ (સાચું)
- $1 \leqslant 4$ (સાચું)
- $4 \geqslant 3$ (સાચું)
બધી મર્યાદાઓ પ્રદેશ $S_4$ માં સંતોષાય છે.

(B) આપેલ અસમતાઓ છે:
$1$) $x - 2 \leqslant y \implies y \geqslant x - 2$
$2$) $x \geqslant y - 1 \implies y \leqslant x + 1$
$3$) $x \geqslant 2$
$4$) $y \leqslant 4$
$5$) $x, y \geqslant 0$
આ અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરતા:
- રેખા $y = x - 2$ એ $(2, 0)$ અને $(4, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ $y \geqslant x - 2$ આ રેખાની ઉપર છે.
- રેખા $y = x + 1$ એ $(0, 1)$ અને $(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ $y \leqslant x + 1$ આ રેખાની નીચે છે.
- અસમતા $x \geqslant 2$ એ પ્રદેશને શિરોલંબ રેખા $x = 2$ ની જમણી બાજુ મર્યાદિત કરે છે.
- અસમતા $y \leqslant 4$ એ પ્રદેશને આડી રેખા $y = 4$ ની નીચે મર્યાદિત કરે છે.
આ બધાને જોડતા,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ $x = 2$,$y = x - 2$,$y = x + 1$ અને $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. આ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છાયાંકિત પ્રદેશને અનુરૂપ છે.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ દ્વારા બંધાયેલ છે.
આલેખ પરથી,રેખાઓ $x = 5$,$y = 4$,$x + y = 15$ અને $x - y = 10$ છે.
છાયાંકિત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(5, 5)$,$B(5, 10)$ અને $C(11, 4)$ છે.
- $A(5, 5)$ પર: $z = 550(5) + 300(5) = 2750 + 1500 = 4250$.
- $B(5, 10)$ પર: $z = 550(5) + 300(10) = 2750 + 3000 = 5750$.
- $C(11, 4)$ પર: $z = 550(11) + 300(4) = 6050 + 1200 = 7250$.
મહત્તમ કિંમત $7250$ છે.

(B) $L$.$P$.$P$. ઉકેલવા માટે,આપણે શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય પ્રદેશને ઓળખીએ છીએ:
$1$. $x + y \leqslant 8$
$2$. $x + 2y \geqslant 4$
$3$. $6x + 4y \geqslant 12$ (અથવા $3x + 2y \geqslant 6$)
$4$. $x \geqslant 0, y \geqslant 0$
શક્ય પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે:
- $x + 2y = 4$ અને $3x + 2y = 6$ નું છેદબિંદુ: બાદબાકી કરતા $2x = 2$ મળે,તેથી $x = 1$. પછી $1 + 2y = 4 \implies y = 1.5$. બિંદુ: $(1, 1.5)$.
- $x + y = 8$ અને $x + 2y = 4$ નું છેદબિંદુ: $y = -4$,જે પ્રથમ ચરણની બહાર છે.
- $x + y = 8$ અને $3x + 2y = 6$ નું છેદબિંદુ: $y = -18$,પ્રથમ ચરણની બહાર છે.
- અક્ષો પરના બિંદુઓ: $3x + 2y = 6$ થી $(0, 3)$,$x + 2y = 4$ થી $(0, 2)$,$x + y = 8$ થી $(8, 0)$,$3x + 2y = 6$ થી $(2, 0)$.
ખૂણાના બિંદુઓ પર $z = 30x + 20y$ ની કિંમત:
- $(0, 3)$ પર,$z = 30(0) + 20(3) = 60$.
- $(1, 1.5)$ પર,$z = 30(1) + 20(1.5) = 30 + 30 = 60$.
- $(8, 0)$ પર,$z = 30(8) + 20(0) = 240$.
- $(2, 0)$ પર,$z = 30(2) + 20(0) = 60$.
જેમ કે હેતુલક્ષી વિધેય $z$ એ $(0, 3)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના અનેક બિંદુઓ પર સમાન ન્યૂનતમ મૂલ્ય $60$ લે છે,તેથી $L$.$P$.$P$. ને અસંખ્ય ઉકેલો છે.

(C) પ્રતિબંધોને આધીન $z = x + y$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે:
$1$) $x + y \geqslant 2$
$2$) $x + 2y \leqslant 8$
$3$) $y \leqslant 3$
$4$) $x, y \geqslant 0$
પ્રથમ,આપણે રેખાઓ દોરીને શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ:
- $x + y = 2$ એ $(2, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
- $x + 2y = 8$ એ $(8, 0)$ અને $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.
- $y = 3$ એ આડી રેખા છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
- $x + y = 2$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 2)$ છે.
- $x + y = 2$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(2, 0)$ છે.
- $x + 2y = 8$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $x + 6 = 8 \implies x = 2$,એટલે કે $(2, 3)$ છે.
- $x = 0$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(0, 2), (2, 0), (2, 3), (0, 3)$ છે.
આ બિંદુઓ પર $z = x + y$ ની કિંમત શોધતા:
- $(0, 2)$ પર,$z = 0 + 2 = 2$.
- $(2, 0)$ પર,$z = 2 + 0 = 2$.
- $(2, 3)$ પર,$z = 2 + 3 = 5$.
- $(0, 3)$ પર,$z = 0 + 3 = 3$.
ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે,જે $(0, 2)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓ પર મળે છે. રેખાખંડ અસંખ્ય બિંદુઓ ધરાવે છે,તેથી ઉકેલ ગણ અસંખ્ય બિંદુઓ ધરાવે છે.

(C) શરતો $x + y \leqslant 20$,$y \geqslant 5$ અને $x \geqslant 0$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. $y = 5$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ: $(0, 5)$.
$2$. $x + y = 20$ અને $y = 5$ નું છેદબિંદુ: $(15, 5)$.
$3$. $x + y = 20$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ: $(0, 20)$.
હવે,આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 7x - 8y$ ની કિંમત શોધીએ:
$(0, 5)$ પર: $z = 7(0) - 8(5) = -40$.
$(15, 5)$ પર: $z = 7(15) - 8(5) = 105 - 40 = 65$.
$(0, 20)$ પર: $z = 7(0) - 8(20) = -160$.
મહત્તમ મૂલ્ય $65$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-160$ છે.
તફાવત $65 - (-160) = 65 + 160 = 225$ છે.
આપેલ તફાવત $5k + 200$ હોવાથી,$5k + 200 = 225$.
$5k = 25$,તેથી $k = 5$.

(C) મર્યાદાઓ શોધવા માટે,આપણે આલેખ પરથી રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ ના સમીકરણો નક્કી કરીએ છીએ.
$1$. રેખા $L_1$ એ $(-1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = 1 \Rightarrow y-x = 1$ છે. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી,મર્યાદા $y-x \geqslant 1$ છે.
$2$. રેખા $L_2$ એ $(0, 2)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1 \Rightarrow 2x+5y = 10$ છે. પ્રદેશ આ રેખાની નીચે હોવાથી,મર્યાદા $2x+5y \leqslant 10$ છે.
$3$. રેખા $L_3$ એ $(0, 1)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} = 1 \Rightarrow x+y = 1$ છે. પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી,મર્યાદા $x+y \geqslant 1$ છે.
આને બિન-ઋણાત્મક મર્યાદાઓ $x, y \geqslant 0$ સાથે જોડતા,આપણને સિસ્ટમ મળે છે: $y-x \geqslant 1, 2x+5y \leqslant 10, x+y \geqslant 1, x, y \geqslant 0$. આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી શરતોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1. 2x + y \leqslant 10$: રેખા $(0, 10)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
$2. y \leqslant x$: રેખા $(0, 0)$ અને $(2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ રેખાની નીચે છે.
$3. y \leqslant 2$: પ્રદેશ આડી રેખા $y = 2$ ની નીચે છે.
$4. x, y \geqslant 0$: પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે.
છેદબિંદુઓ:
- $y = 2$ અને $y = x$ માટે,આપણને $x = 2$ મળે છે. બિંદુ $(2, 2)$ છે.
- $y = 2$ અને $2x + y = 10$ માટે,આપણને $2x + 2 = 10 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$ મળે છે. બિંદુ $(4, 2)$ છે.
- $y = x$ અને $2x + y = 10$ માટે,આપણને $2x + x = 10 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = 10/3$ મળે છે. બિંદુ $(10/3, 10/3)$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(2, 2)$,$(4, 2)$ અને $x$-અક્ષના ભાગ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,જે આલેખ આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $C$ માં છે.

(D) શરતો $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x = y$,અને $x, y \geqslant 0$ છે.
શરતોમાં $x = y$ મૂકતા:
$1$) $x + 3x \leqslant 60 \implies 4x \leqslant 60 \implies x \leqslant 15$.
$2$) $x + x \geqslant 10 \implies 2x \geqslant 10 \implies x \geqslant 5$.
$x = y$ હોવાથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ $(5, 5)$ થી $(15, 15)$ સુધીનો રેખાખંડ છે.
હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 5y$ છે.
$z$ માં $y = x$ મૂકતા,આપણને $z = 3x + 5x = 8x$ મળે છે.
$(5, 5)$ બિંદુએ,$z = 8(5) = 40$.
$(15, 15)$ બિંદુએ,$z = 8(15) = 120$.
મહત્તમ મૂલ્ય $120$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $40$ છે.
તફાવત $120 - 40 = 80$ છે.

(B) $Z = 6x + 3y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધીએ:
$1) x + y = 5$
$2) x + 2y = 4$
$3) 4x + y = 12$
$4) x \geq 0, y \geq 0$
રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધતા:
- $x + y = 5$ અને $4x + y = 12$ નું છેદબિંદુ: બાદબાકી કરતા $3x = 7 \implies x = 7/3$. તેથી $y = 5 - 7/3 = 8/3$. બિંદુ: $(7/3, 8/3)$.
- $x + 2y = 4$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ: $y = -1$ મળે છે,જે પ્રથમ ચરણમાં નથી.
- $x + 2y = 4$ અને $4x + y = 12$ નું છેદબિંદુ: $x = 4 - 2y$. કિંમત મૂકતા: $4(4 - 2y) + y = 12 \implies 16 - 8y + y = 12 \implies 7y = 4 \implies y = 4/7$. તેથી $x = 4 - 8/7 = 20/7$. બિંદુ: $(20/7, 4/7)$.
- અક્ષો પરના બિંદુઓ: $(3, 0), (4, 0), (0, 2), (0, 5)$.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર $Z = 6x + 3y$ ની કિંમત:
- $(3, 0)$ પર: $Z = 6(3) + 3(0) = 18$
- $(7/3, 8/3)$ પર: $Z = 6(7/3) + 3(8/3) = 14 + 8 = 22$
- $(20/7, 4/7)$ પર: $Z = 6(20/7) + 3(4/7) = 132/7$
- $(0, 2)$ પર: $Z = 6(0) + 3(2) = 6$
આમ,મહત્તમ કિંમત $22$ છે.

(C) $1$. શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ઓળખો:
$x + y \geqslant 2$,$x + 2y \leqslant 8$,$y \leqslant 3$,$x, y \geqslant 0$.
$2$. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીને મેળવવામાં આવે છે:
- $x + y = 2$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 2)$ આપે છે.
- $x + y = 2$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(2, 0)$ આપે છે.
- $x + 2y = 8$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $(2, 3)$ આપે છે.
- $x + 2y = 8$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 4)$ આપે છે,પરંતુ $y \leqslant 3$ તેને $(0, 3)$ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
$3$. શિરોબિંદુઓ પર $z = x + y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 2)$ પર,$z = 0 + 2 = 2$.
- $(2, 0)$ પર,$z = 2 + 0 = 2$.
- $(2, 3)$ પર,$z = 2 + 3 = 5$.
- $(0, 3)$ પર,$z = 0 + 3 = 3$.
$4$. $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે,જે $(0, 2)$ અને $(2, 0)$ બંને પર મળે છે.
$5$. હેતુલક્ષી વિધેય $z = x + y$ એ શરત $x + y = 2$ ને સમાંતર હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $(0, 2)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓ પર મળે છે.

(B) ધારો કે $x$ એ વસ્તુ $A$ ની સંખ્યા છે અને $y$ એ વસ્તુ $B$ ની સંખ્યા છે.
મહત્તમ કરવા માટેનું નફાનું વિધેય $z = 25x + 18y$ છે.
મશીન $I$ ની મર્યાદા: $20x + 15y \leqslant 640$ (કારણ કે $10$ કલાક $40$ મિનિટ $= 640$ મિનિટ).
મશીન $II$ ની મર્યાદા: $5x + 8y \leqslant 500$ (કારણ કે $8$ કલાક $20$ મિનિટ $= 500$ મિનિટ).
અન-ઋણતાની શરતો: $x \geqslant 0, y \geqslant 0$.
આમ,સાચું સૂત્રીકરણ છે: Maximize $z = 25x + 18y$ subject to $20x + 15y \leqslant 640, 5x + 8y \leqslant 500, x, y \geqslant 0$.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ મર્યાદાઓ $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x - y \leqslant 0$,$x \geqslant 0$,અને $y \geqslant 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
પ્રથમ,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીને શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ મેળવીએ છીએ:
$1$. $x - y = 0$ અને $x + y = 10$ નું છેદબિંદુ: $2x = 10 \implies x = 5, y = 5$. શિરોબિંદુ: $(5, 5)$.
$2$. $x - y = 0$ અને $x + 3y = 60$ નું છેદબિંદુ: $4y = 60 \implies y = 15, x = 15$. શિરોબિંદુ: $(15, 15)$.
$3$. $x + y = 10$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ: $y = 10$. શિરોબિંદુ: $(0, 10)$.
$4$. $x + 3y = 60$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ: $3y = 60 \implies y = 20$. શિરોબિંદુ: $(0, 20)$.
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = 3x + 5y$ નું મૂલ્ય શોધીએ:
- $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 5(5) = 15 + 25 = 40$.
- $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 5(15) = 45 + 75 = 120$.
- $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$.
- $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$.
મહત્તમ મૂલ્ય $120$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $40$ છે.
તેથી તફાવત $120 - 40 = 80$ છે.

(D) આપેલ શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) x - y \leqslant -1 \implies y \geqslant x + 1$
$2) -x + y \leqslant 0 \implies y \leqslant x$
$3) x, y \geqslant 0$
શરત $(1)$ પરથી,$y \geqslant x + 1$. કારણ કે $x \geqslant 0$,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.
શરત $(2)$ પરથી,$y \leqslant x$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x + 1 \leqslant y \leqslant x$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $x + 1 \leqslant x$,જેનું સાદું રૂપ $1 \leqslant 0$ થાય છે.
આ એક વિરોધાભાસ છે,જેનો અર્થ છે કે એવો કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નથી જે બધી શરતોનું એકસાથે પાલન કરે.
તેથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ખાલી છે અને $z$ ની મહત્તમ કિંમત અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(B) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $x - y \geqslant 0 \implies y \leqslant x$. આ રેખા $y = x$ પર અથવા તેની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$2$. $x - 5y \leqslant -5 \implies 5y \geqslant x + 5 \implies y \geqslant \frac{1}{5}x + 1$. આ રેખા $y = \frac{1}{5}x + 1$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$3$. $x \geqslant 0$ અને $y \geqslant 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
આ બધાને જોડતા,આપણે એવો પ્રદેશ શોધીએ છીએ જે $y = x$ ની નીચે,$y = \frac{1}{5}x + 1$ ની ઉપર અને પ્રથમ ચરણમાં હોય.
છેદબિંદુ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{1}{5}x + 1 \implies \frac{4}{5}x = 1 \implies x = 1.25$. તેથી $y = 1.25$. છેદબિંદુ $(1.25, 1.25)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ એક ત્રિકોણાકાર પ્રદેશ છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,આ અસમતાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A = [a_{ij}]_{3 \times 3}$ જ્યાં $a_{ij} = 2i + j$ છે.
$A$ ના ઘટકોની ગણતરી કરતા:
$a_{11} = 2(1) + 1 = 3$,$a_{12} = 2(1) + 2 = 4$,$a_{13} = 2(1) + 3 = 5$
$a_{21} = 2(2) + 1 = 5$,$a_{22} = 2(2) + 2 = 6$,$a_{23} = 2(2) + 3 = 7$
$a_{31} = 2(3) + 1 = 7$,$a_{32} = 2(3) + 2 = 8$,$a_{33} = 2(3) + 3 = 9$
તેથી,$A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 7 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ,$adj(A)$,એ કોફેક્ટર શ્રેણિક $C = [C_{ij}]_{3 \times 3}$ નો ટ્રાન્સપોઝ છે.
$adj(A)$ ની બીજી હારનો ત્રીજો ઘટક એ શ્રેણિક $A$ ના ઘટક $a_{32}$ નો કોફેક્ટર $C_{32}$ છે.
$C_{32} = (-1)^{3+2} \times M_{32}$,જ્યાં $M_{32}$ એ $a_{32}$ નો માઈનર છે.
$M_{32} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = (3 \times 7) - (5 \times 5) = 21 - 25 = -4$.
$C_{32} = (-1)^5 \times (-4) = -1 \times (-4) = 4$.
આમ,માંગેલ ઘટક $4$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના અસામાન્ય શ્રેણિક $A$ માટે, $(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{|A|}$ થાય છે।
અહીં આપેલ છે કે $|A| = k$।
તેથી, સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા, $(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{k}$ મળે છે।
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે।

(C) સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(0 - (-3)) - (-1)(0 - (-6)) + 1(0 - 4) = 1(3) + 1(-6) + 1(-4) = 3 - 6 - 4 = -7$.
$B = \operatorname{adj} A$ હોવાથી,$|B| = |A|^{n-1} = (-7)^{3-1} = (-7)^2 = 49$.
આપણે $|\operatorname{adj} B|$ શોધવાની જરૂર છે. ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|\operatorname{adj} B| = (49)^{3-1} = 49^2 = 2401$ મળે છે.
આગળ,$|C| = |5A|$ શોધો. $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$|5A| = 5^3 |A| = 125 \times (-7) = -875$.
પ્રશ્નમાં $\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|}$ નો ગુણોત્તર પૂછવામાં આવ્યો છે.
ગુણધર્મનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા: $|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1} = (|A|^{n-1})^{n-1} = |A|^{(n-1)^2}$.
$n=3$ માટે,$|\operatorname{adj} B| = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4 = (-7)^4 = 2401$.
$|C| = 5^3 |A| = 125 \times (-7) = -875$.
પ્રશ્નના વિકલ્પોમાં ભૂલ હોઈ શકે છે. પ્રમાણિત ગુણધર્મો મુજબ,પરિણામ $\frac{2401}{-875} = -2.744$ છે. જો પ્રશ્નનો હેતુ $|\operatorname{adj} B| / |A|^4$ હોય,તો જવાબ $1$ આવશે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$1$ એ સૌથી તાર્કિક પસંદગી છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \text{adj}(A) = |A|I$,જ્યાં $I$ એ $2 \times 2$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી નિશ્ચાયક $|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$.
તેથી,$A \cdot \text{adj}(A) = (10a + 3b) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
વળી,$A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી $AA^T = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 9 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 13 \end{bmatrix}$.
$A \cdot \text{adj}(A) = AA^T$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$10a + 3b = 13$ (નીચેના જમણા ઘટક પરથી).
વળી,$15a - 2b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b = \frac{15a}{2}$.
$b$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13 \implies 20a + 45a = 26 \implies 65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$.
તેથી $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
અંતે,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = 1(8 - 6) - (-2)(0 - (-9)) + 2(0 - 6) = 1(2) + 2(9) + 2(-6) = 2 + 18 - 12 = 8$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\operatorname{adj} A$ શોધો. સહઅવયવ શ્રેણિક:
$C_{11} = 2, C_{12} = -9, C_{13} = -6$
$C_{21} = 4, C_{22} = -2, C_{23} = -4$
$C_{31} = 2, C_{32} = 3, C_{33} = 2$
તેથી,$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 2 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -4 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે $A(I + \operatorname{adj} A) = A + A(\operatorname{adj} A) = A + |A|I$.
$A + 8I = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -2 & 2 \\ 0 & 10 & -3 \\ 3 & -2 & 12 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $|A - \lambda I| = 0$ નો ઉપયોગ કરીને $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધીએ.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ -1 & 4 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - (-2) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^2 - 5A + 6I = 0$.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $A - 5I + 6A^{-1} = 0$.
$6A^{-1} = 5I - A$.
$A^{-1} = \frac{5}{6}I - \frac{1}{6}A$.
આને $A^{-1} = \alpha I + \beta A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{5}{6}$ અને $\beta = -\frac{1}{6}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,$4(\alpha + \beta) = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan x \\ -\tan x & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$ શોધો.
ત્યારબાદ,નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (\tan x)(-\tan x) = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ શોધો.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\sec^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix} = \cos^2 x \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{T} A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix} \cdot \cos^2 x \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$= \cos^2 x \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -2\tan x \\ 2\tan x & 1 - \tan^2 x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 x - \sin^2 x & -2\sin x \cos x \\ 2\sin x \cos x & \cos^2 x - \sin^2 x \end{bmatrix}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^{T} A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos 2x & -\sin 2x \\ \sin 2x & \cos 2x \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & \cot \frac{\theta}{2} \\ -\cot \frac{\theta}{2} & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (\cot \frac{\theta}{2})(-\cot \frac{\theta}{2}) = 1 + \cot^2 \frac{\theta}{2} = \csc^2 \frac{\theta}{2}$ શોધો.
$A$ નો એડજોઈન્ટ $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\cot \frac{\theta}{2} \\ \cot \frac{\theta}{2} & 1 \end{bmatrix} = A^T$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\csc^2 \frac{\theta}{2}} A^T = \sin^2 \frac{\theta}{2} A^T$.
કારણ કે $\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -1 & 7 & -24 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & -3 & 15 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ b & -1 & c \end{bmatrix}$.
તેથી,$A \cdot A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -1 & 7 & -24 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & -3 & 15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ b & -1 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
હાર $1 \times$ સ્તંભ $1$: $\frac{1}{11} [(-1)(3) + (7)(2) + (-24)(b)] = 1 \implies -3 + 14 - 24b = 11 \implies 11 - 24b = 11 \implies b = 0$.
હાર $2 \times$ સ્તંભ $2$: $\frac{1}{11} [(2)(3) + (a)(-3) + (4)(-1)] = 1 \implies 6 - 3a - 4 = 11 \implies 2 - 3a = 11 \implies -3a = 9 \implies a = -3$.
હાર $3 \times$ સ્તંભ $3$: $\frac{1}{11} [(2)(4) + (-3)(4) + (15)(c)] = 1 \implies 8 - 12 + 15c = 11 \implies -4 + 15c = 11 \implies 15c = 15 \implies c = 1$.
આમ,$a = -3, b = 0, c = 1$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
આપેલ છે કે $(AB)^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B^{-1} A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
$B^{-1} \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
$B^{-1} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \frac{3}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
ધારો કે $M = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$. તો $B^{-1} M = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.
$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} M^{-1}$.
પ્રથમ,$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M)$ શોધો.
$|M| = (4)(0) - (3)(-1) = 0 + 3 = 3$.
$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
$M^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} (-7)(0) + (-3)(1) & (-7)(-3) + (-3)(4) \\ (2)(0) + (3)(1) & (2)(-3) + (3)(4) \end{bmatrix}$
$B^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -3 & 21 - 12 \\ 3 & -6 + 12 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -3 & 9 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

(C) $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$|A| = 3((-3)(1) - (4)(-1)) - (-3)((2)(1) - (4)(0)) + 4((2)(-1) - (-3)(0))$
$|A| = 3(-3 + 4) + 3(2) + 4(-2) = 3(1) + 6 - 8 = 3 + 6 - 8 = 1$.
કારણ કે $|A| = 1 \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આગળ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ છીએ.
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = -2$.
$C_{21} = -1, C_{22} = 3, C_{23} = 3$.
$C_{31} = 0, C_{32} = -4, C_{33} = -3$.
આમ,$adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરતા.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરતા.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = adj(A)$ હોવાથી,$A^{-1} = A^3$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(A-3I)(A-5I) = 0$ છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - 5A - 3A + 15I = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $A^2 - 8A + 15I = 0$ થાય છે.
શ્રેણિક $A$ અસામાન્ય હોવાથી,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ $A^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ:
$A^{-1}(A^2 - 8A + 15I) = A^{-1}(0)$.
આનાથી $A - 8I + 15A^{-1} = 0$ મળે છે.
$15A^{-1}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણને $15A^{-1} = 8I - A$ મળે છે.
બંને બાજુ $8$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{15}{8} A^{-1} = \frac{8I - A}{8} = I - \frac{1}{8} A$ મળે છે.

(C) આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $A^2 - 4A + 3I = 0$ છે.
આપણે $(A + 3I)^{-1}$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $(A + 3I)^{-1} = xA + yI$.
તેથી $(A + 3I)(xA + yI) = I$.
$xA^2 + yA + 3xA + 3yI = I$.
$xA^2 + (y + 3x)A + 3yI = I$.
$A^2 = 4A - 3I$ મૂકતા:
$x(4A - 3I) + (y + 3x)A + 3yI = I$.
$(7x + y)A + (3y - 3x)I = I$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$7x + y = 0 \implies y = -7x$.
$3y - 3x = 1$.
$y = -7x$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(-7x) - 3x = 1 \implies -24x = 1 \implies x = -\frac{1}{24}$.
તેથી $y = \frac{7}{24}$.
આમ,$(A + 3I)^{-1} = -\frac{1}{24}A + \frac{7}{24}I = \frac{7I}{24} - \frac{A}{24}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ગણ $\{1, 2, 3, 4\}$ માંથી પુનરાવર્તન સાથે બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ પસંદ કરતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $4 \times 4 = 16$ છે.
આપણે એવી જોડીઓ $(p, q)$ શોધવાની છે કે જેના માટે $p^2 > 4q$ થાય.
ચાલો $p$ ની દરેક કિંમત માટે તપાસ કરીએ:
જો $p = 1$,તો $p^2 = 1$. કોઈપણ $q \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $1 > 4q$ શક્ય નથી.
જો $p = 2$,તો $p^2 = 4$. કોઈપણ $q \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $4 > 4q$ શક્ય નથી.
જો $p = 3$,તો $p^2 = 9$. $q = 1$ $(9 > 4)$ અને $q = 2$ $(9 > 8)$ માટે $9 > 4q$ સત્ય છે. તેથી,$(3, 1)$ અને $(3, 2)$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
જો $p = 4$,તો $p^2 = 16$. $q = 1$ $(16 > 4)$,$q = 2$ $(16 > 8)$,અને $q = 3$ $(16 > 12)$ માટે $16 > 4q$ સત્ય છે. તેથી,$(4, 1), (4, 2)$,અને $(4, 3)$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $2 + 3 = 5$ છે.
આમ,સંભાવના $\frac{5}{16}$ છે.

(D) કુલ સફરજનની સંખ્યા $N = 100$ છે. ખામીયુક્ત સફરજનની સંખ્યા $M = 10$ છે અને સારી સફરજનની સંખ્યા $N - M = 90$ છે.
આપણે $n = 6$ સફરજનનો નમૂનો પસંદ કરીએ છીએ. આપણે $k = 3$ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના શોધવી છે.
આ હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણને અનુસરે છે:
$P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
બાયનોમિયલ અંદાજ $(p = 0.1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 3) = \binom{6}{3} (0.1)^3 (0.9)^3 = 20 \times 0.001 \times 0.729 = 0.01458$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{11}{20} = P(A) + \frac{2}{5} - P(A) \times \frac{2}{5}$.
$\frac{11}{20} - \frac{8}{20} = P(A)(1 - \frac{2}{5})$.
$\frac{3}{20} = P(A) \times \frac{3}{5}$.
$P(A) = \frac{3}{20} \times \frac{5}{3} = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,તેથી $A'$ અને $B$ પણ સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$P(A' \mid B) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
હવે,ચકાસો કે કયા સમીકરણમાં $x = \frac{3}{4}$ એ બીજ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $4(\frac{3}{4})^2 - 7(\frac{3}{4}) + 3 = 4(\frac{9}{16}) - \frac{21}{4} + 3 = \frac{9}{4} - \frac{21}{4} + \frac{12}{4} = 0$.
આમ,$x = \frac{3}{4}$ એ $4x^2 - 7x + 3 = 0$ નું બીજ છે.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X) = k + 2k + 4k + 2k + k = 10k = 1 \implies k = \frac{1}{10}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(1 \le X < 4 | X \le 2)$ શોધવાની છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
અહીં,$A$ એ ઘટના $1 \le X < 4$ છે,જેનો અર્થ છે $X \in \{1, 2, 3\}$.
$B$ એ ઘટના $X \le 2$ છે,જેનો અર્થ છે $X \in \{0, 1, 2\}$.
છેદગણ $A \cap B$ એ ઘટના $X \in \{1, 2\}$ છે.
હવે,$P(A \cap B) = P(X=1) + P(X=2) = 2k + 4k = 6k = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$.
અને $P(B) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k + 2k + 4k = 7k = 7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$.
તેથી,$P(A|B) = \frac{6/10}{7/10} = \frac{6}{7}$.

(B) ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. આપણને દરેક પેટી પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ આપેલી છે: $P(B_1) = \frac{1}{2}$,$P(B_2) = \frac{1}{3}$,$P(B_3) = \frac{1}{6}$.
દરેક પેટીમાંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના:
$P(R|B_1) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$
$P(R|B_2) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$
$P(R|B_3) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના:
$P(R) = P(B_1)P(R|B_1) + P(B_2)P(R|B_2) + P(B_3)P(R|B_3)$
$P(R) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{3}{7}\right)$
$P(R) = \frac{1}{6} + \frac{2}{15} + \frac{1}{14} = \frac{35 + 28 + 15}{210} = \frac{78}{210} = \frac{13}{35}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો લાલ દડો હોય તો તે પેટી $B_2$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(B_2|R) = \frac{P(B_2)P(R|B_2)}{P(R)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}{\frac{13}{35}} = \frac{2}{15} \times \frac{35}{13} = \frac{2 \times 7}{3 \times 13} = \frac{14}{39}$.

(D) ધારો કે $H$ એટલે છાપ અને $T$ એટલે કાંટો. જ્યારે $H$ મળે અથવા $T$ સળંગ $4$ વખત મળે ત્યારે પ્રયોગ અટકે છે.
$X=1$ માટે: પરિણામ ${H}$ છે. $P(X=1) = \frac{1}{2}$.
$X=2$ માટે: પરિણામ ${TH}$ છે. $P(X=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
$X=3$ માટે: પરિણામ ${TTH}$ છે. $P(X=3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
$X=4$ માટે: પરિણામો ${TTTH, TTTT}$ છે. $P(X=4) = (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
આમ,વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$P(X=1) = \frac{1}{2}$,$P(X=2) = \frac{1}{4}$,$P(X=3) = \frac{1}{8}$,$P(X=4) = \frac{1}{8}$.
આ વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) કુલ નારંગી = $4 + 16 = 20$. ત્રણ નારંગી પસંદ કરવામાં આવે છે. $20$ માંથી $3$ નારંગી પસંદ કરવાની રીતો $C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ છે.
ધારો કે $X$ એ ખામીયુક્ત નારંગીની સંખ્યા છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = \frac{C(4,0) \times C(16,3)}{1140} = \frac{1 \times 560}{1140} = \frac{560}{1140} = \frac{28}{57}$.
$P(X=1) = \frac{C(4,1) \times C(16,2)}{1140} = \frac{4 \times 120}{1140} = \frac{480}{1140} = \frac{24}{57} = \frac{8}{19}$.
$P(X=2) = \frac{C(4,2) \times C(16,1)}{1140} = \frac{6 \times 16}{1140} = \frac{96}{1140} = \frac{8}{95}$.
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \times C(16,0)}{1140} = \frac{4 \times 1}{1140} = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ આ મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે.

(B) ધારો કે $W_i$ અને $B_i$ એ પાત્ર $i$ માંથી અનુક્રમે સફેદ અને કાળો દડો કાઢવાની ઘટનાઓ છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3$.
પાત્ર $1$: $P(W_1) = \frac{2}{5}$,$P(B_1) = \frac{3}{5}$.
પાત્ર $2$: $P(W_2) = \frac{3}{5}$,$P(B_2) = \frac{2}{5}$.
પાત્ર $3$: $P(W_3) = \frac{1}{5}$,$P(B_3) = \frac{4}{5}$.
આપણને $1$ કાળો અને $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની સંભાવના જોઈએ છે. આ ત્રણ પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. $(B_1, W_2, W_3)$: $P(B_1) \times P(W_2) \times P(W_3) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{9}{125}$.
$2$. $(W_1, B_2, W_3)$: $P(W_1) \times P(B_2) \times P(W_3) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{125}$.
$3$. $(W_1, W_2, B_3)$: $P(W_1) \times P(W_2) \times P(B_3) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{125}$.
કુલ સંભાવના આ સંભાવનાઓનો સરવાળો છે: $\frac{9}{125} + \frac{4}{125} + \frac{24}{125} = \frac{37}{125}$.

(C) ધારો કે $B$ છોકરો અને $G$ છોકરી દર્શાવે છે. $3$ બાળકો ધરાવતા પરિવાર માટે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય બાળકો છોકરીઓ છે,તેથી $A = \{GGG\}$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરી છે,તેથી $E = \{BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$.
ઘટના $E$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 7$ છે.
છેદગણ $A \cap E = \{GGG\}$,તેથી $n(A \cap E) = 1$.
શરતી સંભાવના $P(A|E)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)} = \frac{1}{7}$.

(B) ક્યુમ્યુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન $F(x)$ ને $P(X \leqslant x)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ ટેબલ પરથી,આપણી પાસે છે:
$P(X \leqslant 0) = F(0) = 0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(X > 0) = 1 - P(X \leqslant 0)$.
તેથી,$P(X > 0) = 1 - 0.5 = 0.5$.
હવે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)}$ ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
$\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $P(A) = x$ અને $P(B) = y$. $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$A$ અને $B'$ પણ સ્વતંત્ર છે,તેમજ $A'$ અને $B$ પણ સ્વતંત્ર છે.
આપેલ છે કે $P(A \cap B') = P(A)P(B') = x(1-y) = \frac{3}{25}$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $P(A' \cap B) = P(A')P(B) = (1-x)y = \frac{8}{25}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$x - xy = \frac{3}{25} \implies xy = x - \frac{3}{25}$.
$xy$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $y - xy = \frac{8}{25} \implies y - (x - \frac{3}{25}) = \frac{8}{25} \implies y - x = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \implies y = x + \frac{1}{5}$.
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x(1 - (x + \frac{1}{5})) = \frac{3}{25} \implies x(\frac{4}{5} - x) = \frac{3}{25} \implies \frac{4}{5}x - x^2 = \frac{3}{25}$.
$25$ વડે ગુણતા: $20x - 25x^2 = 3 \implies 25x^2 - 20x + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(5x - 1)(5x - 3) = 0$.
તેથી,$x = \frac{1}{5}$ અથવા $x = \frac{3}{5}$.
જો $x = \frac{1}{5}$ હોય,તો $y = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.
જો $x = \frac{3}{5}$ હોય,તો $y = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
વિકલ્પો તપાસતા,$P(A) = \frac{1}{5}$ ઉપલબ્ધ છે.