MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) પ્રથમ,$xy+2x+2y+4=0$ સમીકરણના અવયવ પાડો.
$x(y+2)+2(y+2)=0$
$(x+2)(y+2)=0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x=-2$ અને $y=-2$.
ત્રીજી રેખા $x+y+2=0$ આપેલી છે,જેને $y=-x-2$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x=-2$ અને $y=-2$ નું છેદબિંદુ $A(-2, -2)$ છે.
$2$. $x=-2$ અને $y=-x-2$ નું છેદબિંદુ $B(-2, 0)$ છે.
$3$. $y=-2$ અને $y=-x-2$ નું છેદબિંદુ $C(0, -2)$ છે.
આ ત્રિકોણ $A(-2, -2)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કર્ણ એ $BC$ રેખાખંડ છે જે $(-2, 0)$ અને $(0, -2)$ ને જોડે છે.
કર્ણ $BC$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
કાટકોણ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા એ કર્ણની લંબાઈથી અડધી હોય છે.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ એકમ.

(B) શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(3,0)$,અને $C(0,-4)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$c = AB = 3$
$b = AC = 4$
$a = BC = 5$
અંતઃકેન્દ્ર $(I)$ ના યામનું સૂત્ર:
$I = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \left( \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{12}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(-4)}{12} \right)$
$I = (1, -1)$.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
$P(-4, 1)$ એ $AB$ નું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$-4 = \frac{1(0) + 2(a)}{1+2} \implies -4 = \frac{2a}{3} \implies a = -6$.
$1 = \frac{1(b) + 2(0)}{1+2} \implies 1 = \frac{b}{3} \implies b = 3$.
આમ,અંતઃખંડો $a = -6$ અને $b = 3$ છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$\frac{x}{-6} + \frac{y}{3} = 1$.
$-6$ વડે ગુણતા,$x - 2y = -6$,અથવા $x - 2y + 6 = 0$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: $(4, -5)$ અને $(-2, 9)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો.
$M = (\frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-5 + 9}{2}) = (1, 2)$.
પગલું $2$: $(-3, 6)$ અને $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ શોધો.
$m = \frac{2 - 6}{1 - (-3)} = \frac{-4}{4} = -1$.
પગલું $3$: ખૂણો $\theta$ શોધો.
$m = \tan(\theta) = -1$,તેથી $\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) પ્રથમ,સમીકરણ $xy + 2x + 2y + 4 = 0$ ના અવયવ પાડો.
$x(y + 2) + 2(y + 2) = 0$
$(x + 2)(y + 2) = 0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x = -2$ અને $y = -2$.
ત્રીજી રેખા $x + y + 2 = 0$ છે.
આ ત્રણ રેખાઓ છેદબિંદુઓ પર ત્રિકોણ બનાવે છે:
$1$. $x = -2$ અને $y = -2$ નું છેદબિંદુ $(-2, -2)$ છે.
$2$. $x = -2$ અને $x + y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ $(-2, 0)$ છે.
$3$. $y = -2$ અને $x + y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, -2)$ છે.
આ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણનું મધ્યબિંદુ છે.
કર્ણ $(-2, 0)$ અને $(0, -2)$ ને જોડે છે.
મધ્યબિંદુ = $(\frac{-2 + 0}{2}, \frac{0 - 2}{2}) = (-1, -1)$.

(B) આપેલ રેખા $3x + 4y = 24$ છે.
$X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y = 0$ લેતા: $3x = 24 \implies x = 8$. તેથી,$A = (8, 0)$.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x = 0$ લેતા: $4y = 24 \implies y = 6$. તેથી,$B = (0, 6)$.
ત્રિકોણ $OAB$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(8, 0)$,અને $B(0, 6)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $OA = 8$,$OB = 6$,અને $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ છે.
અંતઃકેન્દ્રનું સૂત્ર $(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c})$ છે.
અહીં,$I_x = \frac{10(0) + 6(8) + 8(0)}{24} = 2$ અને $I_y = \frac{10(0) + 6(0) + 8(6)}{24} = 2$.
તેથી,અંતઃકેન્દ્ર $(2, 2)$ છે.

(B) રેખા $4x - 2y + 13 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{4}{-2} = 2$ છે.
યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ થાય,જે $x + y = a$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -1$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + (2)(-1)} \right| = \left| \frac{3}{1 - 2} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(D) $1$. $M$ ના યામ શોધો: રેખા $x-y-2=0$ એ $X$-અક્ષને જ્યાં $y=0$ હોય ત્યાં છેદે છે. $y=0$ મૂકતા,$x=2$ મળે છે. તેથી,$M = (2,0)$.
$2$. મૂળ રેખા $MN$ નો ઢાળ શોધો: સમીકરણ $x-y-2=0$ ને $y=x-2$ તરીકે લખી શકાય. અહીં ઢાળ $m_1 = 1$ છે,જે $45^{\circ}$ ના ખૂણાને અનુરૂપ છે.
$3$. નવો ઢાળ શોધો: રેખાને $45^{\circ}$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવતા,નવો ખૂણો $\theta_2 = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય.
$4$. નવી રેખાનું સમીકરણ શોધો: $M(2,0)$ માંથી પસાર થતી અને $90^{\circ}$ ના ખૂણે રહેલી રેખા શિરોલંબ છે. તેથી,તેનું સમીકરણ $x=2$ થાય.

(NONE) પગલું $1$: $x + 2y + 6 = 0$ અને $2x - y = 2$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો.
બીજા સમીકરણ પરથી,$y = 2x - 2$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(2x - 2) + 6 = 0$.
$x + 4x - 4 + 6 = 0 \implies 5x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}$.
તેથી $y = 2(-\frac{2}{5}) - 2 = -\frac{14}{5}$.
છેદબિંદુ $(-\frac{2}{5}, -\frac{14}{5})$ છે.
પગલું $2$: $y$-અંતઃખંડ $c = 5$ વાળી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + 5$ છે.
રેખા $(-\frac{2}{5}, -\frac{14}{5})$ માંથી પસાર થતી હોવાથી:
$-\frac{14}{5} = m(-\frac{2}{5}) + 5 \implies m = \frac{39}{2}$.
પગલું $3$: સમીકરણ $y = \frac{39}{2}x + 5 \implies 39x - 2y + 10 = 0$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x-2y+1)^2 + k(x-2y+1) = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x-2y+1)(x-2y+1+k) = 0$ મળે.
આ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે:
$L_1: x-2y+1 = 0$
$L_2: x-2y+(1+k) = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,$A=1, B=-2, C_1=1, C_2=1+k$.
આપેલ છે કે $d = \sqrt{5}$,તેથી $\sqrt{5} = \frac{|1-(1+k)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}$.
$\sqrt{5} = \frac{|-k|}{\sqrt{5}}$.
$|-k| = 5$.
તેથી $k = \pm 5$.
વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $A$ છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $d_A = \frac{|4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{4}{5} = 0.8$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $d_B = \frac{|-5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{5}{\sqrt{13}} \approx 1.38$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $d_C = \frac{|12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{12}{5} = 2.4$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $d_D = \frac{|-3|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{29}} \approx 0.55$.
અંતરોની સરખામણી કરતા,$0.55$ એ સૌથી નાનું મૂલ્ય છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ની રેખા ઉગમબિંદુની સૌથી નજીક છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(1, 2)$ છે. $P$ માંથી પસાર થતી અને $3x - y = 2$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $3x - y = k$ છે. તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$3(1) - 2 = k$,તેથી $k = 1$. રેખાનું સમીકરણ $3x - y = 1$ અથવા $y = 3x - 1$ છે.
આ રેખાનું $x + y = 0$ સાથેનું છેદબિંદુ $Q$ શોધવા માટે,$y = 3x - 1$ ને $x + y = 0$ માં મૂકતા:
$x + (3x - 1) = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}$.
તેથી $y = -x = -\frac{1}{4}$. આમ $Q = (\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(1 - \frac{1}{4})^2 + (2 - (-\frac{1}{4}))^2} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (\frac{9}{4})^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{81}{16}} = \sqrt{\frac{90}{16}} = \frac{3 \sqrt{10}}{4}$ એકમ.

(B) આપેલ રેખાઓ $x=5$ અને $y=3$ છે.
આ રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
રેખાઓ $x=h$ અને $y=k$ વચ્ચેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો $x-h = \pm(y-k)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h=5$ અને $k=3$ મૂકતા,આપણને $x-5 = \pm(y-3)$ મળે છે.
આનાથી બે સમીકરણો મળે છે: $x-5 = y-3 \implies x-y-2=0$ અને $x-5 = -(y-3) \implies x+y-8=0$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y-2)(x+y-8) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - y^2 - 10x + 6y + 16 = 0$.

(B) બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $z$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $242$ છે:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 242$
$2(x^2 + y^2 + z^2) = 242$
$x^2 + y^2 + z^2 = 121$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમત મૂકતા,$d = \sqrt{121} = 11$.
આમ,અંતર $11$ એકમ છે.

(C) બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P$ નું $z$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
આપેલ છે કે આ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $324$ છે:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 324$
$2(x^2 + y^2 + z^2) = 324$
$x^2 + y^2 + z^2 = 162$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમત મૂકતા,આપણને $d = \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = 9 \sqrt{2}$ મળે છે.

(B) $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,$(x_3, y_3, z_3)$,અને $(x_4, y_4, z_4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4} \right)$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(3, -5, x)$,$B(5, 4, 2)$,$C(7, -7, y)$,$D(1, 0, z)$ અને મધ્યકેન્દ્ર $G(4, -2, 2)$ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$z$-યામ માટે:
$\frac{x + 2 + y + z}{4} = 2$
$x + y + z + 2 = 8$
$x + y + z = 8 - 2$
$x + y + z = 6$

(A) આપેલ સમીકરણ $\tan 3\theta = \cot \theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$.
તેથી,$\tan 3\theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$.
$\tan x = \tan y$ માટેનું વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + y$ છે,જ્યાં $n \in Z$.
તેથી,$3\theta = n\pi + (\frac{\pi}{2} - \theta)$.
બંને બાજુ $\theta$ ઉમેરતા,આપણને $4\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$4\theta = \frac{(2n+1)\pi}{2}$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\theta = \frac{(2n+1)\pi}{8}$ મળે છે,જ્યાં $n \in Z$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
નિત્યસમ $\cos(x) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
આથી $\frac{\pi}{4} \cot \theta = n \pi + (-1)^n \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
$n=0$ માટે,$\frac{\pi}{4} \cot \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta \implies \cot \theta + \tan \theta = 2 \implies \frac{1}{\tan \theta} + \tan \theta = 2$.
ધારો કે $\tan \theta = t$,તો $\frac{1}{t} + t = 2 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies \tan \theta = 1$.
તેથી,$\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(5+3 \sin \theta)(2 \cos \theta+1)=0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $(5+3 \sin \theta)=0$ અથવા $(2 \cos \theta+1)=0$.
કિસ્સો $1$: $5+3 \sin \theta = 0 \implies \sin \theta = -\frac{5}{3}$. $\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,આ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $2 \cos \theta + 1 = 0 \implies \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ બીજા અને ત્રીજા ચરણમાં હોય છે.
અંતરાલ $[0, 2\pi)$ માં,ઉકેલો $\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ અને $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ છે.
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{2\pi}{3}$ અને $\frac{4\pi}{3}$ છે.

(B) આપેલ છે $\sec x + \tan x = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,જેનો અર્થ છે કે $(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) = 1$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,આપણને $\sec x - \tan x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2 \sec x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$,તેથી $\sec x = \frac{5}{4}$.
આમ,$\cos x = \frac{4}{5}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - 4/5}{2} = \frac{1}{10}$.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4}$ મળે,તેથી $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
પછી $\cos \frac{x}{2} = \sqrt{1 - \sin^2 \frac{x}{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
$\sin^2 \frac{x}{4} = \frac{1 - \cos \frac{x}{2}}{2} = \frac{1 - 3/\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{10} - 3}{2 \sqrt{10}}$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{10} + 3$ વડે ગુણતા:
$\sin^2 \frac{x}{4} = \frac{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)}{2 \sqrt{10}(\sqrt{10} + 3)} = \frac{10 - 9}{2(10 + 3 \sqrt{10})} = \frac{1}{2(10 + 3 \sqrt{10})}$.
તેથી,$\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2(10 + 3 \sqrt{10})}}$.

(D) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ માટે,મુખ્ય કિંમતો $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$ અને $\theta = 2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$ છે.
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,મુખ્ય કિંમતો $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$ છે.
બંને ગણમાં સામાન્ય કિંમત $\theta = \frac{7 \pi}{6}$ છે.
જોકે,$\tan \theta$ નો મુખ્ય ઉકેલ અંતરાલ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માં વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $\theta = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
કારણ કે $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$,તેથી કોઈ સામાન્ય મુખ્ય ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ છે કે $\tan (\pi \cos \theta) = \cot (\pi \sin \theta)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot x = \tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.
તેથી,$\tan (\pi \cos \theta) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta\right)$.
આનો અર્થ એ છે કે $\pi \cos \theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta$,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
$\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $\cos \theta + \sin \theta = n + \frac{1}{2}$ મળે.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ વડે ગુણતા,$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{n + 0.5}{\sqrt{2}}$.
$\sin \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{n + 0.5}{\sqrt{2}}$.
સાઇન વિધેય $[-1, 1]$ ની વચ્ચે હોવાથી,$n=0$ લેતા: $\sin \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{0.5}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^2 \theta + \sec 2\theta = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$ અને $\sec 2\theta = \frac{1}{\cos 2\theta}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} + \frac{1}{\cos 2\theta} = 1$.
ધારો કે $x = \cos 2\theta$. તો $\frac{1-x}{1+x} + \frac{1}{x} = 1$.
$\frac{x(1-x) + 1+x}{x(1+x)} = 1 \implies x - x^2 + 1 + x = x + x^2$.
$2x^2 - x - 1 = 0 \implies (2x + 1)(x - 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos 2\theta = 1 \implies 2\theta = 2n\pi \implies \theta = n\pi$.
કિસ્સો $2$: $\cos 2\theta = -\frac{1}{2} \implies 2\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \implies \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin \theta + \sin (4 \theta) + \sin (7 \theta) = 0$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીને,$\sin \theta$ અને $\sin (7 \theta)$ ને જોડતા:
$2 \sin (4 \theta) \cos (3 \theta) + \sin (4 \theta) = 0$.
$\sin (4 \theta)$ સામાન્ય લેતા:
$\sin (4 \theta) (2 \cos (3 \theta) + 1) = 0$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin (4 \theta) = 0 \implies 4 \theta = n \pi \implies \theta = \frac{n \pi}{4}$.
$\theta \in (0, \pi)$ માટે,કિંમતો $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$ છે.
કિસ્સો $2$: $2 \cos (3 \theta) + 1 = 0 \implies \cos (3 \theta) = -\frac{1}{2}$.
$3 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies \theta = \frac{2 n \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9}$.
$\theta \in (0, \pi)$ માટે:
જો $n=0$,તો $\theta = \frac{2 \pi}{9}$.
જો $n=1$,તો $\theta = \frac{4 \pi}{9}$ અને $\theta = \frac{8 \pi}{9}$.
બધી કિંમતોને જોડતા,$\theta \in \{ \frac{2 \pi}{9}, \frac{\pi}{4}, \frac{4 \pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{8 \pi}{9} \}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $y = 16^{\sin ^2 x}$. $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ હોવાથી,$16^{\cos ^2 x} = \frac{16}{y}$ થાય.
સમીકરણ: $y + \frac{16}{y} = 10 \implies y^2 - 10y + 16 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(y - 8)(y - 2) = 0$,તેથી $y = 8$ અથવા $y = 2$.
કિસ્સો $1$: $16^{\sin ^2 x} = 8 \implies 4 \sin ^2 x = 3 \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. આના $4$ ઉકેલો મળે.
કિસ્સો $2$: $16^{\sin ^2 x} = 2 \implies 4 \sin ^2 x = 1 \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$. આના $4$ ઉકેલો મળે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $4 + 4 = 8$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$ છે.
ધારો કે $t = \sin x$. સમીકરણ $2t^2 + 5t - 3 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(2t - 1)(t + 3) = 0$.
તેથી $t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = -3$.
$-1 \le \sin x \le 1$ હોવાથી,$\sin x = -3$ શક્ય નથી.
તેથી,$\sin x = \frac{1}{2}$ ઉકેલતા.
અંતરાલ $[0, 3\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ મળે છે.
કુલ $3$ મૂલ્યો મળે છે.

(A) ધારો કે $u = 81^{\sin^2 x}$. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ હોવાથી,$81^{\cos^2 x} = \frac{81}{u}$ થાય.
સમીકરણ: $u + \frac{81}{u} = 30 \implies u^2 - 30u + 81 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(u - 27)(u - 3) = 0$,તેથી $u = 27$ અથવા $u = 3$.
કિસ્સો $1$: $81^{\sin^2 x} = 27 \implies 4\sin^2 x = 3 \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$0 \leqslant x \leqslant \pi$ માટે,$x = \frac{\pi}{3}$ અથવા $x = \frac{2\pi}{3}$.
કિસ્સો $2$: $81^{\sin^2 x} = 3 \implies 4\sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$.
$0 \leqslant x \leqslant \pi$ માટે,$x = \frac{\pi}{6}$ અથવા $x = \frac{5\pi}{6}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $1 - \cos \theta = \sin \theta \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} (1 - \cos \frac{\theta}{2}) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin^2 \frac{\theta}{2} = 0 \implies \frac{\theta}{2} = n\pi \implies \theta = 2n\pi$
કિસ્સો $2$: $1 - \cos \frac{\theta}{2} = 0 \implies \cos \frac{\theta}{2} = 1 \implies \frac{\theta}{2} = 2n\pi \implies \theta = 4n\pi$
બંનેને જોડતા,ઉકેલ $\theta = 2n\pi$ અથવા $\theta = 4n\pi$ જ્યાં $n \in Z$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0$ છે.
ધારો કે $t = \sin x$. તો સમીકરણ $3t^2 - 7t + 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3t^2 - 6t - t + 2 = 0 \implies 3t(t - 2) - 1(t - 2) = 0 \implies (3t - 1)(t - 2) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{3}$ અથવા $t = 2$.
કારણ કે $\sin x$ ની કિંમત $2$ ન હોઈ શકે,તેથી $\sin x = \frac{1}{3}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{3}$ માટે $2$ ઉકેલો મળે છે.
અંતરાલ $[2\pi, 4\pi]$ માં,બીજા $2$ ઉકેલો મળે છે.
અંતરાલ $[4\pi, 5\pi]$ માં,$1$ ઉકેલ મળે છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $2 + 2 + 1 = 5$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sin^2 5^{\circ} + \sin^2 10^{\circ} + \ldots + \sin^2 85^{\circ} + \sin^2 90^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \sin^2(90^{\circ} - \theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
$5^{\circ}$ થી $85^{\circ}$ સુધી $5^{\circ}$ ના તફાવતે કુલ $17$ પદો છે.
આ પદોને $(\sin^2 5^{\circ} + \sin^2 85^{\circ}) + (\sin^2 10^{\circ} + \sin^2 80^{\circ}) + \ldots + (\sin^2 40^{\circ} + \sin^2 50^{\circ}) + \sin^2 45^{\circ}$ તરીકે જોડી શકાય.
આવી $8$ જોડીઓ છે,જેનો સરવાળો $1$ થાય છે,અને એક મધ્યમ પદ $\sin^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,આ $17$ પદોનો સરવાળો $8 \times 1 + \frac{1}{2} = 8.5$ થાય.
છેલ્લું પદ $\sin^2 90^{\circ} = 1$ ઉમેરતા,કુલ સરવાળો $8.5 + 1 = 9.5 = \frac{19}{2}$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $3 \sin \alpha = 5 \sin \beta$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{5}{3}$.
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \alpha - \sin \beta} = \frac{5 + 3}{5 - 3} = \frac{8}{2} = 4$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)} = 4$
$\tan \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cot \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4$
કારણ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,તેથી $\tan \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \div \tan \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4$.

(D) આપેલ પદ: $E = a \cos (B-\theta) + b \cos (A+\theta)$
$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = a(\cos B \cos \theta + \sin B \sin \theta) + b(\cos A \cos \theta - \sin A \sin \theta)$
$E = (a \cos B + b \cos A) \cos \theta + (a \sin B - b \sin A) \sin \theta$
ત્રિકોણના પ્રક્ષેપ સૂત્ર મુજબ,$a \cos B + b \cos A = c$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,તેથી $a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$.
બીજા પદમાં આ કિંમતો મૂકતા: $a \sin B - b \sin A = (2R \sin A) \sin B - (2R \sin B) \sin A = 0$.
આમ,$E = c \cos \theta + 0 \cdot \sin \theta = c \cos \theta$.

(B) આપેલ છે કે $A+B=\frac{\pi}{2}$,તેથી $B=\frac{\pi}{2}-A$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cos A \cdot \cos(\frac{\pi}{2}-A)$ મળે છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}-A) = \sin A$,તેથી પદાવલિ $\cos A \cdot \sin A$ બને છે.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને $\frac{2 \sin A \cos A}{2} = \frac{\sin(2A)}{2}$ મળે છે.
$\sin(2A)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી,$\frac{\sin(2A)}{2}$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ થાય.

(A) ધારો કે $E = \sqrt{3} \cot 20^{\circ} - 4 \cos 20^{\circ}$.
$E = \sqrt{3} \frac{\cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} - 4 \cos 20^{\circ}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} = 2 \sin 40^{\circ}$ મળે.
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 \sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sqrt{3} \cos 20^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3 \sin 2 \theta = 2 \sin 3 \theta$.
નિત્યસમ $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ અને $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3(2 \sin \theta \cos \theta) = 2(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$.
$6 \sin \theta \cos \theta = 6 \sin \theta - 8 \sin^3 \theta$.
$0 < \theta < \pi$ હોવાથી,$\sin \theta \neq 0$,તેથી $2 \sin \theta$ વડે ભાગતા:
$3 \cos \theta = 3 - 4 \sin^2 \theta$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ મુકતા:
$3 \cos \theta = 3 - 4(1 - \cos^2 \theta) = 3 - 4 + 4 \cos^2 \theta$.
$4 \cos^2 \theta - 3 \cos \theta - 1 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(4 \cos \theta + 1)(\cos \theta - 1) = 0$.
આથી $\cos \theta = 1$ (જે શક્ય નથી) અથવા $\cos \theta = -\frac{1}{4}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$.
ધારો કે $\theta = 10^{\circ}$,તો $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\tan 10^{\circ} - \tan^3 10^{\circ}}{1 - 3\tan^2 10^{\circ}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{3} = \frac{(3\tan 10^{\circ} - \tan^3 10^{\circ})^2}{(1 - 3\tan^2 10^{\circ})^2}$.
$(1 - 3\tan^2 10^{\circ})^2 = 3(9\tan^2 10^{\circ} - 6\tan^4 10^{\circ} + \tan^6 10^{\circ})$.
$1 - 6\tan^2 10^{\circ} + 9\tan^4 10^{\circ} = 27\tan^2 10^{\circ} - 18\tan^4 10^{\circ} + 3\tan^6 10^{\circ}$.
પદોને ગોઠવતા: $3\tan^6 10^{\circ} - 27\tan^4 10^{\circ} + 33\tan^2 10^{\circ} = 1$.

(A) ધારો કે $x = \tan 20^{\circ} \tan 80^{\circ} \cot 50^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot 50^{\circ} = \frac{1}{\tan 50^{\circ}}$.
તેથી,$x = \frac{\tan 20^{\circ} \tan 80^{\circ}}{\tan 50^{\circ}}$.
$\tan \theta \tan(60^{\circ} - \theta) \tan(60^{\circ} + \theta) = \tan 3\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin A = n \sin (A + 2B)$.
આને આપણે $\frac{\sin A}{\sin (A + 2B)} = n$ તરીકે લખી શકીએ.
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{\sin (A + 2B) + \sin A}{\sin (A + 2B) - \sin A} = \frac{1 + n}{1 - n}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \sin(A + B) \cos B}{2 \cos(A + B) \sin B} = \frac{1 + n}{1 - n}$.
$\tan (A + B) \cot B = \frac{1 + n}{1 - n}$.
તેથી,$\tan (A + B) = \frac{1 + n}{1 - n} \tan B$.

(A) આપેલ છે: $\sin A + \sin B = x$ $(1)$ અને $\cos A + \cos B = y$ $(2)$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) = x$ $(3)$
$2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) = y$ $(4)$
$(3)$ ને $(4)$ વડે ભાગતા:
$\tan(\frac{A+B}{2}) = \frac{x}{y}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(A+B) = \frac{2 \tan(\frac{A+B}{2})}{1 + \tan^2(\frac{A+B}{2})}$.
કિંમત મૂકતા:
$\sin(A+B) = \frac{2(x/y)}{1 + (x/y)^2} = \frac{2x/y}{(y^2 + x^2)/y^2} = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{x})$.
$\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,અને કોઈપણ વાસ્તવિક $x \neq 0$ માટે,$|x + \frac{1}{x}| \geq 2$ હોવાથી,$|\sin \theta| = \frac{1}{2} |x + \frac{1}{x}| \geq 1$ થાય.
આમ,$\sin \theta$ ની કિંમત માત્ર $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે.
જો $\sin \theta = 1$ હોય,તો $x + \frac{1}{x} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
તેથી $\sin 3 \theta = \sin(3 \times 90^\circ) = \sin 270^\circ = -1$.
વળી,$\frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = \frac{1}{2} (1^3 + \frac{1}{1^3}) = \frac{1}{2} (2) = 1$.
તેથી,$\sin 3 \theta + \frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = -1 + 1 = 0$.
જો $\sin \theta = -1$ હોય,તો $x + \frac{1}{x} = -2$,જેનો અર્થ છે કે $x = -1$.
તેથી $\sin 3 \theta = \sin(3 \times 270^\circ) = \sin 810^\circ = \sin 90^\circ = 1$.
વળી,$\frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = \frac{1}{2} ((-1)^3 + \frac{1}{(-1)^3}) = \frac{1}{2} (-2) = -1$.
તેથી,$\sin 3 \theta + \frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = 1 - 1 = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,તેથી $\cos^4(\pi - \theta) = \cos^4 \theta$.
આમ,$\cos^4 \frac{7\pi}{8} = \cos^4 \frac{\pi}{8}$ અને $\cos^4 \frac{5\pi}{8} = \cos^4 \frac{3\pi}{8}$.
પદાવલિ $2(\cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8})$ બને છે.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^4 \theta = \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$.
$\theta = \frac{\pi}{8}$ માટે,$\cos^4 \frac{\pi}{8} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8}$.
$\theta = \frac{3\pi}{8}$ માટે,$\cos^4 \frac{3\pi}{8} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8}$.
સરવાળો કરતા,$2(\frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} + \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8}) = 2(\frac{6}{8}) = \frac{3}{2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan \frac{2 \pi}{3} = \tan(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$.
$\tan \frac{4 \pi}{3} = \tan(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan \frac{8 \pi}{3} = \tan(2 \pi + \frac{2 \pi}{3}) = \tan \frac{2 \pi}{3} = -\sqrt{3}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sqrt{3} + 2(-\sqrt{3}) + 4(\sqrt{3}) + 8(-\sqrt{3})$
$= \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}$
$= (1 - 2 + 4 - 8) \sqrt{3}$
$= -5 \sqrt{3}$.

(A) આપેલ છે $\sin(\alpha+\beta)=1$. $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,$\alpha+\beta = \frac{\pi}{2}$.
આપેલ છે $\sin(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}$. $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,$\alpha-\beta = \frac{\pi}{6}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2\alpha = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \implies \alpha = \frac{\pi}{3}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2\beta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \implies \beta = \frac{\pi}{6}$.
હવે,$\tan(\alpha+2\beta) \cdot \tan(2\alpha+\beta)$ ની ગણતરી કરતા:
$\alpha+2\beta = \frac{2\pi}{3}$ અને $2\alpha+\beta = \frac{5\pi}{6}$.
$\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ અને $\tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
ગુણાકાર $= (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1$.

(A) વિધેય $f(x) = a \sin x + b \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે તેને $R \sin(x + \alpha)$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
આપણે $\sqrt{a^2 + b^2}$ વડે ગુણી અને ભાગીશું:
$f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right)$.
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
તેથી $f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha)$.
કારણ કે $\sin(x + \alpha)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ થશે.

(D) આપેલી રેખા $x - y + 1 = 0$ છે. વક્ર $x = y^2$ છે.
ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(y^2, y)$ છે.
બિંદુ $P$ થી રેખા $x - y + 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
બધા વાસ્તવિક $y$ માટે $y^2 - y + 1 > 0$ હોવાથી,$d = \frac{y^2 - y + 1}{\sqrt{2}}$ મળે.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f(y) = y^2 - y + 1$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ.
વિકલન કરતા,$f'(y) = 2y - 1$. $f'(y) = 0$ લેતા $y = \frac{1}{2}$ મળે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{3/4}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ થાય.

(C) ધારો કે $t = \tan \theta$. તેથી $\theta = \tan^{-1} t$.
$x$ માટે: $x = \tan^{-1} \left\{ \frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \tan \frac{\theta}{2} \right\} = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} t$.
તેથી,$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2(1+t^2)}$.
$y$ માટે: $y = \cos^{-1} \left\{ \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} \right\} = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1} t$.
તેથી,$\frac{dy}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2/(1+t^2)}{1/(2(1+t^2))} = 2 \times 2 = 4$.

(A) ધારો કે $y = u + v$,જ્યાં $u = x^x$ અને $v = x^{\frac{1}{x}}$ છે.
તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ થાય.
$u = x^x$ માટે,બંને બાજુ $\log$ લેતા: $\log u = x \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = x^x(1 + \log x)$.
$v = x^{\frac{1}{x}}$ માટે,બંને બાજુ $\log$ લેતા: $\log v = \frac{1}{x} \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = (-\frac{1}{x^2}) \log x + \frac{1}{x} (\frac{1}{x}) = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
તેથી,$\frac{dv}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \log x}{x^2}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x) + x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \log x}{x^2}$.

(A) આપેલ વિધેય $f(\theta) = \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos \theta_3 \cdots \cos \theta_n$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(f(\theta)) = \ln(\cos \theta_1) + \ln(\cos \theta_2) + \cdots + \ln(\cos \theta_n)$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{f(\theta)} \cdot f^{\prime}(\theta) = -(\tan \theta_1 + \tan \theta_2 + \cdots + \tan \theta_n)$.
તેથી,$\tan \theta_1 + \tan \theta_2 + \cdots + \tan \theta_n = -\frac{f^{\prime}(\theta)}{f(\theta)}$.

(C) ધારો કે $y = x^{\left(x^x\right)}$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log y = x^x \log x$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx} (\log x)$.
$\frac{d}{dx} (x^x)$ શોધવા માટે,$u = x^x$ લો. તો $\log u = x \log x$. વિકલન કરતા $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = x^x (1 + \log x)$.
આ કિંમત મુખ્ય સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = [x^x (1 + \log x)] \log x + x^x \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = y \left[ x^x \log x (1 + \log x) + x^x \cdot \frac{1}{x} \right]$.
$\frac{dy}{dx} = x^{\left(x^x\right)} \cdot x^x \left( \frac{1}{x} + \log x (1 + \log x) \right)$.

(A) આપેલ છે $y = \tan^{-1}\left(\frac{5x-x}{1+5x \cdot x}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{\frac{3}{2}-x}{1+\frac{3}{2}x}\right)$.
સૂત્ર $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = (\tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x)) + (\cot^{-1}(x) - \cot^{-1}(\frac{3}{2}))$.
$\cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)$ હોવાથી:
$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x) - \cot^{-1}(\frac{3}{2})$.
$y = \tan^{-1}(5x) - 2\tan^{-1}(x) + \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(\frac{3}{2})$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(5x)) - 2\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x)) + 0 - 0$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+25x^2} - \frac{2}{1+x^2}$.
નોંધ: $\cot^{-1}\left(\frac{3-2x}{2+3x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2+3x}{3-2x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}+x}{1-\frac{2}{3}x}\right) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) + \tan^{-1}(x)$ થાય છે.
તેથી,$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(\frac{2}{3}) + \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}(5x) + \tan^{-1}(\frac{2}{3})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+25x^2}$.

(C) ધારો કે $4x = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan^{-1}(4x)$.
$y$ ના પદમાં આ કિંમત મૂકતા:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{3(4x) - (4x)^3}{1 - 3(4x)^2}\right)$
નિત્યસમ $\tan(3\theta) = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1}(\tan(3\theta)) = 3\theta$
$\theta = \tan^{-1}(4x)$ પાછું મૂકતા:
$y = 3 \tan^{-1}(4x)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{1 + (4x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(4x)$
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{1 + 16x^2} \cdot 4 = \frac{12}{1 + 16x^2}$

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)$.
ધારો કે $u = x^x$. તો $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{u - u^{-1}}{2}\right) = \cot^{-1}\left(\frac{u^2 - 1}{2u}\right)$.
નિત્યસમ $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}(1/z)$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2u}{u^2 - 1}\right)$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2\tan^{-1}(u) = \tan^{-1}\left(\frac{2u}{1 - u^2}\right)$,તેથી $f(x) = -2\tan^{-1}(u) + \frac{\pi}{2}$ (યોગ્ય વિસ્તાર માટે).
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}$.
કારણ કે $u = x^x$,તેથી $\frac{du}{dx} = x^x(1 + \ln x)$.
$x = 1$ આગળ,$u = 1^1 = 1$ અને $\frac{du}{dx} = 1^1(1 + \ln 1) = 1$.
આમ,$f'(1) = -2 \cdot \frac{1}{1 + 1^2} \cdot 1 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.

(B) આપેલ છે કે $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = a(n+1)x^n + b(-n)x^{-n-1}$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = a(n+1)nx^{n-1} + b(-n)(-n-1)x^{-n-2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = an(n+1)x^{n-1} + bn(n+1)x^{-n-2}$.
$x^2$ વડે ગુણતા: $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = an(n+1)x^{n+1} + bn(n+1)x^{-n}$.
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n+1} + b x^{-n}]$.
કારણ કે $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$,તેથી $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1)y$.

(C) આપેલ છે કે $y = a^x \cdot b^{2x-1}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $y = a^x \cdot (b^2)^x \cdot b^{-1} = \frac{1}{b} (a b^2)^x$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log y = \log \left( \frac{1}{b} (a b^2)^x \right) = \log(1) - \log(b) + x \log(a b^2) = -\log b + x \log(a b^2)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(a b^2)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y \log(a b^2)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{dy}{dx} \log(a b^2)$.
$\frac{dy}{dx} = y \log(a b^2)$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{d^2 y}{d x^2} = (y \log(a b^2)) \cdot \log(a b^2) = y(\log(a b^2))^2$.

(D) ધારો કે $y = \log x$.
તેથી,પ્રથમ વિકલન $y_1 = \frac{d}{dx}(\log x) = x^{-1}$ છે.
બીજું વિકલન $y_2 = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2}$ છે.
ત્રીજું વિકલન $y_3 = \frac{d}{dx}(-1 \cdot x^{-2}) = (-1)(-2) \cdot x^{-3} = 2 \cdot x^{-3}$ છે.
ચોથું વિકલન $y_4 = \frac{d}{dx}(2 \cdot x^{-3}) = 2(-3) \cdot x^{-4} = -6 \cdot x^{-4} = -3! \cdot x^{-4}$ છે.
આ ભાત (pattern) જોતા,$n$-મું વિકલન $y_n = (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot x^{-n}$ મળે છે.
આમ,$\frac{d^{n}}{d x^{n}}(\log x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^{n}}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 3x^3 + Ax^2 + Bx + C$,જ્યાં $A = 2f'(1)$,$B = f''(2)$,અને $C = f'''(3)$.
પ્રથમ,વિકલિતો શોધો:
$f'(x) = 9x^2 + 2Ax + B$
$f''(x) = 18x + 2A$
$f'''(x) = 18$
હવે,અચળાંકોની કિંમત શોધો:
$f'''(3) = 18$,તેથી $C = 18$.
$f''(2) = 18(2) + 2A = 36 + 2A$. કારણ કે $B = f''(2)$,તેથી $B = 36 + 2A$.
$f'(1) = 9(1)^2 + 2A(1) + B = 9 + 2A + B$. કારણ કે $A = 2f'(1)$,તેથી $A = 2(9 + 2A + B) = 18 + 4A + 2B$.
$B = 36 + 2A$ ને $A$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = 18 + 4A + 2(36 + 2A)$
$A = 18 + 4A + 72 + 4A$
$A = 90 + 8A$
$-7A = 90 \implies A = -\frac{90}{7}$.
હવે $B$ શોધો:
$B = 36 + 2(-\frac{90}{7}) = 36 - \frac{180}{7} = \frac{252 - 180}{7} = \frac{72}{7}$.
આમ,$f(x) = 3x^3 - \frac{90}{7}x^2 + \frac{72}{7}x + 18 = \frac{1}{7}(21x^3 - 90x^2 + 72x + 126)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{y} \right) = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y(1) - x(dy/dx)}{y^2} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y - x(-b^2 x / a^2 y)}{y^2} \right) = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 y^2 + b^2 x^2}{a^2 y^3} \right)$.
કારણ કે $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,તેથી $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 b^2}{a^2 y^3} \right) = -\frac{b^4}{a^2 y^3}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$.
ધારો કે $f'(1) = a$ અને $f''(2) = b$.
તેથી $f(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 6x + 2a$ મળે છે.
$x = 1$ માટે,$f'(1) = 6(1) + 2a = 6 + 2a$.
કારણ કે $f'(1) = a$,તેથી $a = 6 + 2a$,જેનો અર્થ છે કે $a = -6$.
હવે,$f'(x) = 6x + 2a$ નું ફરીથી વિકલન કરતા,આપણને $f''(x) = 6$ મળે છે.
આમ,$f''(2) = 6$.
કારણ કે $f''(2) = b$,તેથી $b = 6$.
$a = -6$ અને $b = 6$ ને $f(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(x) = 3x^2 + 2(-6)x + 6 = 3x^2 - 12x + 6$.

(B) આપેલ સમીકરણ $[x]^2-5[x]+6=0$ છે. ધારો કે $[x] = y$.
તેથી $y^2-5y+6=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(y-2)(y-3)=0$ મળે છે.
તેથી,$[x]=2$ અથવા $[x]=3$.
જો $[x]=2$ હોય,તો $2 \le x < 3$.
જો $[x]=3$ હોય,તો $3 \le x < 4$.
આ અંતરાલોને જોડતા,આપણને $x \in [2, 4)$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sec \left[ \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right]$ યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત મેળવીએ.
પ્રથમ,અંદરના વિધેય $g(x) = \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$ ને ધ્યાનમાં લો.
$g(-x) = \log \left( -x + \sqrt{1 + (-x)^2} \right) = \log \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right)$.
અંશ અને છેદને $\left( \sqrt{1 + x^2} + x \right)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$g(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1 + x^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = -\log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) = -g(x)$.
આમ,$g(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(-x) = \sec(g(-x)) = \sec(-g(x))$.
કારણ કે $\sec(\theta)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$\sec(-g(x)) = \sec(g(x)) = f(x)$.
તેથી,$f(-x) = f(x)$,જેનો અર્થ છે કે આ વિધેય યુગ્મ વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \cos(\log x)$.
આપણે $f(x^2) \cdot f(y^2) - \frac{1}{2} \left[ f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) + f(x^2 y^2) \right]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,પદોની ગણતરી કરીએ:
$f(x^2) = \cos(\log x^2) = \cos(2 \log x)$
$f(y^2) = \cos(\log y^2) = \cos(2 \log y)$
$f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = \cos(\log \frac{x^2}{y^2}) = \cos(2 \log x - 2 \log y)$
$f(x^2 y^2) = \cos(\log x^2 y^2) = \cos(2 \log x + 2 \log y)$
ધારો કે $A = 2 \log x$ અને $B = 2 \log y$.
પદાવલિ $\cos A \cdot \cos B - \frac{1}{2} [\cos(A - B) + \cos(A + B)]$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A \cos B - \frac{1}{2} [2 \cos A \cos B] = \cos A \cos B - \cos A \cos B = 0$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 3x + 10$ અને $g(x) = x^2 - 1$.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $(fog)(x) = f(g(x))$ શોધો.
$(fog)(x) = f(x^2 - 1) = 3(x^2 - 1) + 10$.
$(fog)(x) = 3x^2 - 3 + 10 = 3x^2 + 7$.
ધારો કે $y = (fog)(x) = 3x^2 + 7$.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,$y$ ના પદમાં $x$ ની કિંમત શોધો:
$y - 7 = 3x^2$.
$x^2 = \frac{y - 7}{3}$.
$x = \pm \sqrt{\frac{y - 7}{3}}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $(fog)^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x - 7}{3}} = \left(\frac{x - 7}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$ મળે છે.

(C) $(f \circ g)(x)$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,પહેલા આપણે $g(x)$ નો વિસ્તાર નક્કી કરીએ.
$g(x) = \begin{cases} -x, & -2 \leqslant x \leqslant 3 \\ x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \end{cases}$ માટે,$g(x)$ નો વિસ્તાર $[-3, 2]$ છે.
હવે,આપણે $f(u)$ ની કિંમત શોધીએ જ્યાં $u \in [-3, 2]$.
આપેલ છે કે $f(u) = \begin{cases} 3-u, & -1 \leqslant u < 0 \\ 1+\frac{5u}{3}, & -3 \leqslant u \leqslant 2 \end{cases}$.
$f$ નો પ્રદેશ $[-3, 2]$ હોવાથી,આપણે $u \in [-3, 2]$ માટે $f(u)$ ની કિંમતો ધ્યાનમાં લઈએ.
$u \in [-3, 2]$ માટે,$f(u) = 1 + \frac{5u}{3}$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(-3) = 1 + \frac{5(-3)}{3} = 1 - 5 = -4$ છે.
મહત્તમ કિંમત $f(2) = 1 + \frac{5(2)}{3} = 1 + \frac{10}{3} = \frac{13}{3}$ છે.
આમ,$(f \circ g)(x)$ નો વિસ્તાર $[-4, \frac{13}{3}]$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ અને $g(x) = \frac{3x+x^3}{1+3x^2}$.
આપણે $(fog)(x) = f(g(x))$ શોધવાનું છે.
$f(x)$ માં $g(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(fog)(x) = \log \left(\frac{1+g(x)}{1-g(x)}\right) = \log \left(\frac{1+\frac{3x+x^3}{1+3x^2}}{1-\frac{3x+x^3}{1+3x^2}}\right)$.
લોગરીધમની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \log \left(\frac{\frac{1+3x^2+3x+x^3}{1+3x^2}}{\frac{1+3x^2-3x-x^3}{1+3x^2}}\right) = \log \left(\frac{1+3x+3x^2+x^3}{1-3x+3x^2-x^3}\right)$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3$ અને $(1-x)^3 = 1-3x+3x^2-x^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \log \left(\frac{(1+x)^3}{(1-x)^3}\right) = \log \left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3\right)$.
ગુણધર્મ $\log(a^n) = n \log(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 3 \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 3f(x)$.
આમ,$(fog)(x) = 3f(x)$.

(C) એક-એક ચકાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{2x_1+3}{3x_1+4} = \frac{2x_2+3}{3x_2+4}$
$(2x_1+3)(3x_2+4) = (2x_2+3)(3x_1+4)$
$6x_1x_2 + 8x_1 + 9x_2 + 12 = 6x_1x_2 + 8x_2 + 9x_1 + 12$
$8x_1 + 9x_2 = 8x_2 + 9x_1$
$x_1 = x_2$. આમ,વિધેય એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: ધારો કે $y = \frac{2x+3}{3x+4}$.
$y(3x+4) = 2x+3$
$3xy + 4y = 2x+3$
$x(3y-2) = 3-4y$
$x = \frac{3-4y}{3y-2}$.
$x$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે $3y-2 \neq 0$,તેથી $y \neq \frac{2}{3}$.
વિધેયનો વિસ્તાર $\mathbb{R} - \{\frac{2}{3}\}$ છે,જે સહપ્રદેશ છે. તેથી,$y \neq \frac{2}{3}$ માટે વિધેય વ્યાપ્ત છે.

(A) પગલું $1$: $f^{-1}(x)$ શોધો. ધારો કે $y = \frac{x-3}{x-2}$. તેથી $y(x-2) = x-3$,એટલે કે $xy - 2y = x - 3$. આમ $x(y-1) = 2y-3$,જે આપે છે $x = \frac{2y-3}{y-1}$. તેથી,$f^{-1}(x) = \frac{2x-3}{x-1}$.
પગલું $2$: $g^{-1}(x)$ શોધો. ધારો કે $y = 3x-2$. તેથી $3x = y+2$,એટલે કે $x = \frac{y+2}{3}$. આમ,$g^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}$.
પગલું $3$: સમીકરણ $f^{-1}(x) + g^{-1}(x) = \frac{19}{6}$ ઉકેલો.
$\frac{2x-3}{x-1} + \frac{x+2}{3} = \frac{19}{6}$.
છેદ દૂર કરવા માટે $6(x-1)$ વડે ગુણતા: $6(2x-3) + 2(x-1)(x+2) = 19(x-1)$.
$12x - 18 + 2(x^2 + x - 2) = 19x - 19$.
$12x - 18 + 2x^2 + 2x - 4 = 19x - 19$.
$2x^2 + 14x - 22 = 19x - 19$.
$2x^2 - 5x - 3 = 0$.
પગલું $4$: દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 5x - 3 = 0$ ઉકેલો.
$(2x+1)(x-3) = 0$.
બીજ $x = -\frac{1}{2}$ અને $x = 3$ છે.
પગલું $5$: $x$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો $-\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$ છે.

(D) જો $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ હોય,તો વિધેય $f(x, y)$ ને $n$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય કહેવાય છે.
$1$. $f(x, y) = y^2+2xy$ માટે,$f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda y)^2 + 2(\lambda x)(\lambda y) = \lambda^2(y^2+2xy) = \lambda^2 f(x, y)$. આ $2$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
$2$. $f(x, y) = 2x-3y$ માટે,$f(\lambda x, \lambda y) = 2(\lambda x) - 3(\lambda y) = \lambda(2x-3y) = \lambda^1 f(x, y)$. આ $1$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
$3$. $f(x, y) = \sin\left(\frac{y}{x}\right)$ માટે,$f(\lambda x, \lambda y) = \sin\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right) = \sin\left(\frac{y}{x}\right) = \lambda^0 f(x, y)$. આ $0$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
$4$. $f(x, y) = \cos x + \sin y$ માટે,$f(\lambda x, \lambda y) = \cos(\lambda x) + \sin(\lambda y)$. આ વિધેયને કોઈ પણ $n$ માટે $\lambda^n f(x, y)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,$\cos x + \sin y$ એ સમપરિમાણીય વિધેય નથી.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{e^{2030 \log x}-e^{2029 \log x}}{e^{2028 \log x}-e^{2027 \log x}} \,d x$ છે.
ગુણધર્મ $e^{n \log x} = e^{\log x^n} = x^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સંકલ્યને ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \frac{x^{2030} - x^{2029}}{x^{2028} - x^{2027}} \,d x$.
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય ઘાત બહાર કાઢતા:
$I = \int \frac{x^{2029}(x - 1)}{x^{2027}(x - 1)} \,d x$.
ધારો કે $x \neq 1$,તો આપણે $(x - 1)$ પદને રદ કરી શકીએ છીએ:
$I = \int \frac{x^{2029}}{x^{2027}} \,d x = \int x^{2029 - 2027} \,d x = \int x^2 \,d x$.
$x^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{x^3}{3} + c$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(C) $\text{આપણી પાસે સંકલન } I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} \,d x \text{ છે।}
\text{ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ } \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \text{ અને } 1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \text{ નો ઉપયોગ કરતા:}
I = \int \frac{x + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \,d x
I = \int \left( \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) \,d x
I = \int \left( \frac{1}{2} x \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) \,d x
I = \frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} \,d x + \int \tan \frac{x}{2} \,d x
\text{પ્રથમ પદ માટે ખંડશઃ સંકલન } \int u v' = uv - \int u' v \text{ નો ઉપયોગ કરતા:}
\text{ધારો કે } u = x \text{ અને } v' = \sec^2 \frac{x}{2}. \text{ તો } u' = 1 \text{ અને } v = 2 \tan \frac{x}{2}.
\frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} \,d x = \frac{1}{2} \left( x \cdot 2 \tan \frac{x}{2} - \int 2 \tan \frac{x}{2} \,d x \right) = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} \,d x.
\text{આ કિંમત } I \text{ માં મૂકતા:}
I = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} \,d x + \int \tan \frac{x}{2} \,d x = x \tan \frac{x}{2} + c.$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{(2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= \int \frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= 2 \int \frac{(\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= 2 \int (\cos x + \cos \alpha) dx$
$= 2 (\sin x + x \cos \alpha) + c$
$= 2 \sin x + 2x \cos \alpha + c$.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$ છે.
કારણ કે $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$,આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$
$I = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx$
$I = \int (\sec^2 x + \csc^2 x) dx$
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sec^2 x dx = \tan x$ અને $\int \csc^2 x dx = -\cot x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \tan x - \cot x + c$.

(C) શ્રેણિક $A$ એ વિકર્ણ શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ એ તેના વિકર્ણ ઘટકોનો ગુણાકાર છે:
$|A| = a \times b \times c = 7^x \times 7^{7^x} \times 7^{7^{7^x}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|A| = 7^{x + 7^x + 7^{7^x}}$.
આપણે સંકલન $I = \int 7^{x + 7^x + 7^{7^x}} \, dx$ શોધવાનું છે.
વિધેય $f(x) = 7^{7^{7^x}}$ નું વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમ મુજબ:
$\frac{d}{dx} (7^{7^{7^x}}) = 7^{7^{7^x}} \cdot \log 7 \cdot \frac{d}{dx} (7^{7^x}) = 7^{7^{7^x}} \cdot \log 7 \cdot 7^{7^x} \cdot \log 7 \cdot \frac{d}{dx} (7^x) = 7^{7^{7^x}} \cdot 7^{7^x} \cdot 7^x \cdot (\log 7)^3$.
તેથી,$\frac{d}{dx} \left( \frac{7^{7^{7^x}}}{(\log 7)^3} \right) = 7^{7^{7^x}} \cdot 7^{7^x} \cdot 7^x = |A|$.
આમ,$\int |A| \, dx = \frac{7^{7^{7^x}}}{(\log 7)^3} + k$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2x}{(a+b \cos x)^2} dx = \int \frac{2 \sin x \cos x}{(a+b \cos x)^2} dx$.
$t = a + b \cos x$ આદેશ લેતા,$dt = -b \sin x dx$,તેથી $\sin x dx = -\frac{dt}{b}$.
વળી,$\cos x = \frac{t-a}{b}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2 (\frac{t-a}{b})}{t^2} (-\frac{dt}{b}) = -\frac{2}{b^2} \int \frac{t-a}{t^2} dt$.
$I = -\frac{2}{b^2} \int (\frac{1}{t} - \frac{a}{t^2}) dt$.
$I = -\frac{2}{b^2} [\log |t| + \frac{a}{t}] + C$.
$t = a + b \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{2}{b^2} [\log |a+b \cos x| + \frac{a}{a+b \cos x}] + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{2e^{2x} + 3e^x + 1}$.
$e^x = t$ લેતા,$e^x dx = dt$,જેનો અર્થ છે $dx = \frac{dt}{t}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{dt}{t(2t^2 + 3t + 1)} = \int \frac{dt}{t(2t+1)(t+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{t(2t+1)(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{2t+1} + \frac{C}{t+1}$.
$1 = A(2t+1)(t+1) + Bt(t+1) + Ct(2t+1)$.
$t=0$ માટે,$1 = A(1)(1) \implies A=1$.
$t=-1$ માટે,$1 = C(-1)(-2+1) = C(-1)(-1) = C \implies C=1$.
$t=-1/2$ માટે,$1 = B(-1/2)(1/2) = -B/4 \implies B=-4$.
તેથી,$I = \int (\frac{1}{t} - \frac{4}{2t+1} + \frac{1}{t+1}) dt$.
$I = \log|t| - 4 \cdot \frac{1}{2} \log|2t+1| + \log|t+1| + c$.
$I = \log|e^x| - 2 \log|2e^x+1| + \log|e^x+1| + c$.
$I = x + \log(e^x+1) - 2 \log(2e^x+1) + c$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{dx}{2+\cos x}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ આદેશનો ઉપયોગ કરીશું.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{2 + \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} = \int \frac{(1+\tan^2(x/2)) dx}{2(1+\tan^2(x/2)) + 1 - \tan^2(x/2)} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{3 + \tan^2(x/2)}$.
ધારો કે $t = \tan(x/2)$,તેથી $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2 dt}{3 + t^2} = 2 \int \frac{dt}{(\sqrt{3})^2 + t^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right) + c = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{x}{2}\right) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \sin^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cdot \sin x \, dx$.
આપણે $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1 - \cos^2 x)^2$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \int (1 - \cos^2 x)^2 \sin x \, dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x \, dx = -du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (1 - u^2)^2 (-du) = -\int (1 - 2u^2 + u^4) \, du$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = -(u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}) + c = -u + \frac{2}{3} u^3 - \frac{1}{5} u^5 + c$.
$u = \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = -\cos x + \frac{2}{3} \cos^3 x - \frac{1}{5} \cos^5 x + c$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^3 \frac{dx}{(x+2) \sqrt{x+1}}$.
$t = \sqrt{x+1}$ આદેશ લેતા,$t^2 = x+1$ અને $x = t^2 - 1$ મળે.
તેથી $dx = 2t \, dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = 3$,ત્યારે $t = 2$.
સંકલન $I = \int_1^2 \frac{2t \, dt}{(t^2 - 1 + 2) t} = \int_1^2 \frac{2 \, dt}{t^2 + 1}$ થશે.
સંકલન કરતા,$I = [2 \tan^{-1}(t)]_1^2 = 2(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1))$.
સૂત્ર $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$I = 2 \tan^{-1}\left(\frac{2-1}{1+2(1)}\right) = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ મળે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} 2 x}}{1+4 x^2} dx$.
$u = \tan ^{-1} 2 x$ આદેશ લેતા.
તેથી,$du = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2x) dx = \frac{2}{1+4x^2} dx$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{dx}{1+4x^2} = \frac{1}{2} du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du$.
$I = \frac{1}{2} e^u + c$.
$u = \tan ^{-1} 2 x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} e^{\tan ^{-1} 2 x} + c$.

(B) સંકલન $I = \int \sqrt{x^2-6x-16} \, dx$ મેળવવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિને પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$x^2-6x-16 = (x^2-6x+9) - 9 - 16 = (x-3)^2 - 25 = (x-3)^2 - 5^2$.
હવે,સંકલન $I = \int \sqrt{(x-3)^2 - 5^2} \, dx$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \sqrt{t^2-a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \log |t + \sqrt{t^2-a^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = x-3$ અને $a = 5$:
$I = \frac{x-3}{2} \sqrt{(x-3)^2 - 5^2} - \frac{5^2}{2} \log |(x-3) + \sqrt{(x-3)^2 - 5^2}| + c$.
મૂળ પદાવલિ $x^2-6x-16$ પાછી મૂકતા:
$I = \frac{x-3}{2} \sqrt{x^2-6x-16} - \frac{25}{2} \log |x-3 + \sqrt{x^2-6x-16}| + c$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
$x(x^2+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x$.
$1 = (A+B)x^2 + Cx + A$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A=1$,$C=0$,અને $A+B=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $B=-1$.
આમ,$\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{x^2+1} dx$.
બીજા સંકલન માટે,ધારો કે $u = x^2+1$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{du}{2}$.
$I = \log |x| - \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \log |x| - \frac{1}{2} \log |x^2+1| + c$.
કારણ કે $x^2+1 > 0$,આપણે તેને $\log |x| - \frac{1}{2} \log (x^2+1) + c$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.

$\text{ધારો કે } I = \int \frac{x^3}{(x+1)^2} \, dx$
$u = x+1 \Rightarrow x = u-1, \quad dx = du$
$I = \int \frac{(u-1)^3}{u^2} \, du = \int \frac{u^3 - 3u^2 + 3u - 1}{u^2} \, du$
$I = \int \left(u - 3 + \frac{3}{u} - \frac{1}{u^2}\right) du$
$\text{દરેક પદનું સંકલન કરતા:}$
$I = \frac{u^2}{2} - 3u + 3\log|u| + \frac{1}{u} + C$
$u = x+1 \text{ મૂક્તા:}$
$I = \frac{(x+1)^2}{2} - 3(x+1) + 3\log|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$
$I = \frac{x^2 + 2x + 1}{2} - 3x - 3 + 3\log|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$
$I = \frac{x^2}{2} - 2x + 3\log|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$
$\text{આમ, સાચો વિકલ્પ } A \text{ છે.}$

(D) ધારો કે $I = \int \cos \left(\frac{x}{16}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{8}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right) \cdot \sin \left(\frac{x}{16}\right) dx$.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin \left(\frac{x}{16}\right) \cos \left(\frac{x}{16}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{8}\right)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx$.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{4}\right)$.
તેથી,$I = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx = \frac{1}{4} \int \sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx$.
છેલ્લી વાર નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{2}\right)$.
આમ,$I = \frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{2}\right) dx = \frac{1}{8} \int \sin \left(\frac{x}{2}\right) dx$.
$\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $-2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)$ મળે છે.
$I = \frac{1}{8} \cdot (-2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)) + c = -\frac{1}{4} \cos \left(\frac{x}{2}\right) + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5 \sin ^2 x+6 \cos ^2 x}} \,d x$.
$\sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5(1 - \cos ^2 x) + 6 \cos ^2 x}} \,d x$
$I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5 - 5 \cos ^2 x + 6 \cos ^2 x}} \,d x$
$I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5 + \cos ^2 x}} \,d x$.
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x \,d x$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x \,d x = -du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-du}{\sqrt{5 + u^2}} = -\int \frac{du}{\sqrt{(\sqrt{5})^2 + u^2}}$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \log |x + \sqrt{a^2 + x^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\log |u + \sqrt{5 + u^2}| + c$.
$u = \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = -\log |\cos x + \sqrt{5 + \cos ^2 x}| + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2x \cos 2x}{\sqrt{4-\cos^4 2x}} \, dx$.
$u = \cos^2 2x$ આદેશ લેતા.
તેથી $du = 2 \cos 2x (-\sin 2x) \cdot 2 \, dx = -4 \sin 2x \cos 2x \, dx$.
તેથી,$\sin 2x \cos 2x \, dx = -\frac{1}{4} du$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \frac{-\frac{1}{4} du}{\sqrt{4-u^2}} = -\frac{1}{4} \int \frac{du}{\sqrt{2^2-u^2}}$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) + c$.
$u = \cos^2 2x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = -\frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{\cos^2 2x}{2}\right) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \sec^{\frac{2}{3}} x \cdot \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x} \cdot \frac{1}{\sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$.
અંશ અને છેદને $\cos^{\frac{4}{3}} x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x \cdot \sin^{\frac{4}{3}} x} \cdot \frac{\cos^{\frac{4}{3}} x}{\cos^{\frac{4}{3}} x} \, dx = \int \frac{\cos^{\frac{4}{3}} x}{\cos^2 x \cdot \sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^{-\frac{4}{3}} \, dx = \int \sec^2 x \cdot (\tan x)^{-\frac{4}{3}} \, dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x \, dx$.
$I = \int u^{-\frac{4}{3}} \, du = \frac{u^{-\frac{4}{3} + 1}}{-\frac{4}{3} + 1} + c = \frac{u^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + c = -3u^{-\frac{1}{3}} + c$.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = -3 \tan^{-\frac{1}{3}} x + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^3}{x^4+5x^2+4} dx$.
$t = x^2$ આદેશ લેતા,$dt = 2x dx$,અથવા $x dx = \frac{1}{2} dt$.
સંકલન $I = \frac{1}{2} \int \frac{t}{t^2+5t+4} dt$ બને છે.
છેદના અવયવ પાડતા: $t^2+5t+4 = (t+1)(t+4)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{t}{(t+1)(t+4)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+4}$.
$t = A(t+4) + B(t+1)$.
$t = -1$ માટે,$-1 = 3A \implies A = -1/3$.
$t = -4$ માટે,$-4 = -3B \implies B = 4/3$.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{4/3}{t+4} - \frac{1/3}{t+1} \right) dt = \frac{1}{6} \int \left( \frac{4}{t+4} - \frac{1}{t+1} \right) dt$.
$I = \frac{1}{6} [4 \log|t+4| - \log|t+1|] + c$.
$I = \frac{1}{6} \log \left| \frac{(t+4)^4}{t+1} \right| + c$.
$t = x^2$ પાછું મૂકતા: $I = \frac{1}{6} \log \left( \frac{(x^2+4)^4}{x^2+1} \right) + c = \frac{1}{3} \log \left( \frac{(x^2+4)^2}{\sqrt{x^2+1}} \right) + c$.

(C) આપણી પાસે $I = \int \left(\frac{x-3}{x^2+9}\right)^2 \, dx = \int \frac{x^2 - 6x + 9}{(x^2+9)^2} \, dx$ છે.
સંકલનને અલગ પાડતા,આપણને $I = \int \frac{x^2+9}{(x^2+9)^2} \, dx - \int \frac{6x}{(x^2+9)^2} \, dx$ મળે છે.
$I = \int \frac{1}{x^2+9} \, dx - \int \frac{6x}{(x^2+9)^2} \, dx$.
પ્રથમ ભાગ $\int \frac{1}{x^2+3^2} \, dx = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$ છે.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^2+9$,તો $du = 2x \, dx$,તેથી $3 \, du = 6x \, dx$.
આમ,$\int \frac{6x}{(x^2+9)^2} \, dx = \int \frac{3}{u^2} \, du = 3 \left(-\frac{1}{u}\right) = -\frac{3}{x^2+9}$.
આ બંનેને જોડતા,$I = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) - \left(-\frac{3}{x^2+9}\right) + c = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{3}{x^2+9} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{e^x-1}$.
અંશ અને છેદને $e^{-x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} d x$.
ધારો કે $u = 1-e^{-x}$. તો $du = e^{-x} d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{u} d u = \log |u| + c = \log |1-e^{-x}| + c$.
કારણ કે $1-e^{-x} = \frac{e^x-1}{e^x}$,તેથી:
$I = \log \left| \frac{e^x-1}{e^x} \right| + c = \log |e^x-1| - \log |e^x| + c$.
$I = \log |e^x-1| - x + c$.

(D) સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x} + x}$ ઉકેલવા માટે,આપણે છેદમાંથી $\sqrt{x}$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ.
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})}$
ધારો કે $u = 1 + \sqrt{x}$. તેથી,$du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2 du}{u} = 2 \int \frac{du}{u} = 2 \log |u| + c$.
$u = 1 + \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = 2 \log (1 + \sqrt{x}) + c$.

(B) સંકલન $I = \int \sqrt{x^2+3x} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદર પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ છીએ:
$x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$.
હવે,સંકલન $I = \int \sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2} \, dx$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \sqrt{t^2 - a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = x + \frac{3}{2}$ અને $a = \frac{3}{2}$ છે:
$I = \frac{x + \frac{3}{2}}{2} \sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}} - \frac{9/4}{2} \log |(x + \frac{3}{2}) + \sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}}| + c$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \frac{2x+3}{4} \sqrt{x^2+3x} - \frac{9}{8} \log |x + \frac{3}{2} + \sqrt{x^2+3x}| + c$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{x}{1+x^4} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે $u = x^2$. તો,વિકલન $du = 2x \, dx$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $x \, dx = \frac{1}{2} \, du$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (x \, dx) = \int \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{2} \, du$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^2} \, du$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{1+u^2} \, du = \tan^{-1}(u) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(u) + c$
હવે $u = x^2$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + c$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{(5 \sin \theta-2) \cos \theta}{5-\cos ^2 \theta-4 \sin \theta} d \theta$.
$u = \sin \theta$ આદેશ લેતા,$du = \cos \theta d \theta$ મળે.
છેદ $5 - (1 - \sin^2 \theta) - 4 \sin \theta = 5 - 1 + u^2 - 4u = u^2 - 4u + 4 = (u-2)^2$ થાય.
તેથી,$I = \int \frac{5u-2}{(u-2)^2} du$.
$u-2 = t$ લેતા,$u = t+2$ અને $du = dt$ મળે.
$I = \int \frac{5(t+2)-2}{t^2} dt = \int \frac{5t+8}{t^2} dt = \int (\frac{5}{t} + 8t^{-2}) dt$.
$I = 5 \log |t| - \frac{8}{t} + c$.
$t = u-2 = \sin \theta - 2$ પાછું મૂકતા,$I = 5 \log |\sin \theta - 2| - \frac{8}{\sin \theta - 2} + c$ મળે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{3 \cos 2x + 5}$.
નિત્યસમ $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{dx}{3 \left(\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}\right) + 5}$
$I = \int \frac{1 + \tan^2 x}{3(1 - \tan^2 x) + 5(1 + \tan^2 x)} dx$
$I = \int \frac{\sec^2 x}{3 - 3 \tan^2 x + 5 + 5 \tan^2 x} dx$
$I = \int \frac{\sec^2 x}{8 + 2 \tan^2 x} dx$
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x dx$.
$I = \int \frac{du}{8 + 2u^2} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{4 + u^2}$
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) + c$
$I = \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{\tan x}{2}\right) + c$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $e^{-x}$ વડે ગુણીએ:
$I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(e^x + 1)} \, dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \, dx$
ધારો કે $u = 1 + e^{-x}$. તો $du = -e^{-x} \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-x} \, dx = -du$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-du}{u} = -\log|u| + c$
$I = -\log(1 + e^{-x}) + c$
કારણ કે $1 + e^{-x} = 1 + \frac{1}{e^x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$,તેથી:
$I = -\log\left(\frac{e^x + 1}{e^x}\right) + c = -[\log(e^x + 1) - \log(e^x)] + c$
$I = -\log(e^x + 1) + x + c$
આમ,$I = x - \log(e^x + 1) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^4 \cos \left(\tan ^{-1} x^5\right)}{1+x^{10}} \,d x$.
$u = \tan^{-1}(x^5)$ આદેશ લેતા.
તેથી,$du = \frac{1}{1+(x^5)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^5) \,dx = \frac{5x^4}{1+x^{10}} \,dx$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{x^4}{1+x^{10}} \,dx = \frac{du}{5}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \cos(u) \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int \cos(u) \,du$.
$I = \frac{1}{5} \sin(u) + c$.
$u = \tan^{-1}(x^5)$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{\sin \left(\tan ^{-1} x^5\right)}{5} + c$.